103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X "...

236

Transcript of 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X "...

Page 1: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� ��������� ����� �� ������������������������! #"���$%�&�

')(+*�(-,/.103234

5 47698;:-.<8=0�>@?BA+>DCECDF

Page 2: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

Page 3: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� �����������

� �� �������������� ������ ��! "� #%$'&)('*,+ - - � - � - - � . - � - � - - � - � - . � - - � - � - - � - /�! � 0.132!4,5,+6 - - � - � - - � . - � - � - - � - � - . � - - � - � - - � - 7�! 98 :<;�=>13$@?BAC('DE&GF,1H; - - � . - � - � - - � - � - . � - - � - � - - � - 7�! JI KL$"M,&N;�1PORQS4T;U=>$'2EM,+WVX2!(@Y!&G*[ZP$"=H\]:^;�=>13$@?

AC('DE&GF,1H; - � - � - - � . - � - � - - � - � - . � - - � - � - - � - _�!�` a���bEcedf hgji��Tb!��� �Xk

�X "� lm&)nTM,$@=>$"2!Mh2Eo�pR&Gq)=H2!1rVX5T;Eq)&s - � - - � - � - . � - - � - � - - � - _�e8�X "�E "� tu1H2�=>2E=wv�5,$"qN;E(LO%?�;Exy5,('&W � - - � - � - . � - - � - � - - � - _�e8�X "�E � AzVX&)qG2!M,*^O%?�;Ex{5�('&| - � - - � - � - . � - - � - � - - � - _�NI

�X � }~;E+H$"q.tu1H2!5�&G1�=>$'&)+P2Eo�pR&)q)=H2!1rVX5T;Eq)&G+� � - � - . � - - � - � - - � - _�NI�X 98 VX4,F,+35T;EqG&)+� � - � - - � . - � - � - - � - � - . � - - � - � - - � - _����X JI VX4,xy+r;�M,*�lm$'1H&)q)=rVX4�x{+P2Eo�VX4,F,+35T;Eq)&G+m - � - . � - - � - � - - � - _�e��X �� O�?X&)1HqG$"+H&)+� - � - � - - � . - � - � - - � - � - . � - - � - � - - � - _���

k �����������N��d��L�T��a-��bEcedf hgji��Tb!��� �X�8� "� ��\,&�VX5T;EM�2Eo%;{K�$'+�= � . - � - � - - � - � - . � - - � - � - - � - _�e78� � KL$"M,&N;�1��wM,*,&G5�&GM�*,&GM,q)&6;EM�*�=H\,&���2!M,qG&)5�=W2Eou}�;E+H$"+< - � - � - - � - �E�8� 98 O�?X&)1HqG$"+H&)+� - � - � - - � . - � - � - - � - � - . � - - � - � - - � - �!�

� �������S�, B�� ��T���)��df �����c���d���� `��I, "� lm&)nTM,$@=>$"2!M,+�;EM�*<O%?�;Exy5,('&)+ - � - - � - � - . � - - � - � - - � - �!�I, � �.&)1HM,&)('+W;EM,*[�wx{;ED!&)+� � . - � - � - - � - � - . � - - � - � - - � - �E/I, 98  r;EM�¡h;EM,*�¢r4�('('$@=wv£Ar5,5,("$'&G*h=H2£:^;�=>13$'qG&)+� � - . � - - � - � - - � - ¤8!�I, JI tR132U¥3&Gq¦=>$"2!M,+ - � - - � . - � - � - - � - � - . � - - � - � - - � - ¤8��I, �� }~;E+H&)+C;�M,*^��2X2!13*,$'M,;�=>&-:<;U=>1H$"qG&)+ - � - � - . � - - � - � - - � - ¤8��I, 9� :<;�=>13$'q)&G+W;E+PK�$'M,&G;E1���1>;EM,+�o�2!1Hx{;�=H$'2!M,+§ - � - . � - - � - � - - � - ¤8!8

8

Page 4: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

I �������������

I, 9� ��\T;EM�D!&�2�o�}~;�+H$'+^ � - - � - � - - � . - � - � - - � - � - . � - - � �8!�I, J/ O%?X&G1Hq)$'+3&G+6 - � . - � - - � - � - - � . - � - � - - � - � - . � - - � �8!7

� �md��� ���d�����T��� ����X @� AC("D!&GF�1>;E+ - � . - � - - � - � - - � . - � - � - - � - � - . � - - � ¤I,��X � ��\,&-AC("D!&GF,1H; 2Eo�t�2!("v�M,2Ex{$';E('+� - � . - � - � - - � - � - . � - - � ¤I 8�X J8 KL;ED!1H;EM,D!& �wM =>&)1H5�2!( ;U=>$'2EM� - � - - � . - � - � - - � - � - . � - - � ¤IS��X I t�2E("v�M,2!xy$ ;E(��w*,&N;�('+� - - � - � - - � . - � - � - - � - � - . � - - � ¤IS��X 9� O%?X&G1Hq)$'+3&G+6 - � . - � - - � - � - - � . - � - � - - � - � - . � - - � �X�

� �h�ScN�� U����L�T��c�� ����� @� lm&)=H&G13x{$"MT;EM =W#T4,M,q)=H$'2!M�+ - � - - � . - � - � - - � - � - . � - - � �!�

�� @�! J8 ��� K�$'M�&N;E1~Ar("=H&G1HM,;�=>$"M,D #T4,M,q)=H$'2!M�+ � - - � - � - . � - - � �E/�� @�! 9� A lm&¦=>&)1Hxy$'MT;EM =W#T4,M,q¦=>$"2!M�����\,&�K�;�5,( ;Eq)&

O%?X5T;EM�+H$'2EM� - - � - � - - � . - � - � - - � - � - . � - - � �E7�� � t�&)1Hx64X= ;�=H$'2!M,+����rM,$"Q�4�&GM,&)+H+C2�o�lm&¦=>&G13x{$"MT;EM =>+� � - � - . � - - � ����

�� �X @� A #T2!13x64,(';�o�2!1~=>\,&-lm&¦=>&G13x{$"MT;EM = � - - � - � - . � - - � ������ J8 AC*�*,$"=H$'2!MT;�(jtu1H2!5�&G1�=>$"&G+P2Eo%lm&)=>&)1Hxy$'MT;�MS=H+ � - - � - � - . � - - � ��!�

�� J8� @� ��o�� $'+P; 4,M,$@=P$'M������ �"!$#,=>\,&)M^*,&¦=%���&!~$'+P; 4,M,$@=P$'M'� � � ��!��� J8� � ��1H$';EM,D!4�( ;E1~:<;�=>13$'q)&G+� - - � . - � - � - - � - � - . � - - � ��!��� J8� J8 ��1>;�M,+H5�2!+H&)+r - - � - � - - � . - � - � - - � - � - . � - - � ��!��� J8� I Ou("&Gxy&GM = ;E1�vh P2eZ)(m5�&)1>;�=H$'2!M�+ � - � - - � - � - . � - - � �� ��� J8� 9� ��1H$';EM,D!4�( ;E1�}�('2�q ¡h#T2!1Hx � . - � - � - - � - � - . � - - � �� ��� J8� J� ��\�&���(';E+H+3$'qG;E(jAC*�¥32!$'M =W;EM,*[=>\�&�KL;E5�( ;Eq)&.O�?X5T;�M,+H$"2!M - � ��!/�� J8� J/ ��\,;E1>;Eq¦=>&)1H$'+�=>$"q.t�2!(@vXM�2!x{$';E(�2�o�; K�$'M,&G;E1W:<;E5 - . � - - � �X��� J8� J7 ��2�&+*yq)$'&GM =H+W2�o�=H\,&���\T;E1>;�q)=>&)1H$"+3=>$"q-t�2!(@vXM�2!x{$';E( . � - - � �X��� J8� @�!�z��\�&���2Ex{5T;�M,$'2!M�:^;�=>13$@?[2Eo%; t�2!(@v�M,2!xy$ ;E( � - . � - - � �E8�� J8� @�e8���\�&��~;Nv�('&¦v,�.-C;�x{$"("=>2EMB��\,&G2E1H&Gx � - - � - � - . � - - � ��I�� J8� @�NI ��1H;Exy&G10/ +P P4,('&{ � - � - - � . - � - � - - � - � - . � - - � �E�

�� I lm&G&)5�&)1W W&)+H4,(@=>+�ZP$"=H\<V�2!x{&.Ar5,5,('$"qN;�=H$'2!M�+21� - - � - � - . � - - � �E��� I, @� }�('2�q ¡h:<;�=H1H$"qG&G+�ZP\,2E+H&�}�('2�q ¡S+W��2!x{x�4�=>& 1 � - . � - - � �!��� I, � ��&GM�+H2!1Wtu1H2�*,4,q¦=>+W2Eou:^;�=>13$'qG&)+21 - � - - � - � - . � - - � �E/�� I, J8 ��\�&��~;�4,q \ v3�w}�$'M�&)=r��\,&G2!13&Gx�wA VX5�&Gq)$ ;E(jpR&)1H+3$'2!M41 - - � �E7�� I, 9� ��\�&�:^;�=>13$@?3�w��1H&)&-��\�&G2!13&Gx 1 � - � - - � - � - . � - - � �/���� I, @�e����\�&��~;�4,q \ v3�w}�$'M�&)=r��\,&G2!13&Gx5��A 0 &GM,&)1>;E(jpR&)1H+3$'2!M41� - � �/!8�� I, @� �¤��\�&�0 &GM�&G1>;�(LK�;�5,( ;Eq)&.O%?�5,;EM,+H$"2!M41 - - � - � - . � - - � �/ ��� I, @�NI lm&¦=>&)1Hxy$'MT;EM =H+0#T W;EM,¡S+W;EM,*�K�$'M,&G;E1POuQS4T;�=>$"2!M,+ 1 . � - - � �/!�

�� 9� O%?X&G1Hq)$'+3&G+6 - � . - � - - � - � - - � . - � - � - - � - � - . � - - � �7!8

Page 5: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�������������� �

� � iu�S U�Xcedf �� �T�����G�����, U���,��chg��%�)i��Tb!��� � ��X "� OR$"D!&GM Y�;E("4,&G+P;EM�*<Ou$'DE&GM Y!&)q)=>2E1H+ - - � - � - . � - - � - � - - � - ¤7 ��X � �r5,5�&G1.�w��1H$ ;�M,D!4,(';E1�:<;U=>1H$"qG&)+� - � - - � - � - . � - - � - � - - � - ¤7 ��X 98 �wMSY�;E13$ ;EM =rVX4�F,+H5T;�qG&G+r2Eo% W&G;E(�pR&Gq¦=>2!1rVX5,;EqG&)+ � - - � - � - - � - ��N����X JI �~Z�2£��2!xyx64�=>$"M,D K�$'M,&G;E1�(m5�&)1>;�=H2!1H+ 1 - � - . � - - � - � - - � - ��N� �

�X �� ��2!x{x�4�=>$"M,D #f;Ex{$"('$"&G+�2Eo (m5�&G1H;�=>2!13+21 - � - . � - - � - � - - � - ��N�!��X 9� ��\,&-#f4�M,*T;Exy&GM = ;�(���\,&G2!13&Gx_2Eo�AC("D!&GF�1>; 1< - . � - - � - � - - � - ��N�!7�X �� O�?X&)1HqG$"+H&)+� - � - � - - � . - � - � - - � - � - . � - - � - � - - � - ��E�e8

� �G�����S B�- �d�����bEchg�i��Tb!��� �f� �/� "� �wM,M,&G1Wtu1H2�*,4,q¦=>+ - - � . - � - � - - � - � - . � - - � - � - - � - ��E���/� � ( 1�=>\,2EM,2!1Hx{;E(�}~;E+H&)+ � . - � - � - - � - � - . � - - � - � - - � - �� ��I/� 98 ( 1�=>\,2ED!2!MT;E(jtR132U¥3&Gq¦=>$"2!M�;EM,*<:^$'M,$"x{$ �N;�=H$'2!M . � - - � - � - - � - �� �E�/� JI KL$"M,&N;�1P#f4�M,q)=H$'2!MT;�('+�;EM�*�Ar*U¥32!$"MS=H+] - � - � - . � - - � - � - - � - ��N8!�/� �� ��\,&- r;Nv�('&)$'D!\�tu1H$"M,qG$"5,('& 1 � - � - - � - � - . � - - � - � - - � - ��N8 �

/� 9� O�?X&)1HqG$"+H&)+� - � - � - - � . - � - � - - � - � - . � - - � - � - - � - ��N8 �� � iu�S U�Xcedf �� d����G���L�� £�� �d�����bEcBg�i��Tb!��� ��k��

7� "� VX&G(@o �wAC*�¥32!$'M =�(m5�&G1>;U=>2!13+ - � - � - - � - � - . � - - � - � - - � - ��N8!77� � ¢r2!13x£;E( (m5�&)1>;�=H2!1H+. - � . - � - � - - � - � - . � - - � - � - - � - ��GI 87� 98 lm&GqG2Ex{5�2!+H$@=>$"2!MB2Eo% W&G;E(L¢r2E1Hx{;E( (m5�&G1>;U=>2!13+� . � - - � - � - - � - ��GI �7� JI t�2!+3$"=>$@Y!& (m5�&)1>;�=H2!1H+ � . - � - � - - � - � - . � - - � - � - - � - ��GI 77� �� �w+H2!xy&)=H1H$'&)+¤ � - � - - � . - � - � - - � - � - . � - - � - � - - � - ��e�X�7� 9� ��\,&-t�2!(';E1Plm&Gq)2!x{5�2!+3$"=>$"2!My � - � - - � - � - . � - - � - � - - � - ��e�!�7� �� ��\,&�VX$'M,DE4,( ;E1.��p�;E("4,&mlm&)qG2!xy5�2!+3=H$"=>$"2!M - � - . � - - � - � - - � - ��e�!�

7� ��� 98 �~Z�2£O%?�;Exy5,('&)+ - � - � - - � - � - . � - - � - � - - � - ��N���7� 9/ tR+3&G4,*�2!$'M Y!&)1H+3&G+ ;EM�*^K�&G;E+3=CVXQS4T;E13&G+ 1 - � - . � - - � - � - - � - ��N�EI7� 97 ¢r2!13x{++#Tlm$'+�= ;EM,q)&.;EM,*<:^2!13&-2EM^K�&G;E+3=CVXQS4T;E13&G+ 1 - � - � - - � - ��N�!77� "�N� O�?X&)1HqG$"+H&)+� - � - � - - � . - � - � - - � - � - . � - - � - � - - � - ��e�!�

�����[��b!d���iud��N� c���d������.� ���������S�, �� iu�� ���cNd� ������e�� @� t�2eZ�&)1H+r2Eo (m5�&G1H;�=>2!13+ . - � - � - - � - � - . � - - � - � - - � - ��e�!��e�� � ��\,&.AC('DE&GF,1H;E$'q-:^4�("=>$"5,('$"qG$@=wv 2Eo�;�M

OR$"D!&GM Y�;E("4,& � - � - - � . - � - � - - � - � - . � - - � - � - - � - ��e�E7�e�� J8 OR("&Gxy&GM = ;�13v (m5�&G1H;�=>$"2!M,+� - � - � - - � - � - . � - - � - � - - � - ��N/ �

�e�� I ��1H;EM,+3o�2E1Hxy$'M,D ¢W$'('5�2E=H&GM =W:<;�=H1H$"qG&G+ � - � - . � - - � - � - - � - ��N/EI�e�� 9� A����E2!1H*,;EM<#T2!13x��6o�2E1P W&G;E(L:<;�=H1H$"qG&G+ - � - . � - - � - � - - � - ��N/ ��e�� J� O�?X&)1HqG$"+H&)+� - � - � - - � . - � - � - - � - � - . � - - � - � - - � - ��N7EI

Page 6: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� �������������

�f��� ��ce U���������bEc���d���� 1 ���f��!�! @� (m5�&)1>;�=H2!1P¢r2E1Hxy+r;�M,*^:<;�=>13$@?h¢r2!13x{+ 1 - � - - � - � - . � - - � ��e7!7�!�! � t�2E("v�M,2!xy$ ;E("+~$'M[;�M<Ou('&)x{&)M = ;E1�v �E2!1H*,;EM^:<;�=>13$@? 1 - � - . � - - � �E� �

�!�! J8 VXqG;E( ;E1P#T4,M�q)=>$"2!M,+�2Eo%;{:<;�=>13$@? 1 � . - � - � - - � - � - . � - - � �E�EI�!�! I§VXqG;E( ;E1P#T4,M�q)=>$"2!M,+P;E+Wt�2!("v�M,2!xy$ ;�('+21 - � - � - - � - � - . � - - � �E�!/�!�! 9� t�2eZ�&G1mVX&G13$'&G+ 1 - � - - � - � - - � . - � - � - - � - � - . � - - � �X�e��!�! J� ��2!xyx64�=H$'M,Dy:<;U=>1H$"qG&)+ 1 - � - - � . - � - � - - � - � - . � - - � �X�e��!�! 9� Az:<;�=H1H$@?hlm$���&G13&GM =>$';E(jOuQS4T;�=H$'2!M 1 . - � - � - - � - � - . � - - � � �X��!�! J/ O%?X&G1Hq)$'+3&G+6 - � . - � - - � - � - - � . - � - � - - � - � - . � - - � � �E8

��` �G��%��� ce�]�[���������G��d��L�T�Ra-��bEcedf hgji��Tb!��� 1 `f`��� �X @� t%;�13=>$';E('(@v (m13*,&G13&G*<VX&)=H+ ���2!1HM / +WK�&Gxyx£; 1 - - � - � - . � - - � � �!�� �X � }~;E+3&G+Po�2!1~pR&Gq¦=>2!1rVX5,;EqG&)+21 � - - � . - � - � - - � - � - . � - - � � �E�� �X J8 A ��\,&G2E1H&Gx_2�o�tu\,$"('$'5 -r;E('( 1 - - � . - � - � - - � - � - . � - - � � �!�� �X I A ��\,&G2E1H&Gx_2�ou:<;�1H+H\,;E('( -r;E('( # �E1) 1 - � - � - - � - � - . � - - � �E8!�� �X 9� O%?X&G1Hq)$'+3&G+ 1 � . - � - - � - � - - � . - � - � - - � - � - . � - - � �E8 �

Page 7: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � ��� ����� �

� ������ u� ��� ���

�����������������������! "��#�$%��&'�

��\,$'+~F�2�2!¡ $'+�$'M =>&)M,*,&G*{=>26F�&C4,+3&G*[;E+�;�=>& ?�=~o�2!1�;�+H&)qG2!M,*h+3&Gxy&G+�=>&G1�2EoL('$"M,&N;E1;E('DE&GF,1H; &)$"=H\,&G1W;�=P=>\�&-+3&GM,$"2!1P2!1~nT13+3= � v!&G;E1 ��D!1>;E*�4T;�=>&-('&¦Y!&)( R��=W$'+�ZP1H$@=H=>&)M�o�2E1~v!2!44,M,*,&)1�=>\�&h;E+H+34,xy5�=>$"2!M�=H\T;�=�vE2!4 ;E("1H&N;�*�v \T;NY!&h+34,qGq)&G+H+�o�4,('(@v�q)2!xy5,('&¦=>&G*;�nT13+3=qG2!4�1H+H& $"M ('$'M�&N;E1£;E('D!&)F,1>; ;�M,* ; n,1H+3=[q)2!4,13+H& $'M§;EF�+3=>1H;Eq)=�;�('D!&)F,1>;� z��\,&]nT13+3=+H\,2E13=~q \,;E5�=>&)1�$"+~;-YE&G1�v£QS4,$"q ¡y13&)Y�$'&¦Z§2Eoj=H\,&CFT;�+H$'qrx£;U=>&G13$ ;E(XZP$"=>\{ZP\,$'q \£vE2!4h;E13&+H4,5�5�2!+3&G*h=>2�F�&Co�;�x{$"('$ ;�1G L��o�=>\,$"+�x{;�=>&)1H$';E(f('2�2!¡S+�M,&¦Z #�=>\,$"+�=H&¦?�=�$'+�5,1H2EFT;EF,(@v{M�2E=ZP1H$@=H=>&)M£o�2!1Rv!2!4� ( My=>\,&r2E=>\�&G1�\,;EM,* #X$"o�vE2!4Bx{;E*,&r$"=�$'M =>2�D!1>;�*,4T;�=H&r+3q \,2X2E( #Sv!2!4x64,+�=u\T;NY!&W;E("1H&N;�*�v6;�qGQS4,$'13&G* +32!x{&�FT;Eq ¡SD!1H2E4,M,* $'M xy2X*�&G1HM6;E('D!&)F,1>;X %t�&G1H\,;E5,+�;E('(v!2!4�M,&G&)*6$'+�=H2C+H5�&GM�*6;r("$"=3=>('&�=>$'xy&�ZP$"=H\�vE2!4,1�4,M,*,&)1HD!1H;E*,4T;�=H&�=H&¦?�=>+�1H&¦YX$"&)ZP$"M,Dr=H\,&x{2E+3=.FT;E+3$'q o�;Eq¦=>+-;EF�2!4�=-&GQS4,$@YE;�('&GM�qG& 1H&)( ;�=H$'2!M,++#�D!1H2E4,5,+0#�x{;�=>13$@?<qG2!xy5,4�=>;�=>$"2!M,+0#1H2eZ|13&G*,4�q)=>$"2!M =>&)q \,M,$'QS4,&)+0# ;�M,* =>\,& FT;E+3$'q�q)2!M,qG&)5�=>+[2Eo�('$"M,&N;�1£$'M�*,&G5�&GM,*�&GM,q)& #+H5T;�M #f;EM,*�FT;E+3$'+P$'MB=H\,&.qG2!M =>& ?�=C2Eo�( �

( M =>\�&{2E=H\,&G1.\T;�M,* #L+H2!xy& 2Eo�v!2!4 ZP$'('(�F�& 13&N;E*�v�o�2E1.;�xy2!1H& ;�*�Y�;EM,qG&)*;E5 �5,1H2!;Eq \£=>2-=>\,&Wx{;�=>&)1H$ ;�(TqG2eY!&)1H&G*h\�&G1H&W=>\T;�M{Z�&mqN;EM ¥34,+3=H$"o v x{;E¡S$'M,D�;�5,;E13=�2Eoj=H\,&qG2!4�1H+H&� [#T2!1 =>\,$"+�13&N;E+32!M��m\,;eYE&£$"M,qG("4,*,&G* +H2Ex{&y+3=>;E1H13&G*�+3&Gq¦=>$'2EM,+�=H\T;�=-x£;Nv F�&+H¡S$'5�5�&)*�ZP$"=H\,2!4�=-*,$"+3=>4�1HF,$"M,D^=H\,&{DE&GM,&)1>;E(�)T2eZ¤2Eo�$"*,&N;�+0#�F,4�=�=H\T;�=�x{$"D!\ =.F�&y2Eo$'M =>&)1H&)+3=C=H2£+32!x{&.+�=>4,*,&)M =>+G r��oux{;�=>&)1H$ ;�(�o�1H2!x�;y+3=>;E1H13&G*<+3&Gq¦=>$'2EM]$'+P&)YE&G1mq)$"=H&G*<$"M; ( ;�=H&G1�+H&)q)=H$'2!M #,=H\T;�=P+3&Gq)=H$'2!M[ZP$'("(�M,&)qG&)+H+>;�1H$'(@v[;E("+H2 F�&.+�= ;E131H&G*�

#f2E1�=>\,&Px{;�=>&)1H$ ;�(XZ�&W*�2�q)2�YE&G1�$'M *,&¦= ;E$"( #EZ�&P\,2!5�&P=H\T;�=uvE2!4yZP$"('(�n,M,*{2E4,1u5,1H&$�+H&)MS=>;�=>$"2!MB=>2�F�&C=H\,2!132!4,D!\[;EM�*h2!4,1�5�1H2�2Eo�+�=>2�F�&mq)2!xy5,('&¦=>&m;�M,*hqG("&N;E1) �-r2eZ�&¦Y!&)10#ZP\,&GM^Z�&�$'M,*,$"qN;�=H& =>\T;�=PvE2!4]+H\�2!4,('*[Y!&)1H$@o v^+32!xy&)=>\�$'M,D o�2!1Pv!2!4�1H+H&)("o.#T=>\,;�=Cxy&N;�M,+v!2!4�+H\�2!4,('*[4,+3&.5T;E5�&G1P;EM,*�5�&GM�;EM,*[ZP1H$@=>& 2!4�=�=H\,&.;E5,5�1H2!5,13$ ;�=H&m+3=H&G5,+W$'Mh*�&)= ;�$'(

( M�&�x£;�¥32E1%*,$ ��&)1H&GM�qG&�F�&)=wZ�&G&GM v!2E4,1u4,M,*,&)1HD!1H;E*,4T;U=>&�('$"M,&N;�1�;E("D!&GF,1H;r=>& ?�=�;EM,*�

Page 8: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

/ ������� �������������� ������.�������.�

=>\�$'+u2!M,&P$"+�=>\T;�=uZ�&W*,$'+3qG4,+3+�;EF�+3=>1H;Eq)=RYE&Gq)=H2!1R+H5T;�qG&G+�2eY!&)1�;E13F,$"=H1>;E1�v�nT&)('*,+R$"M,+3=H&N;E*2Eo�1H&G+�=>13$'q)=H$'M,DW2!4,1�*,$"+HqG4�+H+H$"2!M�=H2r=H\,&�+�= ;EM�*T;E1H*�+H5T;Eq)&�2Eo � � =>4,5,("&G+�2EoT13&N;E(SMS4,x6F�&G13+G A +H&Gq)2!M,* *,$ ��&)1H&)M,qG&�$'+L=>\T;�=�=>\�&�&Gxy5,\T;�+H$'+�$'+�2!M�('$'M�&N;E1�=>1H;EM,+�o�2!1Hx{;�=>$"2!M,+jo�132!x 2!M,&Y!&)q)=H2!1m+H5,;EqG& 2eY!&)1m=>\,&�nT&G("*���=H2h;£+H&)qG2!M�* 2EM,& #j1H;�=>\�&G1r=H\T;EM�2!M�x{;�=H1H$'q)&G+W2eY!&G1� �-r2eZ�&¦Y!&)10#�;6D!1H&G;�=�*,&G;E(j2Eo�=>\�& D!&GM,&)1>;E(�=>\,&)2!13v£qN;EM[F�&m& ��2!13=H('&)+H+H(@v£=H1>;EM,+3( ;�=H&G*$'M =H2y13&G+34,("=H+r;�F�2!4X=Px£;�=H1H$"qG&G+)

����� �����! #"�$

��\,&-nT&G("*,+r2�oux{2E+3=rqG2!M,q)&G13M]$'M[=>\,$"+W=H&¦?�= ;�1H&.=>\,&�qG2!xy5,('& ?�MS4,x6F�&G1H+�% #f=>\,&-1H&G;E(MS4,x6F�&G13+ ( #m=>\,& 1>;U=>$'2EMT;E(CMS4,x�F�&)1H+'& #m;EM,*§=>\,&�nTM,$@=>&�0.;E('2!$"+{nT&)('*,+)(*���,+ !$#ZP\,&)1H&-+£$"+m;B5,13$'xy&�5�2eZ�&)1G -�wM]o�;Eq)=0#j$"=C$'+C5�2!+3+H$'F�('&�=H2£Z�2E1H¡^=H\,1H2E4,D!\]=>\�&6&GM =>$"1H&F�2X2!¡�;EM,* 2!M,(@v�4�+H&[2!M,(@v�=>\�&BnT&G("*,+ ( ;�M,*.%u ACM�* $@oPnTM,$"=H&BnT&G("*,+ ;E13&hF�&)$'M,DqG2EM,+H$"*,&G13&G* #�x{2!+�=C=H\,&�=H$'xy&�$@=C$"+C5�2!+H+3$'F,("&-=H2B4,+H&P¥34,+3=r=>\,2!+3&�nTM,$@=>&-nT&G("*,+rZP$@=>\�;5,13$'xy&yMS4,x�F�&)162Eo�&)('&Gxy&GM =H+0#�$� J&� #%=H\,&{n,&G('*�+0/�1)23/�4657/ #�ZP\,&G13&85 $'+�;<5,13$'xy&$'M =H&GD!&)10#XZP$@=>\B=H\,&.;E('DE&GF,1H;E$'qW2!5�&G1>;U=>$'2EM,+L¥34,+�=PF�&)$'M,D6;E*,*,$@=>$'2EMh;EM,*hx64�("=>$"5,('$"qN;�=H$'2!Mxy2X*,4�('2-5� h#T2!1 =>\�&{5,4�1H5�2!+H&)+62Eo~13&N;E*�$'M,D[=>\,$"+�F�2�2!¡]$"=-$"+-+34 *yqG$"&GM =6=>2�F�&£;EF�('&=>2]Z�2!13¡�ZP$"=H\ =>\,&BnT&)('*,+P¥34,+3= xy&GM =>$"2!M,&)*j -W2eZ�&¦Y!&G1+#�Z�&h4,1HD!&BvE2!4 =>2�5,$"q ¡�4,5v!2E4,1 4,M,*,&)1HD!1H;E*,4T;�=H&�;EF,+3=H1>;Eq¦={;E('D!&)F,1>;]=H&¦?�={;EM,* 1H&)Y�$"&)Z ZP\,;�={;�n,&G('* $"+G #T2!1xy2!+3=-5,4,135�2E+H&G+.=>\�&{+�vXx�F�2!(�� *,&)M,2E=H&G+�;EM;E13F,$"=H1>;E1�v<nT&)('* &¦?XqG&)5�=�ZP\�&G1H&{$'M,M�&G15,132X*,4�q)=>+W;EM�*79�2!1�M,2E1Hxy+P;E1H&.$'M YE2!("YE&G*j

: �d�����b<;f�� ����� ce�>= \�&GM�=H\,&�4�M,*,&G13("v�$'M�DWnT&)('*8� $'+�4,M,*,&)1H+3=H2X2�* #U=>\,&�+3v�x6F�2!(?6@BA ��qG;E('("&G*�=>\,&DC*EGFIHKJMLMNOJ6EQPRJ6SUTWVy*,&)M,2E=>&)+-=H\,& &G("&Gxy&GM =y�)X�� $"o�Y[Z]\<;EM,* =>\,&&G("&Gxy&GM =���X^� $@o_Y�`Za\T (mqGqG;E+H$"2!MT;E("("v�$"=�x{&G;EM,+���2!1W�C$"M{+32!xy&r2E=H\,&G1�+3=H1H4,q¦=>4,13& #F,4�=P=H\,&.qG2!M =>& ?�=r+3\,2!4,("*^x{;E¡�&.=H\T;�=Pq)('&N;�1G

��oXvE2!4�;E1H&RM,2E=L13&N;E("("vWo�;Exy$'('$';E1TZP$"=H\.=H\,&unT&G("*.2Eo�q)2!xy5,('& ?mMS4,x6F�&G13+0#Uv!2!4-+H\,2E4,('*+H5�&GM�*[;�('$@=H=>("&�=>$'xy&PD!&)=3=>$"M,D ;Eq)Q�4,;E$'M =>&)*j uA q)2!xy5,('& ?£MS4,x�F�&)1cbdZfehgdiMY #XZP\�&G1H&ekjMilX ( ;�M,*DYWmcZ]n-� #,\T;�+�;�qG2EMU¥34,D ;�=H& bdZfe[noiMY #T;EM,*pbpq brZfeOm_gsiMmcZut b�t mG ��=�$"+�&N;�+H$'(@v£q \�&Gq ¡E&)*^=H\T;�= b^q�v^Z bwq vR R¢W2E=>&C=H\T;�=0t b�tIZ �6$"oL;EM�*h2!M,("v{$"oxbrZ �� y 2!4�+3\,2!4,("*]+H\,2eZz\,2eZz=H2BqG2Ex{5,4X=>&�=H\,&6x64,(@=>$"5,('$"qN;�=H$"Y!&.$"MSYE&G13+H& 2Eo�;EM v<M,2!M �)&G1H2qG2Ex{5,("&¦?BM�4�x6F�&)1G

= & *,&¦nTM,& =>\,& +3Q�4,;E1H&$�w1H2�2E=[+�vXx�F�2!(8z ;E+[4,+34T;E(|{ #f2E1[�]}�~�X ( #m5,4�=z ~pZt �xt!ZP\�&G1H&*�B$"+P; 13&N;E(�MS4,x�F�&)1W+34,q \^=H\T;�=��RmcZ�~L

��\,&.o�2!('("2�ZP$"M,D�=wZ�2£("&Gxyx£;�+�;E1H& 2�o =>&GM�4,+3&)o�4,(�

�R�X����� �7���k���k����� J6E��wLMFI�l��S�J���Hk�R�Q�6J6El��VI�>VQ������V�EGJ*EMF�FITW�

Page 9: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

���������&��� � 7� EMF�F����rKL&¦=�b Z3e�gfi�Y F�&h;EM v�qG2!xy5,('& ?MS4,x�F�&)1G = $"=>\�=>\,&h*,&¦nTM,$@=>$'2EM2Eo zD!$"YE&GM^;EF�2�YE& #f;EM�*�ZP$@=>\)Z z e m g i m�� tBe_t #XZ�&.nTM,*[=>\T;U= �� -gae

� � Y � Dn e� � m Zfe � tBi�t Y��

¢r2eZ ¥34�+3=W5,$'q ¡{=>\,&.+H$"D!M � +H2 =>\T;U= � t iOt�Z ie �������� �k���k�"`_��� � J6E����kFISU� HKFI��� V�S F��pF�POP�PRJ���EGJMJ���� T,�oEGJ V�ScLMF�J���L��WJ6HkT,�-��VI��V� EGJ V�S �! IJ6EGF��� EMF�F����W��=P+H4 *yqG&)+r=H2y5�1H2eY!&.=>\T;U=W;yxy2!M,$"qm5�2E("v�M,2!xy$ ;E(" �,~ !�Z ~ � g e$# ~ �&%'# g q�q�q<g e,�

ZP$"=H\�+32!xy& e @ `Z � #�ZP$"=H\we$#6j(�)�)��jGe,�0X (|;�M,* � 2�*,*[\T;E+P; �)&G1H2� �tu4�=�e0ZutBe*#�t6gtBe m tWgoq�q�q g tBe � tWg��,+ � #X;�M,*.-�Z � �! ���\,&)Mot e$# �/-Ge ! �0%'# goq�q�q g e �&%'#0�/- e ! g e ��tR}tBe*#�t �|e ! �0%'# g q�q�q�g tBe �0%'#�tBe�g tBe ��t } �|e n �%!+�|e �&%'# !21�e � u��=�13&N;E*,$"("vyo�2!('("2eZP+�=>\,;�=" � e !�+ �£;EM,* " � nle !�1 �� -r&)M,qG&�FSv[=H\,&��wM =>&)1Hxy&G*,$';�=>&-p�;E('4�&-��\�&G2!13&Gx�=>\,&)1H&$'+P;43�X � nlekjMe !~+H4,q \�=>\T;U= " ��3 !�Z �X

���65 798�:4;=<�$K�&)=�( F�&r;EM{;E1HF�$"=>1H;E13v�+H&¦=~;EM�*{("&)=?>Q{ (A@-(CB ( F�&C; F,$"MT;E13v62!5�&)1>;�=H$'2!M 2!M ( �r+34T;E('(@v{Z�& *,&)M,2E=>&m=H\,&m$"x£;EDE&C2Eo �EDF#6jGD m !cX�(C@)(z4,M�*,&G1~=H\,& x£;�5H>6FSv4DF#I>JD m ��\,&GM�v!2!4�+H\�2!4,('*[¡SM,2eZ ZP\T;U=P$"=Pxy&N;EM,+~o�2E1 �|(�j6>,!�=>2 F�&�; D!132!4,5j u��o�=>\�$'+P$'+~=H\,&qN;E+3& #�( $'+W;EM^;EF�&G("$ ;EMhD!132!4,5�5,1H2eY�$'*�&G*HDF#K>2D m ZLD m >2DM#�o�2!1W;E('(NDM#�jGD m Xr(y (m4,15,1H$"x£;�13v &¦?�;Exy5,("&£2EoW;]D!132!4,5�ZP$"('(RF�&h;^Y!&)q)=H2!1 +H5T;�qG&BZP\,2!+3&B&G("&Gxy&GM =>+ ��qN;�('('&)*Y!&)q)=>2E1H+ !�o�2!13x ;EMy;EF�&G("$ ;EM6DE1H2!4,5 4,M�*,&G1uY!&)q)=H2!1�;E*,*,$@=>$'2EMj ���=R$"+R;E('+32 \,&G("5�o�4,(,$@ofv!2!41H&)x{&)x6F�&)1 \,2eZz=H2[qG2!M,+�=>134,q)=.=>\�& Q�4�2E=>$"&GM =-D!1H2!4�5r(84(O�#jZP\,&G13&�O $"+ ;hM,2!13x£;E(+H4,F�D!1H2!4�5 2�o ( -r2eZ�&)Y!&)10#L=>\,$"+C(';�=H=H&G1mq)2!M,qG&)5�= ZP$'("(�F�&6$"MS=H1H2�*,4,q)&G* $'M]*�&)= ;�$'(%$"M=>\,&.+35�&)qG$ ;�(�qN;E+3&.ZP\�&G1H&-$"=P$"+�M,&G&)*,&G*�

���QP R S!T�8���U V (W��YX=8�SACM[Z\@ �'�QV�T|E6� � � 2eY!&G1���$"+P;EMHZ�F v � ;�1H1>;Nvh2�o�&)('&)x{&)MS=H+�o�1H2!x�=>\,&mnT&)('*)� = & x{;Nv^=H\,$'M�¡^2Eo��¤;�+ ;EM�2!13*,&G13&G* ('$"+3=m2�o�Z 132�Z YE&Gq)=H2!1H+ o�132!x � � 2E1m&GQS4T;E("("v

Page 10: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�e� ������� �������������� ������.�������.�

Z�&G('(%;E+ ;EM�2E1H*,&)1H&G*�("$'+�=m2Eo��q)2!('4�x{M<YE&Gq¦=>2!13+mo�1H2!x3���W ��\,& &)('&)x{&)MS=m$'M]132�Z]Y;EM,*<qG2!("4,x{MD\[$"+C4,+34T;E("("v�*,&GM�2E=>&)* � @ A m��\,&6+�v�x6F�2E( � ��� �4� � !P*,&GM�2E=>&)+m=>\,&6+3&)=2Eo�;E('( Z @ ��x{;�=H1H$'q)&G+�2eY!&)1�� ���=W$'+P13&N;E*,$"("v£x£;E*�&-$"M =>2{; YE&Gq)=H2!1C+35T;Eq)&�2eY!&)1�� #T2!1 �>j��uX � ��� �4�|� !�*,&)n,M,& ��g�� FSv

� � g��! @ � A Z � @ A g�� @ A �VX$'xy$'(';E1H(@v #S*,&¦nTM,&.+HqG;E( ;E1�x�4,("=H$'5,("$'qN;U=>$'2EM{F v

�|e,�&! @ A Z e,� @BA ��E4,+3=%=>2m5,1H;Eq)=H$'q)&�1H&)\,&N;�1H+H$"M,DC=H\,&�;U?X$'2Ex{+Lo�2!1�;WY!&Gq¦=>2!1%+H5T;Eq)& #!vE2!4 +H\,2E4,('*6+3\,2eZ

=>\,;�= � ��� �4� � !~1H&G;E('(@v£$"+P;6Y!&Gq¦=>2!1W+H5,;EqG&-2eY!&G1�� �� VX&)&6V�&Gq)=H$'2!M �X @�! !��o � ;EM,*�_;E13&�Z @"� ;EM,* � @w5 2eY!&)1*� #�1H&G+35�&)q)=H$"Y!&)("v #j=>\,&)M =H\,&65,132X*�4,q)=

��¤$'+P;�M[Z @ 5^x£;�=H1H$ ?B2eY!&)1�� *,&)nTM�&G*<F v

� ���! @BA Z�� � # � @

� A ��R�X����� �7�"k_���k��� V�T|E6� �D�-�RSUT/� ��S �WL V�T �WFIH���� �kJ6HrPRJ���HKJ P������8VI�M��F�L�� V�T � � J��� EGF�F���� � V�¡E&)=Hq \�!h��o �>j���j�� ;E1H&=Z @ ��# �L@s5 ;EM,* 5 @ +x£;U=>1H$"qG&)+B2eY!&G1)��#1H&)+H5�&Gq¦=>$"YE&G(@v #,=>\�&GM

� � �� !�� ! @ A Z1� �� # � ��� @

�!�� � A Z 1� �

� # ��� � # � @

� �� !�� � A ZZ �#�� �3��� #�� � �I1 � @ � �� � � A Z �������� ! ! @ A �

��\,&6o�2!("('2eZP$'M,D{2!F,+3&G13Y�;�=H$'2!M�+.;E1H&6M�2E= &G+35�&)qG$';E('(@v<*,&)&G5 #�F�4�= =>\,&¦v]q)2!x{& $"M]+H2\T;EM�*�v�=H\T;�=�vE2!4 +H\,2!4�('*6=>\�$'M,¡�;EF�2!4�=�=H\,&Gx 4,M =>$"(X=>\�&)v ;E13&~+H&)qG2!M�*yM,;�=>4,13&~=>2mvE2!4j � ����y�k�'k_�"`_�! �kJ�Y�T,�)EGF0� F������ ���*T,�kJ�Y�T,�)EGF0� F���� T/� ��JM�*T �kJ*�QV�T E�� �"�p�� ����y�k�'k_�"k_�# �kJ \kT �^LMFISU� �-H�F�� ���\����T,�kJ��QV�T|E6� � � T � ��JM�lT,�kJ \7T �^LMFISU�R�-HrF���p�

��o � $'+ Z @ ��#,=>\�&GM^=H\,& � @ Z�x£;U=>1H$ ?BZP\,2E+H&�� Y j \ !~&)MS=H13v[$"+P=H\,& � \�jGY !P2�o��$'+�qG;E('("&G*B=H\,&�T|E�V�H�� �kF���J�2Eo�� ;EM�*�$"+P*,&GM,2�=>&G*'��$�

Page 11: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

����R� ��.� � �l� ����� � �x� � � �h ���������0� � ��� � ���� �l ?� � �c��� �!�

� ����£�k�"k_� �x��� ��� ��� Z @ � V�H�P"� ����� @�5 � T,�kJ6H�����! $)Z � $ � $ �� ���� �k�"k�� �_� � � � ���JZC@ � ��� T �pLMFISU�R�-H�����#6j)�)�(��j�� ��V�H�P�� Z � ~ #6j)�)�)��j ~4� !�$ ���� @ � �xT �kJ6H,��� ���hT �kJ�S � HKJ V�ElLMFI�Q�(� H�V�T �WFIHwF��lLMFISU�R�-H��lF������ � � J6HD����� �A � # ~ A � A �� ����y�7�"k_� �_��� � � ��� Z @ � ��� T �DEGF0� �cb�#6j(�)�)�6jMb � V�H�P�� Z � ~ #6j)�)�)��j ~ � !�� T,�kJ6H� � ���*T �kJ S � HKJ V�E0LMFI�Q�(� H�V�T �WFIHdF�� EGF0� �0F�� � � � � J6H���� � �@ � # ~ @ b @ �

A~=W=H\,$'+P5�2!$'M =~vE2!4<+3\,2!4,("*[1H&)Y�$"&)Z F�('2�q ¡Bx64,(@=>$'5�('$'qG;�=>$"2!My2Eo%x{;�=H1H$'q)&G+)

����� �'���^� S 8����; S T �(:���$��: � ��" ! � T#" R S!T 8���UV (W��YX=8�S#T2!1�&N;Eq \)Y #��*}�Y�}AZ #T('&¦=

��A � # e @ A ~ A Z i A

F�&C;�("$'M,&G;E1R&GQS4T;�=H$'2!MB$"My=H\,&C$"M,*,&¦=>&G13x{$"MT;�=H&G+�~ #6j)�)�)��j ~4�.ZP$"=>\{=>\,&rqG2�&+*yqG$"&GM =>+ e @BA;EM,*di A ;E("(%F�&G$'M�D�13&N;E(%M�4�x6F�&)1H+) ( M�&y2�o�=H\,& nT1H+�= =>\,$"M,D!+mvE2!4�("&N;E13M,&G*�=H2�*�2�$"Mv!2!4�1�4,M�*,&G13D!1>;E*�4T;�=>&W('$"M,&N;�1R;E('D!&)F,1>; q)2!4,1H+3&rZ�;E+R=>2-1H&G5�( ;Eq)&P=H\,$'+R+�vX+�=>&)x 2Eo�('$"M,&N;E1&GQS4T;�=H$'2!M�+PZP$@=>\�; +H$"M,D!('& x{;�=H1H$@?£&GQS4T;U=>$'2EM�2�o�=H\,& o�2!1Hx

�%$~pZ $i�j�ZP\,&G13& �fZ � e @BA !~$"+2Z @ ��ZP$"=H\HZ�1H2eZP+W;EM,*'� qG2!("4,xyM,+�j;EM,*&$~wZ��,~ #6j)�(�)��j ~4� ! $ j $ihZ �|i(#�j(�)�)��jGi � ! $ �

y 2!4�=H\,&GM^;E4,DEx{&)MS=H&G*[=>\,&.x{;�=>13$@?�� ZP$"=>\h=H\,&.qG2!("4,x{M $iW=>2y2!F�= ;�$'M��'�Z

()))*e*# # �)�)� e*#�� i(#e m # �)�)� e m � i m �)�)� e � # �)�)� e � � i �

+-,,,. �

A~=~=>\,$"+~5�2!$'M =�v!2!4[5�&G13o�2E1Hxy&G*B&)('&Gxy&GM =>;E13vy1H2eZ 2!5�&G1H;�=>$"2!M,+�2EMB=>\,&mx{;�=H1H$@? � '+H2y;E+�=H2 1H&)5,( ;Eq)&C=>\�&m+H4,F�x£;�=H1H$ ? � ZP$@=>\[;6132�Z ��1H&)*,4,qG&)*^&)q \,&G("2!Mhx{;�=>13$@?0/6 y 2!4=>\,&)M�4�+H&G* =>\,$"+ x£;U=>1H$ ? �1/ $i ' !r=H2[1H&N;�*�2 � ;E('(�+H2!1�=>+.2Eo�$'M�o�2!13x£;U=>$'2EM];EF�2!4�= =H\,&2!1H$"D!$'M,;E(%x{;�=>13$@? ��;EM,* =>\,& +3v�+�=>&Gx 2Eo�('$"M,&N;�1 &GQS4T;�=H$'2!M,+) ��\,&{x{;�=H1H$@?2/ \,;E+43

Page 12: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � ������� �������������� ������.�������.�

M,2!M �G&G132�132eZP+�o�2!1R+32!x{& 3 #S�Q}&38}AZ� u��\,&r("&)o =Hx{2!+�=uM,2!M �G&G132�&)MS=H13v $"My&G;Eq \£132eZ2Eo /z$"+r;[� #f;EM�*^$@=P$'+�=>\,&.2!M�("vhM,2EM �G&)1H2y&GM =>1�v^$"M[$"=>+�q)2!('4�x{Mj R��\,&)M<=>\�&-x{;�=H1H$@?�1/ $i ' !%$'+u4�+H&G* =>2.+32!("YE&~=>\,&P2!13$'D!$"MT;E(�+3v�+3=H&Gx 2Eo�&GQS4T;U=>$'2EM,+RFSv�ZP1H$"=H$'M,DC&N;Eq \y2Eo�=>\,&�3("&N;E*,$"M,D Y�;E1H$';EF,('&)+ ��;E+�;�('$"M,&N;�1�q)2!x6F,$"MT;�=H$'2!M 2Eoj=H\,&C2�=>\,&)1 � o�1H&G& !uY�;E13$ ;EF�('&G+) ���\,&3.M,2!M �)&G13261H2eZP+~2Eo / o�2!1Hx�;�F,;E+H$"+�o�2!1R=>\,&C1H2eZ§+H5T;�qG&m2Eo � #S=>\,&CYE&Gq¦=>2!1~+34,F,+35T;EqG&2Eo ( � +35T;EM,M�&G*hF v =>\,&r1H2eZP+�2Eo �� ���\,&rqG2!("4,xyM,+�2�o � $'M{=H\,&W+>;Exy&r5�2!+3$"=>$"2!M,+�;E+=>\�&W("&N;E*�$'M,D � / +�2Eo�/§o�2!1Hx�;-F,;E+H$"+Ro�2E1�=>\,&WqG2!("4,xyM +H5T;Eq)&r2�o � #S$� J&� #!=H\,&r+34,F,+35T;EqG&2Eo ( � +H5T;�M,M,&G*£FSv =H\,&WqG2!("4,x{M�+�2�o �� %��\,&G13&m;E13&��*n%3mo�1H&)&WY�;E13$ ;EF,("&G+) �K�&)=�&N;Eq \2Eo�=>\,&)+H&-YE;�1H$ ;�F,('&)+�= ;E¡�&�; =>4�1HM�F�&)$'M,D &GQS4T;�(L=H2^�.ZP\,$"('&m=>\�&-2�=>\,&)1Po�13&G&.Y�;E1H$';EF,('&)+;E13&�;�('(j&)Q�4,;E(�=>2y� #f;EM,*�+H2E("Y!&.o�2!1~=H\,&�2�=>\,&)1W("&N;E*�$'M,D6Y�;E13$ ;EF,("&G+�4,+3$'M,D =>\�&-x{;�=H1H$@?&GQS4T;U=>$'2EM0/ $~pZ $�� ���\,$"+RD!$"YE&G+�;�FT;E+3$'+R2Eo�=>\,& ��13$'D!\ =$!�MS4,("('+H5,;EqG&W2Eo � #S$ &E #X;-FT;E+3$'+2Eo�=>\,& +35T;EqG&y2Eo�+H2!("4�=>$"2!M,+C=H2�=H\,& +3v�+3=H&Gx 2Eo�\,2!xy2!D!&)M,&G2E4,+.&GQS4T;�=H$'2!M,+.2!FX= ;E$"M,&G*F v[1H&)5,( ;Eq)$'M,D $irZP$@=>\ $�� ��wM<5T;E1�=>$"qG4,(';E1�Z�&�M,2E=H& =>\T;�=�3 $"+P=H\,&.*,$'xy&GM�+H$'2EM�2�o�F�2E=>\=>\�&�132�Z +H5T;�qG&�2�o � ;EM,*^2Eo%=H\,&�q)2!('4�x{M[+H5,;EqG&�2Eo �� = &�qG;E('(�3 =H\,&�E V�H�NwF�� �� ��\,&{*,$'xy&GM,+3$'2!M 2Eo�=>\,&{1H$'DE\S=-MS4,("(�+35T;Eq)&£2Eo���$'+ ��n 3� h P&G5,(';EqG$"M,D��¤ZP$"=H\�$@=>+=>1H;EM,+35�2!+3&��$�#j+32[=H\T;�= =H\,& ('&¦o = MS4,('(�+35T;Eq)&y2�o � F�&Gq)2!xy&G+ =>\,& 13$'D!\ = MS4,("(%+35T;EqG&2Eo���$ #T+3\,2eZP+W=H\T;�=�=>\�&-("&)o =PMS4,("(j+H5T;�qG&-2Eo�� \T;�+W*�$'xy&GM,+3$'2!MZun 3X

A D!2�2�*�13&)o�&G13&GM,q)&£o�2!1.=>\,&{FT;E+3$'qyx£;�=H&G13$ ;E(u$"+-=H\,&{o�2!("('2eZP$'M�DB=>&¦?�=�{ l ;eY�$"* �C KL;Nv # K�� ¢COuAC  ACK�0.OR}~ PA Am¢rl �w�WV�AmtRtRK�����Au��� ( ¢mV # 8�1H*6Ou*,$@=>$"2!M #EAr*,*,$"+H2!M= &G+H("&)v # �E�!�!8�

Page 13: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � ��� ����� �

� ��� ��� � � � ��� �z

K�$'M,&G;E1 ;E('DE&GF,1H; $"+ 5,1H$"x£;E13$'(@v =H\,&[+3=H4,*�v 2EoC('$'M�&N;E16x{;E5,+ 2!M nTM,$@=>&$�w*,$"x{&)M,+H$"2!MT;E(Y!&)q)=>2E1B+H5T;�qG&G+) �wM =>\�$'+yq \T;E5�=H&G1£Z�&]*,&¦nTM,&]=>\�&<qG2EM,qG&)5�=h2Eo YE&Gq)=H2!1B+35T;EqG&];EM,**,$'+3qG4,+3+r$@=>+�&)('&Gxy&GM =>;E13vh5�1H2!5�&G1�=>$'&)+G

5p��� � ��� ��� T �(:�� :�� �� 2T :�8 �H< S� ��A � JML6T FIE � ��VRLMJhF � J6E�T �kJ �cJ6S P�� $"+�;P+3&)=�� =H2!D!&¦=>\,&)1LZP$@=>\-;PF,$'MT;�13v 2!5�&G1H;�=>$"2!M��Gg �2!M��z+34,q \h=>\T;U= ��� j�g !u$'+~;�Mh;EF�&G('$';EM£DE1H2!4,5 #�;E("2!M,D-ZP$"=>\B;Q��L V�S V�El�-�RSUT/� ��S �WL V�T �WFIH2!M�� ��$ &E #T; x£;�5�� @�� B � !~+34,q \^=H\T;�=�=>\�&.o�2E('('2eZP$"M,D65,132!5�&)13=H$'&G+P\,2E('*_{

�! ]#T2!1-&N;Eq \ e Xf��;EM�*&N;Eq \�� X�� # e�� $'+�;<4,M,$"QS4,&£&)('&Gxy&GM =�2Eo���ZP$@=>\����Z��£o�2E1P;E('(��DX��y -W&G1H& �.*,&)M,2E=>&)+W=H\,&.x64,(@=>$'5�('$'qG;�=>$@Y!&W$'*,&)M =>$"=wvB2Eo��

�X ¤VXqG;E( ;E1£x64,("=H$'5,("$'qG;�=>$"2!M *�$'+3=H1H$"F,4�=>&)+h2eY!&G1hYE&Gq)=H2!1�;E*,*,$@=>$"2!M_{.e ���^g�� !�Z�|e�� !�g5�|e�� ! #rZP\,$'q \ $'+[4,+H4,;E('(@v ZP1H$@=H=>&)M ;�+�e��rg e ��#Co�2E1^;�('(!e X � ;EM,* ;E('(� j!��X��

8� �|e�g i !"�wZ e �0gai#� #,o�2!1P;E("(_ekjMilX�� ;�M,*�;E('($��X��{ I, �e � i#� !�Z��|e i !"��#,o�2!1P;E("(�ekjMilX�� ;�M,*<;�('(%��X��y

&('")*'+) � ���������-,�.�/ ���103254 �167.�0 �K�&)=�8 F�&.;EM vBM�2!M,&Gxy5�=wvh+3&)=W;EM�*�("&)=��zF�&.;EM v{nT&G("*j Rtu4�=�� Z �:98Z<;>=^{?8 B� {*=]$'+P; o�4,M,q)=H$'2!MA@S ���\,&)M Z�&hqN;�M x{;E¡�&5��$'M =>2 ;<YE&Gq)=H2!1 +H5T;�qG&[2eY!&G1���;E+o�2!('("2eZP+G u#T2!1B=7jGDDX�� #,*,&)n,M,&-=H\,& Y!&)q)=>2E1r+34,xC=�g D�{?8 B �zFSv

�D=-g D !0�DE ! Z�= ��E%!_g D �DE%!�o�2!1P;E('($E>X�8 ��e8

Page 14: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�NI ���[��� ����� �� ������� ��� ���� � �

��\,&GM^*,&)n,M,&�; +3qN;E(';E1�x64,(@=>$'5�('$'qG;�=>$"2!M � @��CB � ;E+�o�2!("('2eZP+�{

�|e?= !+��E%! Zfe ��=���E%! !�o�2!1W;E("(_e�X^��j�=^Xr�hj�E*X�8 ���=R$'+R;mY!&)13v &G;E+3v F,4X=uZ�2!1�=>\ ZP\,$"('&P&¦?X&G13qG$"+H&�=>2.+H\�2�Z =>\T;�=uZP$@=>\ =>\�$'+�Y!&)q)=H2!1�;E* �

*,$@=>$'2EM ;EM,* =>\,$"+u+HqN;�( ;E1Rx64,(@=>$"5,('$"qN;�=H$'2!M #>� $'+�;mY!&)q)=H2!1�+35T;Eq)&r2eY!&)1 � ���=R$"+�;�('+H2.$"M �=>&)1H&)+3=>$"M,Dm=>2C+H&G&�=H\T;�=�=H\,$'+�o�;Ex{$"("v.2Eof& ?�;Ex{5�('&G+%$'M,q)('4,*,&)+ ��$"M +H2!xy&~;�F,+3=H1>;Eq¦=R+H&GM�+H& !;E("(�=>\,&.& ?,;�x{5,("&G+P2Eo�Y!&)q)=>2E1C+H5,;EqG&)+WvE2!4<xy$'D!\ =�\,;eYE&�+�=>4,*,$"&G*�$'Mhv!2E4,1Wn,1H+3=W("$'M,&G;E1;E("D!&GF,1H;<qG2E4,1H+3&E �#f2E1�&¦?�;Exy5,("& #u('&¦=�� Z ( ;�M,* ('&¦= 8 Z ;S��j � j)�(�)��j2� @S ��\,&)M&N;�q \�=o{ ;S��j � j(�)�)�6j2� @ B ( $'+PD!$@Y!&GM^F vh=>\,& � ��=H4,5,("&��D= ��� !6j = � � !6j(�)�)��j = ��� ! ! PVX2ZP$"=H\�;E("x{2!+�=CM�2hq \T;EM,D!&�$'M<vE2!4,1 5�2!$'M =m2�ouYX$"&)Z v!2E4�qN;EM�+3&G&6=>\,;�=m=>\�$'+C& ?�;Ex{5�('&$'+�&)+H+3&GM =>$';E('(@v-¥34,+�= ( � ;E+�v!2!4�¡SM,&)Z $@=�F�&)o�2!13&E

& '+)*' & � ����� &�$ 2�4 �167.�0 �K�&)= � F�&C;EM vyn,&G('*£;EM,*{('&)=�~[F�&C;EM{$'M,*�&)=>&)1Hxy$'MT;U=>&P2eY!&G1c�y ���\�&GM£=H\,&C13$'M,D>��� ~��2EoP;�('(�5�2!(@v�M,2!xy$ ;E("+ $'Mo~ ZP$@=>\q)2X& *{q)$'&)MS=H+6$'M.��$"+6;^YE&Gq¦=>2!16+35T;Eq)&h2�YE&G1-� <�wM��\T;E5X=>&G1rI£Z�&�ZP$'("(�+H&G&�\,2eZ =>2£Y�$'&¦Z]��� ~��%;E+m;y+H4,F,+35T;Eq)& 2Eo�=>\�&6+H5�&Gq)$ ;E(LqN;�+H&62Eo=>\�&{5,13&Gq)&G*,$"M,D]&¦?�;Exy5,("&yZP\,&)1H& 8 Z ;U��jN��j �Rj)�)�)� @S -W2eZ�&¦Y!&G1+#R$'M =>\,$"+�qG;E+H& #u;EM v=wZ�2{&)('&Gxy&GM =H+W2�o ��� ~��LqN;EM�F�& x�4,("=H$'5,("$'&G*{=>2 D!$"YE&.;EM,2E=H\,&G1�&)('&)x{&)MS=W2Eo ���B~�� #T;EM,*���B~��%\T;E+m=>\�&6+3=H1H4,q¦=>4,13&y2�o�;Bq)2!xyx64�= ;U=>$"YE&�13$'M,D£ZP$@=>\ �! .��= $"+m&)YE&GM�;EM�$'M =H&GD!1H;E(*,2!x{;E$"M��£�wM o�;Eq)=0#%$"=-$"+�;dS � HKJ V�E V�S �RJ���E VE hVX&G&y=>\,&yF�&)D!$'M�M,$'M,D�2EoW��\,;E5�=>&)1�I�o�2!1=>\�&]*,&)n,M,$"=H$'2!M 2Eo-;("$'M,&G;E1B;�('D!&)F,1>; #W;�=H&G1Hx =>\,;�=h1H&G;E('(@v 2!4,D!\ =h=>2 F�&]*,&¦nTM,&)*+H2Ex{&¦ZP\,&G13&h$'M ;]K�$"M,&N;E1�AC("D!&GF,1H;<qG2E4,1H+3&E ��K�2�2!¡ 4,5 ;EM v2Eo�=H\,&G+3&BZ�2E1H*,+6=H\T;�=v!2E4^;�1H& 4,M,+34,1H&-;EF�2!4�=P$"MBv!2!4�1P;EF,+3=H1>;Eq¦=r;E('D!&)F,1>;-=>&¦?�=G !'��¢W2E=>& { (m4,1�qG2!M Y!&)M =>$'2EM$'+~=H\T;�=�=H\,& �G&G132{5�2!(@vXM�2!x{$';E(�\T;E+P*,&GDE1H&G&-&GQS4T;�(j=>2wn !

��o%Z�& n�?h=>\�&-M�2!M,M,&)D ;�=>$@Y!&.$'M =H&GD!&)1���#,=>\,&)M� �>Z ;>= �,~ !cX����B~�� { � �(D 3����3��= � ~ ! !�} � @

$'+~;�Y!&Gq¦=>2!1P+35T;EqG& ZP$@=>\B=>\�& 4,+H4T;�(�;E*,*,$@=>$"2!MB2Eo�5�2!("v�M,2!xy$ ;�('+�;EM,*[+HqG;E( ;E1�x64,("=H$'5,("$ �qN;U=>$'2EMj

5p�65 � S0$�� � 8�:�<s�Y8 T ����$\: � �� T :�8 �H< S ��!$= &�;E13&.qN;E13&)o�4,(�=>2y*,$"+3=>$"M,D!4,$"+H\�F�&¦=wZ�&)&GM<=H\,& �G&G132B� 2Eo%=H\,&.nT&G("* �¤;EM,*[=>\�& �)&G1H2Y!&)q)=H2!1 $�y$"MB=>\,& Y!&)q)=H2!1r+35T;Eq)& �

Page 15: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

����R � ������ � � ���

���L�Sd� ���� `��"`_���k� � � EGFM�kJ6E6T �WJM� F��� IJ6EGFQ���xFIE-e X � V�H�P5��X<� � J���V � JDT,�kJ�#FIS S�F0��� HF���e���Z $�[� �>V�H�PwFIHkSU�4� ��e8Z �-X�� FIEB�0Z $�-X����� EMF�F����r#%$'13+3=�+H4,5�5�2!+3&C=>\,;�=ce0Z �� ���\�&GM[� �0Z ����g � !"��Z �>� g�� �f u¢W2eZ ;E*,*,$"M,D

=>\,&.;�*,*,$"=H$"YE&C$'M YE&G1H+3&.2Eo�� � =>2 F�2E=>\h+3$'*,&)+�2EoL=>\,$"+~&GQS4T;�=H$'2!M{vX$"&G("*,+ $�>Z � ��#Xo�2E1�;E('(�^X � -VX$'xy$'(';E1H(@v #,$@o1�pZ $� #�Z�&�\T;NY!&�e $��Z e � $��g $�,!hZ e $�lg e $�� .¢r2eZz;E*,*]=H\,&;E*,*,$@=>$@Y!& $'M YE&G1H+3&�2�o�e $� =>2 F�2�=>\[+H$"*,&G+�=>2y2!F�=>;E$'M $�>Zfe $��

= \T;�=W1H&)x£;E$"M,+~=>2yF�&-5�1H2eY!&)*<$'+~=H\T;�=W$"o e���Z $� #,=>\,&)M<&G$@=>\,&)1�e-Z � 2!1(��Z $�X VX2B+34,5,5�2!+H&-e��DZ $�� r��o�eDZ �{Z�&6;E13&�*,2!M�&E V�2B+H4,5�5�2!+3&-es`Z �� W�wM<=>\,$"+CqG;E+H&-e\T;E+r;{x64�("=>$"5,('$"qN;�=H$"YE&C$'M YE&G1H+3&0e %'# Xd� PVX23�QZ � e %'# e ! � Z e %'# � e�� !�Z e %'# $�-Z $�F vh=>\,&.5,13&GqG&)*,$'M�D{5T;�1>;ED!1H;E5,\j u��\�$'+�qG2Ex{5,("&)=H&G+�=>\,&.5,132X2�o

KL&¦=rn�� *,&)M,2E=>&]=H\,&�;E*�*,$"=H$"Y!&^$'M Y!&)1H+3& 2�o�� $"M � #W;EM,* ("&)=�n-��*,&GM�2E=>&]=H\,&;E*,*,$@=>$@Y!& $'M YE&G1H+3&�2�o��*X�� ���������`_�"`_�"`�� � FIE*V�S S � JML6T FIEG� �DX���� ��n-�%!"�-Z]nB�K�� EMF�F����W��\,& $'*,&G;[$"+ =>2[+H\,2eZ =H\T;�=-$"o � n��%! �]$'+.;�*,*,&G* =>25��#�=>\,& =>\�&y13&G+34,("=-$'+ $� #=>\,&r;E*,*�$"=>$@Y!&�$"*,&GM =>$@=wv 2Eo �y RVX2 # � n�� !"��g �0Z ��n-�%! ��g�� �8Z ��n-�Kg��%!"�0Z � �-Z $�F vh=>\,&.5,13&GqG&)*,$'M�D{13&G+H4�("=N

5p�QP �H;=X�$ < S� ���$�h� �%����c���d�� A +H4,F�+H&)=� 2Eo���$'+�qN;E("('&)* ;d�6���6� ��VRLMJ-2Eo���5,1H2eY�$'*�&G*=>\,;�=�ZP$@=>\=>\,&mYE&Gq¦=>2!1W;E*,*�$"=>$"2!Mh;EM�*�+3qN;E(';E1�x64,(@=>$"5,('$"qN;�=H$'2!M 2Eo � 1H&)+3=>13$'q¦=>&G*h=H2� #�=H\,&.+H&¦=�F�&)qG2!xy&G+W;6Y!&)q)=H2!1r+35T;Eq)&�$"M�$@=>+�2eZPM�1H$'DE\S=G ���L�Sd� ���� `_�"k����k� �kJ��6� �6��J6T�� F�� � ���DV �6� �6� ��VRLMJpF�� � � ��V�H�PoFIHkSU� � �QT,�kJ�#FIS S�F0��� HF� ��EGFM�kJ6E�T/�WJM���kFIS P��� � ���u`Z� 7�� �E� � � � �xj ��X�����T �kJ6H �-g � X��0�� �E�E� � � �he�X��3V�H�P:� X�����T �kJ6Hwe ��X��0�� EMF�F����C��('&N;�1H("vW=>\�&�=>\,13&G&R5,1H2E5�&)13=>$"&G+L;E("(�\�2!('*.$"o�� $'+�;�+H4�F,+H5T;�qG&E uVX2PM,2eZ+H4�5,5�2E+H&=>\,&R=>\�1H&G&�5,132!5�&)13=H$'&G+�\,2!("*j ���\,&GM�� $'+LM,2E=�&Gxy5�=wv #�+H2W$"=�\T;E+�+H2Ex{&uY!&)q)=H2!1 �L ���\,&GM� �aZ $�sX��� <#f2E1�;EM v � X�� # � n��%! �oZ nB� X��� ]}�v�=H\,&G+3&B5,1H2E5�&)13=>$"&G+�;EM,*

Page 16: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�e� ���[��� ����� �� ������� ��� ���� � �

5,132!5�&)13=wv ��$'$ !-2EoW=>\�&h��\,&G2!13&Gx'# � ��j�g !�$'+ ;]+34,F,D!132!4,5 2Eo ��� j�g !¦ �� W&)qN;E("(�=>\�$'+o�1H2Ex�v!2E4,1�;�F,+3=H1>;Eq¦=�;�('D!&)F,1>;hqG2E4,1H+3&E ! ��=-$'+ M,2eZ &G;E+3v�=H2[+H&G& =>\,;�= � #LZP$"=H\�=>\,&;E*,*�$"=>$"2!M{;EM,*h+HqG;E( ;�1�x64,(@=>$"5,('$"qN;�=H$'2!M6$"M,\,&)1H$"=H&G*£o�132!x � #�x�4,+3=�F�& ;-Y!&Gq¦=>2!1�+H5T;Eq)& #+H$"M,qG&m;E('(f=>\,&C2E=>\,&)1~5,132!5�&)13=H$'&G+�\,2!("*£o�2!1�� ;E4�=H2!x£;U=>$'qG;E('(@v6F�&GqG;E4,+H&m=H\,&)v£\,2!("*£o�2!1�y

5p��� �H; � $\S ��" � �)8 �� 2T �H; � $ : �H;=X�$ < S ��!$�h� ������ce��d�� K�&)= ��#6j �)�)��j � � F�&W+H4�F,+H5T;�qG&G+�2�o �y u��\,& �6� � �J#�g�� m g.q�q�q g�� �$'+�*�&)nTM,&)*^=H2yF�&

��@ � # � @ { Z<; � #_g � m g q�q�q<g � � {�� @ X�� @ o�2!1.�*}�Y�}AZ @M�

y 2!4 ;E1H&[;�+H¡E&)* $"M=>\,&[& ?�&)1Hq)$'+H&)+ =>2 +H\,2eZ =>\T;�= =H\,&h+H4�x 2EoW+H4,F�+H5T;Eq)&G+y$'+ ;+H4�F,+H5T;�qG&E

�h� �%����c���d�� ��\,&�+3&)=:; �J#6j(�)�)��j � � @ 2�ou+H4,F�+H5T;Eq)&G+ $"+r+H;E$'*[=>2{F�&4� H�PRJ �kJ6H�PRJ6HkT5,132�Y�$"*,&G*B=H\T;�=P$"o $�*Z � #7g�� m g�q�q�q�g � � ZP$"=>\ � @ X�� @ #��>}�Y�}AZ #�=H\,&GM�� @ Z �o�2!1P;E("(KY Zz��j � j)�)�)�6j Z� ���L�Sdf U��� `_�@� ���k��� J6T � @ �6J V)�6���6� ��VRLMJDF�� � �#FIE �)} Y!} Zd� � VRLM�.J6S�J6��J6HkT�rX � �@ � # � @ ��VI� V 4,M,$'QS4,&rJ�����EGJM�M���WFIH F��-T �kJ2�#FIE�����Z � �@ � # � @ ��� T,��� @ X � @�#FIE*V�S SkY � �>V�H�PpFIHkSU�4� �!T �kJ!��J6T1; �J#6j(�)�)�6j � � @H���,� H�PRJ �kJ6H�PRJ6HkTW�� EGF�F����CVX4,5�5�2!+3&£=>\�&£+H&¦= ; ��#�j)�)�(��j � � @[$'+-$'M,*�&G5�&GM,*,&)M =N ]��\,&)MF v�*�&)nTM,$@=>$"2!M $�\T;E+.;h4,M�$'QS4,& 1H&)5,1H&)+H&GM =>;�=>$"2!M�2�o�=H\,& *,&G+3$'1H&)* o�2E1Hx ��;E+.;h+H4,x�2Eo �)&G132�YE&Gq)=H2!1H+2!¦ VX4,5�5�2!+3&r=H\T;�=�+H2!xy&B��Z � �@ � # � @ Z � �@ � # � @ \,;E+�=wZ�2�+34,q \h1H&)5,1H&)+H&GM =>;�=>$"2!M,+�ZP$@=>\� @ j�� @ X � @ #u��} Yl} Z� 6��\,&)M $�pZ���n �)Z � �@ � # � � @ n � @ ! ZP$@=>\�� @ n � @ X � @+H$"M,qG& � @ $'+~;�+H4,F,+35T;Eq)&E �VX2 � @ Z � @ o�2!1~;�('(7YH ���2!M YE&G1H+3&G(@v #T$"oj&N;Eq \[&G("&Gxy&GM =~2�o�=>\,&+H4�x \,;E+C;y4,M,$"Q�4�&�13&G5,13&G+H&)M = ;�=H$'2!M�;�+C;EM^&G("&Gxy&GM =C2�o%=>\�&�+H4�x�#T=>\�&GM]q)&G13=>;E$'M�("v $�*,2�&G+W;E("+H2�#,$"x{5�("v�$'M,D-=>\T;U=W=H\,&.+H&¦=r2�o%+34,F,+H5,;EqG&)+C$'+�$"M,*,&)5�&)M,*,&GM =G

�h� �%����c���d�� ��o.&N;Eq \ &)('&)x{&)MS={2Eo � �@ � # � @ \T;E+B;�4,M,$'QS4,&^1H&)5,1H&)+H&GM =>;�=>$"2!M ;E+;EM&)('&)x{&)MS=�$'M =>\,&B+34,x'#�=>\�&GMZ�&B+>;Nv =>\T;�=�=>\,&£+H4,x $'+.=>\,&�P � EMJML6T��6� � 2�o�=>\,&+H4�F,+H5T;�qG&G++#�;�M,*�ZP13$"=H&

��@ � # � @ Z ��#�� � m � q�q�q�� � � Z�� ��

@ � # � @ �

Page 17: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

���� � &���&� � � ���

���L�Sd� ���� `_� � �"`�� � J6T ��#�������� � � � �6J[�6���6� ��VRLMJM�*F��(� �#FIE � �F�WLM� � Z � �@ � # � @ � �kJ6H^T �kJ��#FIS S�F0��� HF�DV�EGJ0J ��� � � V�S�J6HkT �� � ���]Z � � �@ � # � @ �� �E� � � A�� � #�� @ � � � @��� A � @ Z�; $� @Y�#FIE8J VRLM� \ ���*} \ }AZd�� EMF�F����CVX4,5,5�2!+H&��]Z � � �@ � # � @ %��o%�^X � A�� � #�� @ � � � @��� A � @ # +H;ev �DZ nB� A X�� A;EM,*�pZ � #�� @ � � � @��� A � @ #!=>\�&GM � �@ � # � @ Z $� # o�2!1Hq)$'M,D.;E("(�=>\�&B� @ /J+�&GQS4T;�(,=>2 $�� ���\,$"++H\,2eZP+W=>\T;�= ��$ !~$'xy5,('$"&G+ ��$'$ ! ���=r$'+P+3$'xy$'( ;�1H("vy&G;E+3v[=>2y+H&)&�=H\T;�= ��$'$ !�$'xy5,("$'&G+~=H\T;�= $�\T;E+W; 4,M,$"Q�4�&-13&G5,13&G+3&GM = ;�=H$'2!M^$'M � �@ � # � @

� dTce��^= \,&GM Z Z �]=H\,$'+ +H;ev�+ =>\T;U= �J#�g � m Z ��# � � m $@om;�M,* 2EM,("v�$"o��# � � m Z�; $� @S 5p�� � U)�Y81 ��#$ �!$�! Wlm&)=H&G13x{$"M,&u;E("(�5�2!+H+3$'F,("&�+H4�F,+H5T;�qG&G+�2Eo �*m Z�;>=^{ ;S��j �?@YB � {?=]$'+W;6o�4,M,q¦=>$"2!M�@S

�X Wtu1H2eY!& =H\T;�=�=H\,& $'M =H&G1H+3&Gq¦=>$'2EMh2Eo�;EM v£q)2!('("&Gq)=H$'2!M{2Eo�+H4,F�+H5T;Eq)&G+W2Eo ��$'+�;ED ;E$"M; +H4,F�+H5T;Eq)&�2Eo��y

8� Wlm&)n,M,& =>\,& +34,x|2Eo�;hqG2!4�MS=>;EF,(@v]$'MXnTM,$"=H&6MS4,x6F�&G1.2Eo�+H4�F,+H5T;�qG&G+�2Eo �_;EM,**,$"+HqG4�+H+6ZP\T;�=6$"=�+H\,2!4�('* xy&N;EM�o�2E1�+H4�q \ ;^qG2!("('&Gq¦=>$"2!M�2�or+34,F,+35T;EqG&)+ =>2]F�&$'M�*,&G5�&GM,*�&GM =N

I, Wtu1H2eY!& =H\T;�=�=>\�& +H&)= ��=H\,&G2!13&)=H$'q 4,M,$"2!M[2EoL=wZ�2y+H4�F,+H5T;�qG&G+W2Eo���$'+�; +34,F,+H5,;EqG&$"o�;EM�*^2!M�("vB$@o%2EM,& 2Eo%=H\,&.+H4,F�+H5T;Eq)&G+r$'+�qG2EMS=>;E$'M�&G*[$'Mh=>\�&-2�=>\,&)1G

�X Wtu1H2eY!&�2E1%*,$"+H5,132�YE&�{���o ��#6j � m j � ;E13&�+H4�F,+H5T;�qG&G+R2Eo%� o�2E1�ZP\,$"q \ �J#<g�� Z� m g�� #�=>\,&)M ��#�Z � m

�� Wtu1H2eY!&�2E1%*,$"+H5,132�YE&�{���o ��#6j � m j�� ;E13&�+34,F,+H5,;EqG&)+�2Eo��§o�2!1�ZP\,$"q \ ��# ��� Z� m ��� #,=H\,&GM ��#�Z � m

Page 18: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�e/ ���[��� ����� �� ������� ��� ���� � �

Page 19: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � ��� ����� �

� �� ��� ���� � � � � � ��� � � � � �§��

(m4,1 x£;�$'M<q)2!M,q)&G1HM $'M]=H\,$'+CqG2!4,13+H&y;E13&�=>\,&6n,M,$"=H&6*,$'xy&GM�+H$'2EMT;E(LY!&Gq¦=>2!1.+35T;EqG&)+0#�;qG2!M�qG&G5X=�=H\T;�=�ZP$"('(�F�&�$"M =>1H2�*,4,q)&G* $'M6=H\,$'+%q \T;E5�=H&G1G -r2eZ�&¦Y!&)10#�$"M ; +3=>;E1H13&G* +H&)q)=>$"2!M2Eo�=>\,&PAC5�5�&)M,*,$@? ;EM,* ZP$"=H\ =H\,&�\,&)('5 2Eo�=>\,&W;E5,5�1H2!5,13$ ;�=H&�;U?X$'2Ex{+%o�132!x�+3&)=R=>\�&G2!1�vZ�&�qN;EM^+H\,2eZ =H\T;�=r&)Y!&)13v�Y!&)q)=>2E1C+H5,;EqG&�\T;E+r;yZ�&G('( �w*,&¦nTM,&)*<*,$"x{&)M,+H$"2!Mj ���\�&�¡E&¦vqG2!M�qG&G5X=>+W\,&G13&�;E13&�{u+35T;EM #T("$'M,&G;E1~$'M�*,&G5�&GM,*�&GM,q)& #�FT;E+H$"+0#,*�$'xy&GM,+3$'2!Mj

= &W;E+3+H4,xy&~=>\,132!4,D!\�2!4�=u=>\�$'+uq \T;E5X=>&G1u=H\T;�=*� $'+�; YE&Gq¦=>2!1R+H5,;EqG&P2eY!&)1R=H\,&~nT&)('*�y

Pw��� � "^� �H< S � : S �'�#$ T#T2!1�=H\,&�5�2!+3$"=>$@Y!&�$'M =>&)D!&G1 O ("&)= O F�&�=H\,&�2!13*,&G13&G* +3&)= O Z<;S��j � j)�)�(��jQO�@3#!;EM�*6('&¦=� F�&.=H\,&.2!1H*�&G1H&)*^+3&)=�;S��j �Rj)�)�)�6j @�2Eo�;�('(�M,;�=>4,1H;E(�MS4,x6F�&G13+G �h� �%����c���d���� AS ���6T2EoR&G("&Gxy&GM =>+r2Eo � $"+m;{o�4,M�q)=>$"2!M<o�132!x�+H2!xy& O =>2�� 2E1ro�1H2Ex � =>2 �y &�W+H4T;E("("v+H4,q \ ; ('$'+�=£$"+{$"M,*,$"qN;�=H&G* F v � � #�j!� m j)�)�)��j!� � ! o�2!1y+H2!xy&<5�2!+H$@=>$@Y!&�$'M =>&)D!&G14Z #�2!15�&)1H\T;�5,+{F v ���M#6j � m j(�)�)� !6$"oP=>\,&�('$"+3= $"+6nTM,$@=>&h2EoC4,M,¡SM,2eZPM ("&GM,DE=H\ 2!1 qG2!4,M =>;EF,("v$'M�n,M,$"=H&E ACM $'xy5�2!13=>;EM =.;E+H5�&Gq¦=�2�o~;[('$"+3= 2Eo�Y!&)q)=H2!1H+�2Eo(� $"+.=H\T;�=.$@=.$'+DFIE�PRJ6EMJ PE A +H&)qG2!M�*h$'xy5�2!1�= ;EM =�*,$���&G13&GM,q)&mF�&)=wZ�&G&GM[("$'+3=H+�;�M,*h+H&¦=>+~$"+�=>\,;�=~&)('&Gxy&GM =H+~2EoL('$"+3=H+x£;Nv F�&P1H&G5�&N;U=>&G* #�F,4�=�$"M£;-+H&)=�1H&)5�&¦=>$@=>$'2EM,+�;E1H&PM,2E=�;E("('2eZ�&)*j �#T2!1Rxy2!+3=R=H\,&WZ�2!13¡$'Mh=>\�$'+PqG2!4�1H+H&.=>\�&-("$'+�=>+~Z�&�q)2!M,+H$"*,&G1�ZP$"('(jF�& nTM,$"=H& #,F�4�=C$@=�$'+P$"x{5�2!13=>;EM =~=>2 ¡�&G&G5;EM�2!5�&)M[x{$"M,*�;EF�2E4�=�=>\,&.$"M�nTM,$@=>&mqG;E+H&�

�[� �%��� c���d���� K�&¦=�� Z ���M#Mj!� m j)�)�)� !yF�&�;�("$'+3={2Eo.&)('&Gxy&GM =H+£2Eo:�{ = &]+H;Nv=>\T;U=3� X7� $'+[� H�T,�kJw� ��V�H F�� � 5,132�Y�$"*,&G* =H\,&G13&];E13&^nTM�$"=>&)("v x{;EM v +HqG;E( ;E13+e*#6jMe m j)�)�)��jMe � Xf��+H4�q \=>\T;�=:�dZ � �@ � # e @ � @ ^��\�&GM�=H\,&£+3&)= 2Eo�;E('(uY!&)q)=H2!1H+6$"M=>\,&C+H5T;EMh2�o�� $"+�+H;E$'*£=H2w�6JR=>\�&>� ��V�HrF���� ;EM,*h$'+�*,&GM�2E=>&)*h+H5T;EM � � #6j!� m j(�)�)� !¦ u}�v

�e7

Page 20: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�E� ������� ����� � ����� ��� R� � ���� ������� ��� ���� � �

qG2EMSYE&GM =>$"2!M[Z�&-+>;NvB=H\T;�=�=>\�&-+35T;EM�2Eo�=>\,&.&Gxy5�=wvh("$'+�= � !~$'+~=>\�& �G&G132{+35T;Eq)&; $� @S ��\,&-5,1H2�2Eo�2Eo�=>\,& o�2!("('2eZP$'M,D�('&Gxyx{;6$'+P; 1H2!4X=>$'M�& &¦?X&G13qG$'+3&E

�R�X������k����k���k�! �kJ�� ��V�HoF��>V�Hk�QS ���6ThF�� � JML6T FIEG�-F��B�\���>VQ�6� �6� ��VRLMJ8F��������o�+H5T;EM � � #�j(�)�)�6j!� � !�Z � #jZ�& +>;Nv � � #�j)�(�)��j!� � !*� ��V�H�� �{ -A�Y!&)q)=>2E1-+35T;Eq)& $'+

+>;�$'*£=H2 F�& ��H'� T J*P � ��J6H����WFIH�V�S!$@oL+H2!xy&CnTM�$"=>&C('$'+�=~+35T;EM,+B�{ R#T2!1�&¦?�;Exy5,('& #�("&)=�� �*,&)M,2E=>& =>\�&yYE&Gq)=H2!1�+35T;Eq)&£2EoP;�('(�q)2!('4,xyM Y!&Gq¦=>2!13+�ZP$@=>\ � &GM =H1H$'&)+-o�132!x|=>\�&ynT&)('*��#T;EM,*[('&¦= $� @ F�& =>\�& qG2!("4,x{MhYE&Gq)=H2!1 ����j(�)�)��j>��j ��jW�2�)�)��j>�,!�$�ZP$"=H\ �pn �-&)M =>1H$"&G+&GQS4T;�(�=>2 �.X ��;EM�* ;��X � $'M5�2!+H$@=>$"2!MsY3 ���\,&GM � � $"+�nTM,$@=>&£*�$'xy&GM,+3$'2!MT;�(F�&GqN;�4,+H&.=>\,&.("$'+3= � �&#�j � m j(�)�)��j �0� !~+35T;EM,+[� �

K�&)= = � ~ ! X ��� ~��u\T;NY!&6=H\,&6o�2!1Hx = � ~ ![Z e���g�e*# ~ g q�q�qGe �I~ � ZP$@=>\re �o`Z �� = &C+>;Nvy=>\T;U=(= � ~ !�\T;�+!PRJ���EGJMJ��% u��\�& �G&)1H265�2!("v�M,2Ex{$';E(,\T;E+�*,&GD!13&G&>n = &C("&)=� ���|� !�*,&)M,2E=H&m=>\,&m+3&)=�2�o�;E('(�5�2E("v�M,2!xy$ ;E("+uZP$"=>\£*,&GD!13&G& ;U=�x{2E+3= �� u��\,&GM � ���|� !$'+P; +34,F,+H5,;EqG&�2Eo���� ~���ZP$"=>\[+35T;EM,M,$"M,D ('$"+3= �'Z ����j ~ j�~ m j)�)�)��j ~ � !¦

Pw�65 � ���^� S 8�� ��"^�Y<s� ��"^� �� �� S ��" T#"^� � :��� ��Y< T : � S0$��#$

(mM,&�2Eo.=>\�& xy2!+�=Bo�4,M,*T;�x{&)MS=>;E(mq)2!M,qG&)5�=>+[2Eo�('$"M,&N;�1B;E("D!&GF,1H;$'+£=H\T;�=[2Eo-("$'M,&G;E1$'M�*,&G5�&GM,*�&GM,q)&E

�h� �%����c���d���� A nTM,$"=H&P('$'+�= � � #�j)�)�)��j!� � !�2EojYE&Gq¦=>2!13+�$'M � $"+�+H;E$'* =>2�F�&*S � HKJ V�E�SU�� H�PRJ �kJ6H�PRJ6HkT�5,1H2eY�$'*,&)* =>\,&sFIHkSU�{q \,2!$'q)&h2EoP+HqG;E( ;�1H+�e*#�j)�)�(��jMe � X � o�2E1�ZP\,$'q \� �@ � # e @ � @ Z $� $'+�e*# Z e m Z q�q�q�Z e � Z �� �ACM $'M�nTM�$"=>&h("$'+�='� � #�j!� m j)�)�(� !�2EoY!&)q)=H2!1H+�$'M � $'+u+H;E$'* =>2.F�& S � HKJ V�E6SU� � H�PRJ �kJ6H�PRJ6HkT�5�1H2eY�$'*,&)*y=H\T;�=Ro�2!1u&N;�q \{5�2!+H$@=>$@Y!&$'M =H&GD!&)1?Z #S=>\,&W('$"+3= � � #�j)�(�)��j!� � !Rq)2!M,+H$"+3=H$'M,D-2Eoj=H\,&Wn,1H+3= Z Y!&)q)=H2!1H+�2Eoj=>\�&C$'MXnTM,$"=H&('$"+3=�$"+�('$"M,&N;E13("v{$'M,*�&G5�&GM,*,&)M =N

A n,M,$"=H&���J6T 8 2Eo%Y!&Gq¦=>2!13+C2Eo1�¤$"+r+H;E$'*[=>2{F�&QS � HKJ V�E�SU�.� H�PRJ �kJ6H�PRJ6HkTj5,132eYX$"*,&G*&N;�q \�('$'+�=C2�ou*,$'+�=>$"M,q)=rY!&Gq¦=>2!13+ 2Eo*8)��M�2h1H&G5�&)=H$"=H$'2!M^;E('("2eZ�&)*�!W$"+C('$"M,&N;�1H("vB$'M,*,&)5�&)M �*,&)MS=G 6ACM�;E13F,$"=H1>;E1�v^+3&)=�8 2�o�YE&Gq¦=>2!13+�2Eo � $'+C+>;E$"* =H2hF�& ("$'M,&G;E1H(@v�$'M,*,&)5�&)M,*,&)MS=5,132�Y�$"*,&G*�&)YE&G13vhn,M,$"=H& +H4,F,+3&)=C2Eo 8 $'+�("$'M,&G;E1H(@v£$"M,*,&G5�&GM�*,&GM =N

ACM v +H4,F�+H&)=�2EoB�_2!1.('$"+3=-2Eo�YE&Gq¦=>2!13+�$'M � $"+.+>;E$"* =H2<F�&�S � HKJ V�E�SU� PRJ �kJ6H�PRJ6HkT5,132�Y�$"*,&G* $"=6$'+ M,2E= ("$'M,&G;E1H(@v $'M,*,&)5�&)M,*,&)MS=G ��= o�2!('("2eZP+6$'xyx{&)*,$ ;U=>&G(@v]=>\,;�=y;�('$'+�=� Z ���M#6j!� m j)�(�)� !r$'+m("$'M,&G;E1H(@v[*,&G5�&GM�*,&GM =-5,1H2eY�$'*�&G*]=>\�&G1H& $"+m+H2Ex{&6$"M =>&GDE&G1 Z � �o�2!1 ZP\,$"q \�=>\,&)1H&£;E1H&�Z +HqG;E( ;E13+8e*#�j(�)�)��jGe � X � +34,q \=>\T;U= � �@ � # e @ � @ Z $��;EM,*M,2E=W;�('(�=H\,&*e @ /J+W;E13&.&GQS4T;E(j=H2 �)&G132,

��\,& o�2!('("2�ZP$"M,D �������S�, �h�Siu�X���L�X��b!�z�������� ZP$"('(r=H4,1HM 2!4�=h=H2 F�&�&¦?3�=>13&Gxy&G(@vB4,+3&)o�4,(�

Page 21: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�R���� ��.� � �l� �.� �&����� ���&��� � � � ��� � � � ����� � ��� � ��� � � � �X�

��������¤k_�'`_���k� �kJrHKFIHKJ6�l��T|�'S ���6T � Z � � #�j!� m j)�)�(� !sF�� � JML6T FIEG� � H � ��� T,��M#-`Z $�=���-S � HKJ V�E�SU�wPRJ �kJ6H�PRJ6HkT � �-V�H�P^FIHkSU�� �>T �kJ6EMJ ���8��FI��J � HkT J��RJ6E \d�6�kLM��T ��V�TT,�kJlS ���6T����M#�j(�)�)��j � A !����!V�S ���6T�LMFIH������6T � HF� F���T,�kJ ��EG�6Tk\ � JML6T FIEG�*F�� � �#FIE�� �F�WLM� T,�kJ�#FIS S�F0��� HF���kFIS P��� � � � A X�� ��V�H � � #Mj(�)�)��j � A %'# !��� �E� � � � T �kJ \kT �0T J6E�� � A ���cEGJ6��F � J P ��EGFI� T �kJ S ���6T � ��T,�kJ�� ��V�HwF���T �kJcEGJ6�QV � H'� HF�S ���6T�J ����V�S � T �kJ!� ��V�HsF�� ���� EMF�F����CVX4,5,5�2!+H&�=>\T;U=�=H\,&�("$'+�= �.Z � � #6j!� m j)�)�(� !�$'+�('$"M,&N;�1H("vC*,&G5�&GM�*,&GM =R;EM�*�� # `Z $�X #T2!1u+H2!xy& Z =H\,&G13&r;�1H&P+HqG;E( ;E13+�e*#6j)�)�)��jMe � o�2!1�ZP\,$"q \ � �@ � # e @ � @ Z $� ZP$"=>\y;�=R("&N;E+�=2!M,& 2Eo�=>\�&�e @ M�2E=.&GQS4T;E(�=>2��� V�$'M,q)& �M#Q`Z $� #�M,2E=-;E("(%2EoR=>\�& +HqN;�( ;E13+ e m j(�)�)��jGe �qN;EM�&GQS4T;�(L�� �VX2 ('&)=�\ � � F�& =>\,&.(';E1HD!&)+3=P$"M,*,&¦?Bo�2!1~ZP\,$'q \�e A `Z �� u��\�&GM

� A Z � nle*#�e %'#A !"� #_g ��n[e m e%'#A !"� m g q�q�q�g � nle A %'#�e %'#A !"� A %'#�j

5,1H2eY�$'M�D ��$ ! ��2 +H&)&B=>\T;U='��$"$ !.;E('+32]\,2!("*,+0#�¥34,+�= M,2E=H&£=>\T;U= $'M ;EM v�('$'M�&N;E1-qG2!x�F,$'MT;U=>$'2EM�2Eo

Y!&)q)=>2E1H+�o�1H2!x ��#,$"o � A ;�5,5�&G;E1H++#,$"=~qN;EMhF�& 1H&)5,( ;Eq)&G*hF vh$@=>+�& ?X5,1H&)+H+H$"2!M^;E+�; ('$"M,&N;E1qG2!x�F,$'MT;U=>$'2EMh2Eo�=H\,& Y!&)q)=>2E1H+B�M#�j(�)�)��j � A %'#

#f2E1 =H\,&[qG2!M YE&G1H+3& #P$"= +3\,2!4,("* F�&[$'xyx{&)*,$ ;U=>&G(@v 2!F YX$"2!4,+ =>\T;U={$@o��$ !6;EM�* ��$'$ !\,2!("* #�=>\�&GM[=>\,&.('$"+3= � $'+�('$"M,&N;�1H("v{*,&)5�&)M,*,&GM =G

��\,& o�2!('("2�ZP$"M,D.=>\,&)2!1H&)x $'+�2Eo�x£;�¥32E1�$'xy5�2!13=>;EM,qG&r$'M£=H\,&m=>\�&G2!1�v! u��=�+H;ev�+�=>\,;�=��nTM�$"=>& !�('$"M,&N;�1H("vm$'M,*,&)5�&)M,*,&)MS=R("$'+�=>+�;�1H&~M,&¦Y!&)1u('2!M,DE&G1�=H\T;EM'� nTM,$"=H& !L+H5T;EM�M,$'M,D ("$'+�=>+G ���L�Sd� ���� k_�"`_�'`_��� ���O�kF���J�T ��V�T �C��� � ��V�HkHKJ P����[T �kJ ��H'� T J�S ���6T �.Z ��� #�j(�)�)��j�� � !V�H�P T ��V�T � Z � � #�j)�)�(��j!� � ! ���8V�S � HKJ V�E�SU��� H�PRJ �kJ6H�PRJ6HkT S ���6T � �kJ6H Z3} � �� EMF�F���� = &-+H\T;�('(L5,1H2eYE&�=>\T;U= Z } ��F v^4�+H$'M�DB;EM<;E('D!2E1H$"=H\,x =H\T;�=r$'+W$'M =>&)1H&)+3=>$"M,D$'M�$"=H+W2eZPM^1H$'DE\S=G ���=r;Exy2!4,M =H+P=H2{+�= ;E1�=>$"M,DyZP$@=>\[=>\,&.("$'+3= � ;�M,*^13&Gxy2eYX$"M,Dy2!M,&�;EM,* ;E*,*�$'M,Dh2!M�& �];�=m&N;Eq \ +3=H&G5 +H2�;E+m=H2hx£;E$"M = ;E$"M];B+H5,;EM,M,$"M,D[('$'+�=N �VX$"M,qG&6=H\,&('$"+3= � Z �� #6j)�)�)�6j�� � !-+H5,;EM,+ ��#u;E*U¥32!$"M,$'M�D<;EM v Y!&)q)=>2E1�=>2�=>\,&B("$'+�=�5�1H2�*,4,qG&)+ ;('$"M,&N;E13("v{*,&G5�&GM�*,&GM =r('$'+�=N ��wM�5T;E1�=>$"qG4,(';E10#

� � #�j�� #Mj)�)�)��j�� � !$'+R('$"M,&N;�1H("v�*,&G5�&GM�*,&GM =~ZP$@=>\y$"=>+RnT13+3=�&G('&)x{&)M =�*,$ ��&)1H&)MS=�o�1H2Ex $�� RVX2�F v =>\,&CKL$"M,&N;�1lm&G5�&GM,*�&GM,q)&mK�&Gxyx£;mZ�&rx{;Nv 1H&)x{2eY!&W2!M,&P2Eo�=>\,&�� / +R+H2-=>\T;�=R=H\,&P1H&Gx{;E$"M,$'M,D ("$'+�=2EoL('&)M,DE=H\ �]$'+�+3=H$'('(�;�+35T;EM,M�$'M,D6("$'+�=N RVX4�5,5�2E+H&C=H\,$'+�5,1H2�qG&)+H+�\T;E+�F�&)&GMhqN;�1H1H$"&G*B2E4�=4,M =>$"(�;y+35T;EM,M�$'M,D ('$"+3=�2�o�=H\,& o�2!1Hx

� Z � � #6j)�)�(��j!� A j���' # j)�)�(��j���'�0% A !

Page 22: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � ������� ����� � ����� ��� R� � ���� ������� ��� ���� � �

\T;E+�F�&G&)M[2!F�= ;�$'M,&)*j u��oLZ�&.M,2eZ ;E*U¥32!$"M � A�� #R=>26=>\�& ('$'+�= � F vh$'M�+H&G1�=>$"M,D6$"=~$'xyx{&$�*,$';�=>&)("v�;�o =H&G1 � A #�=>\�&61H&)+H4,(@=>$'M�D£('$"+3=WZP$'("(�F�&6("$'M,&G;E1H(@vh*,&G5�&GM�*,&GM =N -}�v[=H\,& K�$'M,&G;E1lm&G5�&GM�*,&GM,q)&mK�&Gxyx{; # 2!M,&W2Eo�=H\,&PY!&Gq¦=>2!13+�$"My=H\,$'+R('$"+3=Rx64�+3=�F�&r;-("$'M,&G;E1uqG2Ex6F,$'M,; �=>$"2!M�2Eo�=>\�&-YE&Gq)=H2!1H+C5,1H&)qG&G*�$'M,DB$@=W$'M^=H\,&-('$'+�=N PV�$'M,q)&�=>\�&�('$"+3= ���M#6j)�(�)��j!� A�� #.!Px�4,+3=F�&6('$"M,&N;E13("v[$"M,*,&G5�&GM�*,&GM = #�=>\,$"+CY!&)q)=>2E1 x64,+3=mF�&62EM,&62Eou=H\,& � ' /J+m;EM,*�M,2E=m2!M,&62Eo=>\�&(� / +G �VX2mZ�&WqG;EM 1H&)x{2eY!&~=H\,$'+�� ' ;EM�* 2!F�= ;�$'M ;mM,&¦Z ("$'+3=%2Eo�('&)M,DE=>\ �BZP\,$'q \ +3=H$'("(+H5,;EM,+���;EM,*^\T;E+ � #6j)�)�(��j!� A�� #�;E+r$@=>+W$'M,$@=>$';E(�xy&Gx6F�&G13+G P��o�;�=r+H2!xy&-+3=>&)5<Z�&�\T;E*;E*,*�&G* ; �<;�M,* \T;E*�M,2hxy2!1H& � / +m=>2h1H&)x{2eYE& #jZ�&6Z�2!4�('* \T;NY!& ;hqG2EMS=H1>;E*�$'q)=H$'2!M #+H$"M,qG&W=>\,&C&GM =>$"1H&C("$'+�=�2Eo ��/ +�x64�+3=�F�&C("$'M,&G;E1H(@v $'M,*,&)5�&)M,*,&)MS=G �VX26Z�&mx£;NvyqG2EMS=H$'MS4,&=>\�&65,1H2�qG&)+H+ 4,M =H$'(�;E('(L=>\,&�Y!&Gq¦=>2!13+��M#�j(�)�)��j � � \T;NY!& F�&G&)M�;�*,*,&G*]=H2£=>\�& ('$'+�= #�$ &E #Z } ��

�h� �%����c���d�� A Y!&)q)=>2E1C+H5,;EqG&��¤2eYE&G1P=>\,&.nT&G("* � $"+�+>;E$"*�=H2{F�& ��H'� T J8P � ��J6H�����WFIH�V�SS5,1H2eY�$'*�&G*[=>\,&)1H&-$'+P;6nTM,$@=>& ('$"+3=~=H\T;�=W+H5,;EM,+��{ ���L�Sdf U��� k_�'`_�"k_� � � � ���8V��6���6� ��VRLMJ�F��*T,�kJ���H'� T J���P � ��J6H����WFIH�V�S � ��VRLMJ �#� T,�kJ6H� ������H'� T J*P � ��J6H����WFIH�V�S �� EGF�F����CVX4,5�5�2!+3&y=H\T;�=�� $'+.+H5,;EM,M,&)*�F v ;�("$'+�=.2Eo�("&GM,D�=>\ Z� {��o �uZC; $�?@3#L=H\,&GMqG&)13=>;E$'M,(@v �z$'+C+35T;EM,M�&G*�F v];ynTM,$"=H&�("$'+�=m;EM�*]$'+PnTM,$@=>&�*�$'xy&GM,+3$'2!MT;�( WVX2B+34,5,5�2!+H&=>\,;�= �zq)2!M = ;E$"M,+C;yM,2!M �)&G132£Y!&)q)=>2E1 � #¦ W��o%=>\,&�('$'+�= � � # !P*�2X&)+CM,2E=r+H5,;EM�� #�("&)=�� mF�&m;�YE&Gq)=H2!1�$'M � =H\T;�=~$"+�M,2�=~$'M£+H5T;EM � � # !¦ u}�vy=>\�& K�$'M,&G;E1~lm&)5�&)M,*,&GM�qG&.K�&Gxyx£; #=>\�&W("$'+�=�� � #6j!� m !�x64,+3=�F�&P('$'M�&N;E13("v-$'M,*�&G5�&GM,*,&)M =N ���2!M =>$"M�4�&P=H\,$'+u5�1H2�qG&G+3+G RA~=�&N;Eq \+3=H&G5 #�$"o�=>\�& ('$'M�&N;E13("v $'M�*,&G5�&GM,*�&GM =P('$"+3=~2EF�= ;E$"M,&G*h*�2X&)+�M,2E=�+35T;EMB=>\�& +H5T;Eq)&�� #�Z�&qN;�M[;E*,*B2!M�&mx{2E1H&rYE&Gq¦=>2!1~2�o � =>2�=>\,&m("$'+�=�¡�&G&G5�$'M,D $@=�("$'M,&G;E1H(@v $'M,*,&)5�&)M,*,&)MS=G �}�v=>\�&W5�1H&Gq)&G*,$"M,D.=>\,&)2!1H&)x�#!=H\,$'+u5,132Xq)&G+3+�\T;�+R=H2.+3=>2E5{F�&)o�2!13&W;.("$'M,&G;E1H(@v-$'M,*,&)5�&)M,*,&)MS=('$"+3=P2Eo%('&)M,DE=>\[Zg§��\T;E+WF�&G&GM^2!F�=>;E$'M,&)* #f$ &E # �z$'+P+H5T;�M,M,&G*<FSv�;y('$"+3=P2Eo%('&GM�DE=>\;�=Pxy2!+3= Z #T+32{$"+~nTM,$@=>& *,$"x{&)M,+H$"2!MT;E(�

� dTce�� �wM^=H\,&�5�1H&Gq)&G*,$"M,D£5�1H2�2Eo.#,=>\,&�+H5T;�M,M,$'M�D{("$'+3=P2EF�= ;E$"M,&G*[o�2!1 � Z~;�+C;E("+H2('$"M,&N;�1H("v.$"M,*,&)5�&)M,*,&GM =G �:^2!1H&)2eY!&G1+# Z�&�q)2!4,('* \,;eYE&~= ;E¡�&GM3� ;E+�=H\,&�+H4,F�+H5T;Eq)&� 2!MZP\,$"q \^=>2{qN;E1313v[2!4X=r=H\,&6;E("D!2!13$"=>\�x�=H2£2!F�=>;E$'M^;{("$'M,&G;E1H(@vB$"M,*,&G5�&GM�*,&GM =m+35T;EM,M�$'M,D('$"+3=G ���\,$'+P$"+P; YE&G1�v[$'xy5�2!1�= ;EM =~=wv�5�&.2Eo%("$'+�=N

�h� �%����c���d�� A �MVI�����Po�2E1 ;£Y!&)q)=>2E1-+35T;Eq)&� 2�YE&G1 ��$'+ ;h('$"+3= � 2EoRYE&Gq)=H2!1H+.2Eo�z=>\,;�=�$'+~;6+H5T;EM�M,$'M,D ("$'+3=~;E+~Z�&G('(�;E+P;6('$"M,&N;�1H("vy$"M,*,&G5�&GM�*,&GM =W('$"+3=N = & \,;eYE&�¥34,+3=2!F,+3&G1�Y!&G*�=>\,& o�2!("('2eZP$'M�D�o�;Eq)=�{�R�X����� k_�"`�� � �c� VRLM���H'� T J*P � ��J6H����WFIH�V�S � JML6T FIE�� ��VRLMJ � ��VI�*V �MVI������������LMFIH��� J6HkT �WFIH^T,�kJ-J6�l��T �-��J6T ���8Vp�MVI����� �#FIE!T,�kJ IJ6EGF-� ��VRLMJ�; $� @��

Page 23: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�R���� ��.� � �l� �.� �&����� ���&��� � � � ��� � � � ����� � ��� � ��� � � � �E8

���������k_�"`_� ��� � �3� ���rV ��H'� T J^P � ��J6H����WFIH�V�S � JML6T FIEp� ��VRLMJ���T �kJ6H T �kJ6EGJ ���^V� H'� ���kJ � HkT J��RJ6E�� � �p�6�7LM�)T ��V�T�J VRLM�)�MVI�����0F�������VI�*S�J6HF��T �^J�� VRL6T SU� ���� EMF�F����W��o �,#[Z � � #6j)�)�)�6j!�%�,!m;�M,*� m Z ���K#Mj)�)�)��j!� � !r;E1H&�=wZ�2�FT;E+H&)+ 2Eo � #�=H\,&GM+H$"M,qG& � #u+35T;EM,+ � ;EM,* � m $"+�("$'M,&G;E1H(@v6$"M,*,&G5�&GM�*,&GM = #FZ } �� �VX$'M�qG&�� #u$"+R('$'M�&N;E13("v$'M,*�&G5�&GM,*,&)M =m;EM�* � m +H5,;EM,+�� #��r}LZ� �-r&)M,qG& Z�Z ��

�[� �%��� c���d�� ��o6=>\�& n,M,$"=H& *�$'xy&GM,+3$'2!MT;�(CY!&)q)=>2E1^+35T;EqG& � \T;E+^; FT;�+H$'+hZP$@=>\('&)M,DE=>\���#LZ�&{+H;ev�=H\T;�=��_$'+&� ��P � ��J6H����WFIH�V�Sf2!1 =>\T;�= �L���QT �kJ�P � ��J6H����WFIHaF����y :^2!13&G2eY!&)10#,&G;Eq \BnTM,$@=>&C*�$'xy&GM,+3$'2!MT;�(fYE&Gq¦=>2!1~+35T;Eq)&m\T;E+�;-Z�&)('( ��*,&)n,M,&G*B*�$'xy&GM,+3$'2!Mj

#f2E1L=H\,$'+�q)2!4,13+H&�$"=L$'+Lq)2!x{5�('&)=H&G(@vm+>;U=>$'+�o�;Eq)=H2!13vC=>2WqG2!M,+3$'*,&)1LFT;E+H&)+�2EM,("vmo�2E1jnTM,$"=H&*,$'xy&GM�+H$'2EMT;E(�+35T;Eq)&G+G -W2eZ�&¦Y!&G1+#~+3=H4,*,&)MS=H+{2�qGqG;E+H$"2!MT;E("("v ;E+3¡ ;EF�2!4�= =H\,&h$'M�n,M,$"=H&*,$'xy&GM�+H$'2EMT;E(�qG;E+H&-;EM�*�Z�& =>\,$"M,¡£$@=P$'+�5,("&N;E+H;EM =�=>2 \T;NY!&�; qG2!M Y!&)M,$'&)M =r=H1H&N;U=>xy&GM =;NYE;�$'( ;�F,('&� -r&)M,qG&BZ�&h\T;NY!&[$'M�qG('4�*,&G* ;<=H1H&G;�=>xy&GM = 2EoP=H\,&B$'MXnTM,$"=H&£*,$"x{&)M,+H$"2!MT;E(qN;E+3&6$'M<;EM�;E5�5�&)M,*,$@?�=H\T;�=W=>1H&G;�=>+m;{MS4,x6F�&G1r2EoR+H5�&Gq)$ ;E(L=>2!5�$'qG+) C#T2!1W2!4,1rD!&GM�&G1>;�(5,4,135�2!+3&G++#�\,2eZ�&)Y!&)10#�Z�&C;E1H&PqG2EMS=H&GM =~xy&G13&G(@v6=>2-+>;Nv =>\,;�=�;EM v Y!&Gq¦=>2!1�+H5T;�qG&PZP\,$'q \$'+WM,2E=WnTM,$@=>&-*,$'xy&GM,+3$'2!M,;E(�$'+ � H ��H'� T J0P � ��J6H����WFIH�V�S ��ZP$@=>\,2!4X=r=H13v�$'M,D =>2£;E+H+32Xq)$ ;�=H&;EM vh+H5�&Gq)$"nTq-$'MXnTM,$"=H&mqN;�1H*,$"MT;E(jMS4,x6F�&G1�ZP$@=>\h=>\,&.*,$"x{&)M,+H$"2!M�! �������� k��"`_� �_��� S ���6T��aZ � � #�j)�)�(��j!�%�,!8F�� � JML6T FIEG�Y� H�� ���>V �MVI�����8F��B� � �*V�H�PFIHkSU�4� �>J � J6E6� �DX�� L V�Hd�6J,� E6� T|T J6H��RH'� ���7J6SU��� H�T,�kJ��#FIE��

�0Zfe*#"� # g q�q�q�gae �>� �*� ��8� @�%!� EMF�F����r#%$'13+3=P;E+3+H4,xy&m=>\,;�=��§$'+P;6FT;E+3$'+) �V�$'M,q)& $"=�$"+P; +35T;EM,M�$'M,D +H&¦= #T&G;Eq \ � X��qN;EM[F�&CZP1H$@=H=H&GMh$'M{=>\,&mo�2!13x DE$"Y!&)Mh$'MhOuQf T8� @�! �VX$"M,qG&�� $'+~("$'M,&G;E1H(@v $'M,*,&)5�&)M,*,&)MS=0#+H4,q \§;�M &¦?X5,13&G+H+3$'2!M $"+{&G;E+H$"("v +3&G&GM =H2�F�&<4,M�$'QS4,&E ��2!M Y!&)1H+3&G("v #r+34,5,5�2!+H&<&N;Eq \� X ��\T;E+ ;£4�M,$'QS4,&6& ?X5,1H&)+H+H$"2!M�$'M^=>\,&�o�2E1Hx�2Eo�OuQf j8� @�! C��\�& &¦?X$'+�=>&GM�qG& 2Eou=H\,&&¦?X5,13&G+H+3$'2!M]o�2E1r&G;Eq \ �wX �¤$'xy5,('$"&G+~=H\T;�=�� $'+r;{+35T;EM,M�$'M,D{+H&)=G r��\�&�4,M,$"QS4,&GM,&)+H+=>\,&)M^$"x{5�('$'&)+�=H\T;�=��§$'+�('$"M,&N;�1H("vy$"M,*,&G5�&GM�*,&GM =N ���L�Sd� ���� k��"`_� � � � � � Z � � #�j)�)�(��j!�%�,! ���8V�� ��V�HkH'� HF��S ���6T�F���� ��T,�kJ6HdVw�MVI�����-F��� L V�H'�6JQF���T V � HKJ P)���)PRJ6S�J6T/� HF� LMJ6E�T V � H J6S�J6��J6HkT,�?��EGFI� �����FIH���J ���kJ6HkT SU��J � J6E����H'� T J8P � ��J6H����WFIH�V�S � JML6T FIEl� ��VRLMJl��VI�8VD�MVI�������� EMF�F����W��o � $"+C('$"M,&N;�1H("vB$'M,*,&)5�&)M,*,&)MS=0#j$"=Cx64,+�= ;E("1H&N;�*�v�F�& ;{FT;E+H$"+C2Eo �y m��oRM,2E=0#qG2!M�+H$'*�&G1 � #¦ ���o �M#0Z $� #�*,$"+HqN;�1H*�� #¦ ]��oWM,2E= #�=H\,&GM ("&N;NY!& � 4,M�q \T;EM,D!&)*j �VX$'M,q)&� $'+�;E+3+H4,xy&G* =>2 F�& ("$'M,&G;E1H(@v *�&G5�&GM,*,&)M = # =>\,&)1H& x64,+�=^F�& +H2!xy&)\ +H4�q \ =>\,;�=� A X�+35T;EM � � #6j)�)�(��j!� A %'# !¦ §��\,2�2!+3&�=H\,&^+3x£;�('('&)+3=*\�o�2!1 ZP\,$"q \ =H\,$'+y$'+ =>134,&^;EM,**,&G("&)=H& =H\T;�= � A o�1H2!x �P ��\,$"+ ZP$'('(�v�$'&G("* ;�("$'+3= � #m2Eo �^n �y&G("&Gxy&GM =>+ =>\,;�=.+3=H$'('(

Page 24: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

��I ������� ����� � ����� ��� R� � ���� ������� ��� ���� � �

+H5,;EM,+��y W��o � #W$"+r("$'M,&G;E1H(@vB$"M,*,&G5�&GM�*,&GM = #�=>\,&)M � #W$'+P=>\,&-*,&)+H$'13&G*]F,;E+H$"+C2Eo*� r��oM,2E=0#X=H\,&GM�5,1H2�qG&)&G*�;E+�F�&)o�2!13&C=>2 2EF�= ;E$"M[;6+H5T;�M,M,$'M�D ('$'+�=~2Eo�+H$ �G& � n �X ���2EMS=H$'MS4,&=>\�$'+PZ~;Nv #j;E("Z�;NvX+C5,1H2�*,4,q)$'M,D{+H5T;EM�M,$'M,D£+H&)=H+ 2Eou+3\,2!13=H&G1m("&GM,D�=>\ #�4,M =>$"(�&¦Y!&GM =H4T;E('(@v; ('$"M,&N;E13("v{$'M,*�&G5�&GM,*,&)M =r+35T;EM,M�$'M,Dy+H&¦=r$"+�2!F�=>;E$'M,&)*j �R�X����� k_�"`_� �_�[��� J6E���S � HKJ V�E�SU�4� H�PRJ �kJ6H�PRJ6HkT�S ���6T[F�� � JML6T FIEG� � HoV��H'� T J0P � ��J6H�����WFIH�V�S � JML6T FIEl� ��VRLMJ�� L V�Hr�6J-J���T J6H�PRJ P T F�VD�MVI�����-F��B�D�� EGF�F����rK�&)= � F�& ; nTM�$"=>& *,$"x{&)M,+H$"2!MT;E(C+H5T;Eq)& # +H;ev§ZP$@=>\ *,$'x ��� !oZ �� K�&)=� Z � � #�j)�(�)��j!� !WF�& ;B("$'M,&G;E1H(@v�$'M,*,&)5�&)M,*,&)MS=.("$'+�=N -VX2[�)}��r} �� ���o�� 1 ��Z�&¡SM,2eZ§=>\T;�= � qN;EM,M�2E=�+H5,;EM£=>\�&m+H5T;�qG& #�+H2�=H\,&G13&m$'+�;�Y!&)q)=H2!1 �

� #RM,2E=�$'MB+35T;EM � � !¦

��\,&)M � ' Z � � #6j)�)�)��j!� j!� � # !~x64,+�=W+3=>$"('(jF�&.('$"M,&N;E13("v{$'M,*�&G5�&GM,*,&)M =N ���o�� Z�� 1 �Z�&rqG;EM£13&G5�&N;�=�=>\,$"+R5,1H2�qG&)+H+0#�;E*U¥32!$"M,$'M�DmY!&Gq¦=>2!13+�2!M�&C;�=�; =>$'xy&~=>2-5,132X*,4�qG&W('2!M,DE&G1('$"M,&N;�1H("v[$"M,*,&)5�&)M,*,&GM =.("$'+3=H+C4,M =H$'(�;BF,;E+H$"+m$'+m2EF�= ;E$"M,&G*� -Ar+CZ�&y\,;eYE& +H&)&GM�;EF�2eYE& #=>\�$'+�x64,+�=W\T;E5,5�&GM[ZP\,&GM�Z�&.\T;NYE&�;EM�$'M�*,&G5�&GM,*�&GM =W('$'+�=�2Eo%('&GM�DE=>\ �% �R�X����� k_�"`_�'�_��� �� ����V!��H'� T J���P � ��J6H����WFIH�V�S � ��VRLMJ�V�H�P �9����V��6� �6� ��VRLMJ^F���#� T �kJ6H T �kJ6EGJ=���dVs�6���6� ��VRLMJ � F�� � �6�7LM� T,��V�T � Z � � �� � FIEGJMF � J6E��P � � � � ! } P � ���D� ! ��� T ��J ����V�S � T|��� �>V�H�PwFIHkSU��� � � Z��D�� EGF�F���� = &\T;NY!&+3&G&)M =H\T;�= � x�4,+3=];E('+32 F�&�nTM,$@=>& ��*,$'xy&GM�+H$'2EMT;E( #r+H2 =H\T;�=]$@=\T;E+^; FT;E+H$"+ � #sZ ���M#Mj)�)�)��j!� !¦ _VX$'M,q)& � #h$'+�; ('$'M�&N;E13("v $'M,*,&)5�&)M,*,&)MS=<+H&¦=<2EoY!&)q)=H2!1H+ $'M ; nTM,$@=>& ��*,$'xy&GM�+H$'2EMT;E(-+H5T;Eq)& � #6$"= qG;EM F�& q)2!x{5�('&)=H&G* =>2 ;§FT;E+3$'+� Z � � #6j)�)�)�6j!� j!� � #�j(�)�)�6j!� � !62Eo��y tu4�=�� Z +H5,;EM � �

� #�j(�)�)��j � � !¦ ��('&G;E1H(@v

� Z ��g � #�;EM,* � � � Z ; $�?@S P��=Wo�2!('("2�ZP+�=H\T;�= � Z � � � ���\,&�( ;E+�=C5T;�13=2Eo�=>\,&.("&Gxyx£;�+3\,2!4,("*<;�('+H2 F�&.qG("&N;E1) ���L�Sdf U����k��"`_����� � � J6T �'Z ���M#�j(�)�)��j � ! �6J�VlS ���6T�F�� � JML6T FIEG�cF���V�H � ��P � ��J6H����WFIH�V�S� ��VRLMJ�� � �kJ6HrV�Hk� T � FpF��!T �kJ��#FIS S�F0��� HF� ��EGFM�kJ6E�T/�WJM�,� �l��SU��T �kJ*T,�F� E�P)FIHKJ �� � ����Z � �� �E� � �C��� S � HKJ V�E�SU�4� H�PRJ �kJ6H�PRJ6HkT �� �E�E� � � � ��V�H������� EGF�F����WAC+3+H4,xy& =>\T;�= ��$ !m;EM,* ��$"$ !CF�2E=>\ \,2!("*j {��\�&GM � qG;EM�F�&yqG2!xy5,('&¦=>&)* =H2<;FT;E+3$'++#�ZP\,$'q \ x64�+3= \T;NYE&h&¦?�;Eq)=H("v � Y!&)q)=H2!1H++#�$� J&� # � ;E("1H&N;�*�v�x�4,+3= +35T;EM � ��o��$"$ !~;EM�* ��$"$'$ !�F�2�=>\<\�2!('* # � $"+r;yFT;E+3$'+WFSv�*,&¦nTM,$@=>$'2EM<;EM�*<x64,+�=C\,;eYE& � &G("&Gxy&GM =>+F v<*�&)nTM,$@=>$"2!M<2Eo�*,$'xy&GM,+3$'2!M� r��o ��$'$'$ !~;EM,* ��$ !�F�2�=>\]\,2E('* # � qG;EM]F�&�13&G+3=H1H$"q)=>&)*]=>2o�2!13x¤;�FT;E+3$'++#�ZP\,$"q \Bx64,+�=~\T;NYE& �<&)('&)x{&)MS=H+G �-W&GM,q)& �x64,+�=�;E("1H&N;�*�v F�&r('$"M,&N;E13("v$'M�*,&G5�&GM,*�&GM =N

Page 25: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�R��R � &���&� � � �!�

���L�Sd� ���� k_�'`_���f�k� S�J6T � V�H�P � �6J ��H'� T J���P � ��J6H����WFIH�V�S �6� �6� ��VRLMJM�!F���T �kJ � JML6T FIE� ��VRLMJ��D� �kJ6H

P � ��� � g��)! Z P � � � �&! gfP � ��� �)! n P � � � � � �)!��� EMF�F����rKL&¦= � #�Z � � #�j)�)�)��j!� !�F�&^; FT;E+3$'+6o�2!1 � � � ��2!xy5,('&¦=>&h$"= =H2 ; FT;%�+H$"+ � m Z ���M#6j)�(�)��j!� j!� #�j)�)�)��j!��� !-2Eo �_;EM,* ;E("+H2�qG2Ex{5,("&)=H&B$"=�=>2 ;]FT;E+3$'+ ���pZ� � #6j)�)�)�6j�� #�j(�)�)��j���� ! o�2E1 � [tu4�= � Z � � #�j)�)�(��j!� j!� #Gj)�)�)��j!����j�� #Mj)�)�)��j���� !¦ = &qG(';E$'x¤=>\T;U=��§$"+P; F,;E+H$"+Po�2E1 � g�� #,o�132!x ZP\,$"q \�=H\,& =>\,&)2!1H&)x o�2!("('2eZP+G

#%$'13+3=BZ�&�+3\,2eZ�=H\T;�= ��$'+£('$'M�&N;E13("v $'M,*�&G5�&GM,*,&)M =N �VX2 +H4�5,5�2E+H&�=>\T;U=h=>\,&)1H&;E1H&{+HqG;E( ;E13+0e @ j8i @ j�� @ X � o�2!1-ZP\,$'q \ �

@ � # e @ � @ g � �@ � # i @ � @ g � �@ � # � @ � @ Z $�X

��=Bo�2!("('2eZP+y=H\T;�= � @ � # e @ � @ g � �@ � # i @ � @ Z n � �@ � # � @ � @ X � � � VX$'M�qG& � m$'+6("$'M,&G;E1H(@v�$'M�*,&G5�&GM,*�&GM = #R=>\,$"+�xy&N;EM�+ ;E('(R=>\�&wi @ /J+ ;�1H&B&)Q�4,;E(�=H2 �� ���\,$'+�o�2!1Hq)&G+�

@ � # e @ � @ g � �@ � # � @ � @ Z $�� {VX$"M,qG& ���-$'+ ('$"M,&N;�1H("v^$'M�*,&G5�&GM,*�&GM = #L=>\,$"+ o�2!1Hq)&G+-;E('(

=>\,&�e @ /J+~;EM,*�� @ / +�=H26F�&C�� R}�4�=�$"=�+H\,2E4,('*BF�&CQS4,$@=>&rqG('&G;E1�=H\T;�= � +H5,;EM,+��og � #X+H2=>\T;U=P$'Mho�;Eq)=��§$'+P; FT;�+H$'+�o�2!1 � g��

A~=r=H\,$'+P5�2!$'M =P=>\,&.o�2!("('2eZP$'M,D6=H\,&G2E1H&Gx_$"+P&N;E+�v�=H2{5�1H2eY!&� = &-('&G;eYE&-=H\,&-5,1H2�2Eo;E+W;EM[&¦?X&G13qG$"+H&E ���L�Sd� ���� k_�'`_����`_� � J6T ��#6j �)�)��j � � �6J ��H'� T J���P � ��J6H����WFIH�V�SR�6���6� ��VRLMJM�!F�� � ��� T,�� Z ��# g q�q�q � � V�H�PH��� T,� � @ V��MVI����� �#FIE � @ �P� } Yl} Zd� �kJ-T �kJ �#FIS S�F0��� HF�V�EGJ-J ��� � � V�S�J6HkT �� � ���]Z �J# �fq�q�q � � � �� �E� ��P � � ��� ! Z P � ��� ��# !�g P � �� � m !�g q�q�q#g P � � � � � !��� �E�E� ��� � #6j � m j(�)�)��j � � !Y���8Vp�MVI�������#FIEB�D�� � � � �kJ�� ��VRLMJM���#�������� � � � V�EMJ*S � HKJ V�E�SU��� H�PRJ �kJ6H�PRJ6HkTW�Pw�QP � U)�Y81 ��#$ �!$�! = 1H$"=H& 2!4�=W; 5,1H2�2Eo�2Eo%K�&Gxyx£; 8� @�! @�!

�X WK�&)= � F�&�;�MSvB('$'+�=P2Eo�Y!&Gq¦=>2!13+C2Eo � #f;EM�*^("&)= 8 F�&-=H\,&.+H&¦=C2Eo%;E("(�Y!&)q)=>2E1H+C$"M�� rVX\,2eZ =>\T;U=r=H\,&�$"MS=H&G13+H&Gq¦=>$"2!M<2Eou;E('(�+34,F,+H5,;EqG&)+ \T;NYX$"M,D 8 ;�+m;{+34,F,+3&)=m$"+¥34,+�=W=H\,&.+H5T;�M^2Eo ��

8� rVX\,2eZ =H\T;�=�;EM v�+34,F,+3&)=¤2�oP;^("$'M,&G;E1H(@v]$'M�*,&G5�&GM,*�&GM =6+3&)= 8 2�o~Y!&)q)=>2E1H+�$"+;E("+H2 ('$'M�&N;E13("v�$'M,*,&)5�&)M,*,&)MS=0#P;EM,* 2!F,+H&)13YE&<=>\T;U=y=H\,$'+ $"+{&)Q�4�$"Y�;E('&)M =y=H2�=H\,&o�;Eq¦=�=H\T;�=R$@o� $"+R;-("$'M,&G;E1H(@v-*,&G5�&GM,*�&GM =~+34,F,+H&¦=~2Eo$8 # =>\,&)M 8�$"+R;E('+32.('$'M�&N;E13("v*,&)5�&)M,*,&GM =G �¢W2E=>& {���\�&�&)x{5�=wvB+H&)=� 2Eo�Y!&Gq¦=>2!13+C$"+�('$'M�&N;E13("vy$'M,*�&G5�&GM,*,&)M =N

Page 26: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�E� ������� ����� � ����� ��� R� � ���� ������� ��� ���� � �

I, rVX\�2�Z =>\T;�=�=>\�&r$"MS=H&G13+H&Gq¦=>$"2!M{2�oL;EM v o�;Exy$'("v�2Eo�("$'M,&G;E1H(@v�$"M,*,&)5�&)M,*,&GM =�+H&)=H+�2EoYE&Gq)=H2!1H+W2Eo�� ;E('+32y("$'M,&G;E1H(@vy$'M,*,&)5�&)M,*,&)MS=G

�X r0 $"YE&{;�M�&¦?�;Exy5,("&{2Eo�=wZ�2<('$'M�&N;E13("v]*�&G5�&GM,*,&)M = +H&¦=>+�ZP\�2!+H&{$'M =>&)1H+H&)q)=H$'2!M�$'+("$'M,&G;E1H(@v{$"M,*,&)5�&)M,*,&GM =G

�� rVX\�2�Z_=H\T;�=£; ("$'+�= ��� ! 2EoC('&)M,DE=>\ �<$"+{("$'M,&G;E1H(@v*,&)5�&)M,*,&GM =h$@o ;EM�* 2!M,(@v $"o�0Z $�X

�X rVX\�2�Z =>\T;U=C; ('$"+3= ���M#6j � m !~2Eo�('&)M,DE=H\ � $'+�("$'M,&G;E1H(@v£$"M,*,&)5�&)M,*,&GM =r$"o%;EM,*�2!M,(@v$@o�M�&G$"=H\,&G1�YE&Gq)=H2!1P$'+P; +HqG;E( ;E1~=H$'xy&G+�=H\,&.2E=>\�&G1G

/� WK�&)=�Z|F�&6;y5�2!+3$"=H$"Y!&.$"MS=H&GD!&)1G PK�&)=�� Z ;>=oXd��� ~���{h*�&GD��D= ! Z Z�2E1 = Z$� @S �V�\,2eZ =>\,;�=�� $'+P2!1�$'+�M�2E=W;y+34,F,+35T;EqG&-2Eo ��� ~��� 7� Wtu1H2eYE&W2E1�*,$'+35,1H2eYE&�{���\,&)1H&P$'+R;mF,;E+H$"+u2Eo � � � ~ !�;E('(X2EofZP\,2!+3&rxy&Gx6F�&G13+�\T;NY!&*,&)D!1H&)&,Z�

�e�� Wtu1H2eYE&W2E1u*,$'+35,1H2eY!& {%=>\�&G1H&P& ?�$"+3=H+�;mF,;E+H$"+ �U5 �#jW5 #�jW5 m j|5��$!%2Eo � � �|� !�+34,q \{=H\T;�=��;,!~;E('(�=>\,&.5�2!("v�M,2Ex{$';E('+x5 �#j,�)�)��j�5��W\T;NY!&-*,&)D!1H&)&�8X ��F�!�;E('(j=H\,&�5�2!(@vXM�2!x{$';E('+x5 ��j �)�)��j�5��rD!$"YE&-=H\,&-Y�;E("4,&-� ZP\�&GM]&¦YE;�('4T;�=H&G*^;�=8� ��q !P;E('(�=>\�&�5�2!("v�M,2Ex{$';E('+�5 ��j �)�)��j�5��CD!$"YE&-=H\,&�Y�;E("4,&�8 ZP\,&GM�&¦Y�;E('4T;U=>&G*<;�=�� ��*�!�;E('(j=H\,&�5�2!(@vXM�2!x{$';E('+x5 ��j �)�)��j�5��rD!$"YE&-=H\,&-Y�;E("4,&-8 ZP\�&GM]&¦YE;�('4T;�=H&G*^;�=� ;EM,*�D!$@Y!&m=>\�&.Y�;E("4,& � ZP\,&GM^&)Y�;E("4T;�=>&)*�;�=-�!

�!�! Wtu1H2eYE&m=>\T;�=�$"o ��#6j�� m j�q�q�qKj � � ;E13&m+H4,F�+H5T;Eq)&G+P2Eo � =H\,&GM �OY/Z�� ��#�gaq�q�qMg� � !c} � Y/Z�� ��# !�g �OY/Z�� � m !�g q�q�q<g �OY�Z�� � � !¦

� �X Wtu1H2eYE& 2!1mD!$@Y!& ;£q)2!4,M =>&)1H& ?,;�x{5,("&�{r��o ��#6j�� m j�� �-;E1H&�=>\,13&G& +H4�F,+H5T;�qG&G+.2Eo;6nTM,$@=>& *,$"x{&)M,+H$"2!MT;E(�Y!&)q)=>2E1r+35T;EqG&�� #,=H\,&GM*,$'x�� �J#_g � m g � � ! Z

*,$"x�� ��# ! g *,$"x'� � m !�g *�$'x'� � � !nW*,$'x�� �J# � � m ! n *,$"x�� � m � � � ! n*,$'x�� � � � ��# !

gm*,$'x'� �J# � � m � � � !��

Page 27: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � ��� ����� �

� u� ��� � � � � � ���� � � � � ��|�

�^��� � ��� ��� T �(:���$ S ��" � U[S � <� ��!$��\,1H2E4,D!\,2!4X=r=H\,$'+Wq \T;E5�=H&G1PZ�&�('&¦= � #%��;�M,* � F�&.Y!&Gq¦=>2!1r+H5T;�qG&G+r2eY!&G1W=>\,&.nT&)('*�y

�[� �%��� c���d�� A o�4,M,q)=H$'2!M���2!1�x{;E5�!�§o�1H2!x � =H2 �z$"+�qN;�('('&)*h;�S � HKJ V�E[�QV6�y2!1S � HKJ V�E!T|E�V�H����#FIE��QV�T �WFIH{5,132eYX$"*,&G* +H;�=>$"+3nT&)+W=H\,& o�2!('("2eZP$'M,D-=wZ�2{5,1H2!5�&G1�=>$"&G+�{

��$ ! ���0g � !�Z ��� !_g � � !�o�2!1P;�('($� j!�QX��� ;EM,*

��$'$ ! �|e�� ! Z e � � !�o�2!1P;E("(�e�X���;EM,*^;E('(�� X��� ��\,&G+3&m=wZ�2 5,132!5�&G13=H$'&)+�qN;�MhF�&rqG2!x6F�$'M,&)*B$'M =>2�=>\,&Wo�2!('("2�ZP$"M,D-+H$'M�D!('&W5,1H2E5�&)13=wv�{

� ����C� ���k���k� { � B � ���*S � HKJ V�E ��EMF � � PRJ P � e��_g i#� !�Z e ��� ! g*i � � !��KekjMi�X�hj � j!� X �-�

¢r2E=H$'qG&�=>\T;�= z$'+m;B\,2!xy2!x{2E1H5,\,$"+Hx_2EoR=H\,& ;E*,*,$@=>$@Y!&6D!132!4,5 � � jMg !W$'M =>2B=H\,&;E*,*,$@=>$@Y!&-D!1H2!4�5 ��� j�g !¦ CVX2yv!2!4]+3\,2!4,("*]F�&�;EF�('&.=>2B+3\,2eZ =>\T;�= � $� ! Z $� #fZP\,&)1H&=>\,& nT13+3= $� $'+�=>\�& �)&G132yYE&Gq)=H2!1P2Eo � ;EM,*[=>\,&.+3&GqG2EM,*<$"+~=>\,& �G&)1H2 Y!&)q)=>2E1r2Eo��y

���L��� �S �d ���,i�� ��\,&�x£;E5<�D{ � B �¤*,&)n,M,&G* F v^�4� � !cZ $�yo�2!1r;E("( �)X �$'+�&G;E+H$"("vB+3&G&)M^=>2 F�&.('$'M�&N;E1)

���L��� �L�X��c���c$ ���,i�� VX$"x{$"( ;E13("v #X=>\�&�x{;E5){ � B ��*�&)nTM,&)*�F v� ��� !�Z��o�2!1P;E("($��X�� $'+�('$"M,&N;�1G

#f2E1 = � ~ !8Z e���gfe*# ~Dgfe m ~7m�g]q�q�qGe �I~ � X ���B~�� #�=H\,&{o�2E1Hx{;E(u*,&G13$"Y�;�=H$"Y!&y2Eo= �,~ !~$"+�*,&)nTM�&G*^=H2 F�&:= ' �,~ !�Zfe*#�g ��e m ~0g 8�e �G~

� g q�q�q�g �_e �I~ �&%'# ��� �R�S ��X��c����Xc���d�� � lm&)nTM�&�� {����B~��NB ���B~��LF v�� �D= !�Z = ' #TZP\,&G13& = ' $"+W=H\,&

o�2!1Hx{;E(�*,&G13$"Y�;�=>$@Y!& 2Eo =� u��\,&)M��$'+�("$'M,&G;E1G �!�

Page 28: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�E/ ������� ����� � � ��.� � ��� � ��� � � �h�l��� �x� ���

��\,&C5�1H2E=H2E=wv�5,$'qG;E(T('$"M,&N;E1Rx{;E5 $'+�D!$"YE&GM{FSv =H\,&ro�2E('('2eZP$"M,D, �K�&)= � � ;EM�*D� � F�&=>\�&�Y!&)q)=H2!1m+H5,;EqG&)+m2Eouq)2!('4,xyM^YE&Gq¦=>2!13+CZP$"=H\ �;EM�* Z &GM =H1H$'&)+0#�1H&G+35�&)q)=H$"Y!&)("vE mK�&)=� X"� ��� �4� � ! Rlm&)nTM�& ���{ � � B � � F v

���{ ���B ��� o�2E1P;E('( � X�� � ���\,&-4,+H4T;�(�5,1H2!5�&G1�=>$"&G+�2Eo�x£;U=>1H$ ?h;�('D!&)F,1>;6o�2!13qG& ��^=>2yF�& ("$'M,&G;E1G

���L�Sdf U��� �x���k�"`_� � �<�O�kF���J�T ��V�T � ��� � ��P � ��J6H����WFIH�V�S ��� T �8�MVI�������aZ � � #�j(�)�)��j ��� !��V�H�P�S�J6T � Z � � #�j)�)�)�+� � !0�6J8V�Hk�QS ���6T�F���� � JML6T FIEG�-F����D� �kJ6H�T �kJ6EMJ ���8VD�RH'� ���7JS � HKJ V�E!�QV6�� { � B � �6�7LM�)T ��V�T ��� @ ! Z � @ �#FIE.� }�Y�} ���� EGF�F����rK�&)=(��F�& ;EM v£YE&Gq)=H2!1�2Eo � #,+32 ��Z � �@ � � e @ � @ o�2!1�4�M,$'QS4,& +3qN;E(';E1H+he @ X�� ��\,&)M]=>\,&6*�&G+H$"1H&)* \T;�+C=>2BF�&6*,&¦nTM,&)* F v � � !hZ � �@ � # e @ � � @ !�Z � �@ � # e @ � @ ��\,$"+�qG('&G;E1H(@v£*�&)nTM,&)+ 4,M,$"QS4,&G(@v! u��\,& o�;Eq¦=~=>\T;U= $'+�('$'M�&N;E1�o�2!('("2�ZP+�&N;E+3$'("vyo�1H2Ex=>\�&-F,;E+H$"q 5,1H2!5�&G1�=>$"&G+P2Eo�Y!&Gq¦=>2!1P+35T;EqG&)+G

tu4�=�� � ��j � ! Z<; { � B � { $'+�("$'M,&G;E1#@S ��\,&P$'M =>&)1H&)+3=>$"M,Dmo�;Eq¦=R\,&G13&�$'+�=>\,;�=�� � � j#� !%$'+�;ED ;E$"M ;mY!&Gq¦=>2!1R+35T;EqG&P$"M $"=>+%2�ZPM

1H$"D!\ =N ��JML6T FIE>VOPOP � T/�WFIH38 g $'+�*�&)nTM,&)*^o�2!1�8 j X� � ��j � !~F v { ��8�g !0��� ! Z8 � � !Kg � � !�o�2!1~;E('(�� X��� � L V�S V�E��-� SUT � ��S �WL V�T �WFIH e $'+�*,&¦nTM,&G*[o�2!1�e�X^��;EM,* X�� � ��j � !.F v �|e !0� � !*Z�e � � � ! !mo�2!1�;E('(1� X �� y 2!4+3\,2!4,("*�Y!&)1H$"o v =H\T;�=ZP$"=H\B=>\,$"+�Y!&)q)=H2!1W;E*,*,$@=>$'2EMh;EM,*[+HqG;E( ;�1~x64,(@=>$'5�('$'qG;�=>$"2!M�� � ��j � !�$'+~; YE&Gq¦=>2!1�+35T;EqG&ZP$"=H\h=>\,& �G&)1H2yx£;�5�F�&G$"M,D6=>\�&�;�*,*,$"=H$"YE& $'*,&)MS=H$"=wvE

¢r2eZ +H4,5,5�2!+3&-=H\T;�=� X� � ��j � !~;EM,* 8 X � ��� j��)!¦ u��\,&)M�=H\,& qG2Ex{5�2!+H$@=>$"2!M8 > �{�� B � #�4,+34T;E("("v<¥34,+�={ZP13$"=H=H&GM 8 #~*�&)nTM,&)* F v 8 � � !DZ 8�� � � ! !$#$'+rZ�&)('( ��*,&)n,M,&G* ;EM�* $"+m&N;�+H$'(@v�+H\,2eZPM =>2hF�& ('$'M�&N;E1) �wM DE&GM,&)1>;E(%=H\,& qG2Ex{5�2!+H$@=>$"2!M5,132X*,4�q)=P$'+P;�+H+H2�qG$';�=>$@Y!&�� ZP\,&GM^;6=>13$'5,("&C5,132X*,4�q)=W$'+~*�&)nTM,&)*�!�F�&)qN;E4,+3& =>\,$"+�$'+�=H1H4,&2Eo�=H\,&mqG2Ex{5�2!+H$@=>$"2!M£2Eo�o�4�M,q)=H$'2!M,+�$'MBD!&)M,&G1H;E( �}�4�=P;E("+H2�Z�& \T;NY!&m=H\,&m*,$"+3=H1H$'F�4�=>$@Y!&5,132!5�&)13=H$'&G+ ��8 # g 8 m ! Z 8 # g 8 m ;�M,*�8 � # g m !hZ�8 #xg 8 m ZP\,&GM,&¦Y!&)1=>\�&-5�1H2�*,4,q)=H+W;E1H&.*,&¦nTM,&G*�

�wM�D!&)M,&G1H;E( =>\,&�x64,(@=>$'5�('$'qG;�=>$"2!MC2�o,('$"M,&N;�1�x{;E5,+L$"+�M�2E=%q)2!xyx64�= ;U=>$"YE&R&)Y!&)M�ZP\,&)MF�2E=>\[5,132X*,4�q)=>+W;E13&.*,&)nTM�&G*j

�^�65 � � 8��^�� #$ S ��" � � S W��!$= &-5�1H&)o�&)1�=>\,& o�2!("('2eZP$'M,D�( ;EM,DE4T;ED!&� u��o1=^{,� B �¤$'+P;6o�4,M,q¦=>$'2EM #,Z�&.+H;evh=H\T;�= �$'+�=>\,&�PRFI�QV � H 2�o�=];�M,* � $'+�=H\,&-E�V�HF�RJ�2Eo =� R}�4�=B=<xy$'DE\S=�M,2E=�F�&�FIHkT F�{ = &*,&¦nTM,&�=H\,&�� �QV �RJ�2Eo = F v��wx ��= !�Z ;Ii!X � { = �|e !�Z iro�2!1P;�=P("&N;E+�=P2!M,&*epX�� @S

Page 29: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�R����� ��� � �� �p� ���]���)� ��� �E7

ACM,*[Z�&-4�+H& =>\,$"+�( ;EM�D!4T;ED!&ro�2!1�('$"M,&N;E1�x£;E5�+P;E('+32, ���\,&�Hk�RS SK� ��VRLMJ&��2!1lNOJ6E�HKJ6S !�2Eo X � � ��j � !~$"+�*,&)nTM�&G*<F vhMS4,("( � ! Z ; � X�� { ��� ! Z $�?@S

�wMB=>\,&m& ?X&G1Hq)$'+3&G+~v!2E4[;E1H&C;E+H¡�&G*h=>2�+H\,2eZ =>\T;�=�=>\,&rMS4,('(�+H5T;�qG&.;EM,*£$'x{;ED!&P2Eo�;('$"M,&N;E1�x£;E5�;E13& +H4,F�+H5T;Eq)&G+r2Eo%=H\,&-;E5,5,132!5,1H$';�=>&C+H5T;Eq)&G+) �������� � �'`_���k��� J6T X � � ��j � !�� �kJ6H ���4� H��#JML6T � � J � � � J�� �>FIHKJ�� T F � FIHKJ �H� �V�H�PwFIHkSU��� � Hk� S S � ! Z ; $� @ �� EMF�F����CVX$'M,q)& � $�,!�Z $� #L$"o $"+.$'MU¥3&)q)=>$@Y!& #�q)('&G;E1H(@v<MS4,("( � ![ZC; $�?@S {��2!M YE&G1H+3&G(@v #+H4,5�5�2!+3&6=>\T;U=CMS4,("( � !cZ ; $�?@S r��\,&GM�+34,5,5�2!+H&6=H\T;�= ���K#.!hZ � � m !~o�2!1��K#Mj!� m X�� r��\,&)M�F v�=H\,&�("$'M,&G;E1H$@=wvh2Eo Z�&�\T;NYE& � � #�n � m !cZ � � # !�n � � m !cZ $� #�+H2� # n�� m X�MS4,('( � !�Z ; $� @S �-r&)M,qG& � #�Z � m #T$'xy5,("v�$'M�D $"+�$'MU¥3&)q)=>$@Y!&�

��\,&£o�2!("('2eZP$'M,D[��\,&)2!1H&)x V�H�P=� T � ��J6T,�kF�PoF��!��EGF�F��.;E13&{& ?X=H1H&)x{&)("v 4,+H&¦o�4,(�$"Mx£;�MSvBqG2!M =>& ?�=>+G ���L�Sd� ���� � �"`_�'`_� � � � ��� ��H'� T J*P � ��J6H����WFIH�V�SKV�H�P X � � ��j � !���T,�kJ6H � � � ! �����H'� T J���P � ��J6H����WFIH�V�S_V�H�P

P � ��� � !�Z P � � � Hk�RS S � ! !Kg P � � � � �� ! !6�� EMF�F���� ��t%;Nv{qG("2!+H& ;U=H=>&)M =>$'2EM£=>26=H\,&m*,&¦= ;E$"('+�2�o�=>\,$"+~5,1H2�2Eo y 2E4£ZP$'("(�Z�;EM =�=>264�+H&=>\,&)x o�2!1�+32!x{&.2Eo�=>\�&-& ?X&G1Hq)$'+3&G+G !

V�= ;E1�=BZP$"=H\§;FT;E+3$'+"���K#Mj)�)�)��j!� !{2�o.M�4�('( � !¦ O%?�=>&GM�* =H\,$'+B("$'+�={=H2 ;FT;E+H$"+� � #�j)�(�)��j!� j!� #�j)�)�)��j!� �$!�2�o �� u��\S4,+�*�$'x ��MS4,('( � ! !xZ �£;�M,*B*,$"x � �&! Z ��g 3X ���2qG2!xy5,("&)=>&y;[5,1H2�2Eo�2Eo�=H\,&y=H\,&G2E1H&Gx Z�&{M�&G&G*�2!M,("v]+H\,2eZ =>\,;�=-*,$'x ���wx � ! ![Z 3� = &�ZP$'('(L*,2B=H\,$'+rF v<+3\,2eZP$'M,DB=H\T;�=�� � � # !6j)�(�)��j ��� �2! !r$"+m;£F,;E+H$"+C2EoR�wx � !¦ mKL&¦=�'X �� 6}�&)qN;E4,+3&�� � #�j)�)�(��j!� j!� #6j)�)�)��j!� �2!C+H5,;EM,+�� #j=>\,&)1H& ;E13& +HqG;E( ;E13+!e @ jMi @ X �+H4,q \�=>\T;U=

�pZfe$#"� #_g q�q�q e � gai(#"� #_g q�q�qGi �#� �)� W&)x{&)x6F�&G1.=>\T;�=:� #�j)�)�(��j!� ;E1H&y$'M MS4,('( � ! ;EM,*�;E5,5,(@v =>2<F�2E=H\�+H$"*,&G+�2Eo~=H\,&5,1H&)qG&)*,$'M,Dy&GQS4T;U=>$'2EMj

��� ! Z i(# �� # !�g q�q�q i � �����2!����\,$'+C( ;E+�=C&)Q�4,;�=>$"2!M]$'xy5,("$'&G+�=H\T;�=�� ��� # !�j)�)�)��j �����2! !W+35T;EM,+ �wx � !$#�+32h;�=m("&N;E+�=�wx � !£$'+hnTM,$@=>& *,$'xy&GM�+H$'2EMT;E( ���2 +H\,2eZ|=H\T;�= � ��� # !6j)�)�(��j ���� ! !h$"+[('$'M�&N;E13("v$'M,*�&G5�&GM,*,&)M = #f+H4,5�5�2!+3&-=H\T;�=

��@ � # � @ �� @ !�Z $� o�2!1�+32!x{& � @ X��2�

Page 30: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

8!� ������� ����� � � ��.� � ��� � ��� � � �h�l��� �x� ���

��= o�2!("('2eZP+ &N;E+3$'(@v<=>\,;�= � �@ � # � @ � @ X MS4,("( � ! #L+H2 � �@ � # � @ � @ Z � �@ � # � @ � @ yVX$"M,qG&� � #�j(�)�)�6j!� � j�� #�j)�)�)��j����2! $"+ ('$"M,&N;E13("v�$'M,*�&G5�&GM,*,&)M = #�Z�&^x�4,+3=y\T;NY!&[=>\,;�=y;E('(�=>\,&� @ / +�;EM,* � @ / +P;E13& �G&)1H2, �-W&GM,q)& � ��� # !�j)�)�)��j �����2! !�$"+�("$'M,&G;E1H(@v $'M,*,&)5�&)M,*,&)MS=0#T;EM,*\,&)M,qG&-$'+P; FT;E+3$'+�o�2!1��wx � !¦ � ����B� �"`_�'k_� �kJ6EGJ0V�EGJ0T � F)FIT,�kJ6E ��V��<�8T F � �WJ�� T �kJ J ����V�S � T|�)F��8T �kJ[��EGJMLMJ P � HF�T �kJMFIEMJ6�Q� � � � Z P � � � � !�� �sZ P � � � Hk�RS S � ! !DV�H�P03)Z P � � � � �� ! !��lT �kJ6H T,�kJT �kJMFIEMJ6� ��V���� � Z �pg 3�� � H�P � � P � � ��� !�Z Z �QT,�kJ6H L6S�J V�E�SU� 3 } Zd� � F��Z �)n 3 � �pn Zd� � � � +AZ � T �kJ6H �[+ �rV�H�P ���*HKFITJ� H��#JML6T � � J�� � � � 1 Z �T �kJ6H 3-} � 1 Z ��V��<�� ���!HKFIT�+34,1�¥3&)q)=>$@Y!& � � � J�� �cFIHkT FQ���

�h� �%����c���d���� (Co =>&)MyZ�&W+>;Nv =>\T;U=�=H\,&P*,$'xy&GM�+H$'2EM 2Eo�=H\,&PM�4�('(T+H5,;EqG&W2Eo�;-("$'M,&G;E1x{;E5� $'+~=H\,&�Hk� S S � T �pF�� -

�^�QP � S ��� S ��" � ;� # #� T�� V <=<� #���!" T : R S!T�8�� ��!$K�&)= � X � ��� ���|� !¦  P&GqN;�('(~=>\,;�= =>\,&�1H2eZ_1H;EM,¡2Eo � ��$ &E #�=H\,&�*,$'xy&GM,+3$'2!M 2Eo=>\�&B1H2eZ +H5T;Eq)&h1H2eZ � � !�2Eo��&! &GQS4T;E("+�=>\�&hqG2!("4,x{M�1>;EM,¡ ��$� J&� #�=H\,&B*,$"x{&)M,+H$"2!M2Eo=>\�&-q)2!('4�x{Mh+35T;EqG&-qG2E( � � ! !�2Eo�� #f;�M,*�=H\,&.qG2!xyxy2!MBY�;E('4,& 1H;EM,¡ � � !~$'+PqN;E("('&)*B=>\,& ��T� ; 2Eo �� WKL&¦= ��s{�� � B � � { � �B ��� ;E+r4�+H4T;E(� P��\,&GM<=H\,&�MS4,("(L+H5T;Eq)&�2Eo��$'+C=H\,&pE6� �I�RThHk� S Sx� ��VRLMJ-E�Hk� S S ���&!r2�o�=H\,& x{;�=>13$@? � #�;EM�* =H\,& $'x{;ED!&�2Eo ���$'+=>\�&�qG2E('4,xyM^+35T;Eq)&62Eo��� CVX2{FSv^��\,&)2!1H&)x�I, �X � �dZ 1>;EM�¡ ���&!xg *,$"x ��1HMS4,('( ���&! ! VX$"x{$"( ;E13("v # Z�Z¤1>;EM,¡ � � !�g *,$'x ��("M�4�('( � � ! ! � ��("&N;E13("v<('MS4,('( � � !C*,&GM,2�=>&G+.=>\�&{("&)o =MS4,('(�+H5T;Eq)&�2�o��� !���L�Sdf U��� � �"k_���k� � J6T ���6J*V�H Z @��a�QV�T E6� �wV�H�P"� �6J8V�H � @ 5'�QV�T E�� �wF � J6E� � �kJ6H� � ��P � � � E�Hk� S S ����! ! }]P � � � E6Hk�RS S ���&! !�gfP � � � E�Hk� S S ���! !��

V�H�P� �E� ��E�V�H�N � � !�� E�V�H�N � � ! �hE�V�H�N � ���! } � �� EGF�F����rtu4�= � Z 1HMS4,('( � ���!8Z ; $~ X � 1 { �� $~�Z $�sX � �B@S ^VX2]*,$"x �D� !>Z*,$"x ��1HMS4,('( ����! !�Z 5Qn 1>;EM�¡ ����!

tu4�= � ZsqG2E( ���! � 13MS4,('( � � !� � � lm&)nTM,& { � B � { $~ �B � $~L AC+^MS4,('( � !B$'+^; +H4�F,+H5T;�qG& 2Eo 13MS4,('( � �!$#mZ�&�\T;NY!&�=H\,&�o�2!("('2eZP$'M�D { *�$'x ��� !'Z*,$"x ��1HMS4,('( ����! !��*,$'x � �)!�} *�$'x ��1HMS4,("( � �&! !��;EM,*.*,$"x ��M�4�('( � ! !�} *�$'x ��1HMS4,("( � �! !�Z5�nW1>;EM�¡ ���!¦ L��\,&)M�*,$"x �D� !�Z *�$'x ��MS4,('( � ! ! gm*,$"x ���wx � ! !�$'xy5,('$"&G+�*,$'x ��13M�4�('( ����! ! Z*,$"x ��M�4�('( � ! ! g *,$'x ���wx'� ! !^} *,$'x ��13MS4,('( ���! !�g *,$"x ��1HMS4,("( � �&! ! #~5�1H2eY�$'M,D ��$ ! ��\,$"+�qN;�MF�&y1H&¦ZP1H$@=H=>&)M ;E+�5�n 1H;EM,¡ � ���!Q} � 5)n 1H;EM,¡ � �! ! g ����n 1>;EM�¡ ���&! !$#ZP\,$"q \^$"x{5,("$'&)+&��$"$ !

Page 31: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�R��R����&��� �����x� ��� 8���^��� � 8�:�� �� 2T � : ��$VX4,5,5�2!+3& � Z � � � Clm&¦nTM,& " { � B � ;E+Wo�2!('("2�ZP+) W#f2E1r&G;Eq \���X � #fZP1H$"=H&�'ZC�pg ��ZP$"=>\��fX �_;EM,* � X � ���\,&)M � ;EM�* � ;E13&B4,M,$"Q�4�&G("v�*,&)n,M,&G*o�2!1C&G;Eq \��^X �{ .tu4�= " ��� !hZ<�� ��=C$'+m+�=>1H;E$'D!\ =3o�2!13Z�;E1H*^=>2£YE&G1H$@o v^=H\,&6o�2!("('2eZP$'M,D5,1H2E5�&)13=>$"&G+P2Eo " � ������ � � ���7� � � � " X �&��� !��� �E� � " m�Z " �� �E�E� � �fZ � �� " !��� � � � � Z Hk�RS S � " !��� � � ��V�H�P � V�EGJ8�6FIT � " � � H � V�E6� V�HkTW�

��\,$'+~("$'M,&G;E1�x{;E5 " $'+�qN;E("('&)*{=>\�&l��EMF �#JML6T �WFIH�FIHkT F � V�S�FIHF� � ��2!1���V�E�V�S S�J6S T F�)!~;EM,*�$'+�2Eo =H&GM�*,&GM,2�=>&G*�F v " Z "�� � � �W+H$'M�D =H\,$'+�M�2E= ;�=H$'2!MBZ�&-+H&G&.=>\,;�=� ������ � � �"`�� -Z "�� � � g " � � � �

AC+R;m¡S$'M,* 2�ofqG2!M Y!&)1H+3& #�+H4,5,5�2!+3&P=H\T;�= " X � ��� !�$'+ � PRJ6�l�kFIT J6HkT #E$� J&� # " m Z " tu4�=�� Zs�wx � " ! ;EM,* � Z MS4,("( � " !¦ ��\�&GM o�2!1£&G;Eq \ � X � Z�&�qN;EM ZP1H$"=H&��Z " � � !kg � ��n " � � ! ! X<�wx � " !kg M�4�('( � " !¦ -W&GM,q)& �]Z �sg � R¢r2eZ +H4�5,5�2E+H&=>\T;U= � X � � � ��\,&GM 2!M =>\�&h2!M,&B\T;�M,* � Z " � � !-o�2!1�+H2!xy& � X��y (mM=>\,& 2�=>\,&)1-\,;EM,* " ��� ![Z $�X -r&GM�qG& $�pZ " ��� ![Z " m � � !�Z " � � !�Z � #�$"x{5�("v�$'M,D� � � Z<; $�?@S -W&GM,q)& �]Z � � � ���=Po�2!("('2eZP+�1H&G;E*,$"("v£=H\T;�= " Z "�� � � -r&GM�qG&Z�&-\T;NY!&.=>\�&.o�2E('('2eZP$"M,D {� ����m� � �x�"k_� �kJcS � HKJ V�E��QV6� " ��� � PRJ6�l�kFIT J6HkT � �hV�H�P8FIHkSU� � �J� TK���cT �kJx��EMF �#JML6T �WFIHFIHkT F�� T � � �QV �RJ>V�S�FIHF�4� T �*Hk�RS SK� ��VRLMJ���^�� � S8$ �!$ S ��" � ::�8�"���� S!T � R S!T�8�� ��!$�wM�=>\�$'+�+3&Gq¦=>$'2EM('&¦= ��F�&B;[nTM,$@=>&£*�$'xy&GM,+3$'2!MT;�(�Y!&Gq¦=>2!1�+H5T;Eq)&B2eY!&)1�=>\,&{nT&G("*.� VX$'M�qG& �z$"+�;6nT&G("* #,$� J&� #X+H$'M�qG&m=>\�& x64,("=H$'5,("$'qG;�=>$"2!M $'Mw�z$"+�qG2!xyx64�=>;�=>$@Y!& #�$"=�=>4,13M,+2!4�=6=H\T;�=�$"=�1H&N;�('("v *,2�&G+�M,2E=6x{;�=3=>&G1-ZP\,&)=H\,&G1� $'+6;oS�J���T � JML6T FIE�� ��VRLMJ-2eY!&G10���$� J&� #�=H\,& +HqG;E( ;�1H+~o�1H2Ex ��;�1H& 5,(';EqG&)*�2EM[=H\,& ('&¦o =�+H$"*,& 2EoL=>\�&.YE&Gq¦=>2!13+W2�o � !�2!1 �$'+�;61H$'DE\S=�Y!&)q)=>2E1�+H5T;Eq)&E �K�&)=~=H\,&m("$'+3= �aZ � � #�j(�)�)��j ��� !�F�& ;�F,;E+H$"+�o�2!1(�y �VX2 $"o �$'+�;�M^;�1HF,$@=>1>;�13vyY!&Gq¦=>2!1�$"M5��=>\,&)1H&.;E13& 4,M,$'QS4,& +3qN;E(';E1H+�� #6j)�(�)��j�� �6$"Mw� o�2!1�ZP\,$'q \

Page 32: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

8 � ������� ����� � � ��.� � ��� � ��� � � �h�l��� �x� ���

��Z � �@ � # � @ � @ {��\,&£q)2!('4�x{M�Y!&)q)=H2!1 � � ���oZ � �)#6j)�)�)�6j�� �,! $�X�� � $'+.=>\,&)M�qG;E('("&G*=>\�&pLMF�FIE�P � H�V�T J �QV�T E�� � �#FIEB� ��� T �wEGJM� �kJML6T�T FQT �kJ8�MVI������� #f;EM,*hZ�&-x{;ev{ZP1H$@=>&

�-Z��@ � # � @ � @ Z � � #�j)�(�)��j!�%� !

()))*� #� m �%�

+ ,,,. Z �� � ��� �

t�&)1H\T;E5�+WZ�&�+3\,2!4,("*[*,$'+3qG4,+3+W=H\,$'+�(';E+3=Px64�("=>$"5,('$"qN;�=H$'2!M{; F,$"=G �wM =H\,& 4,+34T;E(�=>\�&G2!1�v�2Eo�x£;U=>1H$ ?]x{;EM,$"5,4,(';�=>$"2!M #�$"oRZ�& Z�;EM =.=>2[x64,(@=>$'5�("v[=wZ�2

x{;�=>13$'qG&)+ ��;EM,* � =>2[D!&)=�;hx{;�=>13$@? �� Z � #�=>\�&G1H&y;E13& $'M =>&)D!&G13+ ��# Z ;EM�*)5+H4�q \^=>\,;�=�� $"+2Z @ ��# ��$"+�� @�5 #f;EM,*[=>\,&.5,132X*,4�q)= � $'+2Z @�5� R��o�$'M[D!&)M,&G1H;E(=>\�&£&GM =H13v $'M =>\,&QY�=H\1H2eZ�;EM,* \!=>\q)2!('4,xyM 2EoP;^x{;�=H1H$@? � $"+�*,&)M,2E=H&G* F v�� @ A #=>\�&GMB=>\�&�� Y�j \ ! =>\h&)M =>13v£2Eo �� Z � $'+ � �� ! @ A Z � � � # � @ � A u��o � $'+�;61H2eZ 2!1;.qG2!("4,x{M =H\,&P&GM =>13$'&G+�;E13&W4�+H4T;E("("v $"M,*,$"qN;�=H&G* F vy;-+3$'M,D!("&�+H4,F�+HqG13$'5�=G �VX2.Z�&Wx{$"D!\ =ZP1H$@=>&

�fZ��|e*#6j)�)�)�6jMe � !� � Z()))*i(#i m i2�

+ ,,,. �� Z � e

i �

�wMB=>\�$'+�qG2EMS=H&¦?�=P$"=~$'+~4,+34T;E("("v{;E+H+34,xy&G*h=>\T;U=~=>\,& &)M =>1H$"&G+�2Eo � ;EM�* � ��;EM,*h\,&)M,qG&;E("+H2 2Eo � !~qG2!xy& o�1H2!x +H2!xy&�13$'M,D #,5,1H2EFT;EF,(@v[;yq)2!xyx64�= ;U=>$"YE&.1H$'M�D / #f+32y=H\T;�=W$'M5T;E1�=>$"qG4,(';E1C=>\�$'+ +H4�x �

e i $'+-;h4,M,$"Q�4�&G("v]*,&)nTM�&G*�&)('&)x{&)MS=.2�o�/6 {:^2!13&G2eY!&)10#

4,+3$'M,DB=H\,& 4,+H4,;E(�5,132!5�&)13=H$'&G+C2Eo�;E1H$@=>\,xy&)=H$'q�$"M / $"= $"+m5�2E+H+H$"F,('&-=>2[+H\�2�Zz*,$"1H&Gq¦=>(@v=>\,;�= x{;�=>13$@?<x64,("=H$'5,("$'qG;�=>$"2!M ��ZP\,&)M�*,&¦nTM,&)*�� !$"+ ;E+H+32Xq)$ ;�=H$"YE&E �Ar('+32�#�x£;U=>1H$ ?<;E* �*,$@=>$'2EM^$"+r*,&¦nTM,&)*�;�M,*<x{;�=>13$@?�x64�("=>$"5,('$"qN;�=H$'2!M ��ZP\,&)M�*,&)nTM�&G*�� !<*,$'+�=>13$'F,4�=H&G+W2eY!&G1;E*,*�$"=>$"2!M #S&)=HqE -r2eZ�&)YE&G10#f$@=~$'+�M,2E=P;�("Z�;ev�+~M�&GqG&)+H+H;E13vh=H2 ;E+H+34,xy&m=>\T;�=�=>\,&m&)M =>1H$"&G+2Eo � ;EM�* � q)2!xy&�o�1H2!x�=>\�& +>;Exy&6¡S$'M,*�2�o�;�('D!&)F,1>;E$"q�+�vX+�=>&)x^ = &6x{;Nvy¥34,+�=.;E+&N;�+H$'(@vBx64�("=>$"5,("v{; qG2E('4,xyM � �)#�j)�)�)��j�� � ! $�2Eo�+HqG;E( ;�1H+�o�1H2!x�=>\,& nT&)('*)� F vB=>\�&-132eZ� � #�j)�(�)��j!�%� !�1H&G5�1H&G+3&GM =>$"M,DB;�M�2E1H*,&)1H&G*^FT;E+3$'+�2Eo�� 2�YE&G1[�z=>2y2!F�=>;E$'M

�0Z � � #�j)�)�(��j!�%�,! q()))*�)#� m �$�

+ ,,,. Z

��@ � # � @ � @ �

= &-x{;Nvh;E("+H2 +H4�5,5�2E+H& � $'+P;EM'� @ � x£;�=H1H$ ?B2eY!&)1�� ;EM,*[ZP1H$@=>&

Page 33: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�R��O ��� � ��� � � )� ) ��.� � �l� � ��� � � �h�l�)� �x� � � 8!8

� � #�j!� m j)�(�)��j ��� ! Z ���M#�j � m j)�(�)��j � � ! �>jW+32 � A Z��@ � # � @ A � @ �

��\,&GM�$"= o�2!("('2eZP+m1H&G;E*,$"("v<=H\T;�= ���K#Mj)�)�)��j!�4� !m$"+.;EM�2E1H*,&)1H&G* FT;E+3$'+.2Eo � $"o�;EM,*2!M,(@vB$"o�=>\�&-x{;�=H1H$@?�� $'+�$"M Y!&G1�=>$"F,('& #,$'MhZP\,$"q \^qG;E+H&-$"=�$"+P;E('+32 =>1H4�&.=H\T;�=

���M#6j � m j(�)�)��j � � !�Z � � #Gj!� m j)�)�)��j!�4� ! � %'# jP+32 � A Z��@ � # � %'#@ A � @ �

�^��� R S!T�8�� ��!$\S0$ �'���^� S 8 � 8�S ��$ :48 � S T �(:���$K�&)= � #8Z � � #�j)�(�)��j!�4� !-F�&h;EM�2!1H*,&)1H&)* FT;E+H$"+�o�2!1-=>\,&yY!&)q)=>2E1 +H5T;Eq)& � 2�YE&G16=H\,&nT&G("*.��#%;�M,*�("&)= � m Z ���M#�j(�)�)��j � � ! F�&{;EM�2E1H*,&)1H&G*�FT;E+3$'+.o�2!1-=H\,& Y!&Gq¦=>2!1�+H5T;�qG&� 2eY!&)1p� K�&)=���F�&];EM Z @ � x{;�=H1H$@? 2�YE&G1p� lm&)nTM,& ��{� B � F v� ���� � ! �����lZ�� q � �������Po�2E1m;E("( �oX �� .��=C$'+mQS4,$@=>&�+�=>1H;E$'D!\ =3o�2!13Z�;E1H*]=H2B+H\�2�Z =>\,;�=��sX � � � j#� !¦ r��=m$"+C;E("+H2Bq)('&G;E1 ��F v<("&)=H=H$'M,D��Z � A ! #�=H\T;�=r=>\,&l\ ��� q)2!('4�x{M^2Eo��$'+ � � � A ! �����G ���2!M Y!&)1H+H&)("v #�$@o X � � ��j � !$#T;EM,*[$"o�Z�&.*,&)n,M,& =>\,& x{;�=>13$@?�� =>2 F�&=>\,&�x£;�=H1H$ ?[ZP$"=>\D\ ��� q)2!('4,xyM<&)QS4T;E(�=H2 � ��� A ! �����0#�=>\,&)M � ��� ! ������Z�� q � �������~o�2!1;E('( ��X �� B�wM =>\,$"+.qN;E+3&{Z�&{+H;ev�=H\T;�= �\���QT,�kJQ�QV�T E6� �^T,��V�T�EGJ ��EMJM��J6HkT � ��� T,�EGJM� �kJML6T T F�T �kJ ��V � E � � #Mj � m ! F��>FIE�PRJ6EGJ P��MVI��JM�*F�� �V�H�P���#,1H&)+H5�&Gq)=H$"YE&G("v #T;EM,*BZ�&ZP1H$@=>&&�fZ � ��� � � � � ¢r2E=H& =H\T;�=.;hq)2X2!13*,$'M,;�=>&6x{;�=H1H$@?<2Eo�;BY!&)q)=>2E1.ZP$@=>\ 1H&)+H5�&Gq¦=-=H2�;[F,;E+H$"+ \T;E+.;+H4,F�+HqG13$'5�=�=>\,;�=�$'+�;-+3$'M,DE('&�FT;E+3$'++#�ZP\,&)1H&G;E+�=H\,&Wx£;�=H1H$ ? 1H&)5,1H&)+H&)MS=H$'M,D�;-("$'M,&G;E1ux{;E5 \T;E+W; +H4,F�+HqG13$'5�=PZP\,$"q \<$"+P;y5T;�$'1�2Eo�FT;E+3&G+0#TZP$@=>\[=>\,&.FT;E+3$'+P2Eo�=>\,&.1>;�M,D!&.+H5T;�qG&('$"+3=>&)* nT1H+�=�;�M,* =>\T;�=R2�o�=H\,&P*,2!x{;E$'M +35T;EqG&P("$'+3=H&G* +H&)qG2!M�*j �VX2�2!M Z�&P+H\,;E('(,+3&G&PZP\ v=>\,$"+r2E1H*,&)1r$"+P=H\,&-qG2!M Y!&)M,$'&)M = 2!M,&� = \,&GM � Z��¤;EM,* � # Z � m $"=W$'+P+32!x{&¦=>$"x{&)+=>\,&.qG;E+H& =>\,;�=PZ�& ZP1H$@=>& � �����$'M[5,(';EqG& 2Eo � ���� � �� RACM,*[Z�&-4�+H4T;E("("v{ZP1H$"=H& � ��� !$'M[5,(';EqG& 2Eo � �D��j � ! #T;EM�* X � ��� !~$'+�qN;�('('&)*[;)S � HKJ V�E8FM�kJ6E�V�T FIE8FIH �

�wM =H\,&G+3&�M�2E=>&)+0#�\,2eZ�&¦Y!&G1+#~&)YE&GM ZP\,&GM =>\,&)1H&h$"+ 2!M,("v�2!M,&[FT;�+H$'+ 2�o �|F�&G$"M,D4,+H&)*[;EM,* §$'+�;�('$"M,&N;�1�2E5�&)1>;�=H2!1�2EM � #SZ�&C+H2!xy&)=H$'xy&G+R$'M,*�$'qN;U=>&�=>\,&rx£;U=>1H$ ? =>\,;�=1H&)5,1H&)+H&GM =H+ ZP$"=>\y; +H4�F,+Hq)1H$'5X=u=>\T;�=R$"+R;[��V � E%2Eo�FT;�+H&G++#X$"M,+3=H&N;E* 2Eo!¥34,+�=�2!M,&�FT;E+3$'++#F�&)qN;E4�+H&C=H\,&G13&m;E13&W=H$'xy&G+RZP\,&GM£Z�&CZ�;EM =�=H2�=>\�$'M,¡ 2Eo ;E+~;-x{&)x6F�&)1�2�oL;-YE&Gq)=H2!1+H5T;�qG& +H2B=H\T;�= $@=m\T;�+ ;BqG2�2!1H*�$'MT;�=H&�x{;�=>13$@?�ZP$"=H\]1H&)+H5�&Gq¦= =>2h+H2Ex{&6F,;E+H$"+m2Eou=>\,;�=Y!&)q)=>2E1 +H5T;Eq)&E �(m4,16q)2!M Y!&)MS=H$'2!M x{;E¡E&)+6$"=�&N;�+3v�=H2]1H&)qG2!DEM,$ �)&£ZP\,&GM=H\,&Bx{;�=>13$@?1H&)5,1H&)+H&GM =H+ ZP$@=>\ 13&G+H5�&Gq¦=�=H2-;.F,;E+H$"+R;E+R; ('$'M�&N;E1�x{;E5 ;EM�* ZP\�&GMy$"=R1H&)5,1H&)+H&)MS=H+ ;E+~;.Y!&)q)=>2E1�$"=H+H&)("o�ZP\�$'q \B$"+�;-('$'M�&N;E1RqG2Ex6F,$'M,;�=>$"2!M 2Eoj=>\�&C&G("&Gxy&GM =>+�2Eo�+32!x{&WFT;E+3$'+)

= &.D!$@Y!&-;EM[&¦?�;Exy5,('&.2Eo�=>\�$'+G

Page 34: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

8EI ������� ����� � � ��.� � ��� � ��� � � �h�l��� �x� ���

� ���,��i%��� � � �����k��� J6T �3Z � m � � �|� !�� � �RT�� Z � � #6j)�)�)��j!��� !4� �kJ6EGJQT,�kJ:� @ V�EMJPRJ���HKJ PDVI���#FIS S�F0� � �

�M# Z�� � � �� � ��� � m Z�� � � �

� � ��� � � Z�� � � �� � ���

��cZ�� � � �� � ��� �� Z�� � � �

� � ��� ��� Z�� � � �� � ��� �

� T ���)L6S�J V�EQT,��V�T � ���pVo�MVI����� �#FIE � m � � �|� !�� V�H�P=� � � X � m � �%�|� !��!T,�kJ6H T,�kJLMF�FIE�P � H�V�T J!�QV�T|E6� � � � ���aF���� ��� T,�)EGJM� �kJML6T�T FQT,�kJ8�MVI������� ���

� � ��� Z�� � # #6j � # m j2�,# �#j2� m #6j � m m j2� m � ! $ �� � � J6H �6�kLM� V8�QV�T|E6� � ��� PRJ���HKJ[V>S � HKJ V�Eh�QV6����{ � � B � m ��� ���� � ! Z ����#FIE�V�S S��]X � � � � J6T� #pZ � �&#6j � m j � � !��6JwT,�kJp�6TWV�H�POV�E�P FIE�PRJ6EMJ Ps�MVI������F��Q� � �V�H�P�S�J6T� m Z ��� #6j�� m ! �6J-T,�kJ-�6TWV�H�POV�E�PrFIE�PRJ6EMJ P��MVI�����DF�� � m<� � F � �#FIE�J�� V��l��S�J��� m Z ����jN� !���� FI�p�M�kFI�RS P)LM�kJMLMN�T,��V�T� �� ��� � � ����Z �!�

� FIE �^}uY8} 8 h�^} \'}�� �!S�J6T(= @ A X��&�|� � jM� m !p�6JDPRJ���HKJ P�����= @BA � � !>Z

?6@ � A � � J6T ����Z ��= # #�j = m #6j = �G#�j#= # m j = m m j = � m !���� J!��V�HkT T F � ���REGJ�FI� T?� ��V�T ���>T,�kJLMF�FIE�P � H�V�T J!�QV�T|E6� � � �� ����<��^JQL6S V � ��T ��V�T � �� ��� � Z��|e*# #6jMe*# m jMe*# ��jMe m #6jMe m m jGe m ��� $ � ��JML V��O��J-F��8T �kJ�FIE�PRJ6E� H[� �F�WLM� � JlS ���6T J P�T,�kJ �MVI����� � JML6T FIEG� = @ A � T �F���Y���*J ��� � � V�S�J6HkT�T F8��V��0� HF�QT ��V�T ��)Z� @ � A e @BA = A�@ �! ��Y� J-J � V�SU��V�T J!T,�F���!�6�R� V�T"� � �,� J �RJ6T

�@ � A e

@ A = A�@ � � � Z �@e @ = @ � � ��Z �

@e @ � @ Z ��#� � ���

�F���0JM�6TWVO��S ���M�kJM�0FI�RE-L6S V � �Q�$&%('*),+�+.-0/1)�- � #�Z�� � #�j(�)�)��j �32,�54�6 ),7�8,90:;%(90%<:�=;) 604�6?> 8@9 � 8BA@%<9C-0/;%ED1%(+F: �HG),7;:�-0/1)�- � m ZI� � #6j)�)�(��j!� � �?4F6 ),7�8@9J:;%<9J%<:K=1) 6J4F6C> 8@9 � 8BA@%(9 �MLEN 8BO 6JP;Q;Q 8 6 %-R/;)�- � /1) 6 )�7S8@9J:;%<9J%<:�=1) 6J4F6����cZT��� #�j)�(�)��j�� 1B��LUV%(- 8 X �W� � j#�E� ),7;: X �W��� j��X��GY6 8Z-R/1)- >18 X �W� ��j��X��G O�/;%<9J% >18[ %*),7 6 :\8 8 D19 6 - L^] /;%<7�O_%W/1)*A,%��� >B8`�(� �a� �����Z � b�D8�� �a�0� �����Z � ���� � ��� � 8�� �a� ������Z � ����� � ��� � 8 ��� � � �� � ��������Z

Page 35: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�R��O ������������� �� �������������������� ������� ���������� ���

� � >�8 ���� � �� � ������ > 8,9�),+F+ �����! ] / 4F6�4 [ Q + 4 % 6 -R/;)�-� >�8 ����� � �� � � ���� � ����" � 8 ����� � ��# ] / 4F6 4F6 -R/;% %%$ P )�- 4 8@7 -0/1)�- 60P'&(& % 6 - 6 -R/1)-E-R/\% 60P = 6 '<9 4FQ -E8@7 -R/\% [ )�-R9 4*) 90% Q 90%#+6 %(7 - 4 7 & ) + 4 7;%*),9 [ ) Q 6 /;8 P +�:�/;)BA,%Z-0/;%W=1) 6J4F6!> 8@9"-R/\%Z90),7 & % 6JQ ),'<%W+ 4F6 -0%<: D19 6 - L$&%('*),+�+�-0/1)�- �W� �!, �Z� 4F6 71)�- P 9R),+�+.- )�A@%('(-R8,9 60Q ),'<%S8 A,%<90/ O 4 -R/ -R/;% P;60P ),+),:;: 4 - 4 8@7S8 > + 4 7;%*),9 [ ) Q;6 ),7;: 6 '*),+F),9 [ P +�- 4FQ + 4 '<)�- 4 8@7 8 > + 4 7;%<),9 [ ) Q\6<L21 8@9J%<8BA@%(9 G> 8@9�3 ,54�� / )�7;: 86, 7� �W� �!, � ��G14 - > 8@+�+F8BO 6 %<) 604 +.- -0/1)�-

� 3 898:4� ����� � ��� � 3 � 8 ����� � ��;8<4 � ����� � ��# = %�+�%*)*A@%�-0/;% Q 9J8 8 > 8 > -R/ 4�6 > ),'�- ) 6 ) 6 -R90) 4>& / - > 8@9JO_),90: % ) %<9J' 4F6 % L@? - -0/;%<7> 8@+F+�8BO 6 -0/1)�- 4 > � � � ),7;: �BA � ��CBG -0/;%C'(8@909J% 60Q 8@7;:\%<7;'(% ��D � ���� � �� � � ����4F6 ),7 ),+ & %<=\9R) 4F6 8 [ 8@9 Q / 4�6 [ L ] / 4F6�4 7;'(+ P :;% 6 '(8@7 6 %E$ P %<7\'<% 6 6JP ' / ) 6 � GF A ��� �� � ���;�5F A O�/\%<7 /1) Q;Q %(7 6 -08?= % 4 7 A,%<9 - 4 =\+F% L�H 908BA 4 7 & -R/;% 6 % > )�'(- 6.4F6 )&O 8@9 -R/ O�/ 4 +�%% ) %<9J' 4�6 % �U %�- =JILK�� � � �!, �Z� = %W:;%(D;7;%<:S=M-

=JILK��� � �ON I �%KP,RQTSVUW, �XSVY TQTS[Z\SV]^

_ 8 =`ILK [ ) Q;6 �aI -08 �%K ),7;: [ ) Q;6 �cb -08K-0/;% d<%<9J8KA,%<'�-R8@9 > 8@9 �fe� UJL ] / 4�6'<8 [ Q +�%(-R%(+.- :;%(-0%<9 [ 4 7\% 6B=JIgK ) 6 )M+ 4 7;%<),9 [ ) Q > 908 [ � -R8 ��Lh �jiMkmlJion pjq>r;q.s;qut;vawyx`w�z �B{ � ;>=JILK}|jQ\S~U�S~]�EQ0S�Z9S~Y @9� x��9�5�Px � xB���P��W� �!, � � �Pxy�0��w5��z��P��x����o�5w}�P��w�� /\�

� ka�`i� =��Z'(8 P +�: - P 907 ��{&4 7 -R8H)H+ 4�6 - G = P -�O!�W:;8@7;� -&7'�E�(:S-R8 L� �5�`��� ��=�� 6 -R),9J-Z=�- 6 /;8BO 4 7 & -0/1)�- � { 4�6 + 4 7��*),9J+.- 4 7;:'� Q �(7;:'�<7 - L _ P;Q;Q 8 6 �H-R/;)�-� ILK �5ILK =JILK � � G?6 8 -0/1)�-���O� � ILK �#ILK =`ILK,���cb*� � � K ��b�K#�%KS> 8@9X�<),' / � L _ 4 7;'%�� ��A�,� � � �,!�J�!�V4F6 + 4 7'�<),90+*- 4 7;:�� Q �<7;:'�(7 - G �#b%A � �#b�C � "`"`" � �#b�� �O� G )�7;:E-R/ 4F6 /;8@+�: 6> 8@9j�*),' / �aG6 85-0/'� 6 ��- 8 > =JILK [ P;6 - =��^+ 4 7'�<),90+*- 4 7;:'� Q �<7\:'�<7 - L =��`7;8BO 6 /;8BO -R/1)�- 4 -60Q )�7 6 � � �!, �E��LB� 8@9 6JP;Q;Q 8 6 �Z-R/1)- 8:��W� �!, � � )�7;:�-0/1)�- � 8 �����W� �� � �¡� � �#IgK<��G4 L � L G 8�� �oK�� � � 2I£¢�A �5ILK#�PI L¤H^P - � � I.� b �#I¥b =PbWI LC] /'�(7 b���oK(� � � �5I¦b =Jb�I � �oK�� �� I �#IgK �JI G14 [ Q +*- 4 7 & -R/1)�- 8 � 6J4 7;'%�W-0/'�%- ) & 9��%�W8@7�) =1) 604F6(L§ kmlJkm¨©¨©ª'l`«:pjq.r�q.¬;q �T­ �¯®M� �C� � Y ��°m­u­ �¯®M��� � � ]²± z³vaw�°^­ �¯® �W� �!, �Z� � ]XY �

Page 36: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

��� ����������� ���� �������������������� ������������������

��� ����������� �������������=���O_),7 -^-R8 4 7 A�� 6 - 4>& )-��"O�/1)�-`/1) Q;Q �(7 6 -R8W'<8Y8@90: 4 71)�-�� [ )�-R9 4 'E� 6 ),7;: -R8 [ )�-R9 4 '%� 69�� Q 9�� 6 �(7 - 4 7 & + 4 7'�<),9H8 Q �<9R)-R8@9 6 O�/'�(7 -R/'�S8@90:'�(9��(: =1) 6J4F6 4�6 ' /1)�7 & �<: L � 8@9H-R/'�6 )! �� 8 >5604 [ Q + 4 ' 4 -�-�OB� 6 /;),+F+"'(8@7 6J4 :'�(9H-0/ 4F6 $ P � 6 - 4 8@7 8@7;+*- > 8@9 + 4 7'�<),9b8 Q �<90)�-R8,9 68@7K) 60Q )�'E�#" GV6 8 -R/;)�- OB�H'<),7 P;6 �M) 604 7 & +>� 8,90:'�(9��<:K=1) 6J4F6(L _ 8 4 7�-R/ 4F6C6 �<'(- 4 8@7O!�HO�9 4 -�� [ )�-09 4 'E� 6 9W� Q 9W� 6 �<7 - 4 7 & + 4 7'�<),9C8 Q �<90)�-R8,9 6 O 4 -0/ ) 6JP = 6 '(9 4�Q -WO�/ 4 ' / 4F6 )604 7 & +.�C=1) 6J4F6<LU��(-�/ =m� ),7�- D'�<+F: ),7;: +.�(-�" =�� )SD17 4 -�� : 4 [ �<7 6J4 8@71)�+^A��<'�-R8@9 6JQ ),'%� 8BA(�<9/ G`6 )�-%$ U ]K� " � � Y L U��(-�& A � �('�A5,� � � %,)'12@� )�7;:*& C � �,+�A�,� � � %,)+ 2@� =m� - O_8� 8,90:'�(9��<: � =1) 6 � 6 8 > " L _ 8 > 8@9 + � " G ),7;: > 8@9 U � Q@G 6 )�- -0/1)�-.- +0/��� ��21�A#,31#C�,� E � E,31 2@�54.G?4�L � L�G6+ � � 2I£¢�A 1#I7'aI L =���8 > -��<7 O�9 4 -���-R/ 4�6 �E$ P ),+ 4 -�- 4 7 -R/'�> 8@9 [

+ � �,';A#,� � E E,)'12,� - +0/��� � & A - +/���# _ 4 [ 4 +F),90+*- G+ � & C - +0/����<L_ 4 7\'E�8& A ),7;:%& C ),9�� = 8,-0/ =1) 6 � 6 > 8@9�" G -R/��<9�� 4�6 ),7 4 7 A��<9 - 4 =\+>� [ )�-R9 4*):960P ' /S-R/;)�-

& A � & C;9 ),7\:<& C � & A=9 F A ] /'�WD19 6 -2�%$ P ),+ 4 -�- 4 7;: 4 '<)�-�� 6 -R/1)-' K �

2>I£¢�A

9GILK�+JI� �,?;L*Q �] / 4F6 �E$ P )- 4 8,7 6 )`- 6 -R/1)-5-0/'� Z -0/�'(8@+ P [ 7 8 >@9 4�6 -R/'�Z'<8Y8@90: 4 71)�-�� [ )-R9 4£) 8 >'oK O 4 -R/ 9�� 6JQ �('(- -08�& CBL _ 4 [ 4 + ),9J+.- G -0/'� Z -R/ '(8@+ P [ 7 8 >A9 F A 4�6 -R/�� '<8Y8@9J: 4 71)-��[ )�-R9 4*) 8 >B+%K O 4 -R/ 9�� 60Q �<'(-&-R8�& A�L� 8@9��(A��<9W- +0� "TOB�W7;8BO /1)*A��

+ � & A - +0/DC0E � � & C;9 � - +/DC0E � & C - +0/DC!FE ? - > 8@+F+�8 O 6 -R/1)�-

9 - +0/GC0E � - +0/GC!FE �,?;L �@�N 8BO +.�(-IH �KJ � " ��L $��('*),+�+ -R/;)�- -R/'� [ )�-R9 4*) - H /DC -R/;)�-W9�� Q 9�� 6 �<7 - 6 HTO 4 -R/9�� 60Q �<'�-5-08H-0/'�W=1) 6J4F6 & 4F6 -0/'� P 7 4 $ P � [ )�-R9 4*)�> 8@9!O�/ 4 ' /- H �(+ �L/DC � - H /DC - +0/DC > 8@9�),+�+ +0� "

Page 37: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � � � �����������7�����B�Go� ��

h� iMkmlJion pjq ��q��aq��jw�z & A � & C39 �Pxy�����P��w � t;vaw�° - H /GC!F � 9 - H /DC0E 9 F A �� �5�`��� � ? 7���$ L ?;L � 9W� Q +F),'E� + O 4 -R/8H �,+ � -08 & �(-

9 - H �,+ �5/GC0E � - H �(+ �L/DC F � - H /DC F - +0/DC F � - H /GC!F)9 - +/DC0E> 8@9�),+�+ +0� " L�? - > 8,+F+F8BO 6 -0/1)�-9 - H /DC0E - +/DC0E � - H /DC!F 9 - +0/DCE> 8@9�),+�+ +0� " G;4 [ Q +.- 4 7 & 9 - H /DC0E � - H /DC F 9 , �(?;L � �O�/ 4 ' / 4F6 �%$ P;4 A�),+.�<7 -�-R8 -R/'� 6 - )�-�� [ �<7 -&8 > -0/'� -R/'�(8@9�� [ L

����� i������� � i������� "!N 8BO�+>��- " � / 2 G O�/\8 6 �\�<+>� [ �(7 - 6 OB�H-R/ 4 7 8 > ) 6 =�� 4 7 & '<8@+ P [ 7�A��<'�-R8@9 6<LU��(-�#X=��W),7 Y%$9Y [ )-R9 4£) 8BA��<9�/ ),7;:�:'��D17'� H�& ��J � / 2 � =�-H'& �(+\� � # +c,!> 8@9�),+F+ +0� / 2 Uj��- � �)( A�,E � � �,*(<2 � =��E-0/'� 6 - ),7;:;),90:�8@9J:'�<9W�<:�=1) 6J4F6&> 8@9�/ 2 G 4 L � L G+(5KW4F6 -0/'�'<8@+ P [ 7SA(�('(-08@9 4 7^/ 2 O�/;8 6 � Z -0/^�<7 -R9 - 4�6 Q )�7;:�),+F+ 8,-0/'�<9��<7 -R9 4 � 6 ),9��y�E$ P ),+.-R8

� LT? - 4F6 '(+>�*)�9?-R/1)-COB�H'<),7 4 :'�(7 - 4�> -��*)�' /KA��<'(-08@9 +^� / 2 O 4 -0/.- +0/ � L 1 8@9W�<8BA(�(9 G-R/'� Z -R/�'<8@+ P [ 7S8 > # 4F6 # (5K � -,# (5K3/�� � - H�& (5K3/ � � - H'& / � - (5K3/ � � - H'& / �-(5K � -0/'�Z -R/�'<8@+ P [ 7 8 > - H�& /�� G O�/ 4 ' / 4 [ Q + 4 � 6 -0/1)�-

# � - H�& / � �(?;L ? �h� iMkmlJion p�q.��q.s;q/�jw�z � �)( A�,� � E E,*(<2@� ��w z¯vaw}x�z ��°m­����W­ �P�W­ow��5w�­²�5�Px � xu��� / 2 ��jw�z & � �(+MA�,E � � �,)+2@� ��wu��x`w5�5�P°m­ �P�W­ow��5w�­^�5�Px � x � �jw�z10 ��w0z¯vaw ® ��z � �3254 va�`x`wZ z³vO�5�7698 ® ° � x +%K � - +EK3/ � � �jw�z # ��w ��° Y:$ Y�® ��z©� �32 �P��w�� / ��°m­ ­ow�; ° wH�& | / 2 D / 2 �=< H�& �,+ � � # + �?> � - H'& / � � #}� t;vaw�° - H�& /GC � 0 F A # 0 �� �5�`��� � _ 4 7;'%� +EK � - +%K3/�� � - +EK;/�� G14 - > 8@+F+�8 O 6 -R/1)�-�(+MA#,E � � E, +2@� � C� - +MAL/ � ,E � � E, - + 2!/ �;� � 0 ,4 L � L G & � 0 G O�/ 4 ' / 4�6 �E$ P;4 A�),+.�<7 -&-R8 � & 0 F A L _ 8 4�> Q +F)`- 6 -R/'� 908@+.�W8 > & A),= 8 A�� G ),7;: & Q +F)`- 6 -R/��Z9J8@+>� 8 > & CBG )�7;: 0 F A Q + )�- 6 -R/'�W9J8@+>� 8 >B9HG OB�W/1)*A(�

- +0/GC � 0 F A - +0/��m, �(?;L �@�

Page 38: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

��� ����������� ���� ��������������������-������������������

- H�& /GC � 0 F A - H'& / � 0 � 0 F A # 0 �,?;L � �� i �� "�³���³k ] O 8 Y $ Y [ )�-09 4 'E� 6 #�),7;:���8BA(�(9y/ ),9�� 6 ) 4 : -08 =�� x �¯® � 6*���� O�9 4 -J-��<7 #���� �#4�> ),7\:�8@7\+.- 4 > -0/'�<9W� 4F6 ),7 4 7 A(�(9J- 4 =;+.� Y $ Y [ )�-09 4*) 0 6JP ' /�-0/1)�-� � 0 F A # 0 L� 8 P�6 /;8 P +F: Q 908BA(� -R/;)�-� 6J4 [ 4 +F),9 4 -�- � 4�6 ),79�%$ P\4 A�),+>�(7;'E�E9��<+F)�- 4 8@78@7�� 21� / ��L

§ kclPkm¨©¨©ª�lJ« p�q.��q.¬;q � # , � � � 2;� / �5± ��°m­ � � " � xu��° Y�� ­ �¯® w�°�x � �P°m� 6��w5��z��P�x����o�5w¤�P��w�� / ± z¯vaw�° # ��°m­ � ����w�x �¯® � 6*��� � ����°m­u�P° 69< � �2z¯vaw��5w¤����w¤�5�Px`w5x & A ��°m­& C ��� " ��°m­ H ��JW� " � x 8c�5v z¯v���z # � - H /GC0E ��°m­ � � - H /DC F �

h� i ��� ª'¨ �+� ª �(i { A=��E7;8BO 6JQ �(' 4 )�+ 4 d%� -08 -R/'� '<) 6 � O�/'�<9W� " � / 4F6 A 4 �(O!�<:K) 6 )�A��<'�-R8@9 6JQ ),'E�8BA(�(9y/ L�� �(9�� JW���B, / �54�6 :'�<7\8,-��(: ��{ )�7;: 4�6 '*),+�+>�(: -R/'� ­ 8�� 6�x����o�5w 8 >�� L�� 7

�<+.� [ �<7 - 8 > JW���B, / �54�6 '*)�+F+>�(:�) 6 � ° w������ 8 ° ��z � �P°m� 6 L = 9 4 -�� & � �,';A#,� � E E,)'12,�5> 8@9-R/��CD ) �<:�8@90:'�(9��(:�=;) 604�6 8 >��EL^] /'�(7 Qy� / 4F6 ) =1) 604F6 8 > / 8BA(�<9�/ G\6 8HO!� O�9 4 -��� Q � � QB� ),7;: ] � Q@G )�7;:E-R/��<9�� 4�6 )C=1) 604F6 & { 8 >���{ :'�(D;7'�<:M=�-�& { � ����A#,� E � E,��B2 ��GO�/'�(9�� �`I �,'oK�� �ON ILK�� / L#] / 4F6 =1) 6J4F6 & { 4F6 '*),+�+>�(:�-R/�� �5�Px � xG­ 8'� 6mz�� & L�? >��9� � {6 )- 4F6 Da� 6!�#�('oK(� � 1WK5> 8,9 QTS:Z SVY G -R/��<7- � /#" A�� C0E � - 1`A�,� E � E,31 2 / � - �#�,';A �#,� � � %,��#�('32,�5/ �?6 ),= 8BA(� 4 7C-0/'� [ 8@9�� & �<7'�(9R),+@'<) 6 � G�4 >%$ � � I 15I&�`I G -R/'�(7 $ �('oK�� � � I 1#I#�JI �('oK(� �1 K G 6 8 � � $aG ),7;: - � /GC(' � - 1�A#,� � � %,31 2!/ 4 � � - � /#" A�� C E � 4 L =��!9�� 6 - )-��"-R/ 4F6#4 7 & �<7'�(9R),+ |

� 8@9 �^� � { , - � /GC(' � � - � /#" A�� C0E � 4 N 8BO OB� 60P\Q;Q 8 6 ��-R/1)- H �*),+&��� ��G?4�L � L�G H 4�6 ),7 4 7 A��<9J- 4 =;+.�9�<+.� [ �<7 - 8 >JW���B,-� ��L =��W:'��D17'� ) [ ) Q*.H |/� { D � { =M-.H ��� � � ��0 H F A , > 8@9�),+�+ �9� � { =��#O_),7 - -R8�:'��-��<9 [ 4 7'� -0/'� [ )-R9 4£) - .H /GC('W� C%'(L =��@ 7;8BO -R/1)�-V-0/'� Z�132 '(8@+ P [ 7 8 >-R/ 4F6 [ )�-R9 4*)54F6 - .H �4��K<�5/GC(' � - ��K50 H F A /DC%' �*6 - ��K�0 H F A /#" A�� C/7 4 �86 - �%K3/9" A�� C " - H F A /DC � C 7 4 �

6 � � ,�"`"`";,�Q5K`,�"`"`" , � �V� - H /DC � C;� F A 7 4 � � - H /GCo� C1� F 4 ":;;;;;<� LLLQ�KLLL�

=5>>>>>? � Z�132 '<8@+ P [ 7 8 >�� - H /GCo� C;� F 4

@BADC-E�FGE�HJIKE�E�HMLONDN�PRQMN�FTSBE�LOC-UC-U!E�HRFWVRPMI�XYN�ZMI[SBF]\^I`_�QJF�C[\aLbEcE4FTV(d

Page 39: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� ��� � ���G� �G�6� �! ���

] / 4F6�6 )�- 6 -R/1)�-- .H /GC('�� C(' � � - H /DC � C\� F 4

���� � ���� A���B�I�Q@L U��(-�H � JW���B, " ��L ] /'�<7 7 P +F+ � H �E4F6 ) 6JP = 6JQ ),'E��8 >,� ),7\: ? [ � H �E4F6 )60P = 60Q )�'E�E8 > " L� L _ P;Q\Q 8 6 �&-0/1)�- "X),7;:�� ),9��!D17 4 -��#+ : 4 [ �(7 604 8@71),+\),7;:M-R/1)�- � 4�6 ) 6JP = 60Q ),'E�8 > " L�H 908BA(�E-0/1)�-&-R/'�(9��y� ) 4F6 - 6 )�H � J � " , � ��6JP ' /�-R/;)�-?7 P +�+ � H � � � 4�>),7;:�8@7;+*- 4 > : 4 [ � �C��� : 4 [ � " ��� : 4 [ � � ��L�\L U��(-IH �.JW� " ��L}H�P -�� � ? [ � H � ),7;:�� � 7 P +�+ � H ��LbN 8,-�� -0/1)�- = 8,-R/��),7;:�� ),9��AH�+ 4 7 A�),9 4 ),7 - L _ /;8BO -R/;)�-�� /1) 6 )E'(8 [ Q +>� [ �<7 -R),9W- H�+ 4 7 A,)�9 4 )�7 -60P = 60Q )�'E��� � 4 L � L G " � ����� ),7;: H � � � � � �^4�> ),7;: 8,7;+.- 4�> ��!�� �" ��$# G4 7WO�/ 4 ' / '*) 6 ��� 4F6 -R/�� P 7 4 $ P � H�+ 4 7 A�),9 4 ),7 - 60P = 60Q )�'E�"'(8 [ Q +>� [ �<7 -R),9W--R8%� L?;L _ -R)�-�� ),7;: Q 908BA(� ] /'�<8@9W� [ ?;L �\L.Q`> 8@9 + 4 7'�*),9 [ ) Q;6_� 4 7 6 -��*),: 8 >;> 8@9 [ )-R9 4 'E� 6 ��L� L�H 908BA(�'&_8@9J8@+F+F),9W- ?;L �\L ��\L�? > H � � JW� �!, " ��G O!� 7;8BOT-R/;)�-W) 6 ) > P 7;'(- 4 8@7 > 9J8 [ � -R8 " G HT/;) 6 ),74 7 A��<9 6 � 4�> )�7;: 8@7;+*- 4�>!4 - 4�6 � � ( w5��z � ��w � 4 L � L G 8@7���+ -08 + 8,7'� )�7;: 8@7 -R8 ��L _ /\8 O-R/;)�-!O�/'�<7 H 4�6!4 7 A(�(9J- 4 =;+>�W) 6 ) > P 7\'(- 4 8@7 G -0/'�<7 4 - 6!4 7 A(�(9 6 � 4F6!4 7 JW� " ,[�C��L� L�? > H ��J � �!, " �`4F6"4 7 A��<9 - 4 =\+>� G ),7;: 4 > & A 4F6 )b=1) 604F6 > 8@9 � ),7;:8& C�4F6 )b=1) 604�6> 8@9A" G -R/'�(7 � - H /DC FW� C0E �5F A � - H F A /DC0E�� C!F(L�\L�] O 8 A(�('(-08@9 6JQ ),'E� 6 � )�7;:8" ),9W� 6 ) 4 :H-R8W=m� � x`� ® �P� �av � � Q 908BA 4 :'�(:M-0/'�<9W� 4�6),7 4 7 A��<9J- 4 =;+.� H � J � �!, " ��L _ /\8 O -R/1)- 4�>�� ),7\: " )�9��"D17 4 -��#+ : 4 [ �(7 604 8@71),+A(�('(-08@9 6JQ ),'E� 6 8BA(�(99/ G -R/'�(7 � ),7;:�" ),9W� 4�6 8 [ 8@9 Q / 4 ' 4 > ),7;: 8@7;+.- 4�>: 4 [ ��� � � : 4 [ � " ��L�\L U��(-�# � � � � 21� / � ),7\: 4V� � ���gA<� / � � / � L &_8,7 604 :'�<9 -R/'� [ )�-R9 4*)�E$ P )- 4 8,7 # �) � �4 ) 6 ) 6 - 6 -�� [ 8 >G] + 4 7'�*)�9 �%$ P )�- 4 8@7 6�4 7 Y P 7 7;8BO�7 6) A�,� � E E, ) 2 L�? 7 -��<9 Q 9���-�*C= 6(L ?;L+� L �b> 8@9"-0/ 4F6�6 - 6 -�� [ 8 > + 4 7'�<),9��%$ P )�- 4 8@7 6<L

Page 40: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

? � ����������� ���� ��������������������-������������������

Q � L U��(- " � � C�� �� / ��L _ P;Q\Q 8 6 ��-R/1)�- � � � C�� CB� / ��G 6 )�-C-0/1)�-D� �� 4EA�A 4EA©C45C�A 45C�C��),7\: )�+ 6 8 -0/1)�- � � � ��� �� / � O 4 -R/ �©UW,�ZY� + �<7 -R9 -^�E$ P ),+#-08 1#ILKBL = 9 4 -�� JW� " �> 8@9 J � " , " � ),7\:S:'��D17'� H�� � � ��JW� " � =�-

H�� � � | #�D ��# � > 8@9�)�+F++# � � C�� �� / �� � 4 9 6 -�A��<9 4 > - -R/1)�-#H�� � � � JW� " ��L ] /��<7 '<8,7 6 -09 P '�- ) =1) 604F6 & A 8 >IJW� " �),7\:�:'�(-��<9 [ 4 7��E-R/'� '(8 8,90: 4 71)�-�� [ )�-09 4£) - H�� � � /GC0E�L Uj��-I& � =��b-0/'� =1) 6J4F6 8 >JW� / � , / C �#P;6 �(: 4 7 � ) ) [ Q +>� ?;L �\L*Q@L ] /'�(7 '(8 [ Q\P -��!-R/�� [ )�-09 4*) - H�� � � /DC���� C�-0/1)�-�9�� Q 9�� 6 �(7 - 6 H�� � � L

Q(Q@L U��(- & A�G & C =m�M=;) 6 � 6W> 8,9 � ),7;: " G 9W� 60Q �<'�- 4 A(�<+*- G O 4 -0/K: 4 [ � �C� � Y ),7;:: 4 [ � " � � ]�L _ /;8BO -R/;)�-!-R/'� [ ) Q |0JW� �!, " � D � ��� 21� / �B| H��D - H /DC FW� C0E4�6 ),7 4 7 A(�(9J- 4 =;+>� + 4 7'�<),9 [ ) Q LQ � L _ P\Q;Q 8 6 �H-R/1)�-�" 4F6 D17 4 -��#+ : 4 [ �(7 604 8@71),+ ),7;:K-R/1)�- H �KJW� " ��L _ /;8BO -0/1)�--0/'� > 8@+F+�8 O 4 7 & )�9��¤�E$ P;4 A,)�+>�<7 - |� 4 � H 4F6!4 7 A��<9J- 4 =;+.� L� 4F4 � H 4�6&4 7 �W�<'�- 4 A(� L� 4F4F4 � H 4F6!60P 9��W�<'�- 4 A(� LQ`�\L _ P\Q;Q 8 6 � -R/1)-�" 4�6 D17 4 -��W: 4 [ �<7 6J4 8@7;),+ ),7\:�� , H � JW� " ��L H 908BA�� -R/;)�-��BH4�6!4 7 A(�(9J- 4 =;+>� 4 > ),7;:�8@7;+.- 4�> = 8,-R/�� ),7\: H ),9�� 4 7 A��<9 - 4 =\+>� LQ�?;L _ P\Q;Q 8 6 � -R/1)�- " 4F6 D17 4 -���: 4 [ �<7 6J4 8@7;),+!),7;:.H � JW� " ��LVH 9J8 A��S-0/1)�-�H4�6 ) 6 '*),+F),9 [ P +�- 4FQ +.�H8 > -R/'� 4 :'�(7 - 4 -�- 4 > ),7;: 8,7;+.- 4�> �BH � H�� > 8@9 ��A(�(9W-� ��JW� " ��LQJ� L _ P\Q;Q 8 6 �W-R/1)�- � 4�6 D17 4 -��W: 4 [ �<7 6J4 8@7;),+V),7;: H � JW� " , � ��LBH 908BA�� -R/;)�- H4�6&4 7 �W�<'�- 4 A(� 4 > ),7\:�8@7;+*- 4�> -0/'�<9W� � )\4�6 - 6 ),7�� � JW� � , " �!60P ' / -0/1)�-��BH 4F6-0/'� 4 :'�(7 - 4 -�- [ ) Q 8@7<" LQ �\L _ P\Q;Q 8 6 �E-0/1)�- " 4F6 D17 4 -��E: 4 [ �(7 604 8@71),+ )�7;: H � JW� " , � ��L2H 908BA(�b-0/1)�- H4�6_60P 9��W�<'�- 4 A(� 4�> )�7;: 8@7;+*- 4 > -R/'�(9��G� ) 4�6 - 6 ),7�� ��JW� � , " � 60P ' / -R/;)�- H�� 4F6-0/'� 4 :'�(7 - 4 -�- [ ) Q 8@7 � L

Page 41: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � ��� ����

� �� �� � ��� � � ��

�8��� ��� ����� �@� �? ��!#"%$'&(�*),+-�/.0)2143'"5)2�/.036�8703'"*!#19&:3'1;�/"83'7<$'=>�8?@$BA - +>$BCD!E3'AE"F3'G*)9�H3 ),+I&J$BG�&BG*3'+K�/),LM3'"7<)N!E+'&POQ)NAEA + +0$�OR+S3'+0LT�/.>)U"*=07 � ),1N�V!#"Q+0);WB),GXL>)NWB)NAE$B?@),LS!#+Y3I&J$BG*CD3'AZCD3'+0+0)NG,[�?\+�/.0!#"�1H.]3'?^�/),GN_KOR.0!E1H.MO2)X=0"*=03'AEA - 3'"5"*!.&B+`3'"�!#+0L0),?@),+>L0),+K�9G*),3'L0!E+�&0_'O2)aOR!E"*.M�*$G&B!#W')�/.0)D"5�*=0L0),+K�`3b"*$BCc)NOR.036�I&J$BG5Cd36Ae!E+K�/G5$^L0=>1N�/!#$B+f�/$g�*.0)T36A>&B)N70G/3S$'&X?@$BA - +0$'CD!E3'AE"$�WB),Gh3ci])NAELF[!? �h!#"V�*.0),+g+]36�*=0G/3'A��*$\&B)N+0),G*3'AE! d )��/$D?<$'A - +0$BCc!j3'A#"2OR!k�/.l1N$^);mc1,!E)N+K�/"&JG*$BCn"5$BCc)2Cc$BG*)�&B)N+0),G*3'A>36A>&B)N70G/3'!#1e"5�*G*=01;�/=0G5)'_K"*=>1H.o3'"�3V1,$BCcCM=>�/36�/!kWB)pG*!#+'&0[rqX.0)�/!k�/AE)s$'&t�/.0)u1N$B=0G*"5)U&J$BGaOR.0!#1H.S�*.0!E"Q7<$v$ !E"X!E+K�*),+0L0)NLS!E+01NAE=0L0)N"a�/.0)UO2$BG5L0" AE!#+0)43'G3'A>&'),70G*3>_ � "5$cO2)u&J),),A�"5$BCc)�$B70AE!.&K36�*!E$B+d�*$`L0)Ni]+>)-OR.]3w�h3oA#!E+0),3'GX3'A.&B),70G*3M!E"N[� i�� �¯���³k �x )N� / 7<)U3Ii]),A#LF[�� 6 � ° w����¤� 6zyowE�E�W�X�P��w���z¯vaw ;�w 6*­ / !E"X3IW'),1N�*$BG"*?]361,)u{�$�W'),G / OR!k�/.b3'+b3'L0L0!k�/!#$B+]3'A@$B?@),G/3w�/!E$'+Y143'A#AE),L^® 8�6¦z � � 6 � ����z � �P° ���G��w5��z��P��xOR.0!E1H.|3'"5"*$v1,!E36�/)N"hOR!#�*.})43'1H.f?]3'!#Gh$'&pW'),1N�*$BG*" 'j,)+9�~{�3dW'),1;�/$BG ' +S!E+�{�1436AEAE)NL�/.0) �m���E­ 8a��z $'&B'l3'+0L +d!#+b"5=01H.�3MOQ3 - �/.]36�

� 3K�aCM=0Ak�/!#?0AE!#1436�*!E$B+c!E"R3'"5"*$v1,!E36�/!kWB)�|@' � +v�U� � � ' +>����&J$BGR3'A#A 'j,)+c,/� ��{Y�� 7Z�QCM=>A#�/!#?0AE!#1436�*!E$B+`L0!#"5�*G*!E7>=>�/)N"a$�WB),GV3'L>L0!#�*!E$B+;| ' � +28���� � � ' +>�m8 � 'Z���23'+0L

� '}8.+^��� � � 'Z���;8 � +�����_>&J$BGR3'A#A 'j,)+c,/� �l{Y�� 1��Q&J$BGX),3'1H.l"5143'AE3'G 1�� / _ 1 � ' +^� � � 1;'<� + � ' � 1;+^�2&J$BGR3'AEA '�, +\��{Y[? &9�*.0),G5)o!E"h3'+�),A#),Cc),+K� Q ��{�"*=01H.}�*.]36�}Q ' � 'jQ � '}&J$BGh),3'1H. '��~{Y_<O2)

143'A#A]{�3 6 � ° w������ 6zyowE�E�W� 4�� z¯v � ­ow�°az � z�< �P��w�� / _^36+0Ld1,3'AEA�QR�/.0)T� ­ow�°az � z)< $'&�{Y[�qX.0)3'A>&'),70G*3`{�!E"X1,3'AEA#),L �5� ® ® 8oz ��z � ��w ?0G*$�Wv!EL0)NL<' + � +'b&J$BGR36AEA 'j,)+\��{Y[�h� ªan � ¨³i���q��aq��aqut;vawyx`w�z2��� Y $ YV® ��z©� � �5w5x �P��w���� ;�w 6*­ ±�4�� z¯v9z¯vaw 8�x 8�� 6 �5� �w��W��z � �P°�x ±�� x\� 6 � ° w���� � 6zyowE�E��� 4�� z³v � ­ow�°az � z�<�� � °������#z � � 8 6*��� z¯vaw ;�w 6*­ � z¯x`w 6 � � x\��°� 6zyowE�E�W� 4�� z¯v � ­ow�°az � z)< � t;v � x � 6zyowE�E�W� � x ° �Pz��5� ® ® 8oz ��z � ��w � � Y � � �g� ���5�78 ��x`w ±

?'Q

Page 42: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

? � ���2������������K��������}���������z¯vaw ;�w 6*­ � z³x`w 6 � � x �5� ® ® 8 z ��z � ��w ��h� ª'n � ¨³i ��q��aq.s;q t;vaw x����o�5w����X� 6 6 6 � ° w���� �5�aw��W��z��P��x �P° � ��w5��z��P��x����o�5w ± 4�� z³v�5� ® �a�`x � z � �P°��Px�z³vaw��m���E­ 8a��z ± � xB� 6 � ° w������ 6zyowE�E�W� 4�� z³v � ­ow�°az � z)< �� z � x��5� ® ® 8 z ��z � ��w� �T��°m­ �P° 69< � �¤z¯vawGx����o�5w � x �P° w � ­ �¯® w�°�x � �P°m� 6 �

� $�O O2)g�/=>G*+ $'=0Gd3w�*�/)N+K�/!E$'+ �*$��/.>)g1N$B+0"5�*G*=01;�/!#$B+ $'&�3'+ 3'A.&B),7>G/3}OR.0!E1H. !E"$ =0!#�*)UL0!� �)NG*),+K�X&JG5$BC��*.0)h�\O2$ � =0"5��&B!kWB)N+F[ x )N� / 7@)�3Ii])NAELS3'+>LbA#)N� � 7@)h�/.0)�"5)N�$'&93'A#A%+>$B+0+0)%&K36�/!kWB)M!#+K�/)E&'),G*"N[ = )M.03�W')o"*)N),+}�/.]3w�U�/.0)I"*)N�u$6&93'AEAt&J=0+01;�/!E$'+0"h&JG*$'C� !#+K�/$ / !E"R3oWB)N1N�/$'Gs"5?]3'1,)uOR.0!#1H.bO2)P+>$�O�L0),+0$6�/)u7 - /�� [9qX.0)uWB)N1N�/$'G*"V!E+ /��3'G5) � =>"5�V!E+>i0+0!#�*)U"*) $ =>),+01N)," � ! [z)'[k_]AE!E"��/"/� � � � ���`,K��A#,��JC�,� � E �a$'&%"*1,3'Aj36G*"!�JI�� / [�? &$ � � $���, $MA#, $ C�,� � E �X3'+>L 3 ,542� / _>�*.0),+ 3 ��8<4`$T!#"a�/.0)u!E+^i]+0!#�*)�AE!#"5��&B!kWB)N+g7 -

3 ��8:4K$ � � 3 ���8:4K$���, 3 �(Aj8:4K$MA#,� E � � � �^[*Q��= )sL0)Ni0+0)U3-?0G*$vL0=01;�a!E+ / � 7 - 36"*"*$v1,!E36�/!#+'&uOR!#�/.c)4361H.Y?]3'!EG � �m, $>��$'&FW'),1N�*$BG*"

!E+ /�� �/.0)�WB)N1N�*$BG � $dOR.0!#1H.g!#"�&B!#W'),+b7 -

� � $>��� ��>I£¢�A�JI $�� F I , Y � � ,�Q(, � ,E � � � �^[+�B�

_ !E+>1,)MCM=>A#�/!#?0AE!#1436�*!E$B+Y!#+ / !#"h1N$BCDCI=>�H36�*!#W')'_�!k�U!#"h)436" - �*$Y"*.0$�O�/.]3w�UCM=0Ak�/! +?0A#!E143w�/!E$'+l!E+ /�� !E"u3'A#"*$Y1,$'CDCM=^�H36�*!#WB)6[ ?\+}&:3'1;�4_�!#�U!E"u3YG*)NAj36�*!#WB)NA - G*$'=>�/!#+0)M�H3'" �/$I"*.0$�O �/.]36� /�� !#"a+0$�O 3MAE!E+>)43'G23'A>&'),70G*3POR!#�*.T!EL0)N+K�/!#� - $�WB)NG / [ * &t1,$'=0G*"5)U�/.0)WB)N1N�*$BG � Q(, � , � ,� � � ��!#"U�/.0)c!EL>),+K�/!k� - _t3'+0Lf�/.>)cW'),1N�*$BG ) � � � ,EQ(, � , � ,� � � �U?0AE3 - "-3L0!#"5�/!#+'&B=0!#"*.0)NL�G5$BAE)6[SqX.0G*$B=�&B.0$B=>�P�/.0!#"P1H.03'?>�/)NG ) OR!#AEAe1,$'+��*!E+�=0)c�/$�L0)N+0$'�*)D�/.>!E"?]3'G��/!#1,=0AE3'G9W'),1;�/$BG � 36+0LTOR!EA#A<+0);WB)NGV7@)u3'+Y)NAE),Cc),+K�X$6&r�*.0)Ui])NAEL / �;[eqX.0)�?0G5$^L>=01N�$'& ) OR!k�/. !k�/"5),A#&�Y �/!#CD)N"-OR!#AEAp7@)dL0)N+0$'�/)NL~7 - ) � _e3'+0L 7 - 1,$'+�W'),+K�/!#$B+ ) � � QB[qX.0)N+

) C � � � , � ,�Q�, � ,� � E ��, ) � � � � , � , � ,�Q(, � ,E � � �#,V);�/16[����� qu�;q��aq>¬;q}t;vaw 6 � x�z � Q(, ) , ) C ,� � E ��� x����Pz³v � °m­ow��aw�°m­ow�°az���°m­ � ° ; ° � z�w � t;v�8�x�z³vaw� 6zyowE�E�W� /�� � xT° �Pz ; ° � z�wy­ �¯® w�°�x � �P°m� 6 �

qX.0)Y3'A.&B),7>G/3 /�� !#"P"5$BCc)N�/!#CD)N"P1,3'AEA#),Lf�/.0) � 6zyowE�E�W���������P� ® � 6;�a� 4 w��}x`w�� � w5x�P��w�� / [eqX.0)u),A#),Cc),+K�� � � ����,���A5,��PC`,� E � �Q!E"a&JG*) $ =0),+K�/A - ORG*!k�*�/)N+b3'"

� � �>�`¢����� ) � � �^[ �K�

qX.0!E"-+0$'�/36�/!#$B+|!E"�WB)NG - 1,$B+KWB)N+0!E)N+K�4_�70=^�M!#�-CM=>"5�P7<)cG*)NCD)NCM7<)NG*)NL��/.036�I!k�-!E"?0=0G5),A - &J$'G*CD3'A [�?\+S3'A>&B)N70G/3u�/.0)NG*)U!#"Q+0$o"5=01H.Y�/.0!#+'&o3'"Q3'+�� !E+>i]+>!#�/)V"*=>Cg_ � 3'+>LT�/.0)?@$�O2),Gp"5),G*!#),"9+0$'�/36�/!#$B+o!E"e+0$6�2!#+K�/),+>L0),L`�/$u"*=�&(&B),"��a36+ - �*.0!E+'&P3'7@$B=>�p1N$B+KWB),GW&B),+>1,)'[

Page 43: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

���� � � �2� ��� ��� � �������%�2��� ���}��������� ?���8��� � ��� ��� ����� �@� ����� �D��� ��� � �M���� i �� "�³���³k dx )N� / - ) /K7@)��/.0)p"*=>70"*?]361,)p$'& /�� "*?03'+0+0)NLP7 - �*.0)eWB)N1N�/$'G*" Q(, ) , ) C ,� � � %,#[�h+b),A#),Cc),+K�R$'& / - ) /t!E"X1,3'AEA#),Lb3 �a�769< ° � ® � � 6��P��w�� / [

_ !E+01N) /#- ) /�1N$B+0"5!E"5�*"a$'&%3'A#A � i]+0!k�/)��9AE!E+>)43'G91,$BCI70!E+]3w�/!E$'+0"2$6& ) 3'+>LY!#�/"2?<$�O2),G5",_3d+0$B+ +�d )NG*$dW'),1;�/$BG �|!E+ /�� !E"s3d?@$BA - +0$'CD!E3'A�!#&p36+0L�$B+0A - !#&��*.0),G5)I!E"h3'+�!#+��*)E&B)NGY � � "5=01H.��*.]36� ��� e��� 3'+0L|"*=01H. �*.]36� �Pb � � &J$BG-3'AEA�!#+K�/)E&'),G*"��� RY%[DqX.0!#"!E+K�/)%&B),G � OR.0),+`!k�e)�)^!E"��/"/�e!#"�1436AEAE)NLI�/.>) ­ow y��5w5w $'& �Y3'+0L`!#"�L0),+>$'�/)NLc7 - L>)E& � �F�;[zqX.0)d )NG*$Y?@$BA - +0$BCc!j36AF!E"s"/3'!#Lg�/$d.]34WB)ML0)%&BG*)N)���� [ _ $T!k& � � /#- ) /8.]3'"sL0)E&BG5),)}Y%_�!k�Cd3 - 7<)�ORG*!k�*�*),+b!E+Y�/.0)�&J$BG5C

� � ��� ) � 8 ��A ) 8 �JC ) C 8 "`"`"`8 � � ) � , � � e� � � "5=]3'AEA - ��� ) � !E"9"*!#CD?>A - ORG*!k�*�/)N+����R36+0LT1436AEAE)NLT3 x`��� 6*��� �a�769< ° � ® � � 6 [���+0$B+ + d )NG*$?<$'A - +0$BCc!j3'A/�Y$'&�L>)E&BG5),)�Yb"5=01H.D�*.]36�a��� � QR!E"p143'A#AE)NL`3 ® �P° � � ?<$'A - +0$BCc!j3'A [�qX.0)WB)NG*!#i01436�*!E$B+S$'&r�/.0)�W63'G5!E$B=0"X?03'G5�*"V$6&%�*.0)u+0)�)v�VG*)N"*=0Ak�2&'=]3'G/36+��*),)N!E+'&o�/.036�R{�!#"R3'+3'A>&'),70G*3`!#"XG*$B=^�/!E+>)u3'+0LS!E"XA#)N&(�X�/$o�*.0)uG*)436L0),GN[h� iMkmlJion �;q>s;q��aq��jw�z � ��°m­ $ ��wT° �P° ��� w������a�769<P° � ® � � 6 x �P��w�� /0� t;vaw�°� ��� � $ � xy�0° �P° ��� w������a�769<P° � ® � � 6 �� �¯��� ­ow y � � $>� � ­ow y � �F��8 ­ow y � $>� �� �¯�¯��� � $ � xy� ® �P° � ���a�769<P° � ® � � 6 � �y���Pz¯v � ��°m­ $ ����w ® �P° � �H�� � � � � $7� x��[x`��� 6*���0�a�769<P° � ® � � 6 � � ��°m­ �P° 69< � � ���Pz¯v � ��°m­ $ ����w^x`��� 6*����a�769< ° � ® � � 6 xH�� � � ­ow y � � 8 $>�BS7® � 2 " ­ow y � �F��, ­ow y � $>� # �§ kmlJkm¨©¨©ª'l`« �;q.s;q.s�q\t;vawyx`w�z /#- ) / ��� � 6 6'�a�769<P° � ® � � 6 x��P��w��}�cy � ��w�° ;�w 6*­ / 4�� z³vz³vaw ��­�­ � z � �P°[��°m­ ® 8 6¦z � � 6 � ����z � �P°fy � ��w�° �����P��w � x\� �5� ® ® 8oz ��z � ��w 6 � ° w���� � 6zyowE�E�W�4�� z³v � ­ow�°az � z�< �P��w�� /\�§ kmlJkm¨©¨©ª'l`«��;q.s;q>¬;q > 8`���a�`x`w �c, $c± ��°m­��¡���5w �a�769<P° � ® � � 6 x9�P��w�� / x 8c�5v<z¯v���z�:e��� ��°m­ � $ � � � � t;vaw�° $ � � �� �5�`��� � _ !E+01N) � $ � � � _�36AE"*$ � � $ � � � � � [ _ !#+01,) �@e� � _%!k�u&J$BAEA#$�OR"�&JG5$BC � !j�3'7@$�W')-�*.]36� $�� � �O� [

x );��� � � �I£¢�� �JI ) I 3'+>L $ � � �KW¢�� $�K ) K _�3'+0L�!E+K�/)NG*?0G5)N� �Pb � � _D$ 1 � � _r!#&�� <]}_��� Y%_]G*)N"*?@),1N�*!#W'),A - [pqX.0),+

� $ � >I>� K�JI $�K ) I���K � ��� �

>I£¢��

I>KW¢����K`$ I F K�! ) I ,

Page 44: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

?�? ���2������������K��������}���������OR.0)NG*)o�/.0)Mi0G*"5�u"5=0C�!#"U)�)v�*),+0L0)NL $�WB)NG-3'AEAr!E+K�/)%&B),G�?03'!EG5" � UW,�Zv�VOR!#�*. � S¡U�S¡]3'+0L � S[Z0SVY8[� i �� "�³���³k �x )N�V{�7<)P3oAE!E+>)43'GR3'A.&B),7>G/3MOR!#�*.b!#L0),+K�*!#� - $�WB)NGV�*.0)ui]),A#L / [ = )L0)N+0$'�/)��*.0)u!EL0)N+��*!#� - $'&�{�7 - Q-3'+0LbCd3 )��/.0)u1,$'+�W'),+K�/!#$B+g�*.]36� ' � � Qu&J$BGX)43'1H.'¡��{Y[ qX.0)N+ �/$�)43'1H. ?<$BA - +0$BCc!j3'A � � � �I£¢�A �JI ) I $�WB)NG / 3'+0L*'R� {Y_9OQ)3'"5"*$v1,!j3w�/)u3'+S),A#),Cc),+K�� � '<�2!#+S{�7 - �/.>)-G5=0AE)

� � '<� ��>I£¢���JI7' I

�h� ª'n � ¨³il��q.s;q£pjq��jw�z�����w¤z³vaw ;�w 6*­X���}�5� ® � 6>w 2 ° 8 ® ��w��5x ��°m­ 6>w�z � � ) C 8 � �� � � � { � ����°m­�� � � ±]� � � � � � C 8 �M±�� °0������z � � 8�6*��� � � �K� � Q(Q ��°m­

� � Q!8:UQ � U � � Q(

� � � � { � xTz¯vaw � 6zyowE�E���X���T� 6 6 � $ ��® ��z©� � �5w5x �P��w���� ��°m­ � �

� �� Q ��TQ ��� ,

z¯vaw�° � � � � � � � Q �� Q�� 8 � Q �

�yQ ��� C � � � ��2� � � � � � � { � x z¯vaw � 6zyowE�E���²���}� 6 6 6 �¯� ° w������5�aw�����z��P��x��P°�� � ��°m­ H � x z³vaw w 6>w ® w�°az

��� { y � ��w�°^�=<H � 1`A�,31#C�,31 ��� � � U�� � 1`A5,31�C`,�U�� � 1 �;�#,

z¯vaw�° � � H �G� xTz¯vaw 6 � ° w���� �5�aw�����z��P�}�P°� � ­ow�; ° w�­0�=<� � H � � 1�A5,31#C�,31 ��� � � � ,5��1#CE, � ��

� ­ � � { � x�z¯vawy� 6zyowE�E�W�u����� 6 6o�a�769<P° � ® � � 6 xT�P��w���V��°m­ � � )�� 8�� U ± z¯vaw�° � � $>�� x¤z¯vaw��a�769<P° � ® � � 6 � ° { y � ��w�° �=<

� � $0� � � ��8.��U ) � 8 )�

Page 45: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

���� � ��� � ��������� ���������A��������������� ?M�h� iMkmlJion �;q.s�q#�;q �jw�z / ��w �/;�w 6*­ ±e{ � 6 � ° w����}� 6zyowE�E��� 4�� z¯v � ­ow�°az � z)<²�P��w�� / ±�m, $0� /#- ) /³± '²�}{ ��°m­ 1�� /0� t;vaw�°��� ��� � 1[� 8 $>� � '<� � 15� � '<�;8 $ � '<� �� �¯��� � � $>� � '<� � � � '<�B$ � '<� � � $/�F� � '<� �� �5�`��� ��= )uAE),34WB) � !j�Q3'"V3'+S)�)^),G51,!#"*)'[ _ $`&J$BG � !#!(��_^"5=0?0?@$B"*)

� � �>I£¢���JI ) I 3'+>L $ � �

>K�¢��$�K ) K

� )N143'A#A��/.036�!� $ � � I>� K �`I $EK ) I ��K [ _ $c=0"5!E+'& � !j�2OQ)u$B7^�H3'!#+

� � $>� � '<� � >I>� K�`I $EK�' I���K � �

>I£¢���JI7' I ! �

>K�¢��$EK;' K ! � � � '�� $ � '<��

�8!*) '²�}{�3'+0LSL0)Ni0+0)����}| /#- ) /�D {�7 -��� � �F� � � � '<�� � �^[ ?��� "*!#+'&YqX.0)N$BG*)NC �^[+�^[ �d!#�U!#"U+0$�O)43'" - �*$Y"*),)M�*.]36�U�*.0)oCD3'?���X| / - ) /6D {

!E"-3'+�3'A>&'),70G*3T.0$BCc$BCD$'G*?0.0!#"*Cb_F! [z)'[k_t!#�u?0G5),"5),G5W'),"o36L0L0!#�*!E$B+f36+0L�CI=0A#�*!E?0A#!E143w�/!E$'+F[qX.0),G5)P!#"V3c"5?<)N1,!j36A�143'"5)P$'&r�/.>!E"X�/.]3w�s!#"R"*$c!ECc?<$BG��H3'+K�a&J$'GV=>"R�*.]36�RO2)P"��H36�*)P!k�V3'"3o"*),?03'G/36�*)P1N$BG*$'AEAj36G - [§ kmlJkm¨©¨©ª'l`« �;q>s;q.r;q � { � J � " � ��°m­ H ��{0± ��°m­ � � �m,T$u� /#- ) /³± z¯vaw�°� �u" $>� � H � � � � H � 0^$ � H � �

�8�� � ���%�@� ����� ���B�����:�c� ����� ���qX.0G*$'='&B.0$B=^�V�*.0!E"Q"*),1;�/!#$B+ / !E"R3Mi�)^),LSi])NAELb3'+0L ���`, ��A#,E � � E, � �`3'G*)GY 8 Q ­ � x�z � ° ��z),A#),Cc),+K�/"U$6& / [THe=>� " � " �:� /#- ) / |lL0)E& � �F��S@Y # _�3'+>L}L0)Ni]+>)���I!| " D /7 - ��I � �F� � � � ��IJ��_ � SVU�SVY%[�!- qX.0),$'G*),C��v[��^[��U)43'1H.���I<!#"p3-A#!E+0),3'G8&J=0+>1N�/!#$B+]3'A>$B+ " [ 1g$BG5),$�WB)NG,_�OQ)V"*.>$�O

�/.]3w� & {�� � � �`,���A#,������E,�� �K�9!E"Q�*.0)�7]3'"5!E"a$'& " { L>=]3'A��*$`3M?]3'G5�*!E1N=0Aj3'G97]3'"5!E"X$'& " [Hp=^�

� I � � K�!¢�I� ) � �©K��I � �©K � �

Page 46: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

?0� ����������������K������������ �����qX.0)N+g),3'1H. ��� .]36"VL>)��BG5),)��8_]"5$D7@),A#$B+��B"a�*$ " _]3'+0L

��� � ��� � � ��� � ���,� ��� � � � � �^[��B�� ��OR!EA#Ar�*=0G*+}$B=^���/.]36� & � � � ����������� � �B�s!E"U3T7]3'"*!#"U&J$BG " _t3'+0L��/.>),+ � � [ �v[��

)"!^?0G5),"5"*),"VOR.]36�RO2)PCc)43'+S7$#Y"*3%#v!#+��c�*.]36� & { !E"a�*.0)u7]3'"5!E"XL0=]36AF�/$ & [� &W� � � �

� ¢�� 1 ����� _0�/.0)N+b&J$'GX)43'1H.'&� � ���;� � >

�1 � ��� � ���,� � 1(� � � �^[ �K�

) $S!#& ��!#"h�/.0)+*N),G*$S?@$BA,#v+0$'CD!E3'A _Z)4361H.:1(�PCM=>"5�u) � =]36A � _�!ECc?0A,#v!#+��D�*.]36���/.>)oAE!E"��� � ����������� � �B��!E"pAE!#+0)43'G5A,#P!E+0L>),?@),+0L0)N+K�a!E+ " [ ) !E+01N) �.- � ) � )0/ ��������� ) � �e!E"p3-7]3'"5!E"e&J$BG" _^1,A#)43'G5A,#cL0!EC � " � � �21 - [W�V),+01N) & � � � ����������� � �'�2CM=0"��X7<)U3I7]3'"5!E"Q&J$BG " [ � ��/.>),+S&J$BAEA#$�OR"2&JG*$BC �3� [��^[ �M�/.]36�R&J$BGX),3'1H. �54 " _0OQ)u.]34W')

� � �>� ¢��� � � � � ��� � � �^[ �B�

qX.0)-)"!^?0G*)N"*"5!E$B+�!#+ � � [ �^[ �`!#" +>$�OR+l3'"�6 ª !clJª !ci87 �:9 ��`iMl � km¨©ª ���©k <;>=0?�@A � ¨³ª [ ) )N�*�*!E+�� � � ) � !#+ �3� [��^[ �IOQ)-$B7>�/3'!E+

) � ��>� ¢��

� � � � � ��� � �^[b�K��CB �� "�³���D= x )N�V{:EQ3'+0Lb{ / 7<)��\O2$DA#!E+0),3'GX3'A,�B),7>G/3'"X$�WB)NG�F`[eqX.0)"#b3'G*)�"*3'!EL

�/$c7@)HGJI � ® �P� �LK G � ?0G*$�Wv!EL>),LS�/.0)NG*)-!E"V3c$'+0)"M �/$NM $B+0)�CD3'?0?0!#+���' �O 'LP@$'&8{:Ea$B+K�/${ / "*=01H.b�/.]3w�

� 3K� � 1�'1 $ +^�.P � 1;'LPN1 $ +$P3'+0L

� 7Z� � ' +^� P � ' P + P&J$BG-3'A#A�'>� +Q4 {:EU3'+0L 3'AEAe"5143'AE3'G*" 1R� $ 4SFc[DqX.0)dCD3'?0?0!#+�� ' �O '0P%!E"u1,3'AEA#),L3'+TGJI%UP®:UWVYX K GJI�® $'&R{:E-$'+��*$}{ / [ �h+~!#"*$BCc$BG*?>.0!E"5C $'&V{:E-$B+K�/$�{ / !#"I�/.�=0"`3WB)N1N�*$BGU"*?03'1,)o!#"*$BCc$BG*?>.0!E"5C $'&p{:EV$B+K�/$T{ / OR.>!E1H.}.]3'"s�/.0)o36L0L0!#�*!E$B+03'At?0G*$B?@),G�� #$'&%?0G*)N"*)NG5Wv!E+��c?0G5$^L0=>1N�/"N[�h� ª A � ¨ B �[Z.¬[Z��0Z �>\"] "_^ \�`�° ��� ­ G¯® \�° I"GaU °8` 6$bc\ed"] UWV I X `fde\ U bc\ V ]DKL\';g\ 6*­ F:h�i�I4 \�Kj`cbc\ I \e\"kQ\l` V 6 G \ Vnm \l`fdeK UWVpo \ V \ o ^ ` I"GJI & U.q " o \"].\ VsrtG ku\ I `ck !E"5$BCc$BG*?0.>!E"*CH �O - H /GCvU.q ]DKL\+` 6zyf\ ^ V ` U.q 6 G ku\l` V+UeX \ V `c] UWVnI:U k " U kL] U ]wKL\H` 6zyf\ ^ V ` U.qx� $y�

Page 47: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�������������������� �x� ��� � ��� � ? �r `c] VsG de\ IxU bc\ V F'h > 8 X$XLU%I \�k U74 ]wKj`c] � GJI ` ; 2 \ o 6 G ku\l` V�UeX \ V `c] UWV�U k " `ck o ]wKj`c]4 \2` V \sy G bc\"k ` XLU 69<Wk UWrtG ` 6

� � �>� �

1 � ) �

43G ]DK5d U \��Td G \"kL] IA1 � 4 F:h� KL\"k

� � � � ��>�� �

1 � � � �> G kude\ H �O - H /DC GJI ` 6 G ku\l` V r ` X$X8G kvy m

- � � � �L/DC ��>�� �

1 � - � � /GC �� VnUWr ]wKL\2` o$ocG ] GaU k8` 6 q `fd"] ]wKj`c]

- H E H / /GC � - H E5/GC - H / /DCq�UWV ` 6 6 H Eem H / 4�J � " �em�G ] q�U 6 6 U74 I ]wKj`c]

- � � /GC � � - � /GC0� � � �������T� �ixI ]wK GJI V \ 6 `c] GaU k GJI ` 6 I%U bW` 6 G�o�q�UWV�� ��� `ck o��Wm 4 \ U ^ ]a` G k ]wKL\ V \ I 8 6 ]�]DKj`c]����� ZM�[Z��[Z�� Z

- � � � �5/GC � � � - � /GC0� �� k U ]wKL\ V�4 UWVpoWIem>G q � 4 J � " �nm ]DKL\ r `c] VsG32HU.q ` XLU 69<Nk UWrtG ` 6 G k � m 43G ]wK V \ I X \ed"]

] U `oy G bc\"k ^ ` I"GJIem GJI ]DKL\ I ` r \ XLU 69<Nk UWrtG ` 6 G k5]DKL\ r `c] VsG32 U.q � h�8� � �c� � ��� � �M� �����M���� +g�*.0!E"R"*)N1N�*!E$B+bOQ)I3'G*)-1,$B+>1,),G5+0),Ll?0G*!#Cd3'G5!EA #cOR!k�/.b�/.0)u&:3'1N�R�*.]36��F - ) /r!E"V3c?>G*!E+fM1,!#?]3'AF!#L0)43'A�L0$BCD3'!E+F[6 B AQA"! �[Z$#>Z��LZ > 8 X$XLU%I \ � `ck o $ ` V \xk U k ��� \ VeU�XLU 69<Wk UWrtG ` 6 I�G k F - ) /I 8LdeKC]wKj`c]o \ y � $ �%� o \ y � �F��h& KL\"k ]wKL\ V \t\ 2 GJI ] I ` XLU <Nk UWrtG ` 6(' 45F - ) /8q�UWV/4 K G deK

o \ y � ��� $ ' �%) o \ y � �F� �

Page 48: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

?(� ����� ������������������������ �����

� $'�*)��pqX.0!#"X!E+01NAE=0L0)N"X�/.0)u?@$B"*"5!E70!#AE!#� #`�*.]36�� � $ ' "5$DL0)�� � ��� $ ' � � ��� [� VnU%U.q�h ) =0?>?<$B"5)

� ����� ) � 1 � E>� �

� � ) � � ������ �

3'+0LY�*.]36�$ �� � ) � 1 � E

>�� �

� ) � � � �� � �qX.0)N+�� � �f36+0L

��� � ��� � � ) � � $ � � $'G L0)����4��� � ��� � � ) � � $�� ) L0)�� � �F� �

qX.�=0"ROQ)uCD3%#d�H3 ) ' ������������ ) �� � [qX.0!E"VAE)NCDCD3M!E"R=0"5)N&J=0At!#+g"5.0$�OR!E+��c�/.]36�R�*.0)P=>"*=]3'Ar3'A,�B$BG5!#�/.>C�&J$BG A#$B+��`L0!kW^! M

"*!#$B+ � $'&%?<$'A,#v+0$BCc!j3'A#"9O2$BG "V$�WB)NGh3'+$#Ti0),AEL�[�� B =0? B A �[Z�#>Z�� Z � q �0� $ 45F - ) / `ck o $ ���� m ]wKL\"kC]DKL\ V \�` V \ 8fk G! 8L\ XLU 69<Nk UWrtG ` 6 I" �$#45F - ) / I 8LdeK ]DKj`c]� G�� � � $ " 1%# �� GwG��'o \ y � #'�%) o \ y � $ ��h� VnU%U.q�h � &RL0)�� � �F��) L0)�� � $ �uO2)TCD3%#f�/3 ) " � � 3'+0L&# � �%[ � +~1,3'"*)�� �� �3'+0L L0)�� � �F� � L0)�� � $ �;_2�*.0)S?0G*)N1,)NL0!E+���AE)NCDCD3l"*.>$�OR"c�/.]3w�cO2)bCd3�#~1H.0$v$B"5)l3?@$BA,#v+0$BCc!j36A ' 4 F - ) /9"*=>1H.��/.]36�PL0)�� � � � $ ' � ) L>)�� � ���;[ � &!� � $ ''�� � 3'+0LL0)�� � ��� $ ' ��� L0)�� � $ �2O2)P1H.>$^$B"5)-3c?@$BA,#v+0$'CD!E3'A � 45F - ) /t"5=01H.g�*.]36�

L0)�� - ��� $ � ' 1 � �5/ ) L0)�� � ��� $ ' � �& $B+K�/!#+�=0!E+����*.0!E"p?0G5$^1N),"*"Q3'"pAE$B+j�P36"2+0)N1,)N"*"/36Gp#B_vOQ)s=0A#�*!ECD36�/)NA,#-$B7>�/3'!E+`?@$BA,#v+0$'CD! M3'A#" " �$#P"/36�*!E"�&w#^!#+�� � !j�Q3'+0L � !#!(�;[

) =0?0?@$B"5)aOQ)R3'A#"*$�.]34W')�� � $ " EN1(#NEtOR.0)NG*)RL0)�� � #NE�� ) L0)�� � $ ��[%�/.>),+ $ " 1(# �$ " E[1%#WEX3'+>L $ � " � " E*� � #WE��)#v[ � & " � � E �� � _0�/.0)N+ $ � " � " E*� ���� 3'+>LL0)�� � $ � 1 L0)�� � " � " E*� � L0)�� � #NE �)#'� �

� =>�a"*!E+>1,)��/.0)�L>)��BG5),)�$'&*#NE �+#M!E"QAE),"5"a�/.]36+T�/.0)�L0)��BG*)N)u$'& $ _v�/.0!#"X!E"a!#CD?@$B"5"*!E7>AE)'[�s)N+01,) " �,� Ea3'+0LS�/.0)N+�# � #NE�[

Page 49: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�������������������� �x� ��� � ��� � ? �� B �� �����D= �x )N� $ 7<)�3P+0$B+ MY*,),G5$M?@$BA,#v+0$BCc!j36A]$�W'),GQ�*.0)hi])NAELCF`[ � &�� 4 F - ) / _�/.0)-?0G5),1,)NL0!E+j�D�/.>),$BG5),C�"*.0$�OR"V�/.]36�V�/.>),G*)-!E"V36�sCc$B"5�V$B+0)-?@$BA,#v+0$BCc!j36A " 4 F - ) /"*=01H.c�/.]3w� � � $ " [ � &<"*=>1H.T3 " )"!^!#"5�/"eO2)s"*3�#M�/.]3w� $ ocG b G�o \ IG�%_B�/.036� �T!E"�ocG b GJI"G ^ 6J\

7$# $ _03'+0Lb143'A#A " �/.>) � =0$6�/!E)N+K�s$6&���7$# $ [�� )-3'A#"*$MORG*!k�/) " � ��� $ [� =8?R=��� ! ?� � Z�#>Z��[Z��>\"] � 4yF - ) /Dm `ck o 6J\"] 1 4yF:h� KL\"k �<GJIocG b GJI"G ^ 6J\ ^ < ) �%1G q `ck o U k < G q!� � 1N� � � h� VeU%U.q�h � #d�*.0)��/.0)N$BG*)NCg_ � � � ) � 1,� " 1)#IOR.0),G5) #P!E"R3o"*1,3'Aj36GX?<$BA #v+0$BCc!j3'A [ � #qX.0),$'G*),C �v[��^[��^_ � � 1N� � � " � 1,� 1 # � 1,� � # � 1N� ��s)N+01,) # ��� !#&83'+0LS$B+>A,#T!k&�� � 1N� ��� [� B �� �����D= ~x );� F 7@)I3`i]),A#LF[ �h+l)NAE)NCD)N+��61 4 F !E"V"/3'!#Lb�*$d7@)M3 VeU%U ] $BGs3� \ VnUU$'&83+�B!#W'),+S?<$'A,#v+0$BCc!j3'A �545F - ) /t?0G5$�Wv!#L0),L � � 1N� ��� [

� =8?R=��� ! ?� �[Z�# Z�#>Z i�XLU 69<Wk UWrtG ` 6 � 45F - ) /�U.q o \ y V \e\ � Kj` I `c] r:U%I ] �<VeU%U ] I�G kF:h

� VeU%U.q�hVqX.0)lG5),"*=>A#�D!E"c$B7KW^!#$B=0"5A,#~�/G5=0)S&J$BGD?@$BA #^+>$BCD!E3'AE"I$'&�L0)��BG*)N) � $'G - [���)3'"*"5=0Cc)Y!#�M�*$}7<)T�*G*=0)T&J$BGI?<$BA #v+0$BCc!j3'A#"-$6&sL>)��BG5),) � � - [ � & � !#"o3�G*$v$'�o$6& �r_� � � ) � � � " OR.0),G5) " .03'"UL0)��BG*)N)� � - [ ) !E+01N)�� � � � � !#&93'+>L�$B+0A #g!k& ��� $BG " � � � � _2!#�o&J$BA#AE$�OR"o7$# $B=0Gc!E+0L>=01N�*!E$B+ .$#v?<$'�*.0),"5!E"c�/.]36� � .]3'"D36�cCD$'"5�H�G*$v$'�/"N[� B �� �����D= x )N� F 7@)`3Si])NAELF[��s+<G�o \l` 6 !E+yF - ) /�!E"u3S"*=070"5?]3'1N) � $'&gF - ) /"*=01H.b�/.]3w� � ' 7@),A#$B+��B"a�*$ � OR.0),+>)NWB)NG � 45F - ) /r36+0L ' 4 � [

�h� !LA � � B �[Z$#>Z#�[Z � qtF GJI ` ;g\ 6 o `ck o $ 4 F - ) /�m ]wKL\ I \"] � � $ F - ) /+U.q ` 6 6r 8 6 ] G X 6J\ I $ � U.q $ ^ < ` V ^ G ] V ` V < �TG k F - ) /�GJI `ck G�o \l` 6 h K GJI2GJI ^ \edl` 8 I \ $ 4 �� I%U � GJI k U ku\ r�X ])< �%m `ck o+G ] GJI \l` I <+] U deKL\ed� t]wKj`c] � GJI d 6 U%I \ o 8 k o \ V ` o$ocG ] GaU k`ck o 8fk o \ V2r 8�6 ] G X 6 G dl`c] GaU k ^ < `ck < \ 6J\ r \"kL] U.q�F - ) /Yh KL\ G�o \l` 6 � GJI dl` 6 6J\ o ]DKL\?0G*!#+01,!#?]3'At!EL>)43'A �B),+>),G/3w�/),Lf7$# $ `ck o GJIto \"k U ].\ o ^ < $ F - ) /Yh � q $ GJI k U ]�]wKL\ � \ VnUXLU 69<Nk UWrtG ` 6�`ck o G ] I 6J\l` ocG kvy d U \��Td G \"kL] GJI � m ]wKL\"k $ E � � E $ GJI5r:U k G d5`ck o$ E(F - ) / � $ F - ) /Yh�h� !LA � � B �[Z�#>Z��[Z � \"] $ Es��������� $ � ^ \ ` ; k G ] \Ck 8 r ^ \ V U.q XLU 69<Wk UWrtG ` 6 I U bc\ VF:h KL\"k5]DKL\ � bc\ed"] UWVxI X `fde\ �tI 8 r � U.q ]wKL\ I 8 ^ I X `fde\ I $ � F - ) /gGJI ` I 8 ^ I X `fde\ `ck o:GJI` 6 I%U `ck G�o \l` 6 h � GJI ]wKL\ G�o \l` 6Zyf\"ku\ V `c] \ o ^ <']wKL\ XLU 69<Wk UWrtG ` 6 I $ Es��������� $ �jh

qX.0)-&J$'AEAE$�OR!#+��MG*)N"*=0Ak�R!E"a�*.0)uCd3'!#+T�/.0)N$BG*)NC $B+S!EL0),3'AE"X!#+ F - ) / [

Page 50: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � ����� ������������������������ �����

�� B =0? B A �[Z�# Z.� Z��>\"] � ^ \5`ck <Qk U k ��� \ VnU G�o \l` 6 G k F - ) /Yh KL\"kS]wKL\ V \ GJI `8fk G! 80\ r:U k G d XLU 69<Wk UWrtG ` 6 $ 4 F - ) /�I 80deK ]DKj`c] � GJI ]wKL\ X8VsG kud G X ` 6 G�o \l` 6 $ F - ) /yf\"ku\ V `c].\ o ^ < $ h� VnU%U.q�h��hCc$B+��s3'A#AK+0$B+�*N),G*$s?<$'A,#v+0$BCc!j3'A#"F!E+ � �*.0),G5)Q!#" � 36�rAE),3'"5�H��$'+0)2$6&]CD!#+0!ECD3'AL0)��BG*)N)'[ �V),+01N)S�*.0),G5)SCM=0"5�`7@)S3�Cc$B+0!E1d?<$BA #v+0$BCc!j3'A $ $'&hA#)43'"��oL0)��BG*)N)b!#+ � [) =0?>?<$B"5)|�*.]36���n!E"S3'+$# )NAE),Cc),+K�b$'& � [ � )|143'+ L0!kW^!#L0)��n7 # $ 3'+0L �B)N�g3=0+0! � =0) � =0$'�/!#),+K�-3'+0L|G*)NCd36!E+0L0)NG � � � " $ 1 #dOR.0)NG*)`L0)�� � #'� ) L0)�� � $ ��[IqX.0)N+# � � � " $ 4 � _�70=>�hL0)�� � #'�R!#"sA#),"*"V�/.]36+g�/.>)I"*CD3'A#AE),"��VL0)��BG5),)M$6&p3'+$#b+0$B+�*N),G*$?@$BA,#v+0$BCc!j36A%!#+ � [ �s)N+01,) # � � [ ) $ � � " $ [cqX.0!#"P"5.0$�OR"P�/.036� � � $ F - ) / [& AE),3'G*A # $ 4 � !ECc?0AE!#)," $ F - ) /'� � _a"5$�!#+ &:3'1;� � � $ F - ) / [ � & $ Eo3'+0L $

/3'G5)D�\O2$|Cc$B+0!#1D?@$BA #^+>$BCD!E3'AE"u!#+ F - ) /Q&J$'GPOR.0!#1H. � � $ E(F - ) / � $/ F- ) / _��*.0),+

$ ERL0!kW^!#L0)," $ / 3'+0L $ / L>!#Wv!EL0)N" $ E;[ ) !E+>1,)P�*.0)�#l3'G5)ICc$B+0!E16_]�/.0)"#l1NAE)436G*A,#SCI=0"5�h7<)!EL>),+K�/!#143'A [�CB �� "� ���D= � & � Ee��������� � � 4 F - ) /X3'+0L~+>$'�`3'A#A2$'&R�*.0),C 3'G*) *N),G5$0_��/.0)N+~�/.0)

Cc$B+0!E1'�B),+>),G/3w�/$BG $ $'&V�/.0)Y!#L0)43'A � EpF - ) / 1������ 1 � � F - ) /a!E"o1436AEAE)NL �/.>) y V \l`c] \ I ]d UWr:U k ocG b GJI%UWV � �B1,L]�P$'& � E"�������u� � � [ ��)Y"/3�#��/.]36�I�/.0)T?@$BA #^+>$BCD!E3'AE" � Ee��������� � �3'G5) V \ 6 `c] G bc\ 69< X8VsGwr \ !#&<�/.0)��BG5)436�*),"5�Q1,$BCcCc$B+DL>!#Wv!E"5$BGp!E" - _v$BG2) � =0!#W63'A#),+K�/A #o!#&<�/.0)!EL>)43'A��*.0)�# �B),+0)NG/36�*)u!E"V3'AEA<$'& F - ) / [qX.0)I)s!^),G*1N!E"5),"�36�V�/.>)P)N+0L�$'&%�/.0!#"s1H.]36?>�/)NGU3'G5)-�*$d7@)P1N$B+0"*!#L0),G5),L}36+l!E+K�*)��BG*3'A?]3'G��R$'&r�/.0)u1H.]3'?^�/),GN[W�9$'=b"5.0$B=0A#Lg"��/=0L #T�/.0)NC�3'AEA [�CB �� "� ���D= qX.0)ui]),A#L F�!#"R143'A#AE),L ` 6zyf\ ^ V ` G dl` 6 69<Cd 6 U%I \ ou?0G5$�W^!#L0),Lg)43'1H.g?<$'A,#$M+0$BCc!j36A<!#+ F - ) /��/.]36�R!#"R!EG*G5),L0=>1,!E7>AE)U$�WB)NG�F .]3'"RL0)��'G*),) - [

q%$ "/3�# �*.]36� F�!#"d3'A,�B),7>G/3'!#143'A#A,#�1NAE$B"5),L Cc)436+0"D�*.0)�)NW'),G(# +0$B+fM\"*1,3'Aj36GD!#G*G*)sML0=01N!E70A#)ICc$B+0!#1I?@$BA,#v+0$BCc!j36Ar$�W'),G�F !E"U$'&p�*.0)I&J$BG5C ) �*1w[ ) $T�*$Y"/3�#5F !E"U3'AJ�B)sM70G*3'!E1,3'AEA #d1NAE$B"5),LlG5)43'A#A,#YCc)436+0"V�*.]36�V)4361H.�+0$B+ M "*1,3'Aj3'GR?@$BA,#v+0$'CD!E3'A��}!E+ F - ) /r143'+7@)-)s!^?0G*)N"*"*)NL�!E+Y�*.0)�&J$BG*C

� � 1 � ) �%1%E�� �!E ����� � ) �%1 � � ���OR.0)NG*)�1I!E"U3S"5143'AE3'G�3'+>L 1�Es���������31 � 3'G5)oL0!E"��/!#+01N��)NAE)NCD)N+��*"�$'& Fc[ � �u!E"�3'A#"*$T�*G*=0)�/.036��F !#"a3'A,�B),7>G/3'!#143'A#A,#o1NAE$B"5),LS?0G*$�Wv!EL>),LT�/.036�X)4361H.g+0$'+ M\"5143'AE3'GQ?@$BA,#v+0$'CD!E3'A]$�WB),GF .]36"s3oG5$^$'�R!#+ Fc[

qX.0)�i]),A#L�� $'&rG*)436AF+�=0CM7@),G*"R!#"a+0$'�R36AJ�B)N70G/3'!#143'A#A,#`1NAE$B"5),LF_0"5!E+01N)U�/.0)�?@$BA #^+>$NMCc!j3'A � )0/ 1 - ��!E"-!EG*G5),L0=>1,!E7>AE)`$�WB),G� 70=>�I+0$'�P$'&XL0)��BG*)N) - [SqX.0) � 8fk o ` r \"kL]Y` 6 KL\ UWV \ r U.q i 6zyf\ ^ V ` "5�/36�/)N"%�/.036�t�/.0)pi]),A#L � $'&>1,$BCc?0AE)s!u+�=0CM7@),G5"8!E"r3'A,�B),7>G/3'!#143'A#A,#1,A#$B"*)NLF[ ��)I"*.03'AEAt?0G5$�W')P�*.0!E"R�/.0)N$BG*)NC�Aj36�*),GV36&(�/)NGVO2)I.03�W')M!E+K�*G*$vL0=01,)NLg�*.0)I1N$B+ M1,)N?>�/"V$'&%L0)N�*),G5CD!#+]3'+K�V3'+0LS$'&8),!J�'),+KW63'AE=0)N",[

Page 51: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

��� ��� ��� ��� � �(� � � � -qX.0)��Z=>+0L]3'Cc),+K�H36A0qX.0),$'G*),C $6& �sAJ�B)N70G/3u3'A#"*$�CD3 )N"e!#�e1NAE),3'G�OR.]36�e�*.0)R?<$B"5"*! M

70!EA#!#�*!E),"F3'G*)e&J$BG��/.>)2?0G5!ECc)�&:3'1N�*$BG*!,*436�*!E$B+�$6&]3R?<$BA #v+0$BCc!j3'AwOR!#�/.-G*),3'AK1,$v)Nmc1N!E),+K�*",[ � &�S!#"93P?@$BA,#v+0$BCc!j36A^OR!#�*.DG5)43'A]1N$^);mc1,!E)N+K�/"a36+0L 1a!#"23-1,$BCc?0A#)"!`G5$^$'�p$6&D�%_K�/.>),+d�*.0)1,$BCc?0A#)"!P1,$B+ � =��K36�*) 12!#"�3'A#"*$U3UG5$^$6��$'& �%[%qX.0),G5)N&J$BG5)'_B�*.0$B"*)Q1,$BCc?0AE)s!PG*$v$'�/"rOR.0!E1H.3'G*)R+0$6�2G5)43'AZCM=>"5�9$^1N1,=0Gp!#+D1N$B+ � =��K3w�/)R?]3'!#G*",_v3'+>Lc�*.0)R),+K�/!#G*)V"*)N�2$'&<G*$v$'�/"p.]36"9�*.0)&J$BG*C " E"��������� �� �31�Es� 1�Es���������31 � � 1 � # _0OR.>),G*) E"��������� �� 3'G*)-G*),3'At3'+0L<1%E"�������"�31 � 3'G5)+0$B+ M G*),3'AF1,$'CD?0A#)"!S+�=0CI7<)NG*",[pqX.�=0"�l&:3'1N�*$BG*"V3'"

� � 1 � ) � E*� ����� � ) � �� � � E ����� � �OR.0),G5) �j� !#"a�/.0) � =]3'L>G/36�*!E1�?@$BA,#v+0$BCc!j36A

��� � � ) �%1 � � � ) � 1 � � �qX.0),"5)g?@$BA #^+>$BCD!E3'AE" ��� .]34W')bG5)43'AQ1,$v)Nmc1,!#),+K�/"N[ � )Y"5),)S�/.]36�M)NWB)NGp# !#G*G*)NL0=01N!E70A#)?<$'A,#v+0$BCc!j3'A8$�W'),G-�/.0)cG*),3'Ap+v=>CM7<)NGPi])NAEL|.]3'"PL0)��BG5),) - $BG'�^[ � 3'1H.�?@$BA #^+>$BCD!E3'A$�WB),G � !#"u�*.0)c?0G*$vL0=01;�I$'&Q1,)NG5�H36!E+|AE!E+>)43'GU&:3'1;�/$BG5" �'!#WB)N+ 7$#}�/.>)DG5)43'ApG*$v$'�*"-$6& �3'+0Lb1,)NG5�H36!E+S!EG5G*),L>=01,!#70AE) � =]36L0G/36�*!E1u?@$BA,#v+0$BCc!j36AE",[

����� � ���� A���B�I�- [ � qX.>) � !E+0$'CD!E3'A�qX.0),$'G*),Cd� x )N� 6 � � 7 � ���

� � � ��� � 7@)M�/.>)M=0"*=03'A�70!#+0$BCc!j3'A�1N$NM)Nmc1N!E),+K�,[ x );� � � 7<)u),A#),Cc),+K�/"R$'&83'+$#Y1N$BCDCI=>�H36�*!#W')�G*!E+j�0[�qX.0)N+

� � 1 � � � �>� �

� � � � � �� � � �� $6�/)D�*.]36�P�/.0)D70!E+0$'CD!E3'A�1,$v)Nmc1N!E),+K�o!#"I36+�!E+K�/)��B),G-�/.]3w�MCD3%#f7@)dG5),L0=>1,),LCc$^L0=>AE$c3'+$#bCD$vL0=0A#=0" � [ � �V&J$BAEA#$�OR"a�*.]36�s)NW'),+�OR.0)N+l�/.0)-L0)N+0$BCc!E+]36�*$BGX$'&6 � � 7 36?0?<),3'G*"R�/$D7<) � !#+g"5$BCc)PG5!E+��c$'&e1H.]36G/3'1;�/),G5!E"��/!E1 � _Z&J$BGR)"!>3'Cc?0A#)'_]�/.0!#"70!#+0$BCc!j3'A@1,$v)Nmc1,!#),+K�V143'+b7@)-!#+K�/),G5?0G*);�/)NLgCc$^L>=0AE$ � [��]$BGX)s!>3'CD?>AE)��

� � � � ��� � � Cc$^L��B�"�

)NW'),+b�/.0$B=j�B.����0!E"�*N),G*$cCc$^L0=>AE$��>[qX.0):o \ VsG bW`c] G bc\ $'&r�/.0)u?@$BA,#v+0$'CD!E3'A

� � 1 ��1*1�E ) 1 �����R1*1 � ) �

Page 52: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

��� ����� ������������������������ �����

!#"a�/.0)u?@$BA,#v+0$BCc!j36A� P ��� � � 1�E[1 � 1 / ) 1 �����%1 � 1 � ) � E �

� $'�/) � � !#"V3`A#!E+0),3'Ga$B?@),G*36�/$'GX$B+ F - ) / [�^[ � q83�#vAE$BG�� " �Z$'G*CM=0AE3K�;[ x )N� F�7<)`36+ #li]),A#LF_FAE);� �~7@)`3'+$#�?@$B"*!k�/!#W')o!E+K�/)��B),GN_

3'+>LbA#)N�!�545F .]34W')PL0)��BG*)N) � �T�8[pqX.0)N+

� � �>� �

� � � ��� � 1N���� � ) �%1N� � �

� )`"5=0G*)c�/$S)"!^?0AE3'!E+|.0$�O��/$bL0),3'AeOR!#�/.}�*.0)D1,3'"*)`OR.0)NG*) ����!E"uL0!#Wv!#"*!E7>AE)o7$#�*.0)u1H.]3'G/361N�/)NG*!#"5�/!#1�$'&r�/.0)�i])NAEL Fc[� &]� 45F - ) /t36+0L 1�45F`_>�/.0)tr 8�6 ] G X 6 G d G ])< $'& 1h3'"R3MG5$^$'�a$'&���!E"2�*.0)�Aj36Gl�B)N"5�?@$B"*!k�/!kWB)�!E+K�*)��B)NG #M"*=01H.b�/.]3w� � ) �%1N� � L>!#Wv!EL0)N"!�%[

�>[ ) .>$�O �/.]36�c!k&h�/.>)bCI=0A#�*!E?0A#!E1,!k� #|$'&I1S3'"c3�G5$^$6�`$'& � !E" # � �^_2�*.0),+ �/.0)CM=>A#�/!#?0AE!#1,!k� #`$'&�1h3'"V3`G5$^$6�R$'&�� P !#"R36�RAE),3'"5� # � - [

?0[ x )N� # � � � 1 $ � [ x );� � � " �y4 F - ) / � � � # � � � # [ ) .0$�O��/.036� � !E"

3u+0$B+�*N),G5$I!EL>)43'A [ � �V!E+K� �%1,$B+>"*!EL>),Gp�/.0)s?<$BA #v+0$BCc!j3'A � � ) � � ) / � � � 1 $ � ) 1� � $ � 1,��[ ��CB � "������= �x );�CF�7@)�3|i0),AEL�[ ��?@$BA,#v+0$'CD!E3'A � 4_F - ) /V!#"D"*3'!EL �/$|7<)V \ o 8Ld G ^ 6J\ $�WB),G F ?0G5$�Wv!#L0),LM�*.0),G5)R3'G*)2?<$BA #v+0$BCc!j3'A#" ' � � 45F - ) /vOR!#�*.oL0)��BG5),)36�hAE),3'"5� - &J$BGsOR.>!E1H.�� � ' � [ � &a��!E"s+0$'�UG5),L0=>1,!E7>AE)M$�WB)NG F`_�!#�h!E"s"/3'!#Ll�/$7@) GwV"V \ o 8Ld G ^ 6J\ $�WB)NG2F`[ ��?@$BA #^+>$BCD!E3'A � � ) �4TF - ) /p$'&QL0)��'G*),)D36�-AE),3'"5� -!#"�"/3'!#Lf�*$g7@)c3:X8V"Gwr \ XLU 69<Nk UWrtG ` 6 U bc\ V�F ?0G5$�Wv!#L0),L|OR.0),+0);WB)NG � L0!#Wv!EL>),"3`?0G*$vL0=01;� ' � $'&%�\OQ$d?<$BA #v+0$BCc!j3'A#"a!E+ F - ) /t�/.0)N+�!#�V.]36"V�*$dL0!kW^!#L0)-36�sAE)436"5�$B+>)�$'& ' 3'+0L � [

�^[ ) .>$�O��/.036�o3�?@$BA,#v+0$'CD!E3'A � � ) �:4 F - ) /QOR!#�*.~L0)��'G*),)S3w�oAE),3'"5� - !E"M?0G5!ECc)$�WB)NG�F !#&83'+0Lb$B+0A #T!#&r!k�R!E"X!EG5G*)NL0=01,!#70AE)h$�W'),G�Fc[

[ � qX.0)��eG*!#Cd3'G(#��U),1,$'CD?@$B"*!k�/!#$B+l$'& ��� � & F�!#"�3Di])NAELF_�3T+>$B+ M\"5143'AE3'GhCc$B+0!#1?@$BA,#v+0$'CD!E3'Ap!E+ F - ) /a143'+ 7@)T&:3'1N�*$BG*)NL 3'"`3�?0G*$vL0=01;�`$'&VCD$'+0!E1D?0G*!#CD)N"M!E+

Page 53: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

��� ��� ��� ��� � �(� � � � �F - ) /p!#+|$'+0)c3'+0LF_r)"!^1,)N?>�-&J$BG�$BG*L>),G,_r$B+0A #�$B+>)`OQ3�#B[ � & � E"��������� � � 3'G*)o�*.0)L0!#"5�/!#+01N�RCc$B+0!#1U?0G5!ECc),"X$v1,1,=>G*G*!#+��`!E+Y�/.>!E"a&:3'1;�/$BG5!J*43w�/!E$'+T$'&G�%_0�/.0)N+

� � � �!EE � � F/ ����� � ���� �OR.0)NG*) � � !E"��/.0)9+�=0CM7@),Gr$'&>�*!ECc),"F�*.0)2?>G*!ECc) ��� $v1,1,=>G*"r!E+u�/.0!#"t&:361N�/$'G*!J*,36�/!#$B+F[qX.0!#"TL0),1N$BCc?<$B"5!#�*!E$B+ !#"T3'A#"*$�1NAE),3'G*A # =>+0! � =0)f3'+>L !E"T1,3'AEA#),L �*.0) X8VsGwr ` V <o \ed UWr�XLU%I"G ] GaU k $6&��%[

�^[ x )N���7<)-3o+0$B+fM\"*1,3'Aj36GXCD$B+>!E1U?@$BA,#v+0$'CD!E3'A<$�W'),GR�/.0)�i])NAEL Fc_03'+0LbAE)N�� � � � EE ����� � ����

7@)u�*.0)u?0G*!#CD)s&:3'1N�*$BG*!,*436�*!E$B+Y$'&G�%[��]$BGX),3'1H.:&]_ - � & � �<_]A#)N�

�"� � �� � ��� � � � ! � �

���� �

qX.0)N+ �$Ee����������� � 3'G5)uG*),AE36�/!kWB)NA,#D?0G*!#CD)6[�>[ � "5!E+��|�/.0)g"/3'Cc)l+>$'�H36�*!E$B+ 3'"D!E+ �*.0)l?>G*),1N),L0!#+���?0G5$B70A#),Cb_a"*=0?>?<$B"5)l�/.036�� � � E ����� � � !#"Q3-?0G*$vL0=01;�Q$'&FL0!E"��/!E+>1N�2+0$B+ M "*1436Aj3'Gp!EG5G*)NL0=01,!#70AE)R?@$BA,#v+0$'CD!E3'AE"

$�WB)NG�F`[ ) $ ��� � ��� � ��[ ) .0$�O �*.]36�� P � � P E � E>1 � P / � / 1 �����%1 � P � � � �

�>[ x )N� � 4 F - ) /�.03�W')`L0),G5!#W636�/!kWB) � P [uqX.0)N+ ��!#"�3T?0G5$^L0=>1N��$'&9L0!#"5�*!E+01;�U!EG5G*)sML0=01N!E70A#)s?@$BA #^+>$BCD!E3'AE"8$�W'),G�Fn!k&t3'+0LD$B+0A,#`!k& �g36+0L�� P 3'G*)sG*)NAj36�*!#WB)NA,#o?>G*!ECc)'[

Page 54: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�!? ����� ������������������������ �����

Page 55: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � ��� ���� �

� � ���� � �e� � � � �

� )V3'"5"*=0Cc)X�/.]3w�e�/.0)RG*),3'L0)NG9.03'"eCD);�e�/.0)R+0$6�/!E$'+o$'&F3�1N$BCDCI=>�H36�*!#W')XG*!E+j����OR!k�/.- [ * =>GXCd3'!#+ �B$K3'AF!#+Y�/.0!#"V1H.03'?>�/)NGs!#"a�/$c"5�*=0Lj#Y�/.>)-=>"*=]3'AtL0);�/)NG*Cc!E+]3'+K�X&J=0+>1N�/!#$B+L0)Ni0+0),L}$B+b�/.0)-"*);�U$'&�" � =]3'G5)ICD36�/G5!E1,)N"XOR!#�/.g),+K�/G5!E)N"s&JG*$'C "*=01H.}3���[��s$�OQ);WB)NG,_),"5"*),+K�*!j3'A#A,#D+0$'�/.>!E+��I&JG5$BC �/.0) �B)N+0),G*3'A<�*.0),$'Gp#T$6&%1N$BCcCM=>�H3w�/!#W')hG5!E+��B"2OR!#�/. - OR!EAEA7<)u=0"5),LF[

* +>)|$6&I�/.>)|CD3'!#+ � #v?<)N"g$'&M3'?0?0A#!E1,36�/!#$B+ $'&-�/.0)f+0$6�/!E$'+ $'&IL>)N�/)NG*Cc!E+]36+��S!#"�/$}L0);�/)NG*Cc!E+]3'+K�*"o$'&VCd36�*G*!#1,),"POR.0$B"*)S)N+��*G*!#),"`3'G5)Y?<$BA #v+0$BCc!j3'A#"-!#+~$B+0)Y$BGoCc$BG5)!E+0L>)N�/)NG*Cc!E+]3w�/),"D$�WB),GS3|i]),A#LTFc[ ) $ OQ)}Cc!J�'.��D.]34WB)�� � F - ) / _X�/.0)lG*!E+j� $'&?<$'A,#v+0$BCc!j3'A#"s!#+��/.0)o!#+0L0);�/),G5CD!#+]36�*) ) OR!#�/.f1N$^);mD1N!E)N+��*"�&JG*$BC��/.0)Mi0),AELyF`[ � ��!#"3'AE"5$ � =0!k�/)`=0"5)N&J=0Ae�/$b1,$'+0"*!#L0),Gu�/.0)`�/.>),$BG(#f$'&QL>)N�/)NG*Cc!E+]36+��*"P$�W'),Gu�/.0)cG*!#+���� $'&G/36�*!E$B+03'A�!#+��*)��B)NG*"N[

����� � ���� �� ��� ������� ������ ��qX.0G*$'=��B.0$B=^���/.0)N"*)`+0$'�*),"�� OR!EAEAr7@)`3T1,$BCcCM=>�/36�/!kWB)MG5!E+��dOR!k�/.f!EL>),+K�/!k� #B[-qX.0),+&J$BGR)43'1H.g?<$'"*!#�*!#W')-!#+K�/)��'),G��fO2)POR!#"*.S�/$d3'"*"5!J�B+S�/$c)43'1H. � $ �fCD36�/G5! !T$�W'),G�� 3"*1,3'Aj3'G � ),A#),Cc),+K�p$'&��f�%�/$u7@)���+0$�OR+d3'"��*.0) o \"].\ VsrtG k8`ckL] $'&Z�/.0)RCD36�/G5! !<[��s"e"*$v$B+3'"aO2)-.03�W')uL0)Ni]+>),Lg�*.0),"5)��/),G5CD"aO2)uCd3�#d"/3�#d�*.]36�X�/.>)-L>)N�/)NG*Cc!E+]36+��Q&J=0+01N�*!E$B+Y!#"�8M AE!E+>)43'GX36A#�/)NG*+]3w�/!E+j�IOR!#�*.bW63'A#=0) - 36�X�/.0)u!#L0),+K�/!k� #YCD36�/G5! !<[� B �� �����D= x );� � 7@)d3Y&J=0+01;�/!E$'+|OR.0!#1H.�3'"5"*!,�B+0"u�/$b)43'1H.Q� $ � CD36�*G*! ! #$�WB),G ��3u"*1,3'Aj3'G � � # ��!E+���[ ��)V"/3�#o�/.]3w� � !E" �0M 6 G ku\l` V8?>G*$�Wv!EL0)NLD�/.036�p&J$BGp)43'1H.�*_ - � ���T�8_ � !E"X3MA#!E+0),3'G2&J=0+>1N�/!#$B+T$'&t�*.0) � �*.YG*$�O OR.>),+Y�/.0)�$6�/.0)NG�� � - G*$�OR"3'G*)u.0)NAELYij!^),L�[�%),G5.]3'?0"��*.0!E"sL0)Ni]+>!#�/!#$B+�+0)N),L0"�"5$BCc)M1,AE3'G*!ki]1436�*!E$B+�[ � & � !E"h3d&J=0+01;�/!E$'+l&JG*$BC

� �

Page 56: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� ����� ��������� ��� ����������.���x� � �

� ��� � � �f�I!E+K�/$���_23'+0L !k&��Es����������� �}36G*)T�/.>)bG5$�OR"c$6&V�*.0)SCd3w�/G*! ! # _eOQ)b3'A#"*$ORG*!k�/)

� � # � � � � �Es����������� �B�s��/.036�X!E"N_^O2)��/.0!#+ �D$6& � 36"R3I&J=0+01N�*!E$B+Y$6&r�*.0)�G*$�OR"X$'& # [eqX.0)u"5�H3w�/),Cc),+K�X�*.]36� �!E"��0M\A#!E+0),3'GQ�/.>),+bCD),3'+0"

� � �Es���������31�� � 1�� P� ����������� �B� � 1 � � �Es����������� � ���������� �B� 1 � [ - �1 � � �3Es���������� P� �������"��� �K� �

� &ZOQ)aij!o3'AEAvG*$�OR"e)s!>1N),?>�pG5$�O���36+0LoG*)��K3'G*L � 36"e3h&J=0+01;�/!E$'+M$'&Z�/.0)%� �/.`G5$�Ou_K!k�!E"8$'&(�/)N+o1,$B+KWB)N+0!E)N+K�9�*$UORG*!k�/) � � � � �%&J$BG � � # ��[�qX.�=0"eOQ)XCD3�#M367070G*);Wv!j36�*) � � [ [ -�/$

� � 1�� � 1�� P� � � 1 � � � � � 1 � � � P� �"�"*$cAE$'+��`3'"R!#�X!#"X1,A#)43'GaOR.]3w�V�*.0)uCD),3'+0!#+��o!E"N[

� +d�/.>)V&J$BA#AE$�OR!E+j�-"5$BCc)N�/!#CD)N"eOQ)s=0"*) # � �a�/$PL0),+>$'�/)V�/.0)s),AE)NCD)N+K�Q!#+DG5$�O �%3'+0L1,$'AE=0Cc++&d$'&r�/.0)uCD36�/G5! ! # _Z3'+>Lb"5$BCc)N�/!#CD)N"aOQ)�ORG5!#�/) # � �l�Y&^��[�h� !�A � � B �[Z)�LZ��LZ �>\"] � Es����������� � ^ \ XLU%I"G ] G bc\ G kL] \ yf\ VnIem - � � � �T� m `ck o 6J\"] � ^ \`ck <C\ 6J\ r \"kL] U.q�� h � UWV \l`fdeK � $ �<r `c] VsG32 # U bc\ V � m o \�; ku\

� � # � �,� # �(- ��� E5� # � � ��� / � ����� # � � ��� �'� � � [+�B� KL\"k ]DKL\ q 8 kud"] GaU k o \�; ku\ o ^ <� %h �ch�� GJI��]� 6 G ku\l` V�h � UWVnm G q 4 \ V \ y$` Vpo � ` I

` q 8fkud"] GaU k U.q ]wKL\ � ]DK VnU74 U.q # m ]wKL\ U ]wKL\ VeI ^ \ G kvy�; 2 \ oWm 4 \ r ` < 43V"G ] \� � � � � � # � �l��� � �

4 KL\ V \ GJI I%UWr \ ; 2 \ o \ 6J\ r \"kL] U.q � h �>\"] � P� � � # P� E ��������� # P� � ��h� KL\"k 4 \ Kj`cbc\� � 1�� � 1�� P� � � - 1 # � �l� � � � 1 # P � �p��� � �L/

� 1 � � � � � 1 � � � P� � � K�8 I � GJI ` 6 G ku\l` Vq 8fkud"] GaU k U.q \l`fdeK U.q ]DKL\ VnU74 ItU.q # h

i X ` V ] G d 8 6 ` V���� 6 G ku\l` Vq 8 kud"] GaU k U.q ]wK GJI ]�< X \ GJI ( 8 I ]�]DKL\ X8VnU�o 8Ld"] U.q ]DKL\ ocG `�y �U k8` 6�\"kL] VsG \ I �

� � # � � # E E # / / �����# � � �

Page 57: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� ��� ��� ��������� �.���x� � ��� � � ���"���x� � ��h� !LA � � B �[Z ��)Vi0+0LT3'A#A �RM AE!E+>)43'G8&J=>+01N�*!E$B+0"9$B+��?$%��Cd36�*G*!#1,),"e$�W'),G ��[ x );�

� 7@)u"*=01H.l3`&J=>+01N�*!E$B+F[ � &%OQ)-L0),+>$'�/)u�/.0)uG5$�OR"V$'&%�/.0)�� $ �`!#L0),+K�*!#� #YCD36�/G5! !d7$#� Ea3'+0L � / _0�/.0)N+bO2)u.]34WB)

� � # � ��� � # E E � E>1 # E / � / �#/ E � E 1

#/ / � / � �� "*!#+��`�/.0)�&:3'1;�X�/.]36� � !E" �%M\AE!#+0)436G,_�OQ)-.]34WB)

� � # � � # E E � � � Es� # / E � E>1 #/ / � / � 1 # E / �

� � / � # / E � E 1 #/ / � / � �

� # E E # / E �� � Es� � E*� 1 # E E # / / �

� � E"� � / � 1 # E /#/ E �

� � / � � E�� 1 # E /#/ / �

� � / � � / � �qX.0!E" � !E"R1,$'CD?0A#)N�*),A,#DL0);�/),G5CD!#+0),LS7$#Y�/.>)u&J$'=0GX"*1,3'Aj3'G5"� � � E"� � E5�s� � � � E"� � / �"� � � � / � � E*�s� � � � / � � / � �

� �h!#"V+>$�O�G*$B=>�*!E+0)U�*$cW'),G5!#&w#Y�/.>)-&J$BA#AE$�OR!E+j�0[ � & � _ _��w_��T3'G5)-3'+$#Y&J$B=0GR"*1,3'Aj3'G5"!E+�� 36+0LS!#&rOQ)uL0);i]+0)

� � # � � # E E # / E � 1 # E E # / / 1 # E /#/ E�31

# E /#/ / �0��/.0)N+ � !E"R3%�RM AE!#+0)43'G9&J=0+01;�/!E$'+b$'+ � $ �oCd3w�/G*!#1,)N"a$�WB),G � 36+0L

� � � Es� � E*� � � � � � � Es� � / � �, � � � / � � E*� � �W� � � � / � � / � � � �

6 B AQA"! �[Z��LZ�� Z i 6 G ku\l` V d UWr ^ G k8`c] GaU k U.q���� 6 G ku\l` Vq 8 kud"] GaU k I GJI��]� 6 G ku\l` V�h� VeU%U.q�h � �2"5=>mc1,)N"2�/$u?0G5$�WB)R�/.]36�23uAE!#+0)43'G81,$BCM7>!E+]36�*!E$B+o$6&<�\O2$2�0M\AE!#+0)436G8&J=0+01;�/!E$'+0"!E"g�0M\A#!E+0),3'G,[ x );� � 3'+0L ��7<) �0M\A#!E+0),3'G2&J=0+>1N�/!#$B+0"N[ � & � 3'+0L 3'G5)U),A#),Cc),+K�/"R$'& ��/.0)uA#!E+0),3'Ga1,$'CM70!E+036�/!#$B+ � � 1 � !#"XL0)Ni0+0),Lg7 #

� � � 1 �I� � # � �,� � � # � 1 � � # � ��s)N+01,)6_@!k&%O2)�ij!b3'A#AFG*$�OR"R)"!^1N),?>�hG*$�O��5_

� � � 1 �M� � ��� � 1�� P� � � � � � ��� � 1�� P� � 1 � � � � � 1�� P� �� � � � � � � � 1 � � � � P� � 1 � � � � � � 1 � � � P� �� � � � � 1 �I� � � � � 1 � � � 1 �I� � � P� � �

Page 58: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � ����� ��������� ��� ����������.���x� � �

� � � � � � & � !E"%3Vi])NAELo36+0L�� !#"r�*.0)Q"5)N�8$'&0�/$��DCd3w�/G*!#1,)N"%$�WB)NG ��_'�*.0)a3'7@$�WB)AE)NCDCD3D"*3�#^"U�*.0)I&J$BA#AE$�OR!E+j�0[UqX.0)M"5)N�u$'&��0M\AE!#+0)436GV&J=0+>1N�/!#$B+0"U$'+���!E"�3T"5=070"5?]3'1,)$'&r�/.0)u"5?]3'1,)-$'&83'AEA@&J=0+01;�/!E$'+0"X&JG*$BC�� !#+K�/$���[

�h� !LA � � B � Zax );� � 7@)h�/.0)U&J=>+01N�*!E$B+YL0);i]+0)NLb$'+ � $ �ICd36�*G*!#1,),"2$�WB),G � 7$#� � # � � # E E # / / � # E /

#/ E � � [ �K�

qX.0!E" � !E"a�*.0)u"*=0C $6&%�\O2$c&J=>+01N�*!E$B+0"R$'&r�/.>)u� #v?@)uL0),"51,G*!#7<)NLg!#+ � !>3'Cc?0A#) - �� � � E[1 � /

� E � # � � # E E # / /� /

� # � � � # E / # / E � [ ?��� $B"��IG5)43'L0)NG*"uOR!EA#A8G*)N1,$ �'+0!J*N)`�*.0!E" � 3'"��/.0) =>"*=]3'A � L>)N�/)NG*Cc!E+]36+���&J=>+01N�*!E$B+

3'+0LbOR!EA#A�G*),1,3'AEA��*.]36�U!k�V"/36�*!E"5i0),"h"5)NW'),G/36A�3'L0L>!#�/!#$B+]3'A�?>G*$B?@),G��/!E)N",_@"*=01H.f36"s�/.>)-&J$BA MAE$�OR!#+��o$B+0)6[

����� � ������������������! "���#���$ %�&��')(+*+��,- /.10���2

3CB547698 � 8 = 6 � x );� � 7<)a3'+t�8M AE!E+>)43'Gt&J=0+01;�/!E$'+F[ ��)a"/3�# � !E" `;: ] \ V k8`c] G kvy ?0G5$�W^!#L0),L� �=< � ��� OR.0)N+0)NW'),Gs�\O2$cG*$�OR"s$6& < 3'G5)�) � =]3'A [6 B A A ! �[Z?>LZ$#>ZA@ \"] � ^ \�`ck �CB : G ku\l` V `;: ].\ V k8`c] G kvy qED kud"] GaU k m `ck o :J\"] < ^ \ �GF �3h� q < P GJI U ^ ]a` G ku\ o qsVnUWr < ^IH G kL] \ V deKj`ckvy G kvy ]?J U VnU J I U.q < m ]wKL\"k � �?< P � �� � �?< ��hK VnU%U.q�h � &��/.>) � �*.TG*$�O $'& < !#" ��3'+0LD�*.0)g&B�*.TG*$�O $'& < !E"�Lp_ � �� &]_^3'+0LY36AEA]$'�*.0),GG*$�OR"V3'G5)-7@),!#+��`.0),A#LS1,$B+0"��H3'+K�,_ZO2)�ORG*!k�/) � �?M �NL%�2!#+b?>Aj3'1N)-$6& � �=< ��[

� �OM 1PL � M 1QL%� � � �OM � M �[1 � �OM �NL%�[1 � � L � M �u1 � � L��RL8� �� #Y.$#v?<$6�/.0)N"*!E"N_ � �OM 1PL � M 1QL%� ��� �OM � M � ��� � L �NL%� ��� [ ) $

����� �OM �RL8�u1 � � L�� M � �

Page 59: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� ��� ��� ��������� �.���x� ����� � � ���"���x� ���� &0OQ)23'"5"*=0Cc)e�/.]36� � !E">�8M AE!#+0)43'GF3'+0LI.03'"��/.0)9?0G*$'?<)NG5� #��/.036� � �?< P � � � � �?< �

OR.0),+ < P !E"U$B7^�H3'!#+0),Ll&JG5$BC < 7$#�!E+K�*),G*1H.03'+��B!#+��S3'+$#l�\O2$YG*$�OR"�$'& < _<�/.0)N+|!k& <.]3'"X�\O2$d) � =]36A�G*$�OR",_Z1,A#)43'G5A,# � �?< � � � � �?< ��[ � &%�*.0)u1H.]3'G/361N�/)NG*!#"5�/!#1u$'&%�*.0)uG*!#+��� !#"�$^L0L|$BG *N),G*$>_r�*.0),+f�/.0!#"�&J$BG*1N)," � �?< � � � _r"5$ � !E"u36A#�/)NG*+]3w�/!E+j�0[ � =>�,_�&J$BG)"!>3'Cc?0AE)6_]!#& � !E"V3'+b!E+K�*)��BG*3'A�L0$BCD3'!E+TOR!k�/.b1H.]3'G*3'1N�*),G*!#"5�*!E1��^_]�/.0!#"R!E"R1,A#)43'G5A,#T+>$'��/.0)u1,3'"*)6[

� �&���� � � � /��� .���A�� �(+*+��,- /.10�� ���� �� �����+�1��, ���� ���A��2/.10��

3CB 4$698 � 8 = 6 � x )N��� 7@)d3S1,$'CDCM=^�H36�*!#WB)`G5!E+��SOR!#�*. - _%3'+0L�AE);� � 7@)d3b?<$'"*!#�*!#W')!E+K�/)��B),GN[ ) =0?>?<$B"5) � !E"93�&J=0+01N�*!E$B+`&JG*$'C � Ft�bCd3w�/G*!#1,)N"9$�W'),G � !E+K�/$ ��[ ��)s"*3�#�/.]3w� � !E"23:o \"] \ VsrtG k8`ckL] qED kud"] GaU k !k& � !E"��8M\A#!E+0),3'G,_�36A#�/)NG*+]3w�/!E+j�P36+0L � ��� � � - [

� �s!#"a1,A#)43'Ga�*.]36�X�*.0),G5)-!#"X3o=0+0! � =>)-L>)N�/)NG*Cc!E+]36+��Q&J=0+01N�*!E$B+S$B+ - F - CD36�/G5!E1N),",_3'+0L`OQ)h3'G*)R+0$�O !#+c3-?@$B"*!k�/!#$B+M�/$-.]3'+0L>AE)X�/.0)�� F��u1,3'"*)6[ � �2"5.0$B=0A#LD7@)V1,AE),3'G��/.036��/.0)`&J=0+01;�/!#$B+ �'!#WB)N+ !#+�� !>3'Cc?0AE) �>[d!#"-3gL0);�/),G5CD!#+]3'+K�u&J=0+01;�/!E$'+F[ �]=0G��/.0)NG*Cc$BG*)6_�/.0)P&J$BG*CM=>Aj3'"V)"!^.0!#70!#�*),L}!E+��!>3'Cc?0A#)��^[UCD3 �6)M!#�s)43'"(#l�*$T"*)N)M�/.]36�h�/.0) � �B!#W'),+!E+�� !>3'CD?>AE) �>[e!#"a�/.0)u=0+0! � =0)uL0)N�*),G*Cc!E+03'+K�X&J=0+01N�*!E$B+�[6 B AQA"! �[Z?>LZ � Z+@>\"] � ^ \ `ck �$B : G ku\l` V�qED kud"] GaU k U k �PF � r `c] VsG de\ I U bc\ V � h� DRX$XLU%I \ � Kj` I ]wKL\ X8VeUeX \ V ] H ]DKj`c] � �?< � � � J KL\"k `ck H ]?J U ` o�� `fde\"kL] VnU J I U.q <` V \t\�� D `;: h� KL\"k � GJI `;: ] \ V k8`c] G kvy hK VeU%U.q�h x );� � 7@)I$B7^�H3'!#+0),L�7$#g!E+K�/)NG*1H.]36+��B!E+j�TG*$�OR" �a36+0L &Y$'& < [email protected]),G5) � ) &][� )h143'+Y$B7^�H3'!#+!� &JG*$'C < 7 #T3I"*=>1,1,)N"*"5!E$B+S$'&t!#+��*),G51H.]3'+��B)N"X$'&t?]3'!#G*"2$'&r3'L#"*3'1N),+K�G*$�OR",[���)h7@)��B!#+d7$#D!E+K�/)NG*1H.]3'+j�B!E+��IG*$�O �8OR!#�*.dG5$�O �f1 - 3'+0LT1N$B+K�/!#+v=>)U=0+K�/!#A@�*.0)G*$�OR"s3'G*)�!#+S�*.0)u$BG*L>),G

M Es��������� M � Es� M � � Es��������� M �%� M � � M � � Ee��������� M � �qX.0!E"cG*) � =0!EG5)," � � &%$ �-!E+K�*),G*1H.03'+��B)N"D$'&�3'L#"*3'1N),+K�dG5$�OR",[ ��)g+>$�O CD$�WB) M ��/$f�/.0) �:�/. ?<$B"5!#�*!E$B+ =0"5!E+�� � �&$ - �o!#+K�/),G51H.]3'+��'),"c$'&U36L#"*3'1,)N+K�dG5$�OR"N[ ��)b.]34WB)�/.�=0"u$B7>�/3'!E+>),L'� &JG*$'C < 7$#'� �($ - !#+K�/),G51H.]3'+��'),"u$'&23'L#"*3'1N),+K�uG*$�OR"N[IqX.�=0"u7$#x ),CcCd3 [ - [*)0_

� � �M� � $ � �?< � �) =0?0?@$B"*) < !#"-3'+$# �PFy� CD36�*G*! !�OR!#�/.f�\O2$�) � =]3'ApG5$�OR"N_�"/3�# M � � M �IOR!k�/.

� )v&Z[ � &�& � � 1 - _@�/.0)N+ < .]3'"h�\O2$Y) � =]3'A�3'+0Lf3'L#"*361,),+K��G5$�OR",_�"*$ � �?< � � � [

Page 60: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� ����� ��������� ��� ����������.���x� � �

� &>& �[1 - _]OQ)P!E+K�/)N1H.]3'+��B) M � � EV3'+0L M �u3'+0Lb�/.0)-G*)N"*=0Ak�/!#+��dCD36�/G5! !%��.]3'"V�\OQ$) � =]36A�3'+>LY3'L#"*3'1N),+K�XG5$�OR"N_>"5$ � � �M� � � [��U+d�*.0)U$'�*.0),G2.]3'+0LF_ � � �o� � $ � �?< �;_.0)N+01,) � �?< � ��� [6 B A A ! �[Z?>0Z�� Z @>\"] � ^ \+` d UWrtr D ]a`c] G bc\ VsG kvy J G ]DK � `ck o :J\"] � ^ \+`ck `;: ] \ V Bk8`c] G kvy �$B : G ku\l` VqED kud"] GaU k U k � F �vr `c] VsG de\ IU bc\ V � h& KL\"k� ` � � �=< � � � G qU ku\ U.q ]DKL\ VnU J ItU.q < GJI��ch� ^ � � � �o� ��� �=< � G q � GJIU ^ ]a` G ku\ o�qsVnUWr < ^IH ` o$ocG kvy ` I dl`;: ` V r D : ] G X :J\ U.qU ku\ VnU J U.q < ] U ` ocG � \ V \"kL] VnU J U.q < hK VnU%U.q�h �]$BGp?]3'G�� � 3K�;_v"*=0?>?<$B"5)s�*.0) �:�/.dG5$�O M � !E"23 *N),G*$PG*$�Ou[ � "5!E+��-�/.0)VAE!#+0)436G*!#� #$'& � !E+~�/.>) �:�/. G*$�O $'& < "*3�#^" � �?M � 1 M � � � � �OM � ��1 � �OM � �;_pOR.0!E1H. &J$BG*1N),"� �=< � � � �?M � � � � [ �]$BG-?]3'G�� � 7Z�;_�!k& � �� &]_8ORG*!k�/) � �?< � � � �OM � � M �;�;_8OR!k�/.3'A#AUG*$�OR"l$6�/.0)NGS�*.]3'+ �/.0) � �*. $B+0)f.0)NAEL ij!^),LF[ � � �o� � � �OM � 1 � M �R� M �;� �� �?M � � M �;� 1 � � �?M �%� M �;� � � �?< �[1 � [

3CB 4$698 � 8 = 6 � � &�� - 3'+0L < !E"I3'+Q�QFQ� CD36�/G5! !|$�WB)NG ��_�OQ)YA#)N� <o� ��� &v�L0)N+0$'�/)V�/.0) � � $ - �$F � � $ - �9CD36�/G5! !`$'7>�H3'!#+0),LD7$#dL0)NAE);�/!E+j�-�*.0) �:�/.TG5$�O 36+0Lt&B�/.1,$'AE=0Cc+d$'& < [ � & � !E"Q3'+ � ��$ - � M AE!E+>)43'Ge&J=0+01;�/!#$B+Y3'+0L < !E"Q3'+ � F �lCD36�/G5! !<_KOQ)?0=>� � � � �?< � ��� <o� ��� &v� � [��� B =0? B A �[Z?>LZ�� Z7@>\"] � - `ck o :J\"] � ^ \ `ckH`;: ] \ V k8`c] G kvy � � $ - � B : G ku\l` VLqED kud"] GaU kU k � ��$ - � F � � $ - � r `c] VsG de\ I'U bc\ V�� h � UWV \l`fdeK &jm - �v& � �>m ]wKL\ qED kud"] GaU k���'o \�� ku\ o ^IH

� � �?< � ����� E

� $ - � � �$� < � � � � � �?< � � [��B�GJI `ck:`;: ] \ V k8`c] G kvy �$B : G ku\l` V8qED kud"] GaU k U k � F�� r `c] VsG de\ I < h � q � GJI ` o \"] \ VsrtG k8`ckL]qED kud"] GaU k mI%UHGJI \l`fdeK � �WhK VnU%U.q�h � & < !E"u3'+ � F � Cd36�*G*! !�_ � � � �=< �h!#"�!E+0L0)N?<)N+0L0)N+��-$'&9�/.>)��:�/.fG*$�O $'& < [) !#+01,) � !E" � � $ - � M AE!E+>)43'GN_B!#�9!E"p1NAE)436Gp�*.]36� � � �a!E"pA#!E+0),3'Ge3'"23u&J=>+01N�*!E$B+c$'&�36+ #`G5$�O)"!^1N),?>�oG5$�O �*[bqX.0),G5)N&J$BG5) < � � � � � �?< �-!#"I3'+ �8M\A#!E+0),3'GU&J=0+01;�/!#$B+ $'& < [��s),+>1,)����!E"��8M AE!E+>)43'GV7$# x ),CcCD3 [ - [ �v[Uq%$d?0G*$�WB)M�*.0) ���P!#"U3'Ak�/),G5+]36�*!E+��D!#�VOR!EAEAr"*=^mD1N)M�/$"*.>$�O �*.]36��� � �?< � � � OR.0)N+0)NW'),G < .03'"2�\O2$o) � =]3'A�3'+0LY36L#"*3'1,)N+K�aG*$�OR"N[ ) =0?0?@$B"*)M � � M � � E�[ � & � �� �c3'+0L � �� ��1 - _K�/.>)hCD36�/G5! ! <M� ��� &v�p.]36"2�\O2$M) � =]3'A@G*$�OR"N_03'+0L�/.�=0" � � � �?< � � � [eqX.0)NG*)N&J$'G*)'_

��� �=< � � � $ - � � �$� < � � � � � �?< �>1 � $ - � � � E �$� < � � E � � � � � E � � �?< � �

Page 61: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� ���(��� ����� � �j�����"������� � � ��� ��� ��� �j� � � � � ��������.������� � -

) !E+>1,) M � � M � � EH_< � � � < � � E � �h3'+0L <o� � � &v� � <o� ��1 - � &^� �

� AE),3'G*A #d�/.>),+ � � �?< � ��� [� $�O "*=>?0?<$'"*) � !E"-3SL0)N�*),G5CD!#+]3'+K�u&J=0+01N�*!E$B+�[ � & � � � !#"u�*.0)H� F � !EL0)N+K�/!#� #

Cd3w�/G*! !<_@�*.0),+ � � � � & � &v�V!#"h�/.>) � ��$ - � F � ��$ - �V!EL>),+K�/!k� #lCD36�/G5! ! � � E � [ ) !E+01N)� � �� � � � � �w_0!k�X&J$BAEA#$�OR"Q&JG*$BC � � [ [��I�/.]3w�

� � � � � � � � � ��� � E � � � � [ �� $�O � � � � E � � � - _F"5$T�/.]36� � � � � � � � � - 3'+0L ���-!#"U3TL0);�/)NG*Cc!E+]3'+K�s&J=0+01N�*!E$B+�[

� )M)NCD?>.]3'"*!,*,)I�*.]36�s�/.0!#"hAj36"5�sqX.0),$BG5),C � �/$c�B)N�*.0),GVOR!#�/.�3d"*!#CD?0A#)P!#+0L0=01;�/!#$B+3'Gl�'=0CD)N+K���s"5.0$�OR"u�*.]36��!k& � !#"�3T1,$'CDCM=^�H36�*!#WB)PG*!#+��TOR!#�*.}!EL0)N+��*!#� #l3'+0L5��� - _�/.0)N+~�/.0)NG*)Y)"!^!#"5�/"`3w�oAE),3'"5�o$'+0)TL0);�/),G5CD!#+]3'+K�M&J=0+>1N�/!#$B+�$B+ � ����� [ � +��/.>)Y+0)"!v�"*)N1N�/!#$B+�O2)DOR!#AEAe"5.0$�O �/.]36�-�/.>),G*)D!E"u$B+0A #f$B+0)cL0)N�*),G5CD!#+]3'+K�P&J=>+01N�*!E$B+F[dqX.0)dL0)sM�/)NG*Cc!E+]3'+K�U&J=>+01N�*!E$B+ ���I!E"�G5)N&J),G5G*)NL|�*$g36"U�/.0) x 3'?0AE3'1,)o)s!>?03'+0"*!#$B+f$'&9�/.0)`L0);�/),G.MCD!#+]3'+K�P3'AE$'+��Y�/.0) &B�/. 1N$BAE=>CD+F[DqX.0),G5)d!#"P3S"*!#CD!#Aj3'G x 36?0Aj3'1N)`)"!^?]3'+0"5!E$B+�$'&a�*.0)L0)N�*),G5CD!#+]3'+K�a36AE$B+����*.0) �:�/.TG5$�O $'& < OR.0!#1H.dOR!EA#A0)NW'),+K�/=]36AEA,#c"5.0$�O =0?T3'"23'+D)43'"(#1,$BG5$BAEAE3'Gp#'[

����� � � ��� � ���� ���� ���� �� � ��� ��� � � ��� ��� ����

� ��� � � ( 0 � *+�&���E0 � �� � � "�9� .&���A�

) =0?0?@$B"5)D�/.036� � !E"P3'+ 3'A#�*),G*+036�/!#+�� �8M\A#!E+0),3'GU&J=0+01;�/!#$B+�$'+ �PF � Cd3w�/G*!#1,)N"-$�W'),G��[ x );� < 7<)-3'+ � F �}CD36�*G*! !d$�WB)NG � OR!#�*.SG*$�OR" M E"� M / ��������� M �v[ � &%O2)uL0),+0$6�/)�/.0)uG5$�OR"V$'&r�/.0)�� F �}!#L0),+K�/!k� #YCD36�/G5! !d$�W'),G ��7$# � Ee� � / ��������� � �^_>�*.0),+

M � ���� E

< � � � �R� - �����T� � � [��B�

�s),+>1,)

Page 62: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� ����� ��������� ��� ����������.���x� � �

� �?< � � �

��< E,� � �R� M / ��������� M � !

� ��< E,� � � � �R� M / ��������� M �'� �

� &8O2)u+0$�O�G*)N?0Aj361,) M / OR!#�*.�� � < / � � � _>O2)P"5),)u�/.]3w�� �?< � � �

� � �< E,� < / � �

� � �W� � � ��������� M �B� �

� +b�*.0!E"X)s!^?0G*)N"*"*!#$B+lG5),?0AE3'1,) M�� 7$#���� <�� � � � _0)N�*1'[���)ui0+]3'AEA #T$B7^�H3'!#+� �=< � � �

�� � �� � � � � � � � < E � � < / � ����� < � � � � � � � � ��������� � ��� � � � [��K�

�s)NG*)S�/.0)g"*=0C !#"c$�W'),GT36AEAX"*) � =0),+01N)," � �jE"� � / ����������� �K�M$'&U?<$B"5!#�*!#WB)S!#+��*)��B)NG*"D+0$'�)"!^1N),),L>!E+��C�%[hqX.0!#"h"*.>$�OR"U�*.]36� � !E"h3ci]+>!#�/)P"*=0C $'&e&J=0+>1N�/!#$B+0"s$'&��/.>)I� #v?<)ML>)"M"*1NG*!#7<)NLc7$#�� � [ [ �^[ � $'�/)a�*.]36� � � [ [���!#"p3u1N$B+0"5) � =0),+>1,)�"5=>"5�9$'&@�/.0)R3'"5"*=0Cc?>�*!E$B+�/.036� � !#"��8M AE!#+0)43'GN_�36+0L��/.]3w�u3T"*?@),1N!j3'A%143'"5)IOa36"�$B7>�H36!E+0)NL})43'G5AE!E)NGs!#+ � !>3'CD?>AE)�^[ ) !#+01,) � !E"R36A#�/)NG*+]3w�/!E+j�0_

� � � �� � � �� �������"� � � � � � �OR.0)N+0)NW'),Gh�\O2$d$'&r�/.>)P!#+0L0!E1N)," � � 3'G*)-) � =]3'A [��"*) � =0),+01N) � � Es� � / �������"��� �K�a$'&8?<$'"(M!#�*!#W')c!#+K�/)��'),G*"-+0$'�-)s!>1N),)NL0!E+�� �8_tOR!#�/.|�/.0)c?0G5$B?<)NG5� #}�*.]36�P+0$b�\O2$�$'&2�/.0) � � 36G*)) � =]36A _]!E"R1,3'AEA#),Lb32X \ V"r D ]a`c] GaU k U.q o \ y V \e\ �%[ � + � � [ [��oOQ)-+0),)NLg�*.0),G5)N&J$BG5)P"5=0C$B+0A #T$�WB)NGX�/.0$B"5)P"5) � =0)N+01,)N"sOR.0!#1H.�3'G5)�?<)NG*CM=>�/36�/!#$B+0"X$'&%L0)��BG*)N) �%[

��?@),G*CI=>�H36�*!E$B+d$'&rL0)��BG5),) �}CD3�#d7@)UL0);i]+0),Lg3'"X3M$'+0)"M �/$NM $B+0)h&J=0+>1N�/!#$B+T&JG*$'C�/.>)s"5)N��� - � � ���������l���U$'+��*$P!k�/"5),A#&�[ ) =01H.Y3�&J=0+01;�/!#$B+��b1,$'G*G*)N"*?@$B+0L0"9�/$u�/.0)��8M �/=0?>AE)� � - ��� � �������"���[���`3'+0L !E"`�/.�=0"T"5!ECc?0A,# 3�G*=0A#)b&J$BGc$BG5L0),G5!E+�� - � � ���������l� !E+ "*$BCc)O2),AEA M\L0);i]+0)NLbOQ3�#B[

� & � !E"V3'+g3'A#�*),G*+036�/!#+��t�8M AE!E+>)43'Ga&J=0+>1N�/!#$B+g3'+0L < !#"s3+��F ��CD36�*G*! !T$�WB),G ��_O2)u�*.0),+g.]34WB)

� �=< � � �

�< E � E � ����� < � � � � � � � � E"��������� � � ��� � [ �K�

OR.0)NG*)u�/.0)u"*=>C !E"X)s!^�*),+0L>),L�$�WB)NGX�/.0)uL0!#"5�/!#+01N�R?@),G5CM=>�/36�/!#$B+0"��f$'&%L0)��BG5),) �8[

Page 63: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� ���(��� ����� � �j�����"������� � � ��� ��� ��� �j� � � � � ��������.������� � �

� )"!v�VOQ)u"5.]3'AEA�"5.0$�O �*.]36�� � � � E"��������� � � �B� ��� � � � E"�������"� � �B� � �� - � �

������� ����� ��� ��� ��� ���� � � ��� ���,# � � ����� ����������������� � � �! ��� ��"�#��� �%$ ��&�'���(�)����#� $ � �(� �*��� �+ ���,�'� � ��� ��- �/. � - ��� � �������"���[�102- � �43 �5� 3 �6�#� � � � $ '���7�'���8�'� � ��� ��- �. - � � �������"�n�1093$# �;: � �<��� � ��� 3 �%� $ � � ��� - �=� ��� ��>� $ �=�#��'�?� $ � � �@�9� � �'� � � �#� ! �#�/� � ��A!� $ � - �� - A2�B� - � � �'�� � �'�����'� - � � � � - A!� 3 ���#� � � ��� . � - ��������� - �������C0 �� '� - �� � � �j� � � �����(���)� # �&�D�'�=� �(� �#�'��E#�F�G�8�'���H�'� � ��� ��- �I. � - �����������u�J0'0 � $ �'� ��� $ �K�&�@L�'� - �M� � ��� - �=� ��� ��L� $ �=���('� � ) � ��- � � �(�F� � �'� � ����� ��� AN�����?��� ��� � $ ���'�E�� � ��� - �=� ��� ��O�"� - �9�����9�)�'�=���2�B�,� � �'� - �=� ��� ���P�B�F� $ ������'�*��� � � � � � � � �+ �Q���A� $ �B�F���#�'� $ ����R. - � � �������"�n�10 �'�S. � - ��� � �����������[�J0T3$# �/�"� � �5� $�� � � ��� - �=� ��� ��� $ �=�#�(��H. �p� &Q0 A��B�H���=� ��� �=�"E��

� . � � E"��������� � �KU 0 � . $ - 0 � � . � E"��������� � U 0 �� � �=������ - � � �#A�� $ � �(��� � �@�'���9� � � � � $ � ��- ���(� �

� . � � E"��������� � �VU 0 � . $ - 0 � � . �� - - 0������� � � ���� � � �!� ���,# � � � A � �#�!� � � �W �X���O� �(� � �@�'���9� � � � � $ � ��- ����� � �!���'�'� ��������D���#�/� E�� � ���Y���/�����H�9������ ! ���<���Z'�*��� � � E"��������� � �VU A�� � � �������TE#� � ���H�(����<�����@- �� M - ��[3 ���'� -�$ � - �D� 3 �����H�\�@'�����6���'�(� � � ��� ����� $ � ��� �*��� ��� � � $�� ���H�>����������������� �� $ � � � '�@� � AT� � � - � � �=���'� $ ����]�����Z�'� � ��� ��- �^. - � � �������"�n�J0 ���_�����Z�'� � ��� ��- �. � - ��� � �����������[�J093$# �;�'� -@- �@�'�'��� � � $ � � ���@ - �=� ��� ��%� $ �=�#�(��A8� � � �'���(� - � �`3 �� � � �5� � �HE#��'�(�K� # � $ �)� # � � � �a�B�@E#�@A � ���9���'�'�&���a�b�<�&��� � � � �#AQ����� � ��� 3 �@&� $� � ���@ - �=� ��� ��H����� � �(� ��<�����@Y� � �&� # �H�KE�� � ��Y� � �)� # �Y� ��� �� ���c���'�F���6���'�(� � �������� �d- � �(� � �Q\"bc\"k �� U�o$o Ae'����\� - �'��E�� �,# � � � � � �K: � �@�5����� I"G<f k � $ �/����������������� �3$#

� ����� �[g - � � $�� �(�T�@E#� �Nh$ - � � $�� �(�T� ��� �

� �i���=� ��� �@����� 3�� ���'�4�'���(� 3 �#��� - ��'�����j���(�@�B� $ �\�@'������������� � � 3 � � �*� $ '�#�k��������&�l� � ��"� � # �X� �*�m� 3 �#��� � �@���@'�/� � � � � $ � ��- ����� � � � � �*�B�@E��@A $ ��c�����I�/���9� � �� �K�9���4�#���'���/�%�������c��'�����j� # �n ��� � �'���>� � ��� � � � � -- ��'�� ��� � � � � �� �� -c- ���� � �&� # �F�@E#� � � $ � �(�D� � �@E�� � �\�@'������������� � AW� � � ���F� � �&� # �D� ��� � $�� �(�F� � � ����\�@'�����6���'�(� � � � �#�� �$# � � �'� � ����� ���t�8Mo� � � �"�# $ � ��- �'�(� � � �B�H�'��� � �=�"E��� . � � E"��������� � �KU 0 � .p� �����N0 � . � E"��������� � U 0"�

Page 64: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

) ����� ��������� ��� �����������.���x��� �� � � ����� ���(� � � �� � �B�D� 3 �6�#� �

� . < 0 � ��

�. � �����N0 < E � E � ����� < U �VU � � . � 0�� . �� - ��0

� '��� � � � �� - � �B� �'��i�'�=���)�'�����i�(�&��'� - �(��� � # � � � � �@�'���9� � � � � $ � ��- ����� � � �� F � �9������ - �@�T�*E�� � � � $ �B� � � � ����� ������� $ � ��- ���(� �I3$# � �K�"A=�<�T�(� � �<E�� �Z3$#

� �K�G. < 0� �

�.p� �����N0 < E � E � < / � / � ����� < U �KU � � . �� - � 0

�����9����� 3 �@� ��� � ! ��� � � � � �aE#�H����� � �(�j��� ��- �H�\�@'�����6���'�(� � � � � $ � � � '�@� � � � �- � �I$ ����4� �(�,# �����/�4�#�� * �i���������#� $ � �(� �a��� ���� B =0? B A �[Z �[Z��[Z�@>\"] � ^ \x`'d UWrtr D ]Y`c] G bc\ V"G k f J G ]wK � `ck o :J\"] � ^ \x` XLU%I"G ] G bc\G kL] \ f \ V�h KL\ V \ GJI+X8V \ed GJI \ : H U ku\ o \"] \ VsrtG k8`ckL] qED kud"] GaU k U k ]DKL\ I \"] U.qH��F<�r `c] V"G de\ I+U bc\ V � `ck oCG ] GJI ]wKL\ qED kud"] GaU kI� �K� o \�� ku\ o ^IH � h �ch ��� h � q � GJI `ck H`;: ] \ V k8`c] G k f �CB : G ku\l` VqED kud"] GaU k U k�� U . � 0em ]wKL\"k q�UWV \l`fdeK ��F �<r `c] VsG�� < m

� . < 0� . o \"] < 0 � . � 0�� ���(�!���W�'���)�����@��'�@���B���=�"E�� 3 �� � �B�� � � �j� ���*�)�� � �@A 3 ��� �B�8���*E#� � � $ �2� � �#�� � �����i��'�Q� $ � �=��� � �#�%�(�O�����5��'�Q� $ ������� $ ��&� � ��E#� � ���'�F���6���'�(� ��� A������ � �&��=�#��� $ '��� . - � � ���������n�10 ���I. � - �����������u�J0B3$# � � ��� - �=� ��� � ��� �=���('�@A��'��� � ��� 3 �T� $� � �'� - ��� ��� �@�&�(�B� � �)� # �&�KE�� � �#&� � �)� # �&� ��� �+ ���(� 3 �#�'� -,- ��� 3 � � �6�#���� � ��$ � - � - � �3 �4����aE#� � �����'��������� �$# �� $ ��� ��- �?��� � �@���@'�/� � � � �'� � � �*�&�KE��@AO�B� � �*� ����� � ������/���*� ��� $ � ��� �*��� $ '��� ����� \ � GJI ] \"kude\ � $ � � �@�'�'�/� � � � � $ � ��- �'�(� � � � � F ��9������ - �@� �� �@� �R3 �H�'���D�� ��� � $ ����'�(� � � � � � ��� � ��� � � �K� � 3 �D� � �@�'�'�/� � � � � $ � ��- �'�(� �� � ����� � F � �4���''� - ��L�*E#� � � � �K� � 3 �I�S�\�@'������������� � � $ � � � ��� � AB� � ��'�����\�#�'�,�B�8�=�#�'� $ '���m. - � � �������"�n�J0 ���4. � - �����������[�10!3$# � � � �'� - �=� ��� �@�&� $ �=�#��'�. �p� &Q0 A � � & � � ���B�H�'���*�B� � � ��� � �� �� - -. $ - 0 � � . � � E"��������� � �KU 0"��������F���AN����� � � 3 �%. $ - 0 � �����j� 3 �/�'���9E�� � ���c� $ � � � �'���4�9���''� ! �����'�;'�*���

� � E"��������� � �VU � � $� . � � E"��������� � �KU 0� - ������ � � �����j� 3 �Y�KE�� � � � $� . � � E"��������� � �VU 0� $ - �

Page 65: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� ���(��� ����� � ����� �"������� � � ��� ��� ��� �j� � � � � ���������.����� � � ��

����� ��� �����j� 3 �Y� ��� �� ���� �'���L����� � � � $ EQ�(�K�7� $ ���� � � - �'�H� $ ����������������� � �A\����� 3 ���'� - ��'�����j� #� $ �����Y�'� ��� � $ �/���������6�G���(� � �(�)�������

� ��� . ���e0� .p� �#���N0 .p� ����=0�� . �� - ) 0 ���(� '�@�'� � �+� � �'� $ � ��� �*��� $ '�#� �����2������� # � $ � �K���@'�/� � � � �'�&. 3 ��� �(�J�B� ��� �X� �*� �� � �'���)�����@�� # � $ �����T� # �9�/�@�''� - � '�����L� � � �@�\� � � �K�B� $ � � # � �@�'���9� � � � � ������� #�0 �� �I$ � - �"A=�<�T�(��� � ��#� #%- ��'� �(� �� # � $ �'��� $ � �(� �*��� ��� �'����#'�� ���� B =8? B A �[Z �[Z��[Z @>\"] � ^ \2` d UWrtr D ]a`c] G bc\ V"G k f J G ]wK G�o \"kL] G ] H m `ck o :J\"] < `ck o� ^ \ � F � r `c] VsG de\ IU bc\ V � h� KL\"k

o \"] . < �L0� . o \"] < 0 . o \"] �L0 �K VeU%U.q�h � �K� �[3 �D�/: ! � � � F5� �4���''� ! �*E�� � A � � � $ ��8�"� - � � F � �4���''� ! <� �@: � � � . < 0� � �K�F. < ��0 � � $ �B� � � � ����� �����Y��a���8� $ < 3 #�3E"���������� U A������ �

� . 3Es���������� U 0� � �@�F. E��:���������� U �L0��� �@'� 8� � � � � �#�'��)�'��� - FC� �9���''� ! ����� - �%�(�O����� ��'� � � - �)� $ ����� - FC� �9������ ! � � � � ����� � F � �4�G��'� !%� � ) � ��- �

. � � 1� P� 0�� � � ��1� P� �� � � � �@�/��� �0MP� � � ��#A!�<�c�(�L�"��� # ���_�'�@�I�'�=��� � �(� �0MP� � � �"�� � � $� � �8� AO�'��� � � � � � � Ae� � � ��� ��- � � �@�8�(��� � ���@ � ���'� ��� A

� . Es���������� U 0� � �� � ��- ��A � ���L� � ��� � ���'� ��� � ) � � �(��� � � � �'� � ����� ��� �0MP� � � ��# $ � ��- �'�(� � A2� � � 3$# ����#'�� �� � � �

� . < 0� . � �@� < 0 � . � 0��� ��� � . � 0� � �K�F. � �L0� � �@� � A����

� �@�F. < �L0� � . < 0� . � �K� < 0 . � �@� �L0 �

Page 66: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

��� � ��� � ��� ��� � � � �����.� �x��� ������ � � ���������� ���� ��� ���� � � � ���� �� �� �� �� �

) �KE��'� � �&� �(� M �X� �*� � ��'�#�\�@�������O� $ �'��� � �@���@'�/� � � � � $ � ��- ����� � ��'� � �a�b��#� #/- � � M�'� � ��� ��- �� � $ '���� � �'�,�B���=�"E��F� � ��"� � # � 3 �6��� � � � A � � � �� - � � � � ����#'�� �� � � � A$ ��)� ! �#�9� � � � � � � �<E��Y� $ �@� � $ �����@�'��A=��'�*EQ� ��� �����/�Y� � � � ��*EQ� ��� ����� �������@'���#���G�����@T'�����'� � � � ! � - �(���� ���� ��� ����� .&2�� *+�+.! .&� ����������� ��9� �+� "!��$# .12 � *+�+. .�

� �

% $ < �(�Y� � � � E#�j��� 3�� ��& F &M�9������('l�*E��H� - ���9�F���6���'��E#��'� �*)�� ���<���,+�A1�'��� �� �K��. < 0 �����/� � ����� � �'���Y'� �*)�� ���� ��� � � �#.1�A��'�*+�1���.- �$ "�#.1, �92

% $ �������0/X�=�#����9������(' < �*E#� � �(�,�������,�� � �a�B�,��'�(� �*) � � �#@A������ � � �@�/. < 0 �(������H��'� � � - �8� $ ����� � � � ) � � � � � � ��'������ $ < ���� ��� � � �%�A��2 �G0 2 ��2

% $ <21 ���)����� �'�� � ���\�#�'�Y� $ �����Y�0/X�=��'�H�4���''�3' < A������ �� �K��. <21 0 � �@�F. < 0 �K547686 q�9 % $ � �����/���������6�G���(� � � $ � � ) ���:&+A

. < 1 0<; � ; � < � ; � ; �� � ��- �

� �@�F. < 1 0� �

�. � )����N0 < �>= � = ����� < �KU � U �

� ��� � � � =@? A < � ; � ; <BA �>C � A � �2 �X���< �8= � = ����� < �VU � U < = �>= � ����� < U �VU � �

D � ��- � � � = �(�)�'���Y� � � � �'���FE4�\�@'������������� � A. � )����N0 . � )���� = 0� +HG8���c� )�� . � = 0� � )�� . �N0 �

Page 67: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� ����� � � � ��� ����� ���"������� � � � � �� � � � � � � ������ ��� � � �

� ��������'�/����#A\�#� � E��#'����8�aE#�5� �(� ���������6�G���(� � �,� $ � � ) '�@��&+Ae�'� � ���@� � = � ����� $ ����#A� �@�F. < 1 0� �

�. � )���� = 0 < = � C � = � ����� < U � C � U � � �K�F. < 0 �

� � ���� � �1� �9�� /������� 0�� � �G���%�$ /.&0 ��2% $ � ���)� 3 ���#� � � � $ '�#� < 3 E>� ��� � � ) ����� � ���(� � �8� $ � � � '�*� � $ < ���c� � �#�����Y. ���d��� � ���(� � �c� $ � � � - � � ��� � ��� � � �#�����@ 0 A+����� � � �@�*. < 0 � �@�a. �L0 � % $ � � < A����� � � �@�F. �L0� � U�� �@�F. < 0 �� � ����� � �#.1�A��'�*+�1�����Q�&0 ,�� (�0 �

D �����������F� � & F & �9������(' < ��� ) ��E#� � � �>3�� � - �9$ ��'�< �� � �� ��� G������� � �(��� �! �F" �9������('\A � �(�8� �$#GF%# �9���''�('\A � �(� F%# A�� � � � � � � �#�'������� # F" '& �@'�/�4���''�3' �+ ��� �

� �@� � � �� � � . � �K� ��0 . � �@� ��0 � .)( � + � 0*54�686�+ 9 �c����aE#�H�'���(�@A � �K: � �

, . � G � G �F0 � �K� � � �� ��� �% $ �B�i: ' � � � � � A��'��� � , ���T� � ��� � ���'� �*) � � � #.-P� � � ��#B�#�T� $ � ��- ����� � � $ �'���'�*���8� $/� � � � ��- � 3 E ��������0( � � � �

, . � G � G �F0 . � �@� ��0 , . � G � G � 0 G������� � ���B�'��� #�F!# � � � � ���<�FE/�4���''�3' � � E4��� 3 �'�� - ��� � ) ��� � �'�(� � ��O� $ ����� '�*���)� $� $ '�#�[�����H��*���8� $ � � � � ���'� �*) �����Y���'� � ��� $ ( �21�� ) A��&�Y� 3 ���#� �

, . � G � G � 0 , . � G � G � 0 �

Page 68: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

( � ��� ����� � ������ � � � � ���� ����� � �*� , . � G � G � 0 �(� -� ��# � EY� � ��� � ���'� �*) � � � -P� � � ��# �#� � $ � ��- �'�(� � � $ �'���)'�*���� $ � �! �X���

, . � G � G � 0� . � �@� �L0 , . � G � G � 0� + �� � ��- �

, . � G � G ��0 . � �K� �F0 , . � G � G � 0 . � �K� �F0 , . � G � G � 0 . � �K� �F0 . � �@� �L0 �� E?�����X� �*) ��'� � ���\��������&�Y� 3 �6�#� �

� �K� � < �� � � . � �@� < 0 . � �@� �F0 �

% �5��� � �*� �"�#� E>���4����Y���=�G�,�'���(��'�@�'� � � ) � � �@�� � � & �@���(�/�9� � � ���'� � E9�'�/�'��� - �#�'������@'� < �(�T� � �����\�@F. �� � �*�B� 0T3�� � - �9���� � � ) � � �� $ ��'� � ������� � ���������2"2".&,���� ���� 0 .�������� � � ��"!#���$����,�� ��� ������2/.10%�D � ��- �/����� � �@���@'�/� � � � � $ � ��- ���(� � �(�D� � � /X���?� � � � �K�a. < 0 � �K�a. < 1 0 A+�B�&� � �*�������� $ ��T�"� - �Z: '�� � - � � ��� � � � � ��' ? A

� �@�F. < 0� U�;(' =. $ + 0 ;() A < ; A � �K� < .+* � ? 0 G .�( � + ( 0

� � � $ ��T�� - �l��*��� � � � ',*�A� �@�F. < 0� U�

A ' =. $ + 0 ;() A < ; A � �K� < .+* � ? 0�� .�( � + ��0

� �O�&�8�9� � ���(� � � � �"�# � �(�@A��'��� $ ������ � �#�!� $ � /X� � ( � + (D� � � ( � + � �#'�-� � �*� � �#������ � �#� � � - �H��'��=� � ���(� � � $ �'��� � �@�'�'�/� � � � �,� � �'���9��� $+- � � ��� � �A����'��� - ���<E�� � E�A'�*��� � � �G���O�&�,��� �(� ��'���� � ���F�/���� ) � � �'� � E����'��� � � $ �'��� � �#� � � - �8� '��=� � �'��� � � ���i� - � � �#i. $ + 0 ;() A � �@� < .+* � ? 0 ���&�����=� �(� E - � ��� � � �'���.* G ?0/ 6�+21 /43 6 4 � $ < ��2�����- � $ � - ���� $ �����5*0G ? � � �� EI� $ < �& ���D� 3 �aE#� $ �#'��� � �#� $ �� � �K�L. < 0 �#'� - � �(� � � �����

Page 69: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� ��� � �.�$� ��� ����� ��� ����� � � � � � �� � � � � � � ������ ��� � � ( �� '��=� � �'�(� � � $ � �@�&. < 0N3 E - � $ � - �'��'�N� $ ����� ? ��� - � � ��� � . �'���/�@�'�(�/��J�����O��'��=� � ���(� �3 E �9� � ��'�5� $ �'��� ? �'� - � � ��� �e0 AJ��Y'�@�'��� - �'��E#� � E#A �'���c� '��=� � �'�(� � � $ � �@�4. < 0i3 E- � $ � - ���#'�&� $ ����� * �'�?'�*��.p�����/�@�����9�@�!�����,� '��=� � ���(� �43 E/�/� � �#'�O� $ �����.* �'�?'�*� 0 �% $ �B�Y�'�@�

� ; A . $ + 0 ;() A � �K� < .+* � ? 0 G����� � �'��� $ ��'�F� � ��� � � / � ( � + (L��� EQ�8�'�=��� $ ��T�� - � ? A� �K��. < 0� U�

; ' =< ; A � ; A G

�������&����� - � $ � - �'�� � ; A ���). $ + 0 ;() A �����9�@� �'��� � �K���@'�/� � � � �W� $ �'��� . & $ + 0 F .@& $ + 0�4�G��'�3'?� 3 �6�#� � � � 3 E � � � �@�'� �*) �'��� * �'�Z��a��� � � ? ��� - � � ��� � � $ < �D �(�/� � �# � E�A $ ��T�"� - �Z: '�� � '�*� � � � ��',*'A� �K��. < 0� U�

A ' =< ; A � ; A �

% $ ? � �� A������ �U�;(' =

< ;�� � ; A � � � �'�@�I�'���(�@A&'�@� � � - �>����� ? ��� - � � ��� � � $ < 3 E �<��� � ��� - � � ��� � A&� � � - � �(� �'���'�@�'� � ��� � ) �9������(' � �� ��� � � �=�#�9�P�&�M��/Q��� �5- � � ��� � �9� � � ��� � �@�*. �L0 � �D � ��- � � .+* � ? 0� < .+* � ? 0 A��B�H���*E#�� � �K�F. �L0 U�

;(' =. $ + 0 ;() A � ; A � �@�F. � .+* � ? 0'0

U�;(' =. $ + 0 ;() A < ;�� � �@�F. < .+* � ? 0'0

U�;(' =

< ;�� � ; A � ������F������\�@��'�(��T� $ �'��� - � $ � - ������ - � �I3 �Y�����9�9�#�� & � � 3 E

Page 70: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � ��� ����� � ������ � � � � ���� ����� �U�;(' =

< ;�� � ; A �� A � � �@�F. < 0�� .�( � + � 0 ��� & F &I�9������('�� � " < AX����� - �/�(�+�'���T���� � �'�����'��� $ �����8�9���''�('F� $�- � $ � - �'��'�� $ < �(� - � �(� � � ����� / : 1������ / 1 : 1�� � 6�� 3 � $ < �! �X���

.p� � " < 0 ; A � A ; . $ + 0 ;() A � �@�F. < . ? � * 0'0�� .�( � + � 0 ������ � �#���T�P�B� $ ��'��� � �#� - � �>3 �Y�'���9�9�#'� & � � � � �����Y�9������('4� /X�=���'�(� �.p� � " < 0 < . � �@�F. < 0'0 � � .�( � � � 0

� �B���(�'���'�i�'�@�)���=�G� < .p� � " < 0� . � �@� < 0 � � � ��� � D � ��- � <21 .+* � ? 0� . < . ? � * 0'0 1 A�B�H���*E#�. $ + 0 ;() A � �@�F. < 1 .+* � ? 0'0� . $ + 0 ;() A � �@�F. < . ? � * 0'0 G����� - �Z���(�/� � E9��� EQ�8�'�=���T�'��� *0G ? - � $ � - ����T� $ <21 �(�)�'��� ? G * - � $ � - ����T� $ < �O �X���

� � " . < 1 0� . � � " < 0 1 � .�( � � + 0� ��� � EQ� �*) �'���(� � �#������/Q��������� � ��� < 1 A��B�D���*E#�

. � � " < 1 0 < 1 . � �K�D. < 1 0�0 � . � �K� < 0 � � '� � ���\����� �*) A��&�Y� 3 ���#� �< . � � " < 1 0 1 . � �@�F. < 0'0 � �

� ��� �*) � / � ( � � + �B�Y�=�"E��Y���=�����&�Y�&� � �� < . � � " < 0� . � �@�F. < 0'0 � � .�( � � ��0

�5� � � �9���j�1���9�/� � �(����� - �#'� ��� �# E,� $ �'���2��'�KEQ�(�����J���#�� ) ��#�����J�(� �'��� $ � �(� �*��� �*) ������������� ������� � � @��43 < � � 1! & F &#" 1 3 4$� � 6�% � 4'& 9)(�* � < �+�,�-% � 4 3 � � :+�6�% � 4.& � + 1!/��6� : H0� +1� �43 . < 0 �+�1�-% � 4 3 � � :+� �2& 9435* � < �+�1�-% � 4 3 � � :+��6 3 * �D -� � D � �-% � 47� � + 6 4 < �+�

<98 = . � �43 < 0 8 = 1�� � < �% � �=������ - � � �#A)� � & F & �4�G��'�3' �*E��>�_:=� � � �(�9� � E��@���� 3�� �I� $ � � � � ��� E � $ �<���� �K�����9� � � � ���(� � ��:\�'� � � $ ���� & ��� �

Page 71: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� ��� � �.�$� ��� ����� ��� ����� � � � � � �� � � � � � � ������ ��� � � � +��� ��� ����� � �K�����9� � � � � - '���'���(� �4$ �#&� � E#���'� 3 � � �<�FEc��'�*E��@�T���=���T� � &�� &�4�G��'�3'4���<���>��<�����@8� � � $ ����T�� ) � ��� � E#���'�H�(�T� � E#���'� 3�� � ���� ��� ���!��"� � �@J�'���#� � � ����� � �5� 3 �#���1����� - � � ��� /X��� ��- �@�+� $ ����#'�� ( �21�� �� �I- �#��� & ���T�����H'� �*)�� � � $ �\� � E � ���/� � � �&�*E��@i�c:=� � � � Ae��,� �Z- �#�'� & ���8�'���'� �*) � $ '������� � � � � � ��� ) ��� �

� ���� � �� � � � � ������� ��������� � � ��� �������� � � !������ � �.- ���% $�� ���,� � �'�9� � & � & � � E#�j��� 3�� �Y�4�G��'�3'\A������ �l3 � - �#���'� & ��� - ���/�����6�G����E#�H� � �� �@�8���T��� � �'�(� � � - �����<E��#AX�<���(�T�(�/�/� � �(�����8���=���

� �K��. � 8 ="! �D0� � �@�F. ! 0�� .)( � � 1 0 ���(�i�/�"� � �,�'�=���i� $ & �(�,� - ���=� ��� EI�9:�� � � A\� $$# �(�5� � & - � ���9� � �'��� � � � E#� - �'���'�=� - �/�aE#� & AN� $$% #'& # �(�Y� � E � � � �"��5�9�#�1A � � � � $)( �(�Y� � E 3 �#�'��� � $*# A����� � �B�Y�4� E%� � �#� 3 � ) ������� � E � �@: � �H�'��� / * 1H4 1 /43 � 4$�+� 3 � /,+ 6.-0/ 6 " �+11-32 1 . 0 � $4%��� 3 �2 1 . 0� 6587:9 . � $ % �<;=0 �

���(�?��� 3 � - �#���'�l� $ ! � � � � �#��Z�P�B�M�4�G��'� - �@�/�'�=���?��������� � �%�����l���#�/�� � � �"�#O��'� � � $ �#'�9������� � ���<���%���'��� - �T���L�����9� 3 �#�'�@�T� $4# AQ����� �I3 E � / � ( �>= 1 � � � ����#'�� ) � � � +587:9 . � $ ! 0� 6587:9 . � $ �L0��

� ����? �@� �BAC����� � �D�E� ��� �� � �� � � � � ������� �D���F�G�%� �.��� �������������/� ��� �������IHKJ���L �43 & � � 1 / 6 "1"NM 3 1 3 �% � 4$� f�O � 3 *�P 6 1!/�Q- �43 ! � � 1! &R��&" 1 3 4$� � 6�% � 4 & 9 (�* � / * 1H4 1 /43 � 4$�+� 3 � /*+ 6.-0/� 6 " �+11- 6�+ ! �+� f �% � � /

S . 0� T587:9 . � $ ! 0� U�;('DU2 ; U 8 ; .)( �>= ) 0

O * � 4 � 2 U + 6 1!/� + 6 4 +�V *�V.& 6 2 ; ��W587:9 . �L0 6 O * � 4 � � 4 1! f � � 6�% � 4.11-X- 3 * �*$�0* + 4$� / � + 11- � M � " 1 3 4$� /�� ��6�+ $ ! 9

Page 72: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� = ��� ����� � ������ � � � � ���� ����� �� ���� � & � & �4���''�3' ! A������ 3 4 1 /�� 6�+ ! �(� � �K: � � � ��� 3 �

�'*. ! 0� U�;(' =! ; ; �

� ��� ����� ������� �*) * +,EQ�(� � � �d�'��� $ � - �S�'�=���S�'��� - �Q��� - ��� � �_� $ =U 8 = �(�$ � U;(' = ! ; ; $ �'*. ! 0 A,� � � �����'�'� �*) * & ��� EQ�>�'�=���9����� - � � ����� � �%���@'� �(�. $ + 0 U#� �K�a. ! 0 �*547686�+ 9 � � ��# � E 587:9 . � $ ! 0 �(�,�9��� � E � ���9�(� � � $ � � ) '�� & ����� - �d�(���/� � � - Ae� � � � A2 U +�A � � � � � � ���<��� - � � �j�6� � �I���@'� 587:9 . $ ! 0 . $ + 0 U 587:9 . ! 0 � D ���������'�+ V * V & $ + � � � - � � �'� � �?����� - �Q��� - ��� � � 2 ; � $ =U 8 ; � � �'���S�\� � E � ���/� � �587:9 . � $ ! 0 � � - � �(� ���=���i� � ) � � �'� � A � $ , . 5 ; A 0 �(�5� � & � &M�4�G��'�3'Z�aE#�Y�- �#�9�����6���'��E��5'� � ) ���<��� +�A��'��� �

587:9 . , 0� �

� �����. $ + 0���� U ������� 5 =�� ���(=�� 5 � � ��� � � �!�!� 5 U�� ���CU!� �

D �S��� ) �@�/�d���@'� � $ � � ) '�@� & $ * � � 587:9 . � $ ! 0 � � ����� . $ + 0 �"� U ����� . � $! 0 =�� ���(=�� �!�!� . � $ ! 0 U�� ���CU!� �&�T:=����O�'� � � - ��& $ *N� � � � - �� ? = G ����� G ? U 8 ; A������'� - ���/� � � -�/� � �6�# Ei� � � � - �� � = G ����� G � ; �W ��� � � � ��'���� � � � �*) �����2���� � � - �O. � $ ! 0 =�� ���(=�� �!�!� . � $! 0 U�� � � U�� ����� �$# : '��@� ? = G ����� G ? U 8 ; AH�B� ��� � � - �d�'��� �'��� $ ���� ����� $ � - ���#'�. � $ ! 0 A � � A � G ����� Ga. � $ ! 0 A � C�% A � C!% A�� � � ���������@'�/�i. $ ! 0 � � � ��� � � � G ����� Ga. $ ! 0 � % � � � � % ��#�'���j���(�'� � D � � $ ! . � = G ����� G � ; 0 �(�W�����T���� ��- �(�=� � ��� 3 �9������('F� $ ! � � � � '�� � 3 EL'�*���� � � - � � ��� � � � = G ����� G � ; A������ � 587:9 . $ ! . � = G ����� G � ; 0�0 �(�8�������#�'��� - � ���'� � - � � �''� 3 � -����� � �'������� - ���&� - �(� � ��� $ =U 8 ; � % � $ � ��� �*���&�'�=��� 2 ; ��W5K7:9 . �L0 �����@'� � �� � ) ���*E��@,� �(� �'���Y��'� ��- ���=� � *$�0*2��� 3 �9������ - �@��� $ $ ! �D �����������,�����5���'�F���6���'�(� �'#)(+* U - � � ���(�j���O� $ � ����������������� �9- E -� �@�&� $ �'� & ��, = G ����� G , � A=�����\� - ���<E�� � E�A=�����@'� � , ; & �! ��� � #�- &!. # 0&- � �I3 � - ���/�����'� � 3 E

#�- &!. # 0 . $ + 0 � � 8 = ) � 8 = )/.0.0. �21 8 = . $ + 0 U 8 � . $ + 0 U . $ + 0 � �� �Y�� - �# � ������� $ ��'�9� �(� E9�#� #�- &!. #N0� . $ + 0 U . $ + 0 � � $3#4(5* U �(�)�����H��'� � � - �8� $ � � �(� " ��� � � - E -@� �@� � .�( � = � 0

Page 73: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� ��� � �.�$� ��� ����� ��� ����� � � � � � �� ��� � � � � ������ ��� � � � 1 � ������� ����� � �������Q��� � - � �D��� � � �,� �G�%��� ����� �����% � �'���(�O�'� - ����� � & �(�O�H:=� � � � � � S . 0� =U���� U 8 = =U 8 =�� �!�!� ��� = ���� U ( &�� �� �� �@: � �Y�'��� / 6 " + 1!-� 6� " 1 3 4$� � � . S . 0'0&3 E

� . S . 0'0� ���������

� � �!�!� � � � � U+ � �!�!� � � � � =� + �!�!� � � � � ���� ��� � � � ��� ��� ���� � �!�!� + � � � U 8 �� � �!�!� � + � � U 8 =

� �������!�

���D�9�#� �?$ � - �'�,� 3 ����� � . S . 0�0 �#'�Y� � �'��� � � 'Q�8'�@�'� � � ��#"����/� ��� ���+���IH�$��

587:9 . &% U � � . S . 0'0'0� S . 0�+� � 6 3 * 3 * � " �-� " 11- 1!/� / * 1H4 1 /43 � 4$�+� 3 � /,+ 6.-0/ 6 " �+11- 6�+ � . S . 0'0�9*54�686�+ 9 � �(���� �B�������� 3�� �(�'���'�=��� S . 0� 6587:9 . &% U � � . S . 0'0�0 � ���(�!'�@�'� � �2�(� -@� ��#� $ & +H� � � �B�Y��'� - �@� � 3 E%� � � � - �'�(� � � D ���������'� �'�=��� &(' +H� � � - ���9�������i�'���� �@�'���9� � � � � 3 E - � $ � - �'��W��'��=� � ���(� � � � � � ) �'���B:=����W'�*)YA������ � EQ� �*) �'���&� � � � - ����� ���E����#�'������(�����L����� :=����8�'���9�9� � �,+

587:9 . &% U � � . S . 0'0�0� 587:9���������

� �!�!� � � � U� + �!�!� � � � =� � + �!�!� � � � �+++ +++ + + + +++ +++ +++� � �!�!� � + � U � =� � �!�!� � � + -�.� U 8 =

� �������!�

587:9�������

�!�!� � � � =� + �!�!� � � � �+++ + + + +++ +++ +++� �!�!� � + � U 8 �� �!�!� � � + /�0� U 8 =

� �����!

Page 74: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

��� ��� ����� � ������ � � � � ���� ����� �� � U . � + 0 U ) = 587:9

�������

� + �!�!� � �� � + �!�!� � �+++ +++ + + + +++ +++� � �!�!� � + � � �!�!� � � +

� �����!

. U 8 = �.� U 8 = U 8 � � �!�!� �0� = 0 �.� U . � + 0 U ) = . � + 0 U 8 = U �0� U 8 = U 8 = � �!�!� �0� = -�0� U S . 0 � �� ���T� � �*)��,� � ��� S . 0 �(�)� � � - � �#�� - ���@'�(�j��� - �\� � E � ���/� � � � $ � . S . 0�0 + �*) � �@� % 3 �8� � � � � � �"�# �#�\�@����'��2� � & U ) � �#�'�8�4���''�3'/)���� � �����\� - �O���Y� � ������ � � �� � 3 �#�'��� * . 7 = G 7�� G ����� G 7 U 0 �(� � . S . 0�0 + �� � � % 7 = 7�� A % � 7 = % 7��

7�� A + + + A % A 7 = F% . 7 A 0 7 A ) = $ �# +�V ? V & � +�A1� � � % 7 U �� � U 7 = � � = 7�� ��!�!� � � U 8 = 7 U A=���

. % U �0� U 8 = % U 8 = � �!�!� �.� = % �0� � � % 0 7 = � �� � �'�

. % U � �!�!� �0� = % �.� U % 0�7 A ) = . % U � �!�!� �.� = % �0� U % 0�% A 7 = % A . % U � �!�!� �0� = % �0� U % 0 7 = � �%� $ � �(� � )�� � � � � S . %50 ����� � 3� � � %&�� �n��� � � � � +���� � � � � � � � � ��� A. 7 = G % 7 = G ����� G % U 8 = 7 = 0���� � ��� � � �� E � ��� � ��� � � ����� � A � � � � � � � � � � � &�� �?�\� � E -

� ��� � � ��� � % ) � � � � �)� ��9������ � � � � & - � � 3� � � &�� �Z��� � � � � + �� � ��� � -�S . 0���� �9� � �(-�� � ��� � � 3� � � � � S . 0���� � ��� � � � � � � � �9� � ��� � E � ��� � � ��$ � )% � ���� � -�Y$ � �� . S . 0'0 + �������� � � ��� � � � ��� �! �" � ��� ���D�%� � ��� �$� � �� � � � �l. #H0 & � ��� �� � % ($# . #�0 + % $ S ��� � � D- � � � - � � ���� � �(- ��� � E � ��� � � � $ � % A � � � S . %50� � + �� �������� /X� � E�� �� � ��� � � � E � � ) � � � ��� � � � � � �9� � �\� � E � ��� � � �$ � % � � E � � �� � � H- � � � - � � ���� � ��- ��� � E � ��� � � �e$ � % +*547686�+ 9 �� ��� � ��� $%��� � � ���(� ��� � � � � � � ) � ��� $ � �� '� E � �#� � ��� � ��- � � � ����� ����- � � � � � � $� � )& � � � � � � � E%� $ � � � � � � � � � � � E � ��� � � 3 �*E +� � & 3� � � )- �#�9��� � � � � E ' �� � ) ) � � � � � � � � � E - � � ����� � � � ) � $ � ��� ��� � E � ��� � � ���� � % + � - � ��� �(� E�A & ��� � - ���/��� � � � � E � � )�3( � ) � � � � � � � � � E;�aE � � � )��- � � �

Page 75: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� ��� � �.�$� ��� ����� ��� ����� � � � � � �� ��� � � � � ������ ��� � � � �

: � � � +�� � �Q� �� � 3 � �����)( .�� = G ����� G�� U 0!$ � ,# � ��� �� � ! 3� � � �9� � �� '#) � �(- � � � ���� � � � % � � � � :)�� E � 3 � ����� + �� �

% .�� A 0� U�;(' =! ; A � ; G�+ V ? V.& �� � ��� /�� � ��� � �� 8E�� ) �� ��� � � � � � /�� ��� �� � ��� �� � ��

;(' =�� � ; A % � ! ; A %�� � ; G +RV ? V.& �� ��� ( � � � & � � � � � � �� ' ) � � � � � ������ ; A �� ; A % � ! A ; % � � � � � � � � � �� � � )&� � )�� � � � * �"! ? � � � � � �"� ���� ���# � � � ! + � � S � $� ! � � &% � ! � ! � % &% � ! 1$& + � � � S � % � ! � � � � + � � )'� �� ��� � � � � � )

� � � S � % � � + % � �� ! � � � � S � % � � � � &�� ��(�'#�� � �� *) � � ��� � *������ E+ �"!� � � ���� � � � � � ! � � � � � � � � -,� � �� +GV � V & + � E � � ! /. � � � ��� � � �0� ) � � ��/� � �& �� � = G ����� G1� � � � ��� � E � � /�� � �2� � �,� ��;(' =�� � ; A % � ! ; A %3� � � ; � ��

;(' =� A ; � ; G:+�V ? V.& � � ( + = ( �� �54� � � � 6� �7 �����2� ��8 !:9 ��� � � � ��� ) ��� � � �;4�<� �=4� ! � � � � %&+ � � � � �>4� ?� ��� � � � � ����� � � � �@#$� �(E � �' � �� � � � � � A�'#�� � �� % + � �>4� � A�'#�� � �� � � � �� ) � � ��� ! �� �CB / + ( + = ( � �D� � � � �

,� 4� � A ��;(' =

� A ; � � ; � ��;(' = � 4E � A � A ; � � � ; � �D � � � F � � )G�H��� ? ) � ��,� ��

;(' =

I ��A ' =

4� � A � A ;2J � � ; � ��;(' =�� � � ; ! � � � ��� � � ; � ! � � � � � � � � �

� � � � ���K#L��� � � ) � � � ) � � � � � �� � � ! � ��� �"� � � � �� M� � � � < � � �� �� #$� �(E -� �' � �� � � % ��� �� ��� � � � �� N� � � � 0� � � � � ���� � ����#L� �(E � �' � �� � � % + � �/� � ��� ������ �� ��� � � B � � �� � � ! � ��� �"� � � � �� �� � � � O� � � � � ���� � �2�6#$� �(E � �' � �� � � % ����� ��� � � � �& P� � � � M � � �� �� #$� �(E � �' � �� � � % +RQ � ) S��� *) ) � � � � E � � ! E� � )��T�� # ��U� � � � � � ��� � � � +

Page 76: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� ( � � ����� ��� ���� � � ��� ���� ����� � �������� � � � ��� �� � ��$���� � � ) ! ����� � ��� � ��� � ������� ����� � � �� ���� � � � � ) � E � � * � � � � � � � /�� � �2� � � + D � # -#L���� ! ��� � & � & � �� ' �H��� � � . � ! � �"! ) ) ��� � � � ��� � �� � � � E � � * � � � � � ' /�� � ��� � � !������ � �� %���' )����& � & - � � # � � � = G�������G � � � + % � !�� �!� )� � �

� !:9 ! � !�� � � ! 9 ! � ��2 F# �(E � � )� ! � ! � ��� � !:9 ! � � �� � � �

� ! � ! �" A ���;(' =�� !:9 ! � A ; � ;

� ��;(' = � � + � ;() A � ; ! � ! � *#" ?3� �� � ��� �7 � � ' # ��������� � ��� � � ! � � � � � � � � ��� � & ��& � �� ' � � � � � ! ��E

�/# �7 ��� � ) � � ? � � �/� �2� � � � ! ��E � + % � ! � !$� ��) ?�2� � � ��� � �2� � � � � � � � � � ) +% � � � � ! � ! �� ��) ) � ���& 4 1 " � 4(' �:4 M - � ) � ! � � & � & � �� ' �H�&� � � . � ! � � � � � � � � ! � ! �� � + % �� = G�������G � � � � E ��� ?�7 ��%� � �F) � � � � � /U� ��� �2� � �2� � ��� ! 8 = � � � � � � E � � * � � /�� � �2� � � !��*�+� ��� )��T�� � ��E

A � ! ��� A! � ! G ? � + G����,� G7& G) � � � � A ��� � � & ��& � �� ' � � � � � ! � ��' ! ��E �*# �2 ��� � ) � � ? � � �/� �2� �� � ! ��E � +-/.10 24353768359;:<37=?>A@#B?=DC*E#B?F GIHKJ 3 L46A6A@�E�MONPB?E,HKQA=�R� � �/ � �"! � �� � � � ����� � # � � 0 E�� ��' � ��� ! ) � � � � � � � ������� � �/� � � � � � � � E +% � )� � � �� ) +�/� � � � � � � � � �5& � �/�' F � � � ���& �� � ) ) � � � + + Q � �

S � 9 � � & �6! � � � �� � � �� �(T � �OU � U � ��2����O�H�&� & ) ��! " ! " ! � � � �� � � � * � � � � & � � � ��� � � ! � � � � � � � � � ! +

Page 77: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� ��� ���������� � � � ��� � � ��� �,� � � ����.���� � � ������ � � � ���

� ��� � ��� ��� - � �D��������� � ���)� � � ��� � � � �@��� � � ���� � � � T ! � � �� � ���� S � � ! � ; � A � � �H��� S � 9 � � & � � � - 6 /�� " 1 3 4$��� ) � ���� � � � � � � � � # � � � ��� � ! � � � � � � � �"� � ������� � � -�� /�� � � �H��� & ) � �� � ��� &� U � U + � � � S ��� � T ! ! � � � � ��� )P8E ) ) ! � � � � � � ! � � � � � � �� � & ��E8" S " + � � �� � � �� E � � � , � S � � �� � � ! � � � � � � � � �?S � �� ) ! � � � � � ���� �H�&� S � 9 � � & � +�� � ��� �2 F#$�& � � � � �) � ?� � &� � � � , � S � ��� �U � U � ���� +�#"������ ��� ���I����� � � �*"�� � S � � � � � ��� � � �"! � � � � �$# �&% U � U � � � �"! �

! �(' � ) � � */��� & � "�� ��+�� � �", � � �-� � � � � � ���9�#"��/." S " � " , � S � " �

00000�1 ��� 1 � � T��32 � !��4�� 1 ��4�� � !� � � 1 � � � � �!�!� !� � � 1!� � � �

00000� � ( + = � �Q � � * � ��� � � �65U � � ��2� T �� � # � � � �653 � � � �*) ��� � � � � F � �2� � ��� � � � � �"�� � � � � � #�#� �� � � � �� � ���7 � �� � � ! � � � � � � � + � � . �� � # ��U� �� �!� � ��� ��� �"� � � �A�*�' � � � � ��� � � �2� � ��� � � �� � � � +�7 �*� � ��� � ) L � /43 M 8 � �

�:9 � � 3 8 1 /43 11-<; � � 8 1 )>=�� � +��?�@�BA (�* � � 8 /��+DC � � - ��� 1!/�FE 11-����+� (�* � � 8 / ) � + = � ��� � �"!;� � + ) � � � + )�GIH ( � )�#"# ( � A � � + � � A# ��U� � ) T �T�� � � ) ��� � ��' � +J � � ���*) � +LK + K � � �&� /) �"!MK � � �MN-+ � � �2� � �*) � � � � � � � � ��� � � �' F � � � �(T -% � �U� �PO � �������*) 9 " � 8RQ�S 1 3 * QTS �� 3 * -0/ )U=�� � + G � ( ) � � � 3G ��) � /��/ � � GIHVHVH3)"#"# + HXW � A HXW = +* 8 �I��+ Q � � �� � �"! � � � ��� � � � � + � � G� �� � � G ��� /� � ! � � + � � � #�#$���� � � �BZY + ( + = � ��� � � � �� � �[G �"! � � � # ��H�� � �N� �� � +�� � ��� ��� � � �!� � � � ��� � ) � �(T � ���� Y � � ��� � � � � ! � �����

% � �!�!� �� ! � � �\4�� % �!�!� �+++ +++ �!�!� +++� ! � � �\4�� � �!�!� %� ���!

�����

% �!�!� �� ! �]4��\4�� �!�!� �+++ +++ + + + +++� � �!�!�W! ��4��\4��

� ���! S �

�����! �]4��\4�� R R R� +++ ^�

� ���!`_

) � � � ^ ��� � � �FG � � � ���FG � � ���� + � � ���2 F# � � � 5 � � � � � � �2� � ) ) �� � � � ��� ��ba S �dc

_ � ( + =fe �

Page 78: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� e � � ���� � � �������� � ��� ��� ������

) � � � � � ��?5U � � � � � ! S. � ! #�# ��'#( �� � � 5 + % 5 � � M ��� � ��# � ��� � ���&�# ��'#�� � 5� � ! � � � � � � � � ) � �& , � �Da S � � , � � � , � a � , � S � � � ! ��4��\4�� � � 8 4 , � S � �"! , � c � �W! ��4��\4�� , � ^+� +;Q � �� ) � �& � ! ��4��\4�� � � 8 4 , � S � � ! ��4��\4�� , � ^ � +� �� � � ! � � � � � � � � � � � � � ��� ! �� � � � � �2 � � Y � � �2� � +UK � � �� " , � ^ � " � " ^ "� 5 � � � �"! � � � ��� � � 5U#L� � � ������*) �"! � ��� �(T �ba S � c ) ) . �"!" ! �]4��\4�� " � 8 4 " , � S � " � " !��4��\4�� " " , � ^+� " � " ! �]4��\4�� " " ^ "� " c " � " � " " a " " S " � " ! �]4��\4�� " � 8 4 " S " �

� � " ! ��4��\4�� " ��� � �� � � � &�� �� � �� &�� �� ! ��� ������ *) � � � ) �� � � � �� � " ! ��4��\4�� " � 8 4� ��� � � � � ��� ! �� � � T �0BZY + ( + = � +� �� � � T � � �� � ���) ) �/ � ! & � � � � �#$� � 5 � �' � �� �� �(T &��� � ) ) � � � � ��� � � ��! � � � � � � ?) �"! �/# �7 �� ! ��4��\4�� ) � � � � � D � ���� � %/� ! ��4��\4���+ K � � �� � � ! � � �� � � � � �� % � ! ��4��\4�� ��� F� � ���R#$� � 5 � �' � �� � � ! T �� U ) �"! � � ������ � �� � � � &�� �� � �� &�� �� ! ��� ������ *) BZY + ( + = � � � � ! � T � �,+�K ��� � � � � � � � � T � � � � Y � ��� �� � � � 5�) Y � � � � T �/� � � � � � � � � ��� � � � � � ��� ! �� � 5 �� � ! � � � ! ����� � ! ��� �"� � +

���� �� � � ��� �$�E� ����� �� �D� ����� � � ������� � �� ����. � � � � . � ) � !;� � � ' ) � ( S���� � � � � & � ) �"! � �F� ( ����� � � � � & � + � � �� � 3 � �I� 8 + 8 � � M /43 �& �� 8 �� � /���� 8 + 8 � � M /43 � � ! ��! � ) ! � � � ! !! � (S����"�#� � � � � � � & � )(��� � � # � � � ��� � ! � ����

!$ � � �����

� 4 4 � � 4 � � �!�!� � 4 � � �� � 4 � � ��� � �!�!� � � � � �+++ +++ + + + +++� ��� 4 � � ��� � � �!�!� � ��� � � �� ���! � � ( + = H �

� � ����� � � � � % � % � � % � � +% � � �8� % � � ! 4 ( S���� � � � � & �'& ! � ( S � � � ( � � & �'& � 4 ( S���� � � � � & �)& � .+*� � ( S � � � ( � � & � �'� " �/.� ! 4 � 4 � � ! � � � � � � ! 4 ! � � � � 4 � � � � � ( + 1 � �* 8 �I��+ Q � ��� �(T �"� �3� � ��� � ��# � ��� � �2� � ) ) ��� � � � � � � * _ , � �"� �U� � � � � ! 4 ! � � � � 4 � � � ��� � ��

� ' 4 ��� ! 4 � ' � � 4 � ��� ! � � � ) � � � �

Page 79: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� ��� ���������� � � � � ��� ��� � �,� � ��� � ��.��� � � � ������ ��� � � H

�I � ��� ' 4 � ! 4 � ' � � ! � � � ) J � 4 � � _) � �2� � ��� ?� ��� ��� � � � � � � � * _ , � �"� �U� � � � � ! 4 ! � � � � 4 � � � +

� �/� � � � � ��� % � � ! ( S � � & � � . * � ( S � � & � � � " �/.!$ � � � ! % � � � % � � � � � ( + 1 G �� .+*" ! � " � " ! " � " � " � � � ( + 1 = �* 8 �I��+ Q B�Y + ( + 1 G���� � �65D�*� � �� Y � � ��M� � BZY + ( + 1 �3) �"! � � � BZY + ( + 1 = � � �2� � ) �

��� � 5 � ��� � � � � *�& �* � � ( + 1 + W + �"� ��� ����� � ���� ��! � ����� � � ��� �$� � � ;� � ����������� �����D��� � �� � < � � � �(T � ! �� � � � � � � <# ��3� � � ��� � O � ���� - � �� � � *�& �* � ��� � � � � ���/� � ��� � � ��� � � � � �2� � ) � �(T � � /�� �/ � � � ) � � � � � �� � � 5 - % � � �<� � /�� �/ +3� ����� ��� � �/�' � F� � � 5 � � � ! �"! #�# � �� ! ) � � � � � ! � T � � �� � ����� � � � )� �� � � � � � � � ! � � � � 5� � ���� + Q � ) /�&� /) � � T � � ?� � � 5 T �T�� � � � � � � ����� 5���� �# � ��. �� � � #( ��U� � +�#"����/� ��� ����� ����� L �43 ! 1!/�<� � ��6 8 � � +-� /43 �% � -0/ 6 ��� 1!/� � � " 1 3 8 � /�� � 6O � 3 * V��MQ L �43 � �53 * � � ��� �!�+1I;/�� 11- " 1 3 8 ��� O � 3 * � 3 8 / 7 ' � 3 * � � * _ * ���+ � ��� 3 � �� Q C�� 8 1! � � M � � �43�� ��+-� � � 6 - �43 !�� 1!/�(� � � � � 3 ��6 8 � � +-� /43 �% � -0/ 6�3 * � � � M � " 1 3 8 � /�� � ��+ ! 1!/�6� / �� ���+� 3 �/; ��+ 3 * � / �.- M " � ��+ ! 6 � 8 3 * � 8 � O � ��+� 6 �/� � � � � � / 3 * �1� - � " � 3 � ��+ � Q (�* �

587:9 � ! � � � � � 587:9 � !�� � 587:9 � � � ��� ' � � 7 ' _O * � 8 � 3 * � � M�" �+� ��% � 8 11-X- � � M � � �43 � � ��+ � � � Q* 8 �I��+ Q � �# �� �& � � � � /�� �/ ��� � � �(T � � � 7 4

_�����

_7 � ��� �"! /#� �"! � � � �/�' - � � � �(T�� � ��! � � � � � � ����H��� Q� + � � �*� � ��� � � ) � �2� � � � � � � ! � �& ���� � ?�2� ��K� �

7 4_�����

_7 � � � � +

/� ���� � � � � � � � � 2 ' ) � ��� � 5 � G � ������H�&� �F) � � �587:9 � � � � �

1!�����#�- U � 2 � 2 4 1!�]4�� 2 � 1 � � � �!�!� 2 ( 1!� ( � �

Page 80: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

e � � � ���� � � �������� � ��� ��� ������

N �T�� � � � � !�� � � ' ) � �"! � � � E ' ) � ) � � � � ) 91� - � � 65K� � ! � ����� �� ' 4 � ' � 7 � E � ) ) �"! � � ��� ��� �� � � � �� � � � � � %� �"! � � � � � � �� 7 4

_�����

_7 � +CQ � ��*587:9 � ! � � ��� � �' F� T � *� � � #L� � 5 � �� � �� � � ! T �� �� � 7 4

_���,�

_7 � + K � #"#L���� � � � 587:9 � ! � �� � �� � �' � �� 7�� �4 7�� �� �����,) � � � � � � � � � �� � � �"! � � � � � � ��R7 ' � � � � ��9 ' '�� ��� � ���� � � � + K ��� � � � � � � � � �� � � � �"! � � � � � � ���7 ' � � � ! � � � � #"#� �� � 7�� �4 7�� �� ����� )�� + + ) � � � � �� 9 ' � � + � � ��� ) � ��� � � � : *� ��� � F� � �' � ��

7 � �4 7 ��� ����� �� � � �M�/� � ���� � � � � 587:9 � ! � � + % � � � � � � � ��� � ��� � � � � � � �2� � � �

� � � ���� � � � U)���� ! � � � � �@� ���� � � � 3)��2 F# � 5 � � T � � � 5K7:9 � ! � � � � � � � � &�� �� #L� � 5 � �' � ?� + Q � �� ) !��� � � � � � �/� � ���� � � � � F� � �' � ��� � � � �#L� � 5 � �� � �� 587:9 � ! � � ��� &�� �� � � � ���� � � � F� � �' � �� ��� � � �# �� ! � � �� � ! ��� � � � � � � �"! � � � � � � �� 7 ' )�� + + ) � � � ������ � ���0� ��� � � �& � �� ' � � 7 ' � �� ���' - � ��� �� � � � � � � � +� � O�/� � ���� � � � � �� � �' � �� � ' � � 7 ' � � 587:9 � ! � � ��� � � � �"! � 5)�� ��� � �(T7 ' � G � �� * ( � ) ��! 7 ' � � � �� * �( � + � � � � � ��� � �"� � � � � � � ��� � ���� ! � � ) ! � S� ?�2� � �� � � ! � � � +BK � � � ��*� � ���� � � � � � ' � � 7 ' � � 587:9 � ! � � ���587:9 � ! � � 587:9 � � � � +� # ��� � � � �0������� ���IH-� L �43 S � � 1!KU � U " 1 3 8 ��� 11-X-L��+ O * � � � - � � � M " ��1 8 ���� 8 � Q(�* � �� � ��+ 3 * �2� ��; � -% 11- M � � ��+KS �+�� 4 � � Q L �43 �

_�����

_ � � �,3 * � � 3 * � 8� ��; � -% 11- M � � ��+ S Q � * � O 3 * 1 3 11-X- + 8 � / � + 11- U � G � / U �dG � M � " 1 3 8 � /�� � * 1!% �

3 * � � 1 " � � �43 � 8$" � 1! 3 1!/� 3 * 1 3%3 * �+�'% 11- M � �+�4� � � �!�!� � QK � � � � � � � ��3� � � �� �� � � � � � � � ��� � �� ��2�L� � � �� � � �� Y �?� � � &�� ��") � �

� � ����� � ��� � < � ���� �G�*�' F# � � � 5 ! � � � � � ! � 5 � � � � ����� � � S � � � � . �� � U �� ) � �"! . �� �5U �*� ��� � �*) �"! � � ��� � � � ?5)� � � � � U _ U � #L����� � ��� � ���� � � � � � ���� � U � G � � � � ����� � � � � . �� ��U ��G �� ) � ��! �/� �2� � � +� � � 5 4 � � ��� � �� T � � ��2� @� � ! + � � ��� ��& � � #"#� � �� � ��� � � U � G � � � U � G � � �"� ! � � � � � � � � � � � � ! � 5 ! � � � �(T � � � � ��� �' �� ) �"! �� T � � � �"! �*� ��� �,+ � � � �*� � ��� ! � � � 0# �� � ���2# �� � �"� ! � � � � � � � � � � � � ! � 5! � � � �(T �� ) , �"! �*� �2� � ,)LG V , V U � G') � ��' � � �� �� T � � �� � ���� S +U� �� � ��� � U �MG � � � U �MG � � ����$) !"! � � �. �� � U � = �/� �2� � � � � � � �7 � � � � �) �"!� � � !"! � � �. �� ��U � = �� ) � � � � � �2 � � � � + � ) ��� � ��# � 5 � � �2 � � �/� �2� � �"! � � �7 � � �� ) � 5!- G + � � ��� � ���� � ���� � � � �/� �"� ! � �� � � � � � � � � !� ��� � � G�� �� T � � �� � #�#�� � U � G � � � U � G � � �"� � ���� � 5 ��H� � � T � � � , � � �� ) �"! �/� �2� � � � � � �2 � � #L����� � ��� � � +�K � � � � � � � � ! � � � � � � � + � ) � � � � � � � � 0�/� � ���� � � � � � � � � �� � � � � ���� � ��� #L� � 5 � �' � ?� S � $� �587:9 � &% � ! � ��� � �DG � � 8 4 � � �!�!� � ) ��� � �� 4 � � ) ��! � � ��� �� ��� � �bG � � 8 4 � 587:9 � � � )) � � � � � � � ���P�H��� ���� #( �� � ���2# �� � �"� ! � � � � � � � �P� � �� ! � U � G') ) � �2� � � 5

Page 81: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� ��� ���������� � � � � ��� ��� � �,� � ��� � ��.��� � � � ������ ��� � e G

� � #( �/� ��� � � # T # � ��2� � �� � � � C� ��2� + Q � ��$587:9 � � � � 4� � � �!�!� � )� �� � 5 # �� � ���2# ?� � �"� ! � � � � � � � � � �� ! � U �TG + �"� ��� ����� � � � ��� �� ��� � � �������$� � � �� � �� � ���� - � ���� � � *�� �* �3# �������� � � � � � � C� � ��# � � � �(T � ���� � � T # � � � � ! � � � � � � � � � � #�# ��'#( �� � � ����$) � ��' ) � ��� � ) �� � � � � � � 0 F�� �# ��U� � � � � 5 � 5�� � � � *�� �* �/� � � � � �(T �2�� � ! � ���� +

� � � . � � *�� .�� � �8� � � �$# ^ � � ! �� �/� � ! T # �� ��� � ���� ) � ���� �� ) � ��� �"! � ! � 5 � � K�&� � �2���� #=� � � ) ) � ���� �*� ��� � � � � �"! � ! � 5 � � � !(T �� � � � ) �"! ) � ���� � � ����� � ! /. � ! � 5 ^ � _ 7 � �

��� � � � ��� � � � � � ��� ! � � ) � � � 7_�� � ��� <� �U�'# )

G � � ��� � � � ! � � 7_�bG � � ��� � � � � � � � 7 �

% ��� � � ������������� + � * 1�� � / � " + �� � 3 � 6�3 * � � U � � ^+� � " # " � � Q* 8 �I��+ Q ^ � � � � " # " �� ) � + � � � � � � ^ ��� � � U ) ) � � � U ��� � � ! �� � ����� �� � � � � � � � ���2� ��# ���� � ^ ) � + + ) � � ! �2 � ���2� � � � � � ���# ���� � �� ) ��/� � �& �� - � �� ) � �2� � - ^ � � + % � � � � 7 ��� � 5 ! T �) ! �� �*� � ! � ��� � � � ) � � � - ^ � � � � �"!� � � 5 � � - � $� � - � � � � � +KQ � �� - ^ � � � : - ���0�*� � � � � � � � � � �/�' F#$� � � �� � � ) ) � ��� � � 5 � � � � U ��� � � � � � � ��� � �*�' F#$� � � � ��� � � +% ��� � �5��������� � L �43 ! � � 1 ��� M 1 8 � " 1 3 8 ��� 3 * 1 3 * 1���1 3 " � � 3 3 O � �� ��� 8 � � 3 8 � � �� � 1 / * / �.- M�" 6 1 3 " � � 3 �� � P � � 1 / * / �.- M�" 6 1 3 " � � 3 �� �� P � � 1 / * / �.- M�" 61!/� O * � � � � 3 8 � � � 1 8 � 11-X- � � 3 * � 8�� 6 P � 8 � P Q (�* � 587:9 � ! � �+� � 6 P � 8 � P Q* 8 �I��+ Q � � ��� � � ��� � ) � � 5 � �"! � � � �2� � � � � � � � � � D� � �� ) � +[� � S��� ?5 �*� �2� �� � � � � � G �"! -�G�) � � � � � � � � � ���� � � �� ) ������&�� ��") ��� � � � ���� ������ �(T �"�2 �"! 587:9 � ! � � � + � � � � ) �����) �3# �"! � � ! � � � � � � � � 5 �*� �2� �) � � � � � � � � &�� �� � � ?5') � �<. �"! � � � � � ���! Y ��� � ��� G � �2 �� � � ! � � � � � � �� � �� ���� � P � ���� ) � � � � � � �# ��'#�� � 5 +� �/� � � � � ��� ������������� % � 8 /2��� M 1 8 � � M � " 1 3 8 ���[��+ 1! � / � � � /�� " 1 3 8 ������+�1 �!� �8 � /43 � � ; 8 1 + * * 1�� � �43 � 8�" � 1! 3 � � 8 � G Q�� ��M / * 1 " 1 3 8 ��� �+� / 11-X- � � � ��� � � � �� . � � � *�� � � � Q��

Page 82: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

e = � � ���� � � �������� � ��� ��� ������

�#"���������� ����������� � (�* � OA � ���� - � �� � � *�� �* � (�* � M " � � 8 ��+ � + 1!--�/; 3 8 ��� �� 1 / ��- � /43 � ��; 8 1 + *�� �� U % � 8 3 � /�� �$1!/� O � 3 * � M 3 -��I� + � �+� 3 * � � �43 � 8$" � 1! 3 ��+1!�/ U � G � / U �TG + 8 � / � + 11- � M � " 1 3 8 ������+ 3 * � " 1 3 8 ���', � ! 6 O * � 8 � ! �+� 3 * �1����21 /�� / / " 1 3 8 ��� ��+ � 1!/� , �+� 3 * � �!�+1I;/�� 11- " 1 3 8 ��� O * � � � �!�+1I;/�� 11- / �� 3 1!� �3 * � � � ; 8 ��� � ��+ 3 * � / � 8 8 � � + ��/�!�/;,% � 8 3 � /�� � ��+ � Q* 8 �I��+ Q � �� �� � � � � � �/� � � /� � !(! � T # � ) � � � U �&� � �2���� �"! ) � � � � � ��� ! � �� � ���� ^ + � � � � � �& � � � �PU � G !(T ��*) � /� �� �� � � ���6�/� � � /� � ! �"! � � � � �� ��# �(� � �(T � ��?) ��� ) � 5 � � � � �� � � � U �G !(T �� + � ��� �(T � � � � � � ��� � � ��� � � �� � � 5 - % � � � � � /�� �/ A) �/� � ��� ! � � � U � 5 U � G � �"� � ����^ � � � ^ ) � �&�� �*� �2� � � ��� ��! � ! � 5 � / � � ��� � � + % 5 ) / � '( + � + ( ) ^ �� � � � U � G�� : � � !��# � � � �(T � �"� T # � � � � ) � � � � � !(T %�� � ���C�/� � � /� � ! )� + + )(� : � ��� � � !(T �� � � � � �� � � � + ) � ^�� � � � � � � ! � 5 ! ��'#"# � �(T � 5��� �(T � �� ) � ��� � � � ��� ! � ��6 � ���� ^ + K � � �� � � � � � � ���� �� ) �K� � ^ � �& �� �^ � � ��� &�� ��") � � � � � � ^��� ��� � � � � � � � � � � ^ � +GQ � �� ) � ��� � � � �2� � ) � �(T 587:9 � ^ �� � � � G � � � ��� � � !(T �� � � � ��# � � � �(T � �� � � �

_� � � � � ) ���� + � ( + 1 1 � � ) � � � � �/� � � /� � ! � �U�'# � ���� T # � � � U �&� � �2���� + ) � � � � 5! � T # � � � � � � ! � 5 �� ��� � � � �(T �F) ��! � � ^ � � � � ��� ! � ��( � ���� � � � +� � � ) 6� �7 �� ^-^�� � , � ! + � �� *)� ^^�� �� �� � ��� ��� ����� ^ � _ 7 �6^ � � _ 7 �� ! T � $� � � � � _� 9 � � �"! � � 9 �&� � ! � 5 9% !(T �� � � � �� � U �dG � 5 U � GF# �� � ���2# �� � �"� � ���� � � , � ! ����� �'� � � �� � ^���^�� �) � � � ^ ������� � � � � ! � ��� ^ � 5 ! ��'#�# � �(T � 5 � � �� ) + % 5 � �� � � 5 - % � � � )

587:9 � ^ � ^ � � � � � � 587:9 � ^ �� � 5K7:9 � ^ � �� � � � � � 587:9 � ^ �� ��� � _) � � � � � � � ��� �H��� ?�2� U ��G � �"� �� � � � � � � � � !(T ��� � + % 5 BZY + ( + 1 1 � � ���'���� � � � � � 0� � ��# � � � �(T � ����0� � � +� # ��� � � � � ��� �������IH�� � & 11/.- � /' � (�* � � 8 � " � � 3 * � S 1 3 8 ��� � ( 8 ��� (�* � � 8 � " 6�3 1 ��� �3 � � � 3 * � / � " + - �43 � ; 8 1 + * & � Q�� � 8 � 3 * � " 1 3 8 ��� , � ! �+��U % ��� 6 O * � 8 � % �+�3 * � � � � 3 � 3 / " 1 3 8 ���F��+�� 8 � � 8 U 6 1!/� � �+� 3 * � U � /KU " 1 3 8 ���F��+ 11-X- P ' � Q�� � O/ 11- / M - 1 3 � 3 * � � �43 � 8$" � 1! 3 ��+ 1!�/�U �dG � /KU � G + 8 � / � + 11-�� M � " 1 3 8 ���:��+ 3 * �+�" 1 3 8 ��� 3 � � � 3 1!� 1! � 3 * � 8 + 8 �I��+ 3 * 1 3 & � * 1�� U � 8 � � + 1!--�/; 3 8 ��� � Q

Page 83: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� ��� ���������� � � � � ��� ��� � �,� � ��� � ��.��� � � � ������ ��� � e 1� # ��� � � � � ����������� $���� 3 * � � 3 1 3 � " � 3 ��+ 3 * � S 1 3 8 ��� � ( 8 ��� (�* � � 8 � " � 3 �+� � 3 � /�� ��� 1 8 / 3 � M � � #( �� � ���2# �� � M � � �43 � 8$" � 1! 3 � Q � + 3 * � U � G � U � G � M � " 1 3 8 ���S �+� � � 3 1!� � � � / � � - �43 �/; 3 * � * 3 * 8 � O 1!/� , 3 * / �.- M�" %+ 8 � " , � ! 6 3 * � 3 * � M�" � � 8 ��+.� + 1!--�/; 3 8 ��� � �+� � �DG � ' ) ) 5K7:9 � S � Q (�* �+� + �.-X-�� O � + 8 � " 3 * � " � 8 �; � � 8 11- - � "1" 1�� � + ! �+�&1! U �dG � U " 1 3 8 ��� O * � � � 8 � O � M " �&1 8 � 11-X- � � M 11-3 � � 1!/� � + ! ) �+� � � 3 1!� � � � / � � - �43 �/; 3 * � , 3 * / �.- M�" P��+ ! 6 G V , V U 6�3 * � 587:9 � ! ) � � � 587:9 � ! ) ) 4 � Q �"� ����� ����� �"���� � �! �� ������� �������$� � � G� � � ����� ��� � ����� ���%���) � G V�� V � (�) �"! � � a�� � � ! � � � � � �� � � � ��2� �� Y � � ����� �� * 4 _ * � _ �!�!� _ ,�� � � � � � � � T � �� ) � � � G V * 4�� * � � �!�!� � * � V � + � � � � �" a�� � � " � % � � & +) � & � �/�' � � � � ���& �� � T ) � � � G') �"! � � ! ( S � � � � & � +Z� � (:a�� � � �"!�� ( a ) � � ) � � ! � " � � ! � � � ! � � � � � � �"� � ���� � � ! �*� � ����� � � �(T � � � � � * � � ) � ����! �� ) � ��! � ��� � � �"! ) � ������*� ��� � � ��! � ��� � ��� + � � (:a�� � � )� � � � � � � ��� �*�� �# � * � � ?5 �� Y � � ���� (:a � 8 � � � �/� � ����� � � �(T � � � � � ��� � � � � � � � 5 � � �&��<#L����� � ���& � � � T � �� � � ) � � G ��! � � � � � � � � � � N) �"! � � � ��� � ����� � � � �� � ��� �(T �� ! � +�#"����/� ��� ��� ���IH�H-� L �43 ! ( S � � � � & � 1!/��� ( S � � � � & � Q 9 ��� M�" �#3 * 1 3 G V9 V���* U�� �

_U_��� 1!/��- �43 (:a � � � 6�� ( a � � � Q (�* �

587:9 � ! � � " � �7� � �� �����! �

587:9 � ! � " " �7� � 587:9 � � � "�" � � � �# 8 �I�%$ Q K � #"#L���� � � � � � 4 _ ����� _ � � ) � � � � 4 _ ���,� _ � � � ) ��! � ��& � ! � � " � � +� � �

& ' ) ���')( 4

�+* % ' E '-,/. �K � ) � ��

& ����� � '�( 4 �+* � ' E '0, � �!�!� � � ')( 4 E '-, �+++ + + + +++� � ')( 4 ��* � ' E '0, � �!�!� � � ')( 4 ��* � ' E '0, �

� �! �

� �6� �� � �"�2 � � � ! � � � � � � � � ��& ) � � � � 5 � ��� �(T � � U21 � � � �� � 5 � � � � . �� � �� ) ) � � � � � ��/�*� �"! )� �� ) ) � � +

Page 84: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

e � ��� ���� � ������ ��� � ��� ��� ������

587:9 � & � ���' � ( 4

�+* � ' � � 587:9�����

E ' � , � �!�!� E ' � , �� � ')( 4 �+* � ' E '0, � �!�!� � � ')( 4 ��* � ' E '0, �+++ �!�!� +++ � � ')( 4 ��* � ' E '0, �� � ')( 4 ��* � ' E '-, � �!�!� � � '�( 4 �+* � ' E '0, �

� ���! �

� ��' � ( 4

�!�!� ��' � ( 4

��* � ' � �!�!� ��* � ' � � 587:9���E ' � , � �!�!� E ' � , �+++ +++E ' � , � �!�!� E ' � , �

� �! � � +�� � �

� �� ' � ) � �& ����� , ) � � �587:9

���E ' � , � �!�!� E ' � , �+++ +++E ' � , � �!�!� E ' � , �

� �! � � �

� � � � <� � � 5 #$������� �"� � � ��� � �� ! � � � � � � � �U�*� � �� ) � � � � � 4 _ ����� _ � ���� #�� � � � � ��� � � � �� Y � � �� " � � " 4 _ ���,� _ " � � ( a � � � + ) � 2 ( * � � � � #�� � � � � �2� � � � � G_=_�����

_9 � � � � � � � � " ' � 1!� ' � � �� �G V � V 9 + � � �

587:9���E ' � , � �!�!� E ' � , �+++ +++E ' � , � �!�!� E ' � , �

� �!�� - U � 2 � 587:9 � � � "�" � � � � � +�� W �

N �T�� � . � ! " (:a � � � ) ��2� #$�&����� �"� K#�� � � � � ��� � � � � "+ � � � � �2� ! ! � � � � � � � � ��� � � � BZY + +�� � + � � � � � �� � BZY + +�� � 5 � � ) �� ��� � ) � ��� �(T BZY + +�� W3) �

587:9 � & � � �� ��� �! �

I �1 ��� � �

- U � 2 ����* � ����� ��� �!�!� ��* � ����� � � J 587:9 � � � "�" � �7�_

) � ��� � ��� � � ! ����� � ! � �� � �"�7 +� � � �� � � 5 1 % � � � � �& � �"�2 T �T���� � � � � � �&� ���.� � ��� � � � � � � � � � � �

587:9 � ! � � � 587:9 � ! � � 5K7:9 � � � � �� �� Y � � � ������� ! �"! � +

Page 85: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � � �� ������� � � � � ��� ��� � �,� � ��� � �� ��� � � � ������ ��� � e W

���"�����# ����� ��������� ���� ��������� � � ������������ �� " � � " 4 _ ����� _ " � � ( a � � � )"# � � � � " � � � �) ( 4 " ) +�#" �"!$#%�'& (*) � ),+'-*)/.0214365 S � � 7 ��8:9$;=< 021 5 a �?> � � GA@�BC@ U ��D 0 ;:EGF 0 9 QH*I 0 9

J"K B � 3 � � ��ML ���! N � �DG ��O�P *%QSR OTP � Q J"K B � 3 � " " � �VU J"K B � 3 � � " �" �7� � � + � �

# 8 �I�%$ Q�W �& 3X5 S � � 7 � ) ! /. � Y * � 3 � � ��ML � � N � �DG �ZO�P *%Q[R O�P � Q J"K B � 3 � " " � �VU J"K B � 3 � � " �" �7� � � + � � �� � � Y *]\ S � � 7 ��^ 7 ���� ��� � 5 � � � ) � � � � U21 � � � � � � � � � ��� � � �

� � `_ � <ba'cd9�e � � 3 + � � �*�� �# � � � � G# ��U� � )�� � ���M� � � 5 � *������ ?5 � � � � � ) � � �Y * ��� �� � � � � � �(T �"! � � �4Y * � % � � � G + � � � �/) � � #"#L���� � � � � � 0�*� �2� � � � � 3�7�� � ! �( �"!�f ) � � f ) � Y ��� + � � �� �"!�f � � � � � � � " 5 a �?> � ) � � � 3dg " "ih) � ��� � �& � ) � �/� �2� � �� Y ���C �"! � � �� � �� � � �� ! � � � � � � � +�K �� � �7 � 5')(� ��@ �"!jf � � � � � � � �" 5 a �lk �?> � ) � � � J"K B � 3mg � " �" � � � + � � � ��� � � � S� ��2� � �2� �� �VY * � 3 � � � ���P� � � 5 � *������ 65 � �<�*� � ��� ! � � � ���� " 5 a �?> � � � � � � � � � 5 "+ �"!f 5 �" ) �� � �2��D��� �� + K �)� � #"#$�&�� � 5 " ) f 5 �" ) �"! ! /. �"! � ) �� Y � � ��" � � � a �?> � � 5) �*# �7 ��� �(T � 5 " � 5 f�+ � � � ���" � T ���� ) � � � �" ����*# � � � � f � �� � � �/# �7 �� ! � 5 � + � � � �

� � " � � � � � " � � f � � � � + � e �� n � � � � � � � " � � �A �"! � � " � � � f � � � � � � � � � � � ���� � � � � � �(T ��� � " �3��/# �0� �� � + � n � ) �*� � ��� ! � � � � �

� �bG �ZOTP � Q J"K B � 3dg " "ih � J'K B � 3dg � " �"ih ��o � �bG �ZOTP �qp Q J"K B � 3mg " " � h � J"K B � 3dg � " �" � h � _) � �2� � ) ! � � � � 5 � � 3 � +sr A� �7 �� � � � � � ��� � � ��� � + � ��� � � � T � � ���/)��� � �� " �"! " � #"#� � � # �� �� � � a �?> � ) � �M� � �2� � ) � � � �tY * � 3 � � � ) � � S��� � ) �F�*� �2� � ��� � 3 T ���) � �& ���� �(T Y * � � � �� � � � � � �(T +ZK � � � ) ) � � � ) � � �� � 3 � � � +K � #"#L���� � � � � � " ' �"!uf � �"'v + � � � "@ �"! " � T �� ����*# � � � � � � � T � ��' � � � f ) � ! � �"+ ��! �" � + � � ����� � � ��� ! �� � � � �� � � f � � o G � � ����� +�� �w � �� � ��� � � ����� � � � � �2� ! ! � � " ) � � �

" 4 � UMUMU � " ' � � � " ' R 4 � UMUMU � " ' R ( k 4 � f � " ' R (�� UMUMU � " �

Page 86: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

e ��� ���� � ������ ��� � ��� ��� ������

�"!3mg " " � h � 3dg " "$h������ �

_) � � ��� ��� � � w 1 � 5U� � � o w � G_ o w ��

_�����

_ � +UK �2 � �7 � 5�)

3dg � " �" � h � 3dg � " �"ih� � p) � � ��� � ��� � f � � o G � w � 1 � 5U� � + � � � �*)

� �bG ��O�P �qp Q J"K B � 3dg " " � h � J"K B � 3mg � " �" � h � �� � �bG � O�P � p Q[R P ( k 4 Q[R P�� k � Q k ( J"K B � 3dg " "ih � J"K B � 3mg � " �"ih � �K � � �� � � " � �4o � f � � � � G#� � � " � � � � f � � � � G)���D� !"! ) ) A�/� � � �2� ! � � �� � 3 � � � + � � � � Y * ��� U 1 � � � �"! �� � � � � � �(T +�� � ���� �� � � � � � � � � *�� � � �Y * � % � � � G')�*�' F# � � � �(T � � �# ��U� � +� #"# � 5 � �(T � � ��� � �� � �"�7 � �� J"K B � 3 � � � J"K B � 3 � � T �T���� � � ) # �2 �� �3# � ���2� �� � � � � ��� � �*� ��� � � +

� ������� � ����� ����� �Z�� ��������� ����� ��� ������� �� � ���!��������� �� �d7 ��� �*�� � � � � ���� �� �(T ) � � � G �"! 3 5 S�� > � � 7 � ) �"! � � G @ B @ � � � �

_U � ) � � � B�" B c E 9 � 8 � � 3 ��� � � ! � � � � � � � � � � 5 � �"� � ����3dg " � h ) � � � 5 a �?> � ) � 5 a �?> � + � � ; 021�0 8 c E 9$8:9 1 8:< 8 8:9 � � � 3 ) ! � � � !

Y 1 � � 3 � )(��� � � �2 T �� � B%� � � � � � ��� � � � ��� � � ��� � ���B�"`B � � �& P� � 3 +r � � � � � � � � � � ��� � )

# � � 3 � �%$ � J"K B 3mg " � h \ 5 a �?> �_� 5 a �?> � �'&)( 7 �� � � ���*) # � � 3 � ��� � � !� ! �� � � 7 T � � � ! � 5 ?�2� � � B*"�B8 � � �& ��C� � 3 +,+ � �

#.- � 3 � � 7 �"! # � � 3 � � � � � B ' � � � �_U � + # � � 3 � ����� ���� ! � � �B � � 1 W � ��� � �(T� ! �� � � 3 + � � ) # �7 �� �3# � ���2� � � � ! � � � � � � � � ?� � �(T �� ) �� ��/� �2� �

� � � ) � � � �/# � R 4 � 3 � ( # � � 3 � + � � � � � � � � ��� ! /�� � ��� �(T � � � � � � � ! �� �7 � #�- � 3 �)0 # 4 � 3 �10 #�2 � 3 �10 UMUMU �

� � � . �43"� ! . \ � �47 ��� +Z�65 ) � � � # � � 3 � ��� # �� � ���2# ?� � ! ?� ) � 5 # � � 3 � �$ J � � 3 � &�) � � � J � � 3 � ��� � � T � � �� � �/�' � F� ��! ��� ������ P� � ?�2� � � /B7"ABN � � �� ��P� �

Page 87: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � � �� ������� � � � � ��� ��� � �,� � ��� � �� ��� � � � ������ ��� � e �

3 + � � � � ����� ��?) T � � � �� K� �7# � � 3 � ���K� ?�2� ! � � B � � 1 ; 021T0 8 c E 9$8:9 1 8:< ; EGFME e � 8�%$ 3 +� ��� . � 3"� ! . � � 3 5 S�� > � � 7 � ) � � � � � S 1 � � 3 � ��� ! /. � ! � � � � � �7 T �� � B!� � � � � � � � � � � 3 U U � # � � 3 ��� � � 5 7 \ J � � � �� ?�2� J 5 # � � 3 � � +� � �:)m(*)�� ),+��*) � Q S � 8 8:9 � � 3 ��� � c 0 8:9�e 1 I 8 1 3 U U � # 4 � � ��� �� � � � Q H*I 8 1E e� 1 I 0 8 0 E eu8`9 � 9 � 0 8 � � 5 7 �E 1 I � U � '\) � � $ � 8 8:<G< 0 9 1 8 E 0 e � ' ) �%$ 3 Q� � 1�0�1 I 8 1�1 I'E e E e e 1 8 � 9 ; 0 8 1 I 8:9 e 8�� E 9 ; 1 I 8 1 0 F 0 8 � 0 < 0 c 0 9 1 �%$ 3 E e�8 � 0 8 �; EGFME e � 8 Q C�� 8 0 � 8:c� $< 0 � E $ 3 � � � �'� 5 S 4 > 2 � �� �� 1 I 0 9 0 F 0 8 � 0 < 0 c 0 9 1 �%$3 E et8 � 0 8 � ; EGFME e � 8 E 9 �� � D a 141 I 0 8 0 E eC9 � e E 9 ; < 0 9 � 9 � 0 8 � 0 < 0 c 0 9 1 �%$ ��1 I 8 1 8:9�9 E I'E <[8 1T0 e D � 1 I 0 9 1 8 E 0 e E 9 1 I 0 c�8 1 8 E�� Q

� Q � $ 365 S � � 7 ��� 1 I 0 9 S � 8 8:9 � � 3 � � U c 0 8:9�e 1 I 8 1 J"K B � 3 � E e�9 � 1 8�� 0 8 �; EGFME e � 8 �%$ 7 Q

� Q H>� e 8�� 1 I 8 1 S � 8 8:9 � � 3 � � B c 0 8:9�e 1 I 8 1�1 I 0 8 0 E ej8:9 � �� � 5 7 �E 1 I� U Y � � $ � 8 8:<G< � B o G � " � B o G � c E 9 � 8 e Y �%$ 3 ��D a 11 I 0 8 0 E e 9 � 9 � 9 � 0 8 �E 5 7 VI'E _ I 8:9�9 E I'E <[8 1T0 e 8:<G< B " B c E 9 � 8 e �%$ 3 D�� cda < 1 E $< E _ 8 1 E � 9 Q � 9 �8 8 1 E _ a'<[8 8 � E $ J"K B � 3mg " � h � E e/9 � 1 8 � 0 8 � ; EGFME e � 8 �%$ 7 $ � 8 e � c 0 5 a O > � �� 5 a O > � � 1 I 0 9 S � 8 8:9 � � 3 ��� � Q

% �'& & � (*)�� ),+ (*)�� $ 3 5 S�� > � � 7 �� 1 I 0 9� @ S � 8 8:9 � � 3 � @ Y�� 8 8:9 � � 3 � @ c E 9 � �

_U � �

# 8 �I�%$ Q�� � � � � � � � � ������� +r +� � � � ) T ���& �� �� � � ��2� � � �� ��� � � �� � � � � 5 � � � � � �' F� T � *� � � � � �

Y � � �2� � 3 � � � ) ) � � � 3 5 S�� > � � 7 � + � � ��� Y �" � ��� � �� )P 5 � � � � � � ���� � �� ��� ��� � ��� � �;� � ) ��� ) )P � � �� �� � � ��2� � � �& � � � ��� � � ��O� � ��� ��� � ��� �� �� � 5 S � > 4 � 7 � +��� �"!$#%�'& (*)��),+ � ) .021 7 D 0 8 _ � cdcda 1 8 1 EGF 0 8 E 9 ;��E 1 I � 8:9$;�< 021�3X5 S�� > � � 7 � QH*I 0 c�8 1 8 E�� 0 � a 8 1 E � 9 3 � � � I 8 em8 9 � 9 1 8 EGFME 8:<*e � <ba 1 E � 9 � �� � 5 S � > 4 � 7 � E $8:9$; � 9�<�� E $

S � 8 8:9 � � 3 � � U �# 8 �I�%$ Q K � #"#L���� ��� �IS 1 � � 3 � � B � U! �"� � � � � � # � R 4 � 3 ��� �� � � � )'���� � �U���� E �� � 5 7$# � �"� E U # � R 4 � 3 � � � � � r � ��� � � � � �����P� � T � � �� � � 5') # M 5 ��� � ��� � B � � ) ��� � ��?) � � � *������ ?5�) # < 5) �*# �7 �� ��� �?5 � � * 3 � � �

Page 88: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

eVe ��� ���� � ������ ��� � ��� ��� ������

# � �"� � Y � ��� �� � � � � � � )C� � # � �"� ��� � ��� �2� � �2� � � � � 5 !�! � �(T ���' �� # ��� � � � �� �� � � ��� � � ��� �� � � 3 � � B � � ) ��� � E � '\) � � � �� ?�2� � ' ) �"! # 5 � �

� ���� E E���� �

� ���� � �� � 5 S � > 4 � 7 � ! 3 �*� � K �� � #�#$�� �� �� B�� � � ���� E �5 3 U U � # � � 3 ��� � � � � )��� E U J"K B � 3dg�� " � h � �� �� ������� � 5 a �?> � ) � 5 a �?> � % 55# � �� � ��� T ��� # ! �/� �2� /) #���� � �! � � � �� �� � � #����� ���� � 3 � � � � � � � � � � ?� �� �2� �� � ) #�� � � � � � � G _ ����� _ B � � � W ����G @ � @ B o G � �� � ' � � G _ � _ �,��� _ �� _ ���,� _ B o G � 5 a �?> � R 4 )#���� � � �� �� ! � � �� "� � � ! � � �� �� ! )��� J ' � � � G � � R 4 R ' J"K B � 3dg " � ' h � � � � J 4_���,�

_J � R 4 � � "��� �*� � � ���!�� �" "��� � � �

3 4 � 3dg � G _ ����� _ B o G � " � G _ �,��� _ B o G � h� � ���� ! � 5 ! � � �� ��� T ��� # B o G ! �*� ��� � Q �� � �# ���� ) # �2 � �$� �3# � � T � � � % � � R 4) ( 4 � ' ) J ) � � _ �'& G @ � @sB

_� � R 4) ( ' � '\) J ) �)( �� +* 3dg * G _ ����� _ B _ �-, " * G _ ����� _ B _ B o G+, h ,_�'& B � � @ �A� * � H�,

)��� �*� ���/. 4 .10� ��32 #���� � �

. ' �54 J ' _ ��& GC@ � @sB o G_. ' � � _ ��& B o �m@ ��@ U �6 ���� � �� � ���7�� . � R 4 �/4 U ( �� 8* 3dg " 9�h , �� � �%�:; =<ZY � H?> ( "���$& > 7� �� > 4 5 3 U U@* # � R 4 * 3 ,�,� ��A #B �� >

3 ������ 4 � � R 4) ( 4 � 4]) J ) 4 � � R 4) ( 4 � � ) J )

����

Page 89: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � � �� ������� � � � � ��� ��� � �,� � ��� � �� ��� � � � ������ ��� � e H

���������� �4 ( �� 8* 3mg * G

_�����

_B_B o G+, " * G

_�����

_B_B o G8, h , 4 ( � * 3mg * G

_�����

_B_� , " * G

_�����

_B_B o G+, h ,

����������� � �

6 � : � � > �A � � � � >�� A � :; ���A �A ������RY : > ���A 3 � � � � A� � � �! � �]5 2 > ! :��?�� �� > � �� � 5 S 0 > 4 * 7 , � > �A�� � � � � >��� A � :� ���A� �A3 � � � 2 > ( 7��A;A � # �� �� . ' �� � r � 7 � > ��� "� > � � * # 0 * 3 ,!, �� � � � � &U � � 2 �����# 0 * 3 , � � � � 2 > ( �����7��� � * # 0 * 3 ,!, � 7 �� * � , 6 � : # �

� > 5 > � :�� � "� > U @ � ) � � * G_���,�

_U ,#> ( & A � � > 7� 9 5 a 0 > � 2 � � � , � 3dg " 9�h 6 ���� ���7�� 3 � � � > ( ���7�� � > 7� � A # A &�� , � > & : � � � A #/A &3 2 # � 7�A��7 � : ( �? �� > �� , � � 6 ��� > (�� A���� �� > � � � & A � �#: � > * <ZY � � , "���� ��A # �� > * J"K B *�� , ,!, ��� * 3 J , � , , � , ��� �

_& � A�� #�����7� # �?7�A��7 � : ( � "� > . ' J"K B *�� , , � � K ���7�� 9 5 a 0 > �B� �>���� �' ��>��?5 2#���7�A��7 � : ( � "� > . ' U # 0 * 3 , � � 2 � � 2 . ' 5 � � * # 0 * 3 ,�, %�:; . ' �� � 2 A� ��* # 0 * 3 ,�, �� � � � 2 > ( #��?7�A �7 � : ( � �� > S 1 ��> * 3 , � U 2 7�A���� � �� ��� T "���� � A A & � 7 > �t7 � > ���� �� T ��>�� ( A�� > �� #���� > 5 � ��� ��> 7��= "��� S 1 ��> �� 5 ����=A � ( � 1 > �65 ( �� �� � � �� > � >�� ��> �A 7�A��7 � : ( � ���� & A ��� A # �� T�\

� !$#%!������ #�� (*)�� ),+ �*) � $A7 E e 8:9 E 9 1�0 ; 8 8:<�; � c�8 E 9 8:9$; 3 5 S�� > 0 *,7 , � 1 I 0 93 ��� � I 8 et8u9 � 9 1 8 EGFME 8:< e � <ba 1 E � 9 E $ 8:9$; � 9�<�� E $ Y � 8 8:9 � � 3 , � U Q# 8 �I�%$ Q � & � ( 7 2 �����!� � *�� , �� � � � �'& > ( A� �]5 �'&"� � � � � ���7�� > ��� �� T ��>��( A�� > �� � >� �A �A� � � � A � � � A ( � � � A �� 6 ��� � ��& A � � 2 �� > �� �� T ��>�� ( A�� > �� Y 1��> * 3 , � S 1 ��> * 3 , 6 ��� � � : � & A � U � Y : > ���A� > � � ��/U :� �A # > � ��� � �� � �#� � � � � !$#%!������ #��s(*) � ),+ �*) . 021 7 D 0 8 _ � cdcda 1 8 1 EGF 0 8 E 9 ; �E 1 I � Q� Q � $ 3 5 S 0 *,7 , � 1 I 0 9 3 � � � I 8 eu8`9 � 9 1 8 EGFME 8:< e � <ba 1 E � 9 E $ 8:9$; � 9�<�� E $

; 021 * 3 , E e 8 � 0 8 � ; EGFME e � 8 �%$�7 Q

� Q � $A7 E e 8:9 E 9 1�0 ; 8 8:<�; � c�8 E 9 8:9$; 3 5 S 0 *,7 , � 1 I 0 9 3 � � � I 8 e 89 � 9 1 8 EGFME 8:<$e � <ba 1 E � 9 E $ 8:9$; � 9�<�� E $ ; 021 * 3 , � � Q

Page 90: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

H � ��� ���� ��� ���� ��� ��� ��� � ������

# 8 �I�%$ Q � & 3 5 S 0 *,7 , 2 ����� # 0 * 3 , � $ J"K B * 3 , & 2 A8S 1 ��> * 3 , � U ��& > (A� ��5 ��& J"K B * 3 , � > � � � A ( � � � A � � � > � ���7�: ��> � 2 �'&*7 � > �� �� T ��>�� ( A�� > �� "����S 1 ��> * 3 , � U ��& > ( A� �]5 �'& J"K B * 3 , � � 6 ��� � � > � � �� � � #�A�A "��� � 7�A��7����� A�& ��> #�����7� 7 > � � ( ��1�� ( & A � � > 1 � ��7�� # �� "� ��� � ��� �� > 7�A����#:; > �� � � � �� T

� � � . �43"� ! . ) � �7 � � > 7�A��#�#:� > �� � � � �� T # �� "� G#> ( � � 3 5 S�� > 0 *,7 , 6 ���� # � # � ��� ( ��1�� "��� 8 � 8 8:9 � A & 3 2 ( ���A �� ( �X5 8 � � 8 8:9 � * 3 , 2 �A � � ����� > � � �#:�� :�� � � � A & � ���� >����]5 �� ( ��� �� ( ��� � A # �� 3 2 #���� � � "��� _ � <ba cd9 8 8:9 �A & 3 2 ( ���A �� ( _ � < � 8 8:9 � * 3 , 2 � ������ > � ���#:�� :�� � � � A & � ���� >����]5 �� ( � � �� ( �� 7�A � :��? � !i# !�������# � (*)�� )��� �) � Q � $ 7 E e 8 _ � cdcda 1 8 1 EGF 0 8 E 9 ;��E 1 I � 8:9$; 3 5 3 � > 0 *,7 , �1 I 0 9

c�8 � � 8 � � 8 8:9 � * 3 ,__ � < � 8 8:9 � * 3 , @ S � 8 8:9 � * 3 , @ Y � 8 8:9 � * 3 , �

� Q � $�7 E e 8:9 E 9 1T0 ; 8 8:<�; � c�8 E 9 � 1 I 0 9

8 � � 8 8:9 � * 3 ,�� _ � < � 8 8:9 � * 3 ,�� S � 8 8:9 � * 3 ,�� Y � 8 8:9 � * 3 , �# 8 �I�%$ Q r � � �7� ���� � � A A & A & ���� � � : � #����� 7 � > �� �� T ��>�� ( A�� > �� � & > 7 2 �� � � A � � ��� �� �A ��� � � ( 7 �� �� �1� � ( # A &�Y :�A� ������ > ( ( A >���� ����>�� T � ����> �� # � ��7 >���� "��� & A � � A # �� T & � A�� > :� ( � � T ��> ( : > �� � ���� > � >�� T � ����>7�A : �� �� #6 ��� � � A A & #�A � A � � � > 5 �1� � ( 2 � � ��3�'& 5 A�: ( � ( A� �]5 7�A� � ( � � ���� �A � � � "��� � � >�� :�� � � �! K)��� 3 � � > � " U � > � � � # �� "� ��� � ��� �� # � A #� � ( :�7�� 3 :�� �� � > �!� � � �� T > > � > � � � c �� � A # 1 � � ( :�7�� ( ��7��� � A� & A � � "6 ����� �! ����� T �A � ���?��� � � � ��� � � � "� > "��� � A # � > 7�� A & 3 > ( ���� � A # � > 7�� A & c> � �= ���� �> � � K � �?� ��> ����5 2 ���� � � T � : � � � > 7���A & 3 > ( "��� � � T � : � � � > 7���A &c > � � ���� �> �?�� * r > � ��� T \ ����=7�A � :��? � > 7�� A & 3 > ( �� > A & c : : >�� ��5 >�� ��A "��� �> � ��� , K A? "��� � � > ( �� T * � � 2 � � & �?A , �A� � � � A ��� �?5 �� � > 7� �A� � � � A� A # A & c � > G 2 7 >�� � � ( > < 0 8 ; E 9 ; G � 5 7�A � : � # �' �� > � � > ( �� T G � > "� > G >� �' A� ��5 �A� � � � A ��� �65 6 ��� �A� � � � A � A # A & c & A � � > �1> � & A � ����� A # � > 7��#A�& 3 2 A ���� : � � � � w?A & ������ � "��� � A # 1 ��> A & 3 =6 ����* � � T �� , : � � � > 7�� A & c * > ( �����7��?A�& 3 , � > >�1> � A & � � ��U � w �� �� A 2 A��� �1> � A & ����?7�A � :��? � > 7�� A & 3 � A � > ���� ( �X5 > �� T "��� �� $A &�7�A � :�� A�& 3 �� ���� � A �' ���A �A #/�� ( ��7 > �� ( �X5 "��� 7�A � : � A & c �� #�����7� "��� � � > � � � � > ( �� TG � K A ���� 7�A � :�� ��> A & 3 � >��� A`w 6 ��� � > "��� ��� �� � � ��� T 7�A � A � ��> �?5 �� > ��& > 5 w �� ( ��� �� ( ��� 7�A � : � A�& 3 > � � � � ��7� �� ( 2 ���� � � �#: � � A��?�

Page 91: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � � �� ��������� � � � ��� ��� � � � � ��� � �� ��� � � � �� � � ��� � H G

w � A # A & ���A � 7�A � :��? �� > > � � � ���� > ����5 �� ( � � �� ( �� 2 A ���� � � � �> w " w : � � > � � � # �� "� ��> w �� ���7�� ���� : � � > � � � � > ( � �� � � �� > � ( � � � � ��� & � A��� � A� � � �� � ��5 2 ��& A��?� w " w : � � > � � � � > ( �� �� � �?�� > � ( � � � � ��� @& � A�� � 2 "���� ���� �! ��A � � 7�A � :��? A�& ���� : � � > � � � � : � � �� ( � � �� ( �� 2 A ���� � � A� T �7�A � :��? A & 3 �A #�����7� ���� 5 � � � A T � : >��� A � � �� ( ��� �� ( ��� � � �A # 7 � � > � �� > "��� � A # 1 ��> 2 7�A � : � 1 ��> 2 O 1 ��> > (?( �� �� � � �� > � >��1��> A & 3 >�� � >�� � ���� �> � � � ��� )�(*)��) ��+�) � E 9 _ 0 8:<G< $ � a 8D8 8:9 �Me �%$ 3 8 8 0 1 I 0 e 8:c 0 VI 0 9 7 E e 8:9 E 9 1�0 ; 8 8:<; � c�8 E 9 � E 9 1 I'E e _ 8 e 0 0 c�8��de 0 8 ��a'9$8:c�D E�; a � a e2<�� �%$ 1 I 0 ��> �%$ 3 � ; 0 9 � 1T0 ;8 8:9 � � 3 �fQ S � 8 0 � F 0 8 � 1 I 0 _ � 9$; E 1 E � 9 1 I 8 1 7 D 0 8:9 E 9 1�0 ; 8 8:<C; � c�8 E 9 E e 1 8 a'<��9 0 _ 0 e e 8 8 � ��8 e 1 I 0 $ � <G< � �E 9 ; 0 � 8:c� $< 0 e I � e Q

� 0�� 9 0�3X5 S��* 2 4 - , D��3 �

����� � � W� � �� � � �� � �

�������

�21 E e 8:9 E 9 1T0 8 0 e 1 E 9 ; 0 � 0 8 _ E e 0C1 � e I � 1 I 0 $ � <G< � �E 9 ;��� Qb8 � � 8 8:9 � � 3 � � � Q

� Q _ � < � 8 8:9 � � 3 � � � Q

� Q S � 8 8:9 � � 3 � � � Q

Q Y � 8 8:9 � � 3 � � Q��� �"!$#%�'& (*)�� )�� �*)/. 021 7 D 0 8 _ � cdcda 1 8 1 EGF 0 8 E 9 ; �E 1 I � � < 021 S D 0 8 � 9 E 1T0 <��; 0 9 0 8 8 1�0 ; 7 �Tc � ;:a < 0 � 8:9$; < 021 � ( S D 0 8�e2a D2e 021 Q � $�� � � ��� * S ,�� 8 8:9 � � S � �1 I 0 9 � E e 7 �T< E 9 0 8 8 <��u; 0 0 9$; 0 9 1 Q# 8 �I�%$ Q�� � � * S , � � > ( � � �� � � � 4

_ ����� _� � � � � > T ���� ��> ��� T �� =& A � S7�A� � ��� T A�& � � � ���?��� � ��A A �KU ( � ����7 � � � � �� ��� 4

_ ����� _� 0 � A & � & A � A��?� U � � 2 #�����7� � � A � � ��� � �X5 � 5 � A "��� � K ���7�� S � $ � 4_ ����� _

� � & 2 # �� > 5 # � �� ��� ) �

��' ( 4

� ' ) � '_# �� �� � ' ) 5 7 �

Page 92: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

H � ��� ���� ��� ���� ��� ��� ��� � ������

� �� 3 � * � ' ) , 5 S � > 0 * 7 , K ���7�� U � � 2 �� ?& A � � A # �� > /S 1 ��> * 3 ,@ � � U 2 A 6 ����A � ��� �� G ��A # �� > "��� � � � > �� �� � 5 S 0 > 4 * 7 ,� :�7� �� > 3 � � � @6 ����0�) ( 4 . ) � ) � 0�

) ( 4 . )� ��' ( 4

� ' ) � '���

��' ( 4

� 0�) ( 4

� ' ) . )�� � ' * �� � ,� �

_ ���7�� 3 � � � �6 ��� � ��& A � � 2 � � 7�1 � ���� > ����5 ( ��� �� ( ���

� !i# !�������# � (*)��) �i-*) . 021 7 D 0 8 _ � cdcda 1 8 1 EGF 0 8 E 9 ; �E 1 I � ��< 021 S D 0 8 7 �c � ;:a'< 0 ��8:9$; < 021 ^ ( S D 0 8 $ 8 0 0 e2a�D c � ;:a'< 0 Q H*I 0 9 8 8:9 � � ^ , @ 8 8:9 � * S , Q# 8 �I�%$ Q � & ��> * S ,��� 2 ���� � � � �A� ����� T �A�� � A � � 2 A > ! :��?�� �� > ��> * S ,� � � � � & ��> * ^ ,�� � 2 ����� "��� � � � > � ���� > ����5 �� ( � � �� ( ��� : �� �� A & S 2 > �?� ��5 > ��> � A & ^ 2 # �� "� � A � � �� > � � � ���?��� 2 #�����7� 7�A�� ��> ( ��7 6 ����A � � � � � � ��� �"!i# �'& (*)��) � � ) � $ 3X5 S�� > 0 *,7 , 8:9$; � 5 S 0 > � * 7 , � 1 I 0 9Y�� 8 8:9 � * 3 � , @ c E 9 � Y � 8 8:9 � * 3 ,

_Y�� 8 8:9 � *�� , � � * �� G+,

# 8 �I�%$ Q�� �� B�� �?�� � Y � ��> * 3 ,_Y � ��> *�� , � > ( :�� � A � �� > 5 a �?> � 29 5 a �?> � 6 ���� �X5 ���� � > :�7� 5 1�������� & A � �#: � >

J'K B * 3 � g � 9�h ,�� ��ML � �! N

J"K B * 3dg � "ih , J"K B *�� g " � 9�h , �K ���7�� B�� �?�� � Y � ��> * 3 ,

_Y � ��> *�� , � 2 > � � > A��� A & "��� ( �� �� � �?�� > � J"K B * 3mg � 9�h , A � J"K B *�� g " � 9�h , �#: � � � & A � � > 7� " 5 a �?> 0 6 � : J"K B * 3 � g � 9�h ,��� 2 > ( ���7�� > ( 9 >�� � > ��� �� ��> �?5 2 �' & A � � A # "� > Y 1 ��> * 3 � , � B 2 > � � Y :�� � � (

6 ��� � � ��7�� ( ��� �����A � � � � > > : ��& : � 7�A � A ��� > �65

Page 93: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� ��� ������� � � � � � � H �

� !$#%!������ #�� (�)�� ) � ��)m. 021�3 5�� � > 0 *,7 , � 5 ��� * �_7 , � 5 ��� *��

_7 , QH*I 0 9

Y � 8 8:9�� * 3 ,�� Y � 8 8:9�� * 3 , �# 8���� $ Q � 5 � > � ��� � 5�� � > 0 * 7 , �> �� �1� Y 1 ��> *�� ,A@ �?�� � � _ � � K ���7��Y 1 ��> * ,�� � > ( Y 1 ��> * ,�� � 2 �' �& A � � A # & � A�� <ZY �� G �� >

Y � ��> * 3 , @ �?�� � Y � ��> * 3 ,_�_� � � Y � ��> * 3 ,> (

Y � ��> * 3 ,�� Y�� ��> * k 4 * 3 , k 4 , @ Y�� ��> * 3 ,�6 ��� 7�A���� � �� �� "���� � A A &

����� ���! �"$#&%(') �'* $*,+.-� ( � � � A ( � 5 �� �� � �?��/- � ,� �� B1032 ����� 2ZB 0 � � 7�A��#�#:� ���� �� ( �� �� � � ��4-� �� A � � � 7 2 -� ( � �� 3 � �# "���� " � �5-� � ����#���A � �� � ��� - � ��& � A�� ���� 7�A����#:; �-� �� � � � ��� t7 g B1032

�����2 B 0 h( ��1�� ( �76

3 �

�����* B10 B 2 0 UMUMU B 0 k 00* B 2 B 22 UMUMU B 0 k 02 * B 0 B 20 UMUMU B 0 k 00

������ �

6 ����( �� 3 � 80:9<;�=?>@9 0

* B:> � B�;�,�

Page 94: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � ����� ��� � � ������ � � ��� ��� � � ���

Page 95: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � ��� ����

� � �� ��������� ��� � ������������������ � ! �"� �$#%�&�

6 � � A :� ��A�:; ���� 7�4-��� �� � # # � ��� � � - - � � �� � - � 6 �1� � ( :� � � ! A "��� � # � � � �(' � ��7 �� ( 2 - ( # � ��� ( ���A� �� -� - ��� �� � - � 6 � ��7� �A �� �4- 7��#A � � � # *) :�7� A & A : �#�A � # � � � � �,+ :�� � � ��4-� � � ����� �� ( ��� �� ��A�4- � 2 � :� �#�� �4- � � � � ����� � - � - � A� - � A ! � � � �� *-�� � �� - A�� � � -� �A � � 5/. * , 2 A�: � �5- �� ��� �� � � # � ��� � �#���1 ( ��� �0' �� � - � �@- � : �� �4- 7�� 032 ����� 2 21 :�7� ��4- � 043 2 3 UMUMU 3 21 5 ���7�� �(- 7� > � �� � - � �@- � :� ( � � � 2 # � �5- 6 7�A� � ( � � "��� � � � ��7� ���A� � > � � �7698A & � �A� ���� : �� �4- 7�� > 6 ���� # ��# � �� �� � � � 0:3 UMUMU 3 � 1 <; � : :4- � ��6 �(- ��� � �A -�4- � 6:= � � �76 # � �� ���� �� - "��� :�� A & ���� A�� � � -� �A �! � > - ( ����� - 4- � 6:= ��� �����A�� � � -� �A �� � > A "��� �5- � � � �� : �� �4- 7�� > > �@? � %BA DCFEHGJILK '�GMCON � %BA DCFE5 #QP�R5"$'� �� �TS . * , 6 ����%UWVX:Y?2 2 : � � *�� , 2 - ( ; � *�� , - � � �� � - � �@- � :� ( � � � � A # � � � � 2 A & ��� ���� � - � ���A� � � ��7�� - ��� 6 ��� �� � � ��� - �� � - � � - � : �� �4- 7�� 2- ( #�� # - � �A � � ��� # �� "� * ' ( ��� �� ��A�4- � �0'-�� � - � � - � : �� �4- 7�� 5 :���� A � ��/-� � - * ' ( ��� �� ��A�4- � �0'-�� � - � � - � : �� �4- 7�� 6 ���� ���� � ��3�;� ? A��?� �A� = � � A � ��7 �A �[Z S 5 ���7�� � * Z , S 2 ���� � � � A�� � 7 - � - �\ S"] :�7_^ `^4-� � * Z ,�� \ Zba � 6 ^ 6 � A `^�� � * Z , � - � - � & A � a ; & 4 Z � - 6� ��7� �A � �� 2 `^���� * 4 Z , � 4 � * Z , � 4 * \ Z , � \ * 4 Z ,ca � ���7�� & A � � - 7_^ ��S 2� * � ,�� \ � a ; & \ SO] - �� �1� `^���� � A�� � � 6 d^4- `^�� � ��� A��?� �A� = � � A � ��7� �A ��/S :�7_^3 d^4-� � * � , � \ � 2 d^��� \ � 7 - � � � ( - fecgih:ecjlk9monqpre A & � a � � ��7� �A ��sS � 7 - � � � ( -��ecgih:ecjlkoe_tcu �9v�xw � � � � A� ���� �A d^��$��� ��� � - � :��Jy � � A � � ( � (

�{z

Page 96: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

��� ������� � � ����� � � � � �� � � � �� ����� � � � � � � ����� � � � � � �� * � ,�� y � 2 � a � a 2 *���� y � , *�� , � VXWa�� A������`^4-����d^����! ��!" � - � :#�[y 7�A�: � ( � ���d^#�= �!$�A�%!7(- � -�$ 2 � :��& '�( )% -�"��* ��*" � - � :#�+ �& -�" ( A�" � 6 �&,�`^#�*$-�. )%)-�"�A�" = �*$�A��! ��!" � ��7/��A�$� � � A�"� � )" 0��A� 1� a�2 A�$3�`^# )%4$5� -�%�A�"!�5-�" 6 - :��d^�A�$5%4$5�!%-��$- �7/� - ��� �* ��*" � ��7!��A�$5%6��A � �"�A�" = �*$!A a � A7+� � �!$ 2 1�0 )% 7�A�" � �*"# '�*"8����A9 )"�7 � : ( � VX '":�`^#�;%5�/� A &6�* ��*" � ��7!��A�$5%� � � A�"� � )" <��A -�" 6 �4-�$=�� �7�: � -�$>�* ��*" � - � :#�?%�A:�d^4-@�A�`^#�B%5�/� A�& - ��� �* ��*" � ��7!��A�$5%� � � A�"� � )" C��A�%�A������* ��*" � - � :#�� )% -0%�: � %��4- 7!� 2 )" &�- 7/�&- �0'D )" � -�$5 @-�"8�E%�: � %��4-�7*� aFG� ^4- � �H�`^#� & A � � AI73 '"� #JK0L ��MCNOMQPRMQP,MTS w y"g)UDmoj�ecgih:ecjlk9monqple �xw �WV4uYXlecj5� Z[ZQZ * �B� y � , g)U u\Xle �H] g jlk9m v g mojluUcp�^/U`_ m:t_e �xw t � j�Ucg)Ucu g j:h �xw mon n�ecgih:ecjlkoe_tcu �9v UH^cecn � j:hog j:h u � y�a

� A�"#%- ( �!$b�d^��>�3��-��#� � � ��S . * ]Wc , ( ��,"#� ( �76 � *Qd 2fe�, � *hg e 2 �6d ,ca 60^#�!"� *Qd 2fe�, � y *Qd 2fe�, '& -�" ( A�" � 6 '&�g e � y,d -�" ( �6d � y e 2 %�Aig e � y *=� y e�,ca; & *\d 2�e�,kj� * X�2dX�, 2 �d^#�!"fy c � ��g a ; &D] �ml 2 & A�$0�3��-��#� � � 2 �`^#�*" ��^4-�%�"�A�* ��*" � - � :#� a � A7�� � �*$ 2 '&Q]n '% - � �� � $1-� �7(- ��� 6 7 � A�%-� ( 2 & A�$C�3��-��#� � � 2 �d^��*" � ^4-�%�`7 Ao�! ��!" � - � :#�!%;p yq7Q^#�*$-� yq )% A�"#� A &W�d^��r�`7�A:%�A � :��5 �A�"#%���A�y,c � ��g a ; &] �ts3u 2 �`^#�*"G��g �wv )% -�"�A�"W'`% + :4-�$5�C )"s] 2 %�A � ^/-�%�"�Ax�* ��*" � - � :#�!% a ��:��� 'y] �zs 0:0/{ �`^#�*" y � p v %5|��� '% �,�!%*y,c � ��g0 '"s] a

� A�" = �*$!A}�* ��*" � �!~!��A�$5% � � � A�"� � '"� ���A>�# '%-�� '"#~!���* ��*"8��|��)���*%�|�$5���' )"#�*|�$5� 6 )"#���c'�[�*"#�#�!"8� a�C�����R�@��� NOMQP,M � M�� ecu ��S .W� b� moj[�AUcpI_8_ � U@e uYX mouQy 0 VHaaa/VQy,��m v e>�og)Ucu g j tcuecgih:ecjlk9monqplefU �xw ��� g u\X�t �9v(v efU`_ � j[�og j:h j � j��9e v1� ecgih:ecjlkoe_tcu �9v U � 032 ����� 2 �I��a���XlecjuYXleHnqg)Ucu � � 0�2

�����2 �@� � g)UHnqg j e`m v n�� g j[�:e`_lecj[�:ecjluha

� v1���xw a 5 �#���O��%-� � � 032 ����� 2 �@� � )%��' )"#�*|�$5� 6 �#�!�O�!"#�#�!"�� a � 6 �`^#� � '"#��|�$����*�[�*"#�#�!"#~*�� �* � x|x7+�� x| 6 �'�!�4¡£¢[���d^#�0%5 �|��'�)�*%=���[��%5 1�� '���0 )"8��� ��*$�y\��$�7Q^# '~_^ � � 0�2 ����� 2 � ; � )%W�' )"#�*|�$5� 6 �#�*�[�*"��#�*"8� { %-�¤�`^,|�� � ; S¥%5�#|�" � � 0�2�����

2 �@¦!§ 0 � a 5 �¤�`^#�*$-�>|�$-�x%5~*|��¨|�$5%\ 0�2 ����� 2 \ ; § 0 y\��$E7Q^� )~_^

� ;.© \ 0 � 0�ªq«««Iª \ ; § 0 � ; § 0­¬ �h® a�* �¯ ���#� 6 �����0¢[���d^;%5 '�#�*%3��y°�d^� )%3�B+��,|��5 )��"}�5����¢��f|� '"

y ; � ;.© \ 0 y 0 � 0�ª \ c y c � c ªq«««Iª \ ; § 0 y ; § 0 � ; § 0­¬)¤�#�1�� )��� 6 ¢[���d^�%- )�#�!%(��y[± + a ® a * ¢ 6 y ; |�"���%5�#¢²��$�|�~!���`^#�E�B+��,|@�� )��"�|�¢[�I����y\$5�� 

'� a�³ ^# '% � '���!%VXC© \ 0 � y ; ��y 0 �=´ 0�ªq«««ª \ ; § 0 � y ; ��y ; § 0 �=´ ; § 0­¬

Page 97: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

������ � �T� ��������� � ��� �� � � � � �������� � � ®

���*~*|��#%5��¡.7E|�%�~_^#��%5�*"W���3¢[���d^#�&%- x|��)�)�!%-� )"8��� ��*$�y\��$O7Q^# )~_^ ´ ; S?%5�,|�" � ´ 032�¬�¬�¬ 2 ´ ; § 0 �7��0"#�7 ^,|������d^,|@� � ´ 032�¬�¬�¬ 2 ´ ; § 0 � '%��) )"���|�$-� 6 )"#���*�[�*"#�#�!"8� a 5 '"#~*���d^��[y�� %�7��!$5�|��)�°�# '%-�� '"#~!� { �d^� )%� ���|�"#%��d^,|@� \ 04© «««[© \ ; § 03© X�{ ' ��#� 6 )"� 0�d^,|@� ´ ;H© VX � ¢ 6± + a ® a�* � { ~*��"��5$�|��� )~!�5 )"� ;����$ ^ 6 �O���d^#�!%5 )%H�d^,|@�C|��)���d^�� ´ > � %C|�$5��"#��" = �*$5� a�� �*"�~*����#$4|�%-%5�# ����� '��">�d^#|�� � ´ 0�2�¬�¬�¬ 2 ´ ; � '%.�) )"���|�$-� 6 �#�*�[�*"#���*"8�� C�#%-�4¢[�WyQ|��)%5� a5 )"#~!����|�~_^9�) '"#��|�$5� 6 '"#�#�*�[�*"��#�*"8�H%5�/�W��yE|��#"# '�5���# ) ��*"#%- )��"#|���%-�,|�~!�[^#|�%�"#�

 ���$5�A�*�)�! ��!"8��%��`^,|�"o�d^#�¤�# ) ��*"#%- )��"o��y��`^,|���%5�,|�~*� { 7+�£��¢²�f|� '" �d^��¤y\���'�)�73 )"� $5�!%5�#�1� a� �[�I�������#��� NOM P,M���M3S w �og � � C� © �"! � V u\Xlecj t`mojOj eckoe v X mokoe#� �9v eHuYX moj ��og)Ucu g j tcu0ecgih:ecjlk9monqplefU*a

> ��$ %'&(& �"*),+ "$%BGJC�A[KOIBG ".- GHP "$%(# �';`"�/ ^,|��²���*$ z 7+��|��#�#�' )�!���[��� 6 "#�� � )|��)%��5�C�*�'�* ��*"8��%+��y�%5�� ��4�) '"#��|�$T|�� ��*¢�$�|b����*$] a ;`"��#|�$-�5 )~*���¨|�$ { 'y10 S .W� C� |�"#�32 254 276 S ]98;:=<373 '�`^32 ©.4>6�{ �d^#�!"�¢ 6³ ^#�*��$5�*  z:a g a z 7��#?�"#�7z�`^,|��12 � 0 � ©@4 � 0 � 6 � 0 � a�C�����[�I��� NOMBA�MQP,M�� ecu ^ce0m*j � j��9e v1� VDC jlg uxeE�og � ecj�Ucg � j mon{koe_tcu �9v U`_ m:t_e � koe v u\Xlemon h:e*^ v mog t`mon n�� tcn � U@e5�C ecn1�M]xa0��Xlecj�e`m:tfX � _le v mou �9v 0 � j X m@UHmoj ecgih:ecjlk9monqpre*a� v����xw a 5 �#�#�[��%5���# )  � H� © �FE X |�"#�k~_^#����%5�x|¤"#��" = �*$-�£���!~!�5��$ ´ S a�G �/�0 S .W� C� a&³ ^#�*"A�d^#�W%5�/�

� ´ 2 0 � ´�� 2 0 c � ´²� 2�¬�¬*¬ 2 0H � ´²�5���y � ª * ���!~!����$5%H )"B|�" � 'D�# ) ��*"�%5 )��",|��°%5�,|�~!�0~�|�"#"����W¢O���' )"#�*|�$5� 6 )"#�#�!�O�!"#�#�!"�� a5 ���d^#�!$5�3 ��#%=� ¢O�.%-~�|��)|�$5% { "#��� |��)� = �*$-� { %5�#~_^0�d^,|@� VXb© \JI ´ ª \ 0 0 � ´²� ª \ c 0 c � ´²� ª«««=ª \ H 0 H � ´²� a*G �!�LK ¢[�4�`^#�6�)|�$NM��*%-� '"#�#����%5�#~_^��d^,|�� \ � j© XWa 5 )"�~*� ´ j© VX�{ �`^#�~*���PO�~* '�*"8��% \ 032�¬�¬*¬ 2 \ H ~*|�"#"#����|��)��¢O� X�{ %-� X !QKSR � aUT %5�E�`^#� \WVYX �5�H~!��"#%=��$5��~!�|��O��� 6 "#�� � ¨|��R7Q^# )~_^¤~�|�";¢[��73$5 '�-���!"¤ '">yQ|�~!�5��$5�!�Ay\��$-  |�%

\WI ª \ 0-e6ª \ c e c ªq«««Iª \ � e � ©FZ � e ��y 0 � � e ��y c � ««« � e ��y,� � 27Q^#�*$-� Z S ] '%�"#��" = �!$5� { ��|�~_^ y ; S ] { |�"#�£�`^#�C�,+��,|��� '��"�^#���)�#%4y\��$�|��)� e S/] aFG���`^#�*" ^,|����

VX © \WI ´ ª \ 0 0 � ´�� ªq«««ª \ �[0 � � ´²�© � \WI7\ ª \ 0 0 ªq««« \ �L0 � � � ´²� � ® a g �© Z � 0���y 0 \ � � 0 ��y c \ � ««« � 0���y#� \ � � ´²� 2

Page 98: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

��� � ����� ����� ��� � ��� � � � � � �� ���� � � � � � ����� � � � ��� �

7Q^# '~_^� ���|�"�%T�`^,|���0?� y ; )% "#���T )"��-�*~!�5 '���3y\��$+|@� �)��|�%-�T��"#�+¡ { a � a'{ 0 ^,|�%+|��T�)��|�%-���"#�W�! BM��!"���|��'�#� a�C�����R�@��� N M�A�M�A�M�� p_8_ � U@e 0$S .W� � moj[��� © � ´ 032�¬*¬�¬ 2 ´ H � g)U m?^_m@Ucg)U �xw a��Xlecj�uYXle w(� n n � � g j:h m v e e� Bp:g k9mon ecjlu��

� g���8;0<�� g)UHpI_8_le v u v g moj:hop:nim v a� g g�� 0 � ´ ¦ � SkU`_ moj � ´ 0�2�¬�¬�¬ 2 ´ ¦ � w��9v e`m:tfX�� © * 2*¬�¬�¬32�� a� g g g��?��Xle�U`_ moj � ´ 0�2*¬�¬�¬ 2 ´ ¦ � g)U 0H] g jlk9m v g mojlu w��9v e`m:tfX�� ©�* 2�¬�¬�¬ 2�� a

� v����xw a�� 6 "��I7 �d^#�W�#$-�²��y(��y°�d^� )%.$5�!%5�#�1�4%`^#�����)�;¢O�W~!�)��|�$E�����d^#�W$-��|��#�!$ a�C�����R�@��� N M�A�M���MW� ecu ] ^ceFmoj�mon h:e*^ v mog t`mon n��Otcn � U@e5� C ecn1�Omoj[��n ecu ^ceFmoj � ]�og � ecj�Ucg � j mon koe_tcu �9v U`_ m:t_e � koe v ]n� g u\X �! * a£��Xlecj"u\Xle v eMg)U mA^_m@Ucg)U�� w��9v UcpltfX u\X mou 8;0<�� g)UDpI_8_le v u v g moj:hop:nim v a� v����xw a3Fk���#%5�� '"#�#�#~/�� '��">��">�`^#���# ' ��!"#%5 '��"x��y a /��)��|�$5� 6 �`^#���d^��*��$-�*  '%+�5$5�#� 'y �:© * a 5 �A%5���#�O��%5���d^,|@� � E * |�"#�B�d^#|����d^#���`^#�*��$-�* �^����)�#%�y\��$W|��)�°���*~/����$%5�#|�~*�!%�����!$ ]z7Q^#��%5���� ) � )"#%- )��"� '%+|W�[��%5 1�� '���3 )"8���PM��*$ �)�!%5% �d^,|�" �4aUG �!� yx¢O�6|�" 6�* �M��*"8��|��'�#����y 0 � 7Q^� )~_^;7��#?�"#�7  ��#%=�3�#"² )%=�6¢ 6;³ ^#�!��$5�!  ® a g a�* � a�G �!�

$ © ;`  � 0���y \ � ¬���*~*|��#%-� 0B�sy \ '%+"����T )"%�-�!~!�� 1��� { 1� )%T|��)%-�b"�����%-�#$&�-�!~!�5 '��� { %-�b�# '  � $ � ! �¤©

�# '  � � a ;Dy Z S'$ { �`^#�*"0 � Z � © � 0�� y \ � � Z � ª y Z�¬

( ¢8�² '���#%-� 6 � 0 � y \ � � Z � S)$ � y\$5��  �d^#���#�P�#"# '�5 )��"9��y*$ � |�"#� y Z S+$ aA³ ^��#%�d^��r�B+��,|��5 )��"�|�¢O����r%`^#�73%>�`^,|���0 � Z � S,$ { ^��*"#~!�-$ '%900'` '"8��|�$5 ¨|�"�� a ³ ^��#%0/. 6�S .W� $ � a � 6 ����$. )"#�#��~!�� '��" ^ 6 �O���`^#�*%- )% { �`^#�*$-�W )%3|0¢,|�%5 '% � Z 0�2�¬*¬�¬ 2dZ � � ��y0$73 '�`^£$-�*%5�[�*~/������7Q^# )~_^ 0/.76 ^,|�%�|�"r�#���O�!$6��$- ¨|�">M��#�¨|�$4 �|��5$5 �" a.³ ^��#%�y\��$4��|�~_^;¡7+�H^#|��� � �#%5 '" M ³ ^#�*��$5�*  ® a g a g �

0 � Z ; � © � 0/. 6 � � Z ; � S X�1r\ � � Z 0�2�¬�¬�¬ 2dZ ; � ¬ �h® a v �±2"²�5�*"#� � Z 0�2�¬*¬�¬ 2`Z � � �5�¤|}¢,|�%5 )% � Z 0�2�¬�¬�¬32dZ � 2 ´ 0�2�¬�¬�¬ 2 ´ 1­� ��y a�2 ��$���|�~_^3� {* R4��R65 { 7+�H^#|���

0 � ´ ¦ � © � 0 ��y \ � � ´ ¦ � ª y ´ ¦ ¬

Page 99: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

������ � �T� ��������� � ��� �� � � � � �������� � � �

³ ^#�¤���P�,"# 1�� '��"i��y�$ %`^#�73%0�d^,|@� � 0 � y \ � � ´ ¦ � S $ © %5�#|�" � Z 0�2*¬�¬�¬ 2`Z � � a/��)�*|�$5� 6

0 � ´ ¦ � Sr%-�,|�" � Z 0�2�¬�¬�¬ 2dZ � 2 ´ 0�2�¬�¬�¬ 2 ´ ¦ � ¬;D�� )%�"��I7t~!�)��|�$6�d^#|����d^#|��10&^,|�%�|�"r�#�#�[�*$��5$5 ¨|�" M��#�)|�$3 x|��5$5 ";73 '�d^?$-�*%-�O�!~!�

�����d^��H¢#|�%5 '% � Z 0�2�¬�¬�¬ 2dZ � 2 ´ 032�¬�¬�¬ 2 ´91�� aK0L � M0NOM�A�M��°M � p_8_ � U@e 0 S .W� � X m@U mojOp_8_le v u v g moj:hop:nim v �[mou v g��x� g uYX v efU`_le_tcuu � U � � e0^_m@Ucg)U*� �xw a?��Xlecj 0 g)UJg jlkoe v u gQ^Bn eJg w moj[� � jln�� g w mon n4uYXle ecjlu v g efU � ju\XleC�og m@h � j mon �xw u\X mou p_8_le v u v g moj:hopWnim v �[mou v g�� m v eDj � j��9e v � a� v ���xw a3FG� ?�"#�7 �d^#|�� 0 )%W '"����*$=�� )¢��)�� 'y�|�"#�9��"#� 6 'y18 0< �B '%H '"8���*$=�� '¢#�)� { 7Q^# )~_^¢ 6�� �*%-�#�'� � a v a gA|�"#� ³ ^��*��$-�*  � a vWa ® )%H )"8���!$-�� '¢#�)�� 'y.|�"#�<��"�� 6 'y+�d^#���# ¨|DM���",|���*"8��$- )�!%4��y 8 0< �A|�$-�W|��)� "#��" = �*$5� a� �[�I�������#��� NOM�A�M���M�� pI_8_ � U@e#0�S .W� � X m@U moj�p_8_le v u v g moj:hop:nim v �[mou v g��?� g u\Xv efU`_le_tcu u � U � � eb^_m@Ucg)U � �xw ax��XlecjOuYXle ecgih:ecjlk9monqprefU �xw 0 t � j�Ucg)Ucu�_ v e_tcg)U@ecn�� �xwu\Xle ecjlu v g efU � j�uYXleC�og m@h � j mon �xw 8 0�<���a� v ���xw a 5 �#�#�[��%5�+�d^#�E�� ¨| M���",|����*"8��$- )�!%���yR�d^#� � � �#�#�[�*$(�5$5 ¨|�" M��#�)|�$� x|��5$5 "�8;0<��|�$5�Dy 0�2*¬�¬�¬ 2 y H a�G �!� ysS"] a�³ ^#�!" 8;0:��y \ <��> '%E�#�#�[�*$+��$5 )|�" M����¨|�$ 73 '�`^>�# ¨|DM���",|���*�'�* ��*"8��%3�B+��,|����5�Fy 0 ��y 2 y c ��y 2�¬�¬�¬ 2 y H ��y a[� �!"#~*� 0���y \ '%."#���4 )"8���!$-�5 )¢#�'� 'y�|�"#�r��"�� 6 1y yr�B+��,|��'%���"��b��y(�d^#�Jy ; � % a ;`"r���`^#�*$37���$5�#% { yr )%6|�"£�! BM��!"8��|��)�#�W��y0� 1y�|�"��A��"#� 6 yA�B+��,|��'%4��"#�W��y��`^#� y ; � %4|�%3�#�*%- )$5�!� aK0L � MGNOMBA�M���M�� ecu � © � ´ 032�¬�¬*¬ 2 ´ H � ^ce m£^_m@Ucg)U w��9v a� j � _le v mou �9v 0 S .W� �X m@UQmb�og m@h � j mon �[mou v g��C�og m@h � y 0�2�¬�¬�¬ 2 y H � � g uYX v efU`_le_tcu u � � g w moj[� � jln��Dg w 0 � ´ > � ©y > ´ > V gQa e*a1V0e`m:tfX koe_tcu �9v g j � g)UMmoj�ecgih:ecjlkoe_tcu �9v �xw 0Ca;`"�%5�� �� 7E| 6 % { �`^#��"# '~*�!%-�����O�!$�|��5��$5%�|�$5� �d^���%5�T7Q^# )~_^�|�$5���� ¨| M���",|��) = |�¢��)� { a � a1{

�d^#��%5��y\��$�7Q^# '~_^��d^#�!$5�� '%(%-�� ��+¢,|�%- )%�73 1�d^b$5�*%-�O�!~!���5��7Q^# '~_^��d^#� 6 |�$5��$-�*�#$-�*%-�*"8���!�¢ 6 |A�# ¨| M���",|��& �|���$- �" a ���²�C�d^� )%H )%H"#���C|��'7�| 6 %H�d^#��~�|�%-�>�!���*"<7Q^#�!"G�d^��9�,�!�)�] '%�|��BM��*¢#$5|� )~*|��)� 6 ~*�'��%5�!� a /���"#%5 '�#�*$��`^#�Cy\���'�)�73 )">Mx�#"�|� ��#�'������*$��`^#��~!�� ����)�#""��# �¢[�*$5% a �����,"#� 0 S .W��� c � ¢ 6 0 � d 2fe � © � e�2_X � a ¯ % 6 ���£% ^#���#�'�A���*$- 'y 6�{ 1y��q '%�d^#�W%=�f|�"#�#|�$5�¤¢,|�%5 '%3��y � c { �d^#�!" 8 0<�� ©�� X *

X X�� { %-���`^#�W��"#� 6 �* �M��*"8��|��'�#�W��y�0 )% X a �����6"��#�)� � 0 � X \ � '% * '`�# ' ��!"#%5 '��",|�� a 5 ��~*�'��|�$-� 6 � c �#���*%�"���� ^#|����|�¢,|�%5 '%~*��"�%5 )%=�� '" M0��y(�! BM��!"8���*~/����$-%6��y�0 a

( "��C��y��d^#�b$5�*~!�#$5$- )" M��d^#�! ��!%6 '"£�' )"#�*|�$3|��BM��*¢#$5|� '%3�`^,|��6��y&��¢²�f|� '"# )" M0~!��"#�# '�� '��"#%&�d^,|@�LM��,|�$�|�"��5�*�3�d^,|@��%-�� ��3���[�*$5|�����$ ^#|����|H�# ¨|DM���",|��� x|��5$5 "�73 '�`^�$-�*%-�O�!~!����0%5�� ��W¢,|�%- )% a

Page 100: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

*@X X � ����� ����� ��� � ��� � � � � � �� ���� � � � � � ����� � � � ��� �

�C�����R�@��� NOM�A�M¨N M�S w �og � � � © � moj[� 0 S .�� � X m@U e � m:tcu n�� � �og)Ucu g j tcu ecgih:ecj,]k9monqplefUfV u\Xlecj 0 X m@UMmx�og m@h � j mon �[mou v g��x� g uYX v efU`_le_tcu u � U � � eb^_m@Ucg)U*a� v����xw a 5 �#���O��%-�>�d^,|@��0$^#|�%��# )%=�� '"#~!�C�* BM��*"8��|��)�#�!%[y 0�2�¬�¬�¬ 2 y H { |�"#�i�'�!� ´ ; ¢O�;|"#��" = �*$-�}�* �M��*"8���!~!�5��$�¢[�*�)��" M� )">M��5� y ;I{)* Rq¡ R ��a ���!~�|���%5��"#��" = �*$-�}�* �M��*"8���!~c'����$5%�~*��$5$5�!%5�[��"#�# '" ME���3�# '%-�5 )"#~/���* �M��*"8��|��)���*%�|�$-�&�) '"#��|�$-� 6 )"��#�*�[�*"#���*"8� { � ´ 0�2�¬�¬*¬ 2 ´ H � )%T�) '"#��|�$5� 6 )"#���*�[�*"#�#�!"8� { |�"��F^#�*"�~*��|H¢,|�%5 '%+��y a 5 �H73 '�d^�$5�!%5�[�*~!�����b�`^# )%+¢,|�%- )%0 ^#|�%4|0�� ¨| M���",|��  �|��5$5 �" a

³ ^#�¤y\���)�)�73 '" M?�#$5���O��%- '�5 )��" M8|��`^#�*$-%x%-�� ��;��y��d^#�A"#�*~!�*%-%�|�$ 6 |�"�� %5� O�~! )�!"��~*��"#�# '�5 )��"�%�y\��$3|�"A���[�*$�|@����$ 0 ���0¢O�W�# )| M���"#|��) = |�¢#�'� a�C�����R�@��� NOM�A�M � M�� ecury 0�2�¬�¬�¬ 2 y,�¥�:ecj � uxe uYXle3�og)Ucu g j tcu2ecgih:ecjlk9monqplefU �xw 0 S .W� � a��Xlecj�uYXle w�� n n � � g j:h m v e e� Bp:g k9mon ecjlu��

� g�� 0 X m@U m}�og m@h � j mon �[mou v g��x� g u\X v efU`_le_tcu u � U � � eH^_m@Ucg)U �xw a� g g�� X m@U m}^_m@Ucg)UMt � j�Ucg)Ucu g j:h �xw ecgih:ecjlkoe_tcu �9v U �xw 0Ca� g g g��<��Xle v e e � g)Ucu � j e/]=�og � ecj�Ucg � j mon=0H] g jlk9m v g mojlu+Ucp�^/U`_ m:t_efU $ 032�¬�¬�¬32 $ H �xw

UcpltfX u\X mou © $ 0 3z«««L3 $ H ¬

� g k�� © jlp:n n � 0�� y 0 \ � 3 ««« 3 jlpWn n � 0���y#� \ � a� k����og � � � © �og � � jlpWn n � 0 ��y 0 \ �-� ª�««« �og � � jlp:n n � 0���y#� \ �-� a

� v����xw a ¯ �T�d^# '%+%=�f| M��4 '�T% ^#���#�'�x¢[��~*�'��|�$&�5�b�d^��6$-��|��#�!$+�`^,|�� � � { � ' � |�"#� � ' ) � |�$5��B+��# 1��|��)�!"��b|�"��k�d^#|�� � '� � |�"#� � � � |�$5���B+��# 1��|��)�*"8� a ¯ �C�'��|�%=� 6 ���k%`^#�����)�k�`^# )">?|�¢[�������`^# )%���"��5 )�(�`^#���B+��# 1��|��)�!"#~*�!%b|�$5� +��# '�5����¢8�� )���#% a Fk��"��I7 %`^#�7 �d^,|�� � ) �|�"#� � '� � |�$5�W�,+��� '��|��)�!"8� a5 �#�#�[��%-�:�`^,|�� ^,|�%k|�¢#|�%5 '% � © � ´ 0�2�¬�¬�¬ 2 ´ H � ~*��"#%5 '%-�� '" M¥��y��* �M��*"8���!~c'����$5%H��y 0 a Fk�x �| 6 M�$5���#�9��� M��!�d^��*$W�d^#��%-� ´ > � %C¢[�*�'��" M� '" M}���¤�`^#��%�|� ����! BM��!"W'

��|��)��� { %�| 6 ´ 032*¬�¬�¬32 ´���� ¢O�!�)��" M}�5�Oy 0 %5�A%5�#|�"i|;%5�#¢#%-�,|�~!� $ 0 ��y�"����)� � 0��fy 0 \ ���´���� 0�2�¬�¬�¬ 2 ´�������� ¢[�*�)��" M����Dy c %5��%-�,|�"�|�%5��¢#%5�,|�~*� $ c ��y["����)� � 0>� y c \ ��� aBa,a*{ |�"#��d^��.�¨|�%=�����<��yR�`^#� ´ > � %&¢[�*�'��" M��5�Hy,�<|�"#��%5�#|�"�|�%5�#¢#%-�,|�~!��$°�<��yO"��#�'� � 0}�Fy#� \ � a5 '"#~*�/�w%5�,|�"#%C|��)����y { '�W '%�~*�'��|�$��d^#|�� © $ 0(ª «««�ª $°� a 5 '"#~*���d^���%-�#¢W'%5�#|�~*�!%���y(�* BM��*"8���!~!����$5%�¢[�*�'��" M� '" M������# '%-�� '"#~!�4�! BM��!"���|��'�#�*%6|�$-�H '"#�#�!�O�!"#�#�*"8� � |�"��|�% 6 ~!��$5���)�¨|�$ 6 ��y ³ ^#�*��$5�*  ® a�* a g � { 1�. ��#%=�.¢[���d^,|�� © $ 0 3q«««,3 $�� a�� �!"#~*���|�~_^ $ > )%3|��'����y�"��#�)� � 0 ��y > \ � a

/���"8���!$5%5�!� 6�{ 'y © $ 0 3i«««`3 $°� { ¢ 6 �-�� )"# '" M���� M��!�d^��*$T¢,|�%5�!%E��y��`^#� $ > � % 7��M��/�4|�¢,|�%5 )%.��y ~*��"#%5 '%-�� '" M0��y��* BM��*"8���!~!����$5%���y�0 a

Page 101: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

������ ���� � �� � � � ���°� � � � ��� �k�� � � � �2����� � � � � ��� � *LX�*>���� � CFEHG "$%BGMC P K�� ' &�G # �'�R� �� GJI�� �#0P<R "��&�G # �'FG� ^,|����£%5�*�!" �d^#|��� 'y )%�|(�,"# '�5�¤�� ) ��*"#%- )��",|������!~!����$x%5�#|�~*�¤�I���*$x|�" |��BM��('¢#$�|� )~�|��)� 6 ~*�'��%5�!� �,�*�'��] �d^��*"r�*|�~_^r�) '"#��|�$.���O�!$�|��5��$4��" ^,|�%�|�"£�* �M��*"8��|��'�#�b '"] a FG�Q^,|����6|��'%5�W%5�!�*">|�"�� "#|� ��#�'�E�d^,|@�+% ^#�73%T�`^,|�� �d^� )%& )% "#���T�`^#�3~�|�%-�4y\��$&$5��|�����!~!����$�%5�#|�~*�!% a.³ ^# '%6 ���|�"�%3�`^,|���|�"A���O�!$�|��5��$3��"r|0"#��" = �*$-�9�,"� '���W�# ' ��!"#%5 '��",|��$5�*|��°���*~/����$�%-�,|�~!�C �| 6 ^,|�����"#�> '"���|�$- ¨|�"8�4%5��¢#%5�,|�~*����y �� ) ��*"#%- )��" * a � �7��/���!$ {7��H"#�7�% ^#�7��d^#|��4|�"A )"8��|�$5 )|�"8�.%5�#¢�%5�,|�~!�b��y(�# ' ��!"#%5 '��" * ��$4g�|��'7�| 6 %4�#"² '%-��% a�C�����[�I��� NOM���MQP,M�� koe v � � _le v mou �9v � j m C jlg u eE�og � ecj�Ucg � j mon V j � j��9e v � V v e`mon koe_tcu �9vU`_ m:t_e�X m@UMmoj�g jlk9m v g mojlu�Ucp#^/U`_ m:t_e �xw �og � ecj�Ucg � j�� �9v�� a� v ���xw a 5 �#�#�[��%5� '%W|>$5�*|��(���!~!�5��$�%5�,|�~*��73 '�`^9�� )  � � © � E X |�"#�B�)�!�10�S.W� � a / ^#����%-� ´ S 73 1�d^ ´ j© VX a 5 )"�~*� � ´ 2 0 � ´²� 2�¬�¬*¬32 0 H � ´²�-�  ��#%=�3¢O���) )"���|�$-� 6�#�*�[�*"��#�*"8� � F ^ 6�� � { �`^#�*$-�C|�$5�W%5~*|��¨|�$-% \JI 2 \ 0�2�¬�¬�¬ 2 \ H S"] %5�#~_^¤�d^,|��4"#����|��)� �`^#�\ > � %4|�$-� = �!$5��|�"#� VXH© \WI ´ ª \ 0 0 � ´²� ª�««« \ H 0 H � ´²� ¬/���"#%=��$5��~!�x�`^#�A�O��� 6 "#�� � ¨|�� 2 � : � ©�� H>�� I \ > : > 7Q^# )~_^ ~�|�" ¢O�;yQ|�~!�5��$5�!� '"o�`^#�y\��$5 

2 � : � © Z � :>��y 0 � ««« � :>��y 1­� � : c ª ��0 : ª � 0 � ««« � : c ª!� ¦�: ª � ¦ � 27Q^#�*$-� Z )%0|r"���" = �!$5�B$5�*|��E"��# �¢[�*$ { ��|�~_^ y ;{"� ;I{ |�"�� � ; )%�$-��|�� { 5 ª � *�{� c; !$# � ; |�"#�;�d^#�W�B+��,|@�� )��" ^����)�#%.y\��$3|��)� : S lOa Fk�W�`^#�*" ^,|����

X © \WI ´ ª \ 0 0 � ´�� ªq«««ª \ H 0H � ´²�© � \WI7\ ª \ 0 0 ªq«««Iª \ H 0�H � � ´²� � ® a # �© Z � 0���y 0 \ � ««« � 0���y 1 \ � � 0 c ª ��0 0 ª � 0 \ � ««« � 0 c ª � ¦P0 ª � ¦ \ � � ´²� 2

7Q^# )~_^H ���|�"#%��`^,|�� 0H�Dy ; '%�"#���� '"%�-�*~/�� '����y\��$�|����'��|�%=����"#�°¡6��$��d^,|��,0 c ª�� ; 0 ª � ; \ )%E"����. )"��-�*~!�5 '����y\��$E|@�.�)�*|�%-�.��"#�.¡ a ;Dy�0:�/y ; \ )%+"#���. '"%�-�*~/�� 1����y\��$�%5�� ��.¡ { �`^#�*"0 ^,|�%A|�"q�! BM��!"���|��'�#�B|�"#�%^#�!"#~*�k|o��"#�c'D�# ) ��*"#%- )��"#|��� '"���|�$- ¨|�"8�}%-�#¢#%-�,|�~*� a ;Dy04c ª%� ; 0 ª � ; \ )%T"#���� )"%�-�!~!�5 '���4y\��$T%5�� ���¡ { �d^#�!"x7���~�|�"��#"#�}|C"#��" = �!$5�C���*~!�5��$´ y\��$E7Q^� )~_^

0 c � ´�� ª!� ; 0 � ´²� ª � ; ´ © VX�¬ � ® a z �T %5 '" M;± + a ® a z '�� )%6��|�% 6 ���x%`^#�7t�d^,|���%5�,|�" � ´ 2 0 � ´²�-� )%�00'` )"8��|�$- ¨|�"8�6|�"#�? 1�

~*�'��|�$-� 6 ^,|�%��# ' ��!"#%5 '��" * ��$�g a ;Dy� '�[^,|�� �# ' ��!"#%5 '��" *�{ �`^#�*" ´ 7������)�o¢O�¤|�"

Page 102: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

*@X g � ����� ����� ��� � ��� � � � � � �� ���� � � � � � ����� � � � ��� �

�* �M��*"8���*~!�5��$���yU0w¢[�*�'��" M� '" M0���}|�"£�* BM��*"8��|��)�#�Jy?�`^,|��47����#�)��^#|��������¢O��|�$5�������y :Rc ª!� ; : ª � ;6© X�{ ~*��"8��$5|��# '~!�� '" M��d^#�H|�%-%5�# ����5 )��";�d^,|@� � c; ! # � ;@aL� �!"#~*�#0^,|�%4|�g 'D�# ) ��*"#%- )��"#|��O '"8��|�$5 ¨|�"��3%-�#¢#%-�,|�~*� a;`"AyQ|�~!�.7+�b"#�7 ^,|����b|�"¤�*|�% 6 �#$5����y���y��`^#��y\���)�'�73 )" M#J

�C�����R�@��� NOMB��M�A�M � koe v � � _le v mou �9v � jFmoj � �8��]=�og � ecj�Ucg � j mon v e`mon:koe_tcu �9v U`_ m:t_e+X m@Umoj�ecgih:ecjlk9monqple*a� v����xw a G �!� ¢O��|C$5�*|��O���*~!�5��$E%-�,|�~*��73 1�d^>�� )  � � ���#�;|�"#�>�'�!�L0 S .W� � a FG�?�"#�7¥�d^,|@�+�`^#�6�! BM��!"8��|��)�#�!%+��y,0q|�$5�3�d^���$5�����5%T��y��d^#�4~_^,|�$5|�~!�5�*$- )%-�5 )~4�O��� 6 "#�� � ¨|����y�0 7Q^# )~_^s^,|�%�$-��|���~!�²��O�~! )�!"��5%�|�"��£�#�PM�$5�!�C�B+��,|��°�5�x�# '  � � a �������!���!$ 6 $5�*|���[��� 6 "#�� � ¨|�����y&���#�£��� M�$-�*�M^#|�%�|�$5��|���$-�²���6¢ 6 G �! � �| * a *oa g { a � a1{ 0 ^,|�%�|�$5�*|���* �M��*"8��|��'�#� a

>�� � +��$R ��R�� � K P %BC�A ��LC�*G � � &��� GHP<R������

G �!� ¢[�0|��,"# 1���('`�# ' ��!"#%5 '��",|������!~!�5��$W%5�,|�~!������*$��`^#���,�*�'�"] { |�"#�?�)�/� 0 ¢O�0|�) '"#��|�$����[�*$5|�����$���" a 5 �#�#�[��%5� 0&^,|�%W x|@��$5 "�� © � X �

� � X�� 73 '�`^?$5�!%5�[�*~!�����%5�� ��W¢,|�%- )% a ;Dy��T )%4|�"A�*�'�* ��*"8�4 )"s] � ��$3 '"¤%-�� ��W� "²�5�*"#%- )��"¤��y ] � y\��$.7Q^# )~_^� c © � ��{ �`^#�*">�`^#���! BM��!"���|��'�#�*%���y 0 |�$5��p�� a 5 � 0 ^#|�%E�* �M��*"8���*~!�5��$5%. '"�� 1y�|�"#���"#���} 'y�� S�] a+2 ��$4� "�|� ����)� { 1y ] © l?{ �`^#�*" 0 ^,|�%4"#�x�! BM��!"8���*~/����$-% aE³ �>|����� )�^,|��� )" M0���0�#�*|���73 '�`^A�`^# )% ?� )"��¤��y(%5 1���,|��5 )��"}7+�C|�%5%5�� ���y\$5��  "#�7 ��";�d^,|@� ] g)Umon h:e*^ v mog t`mon n�� tcn � U@e5� { %5���`^,|��3��|�~_^£�[������"#�� � ¨|��R�`^,|�� ^,|�%.~!�²��O�~* )�!"8��%4 )" ] %-�#�) 1��% )"8�5���) )"���|�$°yQ|�~!�5��$5%�����*$ ] a ;`"0�,|�$-�5 )~!�#�¨|�$ { |�" ���' )"#�*|�$(���O�!$�|��5��$*0 ��" 73 )�)�:^,|���� � )"# ' x|��[|�"��¤~_^,|�$�|�~/���*$- )%=�� )~��[�����²"��� � )|��)% �d^#|��4%5�#�' '�. '"��5�0�) )"���|�$�yQ|�~!����$5%.����!$ ] a( �#$ �#$5 ' x|�$!��� "�|� ����)�.��y�|�"x|��BM��!¢#$�|� '~�|��'���H~*�'��%5�!�9�,�!�)�� )%��`^#���#�*�)� � ��y�~!�� ��#�)� ""��# �¢[�*$-% a� �!~�|��'���d^#|��}�d^#�B$- )" M�]98;:=<W��yC�[������"#�� � )|��)%� )"��`^#�B )"#�#�/���!$5 � )",|��5� :z73 1�d^~*���PO�~! )�*"8�5%by\$5��  ]� )%H|;_ v g j tcg _ n e[gQ�:e`monT� � �[mog j ax³ ^� )%H ��*|�"#%W�d^,|��b 'y \ )%b|�"gQ�:e`mon ��y0]98;:=< { 1�b C�#%-�b~*��"�%5 )%=�C��y.|��'�& ��#�'�5 )�#�'�*%���y.%5�� ��0�,|�$=�� )~!�#�¨|�$��*�)�! ��!"8�C��y]98;:=< a ( �#$�~_^# '�!yO�#"�|� ��#�)�� )%(�`^#�Ey\���)�'�73 )" M#J G �/�#" ¢[�3|100'` )"8��|�$- ¨|�"8��%5�#¢#%-�,|�~!�6��y { 0�|�" �0�) '"#��|�$T���O�!$�|��5��$ ��" { |�"#���)�/� ´ ¢[�6|�" �����*~/����$+ )" a%$ ���[0 � ´'& " � ©UD2 � : � S ]98;:=<3J�2 � 0 � � ´�� S(" Y a ;D�b )%��*|�%!�B�5�A% ^#�7 �d^,|@�#0 � ´)& " � )%H|�"9 )�#�*|����y ]98;:=< a � ³ ^# '% �-�#%=�� ��*|�"#%��`^,|��6�d^#��%-�#  ��yT|�"*�A�`7+�A�[�����²"��� � )|��)%3 '" 0 � ´'& " � )%�|��'%5�k )" 0 � ´'& " � { |�"#� 1y#2 � : � S 0 � ´'& " � |�"#� 4 � : � )%�|�" �o�O������"#�� � ¨|��+ )"]98;:=< { �d^#�!"��`^#�3�#$5���#�#~/�L2 � : � 4 � : � )%(¢,|�~7?� )"�0 � ´)& " � a � � �!"#~*�3�d^#�!$5�3 )%�|W��"# +��#�

Page 103: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

������ ��� � � ��� � ���� ��*� � � � ��� � � � ��� �LX�v

 ���"# )~4�O������"#�� � ¨|�� 4 � : � ��y� � )"# ' x|����#� M�$-�*�� '"�0 � ´'& " � ~*|��)�'�*�x�`^#�10H]`t � j[�opltcu �9v�xw ´ g jlu � " ab2 ��$6�d^� )%�~*��"#�#�#~/����$ 4 � : � '�� '%���$-�#���d^#|��#2 � : � S 0 � ´'& " � 1y+|�"#���"#���; 'y(�`^#�*$-�C '%6%-�� �� 6 � : � S�]�8 :=<°y\��$47Q^� )~_^ 2 � : � © 4 � : � «D6 � : � a ;Dy " © U X:Y�{�d^#�!" 4 � : � '%�~�|��'�)�!�r�d^#� 00'cmojljlg)X:g nimou �9v ��y V´ a /��)�*|�$5���£�d^��� � )"� ) �|����[�����²"��� � )|��1 � : � ��y 0 )%� '" 0 � ´'& " � { %5� 4 � : � �og k@gQ�:efU 1 � : � a ¯ �)�T�d^#�!%5�;�[������"#�� � ¨|��)%H^,|����~*���PO�~* '�*"8��%4 )" ] { %5��¢ � ^ ���O���`^#�*%- )%3�d^#� �;|��'��%5�#�' '�. '"8���0�) '"#��|�$+yQ|�~!�5��$5%3����!$ ] a

³ ^#�AyQ|�~!�0�d^,|@� 1 � : � �# 1�² '�#�*%�|�" �:�[������"#�� � )|���� � : � y\��$�7Q^� )~_^�� � 0 � © X '%+��# '�5�> ) ��O��$-�f|�"�� a � �*$5�} '%�|�"i� "�|� ����)� a 5 �#�#�[��%5� " )%C|r%5�#¢#%-�,|�~!�} )"8��|�$5 )|�"8��#"#�#�!$�0 { %-���`^#�W$5�!%-��$- )~/�� )��"�0/. ��y 0z�5�����*~!�5��$5%4 )"�" )%3|0�) )"���|�$E���O�!$�|��5��$.��"" a�G �/� 4 � : � ¢[���`^#�� � '"# ) �|��(�[�����²"��� � )|��(y\��$ 0/. a 5 )"#~!� 1 � 0 � ©$X²{ ~*�'��|�$-���1 � 0/. � ©%X�{ %5� 4 � : � �� '�� )�#�!% 1 � : � a�C�����[�I��� NOM���M P,M6� ecu ^ce m1C jlg uxe/]=�og � ecj�Ucg � j mon koe_tcu �9v U`_ m:t_e � koe v � u\Xle mon h:e/]^ v mog t`mon n��stcn � U@e5�#��C ecn1� ]�V.� g uYX �9© � � K � � �� a � ecu�� moj[��0 ^ce[t � � � pWu g j:hnqg j e`m v � _le v mou �9v U � j a0��Xlecj eckoe v �[ecgih:ecj�U`_ m:t_e �xw 0&g)U g jlk9m v g mojlu4p:j[�:e v ��V moj[�� moj[�#0 X mokoe m t � � � � j ecgih:ecjlkoe_tcu �9v g j a� v ���xw a 5 )"#~!� � � K � � � |�"�� ]t '%�|��BM��!¢#$�|� '~�|��'���C~*�)��%5�*� { 0 ^,|�%E|�">�* �M��*"8���*~!�5��$´� )" 73 '�d^�|�%-%5��~* ¨|@���*���* �M��*"8��|��'�#� Z S"] { a � a'{ XAj© ´� S |�"�� � 0£� Z \ � � ´� f� ©X a $ �²� " © U ´ S J � 0�� Z \ � � ´²� © X:Y�{ %5��" )%��`^#���* �M��*"#%-�,|�~!�0|�%5%-�²~! ¨|��5�*�73 '�`^;�`^#�W�* �M��*"8��|��)��� Z9a

³ �H%5�!�4�`^,|�� " '%T '"8��|�$5 ¨|�"����#"#�#�!$��B�)�!��� S " { %-�#0 � � � ©FZ � a�³ ^��*"x%- )"#~!���~!�� � C�����!%�73 '�d^ 0 { 1�W|��)%-�}~*�� � ����5�*%�73 1�d^ 0�� Z \ { |�"#� � 0�� Z \ � � � � � �-� ©8 � 0�� Z \ � �*< � � � © 8�� � 0�� Z \ � < � � � © � �5� 0q� Z \ � � � �5� © � � X � © X ab³ ^# )%�%5| ��%�d^,|@��� � � � '%C )" " { %5����|�~/��%���" " { 7Q^# )~_^ ^#|�%C�# ' ��!"#%5 '��"<|@���)�*|�%-� � a �+����d^#�!"��*. )%3|0�) '"#��|�$����O�!$�|��5��$.��" " |�"#�A ��#%=� ^,|����b|�"¤�! BM��!"8���*~/����$�� )"�" a5 ��� '%3|�~!�� � ���"}�! BM��!"8���*~/����$4��y�� |�"�� 0 a

� ���� J<;`">�d^���|�¢[�I�����#$-�²��y�7+���#��"����E~!�¨|� '  �d^,|����!���*$!�>�*�)�! ��!"8�E��y�" )%�|�"�* �M��*"8���!~!�5��$6��y�� a

FG��"#�!�*�?���x�#%5���`^#��~*��"#~*�!���W��y* Bp � u g ecjlu�U`_ m:t_efU a G �!��" ¢[��|>%5��¢#%5�,|�~*����y aA2 $5��  ¯ �BM��!¢#$�|;7��9?�"��I7 �`^,|��H�d^#� +������� '�*"8��M�$-���#� �� " � ~*��"#%- )�#�!$5 '" M¤�`^#�|��#�# 1�� 1���M�$5���#�#% ��y |�"#� " � )% |��'%5�b|�"x|�¢O�!�) ¨|�" M�$5����� a Fk�6~*|�"� �| ?��6 1� )"8���H|���!~!����$T%-�,|�~!�4����*$��d^��4%5|� �� �,�*�'�0¢*�C�#�P�#"# )" MH|�%-~�|��)|�$� ��#�1�� '�#�) '~�|��5 )��"H|�%�y\���'�)�73%*Jy\��$ Z SO] |�"#� ´ ª " S �� " { �#��� Z � ´ ª " � © Z ´ ª " a ;D�3 '%E$5���²�� )"������0%`^��I7�d^,|@���`^# )%� �| ?��!% �� " '"��5�G|?���!~!�5��$x%-�,|�~*� a )¤��$-�*����!$ { 1y � © � ´� & ¬�¬�¬ &�´91f� )%0|?¢,|�%- )%�y\��$�" { |�"#� � c © � ´� & ¬�¬�¬ &�´91 &�´ 1 � & ¬�¬*¬ &�´ H � '%�|?¢,|�%- )%�y\��$ { �`^#�*"� ´ 1 � ª " & ¬�¬�¬ &�´ H ª " � '%0|B¢#|�%5 '%�y\��$ �� " a � �*"#~!�;�# )  � � © �# )  � " � ª

Page 104: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�@X # � ����� ����� ��� � ��� � � � � � �� ���� � � � � � ����� � � � ��� �

�# '  � �� " � a )¤��$5�*����*$ { 'y�" '%4 '"8��|�$5 ¨|�"��3��"#�#�*$4�d^#�H���[�*$5|�����$ 0 S .W� � { �`^#�*"0� '"#�#�#~!�*%4|0�) )"���|�$E���O�!$�|��5��$ 0���" �� " |�%.y\���'�)�73%*J

0zJ �� " � �� " J ´ ª " �� 0 � ´²� ª " ¬/��)�*|�$5���> 'y�0 & ��S .W� � |�"#� � « 0 © 0 « � { �`^#�*" 0 « � © � « 0 aFG�3|�$5�E"#�7o$5�*|�� �by\��$(�d^���y\���)�'�73 )" M4�d^#�!��$5�!  ��"��`7+��~*�� � ����5 )" M����O�!$�|��5��$5% a

�C�����R�@��� N M���M�A�MW� ecu � moj[�90 ^ce[u � � t � � � p:u g j:h � _le v mou �9v U � j � koe v u\Xlemon h:e*^ v mog t`mon n�� tcn � U@e5� C ecn1� ]�a0��Xlecj[u\Xle v e g)U mC^_m@Ucg)U2� �xw�� � g u\X v efU`_le_tcu u � �(X:g tfX^ � uYX 8;0<�� moj[� 8��*< �/m v e p_8_le v u v g moj:hopWnim v a� v����xw a3Fk�H��$5��~*�*�!�£¢ �} '"#�#�#~/�� )��"A��" ��{ �d^#�W�# ' ��!"#%5 '��"}��y a

�#�A�d^#���#$-�!�� )���#%��d^��*��$-�* n�`^#�*$-�� )%�|x���*~/����$ ´� S %5�#~_^?�d^#|�� 0 ´� © y ´� |�"#� � ´� ©�� ´� y\��$E%5�� ���%-~�|��)|�$5%0y |�"#� � a�G �!� " ¢O�6�d^#��%-�#¢#%5�#|�~*�W%5�#|�"#"#�!�¢ � ´� aG³ ^#�!"o�`^#�}�# ' ��!"#%5 '��"<��y �� " '% � � ��{ |�"��:�`^#�}���[�*$5|�����$-% 0 |�"#� ���" �� " ~*�� � ����5� { %-�i¢*� ���#$x )"#�#��~!�� '��" ^ ���[���d^#�!%5 '%>�d^#�!$5�r '%>|<¢,|�%- )%�� ©� ´ c ª " &5´�� ª " & ¬�¬�¬ &�´ H ª " � ��y �� " 73 '�`^?$5�*%-�O�!~!���5�x7Q^# )~_^B¢[���d^ 0 |�"�� �^,|��������#�O�!$E��$- ¨|�" M��#�¨|�$T �|���$- )~*�!% a ;D�Ey\���)�)�73%T�d^,|�� � © � ´� &�´ c & ¬�¬�¬ &�´ H � '%E|�¢,|�%- )%��y 73 '�`^�$5�!%5�[�*~!� �5��7Q^# )~_^0¢[���d^�0�|�"#��� ^#|���3�#�#�[�*$���$- ¨|�">M��#�¨|�$� �|���$- )~!�*% a�C�����R�@��� NOM��°M���M�� ecu,0 ^ceDm0�og m@h � j monqg1�@m8^Bn e � _le v mou �9v � j moj[�Jn ecu ��S .W� � a��Xlecj �*0 © 0 � g w moj[� � jln�� g w e`m:tfX ecgih:ecj�U`_ m:t_e �xw 0 g)U g jlk9m v g mojlu p:j[�:e v �3a� v����xw a 5 '"#~*� 0 )%3�# )| M���"#|��) = |�¢#�'� { �d^#�!$5�b )%4|�¢#|�%5 '% ����y ~!��"#%5 '%-�5 )" M���y��! BM��!"W'���!~!�5��$5%W��y�0 a G �/� " ¢[���d^#���! BM��!"#%5�#|�~*�0��y�0 |�%5%-�²~! ¨|��5�*�?73 '�`^r�d^#���! BM��!"���|��'�#�y { |�"#� �)�!� � S " a ;Dy�� � � � S " { �`^#�*" � 0 � � � � � © 0 � ��� � © y���� ©� � y�� � © � � 0�� � © �*0 � � � a 5 � 1yC�*|�~_^z�! BM��!"#%5�,|�~*�9��y 0m '%; )"8��|�$5 )|�"8�;�#"W'�#�!$ � { � |�"#� 0�~!�� � C�����;|����*|�~_^ �!�)�* ��*"8����y�� { ) ��#���� )">M£�d^,|@� �*0 © 0 ���"o|��'�E��y a /���"8���*$-%5�!��� { %-�#�#�[��%5�;�d^#|�� � 0 © 0 � a:³ ^#�*"oy\��$0|�" � � S " {0 � ��� � © � � 0�� � © � � y�� � © y�� � � � { ' ��#���� )" M9�d^,|�� ��� S " a 5 �:��|�~_^�* �M��*"�%5�,|�~!�W��y�0� ��#%-�3¢[�W )"8��|�$5 )|�"8�.�#"#���*$ � a

� ���5�.�d^,|�� �/���!"> 'y 0� '% �# ¨| M���",|��' = |�¢#�)�+|�"#� �9~!�� � C�����!% 73 1�d^ 0 { '� "#�!�*��"#���¢[���d^#��~*|�%5���d^#|����o C�#%-�3¢[���# ¨|DM���",|��' = |�¢#�)� a°2 ��$E�#"�|� ��#�)� { 'y�0 © \ { �d^��*" )%�d^��b��"����;�* �M��*"�%5�,|�~!�C��y�0 { |�"#�£ 1y�� )%6|�" �;"#��":'`�# )| M���",|��) = |�¢#�'�����[�*$�|@����$3��" {�d^��*" ��%-�5 )�'�(~*�� � ��²���*%�73 1�d^(0 a � �7+�!���!$ { 'yT¢O���d^(0 |�"�� ��|�$5� ?�"#�73"9�5�;¢O��# )| M���",|��) = |�¢#�'� { �d^#�!"A7+�H~�|�"A%�| �;|�¢# 1�3 ���$-� a

Page 105: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

������ ��� � � ��� � ���� ��*� � � � ��� � � � ��� �LX{z

�C�����[�I��� NOM��°M���Mb� ecu ��moj[� 0 ^ � u\X ^cer�og m@h � j monqg1�@m8^Bn e � _le v mou �9v U � jfuYXle � ]�og � ecj�Ucg � j mon koe_tcu �9v U`_ m:t_e � koe v u\Xle C ecn1� ]�a���Xlecj � moj[� 0 t � � � p:u e g w moj[�� jln�� g w �moj[� 0 m v e�Ucg � p:nqu moj e � p8Ucn����og m@h � j monqg1�@m8^Bn e*a� v ���xw a 2 )$-%-�E%-�#�#�[��%5���`^,|����i|�"���0 |�$-��%5 ' ��#�1�f|�"#�!���#%-�����# ¨|DM���",|��' = |�¢#�)� a G �/� �¢O��|C¢,|�%- )%+��y 73 1�d^>$-�*%-�O�!~!�E�5�b7Q^# '~_^}¢O���`^(8 0< �x|�"#� 8��*< �x|�$-���# )| M���",|�� a 5 )"#~!��# ¨|DM���",|��[ �|���$- )~*�!%�~!�� � C����� { 8 0�<��}|�"#� 8 �*<��>~*�� � ��²��� { ) ��#���� '" MH�`^,|�� 0z|�"#� �~*�� � ����5� a

/���"8���*$-%5�!��� { %-�#�#�[��%5�x�`^,|��#0 |�"#� ��~!�� � C����� a Fk�x��$5��~*�*�!�<¢ �G '"#�#�#~/�� '��"��" �4a ;Dy ��© ��{ �d^��*"i|�" �B¢,|�%5 )%b )%W�B+��# 1��|��)�!"��H���A�d^#��¢,|�%- )%H~*��"#%- )%=�� )">M£��yE|�" �"#��" = �*$-�B���*~/����$ { |�"�� |�"*� � �  �|���$- �"k )%��� ¨| M���",|�� a 5 �B|�%5%5�� ��>�`^,|�� � ! �|�"#�£�`^#��$-�*%5���'�*^����)�#%6����*$�|��)�����!~!�5��$�%5�#|�~*�!%���y&�# ' ��!"#%5 '��"£�'�*%5%4�d^,|�" ��a ;DyU0w '%|�%5~�|��¨|�$��5 ) ��*%��`^#�� )���*"8�� 1� �>���[�*$5|�����$ { �`^#�*";~*�'��|�$-���x|�" �}¢,|�%- )%��`^,|��3�# )| M���"#|��) = �*%�w73 '�)���� ¨| M���",|��) = ��¢O���d^ �t|�"#� 0 a 5 �B%5�#�#�[��%-��0 )%�"�����|?%5~�|��¨|�$C�5 ) ��*%��`^#� )�#�!"8�� '� � a G �/�Hyk¢[��|�"B�* �M��*"8��|��)������y�0 |�"#�?�#��� " © "��#�'� � 0q� y \ � a 5 � " '%�d^#�b�* �M��*"#%-�,|�~!�C��y�0t|�%5%-�²~! ¨|��5�*�¤73 1�d^�y { |�"#�£¢*� ^ ���O���d^#�!%5 )% � Rz�� )  � " � ! �4a�#� ³ ^#�!��$5�!  ® a # a v " '%4 '"8��|�$5 ¨|�"��E�#"#�#�!$ � a ;D�6y\���)�)�73%��`^,|��0/. |�"#� � . |�$-�%5 ' ��#�'��|�"#�!���#%5���B�# ¨|DM���",|��' = |�¢#�)� a G �!� �� ¢O�x|£¢,|�%- )%Wy\��$ " 7Q^� )~_^<~!��"#%5 '%-�5%C��y�* �M��*"8���!~!�5��$5%H��y+¢O���`^(0�. n|�"#� � . { %5�}�d^#� �B|�$-�0|��)%-�A�! BM��!"8���*~/����$-%b��y+¢[���`^ 0|�"#� � a � �*�[��|��4�d^� )%4�#$5��~*�!%5%6y\��$6�*|�~_^r�* �M��*"8��|��'�#�b��y*0t|�"#�¤�)�/�*� ¢O�W�d^#�b�#"# '��"��y&|��)���d^��b¢,|�%5�*%6��y(�`^#�W��|�$5 )���#%3�* BM��*"#%-�,|�~*�!% a.³ ^#�!"£�d^��b �|���$- )~!�*% 8;0<��A|�"#� 8 �*<��|�$5�W¢[���d^;�# )| M���"#|�� a

�C�����[�I��� NOM ��M���M+� ecu 0 ^ce m��og m@h � j monqg1�@m8^Bn e � _le v mou �9v � j V moj � ]=�og � ecj�Ucg � j monkoe_tcu �9v U`_ m:t_e � koe v ]�a � ecu���S .W� � a���Xlecj�uYXle v eHg)U mH_ � n��9j � � g mon 2 � : � SO]98 :=<UcprtfX u\X mou � © 2 � 0 � g w moj[� � jln��"g w e`m:tfX ecgih:ecj�U`_ m:t_e �xw 0Tg)U�t � jlu mog j e5� g j mUcg j:hon eJecgih:ecj�U`_ m:t_e �xw �3a� v ���xw a 2 )$-%-�b%5�#�#�[��%-�>�d^,|�� � © 2 � 0 � y\��$b%5�� ���2 � : � S ]98 :=< a ;Dy 0 � ´²� © y ´ {�d^#�!" � � ´²� © 2 � 0 � � ´�� © 2 � y �=´ a#� �*"�~*���d^����*"8�� '$5���! BM��!"#%5�,|�~*����y�0 |�%5%-�²~! ¨|��5�*�73 '�`^ y� '%(~*��"���|� )"��*�� )"b�d^#�E�! BM��!"#%5�#|�~*�.��y��?|�%-%5��~* )|����!��73 '�d^C '��%��* �M��*"8��|��)��� 2 � y � a³ ^# )%3~!�� ����)�!�5�*%E�`^#�W�#$5����y� )";��"#�W�# '$5�*~/�� '��" a

2 ��$��d^#�0~!��"8���*$-%5� { �'�!�Hy & ¬�¬�¬ & y 1 ¢O���`^#���# '%-�� '"#~!���* BM��*"8��|��)�#�!%���y�0 { |�"#�B�)�/�" >}© "��#�)� � 0 �y > \ � { �d^#�B�! BM��!"#%5�,|�~*�9��y 0 |�%5%5��~* )|����!��73 1�d^ y > a G �/� � > ¢[��d^#�H�* �M��*"8��|��'�#�b��y�� 7Q^#��%-�C~!��$5$-�*%5�[��"#�� )" M��* �M��*"#%-�,|�~!�C~*��"���|� )"�%�" > a.� �����W�d^#|���d^#����|��)�#�!% � & ¬�¬�¬ & � 1  � BM ^8�H"#���b¢O���# '%-�� '"#~!� a�T %-� G | M�$5|�" M��� )"8���!$5�[���¨|@�� )��"r���~*��"�%-��$-�#~!�3�`^#���O������"#�� � ¨|�� 2 � : � SO]�8 :=<�y\��$+7Q^# )~_^ 2 � y > � © � >D{ � R ��R65 a&³ ^#�*"�#�P�#"#�C|�"¤���[�*$5|�����$�� V S .�� � |�%.y\���'�)�73% a G �/� ��¢[�H|�¢,|�%5 '%3��y ~!��"#%5 '%-�5 )" M0��y

Page 106: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�@X�� � ����� ����� ��� � ��� � � � � � �� ���� � � � � � ����� � � � ��� �

�d^����#"# )��"r��yT¢,|�%-�*%W��y �d^#�C�* BM��*"#%-�,|�~*�!% " > aC2 ��$��*|�~_^ ´ S!� { %5| � ´ S " >h{ �#���� V � ´�� © 2 � 0 � � ´²� © 2 � y > �=´ © � > ´ © � � ´�� a>³ ^#�!"<%5 '"#~*� � V |�"#� ��| M�$-�*����"<|¢,|�%- )%.��y { �`^#� �} C�#%-�4¢[�W�`^#�W%�|� ������[�*$5|�����$ a�� �!"#~*� � © 2 � 0 � a

� �R�@��������� � N M���M���M�� ecu 0 S .W� � X mokoe � �og)Ucu g j tcuFecgih:ecjlk9monqprefU£�(Xle v e � ©�og � � � a���Xlecj u\Xle w�� n n � � g j:hFm v eJe� Bp:g k9mon ecjlu�� g�� �*0 © 0 �3a� g g�� � moj[�#0$m v e�Ucg � p:nqu moj e � p8Ucn��>�og m@h � j monqg1�@m8^Bn e*a� g g�� � g)U mH_ � n��9j � � g mon g j�0Ca

� v����xw a 5 '"#~*� 0 ^#|�% � �� )%-�5 )"#~/�>�! BM��!"���|��'�#�*% { '�5%x � )"# ' x|��+�O������"#�� � ¨|��0^#|�%>"#�$5�!�O�*|����!��yQ|�~!����$5% { %-� 0� )%(�# ¨| M���",|��' = |�¢#�)� a�³ ^#�*" ³ ^#�*��$5�*  ® a # a v %�| ��% �d^,|����*0 ©0 �: � �*|�~_^A�* BM��*"#%-�,|�~*�W��y�0 )%E '"8��|�$5 ¨|�"����#"#�#�!$ � a 5 )"#~!����|�~_^;�* �M��*"�%5�,|�~!�W��y�0 )% � 'D�# ) ��*"�%5 )��",|�� { �d^# '%  ��*|�"#%&�d^,|@�+�*|�~_^x�! BM��!"8���*~/����$+��y,0� )%T|��)%-�H|�"��! BM��!"8���*~/����$��y � a T %- )" M ³ ^��*��$-�*  ® a # a z 7+�?��|�%- )��� %-�*�r�d^#|��x�`^#�r�d^#�!��$5�!  '%>~*�� ��#�'�!�5�*����#$-�I���*� a

FG�+"#���5���d^#�Ty\���)�'�73 )" M3�#"�|� ��#�'��Jb;Dy=0o )%�|�" �C '"����*$=�� )¢��)�T���O�!$�|��5��$ { %5���`^#�E~!��"W'%-��|�"8�&���!$5  ��yO 1��%� � )"� ) �|��8�O������"#�� � ¨|��� '%�"#��� = �*$-� { '�& '%���|�%!�C�5���#%5�.�`^#�. � '"# ) �|���[������"#�� � ¨|������x73$- '��� \ |�%�|>�O������"#�� � ¨|��� '" 0 a � �7+�!���!$ { |�" �¤�O������"#�� � ¨|��� )" \ )% �-�#%=�.%5�� ���~!��"#%=�f|�"8���5 ) ��*% \ a 5 �� 'y,0 '%�|�"*�� )"8���*$-�5 )¢#�'�6���O�!$�|��5��$+�`^,|��+ )%�"����.|%5~*|��¨|�$E�� ) ��*% \ { �`^#�*" \ '%3|��[�����²"��� � )|��[ )" 0 { ¢#���0� '%."#���6|��O������"#�� � ¨|��[ )" \ a

>���� ��R�� � K P%�LC�A � G � �LI � � R� � &� � G P�R���� �

G �!� ¢O�x|�" � 'D�# ) ��*"#%- )��"#|��&���*~/����$C%5�,|�~!�}����*$ ] { |�"��i�)�!��� ¢[�}|¤yQ|� � '���?��y�) '"#��|�$����[�*$5|�����$-%.��" a Fk��7E|�"8�3��� ?�"#�7 7Q^#�*";7��W~*|�"¤%- ) ����'�f|�"#�*����%5���0�5$5 ¨|�"W'M��#�)|�������$&�# ¨|DM���",|��' = �+�d^��4���O�!$�|��5��$5%& '"�� { a � a'{ �,"�����"��4¢#|�%5 '% �o%-�#~_^��`^,|��T|��'����y�d^��� x|��5$5 '~*�*%#8 0< �xy\��$ 0 S�� |�$5�W�#���O�!$E��$5 )|�" M����¨|�$+��$.�# ¨|DM���",|�� a ;`"}�d^��H~*|�%5�W��y�# )| M���",|��) = |��� '��" { 1�� '%6"��*~*�!%5%5|�$!�r�`^,|��*] ¢[��|x~!�� � ����� '" M0yQ|� � '���}��y ���O�!$�|��5��$5%!J$�0 © 0 $ y\��$�|��'�L0 & $TS�� a9³ ^,|���y\���'�)�73%by\$-��  �d^#�>yQ|�~/���d^#|���|��)�T�# )| M���",|�� �|���$- )~*�!%&~*�� � ����5� a ( y ~*���#$-%5� { 1�+ '%T|��)%-�H"��*~*�!%5%5|�$!���d^,|@���*|�~_^x���[�*$5|�����$T '"� ¢O�|W�# ¨| M���",|��' = |�¢#�)�+���O�!$�|��5��$ a ;`"x��$-�#�*$ ���H%5 ' ��#�'��|�"#�!���#%5������$- ¨|�">M��#�¨|@��� { ��|�~_^>���O�!$ '|��5��$3 )"�� ���%-�6¢O�W��$- ¨|�" M��#�¨|�¢��)� a ;D�� '%4"�����"#�!~*�!%5%�|�$!�A�d^,|�����¢O�b|�~!�� � ����� '" MyQ|� � )��� � ^��I7+�!yY���*$ { �d^,|@�b~!��"#�# 1�� '��"B )%W%5�>O�~! )�*"8�Hy\��$W%5 ' ��#�'��|�"#�!���#%���$- ¨|�">M��#�¨|@�� )��"|�%3�)��" M0|�%3��|�~_^�0� '"���~�|�"A¢[�H '"#�# 1�² '�#�,|��'�����5$5 ¨|�" M��#�)|����!� a

Page 107: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

������ � � ��� � ���� � � � � �G��� � ��� � � � ��� �LX ®

³ ^#�x%-�#¢#%5�#|�~*� " ��y '% g jlk9m v g mojlu p:j[�:e v � �`^#��yQ|� � '���¤��yE���O�!$�|��5��$5% � � 'y" '%. )"8��|�$5 )|�"8�3�#"#�#�!$4�*|�~_^A���O�!$�|��5��$. )"�� a� ���<� � N M���MQP,M+� ecu � ^ce m[t � � � pWu g j:h w m � g n�� �xw u v g moj:hop:nim8^Bn eQnqg j e`m v*� _le v mou �9v U� j a � ecu%" ^ceJmb_ v�� _le v Ucp�^/U`_ m:t_e �xw �(X:g tfX g)U g jlk9m v g mojlu p:j[�:e v �?a¤��Xle v ee � g)Ucu\UMm[koe_tcu �9v ´ S UcprtfX uYX mou�

� m#� ´ g)UHj � u g j "��� ^ � w��9v e`m:tfX 0 g j �;V uYXle koe_tcu �9v 0 � ´�� g)U g j�uYXle�Ucp�^/U`_ m:t_e�U`_ mojlj e5�x^*� ´ moj[�

" a� v ���xw a 5 )"#~!�>�d^#�;%-�,|�~*�A��y�|��)���) )"���|�$����O�!$�|��5��$5%0��" )%0|?���!~!����$�%-�,|�~*�}73 1�d^�# ) ��*"�%5 )��" � c { 1�T )%T��|�% ���5�C%-�*�6�`^,|��T73 '�`^#�����+�)��%-% ��y M��!"#�*$5|��) 1� ��7��� x| �0|�%-%5�# ���d^,|@� � ^#|�%0��"#��� �,"# '�5�*���< �|�" �:���O�!$�|��5��$5% a 2 ��$��'�!� U�0 & ¬�¬�¬ & 0 1 Y ¢[�A|9 �|%"² i' x|��°�' )"#�*|�$5���} )"��#�*�[�*"#���*"8��%5��¢#%5�/����y � { a � a'{ |�¢,|�%5 )%4y\��$3�d^#��%-�#¢#%-�,|�~*�C��y .W� �%5�,|�"#"#�*�}¢ � � a ;Dy ´ )%+|H���*~/����$+%5�#~_^>�`^,|�� � ¢ � ^#���)��%Ty\��$ �*|�~_^ 0 >h{ �`^#�*" � ¢ � ^#���'�#%y\��$.��|�~_^£��|�~_^¤���[�*$5|�����$E7Q^# )~_^A )%3|0�) '"#��|�$�~*�� �¢� )",|��5 )��"x��y�0 & ¬�¬*¬ & 0 1 a

2 )$-%-��7+�¤�!%-�f|�¢#�) '%`^:�d^#�;�)�! � �|£y\��$0��"#�;���[�*$5|�����$�0 a:³ �k���9�`^# )%�7+�¤"#�!�*����<% ^#�7n�`^,|����d^#� 00'D~*��"#���#~!�5��$>��y ´ )"8�5� " )%>|k�) )"���|�$��O������"#�� � ¨|�� a 5 )"#~!�0 )%��5$5 ¨|�" M��#�)|�¢#�)� { '�5%H � )"� ) �|����[�����²"��� � )|�� 1 � : � { |�%W7��!�)�T|�%W '�5%W~_^,|�$�|�~!���!$5 '%-�� '~�O������"#�� � ¨|�� { yQ|�~/����$4����*$*] '"��5�>|��#$5���#�#~/����y �' )"#�*|�$.yQ|�~!�5��$5% a 5 | � 1 � : � © � :;�Z 5��� � � :B� Z c ���

««« � :?� Z 1f���� a G �/� ��¢[�A|�" �i���!~!����$���y �`^,|��0 '%�"����� )" " {|�"#�B�)�/� 4 � : � ¢[�C�`^#��00'`~*��"#�#�#~/����$���y � '"8��� " aH³ ^#�*" 4 �� '�� )�#�!%��d^��� � '"# ) �|���O������"#�� � ¨|���y\��$ 0 a 5 '"#~*��� '%�"#���W '"�" { 4 )%�"#���W~!��"#%=�f|�"8� a 5 � 4 � : � © � :A�Z 5�� � � :;� Z c ��

««« � :;� Z 1f���� 7Q^#�!$5�0|����)��|�%-����"�����y&�d^��� )"8���PM��*$-% 2 > )%��[��%- '�� 1��� a/ ^#����%5�4¡x%-���`^,|�� 2 ; E X a&³ ^#�!" � :�� Z ; � �# 1�� )�#�!% 4 � : � J

40© � :>� Z ; � 6�¬�#�}�#���,"# 1�� )��"A��y 4[{ �`^#�����*~/����$ Z;©F6 � 0 � � � � ~�|�"#"#���3¢[�W )"�" a �����

� 0 � Z ; \ � � Z � © � 0 � Z ; \ � 6 � 0 � � � � � ® a � �© 4 � 0 � � � � S " ¬

� �7t$5�!�5�#$5"¤�����`^# )">?� '" M�|�¢O�����6�`^#�byQ|� � '��� � a �#�;�d^#�b�#$5�/�� )���#%4�,|�$5| M�$5|�� ^7��.~*|�" �,"��0|����*~/����$ ´� "#���& )" " |�"���|�%5~*|��¨|�$ Z %5�#~_^��d^#|�� � 0 � Z \ � � ´� 5� S " aG �!� ¢[���d^���%5�!�4��y�|��'�O���*~!�5��$5% ´ S %5�#~_^;�d^,|@� � 0 � Z \ � � ´²� S " a&³ ^#�!" )%�|�%5�#¢#%-�,|�~!����y �d^,|����#$5���[�*$-���¤~*��"8��|� )"#% " a 5 )"#~!� 0�S �n~*�� � ����5�*%�73 1�d^0 7+� ^,|����

� 0 � Z \ � � 0 � ´²�-� © 0 � 0 � Z \ � � ´²� ¬

Page 108: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�@X�� � ����� ����� ��� � ��� � � � � � �� ���� � � � � � ����� � � � ��� �

;Dy ´ S { �d^��*" � 0 � Z \ �=´ S " a 5 '"#~*��" )%T )"8��|�$5 )|�"8�+��"#�#�*$+��|�~_^90q )" � { 7��^,|���� 0 � 0 � Z \ � � ´²� S " a � a'{ 0 ´ S { y\��$3|��)� ´ S |�"#�A|��)�,0 S�� a

� ���5�W| M8|� '"x�d^#|�� " '%3|��#$5���O�!$.%5�#¢#%-�,|�~!�b��y a $ ��� $ c © 0 c . � � { �d^#�����O�!$ '|��5��$���¢²�f|� '"#�*�}¢ �>$-�*%=��$5 '~!�5 )" M�0 c ���C�`^#��%5�#¢�%5�,|�~!� a&³ ^#�� � )"� ) �|��,�O������"#�� � ¨|��y\��$/$ c �� '�� )�#�!%b�`^#�> ��#"� ) ��#  �[������"#�� � )|���y\��$ 0 c a �#�9�d^��>%5�!~*��"#�:�,|�$�| M�$5|�� ^��y �d^� )%��#$-�²��yT|��#�#�' )�*�¤��� $ c |�"#�r�d^#�� '"8��|�$5 ¨|�"���%5�#¢�%5�,|�~!��" { �d^#�!$5�� )%�|x���*~/����$´ c S ¢#�²�W"#���� '" " { |�"#�9|>%5~*|��¨|�$ Z c %-�#~_^9�`^,|�� � 0 c � Z c \ � � ´ c � S " aH� ������d^#|��

� | ��´ c jS " �� ¢ � � 0 � Z \ � � ´ c � S " �� ~ � � 0 c � Z c \ � � ´ c � S " aG �!� c © U ´ S J � 0 c � Z c \ � � ´²� S " Y a�³ ^#�!" c )%� '"���|�$- ¨|�"8����"#�#�*$ � a¯ ���#���¤�d^#��%5|� ��� '�#��|�%���� $ � © 0 � .�� Ba /���"8�� )"��# '" M} )"?�`^# )%�7�| �r7��0�/���*"8�5�,|��)���

�,"#��|����!~!����$ ´ © ´ 1 "#��� )"�" %5�#~_^��d^,|�� � 0 ; � Z ; \ � � ´²� S " { y\��$ � Ro¡9R65 a�C�����R�@��� NOM���M�A�M�� ecu ^ce m C jlg u e/]=�og � ecj�Ucg � j mon koe_tcu �9v U`_ m:t_e � koe v uYXle C ecn1�]�a � ecu � ^ceMm t � � � pWu g j:h w m � g n�� �xw u v g moj:hop:nim8^Bn eHnqg j e`m v � _le v mou �9v U � j � gQa e*a1VuYXle � g jlg �[mon�_ � n��9j � � g mon �xw e`m:tfX 0 S � U`_ nqg u\Usg jlu � nqg j e`m v w m:tcu �9v U ��a ��Xle v ee � g)UcuYUHmoj �9v �:e v e5�>^_m@Ucg)U w��9v UcpltfX uYX mou eckoe v � � _le v mou �9v g j �Tg)U v e`_ v efU@ecjlu e5�x^*�m u v g moj:hopWnim v �[mou v g��>� g uYX v efU`_le_tcu u � uYX mouE^_m@Ucg)U*a� v����xw a 5 ��|�$-�+¢ ��|��#�#���² '" M G �! � �| ® a zWa�� ���W�d^���� '` '"���|�$- ¨|�"8� %-�#¢#%5�#|�~*��" © U XWY���A��¢���|� )"k|;"#��" = �*$5�¤���*~/����$ ´� y\��$�7Q^# )~_^"0 � ´� -� S " ©�� ´� �� y\��$H|��'�*0�S � a³ ^#�!":|��#�#���?�d^#���)�* � �|;�5� " ��� �#"#�:|A���*~!�5��$ ´ c "#���b )" " ¢#�²�Cy\��$W7Q^# )~_^0 � ´ c � S " c ©�� ´� &�´ c � a�$ $5��~*�!�*�? '"r�d^# '%67�| �£�#"8�� '�(|>¢,|�%5 )%*� © � ´� &�´ c & ¬�¬�¬ � ��y ^,|�%3¢[�*�*"A��¢���|� )"��*� a /��'��|�$-��� 8 0< �> )%.�#�#�[�*$.�5$5 ¨|�" M��#�)|�$�y\��$.�/���*$ � 0 S � a� �R�@��������� � NOM���MB��M�� ecu � ^ce[m"t � � � p:u g j:h w m � g n�� �xw �� � �[mou v g t_efU � koe v mojmon h:e*^ v mog t`mon n��Ftcn � U@e5��C ecn1�J]xa���Xle v eJe � g)UcuYUMm j � j�Ucg j:hop:nim v � � �[mou v g���� � g u\Xecjlu v g efU*g j ] UcpltfX uYX mou� § �� g)U*pI_8_le v ] u v g moj:hopWnim v V w��9v eckoe v � �[mou v g�� ��g j �?a�C�����R�@��� NOM���M��°M�� ecu � ^ce m t � � � pWu g j:h w m � g n�� �xw �og m@h � j monqg1�@m8^Bn eHnqg j e`m v�� _[]e v mou �9v U � j/uYXleC jlg u e/]=�og � ecj�Ucg � j mon�koe_tcu �9v U`_ m:t_e a ��Xle v eFe � g)UcuQ�(U moj �9v �:e v e5�^_m@Ucg)U w��9v UcprtfX�uYX mouHeckoe v � � _le v mou �9v g j � g)U v e`_ v efU@ecjlu e5�Og j�uYX mou�^_m@Ucg)Ux^*�"m�og m@h � j mon,�[mou v g���a� v����xw a ;Dy.�# '  � � © � ��$H 'y+��|�~_^ 0�S � )%H|A%5~�|��¨|�$��� ' ��!%��d^#�� )�#�!"8�� '� � { �`^#�*"�d^��*$5�� )%T"#���d^� )" MC�5���#$-�I��� a 5 ��%-�#�#�[��%5� � ! �£© �# )  � � |�"��x�d^,|@���d^����d^#�!��$5�!  )%��5$5�#�Ay\��$����*~/����$�%5�,|�~*�*%x��y��# ' ) ��*"#%- )��"i�'�*%5%��d^,|�" ��a ¯ �)%-�<|�%-%5�# ��A�`^,|���y\��$

Page 109: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

����8� � � � ��� �6 � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �LX �

%5�� �� 0 S � { 0 )%�"�����|x%-~�|��)|�$� C�#�'�5 )�#�'�H��y&�d^#�� '�#�*"8�5 '� � a 5 )"#~!�b�`^#�����[�*$5|�����$-% )" � |�$-�A|��)�E�� ¨| M���",|��) = |�¢��)� { 7�� ?�"#�7 �d^,|@�0��|�~_^  � '"# ) �|�� �O������"#�� � ¨|��+%5�#�' '�5% )"8���£�# )%=�� )"�~!�b�) )"���|�$WyQ|�~!�5��$5% a(G �!� Z & ¬*¬�¬ & Z ¦x¢[���`^#�>�# '%-�5 )"#~/���* �M��*"8��|��'�#�*%b��y 0 {|�"#�Gy\��$H�*|�~_^i )"��#�#" �6�#��� " >.© "����)� � 0 � Z�> \ � aA2 �" � a;³ ^#�*" " > )%H )"8��|�$5 )|�"8��#"#�#�!$��/���*$ �£���O�!$�|��5��$.�d^,|��6~*�� � ��²���*%373 '�`^ 0 aG �!��� > ¢[�H�`^#�HyQ|� � '���>��y&�) '"#��|�$���[�*$�|@����$-%���"�" > ��¢��f|� )"#�!�£¢ �A$5�*%=��$- )~!�5 )" M��d^#�b���[�*$�|@����$-%6 '"� �����d^#�b )"8��|�$5 )|�"8�%5�#¢�%5�,|�~!� " > a ± |�~_^¥���[�*$5|�����$� )" � > )%x�� ¨| M���",|��) = |�¢��)� { ¢[�*~�|��#%5�r 1��%� � '"# ) �|���O������"#�� � ¨|����# '�� '�#�*%W�d^#�� � )"# ' x|����O������"#�� � ¨|��°y\��$W�d^#��~*��$-$5�!%5�[��"#�# '" M£���[�*$5|�����$ )" � a �#�/^*���[���d^��*%5 '% { �# )  � " > � !��� )  � � a 5 �B�`^#�}���[�*$5|�����$-%� )" � > ~�|�":¢[�%5 ' ��#�'��|�"#�!���#%5�����# )| M���",|��) = �*� a ;`"b���d^#�!$�7+��$5��% { " > ^#|�%�|4¢,|�%5 '%�� > 7Q^# )~_^C~*��"#%- )%=��%��y°���*~/����$-%.7Q^# )~_^¤|�$5��%- ) ����'�f|�"#�*����%5����~_^,|�$�|�~/���*$- )%=�� )~����*~/����$-%3y\��$.�!���!$!�;���[�*$5|�����$ )"�� > a&³ ^#�!" � © � � & ¬�¬�¬ & �&¦ � '%3�`^#�W¢,|�%- )%.��y �d^,|��37+�W%5�*�P? a

>���� +��� � KOCON�G � DCFP�GJI +���*R��% � R �� IBA � � G �³ ^# )%b%5�!~!�� '��"i )%H¢,|�%-�*�i��"k�d^#�xy\���)�)�73 '" MA|�$-�5 )~*�'��J � |�$5  ���!$N?�%5�!" { ³ ^#� 2 �#"#�,| ' ��!"8�f|�� ³ ^#�!��$5�! t��y ¯ ��M��*¢�$�|4|�"#� G '"#��|�$ ¯ ��M��*¢�$�| { ��Xle 1� e v g t`mojOmouYXle��[mou g t`mon � jluYX:n�� { ����� � �LX�{�� �# C¢O�!$ ® { ¯ � M��#%-� ' 5 �!�����! �¢O�!$Hg X X�v²{�� g X��r� g v a FG��%=�f|�$=�¢ � +������� '" M�y\$5��  �d^#���d^� )$5�;�,|�$�| M�$5|�� ^;��y°�d^#�H|�$=�� '~*�)��¢*�A���!$N?�%5�!" a

5 )"�~*�;�d^#�}y\�#"#�#|� ��!"8�f|��.�d^��*��$-�*  ��y�|��BM��!¢#$�|? '%�"��*�*���*�� '"o�' )"#�*|�$0|���M��*¢#$5|~*����$5%5�!% { 1�+7+���#�'�>¢[���#�!%5 )$5|�¢#�'�4�5�J^,|�����|H�#$5����y���y� '�+ )"��5�*$- �%T��y��) '"#��|�$+|��BM��!¢#$�| a;`"��d^# '%(�,|��O�!$�7+�.�#$5����+�d^,|����!���!$!�C%`+��,|�$-�E x|@��$5 "W73 '�`^�~*�� ��#�'�#"b~*���PO�~* '�*"8��% ^#|�%|�"£�! BM��!"8���*~/����$ aE³ ^# '%6%=�f|��5�* ��*"8�� '%3�B+��# '��|��'�*"8�3�����d^#��y\�#"#�#|� ��!"8�f|����d^��*��$-�* ���y|��BM��*¢#$5| a ;`"�yQ|�~/� { 7��.73 '�)����$5����.�d^��4%-�) �M ^8�����b%-�5$5��">M��*$&$-�*%5���'� �d^,|@�T|�" ��"��# �¢[�*$&��y~*�� � ����5 )" M3% +��#|�$5�+ x|��5$5 '~*�*%�73 1�d^H~*�� ��#�)� "W�*"8�5$5 )�!%4^#|���E|3~*�� � ���"b�! BM��!"8���*~/����$ a³ ^#�A�#$5����y6�) )�!%��*"8�� '$5�!���G73 1�d^# '"i�d^#�}y\$�|� ��/7���$5?<��y��) )"���|�$�|��BM��!¢#$�| { |�"�� �#"��) B?�� ���%-�W���`^#�*$W|���M��*¢�$�|� '~��#$5����y\%���y �`^#��y\�#"#�,|� ��*"8��|��(�d^��*��$-�*  ��y�|���M��*¢#$5| { 1���#���*%"#���4$5�,+��# )$-�H-H|��'�� )%+�d^#�!��$!�}��$.%5�#�' '�5�5 )" M �,�*�'�#% a��

� �I� ���Q����� �����\� �5 �!���*$�|��+$-�*%5���'��%�7+� ^#|���x��¢²�f|� '"#�*�B%5�;yQ|�$ ^,|����� �|��#���d^��x|�%-%5�# ����5 )��"?�d^#|��

�d^#� �,�*�'�/] 7�|�%�|���M��*¢�$�|� '~�|��'���A~*�'��%5�!� a )¤��$5�!����*$ { 7+�>��yY���!" M8|������d^���~!�� ����)�#""��# �¢[�*$5% � |�%(�`^#�E�#$-������� ���# '~�|��²�#"�|� ��#�)� a 5 �� )"C�`^# )%�%5�*~/�� '��"C7+�0^,|����E����¢O�E~*|�$5�('y\�#��"#���.��� +��#���5�W|�" �}$5�!%5�#�1��%E�d^#|��3 � �M ^8� ^,|����H^� )�#�#�!"; )">�d^��*  �`^#�H|�%5%-�# ����� '��"�d^,|@� � '%3|��BM��*¢#$5|� )~*|��)����~!�)��%-�*� a

2 ��$+�d^����#$5����y�7+���#%-����"#�����`^#�6y\���)�)�73 '" Mb�!�)�! ��!"���|�$!���#$-���[�*$-�5 )�!%E��y�$-��|�� |�"#�~*�� ��#�'�#"}"��# C¢O�!$5%3�d^,|��.7+�*$-�b�!%-��|�¢#�) '%`^#�!�¤ C�#~_^¤�*|�$5�' )�!$ a

Page 110: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� �@X � ����� ����� ��� � ��� � � � � � �� ���� � � � � � ����� � � � ��� �

� ���<� � ±����*$ �C�[�����²"��� � )|�����yR���#�b�#� M�$-�*��73 1�d^b$5��|��²~!�²��O�~! )�!"��5%<^,|�%(| � $-��|�� �= �!$5� a

� ���<� � ±����*$!�A~!�� ����)�#">"��# �¢[�*$Q^,|�%4|�%`+��,|�$-�b$-�²��� a�C�����[�I��� NOM���MBA ;Dy � )%�$-��|�� {�� ��({ 73 '�`^ � �²��� { �d^��*" �f^,|�% |�"��! BM��!"8���*~/����$

� ¢[�*�'��" M� '" MC�5�x|�$5�*|����* �M��*"8��|��'�#� � a� ��� ������� � �Q� � � �����k� � ����*�*�x )"x � )"����`^,|���7+��~*|�"#"#���E�#%-��$5�!%5�#�1��%T�d^,|��+ � BM ^8� ^,|���� ^� )�#�#�!"> )"��d^#�! 

�d^��b|�%5%5�� ����5 )��"}�`^,|�� � )%3|���M��*¢�$�|� '~�|��'���0~*�'��%5�!� a2 ��$0| �,�*�'��� |�"#�:y\��$��O��%5 '�5 '���} )"8���PM��*$-% �k|�"#� 5 { ~*��"#%5 '�#�*$��d^��;y\���)�)�73 '" M

%-��|����! ��!"8��J� � � & � & 5 � J ¯ " � 5>~!�� � C���� '" M>�) '"#��|�$���$5|�"#%-y\��$5 �|��� '��"#% � & � c & ¬�¬�¬ & � 1 ��yE|

�s'����*~/����$>%-�,|�~!� ��yW�# ' ��!"#%5 '��" � %5�#~_^¥�d^#|�� �i�#���*%>"����}�# 1�² '�#� � ^,|����B|~*�� � ���"}�* �M��*"8���*~!�5��$ a� �²�G� � N M���MQP,M.S w � � � & � & � � X � n1�@UfV uYXlecj � � � & � & 5 � X � n1�@U w��9v mon n 5 � a;D�� '%3 ) ��O��$=�f|�"8�E�5��$-��|��' = �W�`^,|��3�d^��b%- x|��'�)�!%-� ��y\��$.7Q^# '~_^¤�`^#� ^*���[���d^��*%5 '%���y

�d^� )%.�)�! � �|M^#���)�#%3 )";| M� 1���*";%- '���#|��� '��"} � �M ^8�.¢[�H C�#~_^¤�)|�$NM��*$E�d^#|�" � © � a� v����xw a ³ ^#�¤�#$5����y� '%�¢ �o )"#���#~!�5 )��"o��" 5 aq³ ^#�£~*|�%5�¤��y � � � & � & � � )%0��$5���£¢ �^ ���O���`^#�*%- )% a+2 ��$ 5 g { %5�#�#�[��%-���d^,|�� � � � & � & 5�� � � '%+�5$5�#��|�"#�}�)�/� � & ¬�¬�¬ & � 1¢[�6~!�� � C���� '" MW�) )"���|�$��5$�|�"#%=y\��$5 �|��5 )��"#%&��y ��y��# ' ��!"#%5 '��"0%5�#~_^x�`^,|�� �C�#���*%+"#����# 1�² '�#� �4a �+�*~�|��#%5� � � & � & � � ^#���'�#% { � 1 ^,|�%H|�"B�* �M��*"8��|��)���[yk )" � a G �!� " ¢O��d^�� ?��*$5"��*��|�"#��� �d^#�H ) �| M�����y�� 1 � y \ a ;D�� '%3"#�7w��|�% �A�5��% ^#�7 �d^,|@�6�*|�~_^r��y" |�"#��� |�$-�W�)�!yY�E )"8��|�$5 )|�"8�.¢ �;��|�~_^A��y�� & ¬�¬*¬ & � 1 § a

2 )$-%-�3%-�#�#�[��%5�W�d^,|@��" j© a ���!~�|��#%-�b�� )  " ª �# ) �� © �# )  { �* 1�d^#�!$ ��#���*%�"������# 1�� )�#�b�# )  " ��$ �}�#���*%�"������# 1�� )�#�b�# ) �� a 5 '"#~*�b�# )  " ! � |�"#��# ' �� ! ��{ 7��b x| �;|�%5%5�� ��W¢ �; )"#���#~!�5 )��"A��" � �`^,|�� � & ¬�¬�¬ & � 1 |��'$5��|�� � ^,|����|�~*�� � ���"}�* �M��*"8���!~!�5��$6 '"�" ��$. '"�� a;`"<�d^#��$5�! x|� '"# )">M¤~*|�%5� { " © a ���*~*|��#%5� � � � & � & 5b� � � ^#���'�#% { 7+�> �| �

|�%-%5�# ��¤�`^,|���� & ¬�¬*¬ & � 1 § ^,|����r|G~!�� � ���"o�* �M��*"8���!~!�5��$x '" { %5| � ´ a 5 '"#~*�� 15´ © y ´ � ¢O�!~�|���%5� " © � { ´ '%3|�~*�� � ���"A�! BM��!"8���*~/����$3��y�� & ¬�¬�¬ & � 1 a� �²�G� � NOM���M�A�M � � � & g & 5 � X � n1�@U w��9v mon n 5 � a S j � uYXle v � �9v �@UfV g w � & ¬�¬�¬ & � 1m v e t � � � p:u g j:h nqg j e`m v u v moj�U w��9v �[mou g � j�U � j moj � �8�C�og � ecj�Ucg � j mon l ] koe_tcu �9v U`_ m:t_efVuYXlecj�u\Xle/�0X mokoe m t � � � � j�ecgih:ecjlkoe_tcu �9v a

Page 111: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

����8� � � � ����� ���� � � ��� � � � � ��� �� � � � � ��� � � � �

� v ���xw a��#� G �* � x| ® a � a�� '�6 )%4�*"#��� M ^¤�5�>%`^��I7 �`^,|��� � l & g & � � )%3��$5��� a ;Dy%� '%|�"}�) '"#��|�$+��$5|�"#%=y\��$5 �|��� '��"x��y°|�"}�²���}�# ) ��*"#%- )��"#|�� l 'D���!~!�5��$.%5�,|�~*� { �#�!� � : \ � � � )%6|��[�����²"��� � )|�����y(�²���£�#�PM�$5�!� { 7Q^# )~_^�^#|�%�| = �!$5� yr¢ � G �* � x| � a�� a g aE³ ^#�*"Oy )%3|0$5�*|����* �M��*"8��|��'�#����y�� a

FG��"#�7 �) 1yY� � �d^#��$-�*%5���'�.��y G �* � �| ® a � a gb�����d^��W|�",|��'� M����#%+$5�!%5�#�1�.����*$.�`^#��,�*�'� � a

�� � � � �\� � ;Dy � )%�|�" � K �  �|���$- �"W����*$ � 7��E�'�!��� � ���*"#���5�+�`^#�+�5$�|�"#%-�O��%5���y°�d^#�W~*�� ��#�'�#">~*��"%�-�>M8|����W��y°�d^��H �|��5$5 �" � { a � a'{ � � � � ��� © � ��� a� ���<� � NOM���M���M � ��� & g & � � X � n1�@UfV gQa e*a1V eckoe v ��nqg j e`m v u v moj�U w��9v �[mou g � j �xw m � ]koe_tcu �9v U`_ m:t_e �xw � �8�}�og g � ecj�Ucg � jAX m@U moj ecgih:ecjlkoe_tcu �9v a� v ���xw a 5 �#�#�[��%5���`^,|���� J � H � � H )%W| � '`�) '"#��|�$� �|��?73 '�d^ � ���#� a G �!� ¢[��d^#� l 'h���!~!����$�%5�,|�~!� � �*$-  H � � � { �`^#�0%5�!�W��y � -� � �!$5 � '�5 ¨|�"r �|��5$5 )~!�*% a �����,"#��`7����) '"#��|�$E���[�*$�|@����$-%�� |�"#��� c ��" ¢ �

� � � � ©� � ª � � �

g &|�"#�

� c � � � ©� � � � � �

g � ¬;D�� '%6"#�7 �*|�%!�;�5�x%`^��I7 �`^,|��4�# '  ©)� c { 7Q^� )~_^r '%4���#� a ;D�� '%�|��'%5��$5���²�� )"��

����~_^#�*~7?;�d^#|���� |�"#��� c ~*�� � ��²��� aL� �!"#~*�H¢ � G �! � �| ® a � a g { � � l & g & g � ^#���'�#%|�"#�A ) ��#�) '�*%T�d^,|���� |�"#��� c ^,|����b|�~*�� � ���";�* BM��*"8���!~!����$ � { %�| ��� � � � © y �|�"#��� c � � � © � � { 73 '�`^syr|�"#� � ¢[���`^A$-��|�� a �����.�`^#�*"

� � ª ��� c � � � � © � � © � y ª � � � � &|�"#�q|�" � "#��" = �*$5�i~!���)�� �" ���*~/����$}��y � M� 1���!%}|�"¥�* �M��*"8���*~!�5��$}y\��$��`^#�r �|���$- �"� a� ���<� � NOM���M��°M � ��� & g ¦ & 5 � X � n1�@U w��9v mon n � � moj[� 5 � a� v ���xw a ³ ^#����$5����yE '%H¢ �9 )"��#�#~!�5 )��"9��" � a>³ ^#��~�|�%-� � © � y\���)�)�73%�y\$-��  G �*  ' x|�% ® a � a v |�"#� ® a � a�� a ¯ %-%5�# ��+�`^,|��� ��� & g�� & 5 � ^#���)�#%�y\��$ Z !6� a Fk�T73 '�)���!%-�f|�¢#�) '%`^�d^,|@� � � � & g ¦ & 5 � ^#���)��% a ;`"0�� )�!7���y G �! � �| ® a �Wa�� '� %-�>O�~*�!%����W�#$-�I��� � � � & g ¦ & � � a5 �#�#�[��%-�4�`^,|����wJ � H � � H '%&�) '"#��|�$ { 7Q^#�!$5� � )%&�# 1�² '%5 '¢#�)�+¢*��g ¦!§ ¢*��"#��� ¢ ��g ¦ aG �!� ¢O�E�`^#� � 'D���*~/����$ %5�#|�~*� 5 ?��/7 H � � � © U � S�� H � � � J � �+© � � Y�{ �d^��4%-�!�T��y� � %N?��!7 '`% �� � ��!�5$5 )~4 �|���$- )~*�!%&73 '�d^�~*�� ��#�'�#"0�!"8��$5 '�*% a ���P�,"#�3�`7+�C~*�� � ��²�� )">M�) '"#��|�$+��$�|�"#%-y\��$- x|@�� )��"#%�� |�"#��� c ��y ¢ �

Page 112: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � g � � � � ����� ��� � �����1� ��� � � � � � � � � ��� ��� � � �#�����

� � � � © � � � � ���|�"#�

� c � � � © � � ��� ¬� ���5�H�`^,|��6�# )  ©)� � � � � � � g { 7Q^# )~_^£�*"#%-�#$5�!%6�d^#|���g ¦!§ �#���*%4"#���6�# 1�² '�#�

�# '  a �#� � � � & g ¦!§ & g � { � |�"#� � c ^,|����G|<~!�� � ���"¥�! BM��!"����*~/����$ � { %�| �� � � � © y � � � |�"#� � c � � � © � � { 7Q^#�*$-� yB|�"#� � |�$5�H"#�7w~*�� ��#�'�#"¤"��# �¢[�*$-% a;D�.y\���'�)�73%E�d^,|@�

� � © � � � � © � � � � ��y � � &%5�

� � c ��y'�¥� � \ � � © X�¬G �!� ´ ¢[�H|0"���" = �!$5��~*���'�# �"A��y � a&³ ^��*"

� � c ��y'�¥� � \ � ´ ©%X�¬5 )"�~*�}��|�~_^o�!�)�! ��!"��0��y � ^,|�%0|?%`+��,|�$-�}$5����� { �`^#�*$-�} )%0|��A )" � %5��~_^o�`^,|��

�Ic © yRc ª # �<a FG�.~*|�"�73$5 1��� :Rc,� y=:3� �?© � :3� � � � :3� � { 7Q^#�!$5� �B© � y ª � � � g|�"#�� © � y���� � � g a FG���`^#�*" ^,|����

� �¥� � \ � � © X &7Q^#�!$5� � © � �?� \ � ´ a ;Dy � © X�{ �d^#�!" ´ )% |�"0�! BM��!"����*~/����$T��y ��73 '�d^0�! BM��!"���|��'�#� � 'y � j© X²{ �d^#�!" � '%3|�";�* BM��*"8���!~!����$6��y�� 73 '�`^A�! BM��!"8��|��)�#� � a

FG� ^#|���0"#�7 $-��|�~_^#�!�9�`^#���[�� )"8��7Q^��*$5��7+��~�|�"B�#$-������d^#�� �|� '"r$5�!%5�#�1��y\��$~*�� � ��²�� )">M����[�*$�|@����$-%4��"¤|0~*�� ��#�'�#">%5�,|�~!� a�C�����R�@��� NOM���M���M.S w � & � c & ¬*¬�¬ & � 1 m v eJt � � � p:u g j:h nqg j e`m v u v moj�U w��9v �[mou g � j�U �xwm�C jlg uxer�og � ecj�Ucg � j mon j � j��9e v�� � ] koe_tcu �9v U`_ m:t_e V uYXlecj u\Xle/�BX mokoeOm t � � � � jecgih:ecjlkoe_tcu �9v a� v����xw a G �!� � ¢[�C�`^#���# ) ��*"�%5 )��"r��y aH³ ^#�*$-���#"² )%=��%W|>�[��%5 1�� 1���� '"��5� M��!$��£%5��~_^�d^#|��4g ¦ �#�²�!%."#���.�� '�� )�#� ��a 5 '"#~*� � � � & g ¦ & 5 � ^#���'�#%E¢ � G �! � �| ® a � a # { �`^#���d^#�!� '$5�!  y\���'�)�73% a

Page 113: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

��\�� ��� ��� �* � � � � �v

�C�����[�I��� NOM���M���M � ��Xle�� p:j[�{m � ecjlu monT��Xle �9v e�� �xw n h:e*^ v m#� S w � � : � g)U m j � j,]t � j�Ucu mojlu,_ � n��9j � � g mon,� g u\X t � ��_ n e � t � e��ftcg ecjluYUfV2u\Xlecj uYXle v eHe � g)UcuYU m y"g j � UcprtfXu\X mou� � y � © X a� v ���xw a ;D�3%5�>O�~*�!%6�5����$5����W�d^# '%Ey\��$. ���"# )~��O������"#�� � ¨|��'% a 5 ���'�!�

� � : � © :=H ª \ :=H § ª \ c :=H § c ª�«««ª \ H ¬³ ^#�*" � � : � © �#�!� � : \ �� � { 7Q^#�*$-� � '%E�d^#�W~!�� ��#|�"# )��"A �|��5$5 �"x��y ��J

� ©

�������

X X ««« X � \ H� X ««« X � \ H § X � ««« X � \ H § caaa aaa a a a aaa aaaX X ««« � � \

��¬

³ ^#�*��$-�*  ® a � a z ) ��#�) '�*%��`^,|�����^,|�%(|6~!�� ����)�#"b�! BM��!"���|��'�#� y� '" � { y\$5�� �7Q^# )~_^ '�.y\���'�)�73%��`^,|�� � � y � © X a

>��c> �� ��� � � �� a�G �!� ¢O� �#"# '�5�C�# ' ��!"#%5 '��",|�������!$ ] |�"��?�)�!� � S .W� � ¢[�� )���* ��O���5�*"8� a���!�5�*$- � '"#���d^#�W�! BM��!"���|��'�#�*%.��y � |�"#�¤% ^#�7��d^#|�� � )%.�� ¨| M���",|��) = |�¢��)� a

g a ;Dy*0 & ��S .W� � |�"#� 0 � © � 0 { % ^#�7��d^#|��� � "��#�)� � 0 � '% �4'D )"8��|�$5 )|�"8� � |�"#�� ' � ;Dy 2 � : � S�]�8 :=< { �`^#�*"A"��#�)� � 2 � 0 �5� '%���'D )"8��|�$5 )|�"8� a

v a 5 �#���O��%-� � '%3|��[��%- '�� 1���� '"��5� M��!$3|�"#��0 S .�� ] H � '%.�#�P�,"��*�£¢ �

0 � e & e c & ¬�¬*¬ & e H � © � e ª�«««�ª e H & e ª�«««ªoe H & ¬*¬�¬ & e ªq«««Iª e H � ¬

���!�5�*$- � '"#�W|��)�O�* �M��*"8��|��)���*%4|�"#�;�* �M��*"8���*~!�5��$5%4��y�0 a# a 5 �#���O��%-��0 S .W� � |�"��<�# )  � ;`  � 0 �-� © � a $ $5����x�d^,|@� 0 ^,|�%C|��� ���%=�� ª � �# )%=�� '"#~!�.�! BM��!"8��|��)�#�!% azWa 5 �#���O��%-���d^,|@� � & 0 S .W� � { y/S�] |�"#� � R � S sFa 5 ^#�7t�d^,|�� � 0 �<�y \ � ¦ 0 © 0 � �*0�� y \ � ¦ a

Page 114: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � # � � � � ����� ��� � �����1� ��� � � � � � � � � ��� ��� � � �#�����

� a 5 ���#�O��%5�£�`^,|�� � & 0 S .W� � a $ $-����£�`^,|�� �*0�|�"��Q0 � ^#|���£�d^��r%�|� ���! BM��!"���|��'�#�*%.¢����4"#���3"#�!~*�*%-%�|�$- )���}�d^#�W%�|� ��� � )"# ' x|��[�[�����²"��� � )|�� a

® a 5 ���#�O��%5���d^,|@� � & 0 S .W� � |�"#�¤|��3�'��|�%=�3��"#�W��y�� { 0 )%. '"����*$=�� )¢��)� a 5 ^#�7�`^,|�� �*0:|�"#�#0 � ^#|���+�`^#�+%5|� ��T � )"� ) �|���|�"��C~_^,|�$5|�~!�5�*$- )%-�5 )~T�O������"#�� � ¨|��'% a

� a 5 ���#�O��%5�C�`^,|��D] )%�|��BM��*¢#$5|� )~*|��)���>~*�'��%5�!� { 1 � e � S ]98 e <&|�"#� \ S ] a�$ $5�����`^,|�� \ '%�|�"H�* �M��*"8��|��)������y 1 � 0 � 1y�|�"#�b��"#���6 'y \ © 1 � y � y\��$�%5�� ��&�! BM��!"���|��'�#�yb��y 0 a � � )"8��J 5 ���#�O��%5� �d^,|�� \ )%�|�"W�! BM��!"���|��'�#�&��y 1 � 0 � a(2 |�~/����$ 1 � e � � \ ©Z � e �[y 5� ««« � e �[y,� � a T %5�E�`^#��yQ|�~/���d^,|@� 1 � 0 � � \W\ '%("#���� )"%�-�!~!�� 1��� a ����" � �y\��$5M��!�.�5�0~*��"#%- )�#�!$.7Q^,|�� ^,|��#�[�*"�%4 1y ZE© X a �

� a 5 ���#�O��%5�W�d^,|�� � & 0 S .W� � |�"#�A�d^,|@��0� )%3�# ¨|DM���",|��' = |�¢#�)� a 5 �#���O��%-�b�`^,|���*|�~_^¤�! BM��!"8���*~/����$4��y 0� '%3|�"¤�! BM��!"8���*~/����$3��y�� a 5 ^#�7z�`^,|�� �*0 © 0 � a

Page 115: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � ��� ����

� � � �� � ����� � ��� ��� �������

� ��� ��� � �! � R NOK �0P%�³ ^#$5��� M ^#���²���d^� )%�~_^#|������!$0] 73 )�)�,���*"#���5��|C%-�#¢>�,�!�)�>��y��`^#��~!�� ��#�)� "x"��# C¢O�!$5% � {|�"#� 73 )�)�O�#�*"������H|����*~/����$3%-�,|�~*�H����!$ ] a

�� � � � �\� � ¯ " g jlj e v _ v�� �opltcu���" '%>|G%-~�|��)|�$#"h��|��)�#�!� y\�#"�~!�� '��" � & � J � ] �`^,|��4%�|��5 )% �,�*%.�d^��Wy\���)�)�73 '" M��#$-���O�!$-�5 )�*%!J

� � � Z�ª ´)& � � © � Z & � � ª � ´)& � � y\��$3|��'� Z &�´'& � S a� ) � � Z(Z &�´ � © Z � Z &5´ � y\��$3|��)� Z SO] { Z &5´ S a� ) ' � � ´'& Z � © � Z &�´ � y\��$W|��'� Z &�´ S { 7Q^#�*$-���`^#�0�I���*$-�) )"����#�*"#�����*%W~!�� ����)�#"

~*��"��-� M8|��5� a� '� � � Z & Z � E X 1y ZGj© VX a$D�6 '%.��|�% �}���0~_^#�!~7?;�`^,|��.�`^#�H|�¢O����b�#$-���[�*$-�5 )�!%Ey\��$5~!�

� Z & Z ´ ª � � © Z � Z &5´ � ª � Z & � ��% Z &�´'& � S & Z SO] ¬&(' �,��)*�\� � M P,MQP,M+* j ] H u\Xle v eMg)U m�,�Ucu moj[�{m v �-, g jlj e v _ v�� �oprtcuE�:e C j e5� m@U w�� n�]n � �(U � w��9v V: © � : & ¬�¬*¬ & : H � moj[� Vd © � d & ¬�¬�¬ & d H � V�_ pWu

� V: & Vd � ©H.� � I

: � d � ¬

$D�� )%b��|�% �G�!"#��� Mo^G���r% ^#�7 �d^,|��H�d^��}|�¢[�I���x�#���,"# 1�� )��"G$5�*|��)���B�#���*% M� '���x|�" )"#"��*$.�#$-�²�#��~!�4��"s] H a $`"AyQ|�~!� { '�3 )%3|�%-�O�!~* ¨|���~�|�%-�H��y��`^#��y\���)�'�I73 '" M�� "#|� ��#�'� a

� � z

Page 116: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� �� � � � � ������� � ��� ��� � � � ��� � � �#�����

&(' �#� )*�\� � M P,M�A�M�� ecu �n^ce moj g jlkoe v u gQ^Bn e �� � �[mou v g�� � koe v ]xa��Je C j e � & �� j�] H � �(X � U@e�ecn e�� ecjluYUsm v eA� v g u u ecj m@U v�� ��koe_tcu �9v U w��9v u\Xle�_ p v _ � U@e �xw u\X:g)Ue � m ��_ n e �[m@U w�� n n � �(U*a � �9v Z &�´ S _ p:u� Z &�´ � © Z � � � ´ � & �(Xle v e � � �:ecj � uxefUDu\Xle t � ��_ n e � t � j��(p h{mou eHu v moj�U`_ � U@e �xw � ¬S u g)UMm w mog v n��0Ucu v mogih@X:u w��9v � m v � e �We v tcg)U@e u � UfX � � u\X mou u\X:g)UC�:e C jlg u g � j v e`mon n��Jhog koefUmoj g jlj e v _ v � �opltcuha S w � © \ uYXle Ucu moj[�{m v � g jlj e v _ v�� �oprtcu �xw u\Xle�_ v eck@g � p�UQe � m ��_ n eg)U � ^Bu mog j e5�8a&(' �#� )*�\� � MQP,M���M4� ecu�� � X & � � �:ecj � uxeHuYXleHkoe_tcu �9v U`_ m:t_e �xw mon n4t � jlu g jlp � p8UfV v e`mon�]k9monqple5� w pWj tcu g � j�U � j�uYXleHg jluxe v k9mon�8 X & � <`a � �9v 2 & 4 S�� � X & � � �:e C j e

� 2 & 4 � ©

I2 ��� � 4 � � � � � ¬

h{mog j g u g)UHm v�� p:u g j eJe �We v tcg)U@e*u � UfX � � u\X mou uYX:g)U v e`mon n�� hog koefUHmoj g jlj e v _ v�� �opltcuDa � � � � �\� � ¯ " g jlj e v _ v�� �opltcu3U`_ m:t_e� )%W|}���!~!����$b%-�,|�~*�0����!$M] � |}%5�#¢>�#�*�)�

��y � � ��� M��!�`^#�*$E73 1�d^¤|0%-�O�!~* �,�*�A )"#"��*$3�#$5���#�#~/�3��";�d^,|��3%-�,|�~!� aG �!� ¢O�W|�"A '"#"#�!$E�#$5���#�#~/�3%5�,|�~*��73 '�`^A '"#"#�!$E�#$5���#�#~/� � &� a&³ ^#�W�)�*">M��d^}��y

|����!~!����$ ´ S )%.�#���,"#�*�A����¢O� . . ´ . . ©�� � ´'&�´ � a�C�����R�@��� � MQP,M��°M�S w g)U moj g jlj e v _ v�� �opltcuRU`_ m:t_efV uYXlecj w��9v moj,� koe_tcu �9v U Z &5´ S moj[�Fmoj,��U@t`monim v Z SO]�V

� g�� . . ZcZ . . © . Z . . . Z . . �� g g�� . . Z . .WE X w��9v Z<j© VX �� g g g�� . � Z &5´ � .WR . . Z . . . . ´ . . �� g k�� . . Z�ª ´ . .JR . . Z . . ª . . ´ . . a

� v����xw a�����|����! ��!"��5% � � |�"#� � ' � y\���)�)�7 |��' ���%=�� ' � ��*�# )|����!���?y\$-��  �`^#�>��|�$5 '���#%�#���,"# '�5 )��"�%H '"8�����1���*� a}³ ^#�x '"#�����,|��' '� �? '" � ) ) � )%W~!�)��|�$5���£��|��) )�?7Q^#�!" Z:© VX a $DyZ<j© VX�{ �#���

� © ´ � � ´'& Z �. . Z . . c Z�¬

$D�3 )%.�*|�%5 '���x~_^#�*~7?��*�r�d^#|�� � � & Z � © X |�"#�

Page 117: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� ����� ��� ��� � � � ��� � � � ®

X R . . ��. . c © � ´ � � ´)& Z �. . Z . . c Z &�´ �

� ´'& Z �. . Z . . c Z �

© � ´'&�´ � � � ´'& Z � � Z &�´ �. . Z . . c

© . . ´ . . c � . � Z &5´ � . c. . Z . . c ¬

� �!"#~*� . � Z &�´ � . c R . . Z . . c%. . ´ . . c a $D�4"#�7 y\���)�'�I73%+�d^,|��� � � Z &�´ � R . � Z &�´ � . R�� Z � « � ´ � &

|�"#�

. . ZCª ´ . . c © . . Z . . c ª � Z &�´ � ª � ´)& Z � ª . . ´ . . c© . . Z . . c ª g � � � Z &�´ � ª . . ´ . . cR . . Z . . c ª g . . Z . . . . ´ . . ª . . ´ . . c© � . . Z . . ª . . ´ . . � c ¬

³ ^���%�. . Z�ª ´ . .WR . . Z . . ª . . ´ . . a³ ^#�� '"#�����,|��' '� �C )" � ' ) � )% ~�|��'�)�!�0�`^#� � � ���@� ����� ���� �#�� ���°� � ���=��� ��� a $D� ^#|�%

|¤���!$!�<73 '�#����|�$- )�/� �G��y4|��#�#�) '~�|��5 )��"�% a£³ ^��>�#$5����y3% ^#�73%��d^,|��� 'y��: )%b"#��"��!�*$-� {�d^#�!" . � � &�´ � .W! . . � . . . . ´ . .8�#"#�'�*%-%

´ © � ´'& � �. . � . . c � &

7Q^# )~_^;��~*~!�#$5%E 1y°|�"#�}��"����� 'y � � &5´�� )%�|��) )"���|�$-���0�#�!�O�!"#�#�*"8�4�) '%-� a�� ���}%��#���#�'�>��$!������3������/E|���~��*� " �²~��87E|�$��� )"#� ���,|��) 1� �>��";�����b� "#|� ��#�'�*%3��y( )"#"#�!$3�#$5���#�#~/��%�M� '���*"|�¢[�I����� ³ �#�H )"#� ���,|��) 1� �> '" � '� � '%.~�|��'�)�*�}���#� �� ��� � ���Q� ���°� � ���=��� ��� �

�� � � � �\� � � G �/���B|�"�� ´ ¢O�H���*~/����$-%� )"£|�"r '"#"#�*$4�#$-�²�#��~!��%-�,|�~!� � ³ �#�*"�} )% ����� X �� ��!#"�$%� � ´ 'y�|�"#����"#���� 'y � � &5´ � ©'& 'y |�"#�x��"#���� 'y � ´)& � � ©'&�{ )"07(�# )~��~�|�%-�b7+�b%5| �)�r|�"#� ´ |�$5�W��$=���#� M���",|���|�"��¤73$5 1���*�,+ ´ � $Dy�� '%6|0%5�/����y(���!~!�5��$5% )" { �G '%+~*|��)�'�*��|�" ����� X �� ��!#"�$ U.- � �#$-�I�� '�#�*�>�*|�~��>�,|� )$ ��y��# '%-�� '"#~!� ���*~!�5��$5%� )" � )% ��$=���#� M���",|��/� ¯ " ����� X ��! ��� � "�$ U.- � )%T|�"���$-���#� M���"#|��,%5�/� �973 1�������#�6|��#�# 1�� '��",|���#$5���O�!$-� �>���,|��/. . �0. . © � y\��$.�/���*$ �0�21 �3� ¯ ",|��'� M����#%.���P�,"# 1�� '��"#%3|�$-�� x|�����y\��$�) '%-��%.��y����*~!�5��$5%4�

Page 118: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� ��� �������1��������� ��� ����������� ��� � � �#�����

� ������ ³ ��������|��#�,|��5�9¢,|������W��y�� H ���W|��k�����������#���- x|���� ������!"�����#���$�-�%�!~&�'������ �'�(�f|����,|��5�)� � ���$�.���-�²���#~&� �

¯ ���5� { �������$�&�5�����*~&�5���*� �+�����.�������H���*~,�����&��������� M����,|��-�����/���&�!�����*~&�5��� � � $ �5������� � �$. ��C�����R�@��� �0/213/ � / ! �����54 �� ��!#"�$76 - � �98 ! ��! ��- ����: -<; � ���=6�> 6 $?> ! - "���$ � > ! � -A@ - !3B� - ! �DC� �����98&C G �&� �t¢E�GF(�3���H�=�;���I� � �3�������}�������#� M����3F�J����&����K��#�����$�&�5�ML��$N,�������O���PFM��HL��$�Q� ��� �$�4���5��R�S�N,�T�-�3F�N$� � �-S#�#�[����� ´� & ¬�¬�¬ &5´VU F����WR � ����� ��N,�XL��$N,�������T� � �PF���R����F��

� ©FZ =´� ª ZZY ´ Y�ªq«««ª Z U+´VU ¬³ ���&�

� � &�´ ¦ � © � .�

Z �f´ � &�´ ¦ �

© .�

Z � � ´ � &�´ ¦ �

© Z ¦ � ´ ¦ &5´ ¦ � ¬�-� � N$� � ´ ¦ &�´ ¦ ��[© &-\ ���K\��J�J)�]!"�^���3F��

Z ¦ © � � &�´ ¦ �. . ´ ¦ . . Y & � R4� R@K ¬

_ ���$� � ©a`& \ �$F�N�� Z ¦ © &-\ �5� �b���"F��Q����R��!�%�&��R��$�c�X���,� ��Wd�eVd ����� e � �0/213/ � /�f 8*"�: -<; � ��� � > 6 " $?> ! - "�� ; � ��g > !#"��2>��! �98 "�!'�����h4 �� ��!#"�$$?> 6��i ´� & ¬*¬�¬ &�´jU�k �98*! ��!�l - ���I: -<; � ���=6<m �h4 - ! � > 6 �54 -@ "����2> ;,n $�"�� $?> ! - "�� ; � ��g > !#"��2>��!

� ©U.¦ �

� � &5´ ¦ �. . ´ ¦ . . Y ´ ¦ ¬ i � � � k

oqpsr d�e r�t �u/21�/wv%/ � � � �jp�� � d�e r � �xoqpsr d�e r�t � f 8 � + ´ m �54 - !. . � ª ´ . . Y © . . �0. . Y ª . . ´ . . Y ¬ i � �zy k

{ �����98&C �-S�| |%}���� � + ´ � ³ ���$�. . � ª ´ . . Y�~ � � ª ´'& � ª ´ �~ . . � . . Y ª . . ´ . . Y ª � � &�´ � ª � ´'& � �~ . . � Y . . ª . . ´ . . Y ¬

Page 119: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

��� � � ��� ����������� ��� � � � �

oqpsr dEe r�t �u/213/ �0/ � � � e �=���hr � d � e ��t & � � � ��� ��� � f 8 � &�´ "�� - : -<; � ���<6�> ! �54 - > ! ! - �@ ����� n�; � 6 @ " ;�- m �54 - !. . � ª ´ . . Y ª . . ��� ´ . . Y ~ y i . . �0. . Y ª . . ´ . . Y k ¬

{ � ���98&C ³ ���"R��&�=F�� J��*F������}�S �=�����"F���ROF���� J��&K5� F��*F��O� " �&��N&� ��� i ���$� �#"-�$��N$����� � k ����<F��(�=��� MO!"�H��� F��G� �����&�X| ��}�R�S�N&� � & � }�� F�L��$N&��}�����|3F�N$��$a}]L��&��� i !(���&���

� � � ��}����W��S��>�3�&J R }�K � k \ ! �qR����3���$R#F ! ��� �a}��'$�� � . . ´ . . ~ � � ´'&�´ � \ Kh}��XF�J J´ 1 $ � ³ ��� ��� }��� KhS���N,�=� }�� �=F���� �5���$��F L�F���� �&� �Q}�K*|���}�|E�$����� �&��F��T! � �3F L��I���&�$�� � ����� �W���$N,�=��}�� � �-}����&�=��O�&�W! � �3F L���F ��}��� KhS���N&��� }�� M���L��&� F���R ! }�S�J R J��B?���=} ? ��}]! ��K"�H�qN$F��O�OKh��}�� F�� �������$�W|���}�R�S�N,� � ³ ��� � �#"�� ��� �$}�������| ��}]L�� R��&� F��F����(!^�&� ��}I����� � � S��&���=��}�� \ ��S-���������"! � M���L��WF��)}DOON&�wF�J R��P�3� ���=��}���}�K FI� }���,�

r� � � � � d � � ! ��� � }��QF L��&N&�=}��X��|3F�N$� $ }]L��&������ �3�&J RQ� � �"F KhS���N,�=��}��. .'. .�� $ � 8 & &��xk���� ��S�N��Q���3F��

i � k . . � . . ~ & � � � ~ `& �i � � k�k . .�� � . . ~ . � .�� . . � . . % � 1 � & �21-$ �i � ��� k . . ����� . .JR . . � . .�� . . � . . �

oqpsr dEe r�t �0/213/�u/ � - � . . . .0g�- " ! ����! ��! $ C#"u4 - ! �54 - � - > 6 "�! > ! ! - � @ ����� n3; �� & � ��! $ 6 n3; 4,�54 "�� . . � . . ~ � � & � �

� 8���� "�$ $ �)13$ > 8 "�!$� ��! $&%O> 8 . . . . 6 "��2> 6 C3- 6�h4 -@ "���"�$ $ - $ �� ���"�! -� $n "�$?> �'%�C{ � ���98&C _ ����F]L�� F�J ��� F�R �O���$�&�����3F��^��K0��� ����}��(� ���^R��&����L��$R Kh��}�� F�� � ��� �$��|���}-R "S�N&� \ ��� �$� ���T�=F���� �*)3�$�T����� |3F���F�J J��$J�} M��=F+� ��� S3F�J ��� ���-,3}��X����� N&}��cL��$����� \ � }j! ��S | "|%}���������F�� . . . .c� ��F ��}��� }�� $���F��=����K ��� �>M ������|3F��=F�J�J �$J�} M���F��a��� S3F�J ��� ��� _M��!"� J J����}]! ���3F�������$���.� S ���(�3F L��/�E�$�$�GF���� ��� �$�"|���}�R�S�N,�"Kh��}�� !(��� N�������� ��}��� !^F��R��$����L��$R ��� �����IS���S3F�J K2F���� � }�� � _M�0)3���(�WN&}������ R��&� ������N F����O� ~ � � $ �'� �������$�N$J�� F�� i Kh��}�� ����� ��� F�J |E}�JwF���� �$F��=��}��G��R��$�c����� � "���$��12"-�$��N&� ��� � & k ���3FV� � & � � S��(��%� R��2)3���&RG� � ������Kh}�J J�}j!"��� Mq!^F �3�

� � & � � ~ . . ����� . . Y �). . ���4� . . Y# 5 i � �76 k

$ ��� �"��� �$� N$J�� F��"����F�� � � & � � ~98�8 Y;: 8�8 =< 8�8 >I 8�8 8?

~ . . � . . Y \ ��}3. . � . . ~ � � & � �� Kh}��XF�J J

�21-$ �@��S-�^�H�*� �*��}�� F�� F�J�J�N$J�� F�� ����F�� � & � ��� F�� �������$�*|���}-R S�N&� �@AX}]! �&L��&� \ ��� ��N&�� � & � � ~ . . � . . Y \ � � ��� �'R �B)3���H�=��}���}�K � }��� ! � ���&�'���3F��

i F k � � & � � & \ !"�H������� S3F�J ��� � ��K7F���R)}���J�� ��K�� ~ `& �

Page 120: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� y & � ����������������� ��� ����������� � � � � � � ���

�X� "-� ! �W����}]! ���3FV� � &� ��� F�R�R��H�=��L���� �������-)3�����X��J�}�� � _M�'S ��� �����'|3F���F�J J��$J "}����F�� � � S3F�J �H� � ����������Kh}��� . . �0. . Y � . . � . . Y ~ 8�8 : � 8�8 Y � 8�8 : < 8�8 Y �

�0�&� � & � & � 1-$ �� ����$��Kh��}�� ����� R��2)3���H�=� }�� }�K � & � !^� �3F L��+�# i � � � � & � � � � � & � � � � � & � � i !(� � N��)����}�S J R �%� & k

~ . . � � �@� ��. . Y � . . � � ��� ��. . Y � . . � ����. . Y � . . � � ��. . Y � . . � � ��. . Y � . . � � ��. . Y~ . . � � � � ��. . Y � i . . � ����. . Y �-. . � ����. . Y k � . . � � � ����. . Y � i . . � � ��. . Y �-. . � � ��. . Y k~ . . �3� � � ��. . Y � . . � � ��� y ��. . Y

y � . . ���4� . .Y

y �/. . �3�-� ����. . Y � � � �-� y ��. . Yy � . . ���4� . .

Yy

~ i . . � � � � ��. . Y � . . ��. . Y k � . . ������� y ��. . Yy � i . . �3� � � ��. . Y ��. . ��. . Y k � . . � � �-� y ��. . Y

y~ . . ����� �Py ��. . Y

y � . . � � � . . Yy � . . �����.� y ��. . Y

y� . . � ��� . .

Yy � . . �����.�by ��. . Y

y � . . ����� �Py ��. . Yy~ & 5

AX�&��N$� � ����� & � � ~ � � & � � � � � & � � \ |���}]L-�����i � k � & � � �"F�R�R ���=�HL������������-)3���(� ��J }�� � 7}T|���}]L�� ���3F�� � & � � ����}���}���&���$}�S�� ���W��� � )3��������J }��7� �+�=FV�����&� ��}���� � �cL�}�J�L��&R �

, ������� ��S�|�|E}����'���3F�� � ��� FO|E}����H�=��L�� � �c�=�����$�4�� ����$� S���� ��� F�R�R��H�=�HL-�H� � ���Q��� �/)3�������J�}��"!^� �3F L�� � � � & � � ~ � � � & � � � � �$|�J F�N$����� �Q!"�����

�������L��&� � � & � � ~ � �

�� & � � \

��} �� � & � � ~ �

�� & � � � �-}I��K�� & � F���� |E}����H�=�HL���� �c�������&��� \

� � � � & � �~ � � �� � & � �

~ �� � � & � � 5

�X��� ����| ��}�|E�$�(� � i ��� k � �q�����R��2)3������� }��q}�KE��}��� ! ����$� . . � � . . ~ . � � . . . � . . ~ . . � . . � ����&�QS���� ���I��� �'R �B)3���H�=��}�� }�K � & � \ ! � �3F L��

� � � & � � ~ . .�� ����� . . Y �). . � � �4� . . Y .#

~ . .�� i � �4� k . . Y �). . � i � ��� k . . Y#

~ �/. . � � � . . Y � . . � � � . . Y#

~ � � � & � � 5 ����������}]!"�X���3F��"�HK�5 ���"F�� � �=FV�=� }��3F�J � S����%�&� \ ��� �$�

� 5�� & � � ~ 5 � � & � � 5

Page 121: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

��� � ��� ����� ��������� � � � � y �

�X}]! ��S�|�|E}���������F����)1 � � �F��*� ��� F�Ju� S�� �E�$� i !"�H��� ��|%�&N$�wF�Ju� �c�=�&���&���"� � �����N F����'!(� �$�����G� �"��}��"�=F���� }��3F�J k � ����$����� S��(� �%�'FI����� S��&��N$����� ���� � }�K ��F��=��}��3F�J� S�� �E�$���"Kh}���!(����N��QJ�� � �� � � �

~ � �� �� S��� � � & � � ~ J�� � �� � � � � � & � �

~ J � � �� � � � � � & � �~

~ J � � �� ���� � � � ��� ��� Y � ��� � � � �4� ��� Y# 5

_ � N&JwF��� ���3F�� J � � �� ���� � � � � � ��� Y

~ ��� �%�#� � ��� Y F���R J �� �� ���� � � � � � ��� Y

~��� �%� �4� ��� Y ����� N$��!^� �3F L�� ����}]!"�Q��� � � \ ! ��!"� J�J �3F L��

� � � & � � ~ � � � � ��� Y � ��� � ��� � ��� Y#

~ � � � & � � &N$}���|�J��&�=����� ��� �'| ��}�}�Ks���3F�� � & � ������}���}���&���$}�S �� � �����-)3����� ��J�}�� �

,�}���� &�� 1�� \ ��� � ��� ~ ��� � � i � � ��k �������� � ��� � ��� � ��� ��� \ ��} ��� � ��� � ��� � ��������� � � � ��� �$A�c�=�$��N��3F������ ���G����� ��}�J �&�W}�K��bF���R � ! � ���$� ���3F��qF�J ��} ��� � � � ���!�"��� � � � ��� ~��� �#� � ��� � A �$��N&� �#��� � ��� � ��� � �����$�%��� � �&� ��� � _ �H���'� ~ � � � � � F���R � ~ � � � � \�������JwF����=�&�� ��� ��S�F�J �H� � ���HL��&�

�#��� � � � � � ��� � ��� �%����� ����������� i � � �(� k � ���~ � � � �)� � � ��� � ��� 5�-� � N$�*� � �+� � & \ ! � �3F L�� ��� � � � � � ��� � ��� � ��� � ��� �-,"�$| JwF�N&� ��� � !"����� � �

����L��$�XJ � � �� ���� � � �#� � ���

~ ��� � � � � ��� � �-}O� ��R �$�$R � & � ��� � }��O} ���$���&}�S��X� �G�����)3���(� ��J }�� � , ��� �3F�J�J�� \ ! �'����}]! ���3F��

i R k � � & � � ~ � � & � � ��-}��

� � & � � ~ ��� ��� � ��� Y � ��� � � � ��� Y#

~ ��� � � � ��� Y � ��� ��� � ��� Y#

~ � � & � � 5 ���� �"N$}��O|�J��&���$������ |���}-}�K7��� ����� N F���� ���3F�� � ~ � ��X}]!�N$}�������R��$�"�����'N F����W� ~/. ��0#� �����'N$}���|�J �21�|E}�JwF���� �$F��=��}�� � R �$�c�=�H� � i ���$�

1!1 �&��N&� ��� � y k ! �/� S����(��F]L��

� � & � � ~ �#?.� �

� � ��� � � � � � ��� Y 5 i43 �65 k ����$�Q|�S ����� ���0� ~ �Q! �/)���R

Page 122: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� y�y � ������� � ������� ����� ��������� � � � � � � � �

� � & � � ~ �5?.� �

� � ��� ��� � � � ��� Y^~ �5?.� �

� � � � � � � � Y ��� � ��� Y

~ ��� � ��� Y5 � y � � & � y �$�)5�� ~ ��� � ��� Y &

F��XR��$��� ���&R ��0 S ��! � � S��(������� J�J0����}]! ���3F�� � & � �3F��X�����q| ��}�|E�$�(�=� �&�T}�K F�� � ��� �$�|���}-R�S N&� �0^�$N$F�S���� � � & � � ~ ��� � ��� Y \ �H��Kh}�J J�}]!"��� � �O�&R��wFV�=�$J�� Kh��}�� �����I|���}�|E�$����� �&�'}�K�F

��}��(� ���3F�� � � & � ��� & !"������� ��S�F�J �H� � ��K7F���R)}���J�� �HK � ~ `& �,3}���N$}�� L��$�����$��N&�WR �B)3��� � & ��� ��} �%�����������$F�Ju�������$�^|���}�R�S�N,�"R��B)3� �$RQF��%}]L�� \

��}� � & � ��� ~ ��� ����� ��� Y � ��� � � � ��� Y

5 5�X}��������3F��

� � & � � ~ � � & � ��� � � � � & � � ��� 5_ � �3F L��TF�J ��� F�R �I| ��}]L��&R ���3F�� � & ��� ���^F�R�R�������L�� ���O����� )3����� ��J�}�� \ !(����N�� N F��

��}]! �E�OS ���$R � �MFQ��}�S �=����� K2F�������}��#�=}G����}]! ���3FV� � & � � �'F�J���}QF�R�R��H�=��L��I� �#�����)3�����"��J�}�� � $ �"����&L��$�)� F���� �$����}I����}]! ���3F�� � � � & � � ~ � � � & � � Kh}�� � 1 � S�������� �������}���}���&���$�H� ��}�K � & ��� � � ����� )3�������J }�� � AX}]!^�,L��&� \ ! �-� S����"�(�=��J JE� 1��=�&��R �������^�=}F�J�J N$}��O|�J�� 1 ��S � �%�&���4� � }��=�����3F�� �

� � � & � � ~~ ��� � ����� ��� Y � ��� �/� � � ��� Y � � ��� �/� � � � ��� Y �� ��� � ��� � � ��� Y

5~ ��� � i � � � k ��� Y � � ��� � i ���4� k ��� Y � � ��� � i ��� � � k ��� Y � ��� � i � �� � k ��� Y

5~ ��� ����� ��� Y � � ��� � �4� ��� Y � � ��� ��� � � ��� Y � ��� � �� � ��� Y

5~ � � � & � � 5 }�� ������� ��� ����� � !"�H��� F�R�R�������L���� � F���R'��}���}���$� �$��� �P!"����� ���&��|E�$N,�G�=}b���$F�J

� S�� �E�$��� \ ! � ���,����3FV�

� i � �� � k � & � � ~ i � �� � k � � & � � % � & �1 � 5

Page 123: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

��� � ��� ����� ��������� � � � � y�6

AX�$� N$� � & � � � � }��O} ���$���&}�S������ ��� � )3�������J }�� � �����}���J��I���������q�����OF�� ������� �=}����}]!��������3FV� � � & � � ~ � � & � � �

� � & � � ~ ��� ����� ��� Y � ��� ��� � ��� Y � ��� ��� � � ��� Y � ��� ��� � � ��� Y �5

~ ��� � � � ��� Y � ��� �.� � ��� Y � ��� � i ��� �'� k ��� Y � ���?i � � k i �-� �)� k ��� Y �5

~ ��� � � � ��� Y � ��� �.� � ��� Y � ��� � � � � ��� Y � � ��� �/�� � ��� Y �5~ � � & � � 5

�X}]! ��S�|�|E}��������3F��"� � �^F ��S�� )3�$J�R }�K . F���R ���3F���� ~ � � � ����$��� F����X�������$���}��(�O�}���� ���3FV� F���� ��}����"N&}�����}���J�� S ���$R)� �)F�| |�J ��N F���� }����4�

r� � � � � d � ,�}�� L��$N,�=}���� � ~ i � & 5 5�5 & � � k � 1�� \ ��������}����� � ��� \ � ��� Y$\F���R � �.� � \ N F�J�J �&R ����� � " !�����! \ y " !�����! \ F���R � " !�����! \ ���&��|E�$N,�=��L��$J�� \ F���� R��B)����$RF����

� � � ~ � � � � � � Y � � � � ��� � � � ���� � � Y ~ i2� � � Y � � � Y � Y � � � � � � � � �

Y k � Y � i43 �� k� � � �

~ �OF�1 � � � � & � � Y � & 5 5�5 & � � � � 5$ S ��� ~ i � & � k � 1M� Y F���R � ~ i � � & � k � 1M� Y � � �������������$���qL��&N&��}���� � F���R �

�������T��}�S �=�����q��} ����}]! ���3F�� � �%� F���R � �%� � R�}���}�����F��=����K �)����� |3F��=F�J�J �$J�}����F����� S3F�J���� � \ ���&��N$� � S��(�"��}�� �E��R��&����L��$R Kh��}�� F�� �������&�|���}�R�S�N,�� � ������S���S�F�J !^F ������b������}������&� �3F���R \ F�J J �������$�)��}�����IF����)� � S���L�F�J��$�c��� �bF ���$�����)���3F��I! �GF����F��E}�S �*�=}/� F ��� N$J �$F�� � , � ����� ! �T|3F�S ���"�=}q� }��=��N$����3FV� ����� ��} " N F�J�J �$RI��}����� ��� F�J�J��F����"��}����� � ���� }���J�� �����$|����3F�� ��� N���F�J J��$����������� � ������=��� F�����J��� ��� � S3F�J �H� �qKh}�� �����y "A� }��� \ F���R�! �W|���}]L��$RQ������� �$F���J�� �&� �� ����'R��&�=F�� J���Kh}��������'}������$��A! } ��}��(�O� F����J �,K5��=} ����� ��� F�R��&� �

r� � � � � d � �s�,�0� �� �%��F)��}��� }���� � � ����� S��&��N$�-��� � �� � }�K L��&N&�=}����q����=F���R �=}G; ��!3: - �/ - ��� �54 - : -<; ����� � � |���}]L-��R��$R ��������� � S��$��N&��� ��� � � � � � }�K+��� F�J� S�� �E�$��� N$}�� L��$� ���$�"�=} & �

_ ��������� � �R��2)3������� }�� ! �WN$F��)��}]! �<F�J�� }�K FI����� S��&��N$�q}�K7L��$N,�=}����T� �)� � N$}�� "L��&� ������� � � S���� ���Q��}��(�O�4� 0^S �W!(��� N�� ��}��� ����}�S J R ! � S������ _ �3FV�q! �#�O�$F��� �M��F �-�����Q���3F��qF�J J��������&� ��}�����WF�������� S���L�F�J��$�c�W� � ���3F��WF)����� S��&��N$� }�K^L��&N&��}����

Page 124: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� y 5 � ������� � ������� ����� ��������� � � � � � � � �N$}�� L��$� ���$� �=} F L��&N&��}�� � S ��� ���O}�� �'}�K ��� �W��}����� �HK F�� RQ}�� J�� �HK����"N&}��cL��&� ���&�T�=}��� �'��F�����L��$N,�=}�� � S ��� �����&�������$�"}�K+����� }������$�"��}����� �oqpsr d�e r�t � /21�/21��0/ "u4 -�� B !�����!qm��cB !�����! "�!$� � B !�����! ��! � � "�� - "�$ $ -��$n >5:�"�B$ - ! � > ! �h4 - 6 - ! 6 - �h4 "�� "� f 8 " 6 -��$n - ! ;�- ��� � �98T: -<; �����=6 ; ��!3: - �/ - 6 ��� � � "V6 � - � - ��! > ! - � > ! }���� �98�54 - !�����!q6<m �54 - !G> � ; ��!3: - �/ - 6 ��� � � > ! F�J J��������$� !����2!q6<m "�!$�"8 ��� ��� - �I> !$� - ����m�54 - - ! � �,> - 6 i � �hk � ; ��!3: - �/ - ��� �h4 - - ! �/��% i � � k � C0"u4�> 6�> 6*"�! - "V62% ; ��! 6 -��$n - ! ;�- �98 g � � ��� � � � � Y�� � � � � � � � � � � � ��� C{ � ���98&C $ K�� ~ i ����� 5 5 5 ��� � k \ | S ��� ~ i � ��� � � 5 5 5 � � � � � k � F���R � ~ i�� � � � 5 5 5 � � k � � ����&� ��� ��� � F�S�N���� " �-N��c!�F���� ������� S3F�J������ F�|�|�J�� �$R ��} � F���R � \ !^�*�3F L��

� � �!� �#" � ~ . � � � � ~ ��� ��� � � � � Y � � � Y ~%$ . � � � � Y � � � ~ ��� � Y � � 5�-} � � ��� � � � � Y � � Kh}��"F�J�J � 1#� � �

�X�21-� \ � � � YY ~ � Y � � � � � � � Y� � � i � F�1 � � � � � k Y~ � ��� � ��� Y

�\ � ��|�J&��� ���0� � � YY �� � � � � � � ������X| ��}]L��&�X��� �/)3�����TF���RQ���$N&}���RQ� ��� ��S�F�J �H�=� �&�� � i � k \ F���R������ ��������R

� � � S��H�=��}��cL�� }�S�� �$A�MK2F�N,� \ F���� �A!^} � }����� }�� F )3�������OR � ���$����� }��3F�J L��&N&�=}��q��|�F�N$�O}jL��$�q� F����

��� S��HL�F�J �&� � i � � ��� �'���$����� ����L��&�GF+�%}]L�� k \ ��S-� ! �'R�}I��}�� ���$�&R)����� �"���$��S J�� �

�('*) +-,/./021 � 13,�4 57698:57; <=;oqpsr d�e r�t � /&>0/213/ � - �@? ~ i ���*� 5 5 5 � � Uk g�- "�! �����54 ��!����2! "�$ $?> 6�� �98 : -<; �����=6I> !� "�!$� @En �BA ~ 6 @ "�! i ? k C f 8�C ~ED UF

�#G � F � F > 6 "�! "�� g > �/��"���% - $ - ! - ! � �98HA m�54 - ! >I � F ~ � C �� F " m "�!$� >5>I ��� C ��� Y ~JD UF

� � � � F � Y ~KD UF� � � � C � � F " � Y C

{ � ���98&C $ K C ~KD UF� � � F � F \ N&}���|�S �=� � C � �ML " ~ � D UF

� � � F � F � �ML " ~ �NL�� ����&�)F�|�|�JO���� ��P/� ����F ��}���� F�� ����$}������,�

���� |����$N&�$R������ ���&��S�JH����� }j!"�����3F���F�� }��(����}�� }���OF�J �3F���� �TN$F�� �E�q� 1����������$JO��3F�� RQ� �� ����'��� 1��X���&��S�JH� ����L��$������7R eTS t �4��UVp7tWVYX�Z F�J ��}���������� Kh}�����&|�JwF�N&� ����FJ ����� F���J&������R��&|%�&��R��$�c� J�� ��� !"����� F�� }��(����}���}���OF�Js}���� ��F]L������ ��� � �=F���� ��|3F��#F����� �'}���� ��� �3F�J/�

Page 125: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

����� � ��� �7�q���q����������� � � � � y

oqpsr dEe r�t � /&>u/&>0/ �� �=F��+" �-N�� �O��R � ���&����}�R f 8 ? ~ i ���*� 5 5 5 �� U�k > 6 " $?> !3B- "���$&% > !$� -A@ - !$� - ! � $?> 6�� �98 : -<; �����=6M> ! � m,�h4 - ! �54 - � - > 6 "�! �����54 ��!�����! "�$*$?> 6��� ~ i�� ��� 5 5 5 � � U^k 6 n�; 4 �54 "��X6 @ "�! i�� ��� 5 5 5 � � L k ~ 6 @ "�! i ����� 5�5 5 � �ML k 8 ��� - " ; 4 � ~� �Zy � 5 5 5 � � C{ � ���98&C ���<F��(� ���Q| S ����� ��� � � ~ ����� ��� ��� ��� \ ��} � ���3F��X��}��� � F���R)��|3F���� �����'�=F������|3F�N$�WF��"R�}-�&� �����

_ � N$}���������S�N,�X����� �����OF������ ��� L��$N,�=}���� � Y � 5 5 5 � � U � ��R S�N&����L��&J&��� �-S�|�|E}���� ����F��� ��� 5 5 5 � ��� �3F L��/�E�$�$�)R��,�=�$�(�O�����$R���}����3F�� i�� ��� 5 5 5 � ��� k � �}������ }���}��(� F�J F���R��|3F�� i�� ��� 5�5 5 � � L k ~ ��|�F�� i ���*� 5 5�5 � �ML k Kh}��q�$F�N�� � ~ � �Zy � 5 5�5 ���#�#_M� �����$� N$}�� "������S�N,� ����� � F�� Kh}�J J�}]!"� ��P*S-� ������ � ~ � ��� � � D �F

� � � � ��� �*� � F " � F � ���$N �)���3F�� ������ �� �}��(����} ��}��3F�J%�=}I� F�N��Q}�K � �*� 5 5 5 � ��� � �� �$�G| S � ����� � ~ � � ��� � � ����� � ��� � ��� �

� � ����� �"|E}�� �c��! �'���$�&R)��} F�����S��������3FV� � ��� )3���H�=� R�� ���$� ��� }��3F�J ��WdEejd! � YS�e#" � / >u/%$u/ � - � � g�- " � !3> � - ��> ! - ! 6,> ��!#"�$ > ! ! - � @ � ��� n3; �*6 @ " ;�- C >I � 4 "V6 "�! �����54 ��!����2! "�$ g "V6,> 6$C >5>I f 8�? > 6 "�! % �����54 ��!����2! "�$�6 - �E> ! � > � ; "�! g�-; � ! @ $ - � - � ����"�! �����h4 ��!�����! "�$g "V6,> 6 �98 � C{ � ���98&C _ � � ��}]! ���3F�� F���� � � R��$|E�$��R �$�c�I���,�IN F�� �E� N$}���|�J��&�=�&R �=}#F �3F���� �W�=}!(��� N���! �WN$F��)�����$�QF�|�| J&� ����� � ��F�� " �-N������ R �"F�J ��}����������)�& r�t t S � /&>0/('s/"f 8*) 1,+ i � k 4 "V6 "�! n]@c@ - � � �Z> "�! n $�"��/! "�� �,> �.- > �54 � - 6 @ -<; � ���6�� ! - g "V6,> 6 �98 � m �54 - !Q> � 4 "V6*"�! n]@c@ - ��� �,> "�! n $�"�� ! "�� �Z> �/- > �54 � - 6 @ -<; � ���q6�� ! -�����h4 ��!�����! "�$ g "V6,> 6 �98 � C{ � ���98&C �-S�|�|E}���� ���3F�� � ~ i ����� 5 5 5 � � � k ����F#�3F���� ����S N�� ���3F�� � ) �10 ����S�|�|E�$������� "F�����S JwF��4� 0�F�����N F�J�J&�I��� � �32�S���� ��� F�� �"���3F��Kh}���$F�N�� � ~ � �Zy � 5 5 5 � � ����� ��S�����|�F�N$���|3F�� i ����� 5 5 5 � �ML k ��� ) "A� �cL�F����wF��c� � � ��� ��� � � ��F�� " �-N������ R � F�J ��}����H�����x��} N&}����(�=��S N&�F��P}������ }���}��(� F�J��3F������/4 ~ i�� ��� 5 5 5 � � � k Kh}�� � ��S�N�� ���3F�����|3F�� i ����� 5 5 5 � �ML k ~��|3F�� i�� �*� 5�5 5 � � L k Kh}����$F�N�� � ~ � �<y � 5 5 5 � � � A �$��N&��Kh}��� F�N�� � \ ��|�F�� i�� ��� 5 5 5 � � L k ���) "A� �cL�F����wF��c� \ ��} ����F�� � ) �15 � �S�| |%�&�"����� F�����S�J F�� �

�X�������M�����QK2F�N&�����3F�� . ����F�J ���B���=F�� N F�J J&�MN$J�}����&RP! �G��� }j! �$Rx���3F��O��K � � �OF)3���H�=� R���O�&������}��3F�J+N$}��O|�J�� 1QL��&N&�=}�����|3F�N&� \ ��� �$� �����&��� ����F#�3F���� � � Kh}�� � ��S�N�����3FV� � ) �%0 � �'S�|�|E�$�'�=���wF�����S�JwF��4� A �$��N&� ! � �3F L��O�����IKh}�J J�}]!"� �������&��S�JH�W!(� � N�� �����}����&��� ���$�N$F�J J��$R ��U�p76 e981: oWp+r d�e r-t ��WdEejd! � YS�e#" � /&>0/%;u/ =< ; 4 n �?> 6 "u4 - ��� - ! f 8@) 1A+ i � k - 4 - � - � > 6 " � !3> � - ��>5B! - ! 6,> ��!#"�$ ; � ! @ $ - � : -<; ����� 6 @ " ;�- m �54 - ! �54 - � - > 6)"�! �����h4 ��!�����! "�$ g "V6,> 6�8 ��� �

- > �h4,� - 6 @ -<; � ���/- 4�> ; 4B) 4 "V6 "�! nj@c@ - �*� �Z> "�! n $�"��-! "�� �Z> � C

Page 126: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� y�� � �*����� � ������� � � � ��������� � � � �!� � � �_ � � }j! F�|�|�JO�M����� |����$N$�&R�� ��� ���$��S�J����I��} ����� N$F���� !(���&��� �

~ � � � , � �����! �����c�=��}�R�S�N&��F�J������=J �.�O}���� JwF�����S3F ����� $ K�� � � F��#��� L��$�(�=� � J � �OF��=���#1QKh}���!(��� N��� < � ~ ��� \ !(���&��������� �������IN$}�� 2�S��cF����I���=F�� ��|E}����I}�K�� \ �����$�� �����=F���R#��} �%�n !3> � "���% �($ K� � � ���$F�J�F�� R S����H�<F���� i ��}�� < � ~ � � k \ ! � �=F���� � ��F�� �����h4 �� ��!#"�$�OF��=���#1� �0�&�����%�"F�� ���=� �OF��=���#1W}]L��&� . ���T� �&! . � F�� F�� � �����&��|���}-R�S N&� ��|3F�N$�!"����� ����� S���S3F�Js� ��� �$�|���}-R�S N&� � �0�&��4 �E� ����� ���=F���R3F���RG}���R��$���$R i }��(����}���}���OF�J k�3F���� �4�����B)3� � )�� 1 + i . � k ��� )�� i `� k ~ � `� � _M� ��� }j! ���3F�� � )�� �%5 ~ � � �0�&�� ~ i ���*� 5�5 5 � � � k �E��F�� }��(����}���}���OF�J ��F������'!"�H��� ���$��|%�&N&�W�=}�!(��� N�� )�� �3F��WF��S�|�|E�$�7�=��� F�����S JwF�� �OF��=���#1���s�,��� �%� ����� � F������ 1 !(��}���� � ��� N$}�J�S����q� � � L ~ � �ML �%5#� ����&� � )�� �10 ~ � < � ��� ��� ����$}������ 5 ��� �zy � �-� ��N&� � � ��}��(����}���}���OF�J+��������� F�����=}IN����&N � ���3F���� � �"F S����H�<F���� � FV�=��� 1� _ �*�3F L��'| ��}]L��&RG������Kh}�J�J }]!"� ������Wd�eVd! � YS e " � /&>0/ �u/ f 8 � > 6 "�! ��� � ; � ! @ $ - � ! "�� �Z> ��m �54 - � - > 6�" n !3> � "���% ! "�� �,> �� 6 n�; 4,�54 "�� � < � �!� > 6 nj@c@ - � � �Z> "�! n $�"��&C

�('#" +-,/./021%$ 1 � 576'& , 1�(!<�) .�* 1 � 5 �,+ - * � *�4 */. 5�.�* 1 ��0�&� � �E�qFIL��&N&�=}��T��|�F�N$� }]L��$�X����� )3�$J�R � \ � FO��S�� )3�&J RQ}�K . \ F���RQJ �,� � � " �%�F���� � ���$�"|���}-R�S N&�"}���� � �0�&� A �E�'F ��S�����|3F�N&�W}�K � \ F�� R)| S �

A10 ~ ��� 1 � � � C � � " ~ & Kh}��"F�J�J C 1 A 5243 : / � /%$0/213/ A 0 > 6*"q6 n�g 6 @ " ;�- �98 � "�!$� A653A 0 ~ � & C87 - ! ;�- A � A 0 ~A 99A 0 C{ � ���98&C 1*F�� ���21-�$��N&� �����

_ �QR�} � }�� ��� }j! �HK�� F�N���� 1 � �3F��OFM���$|����$���$�c�<F���� }��P� � �����)Kh}��� � ~C � C � !"����� C 1 A F���R C � 1 A 0 \ � S �XF��"J �$F����! � � ��}]! Kh��}�� ����� |����&N$�&R�� ���}������$�(L�FV�=� }��Q����F����H� �3F���F�� �O}��(�T}������ ����$��� � �X}����qN$F����W!(���$���q!^� ��� }j! ���3F���

~ A 9 A 0 �oqpsr d�e r�t � /%$0/&>u/f 8 A > 6 � !3> � - ��> ! - ! 6,> ��!#"�$zm �54 - ! �

~ A 9 A 0 C{ � ���98&C �-S�| |%}���� A � � )3���H�=�TR � ���$����� }��3F�J �� ����$� S���� ���W����� � �=F+� " �-N������ R �*|���} "N$�&��� \ Kh}�� � 1 F���|�J � \ !^�WN F�� )3��R F��Q}�������}���}���OF�J �3F���� �;: ~ i ����� 5 5 5 �� U^k }�K A �,3}��F��(�������=F����#� 1 � \ |�S � � F ~ � � � � F " � ����$�)!^� � ��}]! ����F��

C ~ U. F� � �

F � F

Page 127: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

������� ��� �7�q���'� � ��� ������� � � ���,��� � �X � � � � � ��� �����,� � � y �

� ���� A \ F���R)! � !"�������

� ~ C � C � ~ U. F� � �

F � F � i ���U. F� � �

F � F k 5_ � ����}]! ���3FV� ��� D UF

� � � F � F 1 A 0 ��-}OJ��&�(�)1 A \ �=F��0� ~JD UL � � L2�ML�� �-� ��N&� : ���}�������}���}��(� F�J \

� �.� U. � � F � F ��� " ~ � ��� U

. F� � �

F � F � U. L � � L�� L "

~ U. L � � �L � � � � L " � U

.F�L � � L��

F � � F � �ML "~ U. L � � L��NL�� U

. L � � �L2�NL � �MLT� �ML " ~ & 5�-}�!"�H��� C ~KD UF

� � � F � F F�� R C � ~ �.� C \ � ~ C � C � ���"����� S���� ��S �'!^F�� �=}!"���H�=�-� F�������� ��S�� }�K�F��)�$J������$�c�"}�K A |�J�S�� F����$J������$�c� }�K A 0 �

�X}]! ��S |�|%}���� �~ A 9 A 0 \ i !(����N�� ! � �3F L�� 2�S����'���&�$�M� ����� ��N$F����I�HK A� � )�������� R�� ���$� ��� }��3F�J k � � J ����� F�� �=��F�����Kh}���OF��=��}�� � ��� � �����=F���R �=} �E�IF��

�����h4 �� ��!#"�$ @ � � � -<; �2> ��! }�K �a}��c�=} A | ��}]L�� R��&R)������Kh}�J J�}j!"����� ��}�J R �i � k � i C k ~ C Kh}��"F�J J C 1 A \i � � k � i C � k ~ & Kh}��"F�J�J C � 1 A 0 ��-} J �&��� �E�#F��x}��(����} ��}��3F�J |���} 2��$N,�=� }��x}��c�=} A ��� ������� R��2)3������� }���� �s�,�

� ~ C � C � �E��F���� �&J �����$�c�I}�K � !"����� C 1 A \ C � 1 A 0 � ����$� � i � k ~� i C � C � k ~ � i C k � � i C � k ~ C � & ~ C 1 A � �-}�� i � k ���^FqS ��� � S��&J&��R��B)����$R�$J������$�c� }�K A Kh}��"F�J�J �%�

}��cL��$�����&J&� \ ����� J�J�S ��R��$�������3����|%}������&��� �����3F�� � ~ A 9 A 0 \ R��B)����;� � � ��� F���Kh}�J J�}]!"� �.,�}�� � 1 � \ !"������� � ~ C � C � \ C 1 A \ C � 1 A 0 i S�� � � S��$JO�E. k \F���RM|�S ��� �5i � k ~ C � $ �q���'F��M�$F�� � �21 �&��N&� �����=})����}]! ���3F���� � ���$F�J JO� ���'J�� ���$F�� \� �5i C k ~ C Kh}��'F�J�J C 1 A \ F���R� �5i C � k ~ � �hi & � C � k ~ & Kh}�� C � 1 A 0 � �-}� � ��� ~ C � C � � C � ����� F�J�J&� �h4 -�n !3> �$n - �����54 �� ��!#"�$ @ � � � -<; � > ��! }�K � }�� ��} A ��Q}����$}]L��&� \243 : / � /%$u/%$0/ � Y ~ ��� � i � k ~ � > 8 "�!$� ��! $&% > 8 �01 A ��� i � k ~ & > 8 "�!$� ��! $&%> 8 � 1 A 0 C

Page 128: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� y 3 � �*����� � ������� � � � ��������� � � � �!� � � �243 : / � / $u/('s/�� � � > 6 �54 -'n !3> �$n%-@ � � � -<; �2> ��! �98 � ��! ����A 0 C0^}���� � ��� � 3 �76 � 6OF���R 3 � 6 �65 F����WK2F�� ��JO� �$F�� �)�=} | ��}]L�� \ F���RQ�����&� � |���}�}�Kh��F����

! }������ !(� � J ���21-�$��N&� ���$� �243 : / � / $u/%;u/ A � A 0 0 C{ � ���98&C A 0 N&}������������T}�K*F�J JuL��&N&��}�������� � }�������}��}��3F�J0�=}O�&L��&� �)L��&N&�=}��T}�K A � �-}� �M|3F��(�=� N&S�JwF�� \ �,L��&� � L��$N,�=}�� }�K A ���q}��(����}��}��3F�J �=}G�&L��&� �ML��$N,�=}�� }�K A 0 \ � � ��� \� F�N���L��$N,�=}��}�K A � �^� � i A 0 k 0 � 0^S-�� � ���$���&�=F�J ! ��R�} ��}�� � ��}]! �HK0�����&����N$}�S�J R�E�'��}�����L��$N,�=}�� }�S ������R�� A ���3F�� � ���� A 0 0 �oqpsr d�e r�t � /%$0/ �u/f 8 � ~ A 99A 0 m �h4 - !(A ~ i A 0 k 0 C{ � ���98&C 0@� � ��� � 3 �76 �� \ ! � � S ��������}]! ���3F�� A 0 0 � A � �-� ��N&� �

~ A 9 A 0 \! � ��� }j! ��� �$��� ��� F S�� � � S�� }��(����}��}��3F�J |���} 2��$N&��� }�� � }�K � }��c��} A \ F���R Kh}��� F�N�� � 1 � \ � � � i � k 1 A 0 �����$�&|#� � ��� ��RG���3F�� A � i A 0 k 0 F���R'� i � k 1A � i A 0 k 0 \ ��} � ��� � i � k �#� i � k�" ~ & � $ � Kh}�J J }]!"�^���3F��"Kh}�� � 1 A 0 0 ! � �3F L��

��� � �!� i � k ��� Y ~ � � �!� i � k ��$� � i � k�" ~ � � � � �!� i � k�" � � � i � k � � �!� i � k�" ~ & � & ~ &��� �����IN&}������$�c��� 2�S��(�WF��%}]L����#A �$��N&� � ~ � i � k \ !(����N��M��O|�J�� �&�T���3FV�.� 1 A \� � ��� \ A 0 0 � A � AX�$� N$� A 0 0 ~ A �

�X}������ $ K � ~ A 9 A 0 \ �����&� i A 0 k 0 ~ A \ ��}QF�J ��} �~ A 0 9 i A 0 k 0 \

F���R i A 0 k 0 0~ A 0 �

� �HL��&�GF )3���H�=� R���O�&������}��3F�J%��S�����|3F�N&� � }�K+��� �'�������&�|���}�R�S�N,�X��|3F�N&� � F���RFO|E}���� � �,1�� \ ! �q!�F�� �T�=}�)���R F |E}�� �c� � 1)� N$J�}����&���T��}#� � �)�����W���&����� ���3F����� � � � ��� � �^F����(� F�J�JEF���|E}������ ��J���� +} R�}q����� � !^� )�������N$}����(�=��S�N&� F�� }�������}���}��(� F�J�3F���� � � ~ i�� ��� 5 5�5 � � U�k }�K � � �� �qS���� � S��q}��(����} ��}��3F�Js|���} 2��$N,�=��}��G}�K � }��c�=}'�� ������L��&� ���

��� i � k ~ U. F�#G

� � � � F " � F 5_M�'����}]! ���3F�� ��� i � k � ����� �'S ��� � S��*�21 � N$J�}����&���"�=} �%�oqpsr d�e r�t � / $u/wv%/ < n]@c@ �]6 -*� > 6)"3� !3> � - ��> ! - ! 6,> ��!#"�$ 6 n�g 6 @ " ;�- �98 �h4 - > ! ! - �@ � ��� n�; � 6 @ " ;�- � "�!$� � 1 � C0"u4 - !

��� ��� ��� i � k ���$����� �/� � ��� % � 1�� 5� n ���54 - �2! ��� - m*> 8 �21 � "�!$� -��$n "�$?> � %I4 ��$ �V6<m �54 - ! � ~ ��� i � k C

Page 129: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

������� ��� �7�q���'� � ��� ������� � � ���,��� � �X � � � � � ��� �����,� � � y��

{ � ���98&C �-S�|�|E}���� �21�� � ����&�#� � ��� i � k 1 � 0 F���R���� i � k �)�)1�� \ ��}W! � �OF �S���� ��� ��P/� ����F ��}���� F�� ����$}������ ��� ������Kh}�J�J }]!"� �����

��� �.� ��� i � k ��� Y � ��� �/� ��� i � k ��� Y � ��� ��� i � k � � ��� Y i43 � � k~ ��� i �.� ��� i � k�k � i ��� i � k � � k ��� Y~ ��� �/� � ��� Y �!(���$��� �<F � � ��� � � S3F����I��}�}��=� ����L��&�T��� � R��$��� ���&R#� ��� ��S�F�J �H��� � � J���} \ ����� ������� S3F�J������}�K��� �O��� �$}������ � � F�� ��� S3F�J������ ��KF���R }�� J&� ��K������ ������� S3F�J������#��� 1 �%� 3 � �Q� �qF����� S3F�J������ \ !(��� N��)� �"�HK F���RQ}���J&� ��K�� ~ ��� i � k �&(' S t�) r � /%$u/ � / "u4 - � - "�� - ! "�! % " @c@ $?> ; "�� > ��! 6 �98 �54 - " g �V: - �54 - ��� - !�C 7 - � -> 6 ��! -,- � "�! @ $ - C � - � � ~ � � � � m "�!$�2$ - � � g�- �h4 - 6 n g 6 @ " ;�-�; ��! 6,> 6�� > ! �98 "�$ $@ ��$&% !�� ! > "�$z6�� i � k - > �54�� - �� -�- $ - 6<6 �54 "�!�� "�!$� 6 "��2> 6h8�%�> ! �� i & k ~ � � i & k ~ & C� > !$� " @ ��$&%�!�� ! > "�$�� i � k 1 � 6 n3; 4 �54 "�� �G � y/� 6 � � � i � k � Y�� � > 60"V6O62! "�$ $ "V6@ �]6<6,> g $ - C

�-}�J S-�=� }�� � ���B)3���QF��b� ��� �$��|���}�R�S�N,�O}�� � � � � ��� � � �� " ~ �G � i � k i � k � � �P S �� i � k ~ y-� 6 � \ F���R ��}���� ���3F�� � ~ � � i � k ~ � Y � Y � ��� � � � � Y � ��� 1 � �_ � ���$�&R F�� }�������}���}��(� F�J ��F������ }�K�� � �-} ���=F���� !"�H��� �����#�3F���� � � ~ i � Y ��� � kF���R F�|�|�JO� ����� � �=F���� �-N�� �O��R � F�J ��}����H�����,� _M�I!^F��c�q��}Q| S � � � ~ ���8�8 � � 8�8 �#, �����(�N$}���|�S ��� ��� � Y ��� Y ~ �G � ? � � ~ �

� \ ��}� � ~ � �� Y 5 i43 � � k

�X� 1�� !^��!^F��c�X��}I|�S �

� Y ~ � � � � � � � � � " � ���� � � � � � � � � � " � � ��� 5

AX�&��� � � � � � � " ~ � �G � � � � ~�� �� �� ����$� � � � � � � � � � " � � ~ � � � �� �Y �

�X}]! ��� � � � � � �Y ��� Y ~ �

G i � � � �� �Y k Y�� � ~ �

��� � � � A �$��N&�

� Y ~ � � � i � � �

� �Y k ~ � � i � � Y � �� Y k 5 i43 � 3 k

����$�)����� |E}�� �c� � 1�� N$J�}����&���"�=}� ~ y � 6 �G� �

Page 130: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� 6 & � �*����� � ������� � � � ��������� � � � �!� � � �

� ~ � � � � " � � � � � � Y " � Y~ � � �� �

G i y ��6 � k � Y � ��� � �� Y � i 3 � � k

� � � ��� �G i y ��6 � k i � � � � �� Y k � ��� � � i ��� � � �� Y k �

i43 � � & k��}I����F�� F�K5�=�&�"F ����� ��}�����N&}���|�S �<FV�=� }�� !^� �3F L��

� ~ y�5 � Y � y & 6� & � � 5 i43 � � � k

�('� *��2< 57,� ����,)B. * 1��25H6�; 5�� + �6+ (!1%*�� . ;,"�$N F�J J7���3F�� �HK � ����F L��&N&�=}��'��|3F�N&��}]L��$�'F���� )3�&J R � \ �����&� F J�� ���$F�� �OF�| Kh��}��� ��} � i L�� �,!^�&R#F���FIL��&N&�=}�����|3F�N$� }]L��&��� k ���TN F�J J �&RGF�� >������ � 8 n � ;"! > �#�$� �&% '������,� ��� }�KXF�J J J ����� F��'KhS���N,�=� }��3F�J �q}�� � � � N$F�J J��$R ��� � � n � � 6 @ � ; � }�K �(% _)���$�� ����F��G� �����&�T|���}-R S�N&�T��|3F�N&� �����WJ ����� F��"KhS���N,�=��}��3F�J��X}�� �*�3F L��IFO|3F������ N&S�JwF���J&�����N$� Kh}��(��%�, �#1 �,+ �(% '���$�MR��B)����.- � � � �0/ � � /��� " %21 � ����� F���� �=}���&�����3FV�3- � �^F J � � � F��*KhS���N,�=� }��3F�J4%51 K � � ��)3� ���=�TR�� ���$����� }���F�J3�����&�)�,L��&� � J�� ���$F��KhS���N,�=��}��3F�Ju}���� F���� ���$���������!�F�� %oqpsr d�e r�t � /('+/213/�� � !6-7+ ��� C "u48�"� ! 48�"���X> 69� n �3> �$n ��: � ;"! �#� �.+ � 6 n3; 4 ! 4:� !- i / k ~ � /!� " �8 �#���,: �"��% /�+ � C{ � ���98&C �0�&� i�� ��� 5 5 5 � � � k �%� F�� }�������}���}���OF�J �3F�������}�K �.% '���&� Kh}���F����7/;+ � \! �<��F]L�� / ~ �= F

� � � /!� � F " � F 5AX�&��N$�

- i / k ~ - i �= F� � � /!� � F " � F k ~ �= F

� � � /!� � F " - i�� F k~ �= F

� � � /!� - i�� F k�" � F 5i43 % � y k

Page 131: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

������� � � � � ������� � � ���,���*� � � ���T �� �-� � � �3� � 6 �� } ��K !^� |�S � � ~ D �F

� � - i�� F k � F \ ! � ��F]L�� - i / k ~ � /!� � " Kh}��W�,L��&� � / + ��% '��� �"� ��}]!"� ����� � 1-� �(�=�$� N$�'}�K7����� R��$��� ���$R �$% ,3}��^����� S�������S �$���&��� \ ��S |�|%}���� ���3F��

- i / k ~ � /����� " ~ � /!� � Y " / + � 5 '���$�� ~ � /!� ��� � � Y " Kh}��"F�J�J / + � \ Kh}���N������0��� ~ � Y %�X}�� J���� � F���R A �%}����0������������� |���}�R�S�N�����|3F�N����*}jL���� ��% �!��� ) + + i � � A k

F���R ) 1 C + A % �"�2)#���(- � � � ����- i � k ~ � ) i � k � C " % ,$���%�&� \ �'�(���(� F)� �*�=}N ���$N �+���3F,� -7+ ����% � �&N$}���R \ ���-�����X|��%�,L.��}�S��/�����&}��%�B�0�������%�(��� FWS������ S��XL��$N���}��i ���3F)��� �1��}�� R�����})�2�/��� ) � i C k�k Kh}��3� ����N �

- i � k ~ � ) i � k � C " ~ � � � ) � i C k�"4 � + � 515�6��� N&J��$F������3F)� ) � ������}��+� �7��� RO}�K � F�|�K8��}�� A �=} �.% 19��K2F�N�� \ �'�/������}�S.�2������=}IN ���&N �:���3F)� ) �����J������ F)� \ � %;� % \ ) �'+ + i A � � k %oqpsr dEe r�t �=< ' < > < � � ! � � �$�WA g �?>��8���"�A@$� ��� n#B"!DC @:� B � C � �$� C,n @E@ � C � !GF � !H � ) + +JI � � ALK2� ���1M � !GFNCPOQBRF�!GF � ! H�� � �$� ) � � ��> C"!5S " F �"� >I I H � )(K � ~ H � � ) �TS >G>I I � )(K � ~ � ) �TS >G>G>I I ) � K � ~

) S >GU� � � ~� S U� I H )(K � ~

) � H � S{ � ���WV S '���X��}�Y��%������|���}�}�Z8�\[��%�X]���ZG���2^_�����X�%�`[)a���� %bdcfe7gihTe�j �=< ' < $ < � � !�� � �ik A M"� � �#> ! �lk�> ! �"� C > �#�$� � >��8���"�X@$� ��k O#B"!mC @:� B � C�,U �"� �AS < O @E@ � C � ) +XI��� ALK S " F �"� >I�� O ���'I ) � K�n Ipo ! I )(K%K 0 � >G>I o ! I ) � K�n I � O ���'I )(K%K 0 � >G>G>I�� O ���'I )"Kqn Ipo ! I ) � K%K 0 � >GU� o ! I )(Krn I � O ���'I ) � K%K 0 Ss � ���WV S ,Q^��tIu� Kwv C +x�7Y�]�]pI ) � K �'y ) ��I C"Ktn z {��y � � � ) �`I C"K " n � + ���y � ) I � K � C " n � + �|�'y C +}I 19~�I )"K&K 0 %� '�����-���%^�������I8� K %(0@���R[ �7�����^��&����^��^��#[�]J��^�~���]���~+���E�2�:^�Zd��^)�����%��a����*^�Z_[������7Y#[�]������ v ^��:�����&����]�[���������[��^��i���2[,�2^����\�����1���%�r[�a 2&^����E� v �����6^��������������%���3���7Y#[�]����%������[��&�6�`[)�%��]O�X�����R[���]���� ����a %bdcfe7gihTe�j �=< ' < ' < � � ! � M"� �=� �#> ! �-k�> ! �"� C > �#�$� � >��8���"�\@$� ��k OQB"! C @:� B � �,U �"� �� �ik � � ! � n I � ��� 5 5�5 � � � K-M"��� � �#� !GF �#���#��!�� � M � C > C V �#� �AS � � ! ) + +JI � K�� �ik� � ! � n � ) �10!S " F �"� � F L n � ) I � L K � � F " S

Page 132: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� 6�� ��� ����� � ������� � � � ��������� � � � �!� � � �s � ���WV S '��� ~A[,�2�%� 1�������a��B)�����a ���

) I � L K�n �= F� � � F L � F 5

� ������� � ���\^�������^���^��%~�[�] v � � [�]��&^���[����) I � L Kqn �= F

� � � ) I � L K � � F " � F 5A ��������� F L n � ) I � L K � � F " %� gQh,g � YS h " �=< ' < ; < � � ! � M"����� �#> ! �dk�> ! �"� C > �#�$� � >��8���"�3@$� ��k OQB"!qC @:� B � �,U �"� �� �ik � � ! � n I � ��� 5�5 5 � � � K+M"��� � �#� !GF �#���#��!�� � M � C > C V �#� �lS � � ! ) + +XI � K�� �ik� � ! � n � ) �10!S " F �"� � ) � �10 n � ��� - F �"� � � � > C<!GF � B �#��� O�� � ! � ! � � � C @ � C � �WV �_Ss � ���WV S��(����^��&a������1�2^ '����^��%��~ 3 %65�%65 v � F L n � ) I � L K � � F " v [���aA�'Z�� n � ) � �%0 v �������� F L n � ) ��I � L K � � F " n �=� F � ) � I � L K " n � ) I � F K � � L " n � L F %�('�� �%02< �-5�� 6 < */$30 & ,�*��,)�*�� 6 < ��(]�]�~�[)�2�&�������q���D�������q��^��2�\[��&�\^T�����q�����"!���]�a . ^�Z���^�~���]�� 1D��Y�~D�����%� v [)��a_Z8^��/[����~�[)�2�&�#1�� v ��� a�����^��2��� �����1��^�� 2&Y���[)�2�J�2�%[����&��^��&�d^�Z�� %#� ]��&^ v � � " a�����^��%���m������&�2[���a#[)�%a:�������������&^.a�Y����m^�� . � ��������� ���%$ � �!� �Q" n � � � n � � �6% �!���;�L�i� � � ������%~+���2��[�� v �%^ � �#[)�q�%�`[)]���� �����E�)[�]�Y���� � � � �'& ��()()( � � � �\�����-[)�_^��&����^���^��&~A[)]�%�P�-�+*�����,�,-,M�.* � ^�ZJ[)�%�%^�����[)�2��a ��� �����E�����P�2^��&�-$,�/* L n ��L0*ML v � *ML �.* F " n * �L * F n* �F *ML n21 F L#%

�!���"3 n I4*�����,�,�,M�.* � K �i� �����"~�[)�2�&�#1-� ��^��%� � ���N��^�]�Y�~+�A���#*ML#% '�����53��63 n� � [)��a73�� ��3 n 3��TI ���8*�����,�,-,M�2� � * � K/n 3��63:9 n 9 n ��;=< I � �*��,�,-, �2� � KPv [���a>3����Y������2[�� �?I?3 � n 3A@ � K %B#^�� �Cn �7+ . � a���!���� �����AD �FE � �P> �,FHG3O � ! >4�"� !�I � I � K Z8^��8�����

I � I � K/n � � �!��� "� �!��� " n � � ������ � ��� & , I 3 % �)J KPqY���K n ���7+ .ML $ � �!��� " n � v [���a:��^��%�X���#[)��Z8^��\ 5Cn � + . � >Cn �7+ .NL v

I � I=�� K/n I � I � K , I 3 % � 5 K

Page 133: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�����7��� ����� ��� � �� � � � �� ��� � � � � � ��J�J �������

�+I � I � K $ � Cn n �+I � I � K $ �7+ K n ��� � � � $ ��+HK , I 3 % � K�'���:�%��� A I � K-n �+I � I � K $ � + K ���D��[�]�]���a ����� � O�� �"�w> B � � ��� � � � ^�Z��2%

�"���%���&���"���#[)� ��Z � n 3 � v ������� �7+HK �'y � + K % � ������� A I � K ���������(��^��E�2����Y�^�Y����~�[�����^)Zd[���^�~���[����:��^����������2��a �&��� v ���N~DY��&�:�i� [���]�^��&��a ��^�Y���a���a����7�%������[)]�\����� [ ~�[�1.��~dY�~�� [���a [ ~+������~DY�~���% � ������� 3 $ .NL .ML $ � � 3 �{�����^����&������Y�] [�� v 3 ~�[�����K �%^ K ���*[-^������p�2^ �5^����X[���a*^��E�2^-~�[�������� % m�������

� n � < � ����� ��� � ��� n � < ��� ��� �.I43 � K � �_I43 � Kqn � � 3 � ��3 � n

n � < ��� ��� � � � 9 � n � < ��� ��� �L= L � � � L � � L � & �

� �����&� � n I � �*� � &���,�,�,M� � L K � + . L v D � � F � & n � %� ��~+��]�[��%]O� v

� n � ; � ����� �+I � I � K n � ; � � ��� � L= L � � � L � � L � & ,0@�N�����X^��&a����&�����_^)Z������X���������E�)[�]�Y���� v Z8^�� � + K �6� �#[`���� � n � � = � � L � & � L= L � � � L � � L � & n I! �I � K � � L

L= L � � � � L �& n � L , I 3 % � � K

BQY��&�������%~+^��&� v �\�'��� � n I � �R Q�-,�,�,��R K �<+ K [���a#" n I ��,�,�,��R Q� � K � + K v � ��#[`���/I! fI � Kqn � �/[)��a I! !I$" K/n � L %% �������\�6� �#[`��� [�]�~+^��&�/���%^�����aA�����\Z8^�]�]�^��\�����!#�%��� [������&^�1.��~A[)�%��^��l�%^_�����AD �FE � �P> �,FAs �w>�� B > @ � � %bdcfe7gihTe�j �=< ; <$&#<(' � ! � M"�<� � � � � F �"� � > ! > � � � � ! �w> �/-q> !GF �P> � �"�#U#� � O � C � � �� & ��()()( � � L S*)=F �"�1V �#��� �'E(���#�,+#�"� � � + K L �

� � � I � I � K � � L � � �ik I 3 % � � K� � n � ; � ����� I � I � K � � L n � < � ����� I � I � K , I 3 % ��3 K

o V >Cn �7+ . L C � ! > C � � C"I � I � K/n �FV �#���P> !GF �"� ; n � �#� ; n � � I 3 % � � K!8F �"� � > C � � �P> � �"�#U � B"! �#� �WV � M"� � �#� � >�� ��! � !8F � �P> � �"�#U#� � O � � F S

Page 134: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�)J 5 � � ��� ��� � ��� � � ��� � � � ��� �� � �!� ��� �s � ���WV S ]���[��%]O���q�7� % 3 % � �_[���a 3 % ��3 [��%� [�]��%��[�aQ�l���%^�����a % � ^���^����%��a������q� % 3 % � �:%� ������^�Y���]�^��%�f^�Z����������2[�]������"� � ~�[��X[��&�%Y�~+� � + K % � Y�����^��&� � n D LL � � L�* L v�%^-����[)�"I � I � K/n � � ��� n�� D LL � � L�* �L� � D LL � � L � L�*ML n D LL � � � L�� L�� & %

]���[��%]O� � � n � � D LL � � � L�� &�� D LL � � � L�� L�� & �\�����N���7Y#[�]���������y � L n � � � ����� �������� LACn :% �������"I � I�� K�n � ���'y�������]�^������r�2^"�����������������&�#[����m[��&�%^�����[)�2��a-�\�'���� � %�'��� [�� ��Y�~����7��Z8^�� � L �����%��~+��]�[�� %�m���`[�]�]m���#[)��3 n I4*�����,�,�,��.* L Kwv [���a��^��%������[)�N��Z�� n 3�� v �&^�� n 3���� v

��������� n * F n 3���'y�� n 3 � * F n � F % � ^{�\����������� ��^)�R[)�%��^�� � n 3�� v� n I!� ����,�,�,M�"� L K � v � � �#[`���� �!�.* F " n � � * F n � � 3 3 � * F n � � � F n � F ,

���������$#2* F ��y%� n 3��&���%[)�2��� !#���'� F n :%�"��Z % ) L n)( � Cn $ � �!�.* � " n _Z8^��*� n � ��,-,�, � �+*"n)( *�����,�,�,M�.*ML * 0-, ( * %

bdcfe7gQh,e�j .=< ; < > < I � I�� K0/ � L � � V21#� � ���3� + ) L � � �ik I � I4� K"n � L � � V21#� C 1 � ��7+ ) L > 5 � > C � � �P> � �"�#U � B"! 1#�<� CRC 1 B > � ! �%k/-q> !8F � L � �wS*)=F�O7C� L � � n � ; � ��� �"6 ( I � I4� K7*Jn I � I4*ML � � K ,

s �"181WV S Cn � + ) Ld�'y9� n 3���� �����%�-� n D L �;: L � � � � ��� �'y9� n D L �;: L � � � � * � %� ������^�Y�� ]�^��%�(^)Z���������2[�]������N� �_~A[�� [��&�%Y�~+�<�;+ K 5�) L % �'�����=� n 3 � �;+ K[���a>� + ) L 5 K �'y�I � I�� K n D L �": L � � � � � � � � & / � L � � D L �;: L � � � � &� � / � L � � v�\����� ���7Y#[�]������?�'y�� � n l� �������P����� � ��? � L � � %(19� ��[��&�%����Y�] [�� v ��Z@� n � L � � v �%^� n * L � �*�"I � I�� K�n � L � � %bdcfe7gQh,e�j .!< ; < $ < s O ! H L n�( � Cn $ � �!�.* � " n V21#� � n � � �BA � ��,�,�,M� �BAI � A � K;* S < 1 H L n)( * L �.* L @ �*��,�,-, �.* L @DC L @ �FE * 0 , (.z * S )=F �"� I � I4� K � � L @ L V21#��� ����7+ H L � � �ik ��G O � � > ! E F 1 � k C > 5 � > C � �,�P> � �"�#U � B"! 1#�<� CRC 1 B > � ! �%k/-q> !GF � L @ L,S*)=F�O7C

� L @ L n � < � ���8H 6 ( I � I4� K;*Jn I � I4* L @ L K ,s �"181WV S�� � ]��`[`���J�����X���%^�^�Z$[��m[��:�JI.���&�����&� Z8^��3�����X�%��[�a���� %

�'��� D �FE � �P> �,Fls �w>�� B > @ � � ��^����&���&�%�\^�Z �'����^��&��~+�'K %ML % �_[���aNK:%OL % J %

Page 135: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�����E� ��� � � � � �� � ��J L�('�� ��� <=,�)�*�; <=;

� % S h S � e g��Qh S j ��76 S? V Z "�� 15Z2/�� *4[��&� �����P�2^��&� ��� ����� ���������:���%^�a�Y��P��%��[������ v �������

� � /�� * � � & ��� � / A * � � & n ��I7� � / � � & �)� � * � � & K ,� I.��] [����N� ���N�����������7Y#[�]��'���l� ��^�Y�]�a �i�J�%^ �5�#[�~+��a %

� %��!����� [���a A �i�"���������6���%^�a�Y����6�%�#[)������^������\� v [���aN]���� ) + +JI�� � ALK % 15Z�������%� ���m[�� [�a 2&^����E�m~A[�� ) �/$ A � �%Y�� �����#[,� � ) I * K � C " n � * � ) ��I CJK "Z8^��\[�]�]M* +�� [)��a�[)]�] C + A0v � ��^�� ���#[)� ) �3+ +JI A ��� K %

J %��!��� ) $�� A �i�X[_]������`[����2�%[����&Z8^��%~�[)�2��^��A� ��^��&� [�a 2&^����7� ) �"$ A ��\����� �&���%�i���P�D�2^ � � "�� v � � "�� a�^���� �JI.������% � ^ Z8^��d[�]�] * +�� v C + A v� ) I4* K � C "�� n � * � ) ��I C"K "�� %�PqY��! n � /#"$"�I )(K [���a&% � n � �tI ) � K %I [ K � ��^�� ����[)�1I'% � K 0 n %Iu� K � Y����i^��%�J����[)�!% �m��� !#�����%�Ja���~+�����%��^��#[�]=[)��a � ��^�� ���#[)�! 0 n % � %

( % Pq�%^���� �'����^��%��~ K:% ( % � %L % Pq�%^���� �'����^��%��~ K:%ML % J %�:%!)"�+[��-��� �5��] [)�%�r]�������[��r[�] �������2["�JI�[�~ v [J�&�%Y�a����E���3[)� [)��*���a+�%^ ������� I8Z8^��r�%����i^����E�2� K �����Ja���!#���'�2��^��N^�Z�+&�%��[�]=� ��~+~��P�2�&���"~�[)�2�&� I0%-, �J��^�Y�]�a��/. �\�&��~+��~���i���"�����Da���!������%��^�� [���a?^�y ���%��a �����DZ8^�]�]�^��\�����A[�]��%���&�#[)�2�'��� $/�0�&�`[�] v � � �~�[)�2�&� I��L����� ��~�~+���%�%��� �'Zr[)��a ^���]&�A��Z � & n � ��� % �)��������� �%�������'����a ��^���&��a��'��Z8^�����������[������6��� v ���/� ���E�r�2^ �%��� ����� �����&�%�%Y��P�2^��f�2^�!#��aD^�Y.��� �#[,���6[���\�%^����J�\����� �����ra��0!#���'�2��^�� %�0@�1���#[,�r�2��~�� ���'�#[�a-]�^�^1*���a_Y��_������a���!#���'�2��^��[���a*�2�&����a:�2^��%���d��Z5��� ��^�Y�]�a ���%^����d���#[)�3����� a��0!#���'�2��^��*�6[��(���7Y����)[�]����E�\�2^�����l�&�2[���a#[��&a�^���� $%�}���1� ��~�~+���%�%���A��Z�[���a ^���]&�t��Z8� n �;� % � ��[�a�[���&^.^�Zf���#[)�3� ^���*)��a:Z8^��"� � �d~�[)�2�&��������[���al����^�Y � �E� ���J��^�Y�]�aN���&^T���J��� Z8^��J � J ~A[,�2�%������� % �'���3�������2�&Y����%^��$�%[���ad���������3[��$��^��%��^.^�aD����^�Y�� � %% ^��6�P����� v�����A�����&�2�&Y����%^��1� ^�Y�]�a ���'���������A���2Y�a����E� L �i^����E�2�XZ8^��d[ ��^�Y��E�2���&�JI�[�~+��]�� v^�� �����AZ8Y�]�]/�2�����i^����7�%�d�'Z ���l��^�Y�]�a ���%^����l���#[)�d�����A�9� ^ a���!#�����2��^���� �6���%����7Y��'�)[�]����7�mZ8^�� [�]�] � %32�^�Y��(���%^���]���~x���m�%^Aa��P�2���&~������X� ����������� ^�� ��^��(������&�%Y�a����7�\� ��^�Y�]�a �#[`���J�i�����:[���]�� �2^d�`[��&�A�2���N��^����E�2�6^��6~+���%��]&� !����"��^����E�2� %�(��a ��^�Yl~+��� �7� ��^����%��a����6�����(��^�~+��]��7IA��[��%�"[�]��&^ $$� ��^������#[)��� & n �!�!�3��Z[���a*^���]O��� n �!� v ^��!#��a [_��^�Y��7�%���&�JI�[�~+��]�� %

Page 136: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�)J � � � ��� ��� � ��� � � ��� � � � ��� �� � �!� ��� �� % � Y�����^��%��� [���a A [)�%�>!������%� a���~������%��^��#[�]��������������&^.a�Y����A�%�#[������A�\�'���^�������^���^��%~�[�]q�#[)�%��� � �1[)��a � & v �&���%�i���P�2�'����]O� %��!�P� ) + +XI'��� A Kwv �&^��6�*7��^�� ���#[)� ) �<+ +JI A ��� K �JI.�����2�X[���at���"Y������7Y�� %HP/�&^����_���#[,��� ) ���10��

�0 � ��������X��^�� 2&Y �E[)�2�"�%�2[����%�i^��%� ^�Z�� ) �10 � � 0�� %K:% � Y�����^��%�"����[)��� ���6[��:���������3���&^.a�Y������&�#[����J^T�����m�(%��!��� /!�.*�+ ��%�Pq�%^����

���#[)� � /!�.* " n _��y � � / � � � � � / � < * � � < +���%I ���E�-$�15Z /$#2* v Y��&� ����� P �7���#[���^��&�`[��*������^��%��~ ^���/ � < * % B#^��3�����1��^�� ������%�&� v �%�7Y#[��&�q������[��&�%Y�~+��aX�������7Y#[�]������([���a"������� ����^�� ���#[)� A � �\�7I < � /!�.* " K �� < � & � � * � ��Z8^��\[)]�] < +?��% �'��������Y�� < n A � � � � * � �E���N�����X�`[)�%�:* Cn z % K

�:%�B#^���[)�%���'�2�2[)� �l�&�`[�]!�7Y�~d�����%� < ����,�,�,M� < L [���a� ����,�,�,��� L v � ��^�� ����[)�� L= L : � < L�� L��& � � L= L : ��� < &L � � L= L : � � &L � � � ,

� :%��!���!� �i� [+�&�`[�]=�������������%^�a�Y��P� �&�#[���� % � ��^�� ���#[)�� /!�.*�� n �

(� � /�� * � � & A �

(� � / A * � � & , I!K:% �� K

I �'����������Y�[�]��'���N���3����� � ��� � @D1 � � �P> + � ! > 1#��>uk �"� ! > ! E % K��� %��!���!� �i� [+��^�~���]��JIl�������������&^.a�Y����m�%�#[)��� % � ��^T� ���#[)�� /!�.*�� n �\�EI � /!�.*�� K � ; �\�EI � /!� ; *�� K , I!K:% � � K� � %��!���!� �i� [+��^�~���]��JIl�������������&^.a�Y����m�%�#[)��� % � ��^T� ���#[)�

� /!�.*�� n �( �= L : � ; L � � /�� ; L * � � & , I!K:% ��� K

I �'����������Y�[�]��'���N���3�����lB 1 � @ � ���X@D1 � � �w> + � ! > 1#��>uk �"� ! > ! E % KB#^��3�����d���7I�� �9� ^A�7I����%�����%���"]��P� � �i�d[ !#���'�2� a���~+�����%��^��#[�]=���������\���&^.a�Y�����&�#[���� v [���a*]��P����+ +XI'� K �2[)�%����Z���� & n ��%� J % � ��^T� ���#[)� � ����[���^��&����^!��^��#[�] ���%^ 2&�����%��^����'Z-[���a�^���]�����Z_�7Y�]�]9I � K��I 19~�I � K&K 0 %

Page 137: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�����E� ��� � � � � �� � � J �� ( % � ��^��L����[)� � ���([��?^��&����^!��^��#[�]f���%^ 2&�����%��^�����Z�[���a�^���]��*�'Z � � �AI * K � � � � � * � �

Z8^��1[�]�] *;+��.%tI$ m���E��$ 2�^�Y �\��]�]q���&^��#[���] �?������a �%^�Y��&� � I.���%�����&��� K [���a� J % K� L %"B$� It[:�����P�2^�� * + � [���a a���!#��� ) + ��� ��� ) I / K n � /!�.*�� % B#^�� < +4�a��P�2���&~������q�����qZ8^��&~DY�]�[6Z8^�� ) ��I < K % ���%�q�6��Y��f�����/���R[���a�[��%a ���������f���%^�a�Y��P�^��*� ���'�����:��� � < ���� n < � Z8^�� < �� +���%� �:%�!��� ) + +XI�� � ALK %�Pq�%^���� ���#[)�I [ K ) ���\��� 2&���P�2�����J��Z�[���a*^���] �l�'Z ) � �����&Y���2&�����2�'��� �Iu� K ) �����&Y���2&�����2�'��� ��Z�[���a*^���] �l�'Z ) �\������� 2&���P�2����� %� � %'15Z ) + +XI'� K [���a�� ���-[ ) �9���7�)[��&� [��E�d�%Y����&�#[�����^�Z�� v ��������� 0 ��� ) � ����E�)[��&� [��E��%� K:%�!��� � ��� [D�������%^�� �&�#[����X�\�'���:��^��&~�� ( � %�P/�&^����X���#[)�

��� /�� A ��*� � � � / A *��+,� �:%� �&���JI.���&�����%� � K �%^����^�� ���#[)�?�'Z ( * F * �F : � ��^��7����� ����� �2^ * ��� � v �������( � / F

� * �F : � ��^��E����� ����� �%^���*� % � �'���-[��?�7I�[�~���]��_����� & �%^:����^�� ���#[)�J�������^��&~���~�[ �N��^��7����� ��� �\�'����^�Y��������J�������%^��%�m��^��7����� �������:%

Page 138: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� J K � � ��� ��� � ��� � � ��� � � � ��� �� � �!� ��� �

Page 139: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � ��� ����

� � ���� ������� ��� ��� � �� � ����� � ������ ��� �!�

�'���%^�Y�� ��^�Y.� �������J� ��[����2��� � �\��]�]ra�����^��%�+[�� ���������J���%^�a�Y��P� �%�#[�����^������ ��% ��^~A[ *��_]��'Z8�d�&��~+��]����(�6�-[)]��%^:[)�%�%Y�~��_����[)� � ����!������%�_a���~+�����&��^���[�] v �%^:^��i���%[)�2^��&�^�� � [)]��6[ ��� �#[`���1[�a#"&^����E�2� v ���%� %$&%(' )+*-,/.10 �32547698 �;:=< �>*@?BAC: 6 ?BD�(�:^��i���%[)�2^��FE +�GXI'� K ���6�`[)]�]���aIH �"� � > ! > � � ^�� C � � VKJ�Ek �21,>�� !i���%^�����a���a+E n EML %bdcfe7gihTe�j N=< &Q< &#< ' � !/� nPO � > S � S � � > C � B 1 � @ � ���N>��8���"�m@$�"1�k O#B"!6C @:� B � � � �ikCPO @E@D1 C � E +�GXI'� K S*)=F �"�Q �SR o V � EdI * K �.*�� n * + � � !GF �"� E n �SQ MTR o V E > C"C � � VKJ�Ek �21,>�� ! � !GF �"�;��� BRF �P> � �"�#U#� � O �<1WV E > C ����� �'SQ B R E > CJC � � VKJ�Ek �21,>�� ! > V � �ik 1#� � E+> V � EDI * K �.*�� + � * + �lS

s �;181WV S315�\�����%^�Y��2�����"�2^+����^������#[)�\Z8^��\[)]�]�/!�VU + � v� EDI / K �VU � n

� EdI /��WU K ��/ �WU � A � EdI / A U K ��/ A U �(

�� EdI /�� ; U K ��/�� ; U � A � EDI / A ; U K ��/ A ; U �

(; ,

X ^��%�+���#[)�1�`[�� � �2���&~ ^�� �����A�&��� �E�<�#[���a �%��a������1^)Z3�����-Z8^��&~ � EdI4* K �.*��(Z8^��1[��[������&^����&� [)�%� * + � v �&^?���;������^)�������%��� � EDI / K �VU � n Z8^��D[)]�] /��YU + �.%[ZqY��U n EdI / K �%^���^�����]�Y�a��J����[)�\E n % �'�����\���&^T�����m�#[����DIu[ K %� J^]

Page 140: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� ( � ��� � ��� ��� � �"� � ��� �#� ��� ��� � ����� � � � ��� �� � � � ��� �B#^��J�#[�����Iu� Kwv �&Y����i^��%�-����[)�-E n E L v [���at]��P�:*��i��[N��^�������%^ �����P�2^��X��� �

�%Y�� � ����[)�\EdI4* Kqn � *�Z8^����&^�~��J��^�~+��]��7IN�7Y�~D�i��� � % �'������ � * �.*�� n � EdI4* K �.*�� n � * �YEdI4* K � n � � * � * �0,

������� � n � v ��~���] ������� � + � v ���%^������ �+��[��&�1I8� K %B#^�� ��[��&�"Iu� K !#�&�&�6�%Y����i^��&�(���#[,� � EdI * K �.*�� + � Z8^�� [�]�]'* + � v [���aA]���� * +���%

�'����� � EDI * K �.*�� A � EdI * K �.*�� n � EdI4* K �.*�� A � * �YEdI4* K �n � EdI4* K �.*�� A � E L I4* K �.*��n � I E A E L K I4* K �.*���,

15Z � EdI4* K � * � + �xZ8^�� �P������� * + � v �������l����� ]���ZG�6�%��a��(^�Z!�����(���7Y#[)�2��^��l����Y�[�]�� v �&^ � I E A E L K I * K �.*�� n AZ8^��(�`[�� � *�+ ��%� �������_���?�#[����+I [ KPv E A E L n v�4% � % v E �����%��]�Z�9[�a#"&^����7� %� ^��E�����%�%��]�� v �&Y����i^��%�>E ���:�%��]'Z�W[�a "&^����E��% �'����������� �%� � �E���#[���a��%��a�� ^�Zd�����

���7Y#[,�2��^�� [��i^����t���7Y#[�]��* v �%^������ ]���ZG���#[���a��%��a�� ~DY�����[�]��%^{�i� v ��~+��]��������� EdI4* K �.*�� + � Z8^��\[�]�] * + � v [)�m��] [���~���a %X ^�� �%Y�����^��%� ���#[)�3� ���6[ �%�`[)]i��������� ���&^.a�Y���� �%�#[)��� % � ^����%��a���� �����m^������2[)�%^��

E +�GXI � & K a���!#����a?���&EDI��!�"� K6n A � ��� K �\����� �����1�&�R[)��a#[��&a����������m���%^�a�Y��P�"^��� & % �'����� � EdI4* K � * � n Z8^��D[�]�] * +�� & ��Y�� E Cn :% ^��6�P����� v �������d�`[)����^���#[�������� �'Z E �����%��]�Z�9[�a#"&^����7� %bdcfe7gQh,e�j N=< &#<� =< ' � ! E M"�(� C � � VKJ�Ek �21,>�� ! 1R@8�"��� ! 1#�-1#� !8F � ����� � >��8���"� @$�"1�k O#B"!C @:� B � � � �ik CPO @E@D1 C � !GF � ! � EdI4* K �.*�� n V21#�2� ��� * + ��S*)=F �"� E n �Ss �"181WV S � Y�����^��&� ����� ���.�i^��������&���(^)Z������J������^��%��~ ��^�]�a %�15�m�����%^�Y��2�����"�2^_�����%�'Z��

� EdI / K �VU � n � EdI /��WU K ��/ �WU � A � EdI / A U K ��/ A U �(

Y��&����� � EdI U K ��/ � n � UH� EDI / K � n � EDI / K �VU ���i���`[)Y��%�@E����3�&��]'Z�W[�a#"&^����E��[���a&� ����[�%��[�]Q�����P�2^��6�%�#[���� % �������"[�]��&^ � EdI / K �VU � n 1Z8^��3[)]�] /!�VU + �.%�� ����� U n EdI / K� � �&��� E n %� e.j j���N!< &#<��=<'���� � M ����� E CPO M�� ��� k 1WVFO ��� k ����� E ��GXI'� K M � C ��� VKJ � k �21,> �!� So V#" �%$&��� ��'%� CPO#BRF � F ��� � & � " � �&$ > C > '('%� k OQB >uM ��� 1,U ��' � � > S � S � " &*) ( $ �� F ��� E & � " E �+$�, > C > � U ��'(� >uM ��� S

Page 141: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

������� � ����� � �� � � � � �� � ��� �#� � � � ( �s ' 181WV S� .Y����i^���� " &�) ( $ [���a z� Cn * � ����������� I E & � " E � $�, K I4* K � * � n � E & I4* K �.*�� � " � EdI4* K �YE � �+$ � * �.*��

n � EDI * K �YEdI4* K � � " � EdI4* K �.*�� � $�� � * � � &/ � � EdI4* K � � & A � " � � � EdI4* K � � � � * � ���+$ � � * � � &n

� � � EdI * K � � A � " � � � * � �� � & � � $ A " &( � � � * � � &? � � I ] � � K� ������� ����� !���!���"#���%$7Y#[�]#"����&��^�]�a�!m���'�(��� � [�Y��)��� * .�)� � [�� �+",����$7Y#[�],",����� �����1] [�!*�"#���%$7Y#[�]#"����-"�~+��]#",��!.�(�#[/�\I E & � " E�� $�, K I * K Cn z� � ���7Y�! E & � " E�� $�,0"#!1"#�#"����%�("'��� v���������-",�2"#!�",�E�����*�("���]#�3��4�5��[����5!��%���6�(��[3�&!&^�~7� ^��8���2[/�2^���!A^��[9����[�] �����%�%^��&!&�#[���� Zu[�"�]��2^4�#[`�����" �����E�)[�]�Y:��! v ��Y;����^ �<� ��!���^ � �(�#[3�2����"#!m�`[��:��^��=�#[����8��� � ",�(�>!���]�Z�9[�a#"&^�",���m^�� ���%[3�2^���!��

� e�j j �;N@? &A?�B�? '���� E M ���DC ��� VKJ � k �21/E �!� � E � � ��' 1)F ��' ��� 1 ' 1 � �HG!� ' � ��� U �)I�� 1 'JC F �KI ��lS ) G!��� E G �/C������ E � ��� U ��� O � Ss ' 181WV S� .Y����i^�!�� � n a�"�~*I�� K [3��a �)��^.^�!��:* � � � ",��� z� Cn *L� �����%�

I4* �YEdI * K ��,�,�,*�YE L I4* K%K~DY�!*�J�M�_],"#����[��%] �:a����8����a����N�O�� =�%�����P���������+�JI;"#!*�0���`[)]Q�7Y�~D�8����! <�R ��,�,�,M� < L v ��^��[�]�] � v !%Y��)�S�(��[3�

z� n <�R *�� < � EdI4* K � ()()( � < L E L I * K ,� ^���!����%Y��T�2�(���"�i^�] �;��^�~7"�[�]8UrI�� K�n <�R � < � � � < &"� & � ()()( � < L � L � ��"��)�*��[��

�M� � ��",�������V"#�NZu[��T�2^�����a:Z8^��%~ [�!UrI4� Kqn I�� & � " � � �+$ � K ()()( I4� & � "�W ���+$ W`K I4� A � �N()()( I4� A �AX K �� �:����� "#!3[+��^�����%�%^Y����[�]Z�7Y�~D�8��� v �`[)�)� "8[�v $ [ [���a � [ "#!\���`[�] v �`[)�)� " &[ ) ( $ [�v� �^] / � v [���aV�(���0��$7Y#[/�("�^��>��^�]�a�!3Z8^��\[�]�]@���`[�]3��� ���:��� � �-�#[`���� n <�R *�� < � EdI4* K � ()()( � < L E L I * K

n I <NR , � < � E � ()()( � < L E L K I * Kn I E & � " � E �+$ � , K ()()( I E & � "_W E � $ W�K I E A � � , K ()()( I E A ��X , K I4* K ,

Page 142: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� ( � � ��� � ��� ����� �"� � ��� �#� ��� ��� � ����� � � � ��� �� � � � ��� ��/[��)� E & � "8[ E � $ [ ,0",!"#�E���%����"���],�6��� �.��~+~�[ ] � � � J �M���`[�Y:!�� E^"#!Q!���]'Z�W[�a#"&^�"#�N�

[���aV��[��)� " &[ ) ( $ [ � � ]#!&^ Cn � � =�%�����0�(�:�-�%$7Y#[3�("�^�� [���^����-"�~���]#"#�%! ���#[3�� n I E A � � , K ()()( I E A ��X , K I4* K ,� � ��������Z8^�]�]�^ � !��(��[3�FE A � [ ,Y",! ��^3�\"#� "����%��"���� Z8^�� [3� ]#�`[3!��3^���� � �%����",! !%[ �K!\���#[3�E ��[�!m[��V��"������E�)[�]�Y��3�

�����P���7IK�D�(����^�����~ ",! ���%��� "�~+��^��*�R[��N�\Z8^�� ^��M�%�2[3�%^���! ^�� ����[�]_"#�����%�(���&^.a�Y��%�!%��[����%!��bdcfe7gQh,e�j N@? &L?��@?3b1c�e��le �����qe ����h �����dcfe7gQh,e�j�� ' ��� E�� ����� 1)F ��' ��� 1 ' 1 �� G!� '%� ��� E �!� ��' F ' 1���� I�� C F �KI � ��� ) G!��� � G �/C ��� 1 '�� G 1 � 1 ' � ��� � �/C E C I 1 �:C E C�� E � �1�� � E�� �������)I�� 1 '(C 1�� E E � ��� �$1 �!� E�E � E E CDC ��� �KJ � �! 21/E �!� �" ' 181�� �/BQ",��!��\!$#&%&%('�!�� �(��)3�� ��)�!*)��+'��*�(�&'��&'��$,-)�.(/�)�!�"#!�0�12'���!�",!���"#���3'541�%"����%� 6 �21%�$'���!7'54 E-� ������� � E ��8S"#!)����9)5.;:�"<)��='��&)�.>,?)/�(��" IA@A!$'&"��=�%$B#�)�.#!=",��!12'��#"!#��=)3�(��(�$)���!!%A'�!���@A" � �3��@ E "#!�!��2.�4�C)�:#"!'�",�����B�'��1������1�'�� 6 ����!���@K!$#D%&%A'�!��\�(�&)3� E "#!1!���.�4��)�: "!'�"#�N�O� )7#��E%��!'F'54L"#!G/���"#�&:&#D1%�("�'��

'�� �IH :�"<,�J'�LKT� ���:�M::��!�",���2: ����!$#D.,�N1�.,�9)��!.��S�&'=.<::!D"�4 �IH � �Y F'�)�!�!!#&,7�+����)3�:�"�,OJ'�PK H � ? � )��D:�����)3���(���*:��%!�",����:7���%!$#&.�� �D'=.<:�!Q'�� 6 ��1%�$'��J!$%�)�1%��!R'�4@!!,?)�.�.#�%�:�"�,7�%��!�"�'��@� 0 � �.�2,-,-) ] � � � ( � � *��&' � ����)3� E ��)�!M)�� ��" ����� 6 )�.�#�� � � ",���S)�&'�� �����!'5��" ����� 6 ��1%�$'��3TU@V)��D: � ",���&'=#:�P.<'�!�!L'�4(�������%�W)�.,",��� � ��,?) �X)�!�!$#&,�� ����)3�� � T � � H � � �.�%� � H !!%�)��YJZTAK �J F#&%&%('�!��:* � �7[;@A" � ��� � T!�.*�� H � � ���:���� T�� E3J *FK � H � E3J\TAK��.*�� H � � T!�.*�� H � �!$' ELJ4*FK � � [ � �:����� 6 ���]T � � [ @A!��D' � ",���Y�(��)3� � [ "#!\E� "#� 6 )���"^)��N�O�% =���D1��0�(���,-)�%�_ H E �a`&b ��GcJ � [ KT�Q�d4 * �VU � � [ @��(���%�� _*J4*FK��YU � H � ELJ *DK*�VU � H � * �YELJ U7K � H � * �e_J UfK��M�� ��"�1)�9!��&' � !D�(��)3�c_ ",! !��2.�4��)5:#"!'�"#�N��� ��� #:!N/��S�(���+",�&:&#&1T�("<'��5���F%('�������!�"#!D�(���%���"#!*)3�g'��*�(�&'��D'��$,-)�.�/&)�!�",!h'�4 � [ 12'���!�",!���"#���M'�4�%"����%� 6 ��1T�W'���!h'54Q_\� � .,�9)��!.��'� 6 �%�����" ����� 6 ��1%�$'��i'�4E_ ",!i)��V��" ����� 6 ��1%�$'��i'�4 E-�%���B#�!])5:#"!'�"#�:"#���PT>�$'j)��k'������&'��&'��!,?)5./�)�!�"#!h'�4 � [ 12'���!�"#!���"#���?'�4���" ����� 6 �21%�$'���!f'�4l_���" 6 ��!7)��m'������&'��&'��$,-)�.U/�)�!�",!7'�4 �1�'���!�",!��(",���j'�41��"������ 6 �21%�W'���!'�4 EN@�)3!::��!�",���2:@�nPoqpro �Z� � pts N@?$&A?�u@?(' ���>v � � � '%� ��� �kw � � ����' E � � ) G!��� �HG!��'%� E C ��� 1 '(�HG 1$� 1 � ���� ��� ' E �]x C � I)G � G ��� x @ � v x E C�� Q � �)I �)C)C ��' E � E '%� ��� RL��E � � 1 � ��� � ��� ' E �PE � ��� � 1 �!� EE � v E CDC E � � ��� ' E I �

Page 143: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�����:� ��� ��� � ����� � ��� �� � � � ( JnPo(pto �Z� � p s N@? &A?�Z? '����qv � ����'%� ���KC E � � ����' E I � ��� ' E � � E � G ��E C�� E �ZI�� Q � �)I �)C)C ��' E � E'%� ��� R � E�� ����� ��� � �)C � � ������� � �AX �*) G!���

� H � � � � J E A � � ,FK���������� � � � � J E A ��X ,FK��$&%�� � 6 ?�� A ,����>*@?BAC: 6 ?BD "!$#&%(' � ' o %*)�� '=%8���W)/�W'��-E � GcJ'�LKD"#!c19)5.<.#�2: � 1 '�+ ��� %��$' 6 "<::��:�E E L H E L E-�� .#��)��$. �O)���� !���.�4��)�: "!'�"#�N�h'=%M�%�W)3�$'�� ",! �&'��!,?)�. @A/D#:�D�(���%���j)����3,-)���� �&'��$,-)�.G'=% ���$)3�W'���!�",�-,����:���W)5.J����)3� )3��� �D'��P!���.�4�C)�:#"!'�",�N�O�/.�'�� �7ID)�,-%D.#��@Q"�4 v "#!3)3� �IwW��&'���%���!'+���9)5.�,-)3�(��" I � ",��� v10 H A v J " � �3��@ v ",! C32 � � J C�45+6+ ����' E I @K�(���%� v87H v@L/&#:� v "#!*) � 1 '�+ ���9+ ��� ' E � /8��19)5#�!�� v]v L H v L$v �Q� �*4\'=.�.<' � ! �(�&)3�2"�4 E ��GfJ �;:=K"#! �(���3'�%M�%�W)3�$'�� � "��(� � E �=< H v � �������?> ",!��(����!��e)3�&:�)��!:m/�)�!�",!]'�4��@:&@M��������E"#!��&'��$,-)�. /&#:� �&'3�2!���.�4��)�: "!'�"#�N�O�

A �219)�.�.CB�����'�����,ED;� � �GFjJH)�.,"#!*�V'�48�&'���%���!' �%"I,��%� 6 ��1T�W'���!R/8��.�'��C,�",�C,��W'c:�",!���"#�&1T���"=,���� 6 )�.<#:��!*,3#�!*�*/M�c.#",���9)3�$.��7"#�D:���%8���&::���N�O� K��J ! o(p !LK N@?� @?NMA?�O���� E �>GcJ'�LK2�QP G!���SRIR ELJHTFK R=R H RIR EML�JHTFK R=RVU T � � E 5 E E C� 1 '�+ ��� �" ' 181�� �

E "#!��&'��$,-)�. W@X E L E A E E L H �W@X � J E L E A E E L K2JHTFK��YT�� H � U T ���W@X � E L E3JZTFK��YT�� H � E E L JZTDK*�YT�� U T � �W@X R=R ELJHTFK R=R [ H RIR E L JZTFK RIR [U T � �\� J ] �]F=K ;"#�&1%� E L E A E E L "#!�!��2.�4��)5:#"!'�"#�N��@��(�����(�:��'�����, 4\'=.�.<' � !E4H�$'=,^B�����'�����,�! ] � � � �

%�)��*�PJ ) Ki)��&: ] � � �]F;�nPo(pto �Z� � p s N@?� @?� @?1O���� E ��GcJ'�LKP� � � 1 '�+ ��� �_P G!���Q � R `\� T � � E C���� � E�� �������)I�� 1 ' 1�� E � E � G � E�� ����� ��� � �1a �Vb?c � G!��� T E C*��� C 1����� E�� �������)I�� 1 ' 1�� E L � E �HG � E�� ����� ��� � � a �Q � R�d E�� �������)I��fe '(C�e � E I3e '�'%�)C F e � ��E � � �fe ��E C�� E �ZI�� � E�� ����� ��� � �)C ��'%��e '�� Gge � e � ��� �" '3e�e � �MXh'���� �(�&)3�MJ E A a ,DK L H E L A a ,q@ )��&:5����)3�@E ",!��&'��!,?)5.1"�4 )��&:m'��&. �>"�4E A a , ",!��&'��$,-)�. �� F#&%&%('�!�� ELJZTDK H a TL�J ;",�&1��@E<",!��&'��!,?)�. @ � �-��) 6 �

�LH RIR J E A a ,FK�JZTDK RIR H � T �tJ E L A a ,DK2J E A a ,FK2JHTFK � H R=R J E L A a ,FK�JZTDK RIR �

Page 144: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� (1( ��� � ������� ��� � ����� � ��� � ���� ������� ��� � ��� � � � � � � � �

ZG)3���LJ ) KR4\'�.<.<' � !%�.�'��3%�)��*��JZ/qK @�!$#&%&%('�!�� a )��&:�� )����+::"#!���"#�&1T�+��"=,���� 6 )�.�#���! � "��(� )�!�!!'F1%"^)3����:��"=,���� 6 ��1%�$'���!fTX)��D:QTq@Z���%!$%8��1T�(" 6 ��. ���- F' ELJ\T�K H a TX)��D:�E3JZTFK H �9Tq@A)��&:O4H�$'�,

%�)��*�PJ ) K @ E L JHTFK H � T8��� ���&1%�J a�� �UK � T��YT�� H � a T��YT�� � � T�� � T��

H � ELJZTAK��YT�� � � T��YE L JZTDK��H � �

� �219)�#�!�� a 7H �E@:�����N)�/A' 6 � �%$ #&)3�("�'��V"<,M%&.#",��! ����)3� � T��YT�� H � �B���� �����K�J�(���2'����2, "#!V'����'�48�(���2�(�!#&.���"<,M%A'����e)3��������!!#&.,��!Q4H�!'=, �������(���2'����j'�4

1�'�,-%&.,���7"#�:������%:�$' :&#&1%�\!$%�)�1%��!%��� ��!$#���� �W' 1�'�,-%�)3����"�� � "��(�&�(�:� A ��)�.. %M�21%�(�$)�.B����2'����2,S���J ! oqp !LK N@?� .?��@? nPo K G� !�� � ! ��� p ���7� J ! oqp !LK O������ � � � � � E � � ��E + ��� JC E e � ���1I3e5+ F ��� ��E �!� ��' F '3e ��� I�� C F �KI ����� � E �IGcJ � K2� P G!��� E E C � e '�+ ��� E � ��� �e �!� 4 E � � G �/C���� e '(� Gge � e '�+ ��� � �/C E CPI3e �:C E C�� E � � e � � E�� �������)I�� e '(C e � E3�" 'Ye�e � ��.Q",��!��\!$#&%&%('�!�� �(��)3� � ��)�!*)��+'��*�(�&'��&'��$,-)�.(/�)�!�"#!�0�12'���!�",!���"#�C,3'541�%"I,��%� 6 �21%�$'���!R'�4 EN@N!$'-�(��)/�! E"�8 H v ",! )N:�"<) ,='��&)�.&,-)3�(��"#�M� B��:��� v L "#!Q)5.#!$'N:�"<) ,='���)5.)��&:4"#! �����?,-)3����"#� v L H EML$"�8Z�5 ;"#�D1��+)���� � � 'm:�"^) ,�'���)�.Q,-)3�(��"<1��%!P12'=,M,3#:�(�5@v]v L H v L v � B��:"#!2"<,M%&.#",��!J�(��)3�\E "#!��&'��$,-)�. �

.�'��\�(���c12'�� 6 ����!��5@M!!#&%&%('�!��D�(�&)3�\E<"#!��D'��$,-)�. � ;"#�D1�� � "#!*)j1�'=,M%&.,��� 6 ��1T�W'��!$%&)�1��5@ � �&%��&' � J\/(' F1)�B#��*) !"B��:��'�����,?K+����)3���(���%��� ",!?)3� '������&'��&'��$,-)�.i/�)�!�"#!0 H J,+.-��������/�0+ : K4\'�� � �:"<1)� v H E"�8 "#!7#&%D%M�%� �(��"<)��C,=#D.^)��%�f�d4 v H J2143 [ K @Z�������143 [ H � � ���%��� 6 ���6587:9L�\)h.#!!' ELJ,+.-!K H 1;-<-=+.- @A!$'

RIR ELJ,+.-!K R=R [ H R 1;-<- R [RIR E L J2+.-$K RIR [ H R 1;-<- R [�> R 1?- [ R [@> ����� > R 1;- : R [ �

� �219)�#�!�� E ",!Q�&'��$,-)�. @ RIR E3J,+.-!K R=R H R=R E L J2+.-$K RIR � F' ����� � � '0��$B#�)3��"<'���!E)�/A' 6 �\"<,M%&.A'�(�&)3�h)�.<..�%������",��!�",�>�����CBA��!*���!' � '�4 v @L���D1%��%:�7%A'�!�!�"�/&.A'&�����N:�"^) ,�'���)�..�%�����$'D1;-<- @��$B#�)5. � �V� � �&' � 4\'=.�.<' � !\�(��)/�\E3J,+ [ K H 1;- [ +.- > 1 [f[ + [ H 1 [f[ + [ @A!$'R=R ELJ2+ [ K RIR [ H R 1 [f[ R [ �

RIR E L J2+ [ K RIR [ H R 1 [f[ R [ > R 1 [<E R [ > ����� > R 1 [ : R [��� �219)�#�!��IE "#!7�&'��$,-)�. @ RIR ELJ2+ [ K RIR H RIR E L9J2+ [ K RIR ��B��B#�! �(�:� � � ' �%$B#�)3�("�'���!-"!#�!��)�/(' 6 �-"<,M%&.A'7�(��)3�])�.�.Z�(���-���N����"#�%!�",�>����� !���12'��&:5�!' � '�4 v @M���D1%��%:�]%A'�!�!�"�/&.A' �(���:�"<) ,='���)5..���N�(�='&1 [f[ @(,3#�!�����$B#�)�. � � � '��N�(",� #:"#�C,7"#�S����"#!*4Z)�!���"<'�� � � !��%���(��)/�f)�.�.�(�:�-�D'��&:�"<) ,='���)5.Z���N����"#�%!*'�4 v �%$ #&)�. � @A" � ����@ v "#!i::"^) ,='���)�. �

Page 145: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�����:� ���� � � �����8��� � �� � � �����nPo(pto �Z� � p s N@?� @? B_?1O ���Gv � � � � e '�+ ��� c�� w � I3e5+ F �����;+ ��� ' E � � P G!��� � G!��' � E C� � � E � ��'�4 + ��� ' E � x C � I)G � G ���

x - v x E C ��E � � e � ��� ���J ! o(p !LK N@?� @?��.?�O����cv � � � w �E� P G!��� v E C � e '�+ ��� E � ��� � e �!� 4 E � �HG!�� E�� ���:C F �KI �)C�e � vhv L ��'%�v J E ��� ��' E ���!� �" '3e�e � ��.Q"#��!��+!!#&%&%('�!��V�(��)/� v ",!+�&'��!,?)�. @ !$' v]v L H v L v @l)��D: !!#&%&%('�!��V�(�&)3�v]v L�� H a�� ��� �S!��&' � �(��)3� v�� )5.#!$'X/8��.<'��C,�!+�W' a 4\'�� vhv@L��iv]v L J v�� K Hv J v]v@L�� K H v � a�� H a J v�� KT�".�'��D�����-12'�� 6 �%��!��5@ !$#&%D%A'�!��7�����7�%"I,��%��!$%&)�1��%!L'�4v]v L )���� v "#� 6 )���"<)��N�O��� � � )3���2�$'�!��&' � ����)3� v "#!��D'��$,-)�. ���4�0!*�e)��*� � ",�(�'������9)�!='k19)�!����� !LK-K ��N@?� @?<u@?�� � FNF e C ���� L H�� 5 1���J a -0�������/� a W � � �����*� � K E C � ��E � � e � ��� + � J��' E � c ��� � C � FNF e C � �HG �����HG!� � E�� ���:C F �KI �)C@e � � � L ��'%�� J E ��� ��' E ���!� � P G!���!� E C� e '�+ ��� �Z��!'F'54E'�4�".��,M,?) �#�T H J � �������*� � �WT W%$ - �������/�WT : K 0 "#!*)+�<'F%:"<19)5..��.#�2,7�%�N�*'�4Q������B#&.<.�!!%�)�1%� '54 �� L @ " � �3��@O��������"I,�����!!%�)�1��Q/8��.�'��C,�",�C, �W'������ ��"=,���� 6 )�.<#:� � �&.1"#��!*�.�&'�����(��)/�J�����*/A'3���W'�,&� � ]7�!' � ! '54 � ,3#�!*�R/8�����%�$'&@�!�",�&1��2�(�:�LJ 5 � 5dK���N�(�='j'�4 � � LJ",!�(����",�����%�V%��$' :&#&1T�V'�48�(��� 5 �(�Y�$' � '�4 � � "��(�+"��(!��2.�4�@ � ��"<1)�M,3#�!*�V/M� � "�4 5(' ] > � � F'M/('&�(' %('��(�:��!�",! � J � �������*� � �WT W%$ -0�������/�$T : K 0 H J � �������/� � � T W%$ - �������*�YT : K 0 � ;"#�&1%��(�����$'=%7]+�%�N�(��",��!Q'�4 � J � �������*� � �WT W%$ - �������*�WT : K 0 ,L#�!��Q/8�����%�$'&@N�(�:� �%�N�(��",��!�"#�+������W'=% ]&�$' � !h)��&:k.^)�!*�)� � ]k12'=.<#D,7��!i,L#�!��*/8� �����!'&@A!$'

� H � � - �� � * �� ������� � -\",! ] w ] � ",���V�W)��?%']M�.q'�� �,+ 5 + ](@ �(���V!*�e)��&:&)��$: /�)�!�",! 6 ��1T�W'�� �+/3 "#!M)�� ��"I,���� 6 �21%�W'��-'�4 �� L

/M�2.<'�� ,�"#�C,V�W' a 3 � )=�&: /�'9��'F%('�������!�"#!�@ � � L � �-�+/3 H a 3 �-�+/3 �S F' � � �� L.�+/3 H� � a 3 �+/3C@J"<,M%&.A'K"#� , �(��)/�& � [ � L8�/�� L0� " �+/3 H �� � �l#:�Y�(��",! .^)3���(�%�+��$B#�)�.,",�<' ",!)�.#!!' !����%�^�$'9�D'=.<: 4\'���] > �1+ 5 + �Q���=�%�&1�� � [ � L H �� L%� ��X' � #�!�",�C,/&.<' 10% ,3#&.��("<%D.#"<1�)3�("�'�� @ � [- � L- H � - � L- � - @"<,M%&.A'K",�C,'�(��)3� � - � L- H � L- � - �&�R#:��(��",!�"<,M%&.#",��!J�(��)3� �� L H � L � � F' � ",!��&'��!,?)�. @D%��!' 6 ",�C,+�(���c.,��,M,?):�Xh' � ���%�$#���� �W'&�����?,��%�����$)�.E1�)�!��3� ".�%� �T -���������� �T : /8� )��m'��*�(�&'��D'��$,-)�.Y/�)�!�",!'�4 �%"I,��%� 6 ��1T�W'���!?'�4 v]v L%�32=!��>������!�� 6 �21%�$'���!?)�!������ 1�'=.�#&,7�:!M'54f) ,?)3����" �54P@!$' �(�&)3�-4 L J v]v L K%4 H � 5 1�� J a - �������*� a W � � H a W%$ -���������� � H a : K @ � ���%��� � 7Ha - ����� a W )3�&:�] H76 1.�.]�J v K �987#����' %('��(���%!�",!J!$) ';! ����)3� "�4 v]v@L��T [ H a [ v��T [ @��������v]v L � v��T [ H a [ �T [ � ZV#:� � H 4 LWv 4 �� F' �� L H 4 LWv 4:4 Lev@L 4 H 4 L J v]v L K%4 H

Page 146: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� ��� ��� � ������� ��� � ����� � ��� � ���� ������� ��� � ��� � � � � � � � �

� 5 1���J a -0�������/� a : KT� � '�,-%&#;�(� �� L J 4 L��T [ K H 4 LWv]v L��T [ H 4 L � a [ �T [ H a [ 4 L��T [ � F' 4 L �T [ H �+ [ ",!*)��V��"I,���� 6 �21%�W'��h'�4 �� L /8��.<'��C,�"#� ,P�W' a [ �)].,!$' J �� L K � 4 L��T [ H 4 LWv 4:4 Lev L 4:4 Lev 4�4 L �T [ H 4 L vhv@L$v��T [ H 4 L �

a [ v��T [ H a [ � 4 L v 4:4 L��T [ H a [ � J 4 L��T [ KT� F' �����9��"I,�����!!%�)�1��%!g'�4 �� L )3���� "#� 6 )���"<)��N�O�' K"#�&1%� �� L "#!N:�"^) ,='���)�. @U/(' ����� ".�2,-,-) � � %��&' � � ",!0�&'��$,-)�. ��l#:�2�D' � ",��4\'=.�.<' � !��9)3!�"<.#'7����)3� v H 4 � 4 L ,L#�!��/8�-�D'��$,-)�.$&%�� �3*�� 6 � � 6 D 8 : 8 6��6 .� *@A ,@� 6 ?�� A ,;���>*-? AC: 6 ?BDB����!'=#C,��&'�#:�2�(��",!�!���1T�("�'�� � ",!*)Y���9)�..",�����%�i%��$' :&#&1T�=!!%�)�1%�����! K K ��N.?��@?HMA? � � FNF e C � ��E + J � K H F ��� � E ��GcJ � K�� P G!��� �HG!� � e � �Ie � E � � ��' �� � �KE � �������!�d�Q � R E E C � e '�+ ��� � � � � e � C ��� �KJ � �! e E �!� �Q � R P G!� + ����' E �"e � E � E � G '%�)C F �)I�� �fe � ����'�4@e '(�HGge � e '�+ ��� � �/C E C�e � � G �/C#�HG!�� e '�+

� 1 ���� 1

* c � E � G�67H � �Q I R P G!� + ����' E �/e � E � E �HG ' �)C F �)I�� �fePC�e5+ � e '�� Gge � e '�+ ��� � �/C E C e � � G �/C �HG!�

� e '�+� 1 ���� 1

* c � E � G� 7 � �" 'Ye�e � ��.Q",��!��=!$#D%&%A'�!��kJZ) K �&'�.<:�!h)��&:O.,�%��> H J,+.-��0+ [ K*/M�L)��O'��*�(�&'��D'��$,-)�.U/�)�!�"#!'�4 � � F#&%D%A'�!��

E" < H � 1 �� �

* �B����%� RIR E3J,+.- K RIR [ H 1 [ >�� [ )��&: R=R E L5R=R [ H 1 [ > � [ � � �219)�#:!���E ",!V�&'��$,-)�. @/�' B����2'����2, ] �]F;� � R=R ELJ2+.-�K R=R H R=R E L J2+.- K RIR � � ���&1%� � [ H � [ � K"#�&1%��E ",!'�&'��!��2.�4�C)�:#"!'�",����@ ��7H �t@�!!' � � ��) 6 ��� H ��� �EB����%� EML$" < H � 1 �

��� �* � F'

E E L H � 1 [ >�� [ 1 � ��� �1 ����� � � [ > � [

* @G)��D: E L E H � 1 [ >�� [ � 1 � >�� �� 1 ��>�� � � [ > � [

* � ;",�&1��E "#! �D'��$,-)�._",�]4\'�.<.<' � ! �(��)3� � J,1 � � K H � �- ;",�&1�� E "#!��&'��D!���.�4�C)�:#"!'�",�N�9@ �"7H � @"<,M%&.#';",�C, ����)3�61 H7� @�12'=,M%&.#�T�("#� ,��(���c%��!'F'541����)3�PJ )=K "<,M%&.#",��!cJ\/qKT�Xh' � !!#&%&%('�!�������)3�hJZ/�KQ�&'=.<::!Q)��&:j.#�T�V0 H J2+.-��0+ [ KG/M�*)���' '����(�D'��&'��!,?)�.F/�)�!�"#!'�4 � � B������ �%",�������h0 '��]0�� H J2+.-�� � + [ K � "<.<.U/8� )?/�)3!�"#!h'�4 �(�:���<' %M�P�:����::��: �W'!��D' � �(��)/�3J\1 K\"#!�!$)3�(",!$BA�2:@�.Q"#�&)�.<.#'=@.!$#D%&%A'�!�� ����)3��JZ1 K0�&'=.�:�!�@1" � ����@_���������&"#!N)�� '����(�D'��&'��!,?)�.V/&)�!�",!P0 H

J2+.-0�0+ [ KP!$#&1)� ����)3�& E"�8 ��)�!Y�(��� 4\'��$, ,�" 6 ��� ",� J\1 K � � .#��)��$.#'�E 7H E L @�/&#;��)

Page 147: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�����K� � � � � � �1� � /� ���� �����6� � � �?� � � � ��������� � �� � � ��� D!�"�,-%&.,�g12'=,-%D#:�e)3��"<'�� � ",�(� �����m,-)3�(��"<1��%! ����%�����!��%�N�("#� ,WE )��&: E L !��&' � !'�(�&)3�E E L H E L EN@A" � �3��@ E "#!��&'��$,-)�. @;"<,M%&.A'K"#� ,��(��)/�PJ ) K �&'�.<:�!%���J ! o(p !LK N@?��@?� .? � � FNF e C � � G ��� E � GcJ � K E C � e '�+ ��� ��� � 4 E C*� E J E ��� ��' E ���!�C � � C F �KI � �_P G!���Q � R 4 [ E C E J E ��� ��' E ���!� �Q � R 4 E C E L J E ��� ��' E ���!� �Q I R J E R ` K L H J E L K R ` �Q �SR E R ` E C*� � e '�+ ��� e F ��' ���fe '?e � 43�Q � R E R ` b E C*� � e '�+ ��� e F ��' ��� e '�e � 4][V�

" '3e�e � � "��T�G0 � H J2+.-��������/� + X K>/M�R)��P'������&'��&'��!,?)5. /�)�!�",!;'54 4 )��&:P���K�(���D:P",���W'])��'������&'��&'��$,-)�.�/�)3!�"#!*0 H J,+.-��������*�0+ X � U�-���������� U : K�'�4 � � ;"#�&1%� 4 "#! E� ",� 6 )3��"^)3����@

E"�8 H � v �� �* � � �:����� v H E R ` "�8��N�

.q'�� ��)�1)� 9�@ � + 9 +�� @ RIR E3J,+ [ K RIR [ �%$ #&)�.#!-�(���7!$#&, '�4\����� !�$B#�)����%!3'�4������)�/�!!'=.<#:��� 6 )�.<#��%!*'�41�����0���N�(��"#�%! ",�'�(��� 9��(� 1�'=.�#&,��+'�4 v �8�=���D1��X

� [� - RIR E3J,+ [ K RIR [ H �(�:�-!!#&, '�4_�(�:�-!�$B#�)����%!h'541�����N)�/�!$'�.<#:���6 )5.<#��%!'541�����0���N�(��"#��!*'�4 v � J ] �� K

.q'��D�9)�1)� 9q@ � + 9 +�� @ R=R E L J,+ [ K RIR [ �%$B#�)�.#!D�����Y!$#&, '54 �����Y!�$B#�)�����!L'54 �����)�/�!!'=.<#:��� 6 )�.<#��%!*'�41�����0���N�(��"#�%! ",�'�(��� 9��(�>�$' � !*'�4 v )3�&: � �8�=���D1��X

� [� - RIR E L J2+ [ K R=R [ H �����0!$#&, '�4_�(�:�-!�$B#�)����%!h'541�����N)�/�!$'�.<#:���6 )5.<#��%!i'�41�����0���N�(��"#�%!'54 v )��&: � � J ] � � K

� ��1�)�#�!��5E<"#! �&'��!,?)�. @ RIR ELJ2+ [ K R=R H R=R E L J2+ [ K RIR 4\'�� �9)�1)� 9L�i� �*4\'=.�.<' � !��(��)/�=��������N�(��"#�%!'54 � ,3#�!*�])5.<.�/8� � @�!!' E"�8 H � v �� �

* �B���"#!2!��&' � ! ����)3� 4 [ ",! E� "#� 6 )���"<)��N�9@ %��$' 6 "#� ,gJZ) KT�

�l#:� �&' � � � !����0�(��)/� E L "�8 H � v L �� � L

* �

Page 148: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� ��� ��� � ������� ��� � ����� � ��� � ���� ������� ��� � ��� � � � � � � � �

"<,M%&.#';",�C, ����)3��4 ",! E L "#� 6 )���"^)��N�O�&B���"#!*1�'�,-%&.,�%����!*) %��$' '�4;'�4�JZ/qK �Xh' � .,�%�h_ H E R ` ��.Q" �"T � 4 � B��:���� _*JZTAK��YT�� H � ELJZTAK��YT�� H � T��YE L JZTDK�� U T � 4 �

� �219)�#�!�� E L JHTFK��/4 JZ/�' J\/qK$K @8�������%$B#�)3�("�'��m)�/(' 6 � !��&' � ! �(�&)3�f_ L JZTDK H E L JZTDK @" � ����@hJ E R ` K L H J EMLeK R ` @ 1�'=,M%&.#�T�(",�C, �(�:�+%��$' '�4'�43JZ1 K ��ZG)3���(!�J\:qK3)��&: J �9K��&' �4\'=.�.<' � �9)�!�"<.A'��

)\� �(��",!V%A'�"#�N��(�:�����9)5:���� !��&'=#&.�:���� 6 "#� � �����i1�'��&1��2%:� '�4�/D.<' 10%P,3#D.,�("�%&.#"�19)3��"<'��4\'��f,-)3�(��"<1%��!c%�)��*�(",��"<'��:��: "#�N�W'k/&.�'F10%�!N'�4J�(���-)�%&%��!'=%���"^)3���+!�"��%��!%��� � %&)�����"<1�#D.^)��2@"�4 v )3�&: � )3���V� � ' � �Ie I32 ��E � � e � ��� ,-)3�(��"<1��%!Y�9)�1)� � "��(� ] /&.<' 10%�!-:D' � �^�(���:�"<) ,='���)5. @ � "��(�P�����89N���j/&.<' 10%L/8��",�C,:� [ w � [ @��(���%�������i%��!'F:&#D1%� v � "#!E)�.#!!'N/D.<' 10%:�"<) ,='���)5. �= F#&%&%('�!��P�(��)3� v [ @ � [ )������(�:�!9��(�m/&.�'F10%�!7'54 v )��&: � @Z����!$%8��1T�(" 6 ��.#'��B����%�>����� 9N����/D.<' 10%?'�4 v � "#! v [ � [ ������v - � ����� �� v [ ����� ���� ����� � � � ���� ����� ����� v X

�� �

������ - � ����� �� � [ ����� ���� ����� � � � ���� ����� ����� � X

�� H

�����v - � - � ����� �� v [ � [ ����� ���� ����� � � � ���� ����� ����� v X � X

�� �

�4�+�&) 6 �7!����%�9�����+���D)�,M%&.#� ELJ �� &K H J � � K]'�4R)�� '=%8���W)/�W'��7'���� [ ����)3�"#!��&'��$,-)�.;/&#:�0��)�!D�D''��"I,���� 6 )�.<#��%!�@.!!'>�&)�!D�&'+:�"<) ,='���)5.G,-)3�(��"#�M� �h' � � 6 �%��@��(���4\'=.�.<' � "#�C,��(���2'����2, !W) 'K!D�(��)/�0�&'��$,-)�.;'=%M�%�W)3�$'���!D�&) 6 �j/&.<' 10% C:�"<) ,='���)5.;,-)3�(��"<1%��!� ",���k/&.<' 10%�!'54Q!�"����N)3�*,M'�!*��F /�' F;���J ! oqp !LK N@?��.?��@? � � FNF e C � � G ��� � E C � '%� ��� E �!� ��' F '3e ��� I��MC F �KI � ��� � E �[GcJ � K��P G!��� E E C � e '�+ ��� E � ��� � e �!� 4 E � � G!��'%� E C ���@e '(�HGge � e '�+ ��� � �/C E C�e � � � E � G '%�)C F �)I���fe � G E I)G E G �/C � � �Ie I32 ��E � � e � ���(+ ����' E � � G!��'%� � �KI)G � �Ie I32 E C ��� J � 4 J �/+ ��� ' E �e '���� J � 4 J �"+ ����' E �/e � � G!� � e '�+ � 1 ���

� 1* � J ] � � K

� E � G� 7 � �" 'Ye�e � ��.Q",��!���!$#&%D%A'�!�� �(�&)3� � �&)�! )�� '��*�(�&'��&'��$,-)�.Q/�)�!�"#!P0 4\'�� � �:"<1)� E "�8 "#!/&.�'F10% :�"^) ,='���)�.;'�4��(���P�<' %8� :���!!1���"</8��:9"#�5�(�:�P�(���2'����2,S�P ;"#�&1%� )+,?)/�(��" ��'�4��(���4\'��!, ,�" 6 ���>"#��� $L� ] � � 12'=,M,3#:�(�%! � ",�(�V"��(!*)�:#"!'�"#�N�9@&12.#��)��$.#' E "#!)�.#!!'+�&'��!,?)�. �

Page 149: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�����K� �1� � /� ���� ������� � �� � � ��� ].q'��0�����M1�'�� 6 �%��!���@!!#&%&%('�!����(��)3� E ",!0�&'��$,-)�. � 87#��c%��!'F'54l%��!'F1%���2:�!L/�' "#�

:&#&1T�("<'�� '�� �����g:�"�,7�%��!�"�'��5� '�4 � ��.�'�� � H � ����� ����!$#D.,�&",!?'=/ 6 "<'�#�!���.q'��� H F "�4 E ",! !��2.�4��)5:#"!'�"#�N�=",�4\'=.<.�' � !h4H�$'�, �����6A2�9)�. F%8��1%���W)�. B�����'�����,��."�4 E ",!�&'��-!��2.�4�C)�:#"!'�",����@>#�!�� ".��,M,?) ] ��:� � � Xh' � )�!�!$#&,��+�(��)3��� H ::"<, J � K 7EFk)��&:�(��)/�D�(��� :��%!�",����:9���%!$#&.��D�&'=.�:�!f'�� 6 �21%�$'��0!$%�)�1%��!c'�4 :�"�,7�%��!�"�'�� !$,-)�.<.,��� �(��)��!�1�� '"B����2'����2, D;��:� � � �c,?) '?.#�%� 4 /M�c) E� ",� 6 )3��"^)3��� !$#&/:!$%�)�1%�P'54G:�"�,7�%�N�("<'�� � "�4�(���%���7"#!c'����3���d4\�(�:������"#!0�&'3�9@1������� � �-.#�T� 4 /8�-)QF d:�"<,�����!�"<'��&)�. E� ",� 6 )3��"^)3���!$#&/:!$%�)�1%��� .Q"#��!���@@"�4 :�"�,OJ 4fK H � @U.#�%� +.-7/8�M)V�D'�����%�$' 6 �21%�$'�� ",� 4 � ",��� �&'��$,� � F'm0 � H J,+.-!K�"#!L)�� '��*�(�&'��D'��$,-)�. /�)�!�",!3'�4�4 � � .,�9)��!.A'9�(���?,?)3����" � E R ` "�8 �"#! � C/�' � �m�d4*::"<,gJ 47K H FF@�(���%��E R ` ",!P�&'��!,?)�.hJ\/(' B�����'�����, ] ��:�GF @E/&#:�+�D'��!��2.�4��)5:#"!'�"#�N�+J !�",�&1��k'�������� � "#!��;E R ` @R)��&: ���%�&1��+EN@ � '=#D.<: ��) 6 � )�� ��"=,���� 6 ��1%�$'��"#�14 /�'!".��,M,-) ] � � � � K �Y F' � �j,-) 'O1)�&'F'�!��M)�� '������&'��&'��$,-)�.E/�)�!�"#!f'�4)4 � "��(����%!$%8��1%� �W' � �:"<1)� ������,-)3����"#� '�4@E R ` ��)�!7����� :���!�"#���2:S4\'��!,S��� � %��&' � �(�&)3�4 [ ",! E� ",� 6 )���"^)��N�])��&:�E R ` b "#!7)&�&'��$,-)�.Y'=%8���W)/�W'��7'�� 4 [ � � 'g'=#�� ",�&:&#&1T�("�'����'F%('�������!�"#!2�(���%���-"#!*)�� '������&'��&'��$,-)�.�/�)3!�"#!*'�4 4][ '�4_�(�:�N::��!�",���2:>�<' %8���FZQ#;���(",�C,�W' ,��%�(�:�����(���c/�)3!���!'�4 4 )��&:-4 [ � �P'�/:�e)�",�k)�� '������&'��&'��!,?)5.�/�)�!�"#!*'�4 � '�4Q�����:���!�"#����:V�<'F%8���$&%�� � 6 D 8 : 8 * ���>*-? AC: 6 ?BD� � �(��",! !��21%�("�'�� � "#!f)3�9",�����%�7%��$' :&#&1T�0!$%�)51�����)�� '=%8���W)/�W'�� E ��GcJ � K=",! !W)3"<:�W'j/8�P) F e C E � E ���6e F ��' ��� e ' %��$' 6 "<:��2:

E H E L )��&: � ELJHTFK��YT���' � U T � � �Xh'������(�&)3� "�4 � "#!])?1�'=,M%&.,���S!$%�)51���@@������� �&) 6 ",�C, � ELJHTFK�� T � � � 4\'��7)�.�. T � �"#!P!!#��M1�",���N�+�W'O4\'��!1�� E �W'm/8�&!���.�4�C)�:#"!'�",�N�kJZ/�' B�����'�����, ] � ] � � @V%&)���� J\1 K!KT� F'� ELJHTFK�� T ��' � 4\'��*)�.�. T � � ",!�!$#��M1%"#���N�2�W'j4\'��!1��@E �$'M/8�c%A'�!�",��" 6 ���

B���������)����M,-)���' ���D)�,M%&.,��!c'�4�%('�!�",�(" 6 �j'=%8���$)3�W'���!��-�d4 x "#!N)���' '��*�(�&' ,='���)�.%��$' "���1%��"<'���@2������� x "#!-%A'�!�",��" 6 ��� J� '=# !��D'=#&.<: 6 ����"�4 ' �(��",!�� K � � �(���O%:�$' '�4f'�4".��,M,?) ] � � �� � �=!��&' � �2: �(�&)3�J"�4 E �[GcJ � KV)��&:�"�4 " �%$ ����)���� !$#&1)���(��)/� " [ )� $Q@ �(���%� E [ > " E > $�, "#! %('�!�"��(" 6 ���� '=#D!��&'=#&.�:0����"#�;%7)�/('=#:�@�����Q)���)5.<' , 'h/8�%� � �����%A'�!�",��" 6 �3'=%8���W)/�W'���!MJ )�,M'��C,+)5.<.G'�%M�%�W)3�$'���!WK7)��&: �(���+�D'������ , )3�(" 6 �+���9)�.�B#&,L/M�%��!)�,M'��C,�)5.<.Y1�'=,M%&.#���S� #D,3/M�%��!%� B���"#! � "�.<.U/8�3,?)5:�����)�!�",���]/�'S�(����������'�����, �(�&)3�4\'=.<.�' � !�@ � ��"�1)��12'=.<.,��1T�(!\�(�:�N,-)�",�?4Z)�1%��!)�/A'�#:�*%A'�!�",��" 6 �f'=%M�%�W)3�$'���!%�

�d4Q_@�YE �[GcJ � K�)��&:g_ [ H EN@ � �0!W) ''�(��)/�h_ "#!) C � � ��' � '3e�e � '54 E-���J ! o(p !LK N@?�B�?HMA?1O���� E ��GcJ � K�� P G!��� �HG!� � e � �Ie � E � � ��' � � � �KE � �������!� �

Page 150: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� ��� ��� � ������� ��� � ����� � ��� � ���� ������� ��� � ��� � � � � � � � �

Q � R E E C F e C E � E �����Q � R E E CDC ��� �KJ � �! e E �!� ��� � ��� � � G!� � E�� ����� ��� � �)C?e � E ��'%� � e �!� � � ��� E �����Q I R E G �/C�� F e C E � E ��� C � � ��'%� 'Ye�e ���Q �SR E G �/C���C ��� �KJ � �! e E �!�C � � ��'%� 'Ye�e ���Q � R P G!��'%� ��� E C��HC ��� e F ��' ���fe ' _ ��GfJ � K C � I)G �HG ��� E H _ L _*�" 'Ye�e � �)� � � "<.<.q%��!' 6 �D�(��� J ) K H X J\/qK H X J\1 K H X J\:qK H X J �9K H X J ) K � F#&%D%A'�!��P�(��)/�MJ ) K �&'=.<::!�@@" � �3��@ E ",!7%A'�!�",��" 6 ��@Z!!'V"#�O%�)3���("�1�#&.<)��ME ",! !��2.�4��)5:#"!'�"#�N���".�%� T�/8�N)+�&'���%���$'���"=,���� 6 ��1%�$'��/M�2.<'��C,�"#�C,��$'������0��"=,���� 6 )�.<#:� a �\B����%�� + � ELJHTFK�� T � H � a T � T � H a � T �YT��*�"<,M%&.#';",�C, ����)3� a ",!*)��&'�������,=)3�(" 6 �0�B#&,3/8����@A!!'�JZ/qK\�&'=.�:�!��Xh' � !!#&%&%('�!��Y�(�&)3�-JZ/qK��D'=.<:�!2@.!$'&E ",!D!���.�4��)�: "!'�"#�N�f)3�&: )5.<.1�����Y��"=,���� 6 )�.<#:��!'�4 E�)����=�&'������ , )3��" 6 �3��� '+�(�:� A2�9)�.()��&: � '=,-%D.#���� F%M�21%���W)�. B�����'�����,�!�@K�(���%���="#!)�� '��*�(�&'��D'��$,-)�.G/&)�!�",!f0 H J,+.-��������/�0+ : K]'�4 � 12'���!�"#!���"#�C,+'54 �%"I,��%� 6 ��1T�W'���!P'�4 E-� D) ';ELJ2+/3 K H a [ +/3 @ � �������-��)�1)� a 3�' � ��� �*B����P_ ��GcJ � Kl/�'

_J,+ [ K H�� a [ + [ � �:+ 9 + �&� ;",�&1�� _S�&)�!Y)2���9)�. ::"^) ,='���)�.�,-)3����"#� � ",���0����!!%M�21%�_�W'2�(���Q/�)3!�"#!>0h@512.#��)��$.#'c_>",!.!��2.�4�)�:#"!'�"#�N�O� Xh' � !$#&%D%A'�!���T H�� :[� - 1 [ + [ ��B����%� � _*JHTFK��YT�� H�� :[� - � a [ R 1 [ R [ ' � @!$'?_ ",!*) %A'�!�",��" 6 �D!�$B#�)����-�$' '��*'�4 E-�\B���"#!2!��&' � !3J\/qK H X J ��K �� .#��)��$.#'mJ\1 K "<,M%&.,"#��!]JZ:�K @�!�"#�&1%�N/�'?:��*BA�:",�("�'��'� 6 ���='k%A'�!�",��" 6 �]'=%M�%�W)3�$'��\",!\!��2.�4�

)�:#"!'�"#�N�O� F' !$#&%&%('�!���JZ:�K'�D'=.<:�! )��D: .#�T�g_ /M�X) !��2.�4��)5:#"!'�"#�N�k'=%8���$)3�W'�� � "��(�E H _ [ �J ;"#�&1%�P_ "#!�!���.�4��)�:#"!'�"#�N�9@ E H _ L _�@&%��!' 6 ",�C,+�(��)3�LJH� K �&'=.�:�!��.Q"#�&)�.<.#'=@@!!#&%&%('�!����(��)3� E H _ Le_ 4\'��0!!'=,7�-_ ��GcJ � KT�-� � ",!0�9)�!=' �W' 1)����10%�(�&)3� E L H EN@A)3�&:>������� � ELJHTFK��YT�� H � _ Le_*JHTFK��YT�� H � J _*JHTFK�� _*JZTDK�� ' � @A!��&' � "#�C,�(�&)3�PJ �9K�"�,-%D.#"#�%!fJZ) KT�)��M'=%8���W)/�W'��V1�)�� ��) 6 �h,-)���'+!�$B#�)3��� �$' '��(!%� .�'�� ���D)�,M%&.,��@�"#�M)�:&::",�("�'��P�W' ,

/8��"#� ,+!�$B#�)����-�!'F'3�(!i'�4 ,q@D4\'�����)�1)� 1 � b )��D:k4\'����9)�1)�>�&'���%���!' � �VbM@ � �0��) 6 ��(�&)3�v H � 1 �- ��� � � 1

* !W)3��"#!$B���! v [ H , ��h' � � 6 ����@�����"#� ,�!G)3��� :�"��M�������N�Q"�4 � � ����!�����"�1%�;'=#��;)3�������N�("�'��-�$']%('�!�"��(" 6 � '=%M�%�W)3�$'���!%���J ! oqp !LK N@? B�?� @? d �KI)G F e C E � E ��� e F ��' ���fe ' e � � G �/C � � � E � � � F e C E � E ����C � � ��' �'Ye�e � �

Page 151: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

������� � � � ����� � � � ���" '3e�e � � "��T�\E ��GcJ � Kl/8�c%A'�!�",��" 6 � � "��(�V�&'��:����, )/�(" 6 �c:�"#!*�("#�D1%�2��"=,���� 6 )�.�#���!a -0�������*� a X � ;"#�D1��[E ",!>!���.�4��)�:#"!'�"#�N�9@ � � %��&' � /�' B����2'����2, D;�GFK� � J )��D: ����� F%8��1%���W)�.�B��:��'�����,�!eK �(��)/�

� H �B#&.�. J E � a - ,FK���������� �B#&.�.dJ E � a X ,FK��� ' �(����%����21���::"#�C,4������'�����, � �&%��&' � ����)3� E �&)�!�) %('�!�",�(" 6 �>!�$B#�)����5�$' '���_\� F#&%&%('�!�� " "#!�)3�>�%"I,��%� 6 )5.<#��7'54;_��V�d4 T � �B#&.<. J _ � " ,FK �\B������+ELJHTFK H _ [ JZTDK H" [ Tq@A!!' " [ ",!�!$'=,��0��"=,���� 6 )�.<#:�f'�4 EN@�" � �3��@ " H�� a 3U4\'���!$'=,�� 5�� � .,�9)��!.A'�B#&.�.dJ _ � � a [�� � #D.<. J E � a [ ,FK�� ;"#�&1%���(�:�3'��&.#'�%('�!�!�"</D.#���%"I,��%� 6 )5.<#��%!]'�4R_�)���� � a -��������/� � a X @ )3�&:m/M�219)�#:!��_ ",! !���.�4��)�:#"!'�"#�N�9@ � �P)�.,!$' %��&' � �(�&)3�

� H �B#&.�.dJ _ � � a - ,FK���������� �B#&.<. J _ � � a X ,FK��) :�"<,�����!�"<'��k)3� ,=#&,����N���������>!��&' � ! �(��)3��B#&.�.dJ _ � � a [ ,DK H �B#&.�.dJ E � a [ ,FK4\'����)�1)�C9A�E� � '��(�:��� � '��$::!�@ '��+�B#&.�.CJ E � a [ ,FK @�������'=%8���$)3�W'��V_ ",! "!#�!*�V,3#&.��("<%D.#"<1�) �("�'��k/(' � a [ �B��B#�!]_�@L�����c%A'�!�",��" 6 �-!�$B#�)����-�$' '��*'�4 EN@A"#!*#���",$ #:��.A'�:��%�����$,�"#�:��:/�'+E �$&%�� �7D 6 � * : ? 8 *-D)�� '=%8���W)/�W'��_ ��GcJ � K "#!i19)5.<.#�2: )�� E C�e5+ ����'�4 %��!' 6 "�:���:

RIR _*JZTDK RIR H RIR T R=R U T � � �.�'��7���D)�,-%D.#��@ a , ",!?)3� "#!!'=,7�T�(�=' � �����:� 6 �%� a �Eb !W)3��"#!=BA��! R a R H � ��'����,����:���W)5.<.A'�@�!$#D%&%A'�!�� ����)3� a -��������*� a : )����0!!19)�.<)���! � ",���g)5/�!$'=.�#:�(� 6 )�.�#�� � )3�&:O_&�GcJ � K0!$)3�(",!$BA�%!3_*J,+ [ K H a [ + [ 4\'��0!$'=,��j'������&'��&'��$,-)�.V/�)�!�"#!c0 H J2+.-��������/� + : K7'�4� ��.�'���T � � � �-��) 6 �

T H � T �0+.- � +.- > ����� > � T �0+ : � + : J ] � � K)��&: JZ#�!�"#�C,+�����CZ '�����) ,='����9)��V�(�:��'�����,?K

RIR T R=R [ H R � T �0+.-�� R [@> ����� > R � T �0+ : � R [ � J ] �]D=K

Page 152: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � F ��� � ������� ��� � ����� � ��� � ���� ������� ��� � ��� � � � � � � � �

)]%&%D.A' _ �W'j/A'3�(�>!�"<::��!*'�4 ��$L�A! ] � � �_*JHTFK H a - � T �0+.-�� +.- > ����� >*a : � T � + : �$+ : �

B���",!i.^)�!*�2��$B#�)3��"<'���)�.<'��C, � ",��� R a [ R H � !��&' � ! ����)3�RIR _*JHTFK R=R [ H R � T �0+.- � R [�> ����� > R � T �0+ : � R [ � J ] � � K

�d4 � � 12'=,-%&)���� � $�!�� ] �GD-)��&: ] � � @ � �+!��%�P�(��)3� RIR T R=R H RIR _JZTFK RIR @M" � �3��@ _ ",!f)��"#!!'=,��%�(�='��E� �-4Z)�1%��@K����"#! "#! �����]%:�$'��$'��<' %�"<1�)�.M",!$'=,��%���$'�@D)�! � ��!���)�.�.M!����3� B��:� �����K��(�:��'�����, 12'=.<.,��1%��!\�(���c,-)�"#�'����!!#&.,��!12'��&1%�����:"#�C,�"#!!'=,7�T�(��"#��!%���J ! oqp !LK N@?��.?HMA?#� � FNF e C � � E C ��� � J ��E + ���:C E e � ��� E �!� ��' F 'Ye ��� I���C F �KI � ��� �_+�IGcJ � K�� P G!��� � G!� � e � �Ie � E � � ��'%� � � �KE � �������!�d�Q � R _ E C*��� E C�e5+ ��� '�4 �Q � R � _*JZTAK�� _*JHTFK � H � T��YT�� U T��YT � � �Q I R _ L _ H , �Q �SR J _*J2+.-!K��������*� _*J2+ : K$K E C ��� e '(� Gge � e '�+ ��� � �/C E C e � � � G!��� � ����' J2+.-��������/�0+ : KE C���� e '(� Gge � e '�+ ��� � �/C E C?e � � �Q � R � G!��' � ��� E C�� C*��� e '(� Gge � e '�+ ��� � �/C E C J2+.-��������/�0+ : K e � � � e ' � G E I)G

J _*J,+.-!K��������/� _*J,+ : K!K E C6e '(� Gge � e '�+ ��� �Q � R _ L E C*��� E C�e5+ ��� '�4 �Q �SR � _ L J\T�K�� _ L JHTFK�� H � T��YT�� U T��YT � � �Q G R _Q_ L H ,A�Q E R � _ L J,+.-!K��������/� _ L J,+ : K�� E C-e '(� Gge � e '�+ ��� � G!��� � ����' J,+.-��������*�0+ : K E C ��� e ' J� Gge � e '�+ ��� � E C�� e � ���)I��fe '(C E ��� �Q R �HG!��'%� ��� E C�� C*��� e '(� Gge � e '�+ ��� � �/C E C J2+.-��������/�0+ : K e � � � e ' � G E I)G

J _ L J,+.-!K��������/�e_BL9J2+ : K$K E C6e '(� Gge � e '�+ ��� �" 'Ye�e � �1BY'�!��W)�����@�!$#&%&%('�!��f_4"#! )��7"#!!'=,7�T�(�='��G�d4 � ",!R)0����)�.L"#���:��� d%��$' :&#&1T�J!$%�)�1%��@�(�:���k4\'��*)�.<.AT��YT � � @&#�!�",�C,Y�(���0����)�. %('=.^)3��"���)3�("�'��&"�:����N�("��<' � � �&) 6 �

� _*JZTAK��e_JZTFK � H R=R _*JZTAK > _*JHTFK R=R [ � RIR _*JZTAK � _*JHTFK RIR [�

H R=R _*JZT > TFK RIR [ ��R=R _*JZT � TFK R=R [�

H R=R T > T RIR [ � RIR T � T RIR [�

H � T � T ���

Page 153: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

������� � � � ����� � � � � �d4 � "#! )N12'=,M%&.#���Y"#���:���Q%��$' :&#&1T� !!%�)�1%��@ #�!��2�(���1�'�,-%&.,���j%('=.<)���"��9)3��"<'��P"�:���� �("��<'&"#�'�����0!W)�,��f4Z)�!���"�'��@�E� �>��"��(���%�*19)�!�� � �-!����D����)3�LJ ) K "�,-%D.#"#�%!fJ\/qKT�Xh' � !$#D%&%A'�!��0�(��)3�PJ\/qK �&'=.�:�!���B����%�

� J _ L _ � ,DK2JZTAK�� T � H � _*JZTAK�� _*JZTDK�� � � T��YT��H �

4\'��&� 6 ���='�T��YT � � � � ��%&)�����"<1�#D.^)��2@�"�4 T H J _ L _ � ,FK2JZTAK @��(�:���6���21���!�!W)���"<.#'J _ L _ � ,DK2JZTAK H � 4\'��*)�.�.�T � � @&4\'��!1�"#� ,M_ L _ H ,L�8�=�%�&1��-JZ/�K�"�,-%D.#"#�%!fJ\1 KT� F#&%&%('�!��D����)3�NJ\1 K �&'=.�:�!i)��D: .,�%�NJ,+.-��������/�0+ : KR/8�c)��k'������&'��&'��!,?)5.A.,"#!��l'�4 6 �21��W'���!2"#� � ��B����%�

� _*J,+ [ K�� _*J2+ W K � H � _ L _*J,+ [ K��0+ W � H � + [ �0+ W � ��=�%�&1��?J _*J2+.- K��������/� _*J2+ : K$K ",!i'������&'��&'��$,-)�. @ %��$' 6 "#� ,�����)3�PJZ19K\"<,M%&.#",��!fJ\:qKT�� .#�9)3�$.A'mJZ:qK\"�,-%&.,"#�%!fJ �9KT� F#&%&%('�!��7�(��)3��J2+.-0�������*�0+ : KD"#!N) /�)�!�",!P'54 � 4\'�� � ��"�1)� J _*J,+.-!K��������/� _*J,+ : K!K0",!'������&'��&'��$,-)�. �&.q'���T � � @

RIR _JZTFK RIR [ H RIR _J:�3 � -

� T �0+/3 � +/3 RIR [H RIR

:�3 � -

R=R � T �0+/3 �W_*J2+/3 K R=R [H

:�3 � -

R � T �0+/3 � R [H RIR T R=R [ �

BG).%K",�C,Y!�$B#�)���� �!'F'3�(! � � !����D�(��)/�3JH� K\"<,M%&.,"#��!7J ) K ��4� �&) 6 � �&' � !��D' � �'����)3�7J ) K �(���!'=#C,�� JH� K )����=��$B#�" 6 )�.,���N�O���=���D1�� ����%&.<)�1�",�C,_ /�'�_ L � �-��) 6 �D�(�&)3�LJ\4WK �(���!'=#C,�� J "WK�)3���0��$B#�" 6 )5.#���N��� � .#�9)3�$.A'OJZ19Ki)��&: J �qKi)������$B#�" 6 )5.#���N��@A!$'+�(���c%��!'F'54G'�4_�(�:�0������'�����, ",!i1�'=,M%&.,�%�(�3�

B����7%�����1��2:�"#� ,��(���2'����2, !��&' � ! ����)3�l)��&"#!!'=,��%�(�='+"#!J���21���!�!W)���"<.#'7�D'��$,-)�.;J !����%�)��*�(!lJ ) K @�JZ19KY)3�&:�JH�qK$K � 2 !�"#� , �����l1)��)3�W)�1T�(����"���)3�("�'��P'54��&'��!,?)5. '=%M�%�W)3�$'���!U%��!' 6 ��:�9)��!.#",��� � �i1�)��Y�&' � ,�" 6 ��)]1�'=,M%&.,�%�(�l:���!!1���"�%:�("�'��3'�4()5.<.K"#!$'�,7�T�(��",��!%�@�l#;�Q)�!E#�!!#�)�. @�(���%���N)����-!���%�)3�W)3���-!*�e)3����,����N�(!*4\'��\�����0���9)5.U)��&:'�(���c12'=,-%D.#����19)�!���!%�

Page 154: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � � ��� � ������� ��� � ����� � ��� � ���� ������� ��� � ��� � � � � � � � �

��J ! oqp !LK N@?��@?� @? O���� � � � � Q � � E � � ��E + ���:C E e � ��� R I3e5+ F ����� E �!� ��' F '3e ��� I��8C F �KI ���� � ����� _ ��GcJ � K�� P G!��� _ E C#��� E C�e5+ ����'�4 E � ��� � e �!� 4 E � � G!��'%� E C ���Qe '(� Gge � e ' J+ ��� � �/C E C e � � I3e �:C E C�� E � � e � � E�� �������)I�� e '(CVe � _ ��� � e � � Gge C � I3e '�'%�)C F e � ��E � �� E�� ����� ��� � �)C�G ������� � C�e � � � �N� ��� � � � �" 'Ye�e � �1B����V���D)�,M%&.,�",�" 6 ��� )3�P�(�:� /8��,�"#����",�C,m'�4 �(��",!+!��21%�("�'�� !��&' � !Y�(��)/�+�(���1�'��&:�",��"<'�� ,�" 6 �%�S",�>�����D�(���2'����2, ",!�!$#��M1%"#���N�h4\'��h_ �W'M/M�N)��S"#!!'=,7�T�(�='�� .q'��\�(���1�'�� 6 ����!���@ !!#&%&%('�!����(��)/� _ � GcJ � KD"#!P)��4",!$'=,��%���$'�� � ' �(���M1�'�,-%&.,���9!!%M�21%�(�$)�.�(�:��'�����, ���������+"#!f)3�m'������&'��&'��!,?)5.;/�)3!�"#! J2+.-��������/�0+ : Kh'�4 � 12'���!�",!���"#�C,+'�4��%"I,��%� 6 �21%�$'���!N'�4*_\� .�'�� ��+ 9 + �G@Y.#�T� a [ /8�Y�(���Y��"=,���� 6 )�.�#��j1�'�������!!%A'��&:�"#� ,>�$' + [ �B����%�

R a [ R H R=R a [ + [ R=R H RIR _*J2+ [ K R=R H RIR + [ RIR H � ��=�%�&1��-�9)51)�S�%"I,��%� 6 )�.�#��f'�4E_^��)�!)�/:!$'=.�#:�(� 6 )�.�#�� � @&12'=,-%D.#�%��"#�C,P�����c%��$' '�4 �

B����-�����K�=����!!#&.,� !*�e)3����!2�(��)3� � 6 ���='V"#!!'=,7�T�(�='+'���)Y���9)�..",�����%�%:�$' :&#&1%� !!%�)�1��"#!1�(����::"#���21%��!!#&, '�4(%�",��1%��!�(�&)3�V.<' '4%c.#"A%��\�!'��e)/�("<'���!G'�� F C:�"�,7�%��!�"�'���)�.�!$#D/&%�)�1%��!�@%�",��1��%!��(��)3� �%$ #&)�..�(���0"<::���N�("��<'+'=%8���W)/�W'��2@q)��&: %�"#�21���!2�(�&)3�2��$B#�)�.U,3#D.,�("�%&.#"�19)3��"<'��/�' � �Q� �*4\'=.�.<' � !\�(��)/�)��S",!$'=,��%���$'+'��g)�� ' :&: C::"<,�����!�"<'���)5.M���9)�.�"#�:�����i%��!'F:D#&1%�!$%&)�1��c,3#�!*� ��) 6 � � '��� � )�!)��>��"I,���� 6 )�.<#��3���J ! oqp !LK N@?<�@?��@?(� � FNF e C � �HG ��� � E C�� '%� ��� E �!� ��' F 'Ye ��� I��MC F �KI ����� � _+�[GcJ � K��P G!��� _ E C ��� E C�e5+ ����'�4 E � ��� � e �!� 4 E � � G!��' � E C ��� e '�� Gge � e '�+ ��� � �/C E C e � �� E � G '%�)C F �)I�� � e � G E I)G _ G �/C � � �Ie I32 ��E � � e � ����+ ��� ' E � � G!��'%� � �KI)G � �Ie I32 e � �HG!���E � � e � ��� E C � � J � 4 J � + ����' E ��I3e �!� � E � E � � � e ' J � c e ' � � J � 4 J ��+ ��� ' E � e � �HG!� � e '�+� �����BJ���K � � 5 �EJ��=K

� 5 �EJ���K ����� J��=K* � � E �HG � �IJ � ��YK�� J ] � ] K

" 'Ye�e � ��.Q",��!�� !$#&%D%A'�!�� �(��)/�_ "#!i)�� "#!$'�,7�T�(�$'�� � �219)�#�!��P_ ",!\�&'��!,?)5. @N�(���%��� ",!i)��'��*�(�&'��D'��$,-)�.V/�)�!�"#!P'�4 � !!#&1)� �(��)/� � ",��� ���%!$%8��1T�P�W' ����"#!N/�)�!�"#!3_<�&)�!3)g/D.<' 10%:�"<) ,='���)5.;,-)3�(��"#�A@ � ���%���Y�9)51)�X/D.<' 10% "#!7) � C/�' � ,-)3�(��"#��'��c) F d/(' F+,-)3����"#��'�4�(�:�c4\'��$, � 1 ���

� 1* � � ",�(� � 7 � � J ] � � � K

�d4 a "#!�)3�&���N�(�=' ",�+) � d/�' � /&.�'F10%M)�.�'��C,0�(���7::"^) ,='���)�.q'�4.�(�:�],-)3�(��"#�M'�4;_ J � "��(����%!$%8��1T� �W'0�(�:�]/�)�!�"#! "!#�!��R,����N�("�'�����:�K @N�(���%� �(�:����� "#!R)c/�)�!�",! 6 ��1T�W'���+ [ !$#&1)�&����)3�_*J2+ [ K H a + [ ��� ��19)5#�!��L_ ",!*)��S",!$'=,��%���$'�@;�(�:"#!�"<,M%&.,"#��!J�(��)/� R a\R H � � ",�(� a ���9)�. @4\'��!1�"#� , a H � �

Page 155: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�����N� � � � �1�2� � � � � � � � �1� � /� ���� � ���Xh' � 1�'���!�"�:����) F C/�' F3,-)3�(��"#�?'�4_�(���f4\'��!, "#��� $L� ] � �O� )5.<'��C,P�����c:�"^) ,='���)�.

'�4_�(���c,-)3�(��"#�?'�4V_\��B����%���N)����c/�)3!�"#! 6 ��1%�$'���!6+ [ ��+ [�$ - !$#&1)�>�(��)3�_*J2+ [ K H 1(+ [ >�� + [ $ -3�

B��B#�! �]H RIR + [ R=R [ H RIR _*J2+ [ K R=R [ H 1 [�>��3[ �B���"#!��%$B#�)3�("�'�� @�)5.<'��C, � ",�(�&�����f1�'��&:�",��"<'��7�(��)3� � 7 � @:"�,-%D.#"#�%!J����)3�����������D���;"#!*�(!)&�B#&,3/8��� � � J � ��YK !!#&1)� �(��)/�C1 H �����BJ���Kh)��D: � H � 5 �VJ��=K � B��B#�! �����3,-)3�(��"#�"#� ��$L� ] � � � �&)�! ����������$B#�"#����:M4\'��$,>� B���",!R12'=,-%D.#�%����!��(���h%��$' '�4Z"#�M'����]::"#���21%��"<'��@�� '�� 6 ����!��2.A'=@A!!#&%&%('�!�� ����)3� �(���%��� ",!l)��?'������&'��&'��!,?)5.(/&)�!�",!l'�4 � � "��(�&����!!%M�21%��W' � ��"�1)�'�(���f,-)3�(��"#�-'�4G_ ��)�!\�(�:�74\'��$, !��W)3�(�2:>",�&�(��� ������'�����,>�\B����%��� �(�:�����D",!

) :�"#����1%� !!#&, :��21�'=,M%A'�!�",��"<'��� H 48-����������74 X �

� �������&�9)51)� !$#&/:!$%�)�1%� 4 [ ",!N) !$#&/:!$%�)�1%��'�4 � ��) 6 "#�C,�:�"<,�����!�"<'�� � '��?F;�/.�#�� �(���%�$,M'����5@ )���'+� � ' 6 �21%�W'���!l/8��.�'��C,�",�C, �W'c:�",!���"#�&1T�)4 ) !l)3���*'������&' ,='���)�. @=)��&:��9)�1)�_ R `�� "#!*)��V"#!!'=,��%�(�='�,-)�%&%�",�C, 4 [ "#�N�$' 4 [ �V�d4 T � � @ � ��"��(�

T HX�3 � -

T 3 �*T [ � 4 [ �)]%&%D.A'K"#�C,-_ �W'+�(��",!2��$B#�)3��"<'�� )��&:V�e).%K",�C,+�&'��!,7! ,�" 6 �%!

R=R _*JHTFK R=R [ H R=R _*JZT - K > ����� > _J\T X K RIR [H R=R _*JZT - K RIR [@> ����� > RIR _*J\T X K RIR [H R=R T - R=R [ > ����� > RIR T X R=R [H R=R T RIR [��

B���"#!2!��D' � !2�(�&)3�]_ "#!*)3�S",!$'=,��%���$'=@D)�!*:���!�"#����:@�$&%�� ����* � 6 , A ? � *�� 6 � � 6 D 8 : 8 6���J ! o(p !LK N@?�u@?NMA? o � � p "! � o K o�� ' � ' o % `\� E ��GcJ � K3c � G!��� � G!��'%�*��� E C�� C ���E C�e5+ ����'�4 _+��GfJ � K C � I)G � G ���

E H _� � E L E �

Page 156: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � � ��� � ������� ��� � ����� � ��� � ���� ������� ��� � ��� � � � � � � � �

" 'Ye�e � � ".�%� E � GcJ � KT� B����%� 4\'��Y�9)�1)��T � � @ R=R ELJHTFK R=R [ H � E3JZTFK��YELJHTFK�� H� E L ELJHTFK��YT�� H � � E L E3JZTFK�� � E L EPJHTFK � H R=R � E L E3JZTFK RIR [ � F' � �0��) 6 �-��!*�e)�/D.#"#!�����:R=R ELJHTFK R=R H R=R � E L ELJHTFK R=R U T � � � J ] � ��� K

B����-�����K� !�����% ",!\�W'j1�'���!����$#&1T�7) ,-)�%_ - � �C,OJ � E L E]K�� �C,�J E7K � � E L ELJHTFK��� ELJHTFK��

)��&:V!��&' � �(��)/�2",�2"#!*) � ��.�. C::�*BA���2:S",!$'=,��%���$'��RIR ELJHT�- K H ELJHT [ K R=R H R=R ELJHT�- � T [ K RIR H R=R � E L E3JZT(- � T [ K R=R H RIR � E L ELJHT�-$K � � E L ELJZT [ K RIR �B���",!+!��&' � !+�(��)/� E3JZT(- K H ELJHT [ K�"�4)��&:I'��&.#' "�4 � E L E3JZT(- K H � E L ELJHT [ KT� � �4Z)�1T�2",�2!��D' � !2�(�&)3�h_ -\",! � �2.<. C:���BA����:�)��&:V",!*)M/�" "���1T�("<'���4H�$'=, , � J � E L E]K�'��N�W', � J E]KT�(8 ���c12'���!��%$B#����&1%�3'�4_�(��",!�"#!\����)3�

::"<,gJZ�C, J � E L E]K$K H :�"�,OJ\�C, J E]K$K�)��D::�"�,OJ\�C, J � E L E7K!K [ H :�"�,OJ\�C, J E]K$K [ �

� � "#!N)�.#!!'S��)�!$' �$'g1)���210%9����)3�3_ -D"#!c.,"#����)���� �'����2' 6 ���2@ "�4 T H � E L ELJ\T�K @_�������RIR _ -2JHTFK RIR H R=R ELJZTAK RIR H RIR � E L ELJZTAK R=R H R=R T RIR @:"<,M%&.#';",�C,�����)3�h_ - "#!*)��>"#!!'=,7�T�(�='��Xh' � 1�'���!����$#&1T�f)���'������&'��&'��!,?)5.>/�)�!�",! J,+.-��������*�0+ X K'�4iJ �$)��C,��=J � E L EhK [ )��&:

)��k'��*�(�&'��D'��$,-)�.�/&)�!�",!LJ U�-��������/�)U X Kl'�4iJ\�C,OJ E]K$K [ � � �*BA���_ [ � JZ�C,�J � E L E7K [ � JZ�C,�J E7K!K [

/�' � _ [ J2+ [ K H U [ JZ)��&:V���K�����&: .#",���9)��!.A'DKT�;� �i4\'=.<.�' � ! �(��)/� RIR _ [ J U7K RIR H RIR U RIR 4\'��*)�.�.U �IJ\�C,gJ � E L E]K [ � � �����L_ [ "#!*)3�>",!$'=,��%���$'?/('k%&)����PJH� K�'�4 B�����'�����, ] � � � � ��4�C%��&' � ����)3�

� H �C,�J � E L E7K�� J\�C,gJ � E L E]K$K [ �.�'��;T � � @ � ��",���VT H T > U � "��(� T � �C,OJ � E L E]K @MU � J\�C,OJ � E L E]K$K [ �� �*B���� _ � � � � /�' _*JHTFK H _ -�JZTAK > _ [ J U7KT� � �>"#! �9)�!='6�W'I1)����10%6����)3�_+�IGcJ � KT� �'�����' 6 ����@ R=R _*JHTFK R=R [ H R=R _ -2J\TAK > _ [ J U7K R=R [ H R=R _ -2J\T�K RIR [ > RIR _ [ J U7K RIR [ HRIR T RIR [ >�R=R U R=R [ H R=R T RIR [ @K"<,M%&.A'K",�C,P_4"#!�)3� "#!!'=,��%�(�='��*J,�=�%��� � �7#�!���:&�����h4Z)�1T� ����)3�_ -2J\T�K�� �C,gJ E]K)��D:m_ [ J UfK�� J\�C,gJ E]K$K [ � K@B����P'��&.#'&�(��",�C,?.,�24 �2�W'M1)���210%S",! ����)3�E H _� � E L EN@�/&#:������"#!2"#!i'�/ 6 "�'=#�!*/�'&�(��� � ) '�_ -\",!i:��*BA�:��:O'��'�����0"<,-) ,��7'�4� E L E-�

Page 157: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

����� � � � � � ��� �1� � �= � � �6� � � � � � � �1� � � /� ���� � � D�4�c19)3� 6 "#!!#�)�.,"���� ����"#!i%:�$' '�4E)3!�4\'=.<.�' � !%�J K�e)3��� � ",���+E ��GcJ � KT��C,�J � E L EhK � �9�C,gJ � E L E]K�� [ +.-��������*� + :

� E L ELJHTFK + [_ -�� _ [ � �ELJZTDK U [�C,�J E]K � JZ�C,�J E]K$K [ U�-��������*�)U :

_ H _ - � _ [ H X _ ",!*)��S",!$'=,��%���$' �)��&:

o � � p ! � o K o�� ' � ' o %IE H _� � E L E ��d4 E ",! "#� 6 ������"</&.,��@��(���%��_ H E ]J � � L EhK - ",!l#���",$B#����V�d47E "#! �&'���",� 6 ���*�("</D.#��@�(���%���C,OJ E]K 7H � @2!$' _ [ 7H � _ [ � � ���&1%�X_ � H _ -�� � _ [ 'K"#�2.<:�!7!+) %('=.^)��

:���12'=,M%A'�!�",��"<'��+'�4 E ::"#!���"#�&1T�i4H�$'=, �(��)/��,�" 6 �%�k/('�_ � �B���� %A'�.^)��*:��21�'=,M%A'�!�",��"<'��>!��W)3�(�%!��(�&)3� ��)�1)�m'=%8���W)/�W'��h'�� � 1�)��m/8� � ��"��������

)�!0�(���M%��$' :&#&1T�L'54i)��9"#!!'=,7�T�(�=' )��&: ) %('�!�"��(" 6 �j'=%8���W)/�W'��%�@B��B#�! � �M19)�� � ��",����9)�1)� '=%M�%�W)3�$'��N'�� � )�! �����?%��!'F:D#&1%�P'�4\� � 'O'=%8���$)3�W'���!�@1�9)�1)� '�4 � ��"<1)� "#!N'�4*)�<' %M�-�(��)3� � ����) 6 �L1�'�,-%&.,�%����.A'�:���!!1���"�/M�P)��&:�#��&:��%��!*�e)��&: ���9)3!$'���)5/&.A' � ��.�. ��� �%��&' � �(�:�����0",!i)��k'������&'��&'��$,-)�.�/�)3!�"#!i'54 � � "��(�V���%!$%8��1T� �$' � ��"<1)�'�(�:�-",!$'=,��%���$'_4��)�!R)P:�"<) ,='��&)�.�,?)/�(��" ��J "�49b H O KQ'�� )P/&.�'F10% :�"<) ,='��&)�.�,?)/�(��" � � "��(�?/D.<' 10%K! '�4!�"����N)3�*,M'�!���F d/�' F+J "�4 b H � K @�)3�&:>���������0"#!*)��k'��*�(�&'��D'��$,-)�.�/&)�!�",!'54 � � "��(����%!$%8��1%�7�W' � ��"�1)� � E L E ��)�!-)X:�"<) ,='��&)�.�,-)3�(��"#�M� 2=�D4\'��*�W#��&)3�(�2.A'=@��(�:����� ,-) '�&'�� /8��'��:��'������&'��&'��$,-)�.Q/�)�!�",!��(�&)3�3:&'K��!L/A'����I)3�������&!$)�,7�7�("<,����&�h' � � 6 �%��@� �?19)�� !*�("�.<.�!W) ' !$'=,��%����"#�C,S"#�N�(�%���%!��(",�C,�� B���"#! "#! ,�" 6 ��� /�' ����� !�"#�C,�#&.^)�� 6 )�.<#:�:���12'=,M%A'�!�",��"<'�� � ��"�1)�S",!i:�"#!!1�#�!�!��2: "#�'�����0�����K�=!���1T�("�'��@�$&% � ����* ) 8 ����� ,/A ? 0�� A , � * �3* � 6 � � 6 D : 8 : 8 6���� �D� !LK !L% � o�� ��J !��;!L%(! p ���l� ! ��� � �"��T��b /8�7) !!#&/;BA�2.<:+'�4Z�(���h1�'=,M%&.#�����B#&,3/8��� B���.<: O @D)��&:?.,�%� v �#� X� : JHbLK �� .#��)��$.#' v@LWv ",!�!���.�4�C)�:#"!'�",�N�9@L!$'&����������"#!])��O'��*�(�&'��&'��$,-)�.U/�)�!�"#!3JHT�-��������*�YT : Ki4\'��b : J � �&'�!��'��.,��,����N�(! � � 6 "#� � )�!31�'�.<#&,�� 6 �21%�$'���!WK 12'���!�"#!���"#�C,g'�42��"=,���� 6 �21%�$'���!'�4 v@LWv � "��(�I)�!�!$' 1�"^)/�(��: �%"I,��%� 6 )�.�#���! a -��������/� a : �1".�%� � ���L:��%�&'��(�'�����+#�!$#&)�.

Page 158: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � � ��� � ������� ��� � ����� � ��� � ���� ������� ��� � ��� � � � � � � � �

"#�:�����*%��!'F:&#D1%�'�� b :;�\ K"#�&1%� R=R v T 3 RIR [ H � v T 3 � v T 3 � H � v@L!v T 3 �YT 3 � H � a 3�T 3 �YT 3 � Ha 3 RIR T 3 RIR [ H a 3 @ � �-��) 6 �N%��!' 6 ��:>�(���f4\'=.�.<' � "#�C,L.#��,M,-):���! K K ��N.?�M?HMA?�� E �HG � G!� � e � ��� E e � �/C�� � er��� cQ E R d �KI)G � E�� ����� ��� � � a 3 e � v L v E C#' � ��� ��� � � e �!� � � ��� E ��� � H ���ZI ���;O���� � �+ � 4 �/C)C � + � � G ���&a -�' a [ ' ����� ' a : ' � �Q E E R � E � G �/3 H � a 3 � e ' � + 5 + �(c � �0C � 4 � G ��� �HG!� �/3Nc � + 5 + � c ��'%�*�HG!�!�",�C,=#&.<)�� 6 )5.<#��%! e � v � H ���ZI �*� G!��C E � ��� � ��'L� ��� � �)C e � v ��' �*� G!� ����� � � GNC e � �HG!����)I��fe ')Civ T�-3cl� � ��c v T : �

B���"#! "#! �%�&'=#C,���4\'��l#�! �W'P!*�e)3�����(���=�(���2'����2,�1�'��&1��%����",�C,��(�:�0 ;"#� ,=#&.^)3��� )�.�#��� ��12'=,M%A'�!�",��"<'���'54 v ���J ! oqp !LK N@?�M?� @?� E ������v � � X� : JNbPK �/C � � er��� c � G!��'%� ��'%� � � E � ��'�4 + ��� ' E I �)C4 �#� X JHbLK ��� � � �#� : JNbPK C � I)G �HG ���

v H 4� � L � � G!��'%� H

�������

�.- �� � �

��� ����

J ] � � F=KE C � ��E � � e � ��� � w � + ��� ' E ����� � �.- ' � [ ' �����(' ��� ��' � � G!� F e C E � E ��� Q E � � � c� e �� ��'Ye R C E � ��� � ��'c� ��� � �)C?e � v �Q E R P G!�7I3e � � + �:C e � 4 ��'%� � E�� �������)I�� e '(C e � vhv@L c � G!� � '(C�� 6 I3e � � + �:C@e � 4� e '�+ ��� e '(�HGge � e '�+ ��� � �/C E C � e ' � G!� I3e � � + � C F �KI � ����� J v K e � v c ��� � �HG!� � �/C��� � 6 I3e � � + �:C6e � 4 � e '�+ ��� e '(�HGge � e '�+ ��� � �/C E C � e ' �HG!� Q ' E�� G � R � � � �@C F �KI � e �� G!� + ����' E �Lv L �Q E E R P G!� I3e � � + �:C e � � ��' ��� E�� �������)I�� e '(C e � v LWv c � G!� � �/C�� � � 6 I3e � � + �:C�e �� � e '�+ ���Qe '�� Gge � e '�+ ��� � �/C E C � e '�� G!� Q ' E�� G � R � � � �AC F �KI � �AT���� J v K e � v c ��� � �HG!�� '(C�� 6 I3e � � + �:C e � � � e '�+ ��� e '(� Gge � e '�+ ��� � �/C E C � e '��HG!�DI3e � � + �7C F �KI � ����� J v@L K��Q E E E R P G!� ' ��� 2;e � v E C 6 �" 'Ye�e � �� K�W)����L/('4!$#&%D%A'�!�"#�C,S�(��)3� a - ' a [ ' ����� a � 7 a � $ - H ����� H a : H � � ;",�&1�� R=R v T 3 RIR H � a 3 H �/3d@ 12.#�9)3�$.A' v T 3 7H � "�� � + 5 + 6 � )h.#!!'&@Z"�4�5 7H 9�@Z�������� v T 3 � v T [ � H � v L v T 3 �YT [ � H a 3 � T 3 �YT [ � H � �� F'+J v T�-��������/� v T : KJ",!l)��?'������&' ,='��&)�..#",!���� �'����2' 6 ���2@ v T 3 7H � "�� � + 5 + 6 @�!�",�&1�� R=R v T 3 R=R H � a 3 H �/3 �& ' 12.#��)��$.#'J v T(-0�������*� v T�� K�"#!�)P.#"#�:�9)��!.A'+",�&:���%8���D:����N�*.#",!����(�&)3�\!!%�)���!*)-!$#&/�!!%�)�1%�N'54 � ��� J v KT�8 � �(���+'��������+�&)��&: !$#&%&%('�!��V����)3� H v � � ��� J v KT�-B����%� H � �03 T 3d@�!$' H v H � :3 � - �03 v T 3 H � �3 � - �03 v T 3 �]� �]4\'=.�.<' � ! ����)3� J v T�-�������� v T�� K2"#!])?/�)�!�"#!

Page 159: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

����� � � � � � ��� �1� � �= � � �6� � � � � � � �1� � � /� ���� � � ]4\'�� �����!J v K @ "<,M%&.A'K"#� ,V����)3� 6gH :�"<,gJ �����!J v K!K H �W)��;%�J v K � 874*12'=#���!���@������� �������"=,��N�2� #D.<.@!!%�)�1��N'�4 v ��)�!*:�"<,����:!�"<'�� � � 6 �

.q'�� �:+ 5 + 6 @B%&#:�lT 3 H �������� ����� ���H -

� �� v T 3d@K!$'�����)3� v T 3 H �/3 �$T 3 �BXh' � ���;�����&:

JZT -��������/�WT �WK_�W'c)3�M'����(�D'��&'��!,?)�. /�)�!�"#!*J\T -��������*�WT : K;'�4 b X �9".�T��4 H T -��������*�WT X "/M�0�(�:�L,-)3�(��"#� � �&'�!��!9����g1�'�.<#&,��S",!hT [ � ;"�,7"�.^)��!.A'=@F%&#:� � H T�-��������/�YT : " @8!$'�4)��&: � )����f#��:",�e)3�$'+,-)3�(��"<1%��!��&)��&:

v � H v T�-���������� v T��/� � �������/� � " H � - T -��������/� � �!T � � � �������*� � " HH aT -����������WT X " �����

�.- �� � �� �� � � �

�� H 4 ��

� ��������^",!Q:�"^) ,�'���)�. @ � w �G@ � ",�(�Y�(�:�=!�"#�C,=#D.^)�� 6 )�.�#���!Q'�4 v )�.�'��C,D�(�:�h:�"<) ,='��&)�. �B������ v!� H 4 "<,M%&.,"#��! v H 4 � L @ v@L H � L 4 L @_!$' v@LWv H � L 4 L �4 � L H � L � L �B������

J v L v K � H � L � L � H � L H ����a - � � �

a �

�� H J a - T�-���������� a �YT�� � � ������� � � K��

;"#�&1%� J v L$v K T [ H � 4\'���9�7 6 @"<,M%&.#';",�C, T L[ v@LWv T [ H � @G4\'��!1�"#� , v T [ H � @",��"#!j12.#�9)3������)3� T�� $ -����������YT : 4\'��$, )�� '������&'��&'��!,?)5.�/�)�!�"#!j4\'�� ��T�� �!J v K � ;"#�&1%�a [ T [ H J v L 1 K T [ H v L � a [ T [ @ � � !��%� v L$T [ H � [ T [ �E� �J�&' � 4\'=.<.�' � ! ���9)�::"<.A'-�(�&)3�T(-��������/� T��i4\'��!, ) /�)�!�"#!i4\'��\�����c1�'=.�#&,7�'!!%�)�1%�P'�4 v LO� ;"<,�"<.<)��$.#'=@ v]v L H 4 L 4 L @A!$'+�(�&)3�

J v]v L K%4 H 4 L H J a - T -��������*� a �$T �*� � ������� � � K��� �>4\'=.<.�' � !M�(��)3�QJZT -��������/�WT : K�1�'��:!�"#!*�(!>'�4K�%"I,��%� 6 ��1T�W'���!;'�4 vhv LO�()].#!!'&@ T � $ -��������*�$T X4\'��$, )��L'��*�(�&'��&'��$,-)�.=/&)�!�",!U4\'��������]J ��"=,��N� KZ�B#&.�.N!$%�)�1%�l'�4 v L�@5)��&:PT -��������*�WT �>4\'��$,

)�� '������&'��&'��!,?)5.�/�)�!�"#!�4\'�� �����!J v K �� ! � �& ' � � � �F� ' o %�4� � )��N� �W'+%:�W)�1T�("<1%������1�' ,���"��%"#�C,�)��&:��5'��6BA�&::"#�C,k) !�"#�C,�#&.^)�� 6 )�.<#:�3:���12'=,

%A'�!�",��"<'���4\'��*)_,�" 6 �%� � w � ,?)/�(��" � v ' 6 ���2�(���0!$#D/;BA��.�: b '54 O �

Page 160: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� ��� ��� � ������� ��� � ����� � ��� � ���� ������� ��� � ��� � � � � � � � �

v H 4 � L "�4;)��&: '��&.#'&"�4 v L H � L 4 L � J ] � � K�=�%��� ",! � w �O)��D:�:�"^) ,='���)�. � "��(� �������&'�����%�$'P!�"#�C,=#D.^)�� 6 )�.<#��%! �.-�' � [ '�����*� ���?:D' � � �����g,-)�",� :�"<) ,='��&)�.*)�! "��(!M'��&.#' �&'���%���$' �%�N�(��",��!%� ;"�,7"�.^)��!.A'�@� L"#! � w � )��&:I:�"<) ,='���)5. � "��(� �.- ' ����� ' ���j:&' � � �(���+,-)�",� :�"^) ,='���)�.R)�!+"��(!

'��&.#'&�&'�����%�$'����N�(��"#��!%� F'+�(���0�&'�� �����!' �%"I,��%� 6 )�.�#���!i'54 v L v )����0"<::���N�("�19)�.Z�$'+�(����&'�� �����!' �%"I,��%� 6 )�.�#���!c'�4 v]v LO�@B����-'��&.A'O:�"��M�������&1%�7",!0�����M,3#&.,��"<%&.,"<1%",�<' '�4 � )�!)��V��"=,���� 6 )�.�#����

.�'�� �:+ 5 + 6 � v T 3 H �/3<T 3Y)3�&: v L T 3 H �/3�T 3f� J ] � � � KJZT(-0�������*�YT��/�YT�� $ -��������/�YT : K ",!*)�� '������&'��&'��!,?)5.�/�)�!�"#!i'�41��"=,���� 6 ��1%�$'���!h'�4 v L v �J ] � � � KJZT -��������/�WT �*�WT � $ -��������*�$T X K\"#!*)3� '����(�D'��&'��!,?)�.A/�)�!�"#!*'�41��"I,���� 6 �21%�W'���!'�4 vhv L �

J ] � � � KJHT�-��������*�YT�� K "#!*)j/�)�!�"#!�4\'�� �����!J v L K�)��D: JZT�� $ -0�������*�YT : K "#!*)j/�)�!�"#!�4\'�� �AT���� J v K��J ] � � D=KJZT -��������/�$T �WK\"#!*) /�)�!�"#!�4\'�� �����!J v Ki)��&: JZT � $ - �������*�WT X K "#!) /�)�!�",!�4\'�� ��T�� � J v L K��

J ] � � � K�4�j1�)�� B���!�� B��&: JZT(-��������/� T : Kf)�!c)��X'������&'��&'��$,-)�.G/�)3!�"#!f'54 �%"I,��%� 6 ��1T�W'���!P'�4v L v @ %&#;�fT 3 H -

� �� v T 3d@�4\'�� � + 5 + 6 @ )��D:5�(���%�X12'=,M%&.#�T�(�+J\T -��������*�WT �eK2�W'k)��

'��*�(�&'��D'��$,-)�. /�)3!�"#!PJ\T -0�������*�WT X K�'�4Q��"=,���� 6 �21%�$'���!h'�4 vhv@L �\ F'=,��%�("�,7�%!���������"��2"#!��M1%"#���N���$' #�!��D�(�:�74Z)�1%�\����)3�NJ\T � $ -��������/�WT X K 4\'��!,�) /�)�!�"#!l4\'�� �(���D�B#&.�.Z!!%�)�1��c'�4v]v L '��i'�4 v L �V�d4 � ) � @�����"#!�",!��(���N)�%&%:�$' )�1)� #�!!#�)�.<.#'7�W) %��%�@�

Page 161: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

����� � � � � � ��� �1� � �= � � �6� � � � � � � �1� � � /� ���� � � �)].,��������)3�(" 6 �2.A'=@ � �N19)�� BA�&: J\T -0�������/�WT X Ki)�!])3��'��*�(�&'��&'��$,-)�. /&)�!�",!'54��"=,����

6 �21%�W'���! '54 vhv@L J � ",��� �%"I,��%� 6 )�.�#���! '��!:�������: 4H�$'=, .^)�� ,���!*� �W' !$,-)�.<.,��!��eK @3%D#:�T 3 H -

� �v@L T 3U4\'�� �#+ 5 +76 @()��&:V�(���%�g12'=,-%D.#�%���-JHT�-��������*�YT��WK\�W'-)���'����(�D'��&'��!,?)�.

/�)�!�"#!gJHT�-��������*�YT : K '�4D�%"I,��%� 6 ��1T�W'���!�'�4 v LWv ���d4 � ) �;@\�(��",!Y"#!Y�(���g)�%&%��!' )�1)�#�!$#&)�.<.#' �e).%����Z���������� ��� ������� ������� pto�� � !LK M ��.Q",�&: �����0 ;",�C,=#&.<)���� )5.<#�� � ��1�'�,-%('�!�"��("�'��?'�4 v H

�� � � �� F FF � F

� �

F'=.<#;�("<'�� �?v L$v H v10(v H � ] � ]� ] ]

* � � � �(�:"#!31�)�!��V",�P"#!P��)�!$' �$'&BA�&:)���'��*�(�&'��D'��$,-)�.*/�)�!�"#!?'54�� [ 1�'���!�"#!*�("#� , '�40��"=,���� 6 ��1%�$'���!k'�4 v L v �PZV#:�;T(- H� � - [- [ ! � T [ H

� - [- ["! � � H T�-��YT [ " �B������ v L$v T�-��YT [ " H � � T�-�� � � T [ " �\ F'M%&#:�T - H � �$#��� � �$# ��� H -

E [ �� � � FF � F� F � F

� H

�� � -E[E� [E

� H �(��� BA��!��1�'=.�#&,�� '54(4 �� ��",!=�&' � ��)�!$'V�$'7!���� ����)3�MU�- H �� F ��

� �PU [ H�� � F� �

� 4\'��$, )-/�)�!�"#!*'�4T - [ �9�4�N)�%D%&.A'&%0�$)�, F1)�&,�"<::� �W'�J U�-0�VU [ K �W'j'=/:�W)�"#�

T [ H�� [ '- '� � � T E H

��� [ ()'( '' ()'

� �

Xh' � %&#:� 4 H aT -��$T [ �WT E " �� �E4\'=.<.�' � !�����)3� v H 4 � L "#!;'���� !�"#�C,�#&.^)�� 6 )�.<#:�R:��21�'=,M%('�!�"��("<'��P'�4 v @ � ���%��� H

�� � F �� �� �� �

Page 162: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � F ��� � ������� ��� � ����� � ��� � ���� ������� ��� � ��� � � � � � � � �

pto�� � !LK � � '=,M%&#:���Q)\!�"#� ,=#&.^)3� 6 )�.<#��G:���12'=,-%('�!�",�("�'��7'�4 v H � � � 5� � � 5* � F'=.�#:�("�'�� � � �S����"#!*19)3!�� v]v@L "#!�F w F @ � ��"<.,� v LWv "#! w F@8!!' � � !*�e)��*� � "��(�

v]v L H � F � �� � F

* � � ����� v]v L ��)�!=��"I,���� 6 )�.<#��%! a - H ?)��&: a [ H � �= F'��(���!�",�C,=#&.<)�� 6 )�.�#���!f'�4 v@L J )3�&: �����&1%�-'54 v Kc)3��� �.- H � �)3�&: � [ H � � � �c4\'=.�.<' � !�(�&)3� H � � � �� � � * �\)h.#!!' L H �� � �� �� �� �

� � �(�:"#!l1�)�!�� � �71)�D'F'�!����W'L1�'=,M%&#:���7)���'����(�D'��&'��!,?)�.�/&)�!�",!fJZT -��$T [ K '�4.�%"I,��%� 6 �21%�$'���!i'�4 vhv LO�V� ��",! !�"<,M%&.#�2�W' 1)���210% �(�&)3� vhv L � �, H � � � � �

� � � �* @�)��D: � �

,-) ' �e) %3�-T - H � - [ - [ ! �' K"<,�"<.^)3�$.A'�@ vhv@L � , H � � � �� � �

* @G)��D: � �?,-) '�e).%��cT [ H � - [- [ ! � B��:����4 H T -0�WT [ " �\)\�2����"#!i%('�"#�N� � �P,L#�!��*%&#;�

T�- H �� - v L T - H

��

�� � �� �� 5 5

� � - [ - ["! H���

- � - � [ 3 � � �

)��&:T [ H � � v L T [ H

�� � �� �� 5 5

� � - [- [ ! H��

- [- [� � �

)\�2�(��",!i%A'�",�N� � �C%��&' � �(�&)3�LJHT E K�,3#�!��*/8�N)�� '������&'��&'��!,?)5.�/�)�!�"#!�4\'��� !$%&)��UJHT�-��YT [ K�� [ � F' � � � )3���(T E H J �� ��� K 0 � "��(� �PH � J � � � � � � F.5CK��tJ � ���=K � H � � F.5 �&@])3�&: � H � J � � � � � K��tJ � ���=K � H > M� � �+4\'=.<.�' � !&�9)�!�"<.#'^����)3�J � � � K H J,5 �?� � 5 �?� � K @ � ������� � �O,L#�!��+1)�D'F'�!���� !$' ����)3�7�(���5�D'��$, '�4D�(�:"#!6 �21%�$'��2"#! � �Q�d4 � �N%&#:� � H 3 E @�" � �3��@�� H 3 E @:������� J � ���=K H J - E � - E � 3 E K �B������

v H� - [ - [� - [ - ["! � � � �� � � * ��

�- � � - � [ 3 �- [ - [ �- E � - E � 3 E

�� �

� ��"�1)�S",!*)Y!�"#�C,�#&.^)�� 6 )5.<#��f:��21�'=,M%('�!�"��("<'��+'�4 v �

Page 163: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

����� � � � � � ��� �1� � �= � � �6� � � � � � � �1� � � /� ���� � � B� � A � )h� X � ��A 8 .SB�h�* � � Bi� 8 X ) � � � 8 X� F� � ��A ���^B 8

� �6 B() A1A � �P� ! #&% ' � ' o % �d4��'"#!R)��&�%"I,��%� 6 )5.<#��h'�4@�(�:�7,?)/�(��" � v @K�(���%��:�"�,OJH� #D.<.CJ�� � �!,DK!K"#!i1�)�.<.,��:'�(��� � �3e5+ ��� ' E I + � � � E F � E I E �H4 e � � G!� � E�� ����� ��� � � �.�

��J ! o(p !LK � ? M? B�?1O���� � � � � [ w � - ��� ��� � � � - w � [ �" � �

v H � � �� � * �

P G!��� � G!� � e � �Ie � E � � ��'%� � � �;E � �������!� �� E� � 7H � E C������ E�� ����� ��� � �?e � v � E �HG � � �3e5+ ��� ' E I � + � � � E F � E I E �H4 UG�� E E� � � 7H � E C*��� � E�� ����� ��� � �?e � v � E � G � � �3e5+ ��� ' E I � + � � � E F � E I E �N4 UE�� E E E� � [ 7H � E C*��� � E�� ����� ��� � �?e � � � � E � G � � �3e5+ ����' E I � + � � � E F � E I E �H4 UE�� E � � � [ 7H � E C*��� � E�� ����� ��� � �?e �� � � E �HG � � �3e5+ ����' E I � + � � � E F � E I E �H4 UE�

" '3e�e � �� K�(�2% � � ;�&' � JH" K�� JH"#"^K�".�%� v 4 H � 4 4\'���!$'�,7��,-)3����"#�/4 '�4 �W)��?%U1� �4��",�(� 4 H � 4�-4 [ * @;)3�&: %&#;�� 4 H � 4�-� 4 [

* @ � ���%��� 4�3 ��)�! � 3J�$' � !c4\'��5 H � ��F;�&B������ v 4 H � 4 /8��12'=,7�%!� � �

� � * � 4�-4 [ * H � � 4 [� 48-* H � � 48-4 [ * �!$' � 4 [ H � 4�-�)��&: � 4�- H � 4 [ �

B���"#!V"�,-%&.,"#�%! v 4 H � � �� � * � 4�-

� 4 [* H � � � 4�-

� 4 [* H � �� 4�� ;"#�&1%�

6 1.�@] J 47K H76 1��@] J� 4fK @;�(��� BA��!�� ��$B#�" 6 )5.#���D1��f4\'=.<.�' � !�� K�(�2%�F;� ;�D' � J "#"," K�� JH" 6 KT�/".�%� � � 4 � H � [ 4 � 4\'��+!$'=,��k,?)/�(��" � 4 � '�4�W)��;% U1� B����%� J � � K�J � 4 �<K H � [ � 4 � @i)3�&: 6 1.�.] J � 4 ��K H 6 1.�.] J 4 ��K @\!�"#�&1%�6 1.�@] J�� [ 4 � K H 6 1.�.] J$� � 4 � K + 6 1.�.] J 4 � K @i)3�&:�� 7H � � ' � � ��)�!�� [ )�!��"=,���� 6 )�.<#:� � ",�(� ,��2'=,7�T�(��"<1 ,3#&.��("�%&.#"�1�",�<' )/�c.#�9)3!���U1� � �N�(�%�$1)��)�� ,�"#�C,S�$'=.,��!f'�4 �)��&: � %:�$' 6 �%!3JH"#"#"^K�� J " 6 K � K�(�2% :� ;�&' � JH" K�� JH"#"#"^K ".�T� v 4 H � 4 � "��(� 4 �&) 6 ",�C, �W)��;% U;@h)��&: 4 H � 4�-

� 4 [* )3! "#�� K����% � ���V#:� � H � - > � [ � B������ v [ � 4 �� 4 � H � [ � 4 �� 4 ��!�",�&1�� � 4 [ H � 4�-)��D: � 4�- H � 4 [ @ 4�-)��&:!4 [ ��) 6 ������� !$)�,�� �!' � !!%�)�1%���= F'6 ��� J 47K H 6 ��� J 4�-!K H 6 ���3J 4 [ K � B���"#!�"<,M%&.,"#��! 6 1.�.]�J 4�-$K H 6 1.�.] J 4 [ K H U_�

Page 164: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � � ����� ��������� � � ����� � ����� ������������ ��� � ��� � ��� � � � ��2=!�"#�C, 12'=.<#D,7�+'=%8���$)3�("�'���! � �c19)��'���W)���! 4\'��$, � 4�- 4�-4 [ � 4 [

* ",���$' � 4�- �� 4 [* @� ��"�1)�S��)3! �$)��?%/F�U_� '�� [ ",!*)��>��"I,���� 6 )�.<#��f'54 v [ � ",��� ,���'=,��%����"�1f,3#&.,��"<%&.,"<1%",�<'

)3�*.,�9)�!*��F�U1�8 �>�����c'��(���%����)��&:�@��(��� ,��2'=,7�T�(��"<1f,3#&.��("�%&.#"�1�",�<'j'54E)��V�%"I,��%� 6 )�.�#�� � [ 7H � '�4v [ ��$B#�)�.,! � � 6 1��@] J v [ � � [ ,FK H � � 6 1.�.] J!J v � �!,FK�J v > � ,FK!K + � > � �6 1��@] J v � �!,FK � 6 1��@] J v > � ,FK H F�U_� o � !� B���� � 'H%�� � �� p�� &� � ! � '54l)�12'=,M%&.#���O,-)3�(��"#� � )����P!$'=,��%��"<,���!7::���

BA���2: �W' /8� �����g%('�!�"��(" 6 � �%"I,��%� 6 )5.<#��%!�'�4 � � ���� � * � �8'^�����O)�/(' 6 � ����!$#D.,�� �'!����&����)3�P�����*' )����7�(���&!$)�,��+)�!������+%A'�!�",��" 6 � !�$B#�)3���'�$' '���!3'�42�(��� �&'����%���$'��"=,���� 6 )�.�#���!i'�4 � ��� J\'��*'�4 ��� � Ki)�! � � �&) 6 �P::�*BA���2:S������, )5/A' 6 �3�

����� ����� � �"!$# � �&%'���&�)( � � * �+(,�.-0/�1 � (2%3�&�'4"6587 v /95 );: � w � ,-)<7>=@?#� ' 6 58= b JBADC�58=E5_bF?HG+58?I7>CJ5K= � 'L=DMYK7);:&: G!#&%&%('LGE57>CJ5N=$);:?%�'54 v ?IG 6PO "6587

v H 4� � � /95P)QG@?H:C,=#D.^);= 6 )�.�#�5f:�521�'=,M%A';GE?I7E?<'L:+'54 v �R ' S?HG);: � w �X:�?^) ,='L:�)�.�,?)<7E=E? �TAD?U7>C�7>C�5N:&'L:��85K=!'TGE?I:C,=#&.<);= 6 )�.<#J5KG �.- '� [ ' �����/� ' ���Q:&'VAD:$7>C�5*,-);?H: :�?<) ,='L:&)�.&);G'?U7>GV'L:&.#'2:&';:��K58=$'N5K:W7>=@?H5KG O �+5*BX:J5 $7W'N/95Y7EC�5 � w � :�?^) ,�'L:�)�.&,-)<7E=E?#�,AD?I7EC?:�?<) ,='L:�)5.�5KZB#�)�.[7W'?J -

� # � -� �������*� -�]\ ��^;������� K OB�C�58:�/(';7>C $ );:&: $ _C�) 6 5N7EC�5 ,L5K:�58=W)�.>/D.<' 10%?4\'L=$,`ba �c^^ ^ * �/&#J7D7EC�5 BX=EGd7h%J=$' :&#&187D?IG � w � );:&:�7>C�5eG@5�1�';:&:f?IG � w � O

"!$#&%('Bg ' o %VB�C�5,h e�eji>k�l " k�mXiYeVnVk � k�mok�i@p;qsr jk � rtm��;k�i>nVk e � v JBG$'=,$587E?<,$5KGvu!#�G@719)5.<.H52:w7>C�5+x nVk �D� ejrtm��;k�i>nVk '54 v K�?IGy7>C�5:� w � ,?)<7E=E? � v $ ' 6 58=1b :�5*B�:�5�:�/('

v $ H � $ 4 � �z�J ! oqp !LK �6{I|v{ M { O}k�~Ev���k2p;m � w � +$p;~�i�r � er�;k�i b � rt~t� x nVk��J�LejrtmX�;k�i>nVk*v $� pjn���kB�'mokE�wpW��ej�;k �;� P �Xk�m"~B�Xk'��ejqtqIe � rtm���~B��i>k�k x iYe x k�i�~]r�k�n��gejqU�W�

� p �e��� $ �S�_� �� � �e� $ ��� $ �_� $ ��@� �e��� $ p;m9� � $ � p;i>k&�Xk�i�+Qrt~]r�p;m � r � k � c nVk�q ��ldpW�@��ejrtmX~ �;�

Page 165: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�������*��;� �������� ������� � � � �6����� � ��� � � � � �� � � �.�� i3e�e�� � ) ���.7>C�=@5K5��J=����95K=d7>?H58G��;=E5$5��;G@?��#' GEC��VAD: 7���C���������GE?I:C,�7>C�5���5*B�:�?I7E?��L:����� $ O ����G@C������!�"���Q7EC�?HG�:��VA O8#�J=$��5*B�:�?I7E?��L:%�&�('�7>C�5*) "���L=E5�� �.58:�=��;GE5_,L5K:J5K=+�&�H?H�85,�"?I:.-L5K=@GE52A/�����!� :��;7#095

-&���H?!� ?!�Y?I72A 5K=@5"�1�LG@GE?�0��H5��2�L=27EC�5K=@5 7+��0 543��L=E5 7>C5�;:6�L:�5 O �7�VA 5*-L58=,8 7EC�59�2���U����VAD?H: , 7EC�5,�L=@5,3 G@C��VADG,7>C5�j7�7EC�5K=@5 ?IG:�<7�3��LG@7;�L:�5=<�CJ5K:�>85T5�����>�7+�#'?�;:�5 �A@ G���>�C��GE5*�����L?I:.-L5K=@GE5 Oz�J !�B1C !LK �6{I|v{!Dv{FE rt�;k�m p;m �HG � +$p;~�i�r � � c ~B�Xk�i>k�rHn�p;~ +@eVn�~6ejmok;+$p;~]i�r �nKp;~]rHnB��4jrtm�� ~t�Xk ~B��i>k�k x iYe x k�i�~�r�k�nQe�� � $ �;rt�;k�m rtm P �Xk3eji>k�+ I �KJ � � � P ��rHn +TkEp;mJn~B�Jp;~ � �Jpjn,p$�PmXr �K�Xk x nVk����LejrtmX�;k�i>nVk �� i3e�e�� � "}5�7 � �;:�� � 095:��G@5,�����L?H:.-L58=EG@5KG���� � O ? O 5 O 8 G+�<7E?HGL� 'P?I:C, 7EC�5,7EC�=E585(��=����P�5K=d7>?H58GM��� � $ ?I:"B�C�5,�;=E5,3ON O �JO �LO B�C�58:� �_� � < � � � @ � � � < � � @ � � � ��� � � � � < � < � � @ � @ � � � � < � � � @ � � �

�_� � � � � < � � @ � � � � �? O 5 O 8� �_� � �:P

B�C�5K: � � � � � � � < � � @ � � �� � � � �G���7>C5�j7� � �� � < � � � @ � � �� � � � < � � @ � � � � � � � � � � � P

)y7Q7>C�?IG(�Q�;?H:W72A 5wAR�;:W7�7+� =@5*-�?H5�AS�<:��bG��H?=,LCW7+�#' =E5*-�?IGE5w7>CJ5�%e=���3�� R >�C�3$?��J7���I,��L=E?U7>C�3 ,;?!-L58:w5��<=��H?I5K= O "6587T<ZT(-0� P�P�P �YT : @ 095$�<:('U�H?IG@7/���V>,������3$:U-;5,>87��L=EG ?H:"b#W O"6587�7EC�5KG@5(095�7>CJ5:>,������3$:�GX���Y�;: �ZG �[3U�<7>=@?#� � O "6587#\ � ��] 1.�^<ZT(-�� P�P�P � T : @0 5&7EC�5T>,���!��3 : G_�5��>85;��� � O �+5�BX:�5T` - � T(- O B�C�58:"�2�L=1F + 5 + �a���J7

` 3 � T 3 �cb - 3d` - �eb [ 3K` [ �gfhfhf �eb 3 - � 3K` 3 -��ADC�5K=@5 b1i 3 �kj ��� � l �_mj l

� � l �Lm 8X?n�o` i�7� �^�8p�;:�� b1i 3 � ^�?n�q` i � �^ O ��58:�>K5T 3 � b - 3K` - >rb [ 3d` [ >6b E 3K` E >sfhfhf >rb 3 - � 3�` 3 - > ` 3 P <tN O � N�@

Page 166: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � � ������� ��������� � � ��� � � ����[������������ � �#� ��� � ��� �9� � ��"6587���� 095 7EC�5 � G �U3��j7>=E? �&ADC��LG@5R>,������3$:�G �;=E5/` -0�+` [ � P�P,P �+` : 8;=@5KG��95,>�7>?n-L5,�#'�8�;:��4�I587 ���70 5+7EC�5:� G ��3U�<7E=E?#�@,L?n-L5K: 0�'

��� � ������ b - [ fhfhfkb - :^ � fhfhf b [��OOO OOO OOO OOO^ ^ fhfhf �

� P < N O F;^.@

B�C�5#` 36?H:��X�;=@5$>,�L:JG@7>=_��>87E5,� 0�'T7>CJ5 %e=���3Q� R >�C�3$?��P7 3$587EC�� �4�<:��F�2�L=�3 �;:�L=d7>C�� ,��L:5���vG@587 O B�C�?IGX3$5��<:�G�7>C5�<7�����C5�<GX�;=@7>C�� ,��L:5�&� >,���!��3 :JG,8�G_��3 5T���.ADC�?�>�C3U� '�095w�K58=�� O "65�7�� �;:�� �O095T7EC�5F3U�<7>=@?�>K58G:��0P7 �;?I:�5,�c0�'?��5,�I587E?H:C,f7EC�5w�85K=��>,������3$:�G/�B=_��3 ��M�<:��w7>C�5 >,�L=@=E5KG_�Q�;:���?H: ,2=��VADGR�B=���3 ���h8��;:���0('���?!-�?!��?H:C,�5���>�C:��L:J�K5K=_�9>,���!��3$:%��������0�'f?I7>G�:��L=_3 �;:��a3(���I7E?����#'�?H:C,$5���>�Ca>*�L=E=@5KG_�Q�L:���?H:C, =_�VA��� ���X0(' 7EC5�<7DG���3 5&:��L=�3 O B�C�5K:��3Z O N O F;^ 095,>*��3 58G�S� ��� AD?U7>C�������� 58=�7>=E?��;:C,����K�;= �;:�����C5��-P?I:C,��L=@7EC��L:��;=�3U��� >*������3$:�G P

< N O F � @�3Z O N O F � ?HGD7>C�5 m eji�+$p;qsr jkE� � ��� ��k � e5+ x eVn�rt~]r ejm ��� � O�� �;7>5e7>C��<7�?n� � C5�;G=+�<:?%��Q8v7EC�5K:�� ?HG �kG �"AD?I7EC =+�;:?%����<:�� � ?HG� G �e�;:��������95K=&7>=@?K�;: ,����K�<=AD?I7EC =+�;:?%�� O B�C�5�>,���!��3 :JG#����� �2�;=�3 �<:?�L=d7>C��;:��L=�3U��� 05�;GE?IG#�2�L=+7>C�5�>*������3$:G�����>K5;\ ��� � O� ��A 5T>,��3����J7E5�� � ��8�GE?I:�>K5&7>CJ5�>*������3 :�G �&��� �;=@5T�L=@7EC��L:��L=_3��&� 8 A 5 ,L587

� � � � a�� PR ?H:�>K5�<2` -0� P�P�P �+` � @�?IG(�;: �;=@7>C��L:��L=_3���� 05�;G@?HG:�2�;= \ 83?!�����! #"T<Nb : @�?HGN7>C�5

�L=d7>C�� ,��L:5���Q��=��ju@5*>87E?��L: �L:W7+�U\ 8�7>C�58: �2�;=�T$ Vb : A 5eC5��-;5�%�h<HT @ �

��3 � -

� T �+` 3 �_` 3 � <2` -0� P�P�P �+` � @���� T �+` - �OOO� T �+` � �

�� � � f

���` � -OOO` ��

�� f T � ��� � T P

R �&��� � ?HG37EC�5Yx iYe�� k � ~�r ejm/+$p;~�i�r � ��=_�ju@5,>�7>?H: , T �L:W7�� \ � >,��� <'�;@ O ��58:�>K5(�� � T?HGy7EC�5T��:�?IZ��J5T-;5,>�7+�L=Y?H: \ >,���;GE5KGd7D7+� T O)�! K K �v{I|6{+*v{ �[� xWx eVnVk�~B�Jp;~�~t�Xk � G � +$p;~�i�r � � �Jpjn,i@p;m 2 � p;m9�w~t�Jp;~ � �� � c�, �Xk�i>k � rHn � G �-, rt~t� iEp;m 2 � p;m9� � rHn � G �., rt~B� i@p;m 2 � � P �Xk�m

� $ $ � � � < � � � @ - < � � � @ - � �rHne~t�Xk x nVk����LejrtmX�;k�i>nVk?e�� �Q�

Page 167: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

������� � �;� �������� ������� � � � �6����� � ��� � � � � �� � � � D� i3e�e�� � � 7 ?IG=��<7>CJ5K=G@7>=��;?I,;C 7_�2�L=@A �;=_� 7+��-L58=E?!� 'Q7EC5�<77>C�5D7>CJ=E5K57��=���� 58=@7>?I5KG ���9B�CJ5���L=E5*3 N O �PO � �;=E5NG+�<7E?HG=BX5,�%0�'�7>CJ?HG � $ $ O B�C�5K:=0('/B�C�5*�L=E5*3 N O �JO F�A 5 % :��VA 7>C��<7�c3��j7>=E? � � $ G��<7>?IG_� '�?H:C, 7>C�5"7EC�=E585%��=���� 58=@7>?I5KGF�&� B�CJ5,�L=@5,3 N O �JO � ?IGF��:�?IZ��J5,�A'��587E5K=_3 ?I:�5,� 0�'w7>C�58GE5���=���� 58=@7>?I5KG O @� B1C B���� C����6{I|v{��}{ ` � � � � � rHn,pTm eji�+$p;qsr jkE� ��� ld��k � e5+ x eVn�rt~]r ejm e�� � c ~B�Xk�m� $ $ $ � � � < ��� � @ - � � rHnN~t�Xk x nVk����LejrtmX�;k�i>nVk�e�� �2�%e?n-L5K:�7>C5�<7 � � 4 � � ?HG7�TG@?H:C,����K�;=M-&������5���5*>,��3��Q�;GE?I7E?��L: ��� � 8 �5�;=d7>?U7>?��;:7>C�5�7 A �43U�<7>=@?�>K58G$�;G7�2�����!� ADG � 4 � < 4 � � 4 W � @ �;:�� � � < � � � � : � @ 8oADC�58=E5 4 �?HG � G � �;:�� ?U7>G >*������3$:�G �<=E5w7>CJ5 BX=EGd7�c>*������3$:�G(�&��4;8? O 5 O 8 7>C�5�'c�2�L=�3 �;:�L=@7EC��L:��;=�3U��� 05�;G@?HG����R>*��� < � @ O R ?!3 ?!�K�;=_�A'�8 � � ?IG � G �6�;:�� ?I7�>*������3$:�G��;=@5$7EC�5BX=EGd7��4>*������3$:�G ��� � 8XG_�$7EC�5*'F�2�;=�3 �;: �L=d7>C��L:��L=�3U��� 0��;GE?IGM�2�;= >,��� < �+� @ O B�C�?HG�?IG7>C�5 G+��3$5R�;G.G+� '�?H:C,+7EC5�<7.7>C�5 =��VADG^��� � �� �2�L=�3 �;: �L=d7>C��;:��L=�3U����05�;G@?HGo�2�L=.=_�VA;< � @ O� �VA �I587� 095+7>C�5�� G �9��?K� ,��L:5���Q3��<7E=E? �TAD?U7>C 7>C�5&:��L:��K58=��$GE?I:C,������;= -&�����J5KG ���� ���VAD: 7>C�5 ��?�� ,��L:���� 8 ? O 5 O 8 � ` � ^^ ^ * O � � A���G@?H:C,90��!� >0%"3(���U7>?����H?�>,�<7>?!�L:A 5NGE585&7>C5�<7

�S� < 4 � � 4 W � @` � ^^ ^ * ` � ��

� �: �* � 4 � � � � �� P

B�C�?HGe5����J=E5KG@GE?!�L: � � 4 � � � � �� ?IG#>����!�H5*�"7>C�5 i>kE�;� � kE� n�rtm��;�PqUp;iQ�jp;qs�Xk ��k � e5+ x ejln�rt~]r ejm �&� � O ��5K=@5�4 � ?IG � G � AD?I7EC =��;:?% �Q8^�;:��� � � �� ?IG � G � AD?I7>C =+�;:?%� O B�C�5K: �)� � � � 4 � f � � � �� ADC�58=E5 � � 4 � ?IG � G � AD?U7>C =��;:?%-�Q8 �;:��� � � � � �� ?HG&� G � AD?U7>C =��;:?% � O B�C�5F>*������3 :�GT��� �O�2�L=_3 �;:[�;=@7>C��L:��L=_3����05�;G@?HG �2�L= >,��� < � @ 85�<:�� 7>C�5e=��VADGX��� � �2�L=_3S�;: �L=@7EC�� ,��;:5��� 0��;GE?IGM�2�;=�=��VA;< � @ O R �� ��GE5*�����L?I:�-;5K=@GE5 � $ ?HG�,L?n-L58:"0�'

� $ � � � < ��� � @ - < � � �;@ - � � � � � � -� 4 �� �7�&�t7>58=�G���3$5#>,��3U���P7 �<7E?��L: PR �����1�LGE5eA 5:�;=@5 ,L?!-;5K:�7>C�5e58Z����<7>?!�L:

� � � � <tN O F F�@ADC�5K=@5 � ?IG � G � �;:�� � ?HG � G��LO � 7,?HG:�1�LG@GE?�0��H5 7EC5�<727EC�?HG�5KZ��5�<7E?��L: ?HG,:��;7>,�L:JGE?HGd7>58: 7 O � : 7>C�?IGU>,�;GE5 A 5 AR�<: 7 7+� BX:���� G_� 7EC5�<7 � � ?IG��;G�>,�!�LGE5�7+� � �;G�Q�;GEGE?!0��H5&8[? O 5 O 8 ?U7�G@C������!�=095�7EC�5:>,�;GE5N7>C5�<7 � � ?IGY7EC�5:�J=��ju@5*>87>?!�L: �� ��� � �L:W7+�T7EC�5>,���!��3$: G_�5��>85��&� � O �^�J7

� �S� $ � � � � � -� 4 �� � P

Page 168: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � � ������� ��������� � � ��� � � ����[������������ � �#� ��� � ��� �9� � ��B�C�58:

� � � < 4 � � � � �� @ � � � -� 4 �� �� 4 � � � - 4 �� � < N O F�.@� 4 � 4 �� � �

ADC�?!>�C=0�' 7>C�5��5�;=�� ,L=�����C ��=E5*>K5,�J?H:C, "}5*3U3U��N O �JO �3(��Gd7X0 5e7>C�5���=_�ju@5,>�7>?��;: �� ���� �;: 7��9>,��� < � @ O B�C���G � ?IG#�e'_�H5,�;G@7d� G@Z����;=E58G&G����!�J7>?!�L:�) 7�� � � � 86?H:"7EC�5QGE58:�GE57>C��<7 � 3$?H:J?�3$?H�K58G R=R � � � � RIR <tADC�?�>�C ?IG+7>C�5QG@Z����;=E5�=����;7#�&� � G_��3 ��� GEZ��5�<=E5KG+@ O"�L=@5,�h-L58=,8 ?U7e?HGe7>=_��5$7EC5�<7 � C5�;Ge7>CJ5 G_3����!�H58G@7T�H58:C,;7ECc��3��L:C, ���!�^�H5��<G@7@� GEZ��5�;=@5KGG������J7E?��L:�G 7+� � � � Oz�J !�BpC5!LK �v{I|6{ � { O}k�~ � ��k �sG ��, rt~t�2i@p;m 2 � � O}k�~ �S� 4 � � ��kypem eji�+$p;qsr jkE�n�rtm��;��qUp;i,�jp;qs�Xk���k � e5+ x eVn�rt~�r ejm-e�� �2� O}k�~ 4 � < 4 � � 4 W � @ p;m9� � � < � � � � : � @��k x p;i�~�rt~]r ejmokE� pjn$pW��ej�;k � P �Xk�m � $ � � � � -� 4 �� c pjn$pW��ej�;k c p;m9� � � � $ �wrHn$pqHkEpjn�~�l�n �K��p;i>k�n�n�ejqs�P~�r ejmb~ e � � � � ` � � rHn p;mg4 ej~t�Xk�iTqHkEpjn�~�l�n �K�Jp;i�k�n�n�ejqs��~]r ejm cr � k � c RIR � � � � R=R � � � � � � RIR c ~B�Xk�m*R=R � R=R + RIR � RIR c�, rt~B� k �K��p;qsrt~H4�r ��p;m9� ejmXq 4�r � � � � �� iYe�e�� � � C5�<72=E5,3U�;?I:�G�7��a0 5wG@C��VAD:b?HG,7EC5�<72?n� RIR � � � � R=R � � � � � � RIR 8 7EC�5K:RIR � RIR + RIR � RIR 8JAD?I7EC�58Z������H?U7<' ?!�q�;:�� �L:��#'w?!� � � � O � 5 % :��VA 7EC5�<7 RIR � ��� R=R ?HG3$?H:�?!3 ?I�K5,� ��=@5,>K?IGE5*�A' ADC�5K: � � �� ?HGY7>C�5 �J=��ju@5*>87>?!�L: 4 � 4 �� � ��� � �L:W7��9>,��� < � @ OR �+G_�����1�LGE5 � � � �� �S� � 8jADC�?�>�CQ?!3U���H?H58G � < � � � @ � ^ 8;? O 5 O 8 � � � f:������t< � @ O� ' �3Z O N O � D�7EC�?HGV3$5��;:�G}7>C��<7 � � � > � : � �M�2�L=}G���3$5 �� Vb : � O � 5/>*�K�;?!3S7EC5�<7� � � $ � � � � � -� 4 �� � �;:�� � : � ���;=@5;�L=d7>C�� ,��L:5��� O .p�;=,8 � � � � -� 4 �� � � � : � ��� �� � < � �: � � � @ � -� 4 �� � � ^�8X0 5*>����JGE5�0�' �3Z O N O � � 8 � �: � � � � ^�� : ����� � O B�C�58:RIR � RIR [ � RIR � > � : � � R=R [ � R=R � RIR [ >�RIR � : � � RIR [ ' RIR � RIR [ 8JAD?U7>C 5KZ��5�&�H?I7<' ?!�o�<:��9�L:��#'?!� R=R � : � � RIR [ � ^"ADC�?!>�Cb?HG2?n� �<:��e�L:��A' ?!� � : � � � �^fADC�?!>�Cb?HGQ?!�X�<:��e�L:��A' ?!� � � � Oz�J BpC K �v{I|6{��v{ O}k�~ � ��k � G � , rt~t� i@p;m� � � P �Xk�m � �Jpjn�p2��mXr �K�[k � h e�eji�k�l� k�mXiYeVnVk � x nVk����LejrtmX�;k�i>nVk � ` � � � � c � $ � < �+�E� @ - �+� c p;m9� � $ rHn p qHkB��~rtmX�;k�i>nVk e�� �Q�6` � � � � c � $ � �+� < ���+� @ - c p;m9� � $ rHn$p�i�rU�j��~�rtmX�;k�i>nVk e�� �Q�` � � � � � � c � $ �_� - �� iYe�e�� � � 5QC5��-L5U���H=@5����;'�GE585K: 7>C5�<7 � C5�;G��F��:�?IZ��J5��JGE5,�����L?H:.-;5K=EG@5 O � ��� � �q8� � � 8 � � a�� 'P?I5,�!��G9�?� ��>�7+�L=@?H�,�<7>?!�L:r�&�N7EC�5f7<'��95%��GE5*� ?H:3"65,3�3U�[N O �JO �8G�� � $ � < �+�>� @ - ��� O R ?�3$?����;=��#'�8 ?!�� � � 8X���J7 � � a�� 8 � � � O B�C�58:� $ � �+� < ����� @ - O�� :��f?!� � ?HG�?H:.-L58=@7>?!0��H5&8[G��T7EC5�<7�< �+�E� @ - � � - < ��� @ - 8 0�'7>CJ5&� � ��>,�;GE5&A 5�C5��-;5 � $ � < � � � @ - � � �_� - < � � @ - � � �S� - O

Page 169: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

���s��� �:����"��� �!d� � � � � � � �6���[�� � ��� ��� � ����� � � � �� � � � N����� � ! %�� �� � # �.- ( � �Y��( � � ! %3� !� * �+(,�.- /�1 � (,%'�+�'4� : 7EC�?HG�G@5,>�7>?��;: 7EC�5e:��L=�3 � � � ��� �<: � G �a3��j7>=E? � � �h-L58=DM ?IGM��5*BX:J5,�=0�' �

� � � � < � 6 < � � � @_@ -��� � � �3 � i�� �

3 i !-��� P

<2�Y5K=E5&A 5NAD=@?I7E5 � 6 < � @ �2�L=y7>CJ5e7E=+��>85T��� � O @� �;7E5 ��� CJ?HGe:��L=_3 ?HG&7>C�5�� � :��L=�3 ��� � 7>C������LCW7���� �<G:�9-L5*>87+�;=�?I: 7EC�5 � �[�

��?�3$5K:JGE?��;:5���Q-;5,>�7+�L=YG��5�&>K5�� W � � <tMV@ O � 7Y?HGM�&��3��LG@7 ��0�-�?!����G�7>C5�j7 � � � � � �+� � Oz�� B1C �� �6{ �v{��X{�� k�~ �! � � ��k p;i8�Krt~]i@p;i#" �%$'& x qHk�� & p;~]i�r � k�n�� $ i , ��r � � ~B�Xkp xWx i $ x i�r�p;~ k & ��qs~]r x qsr � p;~�r $ mJn�p;i>k,��kB�'mokE� �)( �Xk�m

� � � � > � < a � ��� $ @ � � � � � � > < a � ��� $ @ � � P� i $*$ � �

� � � > < a � ��� $ @ � � � � 6,+ � � > < a � ��� $ @ �C" � � � > < a � ��� $ @ � ".-� � � � � > � 6 + < � �:@ � < a � ��� $ @ � - > � 6 + <�< a � ��� $ @ �;@ � � � -�> � < a � ��� $ @ � � P� 5�:��VA GEC��VA 7EC5�<7w5,��>�C ����7>C�5 7 A �c3$?������H5w7E5K=�3$GT?IGQ7>C�5 7>=+�&>K5=�&�+7>C�5��K58=��3��j7>=E? � O R ?H:�>85+7>C�5NGE5*>,�L:��=����7>C�58GE5�3��j7>=E?!>K58G�?HGy7>CJ5�>*�L:ju_�����<7>5&7>=��;:�G_�Q�LG@5T����7EC�5�;7>CJ5K=,8X?U7D?HGD:�5*>K5KG@G+�;==' �L:��A'T7+�$GE5K5e7>C��<7M�L:�5�����7>C�5*3 ?HGy7>CJ5��85K=���3U�<7>=@?#� O R � �2�L=7>C�5 BX=@G@7X3U�<7>=@?#� �

< � �;@ � < a � ��� $ @ � � < � �:@ � < a � ��� $ @ � � � <�< a � ��� $ @ � �:@ � � �� < � � � ��� $ � �;@ � � � < � � � � �;@ � � � ^ P

z�� B1C �� �v{ �v{�Dv{/� k�~ � p;m9�#� ��k � G � p;m9� �SG ] �%$'& x qHk�� & p;~�i�r � k�n �)( �Xk�m~B�Xk & p;~�i�r ��0 � � � $ �0k�m � $ "VnN~t�Xk'� $ qtq $ , rtm�� x i $ x k�i�~]r�k�nK�� r � � � 0 �,� � ' � � 0 � �1� � � $ i�p;qtq � G ]21 � h $ i>k $ �;k�i k �K�Jp;qsrt~�"Q� $ qU�jner �p;m9� $ mXq3"$r � � 0 �S��� $ � �� rtr � � 0 � ' � 0 � � � $ i p;qtq40 n�� � � ~B�Jp;~ � � 0 � � � � � � 0 � �7� � � , rt~B�k �K��p;qsrt~�"$r ��p;m9� $ mXq3" r �50 � 0 � �

Page 170: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

��� ^ ��� ����� ������� � � ��� ��� ����[������������ � �#� ����� � � �9� ����� i $*$ � �

� � 0 �,� � �� � � < 0 � � $ � @ > <_< a � ��� $ @*< � � @ � � � � < 0 � � $ � � > � < a � ��� $ @*< � � @ �

� � � 0 � ��� $ � � > � ��� $ � �/� � ' � ��� $ � �/� � �AD?I7EC 5KZ��5���I?I7<'f?!�/�;:����L:��#'f?n� � 0 ����� $ � O � C�?IG#>,��3����I587>58G�7>CJ5��J=������ ���#<B?d@ O� �VA ?I:W7>5K=_>�C5�;:��;5 � $ �;:�� � ?I:�7EC�5"�J=E5,>85,��?I:�� 7EC�5,�;=E5,3 �;:�� �;G@G���3$5 � 0 ���� $ � G��Q7>C5�j7�58Z��5���H?U7<'wC�������G�?I:[<B?d@ O � C�5K:�A 5NC5��-L5

� 0 � � � � $ � >�0 � � $ < ��� $ � @ � � � � $ � > < a � � $ � @ 0 � � � � $ � � > � 0 � � $ � 0 � � � � $ � � > � 0 � � $ � � ' � � $ � � �

AD?I7EC�5KZ��5���I?I7<'w?n� �<:��4�L:��A'T?!� 0 �S� $ � O� z� R �����1�LGE5+A 5&C5��-L5�� < >,������3$:p@Y-;5,>�7+�L=@G ��-�� P,P�P ��� � ?I: �FWs�<:�� G���3$5

-L5*>87��L= �?I: �FW 8 �;:��eA 53AR�<: 7}7���BX:��&7>C5�j7 -L5,>�7+�L=6?I:+7>C�5'G_�5��>K53G_�5�;:V<��(-*� P,P�P ��� � @ �� ADC�?�>�C ?HGY>,�!�LGE58G@77+��7EC�5M-L5,>�7+�L= O�� ?H=@G@7,8LA 5�:�5K5*�T7+����GE57�L:��#'��;:$?H:���5*� 58:���58: 7G���0�GE5�7 ����7>C�5�� 3<) G O R �X��G@5 =_� Ay� =E5*����>87E?��L:e7>5*>�C�:�?IZ��J5KG�7��B�:��(�M05�;G@?HG < ��-�� P,P�P � � � @��� � O�� �VA ��G@5,7>C�58GE5���3.7+���2�;=�3)7>CJ5(>,���!��3$:�G7�&� ��3��j7>=E? � � O R � � ?HG � G �AD?I7EC =��;:?% �Q8^�;:�� 7>C�5U��GE5*�����L?I:.-L5K=@GE54��� � ?HGNGE?!3U���I5K=e7+�">,��3����J7E5 7>C��;: ?!� A 5C5��� �JGE5,�r���!� ���D7>CJ5�� 3 ) G27��%�2�L=�307>C�59>*������3$:�G;��� � O �^�J7 � � � $ O � C�58:� � � ��� $ �?IGY7EC�5(��58GE?H=@5,�=-;5,>�7+�L=&?I: � >*���LG@5KGd7+7+� O�� �VA G������Q�LG@52A 5�AR�;:W77+� BX:�� 7EC�5T��?HGd7 �;:�>85#�B=���3 T7+� � 8�? O 5 O 8�7EC�5T��?HGd7 �;:�>K5

� < � ��� $ �@ � � � ��� $ � P� 7D?HG�5,�;GE?I5K=�7+��>*��3U���J7>5&7>CJ5NG@Z��5�;=E5�����7>C�5T��?IG@7+�;:�>K5 BX=@G@7 �

� � ��� $ � � � < a � ��� $ @ � � � < a � ��� $ @ � < a � ��� $ @ �� � < a � ��� $ @*< a � ��� $ @ � � < a � ��� $ � ��� $ ��� $ ��� $ @ � � < a � ��� $ @ P� 5eC5��-;5;��=_�h-L5,� 7>C�5#�2���!���VAD?H: � �

z�� BpC �� �6{ �v{+*v{ ( �Xk��;rHn�~�p;m � k���k�~ , k�k�m p �;k � ~ $ i $ � �FW p;m9� ~t�Xk �%$ qs� & mn x p � k $ �Np;m � G � & p;~�i�r � � rHn < � < a � ��� $ @ �@ # �

Page 171: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

���s��� �:����"��� �!d� ��� � ��� � �6���[�� � ��� ��� � � � � � � � �� � � ���z�� B1C �� �v{ �6{��}{ � 0�� � � �Jpjn pYn $ qs��~]r $ m 0 r � p;m9� $ mXq3"Yr � ��� $ � � $ � � � rtm , ��r � � � pjnVk3� $ i�p;m " �

0 �_� $ � � $ > � � � $ � � �� $ rHn�p$n $ qs�P~�r $ m P( ��rHn��;rt�;k�ne~t�Xk���k�mok�i@p;q n $ qs�P~�r $ m �� i $*$ � � � � � 0!� � � 8y7>C�58: � �c� 0!� �0��� $ � 0!�� $ � �0��� $ � � $ � O� �L:.-L58=EGE5*�A'�8�?!� � � ��� $ � � $ � 867>C�58: 0 � � $ � � $ ?HG��9�5�;=@7E?�>*���K�;=�G����!�J7>?!�L:��� � 0�� � ��O � :(' 5�� ��=@5KG@GE?��;: ����7>C�5U�2�L=�3 0 � � � � $ � � �� $ G+�<7E?HG$B�5KG� 0!� � ^ O � :�� ?!� � 0!� � ^�8y7>CJ5K: 0 � � � � $ � � �� $ �2�;=�� � 0 O�^�J7 0 � � � $ � � $ �;:��[�H5�7 0 -$0 5��;:�'��;7>C�58=,G_�����J7E?��L: 7�� � 0�� � ��O � C�5K:0 � 0 - � 0 �YG+�<7E?HG=BX5KG � 0!� � ^ 8�G���7>C5�j7

0 - � 0 � � 0 � � � � $ � � � � $ �2�L=�G���3$5�� P� � � < -�� P�P�P � � @�� �;:�� � < (-�� P�P,P �� � @�� �;=@5"7 A �r�Q�;?H:W7>G9���eM � 8�7EC�5�;rHn�~ p;m � k 09587 A 5K5K: �;:�� w?IG ��5*B�:�5,� 7+��0 5

� < �� �@ � � � � � � � � 3 � .3 � �-��� P

� ��" x k�i x qUp;mok� ?H:�M � ?HG'7>C�5�GE5�7R���-;5,>�7+�L=@G � < -�� P�P�P � � @ � G��<7>?IG_� '�?H:��:�;:5KZ��5�<7E?��L:4���.7>C�5#�2�L=_3 � �3 � - 143 3 > � � ^�8J? O 5 O 8� � � �M � � � > � � ^�(��ADC�5K=@5 �_� <,1;-�� P�P�P �01 � @ �� �^ P

� � � f <,1;-�� P�P�P �01 � @ 8vADC�5K=@5 � ?IG � G/� �&� =��;:?% � �;:�� <,1 � � P,P�P �01 � @�?HG �:G � ���=+�;:;% � 8�G_�� $ �S� � < ��� � @ - � �

� � � � � P� �;=�G���>�C=�;: � '����fG@C������!��:��VA GEC�� A 7>C5�<7 � � $ � � -

� � �O

"}5�7 � < (-�� P�P,P �� � @ � 095�� �;?!-L58:"�1�L?I: 7M�&��M � �;:�� �H587 � � � > � � ^ 0 5���L?!-;5K:�C�'�� 58=������;:�5 O � 5T��=����1�LG@5+7+� BX:���7>C�5#�1�L?I: 7 �7��� � 7>C��<7D?HG >*���LG@5KG@7�7�� ��;:���7+� BX:���7>CJ5��J?HG@7+�;:�>85 � < � �� �+@ O� �;7E5N7EC5�<7 ?IGX�;: � ?!�q�;:��"�L:��#'w?!� � > � � ^�?!�q�;:�� �L:��#' ?!� � < � � @ �

< � � � � � @ � ^ O�� 5K:�>85T����=M��=���0��H5*3 ?HGy7�� B�:�� �YG���>�C�7>C��<7<�?d@ � < ��� � @��g<�� � � � � @ � ^�8V<B? O 5 O 8 �Y?HGM�L: � @ 8

Page 172: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

��� � ��� ��������� ��� � �����D��� � � �[��������� ��� ��� ������ � � �9� � � ��;:��

<�?I?d@ � �� � � ?IGX3$?H:J?�3U��� <�G�� �Y?HGy7>CJ5��1�L?I: 7M�&� � >,�!�LGE58G@7D7+� � @ O� C�5,�;=E5,3 N O N O �NG+���G 7>C5�j7y7>C�5X-L5*>87+�;= � � � �y7EC5�<7yG��<7>?IG$BX58G � �6<�� � �� � @ � ^2AD?I7EC � � 3$?H:�?!3����[?IG�;?!-L58:40�

� ��� � �S� $ < � � � � � @ � �� � � � � <�� � � � � @ P

� 58:�>K5 � � � > � �

� � � L� � ��

� � � L� � � � P� :��

� < �� � @ � � < �� � @ � � ��� � � � � � $ < � � � � � @ �� � � > � � � f � � $ � � � � � > � �� � � P

"BXg � C�?HG9��?IG@7+�;:�>K5a�2�L=_3(����� �L5K:J5K=+�&�H?H�85KGTA 5,�!��� :��VAD: �2�;=�3(�����;G��2�L= 7>C�5��?IG@7 �<:�>K5#�B=���3S� �Q�;?H:W7�7+��� �H?I:�5&?H: � �;:��4�B=���3 � �Q�L?I:W7�7+��� ���K�;:J5N?I: � E O� 5 :��VA =E5*>����!�37>C�5U3 5�7>C����?�&�M������=_���J?!3��j7>?H: � 0���H5,�;G@7�GEZ��5�<=E5KG O R �����1�LGE5 �?HG7�U�2��:�>�7>?!�L:=��� � =E5,���V-��<=E?K�&0��H58G � ��� � P�P�P � � � � 8Q�;:��fA 5,A �;:W7+7+��������=_���J?!3��j7>5 %�<G;�9�I?H:�5,�;= �2��:�>�7>?!�L:���� 7EC�5KG@5�-&�;=@?K��0��H5KG O 7>CJ?HG#3$5��;:�G+A 5�AR�;:W7e7+��BX:�� <�=@5����K@:���3(095K=@G �� P�P�P � �2�L=�ADC�?�>�C�LO � > � � ��� � >�fhfhf > � � � � � ?HGY�;G:'_>,�!�LGE5*)&7+�e7>C�5M�2��:�>�7>?��;: � < � ��� � P,P�P � � � � @�;G �1�LG@GE?�0��H5 OR �����Q�;GE5TA 5 C5��-L5 � 3$5��;G_��=E5*3 58: 7EG ��� �>,�L=@=E5KG_�Q�;:���?H: �"7+� � ��? �o58=E5K:W7G@587>G7���q-&���!��5KGX���.7>C�5 � � i � � < �� � � ��� �� P�P�P � � � �� @� �� � � P�P�P � O � C�5;��=���0��H5*3?IGy7+����587E5K=_3 ?I:�5 �� P�P�P � G_�$7EC5�<7

� O �� � � � ��� �� > fhfhf.> � � � � � > 6 � 8 � + � +�� 86ADC�58=E5Q7>C�5 6 ��� G��;=@5QG�3U�����.?H:G_��3 5&G@5K:�G@5 O�^�J7 � � i �� ��� � i 8 � < � P�P�P � W @ � 8 � < �� P�P�P � @ � 8 6 � < 6 � P�P�P 6 W @ � 8�;:��

Page 173: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

���s��� �:� � �"��� ���d� ��� � � � � �����[� � � ��� � �3� � � � � ��� � � � � �

� ������� � � � fhfhf � � �� � � fhfhf � �OOO OOO OOO OOO� � W # fhfhf � W �

�� P

� C�58: � O 095,>*��3 58G � O � � > 6PO

� G@7+�;:��5�<=�� ?H:W7>58=���=@587 �j7>?��;:9����G���P?I:��Q7>C5�j7U' 6 ?HG�G_3��&����),?HG 7��$G���w7>C5�j7 �2�L=G���3 53G_��3 5.A 58? �LCW7>?I:�� >,�;:�G@7+�;:W7>G�� � P�P�P � W 8V7>C�53:���3:0 58= 1 � � W� � � � � 6 � �6 � \ 6 8JADC�58=E5;\ � ��?K� ��< � � P�P�P � W @y?IG 3 ?I:�?�3U��� O� G�1 � � W� � � � � < � � � ��� � � � � � � � � fhfhf � � � � � @ 8X7+��3$?H:�?!3 ?I�K5 1�;GX�(�2��:�>�7>?��;: �&� �� P,P�P � 8�A 5N=@5KZ���?I=E5&7>C5�j7 �������� � ^(�2�L=M�&��� � O� C�58:

� 1�� � � � � �

�� � < � � � ��� � � � � � � fhfhf � � � � � � @ � ^

?�3����I?H5KG O

< W�� � �

� �2@ � ��� < W�� � �

� � � � � @ � � � fhfhf � < W�� � �

� � � � � @ � � � � � � � P� :��(�2�L=� + � +���� ���

����� � � � � W� � � � � < � � � � � � � � � � � fhfhf � � � � � @ � � � � ^?�3����I?H5KG�PO

< W�� � �

� � � � � @ � ��� < W�� � �

� � � � � � � � @ � � � fhfhf � < W�� � �

� � � � � � � � @ � � � � � � �� � � � P� 7Y?HG�5,�;G w7��U>�CJ5,> �w7>C��<7

� � \ ������

fhfhf

� � � fhfhf � W �OOO fhfhf OOO� � � fhfhf � W �

���� � fhfhf ^OOO O O O OOO^ fhfhf � W

��

Page 174: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� ��� ��������� ��� � �����D��� � � �[��������� ��� ��� ������ � � �9� � � �

������

� � fhfhf � W� � � � � fhfhf � W � � WOOO fhfhf OOO� � � � � fhfhf � W � � W

�� P

R �����P7E7>?I:��Q7+� �;587>CJ5K=�7>C�5e=@? �LCW7�C5�<:���G@?���58GM��� O �<:�� �PO 8�A 5���0J7 �<?H:�JO

< � � \ @ ������

� � � �� � � � � � ��OOO� � � � � � ��

�� P

� �HG��QA 5T>,��3����J7E5

� � \ �_������

� � fhfhf � W� � � � � fhfhf � W � � WOOO OOO OOO� � � � � fhfhf � W � � W

��

��� � � � fhfhf � � �OOO OOO OOO OOO � W � fhfhf � W �

�� P

� ��3��5�;=@?H:��+7EC�57��0Q�h-;5YAD?U7>C�7>C�5M�H5 �t7C5�;:��$GE?!��5KG ��� O �;:�� �PO 8 �<:��U���J7E7E?H:��7EC�5:�&0Q�h-L5N5KZ��5�j7>?��;:�GY7�� �L5�7>C�58=,8XA 5;��0J7+�;?H: 7>CJ5��2���!���VAD?H: �QG �G@7E5,3 ��� � � 58Z����<7>?!�L:�G�?H: � � T��: ��:�� AD:JG ��PO < � � \ � @ � �_� � \ P� 5":��VA�=E5*>,�L:�G@?���58=w7>C�?IG���=_��0��I5,3 7 � � ?H: � ����-&�;:W7 � �L5%��������= =E58G����U7>G9�L:�L58:�5K=����H?I�K5*� ?H:.-;5K=EG@5KG O R � � ?HG:��=E5,��� �HG � 3��<7E=E? � 8 ?HG;�f=E5,��� � G 3U�<7>=@?��Q8��<:�� � � � ?HG�G������;C 7Y�2�L=.ADC�?�>�C=< �� � � @ � < �� � � @ � � � � �� � ?IG^3 ?I:�?�3U��� <�C�58=E5DA 5X���J7 \ � a @ O � C�5*�L=E5*3 N O N O �&G����n-L58G7EC�?HGY��=_��0��H5*3 0����P7E7>?I:�� � � ��� O � 5eG@C��VA 7>C5�j7�7>C�?IGM���HG_�$G��<7>?IG��X58GY7EC�5���01� -;5T>,�L:��J?I7>?!�L:� � � � � � � 18 �<G�G@C������!�c0 5$5 � �95,>�7>5,� O � �L=NG������1�LG@5 � ��� � AD?U7>C �� G �Q8 � � G � 8�ADCJ5K=E5�� � =+�<: �Q< � @ � =+�;: � < � @ � =+�;: � < � @ O � C�5K:� � � � � � ��� � � � � � � � � � � < � � � @� � < � � � @� � � � � � � � � �S� � PR � ADC�58:g\ � a 7EC�5 �L5K:�58=+���I?H�85,�b?H:.-L58=EG@5�G_�����J7E?��L: ���P58G�7EC�59�2�����!�VAD?H:�� �� ?I=EGd7�8y?U7F��>�7+�5�&����c>,�L:�Gd7>=_��>87EG4� G������J7E?��L:r���+7>CJ5=�L=@? �L?I:5��� ��=_��0��H5*3 7>C5�<7,8G@5,>,�;:��8[C5�;G�7>CJ5NG_3��&���H58G@7�:��L=�3 ��� �<:��G_�����P7>?��;: O

Page 175: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�������.� ����� � � �d� � � � �

������ �� �&%� # ���&� O �3=��h-L5e7>C��<7D?!� � �"#<��:@y?IG�:��L=�3U���t8P7>CJ5K:!� 3%<��$@ � � 3%<�� � @ O� O �3=��h-L5e7>C��<7D?!� � �"#<��:@y?IG�:��L=�3U���t8P7>CJ5K:

:������ < � � @ � :������ < � @ �;:�� � 3"< � � @ � � 3"< � @�2�L=�5 -L5K= 4�Q�;GE?I7E?!-;5&?H:W7>5 �L5K=�� O

�JO �3=��h-L5 7>C��<7 � :��L=�3U���7��� 58=+�<7��L=9�L: � >,��3����I5 � ?I:�:�58=9��=�������>�7�G_�5��>85 ?IGGE5*�!� � ���ju_�L?I: 7y?!� �;:�� �L:���w?!� ���!�v?I7EG�5K? �L5K:.-&�����J5KGX�;=E5&=@5���� O O �3=��h-L5e7>C��<7 �����S� � � ADC�58: � ?HG�:��L:�GE?I:��������;= O�PO �+587E5K=_3 ?I:�5�������GE?H: �����K�<=$-��&����5���5*>,��3��Q�;GE?I7E?��L:JG#��� a AD?U7>C�� � � O R C�� A7>C��<7X����� ���.7EC�5,3 �H5��&��7���5 ����>87���w7EC�5eG+��3$5T��GE5*�����L?I:.-L5K=@GE5 O�JO �3=��h-L5 �<t��@ � C�5�=��;: �F�&� � � ?IGy7>C�5eG���3 5��;G�7EC�5e=+�;: ����� � O< 05@ � � � ?HG�G@5,�!� � >,�L: u_���.�<7E5�8J7EC�5K: ��� ?HG�G@5,�!� � >,�L: u_���.�<7E5 O< >�@T<�� � @ � � �

� � � �2�;=�� �� ^ O< �5@�< ��� @ � � < ��� @ � O<�5�@T< � � @ � �_� O<2�+@ R C��VA 0�4� >*����:W7>58=E5 ����3����I5e7EC5�<7Y?H: �L58:�5K=���� < � � @ � �� � � � � O<��.@�� � � ?IG�� G�� 8 � ?IG �4G � 8 �;:��e0Q�<7>Ce3��j7>=E?!>K58G2C5��-L5�=+�<: � �Q837EC�5K:< � � @ ��� � �v��� O

�PO R �����Q�LG@5N7EC5�<7 � ?HG�� G ;�<:����T?HG G � O � ��3����J7>5<t��@ � � � < 0p@�� � � <2>h@#< � ��@ � O� �! ��"$#&% � � � % � N � � �('*)+ -,eO

Page 176: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

��� ��� ��������� ��� � �����D��� � � �[��������� ��� ��� ������ � � �9� � � �

Page 177: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � ��� ���� ��

������� � ������������� � � � � ��� ����� � ���� ���!�

� ��Gd7 �;=d7y7>C�?IGR>�C5���P7>5K=�A 5T�;GEG_��3$5+7>C5�<7#" ?HG �<:4�;=�0�?U7>=��;= �X5,�!�4�;:��4�H5�7�� 095T�;:�%$ ��?�3$5K:�G@?��L:�����-L5*>87��L= G_�5��>85 �h-L58=&" O�� �<7>5�7>C5�j77EC�?HG':�5*>K58GEG+�<=E?����3 5,�;:�G'7>C5�j7A 5�;=E5e:��<7X�;GEG_��3 ?I:��Q7>C5�j7(� ?IGM�;: ?H:�:�58= ��=�������>�7YG��5��>85 O�&�('�� )+*-,/.10324*65�7!89.10�:<;=*>032�@?BADCDE#F � EHGIEHJ � EK? �@L -"T<��:@ 8 ? ��� ?BC � F � FMFMG �.� EN? - GI?BFOENG � GPA 8 � F � ? ��L � < � @ �RQS 8ENJMGTF L � � � < � @ � QSVU � J � C#F ����� <WL � @YX F �����t<WL � � � @ U � E �2�����!�[Z C&ENJ � E\ QSV] � F ����� <WL � @^X F ���!� <_L � @^X fhfhf F ���!�t<WL � @&X F ����� <WL � � � @^X fhfhf P < S`U h@

a�� B1C �� �cbed��fd��fd �egih`L �"T<��:@Yjlk%mKnioqpOp $ n[grh_s`jlh �!tBnYjuk $ kfkvgxwOjlhyt_zlg{t_kfh|gxw}gi~nio���s�hWs`jlhekfo}�_�n<WLMW @�� kfo}�_�n<WLMW � � @P� ( sfgik�kfo}�_�n<WLMW @�� kfoV�_�n<_L � @v� $ ~�jl�_� ��� ����r~ $*$ �T� )eGiE �40 G � �Q� CD?�EH? - G1?�FOENG � GPAPU � G ZR� FcE#E ��� A �h- G-ENJ � E

F ���!� <_L W � � @�� F ����� <WL W � � � � @ P� G ��� ADG ��� � F �[Z ENJ � ErF ����� <WL W � � @&X F ���!� <_L W � � � � @ U � �:� A � - G�ENJ`GK?�F >,�!� CH? � F�?�FENJMG � EHJMGPA � ?BAHG > EH? � F 8 C �����1� CDG-EHJ � E �$ F ����� <WLMW � � � � @ U � JMGTF QS ��LMW � � <WL � @,< � @ U� �YL � <���@ F ���!�t<WLMW � � @�� F ����� <WLMW @ 8 ? 3����� ?�F � EHJ � E QS ��LMW$<WL � <�� @�@���LMW � � <���@ U�KGTF > G<F ����� <WL W � � � � @&X F ����� <WL W � � @ 85>,��3���� GiEN?�F � ENJ`G � A ����� U

� �

Page 178: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

��� ������� ����� � ��� � � ��,������ � � � ���� � � ��� ��� � � � �� ��� � � � �

��������������� � �cb�d��fd"! d$#W�rL&%('*)��,+ � ��mlt & )���+ jlk%m.- tBnIjlk " p $ nit_hyt_zlg1t_kfh gxw}gi~ h_sfgik kfoV�_�/)_L � +3�kfo}�_�/)WL � �10 +T�2r~ $*$ �T��354 ENJMGYCDGTE7698 FOE;:l?BF1<>GPFOEHC�?BF >=�U S`U :lAHGYC ENAH??6TE 4 8 A@:lCBA"8 F � :lC>CD8lCHCH??E1ABGGFH: EGI:G6�J CDE;: � G1ENJ`G�JM??<�GTFMCH??8 FK8 4 : � ?/L GTF(FHM1A?A�CNCO:�6TGI?�C�: E�ABGI: CDE�8 FMGP<Q8 AHGuEHJO:lF�ENJMGJM??<�GTFMCH??8 FR8 4 EHJMGPCMAHGS6PG9J`?BF � FHM1A"A�CTCO:�6PG U � ?�F16PG1ENJ`GIGTFcEH?BADG<CTCO:�6TGIJO: CUJM??<�GTFMCH??8 F�VFD: EU<W8lCDE � � CMAN8�C GTAX698lFcE;:l?BF�<�GTFcEHCU69:lF(8Y696SMMAPU �KGTF16PG,E � JMGS8 AHGS< S`U U ENJ`G � 8lAN8ZA?A[:lA <.M`CDE�E%G-EHANMMG U

\K]H^V_a`cb ` � _7d )�GTE Le%&'f)��,+ : F1J CNM1C1C�8 CDG�EHJO: EQg ?BCh:lF GT? � GTFHLG:�A?MMGi8 4#L Uj L GS6TE;8lA �k% � ?BCf6I:GA"ABGSJl: w}gikvgi~Djl� t/m gHm git w}gikfzlg��ih $ ~ 8 4{L 6S8 AHADGPCNC�8 F1J`?BF � E;8gCMAT8 L}??JMG9J

)WL � g�n +�oG)��p+�� QS 4 8 AYCN8Z<>G*CD8lCH?�EH??LlG1?BFOENG � GPABqZr ) S`U �Z+s Et: � ?�F � q � <Z G CDGPG-ENJO: EKG9:�6�J GT? � GTFHLlG96iE;8 A#?BC�:�A�CN8Q: � GTFMGPAN:�AB??uPGSJ GT? � GTFV$

L GS6TEN8 APU j ABCT81F EHJMG{CHGTEV8 4�� GPFMGTA;:�A�?"uPGSJ GT? � GTFHLlG96iE;8 ADC@?BCv:�CNM1EMCTCO:�6TGw8 4 � U>xy8 ADG98zL GTA9FE � 8 AT8ZA"A":lA S`U U|{ )_Z ?�EHJ L AHGSC1A[:�6TG9J}E L � gOn +rZ G<CHGTG<EHJO: E��������������� ��~ b�d ~ d?��dh� sfg#n[gih$�|�Yw}gikvgi~Djl� t/m gHm�git w}gikfzlg��ih�� ~Nn-�t� ~ ~Ng�n pO� k%mlt_k}w h�� g tBngT�cj}�ihy����gN�Po`jl� h��>kfoV�_�/�/)WL � g�n +�� �c�7�@sfgi~Ng � � mlt���)��,+P�

j F.8�C GTA;: EN8 Aa� %('f)��,+ ?BC C;: ?"JIEN8XE%G kft_� pO� h gikfh CMAN8zL}?"J`G9J�CT8Z<�G7C�8 Z GPAv8 4 �R?BCENJ`GPuTGPAT8W8ZC%GPAN: E;8lAPU>�YJM?�C#?�CYG9=HMM?/L�:GABGPFOEYEN8�CN: ?�F1� ENJO: E�EHJMG*<�?�FM?"<W:�A�CD8�A F18Z<>?[:�A� ) � +74 8 A��J1:lC^ENJMG 4 8 AN< � ) � +3� � o 4 8 A&CT8Z<>G�CD8lCH?�EH??LlGu?BFOENGS� GPA@q�FV?"<QC1A ?�F1�IEHJO: EENJ`G6�JO:lAN:�6TEHGPAD?BCDEH?"6yCD8ZA F18Z<>?[:�A 4 8lA�� ?BC � � U��YJMGPF�E ENJMG(�w: A�G $��U:�<�??A�EN8 F�YJMGS8 AHGS< Z G-CHGTG<EHJO: E�� � ?BC^ENJ`GPuTGPAT8W8ZC%GPAN: E;8lAPU

� 8 ZRZ G E;M`AHF�E;8�JMG9:�AB?�F1� Z ?�EHJ�?"<W:�� GTC.8 4 8ZC%GPA;: E;8 ADCPU )�GiE Le%&'*)���+ :lF1J-�� S`U 354*� %�3 < )_L 0� � + FYCN: �� � L 0 � � )��p+�4 8 A�CN8Z<>G ��% � F^EHJMGPF � �L 0 )_L,)��p+$%(3 < )WL 0 + U 3 Fy8 ENJMGTA Z 8 ATJMC Z G-JO:IL G

���3 < )WL�� +$¡�3 < L � ¡&¢z¢z¢�¡�3 < )_L 0 +$¡£3 < )WL 0 � � +¤¢z¢z¢ r ) S`U � +a,¥ ] ��� ]Y¦ ~ bed ~ d¨§ed#W�YL�%�'*)��,+;� � � mlt��Q)���+t�^jlk%mh-9tBn jlkO�<pO�[nit_hyt_zlg<t_kfh gxw}gi~t�h_sfgik

# ��)_L � +��©# ��)WL � �10 + r2r~;�z�|�T� � GPM`CHG-ENJMG*698lAHAHGTCNC�8 F1JM?�F1�6AHGTCNM1A EX:GABAHG9:�J�ª�CMAN8zL GSJ 4 8 AYFHM1A?A CNC1:�6PGTCPU

JM??< )c3 < )WL � �10 +N+ � �K«¬J`?"< ) FHM1A"A )_L � �10 +N+� �K«¬J`?"< ) FHM1A"A )_L � +T+� J`?"< )�3 < )WL � +N+ r

� 8 Z ENJMG*CMAT8p8 4 ?BCYG9:lCH??A?ª � FM?BCDJMG9J}MMCD?BF1� >=�U S`U �

Page 179: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

������������������������ ����������a�������B��������������¬��� �������B�! Y������� "$#&%�&�('(' )+* . ,.-�/6.10 0�:3254 6 78-T;�2 88-�254�2i;:9 *65�:3;

< 2�/6.1;>=<:3-57 .354 ENJ`GW<W: ENAD?@?BAR?�C*M1C1C%GPAIEHAH?":lF1�ZM1A":lA9FvCN8 ?�C1ENJMGQ<�: ENAH?C?BD�nW«�A,F Z J18 CDG�JMGiENGPA|$<�?�FO:lFOE#?BC�ENJMGPCMAT8pJ1M�6TEU8 4 ?�EHCUJ`?[:��Z8lFO:�A GSABG9<>GPFOEHC�:lF1J:�ABCT8�?�C#EHJMGP6�JO:lA;:G6TENGTAH?�CDEN??6CD8�A?ª}F18Z<>?[:�AV8 4 A U � 8(EHJMG�FHM1<,E GTA.8 4 EH?"<>GPC�:y� ?/L GPF9CN6I:GA[:lA,g :GC1C G9:lAHC�8 F9EHJMGJM?[:G�Z8 FO:�Ap8 4 A ?BCB:�A�CN8uENJ`GU:GA"� GSEMA;:l??6$<.M�A�EN??C1AB??6P? E�ª*8 4 gW:lCB:1AN8Y8lE>8 4 ENJMG�6�JO: A;:�6iENGPA|$?BC EN?"6BC�8ZA?ª}F18�<�?":�AZ8 4 AIUV�YJMGrFMG�?}E�ENJMGS8 AHGS<C Et: EHGPC ENJO: E ENJ`Gw:�A?� G9EMAN:l?"6B<.M�A�EN??C1AB??6P? E�ª8 4 :lF6GP?"�lGPF�LG:�A"MMG&?BCB:�A�CN8uENJ`G�J`?"<>GPFMCD?"8 Fh8 4 EHJMG�CNCO:�6TG�8 4 �lGPFMGTA;:�A�?"uPGSJ GP??� GPF�L GS6TEN8 AHC:lCHCT8p6T?[: EHG9J Z ?�EHJ�EHJO: E�GT?"� GTFHLG:�A?MMGlUa,¥ ] ��� ]Y¦ ~ b�d?! d ~ dFE gih�G+H�mlt��Q)JI�+t�I�Bgih#L %�'*)KI,+ jlk%m��Bgih g %"�� � sfgik�I� ~�gHj}��sML�j nitBnON �|�PI��I� ~Q�@s}tx��s � L��RQ tBn>oqpOpfgi~>hy~ityjlk}wlo}� jl~;� g jipOpfgHjl~NnK� k�hWsfgmltyj[wY� k%jl�v�|�P� L��RQ gT�cj}�ih ����mlt��TS kfo}�_�VUWSBL « gOn + � ��+-h t���g�nP�2r~t�z�|�T��X 8lA F18lE;: EN??8 FO:�AB6S8 F�L GPF`?BGPF�6PG�F Z G>YMAHCDEh:lCHCTM1<�G EHJO: Ehg � S`U[ZuF16TG�ENJM?�C6I:lCDG�?BC�JO: F1J1ABGSJ F�ENJMGK�lGPFMGTA;:�Aw69:lCHG ?�C.8ZE`E;:l?BF`G9J¬E�ª�AHGSC1A[:G6P?BF�� L�Z ? ENJ L « gOn�U�YJMG*CMAN8Y8 4 ?BC$EHª ?BF1J1M�6TEN??8 FK8 F G F�:lF1J ENJMGuEHJMG98lAHG9<�?BC6SABGI: ANA?ª>ENATMMG Z JMGTF G(�\" U] GQ:lCDCNM1<>G ENJO: E G�^_" : F1J�EHJO: E1EHJMG�ENJMGS8 AHGS< J18ZA?JMCf8 F�CNCO:G6PGPCP8 4 JM??<�GTFMCH??8 FG « " U� M1C1C�8 CHG-ENJ1: E N � )��a`(b rIr9r b;� � + ?�C�:QE1:lCH?�C8 4�I 4 8 A Z J`?"6�J � L��@Q ?BC^EHJMG*M1C1C%GPA

ENAD?[:lF1��M1A[:lA <�: ENAH?C? cddde

g ` fU U Ug �hg `S g �

i�jjjk r )l" S`U�m +

n GiEpo � CTCO:lF )��a`(b r9rIr b;� � + U7�$ABG9:lANA/ªqo ?BC^?�F�L�: AH?[: FcE$MMF1JMGTA L :lF�J ENJMGf<W: ENAD?@?8 4 Lsrut Z ?�ENJ�ADGPCNC%G96iEKEN8 ENJMG*EO:lCD?BC )��a`(b r9rIr b;� �vg ` + ?�Cc

de g ` fU U US g �vg `

i�jk r )l" S`Uxw +

s ªR8ZMMA#?BF1J�M16TEH?"8 F�J�ªYCD8lEHJMGPCD?BCSFvSQ:�C1C%GI:lADCU8lF EHJMG�J`?[:��Z8lFO:�A 8 4 ENJMGP<W: ENAD?@? ?�Fy =%U " S`Uxw&G(?�:�6TENA?ª�J`?"< ) FHM1A"A )N)_Lsrut�+ �vg ` +N+N+ EN?"<>GPCTU j ABCT81F Z G�zcF18 Z ENJO: EeFHM1A?A )T)WL{r|t�+ �hg ` +3�FHM1A"A )N)_Lsrut¤+���+ FOE GS6I:�MMCDG�J`?"< ) o +=�}G « " UB�#GPF16TGS�:�C�C G9:lAHC�8 F ENJ`GPJ`?[:��Z8lFO:�A 8 4�" S`U~whJ`?"< ) FHM1A"A )T)WL{r|t¤+ � +N+N+ EH?"<>GPCTU )l" S`U~� +

Page 180: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

" � S � ����� ���� ��� ���1���������� ����� ���� �� ������� �>�p ����� �� �$�� �YJMG�C`AN8Y8 4 F18 Z E`AHGI:vz}CI?BFOE;8�E Z 8(6I:lCDGPCSFVJMGSC GTF1JM?BF��8 F Z JMGTEHJMGPA.g � � S}8 A

F18lEPU X ?BADCDE�6S8 FMCH??JMGPAYEHJMG*6I:lCDG Z J`GPAHG,g ���� S`U ] G-CHJ18 Z ?�F�EHJM?BC69:lCHG1EHJO: EFHM1A?A )_L � +&X o r ) " S`U #Z+

�YJM?�C Z ??A"A CDJ18 Z ENJ1: E FYM�A"A )_L � +{� FHM1A"A )N)_Lsrut¤+ � + F�:lF�JIJMGTF16PG y = " S`U�� Z ??A"A CN:Iª1ENJO: E�S:�C1C%GI: AHC$8lF�ENJMGUJM?[:G�Z8 FO:�A�8 4�y =�U " S`UVm�G�?�:�6iE;A?ªQJM??< ) FHM1A"A )WL���+N+ EN??<�GTC9FY698Z<QC1ABGiEN?�F1�ENJ`GPC`AN8Y8 4 ?BF ENJMG*69:lCHG Z JMGPADG.g ���� SVU3 E 4 8ZA"A?8 Z C 4 AN8Z< y =�U " S`UVm ENJO: E

� L � �RQ�� )T� L��@Q�+ � �cddde

g � ` fU U Ug ��hg `S g ��

i�jjjk r ) " S`U � +

�YJM?�CYCHJ18 Z CKEHJO: EL � )�� � +{��� g �� � �

4 8 AYCT8Z<�G �% oIU � M�C1CD8lCHG1ENJO: E ��% FHM1A"A )WL���+ UB�YJMGTF �6� ������� � Z JMGPADG ��% o:lF1J ��% " UB�YJHMMC

QS ��L � )c�p+���L � )���D+��� L � )c� � +���L � )����+�������� g �� � � rs GS6I:�MMCDG L � )����+ :lF�J ��� :lAHGK?BFqo©:lF1J � ���% o,F}ENJM?�C&??<WC1A�?BGTC=ENJO: E � g �� � S`U � ?�F16PGg ���� S�F 69A�GI:lATA?ª �(� S`Uh�YJHMMC �(���� % o�Fv6S8Z<QC1ABGiEN?BF���ENJMG�CMAT8p8 4 8 4 y =�U " S`U # F:lF1J�JMGTF16PGFYfFM?�CHJM?�F1� ENJMG*69:lCHG Z ?�EHJg ���� SVU� M1C1C�8 CDG.g � � S`UB�#GPADG Z G<CHJ18 Z EHJO: E

JM?"< ) FHM1A?A )WL � +T+�� JM??< ) FYM�A"A )N)_L{r|t + � +T+� " b ) " S`U %�+Z JM??6�J:�A?8 F1� Z ? ENJ y =%U " SVU~� Z ?"A?A¤6S8Z<WC�ABGTEHGuENJMG*CMAT8p8 4 Z J`GPF g � � SVUX ?BADCDE�6S8 FMCH??JMGPA

JM?"< ) FHM1A?A )WL � +N+�� JM??< ) o�� FYM�A"A )WL � +� JM??< ) o FYM�A"A )WL � +T+ «¬JM?"< ) o +� JM??< ) FHM1A"A )T)WL{r|t + � +N+� JM??< ) o FHM1A"A )WL � +N+ « ) G « " + r

j A�CN81FG � JM?"< )KI.+&� JM?"< ) o FHM1A?A )_L � +T+Y� J`?"< ) o +3� G « " r

Page 181: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � �������������������� ����������a�������B��������������¬��� �������B�! Y������� " � "3 E 4 8ZA?A"8 Z CrEHJO: EY? 4�Z G*6I: F CHJ18 Z EHJO: EYFHM1A?A )_L��G+ 698 FOEt: ?BFMC:,LlG96iE;8 A�F18lE^?BF o�F`EHJMGPFy =%U " S`U %KZ ?"A?A�E G&GPCDE;:�E1A�?BCHJ`G9J U X ?BADCDE�F18lENG{ENJO: E=CH?�F16PGg � � S�F Z G^JO:IL G L,)c� � +$% o�FJMGPF�6PG

L � )�� � +{� L �vg ` )_L.)c� � +N+$% 3 < �/)WL{r|tD+ �hg ` � � 3 < �?)_L{r|t + � � r�YJM?BC3CN:zª}C{ENJO: E�EHJMGPADGK?�C�CN8Z<>G �% o 4 8lA Z JM?"6�J L � ) �¤+���L � )c� � + U@�YJ`GPF � « � � ?�CF18lE�?�F!o�E1M`E L��1) � « � � +�� QS`U@�#GPF16TG y =�U " S`U % J18ZA"J`C9F�6S8Z<QC1ABGiEN?BF��KENJ`GwCMAN8Y8 4 U

j E EHJM?BC C�8 ?�FcE Z G�zcF18 Z ENJ1: E�ENJMG>�lG98Z<>GTEHAH?"6><,M1A�EH?"C1A�?"6P? E�ª8 4 gI?BC EHJMG>JM??<�GTFMCH??8 F8 4 ENJ`G FHM1A"A CNC1:�6PG.8 4=L « g�n�F%?xU GlU/F%EHJMG.JM??<�GTFMCH??8 Fy8 4 ENJMGIGP?"�lGPFMCTCO:�6PG.:lCHCT8p6T?[: EHG9JZ ?�EHJig F�: F1J>EHJM?BC3?�C7A�GPCDC{EHJO:lF�8lA{GS=HMO:�AfE;8-ENJMGU:�A?� G9EMAN:l?"6<,M1A�EH?"C1A�?"6P? E�ªP8 4 g F Z JM?"6�J?BC�ENJ`G$JM??<�GTFMCH??8 F*8 4 ENJ`GrFHM1A?A}CTCO:�6TG 8 4 )WL «�g + � :lF1J.:GABCN8#G9=HMO:GA}EN8#EHJMG$<.M�A�EN??C1AB??6P? E�ª8 4 gy:lC�: AN8Y8lE8 4 EHJMG*6�JO:lAN:�6TEHGPAH?�CDEH?"6�C�8ZA?ª}F18�<�?":�AD8 4 L FO: EABG9:lCDE�?�F ENJMGf69:lCHG1ENJ1: EL ?BCXM�C1C GTAKEHAH?[: F1�ZM1A":lAH??uI:�E1A�GlU�YJM?�C�?�C�:�A Z :Iª}C�ENATMMG ? 43" ?BC�:GA"� GSEMA;:l??6I:�A?A?ª�69A"8lCHG9JvUxy8 ADG98zL GTA9F�?BF ENJ`?BC6I: CHG-ENJMG 4 8ZA?A"8 Z ?BF1�,698 AT8ZA"A":lATª>?BC�6SABGI: ANA?ª>ENATMMG ������ �������1�z� ~ b�d?! d?!�d7#_�^"RtBn-jl� w}g�LP~Djltx�Hjl�_��� �i�"�[n[gHm��=h_sfgik�hWsfg#nioY� �|�#h_sfg-jl� w}g�LP~Djltx�� oV� hyt p%� tx�it_hytxg�n.�|�.�|�Ijl�_� h_sfg git w}gikfz jl� o�g�n.�|�&L gN�Po`jl� nImlt��Q)KI,+P�

X 8lAB:lF�ª�� ) D +$% "W� D � F L :lF�J�� )_LX+ 698Z<Q<.M`EHG�FcCN81EHJO: E3ENJMG�FHM1A?AMCNCO:G6PG�8 4 � )WLX+?BCY?�FHLG:lAD?[:lFOEM`F1JMGPA L Ua,¥ ] ��� ]Y¦ ~ bed?! d?� d���oqpOpO�[n[g�" tBn jl� w}g�LP~Djltx�Hjl�_�����i�"�[n[gHm jlk%m L % 'f)JI,+T�\Eegihg ` b rIrIr b g�� Lig h_sfg>mltBnihyt_kv�ihKgit w}gikfz jl� ofg�nh�|�KLf��jlk%m �Bgih o `�b rIrIr b o� Lig�h_sfg>�t� ~i~Ng�n pO� k%mlt_k}w6nio Lin p`j}��g�n.�|�#w}gikvgi~Djl� t/m gHm git w}gikfzlg��ih�� ~NnP�Q� sfgikS|j�� I� o `� rIr9r o����S L�� gHj}��s o o tBnYL� t_kfz jl~ tyjlkfh��SD��� gHj}��sy)WL « g o +<tBn1kft_� pO� h|gikfhx�2r~t�z�|�T� � ?BF16TG o o � FHM1A?A )_L «©g o n +��l4 8lA�G9:�6�J¬qOF69A�GI:lATA?ª ) E +�4 8ZA?A"8 Z CPU��$A�GI:lATA?ª) 6 +h4 8ZA?A"8 Z C 4 AN8�< ENJMG}JMG YMFM?�EH?"8 FMCTU j ABCN8 ENJ`G(CTM1< 8 4 EHJMG}<.M1A�EH?"C1A�?"6T?�EN?�GPCP8 4 EHJMGGP??� GPF�LG:�A"M`GPC�G9=HMO:�A�C�JM?"< )JIP+ FM? U G U

JM?"< )KI.+����o�� ` JM??< ) o o + r

� MVE3o � o ` ©¢z¢z¢ o���U��$A�GI:lATA?ª o ?BCK?BF�LG:lAH?":lFOE�MMF�JMGPA L U��KGPF�6PG Z GQ69:lFJMG YMFMG�� % '*) o + E�ª

� � L{r|t r

Page 182: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

" ��{ � ����� ���� ��� ���1���������� ����� ���� �� ������� �>�p ����� �� �$�� 3 E ?�C�69A�GI:lA>ENJO: E � JO:lC�EHJMG C;:G<�G GT?"� GTF�L�:GA"MMGTC9F Z ?�EHJ ENJMG C;:�<>G(<.M1A EN??C1AB??6P?�EH?BGTC9F:lChJ18}GPC L F�CD?BF16TGy:GA"A3ENJMGK� GTFMGPAN:�AB??uPGSJ�GP?"�lGPF�L GS6TE;8lAHCQ8 4�L :lADG ?BF�oIU �YJ`GPF ENJMGJM??<�GTFMCH??8 F8 4 o ?BC#ENJMG�CTM1< 8 4 ENJMGhJM??<�GTFMCH??8 FMC�8 4 ENJMG,� GPFMGTA;:�A�?"uTG9J GT?"� GTFMCNCO:G6PGPC8 4 L F 4 8 AN6T?BF1� I � o�F�:lF1J I� � �

o � ` o o FO6S8Z<WC�ABGTEH?BF1��EHJMG*CMAN8Y8 4 8 4w) : + Us ª��T8l?BFM?�F1�.EO:lCDGPC�8 4 ENJMG�LG:lAD?"8ZM`Cw� GPF`GPA;:GAB?"uTG9J GT?"� GTFMCNCO:G6PGPC Z G*8ZE`Et: ?BFR:hEO:lCD?BC

4 8 A I 698lFM?BC EN?BF��h8 4 �lGPFMGTA;:�A�?"uPGSJ�GP?"�lGPF�L GS6TE;8lAHC9F�CMAT8 L}?�F1� ENJMG 4 8ZA?A"8 Z ?BF1�,698 AT8ZA"A":lATªlU��������������� � ~ b�d?!�d¨§ed�Eegih�" LigIjl� w}g�LP~Djltx�Hjl�_��� �i�"�[n[gHm jlk%mIL&%'*)JI�+P�W� sfgik h_sfgi~�gtBnIj L�j nitBn.�|��I �t� k`nitBnih t_k}wK�|�Kw}gikvgi~Hjl� t/m gHm git w}gikfzlg��ih�� ~Nn.�|�&L���B]p¦ ¦ � ~ b�d?! d�� d Eegih � Liguj�kft_� pO� h|gikfhB��pfgi~Djlh�� ~f� k(j6zlg��ih�� ~�n p`j}��g�I � zlgi~�jlkO�� gi� m1"���� sfgik h_sfgi~NgutBn1jsL�j nitBn��|��I ��t_hWs�~Ng�n pfg��ih=h��,�@s}tx��s�hWsfg��>jlh ~ t¨���|� � s`j nh_sfg3�I� ~ � c

de S f� � �S S

i�jk b )l" S`U " S +

2r~;�z�|�T��X ?�AHCDE�6�J�8p8 CDG :£E1:lCH?�Cl8 4 FHM1A?A ) � + U �YJ`GPFG�?}ENGTF1J�EHJM?BC EN8 :£EO:lCD?BC 8 4FHM1A"A ) �� + U��YJMGTF G�?}ENGTF1J ENJM?�CKEN8i:WE1:lCH?�CX8 4 FHM1A?A ) �� + U��$8 FOEH?BFHMMG ?�F(EHJM?BC 4 :lCHJ`?"8 FMMFOEN??A GSLlGPFOE;M1:�A"A/ªK:hEO:lCD?BC8 4 I ?BCw8ZEVEt:l?�FMG9J F`CH?BF�6PG I � FHM1A"A ) � � + 4 8lAYCNM �Q6P?�GPFOE;A/ªA[: AN� G�� U j A�?�EDE;ABG{ENJ18�M1� JOE{CHJ18ZM�A"J�<�:vzlG�?�EB6SABGI: A=ENJO: E Z ? ENJ6AHGTCNC%G96iErEN8-EHJM?BC>E1:lCH?�C9FENJ`GP<W: EHAH?@?�8 4 � ?BCM1C1C%GPAYEHAH?[: F1�ZM1A":lA Z ? ENJ}uPGPAT8 C�8 F ENJMG*JM?":��Z8 F1:�AxU

��� '�� < -P.�� .1; ;=:�0 9 7�8�.10�:I;�2T*!; 2X 8 A "������ G F ABGiE����>JMGTF18lEHG�ENJMG.6S8ZA"M�<�FLlG96iE;8 A Z ? ENJ : " ?�F ENJMG � ENJ C�8 CD?�EN??8 F:lF1JQuPGTAN8 C{G9A�CHG Z JMGPADGlUB�YJMGPF ���!�#"o ?�C7:lF G�$3G <�: EHAH?C? Z ?�EHJ�:GA"AMGTFcEHAH?�GPC78lENJMGTA�ENJO:lFENJ`G )!� b q + GTFcEHATª�GS=YM1:�A E;8�uPGTAN81F�: F1J Z ? ENJ ENJ1: E#GPFOENA ª G9=HMO:�A�EN8 " Un GTE

% � o )'&9+�� n (& ���)� "o r] G�A�GI:IL G6E;8 ENJ`G�ADGI:�JMGTA1ENJMG>G�?VGPAT6P?�CHGQ8 4 C`AN8zL}?BF1��ENJMG 4 8ZA?A"8 Z ?BF�� G9ABGS<�GTFOEt:lA ªAHGTCNM1A ENC ��B]p¦ ¦ �&~ b�d"� d ~ d}� sfgK�I� �_�"����t_k}w�gi�Bg ��gikfhxjl~ �(~;��� jlk%m��t� � oY� k���pfgi~Djlhyt � k`n jl~�g�&LPhxjlt_kvgHm>L9�-p%~Ng��jlk%m<pO�[nih �� o}� h t p%��� t_k}w>L9�>hWsfg GSABG9<>GPFOE;:lATª �>jlhy~it¨�*% � o )+&S+�,S t ��% � o )+&S+ A tBn,�&LPhxjlt_kvgHm L9�>jOmOmlt_k}w�&�h t���g�nuhWsfg q h_s�~;�����|� A h��6h_sfg-�DhWs ~t���{�

Page 183: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � ���Y���B���� �B�{���p ��©���� �� ��� ���� " ���S t_t � A % � o )'&9+<tBnh�&LPh jlt_kvgHm L9� jOmOmlt_k}w*&�hyt���g�n<hWsfg��DhWs �t� � oY� k �|� A h���h_sfg q hWs

�t� � op� k%�S t_t_t � % � o ) « &S+ItBn-h_sfg<t_kfzlgi~Nn[g.�|�-hWsfgP�>jlhy~ t¨� % � o )'&9+T��k� ~Ngt� zlgi~;�rt �#LRtBnIo[pOpfgi~Ihy~ tyjlk}wloV� jl~P��t_hWs mltyj[wY� k%jl��� � ���¤) g `(b rIrIr b g � +t�^jlk%m�t �g � �� g o ��t_hWs � q �{h_sfgik

L��V� % � o ) « &S+|L�% � o )+&S+3� % � o ) « &S+

cdddddddde

g ` � � � fg � � � �

S g o � � �

i�jjjjjjjjk% � o )+&S+�b

�@sfgi~Ng-L � tBnR�&LPh jlt_kvgHm<� ~;���/L L9� ~Ng p%� j}�it_k}w(h_sfg S t"�� � gikfhy~ ��� � o �|�1L ��t_h_s�� � o &�) g � «£g o +T� � sfgK� kf��� � h_sfgi~ gikfh ~ txg�nK�|�1L!h_s`jlh-�Hjlk pO�[n�nit LP��� Lig�j��ug��ih gHm jl~Ng>h��hWsfg<~ t w s}h�|��� � o � ~IjaL � zlg�� � o �

� CH?�F1� n GS<W<W: " S`U��`U " 8zL GTA�:lF�Jy8zL GTA9F%CDE;:lADEH?BF1�QA"8 Z F Z 8 A zc?BF��WA�G 4 E�E;8>AH??� JOEK?�F:y� ?/L GTF AN8 Z :lF�J <W8zL}?BF��yM1C Z :lANJ¤F Z G�6I:lF�ENA;: FMC 4 8 AT< L ?BFOE;8y:yJM?�AHGS6TEICNM1< 8 4E1A"8Y6 zcC

� g ` L�� �

cdddeA ` A � U U U A��

i�jjjk b

Z JMGPADG1GI:�6�JRE1A?8p6 z{A ��?BC M1C1C%GPA&EHAH?[: F1�ZM1A":lA Z ?�ENJ G9:�6�JKJM?":��Z8 FO:GA%GSABGS<�GTFcE^G9=HMO:�A%E;8g � F "�� � ��� UZfM`ArFMG(?}Ew�Z8�:GAf?BC3E;8FYfF1JK:lF�?BF�L GTADEH?"E1A�G�<W: EHAH?@?!o �vENJ1: E3ENA;: FMC 4 8 AT<�C3ENJ`GUE1A?8p6 zA��Y?�FOE;8 :<W: EHAH?@? o g `� A �Ko � � g �[n � Z JMGTAHGR� ?�C FM??A"C�8lENGTFOE Z ? ENJ : CTC GS6P?[:GA4 8 AN< U j A"AVGPFOENAD?BGTC>8 Fh8 A@E%G9A?8 Z EHJMGw<W:l?BF.J`?[:��Z8lFO:�Ap:lAHGYSpF�:�A"A}GPFOEHAH?BGTC�?"<Q<�GSJM?[: ENG9A/ª:�E�8 LlG<EHJMG*JM?[:G�Z8 FO:�A¤:lAHG<Sh8 A " FO: F1J:GA"A GTFcEHAH?�GPC 4 MMADEHJMGPA�:�E�8zL G1ENJ`G�JM?":��Z8 F1:�A :lADGS`U,�YJ`?BCf<W: ENAD?@?(g �[n � ?�C�6I:�A?ABGSJ�:�� � ~DmOjlk LP�"�[� � U ] G Z :lFOE-E;8R: AHA;: F1� G ?�EuCN8ENJO: E3?�E=?�C>:fJM?BADG96iE�CNM1< 8 4�gi�Bg ��gikfh jl~ ��! 8lANJO:Iª.E�A"8Y6 z}CTU@�YJMGTCHGU:lAHGw<W: EHAH?"6TGPC@8 4 EHJMG4 8 AN< g �"n � Z J`GPAHG<GI:G6�J(GTFcEHATª}� �TMMC EX:GED8zL G1EHJMG*JM?[:���8 FO:�A ?BC " :lF1J}:�A"A¤8lENJMGTAG9A�G9<>GPFOENC8 4 �e: AHG1S`U>�YJ`GPF Z G Z :lFOEYE;8hM`CHGfE1A?8p6 zQ<.M1A EN?"C�AB?"69: EN??8 F E;8�EHA;:lFMC 4 8 AN<� g ` L"� ?BFOE;8�:�JM?BADG96iE�CNM1< 8 4 G9A�G9<>GPFOEt: ATª ! 8lANJO:lF}E1A?8p6 zcCPU

Page 184: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

" �&m � ����� ���� ��� ���1���������� ����� ���� �� ������� �>�p ����� �� �$�� ��� '�� ) 03: ; 2@5 *>0 � 25;B/ � 25- 8�*6;@.1; ; 6 :I;=02�4#.12n GTE��eE%G G($ G F7698Z<QC1A�G�? : F1J FM?"A?CD8lEHGPFOEh8 4 8 ATJMGPA � � ��� g ` �� S � ���OU s ª� ) � o +uZ GQ<�G9:lF�EHJMG6AH??� JOEIFHM1A?A�CNCO:G6PGQ8 4 EHJMG�<�: EHAH?C?�� o U � 8lENG EHJO: E<? 4 q ^ � FENJ`GPF � ) � � + X � ) � o + U ] G CHJ18 Z G9J�:�ED8zLlG�EHJO: E6? 4 � ) � � +�� � ) � � ` + F{EHJMGPF� ) � � +�� � ) � 0 + 4 8 A�:�A?A -���- U� ENGSC " U

�B]p¦ ¦ �£~ bed¨§ed ~ d E gih�� � )�� `(b rIrIr bN� � +{Lig6jlk�t_k%m}g pfgik%m}gikfh^� tBnihX�|�Izlg��ih�� ~Nn t_k� ) � o ` +��t_hWs� ���� � � ) � o + � \ S}] � � sfgik � � � ) � � `(b rIr9r b � � � + tBn jlkt_k%m}g pfgik%m}gikfh�� tBnih{t_k � ) � o +*��t_hWs� � ��� �}� ) � o g ` +�� \ Sc] �2r~;�z�|�T� �$ABG9:lANA/ª�� � X � ) � o + U � M�C1CD8lCHG � �

� � ` & ��� � � �� o g `�� S�F Z ?�ENJ � o g `$%� ) � o g ` + U>�YJMGTF S � � o g ` ) � �� � ` & ��� � � � o g ` +3� � �

� � ` & ��� o � � S`U>�YJM?�C#CN:IªVC� �� � ` & � � � % � ) � o + FfCN8�E�ª�J�ªYCD8 ENJMGTCH?BC &5`r� & � � ¢z¢z¢}� & � � SpF�:lF1J J`GPF16TG,:�A�CN8

� o g `=� SVU 3 EK?�CYF18 Z G9:lCTª EN8>CDGPG-ENJO: EYENJMG n G9<Q<�:.<,MMCDE�E%G-EHANMMG Us G 4 8lAHG CMAT8p6TGPG9J`?BF1��E;8�EHJMG FMG�?}E CDEHG9C F Z G ?BFOENAT8pJ�M16PG CT8Z<�G F`G Z F�8lEt: EH?"8 FvU

� M1C�CD8 CDG I ` ?�Ca:#CTM1EMCNC1:�6PG 8 4 I Ua�a8KCN:zª-EHJO: EeENJMG7AB?�CDE )c� `(b rIrIr b;� � + ?�C t_k%m}g pfgik%m}gikfht_k I�� I ` <>GI:lFMC�YfADCDE{ENJO: Er?�E3?�C3?BF1JMGSC GTF1JMGTFcE9F1:lF�J�CHGS698 F�J�ENJO: E&? 4�� ?�C3EHJMG#CNCO:lF � `(b rIrIr b;� � � 8 4 ENJ`Gl�l??L GTF£AB?BC EIFYENJ`GPF � � I ` � \ SV]cU �v8 C;:Iª EHJO: E EHJMG�AB?BC E)�� ` b rIrIr b;� � + ?�C: L�j nitBn,�|� I���I ` <>GI: FMC^ENJO: E�:hEO:lCH?�C8 4�I:` :�J �T8 ?BFMGSJ E;8 ENJ`GfAB?BC E)�� ` b rIrIr b;� � + ?�C�:hEO:lCH?�C8 4 I U j A�CN81F ���� JMGTF18lEHGPCYENJMG-CTCO:�6PG-CTCO:lFMFMGSJE�ª EHJMG*AB?BC E� U� ENGSC {VU n GiE>o � E%GK: EO:lCD?BC.8 4 � ) � � +�� � ) � � g ` +>��� � � � ) � � g ` + F�CH?�F16PG

� � � S`U s ª n G9<Q<�: " SVU�mMU " �so � ?�C : F>?�F1JMGSC GTF1JMGPFOE AB?�CDE3?BFQ� ) � � g ` +�� � ) � � g � + FZ ?�EHJ �so � � �y� ) ��� g � +�� \ S}]cU

�$8Z<QC1ABGiENG �so � E;8 :kEO: CH?BC ) �{o � b o � g `�+ 8 4 � ) ��� g ` +!� � ) ��� g � + U j E>ENJ`?BCC�8 ?BFOE Z GIJ1:zLlG<EHJO: E

) �so � b o � g `(b o � + ?�C�:QEO: CH?BC8 4 � ) � � +�� � ) � � g � +{�"� � � � ) � � g � + r� ENGSC �VU ) � � o � b �{o � g `T+ ?�CR:lF�?BF1J`G9C%GPF1JMGTFOEyA�?BC E ?BF�� ) � � g � +#� � ) � � g + U

�$8Z<QC1ABGiENGYENJ`?BC3E;8.:*EO:lCD?BC ) � � o � b �{o � g `(b o � g � + 8 4 � ) � � g � +$� � ) � � g + U j E{ENJ`?BCCDE;:�� G Z G<J1:zLlG<EHJO: E

) o � b �{o � b o � g ` b � � o � b �so � g `(b o � g � + ?BC�:hEO: CH?BC�8 4 � ) � � +�� � ) � � g + r

Page 185: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � ���Y���� ����X� �7�� � ��� �©����� ���P���7� � �y� �� ��� �7� " �aw� ENGSC mMU � AT8p6TGPG9J ?BF EHJM?BC Z :IªKMMFOEN??A :hEO:lCD?BC 4 8 ArENJMG-GPFOEH?BAHG1CTCO:�6TG I J1:lCE GTGPF

8ZE`E;:l?BFMGSJ U j E1EHJO: EfC�8 ?�FcE Z G Z ?"A?A�J1:zLlGQ:�CD?�ENMO: EN??8 F(JMGTCN6TAH?"E%G9J ?�F ENJMG 4 8ZA?A"8 Z ?BF1�:lAHAN:Iª �

3 F�JMG9C%GPF1J`GPFOEuCDGTE EO:lCD?BC 4 8 A CNM1E`CNCO:�6TG) o � + � ) � � +�� � ) � � g ` +3�"� � � � ) � � g ` +

) o � g ` b �so � + � ) � � g ` +�� � ) � � g � +) o � g � b �so � g ` b � � o � + � ) � � g � +�� � ) � � g + )l" S`U " " +

) � � g b �so � g � b � � o � g ` b � o � + � ) � � g +�� � ) � � g�� +UUU UUU

) o `�b �so � b rIrIr b � � g � o � g ` b � � g ` o � + � ) � � g�� � g `�� +�� � ) � � +3� � ) � +�&J18p8lCHG>D � D `W% ��� g o o � g o ` :lF1J 4 8�A"A"8 Z ? E,E1:�6 zkM�C E;8 EHJMG�E;8�C 8 4 ENJ1: E

698ZA?M1<>F � D � g o % o � g o � �PD � g o � D � g o g ` �vUPUPU � �PD � � D ` U � 8 ��� g o g ` D � g o � D ` U] G-F18 Z Z :lFOE�E;86?BFOENGTANCMADGTE Z JO: E#? E�<�G9:lFMC 4 8 A

� g ` � � ��!�cde � ` U U U

��

i�jk Z ? ENJ � � �

cdddddeS " SS "U U U "

S

i jjjjjk

r

�YJM?BC�A[: CDE�<�: ENAH?C? ?�CYCNM1C�CD8 CDG9J EN86JO:IL G " � CU:�A?8 F1��ENJ`G<CTM1C%GPANJ`?[:��Z8lFO:�A :lF1J(S � CG9A�CHG Z J`GPAHG U��YJ`?BCuCN:zª}CuEHJO: EuEHJMGfq ENJ 6S8ZA"M1<>F(8 4 � � )_Z JM?"6�J ?�C ��EN??<�GTCKENJ`Gfq ENJ698ZA?M1<>FK8 4 �,+ GS=HMO:�ABCYEHJMG�q ENJR698ZA?M1<>FK8 4 ��� F Z JM?"6�J�?�CYGP?�EHJMGPA^EHJMGfuPGTAN8�698�A"M1<>F8 A^ENJ`G ) q�« " + CDE�698�A"M1<>FK8 4 � U � 8 Z G<F`GPG9J

� ) q ENJ}698ZA?M1<>FK8 4 ��+�� Sh8 A^EHJMG ) q�« "z+ CDE�6S8ZA"M�<�FR8 4 ��r� 8 E;8 4 8 AT< � FY:lC{ENJMG�698ZA?M1<>FMC 8 4 � Z G#Et:&z GKEHJMGULlG96TEN8 AHCr?BF>ENJMG j ADA;:Iª " S`U " "

CDE;:lADEH?BF1� : E�ENJMGKE�8lEDE;8Z< 8 4 :(698�A"M1<>F F@<Q8zLV?�F1�(M1C EN8 ENJMG EN8ZC F=EHJMGPF 4 AN8�< EHJMGED8 EHE;8�< E;8�ENJ`G�EN8ZC 8 4 EHJMG FMG�?}Ey698ZA?M1<�F EN8 EHJMG�ABG 4 E9F�GiE;6lU y :�6�J 6S8ZA"M1<>F�8 4j ADA;:Iª " S`U " " ADG9CMADGPCHGTFOENC�8 FMGfE1A?8p6 z � � FO:lF1J�ENJ`GfED8lEDE;8Z<�AN8 Z 698 FMCD?BC ENC�8 4 :hEO:lCH?�C4 8 A^ENJ`G<FHM1A?A�CNCO:G6PG*8 4 ��UB�YJMGPF Z G*J18>JO:IL G

� g ` � � ���!�cde � ` U U U

��

i�jk r

Page 186: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

" � � � ����� ���� ��� ���1���������� ����� ���� �� ������� �>�p ����� �� �$�� � M1C1C�8 CDG Z G(J1:zLlG:�<W: ENAD?@? A � g�n � Z JMGPADG � ?BC FM??A"C�8lENGTFOE Z ?�ENJ :�A?A

G9A�G9<>GPFOENC>8lFh8 A>E GSA"8 Z ENJMG�JM?":��Z8 F1:�AVGS=HMO:�AME;8-SVU>�$8 FMC ENATM16TE � CT81ENJO: E �3g ` � � �� Fe?xU GlU/F � g ` A �4� �3g ` ) � gOn +��/� g�n � ?�C�:RJM?�AHG96iE<CNM1< 8 4 G9ABGS<�GTFOEt:lA ª! 8 ATJO:lF E�A"8Y6 z}CIGI:�6�J Z ? ENJ�ENJMG�C;:�<>G�GT?"� GTF�L�:GA"MMG�g¬:�A"8 F�� EHJMG�JM?":��Z8 F1:�A7:lF1J " � C�TMMC EX:GED8zL G1EHJMG*JM?[:���8 FO:�A U � M16�J:h<�: EHAH?C? ?�CYC;:l??J�EN8WE%G1?BF � � ~DmOjlk��I� ~ � U� Et: ADE Z ?�EHJ�:f� GPFMGTA;:�A G $PG <W: ENAD?@? A�8 LlGPA � U@�KGTAHG�?BC=EHJMG� GTFMGPAN:�A�:�A"��8 AH? ENJ1<

4 8 A�YfF�JM?BF1�Q: ! 8 ATJO:lF 4 8 AN< 4 8 A�A U" U X ?�F1J ��` CN86ENJO: E � g `` A ��`���L ?�CY?BFKM1C1C%GPA�ENAD?[:lF��ZM1A[: A � 6�JHMMA 4 8 AN<}F`CT8

L��

cddddddddddddddddde

g ` U U Ug ` f

g � U U Ug �

S U U Ug � U U U

g �

i�jjjjjjjjjjjjjjjjjk

r

{VU X ?�F1J � � CN86ENJO: E

� g `� L�� � �

cdddeL����L���� SU U US L��

i�jjjk � � r

�`U X ?�F1J � CN86ENJO: E � g ` � � ��� � Z JMGTAHG) ��`�� � � + g ` ¢ A ¢Y) ��` � � � +�� � � ?�CY?BF ! 8 ATJO:lF 4 8 AN<Rr

j F G $�G�gi�Bg ��gikfhxjl~ � � � ~DmOjlk LP�"�[� � ?�CV:�<�: EHAH?C?*8 4 EHJMG 4 8 AT<�� � ) g +�� g�n � � FZ JMGTAHG�g %�� F1� � ?�C^ENJMG G $ G FM?"A?CD8lEHGPFOE<W: ENAD?@? Z ?�EHJ " � C�:GA"8 F1��EHJMG1CNM�C GTANJM?":�� $8 FO:GA :lF1J(S � C#GSABCDG Z JMGTAHGlU7�YJMG*<>?BFM??<�:�A�:lF�Jy6�JO: A;:�6iENGPAD?BC EN?"6fC�8ZA/ªVF�8Z<�?":�ABC 8 4 � � ) g:lADGXE�8lENJ GS=YM1:�AvE;8 ) Dh«lg +�� F1:lF�J�� � JO: C: " $5JM?"<>GPFMCD?"8 F1:�A�CNCO:�6TGf8 4 GP??� GPF�LlG96TEN8 AHCCNC1:lFMFMGSJ E�ª )l" b S b rIrIr b S + " :lF1J :lF G $�JM??<�GTFMCH??8 FO:�A�CTCO:�6TGK8 4 � GPF`GPA;:GAB?"uTG9J GT?"� GTFV$L GS6TEN8 AHCSF�:�A"ADE GSA"8 F1�l?BF1�<E;8 ENJMG1GT?"� GTF�L�:GA"MMG*g�U 354 A JO:lC�: ! 8 ATJO:lF 4 8 AT<�6S8 FMCH?�CDEH?BF1�

Page 187: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � ���H� �����p� ����� �7�� ���p�7�� ��>�X� �y� �� ��� �7� " � #8 4 :�JM?�AHGS6TEuCTM1< 8 4� G9ABGS<�GTFOEt:lA ª ! 8lANJO:lFE1A"8Y6 zcC9F EHJMG.6�JO: A;:�6iENGPAD?BC EN?"6�CD8�A?ª}F18Z<>? $:�ABC�8 4 ENJMGTCHGE�A"8Y6 z}CW:lADG EHJMG gi�Bg ��gikfhxjl~ � mlt_z[tBnz� ~Nn 8 4 A U �YJMGy6�JO:lA;:G6TENGTAH?�CDEN??6CD8�A?ª}F18Z<>?[:�Av8 4 AR?�C1ENJMG�CMAT8pJ1M�6TE�8 4 ? ENC-G9A�G9<>GPFOEt: ATª JM?/L}?BCN8lAHCPU 354 g `�b r9rIr b g :lADGENJMGhJ`?BCDEH?BF16iEuGT?"� GTFHLG:�A?MMGPCX8 4 A,F :lF�J ? 4>4 8 AuG9:�6�J � F " ������ F ) DR«�g � + ��� ?BC�EHJMGA[:lAT� GPC E-G9A�G9<>GPFOEt:lA ª(JM?/L}?BCN8lAu?BF�LZ8�A?L}?BF1� EHJMG6GP??� GPF�LG:�A"M`GQg � F ENJMGTF� � � ` ) DR«�g � + ���?BC{ENJMG�<>?BF`?"<W:�A1C�8ZA?ª}F18Z<>?[:GA 4 8 A AIU 3 E^?�C$69A�GI:lA{ENJO: E ) D�«lg + JM?/LV??JMGPC{ENJMGX<�?�FM?"<W:�ACD8�A?ª}F18Z<>?[:�AO8 4 A+? 4 :lF1Ji8lF1A?ª6? 4 ?�E JM??L}??JMGPC{ENJMGU6�JO:lA;:G6TENGTAH?�CDEN??6XC�8ZA?ª}F18�<�?":�AO8 4 A ? 4:lF1J}8 F1A/ª ? 4 g ?�C�:lF�GP?"�lGPF�LG:�A"MMGf8 4 AIU���('�� , ���*>0�� : ; ��*>0 � � 5 *>0���.u:3- 6 :I;=0�254#.u2a,¥ ] ��� ]Y¦ ~ b�d�� d ~ d�EegihI Lig j ~�gHjl��zlg��ih�� ~-n p`j}��g6jlk%m�L % 'f)JI,+T��� sfgik�hWsfgi~NgtBn j>L�j nitBn�N �|�I�I� ~*�@s}tx��s

� L��@Q��cde A ` f� � �S A �

i jk b

�@sfgi~Ng�gHj}��s A o tBn j�� lL9� ����>jlh ~ t¨�}� ~Ij�� lL9� ��i�>jlhy~it¨�i��t_h_s�k¤� git w}gikfz jl� ofg�nP�2r~t�z�|�T� �YJMG�ADGPCNM�A�EI?BCP69ABG9:lANA/ª ENATMMG>? 4�G � JM??< )KI.+-� " F@CT8 CTM1C1C�8 CHG G � {VU 354L J1:lC*:lF GP??� GPF�LG:�A?MMG�g F ABGiE � ` E%G�:lF�ª F�8 F1uPGTAN8�GP??� GPF�LlG96TEN8 Af8 43L E GSA"8 F1�l?BF1�>E;8geU y ?}ENGTF1J )��a`T+ E;8i:QEO:lCD?BC )c� ` b;� � + 8 4�I U ] ?�ENJ AHGTCNC%G96iEuE;8>ENJM?�CUEO: CH?BC L JO:lCX:lFM1C1C%GPAYENAD?[:lF��ZM1A[: A$<W: ENAD?@?K8 4 EHJMG 4 8 AN< g �

S !#" r

3 FCO: ADEN??69M1A":lA9FV? 4 L JO:lC�:lF GP??� GPF�LG:�A?MMG�FMEHJMGPF ENJMGTAHG-?BC�:�EO:lCH?�C�8 4�I Z ?�EHJ(ADGPCTC GS6TEE;8 Z JM?"6�J L JO: C,:lF M1C1C%GPAIEHAH?":lF1�ZM1A":lAf<W: ENAD?@? U 354^L JO:lCIF18 GT?"� GTFHLG:�A?MMGPCSF�EHJMGPF6�J18Y8 CHG�:lF�ª.E1:lCH?�C )��a`(b;� � + 8 4 I U ] ? ENJ ADGPCNC%G96iE3E;81ENJM?�C@EO:lCD?BCSF ENJMG<W: ENAD?@?�8 4�L J1:lCF18<GP?"�lGPF�LG:�A"MMGTCPU � 8 Z GKJO:ILlG#EHJMGUJ`GPCH?�AHGSJ�AHGTCNM1A E Z JMGPF G � {VU � 8 Z CTM1C1C�8 CHG�ENJ1: EG � JM?"< )KI.+p^ {i:lF1J EHJO: E�EHJMGhJMGTCH?BADG9J ADGPCNM�A�E1J18�A"JMC 4 8 Af:�A?A ADGI:�AaL GS6TE;8lA1CNCO:�6TGPCZ ?�EHJ�CN<W:�A"A�GPA,J`?"<>GPFMCD?"8 F U 354#L JO:lC�:lF�GT?"� GTFHLG:�A?MMG�F>A�GTE o E GR: " $�JM??<�GTFMCH??8 FO:�ACNM1E`CNCO:�6TG�8 4 I ENJ1: E1?BC L $ ?BF�LG:lAD?[:lFOE UpZ�ENJMGTA Z ?BCDG�F E�ª�YJMG98 ADG9< # U �VU " A�GTEOo E%Gh:{q$�J`?"<>GPFMCD?"8 FO:GA L $ ?�FHLG:lAD?[:lFOE�CTM1EMCNC1:�6PG�8 4�I Uw�&J18Y8 CHG�:lF�ªREO:lCD?BC�8 4 o :lF�JABGiEA `JMGPF�8lENG1ENJ`Gf<�: EHAH?C?�8 4�L{r|t(Z ? ENJ ADGPCNC%G96iEKEN8�ENJM?�CEO:lCD?BCPU 354 A ` ?�C�:�{q$�E�ªO$ {,<W: ENAD?@?ENJMGTF L JO:lC�F18 GT?"� GTF�L�:GA"MMGTC9F=CD?BF16TGi8lENJ`GPA Z ?�CHG Z G Z 8ZM1A?J�JO:IL GK6�J18 CDGPF�o�E;8(E%G" $�J`?"<>GPFMCD?"8 FO:GAxUv�KGPF�6PG Lsrut :lF1JqA ` JO:IL G<F186GP?"�lGPF�LG:�A"MMGTCPU

Page 188: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

" �Z� � ����� ���� ��� ���1���������� ����� ���� �� ������� �>�p ����� �� �$�� n GTE � E%GQ:lF�ª CNM1EMCTCO:�6TGW8 4�I 4 8 A Z JM?"6�J I4� o � U ] G Z 8ZM�A"JlAB? z G�E;8

:�C1C�A?ª6ENJMG�?BF1J1M�6TEN??8 F�J�ªYC�8lENJMGTCH?�C^E;8 EHJMGuCNM�EMCNCO:G6PG � U � F 4 8lADE;M`FO: ENGSA?ª�F � <�??� JOEF18lE�E%G L $ ?BF�LG:lAD?[:lFOEIF}CN8 Z GIJO:ILlG<EN8QE%GP:hAB?�EDE;A�GKENAD?"6 z�ª U��uG�YfFMG � %('*)���+ E�ª

� )��f+�� ����� tV)_L,)��f+T+��D�&% � r

� 8 ENGuENJ1: EL,)���+ � � t�� �R)WL,)c�f+N+ ����� tv)WL,)���+N+ )l" S`U " { +

� � t�� �R)WL,)c�f+N+ � )���+�D�&%�� r

s ª�8ZMMA3?�F1J1M16iEN?"8lF�J�ªYCD8 ENJMGTCH?BCSF}EHJMGPADGK?�C7:PEO: CH?BC 4 8 A � Z ? ENJ>AHGTCNC%G96TErE;8 Z JM?"6�J� J1:lC�:�E�A"8Y6 ziM1C1C%GPAYENAD?[:lF��ZM1A[: A$<W: ENAD?@?�8 4 EHJMG 4 8 AN<c

de � � fU U US A �

i�jk b

Z JMGTAHG�GI:�6�J A o ?�C�: " $�E�ªO$ " <W: ENAD?@? 8 A�:l{q$�E�ªO$ {(<W: ENAD?@? Z ?�EHJ F�8�GT?"� GTF�L�:GA"MMGTCPUj J �T8 ?BF EHJM?BChEO: CH?BCh8 4 � E;8 ENJ`G}E1:lCH?�Ch8 4 o 6�J18 CHGTF�:GED8zL GGF$� GiEHEH?BF1��: EO:lCD?BCh8 4I UB�YJMG*6S8 AHADGPCNC�8 F1J`?BF1��<W: ENAD?@?�8 4eL ?BC�:hE1A?8p6 zWM1C1C%GPAYENAD?[:lF��ZM1A[: A$<W: ENAD?@?W8 4 ENJMGJMGTCH?BADG9J 4 8 AN< U

Z�MMA�JMG�YfFM?�EH?"8 F 8 4 EHJMGh6�JO:lAN:�6TEHGPAD?BCDEH?"6.C�8ZA/ªVF�8Z<�?":�A 8 4 ENJMGQ{ $ {�<W: EHAH?@? A � � &! � " ?BC^ENJ1: E�?�E�?�C� ) D +3� ) DW« �Y+9) Di« �Y+ «�! &�� D � « ) � ��� & � ) A +N+ D � � �S) A + r

�YJMG 4 :G6TE ENJO: E ENJ`?BC ?BCv:KAHG9:lCN8lFO:�E1A�G JMG�YfFM? EN?"8lF ) ENJMG 8 F1A?ªuAHGI: CN8 FO:GE1ABG JMG YfF`?�EN??8 F? 4}Z G Z :lFOE�EHJMGw�w:IªYABG ªO$��X:G<�??A�E;8lF-EHJMG98lAHG9< EN8UE%GBL�:GAB?"J 4 8 AeCTM16�J.<W: ENAD?"6PGTC +¤4 8ZA?A"8 Z C4 AN8�<�ENJ`G<F`G�?}E�ADGPCTM1A�EPUa,¥ ] ��� ]Y¦ ~ b�d ��d?! d ��oqpOpO�[n[g3I tBn j ~NgHjl�3zlg��ih�� ~6n p`j}��gW��t_hWs�mlt���gik`nit � k � jlk%mL�% '*)KI,+<s`j nIk¤��git w}gikfz jl� o�g�nP� ��oqpOpO�[n[g A tBn hWsfg��>jlhy~ t¨� �|��L ��t_h_s(~Ng�n pfg��ih&h��nz����gPL�j nitBnP�Eegih � ) D +w%��� D ��Lig j-pO� ��� k¤��� tyjl�a�|�<m}gxwl~Ng�g �}�S|j���#W� � ) D + gN�Po`jl� n-h_sfg ��s`jl~Dj}�ih|gi~ tBnihytx�^pO� ��� k¤��� tyjl�a�|� A �{h_sfgik � )WLX+�� S �S L��W#W� � ) D +�mY�[g�n>k¤� h1gN�Po`jl��h_sfg ��s`jl~Dj}�ih|gi~ tBnihytx�1pO� ��� k¤��� tyjl�B�|� A �#h_sfgik � )WLX+tBn-t_kfzlgi~ hyt LP�BgP�

Page 189: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � ���H� �����p� ����� �7�� ���p�7�� ��>�X� �y� �� ��� �7� " � %2r~t�z�|�T� � :lA E ) : +>4 8�A"A"8 Z C3?"<Q<>G9JM?": ENGSA?ª 4 AN8Z< EHJMGf�w:IªYABG ªc$��X:�<>?"A E;8 F EHJMG98 ADG9<}FpE�M`E?�E ?�C�:�ABCT8 GI:lC ª E;8 J`GPAH?/L G�?�E�?B?BF�JMG9C%GPF1J`GPFOE;A/ª 8 4 ENJO: E AHGTCNM1A E U X 8 A.C1:lADE ) E + F7ABGiE� ) D + JMGPF�8lENG EHJMG�6�JO:lA;:G6TENGTAH?�CDEN??6(C�8ZA?ª}F18Z<>?[:GA�8 4 A Z ? ENJ � ) D + �� � ) D + U ] AD?�EHG� ) D +&� D � ���` D �� ` :lF1J � ) D +^� D � �� � D �� � 4 8 A#CN8�<�G ��`�b�� � b�� `(b�� � % r� 8 Z

� )WLX+�� � )_LX+ « � )_L�+�� )�� ` « � � + L )� ` « � � + n�r354� `u��� � F EHJMGPF � ` ���� � F�CD?BF16TG�8lENJMGTA Z ?�CHG � � � U 3 F ENJ`?BCf6I: CHG � )WLX+ ?�C1CN8Z<>G<.M1A EN?"C�ABGX8 4 EHJMG-?"JMGTFcEH?�E�ªR: F1J�JMGPF16TGI?�CY?BF�L GTADEH?"E1A�GlU 354 � ` ���� � FMENJMGTF

� )_LX+�� )�� ` « � � +S)WL « � � « � ` +� ` « � � n +�b

Z JM?"6�J ?�C�:lF ?�FHLlGPA EN?"E�ABG,8�C GTA;: EN8 AuCH?�F16PG L JO: CuF18 GP??� GPF�LG:�A?MMGPCTUP�YJHMMC ) E + J18�A"JMCTU

� 8 Z CNM�C1CD8lCHG I ?BC " $5JM?"<>GPF`CH?"8lFO:�A1: F1J L %('*)JI,+ U X 8 A7g %� F G ���� )WL «gOn +G9=HMO:�A�C I ? 4 g ?�C�:lF GT?"� GTF�L�:GA"MMGR8 4#L :lF1J \ SV]y8lENJ`GPA Z ?�CHG U 354��b�� % Z ? ENJ� � m � FMCT8>EHJO: ED � �� D �� � S JO:lC�F186AHG9:�A�AN8Y8lEHC9F`EHJMGPF

G ����� )_L � �� L �� n +�� \ S}]Hr) � AN8Y8 4 � s G96I:GMMCHG I ?BC " $5JM?"<>GPF`CH?"8lFO:�A F�ENJMGTAHG�?BCh: 6S8 FMCDE;:lFOE�g % CNM�6�J ENJ1: EL��6� g �Q4 8 A�:�A"A �i% I U ) ] J�ª ?BC^EHJM?BCYENATMMG�� + � 8�? 4V� ?BC�:6F18 F1uTGPAN8QL GS6TE;8lAK?�F I FENJMGTF )WL � �� L��� n +���� ) g � �� g ��v+ � U�YJMG�8 F1A/ª Z :Iª ENJM?�CU69:lF(E%G S�?�C 4 8 A� � Si8 A ) g � �� g ��v+#� S`U s M`E1EHJM?BCuCDG96S8 F1J�G9=HMO:�A�?�E�ªy6I:lFMF�8lE1J18ZA?J E GS6I:�M`CHGZ G�:lADG*:lCHCTM1<�?�F1� ENJO: E � � m � UB�KGTF16PG G ���� )WL � �� L��� n +�� \ SV]cU +

� 8 Z CNM�C1CD8lCHG6ENJO: E I ?BCP:}{q$5JM?"<>GPFMCD?"8 F1:�A@ADGI:�A@LlG96TEN8 A<CNCO:�6TG�: F1J�EHJO: E L %'*)JI�+ CDEH?"A?A}J1:lC=F18uGT?"� GTF�L�:GA"MMGTCPU X 8 A@g %� F G ����� )_L «Qg�n +�� \ Sc]#G�?�:�6TENA?ª�E GS6I:�M`CHGL J1:lC-F18 GP??� GPF�LG:�A"M`GPCPU 354�b�� % Z ?�EHJ � � m � FvEHJMGPF G ���� )WL � �� L �� n +G9=HMO:�A�C>:�A?AY8 4 I ? 4 D � �� D �� ?�C�ENJ`G$6�JO:lAN:�6TEHGPAD?BCDEH?"6 CD8ZA/ª}F18Z<>?[:�A�8 4`L Z ? ENJ�ADGPCTC GS6TEE;8�CN8Z<>G ) :lF1J(JMGPF16TG E;8W:�A?A + 8 ATJMGPADG9J(EO: CHGPCU8 4I F�:lF�J G9=HMO:GABC \ Sc]h8lEHJMGPA Z ?BCHG�E�ªCO:lA E ) E + 8 4 �YJMGS8 AHGS< " S`U~wVU|{VU 3 EY?�C&??<WC�8 ADE;:lFOE3E;8 F18lEHGKEHJO: EY?�F�ENJ`?BCw69:lCHG�EHJMGuFHM1A?ACNCO:G6PG*8 4eL � ��eL �� n>?BC^GT?�ENJ`GPA \ S}]�8 A&EHJMG Z J18ZA�GuCNCO:G6PG�{q$�J`?"<>GPFMCD?"8 FO:GA CTCO:�6PG��

�YJMG���8�:�A 8 4 ENJ`?BCYCHGS6TEH?"8 F ?BC^EN8QC`AN8zL G-ENJMG 4 8ZA?A"8 Z ?BF�� ENJMGS8 AHGS<(Ua,¥ ] ��� ]Y¦ ~ b�d ��d?� d ��oqpOpO�[n[g�h_s`jlh�I tBn1j>~NgHjl�%zlg��ih�� ~Kn p`j}��gP�|�umlt���gik`nit � k!G jlk%mL&%('*)KI,+T� ��o[pOpO�[n[g�h_s`jlh@��t_h_s�~�g�n pfg��ih�h��<nz����gpL�j nitBn*�|��I.�=h_sfgX�>jlh ~ t¨���|�3L�s`j n

Page 190: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

"$% S � ����� ���� ��� ���1���������� ����� ���� �� ������� �>�p ����� �� �$�� h_sfg3�I� ~ �

A �cde A ` f� � �S A �

i jk b )l" S`U " � +

�@sfgi~NgIgHj}��s A o tBn-j{"�$8"��>jlh ~ t¨�R� ~1j { $ { �>jlhy~ t¨�Q��t_h_s k¤��git w}gikfz jl� o�g�n S|j n1t_k� sfgt� ~Ng ���O��� �l�S|j�� #W� g %���h_sfgikKp%~Ng��itBn[gi����mlt��TS kfoV�_� S�)_L «XgOn +�� � ���|�3hWsfg7�>jlhy~ tx��g�n A `�b rIrIr b A �gN�Po`jl� hWsfgO"�$ "W�>jlh ~ t¨�R� g � �S L���#W� �b��l% nPjlh tBnW� � � � m �>��hWsfgik�p%~Ng��itBn[gi���

mlt��TS kfo}�_� S�L � �� L��� n + � +{

�|�{hWsfg$�>jlhy~itx��g�n A `�b rIrIr b A � s`jlzlg#��s`jl~Dj}�ih gi~ tBnih tx�epO� ��� k¤��� tyjl�`gN�PoMjl�}h�� D � � D ! �� 8lEHGKEHJO: E{ENJM?�Cr??<WC1A�?BGTC@ENJO: E&FHM1A?A )N)_L � � L � n +���+ <.MMC E&JO:ILlGuGSLlGPFKJM??<�GTFV$

CH??8 F U2r~;�z�|�T�] G�?"<>?�E;: ENG j ?pABGPA{?BFW698 F`CDENATM16TEH?BF1��8 FMGUCMAN8Y8 4 EHJO: E 6I:lF�E GUMMCHGSJ�E;8�CMAN8zL GE�8lENJ ) : + :lF1J ) E + U X 8 A{ENJM?�C9F1A�GTEg b �b��l% 4Z ?�ENJ � � m � U�uG YfF`G � ) D +$% l� D �E�ª

� ) D +{��� Di« g b ? 4 Z GP:lADG1ENATª}?�F1� E;8�CMAN8zLlG ) : + �D � �� D ���b ? 4 Z GP:lADG1ENATª}?�F1� E;8�CMAN8zLlG ) E + Un GTE � JMGPF18 ENG ENJMGKJ`G9� ADGPGR8 4 � ) D + U �YJHMMC ��� " 8 A � � {pFBJMG9C%GPF1J`?BF1��8 F

Z JMGiENJMGTA Z GP:lAHG1ENA ª}?BF1� E;8�CMAT8zL G ) : + 8 A ) E + U�YJMG*EO:lCD?"6u??JMGI:h8 4 ENJ`GfCMAN8Y8 4 ?BC&EN8�CMAN8Y6PGTG9JRE�ª ?BF1J�M16TEH?"8 FK8 F � F`EHJMG1FHM1<.E%GPA

8 4 E1A?8p6 zcCh:GA"8 F1� ENJMG�JM?[:���8 FO:�A3?BF y =�U " S`U " �`U 354 � � " F�ENJMGTF J`?"< )JIP+ � " 8 AJM??< )KI�+3� {VU 3 F EHJM?BC�69:lCHG-ENJMG*JM?�CN6SMMCHCD?"8 FyCMAHGS6PG9J`?BF1�6ENJM?�CYENJMGS8 AHGS<4?"<QC1AB?�GPC&EHJO: EENJ`GiJMGPCD?BADG9J AHGTCNM1A E J18ZA?JMCPU Z�MMA�?�F1J1M16iEN??8 F J�ªYCD8lEHJMGPCD?BC ?�C ENJO: E 4 8 A � ^ " F=ENJMGJMGTCH?BADG9J AHGTCNM1A E�J18ZA"J`C Z J`GPF��?BCYADG9C1A":�6PGSJ Z ? ENJ � « " Un GTE N E%G : EO:lCD?BCi8 43I Z ? ENJ ADGPCNC%G96iE E;8 Z JM??6�J L J1:lC ENJMGE1A"8Y6 z M�C1C GTA $ENAD?[:lF��ZM1A[: A�<W: EHAH?@?}8 4y =�U " S`U " �`U n GTE o o JMGPF�8lENG�EHJMG�CNC1:lF 8 4 ENJ`G.EO:lCD?BCXLlG96TEN8 AHC698lAHAHGTCNC�8 F1JM?�F1��EN8>A o U � 8�JM?"< ) o o +�� " ? 4 A o ?BC " $ " : F1J JM?"< ) o o +Y� {�? 4 A o?BC�:Q{ $ {.<�: ENAH?C? )_Z ?�EHJ F�8�GT?"� GTFHLG:�A?MMGPC + U n GTE

o � o `� o � £¢z¢z¢ o�� g `{� o ` o � �¢z¢z¢ o�� g ` r

Page 191: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � ���H� �����p� ����� �7�� ���p�7�� ��>�X� �y� �� ��� �7� "5% "�$ABGI: ANA?ª o+?BCr?BF�LG:lAH?":lFOE$MMF�JMGPA L :lF1J�ENJMG�<W: EHAH?@?Q8 4�Lsrut Z ?�EHJ AHGTCNC%G96iE^E;8�EHJMG

EO:lCD?BC N � 8ZE`E;:l?BF`G9J 4 AN8Z<RENJMG*EO: CH?BCLlG96TEN8 AHC�698lAHAHGTCNC�8 F1JM?�F1� E;8sA `(b rIrIr b A � g ` ?�C� L{r|t��@Q��%�

cde A ` fU U US A � g `

i�jk b )l" SVU " m +

� M1C1C�8 CHG�EHJO: E JM??< ) o +�� G � FqCT8 G � ?BC GT?�EHJMGPA G « " 8 A G «�{}U j ABCN8�F�J`?"< ) FHM1A"A ) � )_L{r|tO+�� � +T+��JM?"< ) FHM1A?A ) � )_Lsrut¤+ � +T+ UB�KGTF16PGP8ZMMAY?�F1J1M16iEN??8 F�JHªYC�8lENJ`GPCH?�CK??<WC�AB?BGTCrEHJO: E

� AHGS6P?BCDG9A/ª `� JM??< ) FHM1A"A ) � )WL{r|tD+N+��Z+ 8 4 ENJMG*<W: ENAD?"6TGPCA `�b rIr9r b A � g ` JO:IL G*6�JO:lAN:�6TEHGPAD?BCDEH?"6*C�8ZA?ª}F18Z<>?[:GA � r )l" SVU " w +

n GiE � � E%GX:*L G96iE;8 Ar?BFTo�KU L,) � � + <�??� JOE3F18lE E GK?BF o�UF}CH?BF�6PG�ENJMGKGPFOENAD?BGPC78 4ENJMG,<�: EHAH?C?qA ?BF EHJMG.6S8ZA"M1<>FMCU:�E�8 LlG�ENJMG,<�: EHAH?C?qA � <�??� JOE�F18 Ef:�A?AvE%G S`U s M`EZ GK69:lF CMAT8 �DG96iE L,) � � + 8 FOEN8[o���U � 8(ABGiE � % '*) o�� + E G>ENJMGi8�C GTA;: EN8 A Z J18lCHG<�: ENAH?C? Z ? ENJ AHGPCTC GS6TEKE;86ENJMGPEO:lCD?BC�698 ADAHGPCTCD8lF1JM?BF��>EN8To���?BCA ��U 3 E 4 8ZA?A"8 Z C^ENJ1: E� ) � � +{� � t

�� t%L,) � � + U � ?BF�6PG I� o o��UF Z G�zcF18 Z EHJO: E 4 8lA@:lF�ªPL G96iE;8 A �W% I

Z G<JO:IL G � � � t�� t�)��p+ ��t

�� tv)��p+ U � M`EDEN?�F1� L.) � � + ?�FRC1A[:�6TG*8 4V� F Z G<JO:IL G

L.) � � + � ��t � t�L,) � � +� � t

�� t�L,) � � + )l" SVU " � +

� � �� � ) � � +(bZ JMGPADG � � JMGTF18lEHGPC7:lFhMMF zcF18 Z FQL G96iE;8 A3?�F o U )Ky :�6�J EN??<�G&EHJMGYCTªY<.E�8ZA � � ?�C>MMCHGSJ F?�E$JMGPF18 ENGPCYCT8Z<>GXL GS6TE;8lAY?BF o�F1E1MVE�?�E <�??� JOEwE%Gf:.JM?�� GPADGPFOEwLlG96TEN8 AYGI:G6�J�EH?"<>GKEHJMGCTªY<.E�8ZA3?BC*MMCDG9J U + � ?�F16PG � ) � � +,% o��XF CN8 L,) � ) � � +N+1� � � � � ) � � + F Z G�69:lF:�C1C1A/ª L EN8�ED8lEHJ�CH?"J`GPC�8 4�y =�U " S`U " ��E;8�8ZEVEt:l?�F

L � ) � � +�� � � � � ) � � + r )l" SVU " #�+)�3 E�?BCY??<WC�8 A Et:lFOE&EN8 zlGTG9C ?�FK<�?�F1J�EHJO: E�GI:G6�J EH?"<>GKENJ`G1CTªY<.E�8ZA � � ?BCMMCDG9J Ff? E

CMAN8�EO:�E1A/ªi<>GI:lFMC�:hJM?��vGTAHGPFOE�L GS6TEN8 AK?�F oIU +� CH?�F1�>G9=HMO: EH?"8 FMC y =cCPU " SVU " ��:lF�J " SVU " # ? EY?BCYG9:lCTª EN8>CDJ18 Z ENJ1: E

� )_LX+9) � � +�� � � � ) � + � ��r )l" SVU " � +� 8lEHG-EHJO: E � ) � +S) � � +w% o���U>�YJHMMC#?�EHGPAN: EN?�F1��ENJMG*A":lCDE�GS=YM1: EN??8 FR� ??LlGPC

� )_LX+ � ) � � +�� � � � ) � + � ) � � + r )l" SVU "$%Z+

Page 192: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

"$% { � ����� ���� ��� ���1���������� ����� ���� �� ������� �>�p ����� �� �$�� � ?BF�6PG I � o o���F 4 8lA>:lF�ª ��%8I F Z G69:lF Z AH?�EHG �6� � � � �XF Z ? ENJ � �y% o

:lF1J � � % o�KU��YJMGPF M`CH?BF�� y =%U " S`U "$% :lF1J(EHJMG 4 :G6TE�EHJO: EFo�?BC�?�F�L�: AH?[: FcE�MMF�JMGPA:lF�ªKC�8ZA?ª}F18�<�?":�A ?�F L F Z G<JO:IL G

� )WLX+ � )��p+�� � � � ) � + � ) � � +(b )l" S`U { S +Z JMGTAHG � � � �� � � :lCW:�E�8zL GlU 354�� % FHM1A?A ) � )WLX+ � + F Z G F18 Z CDGPG(EHJO: E S �� � �W) � + � ) � � + F 4 AN8Z< Z J`?"6�J ?�E 4 8ZA?A"8 Z C^ENJ1: E ��) � + � ) � � +3� S`U

�YJMGKCMAT8p8 4 F�8 Z EMADGI:&zcC ?BFOEN8 E Z 8�69:lCHGTC � �w: CHG " ?BC Z JMGPADG � ) D + ?�C _ � b ENJMG6�JO:lAN:�6TEHGPAD?BCDEH?"6QCD8�A?ª}F18Z<>?[:�Av8 4 A ���>�w:lCHGi{ ?BC Z JMGTAHG � ) D +*`�� ENJMGW6�JO:lAN:�6TEHGPAH?�CDEH?"6C�8ZA?ª}F18Z<>?[:GAD8 4 A �KU� 8*698 F`CH?"J`GPA7�w:lCDG " U � ?�F16PG � ) D + ?BC�F18 E=ENJMG6�J1:lA;:�6iENGTAH?BC EN??6CD8ZA/ª}F18Z<>?[:�AH8 4 A ��F

Z G�CHGTG ENJO: E � ) � + <.MMC EfE%G ?BF�LlGPADEH?"E1A�GlU��YJM?BC 4 8ZA"A?8 Z C 4 AT8Z< �YJMG98 ADG9< " S`U~wVU���:lF1JENJ`GhJM?BCT69MMCDCH?"8lF�??<W<>G9JM?": ENGSA?ª 4 8�A"A"8 Z ?�F1�1FvCD?BF16TG�ENJMG�JM??<�GTFMCH??8 F 8 4 o�� ?BC�: E*<W8lCDE{VUB�#GPF16TG �W) � +���) � � +3� S ??<WC1A�?BGTC � � � S`U>�YJ`?BC�C;:Iª}C �

�YJMG-FYM�A"A�CNC1:�6PG*8 4 ��)_L�+ � ?�C698 FOEt: ?BFMGSJ(?�F8o r )l" S`U { " +�YJM?BC�CN:zª}C�ENJO: E

FHM1A?A ) � )WLX+ � +3� FYM�A"A ) � )_Lsrut¤+ � + rs M`E3F18 Z Z G�6I:lFQ:�C�C1A?ª y =�U " SVU " w�EN8<CDGPGYENJ1: EBCMAHGS6P?�CHG9A/ª�� `��� JM??< ) FHM1A"A ) � )WLX+��Z+

8 4 EHJMGK<�: ENAH??6PGTC A ` b rIrIr b A � g ` JO:IL GK6�JO:lAN:�6TEHGPAD?BCDEH?"6iC�8ZA/ªVF�<�?":�A � ) D + U s M`E�ENJ`?BC<>GI:lFMC EHJO: EWCMAHGS6P?BCDG9A/ª � `��� JM?"< ) FHM1A?A ) � )_LX+ � + 8 4 ENJ`Gy<W: ENAD?"6TGPC{A `(b rIrIr b A � JO:IL G6�JO:lAN:�6TEHGPAD?BCDEH?"6QCD8�A?ª}F18Z<>?[:�A � ) D + U}�YJ`?BC,6S8Z<QC1ABGiENGPC,�w:lCDG " U � 8 Z CNM�C1CD8lCHG�EHJO: E� ) D + ?�C^ENJMG*6�JO: A;:�6iENGPAD?BC EN?"6fC�8ZA/ªVF�8Z<�?":�A�8 4 A ��U 3 E#?�C69ABG9:lA^ENJ1: E�JM?"< ) o�� +�� � U�B]p¦ ¦ � ~ b�d � d¨§ d�� g �i� jlt���hWs`jlh

mlt��TS kfoV�_�¨) � )WLX+ � +T+�� mlt��TS kfoV�_��) � )_Lsrut¤+ � +� � r

�YJM?BC*:GA"8 F1� Z ?�ENJ EHJMG ?BF�J1M16TEH?"8 F J�ªYC�8lENJMGTCH?�C y =�U " SVU " w Z 8ZM1A?J 698Z<QC1A�GTENGIENJMGCMAT8p8 4 8 4 ENJMG1EHJMG98 ADG9< U

s M`E Z G<C EN??A"A JO:ILlGICT8Z<�G Z 8 A z�E;8QJ18MU�B]p¦ ¦ � ~ b�d � d ��d�I � o kfo}�_�¨) � )WLX+��Z+P�2r~;�z�|�T�Us GS6I:�MMCDG>EHJMG�6�JO:lAN:�6TEHGPAH?�CDEH?"6hC�8ZA?ª}F18Z<>?[:GAa8 4 EHJMG�<�: EHAH?C?BA �©8 4 ��GS=YM1:�ABC� ) D + F Z G�JO:ILlG � ) � + � S`U � 8 ? 4�� � % o��XF 4 AN8�< y =�U " SVU " � Z G�CDGPG EHJO: E� )_L�+S) � � +w% oIU � 8

Page 193: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � ���H� �����p� ����� �7�� ���p�7�� ��>�X� �y� �� ��� �7� "5% �

� )_L�+ � ) � � +�� � )WLX+ �hg ` ) � )WLX+9) � � +T+$% A;:lF�� G ) � )WL{r|tD+ �hg ` +�� A;: F1� G ) � )WL{rut¤+ � +�bZ JMGPADG<EHJMGPA[:lC E�?"JMGTFcEH?�E�ª 4 8�A"A"8 Z C 4 AT8Z<�ENJ`G 4 :G6TE�ENJO: EUJ`?"< ) o + G U7�YJHMMC Z G�69:lF6�J18Y8 CHG �% o CNM16�J ENJO: E � )WLX+��1) � � +3� � )_L�+��O) �D+ U>�YJMGTF

� )_LX+ � ) � � « �D+ � � )WLX+ � ) � � + « � )WLX+ � ) �D+� � )WL{r|t + � ) �D+ « � )WL{rut¤+ � ) �D+ )l" SVU {Z{ +� Spr

�YJM?BC C;:Iª}C�EHJO: E � �*« �y% FHM1A?A ) � )WLX+��Z+ UV�#GPF16TG � ��F Z JM??6�J GS=YM1:�ABC � K) � �X« �D+ F?BC�?BF o FHM1A?A ) � )WLX+���+ Fu?"<QC1A?ª}?�F1��o�� X o FHM1A"A ) � ) �T+��Z+ U��YJMGPADG 4 8 ADG I �o FHM1A"A ) � )WLX+��Z+&X}I UB�YJM?BCC`AN8zL GTCKENJ`GPA�G9<Q<�: " S`U~wVUxw}U� ?BF16TG*JM?"< ) o�� +�� � : F1JyJ`?"< ) o +=�}G « � F Z GIJ1:zLlG

J`?"< ) FHM1A"A ) � )WLX+ � + � JM??< ) o�� FYM�A"A ) � )_L�+ � +� JM??< ) o FHM1A?A ) � )_L�+ � + «¬J`?"< o� JM??< ) FHM1A"A ) � )WL{r|t¤+ � +N+� JM?"< )JI,+ « ) G « �Y+ )l" SVU { � +� JM??< ) FHM1A"A ) � )WL{r|t¤+ � +N+� � r )l" SVU {vm +

�YJM?BC�698Z<QC1A�GTENGTC�:QCMAT8p8 4 8 4 ENJMG*6SA[:l??<�?BF n G9<Q<�: " S`Uxw}U�m1F�: F1J(J`GPF16TG.:�CMAN8Y8 48 4 �YJMG98 ADG9< " SVUxwVU��� M1C1C�8 CHG I ?BCX:�AHG9:�AaLlG96iE;8 AuCTCO:�6TGh:lF1J L % '*)KI,+ U j F(8lANJMGTAHG9J C1:l?BA )��b��v+

8 4 AHGI:GA�FYM�<.E GTAHC�?BC69:�A"A�G9J}:lF git w}giklp`jlt_~ 8 4�L ? 4 � � m � :lF1JL � ��eL��� n

?BC1F18 E-?BF �DGS6TEN?/L G U.�YJMG�CMAHG L}?"8ZMMC1EHJMG98 ADG9< CDJ18 Z C<EHJO: E L 6I:lF JO:IL GQ8 F1A/ª YfF`?�ENGSA?ª<�: FHª GT?"� GTF1CO:l?�AHCSFaE%G969:�MMCDG�GI:G6�J9GP??� GPF�CO:l?BAf6S8 AHADG9CMCTCD8lF1JMCIEN8 EHJMGQ6�JO:lA;:G6TENGTAH?�CDEN??6CD8�A?ª}F18Z<>?[:�A�8 4 :�{ $ {h<W: EHAH?@?W8 F EHJMGfJM?[:G�Z8 FO:�A�8 4 A ?BF y =�U " S`U " ��F�:lF1J ENJ`GPAHG1?�CAN8Y8Z< 4 8lA8 F1A?ª!YfFM? ENG9A/ªi<W:lF�ª CNM�6�J<W: ENAD?"6PGTC:�A?8 F1� ENJO: E�JM?[:���8 FO:�A U] G*JMG�YfFMG-ENJMG � o}� h t p%� tx�it_h�� 8 4 :lF(GT?"� GTF1CO:l?�A )��b��v+ 8 4 L E;8�E%G

J`?"< ) FHM1A"A )_L � �� L��� n + JM??< ��� � +{ r

X AT8Z< �YJMGS8 AHGS< " S`U~wVU � Z G CHGTG EHJO: E6ENJ`Gy<.M�A�EN??C1AB??6P? E�ªk8 4�)��b��v+ G9=HMO:�A�C>EHJMGFHM1<.E%GPA8 4 EN??<�GTCrEHJO: E�D � � D � ?BCrENJMGf6�JO: A;:�6iENGPAD?BC EN?"6XCD8ZA/ª}F18Z<>?[:�A�8 4 :Q{ $ {<�: ENAH?C?i8lF EHJMG*JM?[:���8 FO:�AD8 4 A ?�F y =�U " S`U " mMU

Page 194: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

"$% m � ����� ���� ��� ���1���������� ����� ���� �� ������� �>�p ����� �� �$�� a,¥ ] ��� ]Y¦ ~ b�d ��d�� d�#_�FI tBn>j�~�gHjl� zlg��ih�� ~In p`j}��g6jlk%m�L % '*)KI.+t�^hWsfgik�hWsfgIniop��|�(hWsfg� oV� hyt p%� tx�it_hytxg�nk�|� jl�_�Kh_sfg9git w}gikfz jl� ofg�n��|��L!p%� ocn hWsfg nioY� �|�(h ��tx��g hWsfg� o}� h t p%� tx�it_hytxg�n.�|�Ijl�_� h_sfg git w}giklp`jlt_~Nn.�|�^L4gN�PoMjl� n<mlt��TS I �l�2r~;�z�|�T� �YJMGTAHG ?�C�:�EO:lCD?BCQ8 4OI Z ?�EHJ AHGTCNC%G96iE�E;8 Z JM?"6�J ENJMG}<W: ENAD?@? 8 4KL ?BCQ:lC?BFl�YJMGS8 AHGS< " S`Uxw}U �`UW�YJMG�<,M1A�EH?"C1A�?"6P? E�ª}8 4 :lF�GP??� GPF�LG:�A"M`G�g GS=YM1:�ABC-ENJMG>FHM1<.E%GPA8 4 EN??<�GTCuENJMG " $ " <W: ENAD?@? � g � :�C1C%GI:lADC�8lF�EHJMG�JM?[:���8 FO:�Av8 4 EHJM?BCf<W: ENAD?@? )c4 AN8�<" S`U~wVU�� + U}�YJMGi<,M1A�EH?"C1A�?"6P? E�ª(8 4 :lF GP??� GPF�CO:l?BA )��b��v+ GS=HMO:�ArEHJMG�FHM1<,E GTA.8 4 EH?"<>GPCD � � D � ?BC=ENJ`GU6�JO: A;:�6iENGPAD?BC EN?"6�C�8ZA?ª}F18�<�?":�A�8 4 :P{ $ {*<�: EH?BA ?h8 F6ENJMG�JM?":��Z8 FO:GA8 4 ENJM?�C�<�: EHAH?C? )�4 AN8Z< " S`Uxw}U � + U s G969:�MMCDGIENJ`GPJ`?[:��Z8lFO:�A¤8 4 ENJ`?BC<W: ENAD?@? J1:lC�ABGPF��lENJJM??< )KI�+ FcEHJMG#CNM1< 8 4 ENJMG�<.M1A EN??C1AB??6P?�EH?BGTCv8 4 :�A"AVENJMG#GP??� GPF�LG:�A"M`GPCB8 4vL C1A"MMC3ENJ`GKCTM1<8 4 E Z ?"6TG-EHJMG*<.M1A EN?"C�AB?"6T?�EH?BGPCB8 4 :�A?AvENJMG-GT?"� GTF1CO:l?�AHCw8 4 L <.M`CDE�G9=HMO:GAaJ`?"< )JIP+ U

j ?pABGTA � C,:GC1CMAN8Z:�6�J�EN8 EHJMGW6�J1:lA;:�6iENGTAH?BC EN??6WC�8ZA?ª}F18�<�?":�AV8 4 : ADGI:�AB<W: ENAD?@? ?BC1E;8JMG�YfFMGIEHJMG9< 4 8 A�<W: ENAD?"6PGTCU8 4 CH??uPGPC " :lF�J�{pFD:lF1J(EHJMGPFJMG YfF`G ENJMG�6�JO:lAN:�6TEHGPAH?�CDEH?"6C�8ZA?ª}F18Z<>?[:GA¤8 4 :>ADGI:�A <W: ENAD?@? A :lC 4 8ZA"A?8 Z CPU X ?BADCDEYfF1J ENJMGP<�: ENAH?C?�� � � g ` A �ENJ1: E ?BC�EHJMG ! 8 ATJO:lF 4 8 AN< 8 4 A U �YJ`GPF ENJMGK6�JO: A;:�6iENGPAD?BC EN?"6KC�8ZA/ªVF�8Z<�?":�A78 4 A4?BCENJ`GXCMAT8pJ1M�6TE8 4 ENJMG�6�J1:lA;:�6iENGTAH?BC EN??6XC�8ZA?ª}F18Z<>?[:GABC>8 4 EHJMG " $ " : F1JR{ $ {P<W: ENAD?"6TGPC:�A?8 F1�(EHJMGKJM?":��Z8 FO:GA 8 4 �@Uk�YJ`GPF JMGK� ?/L GPC.: 4 :l?BATA?ª ?BF�L�8ZA?LlG9J CMAN8Y8 4�) CO:�� GR{ S #Z+ENJ1: EKEHJMG��w:IªYABG ªc$��X:�<>?"A E;8 F�ENJ`G98 ADG9< J18ZA?JMC9F ?xU GlU/F%EHJMG,6�JO: A;:�6iENGPAD?BC EN?"6�CD8�A?ª}F18Z<>?[:�A8 4 :Q<�: ENAH?C? A�JO:lC�A :lCU:WuTGPAN8`U � 8�ENJ`G,<>?BFM??<�:�ADCD8�A?ª}F18Z<>?[:�A¤8 4 A�JM??L}?"J`GPC�ENJMG6�JO:lAN:�6TEHGPAD?BCDEH?"6fC�8ZA?ª}F18�<�?":�AD8 4 AIUa,¥ ] ��� ]Y¦ ~ b�d � d�� d ��oqpOpO�[n[g�I4tBn<j>~NgHjl�|�:G mlt���gik`nit � k%jl�%zlg��ih�� ~Kn p`j}��g1jlk%m-L %'*)KI,+P� Eegih g `(b rIr9r b g � Lig�h_sfg�mltBnih t_kv�ih-git w}gikfz jl� o�g�n��|�<Lf�U��t_h_s o `�b r9rIr b o� hWsfg�t� ~ ~Ng�n pO� k%mlt_k}w n p`j}��g�n}�|�6w}gikvgi~Djl� t/m gHm9git w}gikfzlg��ih�� ~NnP� � � o o � kfo}�_�/)WL « g o n + � �Eegih�)�� `�b�� `T+(b rIrIr b )�� � b�� � + Lig hWsfg6mltBnih t_kv�ih#git w}giklp`jlt_~�n��|�#L �3Eegih�I o �Rkfo}�_�/)WL � � o L��� o +��H�f�I� ~F" � q ���M�Q� sfgikS|j��PI� o ` ¢z¢z¢ o�� �I ` ¢z¢z¢ �I �9rS L����^j}��s o � jlk%m�gHj}��s I o jl~�g<t_kfz jl~ tyjlkfh3o}k%m}gi~^L��SD�����^j}��s)WL « g �"n + r|t � jlk%m�gHj}��sy)_L � �� o L �� o n + r ��� jl~Ng-kft_� pO� h gikfhx���� '� <� .10�4�2 [email protected]" U � M�C1CD8lCHGFA ?BC�:hE1A"8Y6 ziM1C�C GTA $ EHAH?":lF1�ZM1A":lA$<W: EHAH?@?

A �cde A ` fU U US A �

i�jk b

Page 195: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � ���������p� p��� � �7� "5% wZ JMGTAHG<GI:�6�J A o ?BC�:6CN=HMO:lADG�<W: EHAH?@? U � AN8zL G-ENJ1: E�ENJMG<CHGiEX8 4 GP??� GPF�LG:�A?MMGPC�8 4A G9=HMO:�A�CYENJMG*MMFM??8 FR8 4 ENJMG-CHGiENC�8 4 GP??� GPF�LG:�A"M`GPC�8 4 A `�b rIr9r b A �KU� 8ZA?M`EN??8 F � ] G1YfAHC E�CMAN8zL G-ENJ1: E#S>?�C�:lF�GP??� GPF�LG:�A"M`Gf8 4 A ? 4 :lF�J}8lF1A?ª ? 4 S6?�C:lF�GP??� GPF�LG:�A"M`Gh8 4 : E�A�GI:lC E*8 FMG�8 4 ENJMGsA 0 � CPU � 8(CTM1C1C�8 CHGsA ?BC G $ G :lF1JGI:G6�J A o ?BC G o $ G o U ] AD?�EHG*:6E�ªYCM??6I:�A G $M" <W: ENAD?@?�� ?�F ENJMG 4 8 AT<

� �cde D `UUUD��

i�jk b

Z JMGTAHG#GI:�6�JsD o ?�C G o $>" UV�YJMGXCMAT8pJ�M16TEA���6I: FWE%GU6S8Z<QC1M`ENGSJWM`CH?BF���E1A?8p6 z<.M1A EN??C1AB??6I: EH?"8 F U X ?BADCDE�CNM�C1CD8lCHGIEHJO: E�S>?�C�:lF(GT?"� GTF�L�:GA"MMGP8 4 AIU$�YJHMMC#ENJMGTAHGG�?V?�CDENCP:�F18 F1uTGPAT8 G $ " <�: EHAH?C?�� CNM16�J�ENJO: EFA�� � SVU ] AD?�ENG�� ?BF EHJMG4 8 AT< �l??L GTFK:�E�8zL Gf:lF�JiABGiE - E%GKEHJMG�A":lAN� GTCDEr?BF1J`G�? Z ?�ENJ�F18 F1uTGPAT83D 0 U@�YJHMMC

� �

cddddddddde

D `D �UUUD 0S UUUS

i jjjjjjjjjk

r

)�354 -�� � FVENJ`GPF�EHJMG�S � CrCHJ18 Z FR:�E�8zL G�: ErEHJMG#E;:l?"A�8 4 � J18 F18lE$:�C1C%GI:lATU +,354Z GPE`AHGI:vz>A�� ?�FcEN8hE1A"8Y6 zcC�8 4 ENJMG-C;:G<�GuCD?"uTG*:lC Z :lCJ�8 FMG 4 8 A�¬FVENJMGTF EHJMG- EHJ E1A"8Y6 z}8 4 A�� Z ??A"A G9=HMO:�A�A 0 D 0 Uf�YJM?�C 4 8ZA"A?8 Z C 4 AN8�< EHJMG.E1A?8p6 z}M1C1C%GPA|$ENAD?[:lF��ZM1A[: A 4 8 AT<�8 4 A�: F1J ENJMG-S � C&EHJO: E�:�C1C%GI: A^?BF� : 4 EHGPA&EHJMG - EHJ E1A"8Y6 z�Us M`EpA�� � S�F CN8 EHJMG - EHJ E1A"8Y6 z}8 4 A�� G9=HMO:GA SpF CT8TA 0 D 0 � S}U s G96I:GMMCHGD 0 �� S�FMEHJM?BCY??<WC�AB?BGTCrEHJO: E#S6?BC�:lF�GP??� GPF�LG:�A?MMGf8 4 A 0 F�: C�J`GPCH?�AHGSJ UX 8 A�ENJ`G}6S8 F�L GTAHCHGGFYCNM1C�CD8 CDG EHJO: E�S ?BC�:lF GP??� GPF�LG:�A?MMGK8 4 CN8Z<>GTA 0 U �YJM?�C<>GI:lFMC�ENJO: E�ENJMG 8ZC%GPAN: E;8lAi8 F�� �� �u`S)y",+ EHJO: E CDGPF1J`CTD 0 % � �� �u`9)y",+ E;8A 0 D 0 ?BC1F18lE<?�F �DG96iEN??LlG�Fa:lF1J�JMGPF�6PG>?BC1F18lE<CTMMA!�DGS6TEN?/L G U��YJMGTF�ENJ`GW8ZC%GPAN: E;8lAL 0 8 F�� � � � � ������ �� �u`S) "�+ ENJO: E�CHGPF�JMC

Page 196: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

"$% � � ����� ���� ��� ���1���������� ����� ���� �� ������� �>�p ����� �� �$�� cdddeD `D �UUUD 0

i jjjk

EN8cde A ` fU U US � 0

i�jk

cdddeD `D �UUUD 0

i jjjk

?�C1F18lE<CNMMA)�DG96iEN??LlG ) E GS6I:�MMCDG>EHJMGQA[:lC E�E�A"8Y6 z ?BF ENJ`GWCMAT8pJ�M16TE�:�E�8zL G Z ?"A"AVE GA 0 D 0 F Z JM?"6�J}6I:lF`F18lE�E GP:lF}:lATEM?�EHA;:lA ª G 0 $M" <W: EHAH?@? + Uj ��:l?BF¤F&ENJM?�C�<>GI:lF`C�ENJ1: E�EHJMG8ZC%GPAN: E;8lA L 0 6I: FMF18lE�E G(?BF �DGS6TEN?/L G U©�KGTF16PGEHJMGPADG ?BC�: F�8 F1uPGTAN8KL GS6TEN8 A ) D `�b r9rIr b D 0 + " % � ) G�` ©¢z¢z¢ �G 0 b5" +S) "�+ CNM�6�JEHJO: E c

de A ` fU U US A 0

i�jk

cde D `U U UD 0

i�jk � S�r

� 8 Z :�J �T8 ?�F1� ?�F1�h:lF}:�C1C`AN8ZCMAD?[: EHG1FHM1<.E%GPA�8 4 S � C�� ?/L GTC�M`Ccddddddde

A ` fU U U A 0 A 0 ` U U US A �

i�jjjjjjjk

cdddddddddde

D `UUUD 0UUUS UUUS

i jjjjjjjjjjk� S�r

3 F}8lENJ`GPA Z 8 ANJMCSF%S6?�C�:lF GP?"�lGPF�LG:�A"MMGf8 4 A�F�:lC�JMGPCD?BAHGSJ U� 8,: E{ENJM?�C C�8 ?BFOE Z GpzcF18 Z ENJO: E&SI?�C$: F�GP??� GPF�LG:�A?MMGU8 4 A ? 4 :lF�Ji8 F1A/ª6? 4 ? E{?BC:lF GT?"� GTF�L�:GA"MMGw8 4 : E@ABGI: CDE>8 F`G8 4 ENJMG�A 0 � CPU � 8 Z ABGiE7gQE%G�:lF�ª�ADGI:�AMFHM1<,E GTAPU] GPzcF18 Z EHJO: E�g ?�C�:lF GT?"� GTFHLG:�A?MMGP8 4 A? 4 :lF1J8lF1A?ª�? 4 S�?�C�:lF GT?"� GTFHLG:�A?MMG

Page 197: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � ���������p� p��� � �7� "5%a#8 4 A�«�gOn�U � 8�ADG9C1A":�6PGFA�E�ª A�« gOnK:lF�J AHGSC1A[:G6PG-GI:�6�J A 0 Z ?�EHJ A 0 « g�nE;8�6S8Z<WC�ABGTEHGuENJMG*CMAT8p8 4 U

{VU � M1C�CD8 CDG I ?BC$:�AHGI:GADL GS6TEN8 AYCNCO:G6PG*:lF1J L©%('*)JI�+ U � M�C1CD8lCHG � b��k% :lADGCNM�6�J(ENJ1: E � � m � U � AN8zL G-ENJ1: E

FHM1A"A )WL � ��eL �� n + 0JO:lC�G L GPFyJM?"<>GPF`CH?"8lF 4 8 AYGSLlGPATª}C�8 CH? EN?/L G1?BFOEHG9� GTA - U�¤�D��� b ` � _ � n GiE - E%G�:�CD8 CD?�EH??L Gr?BFOENGS� GPASF�:lF1J�A�GTE o � FHM1A"A )WL � �eL � n + 0 U] GPC`AN8zL G-ENJO: E�JM?"< ) o + ?BCYG L GTF Us GS6I:�MMCDG!o�?BC#?BF�LG:lAH?":lFOE�MMF1JMGTA L F Z G.69:lF(JMG�YfFMG � % 'f) o + E�ª � � L{r|t U�$ABG9:lANA/ª ) � � � � � n + 0 ?�C EHJMGBuPGTAN8X8�C GTA;: EN8 A 8 FsoIUV�YJHMMC � � � � � n#?BCa:FM??A"C�8lENGTFcEv8ZC%GPAN: E;8 Aa8 F o�F Z JM??6�J ?"<QC1AB?�GPC EHJO: E=FHM1A?A ) � � �� � �� n + JM??< � t � �o ) E�ªk�`U � + U � 8 Z C1:lADE ) E + 8 41" S`Uxw}U �}:�C1C1A�?BGSJ�EN8 �©:lF1J o�?BFMC ENGI:GJ 8 4&L:lF1J I FfCDJ18 Z C#EHJO: E�JM??< ) o + ?BC�:lF GSLlGPF ?�FOENG9�lGPA�:lC�JMGTCH?BADG9J U

�`U � M1C�CD8 CDG I ?BC$:�AHGI:GADL GS6TEN8 AYCNCO:G6PG*:lF1J L©%('*)JI�+ U � M�C1CD8lCHG � b��k% :lADGCNM�6�J ENJO: E � � m � :lF1J L � ��eL �� n ?�C�FM?"A?CD8lEHGPFOE U � AN8zLlGIENJ1: E�JM?"< )JIP+?BCYG L GTF(:lF1J

)_L � �� L �� n + JM??< ��� ��� � � S�r�¤�D��� b ` � _ � n GTE�� � )WL � ��eL �� n + U s G969:�MMCDG�� ?BCYFM??A"C�8lENGTFOEIFVEHJMGPADG-?BC�:CN<W:�A?ABGPC EC�8 CDEH??L G-?�FcEHG9� GTA-��CTM16�J(EHJO: E�� � � S`U>�YJHMMC

\ SV] � FHM1A?A ) � � +�� FHM1A?A ) � +��&¢z¢z¢�� FHM1A"A ) � � +3� I r�YJMGfCMADGSL}?"8�MMC^G�?VGTAN6P?�CHG1C Et: EHGPC^ENJ1: EYGI:G6�J FHM1A?A ) � 0 + J1:lC^GSLlGPFRJM??<�GTFMCH??8 F ) ?�FCO:lA EN??69M1A":lA I F Z JM?"6�J G9=HMO:GABCuFHM1A?A ) � � + FvJO:lC1GSLlGPFlJM?"<>GPF`CH?"8lF + UP�KGTF16PG EHJMGJM??<�GTFMCH??8 F,<.M`CDE=?�F16PADGI:lCDGwE�ª.: E@ABG9:lCDE>{K?BF.:�A"AOENJ`GwCMAN8�C GTA@?BF�69A"M`CH?"8lFMCV:GED8zL G U�YJHMMC,J`?"< )JIP+1� JM??< ) FYM�A"A ) � � +N+ ?�C�: E*ABGI: CDE,{ � F ?"<QC1A?ª}?BF�� � � J`?"< � � �

�U

s GS6I:�MMCDG�� � � S�F`ENJ`?BCY?"<QC1A�?BGPC{ENJO: E � JM??< ��� ��� � � S�F1:lC�JMGPCD?BAHGSJ U

Page 198: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

"$% � � ����� ���� ��� ���1���������� ����� ���� �� ������� �>�p ����� �� �$��

Page 199: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � ��� ���� �

��� ����� � � � ��������� ���

� �>' � � � !#"%$'&)(*" �+(," � -�$3; � 6 $.&)"�2 �+(," � - fn�/10�I :321J � E / L / 6 0 854�6TCO:�6 / 6a8 L / 4�798O:IL;:<21�=4 / 6NC / 6 0 :?L / 218>4N<*6@? ¢ ?

�:>2�JA? ¢ ? �,Bn�/10DC % '*)KI�b ��+EB ZD2 / 6S8Z<W<Q852yCF4N8ZE�A / <�:G6 0 8iMF21J / 4H6 0 :>21J 0 8 /JI 6K:"u /1L 8 4%0 8 /

A<:G2 / :>4�<W:�C C :<2 0 8 / 6 / 2M6 / 8 4 : 0 6 / � / 6 0 6U852 0 8 / <W:��52F: 0 M1J / 8 4)0 8 / :<2�C1M 0 6 B�X 8>4/ :�6N8,218521u / 4T8 �W% I F 0 8 / =HM18 0 : / 2 0 ? C,)c��+ ? �PO ? � ?

�< / :36NMF4 / 6 0 8 / <W:��52F:@YO6I: 0 :"852

6I:�MM6 / J�E�ª 0 8 /Q0 4;:32F6 4 854T<�: 0 :"8>2 C 852 0 8O: 0 6NC / 6R:@YO6$L / 6 0 854 �SB j 2hM1C1C / 4@E�8ZMF2�J.8520 8F:G6$=HM18 0 : / 2 0 LG:�A<:?J 4 8>4w:�A?A �PT 8ZM1A?J 0 8HMF6 < / :>6NMM4 /U0 8 / 8zL / 4;:�A?A / � / 6 0 8 4VC 852 0 8 /6H:?u / 8 4 L / 6 0 854K6#:<2 I,BX3W0 :<6 TX/ A"A�zY218 T 2 0 8O: 0 :G2 / L / 4 ª YZ2M: 0[/ JF:"< / 2M6H:"8>2O:�A\6NCO:G6 /I F 0 8 / =HM18 0 : / 2 0 ? C,)��p+ ? �PO ? � ?

�8O:>6 :P<W:h?]:"<,M1< LG:�A?M /^T 8F:"6N8,:<67:�6N8F: / L / J T : 0 8

6N8Z< / 6TC / 6R:@YO6WL / 6 0 854 � � B� 8 0[/*0 8O: 0 : 4w� :<6_4 / C1A":�6 / J E�ª & �(4 854.6N8Z< / 2�8521u / 4N8&f% 7�F 0 8 / =HM18 0 : / 2 0 :G6=2�8 0 6N81:>21� / J B � / 216 / : 4Q`badc D % I � ? D%? � a ">e F 0 8 / 2TX/ <W:zª�J / YF2 / :f218>4N< 4 854 C ) 69:�A"A / J}:hgjiKk>lMmon � i � k>gjp � lql � i �P+ E�ª

? C ?�� �da <W:h? c ? C.)c�p+ ? �fO ? � ?

� �srt �a���% I*eDa <W:h? c ? C,)��p+ ? � � ��% `,e r)l"&"5BR"z+

3 2 0 8F:<6fJ / YZ2F: 0 :"8>2 TX/ 698�M1A"JJ4 / C1A[:G6 /uI <W:h? LvT : 0 8 I 6NM1CF4 / <.M�< L :<2 8>4NJ / 4 0 8�ZMO:>4N:>2 0[/1/.0 81: 0 ? C ?

�� � :<6U:�A T :Iª;6UJ / YZ2 / J / L / 2 T 8 / 2 I :321J � :>4 / 2�8 0 YZ2F: 0H/

JF:"< / 2M6H:"8>2O:�A B �U8 Tw/ L / 49F]:<2 0 8F:G6 0[/ ? 0QTX/ �TMF6 0 J / :�A T : 0 8 0 8 /=0 8F4 /1/ 6TC / 6R:@YO6U2�854N<*6TX/ 81:zL / :�A<4 / :�J�ªyJ / YZ2 / J�852 0 8 / YZ2F: 0[/ JM:"< / 2F6K:"852O:GAaL / 6 0 854#6NC1:�6 / 6 B �^8 / 21854N<8 4 :AG:<2 / :>4*<�:GC 4 4N8�< Ix0 8 � J / YZ2 / J�:<2 0 8F:G6 T :zª�:<6�:yL / 6 0 854y218>4N< 852 0 8 /L / 6 0 8>4U6TCO:�6 /*'*)KI�b ��+EB�){z]/1/Oy ? / 4N6R:G6 /s"5B|+ ]�/ 6I:>2}:�6 0 MO:�A?A?ª|6;:IªR:hEF: 0 <Q854 />B},¥ ]Y~�� ]Y¦ ~�~Z��~Z��~S� E\� g�o ��I k>l�� � L��P�>�N� g � i_m��Mk �N� m ���>� i�7 � l�� ���X� � � p�go�

"$% %

Page 200: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

{>t5t � ����� ���� � ��� ��� �� � � �1���3��������� ��>�N� g � iAl � i � mJ? ¢ ? t � ? ¢ ?

�� ? ¢ ? �W� i � m�� �N� g p �>� ���� E\� g � bKC������ o b I�� k>l��

�������JI�b ��� k>l��Pm� � � � m � g�� � �A� k � �v�Mk �>� l � i � m'� � � l � � L9� �w��� � ��� �l� � � l ,S k � ? C ? t �� � t � k>l��A? C ? t�� � a t p n'k>l�� � l �� p n C!� �"�%a rt.n � i.k # ��� I$�S L�� ? �5C ? t ��a r �:r ? C ? t��

�n � i.k # m � k k>i[m �%�SK��� ? � �C ? t �

�� ? �D? t��

� ? C ? t �

��S � � ? C�� �"� ?

�� ? C ? t �

�¢ ? � ? t n � i'k # �&� o �SK��� ?('�? t � t a "��B� � � i � ' ����� o � p<m_� � � l � � L9� ' � �"�%a � n � i.k # �&� o �S n � ? ��) C ? t � � � ? � ?

�� ��¢ ? C ? t �

��S+*��-, npo a Ih� g�� � l ? C � ? t�� t �.� ? C ? t � t%� � �

/ i �z� n � �10 4 0 6 �20��(34�+56��0 2 57� /���8+9�:;:<9 T :;=>= /?5 : 030H/?: ª 8 4 9 = 0 8 /@5F/ YZ2F: 0 : 9 2 9�8w0 8 /2 9 4A= 9�8B0C: :<2 /?0 4�= 0�DVB �10 4 0E�GF6�H8+9�:;:<9 T 6 /I0 6H: : ª 6K:<2KJ / r �:r J 0 2 Fs/L8G0 J 0M9 4 /?5 9�NM09�8�0 8 /�0�DKD 4 9�D 4K: 030H/ = 0 ?]:<= N = �G9 4 6 NKD 4 / = N = ��B�XO9 4 DO0 4 0�� J �3P8 4 9 = 0 8 /U0 4H: 0 21� :G/:<2 /?QRNO0�: : 0 ª 8+9 44S / J 0M9 4U2 9 4T=*6 3MTw/ 8 0 S /? � � CH�?� �U� ?

�a ? � � �"� C�� �"� ?

�� ? � � �"� ?

� ? C�� �U� ?

��V� ? �D? t��

� ? C ? t �

�� ? � ? t�b

8 4 9 = DO0 4 0$�+56��B �^8F:<6'6 0 ª;6 0 8 /@QRNK9>0 : / 2 0-N 6 /W5�0M9C5F/ YZ2 /,0 8 / 2 9 4T= 9�8 � C :<6F%9�N 2 5F/W5�0�F%9 S /XF ª � ? � ? t �� ? C ? t �

��(3 6 9,0 8 /X:</I0 6 0YNKDKD�/ 4 F"9�N 2 5 :G6 :</ 6K6 0 8 0 29 4 /WQZNK0�:)0M9h0 8M:<6 B��10 4 0>�+8M��8+9�:<:;9 T 6 :<2 0 6H:<=*: :<0 4Y= 0 2M2 / 4 3[0 2 5 0 8 / 2 � � ��8+9�:;:<9 T 6F ªh4 /WDs/?030[/W5�0�DPDK: :;J 030 : 9 2F6 9�8\DO0 4 0-�#8]�EB

n�/10 A F�/�0 2 � $qG = 0�0 4H:C? 9 S / 4=7 ��T : 0 8 7 0 6 NKF Y /?:<5C9�8����EB_^ 6 N 6 NO0�:`3;TX/= 0 ªXJ 9 2F6H: 5F/ 4 0 8 /4: :<2 /?0 4�= 0�D.CUa � 7 �Xb 7 � � Ddcb A�D B�]�/ J 9 2M6H: 5M/ 4 0 8 / 2 9 4A=9 2 ��� 7 � b 7 � � :G2 5KN J /?5@F ª /I0 JN8 9�8�0 8 / 6 0M0 2 5O0 4 5 2 9 4T=*6D? ¢ ? `(b ? ¢ ? � b ? ¢ ?e 3R0 2 5N 6 / : 0Q0M9!5M/ YZ2 /�0 J 9 4K4 / 6 D%9 2 5 :G21�y2 9 4A= 9 2 0 8 / S / J 0T9 4 6 DK0 J /�9�8 � $ G = 030 4H:;J / 6 BfW0 6 /1/ =*6.2 030MN 4 0�: 0T9C:G/10#0 8 /y0 4 0 2F6 8+9 4T= 030 : 9 2 2 9 4A= 9�8QCUag0h: 6 9dF�/@0�I 2 9 4A= Ld9�8A BQzZDs/ JR:RYKJ 0�:;: ª 3]TX/ 8 0 S /?(A,? ` a = 0 ?�iYj alk j �j k j � � D �a rt"m?(A,? � a = 0 ? i j alk j �j k j � � D �a rt m?(A*?e a = 0 ? i j aZk jGnj k j n � D �a rt m�o

},¥[p ~S� p ¦ q6q � q �;rV� E\� g�A L�� � $BGts��>� i#g�� � � � �_7 �>u � � l ,S k � ?(A,? `Dawv kIx c � �� � ` r A��zy r � " ��{ �+G e S|v kIx5p v � v k L m s} �]g �h�]s} � v l

m� v����S L�� ?(A,?e a�v kIx c ��~y � ` r A��zy r � " � � � � e S|v kIx5p v � v k L m s} �;g � i s��m� v����SK��� ?(A,? � a�v kIx5p v � v m�p�l * � k>i � k � �Ls n�A �

Page 201: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� ��� ��� ����� Y� �B� �� ����$��� � ��� �� � � �!� ���� � �3t "/ i s�s n ���\9 D 4 9 S /$�G0��3P9�F 6 / 4AS /

?(A�D%? ` a ��� � `

����� ~� y � ` A��zy DZy����� �

��� � `

~� y � ` r A��zy r�r DZy ra ~� y � `

� ��� � ` r A �zy r � r DZy r � ~� y � `

� = 0 ?�y ��r A�� y r � r DZy r

a� = 0 ?�y ��

� � ` r A�� y r � ? D%? ` a�� ? D%? ` ozl9 ?(A,? ` � � a = 0 ?�y � �

� � ` r A��zy r B���9 J 9 = DK:</�0[/ 0 8 / D 4 9Z9�8@9�8&�20�� Tw/2 /R/W590M9 J 9 2F6 0 4 N J 0 0 S / J 0M9 4 D � 7 ~ 6 N JN8 0 8 030 ?(A�D%? `Aa � ? D%? `EB �_NM0 D a� t b t b oIoIo b� b oIoIo b t � " T 8 / 4 / 0 8 / 6K:<2� :G/ 2 9 2�� / 4 9 / 2 0 4� � :<6P:<2 J 9�:<N =*2 {��340 2 50 8 / = 0 ?]:;= N = S 0�:<NF/-9�8 � �

� � ` r A �zy rK9 J?J N 4H6 T 8 / 2 {ha {� B�� 8 / 2 ? D%? `@a���3 0 2 5?(A�D%? `%a � �

� � ` r A �zy�� r5a �Ja � ? D%? `40 6 5F/ 6H:G4 /?5 B] / 2 9 T J 9 2F6H: 5F/ 4 DO0 4 0-�GFO��B � / YF2 / � F �ua = 0 ? c ~� y � ` r A�� y r � ��� � � � e oXO9 4 0 2 0 4 F : 0 4 0 4� �� a � � `�b oIoIo b � ~ � " � 7 ~ 6 NKDKD%9 6 /D0 8 030X0 8 / = 0 ?]:<= N = 5M/ YZ2F:G2�

� 0�F%9 S / :G6 030H0M0 :<2 /?5hT 8 / 2 ��a ��� B�� 8 / 2 Tw/ 8 0 S /? C"a � � � ?e a ?(A���?e a = 0 ? � r � A�� � � r3a = 0 ? � ����� ~� y � ` A�� y��Wy

������ = 0 ? � ~� y � ` �(r A��zy r�r �?y rz��� = 0 ? �

~� y � ` � r A�� y r = 0 ?�� r ��� rz�� � ?���?e b

6 9 ? CUa1� � � ?e O ?���?e � � 8+9 4 0�:;: 2 9 2�� / 4 9 � B�� 8F:<6=6 0 ;6 0 8 030=0 8F:G6@2 9 4T= 9h8 C"a :G6030 = 9 6 0��wB��\9 6K8 9 Td0 8 030 : 0D/WQZNK0�: 6 � TX/ = N 6 0 YZ2 5 0 S / J 0T9 4�� 6 N JN8 0 8 030D0 8 /N 6 NK0�:[QZNP9>0 : / 2 0 /WQRNO0�: 6 �QB XO9 4 /I0 JN8 {Pa�� b oIoIo b G13 JN8 9 6 / �Wy T : 0 8 0�F 6 9�:;NM0[/ S 0�:<NM/� 6 9h0 8 0�0 A����+y �Wy a r A ���+y r B"!B:G/I0 4 : �?���?e a#��3 6 9 0 8 0�0 ? CUa1� � � ?e � � 3sT 8F:<JN8TX/ zY2 /1T TB9�NP:<5 8 0 S /�0M9 F�/�0 8 / J 0 6 /�0 2$ TB0 B Z#2 0 8 /X930 8 / 4^8 0 2 5

Page 202: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�>t � ��� �������� � ���� ����� � ������� � ������� �r ��CUa1� � �A� ��� r3a ����� ~� y � ` A�� �#y �Wy

����� a����� ~� y � ` r A ���#y r

����� a � o� 8F:G6^6H8 9 T 6 0 8 030 ? C"a � � � ?e a � 8+9 4 0 8F:<6 DO0 4 0 :;J NK:<0 4�� 3O0 2 5 8 / 2KJ /#0 8F:<6^2 9 4T= 9�8C"a :<6 �wB

�10 4 0�� J � :G6 0 F : 0 = 9 4 / :<2�S 9�: S /W5VB X :G4H6 0 2 9>0[/h0 8 030 ?���? 0 6 N 6 /W5 :G2 /I0 4 : : / 4JN8 0�D]0[/ 4K6#:<6 � N 6 0 ?��\? � B�zlNKDKD%9 6 /y0 8 030 �9:<6 N 2F: 0M0 4� 0 2 5 � $ � 3 0 2 5q0 8 030 Ad:<6� $!G�B�� 8 / 2 ? � ��A �?� � � ? � a ? � � A � � �T� ? � a ? � A � � � ? � 8+9 4 0�:;: � � 7 ~ B1fW0B8+9�:;:<9 T 6:<=@= /?5 : 030[/W: 0 8 030 ? ��A*? � a ?(A,? � B���9 TV:</�0 A F�/!0 2 0 4 F : 0 4 0 4� � $ G = 030 4H:@?T : 0 8 6H:G2� NK:<0 4@S 0�:;NF/�5F/ J 9 = D%9 6H: 0 : 9 2�A a o�� I � BbzZ9 ?(A,? � a ?5o�� I � ? � a?�� I � ? � BDz :G2KJ / ?��Z? � :G6 0 = 030 4H:C? 2 9 4A= J 9 =*:<2� 8 4 9 = 0P0 4 0 2F6 8+9 4A= 0�0 : 9 2A2 9 4T= 3F DO0 4 0 �+8M�d9h8 � 8 /W9 4 / = � �5B �5B � ?�� I � ? � � ?��.? � ? I � ? � a ?��.? � B f|8 � a5 : 0 ��� `(b�� � b oIo?o b�� � b t b oIo?o b t �3 T : 0 8 � ` � � � � ����� � � � � t 3)0 8 / 2 ?�� D%? � a? ��� ` D `�b oIoIo b�� � D � b t b oIo?o b t � " ? � a�� � � �! � #" ����� � �� ! �� �$� �E? ! ? � B%zl9 ?��.? � �%� BzlNKDPD"9 6 / ! a � �'& t & oIoIo & t � " B � 8 / 2(� ! a ��� ! & t & oIoIo & t � " Bdzl9 ? ! ? � a ��3?�� ! ? � a ) � ! ))a*� a*� ? ! ? � B � 8F:<6f6 0 ;6J?��.? � a*� B�zl9 TX/,+ 2 9 T 0 8 030?��.- � ?0/ �$� B21�/10 ! F�/#0 8 /�3 4K6 0 J 9�:<N =*2 9�8 - 3 6 9 - � ! a.���4& t & oIo?o & t � " B�� 8 / 2?��.- � ! ?0/ a5� 3 6H8 9 T :<2 0 8 030 ?��.- � ?0/ a ?��.?0/ a5� 3 6 9q0 8 03063 2 0�:<: TX/ 6 /R/?07,?0/ a8� B9:96'0; < (>=�?A@ (>B CR$6= - CD@ $6@ EF=R!�B !�@v&)$_"�? G|(*"H $I@J $.&)"2C0KML1�/10�N ~ 5F/ 2 9>0[/'0 8 /PORQSO = 030 4H:UT T : 0 8 0�:<:�/ 2 0 4H: / 6 /?QRNO0�:\0M9 t / TlJ /WDM0�8+9 4 0 8 9 6 /0�:;9 2� 0 8 / 6 NKD�/ 4 5 : 0 9 2 0�:WVAN 6 0�0�F%9 S /�0 8 / = 0 :<2 5 : 0 9 2 0�:YX

N ~ aZ[[[[[\t � t ����� tt t � ����� tt t t ����� tBBB BBB B B B t �t ����� ����� t t

]_^^^^^` o � � �5B � �zl9��aN ~ �cb y aed �'& : 8"{fa%f " �'g

t & 9>0 8 / 4 T :<6 / o� 8 /�8+9�:<:;9 T :G2� :G/ =@= 0 :G6 /I0 6K: : / 6 0]0�FP: :<6K8 /?5

Page 203: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�������P� �Y���� �! � ���\� � � ��� �� � � � �K������l �� ��� ����� ����� �3t��� p������ q6q �;rV� q �� s i ������� O! �#" ��N!$~ � b y a d �'& p n {ya8f " �Sgt & s g�� � i � p<m � o % m s&"N �~ a '�k>l�� N ~~ a t �� 8 / 2 :</�0(' ~ �*)"� Fs/'0 8 /./?:</ = / 2 0]0 4� O Q O,+�9 4 5O0 2 FK:;9 J +hT : 0 8 / : / 2RS 0�:;NF/-)5:;S / 2 F ' ~ �.)%�Qa/) ' " N ~ o zl9

' ~ �.)%�%aZ[[[[[\) � t ����� tt ) � ����� tt t ) ����� tBBB BBB B B B ) �t ����� ����� t )

]_^^^^^` a�) ' " N ~ &T 8 / 4 /6N ~ :<6^2F: :<D%9>0[/ 2 0 T : 0 8C=*:<2M:<= 0�:6D"9�: ;2 9 =*: 0�: ! ~ B}-0[p ~�� p�� q6q �;r��;rV� , lAgo�;p<m u � �]s i �v21 k>l��L�]lZg p l s g p 3 � � s go� � i � p<m �54,� i�p�g �6' p�l� k �N�!s n ' ~ �.)%�?� � s i � k � �y� s m�p�g p �>� p�lZg �`*;� i �7"

' $ aZ[[[\)8$ 9 $ ;: )8$=< ����� 9 $$< .: )>$< ~&? )8$ ����� 9 $$< / : )>$< ~&? /� � � ) $

]_^^^` &go�Mk>gQp<m "

�5' $ � b y aA@ �{( Rf5B ) $=< y ? bDC �E�$f &|{F�$O o/ i s�s n �YfW0 :<6 /?0 6� 0M9 6 /1/ 0 8 030V0 8 /_5F/ 6H:<4 /?5 4 / 6 NK: 0 8 9�:;5 6 8+9 4 � a��_F 0 8 /_5M/�3 2F: 0 : 9 29�8=' 3 6 9 6 NPDKD"9 6 /�0 8 030 : 0 8 9�:;5 6 8+9 4 0 5:;S / 2 � � �5B�� 8 / 2

�5' $ ? � b y a �G' � ' $ �cb y a ~H �JI ''b � �G' $ � � y aK)\�5' $ � b y " � � �G' $ �cb ? 5L ya�)6@ �{( f B ) $=< y ? b " @ �{M fN � B ) $< y ? b ?

aO@ �{M f�B ) $ ? < y ? b " @ �{- fD �PB ) $ ? < y ? b aA@ � " �{( fDB ) $ ? < y ? b o

Page 204: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�>t�� ��� �������� ������ ����� ��������� � ������� ���9 T 6 NKDKD%9 6 /�0 8 030��1� ! � a�� �$ I ��� $ ! $H3 6 9f0 8 030�� �5'[� a � � ' " � ' " ����� "

� � ' � B�@/ J 0h:<: �+9 4 D 4 9 S /-F h:G2 5KN J 0 : 9 2 9 2� �X0 8 030�8+9 4� � t 3� ����� � ! � a �H$ I � � $ @ � B �� ! $< � & 6 9 �H$ I � � $ @ � B ) $< � a � ����� �*)"�

�� o � � �5B � �zl9 8+9 4� � t 3

��� �G' �T� b L b ? � a �H$ I � � $ @ � B ) $< �%a ��� �������A�*)"� o� 8F:<6@6 0 ;6 0 8 0�0

� �5'[�%aZ[[[[[\

� �.)%� �� � � � �.)%� / � � � / � �*)"� ����� � ~ < � � � � ~ < � �*)"�t � �.)%� �� � � � �*)"� ����� � ~ < / � � � � ~ < / � �*)"�t t � �*)"� ����� � ~ <�� � � � � ~ <�� � �*)"�BBB BBB B B B BBB

t t ����� ����� � �*)"�

]_^^^^^` o � � �5B � ���9 T 6 NKDKD%9 6 /�0 8 030�' :<6 0 5 :<4 / J 0 6 N = 9�8�/?:G/ = / 2 0]0 4� +�9 4 5O0 2 FK:<9 J + 6 X

'qa ' �� ' / � ����� � ' � o� 8 / 2 8+9 4 0 8 /XD%9�: ]2 9 =,: 0�:�� � ! �wTw/ 8 0 S /� �5'[� a��1�G' � � �1�G' / � � ����� � � �G' � � o

�U/ 4 /�� �G' � & o?oIo & �1�G' � ��0 4 /�D%9�: ;2 9 =,: 0�: 6 :G2 6 /?DK0 4 030H/ +�9 4 5O0 2 FK:<9 J + 6 3ZT 8 9 6 / S 0�:"!NF/ 6 0 4 / 5: S / 2 F $# QSB � �5B � B�� 8F:<6 4 / 6 NK:G0 = 0 F�/�0�DKDK: : /W5 :<2 0 8 / J 9 = DKNM0M030 : 9 2 9�8� � 7 � / S / 2 T 8 / 2M7 :<6@2 930�9 4H: >:<2 0�:;: P:G2 +�9 4 5O0 2 8+9 4T= B% :<4K6 0 5F/�0[/ 4T=*:<2 /X0fC 8+9 4T 8F:;JN8 'qa C�< 7 C 8 0 6 +�9 4 5O0 2 8+9 4A= B � 8 / 2&J 9 = DKNM0[/&� �5'[�40 6 0�F%9 S /X0 2 5CN 6 /

� � 7 �%a�� ��CM'sC < � a C'� �G' � C < o9:96')( *,+@$I=1$y".-0/S@1+^& CR(>@ -x(32 $ J $'&%"C K L%O9 4HJ / 4 0]0 :G2 8+N 2KJ 0 : 9 2F6 � X 7 b 7 � 6 0�0 :<6 8 ;:<2�v4 /?QRN :G4 / = / 2 0 6#6 0 : DKNK:<030[/W5�Fs/W:<9 T��Tw/ J 0 2 5F/�3 2 /40 = 030 4H:UT 8+N 2KJ 0 : 9 2 �MX 7�cb � � 7 � 6 9 0 8 030 : 84� :<6 0�D%9�: ]2 9 =,: 0�:`310 8 /

Page 205: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�������Z� � � �6� ��� ����� � ������� .� � ����� ���6� �3t��S 0�:<NF/ � � 7 ��0 54 /1/ 6 T : 0 8 0 8 / S 0�:;NF/ 5: S / 2 VAN 6 0X0�F%9 S />Bfz;0]0 4 0#T : 0 8 0 2 0 4 F : 0 4 0 4� 6 QRNO0 4 / = 030 4H:UT 7 9 S / 4�7 0 2 5 :</�0M) & oIoIo & ) � Fs/.0 8 /L5 :G6 0 :<2KJ 0#/ : / 2�S 0�:<NM/ 6 9�8 7 B�=/W5KN J / 7 0M9 +�9 4 5O0 2 8+9 4A=

C < 7 C a ' � ' / � ����� � '�� &T 8 / 4 / ' & oIoIo & '��10 4 /#/W:</ = / 2 0M0 4� +�9 4 5O0 2 FK:;9 J + 6 B !B9 2F6H: 5F/ 4 0 8 /(+�9 4 5O0 2 FK:;9 J +

''bsa ' ~�� �*) b#�QaZ[[[\) b � t ����� t) b � ����� tBBB BBB) b

] ^^^` & ��� �5B � �T 8F:<JN8�8 0 6 � ! �) b+� ~�� 0 6_: 0 6�=*:<2M:<= 0�:_0 2 5 JN8 0 4 0 J 0[/ 4H:<6 0 :;J D%9�: ;2 9 =*: 0h: 6 Bdf|8@0 8 /8+N 2KJ 0 : 9 2 � X 7 b 7�:<6 5F/�3 2 /?5 :<2 0 2 / : 58 F"9 4H8 9Z9l5 9�8^0 8 /ED"9 :G2 0�) b 0 2 5 8 0 65F/ 4K:;S 030 :;S / 6 � � � �.) b+�0& oIoIo & � � ~�� < � �.) b+�(3F0 8 / 2 5F/ 3 2 /�� �G'4b+�BF

� �G''b � aZ[[[[[\

�1�.)%� �� � � � �.)%� / � � � / � �*)"� ����� � ~ < � � � � ~ < � �*)"�t � �.)%� �� � � � �*)"� ����� � ~ < / � � � � ~ < / � �*)"�t t � �.)%� ����� � ~ <�� � � � � ~ <�� � �*)"�BBB BBB B B B BBB

t t ����� ����� � �.)%�

]_^^^^^` o ��� �5B��� 8F:<6@6 0 ;6 0 8 030

���1�G''b �T��� L � ? y a �{ � � � y � �.)%� & 8+9 4@t �g{ �$O! � o ��� �5B����f|8 � :G6 5F/�3 2 /?5 :<2 0 2 / : 58 F"9 4K8 9Z9l5 9�8 /I0 JN8 9h8 0 8 /U/ : / 2RS 0�:;NF/ 6 ) & oIoIo & ) � 0 2 58 0 6 ��3 2F: 0H/��15F/ 4H:;S 030 :;S / 6 9�8�0 8 /�D 4 9�D�/ 4 9 4 5F/ 4K6%:<2 0 8 / 6 / 2 / : 58 F%9 4H8 9Z9Z5 6 350 8 / 2 0�: 6 9

� �5'[� a��1�G' � � �1�G' / � � ����� � � �G'��G� & ��� �5B���0 2 5

� � 7 �%a C'� �G' � C < a C'� �G' � C < � ����� � C'� �5'��G��C < o ��� �5B���� 8 / = 030 4K: T � � 7 � :G6XJ 0�:<:G/?5 0 8 / � k � ��9�8w0 8 / 8+N 2KJ 0 : 9 2 �g030'0 8 / = 0�0 4H:UTS7 B� /yT : :<: 6H8 9 T.Fs/W:<9 T 0 8 030 � � 7 �H5K9]/ 6#2 9>0�5M/?D�/ 2 5 9 2 0 8 / = /�0 8 9Z5 9�8 4 /W5KN JR:G2�7 0M9 +�9 4 5O0 2 8+9 4T= � : B /3B;3 : 0!5P9]/ 6y2 9>0�5F/?D�/ 2 5g9 2 0 8 /$DK0 4 0 :<J NP: 0 4XJN8 9 :;J /$9�8^CH�(3

Page 206: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�>t ��� �������� ������ ����� ��������� � ������� �0 2 5 0 8 N 6 � 4 /I0�:;: 5F/�3 2 / 6 0E8+N 2KJ 0 : 9 2 9 2 0 8 /:O Q O = 030 4H:<J / 6�7 B � 8F:<6�= 030 4H: T8+N 2KJ 0 : 9 2�:G6EJ 0h:<:</W5 0 8 /��]s iEi � m�� s l�� � lZg 9�8#0 8 / lO� v|� iEp � k 18+N 2KJ 0 : 9 2 � BF��930d0�:;:= 030 4K: T 8+N 2PJ 0 : 9 2F6w8 0 S / J 9 4H4 / 6 D%9 2 5 :G2�_2 N = / 4K:<J 0�:%8+N 2KJ 0 : 9 2F6 B�� 8 9 6 / 0 8 0�045K9L0 4 /J 0h:<:</W5 m � k k>i)n(�]l � g p s lMm B

�U/ 4 /X0 4 / 6 9 = /�9h8�0 8 / 6H:<= DK:G/ 6 0 D 4 9�D�/ 4 0 : / 6 9�8 6TJ 0h: 0 4 8+N 2PJ 0 : 9 2F6 B}-0[p ~S� p�� q6q ���V� q � , g�p<m � <� k>iwgo�Mk>g�g�� � � � 3 lZp�gjp s l s nQm � k k>i�n(�]l � g p s l � k�m � � s m � l��i �N� p<m � �� m s go�Mk>g��Mk>iEg 1 k 4���� <s����Bs � � ��� g i(� �?�1 k 4 , n � �.)%� p<m k=� s} �� l s}v p k p�l ) " go� � lhg�� �=� k � � �1� 7 ��s n@go� � m � k k>i�n(�;l � gjp s p�l

�9�]s p�l � p � � m � p�go�hgo� �'� k � �Ls n#g�� � � s} �� l s}v p k �1�.)%�y��� k �Mk>g � �hk>g )va 7 �1�� 4��\� g�7 ��� kPm?�Mk>i ��v k>g i�p x s��>� i@7 k>l��Pm� � � s m � g��Mk>g � �.)%� k>l�� � / �*)"� k>i �g �Bs lO� v|� iEp � k n(�]l � g p s lMm n s i � �;p � �,go� �'� x1��i � mNm�p s lMm � � 7 � k>l�� � / � 7 � k>i �v|� k>lZp�l * n(� �B, n � �.)%�%a � �.)%� " � / �*)"� " go� � l �1� 7 � p<m.k m s v|� k>lZp�l * n(� k>l��� � 7 �%a � � 7 � " � / � 7 �W�1K�54�� p�go� 7 " � k>l�� � /,k�m'p�l g�� � ��i �N�N� �>p�l * �Mk>iEg " p n �1�� %�wa � �� %� � / �� %�J" go� � l� � 7 � p<m v|� k>lZp�l * n(� k>l�� � � 7 �%a � � 7 � � / � 7 �?�1 � 4��\� g�7 ��� k v k>g iEp x � p�go� � p *;� l � k � � m & oIo?o &� ~ "^� k � �Ak�� � � k>i�p�l * k�m s nEg � lk�m|p�gom k *;�� iKk>p �$v � gjp � p � p�g � k�mhk>l � p *;� l � k � ��s nP7 � , n � X 7 b 7 p<mk lO� v|� iEp � k n(�;l � gjp s l�k>l�� � � 7 � p<m,� � 3 l � � " g�� � l go� �|� p *;� l � k � � m s nfgo� �v k>g iEp x � � 7 � k>i � � �� � & oIo?o & � �� ~ �W�

/ i s�s n ��� 8 / D 4 9l9h8 6 9�8�DO0 4 0 6 �GF6�@0 2 5V� J �E0 4 /�0 2 0h:<9 9�N 6,6 9 TX/ VAN 6 0 5: S /A0 8 /5F/�0]0 : : 6 8+9 4 DO0 4 0X� J ��B���9 J 9 = DKN]0[/U0 8 / S 0�:<NM/ 6 � � 7 �34� / � 7 �B0 2 50�1� 7 � 0 J?J 9 4 5 :<2�0M9#0 8 / 5F/�3 2M: 0 : 9 2 3>Tw/ = N 6 0 4 /?5KN J / 7 0M9(+�9 4 5K0 2 8+9 4T= 'C0 2 5E0hDKDK: 0 8 /�8+9 4A= NK:<0 65: S / 2 :<2 # Q 6 B � �5B�>0 2 5 � �5B �MB4f|8�TX/ 6H8 9 T 0 8 030 �1�G'[�wa � �5'[� � / �G' �3Z0 8 / 2 8 4 9 =# QSB � �5B �fTw/ :<=@= /W5 : 030H/?: 9�FM0]0 :<2 � � 7 �%a � � 7 � � / � 7 ��B_f 2 8G0 J 0I3

�1�G'[�%a�� �G' � � ����� � � �5'��2� &0 2 5

� �G' � � / �G' �Qa�� �5'[� � / �G' �%a � �5' � � / �G' � � ����� � � �G'��G� � / �5'��G� &6 9P0 8 030^0 8 /�D 4 9l9h8 :G6^4 /?5PN J /W5 0M9 6K8 9 T :<2� 0 8 0�0

� �5''b �Qa�� �5''b+� � / �G'4b+� &���f�a��'& � & oIoIo &��A�0&

Page 207: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�������Z� � � �6� ��� ����� � ������� .� � ����� ���6� �3t �T 8 / 4 / '4b :G6 0 2 /?:G/ = / 2 0]0 4� +�9 4 5O0 2 FK:<9 J +SBz;0]0 4 0 T : 0 8 0 8 / S 0h:<NF/ 6 9�8 � �5''b+� 0 2 50� / �G''b#� 5:;S / 2h:G2$# Q�B � �5B P3P0 2 5 = NK: 0 : DP:

0 8 / = 0M9 /10 8 / 4 0M9 3 2 5 0 8 030� � �G'4b+� � / �G''b#��� � L � ? � a �H y I � ��� �G''b#�T� � L � ? y ��� / �5''b+�A� � ? y L � ? � a

a �H y I � �{ � � � y � �� b#� �� {Z� � � ��� < y �/ �� b#�Qaa �

���H y I � ��{ � � {Z� � � � y � �� b+� � ��� < y �/ �� b#� a �

�� ��� � / �)�����A�� b+�0&T 8���������� : 0 � ��� QRNO0�:�� � EJ 9 =�� ��8 � 9 = # T����TJ ��� � � 3PDO0 ��� ���#���� N�� � �G''b#� � / �G''b#�Ua � �5''b+�(3 J 9 = DK: ��� ��� ����� D � 9l9�8 9�8 DO0 ��� � J �H9�8 ��������� 9 !���W= � %O9 � DK0 ��� �G56�(3 ������ � �� � S 0�:<N � ��9h8 ����E= 0 ��� � J�� ��� � 7 ��0 �K5���< � � 7 ���! � ����< 7 �H�B0 ���"� QRNO0�:23K0 �K5 �������� 8+9 ���$#%��= 0 0 ���AN =��$�� 0 �.7& 0 � +�9 � 5O0 �$8+9 �A= �%O9 �T= NP: 0 �'��� # Q(� � ��� � 0 �K5 � ��� $� 9 #)�� 0 � ��� �� ��� J 0*� � � � 7 �+��� NPDKD ���,��� � 0 � NK: 0 �# � �� � �� �0& oIoIo & � �� ~ � 0�:<9�� -�����= 0 ���C5�� 0 9 �O0�:.�Xz���� J������ 5�� 0 9��O0�: � : �W=�� � � �9�810 ��NPDKD ���/��� �<0 � NP: 0 � = 0 ��� � T 0 ��� � � � � � �� � S 0h:<N � �?3KDO0 ��� �G56�%����D � 9 S � 50�z�� = �<:<0 � : 31�;8 �70 �K532 0 ��� 8+N�� J�� �<9 �����TN J45�� 0 � �1��2U� 7 �T����!5 � 36� � 5U3B0 �P57�;8

8 �� %�9 � ��2U�� "�A�3 ���� � 8 � 7 �: � ��2U� 7 �T�;��\9:36����� <�� ���/� �?J�� �;9�� #=��J 9������<5 ���/�># 9 � T 0 = DK: � ���?"@ �>�BA+C+p q%q ���V�;r�� �\��D&� �� %�E < ��u �GF�H�I(�GJ ��D F s JKF�H � � 3:J � � ���>��L��G� � ��L[�� x �N� � D�M D N O "PM J�� � M H 3:J6F D�� � ��L F �QM D F �>� H s I M� # XsQL � ��L H ���>��L���� � ��L[� F D F�H� � 3:J � � �SR s J�HUT�?�6T�J D2 ��&" F I D �6T v�M DVL F x>7x� s T4HWJ sQD � M>� TYXQT LMsPM H M J7T�F * T�J �QM� �6T "F � T � " F I�7ZF�H-J s J�H�F[J * � \M L "�D �6T�J � � 7 � F�H v T M J6F[J * I(� �^] � D � � �� %�" �#" �6T�J � T7 � � � 7 �: ' " H s � � 7 �_ 7 < � u �Z�`H D �6T v�M DaL F x,I(�GJ ��D F s J 7�cb 7 < �]sQL;L T4H�� s J��QHD s�D �6TJO� v T L F ��M� I(��J ��D F s J cb < "%M H s JbT �Bs � �*� s �6T �?"@ �>�BA+C+p q%q6c � c � c � T D � �� %�_ ed \� u"sfL T vEs�� T D �6T D �BsQg��QM� �6TH� JbT4H4H s I d �hF D F�HH��i � F.T�J D'D s H F D+D �6T �]s}v � TAx=� \M JbThI LMs}vjD �6T sQL F * F[J M� <s J *fMWL�M � J sQDQ�]s J D.M F[J6F[J *M J � T�F * T�J �QM� �(T4H s I�7 ""M J�� D sq�]s J�H�F �GT L>s JbT ��L�M J � � s I D �6T L�M � F ��M� � u �6T�J D �GF�HI(��J ��D F s J " I sQL Kk lO�" � M H 3:J6F D Th�GT L F �QM D F � T4H s I M� # 4sQL �GT L H �C,�D I s} # <s�� H D � M DmD �6TTAx1� L T4H4H�F s J d 7!F�H v T M J6F[J * I(� I sQLWM� # J s J�H�F[J * � \M L�v�M DVL F � T4H 7 �Y/ � DVD F[J * P 7F[J D �6TfT�?� M D F s J

� �� %� �1�� %�_ #&

Page 208: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� O�� ��� �������� ������ ����� ��������� � ������� �� T s ��D.M F[J

� � 7 � �1� 7 �_ 7 ou �GF�H$HN� s�� H D � M D T M;� � J s J�H�F[J * � \M L�v�M DVL F x,� M H M H?� M L T LMs�sQD`�

9:96'�� *,+��I=����.-0/S@1+� C�>@ ����� <� = ?A@� B C��I=�� L^ �9�� ���BD%9���� �:#%� � ��� 5 � 9 �� � ��� 0�:�� ��� ����HJ 9���� ��� N J�� �;9�� � S�� �^��� 1[0 �� 0*� �� ��� ����� !D%9�: 0 � �<9�� �V� �������?J�� �<9 � � � � �;�� p � � � q6q6c��1cGq6c � T D & oIoIo & � � T�� F�H D F[J�� D � s}v��% TAx�JO� v � T L H " M J��"I sQL T M ��� fG"�F� f� " T D� b � T M J s J6JbT *`M D F � TWF[J D T * T LW� � T D�� � b y � � T M<D M �? T s I M L � F DaL�M L��JO� v � T L H " � � f � " M J��$I sQL T M ���(3�x�T!� fG"9O � {7� � b ��u �6T�J D �6T L TSTAx�F�H D H M�Os} �� J s}v F M� #"�� ! � H�$��� D � M D%" � y � � _b#�m � b y " I sQL � � f� M J�� I sQL T M ���-3�x�T!� fG"O��g{F� � b �/=LMs�s I �Yf � ��� J 9�� S � ��� � � � 3 � � �P� 9 J 9���� ��� N J�� 0�N T �;:�� 0 �� D%9�: �K9 = � 0h:��&" b � ! ���TN J4�� 0 � " b � ! ��0 �K5 � � ��5 ��� � S 0 � � S � � � 9 ���� � b �� 9 � 5 ��� 0 ���TN =�������f��� QRN�� ��� 5 S 0�:<N � �0 �/���� D"9���� � _b�0 �K5�0 ��� 0�:;: ����� 9>0 �/���� 9 ������ � S � �CD"9���� � ���('_N �

) b+* !-, /. b � " .�b * ! �b ,#" ����� " .�b $ � * ! �b , $ � $ �H y I � . b y * ! _b , y &#�������_���� .�b y10 ���32�46587:9��0T �<; 5�= ��� � �>4�= �1?��������!5 ��� ��?@9A0*����� ��� 4 ���,��$0*� ) � y �b * _b , { � .�b y ������B b+* !-, C* ! , $ � ? ����� * ! _b < , $ � ? * ! � _b ? , $ � ? ����� * ! � , $ � ? &0 � ? " b+* !-, ) b+* !-, B b�* !-, ED $ �H y I � .�b y * ! �b , y#F HG y G �I y�JI b * ! y , $ � ? oK ^���� � ; 9��MLN4��? �PO ����� � � � 0*� ��� Q0�7��!4#? ; 2�� *V� ����# T����R2 ��� � � ,TS" � y �b * _b , yH U I � @ { V!W ) �

U�b * _b , B �YX < U �b * �b , &

Page 209: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

����������� ��� � � � ��� � ����� � � ��� �������� � � � � � �*O��4��� b X XH U I � @�� V W V

� .�b U B �YX < U �b * �b ,�� *�� � � �UO ,�m����� #�� � � � � �UO # � �� � O 0 � ?P����&L 0 2�����:0*� B b�* �b , k &O #=� 36� ?.�b�� � b��B b�* _b , & �M�$f=� � *�� � � � � ,% 4 � ��0 24 f" �'&�� & ����� & S 0 � ? LN4���0 ��� � � � # � �� O � ��� � b S 4 � 2�� .�b U ���?��������R5 ��� ��? LN4���0 9P9 V

# � �� O�� V��� S #%�@2�0 � � 469 � � #�� � � ��� �UO LN4��

.�b X � b X� � B b�* _b , � X < U I � .�b U B �YX < U �b * _b ,* � V , � B b�* �b , & �M�$f� � *�� � � � � ,

! ��� ?��������!5 ��� � � " b�* !-, � 4 ��:0*� " b+* !-, 0 � ? � � � ?���� �"� 0*� �"� � �(; 7-�>4 ���� � b �� ?���� ��� 0 !� ��� �$0 � ��0 9 90���� ����� ;�� ����? � 0 9 ; � � 0*� _b 0 � ?�0 9 90�#� ; 0 9 �����R4 0*� �� LN4�� �k f��%$ � ���� 4U#�2�9���0 �%��:0*� ����&7-469 � 465 � 0 9 " * !-, " * !-, " " / * !-, " ����� " " � * !-, � 0*� ��� 3 � � 0 9 9���� ����� ;�� ����5�� � � � 4 L1���� 1 ��585 0 �! 4 ����� ?���� 0 �<; 5���� � 2�0 9 L ;�� 2�� � 4 �� '&( �3*� , 0 � ?80 �>O:Q6O 5 0Q��� � TI7 LN4 �,#� � 24���� � 0 9 ; � �1* 7 , ��� ?�� 36� ��? � � � � :4U# ��$0Q�9�������� ��� 0 7�469 � 4 5 � 0 9 " * !-, LN4 �,#� � 24" * 7 , �#� ; 0 9 � �3* 7 , ��1 ��� & ����� &� � ?�� � 4 ���9���� ? ��� � ��� 2��'� � �� ��� 0 9 ; � � 4 L����� 5 0*��� � T7 �)� ����� 4 � 9 ����Q7��R4 4 L 4 L9����Q9���585 0�#=�Q2�0 � 2�4 ��� ��� ; 2���0 7�469 � 465 � 0 9 " * !-,#� � 24 � 0Q� ��� 3 � � ���� 2�4 � ? � � � 4 ���

" *� b , �3*� b , &("+*N*� b , �,* *� b , & ����� & "��.- < �!*� b , � �/- < ��*� b , & *�� � � � � ,#������� � L � 465��4 L(���� ?���� ��� 0*� ��� � �� �YX � * _b , 0*��� �!; 7 ���10 ; 4 ;�� LN4��,����?��������!5 ��� 0Q� � 4 �4 L �1* 7 , S ���� � ����82�4 ����� � 7�4 � ? ��� �#; 5�= ��� ���� #�� � � � � � � 5 0 �= �-����7:9A0 2���? = �����!4 ��� � ��� 2������� � 0 9 ; � � 4 L " * !-, 0 � ? �3*� , * 0 � ? ���� � �M?���� �"� 0*� �"� � � , 2�4 ��� 2 � ?���0*����� �<; 5�= ��� � b S ���� � �1* 7 , " * 7 , �2! ��� 2�465 7 9������ � 0 7��R4 4 L14 L_�����LN469P9 4U# ��� �����4�����5 �3-05476,8 4�� 9:9 c��hc<;0c>= �6TQ� M@?BA T4H>C�I M@?D? H � M@?\M L I A J�� D FECQJ�H-F[J MGF�M DVL FIH 7 � M J � TT1H � L T4H4HUT!� ��@� C ?�� JJC F F M@? HYF[J 7LK

M �+N5O PQ6,RTS ! �� � 0 9 ; � �3* 7 , 4 L 0� ��� � ��� 2�0 9 0 �3L ;�� 2�� � 4 � � 2�0 � = �/����7���� � � � ����?��� ���� LN4 �!5 4 L � 465���7-4 9 � 465 � 0 9 " * 7 , ��� 7 � � 4U#%� � ��� S �� ��� 7�469 � 4 5 � 0 9 S LN4�� 0 �"� � � L ;�� 2�� � 4 � � # � 9 9%= ��? �PO ����� � ��LN4���? � O ����� � � 5 0Q��� � 2�� � 7 � % 4��m�0T 0 5 7 9�� S ����

Page 210: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� �UO ���2� � ���� ������ � ��� ������� � ����� � �5 ����� 5 0 9<7�469 � 4 5 � 0 9 " * !-, 4 L-0 � 4 ������� ; 9A0 �15 0*��� � TI7 2�0 � = � ;�� ��?-�>4Y#�� � ���.7 < 0 � 0�7�469 � 465 � 0 9 ��� 7 S = ; �LN4��? �PO ����� � � 5 0*��� � 2�� � 7 ? � O ����� � � 7�469 � 4 5 � 0 9 � # � 9P94#2�2 ; �� �"�G��� 7 < 0 � 087�469 � 4 5 � 0 9 ��� 7 �� 9 � 4 S 2�4 ����� ?���� ��� -����@L ;�� 2�� � 4 �1�3*� , d S #%� � ��� ��:0*�=I�C L TT� T L�� JJCQJ�H�F[J g

� A�?\M L F�M DVL FIH67 D �6T L TfT1H�F�H D H M � C ?�� JJC F F M@? " * !-, I�C L*� �GF ���" * 7 , " * 7 , 7 �� # ��� $�� '�� ��! � � !�X � � ��&����7���9 7�4 L ! ���4�����5 � ��� � ��� #=� 2�0 �e� 4U#

��� � 469 � �3���� � ; � � � � 4 � 9���L[� 467 � � VR;�� � 7�����2���? ��� ! ���4�����5 � ��� � � � 2�4 � 2���� ����� #���������� �3* 7 , # 0 � #%��9 9 ! ?�� 36� ��? ��$ L1#=� + � 4U# �����L ;�� 2�� � 4 �0�3*� , 0 � ? � � � ?���� ��� 0 !� ��� � � 0*����� 7�4 ��� � � & ����� &� � S #=� 2�0 � 2�4 ��� ��� ; 2��W���� 7�469 � 465 � 0 9 " * !-, #�:4 � �� 0 9 ; � " * 7 , ?:4G� �_� 4*� ?���7 � � ? 4 � ����/����? ; 2�� � 4 � 4 L(����5 0*��� � TP7 �!4 + 4��!?$0 � LN4 �!5 S0 � ? 0*�:���� � 0 5���� � 5�� ��� �#� ; 0 96�>4 �1* 7 , � ! 4 ��� ��� ; � � �!9 S ���� � 0 9 ; � �1* 7 , ?�� 36� ��?��� �����7�����2���? ��� � ��2�� � 4 � ;������ P����f����? ; 2�� � 4 � 4 L 7 �>4 + 4��R?$0 � LN4��R5 S ? 4�� �Y� 4 �?���7 � � ? 4 � ����Y# 0 P�� ��� ����? ; 2�� � 4 � ��� 2�0 ��� � ��? 4 ; � �1 ��� �3*� , = ��0 �<; 5���� � 2�0 9 L ;�� 2�� � 4 � S 0 � ? 9���� 7 = � 085 0Q��� � T LN4��/#� � 24 �3* 7 ,��� 5���0 ����� L ; 9 ��K ! ���4�����5 � ��� � �.� #=��2�0 �M36� ? 0 7-4 9 � 465 � 0 9 " * !-, LN4�� #� � 24" * 7 , �1* 7 , � % 4�� 0 �"� � � L ;�� 2�� � 4 � �3*� , S �����7�469 � 4 5 � 0 9 " * !-, ?���7 � � ? � 4 � 9 4 � ����f��9���5�� � ��0*�� ? �"�G��� 4�� � 4 L_�����5 0Q��� � T 7 �@K ; �"�������9���5�� � �>0 �� ? ������� 4�� � 4 L7 0 � ? � � � ���>0 ��� 7-4 � � 7 2�4 ��� 2 � ?�� S � 4 " * 7� , �1* 7 , � � ��� 2��&LN4�� 0Q7-4 9 � 465 � 0 9" * !-, #%�f:0 � � " * 7 , /" * 7 , S � ��5 ;�� �&= �W��$0*� �3* 7 , �3* 7 , LN4��M0 9P9 � 2�0 9 0 �L ;�� 2�� � 4 �����3*� , LN4�� #� � 24 �3* 7 , ��� 5���0 ����� L ; 9 �9:96' � <�����&� *��&�C��&� L� 9P9 5 0*��� � 2�� � 0 ��� O QMO 4 � ���� S 0 �;��!; 0 9 �21 ���

� * !-, �H� I�� � � ! �= ��0 7-4U#=��� � ��� � � � # � �� 2�4���� 2 � � � � � L��!465�� � 1 ��� ��� * !-, � �� I�� � � ! � = � ����N �� 7:0 ��� � 0 9 �R; 5 4 L � * !-, � % 4��Y��0 24R7 �"! - * � , 9���� �#� * 7 , = �f�������9���5�� � �4 L$! - * � , 46=��>0 ��� ��? =&% �!; = � � � � ; � ���(' 7 � ;�� �� ��� 7�469)% � 465 � 0 9 � % 4 ����0 24 3 T���?f & � #=��46=���0 ��� 0 � ��� ; � � 2��Q4 L:����0 9 4�� 2�46587:9��0T �#; 5�= ��� �+* �b X S N O &-,'&�� & ����� =&%

��0 +G����'.* �b X �>4Q= �Y���� *�f & � , � � ���/% 4 L'����@5 0*��� � T ��� * 7 , ��! �� � ��� � � �� * 7 , �H

� I�� � � 7 �

Page 211: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�������7� � ������� � ����� � � � , ,

���$� 0 � ? �!4 � CQJ$� T L � T D C D �6T F�M DaL FIH�� ��� ! - * � , � L LN4��$��0 24 f & � �� ,'&�� & ����� &�O������ � �#� ; � � 2��� * �b X � �� I�� 2�4 ��� ��� ' � � �>4 ���� *�f & � , � � ���/% 4 L� *V��� #� � 24 2�0 � ��#=�#�� � ��� � * 7 , � , � � � � 0-% � * 7 , � CQJ$� T L � T4H � L1�������� ����� 4 5���� � ! - * � , �!; 24��$0Q� � * 7 , � �% 4 �.7 * � b X , � ! - * � , ?�� 36� �

� 7 � -Hb L X I ) � b X ) &�.� � � S � 7 � ��� ���� �!; 5 4 L'���� 0 = � 4 9 ; ��� � 0 9 ; � � 4 L30 9P9b����� � ��� � � � 4 L�7 �� 4������ 9:9 c��0c 9 c � C LM@?D? 7 &�� � ! - * � , M J�� M@?D? � � �1�M 4 � 7 " � � � � 7 � " � � ���1�� 4 � 7 � � � � 7 ����� � ���1 � 4 � � 7 � �) � ) ��� 7 � K�=L C C�I#K ! ��@7��!4#4 L � 0 ����!0*������/��0 � % � � � VR;�� � '��"� �@087��!4#4 L 4 L * = , �

� 7 � � H b L X )�* 7 � , b X )� H b L X ����� H � 7 b � � � X ����� � H b L X L � ) 7 b � ) � ) � � X ) �� Hb L X L � L � ) 7 b � ) � )�� � X )* � 7 ����� � � �� ; 7:7�4 � ����$0*� � * !-, � �� I�� � � ! � :0 � �!0 ? �P;�� 4 L2�4 ��� ��� ' � � 2��P��� ; 0 9:�>4 � �

� � � 2�� � L � 7 � � � S ���� � � �� I�� � � � 7 � � 2�4 ��� ��� ' � � 0 = � 4 9 ; ����9 % S �.� � � S � �� I�� ) � � ) �� 7 � � 2�4 ��� ��� ' � ��� K ; �_���� � ) � � * 7"! , b X ) � �� � � � 7 � � �� ��) � � ) �#� 7 � � S � 587:9 % ���(' ��:0*�� �� I�� ) � � * 7 � , b X ) 2�4 ��� ��� ' � � S �� � 2�� � �� I�� � � * 7 � , b X 2�4 ��� ��� ' � ��� � � �� ��� 7-4 ��� � #=�$0 � � � :4U# � ����&LN469P9 4U# ����' X� 4�������9:9 c$�0c";0c% I � 7 � � � � �6T L T&� F�H D �6T L�M � F A H)C�I�� CQJ$� T L � T�J��4TLC�I � * !-, "D �6T�J � * 7 , � CQJ$� T L � T4H D C M F�M DVL FIH'� K

� � � 4U# '���� �Q0 � � T 0 587:9���4 L � 7 ��2 � 0 9 ��� ������� � � �>1 ��� �3*� , = �f���� �<; 5���� � 2�0 9L ;�� 2�� � 4 ��1*� , )( ! " *� , �H

� I�� �* � �

Page 212: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� , � ��� � ��� � � ������� � � �������� � ��� � �� ��� 2��<�� ��� 7�4U#%��� � ��� � � � 2�4 ��� ��� ' � � LN4��80 9P9 2�46587:9��0T �<; 5�= ��� � S ��0 24 5 0*��� � T7 � ! - * � , � 0Q� ��� 3 � � �����2�4 � ? � � � 4 � ���S1 ��5 5 0 , , � � �.��� 4P� T 7 * 7 , 2�4 ��� ��� ' � � �>40 5 0Q��� � T � ( �'� � 9 � 4 S #=� + � 4U# ��$0*� �1*� , ( ! " *� , $0 � ?���� ��� 0Q� �"� � � 4 L 0 9P94��R?���� � 0*�_��0 2482�46587:9��0T �<; 5�= ��� � � � � 2�� �1* 7 , ��� 5���0 ������' L ; 9 ��� ���� � � ��� ��4 L(����7�����2���? ���('�� ��2�� � 4 �0� � �"# 0 � � �>4�= � �R; ���"��$0*�=����M5 0*��� � T�� �!4W#� � 24^���� � ��� � � �� �� I�� � � 7 � 2�4 ��� ��� ' � �f��� ���� � 0 5�� 0 � ���� � 0 9 ; � �3* 7 , ' �"� � �3��� ���� 7�����2���? ����'� ��2�� � 4 �0� �#4 9���� ;���� �>0 ������ ���/� ��2�� � 4 � 4 � ��� �� � ��� ; � � 2���4 L � � ; 0 ����5 0*��� � 2�� �7 & 7�/ & � � � & 7 $ & 7 $ ? & � � � & *�, ,�� , � ,0 9P9 4 LG���� � 0 5�� 4��!?���� S ���0� 0 � ?Y�>4 � CQJ$� T L � T �>4 ���� 5 0*��� � T 7 7��R4 ��� ?���?Y����_��9���5�� � � �4 Lm���� 5 0*��� � 2�� �-��� 0 3 T���? �!4U# 0 � ? 2�4 9 ; 5 � 2�4 ��� ��� ' � �!4B���� 2�4������ � 7�4 � ? ����'

��9���5�� � ��4 L1����@5 0*��� � T 7 �$ � ��� 2�9���0*� ��$0*� � L+���� � ��� ; � � 2�� � 7 $ � 0 � ? � $ � 2�4 �7� ��� ' �W�>4 5 0*��� � 2�� � 70 � ? � S ��� � 7 ��2�� �"� ��9 % S ���� � 7 $ " � $ � 0 � ? 7 $ � $ � 2�4 ��� ��� ' �W�>4 7 " � 0 � ?7 � S ��� � 7 ��2�� ��� ��9)% � $>� 7$0*��� � 2 ; 9 0 � S � L � ��� 0 2�4 ��� ��0 � �M5 0*��� � T S 0 � ? ���� � �#� ; � � 2��

7 $ � 2�4 ��� ��� ' � � �>4�7 S ���� � ���� � ��� ; � � 2��� ��< 7 $ ��� # � 9 9 2�4 ��� ��� ' ���!4 �E< 7 ��%$; �������� S � L 7 $ 7 � �$ � � � � � 7 �����$ &�* � ,4&�� & ����� , &#�������m���� 4��!?���� � 4 L0���� = 9 4#2 +G� ?:4 � 4 � ?���7 � � ? 4 �F� S ���� � 7 $ � # � 9P9$2�4 ��� ��� ' ��>4 � 465��&9 � 5 � � � L10 � ? 4 � 9)% � L1��0 24 = 9 4#2 + 7 � b �$ � 2�4 ��� ��� ' � �m� ��7$0 �>0Q����9)% �

! ���9 0 � �m����5 0 � + 7 ���!5 � � � 0 2�465 7 9�������9)% ��� 587:9�� � 469 ; � � 4 � 4 L,����L� ; � � � � 4 � 4 L���� 2�4 ��� ��� ' � � 2���4 L30�5 0*��� � T 7-4U#=��� � ��� � � ���21 ���

� � " � !:" � / ! / " � � � " � $ ! $ " � � � *�, ,�� , � ,= ��0�LN4��R5 0 9�7�4 #=��� � ��� � � ����� 0 �<��� ?��������!5 ��� 0*��� ! ��! ��� T 7���� ����� 4 �� ��� " � 7 " � /�7 / " � � � " � $ 7 $ " � � � *�, ,�� ,� ,

��� 2�0 9 9���?-���� 2�4������ � 7�4 � ? ����'@� C � T L HUT L F.T4H ��� ���� 5 0*��� � TI7 S 0 � ?����� 7-4 9 % � 465 � 0 9� - * 7 , � ��� " � 7 " � � � " � - 7 -

��� ���� O+D � ��M L;D F M@? H A F 4 L ���� � ��� � � ��� ! �� � ��� � � ����� #�� � , ,�� ,� ��� � CQJ$� T L � T�J D7��R4 �G� ?���? ���� � ��� ; � � 2�� � - * 7 , � �- I 4 L 7$0 � � � 0 9 �!; 5 � $0 � 0 9 � 5 � � � $ L9�� ��� 9 � 5 � �� T ��� � ��� � ��� 2�0 9 9���?^�����H A�F 4 L+���� � ��� � � ���

� ��? ; 2������@5 0*��� � T 7e�>4 + 4��R?$0 � LN4��R5 X

Page 213: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�������7� � ������� � ����� � � � , �� < 7 � ' ' �� � � � � '�� &

#������� ' & � � � & '�� 0 ���<��9���5�� � �>0 �/% + 4 �!?$0 � =:9P4 2 + ��� � � $0 � � � ��� � 0 =-4 � �<��:0*�2�4 ��� ��� ' � � 2���4 L1���� � �#� ; � � 2�� � - * 7 , �W��� ��� ;���� 0 9�� � �/�!4�����@2�4 ��� ��� ' � � 2�� 4 L+����� �#� ; � � 2�� ��< � - * 7 , ��� �(K ; �

� < � - * 7 , � � - *�� < 7 � , � - *G' , � - *G' , � � � � � � - *G'�� , &0 � ? ���� � ; � � � � 4 � 4 L:�����2�4 ��� ��� ' � � 2�� 4 L:���� � ��� � � � #�� � , , � , ^��� ��� ;���� 0 9�� � �"�>4���� LN469 9P4U# ����' X� � ?����9#�$0*� 2�4 � ? � � � 4 ���:��� �� ���9� ��� � � � 2�4 �7� ��� ' � � � LN4��:���� + 4��R?$0 �=:9 4#2 + �7' & � � � & '���� � 4 ����� ?���� 4 � � 4 LY���� � � = 9 4#2 +G� S � 0-% ''b.� 1 ��� � ��$0 � � ������9���5�� � ��0 ��% ? �"�G��� 4�� * ! b , - � S �.� � � S � � ��� 0 � ��9���5�� � ��0 ��% + 4 �!?$0 � = 9 4#2 + # � ��5 ����� 5 0 9�0 � ? 24$0 �!0 2������ ��� � � 2@7�469 % � 465 � 0 9 �#� ; 0 90�>4 * ! b , - � �(K %,#�� ��, ,�� �

� - *G'4b , Z[[[[[[\

� - *� b , �� � � �- *� b , / � � � / �- *� b , � � � �.- < � � � �.- < �- *� b ,

O � - *� b , �� � � �- *� b , � � � �.- < / � � � �.- < / �- *� b ,

O O � - *� b , � � � �.- <�� � � � �.- <�� �- *� b ,��� ��� � � � ���

O O � � � � � � �3*� ,]_^^^^^^` � *�, , � , � ,

� 4 ��� ��� ; � � �!9 % S � - *G''b , � 2�4 ��� ��� ' � ��� L 0 � ? 4 � 9)% � L=���� � ��� ; � � 2�� � � � X �- *� b , � �- I LN4�����0 24 � eO &�,'& ����� &�O b , 2�4 ��� ��� ' � S �a� � � S � L30 � ? 4 � 9)% � L1���� � ��� � � � #�� ��, ,��), �2�4 ��� ��� ' � � S 0 � ? ���� � ��� � � � 46=��>0 ��� ��? = % ? �PO ����� � � � 0Q� ���('^� �Y�����!5 = % �����R5 ; 7 �>4O bD , � � 5�� � S ��� 2�9 ;����"� � S 2�4 ��� ��� ' � ��� $ � ���P+ � 4U# � L��R465 ����-�����4���% 4 L0 � 0 9 % � � 2L ;�� 2�� � 4 ��� ��$0Q� 0 9 9(���� � � � ��� � � � 0 ���&2�4 ��� ��� ' � � � � Lh� � ������ b 9 � � �%������� ?��$����&2 � �R2�9��4 L�2�4 �7� ��� ' � � 2�� 4 L�#�� � , ,��), � 4�� b 9 � � � 4 � ���� 2 � �!2�9��84 L�2�4 �7� ��� ' � � 2�� 0 � ?3����*�O b , , � �Q?���� ��� 0Q� �"� � 4 L #�� � , ,��), � 2�4 �7� ��� ' � � 0*� b � � 4�����4 � ��� S #��� � b 9 � � �������� ?�� �����2 � �R2�9�� 4 L 2�4 ��� ��� ' � � 2��@4 L #�� � , ,��), � S ���� � ����M?���� �"� 0*� �"� � 4 L0���� � ��� � � �� � 0 9 ; 0*����? 0*� b '��"� � � �����?���� ��� 0Q� �"� ��4 L_�����4�� � '���� 0 9 L ;�� 2�� � 4 � � � 0 9 ; 0*����? 0*� b.�! ;�� #=�$0 � �3-05476,8 4�� 9:9 c$�0c � c % F�M DaL FIH � C � T L HUT L F.T4HYF[J 7 � CQJ$� T L � T4H$F I M J���CQJ ?�� F IWT M ���T�F � T�J$� M@?BA T b C�I67 T�F D �6T L ? F.T4HSF[J�H�F �GT D �6T ��F L � ? T C�I � CQJ$� T L � T�J��4T>C�I D �6T � C L�L T gH � CQJ�� F[J � � C � T L HUT L F.T4H �1*� , C L ? F.T4H>CQJ D �6T ��F L � ? T�C�I � CQJ$� T L � T�J��4T "$M J�� M DmD �6TH M@F T D F F T D �6TYHUT L F.T4HLC�I *�O b , , H D �GT L F � M D F � T4HLC�I D �6T D T L�F HLC�I �1*� , � CQJ$� T L � T4HM D b:D C D �6T&�GT L F � M D F � T C�I D �6T+I A J�� D FECQJ � F � T�J ���D �6T C L F � F[J M@? � C � T L HUT L F.T4H TT� M@? gA�M D T!� M D b*"@� �6T L T O b F�H D �6T �GF � �6T4H D �GT � L T4T C�I M J T ? T F T�J D M L�� � F �UF�H C L � T ? CQJ � F[J �

Page 214: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� , � ��� � ��� � � ������� � � �������� � ��� � �D C b�1 F KVT�K "X� �6T L T O b F�H D �6TfH�F\XQT�C�I D �6T ?\M L � T4H D T ? T F T�J D.M L���� C L � M J ��? C ��� � F D �T�F � T�J$� M@?BA T b 4 K�� C L T C � T L " F IfT M ���ET�F � T�J$� M@?BA T b C�I 7 ? F.T4HWF[J�H�F �GT D �6TQ��F L � ? T C�I� CQJ$� T L � T�J��4T C�I D �6T � C � T L HUT L F.T4H �3*� , "D �6T�J D �6T � D � �GT L F � M D F � TGC�I D �6T � C � T LHUT L F.T4H F[J 7 � CQJ$� T L � T4H D C D �6T � D � �GT L F � M D F � TLC�I �3*� , TT� M@?BA�M D T!� M D 7LK

� 4U#)����2�4 ����� ?����+����/�0T 7-4 � � � � � 0 9 L ;�� 2�� � 4 � 5�� � � � 4 � ��?�0 =-4 � � � � � + � 4U#)��$0*��3*� , � �� I����� � 2�4 ��� ��� ' � � S � 0 %P�!4 ( � S LN4�� 0 9P9%2�46587:9��0T �<; 5�= ��� � ��� 4�����4 � ��� S���� L ;�� 2�� � 4 ���3*� , ( � $0 � ?���� �"� 0*� �"� � � 4 L�0 9 9M4��R?���� � 0Q�<��0 24 ��� 0 � ?�����7-4U#=��� � ��� � � � 46=���0 ��� ��?�L��R465Z�����4�� � '���� 0 9 =&%�? � O ����� � � � 0*� ����' �����!5 =&% �����R52�4 �7� ��� ' � � �!4m���� ?���� ��� 0*� ��� �(4 L����� L ;�� 2�� � 4 � 0*�1��0 24�2�46587:9��0T �#; 5�= ��� �$>� L 0 2�� S����8?���� ��� 0*� ��� ��4 L=�����L ;�� 2�� � 4 � ��� 0 ' 0 ��� ����Q4�� � '���� 0 9 L ;�� 2�� � 4 � S 0 � ? ����87-4U#=���� ��� � � � 4 =���0 ��� ��? =&% ? � O ����� � � � 0*� ����' ���� 4�� � '���� 0 937�4U#%��� � ��� � � � �����!5 =&%E�����R5 ���0 ' 0 ��� ���� 4 � � ' ��� 0 9%7�4U#%��� � ��� � � ��� � � � 2������� 7�4 #=��� � ��� � � � � �� I�� � � 7 � � 4 ��4 � 9)%2�4 �7� ��� ' � � �>4 � 4 5��&5 0*��� � T � S � �2�4 ��� ��� ' � � �>4f���� � 0 9 ; �$�0T 7 * 7 , ?�� 36� ��? ��� ����7���� �G� 4 ;��_� ��2�� � 4 � ;������(' ���� + 4��R?$0 � LN4��!5 4 L 7 � $ � LN469P9 4U# � ��$0*� LN4��_��0 24 2�46587:9��0TO QMO 5 0*��� � T 7K�������� ��� 0�7-469)% � 465 � 0 9 " * !-, �R; 24 ��$0*��� T 7 * 7 , " * 7 , �1 ��� '

�?�� � 4 ���Y���� O QMO ��9���5�� � ��0 ��% + 4��R?$0 � =:9 4#2 +

'�

Z[[[[[\ , O ����� OO , ����� O��� � � � � � � ���O ,O � � � � � � � � �

] ^^^^^` � " N - �

$ L �3*� , )( � S ���� � #=� +G� 4 #�3*5'

� , Z[[[\( � �� ( � / � ( � � � �

�/- < � � ( �O ( � �� ( � � � � �/- < / � � ( ���� � � � � � � ���

O � � � � � � ( � �� ( �] ^^^` �

� 4U# 9���� � = ��0 � % 2�465 7 9�� T �<; 5 = ��� � 1 ��� � - * � , � � = � ���� O QSO 5 0*��� � T?�� 36� ��? =&%� �h

Z[[[[[[\, � �� �� / � � � � ������

�/- < � �O , � �� � � � � ��� �/- < / � �O O , � � � �������/- <�� � ���� � � � � � � ���

O � � � � � � � � � ,

]_^^^^^^` �

Page 215: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�������7� � ������� � ����� � � � , �� 4 * � � , b X O-� L � � f 0 � ? * � � , b X ��� � �� X < b � � � L f=� � �

� � �� �3*� , ( � 7 ; � 2�*� , �3* � , ( � � � � ��� 587:9�� ��� ? ; 2�� � 4 � � :4U# � ��:0*�2 �YX � *� , � X 2�*� , ��! �� � 2�*G'

� , )( ��� � ( � � � � �$>� 7:0 ��� � 2 ; 9A0 � S ( � � ( � � �

� �@2�0 � � � � � ?��������R5 ��� �Y����@7�469 % � 465 � 0 9 " * !-, LN4��/#� � 24 " *5'� , ( � � �(' ; �

" - * !-, - < H X I�� * ! , X� � �

$ ��LN469 9P4 # � ��0 ��� 9 %���$0Q�" � X �- *� , , LN4�� O � � �$O ,'& 0 � ? " �/- �- * !-, &O �% �R465 #�� � , ,�� #%� � ��� ��$0*�" - *G' - *� ,!, )� - * , , &�� 4 ( � " - *G' - *� ,R, )( � � - * , , ( � � �� � � � TG� 2�46587 ; ��� � � � � S LN4�� 0 �R= � ���>0 ��% 2�46587:9�� T �<; 5�= ��� � � 0 � ?1 � � 9���0 �R9 %

����@7��R4 ? ; 2�� ���; 7:7 ���/��� � 0 ��'6; 9A0 � ��! �� � LN4�� f� � #=� $0 � �* � � � � � , b X XH

� I b * � � , b � � * � � , � X , XH� I b � � < b* * f , � � X < �* � * , �

,* � Rf , � XH� I b @ � f� * W � �YX < b � < �YX < � � X < � ,* � f , � * � " , X < b * � � ? � , b X �

� � � 2��� � � � � � � ? � � � � � � �

$ � � 4 # LN469 9P4U# � ��$0*�( ��� � � ( � � � ( � � � � � ( � � � � )( �

� ? ��� � � � ? � )( � � ? ��� � � ( � � � � ( ��� � �%+� T ����Q2�4 5 7:9�� T �<; 5 = ����80 � ? 7 ; � � � ? � 0 '$* - < & - < / & ����� & &-, , � $ � ���

� 4U#K��0 � %P�!4 � ��� � L %^��$0*�� < � � ' � � � � ' � � � *�, , � , � ,

Page 216: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� , ��� � ��� � � ������� � � �������� � ��� � �� � � 2�� ' � � ��� ���� + 4��!?:0 � LN4��!5 4 L '

�� � 9 � 4 S 9 � ��7 � < � : b X X < b 7 b X � % �!465j�� ���

� � LN469 9P4 # � ��0 ��� 9 %���$0Q�� � � � < � � � �

$ � � 4U# LN469P9 4U# � ��$0*�( � � � �3* '

� , ��3*�� � � ' � � � � < � , � � � �3*5' � � , � < � � � � ( � � � � � < � � � * ( � � � , � < � ( � � � � &

#� � 24 0 ' ����� � # � �� 0 � ��0*�!9 � ��� �#� ; 0*� � 4 �0�� ; 7:7�4 � �P7 ��� 0 ' � � ���!0 9 O QMO 5 0*��� � T�# � �� + 4��R?$0 � LN4��!5� < 7 � '

� � �� � � � '

���&�'

� �� ! - � * � ,��1 ��� � � = ������ ? � ����2�� �!; 5 4 Lb�����5 0*��� � 2�� � ? � 0 '$* - � < & - � < / & ����� & &-, , ��! �� �

� < � � < D7 � � � ' � � � � � � � � ' � ��� &� 4

( � � � 9( � � � � - � * , � � � � � ( � ��� � - � * , : � < ���� � ���!0 9 7��!467 ��� � � � � 4 L1���� � T 7�4 � � � � � 0 9 L ;�� 2�� � 4 � 0 ��� � 4U#e��0 � % 2�4 �!469P9A0 � � � ���M 6:8 6 CVC � 8�� 9,9 c��0c��1c�� H�F[J � D �6T M � C � TQ�GT4H � L F � D FECQJ�H C�I 7 M J�� ( � �D" T D ��K "w� T C ��gD.M F[J��1�M 4 7 ( � ( � 7 I�C LWM@?D? H A�M L T 7 K1�� 4 ( � � ( � � ( ��� ? � � � ( � � ( � ��& I�C L M@?D? &�� � �TK1 � 4 ( � � "7� �6T L T O F�H D �6T"XQT L C F�M DVL FIH7K1 � 4 ( � F�HYJJCQJ�H�F[J � A ?\M LM J�� (#< � * ( � , < �1 T 4 (/ ( �JK1 I 4 �GT D * ( � � , ( - � ( DVL�M �4T � � � � " I L C F � �GF ��� F D I�C ?D? C � H D � M D �GT D * ( � , ( DVL�M �4T � � � �9:96'�� >B B / � CD@�� J � � �C +��&�L1 ��� 7 = �M0 3 T���? OAQ O 5 0*��� � T84 � ��� � � � �"# 0 � �%�>4�?��������!5 ��� � #� � 24 5 0*��� � 2�� �2�4 5 5 ; ���_# � ��67 � $ L 7 2�46585 ; ��� � # � �� 5 0*��� � 2�� � � 0 � ? � S 2�9���0 �R9 % 7 2�46585 ; ��� �# � �� � � 0 � ?^# � �� 0 � % 9 ��� ��0 � 2�465�= ��� 0*� � 4 � 4 L � 0 � ? � � � 9 � 4 S � L 7�2�46585 ; ��� �# � ��B� � ���/% O QRO 5 0*��� � T S ���� � 7 5 ;�� � = � 0 � 2�0 9A0 �@5 ; 9�� � 7:9�� 7 � � 4 L=����� ?�� � � � � % 5 0*��� � T � � *Q$ L % 4 ; :0 � � � 4 � 0 9�����0 ?(% � ��� � 3 ��?<�� ��� S ?:4 � � � 4U# � ,

Page 217: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

��������� � � � � � � �� � � � �� � � � � � , �

� 4U# �!; 7:7-4 � �� < 7 � ' ' �� � � � � ' � *�, , � , � ,

��� ���� + 4��!?$0 � LN4��R5 4 L�7e# � �� ��0 24 '4b 0 � ��9���5�� � �>0 �/% + 4��!?:0 � = 9 4#2 + ��$ � ��� ��0 � %�>4 24���2 + ��$0*��� 2�46585 ; ��� � # � �� 'B� L 0 � ? 4 � 9 % � L � � ��< 2�465 5 ; ��� � # � �� 7 �! �������LN4����m���� 7��!46=:9���5N����? ; 2�� � �>4 36� ? ����' ���� 5 0*��� � 2�� � �Z��$0Q� 2�46585 ; ���/# � ��',� � � � ����� ��� =:9 4#2 + LN4 �!5 2�4������ � 7�4 � ? ����' �>4 #�� � , ,��), � X

� Z[[[\� c � / � � � � ��>/ �>/c/ � � � �>/ ���� ��� � � � ���� � � � / � � � � ���

] ^^^` � *�, , ��� O ,! ���2�4 � ? � � � 4 � ' � � ' ����? ; 2�� � �>4f�����#� ; 0 9 � � � � �'�� � �= � � '� * "#& � ,4& � � � & ,�� *�, , ��� , ,� 4 ���W��$0Q�m�������� ��� 4 � 9)% 4 � �W�#� ; 0*� � 4 � LN4�� ��0 24�� ��� %+� T 0*����� � � � 4 � 4 � 4 � �=:9 4#2 + � �9 � * . b X , � � ; 7:7�4 � � '����� IQ 0 � ? '�/��� ��Q �;��! �� � � �9 )�j���

Q � S '��$ �� � " N � S '�= � � " N ��� % �R465 #�� � , ,��.� , #%� ��0 ��� 9 % ' ��� �� ���� " �H

� I *aN � , � � � � � � ���� " �H� I ��� � *aN � , � � & *�, , ����� ,LN4 ��0 9 9 "#& � & � & � # � �� ,(� " & � � &-,E��� � g�,E��� � � �

#�� � , ,��.��� � ;�� 2 + 9)% '��"� � � ����@LN4 9 9 4U# ����' LN4 ; �/�#� ; 0*� � 4 ����X*�% 4�� � k ,'&��3k , & �� ����� " ��� ? 5L � � ���� " ��� L � < � *�, , ��� � ,

* % 4�� �f ,4g ��k , &� ������ " ��� ? 5L � ��� " O � *�, , ��� � ,*�% 4�� � k ,'g �^ , &� �� � ��� " O � � � L � " � � L � < � *�, , ��� � ,*�% 4�� �^ & �- , , & �� � � " O � � � � *�, , ���� ,%+� � � � �!; 7 7-4 � ����$0*� ���k ��� ! �� � L��R465 #�� � , ,���� � � !O�� ! �� � L��!465

#�� � , , ��� � *� � �� , ��� ��� ? 5L � ' ; � �^ ,'& � & ����� &�, S ��� ��$0*� 4��R?���� S �>4

Page 218: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� , � ��� � ��� � � ������� � � �������� � ��� � �' ��� ��� KO LN4�� ,(� � � S �a� � � S ���� 3 � � ��2�469 ; 5 � 4 L �j��� ���� � ���!4 2�469 ; 5 �0�%$>�#�� � , ,��.� �M7 ; � �f � & � & ����� &�� �>4 ' ��� � � � O LN4�� ,E��� � �+�.� � � S �����=�4 ���!465 �R4U#4 L � ��� ���� � ���R4��!4U# �(' ; � �P ,$��� #�� � , ,��.� � 0 � ?S���� � 7 ; � �� � & � & ����� &�� S��� ��$0*� 4��!?���� S �>4 ' ��� � � < 5L �- O LN4�� 0 9P9 � S �a� � � S ���� * ( , , � ��2�469 ; 5 � $0 � 0 9P9� � ��� � � � ��� ; 0 96�>4 � ���!4 � � 4U# 7 ; � �^ >� 0 � ? 9���� �- � & � & ����� & � S ��� ��$0*�(4 �!?���� S�>4 ' ��� � � < / L �Y O LN4 � , � �7� �;� � 4 � � ���<; � ��� �� ��� # 0-% LN4�� � � � & � � S���!2 � S �>4 � �����$0*� � &O��� 4QLN4�� ���k � #%� $0 � � � �= O��

� 4U# 2�4 ����� ?���� ���� 2�0 � � �� � ��� ! ��W��� ; 0*� � 4 ��� #�� � , , ��� �-����R4 ;�' , ,��.� �= ��2�4 5�� * % 4�� � k ,'g �3k , &���� ? 5L �/ ��� L � < � *�, ,������ ,* % 4 � �- ,4g �3k , ��� ? 5L &O � *�, ,���� � ,* % 4 � � k ,4g �P , � � L � < &O � *�, ,���� � ,$ � ���'� 4U#5����9A0Q� �"� ��9)% � ���>0 � ' `�!LN4�� # 0 �R? �!4M24���2 + ��$0Q�'�������� 0 ��� 4 � 9)%Y���� LN469 9P4U# !

���(' ���������7-4 ����� = � 9 � � � � � * ��0 24 4 L,#� � 24 ���m� 0 � ? �>4 = � ��� ? F[JbT M LDaL F M J � A�?\M L I�C L�F X,�� � S ��� #� � 24 2�0 � � � � �b I���� b N b� LN4 � � 465�� � 2�0 9A0 � � � b ��� ���� �� � S ��� #� � 24 2�0 � � � $0 � ����&LN4��!5

� O@ � �b I � b N b�O � < � L � W�

� � � � S ��� #� � 24 2�0 � � � $0 � ����&LN4��!5� 9 O � L � < � � �b I � b N b� : �

� 4 ��� ��� � ��9 % S �����?��������!5 ��� 0*� � 4 � 4 L_���� LN4��!5 4 L �!� :4U# � ��:0*� � L � $0 � 0 � %4 L1����&LN4��R5 �/� :4U# � 0 =�4 � �Y���� � � 2�465 5 ; ��� � # � �� � �% 4�� �0T 0 5 7 9�� S � L� �� � � " N � � � ��/ " N / �� � � " N � *�, ,�� � O ,LN4�� � k � S ���� � ����@5 0*��� � 2�� � � ��$0Q� 2�46585 ; ���$# � �� -N$0 � � ����&LN4��R5

Page 219: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

��������� � � � � � � �� � � � �� � � � � � , �

� Z[[\ � �b I � b N b� � /b I * b N b/O 5L /

O / L � /b I �� b N b/ � /b I .�b�N b/]_^^` �

�H b I b N b� &#������� � bY&�.�bc& * b � bY& b 0 ���@0 �!= � ���!0 �/% � 2�0 9A0 � ���' 469)% � 465 � 0 9 ����� 0 5 0*��� � T,7N:0 � �W���� � 7 ��2 � 0 9 7��!4 7 ����� % 4 L(2�46585 ; � ����' S � 4 �4 � 9)% # � �� �����5 0*��� � TA7 S = ; �&0 9 � 4�# � �� 0 � % 5 0*��� � T � #� � 24 2�46585 ; ��� � # � ��7 �3-05476,8 4�� 9:9 c��0c 9 c % I � � C F F AGD T4H � F D �7TT� T L�� F�M DaL FIH � �GF ��� � C F F AGD T4H � F D �� "9D �6T�J �ZF�H M � C ?�� JJC F F M@? F[J � K�=L C C�I#K $>� ���� ;��!; 0 9 # 0-%P#=� 5 0-% 0 ���!; 5�� ��$0*� �j���/���!+ 4��!?:0 � LN4 �!5 � � ; 7:7�4 � �

� �H b I � b0 �H b I ' - � *� b , �H b I b � - � " N - � �! �� 0 ; T � 9 � 0 �/%85 0*��� � 2�� �

� �H b I � b � - �#�������f���� � b 0 ���Q0 �!= � ���!0 �/% �<; 5�= ��� � S 0 ��� + � 4U# � �!4 2�46585 ; ���W# � �� �S� � 4 =&%&% 7�4 ���� ����� � 0 9 � 4 2�46585 ; ��� � # � �� � �3% �!465Z����Q7�����2���? ���(' ? ��� 2 ;������ 4 � S � L9#=���0 + �Y���� � b �>48= �&? ��� � ��� 2�� S #=� � ��� ��$0Q� � 5 ;�� � = �@?���2�46587-4 � 0 =:9�� ��� �>4Q=:9P4 2 + �_X

� � � � � � � � � �� 4�����4 � ��� S � ��LN469P9 4U# � L��!4 5 � �j � �N��:0*�m���� � � =:9P4 2 + � $0 � � 9 ��� ��0 �/��� � 0 � !

'6; 9 0 �LN4��!5 � � 4U# 9������ = � 0 � 0 �R= � ���>0 ��% 5 0Q��� � TP��:0*��2�46585 ; ��� � # � �� �S� ! ��' � � ���>0 93LN4��!5 4 L9�����5 0*��� � T � # 0 � � � �>0 =:9 ��� ���? ��� �����7�����2���? ����' � ��2�� � 4 �0��K %0 ���R; 587�� � 4 � S �/2�46585 ; ��� � # � ���� � � ��7���� � � � � ����' � ��� = 9 4#2 + LN4��R5 S #%� � ��� ��:0*����� �#� ; 0 9 � � % � � ��� ��� �#� ;��"� 0 9�� � �/�>4f���� ����9A0Q� � 4 ���

� � � �9 � � � C*�"#& �Y ,'&�� & ����� & ,�� *�, , � � , ,$ L����� 2�4������ � 7�4 � ? ����' =:9 4#2 + � � �W& � $0 � �(? ��� � ��� 2�� � � ' � ��� 0 9 ; � � S ���� � #�� �&, ,�� � ,2�4 � ��� � = ; ��� �$� 4 �� ����' S ����� 2�� ���� � � � O�� � � � 2���#=�Q0 ���R; 5��W��$0Q� � � 0 � ? �

$0 � � ���� � 0 5��Y� � ' � ��� 0 9 ; � ���21 ���� �$

�H b I � b N b� & � = �H b I .�b�N b� �

Page 220: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

��� O ��� � ��� � � ������� � � �������� � ��� � �% 4�� ?�� 36��� ��� � � ��� S �R; 7:7�4 � � ��:0*� � �;��! �� � #�� � , ,�� � , = ��2�465�� �D �H b I � b N b� F ��� 9 O � L � < � � �b I�� � b N b� :�� � 9 O � L � < � � �b I�� � b N b� :�� � D �H b I�� .�b N b� F &#�������"���� � b 0 ����0 �R= � ���>0 ��%Q2�46587:9�� T �<; 5�= ��� ����� ; 9\� � 7 9 %�����m�!467^�!4U# � � 5�� � ����� � ' `�/$0 � ? 2�469 ; 5 � 4 � =-4*�� ��� ?�� � 4 L1���� ��� ; 0Q� � 4 � �!4Q46=���0 ��� X

* � � & ����� & � � , � * � ��& ����� & � � , C*aO & ����� &4O & � � & ����� & � � , � * . � & ����� &�. � , &#� � 24 ��� ��� ;��"� 0 9�� � �/�>4

� � � � " � / � � < � " � � � " � � � � . � � � " . / � � < � " � � � " . � � � �� ��� 2��$���� � b 2�0 � = �&24:4 � � � 0 �R= � ���>0 � � 9 % S � ��5 ;�� � = �$��$0*�� bb /. b & LN4�� ,E�$f� � *�, ,�� � � ,

$ � ��� �R4 ; � ��� �$�!4 � ��� � L %^��:0*� 0 ��� 5 � 9 0 �%�#� ; 0 9 � � % ��� 46=���0 ��� ��? LN4 � �� �;�� ; 7:7�4 � ����$0*�,���� + 4��R?$0 � =:9P4 2 + � 4 L(���� 5 0Q��� � T � 0*��� �R; 24���$0*� = 9 4#2 +G� # � ������ � 0 5��Y� � ' � ��� 0 9 ; � � 0 ���@0 ? V 0 2�� � � �% 4 �/� T 0 587:9�� S 9����� * � � � � � � � � $ � , � * � $ � ? � � � � � � � $ , � � � � � * � $ ? � � � � � � � � ,�#������� =:9P4 2 + � # � ������ � 0 5 � � ' � ��� 0 9 ; � � 0 ��� 2�4 � ��0 ��� ��? ��� ���� � 0 5�� � ���34 L 7$0 ��� � !���� � � ���� � � 4 � ����' ���� �!; 5 �f��� 7$0*��� � ���� � � � = % � � � � � � � / � � � � � � ��� � 7 ��2�� �"� ��9)% S? ����� ?��Y���� 5 0*��� � T � ��� �>489A0*� ' ��� =:9 4#2 � � #� � 24 #=� 2�0 9P9 �4T ?D? H � ! �� � ? �"�G� ?��Y����5 0*��� � 2�� � � 0 � ? � ��� �>4�2���9P9 �=��� 0�2�4������ � 7-4 � ? ���(' # 0-% ��! ��Y��� �R; 9�� � 0 =�4 � � � :4U#��:0*� 0 9 90���� � 4 � ? � 0 ' 4 � 0 9%2���9P9 � 4 L'�����5 0*��� � T � 0*��� � ���!4 g ���� � ��� ; 2�� ; ��� 4 L'����? � 0 ' 4 � 0 9 2���9 9 � # 0 � 0 9 � 4 ?�� � 2�� � = ��? 0 =�4 � � � ! �� 2�4 � ? � � � 4 ��� LN4������� 5 0*��� � T �46=��>0 ��� ��? ��� ����@7���� � � � � � ��2�� � 4 �<� :4U#K��$0*�/����@? � 0 ' 4 � 0 9-=:9 4#2 � � 4 L'�� ��� 5 0*��� � T?���2�46587-4 � � ��� �>4Q=:9P4 2 � � ��� ���� � 0 5�� # 0-% 0 � ��:4 � ��4 L �S� � 4�����4 � ��� S ����@=:9P4 2 � �4 L,�����5 0*��� � T �j$0 � ��0 � 7 ��2 � 0 9'��� � 0 ��'6; 9 0 � LN4��R5 � #�� ; 0 9 � � � � �#, , � � � 5���0 � ��$0*���� ���� =:9 4#2 � � 4 Lb���� 5 0*��� � T � = ��9P4 ��'�����' �>4�0 '��"� � � 2���9P9 S ���� � 4 � � ���R4���9���5�� � � �9 % ����' 4 � 089 ��� ��7$0 �>0 9 9���9 �!4-����@5 0 ��� ? � 0 ' 4 � 0 9 0 ����#� ; 0 9 �

% 4��/� T 0 587:9�� S 9���� � :0 � �Y����&LN4��R5 '��"� � �<��� #�� � , ,�� � O S

Page 221: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

������� � � � � � � ��� "� ��� � � �T � � � � ��� � � ��� � �@� ,

Z[[[[[[[[[[\

� , O O O O O OO � , O O O O OO O � O O O O OO O O � , O O OO O O O � O O OO O O O O � , OO O O O O O � ,O O O O O O O �

]_^^^^^^^^^^`� *�, , � ��� ,

�&; �Y��� �R; 9�� � � :4U# ��$0*�Y� � ���/% 5 0*��� � T�� ��:0*�@2�46585 ; ��� � # � �� ��0 24 5 0*��� � T#� � 24 2�4 5 5 ; ��� � # � �� � 5 ;�� ��$0 � �����&LN4��!5

Z[[[[[[[[[[\

� � � � � /� � � �

� �� � � �

� �� � � � � /

� � � �� �

] ^^^^^^^^^^`� *�, , � ��� ,

� � � ����? �>4 7��!4 � �f��:0*���E2�0 � = �W����7���� � � � ����? 0 � 0 7�469)% � 465 � 0 9 ������� � �?:4 �� ��� 4 � 9 % LN4�� ���� 7$0 � � � 2 ; 9A0*� 2�0 � ��#������� � $0 � ���� � 7 ��2 � 0 9 LN4 �!5 '���� � �7���#�� � , ,�� ��� S � 4 ��$0*� �e$0 �%� � � LN4��!5 '���� � �^��� #�� � , ,�� ��� � K % 1 ��5 5 0 , ,�� � � , ����������� 0Q7-4 9 % � 465 � 0 9 �3*� , ��$0*� � 0Q� ��� 3 � � ����@2�4 � ? � � � 4 ����X

�3* � , � � � � * * � , � � � � * * * � , � / ��3* � , � � � � * * � , � � � � * * * � , � / �K % 0 7:7:9)% ����' #�� � , ,�� #%� � �����$0*� �3* � , �9:9>'�� � J � � �C K � C�� �&� ��@ � C��6=%E$/�����C�>@ L� ����� ?�� � 4 ���$� � ������ � 4�� � ��$ L � * � , ��� 0 � OAQ O 5 0*��� � T���0 24 4 L #�:4 � �$� � ��� � � ���� 0 ? �PO ����� � � � 0 =:9�� L ;�� 2�� � 4 � .�b X * � , L��!465 � �>4�� S #=� � 0-% ��$0Q� D �6T8�GT L F � M D F � T)C�I� � F D � L T4H � T�� D9D C �%��� ����@5 0*��� � T��

� �* � * � ,!, #�:4 � � *�f � � , �� � � ����% ��� * .�b X , * * � , �� ����� * � , C* � � * � ,������� � � - * � ,R, = � 0 � O ! � ; 7:9�� 4 L ;�� � � 4 # � L ;�� 2�� � 4 ��� � ( � �

! ���?���� ��� 0Q� �"� � 4 L�� * � , # � 9 9 = ��?�� � 4 ����?��� * � , ��� ����� = ��0 �MO QSO 5 0*��� � T 4 � ���� S 0 � ? 2�4 ����� ?����/����@5 0*��� � T ? �PO ����� � � � 0 90��� ; 0Q� � 4 � * # � �� ����� � � 0 9�2�4 � ? � � � 4 � , X

Page 222: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

����� ��� � ��� � � ������� � � �������� � ��� � ��� * � , ��� * � , � � *VO , � � � *�, ,�� ��� ,

3-05476:8 4�� 9:9 c�� c 9 c = �6T<H C ?BA�D FECQJ D C D �6T H � H D T F C�I�� F �$T L T�J D F M@? T� A�M D FECQJ�H F[J� K�����K���F�H � F � T�J �� � * � , ( � � � � KK ��LN4 ���Y#%� 2�0 � 7��!4 � � �� ��� �����4�����5 S #=� � ����? ����&LN469 9P4 # ����' 9���585 0 �� 4 � � � 9,9 c�� c"; c�� �

* ( � � , � ( � � ��=L C C�I#K %+� � � � �!; 7:7-4 � �=��$0*��� ��� ����%��9���5�� � �>0 �/% + 4��R?$0 � =:9 4#2 � � ' ' - *� , ��� N S #������� NZ N - �$ L O , S ����2�0 9P9 ��$0*�h���� 4��R? ��� 0 �/%&? �PO ����� � � � 0 9`��� ; 0*� � 4 �� * * � , � * � , $0 � ���� � 469 ; � � 4 � � * � , � ( � � #������� � � *VO , � � ��� 2�� N � lO S#=� � ���^��$0*� ����������4�����5 :4 9 ? ����� �� ��� 2�0 � � � � 4U# �!; 7 7-4 � �^��$0Q� O � ,�� � 4� ' � � N #������� N - &O�� � ��2�0 9 9b��$0*�

( � ( ��� ( � � � � - < �H X I�� ( � � � � X� �

N X �� ��� 587:9��M2�0 9P2 ; 9 0*� � 4 �^� :4U# � ��$0*�

�� �9 ( ��� : ( � � � � - < �H X I�� @ ( � � � X � � ( �

�� X < �

� �W N X �

�$� ����@4 �������$0 � ? S' ( ��� *� � � N , � ( � � - < �H X I�� � X� � N X��

( � ��� *� ��� N , � � � - <��H X I�� � X� � N X � � - < �� �N�- < � ���

( � ��� � � *�, � � , N � - <��H X I � @ � X� � � � X < �* � ", , � W N X �� @ � - < �*�O , , � � � - <��*�O � , � W N - < � ,��

Page 223: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

��������� � �"��� � � � � � �@� � �

� �9 ( ��� : � 0 � ?�� ��� ����? �

! ��� 2�465 7 9������ � 07��!4#4 L 4 L����� � ��585 0 � � 4 #B� ; � � �!4�07��R4 4 L 4 L ! ���4�����5 , ,����G� ,��%+� � � � �!; 7 7-4 � �B��$0*� � $0 � ���� + 4 �!?$0 � LN4��!5 'Z ��< � � � S #������� ' ' � � � � � � ' � � � ��� 2�� ( � � ��� 0Q7�469 % � 465 � 0 9 ��� � � S (�� � � � � � �� < � ( � � � S �.� � �

( � � �� � ( ��� � � < � � � * ( ��� � � � � � � ( ��� � , � < � �$ � � 4U#�LN469P9 4U# � ��0 ��� 9)%S��$0*�

�� �9 ( � � : � ( � � �� ��� 2�� � � � *VO , ��� 082�4 ��� ��0 � ��5 0*��� � T S �� � 9 ( � � � � : � � � � � S � 4S��$0Q� � ( � � � �

� 0*� ����� � � ���� ? �PO ����� � � � 0 90��� ; 0*� � 4 � �� � � �$ � ��� 0 � ��0 � ?$0 �R? ��� �!; 9\� L��R465l���� �����4���% 4 L ? �PO ����� � � � 0 9 ��� ; 0Q� � 4 ��� ��$0*� �� ���

� 469 ; � � 4 �P��� ���� ;���� � ; � � 469 ; � � 4 � �>4-���� '���� � � �#� ; 0*� � 4 �0�>'�� E8K �&� + C�� �&�,�� ��:4U# ��:0*�m���� � 4��!5 4 L � �� *�� ��� , 0 � ?�� �6� ��? ��� #�� ; 0*� � 4 � , ,��),W��� 0

� ��2��!4�� � 4��!5E4 � *�� ��� , ��� ��#=��? 0 � 0 � ��2��>4�� � 7:0 2�� ��� ���� ;��!; 0 90# 0-% ������ ����� ?�� � 4 ���9���� ?���� ��� 0*� ��� � 467 ���>0*�!4�� S 0 � ? LN4�� 0 L ;�� 2�� � 4 ��� *V��� 4 ; � 2�0 � � 0LN4��R5 0 9$7�4U#%��� � ��� � � � 4 � � 0 ; ��� � � � ��� � � � , 9���� � � X � ?�� � 4 ��� ���� � �� ?���� ��� 0Q� �"� �4 L � S �a� � � S � X *�� , � � X � �*V� , ' �!4 � ���$0Q�

� - *�� � 2 , -H b I�� @ O f W � � b � 2 �.- < b � �*V��� , ��� ��� �@0 � 0�2�4��R469 9 0 �/%��>4Q7$0*��� *V� , ����&L 0 2��/��$0Q�� X *�� � , Hb � ? b I X @ �f � � f � W � � b � ��� � b � �*V����� , � 4U# ;�� �@7$0 � � *V� , 0 � ? ��� ? ; 2�� � 4 � 4 �AO �>4Q7��!4 � ���$0*�

� X *��,- , Hb � ?������ ? b � I X @ �f � �������� f - W ��� b � � � � � � � b � � �

Page 224: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

��� � ��� � ��� � � ������� � � �������� � ��� � �� � ! �� � L C � T�J6F A H�JJC L�F � � ��� 4 L 0 � � Q O 5 0*��� � T � ��� ?�� �6� ��? �!4 = � ����� � ; 0 ���9�!4#4 � 4 L����� �!; 5 4 L����� � � ; 0 ��� � 4 L����� 5 0 '���� � ; ?�� � 4 L:0 9 9�����=� � ��� � � �4 L�� �* 0 , �� 4 # ��:0*�+���� % �!46= � ��� ;��,� 4��!5 ����0 9 9)% ��� 0M5 0*��� � T � 4��!5 *V�a� � � S 0 � ��2��>4��� 4 �!5 4 � ���� � ��2��>4�� � 7$0 2�� 4 L10 9 9 � QMO 5 0*��� � 2�� � , �* = , � 465 7 ; ��� � � ��� 0 � ? ?���? ; 2����$0Q� � � ��� 2�0 ��� 4 � = � 0-���!0 ��� LN4 �!5 0*� � 4 �� 4 �!5 ��� ? ; 2���? =&% � 465�� � ��2��>4 � � 4 �!5 �* 2 , � ����� 0 � ? � = � ;���� ��0 ��%Q5 0*��� � 2�� � 4 L0����M0 7:7��!4 7�� � 0*��� ��� � � � 0 � ? � :4U#��$0*�

� � ��� � � � ��� � � � ��� � � � � ��� �� ��� ��� &( �3*� , 0 � ? &( 2�*� , = � �># 4 �<; 5���� � 2�0 9%L ;�� 2�� � 4 ��� 0 � ?�9������ = �0 � O Q,O 5 0Q��� � T8LN4��=#� � 24 =-4 �� �3* � , 0 � ? 2�* � , 0*���M?�� �6� ��? � �G:4U# ��$0*�

�3* � , 2 * � , 2 * � , �3* � , �

Page 225: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

� � ��� ���� ��

���� � � ��� � ��� � � ������� ��� � ����� � � !� �"�#� �%$

'&)( *,+.-0/012+.34365 78-:9 �;- �;9 <��=/�>@? ACBD-FEHGI>@J �LK K +NM!PORQ2SIQUTVSWQYX[Z\Z4TV]I^_Xa`R]cbdORQ2`@beQfbgXahji_klim^ � QonpXq^m`RkRhRi 'aQY^m`@T � ^_`Rk@XsrutI^_` �R`R^mnWQ^_`RkjhRZ\nW^_Xa`wvyx.zgTV]W^mZ4TVimi % nWOR^_]:{cQ2TV`R]:npO|Tsn:beQ=b}Ts`~nenpX.]IORX�b�npORQ�Q6�[^_]�npQ2`jZ2Q;XVrw]WXa{DQ]WQ6n:bdOj^_Z�O�^_]�{cT��[^_{cTVi~bd^mnpONSIQ2]I��Q\Z\n:npXLZ2Q\SInpTV^_`�]W��Q2Z\^ �|Q\kc�jSWXa��Q2S�np^_Q\]2v���`DnWOR^_]�nWQ6��nbgQ.bgTV`�nLnpX�hj]WQD��XaSI`w��] ��Q\{c{cTcnWX�]WORX�b�npO|Tsn=Q\�VQ2S % �aQ2Z6npXaSL]I�|TVZ\QDORTV]LT��|TV]I^_]\�^�vyQVv���T�{cT��[^_{cTViRi_^m`RQ4TsSWi % ^_`RkjQ2��Q2`RkRQ\`�n}]WQ6n}XVr��aQ\Z\npXVSW]}^m`c]IXa{cQd�aQ\Z\nWXaSg]I�|TVZ2Qsv��PORQ{�T��j^m{�Tsi_^mn % ^m]P`RQ2Q\kRQ2kunpX�]WORX�b npO|TsndnWORQ2]IQ'�VQ2Z\nWXaSW]¡]W�RTV`onWORQ¢Q2`�np^mSWQ¢]W�RTVZ2Qsv

��`uXaSIkRQ2SPnWXD]�n�TsnWQ���XaSW`w�y]��£Q2{D{�T¤beQ�`jQ2Q2k)npXD]WQ6ndnpORQ¢]InpT 'aQsv¥)¦�§�¨�©«ª�©­¬�¨#®"¯j°V±³²µ´µ°V¶d·�±I¸�¹6±'Xa`%Tf`RXa`RQ\{c�[n % ]WQ6nDº"^_].TfSWQ2i_Tsnp^mXa`�»"Xa` �

]pTsnW^_]�r«¼[^m`R½NnpORQLr­Xaimi_X�bd^_`j½R¾¿ v � » � r­XaSdTVimi �fÀ � Á SIQ\Â|Q³�j^��aQ4âÄÅ vd^mr � »@Æ�TV`RkoÆ�» � nWORQ2` �)Ç Æ r­XaS¡TVimi � � Æ À � Á Ts`~nW^_]�¼[{D{DQ\npSI^_Z4Ã6ÄÈ vd^mr � »@Æ�TV`RkoÆ�»�ÉNnpORQ\` � »�É r­XaSdTVimi � � Æ � É À � Á npSWTV`R]W^�np^��aQ�óvÊ ^��aQ2`oT.�|TsSInp^_TVi�XVSWkRQ\S;»ËXa` � beQLXVr«npQ\`o]WT4¼�npO|T�n � ^_]}�RTVSInW^ÌTVimim¼�XaSIkRQ2SIQ2k)��¼

»��|XVS}npO|Tsn Á�� � »=Ã}^_]dT¤¯j°V±³²Í´µ°V¶«¶ÏÎ�·�±I¸�¹6±�¹W¸NÐ�¹6²Ív¥)¦�§�¨�©«ª�©­¬�¨ �£Q\nPnpOjQ'`jXa`RQ2{D�jn�¼)]IQ\n � ��QL�|TsSInp^_TVi_i�¼DXaSWkRQ\SWQ\kY��¼�»'v¿ vd®Ñ]WhR�j]WQ\n �ÒXsr � ^_]LZ2TVi_imQ2k�TCÓ�Ôj°V´«Õu^mr:r­XaS¢TVimi � � Æ À@Ö ��Q\^mnpOjQ2S � »�ÆYXaSÆ�» � v

ÅaÅa×

Page 226: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

ÅaÅ�� ���������� ������������������������������ !�#"$�%�&(')���%*"+ , ��-�.���/ �0

Å vd®�`�1�¯�¯|¹6±326·41�Õ�¸�r­XaSNTf]IhR�R]WQ6n Ö Xsr�5"^_]NTV`%Q\i_Q2{DQ2`�n76 À 5�]WhjZ�O nWO|Tsn8 »�6or­XaSdTVimi 8 À�Ö v

È vd®:9D°<;a´=9D°V¶�¹6¶_¹#9�¹6Õ|² XVr�5�^_]=TV`�Q2imQ2{DQ2`�n?> À 5 ]IhRZ�OUnpO|Tsn;^mr�>!»,@Ur­XaS]IXa{cQ@ À 5¤�RnWORQ2`A> Ç @�v

��`LnpORQFi_^�npQ\SpTsnWhRSWQ�nWORQ2SIQFTVSWQF]IQ\�aQ\SpTVi�`RTV{cQ\]wr­XaS£Z�O|TV^m`R]2��]WhjZ�O¤TV]�¶Ï´«Õ�¹W°V±³¶ÏÎL·�±I¸�¹6±�¹W¸Ð#1�26Ð�¹6²|XaSdÐ6´=9=¯�¶ÏÎN·�±I¸�¹6±p¹W¸¤Ð#1�26Ð�¹6²µv0�PORQ¡Q6�[^_]�npQ2`jZ2Q;XVr�hR�R��Q2S:��XVhR`RkR]eTV`Rkc{�T��[^m{�TViQ2imQ2{DQ2`�np]dkRQ\��Q\`RkR]¡Xa`�npORQ¢`|T�nphRSIQ'Xsr Á 5CB4»=Ã6v

®=]�TV` Q6�jTV{D�Ri_Qs��imQ\nD5 ��QNnpOjQcZ\Xai_imQ2Z\nW^_Xa`�XsrPTVimi�¯�±�·�¯|¹6±�]WhR�j]WQ\nW].XVrFE7G Á npORQ]WQ6n¡XVr���Xa]I^mnp^��aQL^m`~nWQ2½aQ\SW]pÃPXVSWkRQ\SWQ2ko��¼IH�vF�PORQ\`w�Rr­XaSPQ³�RTs{c�RimQV�RnWORQ¢Z�O|TV^_`

J ¿�K H J ¿ B Å!K H J ¿ B Å B È!K HML�L�LkRX�Q2]�`RXsnuORT��VQ TV`�hR�R��Q2S)��XVhR`Rkwv�N¡X�beQ\�VQ2S\�;npORQU]WQ6nA5 kRX[Q\])O|T4�aQ {�T��[^m{�TViQ2imQ2{DQ2`�np]\¾�r­XaSPQ6�jTV{D�Ri_QDE7GPO JRQ K ^_]dT�{�T��j^m{�Tsi�Q\i_Q2{DQ2`�ndXVr�5 r­XaSdTV`�¼ Q À E7G0v

S�¬UT�¨/VXWPY:¦!Z[Z]\u� r�5 ^_]dT�`RXa`RQ\{c�jn�¼��|TVSInW^ÌTVimim¼DXaSIkRQ2SIQ2ko]WQ\n�^_`�bdOR^mZ�OuQ6�aQ\SI¼Z�O|TV^m`�O|TV]dTV`)hR�j��Q\SP��Xahj`Rkw�jnWORQ2`35 O|TV]dT.{cT��[^_{cTVi�Q2imQ2{DQ2`�n4v�� nP^m]PTN`RXa`�npSI^m��^ÌTsiSWQ\]WhRi�n�npORTsn_^0·�±³Õa` Ðcb�¹#979D°q´_Ðf´«Õ�¸�¹�¯|¹6Õ�¸�¹6Õ|²c·�du²«Ô|¹_1�Ð#1R°V¶Cef^0¹6±#9�¹6¶_·4gfh�±I°�¹6Õ�i�¹6¶ j°<;a´�·49¤Ð}·�d�Ð�¹6²�²«Ô|¹�·�±6Î�^_`;npOjQ�]WQ2`j]WQFnpO|Tsnw^mr~npORQFT��j^mXa{D]wXVr�]WQ6n£npORQ\XaSI¼¢TsSWQ0Z\Xa`R]W^m]InWQ2`�n4�npOjQ2`f]IX�TVSWQ'npORQ\]WQ�T��[^mXa{c]dnpXV½aQ\nWORQ2S¡bd^mnpOf��XaSW`���]�k�Q\{c{cTcXVS�bd^mnWOunWORQ¤`RQ\½�TsnW^_Xa`XVr.��XaSW`���]3k£Q2{D{cTjv��PORQ�n�beXHXsnpORQ\So{DXa]�n)`RQ4TVSIim¼�]In�Ts`Rk|TVSIk T��j^mXa{D]�npO|T�nYTsSWQQ�l~hR^��sTVi_Q\`~n'npXY��XaSI`w��]Ck£Q2{D{�T Á ^m`�nWORQc�jSWQ2]IQ2`RZ\Q�XVrgnWORQ�hj]Wh|TVig�-m�n#T��[^_XV{c]pâTsSWQnpOjQpo$;a´�·49�·�drq�Ô|·�´�Ó�¹PTV`RkYnWORQtsf¹6¶«¶vu}±I¸�¹6±6´«Õ!wPxe±³´«Õ�Ó6´ ¯�¶_¹6v}��`YnWOR^_]dnpQ³��n4� bgQ+yIhR]InhR]IQP��XaSI`w��]�k£Q2{D{�TdTV`jk¤i_Q2T4�aQ}Ts`~¼Lr­hjSInpOjQ2S�kj^_]WZ\hR]W]I^_Xa`�XVrjnWORQ2]IQ}{cTsnWnWQ2SW]£nWX=XVnWORQ2SI]2v

z'&�(³& {�+¤>)|L>~}aBD-���|?�P/0BD- <3�f+C�%|;> Mk£Q\nc����QUTV`�¼l�aQ\Z\npXVSo]I�|TVZ\Q X��VQ2SoTV`#TVSW�j^mnpSWTVSI¼��|Q2imkwv�k£Q6n�� Ç J 5 H � ¾5 ^_]Pim^_`RQ2TVSWi�¼�^m`RkRQ\��Q\`RkRQ2`�n K TV`RkfimQ\n�����Q��|TVS�np^ÌTsi_im¼cXaSIkRQ2SIQ2kf��¼o^_`RZ\i_hR]I^_Xa`�v}� r/�^_]DTV`�¼%Z�O|Ts^_` ^_`��P�:npORQ\`HnWORQuhj`R^_Xa` XVr;TVi_ignWORQo]WQ\nW]�^m`���^m]cTs`HhR�j��Q\Sc��XahR`Rkr­XaS��Dv�N¡Q2`RZ\Qf��¼@��XaSI`w�y]�k£Q2{D{�T]��{.hR]�n�O|T4�VQ�T�{cT��[^_{cTViPQ2imQ2{DQ2`�n��=v ze¼kRQ#�|`R^mnW^_Xa`��%^_]FT¢i_^m`RQ4TsSWim¼�^_`jkRQ2��Q2`RkjQ2`�ng]IQ\n:`RXVn:�RSIXa��Q2SWi�¼NZ2XV`~npTV^_`jQ2kD^_`DTV`�¼NXVnWORQ2Si_^m`RQ4TsSWim¼�^_`RkRQ\��Q\`RkRQ\`~n;]WQ\n2v=� r:Tc�VQ2Z6npXaS��beQ2SIQ.`RXVn=^_`unWORQ.]I�|TVZ2Q¤]W�|TV`j`RQ2k���¼c�=�npOjQ2`���� J � K beXahRi_kU��Q�T�i_^_`jQ4TVSIim¼u^_`RkRQ\��Q\`RkRQ\`~n']IQ\n'�RSWXV��Q\SWim¼YZ2Xa`�npTV^_`R^m`R½��=� TZ2XV`~nWSpTVkj^_Z\nW^_Xa`�v�N�Q\`RZ2Q.��^_]dTN�|TV]I^_]Pr­XaS%�DvF�POR^m]d�RSWX��aQ\]¡nWORQLr­Xai_imX�bd^_`R½¤nWORQ2XVSWQ2{o¾�C� ¦~¬UT�¦!Z �!�����������v }°�Ó�Ô�¡V¹�Ó6²�·�±}Ð�¯j°�Ó�¹v��·4¡V¹6±¡°VÕ�°V±�22´«²µ±I°V±³Î/¢}¹6¶�¸�£ Ôj°�Ð�°p2�°�Ð6´_Ð�¤¥wÔ�´_ÐN´_ÐD°)Ð#1¦26Ð�¹6²���·�d.� Ð#1|Ó�ÔU²«Ôj°V²;¹W°�Ó�Ô_¡V¹�Ó6²�·�±?� À � ÓW°VÕ[26¹�§�±³´«²Í²�¹6ÕC´«Õr¨©1�Ð6²·�Õ�¹D§:°VÎ�°�Ð�°�¶Ï´«Õ�¹W°V±¤Ó�·49P22´«Õ�°V²µ´�·�Õ�·�d'°�¢FÕ|´«²�¹'¶Ï´_Ð.·�dD¡V¹�Ó6² ·�±pТ´«Õ��¤

Page 227: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�������!��� ����%"$ %�/� "+��������& ��������& & 0 ÅVÅ��z'&)(�� � ���|;BD-�|;K B�} *��12341<� �!+.343 Mk£Q\n �ËTV`Rk��o��Q¤TVSW�j^mnpSWTVSI¼o]IQ\np]\vDn|XaS=Q2TVZ�O�� À �)i_Q\n�5���H���vL� r���� À 5��0r­XaS=TVi_i� À � �|bgQ�]pT4¼ J ����¾�� À � K ^_]�T�Ð6Î�Ð6²�¹#9 ·�d'±p¹�¯�±p¹�Ð�¹6Õ|² °V²µ´=¡V¹�Ð}r­XVS�� Ç Á 5���¾�� À �[óv� r}^m`�TskRkR^mnW^_Xa`������Ç ���¤bdORQ2`jQ\�aQ\S �!�Ç#" � Q6�aQ\`�npOjXahR½aO�5��:{cT�¼YQ�l~h|TVi�5$���£nWORQ2`J ���;¾%� À � K ^m]¤TUÐ6Î�Ð6²�¹#9�·�d�¸V´_Ð6²µ´«Õ�Ó6²;±p¹�¯�±p¹�Ð�¹6Õ|² °V²µ´=¡V¹�Ð Á'&)(+* Ã;r­XaS,��v�-;hRSD�|SI]In�RSWXV�Ri_Q\{�^m]2¾/.¡`RkRQ2S}bdORTsndZ2Xa`jkR^mnW^_Xa`R]ekRX�Q2]P]WXV{cQ=rµTs{c^mim¼0�ÑXVr ]Whj�R]WQ6np]dXVr T.]WQ6n1�O|T4�aQ�TV` &)(+*32n XVSFT��|`R^mnWQPZ2Xaimi_Q\Z\np^mXa`.XVr�]IQ\np]:TLSWQ2TV]WXV`|TV�RimQdTV`R]IbeQ2S�bgTV]F½a^m�VQ2`���¼!4�OR^_im^_�7N�TVi_i

^_` ¿65VÈ�× vL� n¢^_]=Xa���[^mXahR]=nWO|TsnL^�r7� Ç�Á 5��g¾8� À �jáO|TV]¢TV` &)(+* ��nWORQ2`�nWORQNhR`R^mXa`XVr0Q2TVZ�O�9�XVr�npORQ'{cQ\{.��Q2SW]dXVr:� Ç�Á 5���¾�� À �[Ã}{.hR]In¡O|T4�VQ.TsndimQ4TV]�n 9)Q2imQ2{DQ2`�np]\vN=TVimi��y]0Xa�R]IQ2S��VT�np^_XV`�bgTV]�npORTsn�npOR^m]0Xa����^_Xahj]:`jQ2Z2Q\]W]WTVSI¼�Z\Xa`RkR^�np^_XV`N^_]FTVim]WXL]Wh�;cZ\^_Q\`~n2v< Q¢]�n�TsnWQ¢nWORQ¢Z2Xa`jkR^mnW^_Xa`�r­XaSI{�Tsi_im¼cTV]Pr­Xaimi_X�bd]2¾= ¬�¨%>�©«ª�©­¬�¨@?BA�C:¾<k£Q6nD� Ç � QFE Ç J ¿ B Å BHGHGIG B Q K ��TV`Rk¢i_Q6n �o��QFTV`�¼ Á `RXa`RQ\{c�[n�¼RÃ

]WQ6n4v%n|XaSdQ4TVZ�O�� À ����i_Q6n%5���H(�}v}�PORQ2`J� Ç Á �%K©BHGHGIG�B©�FLaÃd]WTsnp^m] �|Q\] = ¬�¨%>�©«ª�©­¬�¨?MA�C¡�jSWX���^_kRQ\kor­XaSdQ2TVZ�OJN HO� �:P �RQTS6U��VQWPYXZP[N\P v

�C� ¦~¬-T�¦!Z �!���^]�� ���P¥wÔ|¹)d\°�9N´«¶ÏÎ�� Ç Á �%K©BHGHGIG�B©�FLaÃ�·�d�¢FÕ|´«² ¹6¶ÏÎ�9D°VÕ|Î3e Õ�·�²FÕ�¹�Ó�¹�Ð#gÐ2°V±³´«¶ÏÎ�¸V´_Ð6²µ´«Õ�Ó6² j¤Ð�¹6²­ÐLÔj°�Ф°VÕJ_a`3b´ d�°VÕ�¸)·�Õ|¶ÏÎc´ d¢´«²�Ð2°V²µ´_Ð ¢}¹�ÐPqe·�Õ�¸V´«²Í´�·�Õ[e'cvj�¤xe±�·�·�d ¤¡®=]edgXa`RkR^�np^mXa` Á N;Ã.^_]�Z\i_Q4TsSWim¼ `RQ2Z\Q2]I]pTVS�¼a�PbgQo`RX�b�]IORX�b npO|T�n�^�n�^_]DTVi_]IX]Wh);DZ\^_Q2`�n2v Ö�fhg i kRQ\`RXVnWQ2]cT �RimX[Z�j XVr k�]IhR�R]WQ6np] Á �F�^l©BIGHGHG�B �F�nm�Ã.��Q2i_XV`R½a^_`j½UnWX����bdORQ2SIQ0o Ç P � J �a�;¾��a� ÀUÖ�fhg i©K P v & XpdgXa`Rkj^mnp^mXa` Á N=Ã}]pT4¼�]2¾qorXsk¤r­XaSdQ2TVZ�OY�RimX[Z�jÖ�fhg i v0� r:o Ç k�� Ö�fhg i ^_]eZ4TVimi_Q\k�TuÓ6±³´«²Í´�ÓW°V¶a22¶_·�Ó i�v Á z:¼�Z\Xa`��aQ2`�nW^_Xa`w�[npORQ;Q\{c�[n�¼��RimX[Z�jÖ3tMg t ^_]¤Ó6±³´«²Í´�ÓW°V¶Ïv Ã

� r Ö�fhg i�Ç�Á 5,K BHGHGHG B 5�u B �$u G K BHGHGHG B � f Ã}TV`jkÖ�vwg x¡Ç�Á 5,K#BIGHGHG�B 5�u B�yzu G K BHGIGHG�B�y v ó�jbdSW^�npQ Ö�fhg i|{uÖ�vwg xdÇÁ 5�K#BHGHGHG#B 5�usÃ³Ä Ö�fhg i � Ö�vwg x%Ç Á 5,K©BHGIGHG�B 5�u B �$u G K BHGIGHG�B � f B�yzu G K BHGHGIG�B�y v Ã6v N�Q\SWQnpORQ¡`RXVnpTsnp^mXa`�^_{D�Ri_^mQ2]�nWO|Tsn/5,K#BIGHGHG#B 5�u¢TsSWQd�RSWQ\Z2^m]WQ2i�¼NnpORQd]IhR�R]WQ6np]}^m`���XVnWO��RimX[Z�j~]\v�PORQ2`obdSW^�npQ

Ö�fhg iW{¤Ö�vwg x¡Ç Ö u g } ��bdORQ\SWQ�~ Ç Pf� J 5���¾ ¿ »O�F»�6 K P �~TV`Rk Ö�fhg i � Ö�vwg x�Ç#Ö���g � �bdORQ2SIQ�Æ Ç kq� �:��6��|É Ç P � J �F��¾!�F� À�Ö�fhg i � Ö�vwg xRK P v

�PORQ¤�RSIX[Xsr�bd^mi_iw��Q���¼)^m`RkRhRZ6np^_XV`uXa`)npOjQ�`~hR{.��Q2S Q XVr0]IQ\nW]=^_`)npOjQ¢rµTs{c^mim¼e����Rhjn$�|SI]IndbgQ'`RQ\Q2k)n�bgXci_Q2{D{cTV]2vY:¦!Z[Z]\��!� ��]������q� d���Ð2°V²Í´_Ð ¢}¹�Ðrqe·�Õ�¸V´«²µ´�·�Õ�e'cvj6�g²«Ô|¹6Õ�²«Ô|¹ 1[Õ|´�·�Õ °VÕ�¸�´«Õ|² ¹6±pÐ�¹�Ó#g²Í´�·�Õ ·�d�Ó6±6´«²µ´�ÓW°V¶ 22¶_·�Ó i�Ð�°V±p¹'²«Ô|¹#9¤Ð�¹6¶ ¡V¹�ФÓ6±³´«²Í´�ÓW°V¶ 22¶_·�Ó i�Ð�¤

Page 228: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

ÅaÅ�� ���������� ������������������������������ !�#"$�%�&(')���%*"+ , ��-�.���/ �0

xe±p·�·�d ·�d�b�¹#979D°����!¤�� ¤��!¤ k£Q6n Ö�fhg f Ts`Rk Ö�vwg v ��QU½a^��aQ\` Z\SW^mnW^_Z2TVi;�RimX[Z�j~]2v & T4¼Ö�fhg f { Ö�vwg v¡Ç Ö u g x Ä Ö�fhg f � Ö�vwg v¡Ç Ö�� g � v)�PORQ�ÉYQ2imQ2{DQ2`�np]'XVr}nWORQ�hR`j^_Xa`Ubd^_imi���QnpOjQ kr� �¤Q2i_Q\{cQ\`�np]�XVr Ö�fhg f TV`Rk Ö�vwg v SIQ2kRhjZ2Q2k��~¼ npORQo`~hR{.��Q2S�XVr�Q2i_Q\{cQ\`�np]�^_`��XVnpOU�RimX[Z�j~]2� TV`jkUnWOR^_]Li_TsnWnWQ2S;`~hR{¤��Q\S'^m`RZ2imhRkRQ\]¢Tsn¢i_Q2TV]InLnWORQ��YQ2imQ2{DQ2`�np]¢^m`fnpORQ^_`�nWQ2SW]IQ2Z6np^_XV`w¾¡Éo» k�� �/� � v;®=im]WX�� XM6�Ts`Rk�É X Æ)��¼�dgXV`RkR^mnW^_Xa` Á N=Ã6v��XVnWQV¾Æ1�I6 Ç k/� �³v�N�Q\`RZ2Q+k/� � �_�eX�ÉeX@Æ Ç k7� �V�_6JXOk7� � �_� ��^_{D�Rim¼�^_`j½'nWO|TsnQ�l~h|Tsi_^mn�¼oORXVi_kR]¡npORSIXahR½aORXVhjn4vDN¡Q2`RZ\Q76 Ç �oTV`Rk�Æ Ç É�TV];kjQ2]W^mSWQ\kfr­XaS�nWORQ.�RSIX[XVrXVr)k£Q2{D{�T ¿�Å v È v Å vYF¦ ZtZt\ �!� ��]���]���� d Ö Q g Q�´_ÐD°VÕ|ÎYÓ6±³´«²µ´�ÓW°V¶�22¶_·�Ó io·�d � �d²«Ô|¹D¸�¹6¶_¹6²µ´�·�Õ ·�d�¹6¶_¹#9�¹6Õ|²­Ð·�d Ö Q g Q%d³±p·498°V¶«¶�Ð�¹6²«Ð'´«Õp��Õ�·�²*26¹6¶_·�Õ!wV´«Õ!wD²�· Ö Q g Q;¯�±�·2¸�1|Ó�¹�Ф°cÕ�¹#§�d\°�9N´«¶ÏÎ���0´«Õ§�Ô�´�Ó�Ô�qe·�Õ�¸V´«²µ´�·�Õ�e'c/j�´_ÐLÐ6²Í´«¶«¶ ¡�°V¶Ï´µ¸ ¤xe±�·�·�d¢·�d�b�¹#979D°����!¤�� ¤��av�k£Q\n Ö�fhg i ��Q;TV`�TVSW�R^�npSWTVSI¼��RimX[Z�j �jTV`Rk ÁµÖ�fhg i à Ç,Ö fhg i� npOjQg�RimX[Z�j'Tsr«nWQ2S�nWORQ}kRQ\i_Q6np^_XV`wv%<�Qg{¤hR]In�]IORX�b%npO|Tsn/o XOk�v�k£Q6n Ö�fhg i6{¡Ö Q g Q Ç#Ö u g x

TV`Rk Ö�fhg i � Ö Q g Q Ç Ö�� g � v & T�¼Ö�fhg i0Ç Á 5�K©BHGHGHG B 5�u B �$u G K BHGHGHG B � f éBÖ Q g Q Ç Á 5�K©BHGHGIG�B 5�u B�yzu G K BHGHGHG#B�y0Q�Ã�G

& X Ö u g xËÇ Á 5,K#BHGHGIG�B 5�usÃ6� Ö���g � Ç Á 5,K#BHGIGHG�B 5�u B �$u G K BHGIGHG�B � f B�yzu G K BHGHGIG�B�y0Q�óv�PORQ�kRQ\i_Q6npQ2k'�RimX[Z�j ÁÍÖ�fhg i Ã Ç Ö fhg i ^_] Á 5,K©BHGIGHG�B 5�u B � u G K BHGIGHG�B � f Ã6v zghjn �$u G K©BIGHGHG�B � f �TV]:�Ri_X�Z�j~]gXVr�npORQ�hR`R^_XV` Ö���g � �[Z\Xa`�n�TV^m`�Tsnei_Q2TV]IngÉ ��9DQ2i_Q\{cQ\`�np]g`jXVng^m` Ö Q g Qsv0�PO~hR]o�RX �r� Á Éz�O9jÃ�X 6e�@Æ!�\9 Ç 6 � Á k3�O9e��6�Ã/�O9 Ç k�vpN¡Q2`RZ\Q o�:X k��£TV]kRQ\]W^_SIQ2k)r­XaS}npOjQ'�jSWX�XVr�Xsr�k£Q2{D{cT ¿�Å v È v È v

®=]}^m`RkR^mZ4TsnWQ2k�Ts��X��aQs�[r­XaSFnpOjQ;�RSWX�XVr£XsrwnpORQ={�TV^m`DnWORQ2XVSWQ2{ÑbeQ;`RX�b�hR]WQ=^_`RkRhjZ#mnp^mXa`�Xa` Q v�n|XaS Q Ç�¿ npOjQ¢nWORQ2XVSWQ2{"^_]PXa����^_Xahj]Wim¼�npSWhjQVv

��`RkRhRZ6np^mXa`�N¡¼���XVnpORQ\]W^m]2¾ & hR�R��Xa]WQ}nWORQ}npORQ\XaSWQ\{�ORXVi_kR] Á dgXa`Rkj^mnp^mXa` Á N;Ã�^m{c�Rim^_Q\]npORTsnPnpORQ\SWQ¢^_]dTs` &)(+* Ãer­XaSdTV`�¼�rµTs{c^mim¼DXVr�> ]WQ6np]\� ¿ »�>�� Q v< QD`RQ\Q2k nWXY]WOjX�b�nWORQ�npORQ\XaSWQ\{ OjXai_kR]¢r­XaS'Tu]�¼�]InpQ\{ Xsr Q ]WQ\nW]2v & Xui_Q\n ¿ �

Q �}TV]W]IhR{cQonpORQu^_`RkjhRZ\nW^_Xa` O�¼[��XVnWORQ2]I^_]2�dTs`Rkli_Q6n � Ç Á �%K©BHGHGIG�B©�FLaÃ���QuT�½a^��aQ2`Z2XVi_i_Q\Z\nW^_Xa`�Xsr�]IhR�R]WQ6np]�XVr��%]pTsnW^_]�r«¼[^m`R½edgXa`RkR^�np^mXa` Á N=Ã6v

hF´«±pÐ6²�qF°�Ð�¹6¾c�POjQ2SWQ)^m].]WXa{DQ�Z\SW^mnW^_Z2TVie�ji_X�Z�j Ö Q g Qcbd^mnWO ¿ » 9�� Q v ( Q\i_Q6npQnpOjQNQ2i_Q\{cQ\`�np]L^_`fnWORQN{DQ2{.��Q2SI];XVr Ö Q g Q¤r­SIXa{ÒnpORQNSIQ2{cTV^_`R^m`R½�]IhR�R]WQ6np]\��nWX)Xa�jn�Ts^_`Tu`jQ\bÑrµTV{D^_im¼J� Ç�Ö Q g QF� Ö L��YQ g x ��bdORQ\SWQ Ö Q g Q�Ts`Rk Ö L��YQ g x O|T4�aQ�`RXfZ2XV{c{DXa`Q2imQ2{DQ2`�np]�^_` npORQ\^_S'{cQ\{.��Q\SW]\vYze¼tk£Q2{D{�T ¿�Å v È v È �/dgXV`RkR^mnW^_Xa` Á N=Ã'ORXVi_kR]�^_` � �TV`RkYORQ2`RZ\QNORXaimkR];]WQ\�|TVSWTsnpQ\im¼o^_` Ö Q g Q.TV`jkf^_` Ö L��YQ g x ��^_Q6bgQ\k TV]=rµTV{D^_im^_Q2]PXsrF]WQ\nW]2v

Page 229: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�������!��� ����%"$ %�/� "+��������& ��������& & 0 ÅVÅ 5ze¼UnpORQc^_`RkjhRZ\nW^_Xa`�O~¼���XVnpOjQ2]W^m]2� Ö Q g QcTs`Rk Ö L��YQ g x O|T4�aQ Á kR^_]=yIXa^_`�n�à &�(+* �y]�bdORXV]WQhR`R^mXa`)^_]dTV` &)(+* r­XaS1��vb¡¹#9D°V´«Õ|´«Õ!w�qF°�Ð�¹6¾��PORQ\SWQf^m]�`RX Z2SW^�np^mZ4TVid�RimX[Z�jqr­XaSe� Q6�[Z2Q\�jn)��XV]W]W^m�Rim¼%nWORQ

Q2`�np^mSWQD]I¼�]InWQ2{ov & Q\i_Q\Z\n¤TV`�¼]�a�.XVr � TV`RkUnpORQ\` ]WQ\i_Q\Z\n¤TV`�¼UQ2i_Q\{cQ\`�n�Xsr$�a�NTV]¢^mnW]SWQ\�RSWQ\]WQ2`�npTsnp^��aQVv ( Q\i_Q\nWQgnpOj^_]0Q\i_Q2{DQ2`�n�r­SIXa{�Tsi_ijSIQ2{cTV^_`j^_`R½�]WQ\nW]�npXLXa�jnpTV^_`�T=rµTs{c^mim¼� v�N¡Q2`RZ\QLT¤�RimX[Z�j Ö�fhg i bd^mnWO k�� Q ��Q\Z2Xa{DQ2]PT��Ri_X�Z�j Ö fhg i bd^mnWO o À J o B�o7� ¿ K vze¼fO�¼���XVnpORQ\]W^m] Ö�fhg i bgTV]L`RXVnLZ\SW^�np^_Z2TVi���]WX o X#k � ¿ TV`jk o :X k�v & X dgXa`RkR^�np^mXa`Á N=ÃdORXVi_kR]Pr­XaSPnpOjQ'rµTV{D^_i�¼ ���O J �a� K �RbdOj^_Z�Of��¼)^_`jkRhRZ\nW^_Xa`oO|TV]�TV` &)(+* v|®=kRkonpXnpOR^m] &)(+* nWORQ�Q2imQ2{DQ2`�n¢]WQ\i_Q2Z6npQ\k TV]¢T�SIQ2�RSIQ2]WQ\`�n�TsnW^m�aQ�r­XaSD�a�'npX)Xa�jnpTV^_`UTV` &)(+*r­XaS1��v< QU`RX�b ^_`�npQ\SW�RSIQ\n�npOjQ &)(+* �RSIXa�RimQ2{ Ts]�Xa`RQ�Xa`@{cTsnpZ�Oj^_`R½a]�^_`@�R^m�|TVSInW^mnWQ

½aSpTs�ROR]2v�k£Q6n � Ç�Á�� B���B��.ÃF��QLT��R^_�|TsSInp^�npQ¡½aSpTs�ROwv�n|XaS:Q4TVZ�Oc� H � �ji_Q6n�� Á �FÃkRQ2`jXVnpQDnpORQc]WQ\n�XVrPQ\i_Q\{cQ\`~nW]�Xsr��8Z\Xa`R`RQ\Z\nWQ2kCnpXYTsn�i_Q4Ts]In'Xa`RQcQ2i_Q\{cQ\`�n¤XVr+�,��¼TV`CQ\kR½aQV�0TV`RkC�Rh[n Á �FÃ Ç P � P��ZP�� Á �FÃ�P v 4�hjn� Á � Ã Ç > � @ J Á �FÃD¾)��H �tK v& ^_`jZ2Q Á�� à Ç�� � Z2imQ4TVSIim¼� Á � Ã1X � vg�PORQ2`_N�TVi_iÍ��]}nWORQ2XVSWQ2{Ò]�n�TsnWQ2]�nWO|Tsn � O|TV]�TV`� m�]WTsnphjSpTsnW^_`R½N{cTsnpZ�Oj^_`R½N^�r0TV`jkuXa`jim¼�^�r� Á � à Ç�� v�C� ¦~¬-T�¦!Z �!����] ��� � � Ôj°�Ð °�9D°V² Ó�Ô�´«Õ!wl·�dfÐ6´���¹ � eI·�±�¶�°V±�w�¹6± j%´ d °VÕ�¸�·�Õ|¶ÏÎ%´ d�}»ZP � P6�� Á �FÃ�d4·�±'°V¶«¶-��H � ¤

xe±�·�·�d ¤�n�^_SI]InD`RXVnWQonWO|Tsn�N�TVi_iÍ��]NnWORQ2XaSIQ2{ ]pT4¼�]cnWO|Tsn � ORTV]�T {�TsnWZ�OR^_`j½�XVr;]W^��\Q� Ç P � P ^mr¢Ts`Rk�Xa`jim¼%^mr� Á �FÃ�» � r­XaScTVi_i�� H � ^��P � Pd» P � P)�� Á �FÃ.r­XaSTVi_i���H � v & XCXahjScnpOjQ2XaSIQ2{ ^_]�npSWhjQf^_`HZ4TV]IQ � Ç P � P v ��X�b8]WhR�j��Xa]IQYnpORTsn� � P � P vrn XVSW{ To`RQ\bѽaSWTV�RO � Ç�Á�� B �(� º�B � Ã;��¼�TVkRkR^m`R½o`RQ\b��VQ2SInW^_Z\Q2]º Ç J É K BHGHGHG B�É"! #$! � v K npX%�c� TV`jk7yIXa^m`)Q4TVZ�OYÉI��nWXDQ2TVZ�OYQ\i_Q\{cQ\`~n¡XVr � �~¼oTs`uQ\kR½aQXVr � v

� r � O|TV]FTL{�T�npZ�OR^m`R½;XVr�]W^��2Q �³�anWORQ2` � ~O|TV]FT;{cTsnpZ�OR^m`R½LXVr�]W^��2QzP � P �a^m{c�jim¼�^_`R½npO|T�nPr­XaS¡TVi_i�� H � �

P �3P~»ZP�� Á �FÃ6P Ç P�� Á �FÃ�PT� P � PH���©B^_{D�Rim¼�^m`R½

P � Á �FÃ6P�XZP �3P6��P � P�� � Ç �R� Á P � P�� P �3P Ã Ç � ��P � O%�3P�G�POR^_]d^_]dTsi_]WX�Q l�hj^m�sTVi_Q\`�nPnpX �g»P � P6� Á P �3P�� P�� Á �FÃ�P Ã Ç P � PH�� Á �:óv

Page 230: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

ÅVÈ"� ���������� ������������������������������ !�#"$�%�&(')���%*"+ , ��-�.���/ �0

dgXa`��aQ\SW]WQ\im¼V��]WhR�R��Xa]IQ P�� Á �FÃ�PWX � � P � O-�3P Ç � � Á P � P � P �3P óv��PORQ\`JP�� Á �FÃ6P ÇP�� Á �FÃ�P � P � P�� � X Á �V�\P � PB� P �3P à � P � P�� � Ç P �3P v�ze¼rN=Tsi_i��y]�npORQ\XaSWQ\{u� � O|TV]TV` � m�]pT�nphRSWTsnp^m`R½c{cTsnWZ�OR^_`R½���v=®}nC9�·�Ð6²�P � P � �dQ2kR½aQ\];XVr�� yIXa^m` � npX)º���]WXTsn¢¶_¹W°�Ð6² �gQ2kR½VQ2]¡XVr�� TVSIQ¢r­SIXa{ � nWX �Dv

��XVnWQNnpO|Tsn �¤» P � P � Á �FÃ=r­XaS¢TVi_i�� H � ^�����»�>p� Q���� # Á P � P�� Á �FÃIà ÇP � P6��> � @ ��� # Á �:Ã Ç P � P�� Á � óv= ¬UT�¬�� \�T�� �!����] �� ���¥wÔ|¹L¶�°V±fw�¹�Ð6²�9D°V²�Ó�Ô�´«Õ!w)·�d � Ôj°�Ð;Ð6´���¹0P � P6� Á � Ã Ç > Á � Ã��´ ¤µ¹�¤ � > Á � Ã|� Á � Ã Ç P � P ¤

z'&�(�� � ���|;BD-�|LK B�}�� +.-F>R�f+¤343 �!+.323�����-=( M�YTV`�¼NXsr�nWORQP^_kjQ4TV]�XVrgt��R`R^mnWQ2x¢Z2Xa{¤�R^_`|T�npXaSI^_Z2]�O|T4�aQd½aQ\`RQ2SWTVi_^��4TsnW^_Xa`R] npX¢]W^�nph|T�np^_XV`R]^_`.bdOj^_Z�OD]WXa{DQPXVr�npORQP]IQ\np]:^_`��VXaim�VQ2kcTVSWQP^m`��|`R^�npQVv%< Q�yIhj]InFnpXahjZ�OcXa`NnWOR^_]�]IhR�!yIQ2Z6n4v

Ê ^��aQ\`�T�rµTV{D^_i�¼ � XVr:]IQ\np]\��^�rFnpORQ�`~hR{.��Q2S¢XVr:]WQ6np]'^_`fnWORQNrµTV{c^mim¼o^_]=^_`��|`j^mnpQs�npOjQ2SWQ;TVSWQ;]IQ\�VQ2SpTsiwb}T4¼�]PnpORQ=nWORQ2XVSWQ2{�XVr%4�v¦N=TVimi�Z2TV`���Q=½aQ2`RQ\SpTVim^��\Q2kwv7-;`RQLXsr£npORQ�|SI]In Á TV`RkDnpX�XahRS:{c^m`Rk�Xa`RQ=Xsr�npOjQ={DXa]In:hR]IQ\r­hRiÌÃ�bgTV]g½V^m�aQ\`���¼��YTVSI]WO|TVi N=Tsi_i����VS2vÁ `jXDSIQ2i_Tsnp^��aQLXVr:4�vUN�TVi_iÌÃ6�RTs`Rk)^_]dTV]Pr­Xaimi_X�bd]2v�C� ¦~¬UT�¦!Z �!� ��� � ��� _U1�¯�¯|·�Ð�¹�²­Ôj°V²�d4·�±Y¹W°�Ó�Ô��D´«ÕHÐ�·49�¹�´«Õ�¸�¹ ; Ð�¹6²q�@²­Ô|¹6±p¹)´_Ðu°�|`R^�npQ�Ð#1¦26Ð�¹6² 5��=·�d�°DÐ�¹6²)�$¤r¥wÔ|¹LÐ6Î�Ð6²�¹#9� Ç Á 5��«Ã �^S��.Ôj°�Ð�°VÕ�_a` b�´ d�°VÕ�¸o·�Õ|¶Ïδ d}²«Ô|¹�d4·�¶«¶_·4§�´«Õ!w�qe·�Õ�¸V´«²µ´�·�Õ�e'cA` j=Ô|·�¶�¸�Ð��/h ·�±�¹W°�Ó�Ôv¢FÕ|´«² ¹eÐ#1¦26Ð�¹6² � ·�d:��²«Ô|¹}Ð6Î�Ð6² ¹#9� Ç Á 5��­Ã �^S�� Ð2°V²µ´_Ð ¢}¹�ÐPqe·�Õ�¸V´«²µ´�·�Õ�e'cvj�¤xe±p·�·�d ¤q<�QNQ2]InpTV�Rim^_]WOUT��RTVSInW^ÌTVi XaSWkjQ2S;Xa`�kjQ2i_Q6np^mXa`R]2��bdSW^mnW^_`R½ y KHy��;r­XaS=kRQ2imQ#mnp^mXa`R]ry K'TV`Rk y��.^��%Q4TVZ�OqQ\i_Q\{cQ\`~n�kRQ\i_Q\nWQ2kC��¼ y K¢^_]�TVi_]IXYkRQ\i_Q6npQ2k �~¼ y��4vJ-;rZ2XVhRSW]IQV�ebeQuTVSWQ)^_`�nWQ2SWQ\]InWQ2k�XV`Rim¼q^m`%kRQ2imQ\np^mXa`R].bdOR^mZ�O��RSIQ2]IQ2SI�VQ�dgXa`jkR^mnW^_Xa` Á N�� Ã6v� rdTVimi0kRQ\i_Q\nW^_Xa`j]�^m` TV`�TV]IZ2Q2`jkR^_`R½YZ�O|TV^_`@y K7H y��rH~L�L�L�H yz��H~L�L�L¢�RSIQ2]WQ\SI�VQdgXa`Rkj^mnp^mXa` Á N=Ã6��i_Q6n,y ��QNnpORQDkRQ\i_Q\nW^_Xa`�bdOR^mZ�O�Z\Xa`R]I^_]InW]�Xsr}kRQ\i_Q\nW^_`R½oTV` Q2imQ2{DQ2`�n8 r­SIXa{�T�]IQ\n.5�^���npORQ\SWQN^m]L]WXa{DQz�Pr­XaS=bdOR^mZ�O 8 ^_];kjQ2i_Q6npQ\kUr­SIXa{�5���¼�yz��v�sY¹°�Ð�Ð�¹6±³²F²­Ôj°V²}¸�¹6¶_¹6²Í´�·�Õpy!°V¶ Ð�·L¯�±p¹�Ð�¹6±#¡V¹�Ð�qe·�Õ�¸V´«²Í´�·�Õte'cvj�¤��`�TV`�¼��RimX[Z�j Ö�fhg i XVr ��� Á k4B�o � �@ó�[T�ne{DXa]�ngT?�|`R^�npQd`~hR{.��Q2S:XVrwkjQ2i_Q6np^mXa`R]F^_`

npOjQeZ�O|Ts^_`¤Z2TV`NT ��Q2Z6n Ö�fhg i v � r|`RX�kRQ2imQ\np^mXa`¤XsrjnpOjQgZ�O|TV^m`.T ��Q2Z6np] Ö�fhg i �snpOjQ2`.XVrRZ2XahRSI]WQy�kRX�Q2]P`RXVn�T ��Q2Z6n Ö�fhg i �|TV`Rk dgXa`Rkj^mnp^mXa` Á N=Ã}]Inp^mi_i�ORXai_kj]}r­XaS Ö�fhg i v -=npORQ\SIbd^_]IQV�|imQ\nyzL¤��Q�nWORQ;i_TV]IngkRQ2imQ\np^mXa`cnWO|Tsn}T ��Q\Z\nW] Ö�fhg i v & X.hR`jkRQ2S1yzL Á TV`jk�ORQ2`RZ\QLTVim]WX.hR`jkRQ2Sy�à ÁÍÖ�fhg i à Ç,Ö fhg i ]InW^_i_i�]pT�np^_]��|Q2]1dgXa`RkR^�np^_XV` Á N=Ãe��¼�O�¼���XsnpORQ\]W^_]\�R^�vyQVv�� o XOk�v�zghjnÖ�fhg i ^m]�TVSW�j^mnpSWTVSI¼V�F]WX y �jSWQ2]IQ2S��aQ2] dgXa`RkR^�np^mXa` Á N=ÃNXV` ��v%z:¼ ��XaSW`���]Pk£Q2{D{�T[�

Page 231: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�������!��� ����%"$ %�/� "+� �c� � ��%�& &[����& &����4 .� 0 ÅsÈj¿npORQ\SWQ;bd^mi_i���Q¢T.{cT��[^_{cTVi kRQ2imQ\nW^_Xa`��y �jSWQ2]IQ2S��[^m`R½edgXa`RkR^�np^mXa` Á N=Ã6v)<�QL]WOjX�b#npORTsnhR`RkRQ\S;]WhjZ�O�Tc{�T��[^m{�TVi£kjQ2i_Q6np^mXa` �y8�RSWQ\]WQ2S���^_`R½ dgXa`jkR^mnW^_Xa`� ��Q2TVZ�O�kRQ2imQ\nWQ2kf]IQ\n� � O|TV]PXa`Ri�¼�TN]I^_`R½aimQ=Q\i_Q2{DQ2`�n2v$dgimQ4TVSIim¼�npOjQ2]WQ¢Q\i_Q2{DQ2`�nW]}bgXahji_k�r­XaSW{"TV` &)(+* r­XaSnpORQ¢XaSI^_½a^m`|TVi ��v& hR�R��Xa]WQ.nWORQ2SIQ.^_]=TV`��)K¡`RXVn=��Q\i_Xa`R½V^_`R½DnpX�T�Z\SW^�np^_Z2TVi��Ri_X�Z�j v ( Q2imQ\nWQz�)Kdr­SWXa{

Q\�VQ2SI¼o]IQ\n�5�� Z2Xa`�npTV^_`R^m`R½!�)K6v$.¡`RkRQ\SdnWOR^_]dkRQ\i_Q6np^_XV`uT��RimX[Z�j Ö�fhg i ^_]PSIQ2�Ri_TVZ2Q\ku��¼oT�Ri_X�Z�j Ö fhg i bd^mnWO�o X o � ¿ X#k[��]WX dgXa`Rkj^mnp^mXa` Á N;Ã�^m]=�RSIQ2]WQ\SI�VQ2kwv7N¡Q2`RZ\Q�Tsr«npQ\ST.{�T��j^m{�Tsi�kRQ\i_Q6np^_XV`�Q4TVZ�OoQ2imQ2{DQ2`�nPimQ\r«nP^m]}^_`�]IXa{DQLZ2SW^�np^mZ4TVi��Ri_X�Z�j v�®=`Rk)^�r Ö Q g Q=^m]T.Z2SI^mnp^mZ4TVi��RimX[Z�j �jbeQ¢{�T4¼ckRQ2imQ\npQLQ\i_Q\{cQ\`~nW]PXVr Ö Q g Q¡r­SWXa{�TVi_i�]WQ6np]P`RXVnd^m` Ö Q g Q;TV`Rk]InW^_i_i��RSWQ\]WQ\SI�aQ dgXa`RkR^�np^mXa` Á N=Ã;�~¼_k�Q\{c{cT ¿�Å v È v ÈUÁ ]I^_`RZ\QD^�nL`RQ\Q2kR]¢npXoTV�R�jim¼uXa`Rim¼npX��|`R^�npQ2i�¼�{cTV`�¼�]WQ6np];T�n=TNnp^m{cQ4Ã6v:ze¼)�PORQ\XaSWQ\{ ¿�Å v È v ¿ Q4TsZ�OYZ2SI^mnW^_Z4Tsiw�Ri_X�Z�j Ö Q g QÁ ��Q2^m`R½��|`R^mnWQ�Ã=��Xa]W]IQ2]I]WQ2].TV` &�(+* bdORQ2` dgXa`RkR^�np^mXa` Á N=ÃLOjXai_kR]\v�N�Q\`RZ2Q�bgQD{cT�¼��Q\SIr­XaSI{�TV` TVkjkR^mnW^_Xa`|Tsi�kRQ\i_Q\nW^_Xa`�imQ4T4��^_`R½ Ö Q g QNTV]¢T�Z2XVi_i_Q\Z\nW^_Xa`fXsrg]I^_`R½aimQ\nWXa`�]WQ6np]TV`Rk)bd^mnWOJdgXV`RkR^mnW^_Xa` Á N;Ã}]InW^_i_i�ORXaimkR^_`R½.r­XVS}npORQ'Q2`�np^mSWQLSIQ2{cTV^_`R^m`R½N]WQ6np]\ve� n¡^_]P`jX�bZ2imQ4TVS npO|Tsn0Tsr«npQ\S0T¡{�T��[^m{�TVi�kjQ2i_Q6np^mXa` �y��jSWQ2]IQ2S��[^m`R½,dgXa`Rkj^mnp^mXa` Á N;ó�sQ2TVZ�ONQ2imQ2{DQ2`�n^_]e^_`�T¤Z\SW^�np^_Z2TVi �Ri_X�Z�j �RTV`jk�Q4TVZ�O)Z\SW^mnW^_Z2TVi �Ri_X�Z�j�Z2Xa`R]I^_]�np]}XVr�]I^_`R½Vi_Q\nWXa`�]IQ\np]\v/N�Q2`jZ2QTsr«npQ\S=TD{�T��j^m{�TsiwkRQ2imQ\nW^_Xa`�y �RSIQ2]IQ2SI��^m`R½ dgXa`Rkj^mnp^mXa` Á N=Ã6��Q4TVZ�Of]IQ\n=Z2Xa`R]I^_]�np]=Xsr�T]W^m`R½ai_QLQ\i_Q\{cQ\`~n2�|TV`Rk)npOjQ2]WQ'Q2imQ2{DQ2`�np]Pr­XaSI{ TV` &)(+* r­XaS1��v

�PORQ:r­XVi_i_X�bd^m`R½enWORQ2XaSIQ2{o��]WXa{DQ\nW^_{DQ2]£Z4Tsi_i_Q\k;npORQ d}Ts`~nWXaS�� & Z�ORSWX�Q2kjQ2S���zgQ2SI`R]InWQ2^_`�PORQ2XVSWQ2{o��bd^mi_i���QchR]IQ2kCbd^�npOUnpORQDnpORQ\XaSWQ\{ Xsr ��v�N=TVimi�� �VS2v�npXu]WORX�b�nWO|Tsn¤TV`�¼n�bgX��|Ts]WQ2]PXsr�T¤�VQ2Z6npXaSP]I�|TVZ2Q.�X��VQ2S¡T �|Q\i_k3£{.hR]In}O|T4�aQ;npOjQL]pTV{DQ;Z4TsSWkR^m`|TVi_^�n�¼av�C� ¦~¬-T�¦!Z � ����� ��� �%b ¹6² � B � 26¹¢Ð�¹6²«Ð��g°VÕ�¸�¶_¹6²� �¾ ��� � °VÕ�¸��#¾ � � � 26¹´«Õ<¨4¹�Ó6²Í´=¡V¹?9D°6¯�¯�´«Õ!w�Ð�¤�¥wÔ|¹6Õf²«Ô|¹6±p¹N¹ ;a´_Ð6²­Ð¤°�22´ ¨4¹�Ó6²µ´�·�Õ��Y¾ ��� ��¤xe±�·�·�d ¤¡�PORQ�Q\i_Q\{cQ\`~nW]gXVr � bd^mi_iR��Q�SIQ\r­Q\SWSWQ\k�npX¤TV]:{�TVimQ2]\�anpORXa]IQ=XVr ��TV]Fr­Q2{cTVimQ2]2vn|XaS%@ À � ��^�r� Á @�Ã Ç Æ��|beQ.]pT4¼uÆ�^_]�nWORQ¤kRTVhR½aO�npQ\S=XVr)@ TV`Rk�@U^m]¡nWORQ�rµTsnWORQ2S¡XVrÆ�ve®=`|Tsi_Xa½aXVhR]Wi�¼a�|^mr�� Á ÆjÃ Ç @�� bgQ']pT4¼3@�^m]dnWORQ']WXa`uXVr�Æ�TV`jkYÆ�^_]PnWORQ�{DXVnWORQ2SdXVr@�v�®Ë{cTVi_Qdbd^mnWO�`RXN{DXVnpORQ\Sg^m]g]pTs^_k�nWX.��Q;TV`%tWTVkRTV{uvyxU® r­Q\{�TVimQ¡bd^�npO�`RX�rµTsnpORQ\S^_]}]WTV^_kcnpXN��QLTV` tIQ6�aQVvyx ®�`RZ2Q\]InWXaSW]dTV`jk�kRQ2]IZ2Q2`jk|TV`�np]�TVSWQ=kRQ �|`jQ2k)^_`�nWORQ;`|TsnWhRSpTsib}T4¼V�jQ6�[Z\Q2�jn}nWO|TsneQ4TVZ�O�@�XaS:ÆN^_]:��XVnWO�TV`�TV`RZ\Q2]InWXaSgXsrw^mnW]WQ\imr£Ts`Rk�T'kRQ2]IZ2Q2`jk|TV`�nPXVr^mnW]WQ2i�r v0� r�É À � � � O|Ts]dTV`)TV`RZ\Q2]InWXaS}npORTsnd^_]PTs`)TVk|TV{ Á SWQ\]W�wv��|Q\�VQ�ÃgbeQ']WT4¼�npORTsnÉYO|TV].TV`CTVkRTV{ Á SWQ\]W�wv��0Q6�aQ�óv�4�TVSInW^mnp^mXa` � TV`Rk � ^_`�nWXunpOjQcr­Xaimi_X�bd^_`R½)kR^m] yIXa^m`�n]WQ6np]2¾

� K Ç J @ À � ¾ @fO|TV]d`RX��<��� K Ä

� � Ç J @ À � ¾ @fO|TV]¡TV`��<��� K Ä

Page 232: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

ÅVÈ�Å ���������� ������������������������������ !�#"$�%�&(')���%*"+ , ��-�.���/ �0

� K Ç J Æ À ��¾aÆ�O|TV]d`RX��<� � K Ä

� � Ç J Æ À ��¾aÆ�O|TV]¡TV`��<� � K G��X�b�TYi_^�nWnWi_QNnpORXVhR½aO�n.]IORX�bd].npO|Tsn ¾ � K � � K¢^_]¤TY�R^ yIQ\Z\nW^_Xa`w��TV`Rk � � K ¾

� � � � ��^m]dTDTN�R^ yIQ2Z6np^_XV`wv & X� Ç 8P # l � � � K P # �

^_]dTN�R^ yIQ2Z6np^_XV`�r­SWXa{ � nWX%�cv

= ¬UT�¬�� \�T�� �!����� ��]��1�=d%� ´_Ð�°r¡V¹�Ó6²�·�±;Ð�¯j°�Ó�¹.·4¡V¹6±L²«Ô|¹�¢}¹6¶�¸C£ °VÕ�¸D´ d Ö K¤°VÕ�¸ Ö �°V±p¹¢² §g·r2�°�Ð�¹�Ð�d4·�±��0�:²«Ô|¹6Õ P Ö K6P Ç P Ö � P ¤xe±p·�·�d ¤�k£Q\n Ö K Ç J @ �L¾%� À � K TV`Rk Ö � Ç J ÆI��¾ "qÀ��)K vcn|XaS�Q2TVZ�O � À � ��imQ\n� � Ç J "�À�� ¾�ÆI�=X�Z2Z2hjSW]Pbd^mnWOo`jXa` �2Q\SWXDZ2X�QT;DZ2^mQ2`�n�^_`�npOjQ'hj`R^ l~hRQ'i_^m`RQ4TVSQ6�[�RSIQ2]I]W^_XV`ur­XaSF@ � ^_`�nWQ2SW{D]PXVr npORQ¢Æ � o K v �PORQ2`�npORQ:hR`R^mXa`�Xsr|TV`�¼ 9 Á X ¿ Ã�� � ]2�s]pT4¼� � l BIGHGHG�B��|����[Q4TVZ�O)XVr£bdOR^mZ�O�XVr�Z2XVhRSW]IQL^_]v�R`R^mnWQV��{.hR]In}Z2Xa`�n�Ts^_`�Tsn}i_Q4Ts]Inq9DkR^_]�np^_`jZ\nQ2imQ2{DQ2`�np]\vtn|XaS�XVnpOjQ2SIbd^m]WQ�@ � l BHGHGHG B @ ��DbeXahRimk%��Q\i_Xa`R½unpXUTf]W�RTVZ2Q�XVr¡kR^m{cQ\`R]W^mXa`i_Q\]W]gnWO|TV` 9��|Ts`Rk�ORQ2`jZ2Q¢��Q=i_^_`jQ4TVSIim¼DkRQ2��Q2`jkRQ2`�n4v:�PO~hR]PnpORQ�rµTV{c^mim¼ Á �|� ¾�� À �[ÃeXVr]WQ6np]L{.hj]In¢O|T4�aQDTV` &�(+* v��POR^_];{DQ4Ts`R];npORQ\SWQN^m]LT�r­hR`RZ6np^_XV` o¾ � � � bdOR^mZ�OU^_]TV`o^_`4yIQ\Z\nW^_Xa`wv & ^m{c^miÌTVSIim¼a��nWORQ2SIQ�^m]�Ts`u^m`4yIQ2Z6np^_XV` ��¾ � � � v & XD��¼�npORQ'�RSWQ\Z2Q\kR^_`R½npOjQ2XaSIQ2{"nWORQ2SIQ'^m]dTD�j^ yIQ2Z6np^mXa` ��� � �|^�vyQVv��:P Ö K6P Ç P Ö � P v

z'&�(� ���A|L-��¡14>)|L> M���£¦ T���© W2¦��!� �� ���� �����)b�¹6²Y� Ç Á 5,K©BIGHGHG�B 5�LaÃv26¹g°�d\°�9N´«¶ÏÎ;·�d0Ð#1�26Ð�¹6²­ÐP·�d J ¿ BHGHGHG B Q K ¤_U1�¯�¯|·�Ð�¹.²«Ôj°V²P²­Ô|¹.´«Õ�Ó6´µ¸�¹6Õ�Ó�¹ 9D°V²Í±³´ ;f·�d.²«Ô|¹*d\°�9N´«¶ÏÎ�´_Ф´«Õ�¡V¹6±³²Í´ 22¶_¹�¤0_RÔ|·4§#²«Ôj°V²d²­Ô|¹d\°�9N´«¶ÏÎ.Ôj°�Ð�°VÕ�_a` b¤

���£¦ T���© W2¦t�!���� ���� �����%xe±p·4¡V¹'²­Ô|¹�d4·�¶«¶_·4§�´«Õ!w w�¹6Õ�¹6±I°V¶Ï´���°V²Í´�·�Õ�·�d�c¢°V¶«¶ ` Ð3¥wÔ|¹�·�±p¹#9 �b�¹6² � Ç�Á 5�K#BHGHGHG B 5�LaÃ26¹;°*d\°�9N´«¶ÏÎD·�dPÐ#1¦26Ð�¹6²«Ð¢·�d � ²­Ôj°V²�Ð2°V²µ´_Ð ¢}¹�С²«Ô|¹)d4·�¶«¶_·4§�g

´«Õ!w�¯�±p·�¯|¹6±³²ÍÎ �t¥wÔ|¹6±p¹�´_Ð�°VÕq´«Õ|² ¹fw�¹6±�kI§�´«²«Ô � »k � Q d4·�±�§�Ô�´�Ó�ÔU²«Ô|¹P1[Õ|´�·�Õ�·�d¹W°�Ó�ÔDÐ#1¦2�d\°�9N´«¶ÏÎ�·�d19�Ð#1�26Ð�¹6²­Ð�·�d � �¦d4·�±L°V¶«¶ 9�§�´«²«Ô � » 9�» Q �0Ôj°�Т°V²F¶_¹W°�Ð6²%9,��k¹6¶_¹#9�¹6Õ|²«Ð�¤P¥wÔ|¹6Õf²«Ô|¹6±�¹'´_Ð'°DÐ#1¦2�d\°�9N´«¶ÏÎ�·�d=Ð6´���¹ Q � k3§�Ô�´�Ó�Ô�Ôj°�Ф°VÕJ_a` b¤*e'c=´«Õ|² �_ ²�°V±6²*22Î�°�¸�¸V´«Õ!wrk��͸�1 979NÎ��.¹6¶_¹#9�¹6Õ|²­ÐL²­Ôj°V²*26¹6¶_·�Õ!wc²�·�°V¶«¶w²­Ô|¹LÐ�¹6²«Ð�¤ j

Page 233: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

������� ������/ �)�� ��/ �0 ÅsÈaÈ���£¦ T���©�W\¦_�!� �� ���� �^]��+b�¹6² � 26¹¢°Ae ¢FÕ|´«² ¹��)1�Õ�¸V´«±�¹�Ó6²�¹W¸ ��Ð6´=9=¯�¶_¹ jwV±I°6¯|Ôr§�´«²­Ôr¡V¹6±³² ¹ ;Ð�¹6²v�r¤�b�¹6²�� Ç J ����¾U@ À � K 26¹D°Dd\°�9N´«¶ÏÎu·�d¤Ð�¹6²«ÐN´«Õ�¸�¹ ;[¹W¸A22Îo²«Ô|¹7¡V¹6±³²µ´�Ó�¹�Ð�·�d� ¤Ph ·�± � H �!�P¶_¹6²/� # Ç ���HS # ���!¤po�Ð�¹6² � H � ´_ÐD��gWÓ�·�¶_·�±I° 22¶_¹.´ dD·�Õ�¹�ÓW°VÕ°�Ð�Ð6´XwVÕ ²�·�¹W°�Ó�Ô_¡V¹6±³²�¹ ;�@ À � ° � Ó�·�¶_·�± ���� À ���oÐ�·)²­Ôj°V²�� �Ç � � §�Ô|¹6Õ�¹#¡V¹6±�@°VÕ�¸�Æl°V±p¹�°�¸ ¨\°�Ó�¹6Õ|²=´«Õ � ¤Ixe±�·4¡V¹c²«Ôj°V²;´ d P � # P:X P � P�§�Ô|¹6Õ�¹#¡V¹6± � ´«Õ�¸�1 Ó�¹�Ð�°Ó�·�Õ|Õ�¹�Ó6² ¹W¸.Ð#1¦2 wV±I°6¯|Ôu·�d � ��²­Ô|¹6Õ��8´_Ð%��gWÓ�·�¶_·�±I° 22¶_¹�¤ e �6Õu²­Ô|¹¤Ó#1[±³±p¹6Õ|²F¶Ï´«² ¹6±I°V² 1[±p¹.·�dwV±I°6¯|Ô�²«Ô|¹�·�±³Î��0²­Ô|¹¡Ð�¹6²­Ð¢°�Ð�Ð6´XwVÕ�¹W¸.² ·.²­Ô|¹�¡V¹6±³²Í´�Ó�¹�ÐL°V±p¹�ÓW°V¶«¶_¹W¸Li_^m]Inp]��F°VÕ�¸.²«Ô|¹'¸�¹�Ð6´«±p¹W¸¯�±p·�¯|¹6±�Ó�·�¶_·�±³´«Õ!w�·�d � Ó�Ô|·�Ð�¹6Õ.d³±p·49"²«Ô|¹L¶Ï´_Ð6²«ÐL´_Т°'im^_]IngZ2XaimXaSW^m`R½Y·�d � ¤�s�Ô|¹6Õ � ´_аfÓ�·49=¯�¶_¹6²�¹?wV±W°6¯|Ô��g²«Ô�´_Ðc¹ ;[¹6±pÓ6´_Ð�¹wV´=¡V¹�Ð�¯�±p¹�Ó6´_Ð�¹6¶ÏÎ!c¢°V¶«¶ ` Ðc¥wÔ|¹�·�±p¹#9 ·�Õ�_a` b3` Ð�¤.oÓ#1[±³±p¹6Õ|²�±p¹�Ð�¹W°V±pÓ�Ô�²�·�¯�´�Ó;´«Õ�wV±I°6¯|Ô�²«Ô|¹�·�±³Î.´_ÐL²«Ô|¹;´«Õ�¡V¹�Ð6²µ´Xw�°V²µ´�·�ÕU·�d�9�·2¸V´ ¢}ÓW°V²Í´�·�ÕjТ·�d²­Ô�´_ÐNÓ�·�Õ�¸V´«²µ´�·�Õf²«Ôj°V²FÐ#1��@Ó�¹�d4·�±L²­Ô|¹N¹ ;a´_Ð6²�¹6Õ�Ó�¹.·�d¢¶Ï´_Ð6²PÓ�·�¶_·�±³´«Õ!w�Ð�¤

���£¦ T���©�W\¦��!���� ���� ��� �3s�´«²­Ôf²­Ô|¹�Ð2°�9�¹¤Õ�·�²�°V²µ´�·�Õ%·�d�²­Ô|¹�¯�±p¹#¡�´�·41~ÐD¹ ;[¹6±pÓ6´_Ð�¹���¯�±p·4¡V¹²­Ôj°V²¢´ do¹#¡V¹6±6Î�¯�±p·�¯|¹6±cÐ#1�26Ð�¹6².·�d�� ´_Ð���gWÓ�·�¶_·�±I° 22¶_¹)°VÕ�¸ P �� P X P � P �'²­Ô|¹6Õ[� ´_Ð�PgWÓ�·�¶_·�±I° 22¶_¹�¤

Page 234: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

��� � ���

5 Ç�� E� � g l�� ÈaÈ�� m�kRQ\Z2Xa{D��XV]W^mnW^_Xa`�� ¿����� � E� � È�Å� m�`jXaSW{o� ¿�ÅsÈ� Á�� B ��ó� Å��Q m i_^m`RQ4TVS\� ×a׿ m `RXaSW{o� ¿�ÅVÈÅ m `RXaSW{o� ¿�ÅVÈTVim½aQ2�RSWTV^_Z�{.hRimnW^_�Rim^_Z\^mn�¼ XVrLTs`HQ\^_½aQ\` m

�VTsi_hRQs� ¿�� 5TVim½aQ2�RSWTV^_Z2TVi_i�¼�Z2imXa]WQ\kw� × �TVi�npQ2SI`|TsnW^_`R½ Á Q m i_^_`jQ4TVSpÃ6� ×���|TV]I^_]PXVr�TN�aQ2Z6npXaSd]I�|TVZ2Qs� ÅaÅ�|TV]I^_]PXVr�l~hRXVnW^_Q2`�n¡]W�RTVZ2Qs� ¿ ����R^ yIQ2Z\nW^m�VQV� È�5�R^m`RXa{D^ÌTVi npORQ\XaSWQ\{u� ×[¿d}T4¼�i_Q\¼ m N=TV{D^_i�npXa`��POjQ2XaSIQ2{o� �a×Z�O|TV^m`w� ÅaÅV×Z�O|TVSWTVZ\nWQ2SI^_]InW^_ZL��Xaim¼�`RXV{c^_TVi�� �[¿Z2i_TV]W]I^_Z2TVi£TVk4yIXV^_`�n4� � �Z2XV{c�|Ts`R^_Xa`�{cTsnWSW^���� �VÈZ2XV{c�RimQ6��`�hj{.��Q\S2� �Z2XV`~�VQ2SI½aQ2`RZ\QPXVr T=]IQ�l~hRQ\`RZ2QdXVr|{cTsnWSW^Xm

Z2Q2]\� Å[¿�ÅZ2XV`~�VQ2SI½aQ2`RZ\Q�XVr¢T ]WQ�l~hRQ\`RZ2Q�Xsr=�aQ\Z#m

npXaSI]2� ¿�ÅVÈZ2XV`~�VQ2SI½aQ2`RZ\QeXsr[��X�bgQ\S�]WQ2SI^_Q\]£^_`¢TP{�TRm

npSW^ ��� Å[¿a¿

Z\X[XaSIkR^_`RTsnpQL{cTsnpSI^���� ÈaÅkRQ6npQ\SW{D^_`|TV`�n2� × 5kR^_TV½aXa`RTVi_^��4TV�RimQV� 5�5kR^m{cQ\`R]W^mXa`w� ÅVÈkR^mSWQ\Z\nd]Whj{�XVr�]IhR�R]I�|TVZ2Q\]2� ¿��kRhRTVi£�|TV]I^_]2� È �kRhRTVi£]W�|TsZ2QV� È � � ¿�È"�Q\^_½aQ\`~�sTVimhRQV� 5�×Q\^_½aQ\`~�VQ2Z6npXaS\� 5��Q\i_Q2{DQ2`�npTVSI¼=kR^m��^_]IXaSW]�XVr[Td{cTsnWSW^���� ¿ ���Q\i_Q2{DQ2`�npTVSI¼ �VXVSWk|TV`)�RimX[Z�j � ¿ ���Q³�j��Xa`RQ\`�np^ÌTsi£XVr0TN{cTsnpSI^���� Å�¿�Å � Å[¿<��|`j^mnpQLkj^_{DQ2`R]I^_Xa`|Tsi�� ÅaÅn|SWXV��Q\`R^_hR]P`jXaSW{ Xsr0TN{cTsnpSI^���� ÅaÅ��n|hR`RkRTV{cQ\`�n�TVi£�PORQ\XaSWQ\{�XVr�®=i_½VQ2�RSWTj�

× �½aQ\`RQ2SWTVi_^��2Q\koQ\^_½aQ\`��aQ2Z6npXaS\� ¿����½aQ\Xa{DQ\npSI^_Z'{.hRi�np^_�ji_^_Z\^mn�¼�XVrFTV`fQ\^_½aQ\` m

�sTVi_hRQs� ¿��aÈÊ SpTV{7m & Z�OR{c^mkjnPTsi_½aXaSI^mnWOR{u� ¿�Å��N¡Q2SW{D^mnW^ÌTV`�Xa��Q\SpTsnWXaS2� ¿�È�5O�¼���Q\SW�Ri_TV`RQs� ¿��[¿^mkRQ4TVi�^_`A£ � @ E � ��5^mkRQ2{D��XsnpQ2`�n2� Èj¿^m`RkRQ2��Q2`jkRQ2`�n�]WQ\nW]�Xsr�]IhR�R]W�RTVZ2Q\]2� ¿��^m`4yIQ2Z6np^m�VQV� Å 5

ÅVÈ��

Page 235: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

�����?��� ÅsÈ�×^_`R`jQ2SP�RSIX[kRhjZ\n4� ¿V¿�×^_`R`jQ2SP�RSIX[kRhjZ\n¡]W�|TsZ2QV� ¿a¿<�^_]IXa{cQ6npS�¼a� ¿�×�¿^_]IXa{cXVSW�ROR^mZV� È�5 � � ��VXaSWkRTV`or­XVSW{o� ¿ � �jVQ\SW`RQ\i�� Å 5�LSWXa`RQ\Z�jVQ\S�kRQ\imnpTj� �k�TV½aSpTs`R½aQL��`�npQ\SW��XaiÌTsnW^_Xa`�� � �k�TV½aSpTs`R½aQ0^m`~nWQ2SI��Xai_Tsnp^mXa`=½VQ2`RQ\SpTVim^��2Q\kw�

Å � �k�TV�RiÌTsZ2QLQ6�[�|Ts`R]W^mXa`w� �j¿ � ��5i_Q2TV]In�m�] l~h|TsSWQ2]¡]WXVi_hjnW^_Xa`w� ¿�� �i_^m`RQ4TVS}TVi_½aQ\�RSpT[� �R¿i_^m`RQ4TVSer­hR`RZ\nW^_Xa`RTVi�� È � � ¿�È �i_^m`RQ4TVSgXa��Q\SpTsnWXaS2� ÈaÈi_^m`RQ4TVSenpSpTs`R]Ir­XaSI{�T�np^_XV`w� Å��i_^m`RQ4TVSenpSW^_TV`R½ahjiÌTVS:r­XaSW{o� Å[¿ �i_^m`RQ4TVSIim¼ckRQ2��Q2`jkRQ2`�n4� Å �i_^m`RQ4TVSIim¼c^_`RkjQ2��Q2`RkRQ\`�n4� Å �i_^m]In4� ¿65i_`~hRimi Á 5;Ã6� È"�{�T��j^m{�Tsi�Q\i_Q2{DQ2`�n2� ÅaÅ��{cXV`R^_Z;��Xai�¼[`jXa{c^_TVi�� ��È�uX�XaSWQ©m 4�Q\`RSWXV]WQP½aQ\`RQ2SWTVi_^��2Q2k¤^_`��aQ\SW]WQs�

¿<���`R^_im��XsnpQ2`�n2� ¿����`RXaSI{u� ¿V¿65`RXaSI{�TVi�Xa��Q\SpTsnWXaS2� ¿ ��È`RXaSI{�TVi�{�TsnWSW^ ��� ¿ ��È`RXaSI{�TVim^��\Q2k �� m�kRQ\Z2Xa{D��Xa]W^�np^_XV`w� ¿�� �`~hRi_i£]I�|TVZ2Qs� Å 5`~hRi_im^mn�¼a� È"�XaSInWORXa½aXV`|TVi�� ¿a¿��XaSInWORXa½aXV`|TViw{cTsnpSI^���� ¿�Å��

XaS�npORXa`jXaSW{cTVi�� ¿a¿���|TVS�np^_TViwXaSIkRQ2S\� ÅaÅa×�|TVS�np^_TVi_i�¼cXVSWkRQ\SWQ2ku]WQ6n4� ÅaÅa×��XaiÌTVSI^��2Tsnp^mXa`�^mkRQ2`�np^�n�¼a�|Z\Xa{c�ji_Q6��� ¿4È ���XaiÌTVSI^��2Tsnp^mXa`�^_kjQ2`�np^�n�¼a�RSIQ4TViÍ� ¿�È ���Xaim¼�`RXa{D^ÌTsi�� ��È��Xa]W^�np^m�VQ Á ]IQ2{D^_kRQ#�|`R^�npQ�Ã�XV��Q\SpTsnWXaS2� ¿ ��5�RSI^_{DQL��Xai�¼�`RXa{D^ÌTViÍ� ×VÅ�RSI^_`RZ\^_�|TVi�^_kRQ2TVi�� ��5�RSIX4yIQ2Z6np^_XV`w� Èj¿�RSIX4yIQ2Z6np^_XV`u{cTsnpSI^���� ¿<� ��R]IQ2hRkRXV^_`��aQ\SW]WQs� ¿����* T�¼�imQ2^_½VO 4�SI^_`RZ\^_�RimQV� ¿4ÈaÈSWQ\kRhRZ\Q2k ]I^_`R½VhRiÌTVS��VTsi_hRQNkRQ\Z2Xa{D��Xa]W^ m

np^_XV`w� ¿����SW`~hRimi Á 5LÃ6� È"�]WZ2TViÌTsSP{�TsnWSW^ ��r­hR`jZ\np^mXa`R]\� Å � �& Z�O~hRS\��]��PORQ2XaSIQ2{o� ¿�Åa×]WQ\imr m�TVk4yIXa^m`~n}Xa��Q\SpTsnWXaS2� ¿�È�5]W^m`R½ahRi_TVSg�sTVimhRQLkRQ2Z\Xa{D��Xa]I^mnW^_Xa`w� ¿�×��]MjsQ\bFm ]I¼�{c{DQ\nWSW^mZ�{cTsnpSI^���� ¿ ��È]W�RTV`w� Å �]Whj{�XVr�]IhR�R]I�|TVZ2Q\]2� ¿��]WhjS yIQ2Z6np^��aQV� È"�]I¼�]�npQ2{ XVr�kR^_]�np^m`RZ\nYSWQ2�jSWQ2]IQ2`�n�T�np^m�VQ2]

Á &)(+* Ã6� ÅVÅ����T�¼�imXaS2�y]%n XVSW{.hRi_Tj� ×VÅnpQ\`R]WXVS��RSIX[kjhRZ\n2� ���npSWTVZ2Q¢XVr�T�{�TsnWSW^ ��� �aÅnpSWTV`R]�r­XaSW{cTsnp^mXa`�`RXaSI{u� ¿65�5hR`R^�n�TVS�¼�{cTsnpSI^���� ¿�Å �hR�R��Q2Sd��XahR`Rk�� ÅaÅ���aQ\Z\nWXaS�]I�|TVZ\QV� ¿�È�aQ\Z\nWXaS�]IhR�R]I�|TVZ2Qs� ¿�×

Page 236: 103234math.niu.edu/~beachy/courses/423/payne.pdf · iu S U Xcedf T G , U , chg % )i Tb! X " OR$"D!&GM Y ;E("4,&G+P;EM *

ÅVÈ � �����?���

��XaSI`w��]$k£Q\{c{cTj� ÅaÅ �