Campo electrico distrubuciones continuas de carga clase 4
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Campo eléctrico: Distribuciones de Carga Clase 4 01/31/14
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Campo eléctrico: Distribuciones de CargaClase 4 01/31/14
Calculo del campo eléctrico E mediante la ley de Coulomb
La figura siguiente muestra un elemento de carga suficientemente pequeño para que podamos considerarle como una carga puntual. El campo eléctrico en un punto del campo debido a este elemento de caga viene dado por la ley de Coulomb:
En donde es un vector unitario que apunta desde el elemento a dicho punto.
𝑑𝐸=𝑘𝑑𝑞𝑟2
𝑟
Calculo del campo eléctrico E mediante la ley de Coulomb
Un elemento de carga produce produce un campo en el punto . El campo en debido a la carga total se obtiene integrando esta expresión para toda la distribución de carga.
𝑑𝐸=𝑘𝑑𝑞𝑟2
𝑟
𝑃𝑑𝑞=𝜌𝑑𝑉
𝑟
Calculo del campo electrico E mediante la ley de Coulomb
El campo total en se determina integrando esta expresión para la distribución de la carga completa. Es decir,
En donde . Si la carga esta distribuida sobre una superficie o línea, utilizaremos e integramos para toda la superficie o línea.
Campo electrico debido a una distribución continua de carga
Problemas
Problema 1
Una barra de 14cm de largo esta cargada uniformemente y tiene una
carga total de . Determine la magnitud y dirección del campo eléctrico a
lo largo del eje de la barra en un punto a 36cm de su centro.
Problemas Solucion
Datos
14𝑐𝑚
𝑑𝑥
(29 ;0 ) (36 ; 0 ) (43 ;0 )
𝑥
𝑥
0
Problemas
Solucion
Nos piden:
donde
Problemas
Solucion
Problemas
Problema 2
Tres cilindros plásticos sólidos tienen radio d 2.50 cm y longitude de
6cm. Uno a) transporta carga con densidad uniforme de por toda su
superficie. Otro b) conduce carga con la misma densidad uniforme solo
su cara lateral curva. El tercero c) tiene una carga de densidad uniforme
de en todo plástico. Encuentre la carga de cada cilindro.
Problemas
Solución6𝑐𝑚 6𝑐𝑚 6𝑐𝑚
𝜎 𝐴=15𝑛𝐶 /𝑚2 𝜎 𝐵=15𝑛𝐶 /𝑚2 𝜎𝐶=500𝑛𝐶 /𝑚2
𝐴 𝐵 𝐶𝑅𝐴=2.50 𝑐𝑚 𝑅𝐵=2.50𝑐𝑚 𝑅𝐶=2.50𝑐𝑚
Problemas
Solución
Nos piden de cada cilindro = ?
Problemas
Problema 3
Ocho cubos plástico solidos, cada uno con 3cm por lado, se unen par
formar cada uno de los objetos siguientes mostrados en la figura .
A) Si cada objeto transporta carga con densidad uniforme de a través
de su volumen, ¿Cuál es la carga de cada objeto?
B)Si a cada objeto se ;e da una carga con densidad uniforme de en
todas las partes de la superficie expuesta, ¿Cuál es la carga en cada
objeto?
Problemas
Problema 3
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
3𝑐𝑚
3𝑐𝑚
3𝑐𝑚
3𝑐𝑚
3𝑐𝑚3𝑐𝑚
3𝑐𝑚
3𝑐𝑚
3𝑐𝑚
3𝑐𝑚
3𝑐𝑚
3𝑐𝑚
Problemas
Solución
Inciso a
Donde
Problemas
Solución
Como ambas figuras tienen las mismas
dimensiones y la misma densidad de
carga volumetrica se concluye que
==
Problemas
Solución
Inciso b, figura a
Donde
Problemas
Solución
Inciso b, figura b
Donde
Problemas
Solución
Inciso b, figura c
Donde
Problemas
Solución
Inciso b, figura d
Donde
Carga de línea infinita
Si la carga está distribuida con densidad uniforme a lo largo de una línea recta infinita que escogeremos como eje
Este campo tiene simetría cilíndrica y es inversamente proporcional a la primera potencia de la distancia desde la línea de carga. Para una derivación de en la siguiente figura.
Coordenadas cilíndricas
Carga de línea infinita
𝐸
𝜌𝐿𝑥
𝑦
∞
−∞
Problemas
Problema 0
Sobre una línea descrita por se distribuyen uniformemente una carga de densidad . Determine el campo eléctrico en .
Problemas
Problema 0
𝑃 (−2 ,−1,4)
𝑅 ′
𝜌 ℓ
𝑃 (2 ,−4 , 𝑧)
𝑥
𝑦
𝑧
Problemas
Solución
Calculamos primero el vector dirección el cual es el siguiente:
Debido a esto tenemos:
𝐸=𝜌 ℓ
2𝜋 𝜖0𝑟𝑎𝑟=
20×10− 9
2𝜋𝜖0(5) (−4 𝑖+3 𝑗
5 )
Problemas
Solución
𝐸= 20×10−9
2𝜋 (8,8541878176×10−12 )(5)(−4 𝑖+3 𝑗
5 )
𝐸=−57.6 𝑖+43.2 𝑗𝑉 /𝑚
Problemas
Problema 1
Una carga lineal uniforme de densidad se distribuye desde (a) Cual es la carga total. Determinar el campo eléctrico que se genera sobre el eje en . (e) Determinar el campo en usando la aproximación de que se trata de una carga puntual en el origen y comparar el resultado con el obtenido exactamente. En (d).
Problemas
Solución
Podemos utilizar la definición de para encontrar la carga total de la carga lineal y la expresión para el campo eléctrico en el eje de una carga lineal finita para evaluar en las localizaciones dadas a lo largo del eje . En la parte (d) se puede aplicar la ley de Coulomb para el campo eléctrico debido a una carga puntual para aproximar el campo eléctrico en x = 250 m
Problemas
Solución
Utilizamos la definición de una densidad de carga lineal para expresar la carga en terminos de , por lo tanto tenemos:
𝑄=𝜆𝐿⇒𝑄=(3.5𝑛𝐶 /𝑚 ) (5𝑚 )=17.5𝑛𝐶
Problemas
Solución
Expresamos el campo electrico en el eje de una carga lineal finita como:
𝐸𝑥 (𝑥0 )= 𝑘𝑄𝑥𝑜 (𝑥0−𝐿)
Problemas
Solución Inciso b
Substituimos y evaluamos en la ecuación anterior para :
𝐸𝑥 (6𝑚 )=(8.99×109𝑁 ∙𝑚2/𝐶2 ) (17.5𝑛𝐶 )
(6𝑚 ) (6𝑚−5𝑚 )
𝐸𝑥 (6𝑚)=26.2𝑁 /𝐶
Problemas
Solución Inciso c
Substituimos y evaluamos en la ecuación anterior para :
𝐸𝑥 (6𝑚 )=(8.99×109𝑁 ∙𝑚2/𝐶2 ) (17.5𝑛𝐶 )
(9𝑚 ) (9𝑚−5𝑚 )
𝐸𝑥 (6𝑚)=4.37𝑁 /𝐶
Problemas
Solución Inciso d
Substituimos y evaluamos en la ecuación anterior para :
𝐸𝑥 (6𝑚 )=(8.99×109𝑁 ∙𝑚2/𝐶2 ) (17.5𝑛𝐶 )
(250𝑚 ) (250𝑚−5𝑚 )
𝐸𝑥 (6𝑚)=2.57𝑚𝑁 /𝐶
Problemas
Solución Inciso e
Utilizamos la ley de Coulomb para hallar el campo eléctrico debido a una carga puntual por lo tanto tenemos la siguiente aseveración:
Sustituimos valores y evaluamos
𝐸𝑥 (𝑥 )=𝑘𝑄𝑥2
𝐸𝑥 (250𝑚 )=(8.99×109𝑁 ∙𝑚2
𝐶2 ) (17.5𝑛𝐶 )
(250𝑚 )2=2.52𝑚𝑁 /𝐶
Problemas
Problema 2
Una carga de esta unifomemente distribuida sobre un anillo de radio 8.5cm. Determinar el campo eléctrico generado sobre el eje (a) 1.2cm, (b) 3.6cm y (c) 4m del centro del anillo. (d) Determinar el campo a 4m con la aproximación de que el anillo es una carga puntual en el origen y comparar el resultado con el obtenido en el (c).
Problemas
Solución
La magnitud del campo electrico la cual esta dada por:
, donde es la carga del anillo y es el radio del anillo. Nosotros usamos esta relación para encontrar el campo eléctrico en el eje dada la distancia al anillo.
Expresamos el campo electric del anillo como:
𝐸𝑥=𝑘𝑄𝑥
(𝑥2+𝑎2 )3 /2
Problemas
Solución Inciso a
De esta ultima expresion evaluamos para
𝐸𝑥 (1.2𝑐𝑚 )=(8.99×109𝑁 ∙𝑚2/𝐶2 ) (2.75𝜇𝐶 ) (1.2𝑐𝑚 )
((1.2𝑐𝑚 )2+(8.5𝑐𝑚 )2 )3 /2=4.69×105𝑁 /𝐶
Problemas
Solución Inciso b
De esta ultima expresion evaluamos para
𝐸𝑥 (1.2𝑐𝑚 )=(8.99×109𝑁 ∙𝑚2/𝐶2 ) (2.75𝜇𝐶 ) (3.6 𝑐𝑚 )
((3.6 𝑐𝑚 )2+(8.5𝑐𝑚 )2)3 /2=1.13×106𝑁 /𝐶
Problemas
Solución Inciso c
De esta ultima expresion evaluamos para
𝐸𝑥 (4𝑚)=(8.99×109𝑁 ∙𝑚2/𝐶2 ) (2.75𝜇𝐶 ) (4𝑚 )
((4𝑚)2+(0.085𝑚 )2 )3 /2=1.54×103𝑁 /𝐶
Problemas
Solución Inciso d
Usando la ley de coulomb para calcular el campo electrico tenemos:
Sustituimos y evaluamos en
𝐸𝑥=𝑘𝑄𝑥2
𝐸𝑥 (4𝑚 )=(8.99×109𝑁 ∙𝑚2/𝐶2 ) (275𝜇𝐶 ) (4𝑚 )
(4𝑚 )2=1.55×103𝑁 /𝐶
Problemas
Problema 3
Una carga lineal uniforme se extiende desde y posee una densidad de carga lineal (a) Determinar la carga total. Hallar el campo eléctrico generado sobre el eje en (b) , (e)Determinar el campo en suponiendo que la carga es puntual y comparar el resultado con el obtenido (d).
Problemas
Nosotros podemos usar la definición de para encontrar la carga en un segmento de carga lineal uniforme
Problemas
Solución
++++++++++++++++++++++++
𝜃1 𝜃2
𝑦
𝐸𝑦
𝐿 /2 𝐿 /2
L
Problemas
Si usamos la ecuación que nos describe la component debida a un segmento de carga lineal uniforme.
Por lo tanto tenemos
𝐸𝑥=𝑘 𝜆𝑦 (𝑐𝑜𝑠𝜃2−𝑐𝑜𝑠𝜃1 )
𝐸𝑥=𝑘 𝜆𝑦
(𝑐𝑜𝑠𝜃−𝑐𝑜𝑠 (−𝜃 ) )⟹𝐸𝑥=(𝑐𝑜𝑠 𝜃−𝑐𝑜𝑠𝜃 )=0
Problemas
Si usamos la ecuación que nos describe la component debida a un segmento de carga lineal uniforme.
Por lo tanto tenemos
𝐸𝑦=𝑘 𝜆𝑦 (𝑠𝑒𝑛𝜃2−𝑠𝑒𝑛𝜃1 )
𝐸𝑦=𝑘 𝜆𝑦
(𝑠𝑒𝑛𝜃−𝑠𝑒𝑛 (−𝜃 ) )⟹𝐸 𝑦=2𝑘 𝜆𝑦
𝑠𝑒𝑛 𝜃
Problemas
Sustituyendo la función en función de e , de acuerdo a la figura anterior tenemos lo siguiente
Por lo tanto tenemos
𝑠𝑒𝑛𝜃=𝐶 .𝑂𝐻
=
12𝐿
√( 12 𝐿)2
+𝑦2
𝐸𝑦=2𝑘𝜆𝑦
12𝐿
√( 12 𝐿)2
+𝑦2
Problemas
El vector E viene dado por:
𝐸=𝐸𝑥 𝑖+𝐸𝑦 𝑗=
2𝑘 𝜆𝑦
12𝐿
√( 12 𝐿)2
+𝑦 2𝑗
Problemas
Solución Inciso a
De acuerdo a la definición para la distribución de una carga sobre una linea tenemos que:
La densidad de carga la expresamos en terminus de en terminos de y tenemos que:
𝑄=𝜆𝐿= (6𝑛𝐶 /𝑚 ) (5 𝑐𝑚 )=0.300𝑛𝐶
𝐸𝑦=2𝑘𝜆𝑦
12𝐿
√( 12 𝐿)2
+ 𝑦2
Problemas
Solución Inciso b
Esto implica que podamos evaluar :
𝐸𝑦 (4𝑐𝑚 )=2 (8.99×109𝑁 ∙𝑚2/𝐶2 )
0.04𝑚
12
(6𝑛𝐶 /𝑚) (0.05𝑚)
√(0.025𝑚 )2+ (0.04𝑚 )2=1.43𝑘𝑁 /𝐶
Problemas
Solución Inciso c
Esto implica que podamos evaluar :
𝐸𝑦 (12𝑐𝑚 )=2 (8.99×109𝑁 ∙𝑚2/𝐶2 )
0.12𝑚
12
(6𝑛𝐶 /𝑚 ) (0.05𝑚 )
√ (0.025𝑚)2+ (0.12𝑚 )2=183𝑘𝑁 /𝐶
Problemas
Solución Inciso d
Esto implica que podamos evaluar :
𝐸𝑦 (4.5𝑚 )=2 (8.99×109𝑁 ∙𝑚2/𝐶2 )
4.5𝑚
12
(6𝑛𝐶 /𝑚 ) (0.05𝑚 )
√ (0.025𝑚 )2+(4.5𝑚)2=0.133𝑁 /𝐶
Problemas
Solución Inciso e
Usamos la ley de Coulomb para encontrar el campo electric
𝐸𝑦 ( 𝑦 )=𝑘𝑄𝑦 2
Problemas
Solución Inciso e
𝐸𝑦 (4.5𝑚 )=𝑘𝑄𝑦2
=(8.99×109𝑁 ∙𝑚2/𝐶2 ) (0.3𝑛𝐶 )
(4.5𝑚)2=0.133N /C
Problemas 4
Problema 4
Un pedazo de poliestireno de masa tiene una carga neta de y flota sobre el centro de una lámina de plástico horizontal muy larga, que tiene una densidad de carga uniforme en su superficie. ¿Cuál es la carga por unidad de área de la lámina de plástico?
Problemas 4
Solución
Sea la figura
Nos piden:
𝑚 −𝑞𝑑
𝐸
𝐿á𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑒𝑝𝑙á 𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜𝑚𝑢𝑦 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑎
Problemas 4
Haciendo Diagrama de cuerpo libre
𝑞 ∙𝐸
𝑚𝑔
𝐹𝑙𝑜𝑡𝑎
Problemas 4
Solución
Suponiendo que la carga flota a una distancia ; entonces
Luego:
𝑄á𝑟𝑒𝑎
=𝑄𝑑2⏟
𝑃𝑜𝑙𝑖𝑒𝑠𝑡𝑖𝑟𝑒𝑛𝑜
=𝜎
