CINEMATICA DE UNA PARTICULA.ppt

8/20/2019 CINEMATICA DE UNA PARTICULA.ppt

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UNIVERSIDAD NACIONAL

“SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

CURSO: FISICA I

CINEMATICA DE UNAPARTICULA

AUTOR: Mag. Optaciano L. Vásquez García

HUARAZ - PER


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!. !"#RO$U%%!&"

MECANICA

MECÁNICA DEFLUIDOSMECÁNICA DECUERPODEFORMABLE

MECANICA DECUERPO RIGIDOS

DINAMICAESTATICA

CINETICACINEMATICA


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!!. "O%!O" $E %!"EMA#!%A La cine'ática (del griegoκινεω, kineo, movimiento) es la

rama de la mecánica clásica que estudia las leyes delmovimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causasque lo producen, limitándose esencialmente, al estudio de la

trayectoria en función del tiempo.

También se dice que la cinemática estudia la geometría delmovimiento.

n la cinemática se utili!a un sistema de coordenadas para

describir las trayectorias, denominado sistema de referencia.


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!!. ELEME"#O( )A(!%O( $E LA%!"EMA#!%A

*.E(PA%!O A)(OLU#O. s decir, un espacio anterior a todos los ob"etos materiales eindependiente de la e#istencia de estos.

ste espacio es el escenario donde ocurren todos losfenómenos físicos, y se supone que todas las leyes de lafísica se cumplen rigurosamente en todas las regiones de ese

espacio.

l espacio físico se representa en la Mecánica Clásicamediante un espacio puntual euclídeo.


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+.#!EMPO A)(OLU#O

La Mecánica Clásica admite la existencia

de un tiempo absoluto que transcurre delmismo modo en todas las regiones delUniverso y que es independiente de laexistencia de los objetos materiales y de laocurrencia de los fenómenos físicos.


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+.MOV!L l móvil más simple que podemos considerar es el punto material o

partícula.

La partícula es una ideali!ación de los cuerpos que e#isten en la$aturale!a, en el mismo sentido en que lo es el concepto de puntogeométrico.

ntendemos por punto material o partícula a un cuerpo de dimensionestan peque%as que pueda considerarse como puntiforme& de ese modo suposición en el espacio quedará determinada al fi"ar las coordenadas de un

punto geométrico. $aturalmente la posibilidad de despreciar las dimensiones de un cuerpo

estará en relación con las condiciones específicas del problemaconsiderado.


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!!!. RELA#!V!$A$ $EL MOV!M!E"#O studiar el movimiento de un cuerpo quiere decir determinar su

posición en el espacio en función del tiempo, para ello se necesita unsistema de referencia. n el espacio euclidiano un sistema de queda definido por los

elementos siguientes.

a. un origen O, que es un punto del espacio físico.. una ase !ectorial del espacio !ectorial asociado a dic"o espaciofísico.


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!!!. RELA#!V!$A$ $EL MOV!M!E"#O 'ecimos que una partícula se encuentra en mo!imiento con respecto a

un referencial si su posici#n con respecto a $l camia en el transcursodel tiempo.

n caso contrario, si la posición del cuerpo no cambia con respecto alreferencial, el cuerpo está en reposo en dico referencial.

'e las definiciones que acabamos de dar para el movimiento y el reposode un cuerpo, vemos que amos conceptos son relati!os.


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!!!. RELA#!V!$A$ $EL MOV!M!E"#O n la igura emos representado dos

observadores, * y *+, y una partícula. stos observadores utili!an los

referenciales %&' & %(&('(,

respecti!amente. *i * y *+ se encuentran en reposo

entre sí, describirán del mismo modoel movimiento de la partícula . erosi * y *+ se encuentran enmovimiento relativo, susobservaciones acerca del movimientode la partícula serán diferentes.


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!!!. RELA#!V!$A$ $EL MOV!M!E"#O ara el observador en ubicado en la tierra la L-$ describirá una

órbita casi circular en torno a la T/00. ara el observador ubicado en el sol la trayectoria de la luna es una

línea ondulante. $aturalmente, si los observadores conocen sus movimientos

relativos, podrán reconciliar sus observaciones


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!V. MOV!M!E"#O RE%#!L,"EO'ecimos que una partícula tiene un movimiento rectilíneo

cuando su trayectoria medida con respecto a un observadores una línea recta

1. POSICIÓN.

La posición de la par!c"la enc"al#"ier insane #"eda de$inida

por la coordenada % &edida a parirdel ori'en O(

Si % es posii)a la par!c"la selocali*a +acia la derec+a de O , si % es ne'ai)a se locali*a a la i*#"ierda

de O(


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!V. MOV!M!E"#O RE%#!L,"EO2. DESPLAZAMIENTO.

l despla!amiento se define como el cambio de posición. *e representa por el símbolo 1#. *i la posición final de la partícula 2 está la dereca de su posición

inicial , el despla!amiento ∆# es positivo cuando el

despla!amiento es acia la i!quierda 1* es negativo

-

. .- -

x x x

r r r x i xi

∆ = −

∆ = − = −

r r r


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!V. MOV!M!E"#O RE%#!L,"EO3. VELOCIDAD MEDIA

*i la partícula se mueve de a 2 e#perimentando undespla!amiento 1# positivo durante un intervalo de tiempo 1t,entonces, la velocidad media será

/ /

/ 0

. .- -

- -

m

m

x x xv

t t t

r r r x i xi

v t t t t t

−∆= =

∆ −

∆ − −

= = =∆ − −

r r rr


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!V. MOV!M!E"#O RE%#!L,"EO3. VELOCIDAD MEDIA

La velocidad media también puede interpretarsegeométricamente para ello se tra!a una línearecta que une los puntos y 3 como se muestraen la figura. sta línea forma un triángulo dealtura ∆# y base ∆t.

La pendiente de la recta es ∆#4∆t. ntonces lavelocidad media es la pendiente de la recta queune los puntos inicial y final de la gráficaposición5tiempo


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!V. MOV!M!E"#O RE%#!L,"EO

4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA

s la velocidad de la partícula en cualquier instante de tiempo seobtiene llevando al límite la velocidad media es decir, se acecada ve! más peque%o el intervalo de tiempo y por tanto valoresmás peque%os de ∆#. or tanto6

1

1

li&2 3

.li&2 3

t

t

x dxv

t dt r dr dx

v it dt dt

∆ →

∆ →

∆= =

∆∆= = =

∆

r rr


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!V. MOV!M!E"#O RE%#!L,"EO. VELO%!$A$ !"(#A"#"EA

*i una partícula se mueve de a 3. medida que 3 se apro#ima más ymás a los intervalos de tiempo se acen cada ve! menores. medidaque 3 se apro#ima a el intervalo de tiempo tiende a cero tendiendo deesta manera las pendientes a la tangente. or tanto, la velocidadinstantánea en es igual a la pendiente de la recta tangente en el punto

. La velocidad instantánea puede ser positiva (punto ), negativa (punto0) o nula (punto 3) seg7n se trace la pendiente correspondiente


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!V. MOV!M!E"#O RE%#!L,"EO

5. RAPIDEZ MEDIA.

La rapide! media se define como la distancia total de latrayectoria recorrida por una partícula *T, dividida entre eltiempo transcurrido ∆t, es decir,

2 3 T rapS

vt

=∆


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!V. MOV!M!E"#O RE%#!L,"EO6. ACELERACIÓN MEDIA .

*i la velocidad de la partícula al pasar por esv

y cuando pasapor P’ es v’ durante un intervalo de tiempo 1t, entonces6

La aceleración media se

define como

--med

v v vat t t

∆ −= =∆ −


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!V. MOV!M!E"#O RE%#!L,"EO6. ACELERACIÓN INSTANTANEA .

La aceleración instantánea se obtiene llevando al límite laaceleración media cuando ∆t tiende a cero es decir

1

/

/

li&2 3

2 3

t

v dva

t dt

d dx d xadt dt dt

∆ →

∆= =

∆

= =


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E/e'p0o 1* La posición de una partícula que se mueve en línea recta está

definida por la relación 'etermine6 (a) la posición,velocidad y aceleración en t 8 9& (b) la posición, velocidad yaceleración en t 8 : s& (c) la posición, velocidad y aceleraciónen t 8 ; s & (d) el despla!amiento entre t 8 9 y t 8 < s&

/ 45 x t t = −


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(o0uci2n La ecuaciones de movimiento son

Las cantidades solicitadas son

4/5 t t x −=/40/ t t

dt

dxv −==

t dt

xd

dt

dv

a 50//

/

−===

6 En t 7 18 x 7 18 v 7 18 a 7 0/ &9s/

6 En t 7 / s8 x 7 05 &8 v 7 vmax 7 0/ &9s8 a 7 1

6 En t 7 : s8 x 7 xmax 7 4/ &8 v 7 18 a 7 ;0/&9s/

6 En t 7 5 s8 x 7 18 v 7 ;45 &9s8 a 7 /: &9s/


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V. $E#ERM!"A%!&" $EL MOV!ME!"#O $EU"A PAR#,%ULA

=. L >L0>/?$ >@A@ -$>/?$ 'L T/A@ a 8 f(t).

*e sabe que a ) d!*dt, entonces podemos escriir


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$E#ERM!"A%!&" $EL MOV!ME!"#O $E U"APAR#,%ULA

:. L >L0>/?$ >@A@ -$>/?$ ' L @*/>/?$ a 8 f(#).*e sabe que a ) !d!*ds, entonces podemos escriir


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:. L >L0>/?$ >@A@ -$>/?$ ' L BL@>/'' a 8 f(v).*e sabe que a 8 dv4dt o también a ) !d!*ds, entonces

podemos escriir


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. LA A%ELERA%!&" E( %O"(#A"#E a = constante

este caso se le denomina movimiento rectilíneo uniforme ylas ecuaciones obtenidas son


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E/e'p0o 1*l auto mostrado en la figura se mueve en línea recta de tal

manera que su velocidad para un período corto de tiempo esdefinida por pies4s, donde t es el tiempo el cualestá en segundos . 'etermine su posición y aceleracióncuando t 8 C,99 s. >onsidere que cuando t 8 9. * 8 9


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(o0uci2n!"#C#$% ara el sistema dereferencia considerado y sabiendo

que la velocidad es función deltiempo v 8 f(t). La posición es

>uando t 8 C s, resulta

>L0>/?$. *abiendo que

v 8 f(t), la aceleración sedetermina a partir de a 8 dv4dt

>uando t 8 C s


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E/e'p0o 1+-n proyectil peque%o es disparado verticalmente acia aba"o

dentro de un medio fluido con una velocidad inicial de


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(o0uci2n&elocidad' -sando el sistemade referencia mostrado y sabiendo

que a ) f!- podemos utili!ar laecuación a ) d!*dt para determinarla velocidad como función deltiempo esto es

@*/>/?$6 *abiendo que v 8 f(t),la posición se determina apartir de la ecuación v 8 d*4dt


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E/e'p0o 13 -na partícula metálica está su"eta a

la influencia de un campo magnéticotal que se mueve verticalmente através de un fluido, desde la placa asta la placa D, *i la partícula se

suelta desde el reposo en > cuando* 8 =99 mm, y la aceleración semide como donde * estáen metros. 'etermine& (a) lavelocidad de la partícula cuandollega a D (* 8 :99 mm) y (b) eltiempo requerido para moverse de >

a D


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(o0uci2n

'ebido a que a 8 f(*), puede

obtenerse la velocidad comofunción de la posición usando vdv 8a d*. >onsideramos además quev 8 9 cuando * 8 =99 mm

La velocidad cuando * 8 9,: m es

l tiempo que demora en

via"ar la partícula de > a D sedetermina en la forma

>uando * 8 9,: m el tiempoes


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E/e'p0o 1

'esde una ventana situada a :9 msobre el suelo se lan!a una bolaverticalmente acia arriba con unavelocidad de =9 m4s. *abiendo que la

bola todo el tiempo se encuentrasometida a un campo gravitacionalque le proporciona una aceleración g 8E,F= m4s: acia aba"o. 'etermine6 (a)

la velocidad y la altura en función deltiempo, (b) el instante en que la bolacoca con el piso y la velocidadcorrespondiente


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( )

( ) t vt vdt dv

adt

dv

t t v

v


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Sol"ción

( ) 1s

&(:s10=(0

s

&01&/1

s

&=1>(:

s

&01&/1

−

+=

−

+=

y

t t t y

&0(/>= y

C"ando la ?ola alcan*a s" al"ra &@%i&a s"

)elocidad es cero8 enonces se iene


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Sol"ción 6 C"ando la ?ola c+oca conra el s"elo , 7 1

Enoces ene&os(

( ) 1s

&=1>(:

s

&01&/1 /

/ =

−

+= t t t y

( )s/


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V!. MOV!M!E"#O $E VAR!A( PAR#!%ULA(4Mo5i'iento re0ati5o

*ea y D dos partículas que se mueven en línea recta como

se ve en la figura. *us posiciones respecto a @ serán % y % /.La posición relativa de D con respecto a será.

La velocidad relativa d con respecto a D será.

La aceleración relativa se e#presa en la forma

B A B A x x x= − ⇒ A B A B x x x +=

B A B Av v v= − ⇒ A B A B vvv +=

B A B Aa a a= − ⇒ A B A B

aaa +=


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E/e'p0o 16 'esde una altura de =: m, en el

interior de un ueco de un ascensor,se lan!a una bola verticalmente aciaarriba con una velocidad de =F m4s.n ese mismo instante un ascensor

de plataforma abierta está a G m dealtura ascendiendo a una velocidadconstante de : m4s. 'etermine6 (a)

cuando y donde cocan la bola con elascensor, (b) La velocidad de la bolarelativa al ascensor en el momentodel coque


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SOLUCION

6 Re&pla*ando la posición8 )elocidad inicial, el )alor de la aceleración de la ?ola enlas ec"aciones 'enerales se iene(

/

/

//0

11

/1

s

&=1>(:

s

&0


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6 Escri?iendo la ec"ación para las posicionesrelai)as de la ?ola con respec al ele)ador ,

as"&iendo #"e c"ando c+ocan la posiciónrelai)a es n"la8 se iene(

( ) ( ) 1/>=1>(:0s

t

t

= −

=6 Re&pla*ando el ie&po para el i&paco en la ec"ación de la

posición del ele)ador , en la )elocidad relai)a de la ?ola conrespeco al ascensor se iene

( )5>(4/> += E y &4(0/= E y

( )

( )5>(4


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V!. MOV!M!E"#O $E VAR!A( PAR#!%ULA(4Mo5i'iento 7epen7iente

La posición de una partícula puede depender de la

posición de otra u otras partículas. n la figura la posición de D depende de la

posición de . 'ebido a que la longitud del cable >'I que

une ambos bloques es constante se tiene/ an

/ 1

/ 1

A B

A B

A B

x x cons te

v v

a a

+ =+ =

+ =De?ido a #"e sólo "na de las coordenadasde posición x A o x B p"ede ele'irsear?iraria&ene el sise&a posee "n 'rado de

li?erad

V! MOV!M!E"#O $E VAR!A( PAR#!%ULA(4


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V!. MOV!M!E"#O $E VAR!A( PAR#!%ULA(4Mo5i'iento 7epen7iente

quí la posición de una partícula depende de dosposiciones más.

n la figura la posición de D depende de laposición de y de >

'ebido a que la longitud del cable que une a losbloques es constante se tiene

Co&o solo es posi?le ele'ir dos de lascoordenadas8 deci&os #"e el sise&a poseeDOS 'rados de li?erad

/ / A B C x x x ctte+ + =

1//or 1//

1//or 1//

=++=++

=++=++

C B A

C B A

C B AC B A

aaadt

dv

dt

dv

dt

dv

vvvdt

dx

dt

dx

dt

dx

E/ 0 18


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E/e'p0o 18 l collar y el bloque D están

enla!ados como se muestra en la figura

mediante una cuerda que pasa a travésde dos poleas >, ' y . Las poleas > y son fi"as mientras que la polea ' semueve acia aba"o con una velocidad

constante de 0 pul*s. *abiendo que elcollar inicia su movimiento desde elreposo cuando t ) 1 y alcan!a lavelocidad de = 2 pulg*s cuando pasa por

L, 'etermine la variación de altura, lavelocidad y la aceleración del bloque Dcuando el collar pasa por L

(o0uci2n


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(o0uci2n *e anali!a en primer lugar el

movimiento de . l collar tiene un A0-B, entonces

se determina la aceleración y eltiempo

( ) ( )[ ]

( )/

/

1/1

/

s

in(=in(


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(o0uci2n6 Co&o la polea iene "n MRU se calc"la el

ca&?io de posición en el ie&po (( )

( ) ( ) in(:s444(0s

in(41

1

=

=−

+=

D D

D D D

x x

t v x x

6 El &o)i&ieno del ?lo#"e B depende del&o)i&ieno de collar , la polea( Elca&?io de posición de B ser@

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] 1in(:/in(<

1///

1

111

111

=−++

=−+−+−++=++

B B

B B D D A A

B D A B D A

x x

x x x x x x

x x x x x x

( ) in(051 −=− B B x x

(o0uci2n


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(o0uci2n6 Deri)ando la relación enre las posiciones

se o?iene las ec"aciones para la )elocidad, la aceleración

/ consan

/ 1

in( in(

0/ / 4 1s s

0< l'9

A D B

A D B

B

B

x x x

v v v

v

v pu s

+ + =+ + =

+ + = ÷ ÷

= −in(

0<s

Bv = ↑

/

/ 1

in(= 1

s

A D B

B

a a a

a

+ + =

+ = ÷

/

/

in(

= s

= l'9

B

B

a

a pu s

= −= ↑

E/ 0 19


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E/e'p0o 19La ca"a > está siendo

levantada moviendo elrodillo acia aba"o conuna velocidad constantede ! )3m*s a lo largo de

la guía. 'etermine lavelocidad y laaceleración de la ca"a enel instante en que s ) 4m . >uando el rodilloestá en D la ca"a seapoya sobre el piso.

( 0 i2


47/160

(o0uci2n La relación de posiciones se determina teniendo en cuenta

que la longitud del cable que une al bloque y el rodillo novaria.

>uando s 8 = m, la posición de la ca"a > será

*e determina aora la posición #, cuando s 8 = m

/ /:


48/160

(o0uci2n La velocidad se determina derivando la relación entre las

posiciones con respecto al tiempo

La aceleración será

( )09 /

/

/ /

005 2/ 3 1

/

4 2: 9 3

05 05 4

/8: 9

C A A A

AC A

A

C

dx dx x x

dt dt

x m m sv v

x

v m s

−

+ + =

= − = −+ +

= ↑

/ / /

/ / / / 4

/ / /

4

/

05 05 05 B05 C

: 4213 4 2: 3

05 = 05 = B05 =C

/81:< 9

C A A A A A AC A

A A A A

C

C

dv x v x a x vd

a vdt dt x x x x

a

a m s

= = − = − + − + + + +

= − + −

+ + +

= ↑

E/e'p0o 1:


49/160

E/e'p0o 1:l sistema representado partedel reposo y cada componentese mueve a aceleraciónconstante. *i la aceleraciónrelativa del bloque > respecto al

collar D es


50/160

E/e'p0o 1;-n ombre en estásosteniendo una ca"a *como se muestra en lafigura, caminando aciala dereca con una

velocidad constante de9,G m4s. 'etermine lavelocidad y laaceleración cuando

llega al punto . Lacuerda es de C9 m delongitud y pasa por unapeque%a polea '.

Reso0uci2n grá


51/160

Reso0uci2n grá


52/160

V!!. Reso0uci2n gráto7os grá


53/160

Otros '>to7os grá


54/160

Otros '>to7os grá


55/160

E?EMPLO *1 -n ciclista se mueve en línea recta tal que su posición es

descrita mediante la gráfica mostrada. >onstruir la gráfica !5t y a5t para el intervalo de tiempo 16 t 6 01 s

E?EMPLO **


56/160

E?EMPLO **-n carro de ensayos parte del reposo y via"a a lo largo de una

línea recta acelerando a ra!ón constante durante =9 s.osteriormente desacelera a una ra!ón constante astadetenerse. Tra!ar las gráficas !5t y s5t y determinar el tiempo t2que emplea en detenerse

( 0 i2 G


57/160

(o0uci2n4 Grauando t 8 =9 s, v 8 =99 m4s usando esto como condición inicial para el

siguiente tramo se tiene

t vdt dva st t v

01801D0101111

===≤≤ ∫ ∫

0/1/8//0101011

+−=−=−=′≤≤ ∫ ∫ t vdt dvat t st v

C"ando 7 8 la )elocidadn"e)a&ene es cero por ano seiene 17 ;/H 0/1

H 7 51 s

( 0 i2 G


58/160

(o0uci2n4 Grauando t 8 =9 s, * 8 G99 m usando esto como condición inicial para el

siguiente tramo se tiene

C"ando 7 8 la posición

S 7 4111 &

/

11>80101011 t sdt t dst v st

t s

===≤≤ ∫ ∫

( )

5110/1

0/1/0/1/5101

/

01>11

−+−=

+−=+−=≤≤ ∫ ∫ t t s

dt t dst v st st s

E/e'p0o *+


59/160

E/e'p0o *+La gráfica !5t , que describe el movimiento de un motociclistaque se mueve en línea recta es el mostrado en la figura.>onstruir el gráfico a5s del movimiento y determinar el tiempoque requiere el motociclista para alcan!ar la posición + ) 421m

(o0uci2n


60/160

(o0uci2nIrafico a5s.

'ebido a que las ecuaciones de los segmentos de la gráficaestán dadas, la gráfica a5t puede ser determinada usando laecuación dv 8 a ds

1

D0>D0/151

5(11:(1

4/(1D511

===≤<

+==

+=≤≤

ds

dvva

vm sm

sds

dvva

svm s

(o0uci2n


61/160

(o0uci2n>alculo del tiempo.

l tiempo se obtiene usando la gráfica v5t y la ecuación ! )ds*dt . ara el primer tramo de movimiento, s ) 1, t ) 9

>uando s 8 34/(1ln2>

4/(1

4/(1D4/(1D511

1

−+=

+=

+==+=≤≤

∫ ∫ st

s

dsdt

ds

v

dsdt svm s

st

o

(o0uci2n


62/160

(o0uci2n>alculo del tiempo.

ara el segundo tramo de movimiento

>uando * 8 =:9 m, tK8 =: s

1>(:0>

0>

0>0>0/151

511>(<

+=

=

===≤<

∫ ∫ s

t

dsdt

ds

v

dsdt vm s

st


63/160

E/e'p0o *3

-na partícula parte del reposo y se mueve describiendo unalínea recta, su aceleración de 7 m*s 2 dirigida acia la derecapermanece invariable durante 42 s. continuación laaceleración adquiere un valor constante diferente tal que el

despla!amiento total es 481 m acia la dereca y la distanciatotal recorrida es de 981 m. 'etermine6 (a) la aceleracióndurante el segundo intervalo de tiempo, (b) el intervalo total detiempo.

(o0uci2n


64/160

(o0uci2nn la figura se muestra el gráfico !elocidad5tiempo , &a que a )constante.

:a distancia total es la suma de las áreas en !alor asoluto

Co&o la aceleración es la pendiene de la c"r)a );8 ene&os

/ 00

0

/ /0 0

0

> 9

> 9 2 3 > 9 20/ 3

51 9 203

vt# a m s

t v m s t m s s

v m s

α = ⇒ =

∆= ∆ =

=

0 / 0 / 0 4 4

/ 4 4

0 0J


65/160

(o0uci2nl despla!amiento viene e#presado por

0 / 0 / 0 4 4

/ 4 4

0 00 9 2>3

v m sa t#

t s

a m s

β = = =∆

= ¬

(o0uci2n


66/160

(o0uci2nSe deer&ina ∆4

/4/

4

/

4 4

0> 9

0> 9 2 3 253

va t# m s

t

v m s t

β = = =

∆= ∆

Re&pla*ando la ec( 2:3 , 253 en 243 se iene

4 4

//

4

4

0 020/ : 351 9 2 320> 3 0 9:


67/160

E/e'p0o *-n cuerpo se mueve en línea recta con una velocidad cuyo

cuadrado disminuye linealmente con el despla!amiento entrelos puntos y D los cuales están separados ;1 m tal como seindica. 'etermine el despla!amiento 1# del cuerpo durantelos dos 7ltimos segundos antes de llegar a D.

Po=0e'as propuestos


68/160

Po=0e'as propuestos

(. )l movimiento de una partícula se define por larelación donde x se expresa en metros yt en segundos. *etermine el tiempo+ la posición y laaceleración cuando la velocidad es nula.

,. )l movimiento de una partícula se define mediantela relación donde x se expresa en pies y ten segundos. *etermine' -a el tiempo en el cual la

velocidad es cero+ -b La posición y la distancia totalrecorrida cuando t / 0 s

,.

4 // 5 0> x t t = − +

// /1 51 x t t = − +

Pro=0e'as propuestos


69/160

Pro=0e'as propuestosC. La aceleración de una partícula se define mediante la

relación . La partícula parte de # 8 :G pulgen t 8 9 con v 8 9. 'etermine6 (a) el tiempo en el cual lavelocidad de nuevo es cero& (b) la posición y la velocidadcuando t 8 G s, (c) La distancia total recorrida por la partícula

desde t 8 9 a t 8 G s.

;. La aceleración de una partícula está definida por la relacióna ) 50! , con a e#presada en m4s: y v en m4s. *abiendo quepara t 8 9 la velocidad es


70/160

Pro=0e'as propuestosG. l bloque tiene una

velocidad de C,< m4s aciala dereca. 'etermine lavelocidad del cilindro D

1. Los collares y D desli!an a lolargo de las barrar fi"a que

forman un ángulo recto y estánconectadas por un cordón delongitud L. 'etermine laaceleración a % del collar D como

una función de & si el collar semueve con una velocidadconstante acia arriba !



71/160

Pro=0e'as propuestosM. -na partícula que se mueve

a lo largo del e"e % conaceleración constante , tieneuna velocidad de =,G m4s enel sentido negativo de las %

para t ) 1, cuando sucoordenada % es 4,2 m. tressegundos más tarde elpunto material pasa por el

origen en el sentido positivo.NJasta qué coordenadanegativa se a despla!adodica partículaO.

0. 'etermine la rapide! !


72/160

Pro=0e'as propuestosE. 'etermine la velocidad del

bloque si el bloque D tieneuna velocidad de : m4sacia arriba

(2. 'etermine la velocidad del

bloque si el bloque D tiene unavelocidad de : m4s acia arriba



73/160

Pro=0e'as propuestos=9. 'etermine la velocidad con la

cual el bloque asciende si el

e#tremo del cable en esalado acia aba"o convelocidad de : m4s aciaaba"o

((.



74/160

Pro=0e'as propuestos ara levantar el embala"e

mostrado mediante elapare"o se usa un tractor. *iel tractor avan!a con unavelocidad ! . 'etermine una

e#presión para la velocidadascendente ! / del embala"een función de % . 'esprecie la

peque%a distancia entre eltractor y su polea de modoque ambos tengan la mismavelocidad.

V!!! MOV!M!E"#O %URV!L,"EO


75/160

V!!!. MOV!M!E"#O %URV!L,"EO*e dice que una partícula tiene un movimiento curvilíneo cuando su

trayectoria descrita esta es una línea curva.



76/160

V!!!. MOV!M!E"#O %URV!L,"EOOBKETIOS

0( Descri?ir el &o)i&ieno de"na par!c"la #"e )iaa a lolar'o de "na ra,ecoria

c"r)a

/( E%presar las canidadescine&@icas en coordenadasrecan'"lares8 co&ponenesnor&al , an'encial8 as!co&o radial , rans)ersal



77/160

V!!!. MOV!M!E"#O %URV!L,"EO*e dice que una partícula tiene un movimiento curvilíneo

cuando su trayectoria descrita esta es una línea curva.



78/160

V!!!. MOV!M!E"#O %URV!L,"EO1. Vector Posición: Es a#"el )ecor diri'ido desde el

ori'en de "n sise&a coordenado +acia el p"no de"?icación insan@nea P la par!c"la( Se represena porr 7 r23(



79/160

V!!!. MOV!M!E"#O %URV!L,"EO2. Vector Desplazamiento: S"pon'a&os a+ora #"e la

par!c"la se &"e)e d"rane "n pe#"eo iner)alo deie&po ∆ +asa el p"no PH8 enonces s" posición ser@ r!t " #. El despla*a&ieno es )ecor diri'ido desde P aPH , se e%presa

-2 3 2 3r r t t r t ∆ = + ∆ −



80/160

V!!!. MOV!M!E"#O %URV!L,"EO3. Ve0oci7a7 Me7ia4 >uando la partícula se mueve de a 2

e#perimenta un despla!amiento ∆r en un intervalo de tiempo∆t. la velocidad media se define como

-

-

m

r r r v

t t t

∆ −= =

∆ −

r

La )elocidad &edia es "n)ecor #"e iene la &is&adirección #"e el despla*a&ieno

es decir es secane a la c"r)a(

La )elocidad &edia dependedel iner)alo de ie&po(



81/160

V!!!. MOV!M!E"#O %URV!L,"EO. Ve0oci7a7 !nstantánea4 *i el intervalo de tiempo se ace

cada ves más peque%o (∆t→9), el despla!amiento tambiéntiende a cero. Llevando al límite la velocidad media se obtienela velocidad instantánea. s decir.

La )elocidad insan@nea es

"n )ecor an'ene a lara,ecoria(

1 1-li& li&-t t

r r r dr vt t t dt ∆ → ∆ →

∆ −= = =∆ −

r

V!!!. MOV!M!E"#O %URV!L,"EO


82/160

3. Ve0oci7a7 !nstantánea4

Aultiplicando y dividiendo la e#presión anterior por lalongitud del arco ∆s 8 acr3, obtenemos

1 1 1li& li& li&

t t t

r s r sv

s t s t ∆ → ∆ → ∆ →

∆ ∆ ∆ ∆= =

∆ ∆ ∆ ∆r

A &edida #"e se acerca a P la&a'ni"d de ∆r se apro%i&a a ∆s8enonces se iene

Ade&@s se iene

1li& t t

dr r eds s∆ →

∆

= =∆

r

1li&

t

s dsv

t dt ∆ →

∆= =

∆

t

dsv e

dt =

r r



83/160

5. Aceleraci! "e#ia$ n la figura se observa lasvelocidades instantáneas de la partícula en y 3. l cambio de

velocidades durante ∆t es ∆5. La aceleración media es el cambiode velocidades en el intervalo de tiempo. Es 7ecir

La aceleración &edia es "n)ecor paralelo a

∆) ,

a&?in depende de lad"ración del iner)alo deie&po

$ %

m

$ %

v vva

t t t

−∆= =

∆ −r



84/160

3. Aceleraci! "e#ia$ n la figura se observa lasvelocidades instantáneas de la partícula en y 3. l cambio de

velocidades durante ∆t es ∆5. La aceleración media es el cambiode velocidades en el intervalo de tiempo. Es 7ecir

La aceleración &edia es "n)ecor paralelo a

∆) ,

a&?in depende de lad"ración del iner)alo deie&po

$ %

m

$ %

v vva

t t t

−∆= =

∆ −r



85/160

6. Aceleraci! i!%&a!&'!ea$ *e obtiene llevando al límitela aceleración media es decir aciendo cada ves mas y mas

peque%os los intervalos de tiempo

La aceleración insan@neaes "n )ecor #"e iene

&is&a dirección #"e elca&?io insan@neo de la)elocidad es decir ap"na+acia la conca)idad de la

c"r)a

1

/

/

li&t

v dva

t dt

d dr d r adt dt dt

∆ →

∆= =∆

= = ÷

r

r r

r


86/160

:.* %OMPO"E"#E( RE%#A"GULARE( $E LAVELO%!$A$ @ LA A%ELERA%!&"


87/160

VELO%!$A$ @ LA A%ELERA%!&"

=. @*/>/?$. La posición instantánea de una partícula en

componentes #, y, ! es& z ' yi xr ++=

Las coordenadas %8 ,8 * son$"nciones del ie&po % 7 $238, 7 $238 * 7 $23

La &a'ni"d del )ecor de posición

ser@ /// z y xr ++=

:.*. %OMPO"E"#E( RE%#A"GULARE( $E LAVELO%!$A$ @ LA A%ELERA%!&"


88/160


:. 'espla!amiento. *i una partícula se mueve de a en un

intervalo de tiempo ∆t. l despla!amiento está dado por6.. .-r r r xi y' z& ∆ = − = ∆ + ∆ + ∆r r r

/ / /2 3 2 3 2 3r x y z ∆ = ∆ + ∆ + ∆r



89/160


C. Belocidad media. *i una partícula se mueve de a 2

e#perimenta un despla!amiento ∆r en un intervalo de tiempo∆t. La velocidad media será

Es "n )ecor secane a lara,ecoria

.. .m

r x y z v i ' &

t t t t

∆ ∆ ∆ ∆= = + +

∆ ∆ ∆ ∆r



90/160


;. Belocidad instantánea. *e obtiene llevando al límite cuando

∆t → 9, la velocidad media es decir6

Es "n )ecor an'ene a la c"r)a ,

iene "na &a'ni"d de$inida por

& v 'viv

& z ' yi x& dt

dz '

dt

dyi

dt

dxv

z y x

++=

++=++=

/// z y x vvvv ++=

:.* %OMPO"E"#E( RE%#A"GULARE( $E LAVELO%!$A$ @ LA A%ELERA%!&"


91/160


G. celeración media. >uando la partícula cambia de posición

su velocidad tambien cambia. ntonces la aceleración mediaserá

Es "n )ecor #"e se enc"enra diri'ido

a lo lar'o del ca&?io de )elocidades

.. . y x z m

vv vva i ' &

t t t t

∆∆ ∆∆= = + +

∆ ∆ ∆ ∆

rr


92/160

E/e'p0o


93/160

/ pn cualquier instante la posición ori!ontal del globometeorológico está definida por % ) ;t- m, donde t es el

segundo. *i la ecuación de la trayectoria es & ) %=*01, dondea ) 2> 'eterminar la distancia del globo a la estación , lamagnitud y la dirección de la velocidad y de la aceleracióncuando t ) 2 s

(o0uci2n


94/160

(o0uci2n >uando t 8 : s, la posición del

globo es

La distancia en línea recta será

Las componentes de lavelocidad son

La magnitud y direcciónde la velocidad parat 8 : s son/ /

= = 9 2/ 3 0<

0<2 3 018<

41 41

x t m s s m

x y m

= = =

= = =

/ /0< 018< /0r m= + =

( )

( )/

= = 9

0>

x

y

d v x t m s

dt

d x dx t v y x m s

dt dt

= = =

= = = = =

&

&

( ) ( )/ /

= 01(< 0:(0 9v m s= + =

0an >1(/ y

v

x

v

vθ −= = o

(o0uci2n


95/160

(o0uci2nLas componentes de la aceleración

será

La magnitud y dirección de laaceleración son

/

1

(: 9

0>

x x

y y

a v

d t a v m s

dt

= =

= = = ÷

&

&

( ) ( )/ / /1 >(: >(: 9a m s= + =

0 >(:an =11a

θ − °= =

E/e'p0o


96/160

/ pl movimiento de la ca"a D está

definida por el vector deposición

donde t esta en segundos y elargumento para el seno y elcoseno está en radianes.

'etermine la locali!ación de laca"a cuando t 8 9,MG s y lamagnitud de su velocidad yaceleración en este instante

.. .18> 2/ 3 18>cos2/ 3 18/ r sen t i t ' t& m= + −r

(o0uci2n La posición de la partícula cuando t / 2 34 s es


97/160

La posición de la partícula cuando t / 2+34 s es

La distancia medida desde el origen será

La dirección es

1(J> O1(>s n20(> 3 1(>cos20(> 3 1(/21(J>3 P

t sr e rad i rad ' & m= = + −

18J> O1(:== 1(14>: 1(0>1 P sr i ' & m= + −

/ / /21(:==3 21(14>:3 2 1(0>13 1(>//r m= + + − =

0

1(:== 1(14>/ 1(0>1

1(>// 1(>// 1(>//

1(=>> 1(15J< 1(/>3 0J(/


98/160

(o0uci2n La velocidad de la partícula cuando t / 2+34 s es

La aceleración de la partícula cuando t / 2+34s

a / , m5s,

O0cos2/ 3 0sin2/ 3 1(/ P 9dr

v t i t ' & m sdt

= = − − rr rr

/ / /

0(1/ 9 x y z v v v v m s= + + =

/

O /sin2/ 3 /cos2/ 3 P 9

dv

a t i t ' m sdt = = − −

r rr

E/e'p0o


99/160

/ p Los movimientos % e & de las guías y D,

cuyas ranuras forman un ángulo recto,

controlan el movimiento del pasador deenlace , que resbala por ambasranuras. 'urante un corto intervalo detiempo esos movimientos están regidos

por

donde # e y están en milímetros y t en

segundos. >alcular los módulos de lasvelocidad y de la aceleración a delpasador para t ) 2 s. esquemati!ar laforma de la trayectoria e indicar sucurvatura en ese instante.

/ 40 0/1 , 0>: 5

x t y t = + = −

E/e'p0o


100/160

l rodillo de la figura estárestringido a desli!ar sobre la

trayectoria curva mientras sedespla!a en la ranura verticaldel miembro D>. l miembro D>se despla!a ori!ontalmente. (a)

@btenga las ecuaciones para lavelocidad y la aceleración de ,e#présela en términos de

(b) >alcule la velocidad y la

aceleración cuando

8 8 8" x x x&

/

. .01 : 01 9

.< 9

" cm x icm x icm s

x icm s

= = =

= −

&r&&

:.+. MOV!M!E"#O %URV!L!"EO PLA"O


101/160

s aquel movimiento que se reali!a en un solo plano.

( ) ( ) ( )r t x t i y t '= +r r r

( ) ( )

( ) ( )

/ 0

/ 0 / 0

r r t r t

r x x i y y '

∆ = −

∆ = − + −

r

r rr

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

% ,v t v t i v t '

v t x t i y t '

= +

= +r r r

& &

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

% ,

% ,

a t a t i a t 'a t v t i v t '

a t x t i y t '

= +

= +

= +

r r r& &

r r r&& &&

:.3. MOV!M!E"#O PARA)&L!%O


102/160

s caso mas simple del movimiento plano, en el cual a# 8 9 yay 8 5 g 8 5 E,F= m4s: 85C:,: pies4s:. n la figura se muestra

este movimiento y su trayectoria

:.3.*. MOV!M!E"#O PARA)&L!%O4 Hip2tesis


103/160

ara anali!ar este movimiento se usa las siguientes ipótesis

a) l alcance del proyectil es suficientemente peque%o como para poder

despreciar la curvatura de la superficie terrestre (la aceleracióngravitatoria g es normal a dic"a superficie)&

(b) La altura que alcan!a el proyectil es suficientemente peque%a comopara poder despreciar la variación del campo gravitatorio (aceleración

de la gravedad) terrestre con la altura&(c) La velocidad del proyectil es suficientemente peque%a como para

poder despreciar la resistencia que presenta el aire al movimiento delproyectil y

(d) $o tendremos en cuenta el efecto de rotación de la Tierra que, comoveremos más adelante, tiende a desviar el proyectil acia la derecade su trayectoria cuando el movimiento tiene lugar en el emisferio$orte.

$!AGRAMA $EL MOV!M!E"#O $E U" PRO@E%#!L


104/160

:.3.+ MOV!M!E"#O PARA)&L!%O4 ecuaciones


105/160

Mo5i'iento Borizonta0. $e=i7o a que a C D 1

1

/1 1

/ /1 1

0

/

/ 2 3

x

x

x

v v a t

x x v t a t

v v a x x

= +

= + +

= + −

1

1 1

1

2 32 3

2 3

x x

x

x x

v v x x v t

v v

== +

=

:.3.+. MOV!M!E"#O PARA)&L!%O4 ecuaciones


106/160

Mo5i'iento 5ertica04 $e=i7o a que a D - g D -;F:* 's+

1

/1 1

/ /1 1

0

/

/ 2 3

y y y

y y

y y y

v v a t

y y v t a t

v v a y y

= +

= + +

= + −

1

/1 1

/ /1 1

2 3

02 3

/

2 3 / 2 3

y y

y

y y

v v #t

y y v t #t

v v # y y

= −

= + −

= − −

:.3.+. MOV!M!E"#O PARA)&L!%O4 A0tura 'áCi'a a0cance a0canza7o por e0 proecti0


107/160

a0cance a0canza7o por e0 proecti0

C"ando se es"dia el &o)i&ieno

de pro,eciles8 dos caracer!sicasson de especial iners(0(El alcance R8 es la &@%i&adisancia +ori*onal alcan*ada

por el pro,ecil

/( La al"ra &@%i&a +alcan*ada por el pro,ecil

θ =

, ,sin

,i i

v h

g

θ =

, sin,i i

v R

g

:.3.+. MOV!M!E"#O PARA)&L!%O4 a0cance a0canza7o pore0 proecti0


108/160

e0 proecti0

l má#imo alcance es logrado cuando el ángulo de lan!amiento

es ;GP

E/e'p0o


109/160

E/e'p0o-n saco desli!a por una rampa saliendo de su e#tremo con

una velcoidad de =: m4s. *i la altura de la rampa es < m desdeel piso. 'etermine el tiempo necesario para que saco impactecontra el piso y la distancia ori!ontal 0 que avan!a

E/e'p0o L @ i d i @ di d d


110/160

La &@#"ina de picar es@ diseada para e%raer &adera enro*os , lan*arlos con "na )elocidad )o 7 J8> & 9 s( Si el

"?o se oriena a 41Q respeco a la +ori*onal co&o se&"esra en la $i'"ra8 deer&inar #" an alo se apilar@n losro*os de &adera8 si la disancia del apila&ieno a la salidaes 5 &

E/e'p0o L i d d $ di d


111/160

La pisa de carreras de ese e)eno $"e diseado para #"elos piloos p"edan salar de la pendiene de 41Q8 desde "na

al"ra de 0&( D"rane la carrera8 se o?ser)ó #"e elcond"cor per&aneció en el aire 08> s( Deer&ine la)elocidad de salida de la pendiene8 la disancia +ori*onalalcan*ada , la al"ra &@%i&a #"e se ele)a el piloo , s"&oo( Desprecie el a&ao de a&?os(

E/e'p0o -n "ugador de basquetbol lan!a una pelota de baloncesto


112/160

-n "ugador de basquetbol lan!a una pelota de baloncestoseg7n el ángulo de Q 8 G9P con la ori!ontal. 'etermine la

rapide! ! 1 a la cual se suelta la pelota para acer el encesteen el centro del aro. N>on qué rapide! pasa la pelota a travésdel aro6.

E/e'p0o


113/160

-n bombero desea saber la altura má#ima de la pared a lacual puede proyectar el agua mediante el uso de la manguera.N qué ángulo, Q, respecto de la ori!ontal debe inclinar laboquilla para lograr el ob"etivoO

E/e'p0o


114/160

La moto de nieve mostrada en la figura sale de la rampa conuna rapide! de =G m4s ba"o un ángulo de ;9Prespecto a laori!ontal y aterri!a en el punto D. 'etermine la distanciaori!ontal 0 que via"a y el tiempo que permanece en el aire

E/e'p0o


115/160

l esquiador sale de la rampa formando un ángulo de Q 8 :GPy aterri!a en el punto D de la pendiente. 'etermine la

velocidad inicial del esquiador y el tiempo que permanece enel aire

E/e'p0o


116/160

)l 7ombre lan8a una pelota con una velocidadinicial v 0 / (4 m5s . *etermine el ángulo 9 bajo elcual podría lan8ar la pelota del tal manera quec7oque contra la valla en un punto de máximaaltura posible. )l gimnasio tiene una altura de 6 m.

:. %OMPO"E"#E( #A"GE"%!AL @ "ORMAL


117/160

:..*.O)?E#!VO(

'eterminar las componentes normal y tangencial de lavelocidad y la aceleración de una partícula que se encuentramoviéndose en un trayectoria curva.



118/160

:..*.APL!%A%!O"E(C"ando "n a"o se &"e)e en "nac"r)a e%peri&ena "na aceleración8de?ido al ca&?io en la &a'ni"d o enla dirección de la )elocidad( Podr!a Ud( preoc"parse por la

aceleración del a"o(

Si el &oociclisa inicia s"

&o)i&ieno desde el reposo eincre&ena s" )elocidad a ra*ónconsane( Có&o podr!a deer&inars" )elocidad , aceleración en la pare

&@s ala de s" ra,ecoria



119/160

:..3. PO(!%!&"C"ando la ra,ecoria de "na

par!c"la es conocida8 a )eces escon)eniene "ili*ar lascoordenadas nor&al 2n3 ,an'encial 23 las c"ales acan en

las direcciones nor&al ,an'encial a la ra,ecoria(

En "n &o)i&ieno plano se

"ili*an las )ecores "niarios ut ,un

El ori'en se enc"enra "?icado

El ee es an'ene a la

ra,ecoria , posii)o en ladirección del &o)i&ieno, el ee n es perpendic"laral ee , esa diri'ido

+acia el cenro dec"r)a"ra



120/160

:..3. PO(!%!&"En "n &o)i&ieno plano las

direcciones n , se enc"enrande$inidas por los )ecores"niarios ut , un

El radio de c"r)a"ra R, es ladistancia perpendicular desde curvaasta el centro de curvatura en aquelpunto.

La posición es la distancia * medidasobre la curva a partir de un punto @considerado fi"o



121/160

:... VEL%O!$A$De?ido a #"e la par!c"la seesa &o)iendo8 la posición Ses@ ca&?iando con el ie&po(

La )elocidad v es "n )ecor #"esie&pre es an'ene a lara,ecoria , s" &a'ni"d sedeer&ina deri)ando respeco

del ie&po la posición S 7 $23(Por lo ano se iene

9

t v vu

v s dS dt

=

&


: A%ELERA%!&"


122/160

:... A%ELERA%!&"Considere&os el &o)i&ieno de

"na par!c"la en "na ra,ecoriac"r)a plana

En el ie&po se enc"enra en P

con "na )elocidad v en direcciónan'ene , "na aceleración adiri'ida +acia la conca)idad de lac"r)a( La aceleración p"ede

desco&ponerse en "naco&ponene an'encial at 2aceleración an'encial3 paralela ala an'ene , ora paralela a la

nor&al an 2aceleración nor&al3

La aceleración an'encial es

la responsa?le del ca&?ioen el &od"lo de la)elocidadLa aceleración nor&al es la

responsa?le del ca&?io enla dirección de la )elocidad


: A%ELERA%!&"


123/160

:... A%ELERA%!&"Trace&os en A "n )ecor

"niario ( La aceleración ser@

Si la ra,ecoria es "na reca8 el

)ecor ser!a consane en&a'ni"d , dirección8 por ano

Pero c"ando la ra,ecoria esc"r)a la dirección de ca&?ia

por lo ano

. .2 3.t t

t

d ve dedv dva e v

dt dt dt dt = = = +r

.1t

de

dt =

.t e

.t e

.t e

.1t

de

dt

≠


: A%ELERA%!&"


124/160

:... A%ELERA%!&"Inrod"*ca&os el )ecor "niario

nor&al a la c"r)a , diri'ido+acia el lado cónca)o de lac"r)a( Sea el @n'"lo #"e $or&ala an'ene en A con el ee %(

Enonces se iene

La deri)ada del )ecor "niario

an'ene ser@

.ne

.. cos

.. cos2 3 2 3

/ /.. cos

t

n

n

e i sen '

e i sen '

e sen i '

β β

π π β β

β β

= +

= + + +

= − +

r

r

..2 3 cos

..

t

t n

de d d sen i '

dt dt dt de d

edt dt

β β β β

β

= − +

=

r


: A%ELERA%!&"


125/160

:... A%ELERA%!&" or otro lado se tiene que

'onde d* es el peque%o arco a lo

largo del movimiento en un dt. Las normales a la curva en y K

se intersecan en >. ntonces

La ra!ón de cambio del vectorunitario tangencial es

d d dS d v

dt dS dt dS

β β β = =

0

dS d

d

dS

ρ β

β

ρ

=

=

. 0.t n

dee

dt ρ =


: A%ELERA%!&"


126/160

:... A%ELERA%!&"0empla!ando esta ecuación en

la aceleración se tiene

s decir las aceleracionestangencial y normal se escriben

La magitud de la aceleración

total será

/

..

. .

. .

t

t

t n

t t n n

dedva e v

dt dt

dv va e edt

a a e a e

ρ

= +

= +

= +

r

r

r

/

. .At t t ndv v

a e a e

dt ρ

= =r r

/ /t na a a= +

%A(O( E(PE%!ALE(= L í l l l d lí


127/160

=. La partícula se mueve a lo largo de una línea recta

ρ → ∞ 7V an 7 )/9ρ = 0 => a 7 a 7 )La co&ponene an'encial represena la ra*ón

de ca&?io de la &a'ni"d de la )elocidad

/( La par!c"la se &"e)e en la c"r)a a )elocidadconsane

a 7 ) 7 1 7V a 7 an 7 )/9ρLa co&ponene nor&al represena la ra*ón de

ca&?iode la dirección de la )elocidad

4

CASOS ESPECIALES


128/160

43 La co&ponene an'encial de la aceleracón es consane8a 7 2a3c(

So and vo son la posición , la )elocidad de la par!c"la en 7 1

:( La par!c"la se &"e)e a lo lar'o de la ra,ecoria dada por , 7$2%3( Enonces el radio de c"r)a"ra es

/

1 1

1

/ /

1 1

0 2 3/

2 3

/2 3 2 3

c c

c c

c c

s s v t a t

v v a t

v v a s s

= + +

= +

= + −

/ 49 /

/ /

0 2 9 3

9

dy dx

d y dx ρ

+=

E/e'p0o 1* -n esquiador via"a con una rapide! de < m4s la se está


129/160

q " pincrementando a ra!ón de : m4s:, a lo largo de la trayectoria

parabólica indicada en la figura. 'etermine su velocidad yaceleración en el instante que llega a . 'esprecie en los cálculosel tama%o del esquiador.

(o0uci2n stableciendo los e"es n y


130/160

stableciendo los e"es n yt mostrados se tiene.

La velocidad de < m4s estangente a la trayectoria ysu dirección será

or lo tanto en la

velocidad forma ;GP con ele"e #

08/10

01

/ === xdx

dy x y

(o0uci2n La aceleración se determina /d


131/160

La aceleración se determinaaplicando la ecuación

ara ello se determina el radio

de curvatura

/

. .t n

dv va e e

dt ρ = +

r

/ 4 9 /

/ /

/ 4 9 /

0 2 9 3

9

0 2 9013 0901

/


132/160

La magnitud y la dirección de laaceleración serán

( ) ( )/ / /

0

/ 0(/4J /(4J 9

/an >J(>

0(4/J

a m s

φ

−

= + =

= = o

E/e'p0o 1+ -n carro de carreras > via"a alrededor de una pista ori!ontal


133/160

-n carro de carreras > via"a alrededor de una pista ori!ontalcircular que tiene un radio de E9 m. *i el carro incrementa su

rapide! a ra!ón constante de :,= m4s: partiendo desde elreposo, determine el tiempo necesario para alcan!ar unaaceleración de :,; m4s:. N>uál es su velocidad en eseinstante.

(o0uci2n *e sabe que la aceleración La aceleración total será


134/160

qtangencial es constante e

igual a

La aceleración normal será

La velocidad en esteinstante será

/

1

/80 9

1 /80

t

t

a m s

Entonces

v v a t

v t

=

= +

= +

/ // /2/80 3 1(1:= 9

=1nv t

a t m s ρ

= = =

/

/

/ / / /

/ / / /

. .

. ./80 1(1:=

/80 B1(1:= C

/8 : /80 B1(1:= C

:8


135/160

-na ca"a parte del reposo en

e incrementa su rapide! ara!ón de at / -2.,t m5s, yvia"a a lo largo de la pistaori!ontal mostrada. 'etermine

la magnitud y dirección de laaceleración cuando pasa por D

E/e'p0o 13L i ió d l "


136/160

La posición de la ca"a en

cualquier instante es * medidaa partir del punto fi"o en .

La velocidad en cualquier

instante se determina a partir dela aceleración tangencial, estoes

1 1

/

1(/ 2031(/

1(0 2/3

t

v t a v t

dv tdt

v t

= ==

=

∫ ∫

&

E/e'p0o 13 d t i l l id d


137/160

ara determinar la velocidad en

D, primero es necesariodeterminar * 8 f(t), despuésobtener el tiempo necesariopara que la ca"a llegue a D. es

decir

'e la geometría se tienes/ 8 C S :? (:)4; 8 85=

t t s

==

E/e'p0o 130 l d l i l


138/160

0empla!ando el tiempo en lasecuaciones (=) y (:) resulta

n el punto D el radio de curvatura

es R 8 : m, entonces laaceleración será

La aceleración total será

*u modulo y dirección serán

/

/

2 3 1(/2>(5=3 0(04< 9

1(02>(5=3 4(/4< 9

B t B

B

a v m s

v m s

= = =

= =

&

//2 3 >(/:/ 9 B B n

B

va m s

ρ = =

/

8 . .

. .0804< >8 /:/

B B t B t n

B t n

va a e e

a e e

ρ = +

= +

r

r

/ / /

/

0804< B>8 /:/C

>8 45 9

a

a m s= +

=0 >(/:/ JJ8J>

0804<t# θ −= = °

E/e'p0o 1-na partícula se mueve en una trayectoria curva de tal


139/160

-na partícula se mueve en una trayectoria curva de talmanera que en cierto instante tiene una velocidad v y una

aceración a. 'emuestre que el radio de curvatura puedeobtenerse a partir de la ecuación

4

0 vxa

v ρ =

r r

E/e'p0o 1*abemos que la aceleración en 1vxa vxa= +


140/160

qcualquier instante es

Aultiplicando ambos miembrospor la velocidad v tenemos

'ebido a que la aceleracióntangencial son colineales suproducto vectorial es nulo.ntonces tenemos

0empla!ado la aceleraciónnormal tenemos

t na a a= +r r r

( )

t n

t n

t n

a a a

vxa vx a a

vxa vxa vxa

= +

= +

= +

r r r

r r r r r

r r r r r r

1

=1

n

n n

n

n

vxa vxa

vxa vxa

vxa vxa va sen va

+

=

= = ° =

r r r r

r r r r

/

4

2 3

0

vvxa v

vxa

v

ρ

ρ

=

=

r r

r r

E/e'p0o


141/160

E/e'p0o


142/160

E/e'p0o


143/160

E/e'p0o artiendo desde el reposo un bote a motor viaja


144/160

artiendo desde el reposo+ un bote a motor viaja

alrededor de una trayectoria circular de radio r /42 m con una velocidad . *etermine la magnitudde la velocidad y de la aceleración del bote en t =3 s.

E/e'p0o Un avión viaja a lo largo


145/160

Un avión viaja a lo largode una trayectoria

parabólica vertical .)n el punto : el avióntiene una velocidad de200 m/s la cual seincrementa a ra8ón de0,8 m/s2 . *etermine lamagnitud de la

aceleración del avióncuando pase por :.

/18: y x=

E/e'p0o l "ugador de béisbol lan!a una pelota con una velocidad


146/160

" g pinicial de ! 1 ) 01 m*s a un ángulo Q 8 C9P como se muestra en

la figura. Jallar el radio de curvatura de la trayectoria6 (a)inmediatamente después del lan!amiento y (b) en el vértice.>alcular en cada caso, la variación de celeridad por unidad detiempo.

A"AL!(!( $EL MOV!M!E"#O RELA#!VO $E $O(PAR#!%ULA( U(A"$O E?E( E" #RA(LA%!&"

Jasta aora se a estudiado el movimiento absoluto de una partícula


147/160

pusando un marco de referencia fi"o.

*in embargo, e#isten e"emplos en el que la trayectoria delmovimiento de una partícula es complicada, de modo que es másfactible anali!ar el movimiento en partes usando dos o más marcos

de referencia.

or e"emplo, el movimiento de una partícula locali!ada en la élicede un avión , mientras éste está en vuelo , es más fácil describirlo siobservamos primero el movimiento del avión a partir de un sistemade referencia fi"o y después se superpone vectorialmente elmovimiento circular de la partícula medida a partir de un marco dereferencia móvil unido al aeroplano.

A"AL!(!( $EL MOV!M!E"#O RELA#!VO $E $O(PAR#!%ULA( U(A"$O E?E( E" #RA(LA%!&"

n esta sección nos ocuparemos del estudio del movimiento solo a


148/160

pmarcos de referencia en traslación. l análisis del movimiento

relativo de partículas usando marcos de referencia en rotación setratará en el curso de 'inámica.

MOV!M!E"#O RELA#!%O4 PO(!%!&" >onsideremos dos partículas y D La posición relativa de con

t l b d D


149/160

moviéndose en las trayectorias

mostradas Las posiciones absolutas de y D

con respecto al observador fi"o enel marco de referencia @UV serán

l observador D sólo e#perimenta

traslación y se encuentra unidos alsistema de referencia móvil @#y!

respecto al observador D , es

Ar (A=

Br (B=

9 A B A Br r r = +r r r

Mo5i'iento re0ati5o4 Ve0oci7a7 'erivando la ecuación de la posición relativa se tiene


150/160

'erivando la ecuación de la posición relativa se tiene

9 A B A Bv v v= +r r r

Mo5i'iento re0ati5o4 Ace0eraci2n 'erivando la ecuación de la velocidad relativa se tiene


151/160

'erivando la ecuación de la velocidad relativa se tiene

9 A B A Ba a a= +r r r

E/e'p0o 1* -n tren T, via"ando a una velocidad constante de E9 Wm4 , cru!a


152/160

una carretera, como se muestra en la figura. *i el automóvil está

via"ando por la carretera con una velocidad de


153/160

La velocidad relativa es medidadesde el observador ubicado en elauto al cual se le asocial el sistemade referencia @2U2,

>omo las velocidades de T y sonconocidas, entonces la velocidadrelativa se obtiene de

9

9

9

=1 25J(>cos :> 5J(>sin :> 3:/(4 :J(J 3 9

T A T A

T A

T A

v v v

i i ' v

v i ' &m )

= +

= + += −

o o

r r r

r% % %

r% %

so0uci2n


154/160

La magnitud de la velocidad relativa será

La dirección de la velocidad relativa es

/ / /9 2:/(4 :J(J 3 54(< 9T Av &m )= + =

( )

( )

9

9

:J(Jan

:/(4

:


155/160

se indica en la figura. l avión está volando en una trayectoria recta, yen el instante mostrado desarrolla una velocidad de M99 Wm4 y unaaceleración de G9 Wm4:. l avión D está volando en una trayectoriacurva circular de ;99Wm de radio con una rapide! de


156/160

rectilíneamente y se asocia un

marco de referencia móvil @#2y2. La velocidad relativa de D respecto

de es

normal y tangencial pues semueve en una curva.

La aceleración normal será

plicando la ecuación paradeterminar la aceleraciónrelativa se tiene

9

9

9

511 J11011 9 011 9

B A B A

B A

B A

v v v

v

v &m ) &m )

= +

= += − = ↓

( )/

/=11 9 B B nv

a &m ) ρ

= =

{ }

9

9

/9

=11 011 >1

=11 0>1 9

B A B A

B A

B A

a a a

i ' ' a

a i ' &m )

= +

− = +

= −

% % %

% %

(o0uci2n n un determinado instante los

á i " d


157/160

carros y D están via"ando con

velocidades de =Fm4s y =:m4s,respectivamente. demás endico instante la velocidad de está disminuyendo a ra!ón de:m4s: y D e#perimenta unincremento de su velocidad ara!ón de C m4s:. 'etermine lavelocidad y la aceleración de Dcon respecto de

(o0uci2n l sistema de referencia fi"o está

en tierra y el marco móvil en el La aceleración normal será


158/160

auto . or tanto se tiene

La dirección de la velocidadrelativa será

La aceleración relativa será

*u dirección será

( )

{ }

9

9

9

/ /9

0/ 0(4/ 9

5/(J

B Aa m s

φ

== o

E/e'p0o Los pasa"eros que via"an en el avión


159/160

p " q " que vuela ori!ontalmente a

velocidad constante de F99 Wm4observan un segundo avión D quepasa por deba"o del primerovolando ori!ontalmente. unque el

morro de D está se%alando en ladirección en la dirección;GPnoreste, el avión D se presentaa los pasa"eros de comoseparándose de éste ba"o el ángulode


160/160

avión donde se efect7an lasobservaciones relativas

La velocidad de es conocida en

módulo y dirección, el ángulo de

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