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常微分方程式系統

之模擬方法與工具（一）

國立台灣大學生物機電系林達德

631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 04-2

壹、微分方程式系統之類型

貳、解起始值問題之單一步驟法

參、解起始值問題之預測-修正法

肆、數值解法之應有考量

伍、高階模擬語言

2



壹、微分方程式系統之類型

一、起始值問題(Initial-value problem)　起始值問題的一般要求為給予一起始條件

　　　　　　　　y(x0) = y0　及微分方程式

　

　求取滿足起始條件及微分方程式之函數值y(x)。

dydx

= f(x,y)



求起始值問題的一般步驟：

1.計算曲線(函數)之斜率。

2.應用所計算得之斜率以推測下一步驟(x+h)之函數值。

3.繼續前進至下一點重複(1)及(2)步驟。

解起始值問題之方法：

1.單一步驟法(One-step method):Euler method,Modified Euler method,Runge-Kutta method.

2.預測修正法(Predictor-corrector method):Milne‘s method,Adam-Bashforth method,Hamming method.

3



二、邊界值問題(Boundary-value problem)

偏微分方程式之主要類別

　　Parabolic:

　　Elliptic:

　　Hyperbolic:

∂∂

2

2u

x = f

∂∂

∂∂

2

2

2

2u

xu

y + a = f

∂∂

∂∂

2

2

2

2u

xu

y - a = f



常見的偏微分方程式

　　Diffusion equation:

　　Poisson equation:

　　Laplace equation:

　　Wave equation:

　　Biharmonic equation:

常用於解偏微分方程式之數值法

1. 有限差分法(Finite difference method)

2. 有限元素法(Finite element method)

∂∂

∂∂

2

2u

x = a u

t∂∂

∂∂

2

2

2

2u

xu

y + = b

∂∂

∂∂

2

2

2

2u

xu

y + = 0

∂∂

∂∂

2

2

2

2u

xu

t = c

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

4

4

4

2 2

4

4u

xu

x yu

y + 2 + = 0

4



貳、解起始值問題之單一步驟法

一、尤拉法(The Euler method)　　　　y‘ = f(x,y),　　y(x0) = y0　　原理：應用泰勒展開式

　　當h值很小時，上式可以簡化為：

　　　　y(x0+h) = y(x0) + h y‘(x0)　　應用式：

　　　　yn+1 = yn + h f(xn, yn),　n = 1,2,...

y(x h) = y(x ) + h y' (x ) + 12

h y' ' (x )+...0 0 02

0+



The Euler method

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二、計算之誤差

1.誤差之來源：

(1) 捨去誤差(Round-off error)(2) 截斷誤差(Truncation error)(3) 增殖誤差(Propagation error)

2.可觀察到之誤差：

(1) 區域性誤差(Local error)(2) 總體性誤差(Global error)

3.誤差之次方(Order)：例：尤拉法之誤差次方為二次(h2)



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三、修正尤拉法(The modified Euler method)　　原理：應用泰勒展開式：

　　

　　應用式：

y(x h) = y(x ) + h y' (x ) + 12

h y' ' (x )+...

y' ' (x ) = Dy'Dx

= y' (x + h) - y' (x )h

y(x + h) = y(x ) + 12

h [ y' (x + h) + y' (x ) ]

0 0 02

0

00 0

0 0 0 0

+

∴

y = y + h f (x , y )

y = y + 12

h [ f(x ,y ) + f(x ,y ]

n+1*

n n n

n+1 n n n n+1 n+1* )



The modified Euler method

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四、朗格庫達法(Runge-Kutta method)　　

　　應用式：

　　其中　K0 = h f(xn, yn)K1 = h f(xn+0.5h, yn+0.5K0)K2 = h f(xn+0.5h, yn+0.5K1)K3 = h f(xn+h, yn+K2)

6)K + 2K + 2K+ (K + y =y 3210

n1n+



五、朗格庫達法應用於微分方程組之求解

　以解二階方程式為例：

　可令　　　，則

　如此二階方程式可化為二個一階方程式：

　應用式：

　　　　　yn+1 = yn + K, zn+1 = zn + L　其中

K1 = h f(xn, yn, zn) 　K3 = h f(xn+0.5h, yn+0.5K2, zn+0.5L2)L1 = h g(xn, yn, zn) 　L3 = h g(xn+0.5h, yn+0.5K2, zn+0.5L2)K2 = h f(xn+0.5h, yn+0.5K1, zn+0.5L1)　K4 = h f(xn+h, yn+K3, zn+L3)L2 = h g(xn+0.5h, yn+0.5K1, zn+0.5L1)　L4 = h g(xn+h, yn+K3, zn+L3)

d ydx

2

2 = g( x, y, dydx

)

z = dydx

dzdx

= d ydx

2

2

dzdx

dydx

= g( x, y, z ), = f( x, y, z ), ( z = f(x,y,z) )

K = K + 2K + 2K + K6

, L = L + 2L + 2L + L6

1 2 3 4 1 2 3 4

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#include "nr.h" /* Header file of "NUMERICAL RECIPES" */#include "nrutil.h" /* Utility header file of "NUMERICAL RECIPES" */#include "nrutil.c" /* Utility file for "NUMERICAL RECIPES" */

void rk4(y,dydx,n,x,h,yout,derivs)/* Given values for the variables y[1..n] and their derivatives dydx[1..n] known at x, use the fourth-order Runge-Kutta *//* method to advance the solution over an interval h and return the incremented variables as yout[1..n], which need *//* not be a distinct array from y. The user supplies the routine derivs(x,y,dxdy), which returns derivatives dydx at x. */float y[],dydx[],x,h,yout[];void (*derivs)(); /* ANSI: void (*derivs)(float,float *,float *); */int n;{ int i;

float xh,hh,h6,*dym,*dyt,*yt,*vector();void free_vector();

dym=vector(1,n);dyt=vector(1,n);yt=vector(1,n);hh=h*0.5;h6=h/6.0;xh=x+hh;for (i=1;i<=n;i++) yt[i]=y[i]+hh*dydx[i]; /* First step */(*derivs)(xh,yt,dyt); /* Second step */for (i=1;i<=n;i++) yt[i]=y[i]+hh*dyt[i];(*derivs)(xh,yt,dym); /* Third step */for (i=1;i<=n;i++) {

yt[i]=y[i]+h*dym[i];dym[i] += dyt[i]; }

(*derivs)(x+h,yt,dyt); /* Fourth step */for (i=1;i<=n;i++) /* Accumulate increments with proper weights */

yout[i]=y[i]+h6*(dydx[i]+dyt[i]+2.0*dym[i]);free_vector(yt,1,n);free_vector(dyt,1,n);free_vector(dym,1,n);

}



float **y=0,*xx=0; /* defining declaration */ /* For communication back to main */void rkdumb(vstart,nvar,x1,x2,nstep,derivs)/* Starting from initial values vstart[1..nvar] known at x1 use fourth-order Runge-Kutta to advance nstep equal increments *//* to x2. The user-supplied routine derivs(x,v,dvdx) evaluates derivatives. Results are stored in the global variables *//* y[1..nvar][1..nstep+1] and xx[1..nstep+1]. */int nvar,nstep;float vstart[],x1,x2;void (*derivs)(); /* ANSI: void (*derivs)(float,float *,float *); */{ int i,k;

float x,h;float *v,*vout,*dv,*vector();void rk4(),nrerror(),free_vector();v=vector(1,nvar);vout=vector(1,nvar);dv=vector(1,nvar);for (i=1;i<=nvar;i++) { /* Load starting values */

v[i]=vstart[i];y[i][1]=v[i]; }

xx[1]=x1;x=x1;h=(x2-x1)/nstep;for (k=1;k<=nstep;k++) { /* Take nstep steps */

(*derivs)(x,v,dv);rk4(v,dv,nvar,x,h,vout,derivs);if ((float)(x+h) == x) nrerror("Step size too small in routine RKDUMB");x += h;xx[k+1]=x; /* Store intermediate steps */for (i=1;i<=nvar;i++) {

v[i]=vout[i];y[i][k+1]=v[i]; }

}free_vector(dv,1,nvar);free_vector(vout,1,nvar);free_vector(v,1,nvar);

}

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參、解起始值問題之預測-修正法(Predictor-corrector method)

一、方法及流程圖：

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二、Milne's method：　　預測方程式：

　　修正方程式：

三、Adams-Bashforth method：　　預測方程式：


四、Hamming's method：　　預測方程式：


yn+1 = y + 4h3

(2y - y + 2y ) + 2890

h yn-3 n'

n-1'

n-2' 5 (5)

(5)5'1-n

'n

'1n1-n1n yh

901 - )y + 4y + (y

3h + y = y ++

yn+1 = y + h24

(55y - 59y + 37y + 9y ) + 251720

h yn n'

n-1'

n-2'

n-3' 5 (5)

yn+1 = y + h24

(9y - 19y - 5y + y ) - 19720

h yn n+1'

n-1'

n-1'

n-2' 5 (5)

yn+1 = y + 4h3

(2y - y + 2y ) + 2890

h yn-3 n'

n-1'

n-2' 5 (5)

yn+1 = 18

[9y - y + 3h (y + 2y + y )] - 140

h yn n-2 n+1'

n'

n-1' 5 (5)



五、預測-修正法之特性：

1. 需要單一步驟來啟動計算。

2. 需要較大之電腦記憶容量。

3. h之選擇較單一步驟法寬容性大，計算上較有效率。

4. 計算之步驟基本上為兩次，而Runge-Kutta為四次。

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肆、數值解法之應有考量

一、解一般微分方程式所應有之考量

1. 考慮問題之形式

(Initial value problem or Boundary value problem)2. 考量微分方程式之複雜性

(Predictor-corrector or Runge-Kutta)3. 考量解決問題所需之時間

(Computer time,preparation time)4. 考量所需之精確度

(computational efficiency vs accuracy)5. 運用以往之經驗

(e.g. stiff problem)



二、h (step size)之考慮

誤差之預估：C hn+1 for method of order n

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依系統特徵方程式預估適當的h

其中為微分方程式的最大特徵值，若特徵值為共軛複數，則依下式決定

對高階微分方程式的h預估，則是由所有特徵值的對數平均值推估：

max101λ

=h

λωτ

λω

λ

11

22

2,1

==

=+=

±=

n

n ba

jba

n

n

L

n

nL

nn

nn

h

ααλα

αλ

αλαλαλα

0

0

011

1

1101

101

0

===

=++++ −− L



依系統之輸入訊號預估適當的h若對於系統的輸入訊號頻率相對高於系統本身的動態頻率，則h的預估應依輸入訊號的頻率來決定：

10 or

101 in

in

hh τω

==

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【範例】系統之微分方程式為

0=++ kyybym &&&

若b/m = 0.5, k/m = 4.

令 yx &=1 yx =2 則yx &&& =

1 12 xyx == &&

0211 =++ xmk

xmb

x&

再分解為兩個一階微分方程式

211 xmk

xmb

x −−=&

12 xx =&

即( )

212111 ,, xmk

xmb

txxfx −−==&

( )12122 ,, xtxxfx ==&



代入 b/m = 0.5 (1/s)與 k/m = 4.0 (1/s2)，可得：

系統之自然頻率為：

因此選擇

( )( ) 20

00 0.45.0

2 12

1211

==

=−−=

xxxxxxx

&

&

rad/s 24 ==mk

sh 05.0410

1==

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【MATLAB程式範例】function xdot = smddx(t,x)%file smddx.mxdot(1) = -0.5*x(1)-4*x(2);xdot(2) = x(1);

% driver file for spring-mass-damper using rk4.m% initial timet0 = 0;% final timetf = 10.;% column vector of initial conditionsx0 = [0 2]’;% step sizeh = .05;[t,x]=rk4(‘smddx’, t0, tf, x0, h);plot(t,x)gridxlabel(‘ Time (s) ’)ylabel(‘ Displacement (in) and Velocity (in/s) ‘)



h 之自動調整

系統之微分方程式為，若b/m = 5 (1/s), k/m = 4，則系統為overdamped狀態。代入並降階為兩個一階微分方程式：

( )( ) 20

00 0.45

2 12

1211

==

=−−=

xxxxxxx

&

&

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【MATLAB程式範例】function xdot = smd2dx(t,x)%file smd2dx.mxdot(1) = -5*x(1)-4*x(2);xdot(2) = x(1);

% driver file for spring-mass-damper using ode45t0 = 0;tf = 8.;x0 = [0 2]’;[t,x]=rk45(‘smd2dx’, t0, tf, x0);plot(t,x(:,1),’o’)holdplot(t,x(:,2),’+’)gridxlabel(‘ Time (s) ’)ylabel(‘ Displacement (in) and Velocity (in/s) ‘)



四、邊界值問題之解法：

　　1. Initial-value method　　2. Finite difference method：【範例】

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三、Stiff problem：

“System-governing equations which have eigenvalues that differ by several orders of magnitude are identified as stiff equations.”

【範例】

以State-space型式表示：

( )( ) 00 1999999

10 1998998

2212

1211

=−−=

=+=

xxxxxxxx

&

&

BuAxx +=&

=

−−

=00

B 1999 999

1998 998 A

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可求得特徵值分別為

因此對而言，h之大小可依下式計算，但隨時間增加，之效應逐漸為取代：

1000 1 21 −=−= λλ

tt

tt

eCeCxeCeCx

1000432

1000211

−−

−−

+=

+=

s 0001.01101

2

==λ

h



伍、高階模擬語言一、高階模擬語言概述

進行模擬的工具：

Hand calculation or experimentGeneral-purpose programming languageSimulation packagesHigh-level simulation languageHigh-level simulatorsSpecial-purpose simulators

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一、高階模擬語言概述

選用模擬語言的考慮因子：

容易學習

軟體價格

程式碼是否跨電腦平台

所能處理的問題範圍

使用者介面

輸出結果之應用方便性



一、高階模擬語言概述Nam e Continuous/D

iscrete Source

CSM P C IBM Corporation

CSSL C Control Data Corporation

DYSAC C University of W isconsin

G ASP C-D U .S. S teel Corporation

G PSS D IBM Corporation

M IDAS C W right-Patterson A ir Force Base

M IM IC C W right-Patterson A ir Force Base

PACTO LUS C IBM Corporation

SL-1 C Xerox

DSL C DEC

NDTRAN C University of Notre Dam e

S IM ULINK C M athworks, Inc.

STELLA C H igh Perform ance System s, Inc.

S IM SCR IPT D RAND Corporation

S IM AN C-D Pennsylvania S tate University

SLAM C-D Pritsker & Associates, Inc.

AW ESIM C-D Pritsker & Associates, Inc.

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二、以CSMP語言為例

以兔子(x)與狐狸(y)的Predator-Prey模式為例，若其系統微分方程式如下：

x' = ax – bxyy' = cxy – dy

若系統的參數a, b, c, d值分別如下：

a = 5, b = 0.05, c = 0.0004, d = 0.2起始條件為：

x(0) = 10000, y(0) = 1000，請利用CSMP語言進行系統之動態模擬。



二、以CSMP語言為例

TITLE PREY-PREDATOR MODEL*

XDOT = A*X – B*X*YYDOT = C*X*Y – D*XX = INTGRL (X0, XDOT)Y = INTGRL (Y0, YDOT)

*CONST A = 5, B = 0.05, C = 0.0004, D = 0.2CONST X0 = 10000.0, Y0 = 1000.0*TIMER DELT = 0.1, FINTIM = 500.0, PRDEL = 10.0PRINT X,YENDSTOP

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三、以SIMULINK為例



三、以SIMULINK為例 – 加入模擬結果輸出

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三、以SIMULINK為例 – 模擬結果

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