第１０章液膜流の熱伝達

　　

液膜流の熱伝達

環状流、液膜流を用いた伝熱装置

管内蒸発（ボイラー）、管内凝縮（凝縮器）

液膜を通して相変化による熱伝達

液膜冷却

液膜による壁面の冷却

熱伝達の解析

液膜内の速度分布と熱拡散係数が与えられる

エネルギー方程式を解き温度分布を求める

熱流束と温度差から熱伝達係数を求める

液膜内のエネルギー方程式

液膜内のｙ方向の熱流束と温度勾配

εh乱流熱拡散係数　Pr=ν/a=cpµ/kプラントル数

Prｔ= ε/εh≒1　乱流プラントル数

乱流拡散係数がわかれば温度分布が計算できる

+

+

νε+=

ττε+νρ=τ

dydu)1(

dydu)(

WdydT)

Pr(c

dydT)a(cq hphp ε+νρ−=ε+ρ−=

+

+

νε+=

dydT)

Pr1(

qq h

W ρτ−ρ

=+ W

W

Wp

q)TT(c

T

乱流拡散係数

三層モデル

層流底層でも渦拡散係数を考える必要がある。

Lin SleicherDeissler

)30y( 5.2/y15.2/y )30y5( 15/y

)5y( 0

>=−=≤<−=

≤=νε

+++

++

+

)5.14/y( 2+=νε )y()091.0( 22 +=

νε

)26y( dy

ud/dydu0.36)(

)26y( }]yu)109.0exp{(1[yu)109.0(

2

2

232

22

>���

����

����

����

�=

≤−=νε

++

+

+

+

+++++

液膜内の熱流束分布

蒸発、凝縮

壁面からの熱は総て界面からの相変化に使われる　　q(y)=qW（ｙ方向に一定）

液膜冷却壁面からの熱は総て液膜に吸収される。 qi =0壁面熱流束qWが流れ方向（z方向）に一定ならば

) zT(

zTuc

yq

p 一定∂∂

∂∂ρ−=

∂∂

液膜内の熱流束分布

積分して

qi =0より

udyzTcq)y(q

y

0pW �∂∂ρ−=

0udyzTcq)y(qq iy

0pWii =∂∂ρ−== �

4

Re zTcudy

zTcq fy

0 ppWi ν

∂∂ρ=

∂∂ρ= �

dyuRe

41qq y

0fW�

+++−=

層流液膜

蒸発、凝縮q(y)=qW、q/qW =1T+=Pry+ hi/k=1/yi

から熱伝達係数が求まる。

+

+

=dydT

Pr1

qq

W

ρτ

ν=

ρτ−ρ WiW

W

iWp yPrq

)TT(c

3/12i*

i gkhh ��

�

����

� ν=)TT(

qhiW

Wi −≡ *

i*i y/1h =

3*i

2*i

*i

3*i

2i

y

0 Lf )(y34)(y2 )(y

32)2(y dyu4Re i

�τ=±== +++�

+ 3/1

2i*

ig

g��

���

�

νρτ=τ

層流液膜

液膜冷却 qi =0の場合

液膜の混合平均温度Tb

yyy

322y

Re11dyu

Re41

yT

Pr1

qq 3

3

i

*i2

f

y

0fW ��

���

��

���

��

���

±−=−=

∂∂= +

+++

+

+

�+

yyy

61y

32

RePryPrT 4

3

i

*i3

f ��

���

��

���

��

���

±−= +

++++

���+++

+++++++++ ==ρ

τ−ρ≡ iii y

0f

y

0

y

0W

W

bWpb dyTu

Re4dyu/dyTu

q)TT(c

T

層流液膜

熱伝達係数hb

これと

から熱伝達係数が求まる。

)TT(qh

bW

Wb −

≡3/12

b*b gk

hh ���

����

� ν=

��

���

� −ττ−±τ= 7*i

6*i

*i

*i

5*i

2*i

*i

4*if

2*i

*i

*if

2f

*b y

211y)y(

31y)y(

158yRe

21y)y(Re

34/Reh ����

3*i

2*i

*i

3*i

2i

y

0 Lf )(y34)(y2 )(y

32)2(y dyu4Re i

�τ=±== +++�

+

乱流液膜

エネルギー式

蒸発、凝縮　q/qW =1乱流拡散係数が与えられれば温度分布が求まる。熱伝達係数

+

+

νε+=

dydT)

Pr1(

qq h

W )/Pr/1(q/q

dydT W

νε+=+

+

�+

++

νε+= iy

0W

i dy)/Pr/1(

q/qT

)TT(qh

iW

Wi −≡

3/1

2W

i

3/12i*

ig

gTPr

gkhh �

�

���

�

��

����

�

ρτ=��

�

����

� ν= +

乱流拡散係数

三層モデル

層流底層でも渦拡散係数を考える必要がある。

Lin SleicherDeissler

)30y( 5.2/y15.2/y )30y5( 15/y

)5y( 0

>=−=≤<−=

≤=νε

+++

++

+

)5.14/y( 2+=νε )y()091.0( 22 +=

νε

)26y( dy

ud/dydu0.36)(

)26y( }]yu)109.0exp{(1[yu)109.0(

2

2

232

22

>���

����

����

����

�=

≤−=νε

++

+

+

+

+++++

実験値との比較

実際の液膜流

気液界面にかなりの波動を伴う

解析値とは必ずしも一致しない

層流液膜（流下液膜）の凝縮熱伝達係数

実験値

0gg

3/1

2i*

i =��

���

�

νρτ=τ 3*

i3*

i2*

i*if )(y

34)(y

34)(y2Re =+τ=

3/1f*

i*i 4

Re693.0y/1h−

��

���

�==

22.0f*

i 4Re606.0h

−

��

���

�=

実験値との比較

乱流液膜（流下液膜）の凝縮熱伝達係数

実験値

乱流下降液膜流の凝縮熱伝達係数

Refの大きいところ（3000から4000以上）で実験

値と一致Refの小さいところでは温度境界層が単相流と液

膜流で異なる。粘性底層の厚さが異なる

0gg

3/1

2i*

i =��

���

�

νρτ=τ

65.04.0f

2*i PrRe1018.3h −×=

温度境界層（単相流）

乱流でも壁面近くでは粘性支配の層流底層が存在するこの厚さδvとすれば

温度場についても壁面近くでは熱伝導支配の層（温度境界層）が存在するこの厚さをδTとする。プラントル数Prが１ならば温度場と速度場が相似となりδT = δvとなる。

境界層の厚さに比はPrの関数となるδT / δv=Pr-n(n=1/3～0.4)

6.11u u v*

vW* =

νδ=δ

ρτ= +

温度境界層（単相流）

乱流熱伝達は温度境界層の熱抵抗で近似できる

　　　　　　　　　　　　　　　より

nWbWn

V

bW

T

bWW Pr

6.11)TT(Pr)TT()TT(q

ρτ

ν−λ=

δ−λ=

δ−λ=

24/1W U

21Re079.0 ρ=τ −

n875.0n4/1 PrRe0171.0PrRe2079.0Re

6.111hDNu ==

λ= −

簡便な相関式

実用的には管内凝縮流の熱伝達係数はより簡単な相関式を用いて予測される。

Akers

　　　　　　　　　　　　　　　　　Cavallini-ZecchinRexは等価レイノルズ数

8.0x

3/1L

L

i RePr050.0k

Dh =

��

�

�

��

�

�

��

�

�

�

ρρ+−

µ=

2/1

g

L

Lx x)x1(GDRe

50000Re: RePr03.5

50000Re: RePr0265.0k

Dh

x3/1

x3/1

L

x8.0

x3/1

LL

i

<=

>=

水平管内低クオリティの凝縮液膜熱伝達

水平管

高クオリティー：せん断力支配の環状流

凝縮熱伝達係数は下降流、上昇流と同じ

低クオリティー：層流液膜凝縮を伴う成層流

4/1

sWp

fgL2

L

3

L

i

)TT(cH

PrgDk

Dh��

�

�

��

�

�

−νβ

πϕ=

凝縮熱伝達における界面抵抗

凝縮、蒸発ーーー相平衡

熱平衡状態では気相から液相へ飛び込む分子数と液相から気相へ飛び出す分子数が等しい。

凝縮流、蒸発流

気相から液相へ飛び込む分子数と液相から気相へ飛び出す分子数が異なる。

界面での液温と蒸気温度にわずかな差が生ずる

凝縮の分子運動論

理想気体を仮定する

気液界面へ単位面積単位時間に流れ込む分子数

　　　　　　　Nは単位体積あたりの分子数

　　　は分子の平均速度。分子の速度がMaxwell-Boltzmann分布に従うとすれば

vN41

v

)kT2

mvexp(kT2

m)v(F22/3

−��

���

�

π=

mkT8dvv4)

kT2mvexp(

kT2mvv

0

222/3

π=π−�

�

���

�

π= �

∞

凝縮の分子運動論

　　　　　の分子のうちσcが液体中にはいり、(1-σc) が気体に跳ね返されるとする。

σcを凝縮係数と呼ぶ。

液体に入る分子数は

その質量流束は

理想気体を考えると

p=NkT k:Boltzmann定数　　N=p/(kT)

vN41

v

πσ=

πσ=σ

2mkTN

mkT8mN

41vmN

41

ccc

vN41

cσ

凝縮の分子運動論

気体定数R, R0

pV=n R0 T pV=nM(R0 /M)T p=ρRT R= R0 /M M:分子量

p=NkT=mN(k/m)T= ρ (k/m)T R=k/m

蒸気は飽和温度であるから

RT21p

kT2mp

2mkT

kTp

2mkTN cccc π

σ=π

σ=π

σ=π

σ

Ssc RT2

1pπ

σ

凝縮の分子運動論

正味の凝縮量（質量速度）をGcとすればこれ

に相当する分子の平均流速が生じる

この流速に相当して分子のフラックスは

))RT/2(p

G1(RT21p

))/RT2(

u1(RT21p)u2v(N

41

ss

c

ss

sss

π+

π=

π+

π=+

S

sc

g

c

RTpGGu =

ρ=

凝縮の分子運動論

気液界面の液体側からも分子が飛び出す（蒸発）

液体側も理想気体で近似する。また液体側から気液界面に流れ込む分子の内σeが蒸気側へ入り、 (1-αe)が液体側に跳ね返されるとする。σeを蒸発係数と呼び通常は凝縮係数と同じ値を仮定する。

液体側から気体側へ流れ込む質量流量（蒸発量）は

piは液体側の圧力 iie RT2

1pπ

σ

凝縮の分子運動論

正味の凝縮量は

σc=σeとすれば

iie

SscC RT2

1pRT21pG

πσ−

πγσ= )

)RT/2(pG1(

ss

c

π+=γ

)Tp

Tp(

R21

22G 2/1

i

i2/1

s

s

c

cC −

πσ−σ=

凝縮の分子運動論Ts-Tiが小さいとして

クラジウス－クラペイロンの式を用いて

2/1s

is

c

c2/1

i

i2/1

s

s

c

cC T

)pp(R2

122)

Tp

Tp(

R21

22G −

πσ−σ=−

πσ−σ=

2S

sfg

L

VS

Vfg

VS

fg

is

is

RTpH

1T

HvT

HTTpp

dTdp ≅

���

����

�

ρρ−

ρ==

−−=

5.2s

fgiss

c

cC RT

H)TT(pR2

122G

−πσ−

σ=

凝縮の分子運動論

これが蒸発潜熱を運ぶからこれによる熱流束qWは

これによる界面の熱伝達係数hintは

5.2s

2fgiss

c

cCfgW RT

H)TT(pR2

122GHq

−πσ−

σ==

5.2s

2fgs

c

cisWint RT

HpR2

122)TT/(qh

πσ−σ=−=

凝縮熱伝達における界面抵抗

σcは１に近いとしてよい。

通常の液体ではこの界面抵抗は無視できるが液膜が非常に薄い場合、あるいは液体金属の凝縮熱伝達の場合にはこの項が無視できない

5.2s

2fgs

c

cisWint RT

HpR2

122)TT/(qh

πσ−σ=−=

凝縮熱伝達における界面抵抗

気相において単位面積あたりに通過する分子数

このうちσが液体に入り残りの1- σが気体に跳ね返される

蒸気の温度Ts液体の界面の温度Tiとする。

TsとTiが違うとき蒸気から液体へ入る余分の

分子数。

2/1B )TmK2(

pNπ

=•

2/1iB

i2/1

sB

s

)TmK2(p

)TmK2(p

πσ−

πσγ