CARRERA: INGENIERIA MECANICA CATEDRA: …pablos/PROBABILIDAD Y ESTADISTICA... · 2-2- Distribución...
-
Upload
hoangtuyen -
Category
Documents
-
view
230 -
download
0
Transcript of CARRERA: INGENIERIA MECANICA CATEDRA: …pablos/PROBABILIDAD Y ESTADISTICA... · 2-2- Distribución...
CARRERA: INGENIERIA MECANICA
CATEDRA: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
AÑO 2017
MATERIAL DE TRABAJO N° 4
ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE USO FRECUENTE
1- Introducción
Así como en el estudio de fenómenos determinísticos algunas funciones (como las
lineales, las cuadráticas, las exponenciales, etc.) desempeñan un papel más importante
que otras; en el estudio del comportamiento de una variable aleatoria hay ciertas
distribuciones de probabilidad que aparecen más a menudo que otras. Se trata de
modelos relativamente simples que sirven para describir un gran número de fenómenos
aleatorios.
Como ya se mencionó en el Material N° 3, estos modelos resumen el comportamiento de
la variabilidad de los valores de una variable aleatoria (discreta o continua) en la
población, describen la proporción de elementos de la población que toman esos valores
y ayudan a comprender qué valores de la variable son posibles y con qué frecuencia
relativa aparecen dichos valores en la población, facilitando así la toma de decisiones.
Como todo modelo, constituyen una simplificación de la realidad. Para ellos vale la
expresión del estadístico George Box: “Todos los modelos son falsos; algunos modelos
son útiles”1
En la Sección 2 de este material se presentan algunos modelos de uso frecuente para el
estudio del comportamiento de variables aleatorias discretas y en la Sección 3, algunos
modelos de uso frecuente para el estudio del comportamiento de variables aleatorias
continuas.
1 Tomado de “Métodos Estadísticos. Control y Mejora de la Variabilidad” de Prat Bartés y otros.
Recuerde que, en el caso de variables aleatorias discretas, la función de probabilidad
puntual pX(x) brinda la probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor x; mientras
que, en el caso de variables aleatorias continuas, la probabilidad de que la variable aleatoria
tome valores en el intervalo (a,b) se obtiene integrando la función de densidad fX(x).
Para ambos tipos de variables, se define la función de distribución FX(x) = P(X ≤ x), la cual
también permite obtener probabilidades.
(Para recordar estos conceptos, vea el Material N° 3).
2- Distribuciones de probabilidad de uso frecuente para variables aleatorias
discretas
2-1- Distribución de Bernoulli
Considere una experiencia que admita sólo dos resultados posibles, A y su opuesto, A .
Esa experiencia se denomina “ensayo de Bernoulli”.
En el lenguaje corriente los resultados A y A se denominan respectivamente “éxito” y “fracaso”. El
término “éxito” no está asociado necesariamente con un resultado bueno, sino con lo que se
quiere observar o estudiar. Por ejemplo, en una empresa se está llevando a cabo una inspección y
puede definirse como “éxito” que una pieza sea defectuosa porque el interés está en el estudio de
las piezas defectuosas del proceso.
Suponga que se conoce que la probabilidad de que ocurra A es π, de modo que la
probabilidad de que ocurra A es (1 – π).
Se define la variable aleatoria Y: nº de veces que aparece A en un único ensayo de
Bernoulli (o bien en una muestra de tamaño n = 1).
RY = {0, 1} es decir que esta variable sólo puede asumir los valores 0 y 1:
y = 0 cada vez que al repetir la experiencia se presenta A
y = 1 cada vez que al repetir la experiencia se presenta A.
Distribución Función de
Probabilidad
p(y)
Esperanza
E(Y)
Variancia
Var(Y)
Bernoulli
Y Be(π) Π
y(1-π)
1-y
π π( 1 – π)
Ejemplo 2.1. En una empresa se conoce que el 20 % de los componentes producidos
por cierto proceso son defectuosos. Se selecciona al azar un componente y se observa si
este es defectuoso o no.
La población está conformada por los infinitos componentes de ese proceso.
La variable en estudio es Y: nº de componentes defectuosos en una muestra de n = 1.
Y ~ Be (0,20) y su recorrido es RX = {0, 1}
Su función de probabilidad se presenta en la Figura 2.1.
La probabilidad de que el componente sea defectuoso es: P(Y = 1) = 0,20
La probabilidad de que el componente no resulte defectuoso es: P(Y = 0) = 0,80.
El valor medio para esta variable es: E(Y) = 0,20, el cual coincide con la proporción
poblacional de componentes defectuosos.
Función de probabilidad del Modelo Bernoulli (0,20)
(x) pX(x)
0 0,80
1 0,20
Total 1
E(X) = 0,20 componentes
defectuosos
Var(X) = 0,20.0,80 = 0,16
(componentes defectuosos)2
DE(X) = 0,4 componentes
defectuosos
Figura 2.1 Distribución Bernoulli Be(0,20)
- Esta distribución es importante porque permite el trabajo con variables
originalmente cualitativas, a las que convierte en cuantitativas discretas.
- El parámetro de interés es la proporción (π) de elementos que cumplen cierta
condición. Este valor coincide con la esperanza o promedio de la distribución
2-2- Distribución Binomial
Considere n ensayos independientes de Bernoulli, de tal manera que la probabilidad (π)
de que se presente el resultado de interés (A) se mantiene constante de ensayo a ensayo.
Se define la variable aleatoria Y: n° de ensayos de Bernoulli en los que se presenta A,
entre los n (o en una muestra de tamaño n).
RY = {0, 1, 2, …, n} es decir que esta variable asume valores enteros entre 0 y n.
Distribución Función de
Probabilidad
p(y)
Esperanza
E(Y)
Variancia
Var(Y)
Binomial
Y Bi(n,π) n
y π
y(1-π)
n-y
nπ
nπ( 1 – π)
Según los valores de n y π, la distribución puede resultar simétrica, asimétrica a la
derecha o asimétrica a la izquierda. En las Figuras 2.2 se presentan diferentes
situaciones.
Observe que:
- Cuando π es pequeña, los valores de la variable más probables son los más pequeños
(0, 1, en este caso) y los menos probables son los mayores. La forma de la distribución es
asimétrica a la derecha.
- Cuando π es 0,50, los valores de la variable más probables son los valores intermedios
(2 y 3 en este caso). La forma de la distribución es simétrica.
- Cuando π es alta, los valores de la variable más probables son los más grandes (4 y 5
en este caso) y los menos probables son los menores. La forma de la distribución es
asimétrica a la izquierda.
- Si n aumenta, la forma de la distribución se va haciendo cada vez más simétrica,
independientemente del valor de π.
Distribuciones con mismo n, pero
distinto valor de π
Distribuciones con mismo valor de π, pero
distinto n
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0 1 2 3 4 5
X ~ Bi(n = 5, π = 0,20)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0 1 2 3 4 5
X ~ Bi(n = 5, π = 0,20).
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0 1 2 3 4 5
X ~ Bi(n = 5, π = 0,50)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X ~ Bi(n = 10,π = 0,20)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0 1 2 3 4 5
X ~ Bi(n = 5, π = 0,70)
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0,2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930
X ~ Bi(n = 30,π = 0,20)
Figuras 2.2 Gráficas de distribuciones de probabilidad, correspondientes al Modelo Binomial,
con diferentes valores de π (primera columna) y con diferentes valores de n (segunda columna)
Ejemplo 2.2. Suponga que en una empresa que fabrica cierto tipo de piezas se conoce
por experiencia que el 3 % de las mismos resultan defectuosas. Las piezas se
comercializan en bolsas de 10 unidades. En la empresa desean estudiar el
comportamiento del n° de piezas defectuosas en cada bolsa.
La población está conformada por las infinitas bolsas de 10 piezas
La variable en estudio es X: n° de piezas defectuosas entre 10
X ~ Bi(10, 0,03) y su recorrido es RX = {0,1, 2, 3, ….10}
Su función de probabilidad se presenta en la Figura 2.3, junto con algunas medidas de
resumen.
Función de probabilidad del Modelo Binomial Bi(10, 0,03)
Binomial con n
= 10 y p = 0,03
x P( X = x )
0 0,737424
1 0,228069
2 0,031742
3 0,002618
4 0,000142
5 0,000005
6 0,000000
7 0,000000
8 0,000000
9 0,000000
10 0,000000
E(X) = 0,3 piezas defectuosas
Var(X) = 0,291 (piezas defectuosas)2 DE(X) = 0,54 piezas defectuosas
Figuras 2.3 Distribución de probabilidad Binomial, Bi(10, 0,03)
Del análisis de la distribución de probabilidades se puede decir, para un gran número de
bolsas de 10 piezas, que:
- el número de piezas defectuosas en cada bolsa oscila entre 0 y 4, (ya que el resto de los
valores posibles tienen probabilidad nula)
- el número promedio de piezas defectuosas por bolsa es 0,30 unidades y su desviación
estándar es 0,54.
- aproximadamente en el 74 % de las bolsas no se encuentran piezas defectuosas (P(X =
0) = pX(0) = 0,74)
- Más frecuentemente no hay piezas defectuosas en las bolsas (Moda = 0).
¿Qué pensaría Ud. si en una bolsa de 10 componentes le informan que se
encuentran como mínimo 4 defectuosas?
¿Es ese un resultado posible? ¿Es un resultado probable?
2-3- Distribución Hipergeométrica
Considere un conjunto finito de N elementos (una población finita), cada uno de los cuales
se clasifica como A o A . Se sabe además que hay r elementos tipo A en ese conjunto.
Se seleccionan al azar y sin reposición, n elementos de dicha población.
Se define la variable aleatoria Y: n° de elementos de tipo A que aparecen entre los n
seleccionados.
RY = {0, 1, 2,… mín(n, r)} es decir que esta variable asume valores enteros entre 0 y el
mínimo entre n y r
Distribución o
modelo
Función de
probabilidad
pY(y)
Esperanza
E(Y)
Variancia
Var(Y)
Hipergeométrica
Y Hip(N, r,n)
r N r
y n y
N
n
rnN
r r N nnN N N
11
Ejemplo 2.3 Suponga que a una empresa llega un embarque de 15 contenedores con
cierta sustancia química. Dado que dicha sustancia es un insumo importante en el
proceso de producción, en la empresa deciden llevar a cabo lo siguiente:
Seleccionar al azar 3 contenedores del embarque y evaluar el nivel de pureza de la
sustancia en cada uno de ellos. Si dicho nivel no es el apropiado, en por lo menos 1
contenedor de los 3, se devuelve el embarque completo.
Interesa evaluar las posibilidades de devolución del embarque si se sospecha que en él
hay 2 contenedores con nivel inapropiado de pureza.
(Ejemplo adaptado del libro “Probabilidad y Estadística aplicadas a la ingeniería” de D. Montgomery
y G. Runger, Mc Graw-Hill, México, 1996)
La población está conformada por los grupos de 3 contenedores que pueden
seleccionarse de entre los 15.
La variable en estudio es X: n° de contenedores con nivel inapropiado de pureza entre
los 3 seleccionados.
X ~ Hipergeom(15, r, 3) y su recorrido es RX = {0, 1, 2, mín (r,3)}
Suponga que se sospecha que entre los 15 hay 2 con nivel inapropiado de pureza, de
donde r = 2.
X ~ Hipergeom(15, 2, 3) y su recorrido es RX = {0, 1, 2}
Su función de probabilidad se presenta en la Figura 2.4, junto con algunas medidas de
resumen.
La probabilidad de que el embarque se devuelva es: P(X ≥ 1) = pX(1) +pX(2) = 0,37
Función de probabilidad del Modelo Hipergeométrico(15,2,3)
Hipergeométrico
con N = 15, M = 2
y n = 3
x P( X = x )
0 0,628571
1 0,342857
2 0,028571
E(X) = 0,4 cont. con nivel inapropiado de
impureza entre 3
Var(X) =0,3466 (cont.inapropiados)
2
DE(X) = 0,59 (cont. con nivel inapr.)
210
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
N° de contenedores con nivel inapropiado de impurezas, entre 3
Pro
ba
bili
da
d
Observe que, aunque se inspeccionan 3 contenedores, no
puede haber 3 con nivel inapropiado porque en la
población sólo hay 2 con esas características.
Figuras 2.4 Distribución de probabilidad Hipergeométrica
Del análisis de la distribución de probabilidades se puede decir, para un gran número de
muestras de 3 contenedores, que:
- el número promedio de contenedores con nivel inapropiado de pureza (entre los 3
evaluados) es 0,4 y su desviación estándar es 0,59.
- más frecuentemente, no habrá contenedores inapropiados entre los 3 evaluados (Moda
= 0)
- aproximadamente en el 63 % de las veces no se encontrarán contenedores inapropiados
entre los 3 y el embarque completo se aceptará.
- por lo tanto, un 37 % de las veces, se encontrarán 1 o 2 contenedores inapropiados y el
embarque completo se devolverá.
La probabilidad 0,37 puede ser vista como un riesgo para el proveedor de esa
sustancia, ya que mide la chance de que le devuelvan el lote enviado, con todo lo
que ello implica.
La probabilidad 0,63 puede ser vista como un riesgo para el comprador, ya que
mide la chance de que un embarque (que tiene algunos contenedores
inapropiados) pase a producción. Estas cuestiones se discutirán con más detalle
más adelante.
2-4- Distribución de Poisson
Considere intervalos de números reales, en los cuales se observa el número de
ocurrencias de un cierto evento. Suponga que estos intervalos pueden dividirse en
subintervalos lo suficientemente pequeños de manera que la probabilidad de que dos o
más eventos ocurran simultáneamente se pueda considerar nula. Suponga también que la
probabilidad de ocurrencia de los eventos es proporcional a la longitud de los intervalos y
que los eventos ocurren en cada subintervalo de manera independiente.
Se define la variable aleatoria Y: n° de ocurrencias del evento en intervalos (siempre de
igual amplitud).
RY = {0, 1, 2,… } es decir que esta variable está definida para el conjunto No
Distribución o
modelo
Función de
probabilidad
pY(y)
Esperanza
E(YT)
Variancia
Var(YT)
Poisson
YT Po(αT)
αα
!
T ye T
y
αT αT
En el recuadro, se presenta a YT, donde T es el tamaño de los intervalos que se
consideran y α es el número promedio de eventos por unidad.
YT representa a un conjunto de variables (Proceso de Poisson).
YT = {Y1, Y2, ………Yk, ….} donde, por ejemplo, Y1: n° de ocurrencias en intervalos de
amplitud 1 e Y2: n° de ocurrencias en intervalos de amplitud 2.
Los intervalos de números reales pueden ser períodos de tiempo, superficies, volúmenes,
etc.
Ejemplo 2.4. Se conoce que el número de partículas contaminantes que aparecen en
discos ópticos sigue una ley de Poisson con un promedio de 0,1 partículas por cm2. Se
van a revisar discos de 100 cm2 de superficie e interesa estudiar el comportamiento del
número de partículas contaminantes en dichos discos. Si este número es mayor que 12
unidades, en la empresa considerarían hacer modificaciones en el proceso de producción
de los discos.
(Ejemplo adaptado del libro “Probabilidad y Estadística aplicadas a la ingeniería” de Montgomery y Runger)
La población está conformada por los infinitos intervalos de 100 cm2 (en este caso, estos
intervalos son los discos ópticos con dicha superficie).
La variable en estudio es X100: n° de partículas contaminantes en intervalos de amplitud
100 (en discos).
X100 ~ Po(0,1 x 100) y su recorrido es RX = {0, 1, 2, …}
(recuerde que α = 0,1 partículas contaminantes por cm2)
Su función de probabilidad se presenta en la Figura 2.5, junto con algunas medidas de
resumen.
La probabilidad de interés, P(X100 > 12) se puede obtener de la siguiente manera:
P(X100 > 12) = 1 –P(X100 ≤ 12) = 1 – 0,79 = 0,21
Función de probabilidad del Modelo Poisson(10)
Poisson con media =
10
x P( X = x )
0 0,000045
1 0,000454
2 0,002270
3 0,007567
4 0,018917
5 0,037833
6 0,063055
7 0,090079
8 0,112599
9 0,125110
10 0,125110
11 0,113736
12 0,094780
13 0,072908
14 0,052077
15 0,034718
16 0,021699
17 0,012764
18 0,007091
….
E(X) = 10 partículas por disco de 100 cm2
Var(X) =10 (partículas)2
DE(X) = 3,16 (part por disco de 100 cm2.)
Figuras 2.5 Distribución de probabilidad Poisson
Del análisis de la distribución de probabilidades se puede decir, para un gran número de
intervalos de 100 cm2 (discos), que:
- el número promedio de partículas contaminantes es 10 y su desviación estándar es
3,16
- más frecuentemente, se presentan entre 8 y 12 partículas por disco (Modas = 9 y 10)
- aproximadamente en el 21 % de los discos habrá más de 12 partículas contaminantes
(PX100 > 12) = 0,21. Este último dato debe ser considerado por los responsables del
laboratorio óptico, quienes tomarán la decisión de hacer modificaciones en el
proceso o no.
La distribución de Poisson resulta aproximadamente simétrica cuando el valor
promedio es alto, como en este caso. Para valores bajos de (αT), la distribución es
asimétrica a la derecha.
En las Tablas 2.1 y 2.2 se resumen las características principales de las distribuciones de
probabilidad para las variables aleatorias discretas consideradas en este material. En la
Tabla 2.1 se presentan las características generales, la variable y la población física
asociada. En la Tabla 2.2 se presentan la función de probabilidad, la esperanza y la
variancia.
Tabla 2.1 Características generales, variable y población física
correspondientes a las distribuciones discretas consideradas en este material
Distribución o
modelo
Variable Población física Características generales
Bernoulli X: N° de éxitos en 1
repetición de una
experiencia de
Bernoulli
RX= (0,1)
∞ repeticiones de una
experiencia de Bernoulli
Se lleva a cabo 1 único ensayo de Bernoulli,
donde la probabilidad de que ocurra un éxito
es π.
Interesa conocer el número de éxitos que se
presentan en ese ensayo (o repetición).
Binomial X: N° de éxitos en n
repeticiones
independientes de
una experiencia de
Bernoulli
RX= (0,1, 2, …, n)
∞ grupos o muestras de
n repeticiones indepen-
dientes de una experien-
cia de Bernoulli
Se lleva a cabo una secuencia de n ensayos
independientes de Bernoulli, donde la
probabilidad de que ocurra un éxito es π.
Interesa conocer el número de éxitos que se
presentan en los n ensayos (o repeticiones).
Hipergeométrica X: N° de éxitos en
una muestra de n
elementos tomada
de una población
finita
RX = (0, 1, 2, …. ,
mín{n, NE})
N
nmuestras de n
elementos que se
pueden tomar de la
población de N
elementos
Se tiene una población finita de N elementos,
de los cuales NE son “éxitos” y NF son
“fracasos”.
Se seleccionan muestras de n elementos sin
reposición.
Interesa conocer el número de éxitos en la
muestra.
Poisson RX= (0, 1, 2, 3, …) ∞ intervalos de amplitud
t. Estos intervalos
pueden ser de tiempo,
espacio, etc.
Se observa la ocurrencia de algún evento
(éxito) en intervalos de la misma amplitud.
Estos intervalos pueden ser de tiempo,
espacio, etc.
Considere, por ejemplo, el modelo binomial. Cuando se quiere indicar que una variable
sigue ese modelo, se simboliza: X Bi(n,π)
Se dice que n y π son los parámetros de la distribución en el sentido que son los valores
con los que se debe contar de antemano para que la función de probabilidad esté
completamente definida y se puedan obtener las probabilidades, así como también las
medidas de resumen de interés.
Se suele decir que son los parámetros “matemáticos” de la distribución.
Tabla 2.2 Función de probabilidad, esperanza y variancia
correspondientes a las distribuciones discretas consideradas en este material
Modelo
Función de probabilidad
puntual
pX(x)
Esperanza E(X) Variancia
Var(X)
Bernoulli
X Be(π) π
x(1-π)
1-x
Π π( 1 – π)
Binomial
X Bi(n,π) n
x π
x(1-π)
n-x
nπ
nπ( 1 – π)
Hipergeométrica
X Hip(N,
NE,n)
E FN N
x n x
N
x
(*)
ENn
N
E EN N N nn
N N N1
1
Poisson
X Po(α)
(**) (***)
αα
!
xe
x
Α α
(*) Si x > NE, tome EN
x= 0 y si (n-x) > NF, tome
FN
n x= 0. En cualquiera de las dos situaciones,
entonces, pX(x) = 0.
(**) α es el número promedio de eventos por unidad de tiempo, espacio, etc. En otros textos también se
utiliza la letra λ con el mismo significado
(***) Cuando se piensa en el Proceso de Poisson, se consideran ∞ variables XT, definidas como el número
de eventos que se observan en períodos de T unidades, con T > 0. En ese caso, se dice que XT Po(αT) y
la esperanza de dicha variable es αT, lo mismo que su variancia. También en la expresión de la función de
probabilidad se reemplaza α por αT. Se utiliza la letra T pensando en intervalos de tiempo; pero estos
“intervalos” pueden ser, por ejemplo, de volumen, de superficie, etc.
3- Distribuciones de probabilidad de uso frecuente para variables aleatorias
continuas
El cálculo de probabilidades en el caso de variables aleatorias continuas se
simplifica si se aplica la función de distribución o función de probabilidad
acumulada.
Contando con esta función, se puede obtener lo siguiente:
P(X < a) = FX(a)
P(X > a) = 1 - FX(a)
P(a < X < b) = FX(b) – FX(a)
donde FX(a) es la función de distribución valorizada en el punto a.
3-1- Distribución Uniforme
Se dice que una variable aleatoria continua tiene una distribución uniforme, y se simboliza
Y U(a,b), si su función de densidad de probabilidad es fY(y) = b a
1 , para a ≤ y ≤ b
(y 0 en caso contrario).
Distribución
o modelo
Función de densidad de
probabilidad
fY(y)
Esperanza
E(Y)
Variancia
Var(Y)
Uniforme
Y U(a,b) (y)yf b a
1
(para valores de la variable entre a
y b)
a b
2 b a
2
12
La función de distribución para el modelo uniforme es: P(X ≤ x) = FX(x) = x a
b a
Ejemplo 3.1 Una empresa que vende productos por Internet conoce que el % de pedidos
diarios que requiere un envío especial oscila entre 5 y 15, de manera uniforme.
¿Cuál es el % promedio de pedidos con envío especial?
¿Qué proporción de los días se deben hacer entre un 10 y un 12 % de envíos especiales?
La población está conformada por los infinitos días.
La variable en estudio es X: % de pedidos que requieren envío especial.
X U(5,15) por lo que su función de densidad de probabilidad, fX(x) = ,1
0 1015 5
,
para 5 ≤ x ≤ 15 (y 0 en caso contrario).
Esta función, junto con algunas medidas de resumen y la probabilidad pedida se presenta
en la Figura 3.1.
P(10 < X < 12) = Fx(12) – Fx(10) = 0,70 – 0,50 = 0,20
Del análisis de la distribución de probabilidades se puede decir, para un gran número de
días, que:
- el % promedio de pedidos que requieren envío especial es 10 %, y la desviación
estándar es 2,89 %
- aproximadamente en el 20 % de los días, el % de pedidos que requieren envío especial
está entre 10 y 12 %.
Función de densidad de probabilidad del Modelo Uniforme (5,15)
E(X) = (5+ 15)/2 =
10 %
Var(X) = 8,33 (%)2
DE(X) = 2,89 %
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
X
De
nsid
ad
10
0,2
125 15
Gráfica de distribuciónUniforme. Inferior=5. Superior=15
Una propiedad de la distribución uniforme continua es que para intervalos de
valores de la variable de igual amplitud, las probabilidades son iguales
(independientemente de la localización de estos intervalos)
3-2- Distribución Normal
Se dice que una variable aleatoria continua tiene una distribución normal si su función de
densidad de probabilidad es
Distribución
o modelo
Función de densidad de
probabilidad
fY(y)
Esperanza
E(Y)
Variancia
Var(Y)
Normal
Y N(µ, σ)
μ( ) exp
σπσY
yf
21 1
22y
(para valores de la variable entre -
∞ y +∞)
µ σ2
La función de distribución para el modelo normal está tabulada para una variable
estandarizada Z, que se presentará más adelante.
La gráfica de la función de densidad del Modelo Normal se presenta en la Figura 3.2
Observando dicha gráfica puede decirse que la curva normal:
- tiene forma de campana
- es simétrica respecto al eje x = µ - presenta un máximo relativo en el punto (µ, 1 )
2πσ - presenta puntos de inflexión en x = µ - σ y en x = µ + σ
Figura 3.2. Curva normal
Si sólo varía el valor de µ, cambia la posición de la campana, sin variar su forma, como se
observa en la Figura 3.3.a. Si sólo cambia el valor de σ, varía la forma de la campana, sin
variar su posición, como se observa en la Figura 3.3.b. Si cambian µ y σ, se modifica tanto
la posición de la curva como su forma, como se observa en la Figura 3.3.c.
a. µ1 < µ2; σ1 = σ2 b. µ1 = µ2; σ1 < σ2
c. µ1 < µ2; σ1 < σ2
Figuras 3.3. Cambios en las curvas normales al variar µ y/o σ
Para obtener probabilidades en el caso del Modelo Normal, se requiere integrar la función
de densidad correspondiente, lo cual es una tarea compleja. Existen tablas donde se
presentan los valores de la función de distribución (probabilidad acumulada) para una
variable aleatoria Z, donde μ
σ
xZ
con µZ = 0 y σZ = 1. Para obtener las probabilidades se requiere, entonces, realizar el
cambio de variable y luego buscar los valores en la tabla correspondiente. En la Sección 5
de este material se presenta la tabla correspondiente.
Ejemplo 3.2. Una empresa produce un tipo de piezas metálicas para la industria
automotriz. La característica de calidad más importante para este tipo de piezas es su
longitud (X). Se conoce que la distribución de esta variable es normal con media 50 mm y
desviación estándar 5 mm. Interesa determinar lo siguiente: 1- La proporción de piezas con longitud inferior a 53,55 mm. 2- La proporción de piezas con longitud superior a 56,9 mm. 3- La proporción de piezas con longitud entre 42 y 52 mm. 4- La proporción de piezas con longitud entre: d1) 45 y 55 mm d2) 40 y 60 mm d3) 35 y 65 mm
a) P(X < 53,55 mm) = ?
Para obtener la probabilidad pedida, se utiliza la tabla Z; transformando el valor x = 53,55
mm en el correspondiente valor z = 0,71
P(X < 53,55 mm) = P(Z < 0,71) = FZ(0,71)
Para obtener FZ(0,71) se debe utilizar la tabla de la distribución normal estándar. En esa
tabla, primero se debe identificar el entero y el primer decimal en una fila; mientras que el
segundo decimal se encuentra en las columnas. Con una fila y una columna elegidas, se
obtiene el valor buscado. En la Figura 3.6.a se muestra la porción de la tabla de la
distribución normal estándar de la cual se obtiene el valor buscado.
En este caso, FZ(0,71) = 0,7611. Es decir, P(X < 53,55 mm) = 0,7611 (Ver Figura 3.4.a) ¿Cómo se interpreta el valor 0,7611? 1- Si se considera una gran cantidad de piezas producidas por la empresa,
aproximadamente el 76 % de las mismas tiene longitud menor que 53,55 mm. 2- Si se selecciona una pieza al azar, la chance (o probabilidad) de que su longitud sea
menor que 53,55 mm es aproximadamente 0,76.
Análogamente se obtienen las restantes probabilidades:
P(X > 56,9 mm) = P(Z > 1,38) = 1 – FZ(1,38) = 1 – 0,9162 = 0,0838 (Ver Figura 3.4.b)
P(42 mm < X < 52 mm) = P(-1,66 < Z < 0,40) = FZ(0,40) – FZ(-1,60) = 0,6554 – 0,0548
= 0,6006 (Ver Figura 3.4.c)
50 53,55 x
P(X < 53,55 mm) = 0,7611
50 56,9 x
P(X > 56,9 mm) = 0,0838
42 50 52 x
P(42 mm < X < 52 mm) = 0,6006
Figuras 3.4 Areas bajo la curva normal
d) Trabajando de la misma manera que se hizo en el punto anterior, se obtiene:
P(45 mm < X < 55 mm) = P(-1 < Z < 1) = FZ(1) – FZ(-1) = 0,8413 – 0,1587 = 0,6826
P(40 mm < X < 60 mm) = P(-2 < Z < 2) = FZ(2) – FZ(-2) = 0,9772 – 0,0228 = 0,9544
P(35 mm < X < 65 mm) = P(-3 < Z < 3) = FZ(3) – FZ(-3) = 0,9987 – 0,0013 = 0,9974
Las probabilidades obtenidas en el punto anterior ponen de manifiesto la siguiente
propiedad de la distribución normal (o regla empírica de la distribución normal), que se
ilustra en la Figura 3.5:
1. aproximadamente 68 % de los valores de la variable se encuentran en el intervalo µ+/- σ
2. aproximadamente 95 % de los valores de la variable se encuentran en el
intervalo µ+/- 2σ 3. aproximadamente 99,7 % de los valores de la variable se encuentran en el
intervalo µ+/- 3σ
Las probabilidades mencionadas son válidas para cualquier variable con distribución
normal, independientemente del valor de la media y la desviación estándar
Figura 3.5. Regla empírica de la distribución normal
e) Para el mismo ejemplo, ahora se busca conocer la longitud superada por el 20 % de las
piezas. En este caso, a partir de una probabilidad, se busca un valor de la variable.
P(X > x*) = P(Z > z*) = 0,20; es decir, FZ(z*) = 0,80
Buscando en el cuerpo de la tabla de la distribución normal estándar la probabilidad 0,80
(o el valor más próximo a 0,80 que se encuentre, en este caso, 0,7995) y ubicando a qué
fila y columna pertenece dicho valor, se obtiene que: FZ(0,84) = 0,7995. (Ver Figura 3.6.b)
Recordando que z x
, resulta:
x 50
0,84 5
Y, por lo tanto, x = 0,84x5 mm + 50 mm = 54,2 mm Es decir, el 20 % de las piezas tiene longitudes superiores a 54,2 mm
a Búsqueda del valor para el punto a b Búsqueda del valor para el punto e
Figuras 3.6 Tabla de la distribución normal estándar o reducida (fragmentos)
Las probabilidades también pueden obtenerse en Excel u otro software estadístico.
En el caso de Excel, se debe utilizar la siguiente secuencia:
Menú: Insertar Funciones Estadísticas DISTR.NORM.N De la misma manera puede obtenerse un valor de la variable como el pedido en el
punto e), utilizando la función INV.NORM
Las Figuras 3.7 y 3.8 muestran cómo obtener probabilidades acumuladas y valores de la
variable, a través de la inversa de la función de distribución, utilizando Excel. Los valores
obtenidos son P(X < 53,55) y x/P(X ≤ x) = 0,80 respectivamente.
Figura 3.7. Aplicación de Excel para obtener un valor de la función de distribución del Modelo Normal
Figura 3.8. Aplicación de Excel para obtener un valor de la inversa de la función de distribución del Modelo Normal
3-3- Distribución Exponencial
Se dice que una variable aleatoria continua tiene una distribución exponencial si
su función de densidad de probabilidad es fY(y) = αe-αy , para y ≥ 0 (y 0 en caso
contrario).
Distribución
o modelo
Función de densidad de
probabilidad
fY(y)
Esperanza
E(Y)
Variancia
Var(Y)
Exponencial
Y Exp(α)
( ) α ( α )yf exp yy
(para valores de la variable
mayores que 0)
α
1
α2
1
En la bibliografía se usa indistintamente α o λ en la expresión de la función de densidad
y en el cálculo de los parámetros correspondientes al modelo exponencial
La función de distribución para el modelo exponencial es: P(X ≤ x) = FX(x) =
αxe1 , x>0
En la Figura 3.9 se presentan funciones de densidad exponenciales, para
diferentes valores de λ.
Figura 3.9 Distribuciones exponenciales, para diferentes valores de λ
Ejemplo 3.3 Suponga que el tiempo (en segundos) que transcurre desde que un
usuario realiza un pedido a una terminal de computadora hasta que esta le brinda
una respuesta, sigue una ley exponencial con λ = 0,2.
Para un pedido en particular, ¿cuál es la chance de que la terminal demore entre
5 y 10 segundos en responder?
¿Cuánto tiempo, demora, en promedio, la terminal en responder los pedidos?
¿Cuánto vale la variancia de la distribución?
La población está conformada por los infinitos pedidos que un usuario realiza a
una terminal de computadora.
La variable en estudio es X: tiempo que demora la computadora en responder al
pedido.
(recuerde que α = 0,1 partículas contaminantes por cm2)
Su función de probabilidad se presenta en la Figura 3.10, junto con algunas
medidas de resumen y la probabilidad pedida.
La probabilidad pedida se obtiene de la siguiente manera:
P(5 < X < 10) = FX(10) – FX(5) = (1 – e-10x0,2) – (1 – e-5x0,2) = 0,23
Del análisis de la distribución de probabilidades se puede decir, para un gran
número de pedidos, que:
- el comportamiento del tiempo es asimétrico, a la derecha
- el tiempo promedio es de 5 segundos, lo mismo que la desviación estándar
- dada la asimetría, se obtiene la mediana y el rango intercuartílico como medidas
de centrado y variabilidad. Estas resultan respectivamente 3,5 segundos y (6,93 –
1,44) = 5,49 segundos.
- aproximadamente en el 23 % de los pedidos, el tiempo oscila entre 5 y 10
segundos
Función de densidad de probabilidad del Modelo Exponencial (0,2)
E(X) = 1/0,20 =
5 segundos
Var(X) = 1/0,202 = 25
(segundos)2
DE(X) = 5 segundos
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
X
De
nsid
ad
5
0,2325
100
Gráfica de distribuciónEXPONENCIAL
Figuras 3.10 Distribución Exponencial
Esta distribución es una de las que se puede utilizar para modelar
duraciones de componentes o sistemas (o tiempos hasta la falla) y
constituye el modelo correcto siempre y cuando la ocurrencia de los
eventos se pueda modelizar según un proceso de Poisson. En ese caso, el
valor de α (λ) representa el número promedio de eventos por unidad de
tiempo.
En los estudios de duraciones de componentes o sistemas, la variable
aleatoria T es el tiempo hasta la falla y se define “confiabilidad de
componente o sistema, en el tiempo to” a la probabilidad de que un
componente (o sistema) dure más (o sobreviva) a dicho tiempo. Se la
simboliza R(to) = P(T > to).
3-4- Distribución Triangular
Se dice que una variable aleatoria continua tiene una distribución triangular
simétrica entre un valor mínimo y un máximo, si su función de densidad de
probabilidad es:
Fuera de ese rango de valores, la función se anula.
Distribución
o modelo
Función de densidad de probabilidad
fX(x)
Esperanza
E(X)
Variancia
Var(X)
Triangular
simétrica
(y 0 en caso contrario)
mín máx
2
máx mín2
24
La función de distribución para el modelo triangular simétrico es: FX(x) =
Esta distribución describe situaciones en las cuales se sabe que la variable toma
valores entre un mínimo y un máximo conocidos
y que cierto valor en ese intervalo tiene mayor probabilidad de ocurrencia que los
demás (un mínimo, un máximo y un valor más probable). En el caso simétrico, ese
valor es el punto medio del intervalo (mín,máx).
En la Figura 3.11 se presenta una distribución triangular simétrica entre los
valores mín = 2 y máx = 6. Observe que para esta distribución, la moda está en el
punto medio del intervalo (2,6), al igual que la media y la mediana.
65432
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
De
nsid
ad
Gráfica de distribuciónTriangular. Inferior=2. Moda=4. Superior=6
Figura 3.11 Distribución triangular simétrica en (2,6)
Ejemplo 3.4. Un recipiente volumétrico de 10 ml tiene un error asociado de +/- 0,2
ml. Al considerar los posibles valores que contiene la medida, de acuerdo al
máximo error permitido se puede decir que esta medida se ubica entre 9,8 y 10,2
ml. Si se piensa además que la función de densidad de probabilidad toma valores
mayores cerca de 10, se puede pensar que las mediciones de volumen con ese
recipiente siguen una ley triangular simétrica.
En este caso, el valor mínimo es 9,8 y el máximo, 10,2, por lo cual, se pueden
obtener
E(X) = 10 ml
Var(X) = , , , ,
,x
2 2 210 0 2 10 0 2 2 0 2 0 2
0 006724 24 6
D.Est(X) = 0,082 ml
Para este caso interesa la probabilidad de que la medición, a partir de ese
recipiente, arroje valores menores que 9,9 ml (es decir, entre 9,8 y 9,9 ml).
Esta probabilidad se obtiene de la siguiente manera:
, , ,( , , ) F ( , ) ,
, ( , ) ,xP X
x
29 9 9 8 0 01
9 8 9 9 9 9 0 1252 0 2 10 9 8 0 08
Este valor puede interpretarse de la siguiente manera: para una gran cantidad de
mediciones llevadas a cabo con ese recipiente, en el 12,5 % de las mismas, el
valor obtenido va a resultar menor que 9,9.
En la Figura 3.12 se presenta la distribución de probabilidad del valor de las
mediciones con ese recipiente y se señala la probabilidad obtenida.
5
4
3
2
1
0
X
De
nsid
ad
9,9
0,125
9,8 10 10,2
Gráfica de distribuciónTriangular. Inferior=9,8. Moda=10. Superior=10,2
Figura 3.12 Función de densidad triangular simétrica para el Ejemplo 3.4
Observe que si, como en el ejemplo 3.4 la variable toma valores en un
intervalo definido por un punto medio +/- un valor “a”, la función de
probabilidad, la función de distribución, la esperanza y la variancia de la
distribución se pueden escribir en función de esos valores.
Por ejemplo E(X) es el punto medio y Var(X) es a2/6
3-5- A modo de síntesis
En la Tabla 3.1 se presentan la función de densidad de probabilidad y algunos
parámetros para las variables aleatorias continuas consideradas en ese material.
Tabla 3.1 Función de densidad de probabilidad, función de distribución y parámetros “estadísticos”
correspondientes a las distribuciones continuas consideradas en este material
Distribución
o modelo
Función de densidad de
probabilidad
fX(x)
Función de
Distribución
FX(x)
Parámetros
Esperanza E(X) Variancia
Var(X)
Uniforme
X U(a,b)
para cualquier otro valor
x si ( ) ,
,
xf a x bb a
1
0
x a
b a
a b
2 b a
2
12
Normal
X N(µ, σ) x , -
μ( ) exp
σπσx
xf x
21 1
22
En tabla, para variable Z µ σ2
Exponencial
X Exp(α)
( ) α ( α )xf exp xx , x > 0 αxe1 , x>0
α
1
α2
1
Triangular
simétrica
(mín, máx)
mín máx
2
máx mín2
24
Excel y Minitab brindan la posibilidad de obtener la función de probabilidad
(o de densidad de probabilidad) y la función de distribución para cualquiera
de los modelos presentados en este material, de la siguiente manera:
Excel → Insertar → Fórmulas → Estadísticas
Aquí se encuentran, entre otras, las funciones:
distr.binom.n, distr.exp.n, distr.hipergeom.n, distr.norm.estand.n, distr.norm.n, poisson.dist,
negbinom.dist
y las funciones inversas: inv.binom, inv.norm, inv.norm.estand
Minitab → Calc → Distribuciones de Probabilidad
Aquí se encuentran todas las distribuciones presentadas en este material y
otras
4- Problemas propuestos
En todos los problemas se pide definir la población física, la variable
aleatoria, su recorrido y la población estadística. Se pide además indicar
cuál es el modelo correspondiente para la distribución de probabilidad.
1) En la producción de piezas metálicas, por parte de una industria local, a la larga
el porcentaje de piezas defectuosas es 3 %. Diariamente, en la empresa
seleccionan una muestra aleatoria de n = 25 piezas y registran el nº de piezas
defectuosas encontradas en dicha muestra.
a) Indique cuál es la distribución de probabilidad adecuada para la variable de
interés y escriba la correspondiente función de probabilidad.
b) En la Tabla 4.1 y en la Figura 4.1 se presenta la función de probabilidad para
todos los valores del recorrido de la variable. A modo de ejemplo, indique cómo se
obtuvo P(X = 2).
c) Obtenga e interprete en términos del problema las siguientes probabilidades:
c-1) P(X ≤ 2) c-2) P(X ≥ 5) c-3) P(1 ≤ X ≤ 4)
d) ¿Qué proporción de los días no se encontrarán piezas defectuosas en la
muestra?
e) ¿Cuál es el número promedio de piezas defectuosas en muestras de n = 25?
¿Y su variancia?
f) ¿Considera que las medidas obtenidas en el ítem anterior son apropiadas?
¿Qué otras puede proponer?
Tabla 4.1. Función de probabilidad de la variable en estudio (Problema 1)
X 0 1 2 3 4 5 6
pX(x) 0,46697471 0,36106292 0,13400273 0,03177384 0,00540483 0,00070207 7,2378E-05 Observación: los valores mayores o iguales que 7 no se incluyen porque su probabilidad es prácticamente nula.
252423222120191817161514131211109876543210
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
x
Pro
ba
bili
da
d
Figura 4.1. Función de probabilidad de x (Problema 1)
2) Una empresa sabe por experiencia que el 10 % de los artículos que produce
deben clasificarse como “de segunda” y venderse a un precio menor. Entre 6
artículos seleccionados al azar, a) ¿qué valores puede tomar la variable “nº de artículos de segunda entre 6”? b) Construya la distribución de probabilidades de dicha variable, obtenga E(X) y
Var(X) e interprete ambos valores en términos del problema. c) Obtenga la función de distribución de X. d) Obtenga las siguientes probabilidades, usando p(x) y F(x) d-1) P(X ≤ 2) d-2) P(X = 1) d-3) P(X ≥ 3) d-4) P(1 ≤ X ≤ 4)
3) Un lote muy grande de componentes ha llegado a un distribuidor. En la
empresa deciden aceptarlo si, al seleccionar una muestra aleatoria de n = 10
piezas, se encuentra a lo sumo 1 pieza defectuosa. En caso contrario, lo
devuelven al proveedor.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el lote sea aceptado? Escríbala en términos de
la proporción de piezas defectuosas del proveedor (π).
b) Si Ud. es el comprador, ¿querría que dicha probabilidad sea alta o baja?
Justifique.
c) Obtenga la probabilidad de que en la empresa acepten un lote suponiendo que
π vale 0,01; 0,05, 0,10 y 0,25. Comente, en relación a su respuesta al punto
anterior.
4) Para un proceso de producción en particular se conoce que el nº de piezas que
no cumplen las especificaciones en lotes de tamaño k se comporta según el
modelo Bi(k, 0,05).
a) Defina la población física e indique cuál es el valor de k si se conoce que la
probabilidad de que no haya piezas fuera de especificaciones en un lote
cualquiera es aproximadamente 0,2146.
b) Obtenga la probabilidad de que en un lote cualquiera como mínimo 8 piezas no
cumplan las especificaciones.
c) Ud. compra un lote de k piezas (siendo k el número obtenido en el punto b) y
encuentra que 8 piezas del lote no cumplen las especificaciones. ¿Qué piensa Ud.
sobre la proporción de piezas que no cumplen las especificaciones para ese
proceso de producción? Justifique su respuesta.
5) En una automotriz conocen que para uno de los modelos que fabrican, se
pueden producir fallas en el mecanismo de frenado. La distribución del número de
fallas en automóviles de este modelo puede considerarse Poisson, con α = 5/año.
La función de probabilidad de esta variable se presenta en la Figura 4.2.
Para un automóvil de este modelo…
a) Calcule la probabilidad de que..
a-1) ocurran 3 fallas en un año a-2) no ocurran fallas
b) ¿Cuál es el número promedio de fallas por año?
x prob 0 0,006738 1 0,033690 2 0,084224 3 0,140374 4 0,175467 5 0,175467 6 0,146223 7 0,104445 8 0,065278 9 0,036266 10 0,018133 11 0,008242 12 0,003434 13 0,001321 14 0,000472 15 0,000157 16 0,000049 17 0,000014 18 0,000004 19 0,000001
252423222120191817161514131211109876543210
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
x
Pro
ba
bili
da
d
Figura 4.2. Función de probabilidad de x (Poisson, α = 5) (Problema 5)
6) Una empresa prepara cajas de 25 artículos para su comercialización. Al final de
la línea, un operario selecciona al azar (y sin reposición) 3 artículos de cada caja.
Si encuentra alguno defectuoso, devuelve la caja para que sea rearmada. Si no, la
caja se embarca.
Considere dos casos posibles:
A: la caja tiene 4 artículos defectuosos B: la caja tiene 1 artículo defectuoso
Para cada caso, se presenta la función de probabilidad del número de artículos
defectuosos por caja en las Figuras 4.3
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la caja sea devuelta en cada uno de los casos?
b) Interprete el valor 0,578 en términos del problema. Indique cómo fue calculado
(escriba la función y valorícela).
c) Considere al que arma las cajas (ya sea un proveedor externo u otra sección de
la empresa), ¿en qué casos le preocuparía más la probabilidad P(X ≥ 1)?
Justifique.
d) Considere al que recibe y embarca las cajas (cliente externo u otra sección de
la empresa), ¿en qué casos le preocuparía más la probabilidad P(X = 0)?
Justifique.
7) Un fabricante de neumáticos reporta que de un cargamento de 5000 piezas que
se mandan a una automotriz, 1000 están ligeramente manchadas. Para armar
cada auto, se seleccionan al azar 5 neumáticos del cargamento. Obtenga la
probabilidad de que ninguno de ellos esté manchado.
x pX(x)
Caso A
0 0,578
1 0,365
2 0,054
3 0,001
3210
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
xP
rob
ab
ilid
ad
Caso A
x pX(x)
Caso B
0 0,88
1 0,12
2 0,00
3 0,00
3210
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
x
Pro
ba
bili
da
d
Caso B
Figuras 4.3. Función de probabilidad para la variable aleatoria correspondiente.
Casos A y B (Problema 6)
8) En ciertos experimentos, el error cometido en la determinación de una magnitud
es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo (-0,025; 0,025).
a) Grafique la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria de
interés.
b) Obtenga la probabilidad de que al realizar la experiencia se cometa un error:
b-1) entre 0,01 y 0,015 b-2) entre -0,012 y 0,012
b-3) señale ambas probabilidades en el gráfico.
c) Interesa la probabilidad de que el error esté entre 0,02 y 0,025. Sin hacer
cálculos, indique si esta probabilidad es igual a alguna de las dos obtenidas en el
punto anterior. Justifique su respuesta.
9) Por estudios anteriores se conoce que los errores aleatorios que se cometen al
medir magnitudes siguen una ley uniforme en el intervalo (-2, 2).
a) Construya el diagrama de caja y bigotes para esta distribución.
b) Interprete en términos del problema las medidas obtenidas para la construcción
del diagrama.
c) Construya el diagrama de caja y bigotes si los errores aleatorios siguen una ley
triangular simétrica en el mismo intervalo.
d) Obtenga E(X) y Var(X) para ambos modelos y comente las diferencias
observadas.
10) Las fallas en una máquina ocurren según un proceso de Poisson con una tasa
α igual a 0,1 fallas/hora. Los encargados de dicha máquina están interesados en
estudiar el comportamiento del tiempo en que esta máquina funciona sin fallar.
a) Grafique a mano alzada la función de densidad de probabilidad correspondiente
a la variable aleatoria de interés.
b) Obtenga la probabilidad de que el equipo pase más de 30 horas sin fallas.
Señale esa probabilidad en el gráfico anterior.
c) En promedio, ¿cada cuántas horas se produce una falla en esa máquina?
Indique además el valor de la variancia.
d) ¿Considera que el promedio es una buena medida de centrado para esta
distribución? Justifique su respuesta y en caso de ser negativa, obtenga otra
medida.
11) La resistencia a la tracción de cierto tipo de componentes metálicos se
distribuye normalmente con media 10000 kg/cm2 y una desviación estándar 100
kg/cm2
a) ¿Qué proporción de estos componentes tiene resistencia a la tracción que
excede los 10150 kg/cm2?
b) Suponga que un comprador de estos componentes requiere que tengan
resistencias entre 9800 y 10200 kg/cm2.
¿Qué proporción de piezas no podrán
venderse a este comprador? Indique dicha proporción de manera aproximada sin
hacer los cálculos. Justifique.
12) En la producción de un tipo de barras de acero se conoce que el diámetro de
las mismas es una variable aleatoria distribuida normalmente, con media 60 mm.
Las especificaciones definidas para esa variable son (45mm-75mm) y se sabe que
sólo el 0,27 % de las barras no cumplen con dichas especificaciones.
a) ¿Cuál es el valor de la desviación estándar?
b) Un comprador requiere barras con diámetros comprendidos en el intervalo 62
+/- 6mm. ¿Qué proporción de las barras cumplirá las especificaciones de dicho
comprador?
13) Una empresa que produce cojinetes cuenta con dos máquinas para obtener
dichos cojinetes. En la máquina 1, el diámetro de los cojinetes se distribuye
aproximadamente normal con μ = 1,25 cm y σ = 0,01 cm; mientras que en la
máquina 2, se distribuye aproximadamente normal con μ = 1,252 cm y σ = 0,005
cm. ¿Qué máquina recomendaría utilizar a un comprador que requiere que los
diámetros de los cojinetes se encuentren en el intervalo (1,245 cm- 1,255 cm)?
Justifique su respuesta.
14) La longitud roscada de un perno está normalmente distribuida.
a) Se selecciona un perno al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que….
a-1) su longitud esté a más de 2,5 desviaciones estándar del valor medio?
a-2) dentro de 1 desviación estándar de su valor medio?
b) Obtenga la longitud promedio de los pernos si se conoce que la desviación
estándar es 0,4 unidades y que el 5 % de los pernos tiene longitudes superiores a
3,2 unidades.
15) Los tiempos hasta la primera avería de cierto tipo de impresoras se distribuyen
según una ley exponencial, con α = 0,0005/hora
a) ¿Qué proporción de las impresoras fallarán antes de las 1000 horas?
b) ¿Cuál debe ser el tiempo máximo de garantía para esas impresoras si el
fabricante desea que sólo 5 % de las impresoras presenten averías dentro del
período de garantía?
16) Una empresa produce piezas metálicas de una aleación en particular. La
dureza Rockwell para piezas de dicha aleación está normalmente distribuida con
media 70 y desviación estándar 3 unidades. Para uno de los clientes de la
empresa, una pieza es aceptable sólo si su dureza toma valores entre 67 y 75
unidades.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza seleccionada al azar sea aceptable?
b) En una muestra de 10 piezas, ¿cuál es la probabilidad de encontrar que todas
son aceptables?
c) Si el rango de dureza aceptable se plantea como (70 – c, 70 + c), encuentre el
valor de “c” para que el cual, 75 % de las piezas resultan aceptables.
5- Tablas para la Distribución Normal
Areas acumuladas debajo de la distribución NORMAL ESTANDAR
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 z
-3,9 0,00005 0,00005 0,00004 0,00004 0,00004 0,00004 0,00004 0,00004 0,00003 0,00003 -3,9 -3,8 0,00007 0,00007 0,00007 0,00006 0,00006 0,00006 0,00006 0,00005 0,00005 0,00005 -3,8 -3,7 0,00011 0,00010 0,00010 0,00010 0,00009 0,00009 0,00008 0,00008 0,00008 0,00008 -3,7 -3,6 0,00016 0,00015 0,00015 0,00014 0,00014 0,00013 0,00013 0,00012 0,00012 0,00011 -3,6 -3,5 0,00023 0,00022 0,00022 0,00021 0,00020 0,00019 0,00019 0,00018 0,00017 0,00017 -3,5
-3,4 0,00034 0,00032 0,00031 0,00030 0,00029 0,00028 0,00027 0,00026 0,00025 0,00024 -3,4
-3,3 0,00048 0,00047 0,00045 0,00043 0,00042 0,00040 0,00039 0,00038 0,00036 0,00035 -3,3 -3,2 0,00069 0,00066 0,00064 0,00062 0,00060 0,00058 0,00056 0,00054 0,00052 0,00050 -3,2 -3,1 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007 -3,1 -3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010 -3,0
-2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014 -2,9
-2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019 -2,8 -2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026 -2,7 -2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 -2,6 -2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048 -2,5
-2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064 -2,4
-2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084 -2,3 -2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110 -2,2 -2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143 -2,1 -2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183 -2,0
-1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233 -1,9
-1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294 -1,8 -1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367 -1,7 -1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455 -1,6 -1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559 -1,5
-1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681 -1,4
-1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823 -1,3 -1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985 -1,2 -1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170 -1,1 -1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379 -1,0
-0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611 -0,9
-0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867 -0,8 -0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148 -0,7 -0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451 -0,6 -0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776 -0,5
-0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121 -0,4
-0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483 -0,3 -0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859 -0,2 -0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247 -0,1 0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641 0,0
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 z
Areas acumuladas debajo de la distribución NORMAL ESTANDAR
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 z
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,0 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,1 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,2 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,3 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,4 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,5 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,6 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,7 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,8 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 0,9 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,0 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,1 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,2 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,3 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,4 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,5 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,6 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,7 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,8 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 1,9 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,0 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,1 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,2 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,3 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,4 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,5 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,6 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,7 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,8 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 2,9 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3,0 3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 3,1 3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,2 3,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,99960 0,99961 0,99962 0,99964 0,99965 3,3 3,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,99970 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,99976 3,4 3,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,99980 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,99983 3,5 3,6 0,99984 0,99985 0,99985 0,99986 0,99986 0,99987 0,99987 0,99988 0,99988 0,99989 3,6 3,7 0,99989 0,99990 0,99990 0,99990 0,99991 0,99991 0,99992 0,99992 0,99992 0,99992 3,7 3,8 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99995 3,8 3,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997 3,9
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 z
6- Bibliografía
Devore, J. (2008), “Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencias”
7ma.edición; Cengage Learning, México
Hildebrand, D. y Ott, R. L. (1998), “Estadística Aplicada a la Administración y a la
Economía” 3ra. Edición; Addison Wesley Longman, México
Meyer, Paul (1998), “Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas”, Addison-Wesley-
Longman, México.
Montgomery, D. y Runger, G. (1996), “Probabilidad y Estadística aplicadas a la
Ingeniería” 2da. Edición; Mc Graw-Hill, México
Navidi, W. (2006), “Estadística para ingenieros y científicos”, 1a.edición; Mc Graw-
Hill, México
Prat Bartés, A. y otros (2000), “Métodos estadísticos. Control y mejora de la
calidad”, Alfaomega, Ediciones UPC, México.