Respostas dos ExerćıciosProf Carlos Alberto S Soares

Seção 1.1.3

1)(a)V (b)F (c)F (d)V (e)F(f)V (g)F (h)V (i)F (j)V(k)F (l)V (m)F (n)V (o)F

2)(a)V (b)F (c)V (d)F (e)F(f)F (g)F (h)V (i){{2, 6}, {3, 4, 9}} ⊂ A(V )

3) (a)V (b)V (c)V (d)V

4) (a)V (b)V (c)F (d)V

5)

(a) P(A) = {∅, {∅}, {{∅}}, {{{∅}}}, {∅, {∅}}, {∅, {{∅}}}, {{∅}, {{∅}}}, A}

(b) 28

(c) 23 − 1 = 7

6)

(a)Tal exemplo não existe pois card(P(A)) > car(A) sempre.

(b) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

(c) Não existe, pois não temos um número natural n tal que 2n = 1000.

(d) Não existe,como justificado no item (a).

7)(a)V (b)F (c)F (d)F (e)F(f)V (g)V (h)V (i)F (j)V(k)V (l)V (m)F (n)V

Seção 1.2.4

1) 35

2) Não, pois A = {2, 3, 4} e B = {2, 3}.

3) (a) ]1, 5] (b) ]1, 7]

4) (a)[2, 7[ (b)]3, 5[ (c)[2, 3] (d)]−∞, 2[∪[5,∞[

5) (a)[−1, 1[ (b)[−3, 5/4[ (c)∅ (d)[−1, 5/4[

6) Não pois, por exemplo, −2 ∈ A mas −2 /∈ B

7) (a)[4, 9] (b)[6, 7] (c)[−3, 2]

1

8) Mesmo exerćıcio 5

9) (a)[1/2, 3/4] (b)]3/4,√3/2]

Seção 1.3.3

1) 46

2) (a)22 (b)35 (c)24 (d)7

3) Não, por exemplo, tome A = {1, 2} e B = {3, 4}. Teremos card(A−B) = 2 e card(A)−card(B) = 0

4) A = {1} e B = {2}

5) Não existe tal exemplo, pois card(A∪B) = card(A) + card(B) − card(A

∩B) e, por-

tanto, só podemos ter card(A∪

B) = card(A)+card(B) se card(A∩

B) = 0, isto é, A∩

B = ∅.

6) (a)280 (b)200 (c)220 (d)500

7) (a)70 (b)45 (c)30

(d)55 (e)7 (f)115

8)

x

y

AB

CU

soluçªo x

y

AB

CU

soluçªo

x

y

AB

CU

soluçªo

x

y

AB

CU

soluçªo

x

y

AB

CU

soluçªo

x

y

AB

CU

soluçao=I, II, III e IV

I

II

III

IV

x

y

AB

CU

soluçao= I

I x

y

AB

CU

soluçao= I, II, III e IV

I

IIIII

IV

Seção 2.1.5

1) A(−2,−1), B(2, 2), C(5,−2) ⇒ DAB = 5, DBC = 5, DAC =√50. Área=25/2

2) A(−8, 4), B(2,−2), C(5, 3). Temos DAB =√136, DAC =

√170, DBC =

√34. Então

D2AB +D2BC = D

2AC e, portanto, pelo teorema de Pitágoras, o triângulo é retângulo. Área=34.

3) A(0, 1), B(3, 5), C(7, 2)eD(4, 2), Basta mostrar que DAB = DBC = DCD = DDA e queD2BD = D

2DC +D

2CB.

4) k = 79/7

5) a = 1 ou a = 1±√2

6) a = −1

2

7) (6, 0) e (−2, 0)

8) (−2, 2)

9) a = 4

10) a = 4 ou a = −2

11) Não, pois 5/3¬4/2.

12) Sim, pois 2/3 = 4/6.

13) Qualquer número real a

Seção 2.2.7

1) y = x+ 1 ângulo=π/4.

2) y = 2x+ 10, por exemplo, (0, 10) e (1, 12)

3) (a) y1 = ax1 + b e y2 = ax2 + b, o que nos leva a y1 − y2 = a(x1 − x2), isto é, a = y1−y2x1−x2 .

(b) 2/7

4) (a) x+ y − 1 = 0

(b) x− y − 7 = 0

(c) (−9/2, 5/2)

5) 5

6) A(1, 1), B(5, 3), C(8, 0), D(4, 1). Basta notar que os coeficientes angulares das retas quepassam por A e B e por D e C são ambos iguais a 1/2 e, portanto, estes lados são paralelos.Temos, ainda, que os coeficientes angulares das retas que passam por C e B e por D e A sãoambos iguais a −1 e, portanto, estes lados são paralelos.

7) Sim, pois o produto dos coeficientes angulares é igual a −1. ( Calcule!)

8) 1

9) x2+ y−3 = 1

10) y = −3x− 2

11) São, pois 2/6 = 1/3. ( coeficientes angulares )

12) 10

13) 4

14) 1±√7/3

15) a = 4 b = 7

16) k = ±10

17) 33√41

18) h = 3√2e área= 9.

Seção 2.3.4

3

1) (a)(x−5)2+(y−3)2 = 4 (b)(x−2/3)2+(y−1)2 = 8 (c)x2+y2 = 64 (d)(x+1)2+y2 = 12.

2) (a)C(3, 4) r = 7 (: (b)C(3, 4) r =√29 (c)C(0, 0) r =

√6

(d)C(3,−2) r = 4 (e)C(−3/2, 4) r =√13/2 (f)C(0, , 4) r = 2

3) k > −4

4) 5k +m+ 32 = 0

5) x

y

C

x

y

C

x

y

C

6) x2 + y2 + 2x− 8y − 113 = 0

7) Tal como mencionado na errata, desconsiderar!

8) r = 5 x2 + (y + 3)2 = 25

9) (x+ 1)2 + (y − 1)2 = 13 ou (x− 4)2 + (y − 2)2 = 13

10) (a)interior (b)sobre (c)interior (d)exterior

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Seção 3.1.3

1) (a) 25x2 + 4y2 + 20xy + 36x− 148y + 760 = 0 (b) 5x+ 2y − 2 = 0 (c) (−44/29, 139/29)

2) (a) x2 − 10x+ 10y − 30 = 0 (b) x− 5 = 0 (c) (5, 11/2)

3) (a) 4x− 5y + 14 = 0 (b) 5x+ 4y + 38 = 0

4) (a) 4x+ 3y + 11 = 0 (b) (−4/5,−13/5)

5) (a) F (0, 5/8); d : y = −5/8 (b) F (0,−1/3); d : y = 1/3 (c) F (−2/9, 0); d : x = 2/9 (d)F (5/24, 0); d : x = −5/24

6) Correção: Equação da circunferência = x2 + y2 = 10, foco da parábola = F (0, 1/12).Resposta: (1, 3) e (−1, 3)

7) (a) V (2,−2) (b) F (2,−15/8) (c) 8y + 17 = 0 (d) x− 2 = 0 (e) (0, 6) (f) (1, 0) e (3, 0)

8) y = −x2 + 4x

9) (a) V (−11/8, 3/4) (b) F (−4/3, 3/4) (c) x = −17/12 (d) y = 3/4

10) (a) V (3, 1) (b) F (23/8, 1)

Seção 3.2.3

1) (a) (√13, 0) e (−

√13, 0) (b) (0,

√17 e (0,−

√17 (c) (

√3, 0) e (−

√3, 0) (d) (0, 1) e (0,−1)

4

(e)√6/6, 0) e (−

√6/6, 0) (f) (1, 0) e (−1, 0) (g) (

√15/15, 0) e (−

√15/15, 0)

2) x2/36 + y2/27 = 1

3) Com os pontos dados o exerćıcio não tem solução. O correto é passa pelos pontos (0,−2)e (3, 0) e a resposta, neste caso, é x2/9 + y2/4 = 1.

4) e = 3/7

5) (x+ 1)2/9 + (y − 1)2/(81/8) = 1

6) (x− 3)2/9 + (y + 1)2/4 = 1

7) (a)O correto neste item é determinar o centro: C(−1, 1) (b) F1(−1−√5, 1) e F2(−1 +√

5, 1) (c) e =√2/2

8) C(−2,−1), F1(−2,−2), F2(−2, 0)

9) (x−2)2

25+ (y+1)

2

9= 1

Seção 3.3.3

1) (a) 2√14 (b)

√41/4

2) (a) 24√7/7 (b) 32

√7/7

3) No enunciado faltou dizer que a hipérbole é equilátera. Resposta: 20√2

4) −16x2 + 5y2 + 16x+ 10y − 20xy + 41 = 0

5) Hipérbole de focos (2, 1) e (6, 4) e eixo real 4.

6) Hipérbole de focos (−2, 1) e (6,−4) e eixo real 4.

7) Igual ao exerćıcio 5

8) Igual ao exerćıcio 6

9) (x+2)2

16− (y−1)

2

9= 1

10) (y+5)2

25− (x−4)

2

16= 1

11) (x− 1)2/4− y2/12 = 1

12) (a) (x+3)2

4− (y−1)

2

2= 1 (b) (y+5)

2

2− (x−1)

2

3= 1

13) (a) C(−1, 0), F1(−1− 2√2, 0), F2(−1 + 2

√2, 0) (b) C(0, 1), F1(−2

√5, 1), F2(2

√5, 1)

(c) C(−1, 1), F1(−1−√5, 1), F2(−1 +

√5, 1) (d) C(−2, 1), F1(−2−

√3, 1), F2(−2 +

√3, 0)

5