B OQUE 3-1. C RCUITOS ELÉCTRICOS EN CORRIENTE CONTINUAL I 1. Leyes de Kirchhoff Nudo: Se llama nudo a la unión de dos o más conductores en un circuito Malla: Se llama malla a cada uno de los posibles caminos cerrados posibles en un circuito a)Ley de los nudos : “ La suma algebraica de las intensidades que concurren en un nudo de una red es igual a 0”

gnos: do : Signo +

Ejemplo: Da idad que circula por el cable 4

signando los signos como hemos dicho anteriormente

A - 2 A + 1 A + I4 = 0 => I4 = - 2 A su sentido es saliente

3 A 1 A 4

Adoptaremos el siguiente criterio de si- Intensidades entrantes al nu- Intensidades salientes del nudo : Signo –

do el siguiente nudo de una red, halla la intens A_y aplicando la ecuación arriba descrita obtenemos: 2A 3Luego el valor absoluto de I4 es de 2 A y b) Ley de las mallas: “ La suma algebraica de las tensiones proporcionadas por la uentes de una malla

a mejor manera de entender la aplicación de la segunda ley es con una ejemplificación como la que gue.

l siguiente circuito. Hallense: a) Intensidades de malla

ma A-B, IAB s las intensidades reales

cias absorbidas o generadas por las a de las potencias consumidas por las resistencias

5Ω

4V 7V

as intensidades usaremos flechas en linea continua ientras que para dibujar diferencias de potencial usaremos flechas en linea discontinua.

∑ =++⇒= 0...210 InIIIi

s fes igual a la suma algebraica de los productos R . I en la misma malla”.

LsiEjemplo: Dado e

b) Intensidad por la rac) Halla y representa todad) Tensiones VAB y VCD e) Potencias comprobando que la suma de las poten

fuentes es igual a la sum

C A D 3Ω 4Ω

1V 2V 23V 6V 2Ω 1Ω B Antes de empezar notemos que para la dibujar l

∑ ∑= ).( IRVi

mRecordemos que en las flechas de tensión la cabeza indica el punto de mayor potencial de entre los dos considerados

a)Lo primero que haremos será pintar las intensidades de malla. No son intensidades reales sino un artificio. Por convenio las pintaremos siempre a derechas (sentido de las agujas del reloj).

Si a lver, el resultado sale po que está bien pintada, si sale negativo es que el sentido es el cont rio al dibujado.

ién las flechas de tensión sobre las pilas. Recordemos que la cabeza de la flecha a en el polo positivo

A D 3Ω 4Ω

5Ω

4V 7V

de tensión coincide idera positiva; en caso contrario se considera negativa.

+1.(I1-I2) => -8=6.I1-I2-1+23-7=4.I +5.I +1.(I -I ) => 21=-I +10.I2

uación

.I1+80 => 59=-59.I1 => I1=-1A

e que I1 sale negativo, luego estaría mal pintado. Pasamos ahora a pintarlo bien y quedaría omo sigue.

C A D 3Ω 4Ω

5Ω

4V 7V

B

l reso sitivo es ra

Deberemos pintar tambv C

1V

23V 2V I1 6V I2

2Ω 1Ω

B

o siguiente que hacemos es plantear el sistema. Obsérvese que las pilas si su flecha Len sentido con la intensidad de malla se consObsérvese también que la resistencia de 1Ω afecta a ambas mallas (está atravesada por I1 por un lado e I2 por el otro). 2-6-4=2.I1+3.I16 2 2 2 1 1 Despejamos I2 de la primera ecuación -8=6.I1-I2 => I2=6.I1+8 Sustituimos en la segunda ec 21=-I1+10.(6.I1+8) => 21=-I1+60 Y obtenemos I2 I2 = 2A Obsérvesc

1V

23V 2V 1A 6V 2A

2Ω 1Ω

b) Calculemos ahora la intensidad por la rama AB. Para ello aplicamos la ley de los nudos

ijándonos en lo obtenido en el apartado anterior podemos calcularlo facilmente

lido positivo, la IAB está bien pintada y efectivamente entra en el nudo.

on la intensidad

2 A

D Ω

5Ω

4V 7V

B

ello pintaremos el tramo indicado, así como la flecha de nsión a hallar junto con las flechas de tensión de las pilas y de las resistencias ( de valor R . I de

3A

B

F 1 A 2A

IAB 1-2+IAB=0 => IA- B=3

Como nos ha sa c)Pintaremos ahora las intensidades reales explicando lo siguiente: En los tramos en los que sólo hay una intensidad de malla, la intensidad real coincide c-

de malla. -En los tramos donde hay dos intensidades de malla, hay que hallarla mediante la regla de los nudos como hemos hecho en el apartado anterior. Por tanto obtendremos

1 A C A 3Ω 4

1V 2V 23V 6V 3 A 2Ω 1Ω

) Pasemos ahora al cálculo de tensiones. Paradteacuerdo con la ley de Ohm y siempre en sentido contrario a la intensidad). Si los sentidos de las flechas de las pilas y/o resistencias son iguales que las de la tensión a hallar pondremos signo positivo, en caso contrario pondremos signo negativo. Notemos que si el resultado sale negativo NO hay que darle la vuelta a nada, sólo indica que hay menos tensión en la cabeza de la flecha que en la cola. VAB =+6 – 3.1 = 3V A

VAB 6V 3 .1 1Ω

VCD=-1.3+1+2.4=6V

1 A 2 A

D 1V

as potencias disipadas por las resistencias se recomienda alcularlas por la fórmula I2.R

a

C A

3Ω 4Ω 1 . 3 2 . 4 VCD ) Por último calculamos las potencias. Le

cLas potencias de las pilas se deben calcular por la fórmula Vpila . I haciendo la salvedad de que si lflecha de Vpila y la de la I que la atraviesa tienen el mismo sentido la pila generará potencia y pondremos signo +; en caso contrario absorberá potencia y pondremos signo -. POTENCIAS GENERADAS POR LAS PILAS POTENCIAS ABSORBIDASPOR LAS

RESISTENCIAS P1= 4V.1A = 4W Pr1=12. 2=2W P2 = -2V.1A=-2W Pr2=123. =3W P3=6V.3A=18W Pr3=32. 1 =9W P4=-1V. 2 A=-2W Pr4=22.4=16W P5=23V.2A=46w Pr5=22.5=20W P6=-2V.7A=-14W Total= 50W Total=50W

. Mallas de c2 orriente continua con condensadores omo ya sabemos los condensadores en corriente continua no dejan circular la corriente por lo que en

de la rama que posee los condensadores a efectos Ccualquier red con condensadores podemos prescindirdel cálculo. 3. Circuitos puente Puente de W- heatstone: Un puente de Wheatstone es un circuito que sirve para conocer el valor de una

el valor de otras dos resistencias fijas y usando un reostato. Se necesita también un

C B

.22.10.2 =⇒=−Dividiendo miembro a miembro las s igualdades tenemos que:

resistencia conocidosamperímetro. Una vez colocado el sistema como vemos en la figura, ajustaremos el reostato R3 hasta que el valor de la corriente que circula por el amperímetro sea cero, con lo que el potencial V será igual al potencial V . Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a las mallas ABC y BCD

RxIRIRxIRIRIRIRIRI

2.13.21.103.21.1 =⇒=−

do

3.2.1321 RRRxR

RxR

RR

=⇒=

Luego se deduce que cuando el pùente de Wheatstone se encuentra equilibrado el produ de dos resistencias ctoopuestas es igual al producto de las otras dos. -Puente de hilo: Es similar al puente de Wheatstone pero n este caso se usa sustituyendo a R1 y R2 un r

B R3 Rx

D

A I1

R2

I2

R1

C

A

e eostato de m r a 0. anera que moviendo el cursor podremos llega

a equilibrar las tensiones y que el valor del amperímetro se

En este caso como sLR

′= .1 ρ y como

sLR .2 ρ=

33 ..... RLRLRL=

′ρρ

´LR

ss xx =⇒

. Teorema de superposición

4

i en una red existen varios generadores la intensidad de corrient es s que producirían los generadores actuando independientemente, es decir

Se obtiene que:

I´´2=2,4A I´´3=6A y por tanto

a de T

L

2=ρ.L/s

R3 Rx

A

R2

R1

L´

R1=ρ.L´/s R

S e que circula por una rama cualquiera igual a la suma algebraica de lasustituyendo los demás por sus resistencias internas.

4 2

6

4 2

6

4 2

6 36 32,4 36 32,4

I1 I3 I´2 3 I´´1 I´´2

I2 I´1 I´ I´´3

I´1=6A I´2=-2A I´3=4A I´´1=3,6A I1=9,6A I2=0,4A I3=10A 5. Teorem hevenin

En una red con dos terminales a la que está conectada una resistencia R, la red, desde el punto vista de R se

to abierto.

ulando todos los generadores

puede sustituir por un generador de fuerza electromotriz Vo y un a resistencia Req en serie siendo: - Vo la ddp entre los terminales cuando estos se dejan en circui- Req el valor de la resistencia equivalente entre dichos puntos an(cortocircuitando los de tensión y abriendo los de intensidad). Veamoslo con un ejemplo:

R1 R3

r R2 R

a

A

I

b B

ε

R1 R3

r R2

A

a

ε

b B

Para hallar Vo, calculamos VAB

Como R3 está en circuito abierto, VAB=Vab Es evidente que: VoR

rVab == 2.

)RR ++ 21(ε

R1 R3

r R2

a A

b B

Para calcular Req

Se obtiene que:

212).1(3Re

RrR

RrRRq+

++=

+

Y por tanto desde el punto de vista de la resistencia R podemos simplificar el circuito como:

212).1(3Re

RrRRrRRq

+++

+=

2.)21(

RrRR ++

εR I

Con lo que es evidente ya calcular la intensidad que circula por la resistencia:

( )212.13

2.21

RrRRrRRR

RrRRI

+++

++

++=

ε

5. Teorema de Norton En una red con dos terminales a la que está conectada una resistencia R, la red, desde el punto vista de R se puede sustituir por un generador de intensidad Io y un a resistencia Req en paralelo siendo: - Io la intensidad de cortocircuito que circula entre los terminales de R al eliminar ésta y sustituirla por un conductor. - Req el valor de la resistencia equivalente entre dichos puntos anulando todos los generadores (cortocircuitando los de tensión y abriendo los de intensidad). Veamoslo con un ejemplo:

R1 R3

r R2 R I

b B

R1 R3

r R2

b B

a A

Para hallar Io, cotocircuitamos AB

I*

R1 R3

r R2

a A ε

b B

Io

a A ε

Para calcular Req

Se obtiene que:

212).1(3Re

RrRRrRRq

+++

+= Y por tanto desde el punto de vista de la resistencia R podemos simplificar el circuito como:

El valor de Io se halla cortocircuitando Ay B y aplicando la ley de Ohm y el divisor de intensidad:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

322.

323.2132

2.*RR

R

RRRRRrRR

RIIo ε

R212).1(3

RrRRrRR

+++

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

++ 322.

323.21 RR

R

RRRRRr

ε

I

1. Halla las corrientes que faltan en los siguientes nudos 2.Plantea las ecuaciones de malla en los siguientes circuitos

d) 5A 4A 3A 1A 7A 6A

c) 5A 2A 2A

b) 1A 4A 5A 2A

a) 3A 2A 7A

5

35

4V 2V 4V

5V 2V 3V

8V 14V 8V 10V

12V 14V 6V 10V

2 2

1

2

3

5

2

1

5

1

37

3

2

14

2

3

3

4

1

12

3V 2V 4V

5V 2V 3V

6V 4V 8V 10V

10V 4V 6V 10V

2 1

1

1

1

5

1

3

1

1

66

3

3

4

2

2

1

1

3. Halla las intensidades reales en los siguientes circuitos:

I1 I2 I1 I2 I3 I3 I4 I4

I1=4 I1=-1 I2=-9 I2=-9 I3=7 I3=8 I4=-6 I4=-6

I1 I2 I1 I2 I3 I3 I4 I5 I4 I5 I6

I1=2 I1=-1 I2=-3 I2=-3 I3=5 I3=-5 I4=-9 I4=-7 I5=2 I5=4 I6=10 4. Halla las intensidades reales en los siguientes circuitos:

5 11

6V

4 2

9V

12V

13V

30 V

12 V

4

29 V

15 V

5

13V

8

3

12V

6V

9V

4 2 3

15 V

2 2

4 3

3

1

44V

112V

108V

80V

16 5

1

1

2 4

6V

5V

30V 28V

5. Halla las potencias suministradas o consumidas por las pilas, y las consumidas por las resistencias de los circuitos del ejercicio anterior

3 4 2

1 2

3 6

8V

10V

26V

6V

110V

6. En el circuito de la figura, halla la tensión VDC por cuatro caminos distintos

4 2

1

1

5 16

40V

54V

56V

22V

A B C D E F

7. Halla la tensión VAB en el siguiente trozo de circuito y el valor de I y su sentido (píntala en el circuito): º

4

2 A

5 2 1

4

3

65 40 6 8 9

3 A 5 A

Intensidades reales (flechas verdes)

A

65

I

B8. Dado el siguiente circuito, se tienen los siguientes datos: -La intensidad por la rama AB es de 6 A (hacia abajo) -La intensidad de malla I1 es de 10 A en el sentido de las agujas del reloj -La pila V1 nos indican que tiene una potencia de 2400 W -La pila V4 nos indican que tiene una potencia de –160 W -La pila V3 tiene una potencia de –600 W

D 120 V A V4 C V3 I1 I2 V1 R2 10 R3 B

100V Rellena la siguiente tabla de resultados.

I2 V1 V3 V4 VAB VDB VCD R3 R2

9. En el siguiente circuito se conocen las intensidades reales (flechas verdes que hemos pintado como ). Halla el valor de las pilas V1 y V2 y el valor de la intensidad que circula entre las dos mallas que hemos llamado I. Las tres cosas se pueden hacer independientemente. Para resolverlo plantea las ecuaciones de malla, y recuerda que si sabes las intensidades reales sabes las de malla (azules). Además el cálculo de I es independiente del cálculo de V1 y V2. .

V1 V2 I

2 4

3

4

1

3

V1

V2

5 6

I

2A

3A 2A

3A

2A 3A

10. Calcúlense las corrientes de malla del circuito mostrado en la figura. Halla las intensidades reales por las ramas ab y cd. Calcula la tensión Vab por cuatro caminos distintos. A C 4Ω 6Ω 75V I1 5Ω I2 I3 12V 13A B D 11. En el circuito mostrado en la figura, halla que resistencia tomará una corriente de 5 A cuando se conecte entre los terminales a y b. 5Ω 6Ω a 100V 20Ω b

12. En el circuito de la figura, calcular: a) Tensión en bornas de cada resistencia. b) Potencia en cada generador. c) Potencia total disipada por las resistencias. (PAEG)

13. En el circuito de la figura,

n bornas de cada

s resistencias. (PAEG)

s R2 y R6.

están expresadas en hmios(PA )

ohmios. (PAEG)

y R4.

ias R1 y

ia total disipada por las resistencias. (PAEG)

calcular : a) Tensión eresistencia. b) Potencia en cada generador.

por c) Potencia total disipada la

lcular : 14. En el circuito de la figura, caa) Intensidad que circula por las resistenciab) Potencia de cada generador. ) Potencia disipada por cada resistencia.c

R1= R2= R3=R4=R5=R6= 5 Ω(PAEG)

lcular: 15. En el circuito de la figura, caa) Tensión en bornas de cada resistencia. b) Potencia de cada generador. c) Potencia disipada por cada resistencia.

as resistenciasLo EG

16. En el circuito de la figura, calcular : a) Tensión en bornas de cada resistencia. b) Potencia disipada por cadaresistencia. c) Potencia de cada generador.

as resistencias están expresadasLen

lcular: 17. En el circuito de la figura, caa) Tensión en bornas de las resistencias R3 b) Potencia de cada generador. c) Potencia disipada por cada resistencia. Las resistencias están expresadas en ohmios(PAEG)

18. En el circuito de la figura, calcular : a) Intensidad que circula por las resistencR6. b) Potencia de los generadores V2 y V3. c) Potenc

19. En el circuito de la figura, calcular : a) Tensión en bornas de las resistencias R2 y R3. b) Potencia de cada generador. c) Potencia disipada por cada resistencia. Las resistencias están expresadas en ohmios. (PAEG)

20. En el circuito de la figura, calcular : a) Intensidad que circula por las resistencias R2, R3 y R5. b) Potencia disipada por las resistencias R1, R4, R6 y R7. c) Potencia de cada generador, indicando si genera o consume energía. R1=2Ω, R2=5Ω, R3=3Ω, R4=6Ω, R5=1Ω, R6=2Ω, R7=1Ω V1=12V, V2=8V, V3=10V, V4=9V(PAEG) 21. En el circuito de la figura, calcular: a) Intensidad que circula por las resistencias R2 y R3. b) Potencia disipada por cada resistencia. c) Potencia de cada generador, indicando si genera o consume energía. R1=2Ω, R2=1Ω, R3=3Ω, R4=2Ω R5=1Ω, R6=6Ω, R7=2Ω, V1=15V, V2=10V, V3=10V, V4=12V(PAEG)

22. En el circuito de la figura, calcular : a) Intensidad que circula por las resistencias R2 y R4. b) Potencia de cada generador, indicando si genera o consume energía. c) Potencia total consumida en las resistencias. R1=2Ω, R2=5Ω, R3=3Ω, R4=1Ω, R5=4Ω V1=10V, V2=2V, V3=12V, V4=8V(PAEG)

23. En el circuito de la figura, calcular : a) Intensidad que circula por las resistencias R2 y R5. b) Potencia de cada generador, indicando si genera o consume energía. c) Potencia disipada por cada resistencia. R1= 5 Ω, R2= 10 Ω, R3=6 Ω, R4=7 Ω, R5=10 Ω, R6= 8 Ω V1=12V, V2=6V, V3=2V, V4=2V, V5=5V(PAEG) 24. En el circuito de la figura calcula: a)Tensión entre los nudos A y B b) Intensidad que circula por cada resistencia c) Potencias en las resistencias y los generadores indicando si son absorbidas o generadas (PAEG)

25.Calcula aplicando el principio de superposición las intensidades que circulan por cada una de las ramas de la red de la figura

4 2

1

1

5 16

40V

54V

56V

22V

A B C D E F

26.Calcula por medio del teorema de Thevenin la intensidad I que circula por la rama de la figura I

10

3 2

2 2 12V 4V

27. Usando el teorema de Thevenin calcula la resistencia que habrá que insertar entre A y B para que por ella circule una carga de 4A.

5 6

20

28. Calcula usando el teorema de Norton la intensidad I que circula por la rama indicada en el circuito de la figura.

A B

100V

I

10

3 2

2 2 12V 4V

29. Calcula usando el teorema de Norton que resistencia habra que insertar entre A y B para que circule por ella una corriente de 4A.

5 6

20

A B

100V