Atomo de Hidrogeno 3

8/17/2019 Atomo de Hidrogeno 3

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12/3/2015 La Ecuación de Schroedinger para el átomo de Hidrógeno

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Solución de la ecuación de Schrodinger para el átomo dehidrógeno

El átomo de hidrógeno consta de un protón en el núcleo y de un electrón. Es el más simple de todos los

átomos y el único para el cual la ecuación de Schroedinger puede resolverse de manera exacta.

Como la resolución de la ecuación corresponde a niveles superiores de la enseñanza de la Física, aquí sedará solamente un esquema razonable del proceso de resolución, de modo que un alumno con buenosconocimientos matemáticos y que tenga acceso a un programa de Cálculo Simbólico (Mathematica,Maple o el Macsyma de SeLICES Linux, el Linux del IES Jorge Manrique), pueda desarrollar sindificultades mayores este viejo y venerable cálculo.

Para el resto de los alumnos la aplicación Java que acompaña a este documento y la sección de losorbitales en 3D y VRML (requiere plugin VRML o visor) ilustrarán gráficamente los resultados, demodo que puedan centrarse en el significado de las soluciones y no en el desarrollo matématico.

La ecuación de Schrodinger para los autovalores de la energía, en coordenadas esféricas, toma la forma

(1)

donde es la masa reducida del núcleo y el electrón. Como la masa del electrón es 1836 veces menor

que la del protón, esa masa reducida es casi idéntica a la masa del electrón.

Haciendo explícitas las coordenadas esféricas en la ecuación,

(2)

Esta ecuación se puede resolver separando variables suponiendo una solución de la forma

(3)

Introduciendo (3) en (2),

(4)

Un cálculo relativamente largo conduce a

(5)

Para que sea periódica, tal como lo requiere la simetría del problema, debe ser

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(6)

(7)

de modo que

(8)

La constante C se determina normalizando la función a 1, de modo que resulta

(9)

Para resolver , se introduce (9) en (5), se multiplica por y se llega a

(10)

Esta ecuación es una vieja conocida de la Física Matemática. Es la ecuación de Legendre, que tienecomo soluciones

(11)

Normalizando se encuentra la constante, con lo que la solución resulta ser

(12)

La parte angular de la solución es . Pero estos también son funciones conocidas, se trata

de los Armónicos esféricos.

Para los primeros valores de m en se tienen las siguientes funciones:

Funciones angulares según L. Pauling, "The Nature of the Chemical Bond", OxfordPress, 1963. La parte real se entiende como normalizada.

http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_harmonicshttp://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_polynomials


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Para la parte angular , con los primeros valores de los

parámetros , se tienen las siguientes funciones:

Funciones angulares según L. Pauling, "The Nature of the ChemicalBond", Oxford Press, 1963.

Para determinar la solución de la parte radial, se introducen (12) y (9) en (4)


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(13)

Unas cuantas manipulaciones algebraicas conducen a

(14)

En los estados ligados debe ocurrir que E < 0 ; resulta cómodo definir

(15)

(16)

y por tanto

(17)

(18)

Con estos manejos , la ecuación (14) se reduce a

(19)

Con otros pocos manejos algebráicos, se llega a la siguiente ecuación

(20)

Definiendo una constante k

(21)

la ecuación (20) adopta la forma

(22)


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Para valores muy grandes de , (22) es aproximadamente

(23)

que tiene como solución

(24)

Donde el signo negativo da cuenta de que la función tiende a cero en el infinito. Esto sugiere unasolución general de la forma

(25)

Sustituyendo (25) en (22) queda

(26)

Haciendo las derivadas y reordenando los términos, se llega la ecuación para H

(27)

Haciendo ahora la sustitución

(28)

y sustituyendo en (27), se tiene, haciendo ahora los cálculos paso a paso:

(29)

(30)

De las dos ecuaciones anteriores resulta ser


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(31)

(32)

Introduciendo los términos correspondientes en la ecuación (27)

(33)

Factorizando y reordenando términos

(34)

(35)

(36)

Pero (36) es una forma de la conocida ecuación de Laguerre

Se sabe que para que la ecuación tenga una solución aceptable, debe ocurrir que

(37)

para un cierto número entero . Rebautizando k como n, llamado el número cuántico principal, se

sigue de (21) que

(38)

Estos valores de la energía son precisamente los que encontró Bohr en su primer modelo.

Como n debe ser un entero positivo, y como también l debe serlo, la ecuación (37) obliga a que

(39)

Las soluciones de (36) son unos polinomios conocidos como polinomios de Laguerre. La función radial

http://en.wikipedia.org/wiki/Laguerre_polynomialshttp://en.wikipedia.org/wiki/Laguerre_polynomials


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está dada por la ecuación

(40)

De (15) se obtiene

(41)

En la ecuación (41) a0 es precisamente el radio de la primera órbita de Bohr para el átomo de hidrógeno(aproximadamente 0.5 Å). La constante C se encuentra imponiendo la normalización de la funciónradial:

La solución para la función radial es

(42)

Las soluciones para los orbitales más bajos son

Funciones radiales según L. Pauling, "The Nature of the Chemical Bond", Oxford Press, 1963


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Los valores medios con esta función radial son de la forma


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Ir a ver los orbitales en applet java

Ir a ver los orbitales en 3D y VRML (requiere plugin VRML o visor)

Hecho por Juan María Fernández para las Aulas Virtuales del IES Jorge Manrique de Palencia
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