Cap. 3 Functia de transfer Laplace

Complemente de Electronica Mihai P. Dinca

1Lectia 3

Cap. 3

Functia de transfer Laplace

Cap. 2

Functia de transfer Fourier

Cap. 1

Sisteme si semnale

Cap. 4

Raspunsul la semnal treapta. Sisteme de ordinul 1Cap. 5

Sisteme de ordin superiorCap. 6

Reactia negativaCap. 7

Amplificatoare operationaleCap. 8

Aplicatii liniare ale AO

Calculul raspunsului

Imaginea Laplace a semnalelor



2Lectia 3

Numai semnale cauzale !

Raspunsul stationarizat – trecerea la limita cu

In acord cu modul în care se efectuează un experiment.

t


3Lectia 3

Transformarea Laplace unilaterala

Variabila s este complexa.

Aceeasi dimensiune ca - frecventa circulara


4Lectia 3

Imaginea Laplace este analitica in dreapta unei abscise de convergenta.

Singularitatile (in stinga acestei abscise) nu sunt esentiale ci sunt de tip pol

Polii sunt situati toti in dreapta abscisei de convergenta

ms


5Lectia 3

)()( sXtx

Daca

x(t) este cauzal

X(s) are toti polii in semiplanul sting (axa imaginara face partedin domeniul de convergenta

atunci

jssHH

)()(

Imaginea Fourier se obtine din imaginea Laplace (valorile de pe axa imaginara

si


6Lectia 3

Exemple

Re s

Im s

0

jH

1)(

jssHH

)()(

H() exista numai in sensul distributiilor (contine doua functii )

Im s

0

Re s


7Lectia 3

Proprietati ale transformatei Laplace


8Lectia 3

Observatie: imaginile Laplace sunt rapoarte de polinoame.

Imagini Laplace


9Lectia 3

Sistem liniarx(t) y(t)

h(t)

x(t) este cauzal

h(t) este cauzal (altfel sistemul nu ar fi realizabil)

y(t) este cauzal

X(s), H(s), Y(s)


10Lectia 3


Calculul ei direct din ecuatiile diferentiale

0)()()()()()(

)()()()()()(

2122211122

2

21211112

1

sbsYsbsYsYksYksYksYsm

sFsbsYsbsYsYksYksYsm

s

s

sF

sY

inpolinom

inpolinom

)(

)(2


11Lectia 3

Impedante complexe

Impedanta vazuta la intrare

Calculul ei direct din topologia circuitului

sL

sC

1pentru inductor

pentru condensator

sCsLR

sCsLR

RZ1

1

2

2

1

1

111112 R

Z

UURIUU

1

1

)(

)()(

21

21221

22

1

2

CsRR

RRLCsRR

LCsR

sU

sUsH


12Lectia 3

Pentru sisteme liniare cu constante concentrate funcţia de transfer este un raport de polinoame cu coeficienţi reali.

Un polinom de ordin n are n radacini.zerouri

poli

Coeficientii sunt reali K este real

Polii si zerourile sunt fie reale, fie perechi complex conjugate


13Lectia 3

Pina la o constanta multiplicativa reala, functia de transfer este unic determinata de harta poli-zerouri

Im s

0

Re s

Im s

0

Re s


14Lectia 3

Sistem liniarx(t) y(t)

h(t)

x(t) X(s)

Y(s)=X(s)H(s)

Y(s)x(t)

Transformare Laplace directa

Transformare Laplace inversa

o integrală efectuată pe un anumit drum în planul complex


15Lectia 3

Semnale de test Imaginile sunt rapoarte de polinoame

H(s) este un raport de polinoame

Y(s)=X(s)H(s)

Y(s) este un raport de polinoame

Poate fi scris ca suma de fractii simple (teorema dezvoltarii)

Fiecare termen este inversat Laplace separat si rezultatele sunt adunate.


16Lectia 3

)(

)()(

sB

sAsY

r

i

mi

ipsbsB1

)()( nmr

ii

1

Teorema dezvoltarii

grad B grad A


17Lectia 3


18Lectia 3

Pol real simplu 1im

Un singur termen

simulare


19Lectia 3

Pereche de poli complex conjugati

Doi poli simpli diferiti dar complex conjugati

Doi termeni diferiti in x(t)

Termenii sunt complex conjugati, e util sa-i adunam intre ei

Un singur termen real (de doua ori mai mare decit partea reala)


20Lectia 3

simulare


21Lectia 3

Pol real dublu (doi poli reali identici)

2im

doi termeni

Pol real triplu (trei poli reali identici)

3im

trei termeni


22Lectia 3


23Lectia 3

Pentru ca toti termenii din y(t) sa se stinga in timp este necesar ca toti polii lui Y(s) sa fie in semiplanul sting

Toti polii semnalului sa fie in semiplanul sting

Toti polii lui H(s) sa fie in semiplanul sting

Daca H(s) are cel putin un pol in semiplanul drept, termenul sau creste nemarginit. Iesirea creste nemarginit pentru orice semnal de intrare. Sistemul este instabil.

Daca H(s) are toti polii in semiplanul sting, toti termenii lor se sting in timp. Daca semnalul de intrare este marginit si semnalul de iesire este marginit. Sistemul este stabil.

Y(s)=X(s)H(s) Polii lui Y se obtin prin reuniunea polilor semnalului cu cei ai functiei de transfer


24Lectia 3

Im s

0 Re s

stabilitate

stabilitate

instabilitate

instabilitate


25Lectia 3

Sistem la limita stabilitatii

H(s) are poli simpli pe axa imaginara

Daca semnalul de intrare nu are poli care sa coincida cu acestia

polii lui H(s) de pe axa imaginara produc

functii treapta daca sunt reali

oscilatii de amplitudine constanta daca sunt complecsi

Intrare marginita, iesire marginita


26Lectia 3

Sistem la limita stabilitatii (continuare)

H(s) are poli simpli pe axa imaginara

Semnalul de intrare are poli care sa coincida cu acestia, Y(s) are poli dubli pe axa imaginara

Pol dublu in origine

Pereche dubla pe axa imaginara

Intrare marginita, iesire nemarginita

(integrator excitat cu semnal treapta)

(oscilator la limita stabilitatii excitat cu sinus la rezonanta)


27Lectia 3

Efectul zerourilor

Pozitia zerourilor nu afecteaza tipul termenilor

Pozitia zerourilor afecteaza coeficientii termenilor

Modificind pozitia zerourilor, unii termeni devin mai mari si altii mai mici.

Semnul unui termen se poate modifica (termenul se inverseaza)


28Lectia 3


29Lectia 3

Sistemul trebuie să fie liniar

Sistemul trebuie să fie invariant în timp

Sistemul trebuie să fie inert

Sistemul trebuie să fie cu parametri concentraţi(fac excepţie numai sisiemele cu parametri distribuiţi a căror comportare este o întîrziere pură)

Semnalul de intrare trebuie să aibă o imagine Laplace care să fie un raport de polinoame (o sumă de termeni de tipul celor din teorema dezvoltării). Altfel, procesarea sa se reprezintă mai comod prin convoluţia în domeniul timp

Sistemul trebuie să fie de o complexitate rezonabilă (un număr de poli mai mic decît şase)

Limitari in utilizarea functiei de transfer

Cap. 3 Functia de transfer Laplace

Documents

Transcript of Cap. 3 Functia de transfer Laplace