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Colegio Universitario Boston Función Exponencial
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Función Exponencial
Al iniciar el estudio de este tema es de suma importancia que conozcamos algunas
de las propiedades de las potencias, puesto que algunas de estas propiedades son
utilizadas para resolver algunos tipos de ejercicios.
Propiedades de las potencias
Potencia Cero
Todo número diferente de cero elevado a la cero nos da como resultado 1.
Ejemplos
, con
Potencia Uno
Todo número elevado a la uno nos da como resultado el mismo número.
Ejemplos
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Potencia de Uno
Uno elevado a cualquier número nos da como resultado 1.
Ejemplos
Potencia de una Potencia
Mantengo la base y multiplico los exponentes.
Ejemplos
Potencia de un Producto
En potencia de un producto elevamos cada uno de los factores al exponente.
Ejemplos
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Potencia de un Cociente En potencia de un cociente elevamos al dividendo y al divisor al exponente.
Ejemplos
Multiplicación de Potencias de Igual Base
Mantengo la base y sumo los exponentes.
Ejemplos
División de Potencias de Igual Base
Mantengo la base y resto los exponentes.
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Ejemplos
Potencia Negativa de una Fracción
Invertimos la base y ponemos el exponente positivo.
Ejemplos
Potencia Fraccionaria
Transformo la potencia en un radical de forma que el denominador pase a ser el
índice y el numerador pase a ser el exponente.
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Ejemplos
Notas
Base positiva elevada a cualquier tipo de exponente nos dará siempre un
resultado positivo.
Base negativa elevada a un exponente par nos dará como resultado un
número positivo, pero si el exponente es impar el resultado será un número
negativo.
Función Exponencial.
Una función exponencial es una función de la forma , donde
representa a la base de la función, y cumple el papel de exponente.
Para que una función se considere exponencial se debe cumplir que el valor de la
base sea un número positivo y diferente de uno. Es decir y .
Para la función exponencial se tiene que:
Dominio:
El dominio de una función exponencial es el conjunto de los números reales.
Ámbito o Rango:
El ámbito de una función exponencial es el conjunto de los números reales positivos.
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3
2
1
-1
-2
-4 -2 2 4
f x = 2x
Intersecciones con los ejes.
La intersección con el eje de las no está determinada por lo tanto:
Para el eje de las la intersección viene dada por la siguiente expresión:
Esto si y solo si la función dada es de la forma clásica , pues si la
función no es de esta forma, si que presenta la siguiente , entonces la
intersección con el eje de las tendrá la siguiente forma:
Monotonía
La monotonía de una función exponencial, estará determinada por el valor de la base
de la misma, por lo que tenemos que:
Si , se tiene que la función exponencial es estrictamente creciente.
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3
2
1
-1
-2
-4 -2 2 4
f x = 1
2
x
Si , se tiene que la función exponencial es estrictamente decreciente.
Cabe agregar que en una función exponencial de la forma si el valor de
, entonces la monotonía de la función exponencial cambiará.
Es decir que si la base nos indica que la función es creciente y el valor de , es
negativo entonces la gráfica de la función será decreciente y si la base nos indica
que la función es decreciente y el valor de , es negativo entonces la gráfica de la
función será creciente.
Biyectividad
La función exponencial es una función de tipo biyectiva es decir sobreyectiva e
inyectiva, al mismo tiempo. Lo que nos indica que la función exponencial posee
inversa.
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Ejemplos
Determine si las siguientes funciones son o no exponenciales y si lo son indique si
son crecientes o decrecientes y además calcule la intersección con el eje de las .
1.
Si es exponencial, pues la base es , que es un número positivo y diferente de
uno.
La función es estrictamente creciente, pues .
Su intersección con el eje de las es: .
2.
No es exponencial, pues la base es y es un número negativo.
3.
Si es exponencial, pues la base es , que es un número positivo y diferente
de uno.
La función es estrictamente creciente, pues .
Su intersección con el eje de las es:
4.
No es exponencial, pues la base es .
5.
Si es exponencial, pues la base es , que es un número positivo y diferente
de uno.
La función es estrictamente creciente, pues .
Su intersección con el eje de las es:
6.
Si es exponencial, pues la base es y es un número positivo y diferente de
uno.
La función es estrictamente creciente, pues .
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Su intersección con el eje de las es:
7.
Si es exponencial, pues la base es , que un número positivo y diferente de
uno.
La función es estrictamente creciente, pues .
Su intersección con el eje de las es: .
8.
Si es exponencial, pues la base es , que es un número positivo y diferente
de uno.
La función es estrictamente decreciente, pues , pero tenemos a
que multiplica a la función por lo que su monotonía cambia.
Su intersección con el eje de las es: .
9.
No es exponencial, pues la base es y es un número negativo.
Práctica 1. De las siguientes funciones, ¿cuáles son exponenciales?
A. xxf )2()(
B. 2)( xxf
C. xxf 2)(
D. 2)( xxf
2. Si xx xhxxgxf )3()(,)(,3)( 3, entonces son funciones exponenciales
A. Todas
B. Solo
C. Solo
D.
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3. Si la grafica corresponde a la función exponencial xaxf )( entonces con
certeza a pertenece al intervalo
A. 1,0
B. 0,1
C. 0,
D. ,1
4. Si la gráfica dada corresponde a la función xaxf )( entonces son características
de
A.
B. +
C.
D.
5. Según los datos de la gráfica ¿cuál es su criterio correspondiente?
A. xxf 3)(
B. xxf 3)(
C.
x
xf3
1)(
D.
x
xf3
1)(
x
y
x
y
(0,1)
x
y
1
3
1
f
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6. La gráfica de la función dada por
x
xf5
4)( interseca al eje y en
A. 1,0
B. 0,1
C. 0,5
4
D. 5
4,0
7. De las siguientes gráficas ¿cuál representar la gráfica de
x
xf2
3)( ?
I. II. III. IV.
A. I
B. II
C. III
D. IV
8. Un par ordenado que pertenece al gráfico de la función dada por
x
xf5
1)(
A. 1,5
1
B. 5,1
C. 5
1,1
D. 5,1
x
y
(0,1)
x
y
(0,1)
x
y
(0,1)
x
y
(0,1)
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9. La función xaxf )( , es una función creciente si se puede afirmar que
A. 0a
B. 1a
C. 10 a
D. 01 a
10. Una función exponencial decreciente corresponde a
A. xy )2,1(
B. xy )1,2(
C.
x
y2
1
D.
x
y2
1
11. Para la función dada por x
xf 5)( analice las siguientes proposiciones:
I. f es decreciente.
II. La gráfica de f interseca al eje y en 5,0
¿Cuáles de ellas son VERDADERAS?
A. Ninguna
B. Ambas
C. Solo II
D. Solo I
12. Para la función dada por xaxf )( si y entonces se cumple que
A.
B. C. 0< <1
D. 10 xa
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13. Considere las siguientes funciones con dominio R
I.
II.
III.
¿Cuáles de ellas son decrecientes?
A. Solo la II
B. Solo I y II
C. Solo I y III
D. Solo II y III
14. Para la función dada por xxf 5)( , considere las siguientes proposiciones
I. f es estrictamente creciente.
II. La intersección con el eje y es (0,1).
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
A. Solo I
B. Solo II
C. Ambas
D. Ninguna
15. El ámbito de la función
x
xf2
1)( con dominio es
A. ,0
B ,10
C. 1,
D.
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204
16. Para la función dada por xxf 3)( la preimagen de 3
1 es
A.
B.
C.
D.
17. En una función exponencial f de base a si para todo , entonces se
cumple que es un elemento de
A. ,0
B. 0,
C. 1,0
D. 1,0
18. Para la función dada por xaxf )( si y entonces se cumple que
A.
B.
C. 0< <1
D. 10 xa
19. Dada la función f definida por xaxf )( con se cumple que
A. la gráfica de f interseca al eje y en (0,1)
B. tiene por dominio máximo ,0
C. es una función creciente
D. tiene por ámbito
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20. Para la función
x
xf2
1)( y se cumple que
A. y son crecientes.
B. y son decrecientes.
C. es decreciente y es creciente.
D. es creciente y es decreciente.
21. Si , entonces el ámbito de f es
A. 9,0
B. 9,0
C. ,0
D. 0,
22. En la función exponencial f con xaxf )( , si )()(21
xfxf para 21xx
entonces se cumple que
A.
B.
C.
D.
23. El ámbito de la función dada por
x
xf2
3)( con dominio ,0 es
A. 1,0
B. 2
3,0
C. ,1
D. ,2
3
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24. Para la función dada
x
xf2
1)( por si con certeza se cumple que
A. 1,0)(xf
B. 2
1,0)(xf
C. ,1)(xf
D. 0,)(xf
25. De los siguientes criterios de funciones
x
xx xhxgxf3
2)(,)3()(,2)(
¿Cuáles corresponden a funciones exponenciales?
A. Solo la y .
B. Solo la y .
C. Solo la y .
D. Todas.
26. La gráfica de la función f dada por xxf 23)( interseca el eje y en
A. (1,0)
B. (0,1)
C. (3,0)
D. (0,3)
27. El ámbito de 323)( xxf es
A. 3,
B. ,3
C. ,0
D.
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207
28. La función inversa de 32)( 1xxf es igual a
A. 1)3(log2
x
B. 3)1(log2
x
C. 1)3(log2
x
D. 3)1(log2
x
29. El ámbito de 1)2()( xxf es
A.
B. ,0
C ,1
D. 1,
30. El dominio máximo de 32)( 3xxf es
A. 3,
B. ,3
C. ,0
D.
31. La función inversa de 12)( 3xxf es )(1 xf
A. 1)3(log2
x
B. 3)1(log2
x
C. 1)3(log2
x
D. 3)1(log2
x
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208
32. El ámbito de 35)( xxf es
A. 3,
B. ,3
C. 3,
D. ,3
33. Si 72)( xxf entonces el ámbito es
A.
B. ,7
C. ,0
D. ,7
34. Sea 13)( xxf , considere las siguientes afirmaciones
I. es estrictamente creciente.
II. es estrictamente decreciente.
III. corta al eje y en el punto
De las anteriores proposiciones son verdaderas
A. solo la I.
B. solo la II.
C. solo la II y III.
D. solo la I y III.
35. Si x; ; , entonces la gráfica de interseca al eje y en el
punto:
A.
B.
C.
D.
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36. Si 2)1,0()( xxf , considere las siguientes proposiciones
I. f es estrictamente creciente.
II. f es estrictamente decreciente.
III. f corta al eje y en el punto 100
1,0
De las proposiciones anteriores son verdaderas
A. solo I.
B. solo II.
C. solo II y III.
D. solo I y III.
37. Para la función f dada por
x
xf2
4)( considere las siguientes proposiciones
I. 32
1)2(f
II. 12
1f
De ellas son verdaderas
A. ambas.
B. ninguna.
C. solo la I.
D. solo la II.
38. Para la función xxff 2)(,1,3: el ámbito es
A.
B.
C.
D.
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210
39. Para la función f dada por , con , considere las siguientes
proposiciones
I. 0)( af
II. )(1
afa
f
De ellas son verdaderas
A. ambas.
B. ninguna.
C. solo la I.
D. solo la II.
40. Dadas las siguientes graficas.
¿Cuál de ellas representa la función ?
A. I
B. II
C. III
D. IV
41. Para la función dada por , con , analice las siguientes
proposiciones:
I.
II.
De ellas son verdaderas.
A. Ambas
B. Ninguna
C. Solo I
D. Solo II
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42. En una función exponencial de base si para todo entonces
se cumple que a es un elemento de:
A.
B.
C.
D.
43. Si f es una función tal que Bf 5,3: y su criterio es 12)( xxf , entonces
el ámbito de esa función corresponde a
A. 16 , 16
B. 16 , 16
1
C. 16 , 16
D. 16 , 16
1
44. Si el ámbito de la función 123)( xxf es 27 , 9 , entonces el dominio
corresponde a
A. 1 , 2
1
B. 2 , 2
1
C. 2 , 1
D. 2 , 2
3
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212
45. El conjunto al que pertenece k para que la función 1
35)(x
kxf sea
creciente corresponde a
A.
B. 5
2,
C. ,5
3
D.
46. Sea la función xaxf )( , con 0a y 1a ; si se cumple que )5()2( ff
entonces un posible valor para “a” corresponde a
A. 5
B. 2
5
C. 110
D. 1
2
1
47. Si
y es estrictamente decreciente, entonces con certeza para <0
se cumple que:
A.
B. —
C.
D. 1
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48. Para la función f dada por , con , considere las siguientes
proposiciones.
I.
II.
De ellas, ¿cuáles con certeza son verdaderas?
A. Ambas
B. Solo la I
C. Ninguna
D. Sola la II
Ecuaciones Exponenciales.
Inicialmente en el curso estudiamos la forma de resolver las ecuaciones cuadráticas,
ahora estudiaremos como resolver ecuaciones de tipo exponencial, este tipo de
ecuación es de suma importancia, ya que su estudio ha permitido al ser humano
resolver y explicar diferentes fenómenos que ocurren en la naturaleza.
Dentro de este apartado encontramos dos tipos de ecuaciones:
1.
2.
Ejemplos.
Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales.
1.
El primer paso que realizaremos es igualar las bases de las potencias
planteadas.
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Podemos utilizar el siguiente resultado
Entonces:
Por lo tanto la solución de es:
2.
Para este caso en particular no se pueden igualar las bases por lo que lo más
conveniente apoyarnos en la siguiente propiedad, . Por lo
cual aplicamos logaritmo a ambos lados de la igualdad.
Debemos apoyarnos en otra propiedad de los logaritmos, que nos indica:
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Para finalizar aplicamos la siguiente propiedad , entonces:
Por lo tanto la solución de es:
Las propiedades antes mencionadas se estudiaran con mayor detenimiento en
el siguiente tema.
Práctica 49. La solución de
12 2793 xx es
A.
B.
C.
D.
50. El conjunto solución de 162 1x corresponde a
A.
B.
C.
D.
51. La solución de 05125 2 X es
A.
B.
C. 3
D. 2
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52. El conjunto solución de la ecuación 72 43x corresponde a
A. 3
47log 2
B. 0
C.
D. 3
3log 2
53. La solución de 32
122 x
es
A.
B.
C.
D.
54. La solución de 8
42
1x
x es
A.
B.
C.
D.
55. La solución de
2
5
1
5
25xx
es
A.
B.
C.
D.
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217
56. La solución de 18
4
12 xx
es
A.
B.
C.
D.
57. La solución de 824
1 1x
x
es
A.
B.
C.
D.
58. El valor de “x” al resolver la ecuación x
x
2
12
933
1 corresponde a
A. 3
B. 1
C. 1
D. 3
59. El valor de “x” al resolver la ecuación 23 3
2x
corresponde a
A. 0
B. 1
C. 2log 3
D. 22log3 3
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218
60. La solución de la ecuación 12
1
93
1 x
x
corresponde a
A.
B.
C.
D. 0
61. La solución de
x
x
5
15 57 corresponde a
A.
B.
C.
D.
62. La solución a la ecuación
xx 231
27
8
2
3 corresponde a
A.
B.
C.
D. 10
63. El conjunto de solución de 36333 xx es
A.
B.
C.
D.
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219
64. La solución de
xx 262
4
9
3
2es
A. B.
C.
D.
65. La solución de x
x
5
3
8
642 es
A.
B.
C. 3
1
D. 15
2
66. La solución de 8
42
1x
x es
A. 3
1
B.
C.
D.
67. La solución de 13
9
27 x
x es
A.2
1
B.
C. 3
4
D.
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220
68. La solución de la ecuación 32464x
x es
A. 0
B. 6
5
C. 19
6
D. 17
6
69. La solución de
23
3
5
25
9xx
es
A. 3
4
B. 3
5
C. 3
5
D. 3
4
70. La solución de
x
x
2
1
2
18 es
A.
B. 5
1
C. 5
3
D.
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221
71. El conjunto solución de 4
12
9
4
81
16x
es
A. 8
1
B. 16
5
C. 16
9
D. 4
7
72. El valor de x para que se cumpla que 3
5
81
1
9
13
x
x es
A. 5
6
B. 3
5
C. 3
D. 1
73. El conjunto solución de 1
3
8
42
x
x es
A. 8
3
B. 8
15
C. 8
1
D. 8
3
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222
74. La solución de la ecuación 121 32 xx es
A. 9log
3log
B. 6ln
2
9ln
C. 6ln
D.
2
9ln
6ln
75. El conjunto solución de 08222 36 xx es
A. 3
2
B. 3
1,
3
2
C. 3
)2(2log,
3
4log
D.
76. El conjunto solución de 132 xx es
A. 12ln
3ln
B. 2ln
1
C. 3ln2ln
3ln
D.
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223
77. La solución de la ecuación 4)10()10(2 1xx es un número
A. 3logx
B. 1x
C. 3logx
D. 2
12logx
78. La solución de 16
18
2
1 2
2
x
x
es
A.
B.
C. 7
2
D. 7
6
79. La solución de 32x es
A. 2
3log
B. 3log
3
C. 2log
3log
D. 3log
2log
Colegio Universitario Boston Función Exponencial
224
80. La solución de 62 3x es
A. 3log22
B. 3log42
C. 2log
3log4
D. 2log
6log3
81. La solución de 2
12
27
813
x
x es
A. 1
B. 5
9
C. -9
D. 5
3
82. El conjunto solución de 822 42 xx corresponde a
A. S
B. 3
10S
C. 6S
D. 2S
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225
Soluciones.
Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta
1 C 26 D 51 A 76 C
2 C 27 B 52 A 77 C
3 A 28 A 53 B 78 D
4 A 29 C 54 C 79 C
5 C 30 D 55 A 80 D
6 A 31 B 56 B 81 D
7 A 32 D 57 C 82 C
8 B 33 D 58 B 83
9 B 34 B 59 D 84
10 C 35 D 60 A 85
11 A 36 D 61 C 86
12 A 37 A 62 B 87
13 C 38 C 63 B 88
14 C 39 B 64 A 89
15 A 40 A 65 C 90
16 D 41 A 66 C 91
17 C 42 C 67 C 92
18 A 43 B 68 D 93
19 A 44 A 69 D 94
20 C 45 B 70 C 95
21 A 46 C 71 C 96
22 C 47 A 72 A 97
23 C 48 A 73 D 98
24 A 49 C 74 D 99
25 B 50 A 75 A 100