C˘OK DEG IS˘KENL I REGRESYON ANAL IZ I: C˘IKARSAMAtastan/teaching/04.pdf · u’lar y’yi...

COK DEGISKENLI REGRESYON ANALIZI:CIKARSAMA

Huseyin Tastan1

1Yıldız Teknik UniversitesiIktisat Bolumu

Ders Kitabı:Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.)

J. Wooldridge

14 Ekim 2012

Ekonometri I: Cok Degiskenli Regresyon Analizi: Cıkarsama - H. Tastan1

Cok Degiskenli Regresyon Analizi: Cıkarsama

Bu bolumde populasyon parametreleri icin hipotez testleriolusturacagız.

“Anakutle hata terimleri (u) normal dagılmıstır” varsayımı(MLR.6) altında SEKK (OLS) tahmin edicilerin orneklemedagılımlarını inceleyecegiz.

Once tek tek parametreler hakkında hipotez testleri kuracagız,sonra birden cok parametreyi iceren testler yapacagız.

Bir gurup bagımsız degiskenin tumunun birden model dısındabırakılıp bırakılmayacagına nasıl karar verecegimizi gorecegiz.

OLS Tahmincilerinin Ornekleme Dagılımları (SamplingDistributions)

Istatistiksel cıkarsama (hipotez testleri, guven aralıkları)yapabilmek icin βj ’ların beklenen deger ve varyanslarının yanısıra ornekleme dagılımlarının da bilinmesi gerekir.Bunun icin hata teriminin normal dagıldıgını varsaymamızgerekmektedir. Gauss-Markov varsayımları altında orneklemedagılımları herhangi bir sekle sahip olabilir.

MLR.6 Normallik Varsayımı

Populasyon hata terimi u acıklayıcı degiskenlerden bagımsızdır veortalaması 0 ve varyansı σ2 olan normal dagılıma uyar:

u ∼ N(0, σ2)

Normallik varsayımı onceki varsayımlardan daha kuvvetli birvarsayımdır.MLR.6 varsayımı, MLR.3, Sıfır Kosullu Ortalama ve MLR.5Sabit Varyans varsayımlarının yapıldıgı anlamına gelir.

u ∼ N(0, σ2)

MLR.1-MLR.6 varsayımlarına klasik varsayımlar denir.(Gauss-Markov varsayımları + Normallik varsayımı)

Klasik varsayımlar altında OLS tahmin edicileri βj ’ler sadecedogrusal tahmin ediciler arasında degil, dogrusal olsun ya daolmasına, tum tahmin ediciler arasında sapmasız ve en kucukvaryanslı (en iyi) olanlarıdır.

Klasik varsayımlar ozet olarak asagıdaki gibi gosterilebilir:

y|x ∼ N(β0 + β1x1 + β2x2 + . . .+ βkxk, σ2)

Tek acıklayıcı degiskenli modelde sabit varyanslı normaldagılım

Hata teriminin dagılımını neden normal dagılım sayabiliriz?

u’lar y’yi etkileyen (x’ler dısında) pek cok faktorun toplametkisini yansıtır.

Bu nedenle, merkezi limit teoreminden (central limit theorem,CLT) (App.C) yararlanarak hata teriminin Normal dagıldıgınısoyleyebiliriz.

Ancak, bu varsayımın zayıf tarafları da coktur. Ornegin, u’yuolusturan faktorlerin anakutle dagılımları cok farklı bicimlerdeolabilir. Merkezi limit teoreminin bu durumlarda hala islediginivarsayıyoruz.

Bazı durumlarda degiskenlerin donusturmeleri (ornegin dogallog) kullanılarak normal dagılıma yakın dagılımlar eldeedilebilir.

CLT, u’ları olusturan gozlenemez faktorlerin toplam (additive)biciminde yer aldıklarını varsayar.

Oysa, bunun garantisi yoktur. Eger, u, bu gozlenemezfaktorlerin daha karmasık bir fonksiyonuysa, CLT bu konudabize yardımcı olmaz.

Uygulamada hata teriminin Normal dagılıp dagılmadıgı ampirikbir sorundur. Ornegin, ucretlerin; egitim, tecrube ve kıdem’ekosullu dagılımının Normal olup olmadıgı bir ampirik sorundur.

Bunun boyle olması gerektigini soyleyen bir teorem yoktur.

Ucretlerin negatif deger almaması ve asgari ucret uygulaması,ucretler icin Normal dagılım varsayımının fazla gecerliolmadıgını telkin eder.

Log donusturme dagılımın normale yaklasmasına oldukcayardımcı olur.

Ornegin, fiyat degiskeninin dagılımı normalden cok uzak ikenlogaritmik fiyat Normal dagılıma yakın olmaktadır.

MLR.6 varsayımının acıkca saglanamadıgı durumlar vardır.Ornegin, sadece birkac deger alan y’ler boyledir. ”anketekatılanların belli bir yılda, 2004 diyelim, hapse giris sayıları”degiskeni boyledir. Cogu gozlem icin 0, bazı gozlemler icin1,2,3,... gibi degerler alacaktır.

Daha sonra gorecegimiz gibi, buyuk ornek hacimlerinesahipken hata terimlerinin Normal dagılmaması ciddi sorunyaratmayacaktır (asimptotik normallik).

OLS tahmincilerinin ornekleme dagılımları

Ornekleme dagılımları normaldir

MLR.1-MLR.6 varsayımları altında OLS tahmin edicilerininornekleme dagılımları normal dagılıma uyar:

βj ∼ N(βj ,Var(βj)

)Standardize edersek:

βj − βjsd(βj)

∼ N(0, 1)

OLS tahmincileri hata teriminin lineer bir kombinasyonu olarakyazılabilir. Normal dagılan rassal degiskenlerin lineer kombinasylarıda normal dagılır.

Bir Populasyon Parametresine Iliskin Testler: t Testi

βj − βjsd(βj)

∼ N(0, 1)

Yukarıda paydada yer alan standart sapma (sd) yerine onunbir tahmini olan standart hatayı (se) koyarsak bu oranserbestlik derecesi n− k − 1 olan t dagılımına uyar:

βj − βjse(βj)

∼ tn−k−1

t testi H0 : βj = β∗j gibi tek kısıt iceren testlerin yapılmasındakullanılır.

Bir Populasyon Parametresine Iliskin Testler: t Testi

βj − βjsd(βj)

∼ N(0, 1)

Yukarıda paydada yer alan standart sapma (sd) yerine onunbir tahmini olan standart hatayı (se) koyarsak bu oranserbestlik derecesi n− k − 1 olan t dagılımına uyar:

βj − βjse(βj)

∼ tn−k−1

t testi H0 : βj = β∗j gibi tek kısıt iceren testlerin yapılmasındakullanılır.

t Testi

Tek Yanlı Anlamlılık Testi (Sag kuyruk)

H0 : βj = 0

H1 : βj > 0

Bos (null) hipotez sunu soyluyor:x1, x2, . . . , xj−1, xj+1, . . . , xk’nin etkileri kontrol edildiktensonra xj ’nin y’nin beklenen degeri uzerindeki etkisi sıfırdır.Test istatistigi:

tβj =βj

se(βj)∼ tn−k−1

Karar kuralı: Hesaplanan tβj test istatistigi ilgili anlamlılık

duzeyindeki kritik degerden (c) buyukse H0 reddedilir.

tβj > c, ise H0 RED

t Testi

H0 : βj = 0

H1 : βj > 0

tβj =βj

t Testi

H0 : βj = 0

H1 : βj > 0

tβj =βj

t Testi

H0 : βj = 0

H1 : βj > 0

tβj =βj

28 serbestlik derecesinde sag kuyruk testi icin %5duzeyinde karar kuralı

t Testi

Tek Yanlı Anlamlılık Testi (Sol kuyruk)

H0 : βj = 0

H1 : βj < 0

Test istatistigi:

tβj =βj

duzeyindeki kritik degerden (−c) kucukse H0 reddedilir.

tβj < −c, ise H0 RED

t Testi

H0 : βj = 0

H1 : βj < 0

Test istatistigi:

tβj =βj

t Testi

H0 : βj = 0

H1 : βj < 0

Test istatistigi:

tβj =βj

Sol kuyruk testi icin karar kuralı, s.d.=18

t Testi

Iki Taraflı Anlamlılık Testi

H0 : βj = 0

H1 : βj 6= 0

Test istatistigi:

tβj =βj

Karar kuralı: Hesaplanan |tβj | test istatistigi ilgili anlamlılık

duzeyindeki kritik degerden (c = tn−k−1,α/2) buyukse H0

reddedilir.|tβj | > c, ise H0 RED

Isaretin ne olacagına dair teorik on kabul yoksa bu alternatifhipotez formulasyonu kullanılabilir.

t Testi

H0 : βj = 0

H1 : βj 6= 0

Test istatistigi:

tβj =βj

t Testi

H0 : βj = 0

H1 : βj 6= 0

Test istatistigi:

tβj =βj

t Testi

H0 : βj = 0

H1 : βj 6= 0

Test istatistigi:

tβj =βj

Iki taraflı karsı hipotez icin %5 anlamlılık duzeyinde kararkuralı, s.d.(df)=25

t Testi: Ornekler

Logaritmik Saat Basına Ucret Denklemi: wage1.gdt

log(wage) = 0.284(0.104)

+ 0.092(0.007)

educ + 0.004(0.0017)

exper + 0.022(0.003)

tenure

n = 526 R2 = 0.316

(standart hatalar parantez icindedir)

Tecrube (exper) degiskeni istatistik bakımından anlamlı mı?H0 : βexper = 0 vs. H1 : βexper > 0Hesaplanan t-istatistigi: tβj = 0.004/0.0017 = 2.41

%5 anlamlılık duzeyinde tek taraflı kritik deger c0.05 = 1.645,%1 anlamlılık duzeyinde tek taraflı kritik deger c0.01 = 2.326,s.d. = 526-4=522tβj > 2.326 oldugundan H0 reddedilebilir. Exper degiskeni %1

duzeyinde anlamlıdır. βexper %1 anlamlılık duzeyinde istatistikbakımından sıfırdan buyuktur.

t Testi: Ornekler

log(wage) = 0.284(0.104)

+ 0.092(0.007)

educ + 0.004(0.0017)

exper + 0.022(0.003)

tenure

n = 526 R2 = 0.316

t Testi: Ornekler

log(wage) = 0.284(0.104)

+ 0.092(0.007)

educ + 0.004(0.0017)

exper + 0.022(0.003)

tenure

n = 526 R2 = 0.316

t Testi: Ornekler

log(wage) = 0.284(0.104)

+ 0.092(0.007)

educ + 0.004(0.0017)

exper + 0.022(0.003)

tenure

n = 526 R2 = 0.316

t Testi: Ornekler

log(wage) = 0.284(0.104)

+ 0.092(0.007)

educ + 0.004(0.0017)

exper + 0.022(0.003)

tenure

n = 526 R2 = 0.316

t Testi: Ornekler

Ogrenci performansı ve okul buyuklugu: meap93.gdt

math10 = 2.274(6.114)

+ 0.00046(0.0001)

totcomp + 0.048(0.0398)

staff− 0.0002(0.00022)

enroll

n = 408 R2 = 0.0541

math10: matematik sınav sonucları (ogrenci performansı), totcomp:ogretmenlere odenen yıllık ucret ve diger odemeler, staff: 1000 ogrenci basınaogretmen sayısı, enroll: ogrenci sayısı (okul buyuklugu)

Okul buyuklugu (enroll) degiskeni istatistik bakımındananlamlı mı? H0 : βenroll = 0 vs. H1 : βenroll < 0Hesaplanan t-istatistigi: tβj = −0.0002/0.00022 = −0.91%5 anlamlılık duzeyinde tek taraflı kritik deger c0.05 = −1.645tβj > −1.645 oldugundan H0 reddedilemez.

βenroll %5 anlamlılık duzeyinde istatistik bakımından sıfırdanfarklı degildir (anlamsızdır).

t Testi: Ornekler

math10 = 2.274(6.114)

+ 0.00046(0.0001)

totcomp + 0.048(0.0398)

staff− 0.0002(0.00022)

enroll

n = 408 R2 = 0.0541

t Testi: Ornekler

math10 = 2.274(6.114)

+ 0.00046(0.0001)

totcomp + 0.048(0.0398)

staff− 0.0002(0.00022)

enroll

n = 408 R2 = 0.0541

t Testi: Ornekler

math10 = 2.274(6.114)

+ 0.00046(0.0001)

totcomp + 0.048(0.0398)

staff− 0.0002(0.00022)

enroll

n = 408 R2 = 0.0541

t Testi: Ornekler

math10 = 2.274(6.114)

+ 0.00046(0.0001)

totcomp + 0.048(0.0398)

staff− 0.0002(0.00022)

enroll

n = 408 R2 = 0.0541

t Testi: Ornekler

math10 = 2.274(6.114)

+ 0.00046(0.0001)

totcomp + 0.048(0.0398)

staff− 0.0002(0.00022)

enroll

n = 408 R2 = 0.0541

t Testi: Ornekler

Ogrenci performansı ve okul buyuklugu: Level-Log modeli

math10 = −207.67(48.7)

+ 21.16(4.06)

ltotcomp + 3.98(4.19)

lstaff− 1.27(0.69)

lenroll

n = 408 R2 = 0.065

Okul buyuklugu (enroll) degiskeni istatistik bakımındananlamlı mı? H0 : βenroll = 0 vs. H1 : βenroll < 0

Hesaplanan t-istatistigi: tβj = −1.27/0.69 = −1.84%5 anlamlılık duzeyinde tek taraflı kritik deger c0.05 = −1.645tβj < −1.645 oldugundan H0, H1 lehine reddedilir.

βenroll %5 anlamlılık duzeyinde istatistik bakımından sıfırdanfarklıdır (sıfırdan kucuktur).

t Testi: Ornekler

math10 = −207.67(48.7)

+ 21.16(4.06)

ltotcomp + 3.98(4.19)

lstaff− 1.27(0.69)

lenroll

n = 408 R2 = 0.065

t Testi: Ornekler

math10 = −207.67(48.7)

+ 21.16(4.06)

ltotcomp + 3.98(4.19)

lstaff− 1.27(0.69)

lenroll

n = 408 R2 = 0.065

t Testi: Ornekler

math10 = −207.67(48.7)

+ 21.16(4.06)

ltotcomp + 3.98(4.19)

lstaff− 1.27(0.69)

lenroll

n = 408 R2 = 0.065

t Testi: Ornekler

math10 = −207.67(48.7)

+ 21.16(4.06)

ltotcomp + 3.98(4.19)

lstaff− 1.27(0.69)

lenroll

n = 408 R2 = 0.065

t Testi: Ornekler

math10 = −207.67(48.7)

+ 21.16(4.06)

ltotcomp + 3.98(4.19)

lstaff− 1.27(0.69)

lenroll

n = 408 R2 = 0.065

t Testi: Ornekler

Universite Basarısını Belirleyen Faktorler

colGPA = 1.389(0.331)

+ 0.412(0.094)

hsGPA + 0.015(0.011)

ACT− 0.083(0.026)

skipped

n = 141 R2 = 0.23

skipped: haftada kacırılan ortalama ders sayısı

Iki taraflı alternatif ile hangi katsayılar istatistik bakımındananlamlıdır?%5 anlamlılık duzeyinde iki taraflı kritik deger c0.025 = 1.96.Serbestlik derecesi, dof=141-4=137, standart normaldagılımın kritik degerleri kullanılabilir.thsGPA = 4.38: hsGPA istatistik bakımından anlamlı.tACT = 1.36: ACT istatistik bakımından anlamsız.tskipped = −3.19: skipped istatistik bakımından anlamlı (%1duzeyinde bile anlamlı, c = 2.58).

t Testi: Ornekler

colGPA = 1.389(0.331)

+ 0.412(0.094)

hsGPA + 0.015(0.011)

ACT− 0.083(0.026)

skipped

n = 141 R2 = 0.23

t Testi: Ornekler

colGPA = 1.389(0.331)

+ 0.412(0.094)

hsGPA + 0.015(0.011)

ACT− 0.083(0.026)

skipped

n = 141 R2 = 0.23

t Testi: Ornekler

colGPA = 1.389(0.331)

+ 0.412(0.094)

hsGPA + 0.015(0.011)

ACT− 0.083(0.026)

skipped

n = 141 R2 = 0.23

t Testi: Ornekler

colGPA = 1.389(0.331)

+ 0.412(0.094)

hsGPA + 0.015(0.011)

ACT− 0.083(0.026)

skipped

n = 141 R2 = 0.23

t Testi: Ornekler

colGPA = 1.389(0.331)

+ 0.412(0.094)

hsGPA + 0.015(0.011)

ACT− 0.083(0.026)

skipped

n = 141 R2 = 0.23

βj’nin Sıfırdan Farklı Degerler icin Testi

t Testi

Bos HipotezH0 : βj = aj

uygun test istatistigi

t =βj − ajse(βj)

∼ tn−k−1

t =tahmin− hipotez degeri

standart hata

t istatistigi tahmin degerinin hipotez degerinden kac standartsapma uzaklıkta oldugunu olcmektedir.

Karar kuralı: alternatif hipotezin turune gore (sag kuyruk, solkuyruk, iki kuyruklu) onceki durumlarla aynıdır.

t Testi

∼ tn−k−1

standart hata

t Testi

∼ tn−k−1

standart hata

βj’nin Sıfırdan Farklı Degerler icin Testi: Ornek

Universite buyuklugu ve kampus suclar: campus.gdt

crime = exp(β0)enrollβ1 exp(u)

Dogal logaritması alınırsa:

log(crime) = β0 + β1 log(enroll) + u

Veri seti: ABD’deki 97 universiteye iliskin ogrenci sayısı ve sucsayısı

crime: universite kampuslerinde islenen suc sayısı, enroll:ogrenci sayısı

Test: H0 : β1 = 1, H1 : β1 > 1

Suc modelinin grafigi: crime = enrollβ1

Universite buyuklugu ve kampus sucları: campus.gdt

log(crime) = −6.63(1.03)

+ 1.27(0.11)

log(enroll)

n = 97 R2 = 0.585

Test: H0 : β1 = 1, H1 : β1 > 1

Test istatistigi

t =1.27− 1

0.11≈ 2.45 ∼ t95

%5 duzeyinde kritik deger, c=1.66 (dof = 120 icin), H0 Red

Bu modelde hangi faktorler sabit tutulmustur? Ceteris paribusetkinin dogru olculdugu soylenebilir mi?

log(crime) = −6.63(1.03)

+ 1.27(0.11)

log(enroll)

n = 97 R2 = 0.585

Test: H0 : β1 = 1, H1 : β1 > 1

Test istatistigi

t =1.27− 1

0.11≈ 2.45 ∼ t95

log(crime) = −6.63(1.03)

+ 1.27(0.11)

log(enroll)

n = 97 R2 = 0.585

Test: H0 : β1 = 1, H1 : β1 > 1

Test istatistigi

t =1.27− 1

0.11≈ 2.45 ∼ t95

log(crime) = −6.63(1.03)

+ 1.27(0.11)

log(enroll)

n = 97 R2 = 0.585

Test: H0 : β1 = 1, H1 : β1 > 1

Test istatistigi

t =1.27− 1

0.11≈ 2.45 ∼ t95

log(crime) = −6.63(1.03)

+ 1.27(0.11)

log(enroll)

n = 97 R2 = 0.585

Test: H0 : β1 = 1, H1 : β1 > 1

Test istatistigi

t =1.27− 1

0.11≈ 2.45 ∼ t95

Hava Kirliligi ve Ev Fiyatları: hprice2.gdt

Bagımlı degisken: o bolgedeki evlerin medyan fiyatınınlogaritması(log(price))Acıklayıcı degiskenler:log(nox): bolgedeki hava kirliligi olcutunun logaritması,log(dist): bolgenin is merkezlerine uzaklıgının logaritması,rooms: bolgedeki evlerin ortalama oda sayısı,stratio: ortalama ogrenci-ogretmen oranı

Test: H0 : βlog(nox) = −1, H1 : βlog(nox) 6= −1Tahmin degeri: βlog(nox) = −0.954, standart hata = 0.117

Test istatistigi:

t =−0.954− (−1)

0.117=−0.954 + 1

0.117≈ 0.39 ∼ t501 ∼ N(0, 1)

%5 duzeyinde cift taraflı kritik deger, c=1.96, H0

Reddedilemez

Test istatistigi:

t =−0.954− (−1)

0.117=−0.954 + 1

0.117≈ 0.39 ∼ t501 ∼ N(0, 1)

Reddedilemez

Test istatistigi:

t =−0.954− (−1)

0.117=−0.954 + 1

0.117≈ 0.39 ∼ t501 ∼ N(0, 1)

Reddedilemez

Test istatistigi:

t =−0.954− (−1)

0.117=−0.954 + 1

0.117≈ 0.39 ∼ t501 ∼ N(0, 1)

Reddedilemez

Test istatistigi:

t =−0.954− (−1)

0.117=−0.954 + 1

0.117≈ 0.39 ∼ t501 ∼ N(0, 1)

Reddedilemez

t Testi icin p-degerinin Hesaplanması

Farklı anlamlılık duzeyleri (%1, %5, %10 gibi), bir baskaifadeyle, farklı 1. tip hata payları, icin test yapacagımıza,hesaplanan t degeri icin H0’ı reddedebilecegimiz en dusukanlamlılık duzeyini (α) belirleyebiliriz.

Iste bu en dusuk α duzeyine p-degeri (p-value) denir.

Standart regresyon paketlerinde otomatik olarak hesaplananp-degerleri H0 : βj = 0 bos hipotezinin iki taraflı testi icinhesaplanmıs p degerleridir.

Bu sekilde hesaplanmıs p-degeri, ilgili t dagılımındahesaplanan t istatistiginin mutlak degerinden daha buyuk birsayı cekmenin olasılıgını verir.

p-degeri ne kadar kucukse H0 aleyhinde kanıt o kadargucludur. Bu durumda bos hipotez daha kolay reddedilebilir.

p-degeri: Ornek Grafiksel Gosterim

Buyuk standart hatalar ve kucuk t degerleri

Ornek hacmi (n) arttıkca βj ’ların varyansları ve dolayısıyla dastandart hataları duser. Yani, cok daha kesin bir sekildetahmin yapılabilir.

Bu nedenle, n buyukken kucuk anlamlılık duzeyleri (%1 gibi)ile test yapmak daha uygundur. n kucukken α’yı %10’a kadardusurerek test yapabiliyoruz.

Buyuk standart hataların diger bir nedeni bazı x’ler arasındakiyuksek coklu-bagıntıdır (high multicollinearity).

Yuksek coklu-bagıntı durumunda daha fazla gozlem toplamakdısında yapabilecegimiz cok fazla bir sey yoktur.

Ekonomik ve istatistiksel anlamlılıgın yorumlanmasındabazı ilkeler

Oncelikle degiskenin istatistik bakımından anlamlı olupolmadıgı kontrol edilmelidir. Eger anlamlı ise (statisticallysignificant) katsayı tahmininin buyuklugunden hareketleekonomik anlamlılık tartısılabilir.Bu tartısma ozenle yapılmalıdır. Ozellikle olcu birimlerine, logdonusturmesi olup olmadıgına dikkat edilmelidir.Eger bir degisken geleneksel duzeylerde (%1, %5, %10)anlamlı olmasa bile, y uzerindeki etkisinin buyuklugunebakılabilir. Bu etki buyukse p-degeri hesaplanıp yorumlanabilir.Kucuk t-oranlarına sahip degiskenlerin yanlıs isarete sahipolmalarına sık rastlanır. Boyle durumda degiskenin etkisianlamsız oldugundan yorumlanmaz.Katsayı tahmini ekonomik ve istatistiksel acıdan anlamlı fakatyanlıs isaretli bir degiskenin yorumlanması daha zordur. Budurumda model spesifikasyonu ve veri problemleri uzerindedurulması gerekebilir.

Guven Aralıkları

Klasik regresyon modeli varsayımları altında populasyonparametreleri icin guven aralıkları olusturulabilir.

Asagıdaki oranın n− k − 1 serbestlik derecesi ile t dagılımınauydugunu biliyoruz:

tβj =βj

Bu oranı kullanarak %100(1− α) guven aralıgı su sekildeolusturulabilir:

βj ± c · se(βj)

Alt ve ust guven sınırları, sırasıyla:

βj ≡ βj − c · se(βj), βj ≡ βj + c · se(βj)

Guven Aralıkları

tβj =βj

βj ± c · se(βj)

Guven Aralıkları

tβj =βj

βj ± c · se(βj)

Guven Aralıkları

tβj =βj

βj ± c · se(βj)

Guven Aralıgının Yorumu

[βj − c · se(βj), βj + c · se(βj)]

Istatistik dersinde ogrendigimiz guven aralıgı yorumunu buradada yapacagız.

Olanaklı tum orneklemleri ceksek ve her orneklem icinregresyon tahmin edip, ilgili populasyon katsayısı icin guvenaralıkları olustursak, bu guven aralıklarının %100(1−α) kadarıdogru parametre degerini icerecektir.

Ornegin 100 guven aralıgından 95’inin dogru parametreyiicerdigini soyleriz. Burada α/2 = 0.025 olduguna dikkat ediniz.

Pratikte elimizde sadece bir guven aralıgı vardır ve biz dogrudegerin bu aralık icinde olup olmadıgını bilmeyiz.

Guven aralıklarını hesaplayabilmek icin uc buyukluge ihtiyacvardır: katsayı tahmini, katsayı tahmininin standart hatası vekritik deger.

Ornegin sd=25 ve %95 guven duzeyi ile herhangi bir anakutleparametresi icin guven aralıgı

[βj − 2.06 · se(βj), βj + 2.06 · se(βj)]

n− k − 1 > 50 ise %95 guven aralıgı kısa yoldanβj ± 2 · se(βj) formulu ile bulunabilir.

Asagıdaki hipotezi test etmek istedigimizi dusunelim:

H0 : βj = aj

H1 : βj 6= aj

H0 ancak ve ancak %95 guven aralıgı aj ’yi icermiyorsa %5anlamlılık duzeyinde H1 lehine reddedilebilir.

[βj − 2.06 · se(βj), βj + 2.06 · se(βj)]

H0 : βj = aj

H1 : βj 6= aj

[βj − 2.06 · se(βj), βj + 2.06 · se(βj)]

H0 : βj = aj

H1 : βj 6= aj

[βj − 2.06 · se(βj), βj + 2.06 · se(βj)]

H0 : βj = aj

H1 : βj 6= aj

[βj − 2.06 · se(βj), βj + 2.06 · se(βj)]

H0 : βj = aj

H1 : βj 6= aj

Ornek: Evler icin Hedonik Fiyat Modeli

Bir malın fiyatının o malın karakteristikleriyle acıklanmasıhedonik fiyat modelinin olusturur.

Ornegin bir bilgisayarın fiyatını o bilgisayarın fiziksel ozellikleri(CPU gucu, RAM ve goruntu kartının buyuklugu, vs.)

Bir evin degerini belirleyen bir cok ozelligi bulunur: buyuklugu,oda sayısı, sehir merkezine, parklara ve okullara uzaklıgı, vs.

Bagımlı degisken: log(price): ev fiyatlarının dogal logaritması

Acıklayıcı degiskenler: sqrft (square footage) evin buyuklugu,footkare cinsinden 1 square foot = 0.09290304 m2, yani100m2 yaklasık 1076 ftsq, bdrms: evdeki oda sayısı, bthrms:banyo sayısı

Tahmin Sonucları

log(price) = 7.46(1.15)

+ 0.634(0.184)

log(sqrft)− 0.066(0.059)

bdrms + 0.158(0.075)

bthrms

n = 19 R2 = 0.806

Hem price hem de sqrft logaritmik oldugundan ilgili katsayıbize esnekligi verir: Oda ve banyo sayısı sabitken evinbuyuklugu %1 artarsa fiyatlar %0.634 artar.sd=n-k-1=19-3-1=15 oldugundan t15 dagılımının 97.5nciyuzdelik degeri c=2.131 olur. Buradan %95 guven aralıgı

0.634± 2.131 · (0.184)⇒ [0.242, 1.026]

Bu aralık sıfırı icermediginden katsayının anlamsız oldugunusoyleyen bos hipotez reddedilir.Oda sayısı (bdrms) katsayısı beklentilerimizin aksine (−)isaretli cıkmıs. Neden?

Tahmin Sonucları

log(price) = 7.46(1.15)

+ 0.634(0.184)

log(sqrft)− 0.066(0.059)

bdrms + 0.158(0.075)

bthrms

n = 19 R2 = 0.806

0.634± 2.131 · (0.184)⇒ [0.242, 1.026]

Tahmin Sonucları

log(price) = 7.46(1.15)

+ 0.634(0.184)

log(sqrft)− 0.066(0.059)

bdrms + 0.158(0.075)

bthrms

n = 19 R2 = 0.806

0.634± 2.131 · (0.184)⇒ [0.242, 1.026]

Tahmin Sonucları

log(price) = 7.46(1.15)

+ 0.634(0.184)

log(sqrft)− 0.066(0.059)

bdrms + 0.158(0.075)

bthrms

n = 19 R2 = 0.806

0.634± 2.131 · (0.184)⇒ [0.242, 1.026]

Tahmin Sonucları

log(price) = 7.46(1.15)

+ 0.634(0.184)

log(sqrft)− 0.066(0.059)

bdrms + 0.158(0.075)

bthrms

n = 19 R2 = 0.806

0.634± 2.131 · (0.184)⇒ [0.242, 1.026]

Tahmin Sonucları

log(price) = 7.46(1.15)

+ 0.634(0.184)

log(sqrft)− 0.066(0.059)

bdrms + 0.158(0.075)

bthrms

n = 19 R2 = 0.806

βbdrms icin %95 guven aralıgı [−0.192, 0.006] olarakbulunmustur.Bu guven aralıgı sıfırı icerdiginden bdrms degiskeninin evfiyatları uzerindeki etkisinin istatistik bakımından anlamsızoldugunu soyleyebiliriz.Bthrms: banyo sayısı bir arttıgında ev fiyatlarının ortalamadayaklasık %100(0.158)=%15.8 artacagı tahmin edilmektedir.Bu degisken icin %95 guven aralıgı [−0.002, 0.318] olarakbulunmustur. Teknik acıdan sıfırı icerdiginden anlamsız oldugusoylenebilir. P-degerini hesaplayıp yorumlamak daha dogruolur.

Tahmin Sonucları

log(price) = 7.46(1.15)

+ 0.634(0.184)

log(sqrft)− 0.066(0.059)

bdrms + 0.158(0.075)

bthrms

n = 19 R2 = 0.806

Tahmin Sonucları

log(price) = 7.46(1.15)

+ 0.634(0.184)

log(sqrft)− 0.066(0.059)

bdrms + 0.158(0.075)

bthrms

n = 19 R2 = 0.806

Tahmin Sonucları

log(price) = 7.46(1.15)

+ 0.634(0.184)

log(sqrft)− 0.066(0.059)

bdrms + 0.158(0.075)

bthrms

n = 19 R2 = 0.806

Tahmin Sonucları

log(price) = 7.46(1.15)

+ 0.634(0.184)

log(sqrft)− 0.066(0.059)

bdrms + 0.158(0.075)

bthrms

n = 19 R2 = 0.806

Parametrelerin tek bir dogrusal kombinasyonuna iliskinhipotez testleri

Universitede okunan bir yılla yuksek okulda okunan bir yılınucrete katkısı (getirisi) aynı mıdır?

log(wage) = β0 + β1jc+ β2univ + β3exper + u

jc: yuksekokulda (junior college) okunan yıl sayısı, univ: dortyıllık universitede okunan yıl sayısı, exper: tecrube (yıl)

Ilgilendigimiz bos hipotez sudur:

H0 : β1 = β2 ⇔ β1 − β2 = 0

Alternatif hipotez

H0 : β1 < β2 ⇔ β1 − β2 < 0

H0 : β1 = β2 ⇔ β1 − β2 = 0

Alternatif hipotez

H0 : β1 < β2 ⇔ β1 − β2 < 0

H0 : β1 = β2 ⇔ β1 − β2 = 0

Alternatif hipotez

H0 : β1 < β2 ⇔ β1 − β2 < 0

Bos hipotez parametrelerin sadece bir lineer kombinasyonunuicerdiginden t testiyle sınanabilir:

t =β1 − β2

se(β1 − β2)

Paydada yer alan standart hata ilgili lineer kombinasyonunvaryansının karekokudur:

se(β1 − β2) =√

Var(β1 − β2)

Var(β1 − β2) = Var(β1) + Var(β2)− 2Cov(β1, β2)

Bu standart hatanın hesaplanabilmesi icin OLS tahminlerininvaryanslarının yanı sıra kovaryanslarının da bilinmesigerekmektedir.

t =β1 − β2

se(β1 − β2)

se(β1 − β2) =√

Var(β1 − β2)

t =β1 − β2

se(β1 − β2)

se(β1 − β2) =√

Var(β1 − β2)

se(β1 − β2)’nin hesaplanmasında alternatif bir yontemregresyonun yeniden duzenlenerek tahmin edilmesidir.

θ = β1 − β2 diyelim. Bu durumda bos ve alternatif hipotezler:

H0 : θ = 0, H1 : θ < 0

β1 = θ + β2 modelde yerine yazılırsa

y = β0 + (θ + β2)x1 + β2x2 + β3x3 + u

= β0 + θx1 + β2(x1 + x2) + β3x3 + u

H0 : θ = 0, H1 : θ < 0

y = β0 + (θ + β2)x1 + β2x2 + β3x3 + u

= β0 + θx1 + β2(x1 + x2) + β3x3 + u

H0 : θ = 0, H1 : θ < 0

y = β0 + (θ + β2)x1 + β2x2 + β3x3 + u

= β0 + θx1 + β2(x1 + x2) + β3x3 + u

Tahmin Sonucları

log(wage) = 1.43(0.27)

+ 0.098(0.031)

jc + 0.124(0.035)

univ + 0.019(0.008)

n = 285 R2 = 0.243

se regresyonu tahmin Sonucları

log(wage) = 1.43(0.27)

− 0.026(0.018)

jc + 0.124(0.035)

totcoll + 0.019(0.008)

n = 285 R2 = 0.243

Not: totcoll = jc+ univ. se(θ) = se(β1 − β2) = 0.018.t istatistigi: t = −0.026/0.018 = −1.44, p-degeri= 0.075Cok guclu olmasa da H0 aleyhine kanıt oldugu soylenebilir.Universitede okunan bir yılın getirisi yuksekokulda okunan biryılın getirisinden daha fazladır.

Tahmin Sonucları

log(wage) = 1.43(0.27)

+ 0.098(0.031)

jc + 0.124(0.035)

univ + 0.019(0.008)

n = 285 R2 = 0.243

log(wage) = 1.43(0.27)

− 0.026(0.018)

jc + 0.124(0.035)

totcoll + 0.019(0.008)

n = 285 R2 = 0.243

Tahmin Sonucları

log(wage) = 1.43(0.27)

+ 0.098(0.031)

jc + 0.124(0.035)

univ + 0.019(0.008)

n = 285 R2 = 0.243

log(wage) = 1.43(0.27)

− 0.026(0.018)

jc + 0.124(0.035)

totcoll + 0.019(0.008)

n = 285 R2 = 0.243

Tahmin Sonucları

log(wage) = 1.43(0.27)

+ 0.098(0.031)

jc + 0.124(0.035)

univ + 0.019(0.008)

n = 285 R2 = 0.243

log(wage) = 1.43(0.27)

− 0.026(0.018)

jc + 0.124(0.035)

totcoll + 0.019(0.008)

n = 285 R2 = 0.243

Tahmin Sonucları

log(wage) = 1.43(0.27)

+ 0.098(0.031)

jc + 0.124(0.035)

univ + 0.019(0.008)

n = 285 R2 = 0.243

log(wage) = 1.43(0.27)

− 0.026(0.018)

jc + 0.124(0.035)

totcoll + 0.019(0.008)

n = 285 R2 = 0.243

Coklu Dogrusal Kısıtların Testi

Regresyondaki t istatistikleri anakitleye ait betaparametrelerinin belli bir sabite esit olup olmadıgını testetmemize yarar.

Parametrelerin tek bir dogrusal kombinasyonunun (kısıtın)belli bir sabite esit olup olmadıgının testini ise, onceki ornektegordugumuz gibi, degiskenleri donusturerek modeli yenidenduzenlemek suretiyle yapıyorduk.

Ancak, su ana kadar hep tek bir kısıtlamaya iliskin testyapıyorduk.

Simdi cok sayıda kısıt varken nasıl test yapacagımızı gorelim.

Dıslama Kısıtları (Exclusion Restrictions)

Regresyonda yer alan bir degiskenler grubunun birlikte yuzerinde anlamlı bir etkisinin olup olmadıgını test etmekistiyoruz.

Ornegin su modelde

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 + β5x5 + u

su hipotezi test etmek istiyoruz:

H0 : β3 = 0, β4 = 0, β5 = 0

H1 : β3 6= 0, β4 6= 0, β5 6= 0

Bos hipotez, x3, x4 ve x5 degiskenlerinin birlikte y uzerindebir etkisinin olmadıgını soylemektedir. Alternatif hipotez en azbirinin sıfırdan farklı oldugunu soylemektedir.

Ornegin su modelde

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 + β5x5 + u

H0 : β3 = 0, β4 = 0, β5 = 0

H1 : β3 6= 0, β4 6= 0, β5 6= 0

Ornegin su modelde

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 + β5x5 + u

H0 : β3 = 0, β4 = 0, β5 = 0

H1 : β3 6= 0, β4 6= 0, β5 6= 0

Kısıtlanmamıs (UnRestricted) Model

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 + β5x5 + u

SSRur, R2ur

Kısıtlanmıs (Restricted) Model

y = β0 + β1x1 + β2x2 + u

SSRr, R2r

H0 dogru kabul edildiginde kısıtlanmıs modele ulasılır.

Her iki model ayrı ayrı tahmin edilerek kalıntı kareleritoplamlarındaki degisim F testi yardımıyla karsılastırılabilir.

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 + β5x5 + u

SSRur, R2ur

y = β0 + β1x1 + β2x2 + u

SSRr, R2r

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 + β5x5 + u

SSRur, R2ur

y = β0 + β1x1 + β2x2 + u

SSRr, R2r

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 + β5x5 + u

SSRur, R2ur

y = β0 + β1x1 + β2x2 + u

SSRr, R2r

Dogrusal Kısıtların Testi

F-test istatistigi

F =(SSRr − SSRur)/qSSRur/(n− k − 1)

∼ Fk,n−k−1

SSRr kısıtlanmıs modelin, SSRur ise kısıtlanmamıs modelinKalıntı Kareleri Toplamıdır.

q = dfr − dfur: toplam kısıt sayısı, payın serbestlik derecesi(kısıtlanmamıs modelin parametre sayısından kısıtlanmısmodelin parametre sayısı cıkarılarak bulunabilir)

Paydanın serbestlik derecesi (dfur) kısıtlanmamıs modelinserbestlik derecesine esittir.

Karar kuralı: F > c ise H0 RED. c, ilgili Fk,n−k−1 dagılımında%100α duzeyindeki kritik degerdir.

F-test istatistigi

∼ Fk,n−k−1

F-test istatistigi

∼ Fk,n−k−1

F-test istatistigi

∼ Fk,n−k−1

F-test istatistigi

∼ Fk,n−k−1

F (3, 60) Dagılımında %5 Red Bolgesi

F Testi

F testi, aralarında yuksek coklu-bagıntı bulunan x’lerintumunun birden model dısında tutulmasının testinde basarıylauygulanabilir.

Ornegin, firmaların basarı performanslarını acıklayıcıdegiskenler olarak kullandıgımızı dusunelim. Boyle bir modeldekullanabilecegimiz performans olcutleri genellikle birbirleriyleiliskili olacaktır.

Bu durumda tek tek t testleri yararlı olmayacaktır,cunku yuksek coklu-bagıntı yuzunden katsayıların standarthataları yuksek cıkacaktır.

F testi uygulayarak, tum performans olcutlerinin birden (aynıanda) model dısına cıkarılmasının SSR’yi ne olcudeyukselttigine bakabiliriz.

F Testi

t ve F Istatistikleri Arasındaki Iliski

Tek bir bagımsız degiskene F testi uygulamak t testi ile aynısonucu (kararı) verir.

Iki taraflı H0 : βj = 0 hipotezi icin F testi hesaplanırsa, q = 1olur ve asagıdaki iliski gecerlidir:

t2 = F

Iki taraflı alternatif hipotezler icin

t2n−k−1 ∼ F (1, n− k − 1)

Tek parametrenin test edilmesinde t testi daha esnek ve kolaybir yaklasım sunar. t istatistigi ile tek taraflı hipotezleri testetmek mumkundur.

t2 = F

t2n−k−1 ∼ F (1, n− k − 1)

t2 = F

t2n−k−1 ∼ F (1, n− k − 1)

t2 = F

t2n−k−1 ∼ F (1, n− k − 1)

F Testinin R2 Formu

F test istatistigini SSR’ler yerine kısıtlanmıs ve kısıtlanmamısregresyonlardan elde edilen R2’ler cinsinden de yazabiliriz.

Hatırlarsak

SSRr = SST (1−R2r), SSRur = SST (1−R2

F test istatistiginde yerine konarak yeniden duzenlenirse:

F =(R2

ur −R2r)/q

(1−R2ur)/(n− k − 1)

R2ur: Kısıtlanmamıs modelin determinasyon katsayısı

R2r : Kısıtlanmıs modelin determinasyon katsayısı

R2ur ≥ R2

F Testinin R2 Formu

Hatırlarsak

F =(R2

ur −R2r)/q

(1−R2ur)/(n− k − 1)

R2ur ≥ R2

F Testinin R2 Formu

Hatırlarsak

F =(R2

ur −R2r)/q

(1−R2ur)/(n− k − 1)

R2ur ≥ R2

F Testinin R2 Formu

Hatırlarsak

F =(R2

ur −R2r)/q

(1−R2ur)/(n− k − 1)

R2ur ≥ R2

F Testinin R2 Formu

Hatırlarsak

F =(R2

ur −R2r)/q

(1−R2ur)/(n− k − 1)

R2ur ≥ R2

F Testinin R2 Formu

Hatırlarsak

F =(R2

ur −R2r)/q

(1−R2ur)/(n− k − 1)

R2ur ≥ R2

F Testi Ornek

Yeni dogan bebeklerin saglık duzeyi ve anne-babanın egitim duzeyi:bwght.gdt

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 + β5x5 + u

Bagımlı degisken: y = yeni dogan bebek agırlıkları (libre)

Acıklayıcı degiskenler

x1: annenin hamilelik suresince gunde ictigi ortalama sigarasayısıx2: bebegin dogum sırasıx3: ailenin yıllık gelirix4: annenin egitim duzeyi, yılx5: babanın egitim duzeyi, yıl.

Ilgilendigimiz hipotez: H0 : β4 = 0, β5 = 0, annenin vebabanın egitim duzeyleri birlikte bebek agırlıkları uzerinde biretkiye sahip degildir.

F Testi Ornek

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 + β5x5 + u

F Testi Ornek

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 + β5x5 + u

F Testi Ornek

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 + β5x5 + u

F Testi Ornek

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 + β5x5 + u

F Testi Ornek

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 + β5x5 + u

F Testi Ornek

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 + β5x5 + u

F Testi Ornek

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 + β5x5 + u

F Testi Ornek

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 + β5x5 + u

Kısıtlanmamıs Model: bwght.gdt

Model 1: OLS, using observations 1–1388 (n = 1191)Missing or incomplete observations dropped: 197Dependent variable: bwght

Coefficient Std. Error t-ratio p-value

const 114.524 3.72845 30.7163 0.0000cigs −0.595936 0.110348 −5.4005 0.0000parity 1.78760 0.659406 2.7109 0.0068faminc 0.0560414 0.0365616 1.5328 0.1256motheduc −0.370450 0.319855 −1.1582 0.2470fatheduc 0.472394 0.282643 1.6713 0.0949

Mean dependent var 119.5298 S.D. dependent var 20.14124Sum squared resid SSRur 464041.1 S.E. of regression 19.78878R2ur 0.038748 Adjusted R2 0.034692

Kısıtlanmıs Model: bwght.gdt

Model 2: OLS, using observations 1–1191Dependent variable: bwght

Coefficient Std. Error t-ratio p-value

const 115.470 1.65590 69.7325 0.0000cigs −0.597852 0.108770 −5.4965 0.0000parity 1.83227 0.657540 2.7866 0.0054faminc 0.0670618 0.0323938 2.0702 0.0386

Mean dependent var 119.5298 S.D. dependent var 20.14124Sum squared resid SSRr 465166.8 S.E. of regression 19.79607R2r 0.036416 Adjusted R2 0.033981

Bebek Agırlıkları

F istatistigi SSR form

=(465167− 464041)/2

464041/(1191− 5− 1)= 1.4377

F istatistigi R2 form

F =(R2

ur −R2r)/q

(1−R2ur)/(n− k − 1)

=(0.0387− 0.0364)/2

(1− 0.0387)/1185= 1.4376

F(2, 1185) tablosundan %5 kritik deger c=3, %10 kritik deger2.3

Karar: Bu anlamlılık duzeylerinde H0 reddedilemez. Anne vebabanın egitim duzeylerinin dogum agırlıkları uzerinde etkisiyoktur. Baska bir deyisle bu iki degisken birlikte istatistikbakımından anlamsızdır.

=(465167− 464041)/2

464041/(1191− 5− 1)= 1.4377

F =(R2

ur −R2r)/q

(1−R2ur)/(n− k − 1)

=(0.0387− 0.0364)/2

(1− 0.0387)/1185= 1.4376

=(465167− 464041)/2

464041/(1191− 5− 1)= 1.4377

F =(R2

ur −R2r)/q

(1−R2ur)/(n− k − 1)

=(0.0387− 0.0364)/2

(1− 0.0387)/1185= 1.4376

=(465167− 464041)/2

464041/(1191− 5− 1)= 1.4377

F =(R2

ur −R2r)/q

(1−R2ur)/(n− k − 1)

=(0.0387− 0.0364)/2

(1− 0.0387)/1185= 1.4376

Regresyonun Butun Olarak Anlamlılıgı

Bos hipotezimiz sudur: regresyona eklenen acıklayıcıdegiskenlerin y uzerinde birlikte etkisi yoktur:

H0 : β1 = β2 = . . . = βk = 0

Alternatif hipotez: en az biri sıfırdan farklı

Bos hipoteze gore kurulan modelin bir acıklayıcılıgı yoktur. Bubos hipotez altında

y = β0 + u

modelin ulasılır.

Bu bos hipotez F testiyle sınanabilir.

H0 : β1 = β2 = . . . = βk = 0

y = β0 + u

modelin ulasılır.

H0 : β1 = β2 = . . . = βk = 0

y = β0 + u

modelin ulasılır.

H0 : β1 = β2 = . . . = βk = 0

y = β0 + u

modelin ulasılır.

F test istatistigi

F =R2/k

(1−R2)/(n− k − 1)∼ Fk,n−k−1

Buradaki R2 kısıtlanmamıs modelden elde edilendeterminasyon katsayısıdır.Standart ekonometri paket programları regresyonun butunolarak anlamlılıgını sınayan F istatistigini otomatik olarakhesaplar.Onceki ornekte

F − statistic(5, 1185) = 9.5535(p− value < 0.00001)

P-degeri oldukca kucuk cıkmıstır. Yani H0’ı reddedersek 1.tiphata olasılıgımız cok kucuk olacaktır. Oyleyse H0 guclu birsekilde reddedilir.Regresyonun butununun anlamsız oldugunu soyleyen sıfırhipotezine karsı kanıtlar gucludur. Regresyon bir butun olarakanlamlıdır.

F test istatistigi

F =R2/k

(1−R2)/(n− k − 1)∼ Fk,n−k−1

F test istatistigi

F =R2/k

(1−R2)/(n− k − 1)∼ Fk,n−k−1

F test istatistigi

F =R2/k

(1−R2)/(n− k − 1)∼ Fk,n−k−1

F test istatistigi

F =R2/k

(1−R2)/(n− k − 1)∼ Fk,n−k−1

F test istatistigi

F =R2/k

(1−R2)/(n− k − 1)∼ Fk,n−k−1

Genel Dogrusal Kısıtların Testi

Evlerin ekspertiz degerleri rasyonel mi?: hprice1.gdt

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 + u

Bagımlı degisken: y = log(price)

x1: log(assess), ekspertiz degerinin logaritmasıx2: log(lotsize), evin bulundugu arsanın buyuklugux3: log(sqrft), evin buyuklugux4: bdrms, oda sayısı

Ilgilendigimiz hipotez: H0 : β1 = 1, β2 = 0, β3 = 0, β4 = 0

Evin ekspertiz degerini kontrol ettikten sonra evin ozelliklerininacıklayıcılıgı yoktur. Ev degerlemesi rasyonel yapılmıstır.

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 + u

Kısıtlanmamıs model

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 + u

H0 : β1 = 1, β2 = 0, β3 = 0, β4 = 0 altında kısıtlanmıs model

y = β0 + x1 + u

Kısıtlanmıs model su haliyle tahmin edilebilir:

y − x1 = β0 + u

F testinin adımları aynıdır. Her iki model ayrı ayrı tahminedilerek daha once gordugumuz formuller ve karar kuralıkullanılarak test sonuclandırılır.

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 + u

y = β0 + x1 + u

y − x1 = β0 + u

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 + u

y = β0 + x1 + u

y − x1 = β0 + u

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 + u

y = β0 + x1 + u

y − x1 = β0 + u

Ornek: Ev Degerlemeleri Rasyonel mi?

F test istatistigi

F =(1.880− 1.822)

4= 0.661

%5 duzeyinde F(4,83) kritik degeri, c=2.5

H0 reddedilemez.

Degerlemelerin rasyonel oldugunu soyleyen sıfır hipotezinekarsı kanıt yoktur.

F test istatistigi

F =(1.880− 1.822)

4= 0.661

H0 reddedilemez.

F test istatistigi

F =(1.880− 1.822)

4= 0.661

H0 reddedilemez.

F test istatistigi

F =(1.880− 1.822)

4= 0.661

H0 reddedilemez.

Regresyon sonuclarının sunulması

Tahmin edilen beta katsayılarını, ilgili bagımsız degiskenin vebagımlı degiskenin olcu birimlerini ve regresyona girissekillerini dikkate alarak yorumlayınız.

Katsayıların tek tek (t testi) ve tumu bir arada (F testi)istatistiksel olarak anlamlı olup olmadıklarını gosteriniz.

Betasapkaların standart hatalarını (se) katsayıların altındaveriniz. Bazen t degerleri de verilmektedir. Ancak, t yerinestandart hataları vermek daha dogrudur. Guven aralıklarınıhesaplamak icin standart hatalar gerekecektir.

R2 ve n mutlaka verilmeli. Bazen SSR ve regresyonunstandart hatası (σ) da verilmektedir.

C˘OK DEG IS˘KENL I REGRESYON ANAL IZ I: C˘IKARSAMAtastan/teaching/04.pdf · u’lar y’yi...

Documents

Transcript of C˘OK DEG IS˘KENL I REGRESYON ANAL IZ I: C˘IKARSAMAtastan/teaching/04.pdf · u’lar y’yi...