Chapter 2 JAG 2015
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Chapter 4 Goodwin, Graebe, Salgado©
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Capítulo 2
Elementos de la Transformada
de Laplace y la TransformadaZ
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Transformadas de Laplace
El estudio de ecuaciones diferenciales del tipodescrito antes es un tema mu importante e
interesante! "e todos los m#todos disponibles para elestudio de ecuaciones diferenciales lineales, el $ueutili%a la &erramienta de la Transformada de Laplacees uno de los m's rele(antes!
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"efinici)n de la Transformada deLaplace!
Considere una se*al continua en el tiempo y+t - 0 ≤ t . ∞! El par de la Transformada de Laplace asociado
con y+t se define como
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/n resultado cla(e relati(o a la transformada deLaplace de la deri(ada de una funci)n es el siguiente
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Tabla !1 Tabla de Trasnformadas de Laplace!
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Tabla !2 Propiedades de la Transformada de Laplace.
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3unciones de Transferencia
Es posible con(ertir una ecuaci)n diferencial en lasigiente ecuaci)n algebr'ica
donde
G+ s se le llama 3unci)n de Transferencia!
Esto puede e4presarse como
sn Y (s) +an 1sn 1 Y (s) +:::+a0 Y(s)
= bn 1sn 1U(s)+:::+b0U(s) +f (s;xo)
- -
--
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3unciones de Transferencia paramodelos de Estados Continuos!
Si se toma la Transformada de Laplace al modelo deEstado, se llega a
5 por tanto
G+ s es la funci)n de transferencia del Sistema!
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6 menudo los sistemas físicos presentan un retardoen tiempo entre su entrada su salida! Esto se asociafrecuentemente con el transporte de material de un
punto a otro! Por e7emplo, si se tiene un ductoconectando diferentes partes de la planta, seintroducir' in(ariablemente un retardo!
La funci)n de transferencia de un retardo puro es dela forma +(er Tabla !2
donde Td es el retardo +en segundos! Td depender'
típicamente de la (elocidad de transporte!
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Ejemplo 4.4 (Sistema de calentamiento). Comoe7emplo simple de un Sistema con retardo en tiempo
puro, considere el Sistema de calentamiento
mostrado abajo.
.
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La funci)n de transferencia de la entrada +el (olta7eaplicado al elemento de calentamiento a la salida +la
temperature como la (e un termopar esapro4imadamente de la forma
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8esumen
Las funciones de transferencia describen las
propiedades entrada-salida de sistemas lineales en
forma algebráica
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EL P89CES9 "E :/EST8E9;<T89"/CC;=<
Como se mencion) anteriormente, en estas notas ser'n presentados los conceptos mas importante del an'lisis síntesis de sistemas de control digital de procesosdin'micos caracteri%ados por mane7ar se*ales de naturale%aanal)gica!
El fen)meno m's importante $ue se presenta en lareali%aci)n de este tipo de sistemas de control es el procesode muestreo! Este consiste fundamentalmente en larepresentaci)n temporal discreta de una se*al ana1)gica, 1o
cual se muestra gr'ficamente en la 3ig 2!1
Ch 4©
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3ig! 2!1!> Proceso de muestreo +a se*al anal)gica +b se*almuestreada!
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P i H ll 2000
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Puede decirse $ue el proceso de muestreo de una se*ales la transformaci)n de #sta en una sucesi)n de
n?meros, , distribuidos temporalmente en instantes biendefinidos , de manera $ue
<ormalmente, la diferencia es constante se llama período de muestreo !
"os preguntas $ue surgen naturalmente al presentarseeste fen)meno son las siguientes!
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6dem's de 1as diferencias e(identes, en el dominio de1tiempo, entre ambas se*ales @c)mo afecta el muestreo a
las características frecuenciales de una se*alA @Cu'l es e1 (alor m's grande del período de muestreo
$ue garantice la reconstrucci)n de dic&a se*a1- es decirla obtenci)n de a partir de la sucesi)n A
El ob7eti(o de esta secci)n es responder adecuadamente aambas preguntas! Para ello, es necesario introducirformalmente el proceso de muestreo! Su an'1isis re$uierede ciertos conceptos b'sicos de teoría de
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se*ales , $ue ser'n presentados en las primeras secciones!Posteriormente se e4p1icar' propiamente e1 proceso de
muestreo se presentar'n las modificaciones $ue resultanen el espectro frecuencial correspondiente, obteni#ndosede a$uí e1 teorema de S&annon! Por ?ltimo, se abordar' e1
problema de 1a reconstrucci)n física de la se*a1 se
discutir' bre(emente el efecto $ue tiene 1a presencia deruido en e1 proceso de muestreo
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SE8;ES "E 39/8;E8 5T86<S398:6"6 "E 39/8;E8
Consid#rese una funci)n peri)dica , de período frecuencia ! puede ser e4presada como 1a serie
+2!1Le e4presi)n +2!1 representa 1a serie de 3ouriertrigonom#trica de en e1 inter(alo Las constantes est'ndadas por
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+2!2a
+2!2b
+2!2c
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La funci)n puede ser e4presada tambi#n, de manerae4ponencial, como
+2!Bdonde
+2!
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9bs#r(ese $ue, en genera1, es un n?mero comp1e7o! Lase4presiones +2!1 +2!B son dos formas distintas de
representar la misma funci)n! Puede (erificarse $ue+2!
Transformada de Fourier.
La transformada de 3ourier de una se*al se define, sie4iste, como la integral
+2!D
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representa e1 espectro en frecuencia de - es decir, esla representaci)n de en el dominio de la frecuencia!
es, en general, comple7a, por lo $ue puede escribirsecomo
+
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La 3unci)n ;mpulso,
La funci)n impulso o delta de "irac, , 7uega un papelmu importante en el an'lisis del proceso de muestreo,
como se (er' m's adelante! Esta funci)n se define comosigue
+F
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Propiedad de muestreo de lafunci)n impulso
Consid#rese una funci)n , definida en ! "e acuerdo a +F,el producto de por un impulso da como resultado
6dem's
+
es decir, para obtener la funci)n en , es suficientemultiplicarla por un impulso efectuar 1a integral del
producto
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Chapter 4 , , g ,
Transformada de 3ourier de lafunci)n impulso!
La transformada de 3ourier de una funci)n impulso secalcula, de acuerdo a la definici)n +D a +, como sigue
+10
Esto se representa en la figura 2!
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p , , g ,
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p g
Teorema del Corrimiento!
El teorema de corrimiento postula $ue el producto de unafunci)n por una e4ponencial de un n?mero puramente
imaginario, , tiene un espectro frecuencial $ue es e1espectro de , , despla%ado a unidades a la derec&a esdecir
+11
La demostraci)n de +11 se reali%a a partir de ladefinici)n de 1a transformada de 3ourier, como sigue
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p
Este teorema ser' tambi#n ?til en el an'lisis del procesode muestreo, como se (er' m's adelante!
Transformada de Fourier de una Función eriódica.La obtenci)n de la transformada de 3ourier de unafunci)n peri)dica puede lograrse a partir de 1arepresentaci)n de dic&a funci)n en su serie de 3ourier
+12
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p
La transformada de 3ourier de +12 es
Considerando a&ora la transformada de 3ourier de lafunci)n constante el teorema de corrimiento +11
+1B
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es decir, 1a transformada de 3ourier de una funci)n peri)dica consiste en una serie de impulsos, locali%ados
en modulados por los coeficientes de 3ourier de lase*al !
!escripción del "uestreo.
Consid#rese una se*al anal)gica , presente en la entrada
de un con(ertidor anal)gico>digital! La funci)n de estecon(ertidor es de proporcionar en su salida un n?mero$ue es proporcional a la amplitud de la se*a1 en elinstante de con(ersi)n!
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El inter(alo de tiempo entre un muestreo el siguiente puede o no ser constante pero en estas notas se
considerar' $ue el muestreo es peri)dico es decir, $ueocurre a cada inter(alo , siendo constante!
El proceso de muestreo puede entonces traducirse comouna modulaci)n de la se*al por una funci)n peri)dica!
"ic&a funci)n peri)dica consiste en un tren de pulsos+3ig! B de amplitud duraci)n El resu1tado es unase*a1 muestreada, , dada por 1a e4presi)n
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+1
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Espectro de una Se*al:uestreada
La se*al de muestreo, , puede e4presarse por medio de suserie de 3ourier
+1
La se*al muestreada, $ueda entonces como sigue
+1D
La transformada de 3ourier de +1D es
+1
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Considerando el teorema de corrimiento, +1 puedeescribirse como sigue
+1F
El espectro en frecuencia de una se*al muestreada por unase*al peri)dica es 1a suma de los espectros de la se*alcentrados en ponderados por e1 coeficiente ! Si tiene un
espectro +en magnitud como el mostrado en 1a fig! a,tendr' un espectro $ue es 1a suma de 1os espectrosmostrados en 1a fig! b!
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Es e(idente $ue 1a se*a1 muestreada , contiene toda la inforrnaci)n necesaria para reconstruir la se*al original, ! Sinembargo, la recuperaci)n fíe1 del espectro s)lo es posible
si se cump1en 1as tres condiciones siguientesi! $ue la se*al tenga un espectro limitado en frecuencia-
ii! $ue el período de muestreo, , sea lo suficientemente
pe$ue*o para $ue los diferentes espectros fig! + est#ncolocados a una distancia suficiente para $ue no setraslapen-
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iii! $ue e4ista un filtro con el cual pueda recuperarsefielmente la se*al
Las dos primeras condiciones constituen lo $ue seconoce como teorema de S&annon!
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Teorema de S&annon
Sea una se*al, cuo espectro en frecuencia est' limitado aEntonces podr' ser reconstruída por filtra7e lineal si la
frecuencia de muestreo es, al menos el doble de IEn efecto sea una se*al cuo espectro en frecuencia+magnitud se muestra en la 3ig!
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Cuando es posible, en el caso ideal, recuperar la se*al a partir de lase*al muestreada, , por medio de un filtro con las característicasmostradas en la 3ig!D! Sin embargo, si , los diferentes espectros setras1aparían la se*a1 obtenida estaría deformada con respecto a la
se*al original!
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En 1a rea1idad, nunca se tienen espectros de banda1imitada ni f i1tros con las características ideales
mostradas en la 3íg! D,! como se (er' m's adelante, por lo$ue siempre e4istir' una distorsi)n de la se*al originalmuestreada!
Estudio de la Función de "uestreo.
La funci)n de muestreo +3ig! B!Bb puede ser e4presada ent#rminos de su serie de 3ourier +ec , +1! puede sercalculada a partir de la e4presi)n +
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+1
donde es la funci)n +JSamplingK definida como +20
"e acuerdo a la e4presi)n +1F la se*al muestreada porfunci)n de la 3ig! B!Bb tiene un espectro en frecuencia comoel mostrado en 1a 3i g! !
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Cuando la funci)n de muestreo es un tren de impulsos +deltas de"irac, los coeficientes de la serie de 3ourier son constantes e igualesa , por lo $ue 1a transformada de 3ourier de 1a se*al muestreada es
+21
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5 su espectro se muestra en la 3ig!F!
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8EC9<ST8/CC;9< "E L6SE6L!
Filtro #deal.
Se &abía mencionado anteriormente $ue una de las
condiciones para recuperar una se*al muestreada es lae4istencia de un filtro con las características mostradas enla fig!
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La respuesta al impulso de1 filtro mostrado se encuentraaplicando 1a definici)n de la transformada in(ersa de
3ourier +22
Esta e4presi)n corresponde a 1a respuesta de un sistemano causa1, por lo tanto físicamente no reali%able, a $ue se
tiene una respuesta a la e4citaci)n antes de su aplicaci)n!
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3iltros físicamente reali%ables!los filtros normalmente uti1i%ados para reconstruir unase*al muestreadas son 11amados retenedores! Lareconstrucci)n se basa en lo siguiente
sup)ngase $ue se desea obtener a partir de ! Si es unafunci)n analítica puede desarrollarse en su serie de Ta1oral rededor de , como sigue
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Por otra parte, las deri(adas de pueden apro4imarse comosigue
/n retenedor de orden se obtiene apro4imando la funci)n, para , &asta el >#simo termino de la serie es decir
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Sea una funci)n muestreada $ue se desea reconstruir! Comose mencion), un retenedor de orden cero es un sistema cuasalida, cuando es e4citado con esta funci)n, se define como
sigue
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+2B
/na representaci)n gr'fica de la salida de estedispositi(o se muestra en la 3ig! 10!
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La funci)n de transferencia de este retenedor puede serobtenida a partir de su respuesta a un impulso $ue se
muestra en 1a 3ig! 11! Esta respuesta puede serdescompuesta en dos se*ales, como se muestra en la 3ig!12! 6 partir de esta figura, se obser(a $ue la funci)n detransferencia de este retenedor es la siguiente
+2
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El espectro en frecuencia correspondiente se puede encontrar&aciendo ! Este se muestra en la 3ig! 1B!
+2
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Es necesario obser(ar $ue e1 retenedor de orden cero
introduce un desfasamiento $ue crece 1inealmente con 1afrecuencia de manera $ue a frecuencias a1tas puede &aberuna in(ersi)n tota1 de 1a se*al de entrada!
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b 8etenedor de orden 1!
/n retenedor de orden 1 apro4ima la funci)n por la
siguiente e4presi)n
La representaci)n gr'fica de la salida de esteretenedor se muestra en la 3ig! 1!
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Es posible reali%ar un an'lisis de este retenedor mostrar$ue su respuesta en frecuencia tiene la forma $ue se indicaen la 3ig! 1!
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Si bien un retenedor de orden 1 proporciona unareconstituci)n m's e4acta de la se*al, el retenedor de ordencero se &a repandido de tal manera $ue, en aplicaciones de
control digital, es el $ue se utili%a normalmente!
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:uestreo de una Se*al con 8uido!
Las se*ales pro(enientes de los instrumentos de medici)n
utili%ados en un proceso $ue se desea controlarnormalmente contienen un cierto ni(el de ruido! Estase*al ruidosa puede abarcar una gama de frecuenciasmuc&o maor $ue 1a de1 espectro de 1a se*a1 de
informaci)n! Esto se representa gr'ficamente en la 3ig!1D!
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El muestreo de una se*a1, como se (i) anteriormente, ocasionaun desdoblamiento de su espectro! En este caso el espectroresultante seria como el mostrado en la 3ig!1!
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Como se obser(a el muestreo aumenta a1 ni(el de ruido!
Por ello, es recomendable fi1trar 1a se*a1 con un fi1troadecuado antes de proceder a su muestreo, con el ob7eto deno introducir ruido adicional a dic&a se*al!
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Transformada en %! "efiniciones
"efinici)n temporal
Consid#rese una se*al muestreada por un muestreador
ideal! La e4presi)n para la se*al muestreada es+2!1
donde es el período de muestreo!
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La transformada de Laplace de tiene la forma
o sea, puesto $ue+2!2
Si se considera la transformaci)n
+2!B
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La e4presi)n $ueda como sigue
+2!
La transformada en de se define como la sumatoriamostrada en +, o sea, con !
En esta primera forma, aparece como una serie de potencias crecientes de , donde los coeficientes son los
(alores de la funci)n f+t en los instantes de muestreo!
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E7emplo
Sea la funci)n e4ponencial de +2!
+2!Es decir
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Es decir
En el caso particular en $ue
"efinici)n algebraica!
Es posible obtener una e4presi)n para la transformadaen de una funci)n a partir del teorema de in(ersi)ncomple7a del teorema de los residuos!
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Sea la funci)n cua transformada se desea obtener!La funci)n muestreada se e4presa como
+2!DSea
+2!
La transformada de Laplace de es, entonces
+2!F
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Sup)ngase $ue
Por el teorema de in(ersi)n comple7a es posible
mostrar $ue +2!
donde c es un numero real llamado abscisa decon(ergencia!
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"e +2!
entonces de +2!
aplicando el teorema de los residuos se llega a lae4presi)n
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Mue puede ser utili%ada para el c'lculo de latransformada en como
+2!10
<9T6
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C'lculos de 8esiduos
Sea
a Polos simples si tiene polos simples, el residuocorrespondiente a uno de los polos tiene pore4presi)n
+2!11
b Polos :?ltiples Cuando tiene polos m?ltiples, elresiduo correspondiente a uno de esos polos es paraun polo de orden n
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+2!12
E7emplos
1
a c'lculo de por series de potencias
La transformada in(ersa de es
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entonces
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entonces
b C'lculo por el m#todo de los residuos!
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residuo correspondiente a l polo simple
8esiduo correspondiente al polo doble 0
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entonces
2 Sea ! Calculemos por el m#todo de los residuos
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La transformada de Laplace de es
Se tienen polos simples
El c'lculo de los residuos se efect?a de la manerasiguiente
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La transformada en de es, entonces
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B Como ?ltimo e7emplo, consideremos la funci)n
La transformada de Laplace de esta funci)n es
s)lo tiene un polo m?ltiple! El residuocorrespondiente es
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entonces
<9T6 9bs#r(ese $ue las funciones transformadasen Laplace en son del mismo orden! 6dem's,e4iste una correspondencia entre los polos por medio
de la transformaci)n !
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P89P;E"6"ES "E L6
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En esta secci)n se mencionar'n demostrar'nalgunas propiedades de la transformaci)n en N! Linealidad
Se dice $ue una funci)n f es lineal cuando, paracual$uier par, de n?meros O se cumple $ue
6plicando esta definici)n a la transformada en N deuna funci)n, se tiene
P89P;E"6"ES "E L6T86<S398:6"6 E< N
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o sea +2!1B
La propiedad de linealidad es la $ue permite la
obtenci)n de la transformada en N de una funci)n pore4pansi)n en fracciones parciales!
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"espla%amiento en tiempo!
Se demostrar' esta ?ltima e4presi)n!Por definici)n
entonces, multiplicando por desarrollando
la sumatoria se tiene:
+2!1
+2!1
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Sumando restando la e4presi)n se obtiene
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o seaTeorema del (alor inicial!
"emostraci)nPor definici)n-Si para cual$uier entero ! Entonces
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+2!1D
Teorema del valor final.
Si F(Z) no tiene más de un polo en el círculo
unitario y ninguno fuera de él, entonces :
+2!1
"emotraci)n
demás, de acuerdo a la propiedad de adelanto
en el tiempo
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por lo !ue:
"s decir:
entonces
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"#isten otras propiedades de la transformada
en Z !ue pueden ser $tiles en el análisis
síntesis de sistemas de control discretos.
"ntre ellas se tienen las siguientes, de las
cuales no se presentará la demostraci%n:
* &erivaci%n e integraci%n con respecto a un
parámetro
+2!1F
+2!1
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* 'ímite
+2!20
+2!21
+2!22
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;<QE8S;9< "E L6
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;<QE8S;9< "E L6T86<S398:6"6 E< N!
eneralmente, las funciones tratadas en estas
notas serán raones de polinomios en . "n
esta secci%n se discutirá la forma de
calcular la secuencia asociada con una ra%nde polinomios dada.
*or division
Sea la funci%n
+ealiando la divisi%n se tendrá entonces un
polinomio en , cuyos coeficientes
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corresponden a los valores de la funci%n
evaluados en .
"emplo:
"ncontrar la transformada inversa de la
funci%n
&ividiendo el numerador entre el denominador,
se tiene
de donde se o-tiene :
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tra forma de calcular los coeficientes del
polinomio en es la siguiente:
entonces
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de donde, por identificaci)n de t#rminos, se obtiene +2!2B
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Por la integral de in(ersi)n
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Por la integral de in(ersi)ncomple7a
"s posi-le mostrar !ue, si es la
transformada en de la funci%n , entonces
puede calcularse por medio de la integral
siguiente:
+2!2donde la trayectoria / se escoge de manera
!ue encierre todos los polos de .
"emplo:
"ncontrar la transformada inversa de lafunci%n:
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tiene dos polos: y 'a transformada inversa es:
"l cálculo de la integral puede realiarse a
partir del teorema de los residuos de la teoría
de varia-le complea.
(suma de residuos de la integral)
(0.01)
o sea:
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Por descomposici)n de
"ntonces:
"n este método se e#pande en fracciones
parciales de forma tal !ue resulte simple
la evaluaci%n de la transformada inversade cada una de dic2as fracciones. 'a
transformada inversa total es la suma de
las transformadas inversas parciales.
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"emplo:
Sea
3ultiplicando por Z se tiene:
F(Z)4demás:
y
"ntonces:
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TE98E:6 "E C9<Q9L/C;9<"l teorema de convoluci%n para sistemas
muestreados proporciona un medio de
calcular la salida de un sistema en los
instantes de muestreo en funci%n de la
entrada aplicada en los mismos instantes.
5onsidérese la figura siguiente:
Fig. 0.6
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"n la figura se tiene una se7al de entrada
!ue, al ser muestreada, se convierte en la
se7al !ue e#cita a un sistema cuya
respuesta al impulso es . 'a salida del
sistema es cuya transformada de 'aplace
está dada por la e#presi%n:
+2!2D'a salida puede ser calculada a partir
de(0.08) con el teorema de convoluci%n:(0.09)
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*or otra parte, está dada por la e#presi%n
Sustituyendo esta ecuaci%n en (0.09)
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*ero:
"ntonces:
o sea:
(0.0)
"sta e#presi%n constituye el teorema de
convoluci%n para sistemas muestreados.
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3/<C;9<ES "E T86<S3E8E<C;6 "E
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3/<C;9<ES "E T86<S3E8E<C;6 "ES;STE:6S :/EST8E6"9S!
La e4presi)n +2!2D contiene t#rminos en en por lo,$ue no es mu c)moda de emplear!
El an'lisis de este sistema , particularmente el c'lculo de, puede simplificarse si se e(al?a la salida s)lo en losinstantes de muestreo! Para ello, se imagina unmuestreador ficticio $ue se coloca a la salida del sistema
se sincroni%a con el de la entrada defini#ndose unafunci)n de transferencia muestreada entre
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Haci#ndose la sustituci)n , se transforma en funci)nde
Consid#rese el sistema de la 3ig! 2!l! Por definici)n, latransformada en de la salida es
+2!2
6plicando el teorema de con(oluci)n +2!2F a
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sustituendo en +!2 se llega a la e4presi)n
"efiniendo una (ariable $ueda como $ueda como
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Para sistemas causales ! Entonces
o sea
La transformada en de la salida de un sistema es el producto de la funci)n de transferencia en , , la
transformada en de la se*al de entrada, !
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E7emplos1 Consid#rese el circuito de la 3ig! 2!2a, donde es un
interruptor ideal $ue se conecta desconectainstant'neamente cada unidades de tiempo, de
manera $ue se genera una se*al como en la figura2!2b! Calcular
3ig! 2!2a 3ig!2!2b
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Puesto $ue , se re$uiere calcular primero
eR+t es un escal)n unitario muestreado!
Entonces
puede obtenerse comose calcula como sigue
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Entonces
es
La transformada in(ersa de se calcula considerando
primero
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Entonces
En la fig! 2!B se muestra una gr'fica de para !
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3ig!2!B!
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2 Para el sistema de la 3ig! 2 !, se calcula comosigue-
3ig! 2!
6l muestrear , la e4presi)n anterior se transforma
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5 en transformada en $ueda
donde significa la transformada en del producto de !
B La 3ig! 2!, es mu parecida a la 3ig! 2!, s)lo $uese intercala un muestreador entre , a la misma
frecuencia $ue los otros
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3ig! 2!En este caso
entonces Sustituendo enPor lo $ue
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<9T6 9bs#r(ese $ue en general,
En la 3ig! 2!D se muestra un sistema de controlretroalimentado!
3ig! 2!D!
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Para este sistema se cumplen las siguientes relaciones
Entonces
o sea
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