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Capıtulo 10
Magnetostatica
10.1 Campo Magnetico
Por meio de experimentos, notou-se que os portadores de carga sofriam in-
fluencias de outra forca, fora aquela resultante da acao do campo eletrico.
Tal forca dependia nao so da posicao da partıcula mas tambem da velocidade
de seu movimento, e ela recebeu o nome de forca magnetica.
Portanto, Em todo ponto do espaco temos duas quantidades vetoriais que
determinam a forca resultante que atua sobre uma carga:
• A primeira delas e a forca eletrica, a qual fornece uma componente
da forca independente do movimento da carga. E possıvel descreve-la,
como ja foi visto, em termos do campo eletrico.
• A segunda quantidade e uma componente adicional a forca denominada
forca magnetica, que sera apresentada a seguir.
Foi visto que o campo eletrico pode ser definido como a forca eletrica por
unidade de carga:
�E =�Fe
q(10.1)
149
150 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
Isso pode ser feito devido a existencia de monopolos eletricos. Porem o
ser humano nao observou, ate hoje, monopolos magneticos: Todos os corpos
magnetizados possuem um polo Norte e um polo Sul. Por causa disso, o
campo magnetico deve ser definido de outra maneira.
Observando o movimento de cargas eletricas em campos magneticos,
notou-se que:
• A forca magnetica e proporcional a carga da partıcula:
Fm ∝ q
• A forca magnetica e sempre perpendicular ao sentido de deslocamento
da partıcula:�Fm · �v = 0
• Se o deslocamento da partıcula e paralelo a uma direcao fixa, a forca
magnetica e nula. Caso contrario, a forca magnetica e proporcional
a componente da velocidade que e perpendicular a essa direcao. Em
sıntese: sendo θ o angulo entre o vetor velocidade (�v) e essa direcao
fixa:
Fm ∝ v sin θ (10.2)
Todo esse comportamento pode ser descrito por meio da definicao do vetor
campo magnetico �B1, cuja direcao especifica simultaneamente a direcao fixa
mencionada e a constante de proporcionalidade com a velocidade e a carga.
�Fm = q��v × �B
�(10.3)
Utilizando as equacoes 10.1 e 10.3, demonstra-se que a forca resultante
1Unidade do campo magnetico:��B�
= T (tesla). 1T = 104G (gauss)=wb
m2(weber)
10.2. FORCA MAGNETICA EM FIOS 151
aplicada sobre uma carga eletrica e dada por:
�F = �Fe + �Fm (10.4)
�F = q��E + �v × �B
�(10.5)
A equacao 10.5 representa a Forca de Lorentz, um dos axiomas da teoria
eletromagnetica. Sua importancia advem do fato dela ser a ponte entre a
dinamica e o eletromagnetismo.
Observacao: A forca magnetica NAO realiza trabalho, pois ela e sempre
perpendicular ao deslocamento da partıcula.
dW = �Fm · d�l = q��v × �B
�· �v dt = 0
Segue que a forca magnetica nao pode alterar apenas a direcao da veloci-
dade da carga (�v). Fica entao a pergunta: Como um ıma pode mover outro?
Veremos isso mais adiante.
10.2 Forca magnetica em fios
Vamos considerar um condutor pelo qual passa uma corrente eletrica I,
imerso em um campo magnetico �B. Pode-se dizer que a quantidade de carga
que passa pela seccao transversal do fio em um tempo dt e:
dq = I dt (10.6)
De acordo com a equacao 10.3, a forca magnetica aplicada nesse elemento
de carga e:
d �Fm = dq��v × �B
�(10.7)
Substituındo 10.6 em 10.7, temos:
152 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
d �Fm = I dt��v × �B
�
d �Fm = I��v dt× �B
�
d �Fm = I�d�l × �B
�(10.8)
Onde �dl possui a mesma direcao e sentido da corrente. Entao integrando
a equacao 10.8 ao longo do comprimento do fio, encontramos a forca aplicada
nesse corpo:
�Fm =
�
Γ
I�d�l × �B
�(10.9)
Figura 10.1: Fio imerso em campo magnetico
Como exemplo, facamos uma analise para o caso no qual a corrente e o
campo sao constantes.
Como I e �B nao variam, a integral apresentada em 10.9 fica da seguinte
maneira:
�Fm = I
�
Γ
�d�l�× �B
(10.10)
Se somarmos todos os vetores elementares de comprimento ( d�l) de um
fio, obtemos como resultado o vetor �l, que liga as duas extremidades desse
10.3. TORQUE EM ESPIRAS 153
objeto. Portanto, a equacao 10.10 torna-se:
�Fm = I��l × �B
�(10.11)
Nota-se que, para fios fechados (espiras), o vetor �l e nulo, portanto a forca
magnetica resultante e zero.
Figura 10.2: Forca resultante na espira fechada e nula
Observacao: A forca magnetica resultante e nula, mas o torque nao o e!
10.3 Torque em espiras
Considere uma espira retangular imersa em um campo magnetico �B de tal
forma que seus fios estejam paralelos aos vetores do campo, como mostrado
na figura 10.3. Vamos calcular a forca em cada lado da espira:
Figura 10.3: Espira retangular
154 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
Lado 1:�F1 = I
��l1 × �B
�= 0
Lado 2:�F2 = I
��l2 × �B
�= IBa
�−i× j
�
�F2 = −IBak
Lado 3:�F3 = I
��l3 × �B
�= 0
Lado 4:�F4 = I
��l4 × �B
�= IBa
�i× j
�
�F4 = IBak
Agora e possıvel calcular o torque das forcas �F2 e �F4 em relacao ao eixo que
passa pelo centro da espira e e perpendicular aos fios 1 e 3, como mostrado
na Figura 10.4.
Figura 10.4: Calculo do torque
Lado 2:
�τ2 = �r2 × �F2 =
�
−b
2j
�
×�−IBak
�
�τ2 =IBab
2i
Lado 4:
�τ4 = �r4 × �F4 =
�b
2j
�
�IBak
�
10.3. TORQUE EM ESPIRAS 155
�τ4 = −IBab
2i
Entao, o torque total e:
�τ = �τ2 + �τ4 = IBabi
Nota-se que o produto ab e a area da propria espira. Pode-se estender
o resultado acima para uma espira qualquer de area A percorrida por uma
corrente I. Sendo �A um vetor normal a superfıcie da espira com modulo igual
a A, o torque nesse objeto e dado por:
�τ = I �A× �B (10.12)
Para uma espira com N voltas, temos:
�τ = NI �A× �B (10.13)
Observando-se a importancia do primeiro fator do membro direito da
equacao 10.13 , define-se o momento de dipolo magnetico �µ como sendo:
�µ = NI �A (10.14)
Logo a equacao 10.13 pode ser escrita como2:
�τ = �µ× �B (10.15)
Exercıcio 10.1. Em um dado instante, percebeu-se que uma bobina de N
voltas imersa em um campo magnetico �B apresentou uma aceleracao angular
de rotacao igual a α. Sendo I seu momento de inercia, calcule a area da
bobina. Considere θ como sendo o angulo entre o plano da bobina e o vetor�B
Podemos calcular o torque de duas maneiras:
2analogia com a equacao do momento de dipolo para a eletrostatica
156 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
Figura 10.5: Espira imersa no campo magnetico
τ = Iα
�τ = �µ× �B
Logo:
Iα =����µ× �B
��� (10.16)
Calculando o momento de dipolo magnetico:
µ = i �A = NiA�n (10.17)
Substituındo 10.17 em 10.16 :
Iα = NiAB����n×�j
���
Iα = NiAB cos θ
Entao a area e:
A =Iα
NiB cos θ
10.4. O MOVIMENTO CYCLOTRON 157
10.4 O Movimento Cyclotron
Um dos mecanismos utilizados em aceleradores de partıculas emprega campos
magneticos para que elas descrevam movimentos circulares. Tais aceleradores
sao conhecidos como Cyclotrons.
Uma partıcula lancada em um campo magnetico �B com uma velocidade �v
perpendicular a �B, como mostrado na Figura 10.6, realizara esse tipo de mo-
vimento, no qual a forca magnetica desempenha o papel de forca centrıpeta.
Pode-se dizer entao que:
Figura 10.6: Movimento de uma partıcula no Cyclotron
Fm = qvB =mv2
R(10.18)
Os aceleradores de partıculas permitem a obtencao de certas caracterısticas
importantes desses corpos, tais como o momento linear. Sendo p = mv o mo-
mento linear de uma partıcula, pode-se manipular a equacao 10.18 e chegar
ao seguinte resultado:
p = qBR (10.19)
Desse modo, basta lancar a partıcula no campo e medir o raio de seu
158 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
movimento para medir o seu momento linear.
Sabe-se que a frequencia angular do movimento circular e ω = v/R.
Manipulando a equacao 10.18, tambem e possıvel determinar a frequencia
cyclotron:
ω =qB
m(10.20)
Outro aspecto interessante relativo a esse movimento e que, caso a partıcula
apresente uma componente da velocidade paralela ao campo magnetico, ela
descrevera uma trajetoria helicoidal.
Figura 10.7: Movimento helicoidal
Exercıcio 10.2. Um feixe de partıculas transitando por uma regiao com
campo magnetico �B e campo eletrico �E nao sofre aceleracoes. Depois,
retirou-se o campo magnetico, entao as partıculas passaram a executar um
movimento circular uniforme de raio R. De a relacao carga/massa dessas
partıculas
No primeiro caso, as forcas eletricas e magneticas devem equilibrar-se
para que nao haja aceleracoes. Ou seja, a Forca de Lorentz deve ser nula:
�F = q��E + �v × �B
�= 0
�E + �v × �B = 0
E = vB
v =E
B(10.21)
Para o segundo caso, temos um movimento cyclotron. De acordo com
10.5. A AUSENCIA DE MONOPOLOS MAGNETICOS 159
a equacao que fornece o momento linear das partıculas nesse movimento,
temos:
mv = qBR
q
m=
v
BR(10.22)
Encontramos a relacao carga/massa por meio da substituicao de 10.21
em 10.22:
q
m=
E
B2R
Esse foi o processo pelo qual J. J. Thomson descobriu o eletron estudando
o comportamento de raios catodicos, em 1897.
10.5 A Ausencia de monopolos magneticos
Como foi dito anteriormente, nunca observaram-se monopolos magneticos, e
tal fenomeno foi tomado como outro axioma da teoria eletromagnetica. Isso
pode ser descrito matematicamente do seguinte modo, sendo S uma superfıcie
fechada e V o volume delimitado por essa superfıcie:
�
S
�B · d�S = 0
Aplicando o Teorema de Gauss, encontramos que:
�
S
�B · d�S =
�
V
�∇ · �B dV = 0
�∇ · �B = 0 (10.23)
A equacao 10.23 pertence as equacoes de Maxwell. Os principais signifi-
cados contidos nessa equacao sao:
160 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
• Ausencia de monopolos magneticos
• As linhas do campo magnetico sempre sao fechadas
Na eletrostatica, vimos que �∇ · �E =ρ
�0
. Conclui-se que nao ha analogo
magnetico para a carga eletrica. Nao ha cargas magneticas por onde o campo
magnetico possa emergir (nunca divergem de nenhum ponto!), pois ele so
surge na presenca de correntes eletricas. Observa-se tambem que as linhas
de campo magnetico sao sempre fechadas. Alem disso, pelo fato de o fluxo
atraves de uma superfıcie fechada ser igual a zero, todas as linhas que entram
nessa superfıcie devem sair. As linhas nunca comecam ou terminam em algum
lugar.
10.6 O Efeito Hall
Em 1979, E.H. Hall tentou determinar se a resistencia de um fio aumentava
quando este estava na presenca de um campo magnetico, uma vez que os
portadores de carga deveriam se acumular num lado do fio. Vamos analisar
tal fenomeno por meio da experiencia ilustrada na Figura 10.8.
Figura 10.8: Efeito Hall
Considere um condutor no qual o sentido da corrente e perpendicular ao
campo magnetico. Os portadores de carga negativa acumular-se-ao em uma
das extremidades do condutor, logo a extremidade oposta apresentara uma
carga positiva, o que resultara no surgimento de um campo eletrico �EH no
interior do condutor. Os eletrons serao deslocados ate que as forcas eletricas
e magneticas entrem em equilıbrio, ou seja:
10.6. O EFEITO HALL 161
�Fe = �Fm
Aplicando as equacoes 10.1 e 10.3, temos:
−e �EH = −e��v × �B
�
�EH = �v × �B (10.24)
Considerando o campo constante no interior do condutor, podemos medir
a diferenca de potencial entre as duas extremidades, denominada ddp Hall,
como sendo:
�H = EHd (10.25)
Nota-se que essa voltagem existe no sentido transversal a corrente.
E possıvel utilizar o Efeito Hall para investigar a natureza dos portadores
de carga no condutor, como mostrado nas Figuras 10.9 e 10.10, uma vez que
podemos prever como as cargas devem se comportar sob acao de campos
magneticos.
Figura 10.9: Efeito Hall para portadores de carga negativa
162 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
Figura 10.10: Efeito Hall para portadores de carga positiva
10.7 A Lei de Biot Savart
10.7.1 Introducao
Na eletrostatica, a Lei de Coulomb permite analisar como se da a relacao
entre o campo eletrico e as cargas eletricas. Sera que existe uma lei corres-
pondente para a magnetostatica? A resposta e sim, e ela e conhecida como
a Lei de Biot-Savart, que sera discutida a seguir.
Como foi visto anteriormente, definimos o campo magnetico por meio da
forca magnetica. Agora queremos defini-lo por meio de sua fonte, que e a
corrente eletrica.
Figura 10.11: Movimento da carga em relacao a um ponto P
Observe a Figura 10.11. Experimentalmente, pode-se constatar que:
B ∝qv
r2
�B⊥�v
�B⊥�r
10.7. A LEI DE BIOT SAVART 163
Com base nisso, pode-se dizer que o elemento do campo magnetico produ-
zido por um elemento de de carga em movimento obedece a seguinte relacao:
d �B ∝ dq�v × r
r2(10.26)
d �B ∝ dqd�l
dt×
r
r2
d �B ∝dq
dt
d�l × r
r2
d �B ∝ Id�l × r
r2
d �B =µ0
4πId�l × r
r2
�B =µ0
4π
�
Id�l × r
r2(10.27)
A equacao 10.27 e denominada lei de Biot-Savart.
A escolha da constante de proporcionalidade foi feita de modo a facilitar
os calculos subsequentes. No sistema MKS:
µ0
4π= 10−7 N
A2
Onde µ0 e a permeabilidade magnetica do vacuo.
10.7.2 Formas Alternativas
A Lei de Biot-Savart tambem pode ser escrita em termos da distribuicao de
corrente. Sabendo que I = j dS, a equacao 10.27 fica da seguinte maneira:
�B =µ0
4π
�
jdSd�l × r
r2(10.28)
Vamos aplicar a equacao 10.28 para a situacao ilustrada na Figura ???x.
Neste caso, o sistema Oxyz e um referencial fixo, enquanto o sistema Ox�y�z�
164 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
estao situados no elemento de carga em estudo. Observe que �R = �r − �r�.
Como �j e d�l possuem a mesma direcao, podemos dizer que j d�l = �j dl. Alem
disso, sabendo que dl dS = dV , pode-se dizer que a Lei de Biot-Savart fica
da seguinte maneira:
�B (�r) =µ0
4π
� �j��r��× R
R2dv�
Vamos aplicar o divergente em relacao ao sistema Oxyz:
�∇ · �B (�r) =µ0
4π
��∇ ·
�j��r��× R
R2
dv� (10.29)
Aplicando a regra do divergente do produto vetorial3 ao divergente pre-
sente no membro direito da equacao 10.29 :
�∇ ·
�j��r��× R
R2
= −�j��r��· �∇×
�R
R2
�
+R
R2· �∇×�j
��r��
Nota-se queR
R2= �∇
�
−1
R
�
. Logo �∇×
�R
R2
�
= 0 pois o rotacional do
gradiente e sempre nulo. Alem disso �∇ × �j��r��= 0 pois o rotacional esta
aplicado em Oxyz enquanto �j refere-se ao sistema Ox�y�z�. Obtemos entao
que:
�∇ · �B = 0
Isso corrobora a validade da Lei de Biot-Savart.
3�∇ ·�
�A× �B�
= − �A ·�
�∇× �B�
+ �B ·�
�∇× �A�
10.7. A LEI DE BIOT SAVART 165
10.7.3 Aspectos Interessantes
Um resultando interessante pode ser obtido ao combinar a Lei de Biot-Savart
com a equacao 10.3 na seguinte situacao: imagine uma carga q1 movendo-se
com velocidade �v1 tendo ao seu redor uma outra carga q movendo-se com
velocidade �v. Qual a forca magnetica que q imprimira em q1?
A analise inicia-se por meio da integracao da equacao 10.26, empregando,
antes, a constante de proporcionalidade. Encontramos entao que:
�B =µ0
4πq�v × r
r2(10.30)
Substituındo a equacao 10.30 na equacao 10.3 aplicada para a carga q1:
�Fm = q1�v1 × �B = q1�v1 ×
�µ0
4πq�v × r
r2
�
Multiplicando e dividindo o membro direito por µ0:
�Fm = µ0�0�v1 ×
�
�v ×qq1r
4π�0r2
�
Mas, pela Lei de Coulomb:
�Fe =qq1r
4π�0r2
Alem disso, sabendo que c2 = µ−10 �−1
0 , temos:
�Fm =�v1
c×
��v
c× �Fe
�
Se considerarmos v << c, encontramos que:
�Fm ≤vv1
c2�Fe (10.31)
A equacao 10.31 diz que para velocidades pequenas comparadas com a
velocidade da luz, a interacao magnetica sera muito menor que a interacao
166 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
eletrica. Como Fm << Fe, pode parecer, a primeira vista, que a forca
magnetica poderia ser desprezada em comparacao com a forca eletrica, porem
existem sistemas de partıculas onde isso nao e assim. De fato, numa corrente
de conducao, onde estao presentes cargas positivas e negativas em iguais den-
sidades, o campo eletrico macroscopico e nulo, porem o campo magnetico das
cargas em movimento nao o e.
Outro aspecto importante que pode ser derivado por meio da Lei de Biot-
Savart e uma relacao entre o campo eletrico e o campo magnetico gerado
por uma mesma partıcula. Multiplicando o numerador e o denominador da
equacao 10.30 por �0:
�B =µ0�0
4π�0
q�v × r
r2
�B =�v × �E
c2
10.7.4 Aplicacoes da Lei de Biot-Savart
Agora vejamos alguns exemplos nos quais se aplica a Lei de Biot-Savart:
Exercıcio 10.3. Calcule, por meio da Lei de Biot Savart, o campo eletrico
nas vizinhancas de um fio reto.
Figura 10.12: Campo gerado por um fio reto
10.7. A LEI DE BIOT SAVART 167
Podemos escrever a Lei de Biot-Savart do seguinte modo:
�B =µ0
4π
�
Id�l × r
r2=
µ0
4π
�
Id�l × �r
r3
Para o fio reto, vale:
d�l = dxi
�r = −xi+ dj
Entao, fazendo as devidas substituicoes:
�B =µ0
4π
l/2�
−l/2
Idxi× r
�−xi+ dj
�
(x2 + d2)3/2
�B =µ0
4π
l/2�
−l/2
Iddx
(x2 + d2)3/2
k
�B =µ0Id
4π
1
d2
x
(x2 + d2)1/2
������
l
2
−l
2
Logo o campo e:
�B =µ0I
4πd
l
�l2
4+ d2
�1/2k
Note que se considerarmos o fio como sendo infinito (l >> d), o campo
sera:
168 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
�B =µ0I
2πdk
Exercıcio 10.4. Calcule, por meio da Lei de Biot Savart, o campo eletrico
no eixo de uma espira circular.
Figura 10.13: Campo gerado por uma espira circular
Podemos escrever a Lei de Biot-Savart do seguinte modo:
�B =µ0
4π
�
Id�l × r
r2=
µ0
4π
�
Id�l × �r
r3
Para a espira, vale:
d�l = a dθθ
�r = −ai+ zj
Pela simetria do problema, so teremos campo paralelo ao eixo da espira.
Logo precisamos calcular apenas uma componente do campo gerado por cada
elemento de corrente:
d �B = d �B1 cosα
10.7. A LEI DE BIOT SAVART 169
Onde:
cosα =a
√a2 + z2
Entao, aplicando a Lei de Biot-Savart (para calcular apenas o elemento
de campo):
d �B =µ0
4πId�l × �r
r3cosα
Fazendo as devidas substituicoes:
d �B =µ0
4π
Ia
(z2 + a2)3/2
adθk
Integrando de 0 a 2π para cobrir toda a espira, encontramos o campo
desejado:
�B =µ0Ia
2
2 (a2 + z2)3/2
k
Exercıcio 10.5. Para criar regioes com campos magneticos constantes em
laboratorio, empregam-se as bobinas de Helmholtz, esquematizadas na Fi-
gura 10.14.Calcule o valor do campo ao longo do eixo das bobinas e o ponto
no qual o campo e magnetico e maximo :
O campo gerado por uma espira circular e:
�B (z) =µ0Ia
2
2 (a2 + z2)3/2
k
Entao, usando o princıpio da superposicao para as duas espiras, o campo
ao longo do eixo e:
�B (z) =µ0Ia
2
2
1
(a2 + z2)3/2
+1
�a2 + (2b− z)2
�3/2
k
170 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
Figura 10.14: Bobinas de Helmholtz
Para calcular o ponto no qual o campo magnetico apresenta valor maximo,
basta encontrarmos o valor de z tal que a derivada da funcao acima se anula:
d �B (z)
dz=
µ0Ia2
2
−
3
2
2z
(a2 + z2)5/2
−3
2
2 (2b− z) (−1)
�a2 + (2b− z)2
�5/2
k
Vemos que:
d �B (z)
dz= 0⇒ z = b
Agora veremos a condicao para que o campo nesse ponto seja aproxima-
damente constante. Derivando mais uma vez a funcao do campo magnetico:
d2 �B (z)
dz2
�����z=b
= 0⇒ a2 − 4b2 = 0⇒ 2b = a
A condicao e que a separacao das bobinas seja igual ao raio.
Fazendo a expansao em series de Taylor, e possıvel calcular o quao proximo
esse campo esta de um campo constante:
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPERE 171
Sabendo que B��(a/2) = B���(a/2) = 0, a expansao fica:
�B (z) ≈ B�a
2
�+1
24
�z −
a
2
�4 ∂4B
∂z4
����z=
a
2
+ ...
�B (z) = B�a
2
��
1−144
125
�z − a/2
a
�4�
A partir desse resultado, e possıvel inferir que, para |z − a/2| <a/10 ⇒
B (z) �= B (a/2), o campo varia em menos de uma parte e meia em dez mil.
10.8 A Lei Circuital de Ampere
10.8.1 Introducao
As experiencias de Oersted, alem de comprovarem que correntes eletricas
geram campos magneticos ao seu redor, motivou a comunidade cientıfica a
compreeender a relacao entre fenomenos eletricos e magneticos. Apos tais
experimentos, uma semana foi tempo suficiente para que Ampere deduzisse
a apresentasse sua lei. Enquanto que a Lei de Biot-Savart corresponde a Lei
de Coulomb, a Lei de Ampere faz a vez da Lei de Gauss na magnetostatica.
Considere um fio infinito por onde passa uma corrente I, como mostrado
na Figura 10.15. Utilizando a Lei de Biot-Savart, demonstrou-se que o campo
gerado nesse caso e dado por:
Figura 10.15: Fio infinito
172 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
�B =µ0I
2πrθ
Calcularemos a circulacao do campo magnetico por meio de varios cami-
nhos ao redor do fio.
Considerando, inicialmente, o caminho como sendo um cırculo:
Figura 10.16: Caminho ao redor do fio para calculo da circulacao
�
Γ
�B · d�l =µ0I
2πr2πr = µ0I
Vamos calcular a circulacao pora outro caminho:
Figura 10.17: Caminho ao redor do fio para calculo da circulacao
�
Γ
�B · d�l =
�
Γ1
�B · d�l +
�
Γ2
�B · d�l +
�
Γ3
�B · d�l +
�
Γ4
�B · d�l
Como os vetores �B e d�l sao paralelos para os fios 2 e 4, as integrais para
Γ2 e Γ4 sao nulas. Logo temos o seguinte resultado:
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPERE 173
�
Γ
�B · d�l =µ0I
2πr1
πr1 + 0 +µ0I
2πr2
πr2 = µ0I
Mais um caminho para calcular:
Figura 10.18: Caminho ao redor do fio para calculo da circulacao
�
Γ
�B · d�l =
�
Γ1
�B · d�l +
�
Γ2
�B · d�l +
�
Γ3
�B · d�l +
�
Γ4
�B · d�l
A mesma observacao feita para os fios 2 e 4 anteriormente valem para
esse caso. Entao temos:
�
Γ
�B · d�l =µ0I
2πr1
θr1 + 0 +µ0I
2πr2
(2π − θ) r2 = µ0I
Obsevou a semelhanca dos resultados? Entao vamos generaliza-los para
um caminho qualquer.
Figura 10.19: Caminho ao redor do fio para calculo da circulacao
174 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
Em coordenadas cilındricas:
d�l = drr + r dθθ + dzk
Sabendo que �B = Bθ, encontramos que:
�B · d�l = Br dθ =µ0I
2πrr dθ =
µ0I
2πdθ
Fazendo a integral ao redor do fio:
�
Γ
�B · d�l =
�
Γ
µ0I
2πdθ =
2π�
0
µ0I
2πdθ =
µ0I
2π2π
Disso resulta a Lei de Ampere:
�
Γ
�B · d�l = µ0Iint (10.32)
Observacao: Na Lei de Coulomb, utilizavamos SUPERFICIES que en-
volviam as cargas para fazer o calculo do campo eletrico, mas na Lei de
Ampere, precisamos criar CURVAS que envolvam os condutores a fim de
calcular o campo magnetico.
Assim como a Lei de Coulomb, a Lei de Ampere sempre e valida. No
entanto sua maior utilidade se da em casos nos quais e possıvel notar simetria
no campo magnetico, como sera mostrado no exercıcios mais adiante.
10.8.2 A forma diferencial da Lei de Ampere
Aplicando o Teorema de Stokes no membro esquerdo da equacao 10.32:
�
Γ
�B · d�l =
�
S
� ��∇× �B
�· d�S (10.33)
Analisando o membro direito da equacao 10.32:
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPERE 175
µ0I = µ0
�
S
��j · d�S (10.34)
Pela propria Lei de Ampere, podemos igualar 10.33 e 10.34, encontrando
que:
�
S
� ��∇× �B
�· d�S = µ0
�
S
��j · d�S
Finalmente, temos a forma diferencial da Lei de Ampere:
�∇× �B = µ0�j (10.35)
Se aplicarmos o divergente na equacao 10.35
�∇ ·��∇× �B
�= µ0
�∇ ·�j
�∇ ·�j = 0
Percebe-se algo importante diante desse resultado: a Lei de Ampere e
valida apenas para correntes estacionarias4
10.8.3 Aplicacoes da Lei de Ampere
Seguem alguns exemplos nos quais e fundamental a aplicacao da Lei de
Ampere para a resolucao dos problemas:
Exercıcio 10.6. Calcule o campo magnetico, em todo o espaco, gerado por
um ciclindro infinito percorrido por uma corrente I.
Devido a simetria cilındrica do problema, podemos escolher amperianas
circulares para calcular o campo no interior e ao redor do fio, pois o campo
magnetico sera constante ao longo de toda a curva, facilitando a integracao.
4corrente estacionaria:dρ
dt= 0
176 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
Figura 10.20: Cilindro condutor
• Para r > R (Figura 10.21):
Figura 10.21: Amperiana fora do cilindro
�Γ1
�B · d�l = µ0I → B2πr = µ0I
�B =µ0I
2πrθ
• Para r < R (Figura 10.22):
�Γ2
�B · d�l = µ0Iint → B2πr = µ0Iπr2
πR2
�B =µ0Ir
2πR2θ
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPERE 177
Figura 10.22: Amperiana dentro do cilindro
Sintetizando os resultados na forma de um grafico:
Figura 10.23: Campo magnetico gerado por um cilindro infinito
Exercıcio 10.7. Calcule o campo magnetico, em todo o espaco, gerado por
um cabo coaxial percorrido por correntes de mesma intensidade mas de sen-
tidos opostos em cada face.
Vamos dividir o espaco em 4 regioes e aplicar a Lei de Ampere para cada
uma delas:
• Para r < a:
Para determinar a corrente interna a amperiana, vamos considerar que
178 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
Figura 10.24: Cabo coaxial
a densidade de corrente ao longo do cabo e constante e igual a j, logo
sendo πr2 a area delimintada pela amperiana:
j =Iint
πr2=
I
πa2
Iint =r2
a2
Aplicando a Lei de Ampere:
B2πr = µ0Ir2
a2→ �B =
µ0Ir
2πa2θ
• Para a < r < b:
A corrente interna a amperiana sera sempre a corrente total que passa
pelo cabo interno, logo pela Lei de Ampere:
B2πr = µ0I → �B =µ0I
2πrθ
• Para b < r < c:
A corrente interna a amperiana sera a corrente total que passa pelo
cabo interno menos a corrente que passa pela porcao do cabo externo
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPERE 179
delimitada pela curva. Considerando tambem a densidade de corrente
constante no cabo externo:
Iint = I −r2 − b2
c2 − b2
Aplicando a Lei de Ampere:
B2πr = µ0I −µ0Iπ (r
2 − b2)
π (c2 − b2)θ → �B =
µ0I
2πr
�
1−r2 − b2
c2 − b2
�
θ
�B = µ0I
�c2 − r2
c2 − b2
�
θ
• Para r > c:
A corrente interna a amperiana sera a soma das correntes que passam
pelo cabo interno e pelo cabo externo. Como as duas correntes possuem
a mesma intensidade mas possuem sentidos opostos, a soma sempre sera
nula. Entao, pela Lei de Ampere:
�B = 0
Exercıcio 10.8. Considere dois solenoides infinitos concentricos de raios a
e b. Calcule o campo magnetico em todo o espaco. As correntes de cada
solenoide possuem mesma intensidade mas tem sentidos contrarios.
Primeiro vamos analisar o campo gerado por um solenoide para depois
empregar o princıpio da superposicao
Observa-se que a corrente no interior da amperiana (Figura: 10.26) de-
pende do numero de espiras englobadas:
Iint = NI
Aplicando entao a Lei de Ampere:
180 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
Figura 10.25: Solenoides
Figura 10.26: Amperiana no interior do solenoide
�
Γ
�B · d�l =
�
Γ1
�B · d�l
� �� �=0pois �B=0
+
�
Γ2
�B · d�l
� �� �=0pois �B⊥ d�l
+
�
Γ3
�B · d�l +
�
Γ4
�B · d�l
� �� �=0pois �B⊥ d�l
Logo:
�
Γ
�B · d�l = µ0I → Bdentrol = µ0NI → Bdentro = µ0N
lI = µ0nI
onde n =N
lindica a densidade de espiras do solenoide
Agora, facamos uma amperiana para calcular o campo fora do solenoide
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPERE 181
(Figura: 10.27) :
Figura 10.27: Amperiana externa ao solenoide
Note que, neste caso, a corrente interna a curva e zero. Portanto o campo
magnetico fora do solenoide infinite e nulo:
Bfora = 0
Agora, vamos usar o princıpio da superposicao para calcular o campo
para os dois solenoides.
• Para r < a :
Neste caso, temos a influencia dos campos dos dois solenoides. Sendo�B1 o campo gerado pelo solenoide interno e �B2 o campo gerado pelo
solenoide externo:
�B = �B1 − �B2 = µ0In1 − µ0In2
�B = µoI (n1 − n2)
• Para a < r < b :
Aqui, temos influencia apenas do solenoide externo
182 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
�B = −µ0In2 (10.36)
• Para r > b :
Como estamos fora de ambos os solenoides, o campo neste caso e nulo
�B = 0
Exercıcio 10.9. Considere um cilindro de raio a com uma cavidade cilındrica
de raio b. A distancia entre os centros dos cilindros e d. Sendo j a densidade
de corrente no condutor, qual e o campo magnetico no interior da cavidade?
Figura 10.28: Condutor com cavidade
Considere como sendo �x a posicao do ponto em questao em relacao ao
eixo do condutor e �y como sendo a posicao do ponto em relacao ao eixo da
cavidade:
Para resolver esse exercıcio, sera necessaria a utilizacao do princıpio da
superposicao. Observe que a configuracao final do sistema pode ser obtida se
somarmos dois cilindros com sentidos de correntes opostos, como apresentado
na Figura 10.30 :
Portanto, devemos calcular o campo gerado pelo cilindro maior em um
ponto que dista x do seu eixo e somar com o campo gerado pelo cilindro
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPERE 183
Figura 10.29: Posicionamento do ponto
Figura 10.30: Princıpio da superposicao
menor em um ponto que dista y de seu centro.
• Cilindro maior
Figura 10.31: Lei de Ampere para cilindro maior
184 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
�
Γ
−→B · d
−→l = µ0Iint
B12πx = µ0jπx2
�B1 =µ0jx
2
−→θ
�Bx =µ0
2
�−→j ×−→x
�
• Cilindro menor
Figura 10.32: Lei de Ampere para cilindro menor
�
Γ
−→B · d
−→l = µ0Iint
B22πy = µ0jπy2
�B2 =µ0jy
2−→ϕ
�B2 =µ0
2
�−→j ×−→y
�
Como os sentidos das correntes sao opostos, o campo resutante sera:
−→B =
−→B 1 −
−→B 2
−→B =
µ0
2
�−→j ×−→x
�−
µ0
2
�−→j ×−→y
�
−→B =
µ0
2
�−→j × (−→x −−→y )
�
Mas a seguinte relacao sempre e valida: �x − �y = �d . Portanto o campo
no interior da cavidade e constante e igual a:
−→B =
µ0
2
�−→j ×
−→d�
10.9. POTENCIAL VETOR 185
Exercıcio 10.10. Calcule o campo no centro da secao circular de um toroide
de N espiras.
Figura 10.33: Toroide
Vamos passar uma amperiana no interior do toroide
Figura 10.34: Amperiana no toroide
Temos que a corrente interna a amperiana sera Iint = NI. Logo
��B · d�l = µ0Iint → B2πr = µ0NI → �B =
µ0NI
2πrθ
10.9 Potencial Vetor
As 4 equacoes que sintetizam a teoria eletromagnetica vistas ate agora sao:
ELETROSTATICA
�∇ · �E =ρ0
�0
(10.37)
�∇× �E = 0 (10.38)
186 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
MAGNETOSTATICA
�∇ · �B = 0 (10.39)
�∇× �B = µ0�j (10.40)
Para a eletrostatica, devido a equacao 10.38, percebe-se que o campo
eletrico e um campo conservativo. Logo foi possıvel definir o potencial eletrico
da seguinte forma:
�∇× �E = 0⇒ �E =�−�∇V
�
Aplicando esse resultado a equacao 10.38:
�∇ · �E = �∇ ·�−�∇V
�= −∇2V
Segue que:
∇2V = −ρ0
�0
Sera que e possıvel definir um potencial analogo para o campo magnetico?
Sabe-se que �∇ · �B = 0. A partir disso, pode-se inferir que �B e um campo
rotacional. Em outras palavras, e possıvel encontrar um campo vetorial tal
que seu rotacional resulta no campo magnetico. Esse campo e denominado
potencial vetorial��A�, que e definido do seguinte modo:
�∇ · �B = 0⇒ �B =��∇× �A
�(10.41)
Aplicando esse resultado a equacao 10.40:
�∇× �B = �∇×��∇× �A
�= �∇
��∇ · �A
�−∇2 �A
Como pode-se determinar mais de um campo que satisfaca a equacao
10.41, e permitido escolher adequadamente um campo �A tal que �∇ · �A = 05.
5Denomina-se isso como escolha de calibre, ou escolha de gauge
10.9. POTENCIAL VETOR 187
Segue entao que:
�∇× �B = −∇2 �A
∇2 �A = −µ0�j (10.42)
Observacao: ∇2 �A nao e o operador Laplaciano, pois esta sendo aplicado
a um campo vetorial. Na verdade, temos que:
∇2 �A = �∇��∇ · �A
�− �∇×
��∇× �A
�
Particularmente, para coordenadas cartesianas:
∇2Ax = −µ0jx
∇2Ay = −µ0jy
∇2Az = −µ0jz
Outras formas de expressar o potencial vetor em funcao das densidades
de corrente6 sao:
• Densidade volumetrica
�A (�r) =µ0
4π
� �j��r��dv�
����r − �r�
���
(10.43)
• Densidade superficial
�A (�r) =µ0
4π
� �k��r��ds�
����r − �r�
���
(10.44)
6�r:posicao do ponto em relacao ao referencial fixo. �r�: posicao do ponto em relacao aum elemento de carga. (ver Figura 10.11)
188 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
• Densidade linear
�A (�r) =µ0
4π
� �I��r��dl�
����r − �r�
���
(10.45)
Facamos alguns exemplos:
Exercıcio 10.11. Calcule o potencial vetor para um fio finito percorrido por
uma corrente I.
Figura 10.35: Fio finito
Vamos aplicar a equacao que fornece o potencial vetor em funcao da
densidade linear de carga (equacao 10.45 ):
�A =µ0
4π
� �Idzk
r, comr =
√z2 + s2
�A =µ0I
4π
� dz√
z2 + s2k → �A =
µ0I
4πln
�z +
√z2 + s2
���z2
z1
k → �A =µ0I
4πln
�z2 +
�z22 + s2
z1 +�
z21 + s2
�
k
Observe que se aplicarmos o rotacional ao resultado, obtemos o vetor �B:
10.10. CONDICOES DE CONTORNO NA MAGNETOSTATICA 189
�∇× �A =
�∂As
∂z−
∂Az
∂s
�
θ.Assim,
�B = �∇× �A = −∂Az
∂sθ = −
∂
∂s
�µ0I
4πln
�z2 +
�z22 + s2
z1 +�
z21 + s2
��
θ
�B
Exercıcio 10.12. (Griffths, pag , ex: 5.23) Qual densidade de corrente pro-
duziria um vetor potencial �A = k ˆphi, em coordenadas cilındricas (k e cons-
tante)?
Para resolver esse exercıcio, primeiro aplicaramos o rotacional em �A para
determinar o campo magnetico. Depois aplicaremos o rotacional em �B para
determinar a densidade de corrente, de acordo com as equacoes da magne-
tostatica.
Observacao: aplicar o rotacional em coordendadas cilındricas
Aφ = k ⇒ �B = �∇× �A =1
ρ
∂
∂ρ(ρAρ) k =
Aφk
ρ=
k
ρk �B = Bzk
�∇× �B = µ0�J ⇒ �j =
1
µ0
��∇× �B
�=
1
µ0
�
−∂Bz
∂ρ
�
φ = +k
µ0ρ2φ
10.10 Condicoes de Contorno na Magnetostatica
Vimos que existe uma descontinuidade no campo eletrico em de superfıcies
carregadas, no sentido perpendicular a essa superfıcie. Da mesma forma, o
campo magnetico tambem e descontınuo numa superfıcie de corrente. Para
facilitar a analise desse fenomemo, vamos dividı-lo em 3 etapas, uma para
cada componente do campo magnetico7:
7B⊥ = B⊥superficie, B//// = B
//corrente//corrente , B
//⊥
= B//superficie
⊥corrente
190 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
10.10.1 Componente perpendicular a superfıcie
Considere uma superfıcie percorrida por uma corrente I, cuja densidade su-
perficial e �k. Vamos envolver uma porcao dessa superfıcie por um retangulo
cujas faces possuem area A, como mostrado na Figura 10.36.
Figura 10.36: Superfıcie fechada para calculo do fluxo de B⊥
Como nao ha monopolos magneticos:
�
S
�B · d�S = 0
Considerando apenas a componente do campo perpendicular a superfıcie,
teremos fluxo apenas na face superior e inferior do retangulo, portanto:
�
S
�B · d�S = B⊥
acimaA− B⊥
abaixoA = 0
B⊥
acima = B⊥
abaixo
Logo essa componente e contınua.
10.10.2 Componente paralela a superfıcie e paralela a
direcao da corrente
Para a mesma superfıcie descrita anteriormente, vamos tracar uma amperi-
ana da forma como esta apresentada na Figura 10.37 .
10.10. CONDICOES DE CONTORNO NA MAGNETOSTATICA 191
Figura 10.37: Amperiana para calculo de B////
Nota-se que a corrente que passa pelo interior da amperiana e nula. Entao,
aplicando a Lei de Ampere (10.32):
�
Γ
�B · d�l = B////acimal − B
////abaixol = 0
B////acima = B
////abaixo
Logo essa componente tambem e contınua.
10.10.3 Componente paralela a superfıcie e perpendi-
cular a direcao da corrente
Agora, ainda na mesma superfıcie, tracaremos uma outra amperiana, desta
vez em outra direcao, como mostrado na Figura 10.38 .
Figura 10.38: Amperiana para calculo de B⊥
//
A corrente que passa pelo interor da amperiana e Iint = kl. Aplicando a
192 CAPITULO 10. MAGNETOSTATICA
Lei de Ampere (10.32) encontramos que:
�
Γ
�B · d�l = B//⊥acimal − B
//⊥abaixol = µ0Iint
B//⊥acimal − B
//⊥abaixol = µ0kl
B//⊥acima − B
//⊥abaixo = µ0k
�B//⊥acima −
�B//⊥abaixo = µ0
��k × �n
�
Conclui-se que o campo magnetico, na direcao paralela a superfıcie e
perpendicular ao sentido da corrente, e descontınuo.
10.11 Expansao em multipolos
Assim como foi feito para o campo eletrico, buscaremos uma forma de expres-
sar o potencial vetorial em uma serie de potencias de1
r, onde r e a distancia
do multipolo ate o ponto em questao. A ideia e que esta equacao seja util
para analisar o comportamento do campo magnetic a grandes distancias.
Considere a espira apresentada na Figura 10.39 .
Figura 10.39: Posicao do ponto P em relacao a espira
Vimos na Secao 10.9 que o potencial vetor, para densidades lineares, e
dado por:
10.11. EXPANSAO EM MULTIPOLOS 193
�A (�r) =µ0
4π
�
Γ
�I��r��dl�
����r − �r�
���
(10.46)
Podemos reescrever o denominador do integrando da seguinte maneira:
1���−→r −
−→r����=
1√
r2 + r�2 − 2rr� cos θ�=1
r
∞�
n=0
�r�
r
�n
pn cos θ� (10.47)
Onde pn e o Polinomio de Legendre8. Considerando a corrente cons-
tante e substituındo 10.47 em 10.46 , encontramos a expressao de multipolos
magneticos:
�A (�r) =µ0I
4π
∞�
n=0
1
rn+1
�
Γ
(r�)npn cos (θ
�) d�l�
E interessante notar que o termo correspondente ao monopolo (n=0) e1
r
�Γd�l� = 0, o que esta de acordo com os observacoes. Entao, o termo mais
importante da sequencia corresponde ao dipolo magnetico (n=1):
�Adipolo =µ0I
4πr2
�
Γ
�r · �r�
�d�l� =
µ0
4πr2�µ× r
Onde µ e o momento de dipolo magnetico definido na equacao 10.14.
8Pn(x) =1
2nn!
�d
dx
�n �x2 − 1
�n