certains exercices corrigés de variable aléatoire continue la loi _ normal

7/28/2019 certains exercices corrigs de variable alatoire continue la loi _ normal

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La quantit optimalede monnaie dans un modle

avec appariementsalatoires

Guillaume ROCHETEAU *

RSUM. Cet article prolonge le modle montaire de prospectionde KIYOTAKI et WRIGHT [1993] en introduisant une distribution desencaisses montaires et des stocks de marchandises. La quantit opti-male de monnaie est dtermine sous diffrentes hypothses sur lesstocks de biens et de monnaie des agents. La borne suprieure du stockdencaisses est endognise et lexistence dquilibres multiples estdmontre.

Inventories, Money Holdings and the Optimal Quantity ofMoney in a Search Economy

ABSTRACT. This article determines the optimum quantity of moneyfor various extensions of the search-theoretic model of fiat money andexamines the robustness of the KIYOTAKI and WRIGHTs results in thepresence of money and inventory holdings. In the case of a bound onmoney holdings, the optimum quantity of money is reached when thedistribution of money among agents is uniform. The choice of this upperbound by rational agents generates multiple equilibria.

* G . ROCHETEAU : DEEP - HEC, Universit de Lausanne,([email protected]).Je remercie pour leurs nombreuses suggestions Y. LI et R. WRIGHT. Cet article a gale-ment bnfici des remarques dun rapporteur anonyme, de D. MORTENSEN, C. VEDEL,P. VILLIEU et des participants aux 15mes Journes internationales dconomie mon-taire et bancaire Toulouse, au Colloque T2M Marseille et au Congrs de lEEA Berlin. Les ventuelles erreurs ou insuffisances de cet article sont miennes.

ANNALES DCONOMIE ET DE STATISTIQUE. N58 2000

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1 Introduction

Dans une approche transactionnelle, la dtention et la circulation de lamonnaie sont expliques par la prsence de diffrents cots inhrents lchange 1. En particulier, dans une conomie de troc dcentralise, deuxindividus naccepteront dchanger que si chacun dtient un bien que lautresouhaite acqurir : cest la ncessit de la double concidence des dsirsmentionne par JEVONS [1875] et MENGER [1892]. La monnaie est loutil dontdisposent les agents pour saffranchir de cette obligation et rduire le tempsde lchange. La quantit de monnaie dont une conomie a besoin dpendalors du volume des transactions quelle doit raliser, cest--dire des caract-

ristiques de sa production, de son degr de spcialisation et du got de sesagents pour la diversit des biens quils consomment. Ainsi Jean-Baptiste SAY,crit-il, dans le chapitre 23 de son Trait dconomie Politique [1803] :

La monnaie ntant quun instrument qui sert faciliter nos changes, laquantit de monnaie dont un pays a besoin est dtermine par la somme deschanges que les richesses de ce pays et lactivit de son industrie entra-nent ncessairement. (...) Quand la production est plus active, quand laconsommation est plus tendue, on a plus dchanges conclure, on abesoin dune plus forte somme de monnaie.

Le modle montaire de prospection, dvelopp par KIYOTAKI et WRIGHT[1991, 1993] propose une description explicite des frictions de lchange etdu problme de la double concidence des dsirs. Les rencontres entre indi-vidus sont coteuses en temps, alatoires et bilatrales. Le modle deprospection a permis de mettre en vidence deux effets associs un accrois-sement de loffre de monnaie. Le premier est un effet de liquidit selon lequelun plus grand nombre dindividus tant dots dencaisses, chaque marchan-dise trouve un acqureur plus rapidement 2. La monnaie exerce galement un

effet dviction : les agents ne pouvant tre simultanment acheteurs etvendeurs, tout accroissement de la liquidit de lconomie se traduit par unediminution de la proportion des offreurs prsents sur le march. La quantitoptimale de monnaie est atteinte lorsque le gain en terme de bien-tre social amliorer la liquidit de lconomie est annul par la perte en bien-treengendre par lviction des offreurs 3.

La problmatique de la quantit optimale de monnaie telle quelle est envi-sage laide du modle de prospection sloigne considrablement de lalittrature traditionnelle qui aborde cette question dans le cadre de lquilibre

gnral walrasien (voir, WOODFORD [1990]). Dans le modle de prospection,

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1. Voir, par exemple, NIEHANS [1978].2. LIPPMAN et MCCALL [1986] ont montr lintrt dutiliser un modle de recherche pour tudier etdfinir le concept de liquidit. La liquidit dun bien est mesur par le temps moyen pour que ce biensoit transform en monnaie.3. Hormis KIYOTAKI et WRIGHT [1993], la dtermination de la quantit optimale de monnaie dans lecadre du modle de prospection a t envisage par WILLIAMSON et WRIGHT [1994] en prsence duneasymtrie dinformation sur la qualit des biens produits et par V. LI [1995,1997] sous lhypothsedune intensit de recherche endogne.


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la quantit optimale de monnaie indique le niveau de loffre de monnaie entermes rels (i.e. le pouvoir dachat des moyens de paiement dont disposelconomie) qui maximise le bien-tre social. FRIEDMAN [1969], pour sa part,dtermine le taux de croissance de la quantit nominale de monnaie qui estcompatible avec loptimalit paretienne 4. Plus fondamentalement, les deux

approches se distinguent par leur prise en compte de la monnaie. Pour justi-fier la dtention de la monnaie par les agents conomiques, FRIEDMAN associeles services quelle rend sa fonction dintermdiaire des changes et sacapacit surmonter le problme de la double concidence attach au troc. Or,en recourant au paradigme walrasien, FRIEDMAN adopte une formalisation quiocculte le problme de la double concidence des dsirs et dans laquelle tousles biens sont parfaitement liquides. Au contraire, le rle transactionnel de lamonnaie est parfaitement tabli dans le modle de KIYOTAKI et WRIGHT.

Pour autant, le modle de prospection repose sur des hypothses restrictives

qui peuvent susciter quelques rserves quant la robustesse de certains rsul-tats. En particulier, les individus sont contraints dtenir au plus une unit debien ou une unit de monnaie 5. Lobjet principal de notre travail est de levercette restriction afin damliorer notre comprhension des effets de liquiditet dviction et de clarifier les rsultats des modles de prospection quant laquantit optimale de monnaie.

Nous supposerons, dans un premier temps, que les stocks de biens et demonnaie des agents sont potentiellement illimits : chaque agent stocke etdstocke les biens, accumule et dpense les units montaires sans aucune

restriction, au gr de la production et des changes. La monnaie exerce alors,uniquement, un effet de liquidit. la diffrence de KIYOTAKI et WRIGHT, nousmettrons en vidence deux rgimes : lun o lconomie est confronte unecrise gnrale de surproduction, lautre o le flux des biens produits est int-gralement consomm. La masse montaire critique qui spare les deux rgimessera appele seuil optimal de la quantit de monnaie. En dessous de ce seuil,toute augmentation de la quantit de monnaie est source deffets rels ; lop-pos, au-dessus du seuil optimal, la monnaie ne modifie ni le volume deschanges, ni le bien-tre social. Le seuil optimal de la quantit de monnaie

dpend des conditions de lchange, de la consommation et de la production :il diminue, en particulier, lorsque les changes de troc sont ralisables.Dans un second temps, nous introduirons leffet dviction en supposant

que les individus ont une capacit de stockage des encaisses montaireslimite. Toutefois, la diffrence de KIYOTAKI et WRIGHT [1991,1993] pourqui le stock dencaisses des agents ne peut dpasser une unit, nous suppose-rons que la borne suprieure du stock dencaisses peut prendre nimportequelle valeur sur lensemble des entiers. Cette restriction sera suffisante lobtention dune quantit optimale de monnaie finie et unique. Sous lhypo-

thse dun processus de production instantan, nous montrerons que la

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4. Pour FRIEDMAN, la politique montaire optimale doit garantir un taux de dflation gal au tauxdintrt rel (ou au taux de prfrence pour le prsent) de manire ce que le cot dopportunit dela dtention dencaisses, mesur par le taux dintrt nominal, soit nul et gal au cot marginal de lamonnaie.5. Couple avec lhypothse selon laquelle tous les objets prsents dans lconomie (y compris lamonnaie) sont indivisibles, cette restriction permet KIYOTAKI et WRIGHT dobtenir des termes delchange unitaires : une unit de monnaie achte exactement une unit de marchandise relle. Il estalors impossible de distinguer la quantit nominale de la quantit relle de monnaie.


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quantit optimale de monnaie par individu est exactement gale la moiti dela borne suprieure des encaisses individuelles ; ce faisant, nous gnralise-rons le rsultat de KIYOTAKI et WRIGHT selon lequel loptimum le nombredes offreurs (les agents qui produisent) est gal au nombre des demandeurs(les agents dots dencaisses) 6.

Enfin, nous conclurons notre tude de leffet dviction en endognisant lalimite suprieure du stock dencaisses montaires des agents. Pour cela, noussupposerons que leffort associ la production est source de dsutilit. Nousmontrerons la dcroissance de lutilit marginale de la monnaie et lexistencedun niveau de la richesse montaire au-del duquel un individu prfrestopper son activit de production pour consacrer son temps dpenser sesunits de monnaie. Le comportement doffre dun agent est donc modifi parun effet dencaisses relles. Nous montrerons galement que le choix de laborne suprieure du stock dencaisses engendre des complmentarits strat-

giques et des quilibres multiples7

.La problmatique de notre article sinscrit dans un programme de recherchercent qui vise tudier le rle transactionnel de la monnaie laide dumodle de prospection en prsence dune distribution des encaisses mon-taires. Ce programme, qui remonte DIAMOND et YELLIN [1985, 1990] aconnu, avec le succs du modle de KIYOTAKI et WRIGHT [1991, 1993], unregain dintrt. Toutefois, la plupart des travaux existants ngligent lin-fluence des stocks en supposant que la production est instantane (BERENTSEN[1998] ; GREEN et ZHOU [1998] ; MOLICO [1998] ; ZHOU [1999]). LI [1994]

permet aux agents de stocker plusieurs units de marchandise, mais supposepour cela que les activits dchange et de production sont incompatibles etmaintient la restriction selon laquelle les agents ne peuvent dtenir quuneseule unit de monnaie.

Notre article est divis en cinq sections. La premire section propose unbref rappel de la littrature consacre aux modles de prospection et indiqueses dveloppements rcents 8. La deuxime section prsente les hypothses denotre modle et caractrise le concept dquilibre et le critre de bien-tresocial. Leffet de liquidit de la monnaie et le seuil optimal de la quantit de

monnaie sont tudis dans la troisime section. La quatrime section rintro-duit leffet dviction et endognise la contrainte postule par K IYOTAKI etWRIGHT [1991, 1993] portant sur le stock dencaisses des agents. La derniresection conclut larticle.

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6. Ce rsultat est galement dmontr par BERENTSEN [1998] dans une tude consacre la distribu-tion optimale des encaisses montaires.7. La prsence dquilibres multiples est la rgle dans les modles consacrs la monnaie fiduciaire.Voir, par exemple, KIYOTAKI et WRIGHT [1991,1993], SHI [1995], TREJOS et WRIGHT [1995]. ladiffrence de lanalyse de ZHOU [1999] qui endognise les prix, il y a une seule source dindtermi-nation dans notre modle, savoir le choix de la borne suprieure du stock dencaisses.8. Pour une prsentation dtaille des modles de prospection, voir ANGAOUI et BAUDASS [1997].


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2 Les dveloppements rcentsdes modles de prospection

Les modles avec appariements alatoires, quils soient appliqus aumarch des biens ou au march du travail, ont pour vocation de dcrire, dansun univers dcentralis, le mcanisme par lequel les acheteurs parviennent rencontrer les vendeurs. Ils offrent, de ce fait, un cadre thorique naturelle-ment adapt lexplication de la principale fonction de la monnaie, celledintermdiaire des changes.

Dans un premier temps, les modles de prospection ont dcrit la gense dela monnaie, cest--dire lmergence endogne dun intermdiaire deschanges en labsence de toute contrainte lgale (KIYOTAKI et WRIGHT[1989] ; AIYAGARI et WALLACE [1991]). Lconomie est alors compose deN 3 biens, chacun procurant une utilit directe certains individus, et duncontinuum dagents spcialiss la fois dans les activits de consommation etde production. Un individu qui produit le bien i {1, ,N} consommeuniquement le bien i + 1 (modulo N) : la double concidence des dsirs estimpossible. Dans ce contexte, des changes indirects doivent se raliser etcertains accepteront des marchandises quils ne consomment pas. De plus, lebien utilis comme intermdiaire des changes nest pas ncessairement celuiqui a les cots de stockage ou les cots de reconnaissance (en prsence din-

certitude) les plus faibles (KIYOTAKI et WRIGHT [1989] ; CUADRAS-MORATO[1994] ; Y. LI [1995]).

Aprs avoir dcrit la gense de la monnaie, diffrents auteurs (dontKIYOTAKI et WRIGHT nouveau) ont cherch promouvoir le modle mon-taire de prospection comme une alternative possible aux modles montairesexistants (les modles encaisses pralables, monnaie dans la fonctiondutilit ou encore gnrations imbriques). Bas sur le problme de ladouble concidence, le modle dappariement offre un cadre thorique suscep-tible de dcrire la valorisation, lutilisation et la circulation dune monnaiefiduciaire sans utilit intrinsque.

Le premier modle de recherche introduisant une monnaie fiduciaire a tpropos par DIAMOND [1984]. Toutefois, la valorisation de la monnaie lqui-libre, en labsence de problme de double concidence, ne repose que sur laprsence dune contrainte dencaisses pralables. KIYOTAKI et WRIGHT [1989]renoncent cette contrainte et prolongent leur modle de gense de la monnaiede manire y inclure une monnaie fiduciaire. Ils montrent lexistence dunquilibre o tous les agents acceptent la monnaie. La rsolution du modletant, malgr tout, assez lourde, KIYOTAKI et WRIGHT [1991, 1993]) proposentune version plus simple et manipulable de leur modle de prospection 9. Ilsabandonnent pour cela les questions relatives la gense de la monnaie pourse consacrer lexplication de lutilisation et de la circulation dune monnaie


9. Ce modle a permis dtudier le rle de la monnaie en prsence dune asymtrie informationnelle(WILLIAMSON et WRIGHT [1994] ; KIM [1996]), lacceptation et la circulation dune monnaie interna-tionale (MATSUYAMA et alii [1993] ; ZHOU [1997]), le lien entre la monnaie et la structure du march(KULLTI [1994]), lacceptation et la production de faux billets (GREEN et WEBER [1996]), limpact dela monnaie sur le degr de spcialisation de lconomie (S HI [1997b]), lmission de monnaiesprives par les banques (CAVALCANTI et alii [1999]).



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fiduciaire, en labsence de toute contrainte lgale 10, dans une conomiecompose dun continuum de biens. KIYOTAKI et WRIGHT [1991, 1993]montrent lexistence de trois quilibres de NASH : un quilibre de troc o laprobabilit dacceptation de la monnaie est nulle ; un quilibre montaire puro la monnaie fiduciaire est accepte par tous les agents ; un quilibre mon-

taire impur o la monnaie est accepte avec une probabilit infrieure lunit.Le modle de KIYOTAKI et WRIGHT souligne, de plus, limportance descroyances des agents dans linstauration de la monnaie. Des quilibres avectaches solaires o lacceptation de la monnaie fluctue en fonction de la ralisa-tion dun vnement alatoire, exogne et indpendant des fondamentaux delconomie, sont donc susceptibles de se raliser (WRIGHT [1994]).

Toutefois, pour parvenir capturer lessence du phnomne montaire,KIYOTAKI et WRIGHT [1991, 1993] ont d recourir plusieurs hypothses trsfortes et irralistes : les agents ne peuvent dtenir quune seule unit de bien

ou de monnaie, tous les biens (y compris la monnaie) sont indivisibles. Cesdeux hypothses admettent alors comme corollaire quune unit de monnaieachte exactement une unit de marchandise relle. Les travaux les plusrcents sur les modles de prospection proposent diffrentes manires de leverces hypothses.

2.1 La dtermination du pouvoir dachat de la monnaie

Les modles consacrs la logistique de lchange vacuent la question desprix en supposant que ceux-ci sont fixs leur niveau walrasien (voir, parexemple, OSTROY et STARR [1990]). Le modle de prospection avec monnaiefiduciaire de KIYOTAKI et WRIGHT ne fait pas exception et considre le pouvoirdachat de la monnaie comme exogne 11.

Toutefois, une thorie montaire complte doit expliquer la dterminationdu niveau gnral des prix. La modlisation du fonctionnement des marchsdcentraliss laide de la thorie des jeux offre des outils pour prolonger demanire adquate le modle de base de KIYOTAKI-WRIGHT (voir, OSBORNE et

RUBINSTEIN [1990]). Labandon de lhypothse dindivisibilit des biens(hormis pour la monnaie) et lutilisation de lapproche stratgique de la ngo-ciation (ou de formes axiomatiques quivalentes) ont permis SHI [1995] etTREJOS et WRIGHT [1995] daboutir une deuxime gnration de modlesmontaires de recherche 12. Le pouvoir dachat de la monnaie correspondalors la quantit de marchandises relles quune unit montaire permetdacqurir. Chaque offreur a dornavant la possibilit de produire la quantitde bien (divisible par hypothse) quil souhaite. Cette quantit fait lobjetdune ngociation dcentralise entre chaque couple dacheteur-vendeur.

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10. AIYAGARI et WALLACE [1997] montrent comment le gouvernement peut inciter les agents utiliserla monnaie fiduciaire.11. Plus exactement, le pouvoir dachat de la monnaie est contraint par lhypothse dindivisibilitdes biens et de la monnaie et par la capacit de stockage limite des agents.12. Le modle de prospection prix endognes est utilis pour envisager de nombreuses problma-tiques montaires : la circulation de plusieurs monnaies et la dtermination du pouvoir dachat dunemonnaie internationale (AYAGARI et alii [1996] ; SHI [1995] ; TREJOS et WRIGHT [1996]), la loi deGresham (VELDE et alii [1998]), la dtermination du pouvoir dachat dune monnaie marchandise(BURDETT et alii [1998]), lintroduction de titres concurrenant la monnaie (AIYAGARI et alii [1996] ;LI [1998] ; SHI [1996] ; WALLACE [1997a]).


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Le rsultat fondamental des modles montaires de recherche avec ngocia-tion est lindtermination du niveau gnral des prix ds lors que les changesde troc et les changes montaires coexistent 13. Le niveau gnral des prixest fonction des croyances de chaque individu quant la valeur que tous lesautres agents de lconomie accordent la monnaie. Si les vendeurs antici-

pent un pouvoir dachat de la monnaie faible, alors ils sont disposs offrirpeu de biens en change dune unit montaire. linverse, les vendeursoffrent une quantit leve de marchandises relles sils pensent que lamonnaie a une forte valeur dchange. Les croyances des agents sont auto-ralisatrices. Lconomie montaire, qui peut tre confronte des quilibresavec taches solaires (SHI [1995]) ou des cycles limites stables (COLES etWRIGHT [1998]), est donc caractrise par une instabilit endogne.

Enfin, laxe de recherche le plus prometteur pour le modle de prospectionest celui qui consiste endogniser les prix tout en abandonnant lhypothse

dindivisibilit de la monnaie (SHI [1997a] ; LAING et alii [1997]). Labsencede neutralit de la monnaie obtenue dans les modles de SHI [1995] ou TREJOSet WRIGHT [1995] nest alors plus vrifie. Toutefois, la monnaie peut ne pastre super-neutre.

2.2 La distribution des encaisses montaires

Afin dendogniser le niveau gnral des prix, SHI [1995] et TREJOS etWRIGHT [1995] conservent deux hypothses fortes : celle dune monnaie indivi-sible et celle dune capacit de stockage limite des units montaires. Ladistribution des avoirs montaires des individus lquilibre a alors une formetrs simple : elle est dfinie sur lensemble {0,1} et la part des agents dotsdencaisses concide exactement avec loffre de monnaie exogne.

Les premiers auteurs abandonner lhypothse limitant les avoirs mon-taires des agents sont DIAMOND et YELLIN [1990]. Ils utilisent pour cela unmodle dquilibre gnral deux marchs (un march du travail parfaite-ment concurrentiel et un march des biens rgi par appariements) et

supposent que les travailleurs reoivent un flux constant de salaire mais effec-tuent leurs achats des instants alatoires du temps. En labsence deproblme de double concidence, le modle de DIAMOND et YELLIN [1990]nexplique la dtention de monnaie que par la prsence dune contrainte den-caisses pralables. De plus, seuls les travailleurs supportent les cots delchange, les capitalistes pouvant consommer directement une fraction desbiens quils produisent.

Ces insuffisances ont motiv plusieurs travaux rcents qui ont cherch introduire un comportement de stockage des units montaires directement

dans le modle de KIYOTAKI et WRIGHT [1993]. Ainsi, GREEN et ZHOU [1998]ont abandonn la structure bipartite de lconomie de DIAMOND et YELLIN[1990] pour ne considrer, conformment au modle de K IYOTAKI et WRIGHT[1993], quun ensemble dagents la fois producteurs et consommateurs. Laproduction nest coteuse ni en temps, ni en terme dutilit, et labsence dedouble concidence des dsirs rend le troc impossible. En supposant que le


13. Comme le signale SHI [1995], cette caractristique est commune aux grandes catgories demodles montaires.


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prix des biens est dtermin au moyen dune offre prendre ou laisser etque la richesse montaire de chaque agent est une information prive, G REENet ZHOU montrent lexistence dun continuum dquilibres vrifiant la loi duprix unique : lquilibre montaire est donc compltement indtermin.

ZHOU [1999] prolonge le modle prcdent au cas o la production est

source de dsutilit. Sachant que le seul moyen pour acqurir une unit rellede monnaie consiste vendre une unit doutputet que lutilit marginale dela monnaie est dcroissante 14, ZHOU tablit lexistence dune borne sup-rieure endogne sur le stock dencaisses des agents. Pour un individusuffisamment riche, le cot associ la production dune unit de marchan-dise est suprieur au gain en terme desprance dutilit dtenir une unitrelle de monnaie supplmentaire. Lindtermination de lquilibre montaireest, alors, renforce par la coexistence de plusieurs quilibres caractriss pardiffrents niveaux de la borne suprieure du stock dencaisses.

Enfin, MOLICO [1998] russit un coup de force et lve la plupart des hypo-thses restrictives du modle de KIYOTAKI et WRIGHT [1993]. Les marchandiseset la monnaie sont parfaitement divisibles et aucune contrainte exogne nelimite le stock dencaisses des agents. Les acheteurs et les vendeurs qui serencontrent par paires ngocient la fois la quantit de monnaie qui estdbourse par lacheteur et la quantit de marchandises qui est livre par levendeur. tant donn le caractre alatoire de la prospection du march, ladistribution des encaisses des individus est non-dgnre : il en va donc, demme, pour la distribution des prix. Toutefois, le modle est extrmement

compliqu et ne peut tre rsolu quau moyen de mthodes numriques.

3 Le modle

Notre modle sinscrit dans la ligne de celui propos par GREEN et ZHOU

[1998]. la diffrence de ces derniers nous nenvisageons pas la dtermina-tion des prix mais nous introduisons les stocks de marchandises et ladimension temporelle du processus de production.

3.1 Les hypothses

Considrons une conomie dchange et de production compose duncontinuum dagents immortels indics sur lensemble E, dun continuum de

biens indivisibles indics sur le mme ensemble E et dune monnaie fidu-ciaire indivisible. La taille de la population est norme un. La monnaie naaucune utilit intrinsque ; elle circule, toutefois, dans lconomie pourpermettre aux agents de surmonter le problme de la double concidence etainsi dconomiser du temps dans les changes.

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14. Plus prcisment, lesprance dutilit actualise dun agent en fonction du stock dencaisses quildtient est croissante et concave.


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Chaque agent est spcialis la fois dans lactivit de production et danslactivit de consommation. Un individu i E consomme tous les bienscompris dans lensemble Ei Emais ne produit que le bien i / Ei. Sa fonc-tion dutilit instantane dfinie sur Evrifie :

ui (j) = U > 0 j Ei ,

= 0 sinon,

o ui (j) est lutilit associe la consommation dune unit de bien j.Pour formaliser les prfrences idiosyncratiques des individus, et donc la

ralisation de la simple et de la double concidence des dsirs, nous recourons des hypothses trs gnrales qui conservent la symtrie entre les individus.Considrons lvnement suivant : lagent i rencontre un partenaire j choisiau hasard dans E. La probabilit que la marchandise j produite par lagent jsoit comprise dans E

iest gale la probabilit de simple concidence des

dsirs note x (0,1).

x = P [j Ei ] , (i,j) E E.

Supposons la simple concidence ralise (j Ei ). La probabilit (condi-tionnelle) que le bien i soit compris dans lensemble des biens que jconsomme est gale y (0,1).

y = P

i Ej |j Ei

, (i,j) E E.

La probabilit de la double concidence des dsirs (j Ei et i Ej ) estdonc gale xy. La plus ou moins grande difficult raliser des changes detroc dpend de la valeur du paramtre y 15.

Un agent ne consomme jamais plus dune unit de marchandise la fois(hypothse de saturation) et stocke uniquement le bien quil produit. En outre,quel que soit le niveau de son stock dencaisses, un individu qui prospecte lemarch ne peut conserver dans son portefeuille quune seule unit demonnaie. Les termes de lchange sont donc unitaires : une unit de monnaieachte exactement une unit de bien.

La production dune unit de marchandise nest source daucune dsutilit ;cette hypothse sera leve dans lavant-dernire section de cet article. Laconsommation et la production ont lieu chacune des dates discrtes dutemps suppos continu. Lutilit intertemporelle dun individu qui consommeaux dates {tk,k N} est gale

kN

Uexp (rtk) ,

o r > 0 est le taux de prfrence des agents pour le prsent.


15. Cette formalisation, qui est emprunte L I et WRIGHT [1998] et BURDETT et alii [1998], admet,comme cas particuliers, les spcifications utilises dans les modles de prospection antrieurs. Ainsi,supposons que Escrive comme une partition de N 3 sous-ensembles disjoints ( E1,...,EN) demme mesure 1/N. Les individus i Ekconsomment uniquement les biens compris dans Ek+1modN.On retrouve alors la spcification de KIYOTAKI et WRIGHT [1989] et AIYAGARI et WALLACE (x = 1/N,y = 0) selon laquelle la double concidence des dsirs nest jamais ralise. Si Eest un cercle decirconfrence gale deux, et si un individu i consomme tous les biens j tels que la longueur de larcde cercle

i j est infrieure x (mais strictement positive), alors y =x et la probabilit de double con-

cidence est x2, conformment au modle de KIYOTAKI et WRIGHT [1991, 1993].

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Le temps est llment central du modle. Il intervient comme inputde latechnologie de production, ct des services de travail du producteur. Letemps consacr la production dune unit de bien est alatoire et estdistribu selon une loi exponentielle de paramtre > 0 ; la dure moyennede la production dune unit doutputest donc gale 1/. Le paramtre peut tre interprt comme une mesure exogne de la productivit. Si estinfini la production est instantane.

Le temps intervient galement dans lchange qui est modlis laidedune technologie dappariement linaire 16. Les individus se rencontrent auhasard et anonymement : il est donc impossible pour un agent dacheter unbien au moyen dune reconnaissance de dettes 17. Le nombre de rencontrespar agent sur un intervalle de temps de longueur t > 0 est distribu selon uneloi de Poisson de paramtre t, o > 0 reprsente lefficacit du processusdappariement. (De manire quivalente, les temps dinter-arrives dun

partenaire pour un individu donn sont indpendants et distribus selon uneloi exponentielle de paramtre ). Lorsque tend vers linfini, les agents serencontrent instantanment ; lconomie ne comporte alors aucune frictiondue aux activits dchange.

3.2 Les stocks de biens et de monnaie

Ni le stock de biens des agents, ni celui des encaisses montaires ne sontcontraints. Le stockage des biens et des units montaires est modlis par unrseau de deux files dattente refltant la structure squentielle de la produc-tion et de lchange.

Le niveau des stocks de biens et de monnaie dun individu est donn par lataille de chacune des deux files dattente. Les arrives dans la premire filecorrespondent aux instants de production des biens. Les sorties de la premirefile indiquent les instants auxquels les marchandises sont dstockes pour trevendues. Les changes sont directs (changes de troc) ou indirects (changesmontaires). Les arrives dans la seconde file seffectuent lorsquun individuvend une unit de bien contre une unit de monnaie. Les units montairessortent de la seconde file lorsquelles sont dpenses. Un agent ne pouvantaccrotre son stock dunits montaires quen diminuant son stock de biens,les deux files sont alors en rseau 18. Notons Xm(t) et Xn(t) les stocks demonnaie et de biens dun agent la date t.

La premire file dattente : le stock des biens

Le temps de production dune unit de bien est une variable alatoire distri-bue selon une loi exponentielle de paramtre > 0. Chaque agent stocke lesunits du bien quil produit afin de les changer directement contre les biens

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16. Sous lhypothse dune technologie dappariement linaire, le nombre de rencontres par unit detemps est proportionnel au nombre dagents prsents sur le march. Pour une prsentation des techno-logies dappariement linaire et quadratique, voir DIAMOND et MASKIN [1979]17. Lintroduction du crdit dans les modles de recherche a t effectue par DIAMOND [1987,1990].18. Pour une prsentation de la thorie des files dattente, voir KLEINROCK [1975]. La thorie desrseaux de files dattente est expos dans GELENBE et PUJOLLE [1985]. Voir, en particulier, le chapitre2 consacr aux rseaux de JACKSON.



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quil consomme ou contre des units de monnaie. Pour un agent donn, leschanges de troc se ralisent au taux b > 0 et lacquisition dunits mon-taires au taux a > 0 19.

La seconde file dattente : le stock de monnaie

Un agent stocke les units de monnaie en vue de les changer ultrieure-ment contre des units de marchandise. Le temps ncessaire pour procder un tel change est une variable alatoire de loi exponentielle de paramtree > 0.

Le rseau des deux files dattente est reprsent sur le graphique 1.Les entres et sorties de chaque systme sont indiques par des flches. Au-

dessus de chaque flche figure le paramtre du processus de Poissonsous-jacent (i.e. de la loi exponentielle dcrivant les temps dinter-arrivesdans chacune des files).

Un quilibre dans notre modle correspond une situation de long terme ola distribution des encaisses montaires des agents est stationnaire ; enrevanche, pour certains des quilibres considrs le processus guidant lvo-lution des stocks de marchandises pourra tre transitoire (Xn = +presque-srement). La rsolution du modle consiste dterminer, pour unindividu donn, la distribution de probabilit lquilibre de son stock demonnaie et de biens. Lconomie tant compose dun continuum dagents,on en dduit la distribution des encaisses et des stocks de biens de lensembledes individus.

Les distributions des stocks de monnaie et de marchandises lquilibre,notes m(.) et n(.), vrifient (Voir annexe 1) :

(3.1) n(n) =

1

a + b

a + b

nn N, si < a + b,

(3.2) m(m) =

1

e

a

a + b

e

a

a + b

m, m N,

o = min(,a + b). Deux rgimes sont distingus selon que est stricte-ment infrieur, ou suprieur a + b.


19. On utilisera parfois, de manire quelque peu abusive, le terme de vitesse pour dsigner des proba-bilits instantanes.

FIGURE 1Les stocks de biens et de monnaie


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Lquilibre sur le march des biens ( < a + b).

Daprs (3.1), le flux de biens produits est gal au flux de biens achets, soit :

(a + b) {1 n(0)} = .

La terme (a + b) dsigne la probabilit instantane deffectuer un change(de troc ou montaire); le terme {1 n(0)} indique la probabilit que lestock de biens ne soit pas nul ; le produit de ces deux termes correspond auflux des biens vendus. Les stocks de biens et dencaisses sont distribus selondes lois gomtriques de paramtres respectifs a/ {e(a + b)} et /(a + b).

La surproduction de biens ( a + b).

Il nexiste pas de distribution stationnaire du stock de biens. Le processus

Xn(t),t R+

est transitoire (Xn() = + presque-srement) ou rcur-rent nul (Xn() / {0,1,...,n} presque-srement pour tout n < +) : lesoffreurs sont confronts un problme de dbouchs. Les marchandises nepouvant scouler aussi vite quelles sont produites, le stock de chaque agentdevient infini : lconomie connat une crise gnrale de surproduction.

3.3 Le bien-tre social

La problmatique de notre article tant consacre la quantit optimale de

monnaie, prcisons le critre nous permettant de mesurer le bien-tre social.Le caractre alatoire du processus dappariement engendre une htrognitex post entre les agents 20. Dans le cas o < a + b ltat dun agent estentirement caractris par sa richesse montaire et par le niveau de sesstocks. Lesprance dutilit actualise dun agent qui stocke n units de bienset m units dencaisses est note V(m,n). Sous un critre utilitariste, le bien-tre social West mesur par la somme des esprances dutilit de lensembledes agents de lconomie.

W = (m,n)NN

(m,n)V(m,n).

La quantit Z = rW reprsente alors le flux de bien-tre social perma-nent . Le choix du critre de bien-tre Z est cohrent avec notre conceptdquilibre de long terme. En effet, le lemme suivant tablira que Zest ind-pendant du taux de prfrence des individus pour le prsent. Le planificateursocial mesure le bien-tre en supposant que les individus ne manifestent pasde prfrence pour le prsent et nglige donc tous les effets transitoires dunevariation de la quantit de monnaie 21. Les modalits dun accroissement de laquantit de monnaie nont ds lors aucune importance dans notre analyse 22.

112

20. Notre modle suppose une symtrie entre les individus de lconomie. Seul le caractre alatoiredu processus dappariement et du processus de production permet dexpliquer que certains agentsaient accumul plus de monnaie ou de marchandises que dautres.21. Cette mthodologie est utilise notamment par HOSIOS [1990] pour tudier loptimalit des qui-libres dans les modles dappariement.22. BERENTSEN [1998] simule la trajectoire de lconomie pour diffrentes distributions initiales desencaisses dans une conomie dpourvue de stocks. Il montre que lconomie converge toujours verslquilibre de long terme quelle que soit la distribution initiale de la quantit de monnaie.


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LEMME 3.1. Lorsque < a + b, lexpression du bien-tre social lqui-libre est donne par :

(3.3) Z = {1 m(0)} eU+ {1 n (0)} bU.

Preuve : Voir annexe 2.

Dans le cas o a + b la situation dun agent est entirement caract-rise par le niveau de ses encaisses montaires : en effet, il nest(presque-srement) jamais en rupture de stock. Lexpression du bien-tresocial dans ce cas est donne par :

(3.4) Z = {1 m (0)} eU+ bU.

lquilibre, il y autant dindividus qui quittent un tat donn que dindi-vidus qui le rejoignent ; les plus-values (en termes desprance dutilitactualise) des uns sont donc les moins-values des autres. La fonction debien-tre social Z cumule, en dfinitive, les flux dutilit instantane. Lepremier terme du membre de droite de (3.3) et (3.4) est le produit de la partdes agents dots dencaisses par la probabilit instantane deffectuer unevente par lutilit lie la consommation dune unit douput; cest donc lasomme des flux dutilit associs aux changes montaires. Le second termerecense les flux dutilit associs aux changes de troc.

La situation de rfrence est celle dune conomie dpourvue de frictionsdans laquelle les changes sont instantans. La production de marchandisesseffectue pour chaque individu des instants alatoires : ds quun individu aproduit une unit, il lchange instantanment contre un bien quil consomme.Sur un intervalle de temps de longueur infinitsimale d t, une fraction d tdesagents produisent une unit de marchandise. La somme des flux dutilitinstantane est alors gale ZWqui vrifie :

ZW = U.

3.4 Lacceptation de la monnaie

Comme cela a t rappel dans la section prcdente, KIYOTAKI et WRIGHT[1993] ont dmontr dans le cas o les agents dtiennent au plus une unit demonnaie ou une unit de marchandise lexistence de trois quilibres : un qui-libre montaire pur, un quilibre de troc et un quilibre montaire impur.Dans cet article, seuls nous intresseront les quilibres montaires purs o la

monnaie est accepte avec une probabilit unitaire par tous les agents. Nousrecenserons, toutefois, au pralable, les quilibres de Nash symtriques enstratgies pures et stationnaires, cest--dire les quilibres tels que la dcisionde chaque agent daccepter la monnaie est indpendante de son tat (le niveaude ses stocks et de sa richesse montaire). La probabilit avec laquelle lamonnaie est accepte dans lconomie est note . Soit la probabilit dac-ceptation de la monnaie par un individu i quelconque et supposons bstrictement positif (la discussion devenant triviale dans le cas o les changesde troc sont impossibles).




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Montrons, tout dabord, que la stratgie = 0 correspond bien un qui-libre de Nash ( = 0 = 0). Si personne naccepte la monnaie danslconomie, lesprance dutilit actualise dun individu ne dpend que deson stock de biens. Notons V=0(n) la fonction valeur dun agent dtenant nunits de marchandise. Elle vrifie lquation dabsence darbitrage suivante :

(3.5) rV=0(n) = b {U+ V=0(n 1) V=0(n)} +

(3.6)+ {V=0(n + 1) V=0(n)} , n N,

rV=0(0) = {V=0(1) V=0(0)} .

Le premier terme du membre de droite de (3.5) donne le gain dun changede troc : cest la somme de lutilit instantane de la consommation ( U) et dela moins-value associe la diminution du stock de biens (V=0(n 1)

V=0(n)). Le second terme du membre de droite de (3.5) donne le gain enterme desprance dutilit associ la production dune unit de marchan-dise (un vnement qui se ralise avec une probabilit instantane ). Il estdmontr dans la section 5.1 pour une quation similaire que V=0(n) estcroissante et concave. En effet :

V=0(n) V=0(n 1) =znU,

o z est un rel positif infrieur lunit. Ds lors :

V=0(n 1) < V=0(n), n N.

Un individu na pas intrt se dpossder dune unit de bien pouracqurir une unit de monnaie lorsque celle-ci na aucune chance de pouvoircirculer par la suite. En rponse = 0, lindividu i choisira donc la stra-tgie = 0. En prsence dune monnaie fiduciaire, un quilibre nonmontaire existe toujours.

Montrons, maintenant, que la situation o tous les individus choisissent la

stratgie = 1 correspond galement un quilibre deNash. La probabilitdacceptation de la monnaie dans lconomie est unitaire ( = 1). Un indi-vidu qui accepte la monnaie peut utiliser cette dernire la fois dans lesrencontres avec double concidence des dsirs et dans les rencontres avecsimple concidence. Supposons toutefois que lindividu i dpense ses unitsmontaires uniquement lorsque la double concidence des dsirs est ralise ;autrement dit, i nutilise jamais la monnaie pour acqurir le bien produit parun individu j qui ne valorise pas le bien i ( i / Ej). Sil est rationnel pour idaccepter la monnaie dans ces conditions, cette stratgie est a fortiori ration-

nelle lorsque i a la possibilit dutiliser la monnaie dans les rencontres oseule la simple concidence des dsirs est ralise (il a, en effet, le loisir de nepas profiter de cette libert supplmentaire). Lindividu i change la monnaiede la mme manire quil change les units du bien quil produit : son esp-rance dutilit, note V=1(m,n) ne dpend donc que de la quantit totaledobjets (les units de marchandises (n) et les units montaires (m)) quil aen sa possession.

V=1(m,n) = Vc=1(m + n), (m,n) N

2,

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o Vc=1(.) vrifie (3.5)-(3.6). On en dduit donc que

V=1(m + 1,n 1) = V=1(m,n) = Vc=1(m + n), (m,n) N N

.

Dans la mesure o i peut faire au moins aussi bien avec une unit demonnaie quavec une unit de marchandise, il na aucune raison de refuser la

monnaie. Un individu choisit daccepter un objet uniquement en fonction deses proprits de liquidit, cest--dire en fonction de la facilit avec laquellecet objet permet dacqurir un bien quil consomme. Ds lors que la monnaiedevient au moins aussi liquide que les autres biens de lconomie, les agentssont incits laccepter 23. Lquilibre montaire pur est un quilibre deNash.

Poursuivons, toutefois, notre raisonnement, et montrons que i choisirarationnellement dtendre lutilisation de la monnaie aux rencontres avecsimple concidence des dsirs. Supposons que i rencontre un partenaire j quiproduit un bien quil valorise (j Ei ), mais que linverse nest pas vrai

( i / Ej) : il y a simple concidence des dsirs. Lindividu i choisit dtendreune seule fois son utilisation de la monnaie une rencontre avec simple con-cidence. Le gain pour i acheter le bien j avec une unit de monnaie est lesuivant :

U+ Vc=1(m + n 1) V

c=1(m + n) =

1 zm+n

U > 0.

Lindividu i, qui manifeste une prfrence pour le prsent, accrot son utiliten utilisant galement la monnaie lorsque seule la simple concidence des

dsirs se ralise.De mme que KIYOTAKI et WRIGHT [1993], notre modle est caractris pardeux quilibres de Nash en stratgies pures et stationnaires : un quilibre detroc ( = 0) et un quilibre montaire pur ( = 1). Il permet ainsi, lamanire DIWAI [1996] dexpliquer la monnaie comme une convention sociale.

4 Leffet de liquidit de la monnaie

4.1 En labsence de double concidence (y= 0)

Dans un premier temps, labsence de double concidence des dsirs (y = 0)rend les changes de troc impossibles 24. Les acheteurs effectifs sont lesagents qui disposent dau moins une unit dencaisse ; les vendeurs effectifssont ceux qui stockent au moins une unit de marchandise.


23. La typologie des quilibres de KIYOTAKI et WRIGHT [1993] peut sobtenir partir des proprits deliquidit des biens. Soit la variable alatoire indiquant le temps ncessaire un agent pour obtenirune unit dun bien quil consomme. Notons E1 [] lesprance de cette variable alatoire lorsquelindividu dtient une unit de marchandise et Em [] lesprance de cette mme variable alatoiredans le cas o il dtient une unit de monnaie. lquilibre de troc : E1 [] < Em [] = +. lquilibre montaire impur : E1 [] = Em []. lquilibre montaire pur : E1 [] > Em [].24. Ce cas est envisag par KIYOTAKI et WRIGHT [1989] dans un modle trois biens (x = 1/3,y = 0) et par AIYAGARI et WALLACE [1991] dans un modle Nbiens (x = 1/N, y = 0).


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4.1.1 Les probabilits instantanes dchange

La probabilit doccurrence dun change de troc est nulle (b = 0). Dslors, les probabilits instantanes dchange a et e, pour un individu donn,vrifient :

(4.1) a = x [1 m (0)] ,

(4.2)e = x [1 n (0)] , si < a,

= x sinon.

Selon (4.1) un vendeurreoit la visite dun acheteurqui consomme le bienquil produit avec une probabilit instantane x (le produit de la probabilitinstantane de rencontre par la probabilit de simple concidence) ; ce dernierdtient des encaisses montaires avec une probabilit {1 m (0)}.

Rciproquement, daprs (4.2) un acheteur trouve un partenaire qui produitun bien quil consomme avec une probabilit instantane x ; la probabilitque le stock du vendeur ne soit pas nul est gale {1 n(0)} dans le cas oil ny a pas surproduction, et lunit sinon. Daprs la dfinition de la proba-bilit invariante, donne par (3.1) et (3.2), les taux a et e vrifient :

(4.3) a = x

e, e = x

a.

Ces deux quations sont quivalentes et ne permettent pas de dterminer demanire unique le couple (a, e). Une condition supplmentaire nous estdonne par lgalit entre les encaisses dtenues et les encaisses existantesdans lconomie, ou de manire quivalente entre loffre et la demande demonnaie. En notant m la quantit moyenne dencaisses par individu (qui estexogne), la somme des stocks individuels dencaisses doit tre gale chaque instant m, soit :

(4.4) E[X

m(t)

]= m, t R+.

Sachant que la distribution de probabilits de Xm () = limt+

Xm (t) estdonne par (3.2), on obtient daprs (4.4) :

(4.5)

e = m.

Loffre de monnaie tant constante, le processus Xm (t),t R+ ne peuttre transitoire (e > ). On dduit de (4.3) et (4.5) lexpression des probabi-lits instantanes dchange lquilibre :

(4.6) e =

1 +

1

m

,

(4.7) a = xm

1 + m.

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Daprs (4.7), le taux a auquel un producteur parvient couler sa produc-tion est une fonction croissante de la quantit de monnaie. La liquidit dechaque marchandise, dans le sens dfini par LIPPMAN et MCCALL [1986],samliore 25. En effet, toute lvation de m entrane une augmentation dunombre des acheteurs effectifs, {1 m(0)}. Inversement, daprs (4.6) letaux e auquel un individu dpense ses encaisses est une fonction dcroissantede la quantit de monnaie. La fraction des individus en rupture de stocks sac-crot et le nombre des vendeurs effectifs diminue lorsque loffre de monnaieaugmente.

DFINITION 1. Un quilibre montaire est entirement caractris par :(i) La distribution des encaisses montaires donne par (3.2).(i i) La distribution des stocks donne par (3.1) dans le cas o < a + b.(i i i) Les probabilits instantanes dchange donnes par (4.6) et (4.7).

4.1.2 Le march des biens est quilibr ( < a).

La vitesse laquelle un agent parvient couler une unit de son stock debiens (a) est plus leve que sa vitesse de production () : il existe une distri-bution stationnaire du stock de biens. Une condition ncessaire pour queloffre ne soit pas rationne ( < a) est donne par sup

mR+a = x > .

Daprs (4.7), lingalit < a se rcrit comme suit :

(4.8) m >

x = m.

Si la masse montaire est strictement suprieure m, le temps moyen pourvendre une unit de marchandise (1/a) est strictement infrieur au tempsmoyen de production (1/) et les stocks de biens sont finis. De (3.2) et (3.3)on dduit lexpression de la fonction de bien-tre social :

(4.9) Z(m) = U, m > m.

Le flux de consommation par unit de temps est gal au flux de production,soit .

Lorsque la quantit de monnaie en circulation dans lconomie est suffi-sante pour permettre la production de scouler, toute augmentation de lamasse montaire laisse inchang le bien-tre social : la monnaie est neutre parrapport au volume des transactions et au bien-tre social 26. Lallocation desressources est optimale et correspond celle dune conomie dpourvue defrictions de lchange : Z(m) = ZW, m > m. Toutefois, les modificationsde la quantit de monnaie affectent les distributions des stocks de biens etdencaisses des agents : en particulier, un accroissement de la quantit demonnaie diminue le niveau moyen des stocks.


25. Rappelons que LIPPMAN et MCCALL [1986, p. 45] mesurent la liquidit dun actif par lesprancedu temps ncessaire pour convertir cet actif en monnaie.26. WALLACE [1997] distingue neutralit court terme et neutralit long terme. On sintresse, ici,uniquement aux situations de long terme o les distributions des encaisses et des stocks sont inva-riantes.


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4.1.3 La surproduction de biens ( a)

Les biens schangent moins rapidement quils sont produits. Le processusqui dcrit lvolution du stock de marchandises est transitoire (ou rcurrentnul en cas dgalit des deux taux). Si > a, le stock de chaque agentdevient infini presque srement : Xn() = +. Daprs (3.2) et (3.3), la

fonction de bien-tre social scrit :Z = aU,

soit daprs (4.7) :

(4.10) Z(m) = xm

1 + mU, m m.

Face un problme de dbouchs, tout accroissement de la masse mon-taire augmente le flux des changes et amliore le bien-tre social. Il ny aplus neutralit de la monnaie.

4.1.4 Quantit optimale de monnaie

La quantit optimale de monnaie maximise la fonction Z(m). Daprs (4.9)et (4.10), la forme gnrale de Z(.) est donne par :

(4.11) Z(m) = minx m1 + m ,U.En premier lieu, si x (i.e. si lchange est plus coteux en temps que

la production) loffre est toujours contrainte et la quantit de monnaie quimaximise le bien-tre social est infinie. Il est alors impossible datteindre lal-location des ressources dune conomie walrasienne.

En second lieu, si x > , il nexiste pas un niveau unique de la massemontaire qui maximise le bien-tre social; la fonction Zest son maximumpour toutes les valeurs de m suprieures m. La quantit m est appeleseuil optimal de la quantit de monnaie. Lorsque loffre de monnaie entermes rels est suprieure m, le bien-tre social est identique celui duneconomie dans laquelle la production est instantanment consomme ; deplus, la monnaie est neutre. Ces diffrents cas sont rsums par la propositionsuivante :

PROPOSITION 4.1. Considrons une conomie montaire pure dans laquellelabsence de double concidence des dsirs rend impossible les changes de

troc (y = 0).Si x /, la quantit optimale de monnaie est infinie.Si x > /, lallocation des ressources est optimale pour toute quantit demonnaie m suprieure m = /(x ).

Le seuil optimal de la quantit de monnaie (m) dpend la fois des condi-tions de lchange ( et x) et de la production ( ). Il est croissant en (linverse du temps moyen ncessaire pour produire une unit de bien) et

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dcroissant en x (la probabilit instantane de rencontrer un individu multi-plie par la probabilit de simple concidence). En labsence de frictions delchange ( +), le seuil optimal est nul 27. Un accroissement de laquantit de monnaie est toujours inutile puisquil naccrot ni ne diminue lebien-tre des agents. linverse, plus lchange est difficile (lorsque, parexemple, chaque agent ne consomme quune petite fraction de lensemble desbiens produits dans lconomie) et plus la quantit de monnaie doit treleve.

4.2 En prsence de troc (y> 0)

Supposons dornavant que la double concidence des dsirs est susceptiblede se raliser pour certaines rencontres (y > 0) 28. Pour gnraliser les rsul-tats ci-dessus, seule est ncessaire ltude du cas o a + b, cest--dire lecas o les individus ne sont jamais en rupture de stock (presque srement) 29.

Les probabilits instantanes dchange pour un individu i [0,1] dans lecas o a + b sont donnes par :

(4.12) b = xy,

(4.13) a = x (1 y) [1 m (0)] ,

(4.14) e = x(1 y).

Le rel positifb indique la probabilit instantane avec laquelle lindividu irussit un change de troc. Daprs (4.12), un change de troc se raliselorsque i rencontre un autre agent (avec une probabilit instantane ) et sily a double concidence des dsirs entre i et son partenaire (avec une probabi-lit xy). En effet, rappelons que lorsque a + b chaque partenairepotentiel stocke des biens vendre. Selon (4.13), lindividu i change uneunit de marchandise contre une unit de monnaie dans les circonstances

suivantes : sil y a simple concidence des dsirs ( i Ej et j / Ei) et si lepartenaire de i dtient des units montaires (un vnement qui se raliseavec une probabilit x(1 y) {1 m(0)}). Enfin, le rel positif e indique laprobabilit instantane avec laquelle i change une unit de monnaie contreune unit de bien quil consomme. Daprs (4.14) i dpense une unit demonnaie sil y a uniquement simple concidence avec son partenaire (en casde double concidence il effectuerait un troc).

Daprs (3.2), les quations (4.13) et (4.14) sont quivalentes. Le modleest compltement dtermin grce la condition dquilibre du march de la


27. Pour tre exact, dans le mesure o la double concidence des dsirs ne se ralise jamais ( y = 0),lconomie a besoin dun intermdiaire des changes mme lorsque le processus dappariementdevient infiniment rapide : toutefois, la monnaie peut tre en quantit infinitsimale et remplir effica-cement son rle.28. Le cas particulier o y =x est conforme aux hypothses de KIOYATAKI et WRIGHT [1991, 1993].29. Lorsque < a + b, le processus dcrivant lvolution des stocks est ergodique et le flux des bienschangs est gal au flux des biens produits. Ce cas est tudi dans lannexe 3.


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monnaie. Daprs (3.2) la condition E [Xm (t)] = m peut tre rcrite commesuit :

(4.15)a

e a= m.

En substituant (4.14) dans (4.15), on obtient :

(4.16) a =m

1 + mx (1 y).

nouveau, la probabilit instantane avec laquelle une unit de bien estchange contre une unit montaire est croissante avec loffre de monnaie :cette relation est la manifestation de leffet de liquidit. Les quations (4.12)et (4.16) permettent de dterminer la probabilit instantane avec laquelle une

marchandise est dstocke :

(4.17) a + b =m

1 + mx (1 y) + xy.

Cette quantit est galement croissante avec loffre de monnaie. De plus,lim

m+(a + b) = x. La probabilit instantane b tant constante, la part des

changes de troc dans lensemble des transactions dcrot quand la liquidit

de lconomie augmente.Si la quantit de monnaie en circulation dans lconomie est nulle alorsa = 0 (daprs (4.16)) et a + b vrifie :

(4.18) a + b = xy.

On dduit de (4.18) que les stocks sont presque-srement finis (il ny a pasde problme de surproduction) si xy > (avec ou sans monnaie).

Le seuil optimal de la quantit de monnaie, not m, est dfini par :

m = infm R+ | < a + b.tant donn que a + b augmente avec loffre de monnaie, le seuil m

vrifie la condition a + b = , soit daprs (4.17) :

(4.19)

m = + si x ,

= 0 si xy ,

= xyx

sinon.

Si > xy et x > , le seuil optimal de la quantit de monnaie est stric-tement positif et fini. La comparaison de (4.8) et (4.19) nous indique en outreque :

m < m.

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Comme cela tait prvisible, la prsence du troc rduit le seuil optimal de laquantit de monnaie. De plus, lim

y0m = m.

Le bien-tre social est donn par une expression analogue (4.9) :

Z(m) = U, m > m,

= (a + b)U, m m.

Si la quantit de monnaie est suprieure au seuil optimal m alors toute laproduction est vendue en un temps fini. Au contraire, lorsque m m lco-nomie est confronte un problme de dbouch.

Le modle permet de rpondre la question suivante : dans quels cas uneconomie peut-elle fonctionner de manire optimale en labsence de monnaie,autrement dit, dans quels cas lconomie de troc nest-elle pas strictementdomine par lconomie montaire ? Si lconomie est dpourvue de monnaie(m = 0), le bien-tre social est gal Z(0) = min (xy,) U. Dans le cas oxy > /, le bien-tre social est son maximum quel que soit le niveau de laquantit de monnaie. En effet, quand la probabilit de double concidence desdsirs est suffisamment leve, la monnaie ne joue aucun rle 30. En conclu-sion, la monnaie est utile si la double concidence des dsirs est un vnementpeu frquent (xy faible), si la frquence de la production ( ) est leve ou sila frquence des rencontres entre les agents () est faible.

Lensemble des rsultats prcdents est rsum dans la propositionsuivante :

PROPOSITION 4.2. Considrons une conomie montaire pure dans laquelleles changes de troc sont possibles (y > 0).Si x /, la quantit optimale de monnaie est infinie.Si x / et y < /x, lallocation des ressources est optimale pourtoute quantit de monnaie m suprieure m.Si y /x, lallocation des ressources est toujours optimale et la monnaieest inutile.

Les propositions 4.1 et 4.2 indiquent quune conomie suffisamment appro-visionne en intermdiaires des changes atteint un niveau de bien-treidentique celui dune conomie walrasienne. Malgr la prsence de frictionsde lchange, la monnaie permet aux biens de scouler aussi vite quils sontproduits. Une augmentation de la quantit de monnaie nexerce jamais def-fets ngatifs : ses effets sont nuls au-del du seuil optimal et elle desserre lacontrainte de rationnement des offreurs en dessous de ce seuil. La prsence

dchanges de troc permet une partie de la production de scouler en lab-sence de monnaie : si la probabilit de double concidence (xy) nest pas tropfaible, la monnaie est inutile.

La proposition 4.2 tablit le rle respectif de la simple et de la double con-cidence des dsirs. Ds lors que la probabilit de simple concidence est


30. Pour autant, lquilibre montaire pur est toujours un quilibre de Nash ; lorsque la monnaie estuniversellement accepte, un individu peut toujours faire aussi bien avec la monnaie quavec unemarchandise quelconque.


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suffisamment leve (x /), le besoin de monnaie dpend de la proba-bilit conditionnelle de double concidence (y). En particulier, si y = 1 (lasimple concidence entrane toujours la double concidence) alors la monnaieest inutile. loppos, si y = 0 (la double concidence ne se ralise jamais)lconomie ne peut fonctionner sans monnaie.

5 Leffet dviction de la monnaie

En labsence dune borne suprieure sur le stock dencaisses des agents,toute augmentation de la quantit de monnaie a un effet positif sur la liquidit

de lconomie, et par voie de consquence sur le bien-tre social. La restric-tion de KIYOTAKI et WRIGHT selon laquelle chaque agent stocke au plus uneunit de monnaie, bien que fortement critique pour son manque de fonde-ments, permet de formaliser lintuition selon laquelle labondance demonnaie, au mme titre que la pnurie mais pour des raisons distinctes, estsource de nuisances. Le but de cette section est de gnraliser la restriction deKIYOTAKI et WRIGHT.

Supposons, dornavant, que le processus de production est instantan( +) et que la double concidence des dsirs ne se ralise jamais

(y = 0). Les individus ne stockent plus les marchandises et se contentent deproduire lorsquils rencontrent un acheteur. Ils ne peuvent dtenir plus ded N units de monnaie et cessent dtre vendeurds que le niveau de leursencaisses montaires atteint le seuil critique d. On prsente, brivement, lecas particulier o le stock dencaisses nest pas contraint (d= +), puis lecas gnral (dquelconque).

5.1 Labsence dviction (d= +)

Le cas o les agents ne sont pas contraints sur leur stock dencaisses a tenvisag dans la section prcdente. La quantit optimale de monnaie si laproduction est instantane ( = +) est infinie (m = +).

Afin de dterminer sous quelles conditions un agent accepte de produirepour accumuler une unit dencaisse supplmentaire, on calcule lesprancedutilit actualise dun agent qui dtient m units montaires, note V(m).La fonction valeur V(.) dfinie sur N est solution de lquation fonction-nelle suivante :

(5.1) rV(m) = a {V(m + 1) V(m)} +

(5.2)+e {V(m 1) V(m) + U} , m N,

rV(0) = a {V(1) V(0)} .

Selon (5.1), un agent qui dtient m units montaires obtient avec uneprobabilit instantane a une unit dencaisse supplmentaire qui lui rapporte

122


23/42

la plus-value V(m + 1) V(m) ; avec une probabilit instantane e, ilachte une unit de bien qui lui procure un flux dutilit Umais supporte lamoins-value V(m 1) V(m). La suite {V(m),m N} obit unequation de rcurrence du second ordre. Lquation (5.2) donne une conditioninitiale. On a, dautre part, la condition terminale suivante :

(5.3) limm+

V(m) = eU/r < +.

Lquation (5.3) donne lesprance dutilit actualise dun individu dontles encaisses sont infinies : ce dernier consomme chaque fois quil rencontreun vendeur dun bien quil valorise, un vnement qui se ralise avec uneprobabilit instantane e.

La solution de (5.1)-(5.3) est donne par :

V(m) = (z1)

m+1

1 z1U+

eU

r, m N,

o z1 est la solution de az2 + (r+ a + e)z e = 0 qui est strictementinfrieure lunit. Lesprance dutilit dun agent augmente avec sesencaisses montaires. Le surplus associ la dtention dune unit dencaissesupplmentaire vrifie :

(5.4) V(m + 1) V(m) = (z1)m+1 U, m N.

Ce surplus est dcroissant avec le stock dencaisses relles de lindividu : lafonction V(.) est concave. Laccumulation dune unit montaire suppl-mentaire est une assurance pour lagent de ne pas tre court de liquiditdans le futur lorsquil rencontrera des producteurs du bien quil consomme.Mais un individu qui dprcie le futur accorde dautant moins de valeur cette assurance que son stock de monnaie est lev. Cette diminution du

surplus associ la dtention dencaisses montaires rappelle la dcroissancede lutilit marginale de la monnaie dans les analyses de HICKS-WALRAS-PATINKIN.

PROPOSITION 5.1. Lquilibre o d= + est soutenu par des stratgiesindividuellement rationnelles

Preuve : Il est rationnel pour un individu de continuer accumuler des

encaisses lorsque son stock de monnaie est infini si, et seulement si,lim

m+V(m + 1) V(m) 0.

Or, selon (5.4) limm+

V(m + 1) V(m) = 0.

Il ny a pas deffet dviction de la monnaie sur la sphre de la production sila dsutilit produire est nulle.A contrario, la limite sur le stock dencaisses



24/42

des agents pourrait tre justifie comme le rsultat de comportements ration-nels condition que lactivit de production soit coteuse.

5.2 Le cas gnral (d< +)

la manire de KIYOTAKI et WRIGHT, nous imposons une restriction ad hocsur le stock dencaisses des agents : un individu qui a atteint un certain niveaude richesse arrte daccumuler des units montaires (on justifiera, dans lasuite, lexistence dune telle contrainte). Les individus quittent le ct deloffre du march ds que le niveau de leurs encaisses montaires est gal laborne suprieure d(qui est exogne). La distribution des stocks dencaisses lquilibre stationnaire, note dm(.), vrifie (Voir annexe 4) :

(5.5)

(5.6)

dm(m) = 1 1 d+1m, si = a

e=/ 1,

=1

d+ 1, si = 1, m {0,1,...,d} .

Cest une distribution gomtrique tronque si < 1 et une distributionuniforme si = 1.

La part des vendeurs et la part des acheteurs dans lensemble des agentssont donnes respectivement par

1 dm(d)

et1 dm (0)

. Les individus

dont le niveau des encaisses est compris entre 1 et d 1 sont simultanmentacheteurs et vendeurs. Les probabilits instantanes dchange vrifientdonc :

(5.7) a =1 dm (0)

x,

(5.8) e = 1 dm(d)x .La valeur de ltat stationnaire est donne par la condition dquilibre

du march de la monnaie selon laquelle loffre de monnaie doit tre dtenue,soit :

m =

m{0,...,d}

m dm(m).

Daprs (5.5) et (5.6) on a donc :

(5.9){1 + d(1 )} (1 d+1) (d+ 1)(1 )

(1 d+1)(1 )= m, si =/ 1,

(5.10)d

2= m, si = 1

124


25/42

LEMME 5.2. m < d, lquilibre existe et est unique.


Un quilibre est possible lunique condition que la quantit de monnaiepar individu (m) soit strictement infrieure la limite suprieure de chaquestock dencaisses individuel (d).

LEMME 5.3. A m donn, est une fonction dcroissante de d.


Si la borne suprieure daugmente, donn, le stock moyen dencaissesdes agents slve. Pour rtablir lquilibre du march de la monnaie, lerapport des probabilits instantanes dchange = a/e doit diminuer.

La fonction de bien-tre social, note Zd, est la somme des revenus perma-nents de lensemble des agents de lconomie ltat stationnaire, soit :

Zd =

i{0,...,d} dm(i)rVd(i) = E [rVd(Xm )] ,

o Vd(i) est lesprance dutilit actualise dun individu qui dtient i unitsde monnaie. Sur un intervalle infinitsimal de longueur dt, une fraction a dtdes vendeurs effectifs effectuent une vente et une fraction e dtdes acheteurseffectifs effectuent un achat ; lutilit instantane dun achat est gale U. Lafonction de bien-tre social vrifie donc lquilibre stationnaire :

(5.11)

Zd = 1 dm (0) eU

=1 dm (0)

1 dm(d)

xU.

La part des acheteurs et des vendeurs prsents dans lconomie dpend dela quantit de monnaie choisie par le planificateur social. Daprs (5.11), laquantit optimale de monnaie maximise le produit du nombre des vendeurseffectifs par le nombre des acheteurs effectifs : il est donc quivalent de maxi-miser le bien-tre social ou de maximiser le nombre de rencontres entreacheteurs et vendeurs effectifs.

LEMME 5.4. La fonction de bien-tre social est maximise en = 1.

Preuve : Le terme xUtant strictement positif, on cherche qui vrifie :

= arg maxR+

1 dm (0)

1 dm(d)

.


O / 1


26/42

Or, pour =/ 1,

1 dm (0)

1 dm(d)

=

1 d

1 d+1

2La drive de cette fonction est du signe de (1 2d+1)(2d+ 1)d(1 ). Cette quantit est dcroissante en et vaut 0 lorsque

tend vers 1. Do le rsultat.

Daprs le lemme 5.4, la masse montaire optimale est telle que la probabi-lit instantane avec laquelle un agent acquiert une unit montaire estexactement gale la probabilit instantane avec laquelle il la dpense. Dansce cas, la part des agents sur le ct de loffre du march

1 dm(d)

est

gale la part des agents sur le ct de la demande

1 dm(0)

: le march

est symtrique. De manire quivalente, le nombre dindividus dans lincapa-cit deffectuer un achat ( dm(0)) est gal au nombre dindividus ne pouvanteffectuer une vente ( dm (d)). Lorsque > 1, la part des agents en dehors dela sphre de la production est trop leve ; inversement, lorsque < 1, la partdes agents en dehors de la sphre de lchange est trop importante.

PROPOSITION 5.5 La quantit optimale de monnaie pour tout d N vrifie :

(5.12) md =d

2

.

Preuve : Cest une consquence directe du lemme prcdent et de lqua-tion (5.10).

La quantit optimale de monnaie est gale la moiti de la borne suprieuredu stock dencaisses. Plus la contrainte sur les stocks dencaisses est svre(d faible) et plus la quantit optimale de monnaie est faible. La propositionprcdente gnralise le rsultat de KIYOTAKI-WRIGHT (i.e. m

1= 1/2 lorsque

d= 1).La quantit optimale de monnaie est unique et finie ds que lon prend en

considration, ct de leffet de liquidit, une limite sur le stock dencaissesdes agents qui conduit une viction des offreurs par les demandeurs quandla quantit de monnaie augmente. Cette quantit optimale de monnaie a uneexpression simple (elle est gale la moiti de la borne suprieure du stockdencaisses de chaque agent) et elle correspond un march symtrique : lapart des acheteurs est gale la part des vendeurs. Enfin, la situation optimaleest caractrise par une distribution uniforme des encaisses; il y a donc autantdindividus riches que dindividus pauvres .

5.3 La dtermination de d

Le modle est prolong de manire endogniser, et donc justifier, lalimite suprieure sur le stock dencaisses des agents (d). Pour cela, supposonsdornavant que la production dune unit de marchandise, qui nest pas

126

coteuse en temps engendre une dsutilit instantane D > 0 (D < U ) Un


27/42

coteuse en temps, engendre une dsutilit instantane D > 0 (D < U). Unindividu qui est contact par un acheteur potentiel acceptera de produire ounon en fonction de sa richesse montaire : si le gain en terme desprancedutilit dtenir une unit de monnaie supplmentaire est infrieur la dsu-tilit de la production, lindividu prfrera consacrer son temps dpenser lesunits montaires quil a dj accumules. Nous avons montr prcdemment

que lutilit marginale de la monnaie tait dcroissante et tendait vers 0 : laborne suprieure du stock dencaisses est donc finie.

Seuls les quilibres deNash symtriques, o chaque agent choisit la mmeborne suprieure d, sont recenss. Le choix optimal d dpend des probabi-lits instantanes dchange ( a et e).

(5.13) d(a,e) = sup

d NVd(d; a,e) Vd(d 1; a,e) D

,

o Vd(m; a,e) est lesprance dutilit actualise dun individu dtenant munits de monnaie et qui prend a et e comme des donnes. La condition(5.13) scrit galement :

(5.14) Vd (d; a,e) Vd (d 1; a,e) D,

(5.15) Vd+1(d + 1; a,e) Vd+1(d; a,e) < D

Selon (5.14), les agents dtenant (d 1) units acceptent de produire en

vue daccumuler une unit dencaisse supplmentaire. Selon (5.15), il nestpas rationnel pour un agent de continuer vendre des biens lorsque son stockdencaisses a atteint la borne suprieure d. La condition (5.15) peut scrirediffremment. Considrons un individu dtenant d + 1 units de monnaie.Son esprance dutilit, note Vd (d + 1; a,e), vrifie :

(5.16) rVd (d + 1; a,e) = eVd (d; a,e) Vd (d + 1; a,e) + U

.

Selon (5.16), un agent dtenant d + 1 units de monnaie ne produit pastant que son stock dencaisses montaires est suprieur d. Il dpense uneunit dencaisses avec une probabilit instantane e et bnficie alors dunflux dutilit U. La stratgie d est optimale si lagent ne dvie pas de cettestratgie, mme une seule fois, cest--dire si :

Vd (d + 1; a,e) D < Vd (d; a,e),

et donc

(5.17) rVd (d; a,e) > eU (r+ e)D.

La fonction valeur Vd(.; a,e) dfinie sur {0,...,d} vrifie les quationsdabsence darbitrage suivantes :

(5.18) rVd(m; a,e) = a {Vd(m + 1; a,e) Vd(m; a,e) D} +

+e {Vd(m 1; a,e) Vd(m; a,e) + U} , 0 < m < d,


(5 19) rVd (0; a e) = a {Vd (1; a e) Vd (0; a e) D}


28/42

(5.19) rVd(0; a,e) = a {Vd(1; a,e) Vd(0; a,e) D} ,

(5.20) rVd(d; a,e) = e {Vd(d 1; a,e) Vd(d; a,e) + U} .

Le premier terme entre accolades du membre de droite de (5.18) reprsentele gain en terme desprance dutilit engendr par la vente dune unit

doutput, un vnement qui se ralise avec une probabilit instantane a ; lesecond terme entre accolades indique le surplus dutilit suite lachat duneunit dun bien de consommation, un vnement qui se ralise avec uneprobabilit instantane e. Lquation (5.19) donne lesprance dutilit dunindividu dpourvu dencaisses ; lquation (5.20) dfinit lesprance dutilitdun individu dtenant dunits de monnaie.

lquilibre symtrique, chaque agent choisit le mme d. Sous lhypo-thse danticipations rationnelles, les probabilits instantanes a et e doiventtre cohrentes avec le choix de la borne suprieure optimale d. En particu-

lier, = a/e doit vrifier (5.9)-(5.10) lorsque d= d(a,e).

DFINITION 2. Un quilibre montaire est entirement caractris par :(i) La distribution des encaisses montaires et les probabilits instantanesdchange : d

m (.) :0,...,d

(0,1), a R+, e R+donnes par

(5.5)-(5.8).(ii) La borne suprieure du stock dencaisses : d N donne par(5.13).(iii) Les fonctions valeurs : Vd(.; a,e) :

0,...,d

R+ donnes par

(5.18)-(5.20).

Une mthode numrique est utilise pour dterminer la quantit optimale demonnaie (voir lannexe 7). Pour cela, les valeurs des paramtres du modlesont fixes comme suit : U = 30, D = 5, r = 0.1, x = 0.1, et = 10. Tous

128

FIGURE 2Multiplicit des quilibres et bien-tre social

les quilibres de Nash sont recenss pour des valeurs de la masse montaire


29/42

les quilibres de Nash sont recenss pour des valeurs de la masse montairecomprises entre 0 et 4. Les rsultats sont reproduits sur la figure 2.Lexistence dun quilibre de Nash est signal par un rectangle contenant lavaleur du bien-tre social associ cet quilibre. Lquilibre garantissant lebien-tre le plus lev est indiqu par un double trait.

Pour une mme valeur de la quantit de monnaie, plusieurs quilibres sont

associs diffrents niveaux de la borne suprieure du stock dencaisses.Cette indtermination sexplique par la prsence dexternalits de lchange.Selon (5.7) et (5.8), la frquence des transactions dpend de d. Par exemple,lorsquun individu accepte de produire pour des niveaux plus levs de sonstock dencaisses alors le nombre des vendeurs sur le march augmente ce quirend lactivit de prospection moins coteuse pour les acheteurs (une externa-lit de march profond). La prsence de ces externalits rend le choix de d

gnralement sous-optimal du point de vue du bien-tre social. Les externa-lits de lchange engendrent galement des complmentarits stratgiques :

si tous les agents sauf un choisissent une borne suprieure du stock den-caisses plus faible, lindividu restant est encourag faire de mme.

Pour certaines valeurs de la quantit de monnaie ( m = 2.9 et m = 3 parexemple), le bien-tre social est positivement corrl avec la valeur de laborne suprieure du stock dencaisses 31. Dans ce cas, un quilibre caractrispar une faible valeur de la borne suprieure du stock dencaisses peut tre

justifi par la logique auto-ralisatrice suivante. Les agents qui anticipent quelutilit marginale de la monnaie est faible ne sont pas enclins accumuler unnombre lev dunits montaires ; le nombre de vendeurs sur le march est

donc rduit et lutilit marginale de la monnaie est effectivement faible,conformment aux croyances initiales des agents. Ce rsultat est dans lemme esprit que celui obtenu prcdemment par SHI [1995] et TREJOS etWRIGHT [1995] qui montrent que le pouvoir dachat de la monnaie est ind-termin ou par KIYOTAKI et WRIGHT [1991, 1993] qui indiquent que laprobabilit dacceptation de la monnaie est indtermine.

En prsence dune multiplicit dquilibre, le choix dune quantit demonnaie ne garantit jamais lobtention dun optimum de second rang. Ungouvernement qui choisirait une masse montaire m = 3.4 ne peut forcer les

agents se coordonner sur d = 7 plutt que sur d = 6. Finalement, lecouple (d,m) qui maximise le bien-tre social est (d,m) =(+,+). En effet, daprs la proposition 5.5, pour une valeur de ddonne,la quantit de monnaie qui maximise le bien-tre social est md = d/2 avecZd = {d/(d+ 1)}2 x (UD). Pour atteindre un optimum de premier rang,le choix de ddevrait tre :

d = arg sup

dN

d

d+ 12

x(UD) = +.


31. La mesure du bien-tre social peut aussi tre interprte comme un critre de Pareto ex ante. Eneffet, supposons que lindividu ne connat pas son tat lquilibre. Lesprance du revenu perma-nent dun individu avant que sa dotation en monnaie ne lui soit rvle est mesure parZd = E [rVd(Xm )].

Les agents gagneraient se coordonner et ne jamais refuser de produire


30/42

g g g j pune unit de marchandise ; dans ce cas, le gouvernement pourrait accrotre laliquidit de lconomie sans aucune limite.

6 Conclusion

Le modle montaire avec appariements alatoires, dvelopp par KIYOTAKIet WRIGHT, a t utilis dans cet article pour dterminer la quantit optimalede monnaie dune conomie en prsence dune distribution des encaissesmontaires et des stocks de marchandises. La monnaie exerce deux effets, un

effet de liquidit et un effet dviction, qui ont des consquences opposes surle bien-tre social. En labsence dviction, si la quantit de monnaie est tropfaible, lconomie connat une crise gnrale de surproduction. Aussi a-t-ondfini un seuil optimal de la quantit de monnaie, qui dpend des conditionsde lchange et de la production. Au-del de ce seuil, lconomie atteint unesituation optimale. Leffet dviction, qui dcrit limpact ngatif sur le bien-tre social dune liquidit excessive de lconomie, est introduit en supposantlexistence dune limite suprieure sur le stock dencaisses des agents. Laquantit optimale de monnaie, qui assure lconomie le volume de transac-

tion le plus lev, est telle que le nombre dacheteurs effectifs prsents sur lemarch est exactement gal au nombre de vendeurs effectifs : la distributiondes encaisses montaires est alors uniforme. Enfin, en endognisant la bornesuprieure du stock dencaisses, nous avons montr que lconomie pouvaittre confronte des quilibres multiples.

Ce modle offre un cadre appropri pour tudier leffet de liquidit de lamonnaie et peut tre tendu de manire envisager une dprciation desstocks de marchandises, les consquences dune plus ou moins grande spcia-lisation des agents ou les effets dune taxe dinflation modlise la manire

de LI [1994]. Une extension importante du modle consisterait introduireune thorie des prix ce qui permettrait dendogniser le stock dencaissesrelles de lconomie. On abandonne ces dveloppements possibles de notremodle des travaux ultrieurs.

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132

ANNEXE 1


33/42

Distribution des stocks de biens et de monnaie

Le couple (Xm(t),Xn(t),t R+) est un processus markovien de sautsdfini par le gnrateur infinitsimal A(m,n) suivant :

(6.1) A ((m,n),(m + 1,n 1)) = a, m 0, n 1,

(6.2) A ((m,n),(m,n + 1)) = , m 0, n 0,

(6.3) A ((m,n),(m,n 1)) = b, m 0, n 1,

(6.4) A ((m,n),(m 1,n)) = e, m 1, n 0,

(6.5) A ((m,n),(m,n)) =

(m ,n)N2{(m,n)}

A

(m,n),(m,n)

.

Le gnrateur A(.,.) indique la probabilit instantane de passage dun tat un autre ainsi que les diffrentes transitions possibles.

Lorsquil est rcurrent positif32, le processus (Xm(t),Xn(t),t R+) admet

une probabilit invariante (m,n) sur N2. Daprs le thorme de JACKSON[1957], la probabilit invariante (m,n) est une mesure produit ; elle scritdonc :

(m,n) = m (m)n(n), (m,n) N2.

lquilibre les distributions des stocks dencaisses et de biens des agentssont indpendantes 33. La probabilit invariante (.,.), si elle existe, vrifieA(m,n) = 0 pour tout couple (m,n) N2, soit :

(6

certains exercices corrigés de variable aléatoire continue la loi _ normal

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