Burgers Equation

50

description

Viscous Burger's Eqn

Transcript of Burgers Equation

Page 1: Burgers Equation

�������� ���� �

�������� �������� ��

��������

���� ����� ������ � ��������� �� ���� �� �� ������� �� ��

������ �������� ������� ���������� ������� ������ ��� �� �������

�������� ������ � � ������� �� ��� � �� ��� � ��� �� ������ ��������

������ � � ������ �� ��� � ��� ��������

��������

� ���������� �

� � ���� � � ������ �

��� ������ �� ��� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� �������� �� ��� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� ����� � ������� ��

��� �� ����� � ���� � ��� �� �������� �� ��� ������� � � � � � ����� �� ����� � ���� � ��� �� ������ �� ��� ������� � � � � � � � ��

� ������� ��

� ����� ��� ��

� ������� ��

��� !�! � �� ��� �� ���� "#��$��$� �� %�� &���� � ���� ����$" �� �� ���� � � �� �''� � �� () %��*����#���� +�� ���( �� ��� � �� �� ������� ��� ���� ������ �� �� *��� ����) �� �� ����

�� �� � ���� � ����� � ���� ������� ����)��� �� �� ������ ��� �� ���������� ��� ������ �� ! ����� ��

�� �� ����� � ����� �� ����� � ����� ��� �� ������ �� �� �������� ��, ��� ������ �� !� � �� �� � ������ �� ��� ������ �� � !���(���� #+�&� � �� �� �������� �� ��� ������ �� � �)! �(���� #+�� � � ��� & ���� � ��! ��- � �� �� ����� � ����� ��� �� ������ ��� �� �������� �� ����������� � ���� !��� �� ���� � ����� � ��� &��� �� �������� �� ��� ��,����. � ����������� �� ������ � ��� � � ��!��� ��� ����)/��� � ����� &����

Page 2: Burgers Equation

� ����������� ����� �

���!� �� ����!) ������)��� �������� % ����� �(� ����� !� � ��� � �� ��,��� � ���� ��� �� ������ �� ��� �������

�� �� ����� � ����� � ���� �� �� �� ����� � ����� �� !� � �� � ������ �!� � ��

%!! ���0 % ���&� �� ���� ��� �� �� 1������2' !������ &��� &�� � ��� ���!� �� 0��!� � ���&� �� �� ����� � ������

��� &��$ �� (�� � �� �� �&� (��$�

� 3������ 4� 5 � � 6 �� ����� � ����� �� 7��� ������� 5�&�6 ��$�8�� �6�22'

� 7���� � %� 9��� : ����� %� #��������6 �� ����� %���)��� �� #������+�- � ����� ��������6 #� ���� ,9���6 �22'

��� �� � ��� ��� �

� ���( �� ��� �6 %�� &���� ���� ����$6 &��� � � �� �222;�'''

� �������� ��� �����

��� ������ �� ��� �������

7����� � �� <�& �� ���� �� � ����&�)� 5 � �=�� �> � ��� �� � ����) �� ������� � � �=�� �> � ��� �� ���� <�&�

?��� ���� �� ���� �� � �� � ����) �� ���� ��� �� <�& ��� ( � ��� � ()�� ��������) ������

���

���@

��

���A ' � � �� �� � ' =�>

�� ��� � �� �(���� � ������ ���� ������� ��& �� � ���� & ���� �� �������& �� (

�=��> A ��=��>����

���=�>

� � ���� 0!� ����� - ��� ���� � ������� � ( �& � �� ���� ����� �� ����� � �� �� � ����) �� �����

�� ���� �!!�������� �� �� � ����� � �� � � ����� ���� 6 ' � �� � ����6 &� � ���� �� �� ��� �� &���� ���� �� (�! � �� (�! ��

B ���� ���� �� � ��� � ������� �� ��� ��� ��$ � � �� . C� � ����&�)& &��� �!������) ��$ �� ���� �� ��� �! � ��� =�� �! � ����� ! ���(�>6(� �� � ��) ���� & ���& ��&�6 &��� � �����) � �� ����� �� � ����) ���� �� �� � ���!� �� ��� � �� �� ��� �� � ������

=��> A���

����=���� � ��> =�>

%� / �� � ����) = �!�) ����> �� �! � �� ���6 (� � �� �� � �� / �� �� ��!������ � �����

Page 3: Burgers Equation

� ����������� ����� �

B �(���� �� ������

���

���@

���

����

����=���� � ��> ��

�A

����

����=�>

?������

� A ������ ��� A �����

� A ����

� A ����

� ���� ��

�� @ D=�� �> �E� A ���� ��� � A

������ ' � � � � =F>

� �������������� � A ��� � )� ��� ���� @ ��� A ���� �� �� �� � � � �� � � � =G>

������� =G> �� ���� � �� ��� ������� �!� ���6 � !���(���� #+�� � 7���) !��(� � ��� ( 0!������) ���� �6 !����� � �=�� '> A ��=�> ��� � �

�� �� � ��=�>�B ��� � &��� ������ =G>

�� @

���

��

A ����

# �������� �� ����$ � A �� )� ���

��� @

�����

��

A �����

%�� � ��� ������� �� 0,��� ����� & �(����

�� @����A ����

5 � � A ��� �� � �� �����&� ���� � A ��� ��� ��� �� ������� ���� =�� '> A�=�> .A 0!

�� �

��

� ����=�>��

�� ��� �� �� 7���) !��(� � ��� �� � �� ��,

���� &��� �� �������

=�� �> A������

��

�=�>��

������

��� ��

A������

��

����������

�� �� ��� =�>

�=�H�� �> A

� �

��=�>�� @=�� �>�

��

����������� ������ =�> )� ���

�=�� �> A ����A

��

���� ��������

� �������

=I>

Page 4: Burgers Equation

� ����������� ����� �

1��� �. 7������ ������� ��� ������� ��� �� ��� ������ =����� �>

��� �������� �� ��� �������

B ��& ������ � �� ���� ������� �!� ��� =� A '>

�� @ ��� A ' � � �� �=�� '> A ��=�> =2>

������� =2> �� � ������ �� ������ �)! �(���� ���� ������� ��&

�� @ �=�>� A ' ��� �=�> A�

��� =�'>

7����� � �� �������� ������ =2> &��� ������ ������� ����� 1�� ����� ��� 6� ������� ��� ( �������� � () �����&��� ������� �������� � ������� �������������)

��=�> A �=�=�>� �> =��>

��� ����� ��� ������� ������ �� ��������6 ����

���=�=�>� �> A

���=�=�>� �> @

���=�=�>� �> � ��=�>

A �� @ ���

A '

��� �� � ���� �� �������� �� ��� ������� ������6 �� ���! ��=�> �� ��������() ������ =""> ��� �� �� ������� ������� �� �������� ��� �6 � � ���� � () �� ������� �����

�� �� ������� ���� �� ������ �� � ���� ��� ( � � �� � � ���� �� ��������=�� �> ��� ����� ���� � ���� ������� ������� �� ��� �����. 1�� ��� =�� �> & ��� ���� �� ������

� A � @ �=�� '> � � =��>

Page 5: Burgers Equation

� ����������� ����� F

1��� �. ?������ �� �� ������ �� ��� ������ ��� �&� ��- � �� ��� � �� �

��� � ��� �� ��=�� �> A �=�� '> =��>

1�� ���� � � �� ������ =��> ��) ��� ��� � ��� �������� ��� ��!! ��&� � �� ������� ������� J��� ������ %� �� ��� � &� � �� ������� �������J��� �����6 �� ������� �=�� �> ��� �� ��J��� ���! , �� &�� "(� �$�" �� ����# ������ )��� ���� !���� �� � �� �� ��������� ������� �� �� #+� ����� & �$ ������� & &��� �� � � ���� ( ��� � ������������

1�� ��� � � � � ��� �� �� ������� ������� ��� ����� � ��� �� �� � �� !����� � &� � �� � �� ��� ������� ������� � ����� (��$ �� � A '� C� ����� & �� "�������" � �� ��� � ��� �� � ���!� ,��� � �������� 9�& � � ������ !�)����� ��������� ���� �� � ��� ��$ � �� � 1�� 0��!� 6 �� � ����) ����� ������ !����(�) ( ���!!� ,��� �� B��� ��!! �� ���� �� �� ��� �K

B ��� � � ���� �� ���� �� !�)����� ( ������ () ���!���� �� �����������������) �!!������ ������� =2> �� � ��� � �� ������ =G> ����� ���) ��� ������ ��� ������ �� B� � �� ������� (� �$� ��&�6 & ��� � ��� �� ������=G>� �� �� ������� ���� �� ������ ��� � � �) �����6 �� � ( ��� �� &�� ( ���� ��(� �$ �� ���� � �� �� � �� ���(� ���!�� � �� �� ��� � � ��� ��� �� ��������� (��� #+�� ���$ � ���) �� �������

1�� � �) ����� ��� � �� �6 � ����������� ������� �� � � � &��� ( � !��� � () � ������ �������� ������� �� �� �� %� � � ' ���� ( ��� �����! � ��� �!!����� � �� ����������� ��������1�� ��� � � � � �� ������ ������� ��� � � ' &��� ������ �� ( ��������� ����� ��� �� � ( ������ �� �� ' �� ������� � �� �� �� �� ���� �����������������) ������� ���� & ��! �� ���!� () ������� �� �������� �������

5 � ��� ( �� �!�� �� �������� ���� �� ���������) ��- � ����(� &���

���!��� �!!���� � � J� � � � ����/ � ������� �� �� �������� ������ & &��� � � �� �������� � � ��

� =��>� �� & ����!�) ��@�� A ' () �=�� �> ����� � ��� ���� �� � �!�� ��� ��� 6 & �(����� �

� �

��

D��� @ ��=�>�E ���� A ' =��>

��& ��� ������� () !����6 )� ������ �

� �

��

D���@ ���=�>E ���� A �� �

��

�=�� '>�=�� '> �� =�F>

��� ���� � ���) ��� �� (�����) � ��� &���� �������) ���� ������ ��� ���,���� () !���� ���! �� � �� �� � ��� � �� ���� � ��� ���!��� �!!���6 ���

Page 6: Burgers Equation

� ����������� ����� G

1��� �. ?���$ &��

� �� ������� �� ��J���)� � � �������� (�����) � �� (����� �� �� ���������������� �� �� #+� &���� ��� ����� !��) � ��� �� �� & �$ �����������

���������� � � ������� �=�� �> �� ���� � � & �$ ������� �� �� ���� �,������ ��& �� =�F> ����� ��� ��� �������� � � ��

� =� �>

� ���������� ��������) � � ����/ � ������� & � J� � �(�� �� � & �$������� �� �� � �� �� =�F>6 ��� �� ���� � J������ ����� � �� ������� & �� ���$��� ���� *�������� �)6 & �$ �������� ��� � �� ��� ��� 6 ��� �� ������������ !��(� � �� ��� � �� �� ����) &���� & �$ ������� �� �� !�)������)���� �� ��������� ��������) ��������

C� &��� ��$ �� ����� &��$��� &��� �� ������ ������ ��� ���)6 (� ������ �� ���� �� � �� ��� � ���������� �� ��� ��!�� �� & �$ �������� ������ ��� � �� �� �$ ��� &��� ���� !��$ �� �� ���� �� �������� � � �� ����)���� � ����!) ���������� () ������) &��� �� ��� �)������ ��� � � �����������������) ������� �� ���� ���� � �� ����!) ������� ( ��� �� �����

��� �� $��%���& � ���� ������� ��& ��� �� � &��� !� � &�� ������������ ������ � ����� �����������) �� $��&� �� �� 3� ���� !��(� ��

7����� � �� ��� ������ �� @ ��� A ' ��� �� � &��� !� � &�� ��������������� ����

�=�� �> A

�� � � '�� � � '

=�G>

� ���� �� �� ������� � ! ��� �� �� � ������ ( �& � �� ��� ���

7�� �� �� � ���� ���� ��� �� � �� � ��� & �$ �������

�=�� �> A

�� � � ���� � � ��

=��>

&� �

� A�

�=�� @ ��> =�I>

Page 7: Burgers Equation

� ����������� ����� �

1��� �. �����!) ��������� ����$

1��� F. 3�� ������� &��

�� �� ���# �! �6 �� �! � �� &���� �� �����������) ���� ��� % � � ��� 0,!� ����� ��� �� ����$ �! � &��� ( � ��� � ( ��&� ��� ���� ������� ������� �� ��� �� �� � ���� &� � � �� �������� �� ���� �� ����$ =� �> �� ��� ������ ��

7�� ��� �� � ���� ���� ��� �� � �� ��J��� �) ���) & �$ ��������� C� �� �� � �� �����=��> �� &���� �� �����������) !��!���� � &��� �! � =�I>� ��� ���� ������,� �������� ��& �� �� �� �� ����$ =� �> ��� ���� ���� ������� �� ��� ���(� �� ! ���(������� �� �� ���� �� �� �� � �� �������)6 �� �� � ����� ����� ����������) �� ��� � �� �� ������6 �� ������� ����� � ���!� � �)� %���� �& �$ �������� �� �� � ��' ��� ( '�

�=�� �> A

��

�� � � ������ ��� � � � ����� � � ���

��� =�2>

��� ������� �� ���(� �� ! ���(������ ��� �� �� ���� �� ��������� ��������)� � ����/ � ������� =� F>�

� !��!������� ����$ ������� =��> �� � & �$ �������� �� �� ��� ��,���� ���) �� �� �! � �� !��!������� �� ��� � () =�I>� � ��� �����������)

Page 8: Burgers Equation

� ����������� ����� I

!��!������� �� � ��- � �� �! � &��� ��� ( � & �$ �������� � �! � �� !��!������� ��� ( � � ���� � () ���� �������� �� � �� ����

���!�� � �� �� �� �� �

�=�� �> �� ��� ���� �� �� �� ���

��

�=�� �> �� A �=��>� �=��> A�

�=�� @ ��>=�� � ��> =�'>

��� �� ��� ������� C� �� ��� � ����6 �� ������� =��> �� ���) ����

�=�� �> �� A =� @ ��>�� @ =� � ��>�� =��>

�� �����

��

�=�� �> �� A �=�� � ��> =��>

7��!����� =��> ��� =�'> ��� � =�I>� ��� � � ����)6 ��� ��(�����) <0 ���������=�> ���� ��� ���� �� ��� � �� �����&��� � ������ ( �& � �� ����$ �! � ���� �� ���� � �� ��� ��6 ���� � �� 3��$�� ,9������ L�! ���������

�=��>� �=��> A �=�� � ��> =��>

1�� ������ !��(� �� ���� ��� � ���!�)

� A�=��>� �=��>

�� � ��AD� E

D�E=��>

&� � D�E ������� � �� L�! �� ��� ������) ������ �� �����������)� � � �� ��������� �� &���� �� & �$ ������� �� ��� ��� ��� �� ����,

������ ��������� �� � ��� � �� !��$ �� �� !�)������) � � ���� ��������� ��������)�������� � ��������� &���� � J� � ���� ������� �� ���� �� ����� ( �� ���,����� ������� �� �� ������ ������ �� � � '6 (� ���� �� ��� ��) �� &��$&���� B &��� �� J�� � ���!� � ����������

1�� ������ ������� �� � �� �� �(���� ��������� ��� �� � () � ��� F� %����$ ���� ��� ������� ������� ����� ���� �� ����$6 �� ��� ������ �� % !��!,������� �����������) &��� ������� ������� ������ �� �� ��6 �� �� �6 �� ����(� �� ! ���(������� ���� � �� ����� �� �� ������� !��J� � ����� 6 �� ������ ��� ��������) �� �� �)�� � &��� ��� ���� �� ( � !��� � () � ��� ������� ��� ��������� �������6 �� �� F� ��� ��� � �� J��� � ����� �� �� ����!) ����������

����� ��������� �������� �� % �����������) !��!������� &��� �! �� ��� � () =��> �����J � �� ����!) ��������� ��

� �=��> � � � � �=��> =�F>

��� ���� � �=�> �� �� ������� ������ �! �� 1�� ���� 0 � 6 �� 3��$�� ,9������ �! � � ���� =��> ��� ( ( �& � � �=��> ��� � �=��>6 �� ���� =�F>� �� � �� �� � ��� � �� ���� � �=��> � � �=��>6 &���� ����� () ���� 0��)� ��� � �� � ���

Page 9: Burgers Equation

� ����������� ����� 2

%���� � �!!����� �� �� ����!) �������� �� �� � J� �� ����!) ��������=�> ��� &���� �� ���������� ���� ������� ��& ����� ��� ������ �������� ������� ( ��� � �� �� �����) ��� ����������� ��������� �� ��� �)������6 �� � 0���� � !�)����� ������) ���� � �� ����!) ���� �� $��&� �� ( �������� �����!������ !���� �� ������ <�& ��� �� L�! �� � ���� � ��� �� �� ��� ����� �� ����$� �� ��� � � � L�! �� � ��& � ��� 6 ��� ���� ��� � �� !�)����� ����!)��������� ���� !��$� �� �� ���� �� & �$ ������� �� ��� �)�������

?!!�� ��� ������� �=�> �����J � � ���� ������� ��& �� �� ����

�=�>� @M=�>� A ' =�G>

��� ��� ����!) <0 M=�>� � � & ��� �(���� ���� ����6 ��� ������ �

��=�>�� @M�=�>�� A ' =��>

� ���� ������� ��& ��@�=�>� A ' ��� ( &���� � �� ��@��=�>�� A '� ����!�)

���� () ��=�> ��� ���!�� &��� =��> �� �(����

M�=�> A ��=�>� �=�> =�I>

1�� ������ ���� ������� ��& ���� ������ ������ ���) �������� �=�>�M=�>�%� ���������� ��������� & !��� �� �� ����!) ������� �� ���� �� ( ���� 06���=�> � '6 ��� � ����� ���� &��� ( � � ( ��&�

� ����!) �=�> �� ���� �� � ��� ������ <�&� () ��� � J������� 1�� ���,�������� ��������6 ��& � �6 �� ����!������ ! ����� � �(�� �� ��� ������?��� & �� !���������) ��� � �� � �� ��& �� ����!) ( ��� � ��� �� �����������������) & �$ �������6 & ���$ �� �� � ��� � ������ !��(� � ��� &��� �� � � ��� ��������) � �� �� / ��� � ������ ������ ��

�� @ �=�>� A ���� =�2>

?��� �������� �� ���� ������ ��&�)� �� ������6 & ��� � ��� �� ���� ,�!������ ������� ������ ��� �� ����!) �����&��� �� ��� ����!�������& � � ��� ������ �������� �� �� �������� ������6 ����!�)��� =�2> () ��=�>�� �(����

�=�>� @M=�>� A ���=�>��� =�'>

B ��� ��& � &��� �� ����� ���� ��� �� �(����

�=�>� @M=�>� A � =��=�>��>� � ����=�>��� =��>

��� ������� ���� �� � �� � ������ D��� ��E D��� ��E ��� �� ��

��

� ��

��

�=�>� @M=�>� ���� A =��>

� ��

��

D�� =�=��� �>> ��=��� �>� �� =�=��� �>>��=��� �>E ��

��� ��

��

� ��

��

���=�>��� ����

Page 10: Burgers Equation

� ����������� ����� �'

%� � � ' �� J��� � �� �� �� ����� ���� ��� ������ �� = ��� �� �� ���)�� �� � �� ������ �� �� ��� �� ��� ��� ( ���&� ��� � � ����)>� � ��� �� ��6 ��& � �6 ������ � ��� ������� ��� �� � D��� ��E D��� ��E� �� �� ��������& �$ ������� �� ����������� ����� � ��� �� ���� � ������ 6 �� � �� � ��&��� ��� ������� �� �� ������ 9�& � �6 ���� � � '� ��� � ' � � ��� � ' =() ������!�����>6 & ��� ������ ���� �� ����� ���� ��� �� ���!������ �� �� ����� ��� � �� �� ��������� ��������) & �$ ������� �����J �� ��

��

� ��

��

�=�>� @M=�>� ���� � ' =��>

��� ��� ��� ��� �� ��� ��� %�� ������ �)6 �� ��� ���� ����6� ��

��

� =�=�� �>> �� ���� @� ��

��

M=�=�� �>> �� ����� ' =��>

� � � ��

��

� =�=�� ��>> �� �� ��

��

� =�=�� ��>> ��� =�F>

�� ��

��

M=�=��� �>> ���� ��

��

M=�=��� �>> ��

7��� � ���)6 �� ����� ��� ���� �� � �� ��� � � ������) ���� �� �6 (� ��� ���)� �� �� � =��� ���� �� ���� ������� ����!���� �� ���� 0��) � ��� �� �� " �,���!) �������" ���� � �� �� �6 &� � �� �� !�)����� ����!) �� ��� �)���������� �� ��> � ���� ���� =��> ����� ��� ��� ��� ��� �� ��� �� �� ��� ��/ � ()��)��� ���� �=�>� @ M=�>� � ' �� �� & �$ � �� � ��� ��� � �� J��� ���� ���� ����!) ���������6 ���� � �� ����!) �� �����)�

����� ��������� �������� ��� � ������� �=�� �> �� �� ����!)������� �� =�'> ��6 ��� ��� ���� 0 ����!) �������� ��� ���� �!������ ����!)<0 �6 �� �� �����)

�=�>� @M=�>� � ' =�G>

�� �����J � �� �� & �$ � �� �

��� ���������� �� ���� � �� �� ����)/��� �� ����� � ������ �� � ����� � ���� �� ���� ����!) �� ������) �� $��&� �� ���� ��� ��� �� ����� � ����6�� � �� ��� ( ���&� ���� �� � ���� ���� �� � �� �� ����!) ��������

� & �$ ���� �� �� ����!) �� �����) ��� �

� �

��

=��=�� �>� =�=�� �>> @ ��=�� �>M =�=�� �>>> ���� =��>

� �� �

��

�=�� '>� =�=�� '>> ��

��� ��� � � ��� =��> &��� �=�� �> � ' ��� ��� �� ��

Page 11: Burgers Equation

�������� ������ ��

� ���� ��� ������

��� �� ����� � ���� � ��� �� �������� �� ��� ����

����

B ������ � �� �������� �� ��� ������

�� @ �=�>� A ' �=�> A�

���� � � �� � � ' =�I>

�=�� '> A ��=�>

B ����� ��/ �� 0,�,!��� () �������� � � �� &��� � � N� ��� � ��� �� !! � N� ��� � J� �� ����� � � �� !����� =�� � ��> ()

�� A "! " A � � � ���� '� �� �� � � ��� A ! A '� �� �� � � �

�� &��� ���� ( � �� �� � J�

����� A �� @�

�A

�" @

��

1�� ���!�����) & ��$ � ������ � ��6 &��� � ��� $ ��������� � J��� ��- � �� � ����� & &��� � � ��! !���� �!!��0�������� #�

� �� �� �� ������� �=�� � ��> �� �� ����� � ���� !������ � !����&�� ��� � ���� �� ������� &��� ( ( ��� � ()

��� A �=�� � ��>

�� � � ��!��� � ����� ��� ���� ������� ��&� �� �� ��� � !� � ��(� �� �� & #�� ��

�� �!!��0������� �� � � �� �� ��� �� �=�� ��> � J� � ()

O��� ��

� ������

������

�=�� ��> �� =�2>

���� � ���� �� �� �!!��0������� �� �� !����&�� ��� ��� �

%� ������� ���� ��� �� �� ����� � ���� & � ��=�> �� � J� #� () !����,

&�� ��� �6 #�� A ��� �� !� � ��(� () � �� �� ��� � #

�� A O��� �

B &��� ���) 0!����� �,� � �,� �����6 ��� ������� ��� �! ���� ����������� ��� � �����6 &������

#��� A $�=#�>

9 � #��� � !� � ��� �� � ���� �� �!!��0�������� #���� �� ��� ����� �

��� #���� �� � !�������� !���� " �)!�����) � ! ��� �� � � ��� ��� � ���� ��

� ���� #� =� ! ����� �� ��& ���� �� �� ���� ��> 6 ��� �� & &���

#���� A $�=#

�H "> =�'>

Page 12: Burgers Equation

�������� ������ ��

�� ������) ���� #���� � ! ��� �� �� ��� � ���� #�� 1�� 0��!� 6 �� ��$&���

�� � � ���� ��� �� ��� �� ������ �� @ �� A ' ��

#���� A #�

� �!

��=#�

��� � #����> =��>

� $�,C! ����� ��$ � �� ����

$�=#�H "> A #�

� �!

��=#�

��� � #����> =��>

� J��� ��- � �� �! ����� $� ��� ( 0� �� � �� �!!�) �� ���������� � ���� � ���� �� ����� � ���� �������� �� � � �) ������ &�)� �� =�> ���� ��(�����) ������� �� � �� � & � J� $�=> �� ( �� � & ������� �� ��(���� � () �!!�)��� �� ��- � �� ��� � �� �� ��� !���� �� #����&�� ��� � �� $�=> ����� ( � ��� � () D$�=>E=�>6 ��6 ��� ������� ��) &��� =�'>6() $�=H�> 1�� 0��!� 6 �� � ���� =��> �� =�> ��� � $�=> � J� � ()

$�=H�> A D$�=>E=�> A =�> � !

��==�@ �>� =� � �>> =��>

#�=�� �> � ��� � �� ������� �� 0 ���� �(���� � () J0��� �� � �! �����$� �!!�� � ���) �� �������� �� �� �����(� �

B � J� � !� � &�� �������� ������� #�=�� �> ��� ��� � ��� ���� �� ���,�� � ��� � #�

� � B ������ ���� ������� �� ��� #�� �� �� ="� > ���� � ��6

� �#�=�� �> A #�

� �%& =�� �> � D������ �����E D��� ����E =��>

B ��� 0 ���� ������� #� () �� ��� �� ! !6 ��� ���� ���� �� � �� &����� ��� �� ��� �� ! ! �� � ��� � �� ��� J0 � &�)6 �� ���� �� ����� �� !� J� � � ��� � ���

����� �� !�������� ���� & �!!�) ���� �! ����� $�=H�> �� �� !� � &�� �������� ������� #�=�� �> �� ��) ��� �6 & �(���� �� !� � &�� �������� ���,���� #�=�� �@ !>6 ��

#�=�� �@ !> A $� =#�=�� �>H�> =�F>

��� � �������� � � � ����� ������� ��) �� �� ��������6 & &��� � �� ��� �)�(�� $� �� � ��� (��� �� ����� � ��� �������� �! �������

)���������& B �� ��� � �� � �� ��& & �� #�� �!!��0���� � �� ��

�������6 ��� & � J� �� ���(�� ���� �� ( �� ��- � �� ( �& � �� �� ������!� � �������� �� ���)��� ������ �������� �� �� �����) ���� ���� �� ���� ������ � �� !����&�� ����

'�� A #�

� � ��� =�G>

1�� ���� ������� ��&� �� �� ��� ��� � !� � ��(� �� ������ � �� ���� � ����� ���� � �� �� ��� �� �� �� �������

'�� A #�

� � O��� =��>

Page 13: Burgers Equation

�������� ������ ��

��� ��� ( ��J � �� ��� 0� �� () ���������� �� ���� �������

'�=�� �> A #�=�� �>� �=�� �> =�I>

� � '�� �� �� !����&�� ��� '�=�� � ��> &��� O'

�� �� �� � �� �� ��� �� '� ��

��� ���B��� �� � � J�������6 & ��) ���� � � ���� �� ��������� �� ��� !�����,

��� ���� � �� '�=�� �> � ' �� ! � ' =�2>

��� ��) J0 � � � ' ��� ��� ��� ������� ���� �� �� ��� ������

*� � ���� ��� +����& � ����� ��������� ���� (�=�� �> �� � � ��� �� ��& & �� �� ��- � �� ������ ��� �� �� ��- � ����� ������ ������)� ���� � J� � () � !������ �� �!!��0���� ������� #�

� �� �� ��- � �� ������() �� �� ������� �=�� � � >� C� ���� 6 ���� �� ������� �� �� #+� �� ���)�� �!!��0���� ������� �� �� ��- � �� ������6 ��� ��& & �� �� �����J � �� ��- � �� ������� ��� � �� ���������� �� ��& & �� �� 0��� ������� �� �� ��- � �� ������ �����J � �� ��- � ����� �������

���������� � 1�� � � � ��� �,� � � � ����6 & � J� �� �� � ���� ���

����� ()

(�=�� �> A�

!D�=�� �@ !>�$� =�=�� �>>E =F'>

���������� � � � ���� �� ��������6 ��

(�=�� �> � ' �� ! � ' =F�>

���������� � � � ���� �� �� ����� !6 �� ��� ��� ��� ���) ������ ����������� &��� ���!��� �!!���6 �� � �� � �������� �� ��� ����

(�=�� �> � ��!� �%& �)) ! � !�� � � � =F�>

���������� � � � ���� �� �� %�� �� ��� ��� ��� � �� � �� � ���������� ��� � ��� !� � ' ��� ����

$�� � �� �%& �)) ! � �� ! � !� =F�>

9 � �! �����!�� �� $� � !� � �� !�& �� �� �� =��� ��> �! ����� $��

),* )������& % � � ����) ���(����) ��������� ��� ��) �� ����� � ������ ���� �� ������ �� � ! �� �� �� �� J��� ��- � �� � ���� ����� ����� �� ������ �� � ! �� �� �� �� #+�6 �� � ��� �� �� ����� !� � � �� � ��������� �� $��&� �� �� 715 ��������� ��� � 7�����6 1�� ����� ��� 5 &)�

� ������� �=�� �> �� �� ��� ������ =�I> �� ��) !���� =O�� O�> � ! ������) �� �� ������� ���� �� �� � ����� !����6 ��� �) �� !���� O�� ��� ����=O�� O�> �� � �� �� ������� ������ ������ O��� � � � =O�� O�> A �O��� �� ���� � �� ������ �� � ! �� �� �� �� #+��

Page 14: Burgers Equation

�������� ������ ��

1��� G. 7��!�������� ������� ��� � ��� ,!���� �� ����� � 715 ���������� ��� � ���� ������� ������� �� &����� ���� �������

� �� ����� ������ �� � ! �� �� �=O�� O�>6 ��� � !�������� � ���� ����������) � J� �� �� �� �� � � �� !����� � ��� &���� ������� ���� ��=�> ����!����(�) - �� �� �� ����� ������� �� =O�� O�>

� 715 ��������� �� ���) � � � ����) ��������� ��� ���(����)6 �� ��� ���

)������ ��� ������� '�� ������ � $��%����& �� & &��� �� �� ������ =�I> �� �� ������� �� ����

�� @ ��� A ' =F�>

�� � � ������ J��� ��- � �� � ���� ��

#���� A #�

� �!

�#�� � #�

���

�=FF>

� ���� =FF> �� �� ��� ��� ������ �������� (� &��� ���6 �� � � ���6 ���� �� �� � ����������� & �$ ������� �� �� ��� ������ =F�> �� �� ���� �� � J� ��� ���&� �� �� ��� ���!� � �������� �� �� ��� ������ �� ��� � A �&��� 3� ���� ���� �� A ��� ��� �� A '��� B � � � ��� ���$��� �������!��!������� �� ���� �) �� &���� �! �� �� ��� ( ���&� ���� � ���� =FF> ��������� �� &��� =F�>�

�� ���� �� �� ( � � �) ���!� ����� � �� & ��� ��!�� �� �� �� ������ ���� &���� &��� ������ ���� & �� ��� ���� �� �� ���,��������� ����� �� ����� � �� ���� �� � ���� ( �� ������ ��� '���6 &���� � ��� ����� �� ����

#���� A #�

� �!

�* =#�

���� #������� � � � � #

����>� * =* =#�

������ #����� � � � � #

������>

�=FG>

��� ��� ������� * �� + @ , @ � ���� ���� * �� ���� � �� ����� � -�.

'������ �� �� ���!� �� ��� 6 + A ' ��� , A '6 �� ���� * �� � ������� �� ���)�&� �����(� � ��� �� =FG> ( ��� �

#���� A #�

� �!

�* =#�

� � #����>� * =#�

���� #�� >�

=F�>

Page 15: Burgers Equation

�������� ������ �F

1��� �. � ��� ���!� � ������� �� �� ��� ������ ���� � ������� �,����� � ����

��� ���� �� � �) ������ �� & �� & #�� �� �� �!!��0������� �� �� � �� �� ���

O��� � J� � () =�2>�C� &�) �� � ��� � ����� �� ���� ������� ���� �� �� � �������� J���

��- � �� ����� ��������� (� �� ����� &��� �� ���� ������� ���� �� �� #+����� � ���� �� ������� �� ����� 1�� 0��!� 6 �� & � � ����/ �� !&���� ���� �� �� ��� ������ ���� �� ���� �� @

��

�����A '6 & �(����

#���� A #�

� �!

��

�=#�

� >� � �

�=#�

���>�

�=FI>

��� �� �� �� ���� =F�> &���

* =�� > A�

�� =F2>

B ���� ���� #�� � ' ��� ��� "� 6 �� ���� �� "!&���" ��� ����� �� ��&�)� ��

�� � ��� ��� � � ����)6 ��� � ������ �� �)�� � �� @ �=�>� A ' ��� &���� �� � ������� � �=#�

� > ��� ���� ����� ��� � ��� ��� #�� 6 �� !&��� � ���� �� ��

�� ���� =F�> &���* =� > A �=> =G'>

5�0,1�� ������� � ���� �� ������ �� ������� ��$ � �� ����

#���� A

�#���� @ #�

���

�� !

��

��=#�

���>� �=#����>

�=G�>

��� � ���� ��� ( &���� � �� ���� ������ ���� =F�> () ��$���

* =#� � #���> A!

��=#� � #���> @

�=�=#�> @ �=#���>> =G�>

Page 16: Burgers Equation

�������� ������ �G

1��� I. � ��� ���!� � ������� �� �� ��� ������ ���� �� ���� ���,��� !&��� � ����

� ���� =F�> �� ��������&��� �� �������� ���� ������� ��& �� �� �� �����<0 ������� * � �� � �� �� �� <0 � ��� �� ��� �� �������� <�&� B 0! ��

* =O�� O�> A �=O�> �O� � � =G�>

?�� ������� �� �� ���� � ��� �6 �� ���� �� �� �&� ���� ��� �� * �!!�������� ������ ��� O�6 �� ��� �� * �!!����� � �=O�> �������)� 1�� ������� ��)�� ��� � �� ��� * � 5�!�����/ �������� ������� �� ��� �����(� � B ��)���� * �� 5�!�����/ �� O� �� �� � �� � �������� - � ' =&���� ��) � ! �� �� O���� ����

* =� >� �=O�> � - ��0 = � O� � � O� > =G�>

��� ��� � &��� � O� ��� � O� ��� ���) ������ B ��) ���� * �� �5�!�����/ �������� ������� �� �� �� 5�!�����/ �� � �) !�����

� !&��� <0 =FI> �� ������� �� ���� �� �� ���) �����J � =G�> ��� �� 5�!,�����/ �������� !����� � � �� 5�!�����/� �� ���� ��� ( ���&� ���� 5�0,1�� ������� <0 =G�> �� ������� ���

� � ����� ������ � � �(�� ��� �� J��� ��� �� � 5�0,B ����- � ����

#���� A #�

� � !

��

��=#�

���>� �=#����>

�=GF>

@!�

����.����

��=#�

���>� �=#�� >��.����

��=#�

� >� �=#����>

��&� � .���� �� �� � ������� �� � ����� � ��

�=#�

� @ #����>� � �����)

&��� ���� ���� �� ���� �� � ��� � �������� �� � ������� 6 ��� �� ��� 0! ���� �� � ���� ��� � ����� ���� ���) � �� ������� �=�>�

* . /�����0 �������& � �(�� ��������� ��� ��� ���� & ��� ��! �� ���� ���) �!!��0���� ����������� & �$ �������� �� �� ���� ������� ��&

Page 17: Burgers Equation

�������� ������ ��

() ���� � ���� ������ � �����

������� � ���� ��� ��������� �������� ������� � ����� �������

�� ) A �� �� � � �� ���� ���� ������� !�� �� � ' � ) ��� ��� #�=�� �> ������ ���

�������� ����������� �������� ���� ���������� �� ����������� ������

�� ��� ��� ����� ������� ��� #� ��������� �� ������� � � ) � �� �� ���

����� ��� ������� ������ ���� �=�� �> �� ��� �������� � ��� �����������

���

B &��� ���� ���� & ��� ���� �� �� �� #� �� � �� �� �����&��� � �� .�� C� � � �) (��� � � � P A D�� /E D'� � E �� �� � �!�� 6

� �

#�=�� �>� �=�� �> ����� ' �� ) �� =GG>

��� �� �� �,���� �� � �� � � P6 �� & ��� ���!�) &���

#� � � ���� ' �� ) �� =G�>

�� B ���� ���� ���� ��� ��� � �� � �� �� � � ' ��� ����

�0 =#�=�� �>> � � �% �)) ' � � � �� ) A �� �� � � � =GI>

9 � �0 � ��� � �� ����� ��������� �������6

�0 => A �!

�����

=��>� =����> =G2>

&� � �� �!� �� �� ��$ � �� � ��� �(��������� �� �� � �� ��� �� A �� ��� � � � � � �� A �� ��� ���� ��� �� ����� �������� �� ( � J� � ����!!����� �������� ��� � �� �� �� ���%���� � !����(� � J����� ��

�0 => A ��� �!���

� �

��

=�> � =�� �> �� =�'>

�� �� ��- � �����( �� � ���� � �� � ��

�0 => A

� �

��

�=�> �� =��>

���� 7�� ( ���� �� D�E

��� �� �� � �� � ��� ������ ���� & �$ �������� �(���� � �� ���� ���,� � ������) �� ����!) ���������� 1�� ��� �� ����� � �����6 �� �� !����(� �����& ���� ���� ��� � � � ��!! �. B � �� �� ����� ������� #� �� � J� � !� � &�� �������� ������� Q��=�� ��> ��� �� � � � ����� � ������ ���

Page 18: Burgers Equation

�������� ������ �I

( ���� � 0����) �� � � ����� ��� ��� ���� ( ��� �� ������� ���� Q��=�� ��>�� !� � &�� ��������6 ��� � �� � J� � � � � �� �� 3� ���� !��(� ��� � 0��� �������6 ! �� �� ��� &� � &�� � ���� � ���(����� 3� ���� !��(,� �� ( ��� �� ��� ����6 �� �(���� � () ���!�) !� ���� ��� �� � �� � 3� ������������� ��� &��� ( �� �� ! � � ���6 &� � A �!������� � �=�> � ���)� ���

!

�� �=#�

� > ��

��� � �=#�

� > ��

�!=��>

%�� � �(������� ���� ������� �� � �� ��� ���� D��� ����E & � J� �� �!,!��0���� ������� #��� �� ��� ���� () �� ������ ���� 0��� ������� �� ��� ����

#���� A

� ������

������

Q��=�� ����> �� =��>

� � ��� � �� �� � � � �� � J� � & !� � &�� �������� ���� Q����=�� ����>��� �� !��� �� � ! ����

?��� Q�� �� ���� � �� ( �� 0��� & �$ �������6 & $��& ����� ������

������

Q��=�� ����> �� A

� ������

������

Q��=�� ��> �� @

� ���

��Q��=������ �>

��� =��>

�� ���

��Q��=������ �>

���

+������� ( � �6 ���� =��>6 ��� ������ ���� Q��=�� ��> � #�� �� � �� � ��

=������ �����>6 ���� ������ � �� � ��

#���� A #�

� �!

�* =#�

� � #����>� * =#�

���� #�� >�

=�F>

&� � �� �� ����� <0 ������� * �� ��� � ()

* =#�� � #

����> A

!

� ���

��Q��=������ �>

��� =�G>

��� ���&� ���� R������� � ���� ��� ( &���� � �� ���� ������ ����� ��� ,�� �6 ��� ���� �� ��� ���� =�G> & � � �� ���!� �� ������� ( ��� Q�� ���������� �� �� !���� ����� �� � �� ��� ��� ���� =��� ����>� ��� �����&� ������ ����6 ���� �� ������� �� �� 3� ���� !��(� � �� ����� �� � ���������)�������� �������� ����� ��� ��) =� � �����>�� A 1% ��� ��

��� �� ��� ��� ��� ������� �� � ���� ������� �� � � �� ��� ��� ������������� ���� �� � � �������� ������� ��� ������� ���� ���� ���� ���� �� �� ���������� �� � ����� �� ��� ����� ��� ���� �� � ������� �� ������� ���� ���� �� � ����� ������ �� � � �� �� ��� ������ �� ��� ���� ���� � � �� ���! ��� ���� � �� ������� ����"���� #�� ���� ���� ���� ��� ����� ���� �� � ������ ���� � ��� ������ ���� �� ������� ���� �� ��� ��� � ��� �� ��� �� � �����

Page 19: Burgers Equation

�������� ������ �2

� �������� ��� �� Q�� ����� �� ��� � A ����� � ! ��� ���) �� �� ����#�� ��� #

���� ��� ���� 3� ���� !��(� �� �� & � ��� ���� ��� () �

�=#�� � #

����>6

�� � �� <0 =�F> � �� � ��

* =#�� � #

����> A �

���=#�

� � #����>

�=��>

��� R������� � ���� ( ��� �

#���� A #�

� �!

�����=#�

� � #����>

�� ����=#�

���� #�� >��

=�I>

��� ���� �� <0 =��> �� ������� �� &��� � ���� �� #�� A #�

��� � O� �� ���=#�

� � #����> A O� �� & ��� 5�!�����/ �������) �����&� ���� ������� �� �� � �

3 ���� �� 3� ���� !��(� � &��� ���� ��� ���

* =��� ��> A �=��=��� ��> =�2>

�� �� ���� 0 ��� �� � �� ��� ��� � ���� ��� ( ������ � �.

�� � �=��>� ��=��> � ' A� �� A ��

�� � �=��>� ��=��> � ' A� �� A ��

�� � �=��> � ' � � �=��> A� �� A �� �� D� E�D�E � ' �� �� A �� �� D� E�D�E � '

�� � �=��> � ' � � �=��> A� �� A �� =��������� ��� �������>

��� �� !�������� ���� �� 7�� � � ��� � �� �� ��� � ���� &� �� � �� ������� ��� ����$ �� � ��� �������6 ���� �� ��� �� �� �� �� ��� �� ��� � ��� � ������&� ���� ���� R������� � ���� &��� ����!),��������� 3� ���� ���������� � ��� � � ������) ���� �� �� ����!),��������� �� ����� ���������

�� �� ���) �� 7�� �6 �� ��������� ��� �������6 �� �� � ��� � �� ��� ��6 (� ���� ��� �� ���� ��� ��6 &��� �� !��! ��) ���� �

�=��> A '� ��� �� �� ��� �� � ��� &���� �� ������� ������ �! � �� / ��6 ��� �� ���� � �� ����� !�����

� ������� Q��=�� �> ��� �� � � � ���� �� ���� � �� ( � & �$ ������� ���� ���� ������� ��&� �� ��������� &� � ���� & �$ ������� �� ��� ��� 6 �� � ��) ( � � ��� ����� � ��� Q��=�� �>� +�- � �� ����� � ��) ��� ��- � �� ��� ��� ��=#�

� � �����> ��� � �� ��- � �� �� ����� ��������� R������� � ���� ��

���� ������ ��� ������� �� � ����� �� �� &��� ����� & ��$ � �� ��$ � � �� �� � �� ����!),������)��� & �$ ������� ��� Q�� �� ��� ��� �� !� �� D�E�� �� ���&� ���� R������� � ���� �����J � � ����� � � ����� �� �� ����!)���������� B �$ �������� �(���� � () R������� � ���� ������) �� ����!)���������6 !����� � & � ����!),������)��� 3� ���� ���� ���

������ � �� %���& � 5�0,B ����- � �� � �� � ��� ��) ��)������(�� &� �� � �� � ���� ���� �� �6 ���) �� � � � �� �� �!!��0�������� ���,� �� � �� � �� ����� �� � & �$ �������� � ������ ���� �� �� 6 & � ���� ���� �� ���(����)�

Page 20: Burgers Equation

�������� ������ �'

� ���(�� ���� #�=�� �>��=�� �> �� ��� & �� � J� � &� � �� & �$ �������� �� ��� ��� � ���� ��6 & � ��� �� ���(�� ���� �� �� �!!��0������� ()�� ������� ���� #�=�� �> �� �� � � �� �� & �$ �������� 2 6

2 A � . =�� �> �� � ��! �%)���% �% ��� 1% ��&���% )� � =I'>

� � ��� ���� ������� & � � � ����6 ��� 0��!� �� �,���� �� � ��� J��� ��� ��� ���� D'� � E6 � ��� � ()

��� A� �� =�� �> � �� =I�>

A� ��

����

=�� �> ���� � ���(�� ���� �� �� � � J� � ()

����=#��2 > A �����

#� � ��� =I�>

� ���� �� �� � ��� & &��� ��$ �� !��� ��$ � �� �����&��� ����. � #��� �������� �� �������� ������ �� ����������� ���� ���������� ���� ���

����������� ��� �� � ��� ������ �� ����� �� ���� ��������� ������ ����

����=#��2 >� ' �� ! � '

�� ��� � �� !��� � ���� �� �� � ��� �� �� �)! ������� � �(�� 6 & ���� J� �� �!!��!���� ������ �� "���(����)"� 1�� ������ �� !��(� �� �� !�����)���� � � �� !��� ���� �� �� �� ����������� � ���� ��!������ !��! ��)�� ���!��� � ��6 �� � ������ �� �� ����� �� � J���� ���(����) ��� !������ ���,� �� �� 6 �� �� �����&����

���������� � �� - �� � ���!��� � � �� ��� ���� � �!�� 6 �� � ��) ��,J��� � � �� �� � � ��� �� -6 �!�� !�� !�� � � ��6 �������� � �(� � �� &�������� �� � �� �� � � �� �� -�

� ���� ���� ���!���� �� ������ � �� 0��� �� �� ���� �� �� �(� ,� �� �6 ���(�� � &��� �� 5�0,B ����- � �� �6 &��� ��� � � ���� �� �� !���� �� �� �)! ������� � �(�� �

?��� & �� ��� � �� � �� !������ �� ���� �� �� �� � � � �� �� ��������#�=�� �>6 �� � J������ �� ���(����) &��� � ��� ���� ��� �� �������� �� &�������� ���!��� � � �� ��� ���� � ������� �!�� � 3 ��������� �� ��� ����� ���� ��� ��� ���� D'� � E6 �� ������ ������� �!�� �� �� �!�� (��� 6 ������������ ��� �������� �� � ��� � ��� &���� �� �� � ,���� =I�> �� J��� �

(��� A � . ������ ��� �� �� ��J��� ��� ������� �!�� ��� �� �� �� ��� ��� ���� �) �� �� �� �����!�� ����� � � ���!��� �(� ��

�� ��� � �� �(���� � ���!��� � � �� (�6 & &��� !� � (��� �� �� �������������� �� �� ��������6 � ������) ��� ��) � J� � �� =G2> ������ =��>� � � �

� � (� . �0 => � � � � 3�++=> � D���� E� =I�>

Page 21: Burgers Equation

�������� ������ ��

�� � ���!��� � �6 ��� ��) � � �� �� �������� &��� �������) (��� � �������������� ��� �!!��� ��� ������� ���� �� �� �(� � �� ��

?��� �� �� ����� �!!��0�������� #� �� �������� �� � ��� �6 & � � ��(��� �� ����� ��������� �� (��� �!�� ��� ��� � B � J� �� ����� ����������� � D'� � E ()

�0� =�> A ��� �!���

� �

� �

��

�=�@ �� �>� �=�� �> ����

@ ��� �!���

� �

� �

��

�=�� �@ �>� �=�� �> ���� =I�>

�� ��� ( ���&� ���� �� � �

- A �� � (��� . �0� =�> � � � � 3�++=�=�� �>> � D���� E �� � D'� � E� =IF>

�� � ���!��� � � �� (��� �

���������� ! B &��� ��) ���� � �� ����� � ���� �� ����� ��������� ���,(� 6 �� ���!�) �12�� %��6 �� ��� �!!��0�������� #� ��� ! � !� �� �� ��� J0 �� � �� �� ���� =I�> =&� � 3 ��� � ��) � ! �� �� �� ������� ���� �� ��� �� <0 ������� �=�>6 (� ��� �� !>�

��� ���� �� � ��� � �� �� =I�> ���� 3�++=�> ( �������) (��� � �� �D'� � E �� ��&�)� �����J � ��� ��) 0!����� � ���� �� �� ������� ���� �� ��� ���!����!!��� ��� !�� �� �������� �� ! � '� ��� �����&� ���� �� J��� �! � ��!��!������� �� � ��� � � �����

� ��� � � ��� � �� ��� �,���(����) ��� ( ���!��J � ������ ��(�) ()������ �� ����&��� �� �� �� ��� ��)� ���� ��� �� �! ���� ��� �� ��������� � ��� � () ���� ������ �� ����� � �����6 �� ��� � �� ���� ���� �� �� ,��� �������� ����� �������� �� ��� ��� �� �� �������) (��� � =��� ! �� ���� �>� *������ (��� �� �� �� �0� �� � �����&��

������� � 7����� � � ���� ������ � ���� &��� � 5�!�����/ ���������� ����� <0 * =# H "> ��� �!!�� ���� ��� ��� ������� ���� �� �� � 0������� !�� � � ' ��� ����

�0 =#�> � � � � ! ��� ! � !�� ! � � =IG>

� � �� � ���� �� �,���(� �

���� % !���� ��� ( ���� �� D�E�

B �� ��& �(� �� !��� �� ���� �� �� �� �� �6 &���� � ��� � �������������� ���(����) ����� &��� ������� ��)�

������� � ?!!�� #� �� � � ��� � () � �� ����� � ���� �� ���� �,������ ���� &��� � 5�!�����/ �������� �� ����� <06 ������� �� &��� ���

Page 22: Burgers Equation

�������� ������ ��

������ ���� ������� ��&� �� �� � ���� �� �,���(� 6 � � �� �0 =#�> �� �������)(��� � ��� ��� � ! &��� ! � !�6 ! � � 6 �� � �� � ���� �� ���� �� ��6 � �����=#��2 >� ' �� ! � '�

���� % !���� ��� ( ���� �� D�E�

B ��� L�� � � ���� �,���(����) �� � ������� �� ��� ���� ������ �� ��,��� � ���� �� ���� �� ������ ���� �� �� 6 �� �� � �� ���� ����=#��2 >�' �� ! � '�

C� ��) &�) �� ��� �,���(����) �� �� � ��� ���� �� ����� ���������( ������� ����� �� ��� ���� �6 �� ���� �� ����� ��������� �� ��) ��� �� ��,�����) (��� � () �� ����� ��������� �� �� ������� ����� � � ��� � �� ��� ���� �� �� � �) ��!������ ����� �� �+ � ������

���������� ! � �� ����� � ���� #���� A $=#�H "> �� ���� � �����

��������� ����������� =�((� ���� � �13> ��

�0 =#���> � �0 =#�> =I�>

��� ��� ���� �������� #��

�� ��� ( ���&� ���� �� �� ������� �� � ������ ���� ������� ��& ��� ���� �+ !��! ��)6 � � ��) & �$ ������� �=�� �> �����J �

�0 =�=�� ��>> � �0 =�=�� ��>> �%& �� � �� =II>

�� ���� & � ��� �� ��� �� � �� &��� ( ��!����(� �� � � ��! � �+ �� �,���� � ����� 9�& � �6 ���� �� �������� �� �+6 �� �� � ������( �� ��!�� ���� � ��� � �� �� �� �� ����� ������� �� & ��6 )� ����� � �,���(� ���� �� ���� �� �� � ����� % ��( � �� � �) ��� ���� �� ����� � ����� ��� ( � � � ��! � ���� ���� � ��� � ���

C� �����) �������� � &��� �� ����� �!!��0�������� �� ����������� ��,������ �� ���� ������������ ��) �!! �� � �� �� �����������)� �� �� ��� �!� �� ������� ���� !����(����)6 �� ������ � ��� � �� & ����� !��� �� � �� ��,��� � ���� �� ���� �� ( �����������) !� � ������ ��� � ��� ���� �� �� ����������� #�

� �� ������� �� � ������� �� L6 �� � �� ������� #�� ����� ��� ��

��� !��! ��) ��� ��� �� ��� � ��� �� !�������� ���� ������������ ������ ���� � �� ������ � !��!������� �����������)6 ���� 3� ���� ������� ���� �� ������� �1�� �+ � ����� & ��( ���� !��! ��)�

������� � %�) �+ � ���� �� �����������) !� � ������

���� % !���� ��� ( ���� �� D�E�

%�) & �$ ������� �� � ������ ���� ������ ��& �����J �

�=�� ��> �� �=�� �� � �%& �� � ��> =I2>

Page 23: Burgers Equation

�������� ������ ��

�� !��������6 �� �� �� �� ������� ���� �� ��� � A '6 �� �

�=�� �> �� �� � �� � ' =2'>

� � ��� =I2> �� �� ��� ��) & �$ ������� �� � ������ ���� ������� ��&� ��& � ������ �� ��� ����� �� �� ����!) ������� =&���� �� ��� > �� � =I2> ��� �! ���� ��� �� � ��� � � ��� � ���� �� �=�� �> ��� =�� �> �� (��� ����!)�������� �� �� ��� ������ ���� ������� ��& =(� &��� !����(�) ��- � �� �����������>6 ��� �� �� � � ��� ���!��� �!!��� =�� ���� �=�� �>� =�� �> �� � ������ �> �� �

�=�� ��>� =�� ��> �� �=�� ��>� =�� ��> � �%& �� � �� =2�>

��� !��! ��) �� ���� � (�2���� ���. � � �� ���������� �� �� �,���� ����� ���� �� B ��� � ��� =II> ��� =2'> () ��$��� =�� �> � '6 ����� �� �� ����!) ������� �� ��) ���� ������� ��&�

1�� ���� �������� # A �#�� =�� J0 � ��� 6 ��� 0��!� > & � J� �� �,���� ()

# �A �

������

#� =2�>

� �!�� )� �������� �� ��� ���� �������� ��� &���� �� �,���� �� J��� .

)� A �# . # ���� =2�>

��� ���� �� & 0� �� �� ���� ������� # �� � !� � &�� �������� �������Q� A #� ��� ��� ����� � � � �����6 �� �

# �A Q� � =2�>

7��� �� �)6 �� & ��$ � ������� �=�> ��� � ������ �� �� � ���� ������� # ()� ����� #� A O�� 6 �� � �� �� ��� 6 �� �

# �� � � =2F>

�� ������) �� �� (�,���������� !��! ��) �� � �� ������� �! �����6 & ��)���� � �� ����� � ����

#���� A $=#�H "> =2G>

�� )�,���������� ��6 ��� ��) �&� ���� �������� #� ��� 0 � ��� &���� #� � 0 �

��� ���!��� �!!���6 �� ���� �������� #��� ��� 0 ��� � J� � () =2G> ���0 ���� A $=0 �H "> ������)

#��� � 0 ��� �� #� � 0 � � =2�>

� ���� ���� )�,���������� � ����� �� ���� �� �� �����&� ���� �� � 0� �� �,� � ��� �� !� ���� � �����

Page 24: Burgers Equation

�������� ������ ��

������� � %�) )�,����������� �� ����� � ���� �� �+�

���� % !���� ��� ( ���� �� D�E�

%���� � � �� !��! ��) �� �� ����!),������)��� & �$ ������� �� �� ���,��&���. �� & ��$ �&� � �� �� ������� ���� �� ��� �6 &���

�=�> � ��=�> �� =2I>

�� � �� � �! ���� ����!) ������� �=�� �> ��� =�� �> ������)

=�� �> � �=�� �> ��� � =22>

� �� ����� � ���� #���� A $=#�H "> �� ���� � � �������� ������ �� ��

�������� !��! ��) �����.

0 �� � #�

� �" A� 0 ���� � #���

� �" =�''>

� !��� ���� � � ���� �� ������� 6 �� ��� � �� �� �$ ����

�#��

$=#�H "> � ' �%& �)) �� "� #� =�'�>

��� � ��� ���� �� & ���� �� �� ��� �� ��) #�� �� � �� ��� �� #���

������ � �� �� �� � � ����

������� ! %�) ������� � ���� �� )�,�����������

���� % !���� ��� ( ���� �� D�E�

� ��� ��/ �� � ������ ( �& � �� ��- � �� �)! � �� � ����� ������ � ��(�� 6 & ��� .

������� A� )�,���������� A� �+ A� ����������) !� � �����

4�� ���������� ������� �� ��� ( ���&� ���� ������� � ����� �� �� ���� J��� ��� � ������ � ��&6 & &��� ���) ��� "���� � �������" � ��,���� ��� � �� �!!�� � �� � ����� ���� �� �� � ��� � ���� ��� � ������ �������� �������� ��� ��� & �� � ���� �6 �������������) ������������ �� � ���� �� � ( ���� ��) ���� � ������� � ���� �� �� ��� �!� �� � � ���� ��,� � � ����6 (� �� �����) �� � ���� ��� ���� �� �� ����� �� �� ����������!����� �� �� � ���(������ �� � �����������)�

� (���� �� � �� ���5�2����� ������� �� �� � � ���/ R������� � ����() � !������ �� !� � &�� �������� � !� � ������� �� �� ������� () ��� ��� ������ � !� � �������6 ��) !� � &�� ��� ���

3 ���� ���� R������� � ���� ��� ( �� & � �� ���������� �� �� �����&������ �� !� =������� �� �� ��� �)!�����) ��!� � �� � ���� &�)>

"#$������ �

Page 25: Burgers Equation

�������� ������ �F

�� ���������& R�� � ���� �#�� �6 �������� � ������� Q��=�� ��>� =#� � ,

&�� �������� �� R������� � �����>

�� �����& ?��� �� ���� ������� ��& 0����) &��� ���� ���� �� �(���� Q��=�� ����>�

�� ���� ��& 7��!� � �� �� ��� � �� �� � ������ ������� �� �(���� #����

� � � ����/ ���� !��� �� 6 & � !��� ?� ! � () ��� ������ � �����������6��$��� ��� 0��!� �� !� � &�� ��� �� �������

Q��=�� ��> A #�� @ 4�� =�� ��> % ��� 1�)) D������ �����E =�'�>

9 � 4�� �� � ���! �� �� "�� � �� &���� �� (�� � �� �� ���� #�� ��� ����

��$��� 4�� A ' ��� ��� " ��� � ��� �� R������� � ����� � � �� �� ��� �� Q��=�� ��> ���� =�'�> �� � D������ �����E �� ��� �� #

��

��� ��) ����� �� 4�� � ?��� ?� !� � ��� � �� ���� ���� ������ 6 �� �� ����� ���� �� ���� ������ ��� ��) ����� �� 4�� �

1�� ������ �� !��(� �� & &��� � � ����) ��� ( �(� �� ! ����� ?� ! � 0,����)� � ���������� �� �� 0��� ������� Q��=�� ��> (�� � �� ������� 3� ����!��(� �� �� ���� � &��$� &� � Q��=�� ��> �� !� � &�� ��� ��� � &��� ���& � ���,�(� &�) �� �!!��0���� �� ������� ��� ��

� ���� ��� � ����� � ����� �� ��& �� & ����� �� ���! � 4�� KC� ���!� ����� �� ���! � ������)���

�0 =Q��=�� ��>> � �0 =#�> =�'�>

�� �� ��,���� � ����� ���5�6

4� A�

�5� 5%�=#��� � #� � #� � #���> =�'�>

&� � �� ������ ������� �� � J� � ()

5� 5%�=�� /> A

��

� �� � � / � � �/ � '/ �� / � � � � �/ � '' �� �/ � '

��� =�'F>

�� ��� �!���� �� �!!�) %�������� � �� � ������ �� !��(� �6 �� !�����!� �����) �� �� ?� ! �6 ���� & �)!�����) ������ ���!� �� 0��� ������� ���� ������ �� ������ &��� !� � &�� �������� ������� ����� 9�& � � �� � �� ������ &�)� �� �(���� �!!��0���� �������� &���� �� ��� ���) ������ ���� � ���� ��� � �������) ��� ( �������� ��

9 � � &��� !� � �� �� ���� �� � �� � ���!��J � ����6 �� � �� ����!�������� �� ���� �� ������� ��� ���� � �=�> �� � ��� ����� ���� �� � �� ���� �� ����� ��� �� � & &��� ��!�� �� ��� �� ! � ���������

!

���0 � �=#�

� > ��

�=�'G>

Page 26: Burgers Equation

�������� ������ �G

1��� 2. S�=�> �� � !� � &�� ��� �� �!!��0������� �� �� <0 �(���� � () ��,� �!������� �� �� ���� ��� �

B��� �� �(�� ����!����� �� �� ����6 & ��� � J� � !� � &�� ��� ��������� S�=�> () ��� �!������� �� ��� � =#�

� � �=#�� >> �� �� 2� B ��& � J�

S��=�� �> () ������� �� ���� ������� ��&

S�� @ S�=�>� A ' =�'�>

��� �� � � � ����6 &��� �� !� � &�� ��� �� ���� =�'�>� � ������� �� S��=�� �>

�� ������� � �� 1��� �'� � <0 �� ����� ������ ��6 (� �� ������ ����) ���( � ���� ����� � �� �� !����� #�

� � ?���$ ���� ��� ���� �) �� �� !����� �� 6(� ( ��� �� �� ��� �� ! � ��������� =�'G>6 �� � ����$� �� ��� � ��� �� � �� (�����) ����� �� ��� �� !� 9 �� & ��� ����) ���!� �� �� �����<0

* =#�H "> A�

!

� ���

S��S��=������ �>

��� =�'I>

%� �� � �� (�����) �����6 �� ������� ��� � �� ( �& � #�� ��� #�

��� ����� � � � ���� ��� � ��

S��S��=������ �>

�A �=#�

� > @�S��=������ �>� #�

�S�� =�'2>

&� �

S�� A�=#���>� �=#�>

#��� � #�=��'>

� ���� ������� ��& S�� @ S�=�>� A ' � �� � �� �� ��� ����� ������ S�� @S�� S�� A ' � �� ����� ��� ��

S�=������ �> A S�=����� � =�� ��>S�� � ��>

A #�� @

��

�� =�� ��>S��

�4�� =���>

Page 27: Burgers Equation

�������� ������ ��

1��� �'. �������� �� �� !� � &�� ��� �� ���� &��� �� ���� ������� ��& &���!� � &�� ��� �� <0 ������� S�=�>

1�����)6 ����� ���� =�'2>6 & ���!� �� �� ����� <0 =�'I> �� (

* =#�H "> A�

� ���

�=#�� > @

��

�� =�� ��>S��

�4�� ��

A �=#�� > @

�S��

��� !

�S��

��4�� =���>

��� ���� ������� & �� ��� ���� �� �������� ���� ������� ��& 0����)�� ?� ! � �� %�������� �6 & �� �(���� S�� �� �� 0��� ������� �� � ����J ����� ������� ��& ��� � �� S�� �� ����� ��������� ������������ ) ���� ���! ����� � ���� ����� � =�'�> & �(���� �� �� ���� � ���� ��� �� ������ �� ������!��(� � ���� �� �+�

��� �� ����� � ���� � ��� �� ������ �� ��� �������

� ������ �� ��� ������

�� @ �=�>� A ��� �=�> A�

���� � � '� � ' =���>

�� � !���(���� #+�� ?������� �� =���> ��&�)� �� ��������� & �������) ��� ���� =���> ���� ����� �� ����� ��� � &��� �� ������6

& �(���� � ������

������

�� ��� D��E������������

A �D�=�>E������������

=���>

Page 28: Burgers Equation

�������� ������ �I

�� ��� �� �������� �� D������ �����E �� � () �� � �� ��� �� �� �

�� A ��=�� � �> @ ��� =�=�>� �> =�� ��> =��F>

��� ��� ������� �=�>6 ����� � �=�> � ������ � ���� ��� �� ��������6�� � 0���� �� � ��� ���� ��� =�=�>� �> �� �� D������ �����E� � � ��� � ������

������

�� �� A��

��=�� � �>N�@6

�=N�>�

�� & ���� ���� ���� �� ��������6 �� �

��=�����> A�=����� �>� �=�� � �>

N�@6

�=N�>�

� � ����� ��� �� ������ =���> ��

A �D�=�>E������������ A ��=�=������ �>> @ �=�=������ �>>

?(�������� �� � 0!� ����� ���� =���> ��� �������� () N� )� ���

��

��=�� � �> � =������ �>

�=����� �>� �=�� � �>

=N�>�=��G>

@ =������ �>�=�� � �>� �=����� �>

=N�>�

A��=�=������ �>> @ �=�=�� � ���� �>>

N�@6=N�>

��& � � �#�=�>� � ��� �� � � �� �!!��0�������� �� �� �������� ��=�� � �>�6�(���� � () ���!!��� �� 6=N�> � �� �� =��G>� ��� � ��� ���� �� ���������#�=�>� �� � ��� � �� ������) �� �)�� � �� �������) ��- � ����� �������

�#���

� =������ �> =#��� � #�> @=������ �> =#� � #���>

=N�>�

A ��=#����> @ �=#����> =���>

%� � ���!�������� � ���� & ����� ��/ �� ��� � ������� �� =���> () ����&��� ��- � �� �� �(����

#���� � #�

N��

�����

�#=����� � #�

�@����

�#�� � #�

���

�=N�>�

A������� @ ������

N�=��I>

� �����(� #�� �!!��0���� � �=�� � ��>� �

���� A =������ ��>6 ������ A

�=������ ��> ��� �� ���

Page 29: Burgers Equation

�������� ������ �2

� 0!����� � ���� ��$ � �� ����

#���� A #�

� =��2>

@ N�

������

�#=����� � #�

�@����

�#�� � #�

���

�=N�>�

�������� @ ������

N�

1�� � �������� ������� ������ =��2> � �� � ��

#���� A #�

� @N�

��#���� � �#�

� @ #����

�=N�>�

�������� @ ������

N�

�=��'>

Page 30: Burgers Equation

� ������ �'

� �������

����#� � 7����� � �� �������� �� ��� ������� =�I> &��� ������� ����

��=�> A

�� '��F � � '��F��@ '�F '��F � � � '�F' � � '�F

��� =���>

�0��!� � ���&� �� ������� ������ !��! ��) �� � �)! �(���� ���� ������� ��&��� � �������� &��� �������� =�� ������> ������� ����6 � ����$ ������

1��� ��. ������� ����

1��� ��. � ��� ���!� � ������� �� ��� � A '�F ���� �� ���� ������ !&��� � ���� =FI>

Page 31: Burgers Equation

� ������ ��

1��� ��. � ��� ���!� � ������� �� ��� � A � ���� �� ���� ������ !&��� � ���� =FI>

Page 32: Burgers Equation

� ������ ��

����#� � 7����� � �� �������� �� ��� ������� =�I> &��� ������� ����

��=�> A

��� � � '��F'�� � � '��F

=���>

�0��!� � ���&� �� �� ��� ���!� � ������� �� ���� 3� ���� !��(� �� � ������ J��� ��- � �� � ���� =FF> ���!� � � ������� !��!������� &��� �&���� �! �� � ���� ������ !&��� � ���� =FI> ���!� � �� �!!��0��������� �� �� ��������

1��� ��. � ��� ���!� � ������� ���� � ������ J��� ��- � �� � ����=FF>

1��� �F. � ��� ���!� � ������� ���� �� ���� ������ !&��� � ����=FI>

Page 33: Burgers Equation

� ������ ��

����#� � 7����� � �� �������� �� ��� ������� =�I> &��� ������� ����

��=�> A

��� � � '��F'�� � � '��F

=���>

�0��!� � ���!�� � ��- � �� �� ����� � ����� ������� ���� 3� ���� !��(� �� � !&��� � ���� #���

� A #�� � �

��

�=#�

� >� � �

�=#�

���>���� �� �!!��!����

�� ��� �� ������� ��� !��(� �6 ( ��� �� ����$ ���� �� �� �� ������ � � �� �� ��< �� �� �� ��� � #�

� ��� �� � '��F6 ( ��� �

�=#�

� >� � �

�=#�

���>� � '

��� ��� �� � '��F� �� � ����$ &��� ���� � �� �� � ��6 �� ����� � � ��&�&���� ����6 � � #���

� A #�� � �

��

�=#�

���>� � �

�=#�

� >���

� !&��� � ���� � � �&� ��� � =#���� ��� #�

� > ��� �� ����������

�� #���� � � � ��� �� !&��� � ���� ��� ��� � �&� !���� �� ����� 5�0,

1�� ������� � ���� ��� ��� �� ��� !���� �� ����6 ( ��� ��� �� ���������� ��#���� 6 #�

��� ��� #���� �� � �� B��� ���������� � ���� ����� ����$6 �� � ����

�&� !��(� ��. 1����6 �� & ���!�� 5�0,1�� ����� &��� �� !&��� � ����6 �� J��� !��� �� �

�=#�

��� @#����> ���� � �� � #

�� � ��� �� ���� ��� ������ ��������6

(� � ��� �� ��� �� ����� �� ��� ������������ �� ? ����6 ( ��� �� �� ��� !���� �� ���� ���� #�

� � �� �� �� ����$ �� ����� �� �� �� J��� ��� �� ! �� J���!���� � �� �� �� ����$ &��� ����� �� � ��& � ��� � �� �� � 0� ��� �� ! �� � ���� ��� � �� �� �� ������� ����$ ����� � �� � ��& � ��� � ?����� ! �����&� ����� �� ��� ( �� ������ ���� 5�0,1�� ����� � ��� �� ��� �� ����� ������� �� �� ����$6 ��� ���� �� ��� � � �� �� �� ����$ ���� ����� 6 ���!�� �&��� �� !&��� � �����

R������� � ���� ���� ��� ��� � ��� !���� �� ����� 7����� ���� �� ���,����) �� � �� ������ �� ��- � �� �� �� !&��� � ����6 &���� �� �� �� �� & ���$ �� �� � J������ �� R������� � �����

? ���� ��� � � �����6 ��� �� 5�0,B ����- ��� ����������) �!!��0���������� ���������� ��������� ��� ��� ( ����) �� ������ ���� �� ��� �!� �������� %�������� �� 3 ����������� � !� � &�� ��� �� ������� Q��=�� ��> A #�

� @

4�� =��O�� > ��� �� � � � ���� &��� ���! 4�� A

������

� �� �� "�� � ��6 ������� �� �)! �(���� ���� ������� ��& �� �(���� Q��=�� ����> � ��� N� ��� �� 1�����) & ��, ��� ���� ������� �� � ��� ���� � �� �� �(���� #���

� A �

���Q��=�� ����>��� *�

D�E �� � ���� ���� !��� �� �� ����� �� �� 5�0,B ����- � ����� 7����� �5�0,B ����- � ���� �!!�� � �� !� � &�� �������� ����� 7������� ���! � �� ��� ���� � �� ��� � �� !� � &�� ��� �� ������� ���&� �� �G=�>� � �������Q��=�� ��> ��� �� �� ������� B� � & ������ ���� !��J� ��� �� � ���!� �� �� ��� �� � �� 7 �� � ��6 & &��� � � � ��� ���� �� �� �� � �� � �� ���������� � �� �� � 0� ��� �� ! ���� �� ������ &��� ( ��� ���� �6 &��� �� � ��7 � � & &��� ��& ��� � !������ ���! 6 � ����� �� � ��� ���� �� � �� ���� �� ��� ����������� �� � ���&� &��� ��� �

� ���! !��!�� � ( ��� &�� (�� � �� �� ����!���� ���� �� ������� ��������� � �� � �����������) �� � �� �� � ���� �� ( �� � ���� ���������� �������! &��� ��!��� �� �������)� �� �� �� �� ����� �� �� ����� ���!�)�����������������6 �� � & ��� �����) �� ���! �� �� 7 �� � ��� C� ���� � �������

Page 34: Burgers Equation

� ������ ��

1��� �G. =�> R��� ��� � #� ��� � �������� � Q��=�� ��>� =(> %�� � ����������� ��� �� ���� ���& �� � & � �� �� ��� � #���� ��� �� �� �������

� ����6 �� ���! ����� � � ���� ���&� �� ��!��� � �� &���� ��� ( ������ ����� � ����J � ���! �

Page 35: Burgers Equation

� ������ �F

1��� ��. � ��� ���!� � ������� ���� �� !&��� � ���� =FI>

1��� �I. � ��� ���!� � ������� ���� 5�0,1�� ������ � ���� =G'>

Page 36: Burgers Equation

� ������ �G

1��� �2. � ��� ���!� � ������� ���� R������� � ����

1��� �'. � ��� ���!� � ������� ���� 5�),B ����- � ���� =G�>

Page 37: Burgers Equation

� ������ ��

1��� ��. � ��� ���!� � ������� ���� � 9��� 3 ������� � ���� , ?��! ����� � � ����

Page 38: Burgers Equation

� ������ �I

����#� � 7����� � �� �������� �� ��� ������� =�I> &��� ������� ����

��=�> A

������ ' ' � � � '��F��� � '��F � � � '�F���@ � '�F � � � '��F' '��F � � � '��F

������� =���>

�0��!� � ���&� �� ������� �� ��� �� �� ������ ���� ���� R�������� �����

Page 39: Burgers Equation

� ������ �2

1��� ��. �������� �� ��� ���� R������� � ����

Page 40: Burgers Equation

� ������ �'

����#� � 7����� � �� �������� �� ��� ������� =�I> &��� ������� ����

��=�> A

� ' � � � �' �)��

=��F>

�0��!� F ���&� �� ������� �� ��� �� �� ������ ���� ���� R�������� �����

Page 41: Burgers Equation

� ������ ��

1��� ��. �������� �� ��� ���� R������� � ����

Page 42: Burgers Equation

� ������ ��

����#� ! 7����� � �� �������� �� ��� ������� =�I> &��� ������� ����

��=�> A

'�� � � '��F��� � � '��F

=��G>

�0��!� G ���&� �� � � ��! � ��� ������� &�� �� ��� �A'�F ���!� � &�����- � �� � ������

1��� ��. 3�� ������� &�� ���!� � &��� R������ � ����

Page 43: Burgers Equation

� ������ ��

1��� �F. 3�� ������� &�� ���!� � &��� 5�0,B ����-�� � ����

1��� �G. 3�� ������� &�� ���!� � &��� � ���� � ������� � ���� , ���! ����� � � ����

Page 44: Burgers Equation

� ������ ��

����#� % 7����� � �� ������ �� ��� ������� =���> &��� ������� ����

��=�> A

��� � � '��F'�� � � '��F

=���>

�0��!� � ���&� �� ���!� � �������� = A '�'� ��� A '�''F> ���� ��� ����� � ���� ��� !���(���� #+��� � ����� � �� ( �� � �� �� �!!��0,������� �� �� �������� �� ��� ������ =(���$ ��� >�

1��� ��. ?������ �� �� ������ �� ��� ������ ��� �&� ��- � �� ��� � �� ='�'� ��� '�''F>

Page 45: Burgers Equation

� ����� ��� �F

� ����� ���

������ ���������� �� ����������� ���� �� ������������������������������ ������������ �� ������������������������ �� � ������� �� ��������� �� ���������� �� ��������������������������������� ��������������� �� ����������������� �� ����������������� ������� �� ������������ �� �����!��� �� �����!��������� �� ��"�#��������������������� �� ���$%�&�'()*��� �� ���������������������������������������� � �� ��������� � �� ����������%����%��� �� ��������������� �� ��������������)�������

�������� ���� ����

��� �� ����� %'+�++)

��� ��� ������� ���� ��������

��� �� ��������������

��� ��� ����

��� ������ �����

������ ���������������,�� ������ ������ ������ � �������� �� ��� ��!� �� �� !� �� -�����. ������������ ��������� ������ � ������

�� �����

������+�+� ./����� � ������ ��� -012314 3506,78/.������+�+� .7�!� �� ��� �� !� �� �!� -����� �������.����+�+� ������������������

�� ������������������� %35% .!.� ���������������*

����� ������������������� %35% .�.� ����������+�+� .9�� ������ � ������ ����� �� ���.������+�+� . � ����� ������ �������� � ������.������+�+� . ) ������ ������.������+�+� . $ :� ;������ � ������.������+�+� . & 2�����! ������.������+�+� . ' :� 9������� ������.������+�+� . < =��� ��������� > ���� ������� ������.����+�+� ������������ ����������� %/3% � %6/�% ���������� %/3% ) %6/�% ���������� %/3% $ %6/�% ?

? ���������� %/3% & %6/�% ���������� %/3% ' %6/�% ���������� %/3% <� ����������+�+� .�� !��� ��� ����������.���

��������������+�+� .�� !��� ��� ������������������.���

�����

�� ���� ��

�� ������� ��

Page 46: Burgers Equation

� ����� ��� �G

�� � ������ ��

�� ������� ��

��� ������ ��������������

��������� ���� ���� ���������� �� ����

���������������������.�����%.�����������+� ����������+� �����������+� �����������+� ���������������+� ����������������������+� ������ ����������� %35% *� ����������+� � ����������

��� ������������� ��������>������ ������������� ����������������� ��������� ����������>���

�����!��>������!����% @�����!

�� ������������>��+��>�+�����!��

������� ���������!��������A��>����

�����

���������>�+�����!���������������+ ������������

��� ��������� ����

��������� ������� ���� ���������� �� ����������+�+� .7����� ��.������+�+� . ��� ���� ������ ��.������+�+� . �� �� # ������ ��.������+�+� . ��� ���� ���� ������ ��.������+�+� . ��� �� # ������� ����� ��.������+�+� . � � ����� ��� ������.����+�+� ���������

�� ���������� %35% .�.� ����������%����%�������@&�����@)�� ���������

����� ������� ���>�����A���

����� ������� �������A�����A�

Page 47: Burgers Equation

� ����� ��� ��

����� �����>�������A��� @ ������A��>�������A���������� �����A���>�����

����� �> �����>�����A��� @ ����>������>�����A��������

����� ���������� %35% ..� ����������%���%�������@&�����%)���� %&�� ���������

��������������� �������A���

�������������

����� ���������� %35% .�.� ����������%���%�������@&���� %&�����%)�� ���������

��������������� �������A���

�������������

����� ���������� %35% .�.� ����������%���%�������@&�����@)�� ���������

����� %)'������� �������A�����A�

����� %)' > �����>�������A���+ %)'@������A��>�������A���������� �����A)��

����� �����

����� ���������� %35% . .� ����������%����%�������@&�����@)�� ���������

����� %������� �������A�����A�

������������� �����A)��

����� �����

���������+�+� .�� !��� ��� ��������.���

�������� ��������� �������

��������� ������� ���� ���������� �� ����

����������������������.������%��.������.��������.���������.������.�����.��#����.��� ������������������+� ����

�����

Page 48: Burgers Equation

� ����� ��� �I

��� ��������� �������

��������� � ������ ���� ���������� �� ������ ����� �������������� ���������� %35% %���%� ����

�� ������� ������������������>�����>�����A���>���������>�����A������������A�������A������

����� ����������� %/3% <� �����������)���������>��

������� ����������� %35% <� �����������$���)����$���������>)����>������>)�

����������

���������������%���%

�������

�� ����������� %35% �� �� ��������������� � ���� ����������� %35% )� �� ������ ���� ����������� %35% $� �� ���������� � ���� ����������� %35% &� �� ������! ���� ����������� %35% '� �� ����������� ���� ����������� %35% <� �� �������������� ���� ����������� %35% *� �� ������ ��

�������� ��������� � ������

��������� ��������������� � ���� ���������� �� ������ ��)���������������> ������������+��������+���������>�������>���

�������� ��������� ��������������� �

��������� ������ ���� ���������� �� ������ ��)���������������> ������������+� %'+���������++)�> %'+��������>��++)��

�������� ��������� ������

��������� ���������� ��� ���������� �� ������ ��)��>������ %'+��������>�� A �������A��� > %'+ ������������+ �� ��������A��� > ���������>��� �

�������� ��������� ���������� �

��������� ������!�� �����

Page 49: Burgers Equation

� ����� ��� �2

����� �� ����

� �� ����� ������ � ������ �����>��� ���������������� %23% %6/�% �������������A��� %23% � ��������������� ���������������� %:3% %6/�% �������������A��� %:3% � ������������A���� ���������������� %23% %6/�% �������������A��� %:3% %6/�% ?

? ����������A���>������������@��������A��>��������� %2,% � ��������������� ���������������� %23% %6/�% �������������A��� %:3% %6/�% ?

? ����������A���>������������@��������A��>��������� %:,% � ������������A���� ���������������� %:,% %6/�% �������������A��� %2,% � ����� ������ �����������������

�����

�� ��)��>��������������> ������������+������� ���������>������ ��������>���

�������� ��������� ������!

��������� ������ �� ���������� �� ������ ��)��>�������� %'+������������A���������>���������� %'+������������A���������A�����������������A ������������+� �+��������A��>)+��������A�������>���@������ > ?

? ������>������� �� ? ������������>���������>���� ������

��� ��������� ������

��������� ����������� ���� ���������� �� ������ ��)��>��������������> %'+ ������������+� �� �������A�� � > �� �������>��� � A %'+ ������������++)+ ?

? � ������ %'+���������A�������A��� � + ����������A��� >��������� ��� > ?? ������ %'+���������A�������>��� � + ����������� � >���������>���� �

�������� ��������� �����������

��������� �������������� ���� ���������� �� ����

� � ������ ������ � ������ ��)��>�����������A��>���������)���������>�������>���� � ����� %:,% ���)� %6/�% ���+�)� %2,% � ����������� � ���)� %:,% ����� %6/�% ���+�)� %2,% � ��������)�� � ���+�)� %:3% � ������� �����@������+�������� � ���������A��>��������� %2,% % �� ����

����������������A���>������������@��������A��>������������

������ ����������� ��������������������� A %'+�����+��> ������������+������+������+���

�����

�� ��$��>)����� �������� > ������������+������� ���������>������ ��������>���

�������� ��������� ��������������

Page 50: Burgers Equation

���������� F'

���������

D�E 3������ 4� 5 � � 6 �� ����� � ����� �� 7��� ������� 5�&�6 ��$�8�� �6�22'

D�E 7���� � %� 9��� : ����� %� #��������6 �� ����� %���)��� �� #������+�- � ����� ��������6 #� ���� ,9���6 �22'

D�E 3������ 4� 5 � � 6 ������ �� 7��� ������� 5�&� ��� 1���� ���� � ����� ��� %����!�)����� 1��� 1��&6 ���� ?���,1 %����� � 7��� 5 ��� ��� �6 ?!���� �,� ����6 �22I