Clase 4 - Variables Aleatorias

Introduccion Variable Aleatoria Funcion de densidad de probabilidad Funcion de distribucion (acumulada) Esperanza y Varianza de una variable aleatoria

VARIABLES ALEATORIAS

Patricio Salas F.1

1Departamento de EstadısticaUniversidad de Concepcion

Semestre I, 2015


Contenidos

Introduccion

Variable Aleatoria

Funcion de densidad de probabilidad

Funcion de distribucion (acumulada)

Esperanza y Varianza de una variable aleatoriaEsperanzaVarianza


Introduccion

• Suponga que se realiza una encuesta a 50 alumnos de launiversidad: ¿esta de acuerdo con un cambio en la rectorıa dela universidad?

• Para cada uno de los alumnos que responden la encuestadefinimos el valor 1 si es que esta de acuerdo y el valor 0 si esque no lo esta.

• ¿Cual es el espacio muestral de experimento?


Introduccion

• Sin embargo, podemos reducir el tamano del espacio muestralconsiderablemente.

• ¿Que pasa si consideramos solamente los alumnos que estande acuerdo (o bien en desacuerdo) de los 50 alumnos?


Introduccion

• Si definimos como X una variable que sea el numero dealumnos que estan de acuerdo con el cambio de rectorıa en laUniversidad. ¿Cual es el espacio muestral?

• Con la definicion de X lo que hemos hecho ha sido un mapeodesde el espacio muestral original a un nuevo espaciomuestral, usualmente un subconjunto de los numeros enteros.


DefinicionVariable aleatoria

DefinicionUna variable aleatoria X es una funcion desde el espacio muestralS hacia los numeros reales:

X : S → IR

: si → X (si ) = x



• Por ejemplo, suponga que se lanza una moneda 3 veces.¿Cual es el espacio muestral S del experimento?

• Definamos ahora la variable X como el numero de caras queaparecen en el lanzamiento de las tres monedas.

• ¿Que valores posibles puede tomar la variable X?



Ejemplos

Ejemplos de variables aleatorias son:

• suma de los numeros que aparecen en las caras en ellanzamiento de dos dados.

• numero de caras en el lanzamiento de una moneda 40 veces

• cantidad de nitrogeno aplicado a una cierta plantacion


DefinicionRecorrido

• Definida la variable aleatoria X , decimos que el recorrido dela variable X , denotado por RX , corresponde a todos losvalores posibles de la variable X .

• En el caso del ejemplo de la encuesta, el recorrido de lavariable X=numero de alumnos que esta a favor de un cambiode rectorıa esta dado por

RX = {0, 1, . . . , 50}


DefinicionTipos de variables aleatorias

• Dependiendo de cual es el recorrido de la v.a. numerica X ,podemos clasificarla en dos grupos:

• V.A. Discreta: si el recorrido de X es un conjunto finito oinfinito numerable.

• V.A. Continua: si el recorrido de X es un conjunto nocontable.



• Ejemplos de v.a. discretas y continuas son:• Tiempo de vida de un smartphone(meses)

• Numero de asignaturas que esta cursando un alumno estesemestre.

• Numero de sismos que ocurren por dıa• Largo de un cable del tendido electrico.



• Ejemplos de v.a. discretas y continuas son:• Tiempo de vida de un smartphone(meses)• Numero de asignaturas que esta cursando un alumno este

semestre.

• Numero de sismos que ocurren por dıa• Largo de un cable del tendido electrico.




semestre.• Numero de sismos que ocurren por dıa

• Largo de un cable del tendido electrico.




semestre.• Numero de sismos que ocurren por dıa• Largo de un cable del tendido electrico.


DefinicionFuncion de densidad de probabilidad

• En la definicion de variable aleatoria, definimos un nuevoespacio muestral (el recorrido de la variable)

• ¿Como calculamos probabilidades sobre la variable aleatoriaX?



Caso discreto

• Suponga que el espacio muestral de un experimento es S conelementos S = {s1, s2, . . . , sn}

• Sea X una variable aleatoria definida sobre el espacio muestralS , con recorrido RX = {x1, x2, . . . , xm}, es decir X es una v.a.discreta.

• En el caso que X sea una v.a. discreta, decimos queobservamos el valor X = xi si y solo si el resultado delexperimento aleatorio es un valor sj ∈ S tal que

X (sj) = xi



Caso discreto

• Definimos la funcion de probabilidad de X , denotada porPX (·) como

PX (·) : RX → [0, 1]

: xi → P(X = xi ) ∈ [0, 1]

dondeP(X = xi ) = P({sj ∈ S : X (sj) = xi})


Funcion de densidad de probabilidadEjemplo

Example

Se lleva a cabo el experimento de lanzar una moneda 3 veces y seregistra la cara que muestra la moneda luego de ser lanzada.Se define la variable X como el numero de caras en los 3lanzamientos. Defina el recorrido de X y su funcion deprobabilidad.


Funcion de densidad de probabilidadPropiedades

• Note que en el caso anterior, la funcion de probabilidad de Xcumple con las siguientes propiedades:

• P(X = x) ≥ 0 ∀x ∈ RX

•∑

x∈RXP(X = x) = 1



Caso continuo

• En el caso de que X sea una v.a. continua, la funcion dedensidad de X , fX (x), es una funcion tal que

• fX (x) ≥ 0 ∀x ∈ RX

•∫∞−∞ fX (x) = 1



Caso continuo

• Si A es un subconjunto de RX , entonces la probabilidad deque el evento A ocurra la calculamos de la siguiente manera:

PX (·) : RX → [0, 1]

: X (s)→ PX (A) ∈ [0, 1]

donde

PX (A) = P({s ∈ S : X (s) ∈ A}) =

∫Af (x)dx


Funcion de densidad de probabilidadEjemplo

Example

Sea X el tiempo de vida (anos) de un smartphone fabricado por laempresa ACME. La funcion de densidad de X esta definida por

fX (x) = 2.5e−2.5x x > 0

¿Cual es la probabilidad que uno de los smartphone fabricados porla empresa dure a lo mas 1.5 anos?



Propiedades

• Note que, cualquiera sea la v.a. X , discreta o continua, lafuncion de densidad de probabilidad P(·) o fX (x) debecumplir las siguientes dos propiedades:

V.A. Discreta V.A. Continua

1) P(X = x) ≥ 0 ∀x ∈ RX f (x) ≥ 0 ∀x ∈ RX

2)∑

x∈RXP(X = x) = 1

∫ +∞−∞ f (x)dx = 1



Example

Verifiquemos que las funciones de probabilidad de las variables delos dos ejemplos anteriores, efectivamente cumplen con laspropiedades de una funcion de densidad de probabilidad.


DefinicionFuncion de distribucion acumulada

• A cada variable aleatoria X , asociamos una funcion llamadaFuncion de Distribucion Acumulada.

Funcion de distribucion acumuladaLa funcion de distribucion de la variable aleatoria X , denotada porFX (x), esta definida por:

FX (x) = P(X ≤ x) ∀x ∈ RX


Funcion de distribucion acumulada

Example

Caso discreto:Obtengamos la funcion de distribucion acumulada de la variablealeatoria que cuenta el numero de caras en el lanzamiento de 3monedas.

Recordemos que RX = {0, 1, 2, 3} , ademasPX (x = {0, 1, 2, 3}) = (0.125, 0.375, 0.375, 0.125)Realicemos la grafica de la funcion de distribucion acumulada deesta variable aleatoria.Caso continuo:Obtengamos la funcion de distribucion acumulada del tiempo devida de un smartphone. Realicemos la grafica de la funcion.



Example

Caso discreto:Obtengamos la funcion de distribucion acumulada de la variablealeatoria que cuenta el numero de caras en el lanzamiento de 3monedas.Recordemos que RX = {0, 1, 2, 3} , ademas

PX (x = {0, 1, 2, 3}) = (0.125, 0.375, 0.375, 0.125)Realicemos la grafica de la funcion de distribucion acumulada deesta variable aleatoria.Caso continuo:Obtengamos la funcion de distribucion acumulada del tiempo devida de un smartphone. Realicemos la grafica de la funcion.



Example

Caso discreto:Obtengamos la funcion de distribucion acumulada de la variablealeatoria que cuenta el numero de caras en el lanzamiento de 3monedas.Recordemos que RX = {0, 1, 2, 3} , ademasPX (x = {0, 1, 2, 3}) = (0.125, 0.375, 0.375, 0.125)Realicemos la grafica de la funcion de distribucion acumulada deesta variable aleatoria.

Caso continuo:Obtengamos la funcion de distribucion acumulada del tiempo devida de un smartphone. Realicemos la grafica de la funcion.



Example

Caso discreto:Obtengamos la funcion de distribucion acumulada de la variablealeatoria que cuenta el numero de caras en el lanzamiento de 3monedas.Recordemos que RX = {0, 1, 2, 3} , ademasPX (x = {0, 1, 2, 3}) = (0.125, 0.375, 0.375, 0.125)Realicemos la grafica de la funcion de distribucion acumulada deesta variable aleatoria.Caso continuo:Obtengamos la funcion de distribucion acumulada del tiempo devida de un smartphone. Realicemos la grafica de la funcion.


Grafica funcion de distribucion de la variable aleatorianumero de caras en 3 lanzamientos de una moneda

Figure:


Grafica funcion de distribucion de la variable aleatoriatiempo de vida util de los smarthphone

Figure:



Propiedades

La funcion FX (x) es una funcion de distribucion acumulada si ysolo si se cumplen las siguientes 3 condiciones:

• limx→∞ = 1 y limx→−∞ = 0

• FX (x) es una funcion no decreciente, es decir si

x ≤ y ⇒ FX (x) ≤ FX (y)

• FX (x) es continua por la derecha, es decir

limε→0

FX (x + ε) = FX (x)



Example

Verifiquemos que las funciones de distribucion acumuladas de losejemplos anteriores, cumplen con las 3 propiedades recienmencionadas.



Example

Sea X la variable que cuenta el numero de caras que aparecen enel lanzamiento de una moneda 3 veces.

• ¿Cual es la probabilidad que se obtenga al menos 1 cara?

• ¿Cual es la probabilidad que se obtenga a lo mas dos caras?



Example

Sea X la variable mide el tiempo de vida de un smartphonefabricado por la empresa ACME.

• ¿Cual es la probabilidad que un smartphone comprado a laempresa dure entre 1.75 y 4 anos?

• ¿Cual es la probabilidad que un telefono comprado a laempresa deje de funcionar luego de 3 meses?


Contenidos

Introduccion

Variable Aleatoria





DefinicionEsperanza de una variable

• El valor esperado de una variable aleatoria corresponde a suvalor medio.

• El valor medio lo obtenemos ponderado de acuerdo a ladistribucion de probabilidad de la variable.

• Podemos pensar en el valor medio de una distribucion comouna medida central:

pondenrando cada valor de la variable por su probabilidad,esperamos obtener un numero que resuma el valor tıpico oesperado de una variable aleatoria.



• El valor esperado de una variable aleatoria corresponde a suvalor medio.

• El valor medio lo obtenemos ponderado de acuerdo a ladistribucion de probabilidad de la variable.

• Podemos pensar en el valor medio de una distribucion comouna medida central:pondenrando cada valor de la variable por su probabilidad,esperamos obtener un numero que resuma el valor tıpico oesperado de una variable aleatoria.



• El valor esperado de la variable aleatoria X , denotado porE (X ), esta definido por:

E (X ) =

{ ∑x∈RX

xP(X = x) X es discreta∫ +∞−∞ xfX (x)dx X es continua

cuando la integral o suma exista. Si E (X ) =∞ se dice que laesperanza de X no existe.


EjemploEsperanza de una variable

Example

Se sabe que el 25% de los empleados de la empresa ACME ganan$500000, el 16% gana $650000, el 21% gana $810000 y el restogana $1000000.¿Cual es el sueldo esperado de un trabajador de la empresa ACME?


EjemploEsperanza de una variable

Example

La cantidad de anos que un empleado de la empresa ACME haestado trabajando para la empresa es una variable aleatoria confuncion de densidad:

fX (x) =1

200 < x < 20

¿Cual es la cantidad media de anos que un empleado trabaja parala empresa?


Esperanza de una variablePropiedades

• Sean a y b valores reales constantes. Sea X una variablealeatoria con esperanza µX = E (X ) y sea Y otra variablealeatoria con esperanza µY . Se cumple que:

• La esperanza de una constante, es la misma constante:

E (a) = a

• La esperanza es un operador lineal, es decir

Y = a + bX ⇒ E (Y ) = a + bE (X ) = a + bµX

• La esperanza de la suma de v.a. es la suma de las esperanzas:

E (aX + bY ) = aE (X ) + bE (Y ) = aµX + bµY



• Si g(X ) es una funcion de X , entonces podemos calcular laesperanza de g(X ) como:

E [g(X )] =

{ ∑x∈RX

g(x)P(X = x) X es discreta∫∞−∞ g(x)f (x)dx X es continua



Example

El bono marzo de los empleados de la empresa ACME es de$50000. Ademas a cada uno de los empleados se les hace unajuste del sueldo de $15%.¿Cual es el sueldo medio de los empleados de la empresa en el mesde marzo?



Example

El bono marzo de los empleados de la empresa ACME es de$50000. Ademas a cada uno de los empleados se les hace unajuste del sueldo de 15%.¿Cual es el sueldo medio de los empleados de la empresa en el mesde marzo?


Contenidos

Introduccion

Variable Aleatoria





DefinicionVarianza de una variable

• Cada vez que realizamos un experimento, los resultados suelense diferentes:

• cada vez que lanzamos un dado...nos salen diferentes numeros(algunos se van a repetir),

• cuando nos vamos a la casa cada tarde, el tiempo quedemoramos en llegar no es siempre el mismo,

• la cantidad de veces que salimos a carretear con los amigos almes, es diferente...


DefinicionVarianza de una variable

• Una medida que nos permite cuantificar la variabilidad de unproceso es lo que llamamos varianza.

• La varianza de una variable aleatoria X , denotada porσ2X = V (X ), se obtiene como:

σ2X = V (X ) = E

([X − E (X )]2

)= E

([X − µX ]2

)donde

σ2X = V (X ) =

{ ∑x∈RX

(x − µX )2 X es discreta∫∞−∞(x − µX )2f (x)dx X es continua


Varianza de una variablePropiedades

• Obs: Como la varianza queda definida en terminos de launidad de medida al cuadrado de la variable en estudio, parapoder describir la variabilidad del proceso calcularemos la raızcuadrada de la varianza, lo que conocemos como desviacionestandar de X , denotada por σX

σX =√σ2X


Varianza de una variablePropiedades

• Sean a y b constantes en IR. Sea X una variable aleatoria conmedia µX y varianza σ2

X .

• Algunas propiedades de la esperanza son:• Podemos calcular la varianza de X como

σ2X = E (X 2)− E (X )2

• La varianza de una constante es cero,

V (a) = 0

• La varianza de una funcion lineal de X esta dada por

Y = a + bX ⇒ σ2Y = b2V (X ) = b2σ2

X


Varianza de una variableEjemplo

Example

Determine la varianza del sueldo de los trabajadores de la empresaACME en el mes de marzo. Determine la desviacion estandar.Interprete.

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