Cart and Pendulum Simulation
-
Upload
marson-ady-putra -
Category
Documents
-
view
229 -
download
1
Transcript of Cart and Pendulum Simulation
-
8/16/2019 Cart and Pendulum Simulation
1/15
CART AND PENDULUM SIMULATION
1. Cart and Pendulum
Pada Gambar 1 ditunjukan Cart and Pendulum Model yang mempunyai persamaan
gerak sebagai berikut:
( )
( ) θ θ θ θ θ θ θ
sincos
sincos
2
2
mgl I ml xml
ml xb F ml xm M
=++
+−=++
(1)
Apabila persamaan 1 dibuat dalam bentuk matriks akan tampak seperti pada
persamaan 2
+
−
+
−=
+
+0sin
0
00
sin
cos
cos2
F
mgl
xml b x
I ml ml
ml m M
θ θ
θ θ
θ θ
θ
(2)
Gambar 1 Cart and Pendulum Model
2. Metode Runge uta
Metode runge kuta meruapakan suatu metode numerik untuk mendapatkan nilai
integral !ntuk metode runge kutta orde " dapat menentukan nilai dari integral 1 dan
integral 2# adapun bentuk umum persamaan matematisnya sebagai berikut:
-
8/16/2019 Cart and Pendulum Simulation
2/15
( )( )
$22%%
$%
2%#%#2
%#2
%2
#22
%#2
%2
#22
)%##(2
)%##(
"$211
$21
11
$$"
21
$
11
2
1
2
2
k k k k y y
k k k yh y y
k yk yh yh x f h
k
k yk
yh
yh
x f h
k
k yk yh yh x f hk
y y x f h
k
y y x f x
y
nn
nnn
++++=
++++=
++++=
+
+++=
+
+++=
=
=∂∂
−
−−
# dimanah
& integration step ($)
!. Peran"angan
Pada persamaan 2 merupakan persamaan di''erensial dengan orde 2 x
percepatan
danθ
percepatan sudut !ntuk mendapatkan nilai dari x
jarak danθ
sudut # dimana x
danθ
merupakan asil dari integeral orde 2 # seingga dapat ditentukan menggunakan
runge kutta order "
Persamaan 2 belum bisa menjadi input dari runge kutta perlu dilakukan modi'ikasi
seingga pada ruas kiri anya ada
θ
x
!ntuk memudakan memodi'ikasinya perlu
memisalkan tiaptiap matriks misal :
-
8/16/2019 Cart and Pendulum Simulation
3/15
=
−
=
=
−=
=
+
+=
0
sin
0
00
sin
cos
cos2
F F
mgl G
x
ml bC
x
I ml ml
ml m M M
θ
θ δ
θ θ
θ δ
θ
θ
*eingga persamaan 2 akan menjadi sebagai berikut
F GC M ++= δ δ (")
Agar pada ruas kiri anya ada nilaiδ
saja# maka perlu dibagi dengan M
+ilai M
berupa matriks # maka tiap ruas dikalikan dengan nilai in,ers dari matriks M # seingga
persamaan " menjadi
+
+
+
−
+
+
+
−
+
+=
++=
−
−
−
−−−
0cos
cos
sin
0
cos
cos
00
sin
cos
cos
1
2
1
2
1
2
111
F
I ml ml
ml m M
mgl I ml ml
ml m M
xml b
I ml ml
ml m M x
F M G M C M
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ
δ δ
# dengan$
2ml I =
(-)
.entuk persamaan - ini suda dapat digunakan untuk input dari runge kutta
Pada persamaan 2 tidak menggandung ,ariable /aktu # seingga bila persamaan $
disesuaikan dengan bentuk persamaan - maka menjadi
-
8/16/2019 Cart and Pendulum Simulation
4/15
( )( )
$22
$
2#2
#222
#222
)%#(2
)#(
"$211
$21
11
$$"
21
$
11
2
1
2
2
k k k k
k k k h
k k h f h
k
k k h
f h
k
k k h f hk
f h
k
f t
nn
nnn
++++=
++++=
+++=
+
++=
+
++=
=
=∂∂
−
−−
δ δ
δ δ δ
δ δ δ
δ δ δ
δ δ δ
δ δ
δ δ δ
#dimanah
&t ∆
()
Persamaan merupakan proses runge kutte dengan 2 ,ariabel .entuk matriks
memudakan dalam melakukan peritungan Pada persamaan ditunjukan ba/a asil
output dari proses runge kutte akan menjadi input dari proses runge kutte selanjutntya
dengan kata lain
=
n
n
n
x
θ
δ
dan
=
n
n
n
x
θ
δ
akan menjadi input untuk proses n 1
ari uraian diatas seingga dapat disimpulakan kebutuan akan 'ungsi'ungsi atau
procedure yang perlu dibuat untuk dapat mensimulasikan cart and pendulum pada baasa
pemprograman elpi adala sebagai berikut
a3ungsi penjumlaan matriks # sebagai alat bantu mengitung persamaan -
b3ungsi perkalian matriks# sebagai alat bantu mengitung persamaan -
c3ungsi in,ers matriks # sebagai alat bantu mengitung persamaan -
d3ungsi gerak untuk mengitung persamaan -
e3ungsi runge kutte
'3ungsi untuk membuat cart dan pendulum
!.1. Pen#umla$an matr%&'
ua matriks dapat dijumlakan apabila kedua matriks tersebut memiliki ordo
yang sama Matriks asil penjumlaannya juga akan memiliki ordo yang sama dengan
matriks yang dijumlakan 4omponenkomponen matriks asil penjumlaan diperole
-
8/16/2019 Cart and Pendulum Simulation
5/15
dengan cara menjumlakan komponenkomponen setiap matriks yang seletak
Persamaan matematisnya sebagai berikut:
++++
=
+
hd g c
f bea
h g
f e
d c
ba
(5)
.erdasarkan persamaan 5# 'ungsi penjumlaan matriks dalam baasa
pemprogrman elpi adala sebagai berikut:
!.2. Per&al%an matr%(
a. Per&al%an matr%&' dengan '&alar
*ebua matriks dapat dikalikan dengan skalar (konstanta) dengan cara
mengalikan setiap komponen matriks dengan skalar Persamaan matematisnya
sebagai berikut:
=
kd kc
kbka
d c
bak
(6)
.erdasarkan persamaan 6# 'ungsi perkalian matriks dengan skalar dalam
baasa pemprogrman elpi adala sebagai berikut:
-
8/16/2019 Cart and Pendulum Simulation
6/15
b. Per&al%an matr%&' dengan matr%&'
ua matriks dapat dioperasikan dengan perkalian jika banyak kolom matriks
pertama sama dengan banyak baris matriks kedua# sedangkan asil perkalian
matriksnya akan memiliki baris yang sama banyak dengan baris matriks pertama dan
memiliki kolom yang sama banyak dengan kolom matriks kedua# dapat ditulis
sebagai berikut
r mr nnm AB B A ××× =× )((7)
Metode perkalian dua matriks adala memasangkan baris pada matriks
pertama dengan kolom pada matriks kedua Persamaan matematisnya sebagai
berikut
++++
=
×
dhcf dg ce
bhaf bg ae
h g
f e
d c
ba
(10)
.erdasarkan persamaan 10# 'ungsi perkalian matriks dengan matriks dalam
baasa pemprogrman elpi adala sebagai berikut:
-
8/16/2019 Cart and Pendulum Simulation
7/15
!.!. In)er' Matr%&'
8idak semua matriks memiliki in,ers# anya matriks persegi yang memiliki
in,ers *ecara umum# in,ers dari matriks persegi A atau ditulis A1 adala sebagai
berikut
)()det(
11 Aadj A
A =−
(11)
engan det (A) adala determinan matriks A dan adj(A) adala adjoin matriks A
Adjoin matriks A adala transpose dari matriks ko'aktor A Pada persamaan 2 yang
mempunyai matriks persegi adala matrik 2 9 2# untuk menyederanakan proses in,ers
matriks maka dalam perancangan 'ungsi in,ers matrik #anya untuk matriks yang
berukuran 2 9 2 !ntuk matriks A yang berordo 2 9 2 in,ersnya adala sebagai berikut
−
−−
=⇒
= −
ac
bd
bcad A
d c
ba A
11
(12)
.erdasarkan persamaan 12# 'ungsi in,ers matrik berordo 2 9 2 dalam baasa
pemprogrman elpi adala sebagai berikut:
-
8/16/2019 Cart and Pendulum Simulation
8/15
!.*. Per'amaan Gera&
.erdasarkan persamaan # 'ungsi persamaan gerak cart and pendulum dalam baasa
pemprogrman elpi adala sebagai berikut:
-
8/16/2019 Cart and Pendulum Simulation
9/15
!.+. De'a%n Cart dan Pendulum
.erdasarkan Gambar 2# desain cart dan pendulum alam baasa pemprogrman elpi
adala sebagai berikut:
Gambar 2 esain Cart dan Pendulum
!.,. De'a%n GUI
.erikut adala tampilan G! dari program diatas:
Gambar $ esain G! dari Cart dan Pendulum
*. Pengu#%an
*.1. Pengu#%an Matr%&
;asil peritungan manual sebagai berikut :
-
8/16/2019 Cart and Pendulum Simulation
10/15
( )
( ) ( )
−
−
=
×+××
×+=
+
+⇒
5#2-
2-10-
$
10-10-120cos10-
120cos10--100
cos
cos 222
I ml ml
ml m M M
θ
θ
=
=
×−×
=−
0.001513510.00036036
0.000360360.00960960
569375,0003
1002-
2-5#
1
10-2-
2-5#
)2-2-()5#10-(
11 M
( )
−=
×××−=
−⇒
00
010
00
120sin010-10
00
sin
θ θ ml bC
=
⇒
0
0
θ δ
x
( )
−
=
×××−
=
−
⇒
-424.35245
0
120sin106#7-
0
sin
0
θ mgl G
=
⇒
0
0
0
F F
=
++=
⇒ −−−
0.64226-
0.15292-
F M G M C M x
111δ
δ δ
.erikut asil dari nilai !ji coba matrik# pada proses ini ditampilkan nilai dari
matrik in,ers M# nilai dari matrik C# nilai dari matrik in,ers M dikali C# dan asil dari
8eta double dot:
-
8/16/2019 Cart and Pendulum Simulation
11/15
Gambar " ;asil Pengujian Matrik
*.2. Pengu#%an Pertama
Pada pengujian pertama ini dilakukan sebua pengujian teradat pendalum yang
mendapatkan nilai a/al teta 0 dan 160# dari pemasukan nilai parameter tersebut dapat terjadi
ba/a saat nilai teta di berikan 0 dan 160 maka pendalum dalam keadaan tetap dan tidak
bergerak .erikut gambar dari asil pengujian:
-
8/16/2019 Cart and Pendulum Simulation
12/15
Gambar - ;asil Pengujian 8eta & 160
Gambar ;asil Pengujian 8eta & 0
"$ Pengujian 4edua
Pengujian kedua in dilakukan dengan meruba nilai dari b# semakin besar nilai b
maka akan semakin cepat pendalum akan berenti# asil pengujian dapat diliat pada gambar
diba/a ini:
-
8/16/2019 Cart and Pendulum Simulation
13/15
Gambar 5 ;asil Pengujian b&0
Gambar 5 ;asil Pengujian b&1
Gambar 5 ;asil Pengujian b&10
-
8/16/2019 Cart and Pendulum Simulation
14/15
"" Pengujian 4etiga
Pengujian kedua in dilakukan dengan meruba nilai dari m# semakin besar nilai m
maka akan semakin cepat pendalum akan berenti# asil pengujian dapat diliat pada gambar
diba/a ini:
Gambar 5 ;asil Pengujian m&1
-
8/16/2019 Cart and Pendulum Simulation
15/15
Gambar 5 ;asil Pengujian m&10
Gambar 5 ;asil Pengujian b&-0