Bab 3 Translate

8/18/2019 Bab 3 Translate

1/31

BAB III

Conditional probability and independence

Knowing that an event has occurred sometimes forces us to reassess the

probability of another event; the new probability is the conditional probability. If

the conditional probability equals what the probability was before, the eventsinvolved are called independent . Often, conditional probabilities and independence

are needed if we want to compute probabilities, and in many other

situations they simplify the work.

probabilitas bersyarat dan kemandirian

Mengetahui bahwa suatu peristiwa telah terjadi kadang-kadang memaksa

kita untuk menilai kembali kemungkinan kejadian lain ; probabilitas

baru adalah probabilitas bersyarat . Jika

probabilitas bersyarat sama apa probabilitas sebelumnya, peristiwa

terlibat disebut independen . Seringkali , probabilitas bersyarat dankemandirian

dibutuhkan jika kita ingin menghitung probabilitas , dan dalam banyak

lainnya

situasi mereka menyederhanakan pekerjaan.

3.1 Conditional probability

In the previous chapter we encountered the events L, “born in a long month,and R, “born in a month with the letter r. !heir probabilities are easy to

compute" since L # { $an, %ar, %ay, $ul, &ug, Oct, 'ec } and R # { $an, (eb,

%ar, &pr, )ep, Oct, *ov, 'ec }, one finds

probabilitas bersyarat

Dalam bab sebelumnya kita temui peristiwa L , " lahir di bulan

panjang , " dan , " lahir di bulan dengan huru! r . " probabilitas

mereka mudah menghitung sejak L # $ Jan , Mar , Mei , Juli ,

%gustus , &ktober , Desember ' dan # $ Jan , (eb, Mar , %pril ,

September , &ktober , )o*ember , Desember ' , orang menemukan

*ow suppose that it is known about the person we meet in the street that

he was born in a “long month, and we wonder whether he was born ina “month with the letter r. !he information given e+cludes five outcomes


2/31

of our sample space" it cannot be (ebruary, &pril, $une, )eptember, or

*ovember. )even possible outcomes are left, of which only fourthose in

R ∩ L # { $an, %ar, Oct, 'ec } are favorable, so we reassess the probability

as - / . /e call this the conditional probability of R given L, and we write"Sekarang anggaplah bahwa itu yang diketahui tentang orang yang kita

temui di jalan yang ia lahir di " bulan lama , " dan kita bertanya-

tanya apakah ia lahir di sebuah " bulan dengan huru! r . " +n!ormasi

yang diberikan tidak termasuk lima hasil ruang sampel kami itu tidak

bisa (ebruari, %pril , Juni, September , atau )o*ember. ujuh hasil

yang mungkin yang tersisa , yang hanya empat - orang di L # $ Jan ,

Mar , &ktober , Desember ' -%pakah menguntungkan , jadi kami menilai

kembali probabilitas sebagai /0 . 1ami menyebutnya probabilitas

bersyarat dari diberikan L , dan kami menulis

!his is not the same as 01 R ∩ L2, which is 3 / 4. &lso note that 01 R|L2 is the proportion that 01 R ∩ L2 is of 01 L2.

5uick e+ercise 4.3 6et N # Rc be the event “born in a month without r.

/hat is the conditional probability 01 N |L27

8ecalling the three envelopes on our doormat, consider the events “envelope 3is the middle one 1call this event A2 and “envelope 9 is the middle one 1 B2.

!hen 01 A2 # 01934 or 4392 # 3 / 4; by symmetry, the same is found for 01 B2.

/e say that the envelopes are in order if their order is either 394 or 493.

)uppose we know that they are not in order, but otherwise we do not knowanything; what are the probabilities of A and B, given this information7

6et C be the event that the envelopes are not in order, so" C # { 394 , 493 }c #

{ 349 , 934 , 943 , 439 }. /e ask for the probabilities of A and B, given that C occurs. :vent C consists of four elements, two of which also belong to A"

A ∩ C # { 934 , 439 }, so 01 A|C 2 # 3 / 9. !he probability of A ∩ C is half of

01C 2. *o element of C also belongs to B, so 01 B |C 2 # .

2al ini tidak sama dengan 3 4 L5, yang merupakan 6/7. Juga

men8atat bahwa 3 4 9 L5 adalah proporsi yang 3 4 L5 adalah 3 4L5.

latihan 8epat 7,6 :iarkan ) # 8 menjadi kejadian "lahir dalam bulan

tanpa r." %pa bersyarat probabilitas 3 4) 9 L5

Mengingat tiga amplop di atas keset kami, mempertimbangkan

peristiwa "amplop 6 adalah salah satu tengah "4sebut kejadian ini %5

dan" amplop < adalah salah satu tengah "4:5.

Maka 3 4%5 # 3 4


3/31

$67


4/31


5/31

tersedia

/e can use the definition of conditional probability to find the probability

that a particle that has stayed more than 4 seconds will stay more than -"

Kita dapat menggunakan defnisi probabilitas bersyarat untuk menemukan

probabilitas

bahwa partikel yang telah tinggal lebih dari 3 detik akan tinggal lebih dari 4:

5uick e+ercise 4.-


6/31

the birthday of the first person is, there is only one day the second person

cannot “pick as birthday, so"

!robabilitas tidak ada ulang tahun bertepatan

1isalkan /nda bertemu dengan dua orang sewenang2wenang dipilih. Berapa

probabilitas mereka

ulang tahun yang berbeda Biarkan B- menun'ukkan hal ini ter'adi. erserah

ulang tahun orang pertama( hanya ada satu hari orang kedua

tidak bisa 5memilih5 sebagai ulang tahun( 'adi:

/hen the same question is asked with t"ree people, conditional probabilities become helpful. !he event B4 can be seen as the intersection of the event B9, “the first

two have different birthdays, with event A4 “the third person has

a birthday that does not coincide with that of one of the first two persons.

Dsing the multiplication rule"

Ketika pertanyaan yang sama ditanyakan dengan tiga orang( probabilitas

bersyarat

men'adi berman6aat. Ke'adian B3 dapat dilihat sebagai persimpangan B-

ke'adian( 5dua yang pertama memiliki ulang tahun yang berbeda(5 dengan

ke'adian /3 5orang ketiga memiliki

ulang tahun yang tidak bersamaan dengan itu dari salah satu dari dua orang

pertama. 5

1enggunakan aturan perkalian:

!he conditional probability 01 A4 |B92 is the probability that, when two days

are already marked on the calendar, a day picked at random is not marked,or

!robabilitas bersyarat ! "/3 $ B-) adalah probabilitas bahwa( ketika dua hari

sudah ditandai di kalender( hari dipilih secara acak tidak ditandai(

atau


7/31

and so

/e are already halfway to solving the general question" in a group of n arbitrarily

chosen people, what is the probability there are no coincident birthdays7!he event Bn of no coincident birthdays among the n persons is the

same as" “the birthdays of the first n 3 persons are different 1the event

Bn32 and “the birthday of the nth person does not coincide with a birthdayof any of the first n 3 persons 1the event An2, that is,

Kami sudah setengah Aalan untuk memecahkan pertanyaan umum" dalam kelompok n

orang sewenang?wenang dipilih, apa yang probabilitas tidak ada ulang tahun bertepatan7KeAadian En tidak ada ulang tahun bertepatan antara n orang adalahsama seperti" Fhari ulang tahun dari n pertama ? 3 orang yang berbedaF 1keAadian

En?32 dan Fulang tahun dari orang?n tidak bertepatan dengan ulang tahun

dari salah satu n pertama ? 3 orang F1keAadian &n2, yaitu,

&pplying the multiplication rule yields"

1enerapkan hasil aturan perkalian:

as person n should avoid n 3 days. &pplying the same step to 01 Bn32,


8/31

01 Bn92, etc., we find"

sebagai orang n harus menghindari n 2 + hari. 1enerapkan langkah yang

sama untuk !B72+)(

!B72-)( dll( kita menemukan:

!his can be used to compute the probability for arbitrary n. (or e+ample,

we find" 01 B992 # #@9-4 and 01 B942 # #-G9. In (igure 4.3 the probability

ni dapat digunakan untuk menghitung probabilitas untuk sewenang2wenang

n. 8ebagai contoh(

kita menemukan: ! "B--) 9 (;-43 dan ! "B-3) 9 (4ambar

3.+ probabilitas

01 Bn2 is plotted for n # 3 , # # # , 3, with dotted lines drawn at n # 94 and

at probability #@. It may be hard to believe, but with Aust 94 people the

probability of all birthdays being different is less than @H

5uick e+ercise 4.@


9/31

probabilitas semua ulang tahun yang berbeda adalah kurang dari ;?@

latihan cepat 3(; itung probabilitas bahwa tiga orang yang sewenang2

wenang yang

lahir di bulan yang berbeda. apatkah /nda memberikan rumus untuk norang

It matters how one conditions


10/31

Eoth ways are valid, but often one of 01 A|C 2 and 01C |A2 is easy and the

other is not. (or e+ample, in the birthday e+ample one could have tried"

Kedua cara yang alid( tetapi sering salah ! "/ $ %) dan ! "% $ /) mudah dan

lainnya tidak. 1isalnya( dalam contoh ulang tahun salah satu bisa mencoba:

but Aust trying to understand the conditional probability 01 B9 |A42 alreadyis confusing"

!he probability that the first two personsJ birthdays differ given that

the third personJs birthday does not coincide with the birthday of one

of the first two . . . 7


11/31

to determine infection with the transmissible form of Bovine $pongifor%

&ncep"alopat"y 1E):2 or “mad cow disease. &s no test is 3H accurate, most

tests have the problem of false positives and false negatives. & fal'e po'itive

means that according to the test the cow is infected, but in actuality it is not.& fal'e negative means an infected cow is not detected by the test.!engu'ian untuk penyakit sapi gila!ada awal tahun -+ Komisi Eropa diperkenalkan pengu'ian besar ternakuntuk menentukan in6eksi dengan bentuk menular dari Boine 8pongi6ormEncephalopathy "B8E) atau 5penyakit sapi gila.5 Karena tidak ada tes adalah+? akurat( palingtes memiliki masalah positi6 palsu dan negati6 palsu. 8ebuah positi6 palsuberarti bahwa menurut tes sapi terin6eksi( tetapi dalam kenyataannya tidak.8ebuah negati6 palsu berarti sapi yang terin6eksi tidak terdeteksi oleh tes.

Imagine we test a cow. 6et B denote the event “the cow has E): and (

the event “the test comes up positive 1this is test Aargon for" according to

the test we should believe the cow is infected with E):2. One can “test thetest by analying samples from cows that are known to be infected or knownto be healthy and so determine the effectiveness of the test. !he :uropean


12/31

1isalkan kita ingin menentukan probabilitas ! ") bahwa sapi yang

sewenang2wenang

tes positi6. sapi diu'i baik terin6eksi atau tidak: eent ter'adi di

kombinasi dengan B atau dengan Bc "tidak ada kemungkinan lain). engankondisi

peristiwa

so that

because ( ∩B and ( ∩Bc are disAoint. *e+t, apply the multiplication rule 1in

such a way that the known conditional probabilities appear2"

karena 0B dan 0B yang menguraikan. 8elan'utnya( menerapkan aturan

perkalian "di

sedemikian rupa sehingga probabilitas kondisional dikenal muncul)@:

!his is an application of the law of total probability" computing a probability

through conditioning on several disAoint events that make up the whole sample space 1in

this case two2. )uppose3 01 B2 # #9; then from the last equation

we conclude" 01( 2 # #9・ # = 13 #92・ #3 # #339.

5uick e+ercise 4.L


13/31

In the E): e+ample, we have Aust two mutually e+clusive events" substitute% # 9, C 3 # B, C 9 # Bc, and A # ( to obtain 14.92.&nother, perhaps more pertinent, question about the E): test is the following"

suppose my cow tests positive; what is the probability it really has E):7

!ranslated, this asks for the value of 01 B | ( 2. !he information we were given

is 01( |B2, a conditional probability, but the wrong one. /e would like toswitch ( and B.!ada contoh B8E( kita hanya memiliki dua peristiwa yang saling eksklusi6:penggantim 9 -( %+ 9 B( %- 9 Bc( dan / 9 untuk mendapatkan "3.-).Iain( mungkin lebih relean( pertanyaan tentang tes B8E adalah sebagai

berikut:kira sapi saya tes positi6D apa probabilitas itu benar2benar memiliki B8Eiter'emahkan( ini meminta nilai ! "B $ ). An6ormasi yang kami diberiadalah ! " $ B)( probabilitas bersyarat( tapi yang salah. Kami inginberalih dan B.

)tart with the definition of conditional probability and then use equations

14.32 and 14.92"3 /e choose this probability for the sake of the calculations that follow. !he true

value is unknown and varies from country to country. !he E): risk for the *etherlands

for 94 was estimated to be 01 B2 ) #34.

1ulailah dengan defnisi probabilitas bersyarat dan kemudian menggunakan

persamaan"3.+) dan "3.-):

+ Kami memilih probabilitas ini demi perhitungan yang mengikuti. Kebenaran

nilai tidak diketahui dan berariasi dari satu negara ke negara. #isiko B8E

untuk Belanda

untuk tahun -3 diperkirakan ! "B) J (+3.


14/31

and by a similar calculation" 01 B | ( c2 # #LM. !hese probabilities reflect

that this !est & is not a very good test; a perfect test would result in

01 B | ( 2 # 3 and 01 B | ( c2 # . In :+ercise 4.- we redo this calculation,replacing 01 B2 # #9 with a more realistic number.

/hat we have Aust seen is known as EayesJ rule, after the :nglish clergyman

!homas Eayes who derived this in the 3Mth century. !he general statement

follows.

dan dengan perhitungan yang sama: ! "B $ c) 9 (H. probabilitas ini

mencerminkan

bahwa &'i ini / bukanlah tes yang sangat baikD tes yang sempurna akan

menghasilkan

! "B $ ) 9 + dan ! "B $ c) 9 . alam Iatihan 3.4 kita mengulang

perhitungan ini(

menggantikan ! "B) 9 (- dengan 'umlah yang lebih realistis.

/pa yang telah kita lihat dikenal sebagai aturan Bayes C( setelah pendeta

Anggris

homas Bayes yang berasal ini di abad ke2+. !ernyataan umumberikut.


15/31

!his is the traditional form of EayesJ formula. It follows from

Ani adalah bentuk tradisional dari rumus Bayes C. Ani mengikuti dari

in combination with the law of total probability applied to 01 A2 in the denominator.0urists would refer to 14.42 as EayesJ rule, and perhaps they are

right.

5uick e+ercise 4.


16/31

If we know nothing about a cow, we would say that there is a 9H chance it is

infected. Nowever, if we know it tested positive, we can say there is a 39.@H chance the

cow is infected. On the other hand, if it tested negative, there isonly a .LMH chance. /e see that the two events are related in some way" the

probability of B depend' on whether ( occurs.

Lika kita tahu apa2apa tentang sapi( kita akan mengatakan bahwa adakemungkinan -? ituterin6eksi. 7amun( 'ika kita tahu itu positi6( kita dapat mengatakan adakemungkinan +-(;? sapi yang terin6eksi. i sisi lain( 'ika diu'i negati6( adahanya (H? kesempatan. Kami melihat bahwa dua peristiwa terkait dalam

beberapa cara: denganprobabilitas B tergantung pada apakah ter'adi.

Imagine the opposite" the test is useless. /hether the cow is infected is unrelatedto the outcome of the test, and knowing the outcome of the test does not

change our probability of B" 01 B | ( 2 # 01 B2. In this case we would call B

independent of ( .

Bayangkan sebaliknya: tes ini tidak berguna. /pakah sapi terin6eksi tidak

berhubungan

dengan hasil tes( dan mengetahui hasilnya dari tes tidak

mengubah probabilitas kami B: ! "B $ ) 9 ! "B). alam hal ini kita sebut Bindependen .

(rom this simple definition many statements can be derived. (or e+ample,

because 01 Ac |B2 # 3 01 A|B2 and 3 01 A2 # 01 Ac2, we conclude"

A independent of B ⇔ Ac independent of B. 14.-2

Ey application of the multiplication rule, if A is independent of B, then

01 A ∩ B2 # 01 A|B201 B2 # 01 A201 B2. On the other hand, if 01 A ∩ B2 #01 A201 B2, then 01 A|B2 # 01 A2 follows from the definition of independence.

ari defnisi sederhana ini banyak pernyataan dapat diturunkan. 8ebagaicontoh(karena ! "/c $ B) 9 + 2 ! "/ $ B) dan + 2 ! "/) 9 ! "/c)( kami menyimpulkan:


17/31

8ebuah independen B M /c independen B. "3(4)engan penerapan aturan perkalian( 'ika / adalah independen dari B( maka! "/ 0 B) 9 ! "/ $ B) ! "B) 9 ! "/) ! "B). i sisi lain( 'ika ! "/ 0 B) 9! "/) ! "B)( maka ! "/ $ B) 9 ! "/) mengikuti dari defnisi kemerdekaan.

!his shows"

A independent of B ⇔ 01 A ∩ B2 # 01 A201 B2 #

(inally, by definition of conditional probability, if A is independent of B, then

!ertun'ukan ini:

8ebuah independen B M ! "/ 0 B) 9 ! "/) ! "B).

/khirnya( dengan defnisi probabilitas bersyarat( 'ika / adalah independen

dari B( maka

that is, B is independent of A. !his works in reverse, too, so we have" A independent of B ⇔ B independent of A. 14.@2

!his statement says that in fact, independence is a %*t*al property. !herefore,the e+pressions “ A is independent of B and “ A and B are independent are

used interchangeably. (rom the three ⇔?statements it follows that there are

in fact 39 ways to show that A and B are independent; and if they are, there

are 39 ways to use that.

yaitu( B adalah independen dari /. ini beker'a secara terbalik( 'uga( 'adi kitaharus:8ebuah independen B M B independen /. "3(;)!ernyataan ini mengatakan bahwa sebenarnya( kemerdekaan adalahproperti bersama. Karena itu(ekspresi 5/ adalah independen dari B5 dan 5/ dan B adalah independen5yangdigunakan secara bergantian. ari tiga M2pernyataan itu berikut bahwa adasebenarnya +- cara untuk menun'ukkan bahwa / dan B adalah independenDdan 'ika mereka( ada

+- cara untuk menggunakannya.

Independence. !o show that A and B are independent it suffices

to prove +*'t one of the following"

01 A|B2 # 01 A2 ,01 B |A2 # 01 B2 ,

01 A ∩ B2 # 01 A201 B2 ,


18/31

where A may be replaced by Ac and B replaced by Bc, or both. If

one of these statements holds, all of them are true. If two events are

not independent, they are called dependent .

Kemerdekaan. &ntuk menun'ukkan bahwa / dan B adalah independen itu

sudah cukup

untuk membuktikan hanya salah satu dari berikut:

! "/ $ B) 9 ! "/)(

! "B $ /) 9 ! "B)(

! "/ 0 B) 9 ! "/) ! "B)(

di mana / dapat diganti dengan /c dan B digantikan oleh Bc( atau

keduanya. Lika

salah satu pernyataan2pernyataan ini memegang( mereka semua adalah

benar. Lika dua peristiwa yang

tidak mandiri( mereka disebut dependent.

8ecall the birthday events L “born in a long month and R “born in a month

with the letter r. 6et be the event “born in the first half of the year,

so 01 2 # 3 / 9. &lso, 01 |R2 # 3 / 9. )o and R are independent, and weconclude, for e+ample, 01 Rc |c2 # 01 Rc2 # 3 M / 39 # 3 / 4.

/e know that 01 L ∩ 2 # 3 / - and 01 L2 # / 39.


19/31

"emar# 3.1 $%hysical and stochastic independence&.

)tochastic dependence or independence can sometimes be established byinspecting whether there is any physical dependence present. !he following statements

may be made.

If events have to do with processes or e+periments that have no physicalconnection, they are always stochastically independent. If they are connected

to the same physical process, then, as a rule, they are stochastically dependent,

but stochastic independence is possible in e+ceptional cases. !heevents and R are an e+ample.

Berkomentar 3.+ "kemerdekaan fsik dan stochastic).

ketergantungan stokastik atau kemerdekaan kadang2kadang dapat didirikan

dengan memeriksa apakah ada hadir ketergantungan fsik. !ernyataan

berikut

dapat dilakukan.

Lika peristiwa harus dilakukan dengan proses atau percobaan yang tidak

memiliki koneksi fsik( mereka selalu stokastik independen. Lika mereka

terhubung

proses fsik yang sama( maka( sebagai suatu peraturan( mereka stokastik

tergantung(

tapi kemerdekaan stochastic mungkin dalam kasus luar biasa. Atu!eristiwa dan # adalah contoh.

Independence of two or more e'ents

/hen more than two events are involved we need a more elaborate definition

of independence. !he reason behind this is e+plained by an e+ample followingthe definition.

Independensi dari dua atau lebih peristiwaEila lebih dari dua peristiwa yang terlibat kita perlu definisi yang lebih rumit

kemerdekaan. &lasan di balik ini diAelaskan dengan contoh berikut

definisi.


20/31

Tou see that we need to check 9% equations to establish the independence of

% events. In fact, % = 3 of those equations are redundant, but we chose this

version of the definition because it is easier.!he reason we need to do so much more checking to establish independence

for multiple events is that there are subtle ways in which events may depend

on each other.


21/31

/hat about independence7 :vents A and B are independent by assumption,

so check the independence of A and C . Uiven that the first toss is heads 1 A

occurs2, C occurs if and only if the second toss is heads as well 1 B occurs2, so

Bagaimana kemerdekaan !eristiwa / dan B adalah independen oleh

asumsi( 'adi independensi / dan %. 1engingat bahwa lemparan pertama adalah

kepala "/

ter'adi)( % ter'adi 'ika dan hanya 'ika lemparan kedua adalah kepala 'uga "B

ter'adi)( sehingga

Ey symmetry, also 01C |B2 # 01C 2, so all pairs taken from A, B, C are

independent" the three are called pairwi'e independent .


22/31

3.2 !he event A is contained in C . )o when A occurs, C also occurs; therefore

01C |A2 # 3.

)ince Cc # { 394 , 493 } and A ∪ B # { 394 , 493 , 439 , 934 }, one can see that two

of the four outcomes of A∪

B belong to Cc as well, so 01Cc |A∪

B2 # 3 / 9.

3.3 Dsing the definition we find"

/lasan untuk ini adalah 'elas: apakah % ter'adi berikut deterministik dari

hasil dari lemparan + dan -.

3.; 8olusi untuk latihan cepat

3(+ 7 9 O1ei( Luni( Luli( /gustusP( I 9 OLan( 1ar( 1ei( Luli( /gustus( Qktober(

esemberP(

dan 7 0 I 9 O1ei( Luli( /gustusP. iga dari tu'uh hasil dari I milik

7 'uga( 'adi ! "7 $ I) 9 3N=.3.- Ke'adian / yang terkandung dalam %. Ladi( ketika / ter'adi( % 'uga ter'adiD

karena itu

! "% $ /) 9 +.

8e'ak %c 9 O+-3( 3-+P dan / ∪B 9 O+-3( 3-+( 3+-( -+3P( kita dapat melihat

bahwa dua

dari empat hasil dari / ∪ B milik %c 'uga( sehingga ! "%c $ / ∪ B) 9 +N-.

3.3 1enggunakan defnisi kita menemukan:

because C can be split into disAoint parts A ∩ C and Ac ∩ C and therefore

01 A ∩ C 2 = 01 Ac ∩ C 2 # 01C 2 #

3.! !his asks for the probability that the particle stays more than 4 seconds,given that it does not stay longer than - seconds, so - or less. (rom the

definition"

karena % dapat dibagi ke dalam menguraikan bagian / 0 % dan /c 0 % dan

karena itu

! "/ 0 %) G ! "/c 0 %) 9 ! "%).

3.4 ini meminta probabilitas bahwa partikel tetap lebih dari 3 detik(

mengingat bahwa hal itu tidak tinggal lebih lama dari 4 detik( sehingga 4


23/31

atau kurang. ari

defnisi:

3.( Instead of a calendar of 4L@ days, we have one with Aust 39 months. 6et

Cn be the event n arbitrary persons have different months of birth. !hen

3.; /lih2alih kalender 3H; hari( kita memiliki satu dengan hanya +- bulan.

1embiarkan

%n men'adi sebuah eent orang yang sewenang2wenang memiliki bulan

yang berbeda lahir. Kemudian


24/31

3., -+ercises

3.1 S Tour lecturer wants to walk from A to B 1see the map2. !o do so, hefirst randomly selects one of the paths to C , , or & . *e+t he selects randomly

one of the possible paths at that moment 1so if he first selected the path to

& , he can either select the path to A or the path to 0 2, etc. /hat is the probability that he will reach B after two selections7

3.+ R dosen /nda ingin ber'alan dari / ke B "lihat peta). &ntuk

melakukannya( dia


25/31

pertama secara acak memilih salah satu 'alur ke %( ( atau E. Berikutnya ia

memilih secara acak

salah satu 'alur yang mungkin pada saat itu "'adi 'ika ia pertama kali dipilih

'alan untukE( dia bisa baik memilih 'alur ke / atau 'alan menu'u )( dll /pa

probabilitas bahwa ia akan mencapai B setelah dua pilihan

3.2 S & fair die is thrown twice. A is the event “sum of the throws equals -,

B is “at least one of the throws is a 4.

a.


26/31

second draw is made. /hat is the probability a red ball was drawn on bot"

the first and the second draws73.; 8ebuah bola diambil secara acak dari sebuah guci berisi satu merah dansatu putihbola. Lika bola putih ditarik( itu dimasukkan kembali ke dalam guci. Bolamerahditarik( itu dikembalikan ke guci bersama dengan dua bola merah. kemudianasil imbang kedua dibuat. Berapa probabilitas bola merah ditarik padakeduapertama dan penarikan kedua

3., /e choose a month of the year, in such a manner that each month has

the same probability. (ind out whether the following events are independent"

a. the events “outcome is an even numbered month 1i.e., (ebruary, &pril,

$une, etc.2 and “outcome is in the first half of the year.

b. the events “outcome is an even numbered month 1i.e., (ebruary, &pril,$une, etc.2 and “outcome is a summer month 1i.e., $une, $uly, &ugust2.

3.H Kami memilih bulan dalam setahun( dengan cara seperti yang setiap

bulan memiliki

probabilitas yang sama. %ari tahu apakah peristiwa berikut independen:

a. peristiwa 5hasil adalah bulan bahkan nomor5 "i.s.( ebruari( /pril(

Luni( dll) dan 5hasil adalah pada semester pertama tahun ini.5

b. peristiwa 5hasil adalah bulan bahkan nomor5 "i.s.( ebruari( /pril(

Luni( dll) dan 5hasil adalah musim panas bulan5 "yaitu( Luni( Luli( /gustus).

3. S )paceman )piffJs spacecraft has a warning light that is supposed toswitch on when the freem blasters are overheated. 6et 1 be the event “the

warning light is switched on and 0 “the freem blasters are overheated.

)uppose the probability of freem blaster overheating 01 0 2 is #3, that thelight is switched on when they actually are overheated is #GG, and that there

is a 9H chance that it comes on when nothing is wrong" 011 | 0c2 # #9.

a. 'etermine the probability that the warning light is switched on.

b. 'etermine the conditional probability that the freem blasters are overheated,

given that the warning light is on.


27/31

Eoth areas get infested from time to time with parasites that damage the

crop. 6et A be the event that region R3 is infested with parasites and B that

region R9 is infested. )uppose 01 A2 # 4 / -, 01 B2 # 9 / @ and 01 A∪ B2 # - / @.

If the food inspection detects the parasite in a ship carrying grapefruits from R3, what is the probability region R9 is infested as well7pesawat ruang angkasa 3( R 8paceman spiT memiliki lampu peringatanyang seharusnyaberalih pada saat Blasters kebebasan yang terlalu panas. 1isalkan Uke'adian 5yanglampu peringatan diakti6kan 5dan 5 yang Blasters 6reem yang terlalu panas.51isalkan probabilitas 6reem blaster oerheating ! ") adalah (+( bahwacahaya diakti6kan ketika mereka benar2benar sedang panas adalah (


28/31

adalah +(

dan 'ika ia ber'udi probabilitas ini +N4. &ntuk lulus( siswa harus men'awab di

8etidaknya H? dari pertanyaan dengan benar. siswa telah 5bela'ar selama

minimallulus( 5yaitu( dengan probabilitas (H dia tahu 'awaban untuk pertanyaan.

1engingat bahwa

dia men'awab pertanyaan dengan benar( berapa probabilitas bahwa ia

benar2benar tahu

'awaban

3.++ 8ebuah analisa napas( digunakan oleh polisi untuk mengu'i apakah

drier melebihi

batas hukum yang ditetapkan untuk persentase alkohol dalam darah saat

mengemudi( diketahui

memuaskan

where A is the event “breath analyer indicates that legal limit is e+ceeded

and B “driverJs blood alcohol percentage e+ceeds legal limit. On )aturdaynight about @H of the drivers are known to e+ceed the limit.

di mana / adalah ke'adian 5breathalyVer menun'ukkan bahwa batas hukum

terlampaui5

dan B 5persentase alkohol dalam darah pengemudi melebihi batas legal.5

!ada hari 8abtumalam sekitar ;? dari drier diketahui melebihi batas.

3.13 In :+ercise 9.39 we computed the probability of a “dream draw in theD:(& playoffs lottery by counting outcomes. 8ecall that there were ten teams

in the lottery, five considered “strong and five considered “weak. Introduce

events i, “the ith pair drawn is a dream combination, where a “dreamcombination is a pair of a strong team with a weak team, and i # 3 , # # # , @.

a.


29/31

c.


30/31

we each win one rally, it is deuce again. )uppose the outcome of a rally is

independent of other rallies, and you win a rally with probability p. 6et 1 be

the event “you win the game, 2 “the game ends after the ne+t two rallies,

and “it becomes deuce again.a. 'etermine 011 |22.

b. )how that 011 2 # p9 = 9 p13 p2011 |2 and use 011 2 # 011 |2

1why is this so72 to determine 011 2.

c. :+plain why the answers are the same.

8ebuah. 1engingat bahwa /nda tes positi6( berapakah probabilitas bahwa

/nda benar2benar memiliki

penyakit

b. /nda mendapatkan pendapat kedua: sebuah pengulangan independen

tes. Kamu

tes positi6 lagi. 1engingat ini( berapa probabilitas bahwa /nda benar2benarmemiliki

penyakit

3.+= /nda dan saya memainkan pertandingan tenis. al ini deuce( yang

berarti 'ika /nda memenangkan

dua reli berikutnya( /nda memenangkan permainanD 'ika saya

memenangkan kedua aksi un'uk rasa( saya memenangkan pertandinganD

'ika

kita masing2masing menang satu reli( itu adalah deuce lagi. 1isalkan hasil

reli adalah

independen dari aksi un'uk rasa lainnya( dan /nda memenangkan reli

dengan probabilitas p. 1isalkan U

ke'adian 5/nda memenangkan pertandingan(5 > 5permainan berakhir

setelah dua reli berikutnya(5

dan 5men'adi deuce lagi.5

8ebuah. entukan ! "U $ >).

b. un'ukkan bahwa ! "U) 9 p- G -p "+ 2 p) ! "U $ ) dan penggunaan ! "U)

9 ! "U $ )

"1engapa demikian) &ntuk menentukan ! "U).

c. Lelaskan mengapa 'awaban yang sama.

3.1 )uppose A and B are events with 3 01 A2 3 3 and 3 01 B2 3 3.a. If A and B are disAoint, can they be independent7

b. If A and B are independent, can they be disAoint7

c. If A⊂ B, can A and B be independent7

d. If A and B are independent, can A and A∪ B be independent7


31/31

4.3M %isalkan & dan E adalah keAadian dengan V0 1&2 V3 dan V0 1E2 V3.

)ebuah. $ika & dan E saling terpisah, bisa mereka mandiri7

b. $ika & dan E adalah independen, bisa mereka menAadi menguraikan7

c. $ika & ⊂ E, dapat & dan E independen7d. $ika & dan E adalah independen, dapat & dan & ∪ E mandiri7

Bab 3 Translate

Documents

Transcript of Bab 3 Translate