Capítulo 9

Estudio del Control Semiactivo en el Modelo de unaEstructura tipo Edificio

Álvaro Cabrera Amado1

Josué Enríquez Zárate2

Gerardo Silva Navarro3

Esteban Chávez Conde4

Abstract: This work presents the dynamic model of a building-likestructure consisting of a three-story building with one Magnetoreolo-gical (MR) damper. To emulate earthquake, the base of the structureis perturbed with a shaker, providing excitation forces. The distur-bance contains some resonant frequencies of the structure. The struc-ture is modeled using the Euler-Lagrange methodology, considers asystem with one MR damper connected between the base and firstlevel. The MR damper has the function to reduce the horizontal os-cillation of the structure, by means of a modal control scheme. Thecontrol is synthesized to reduce the vibration of the structure, per-turbed by excitation forces on the base. The scheme is based on thePositive Velocity Feedback to improve the closed-loop system andattenuate some vibration modes. Finally numerical results are in-cluded to show the dynamic performance of a building-like structureusing a semiactive control scheme, with control force based on an MRdamper.

Keywords: control modal, semiactivo, sismo, amortiguador mag-netoreológico.

1alvaroca_1@hotmail.com, 4chavez.conde@gmail.com. Universidad del Papaloapan(UNPA), Departamento de Ingeniería en Mecatrónica, Loma Bonita Oax., México C.P. 68400

2enriquezz@cinvestav.mx, 3gsilva@cinvestav.mx. Centro de Investigación y de EstudiosAvanzados del IPN (CINVESTAV), Departamento de Ingeniería Eléctrica - Sección de Meca-trónica Apdo. Postal 14-740 C.P. 07360 México, D.F.

147

148 Control en el Modelo de una Estructura

Resumen: En este capítulo presentamos el modelo dinámico de unaestructura tipo edificio de tres niveles. Para emular el movimientoterrestre o sismo se perturba la base del edificio con un generadorde vibraciones, proporcionando fuerzas de excitación armónica. Laseñal de perturbación contiene algunas frecuencias resonantes de laestructura que alcanzará algunos modos de vibración. La estructurase modela utilizando las técnicas de Euler-Lagrange, el cual consideraun sistema con un amortiguador Magnetoreológico (MR) conectadoentre la base y el primer nivel del edificio. El amortiguador MRtiene la función de frenar el movimiento horizontal de la estructura,mediante la aplicación de un algoritmo de control. Para minimizar elmovimiento o sacudida de la estructura, consideramos un esquema decontrol modal basado en la retroalimentación positiva de la velocidad(PVF). Finalmente se incluyen algunos resultados numéricos paramostrar el desempeño dinámico de una estructura tipo edificio bajola acción de un esquema de control semiactivo, cuya fuerza de controles basada en un amortiguador magnetoreológico.

9.1 Introducción

Algunos sistemas de ingeniería y estructuras civiles son comunmente afectadospor vibraciones endógenas y exógenas debido al movimiento de la tierra, ondassismicas, etc. El control de estructuras en edificios es necesario para mantener eldesempeño ante los daños que pueda sufrir por un evento sísmico (ver [6] y [7]).

Las soluciones más efectivas son los amortiguadores de masa sintonizada(TMD), amortiguadores de masas híbridas (HMD), de masa activa (AMD), ymás recientemente, la aplicación de materiales inteligentes que ofrecen algunosactuadores de bajo costo que compensan altas cargas Choi [5], Dyke [8]. Losamortiguadores con fluidos electroreológico (ER) y magnetoreológico (MR) hansido aplicados de manera exitosa para estrategias de control semiactivo en edifi-cios y estructuras civiles (ver [1], [16] y [4])

La principal dificultad para usar los amortiguadores MR y ER es su com-portamiento no-lineal y los efectos de histéresis. Sin embargo, se han propuestodiferentes modelos para amortiguadores ER y MR en la literatura y validados enforma experimental.

En este trabajo contemplamos la aplicación de un amortiguador con fluidoMagnetoreológico en la síntesis de un esquema de control semiactivo para reducirlas vibraciones en una estructura tipo edificio de tres niveles. Para predecir lafuerza de fricción del amortiguador MR se usa el modelo polinomial de Choi-Lee-Park, que describe la dinámica y los efectos de histéresis (Choi et al. [2], Spenceret al. [15]).

9.2. MODELO DE UNA ESTRUCTURA TIPO EDIFICIO 149

Para atenuar las oscilaciones del edificio se aplica un esquema de controlmodal llamado control por Retroalimentación Positiva de la Velocidad (PVF)basado en un amortiguador MR (ver [12], [13], [10]).

En el trabajo incluimos algunos resultados numéricos que muestran el desem-peño del algoritmo de control PVF para reducir las oscilaciones en la estructuratipo edificio.

9.2 Modelo de una estructura tipo edificio

Presentamos un diagrama de la estructura tipo edificio de tres pisos sometida aperturbaciones del tipo sísmico (Figura 9.1). Cada nivel de la estructura tienemasa (m1, m2, m3), que están conectadas por cuatro columnas flexibles y queconectan a cada grado, se asume que las columnas en cada nivel tienen unarigidez equivalente (k1, k2, k3) y se considera que existe amortiguamiento viscosoequivalente (c1, c2, c3) sobre cada grado de la estructura.

Figura 9.1: Diagrama de la estructura tipo edificio de tres niveles.

La respuesta dinámica del modelo es analizado mediante simulaciones numéri-cas en el software de MATLAB, para la prueba numérica se utiliza un esquemade control semiactivo que minimiza las oscilaciones de cada nivel en la estructura.El actuador usado para controlar las oscilaciones es un amortiguador magneto-reológico (fMR) de fricción controlable, está acoplado directamente en la basede la estructura con el primer nivel inclinada a 45o. Cada nivel es consideradocomo 1 grado de libertad, cuyo desplazamiento horizontal se mide a través de lasvariables y1(t), y2(t), y3(t) y el sismo en la estructura es emulada mediante laentrada de aceleración z(t) en la base.

150 Control en el Modelo de una Estructura

9.3 Modelo dinámico del edificio

El modelo matemático de la estructura tipo edificio se obtiene usando la ecuaciónde Euler-Lagrange. Esta ecuación dependen de la energía cinética, potencial ydisipativa presente en el sistema global Wells (ver [17]).

La energía cinética (ecuación (9.3.1)) es la energía asociada a los cuerpos quese encuentran en movimiento, estas dependen de la masa (mi, i = 1, 2, 3) y de lavelocidad desarrollada por el cuerpo:

K =1

2

i=3∑i=1

miy2i +

1

2

i=3∑i=1

miz2, (9.3.1)

donde yi (i = 1, 2, 3) es el desplazamiento horizontal de cada nivel de laestructura y z es la variable que representa el sismo en la base de la estructura.

Los elementos que desarrollan energía potencial son las columnas en cada nivelde la estructura, estos elementos tienen propiedades elásticas (ki, i = 1, 2, 3) queguardan energía y es calculado por:

V =1

2

i=3∑i=1

ki

(yi −

(i− 1)

(i− 1)!yi−1

)2

(9.3.2)

Se considera que existe fricción viscosa en la estructura, es el rozamiento enlas uniones, y el deslizamiento entre los materiales. La energía de disipación(ecuación (9.3.3)) presente en el sistema es calculado empleando la función dedisipación de Rayleigh (Goldstein [11]), dado por:

D =1

2

i=3∑i=1

ci

(yi −

(i− 1)

(i− 1)!yi−1

)2

(9.3.3)

Sean q y q coordenadas generalizadas que describen completamente un sis-tema dinámico. Sean K y V la energía cinética total, y la energía potencialalmacenada en el sistema, respectivamente. El Lagrangiano L relacionado alsistema mecánico es definido como:

L(q, q) = K − Vq =

[y1 y2 y3

]TLa energía potencial y cinética son funciones de q y q, por lo tanto también

lo es el Lagrangiano L(q, q). El sistema de estructura tipo edificio se consideraconservativo debido a que existen componentes que disipan energía.

El modelo dinámico de un sistema se obtiene resolviendo la ecuación de Euler(ecuación 9.3.4), para cada grado de libertad que se desea analizar (ver [17]). Enla ecuación de Euler F es la fuerza de entrada exógena al sistema.

9.3. MODELO DINÁMICO DEL EDIFICIO 151

d

dt

(∂L(q, q)

∂q

)− ∂L(q, q)

∂q+∂D

∂q= F (9.3.4)

El modelo matemático de la estructura con amortiguador MR trata de unsistema lineal de 3 grados de libertad, cada piso es considerado como un grado.El modelo está expresado mediante ecuaciones diferenciales que emulan las osci-laciones de la estructura, su respuesta numérica predice al menos tres modos devibración causados por la perturbación en la base.

El sistema dinámico global con amortiguador MR es expresado en formamatricial por:

Mq (t) + Cq (t) +Kq (t) +BmrfMR = −MBf z (t) (9.3.5)M,C,K ∈ R3x3, Bmr, Bf ∈ R3x1, fMR, z ∈ R

q =[y1(t) y2(t) y3(t)

]T

M =

m1 0 00 m2 00 0 m3

, C =

c1 + c2 −c2 0−c2 c2 + c3 −c3

0 −c3 c3

K =

k1 + k2 −k2 0−k2 k2 + k3 −k3

0 −k3 k3

, Bmr =

cos(π/4)00

, Bf =

111

donde M es la matriz de masa, C es la matriz de amortiguamiento, K la

matriz de rigidez de las columnas, z es la aceleración en la base de la estructuraque emula el movimiento sísmico, q es el vector de desplazamientos de los niveles,fMR es la fuerza del amortiguador de fricción controlable, Bmr es el vector dela entrada de control y Bf es el vector que define la perturbación en cada nivelcausado por la aceleración z.

Los parámetros del sistema estructura tipo edificio considerado en este artículoson proporcionados en la Tabla 9.1.

Nivel Masa Rigidez Amortiguamiento1 m1=1.8 kg k1=897.02 N/m c1=0.1233 Ns/m2 m2=1.0 kg k2=933.38 N/m c2=0.3345 Ns/m3 m3=1.34kg k3=888.23 N/m c3=1.8977 Ns/m

Tabla 9.1: Parámetros del sistema de una estructura de 3 niveles.

152 Control en el Modelo de una Estructura

9.4 Amortiguador magnetoreológico

Los fluidos magnetoreológicos (MR) son materiales inteligentes que respondenmuy bien a la aplicación de un campo magnético produciendo cambios en suspropiedades reológicas, es decir cambios en la viscosidad y rigidez. Los fluidosMR están formado por partículas magnéticas del orden de 0.05 a 8 micronessuspendidas en un líquido portador, tal como un aceite mineral y otras emul-siones químicas. Los amortiguadores MR son dispositivos que utilizan fluidosMR, cuyas propiedades reológicas experimentan cambios continuos y reversibles,estas condiciones hacen posible la aplicación de los amortiguadores MR en elcontrol de vibraciones para proveer una fuerza que contrarresta los efectos delas oscilaciones (ver [15]). El artículo considera el modelo polinomial de Choi-Lee-Park que describe la fuerza del amortiguador MR (ver [2]). El amortiguadorcomercial que usamos en este trabajo es el RD-1097-01 de Lord Corporation,(ver [3]). La fuerza MR (ecuación (9.4.1)) es descrita mediante un polinomiode segundo orden, que está en función de la corriente en los devanados y de lavelocidad relativa en el vástago del amortiguador,

fMR(v, I)=

i=n∑i=0

(bi+ciI)vi, (9.4.1)

donde v = (y1 − z) cos(π/4) es la velocidad del vástago en el amortiguadorMR acoplado entre el primer piso y la base, incluyendo la localización geométricay I es la entrada de corriente. Los coeficientes del polinomio (ci, bi) adoptan unvalor según sea el signo de la aceleración en el vástago. Para un polinomio deorden n = 2 los coeficientes son dados en la Tabla 9.2.

Indice Aceleración Positiva v Aceleración Negativa vi b+i c+

i b−i c−i0 0.403 2.928 0.5426 −3.105

1 −18.3 1156 −18.549 1161

2 19.01 −561.3 8.6212 −372.5

Tabla 9.2: Coeficientes del Polinomio bi y ci

9.5 Control modal

Esta es una técnica en el control de vibraciones de estructuras. Una de susprincipales características es que puede ser diseñado alrededor de una funciónde transferencia experimental por lo que no se requiere un modelo matemático

9.5. CONTROL MODAL 153

del sistema a controlar. Este control fue propuesto por primera vez por Goh yCaughey en 1985 (ver [10]).

El control por Retroalimentación Positiva de la Velocidad (PVF), es unmétodo de control modal para atenuar vibraciones (Inman [12]). Este esquemaagrega un grado de libertad adicional al sistema original, considerada como unabsorbedor virtual pasivo o como un filtro de segundo orden (ecuación (9.5.2)).Los parámetros de este controlador son seleccionados usando datos de la frecuen-cia ω a la que se desea atenuar las vibraciones en la estructura, y una gananciag para amplificar la fuerza de control u(t) (ecuación (9.5.3)). El nombre deretroalimentación positiva de la velocidad viene del hecho de que la coordenadade velocidad q del sistema es retroalimentada de manera positiva al filtro y lacoordenada de velocidad del filtro η es positivamente retroalimentada al sistema(ver [12]).

La síntesis de un control PVF para un sistema primario de múltiples gradosde libertad DOF (ecuación (9.5.1)) en lazo cerrado es dado por:

Mq + Cq +Kq= Bu (9.5.1)

η + 2ζfωf η + ω2fη= gωfB

T q (9.5.2)

u= gωf η (9.5.3)

En este caso los parámetros del control son dados por las ganancias g, lasconstantes de amortiguamiento ζf y la frecuencia del absorbedor ωf . Para esteesquema las matrices de rigidez K y masa M son ambas simétricas y definidaspositivas, por lo tanto las matrices de masa global M y rigidez global K en lazocerrado son también definidas positivas y simétricas.

MQ+ CQ+ KQ = [0][M 00 1

] [qη

]+

[C −gωfB

−gωfBT 2ζfωf

] [qη

]+

[K 00 ω2

f

] [qη

]=

[00

]El esquema PVF afecta solamente la matriz de amortiguamiento C.

C =

[C −gωfB

−gωfBT 2ζfωf

](9.5.4)

Para garantizar la estabilidad asintótica en lazo cerrado, la matriz de amor-tiguamiento global C (ecuación (9.5.4)) debe ser definida positiva, el cual sepuede garantizar si las ganancias g, ωf y ζf se seleccionan, tal que la matrizC − g2ωf

2ζfBfB

Tf sea definida positiva.

154 Control en el Modelo de una Estructura

9.6 Dinámica inversa

La fuerza calculada u es la fuerza deseada o necesaria para minimizar las osci-laciones en la estructura causadas por el sismo z. En base a la fuerza calculadaobtenemos la entrada de corriente I que se inyecta al amortiguador MR, para ellousamos la dinámica inversa del modelo polinomial de Choi (ver [2]). La fuerzade amortiguamiento fMR se considera como la fuerza calculada y se obtiene lacorriente I por la expresión,

I =u−

∑n=2i=0 biv

i∑n=2i=0 civ

i, v = (y1−z) cos(π/4) (9.6.1)

La idea de la dinámica inversa es para linealizar la dinámica del amortiguadorMR y simplificar la síntesis de la ley de control (ver [5]).

9.7 Resultados numéricos

Los resultados numéricos fueron obtenidos mediante MATLAB/Simulink, con unmétodo numérico Runge-Kutta y un paso de integración de 1 ms. En la Figura9.2 se muestra la perturbación aplicado en la base de la estructura, la aceleraciónz(t) en la base somete a los tres niveles de la estructura a movimientos oscilatoriosocasionando que el sistema experimente tres modos de vibración.

0 10 20 30 40 50 60 70 80−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

Tiempo [s]

z(t)

[m

/s2 ]

..

Figura 9.2: Perturbación en la base de la estructura tipo edificio z(t).

La Figura 9.3 muestra las oscilaciones de la estructura para la prueba pasiva(sin control) y para la prueba semiactiva en la que se aplica un esquema decontrol PVF a través del amortiguador MR. La aplicación del esquema PVF

9.8. CONCLUSIONES 155

para el modelo de una estructura tipo edificio, tiene los parámetros de controlsintonizados para atenuar el primer modo de vibración: ωf = 10rad/s, g = 8,ζ = 4.

El sistema pasivo tiene amplitudes de vibración cerca de 16mm en el tercernivel (ver Figura 9.3), usando un amortiguador MR y aplicando el algoritmo decontrol PVF se logra reducir las oscilaciones de la estructura cerca del 80%. Lacorriente de control I es saturada en un valor de 0.6A, esto debido a las limita-ciones físicas del dispositivo, permitiendo estabilizar y atenuar los movimientososcilatorios con fuerza de amortiguamiento menores de 10N (ver Figura 9.4).

0 10 20 30 40 50 60 70 80−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

Tiempo [s]

y 1(t)

[m]

0 10 20 30 40 50 60 70 80−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

Tiempo [s]

y 2(t)

[m]

0 10 20 30 40 50 60 70 80−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

Tiempo [s]

y 3(t)

[m]

Prueba activa con Control PVFPrueba Pasiva sin Control (I = 0 Amp)

Figura 9.3: Movimietos oscilatorios (y1, y2, y3) de los 3 niveles de la estructura en pruebapasiva y en lazo cerrado (PVF).

9.8 Conclusiones

En este trabajo mostramos el análisis de un modelo de 3 grados de libertad parauna estructura tipo edificio con un amortiguador MR en la base para reducir lasoscilaciones causadas por el sismo. El modelo analítico establece el acoplamientodinámico entre los niveles y su respuesta numérica reproduce las oscilacionesde cada nivel causados por el sismo en la base y predice al menos 3 modos devibración. A través del uso de un amortiguador MR y mediante la aplicación delalgoritmo de control PVF se logra disipar las oscilaciones en la estructura. Paraaplicar el esquema solamente se necesita medir la velocidad relativa en el vástagodel amortiguador, con esta información del sistema es suficiente para estabilizarlas estructuras.

156 Control en el Modelo de una Estructura

0 10 20 30 40 50 60 70 80−3

−2

−1

0

1

2

3

Tiempo [s]

f MR (

t) [

N]

0 10 20 30 40 50 60 70 80−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Tiempo [s]

I(t)

[A

]

Figura 9.4: Fuerza del amortiguador MR, calculado mediante el control PVF y corrienteinyectada.

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