Asd
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´ Indice general 1. INTRODUCCI ´ ON 2 1.1. Determine una soluci´on forma del problema de flujo de ca- lor descrito por el problema con valores inciciales y en la frontera ................................. 2 Ingenier´ ıa Civil 1
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Indice general
1. INTRODUCCION 21.1. Determine una solucion forma del problema de flujo de ca-
lor descrito por el problema con valores inciciales y en lafrontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Ingenierıa Civil 1
Ing. Civil
TOPOGRAFÍA II
UNSCH
TOPOGRAFÍA II
UNSCH
1 INTRODUCCION
1.1 Determine una solucion forma del problema de
flujo de calor descrito por el problema con valores incicialesy en la frontera
∂u∂t
= 5∂2u∂x2, 0 < x < 1, t > 0
u(0, t) = u(1, t), t > 0u(x, 0) = (1 − x)x2, 0 < x < 1
mediante separacion de variables.
SOLUCION:
Al comparar el ejercicio con el anterior vemos que β = 5 y L=1. Por lo tantosolo debemos determinar los valores de cnen la formula:
u(x, t) =2
L
∞∑n=1
(∫ L
0f(x)sen(
nπ
Lx))e−k(
n2π2
L2 )tsen(nπ
Lx)
Es decir debemos tener:
cn =∫ L
0f(x)sen(
nπ
Lx)
Donde:L=1f(x) = (1 − x)x2
Desarrollando:
cn =∫ 1
0(1 − x)x2sen(nπx) =
∫ 1
0x2sen(nπx) −
∫ 1
0x3sen(nπx)
u = x2,∂v =sen(nπx)
∂u = 2x∂x, v = −cos(nπx)
nπ
Ingenierıa Civil 2
Ing. Civil
texto 1 texto 2
I1 = −x2 cos(nπx)
nπ
∣∣∣∣∣1
0
+∫ 1
02x
cos(nπx)
nπ∂x
I2 =∫ 1
02x
cos(nπx)
nπ∂x
v = 2x,∂y=cos(nπx)
nπ
∂v = 2x∂x, y =sen(nπx)
n2π2
I2 = 2xsen(nπx)
n2π2
∣∣∣∣∣1
0
−∫ 1
02
sen(nπx)
n2π2∂x
I2 = 2xsen(nπx)
n2π2
∣∣∣∣∣1
0
+ 2cos(nπx)
n3π3
1
0
I1 = −x2 cos(nπx)
nπ
∣∣∣∣∣1
0
+ 2xsen(nπx)
n2π2
∣∣∣∣∣1
0
+ 2cos(nπx)
n3π3
1
0
Desarrollo de la otra integral:
I4 =∫ 1
0x3sen(nπx)
u = x3,∂v = sen(nπx)
∂u = 3x2, v = −cos(nπx)
nπ
I4 = −x3 cos(nπx)
nπ
∣∣∣∣∣1
0
+∫ 1
03x2
cos(nπx)
nπ∂x
I5 =∫ 1
03x2
cos(nπx)
nπ∂x
v = 3x2,∂m =cos(nπx)
nπ
Ingenierıa Civil 3
Ing. Civil
texto 1 texto 2
∂v = 6x∂x,m =sen(nπx)
n2π2
I5 = 3x2 sen(nπx)
n2π2−∫ 1
06x
sen(nπx)
n2π2∂x
I6 =∫ 1
06x
sen(nπx)
n2π2∂x
t = 6x,∂z =sen(nπx)
n2π2
∂t = 6∂x, z = −cos(nπx)
n3π3
I6 = −6xcos(nπx)
n3π3+∫ 1
06
cos(nπx)
n3π3
I6 = −6xcos(nπx)
n3π3+ 6
sen(nπx)
n4π4
I4 = −x3 cos(nπx)
nπ
∣∣∣∣∣1
0
+ 3x2 sen(nπx)
n2π2
∣∣∣∣∣1
0
+ − 6xcos(nπx)
n3π3
∣∣∣∣∣1
0
− 6sen(nπx)
n4π4
∣∣∣∣∣1
0
DESARROLLANDO LAS INTEGRALES TENEMOS:
I1 = −cos(nπ) − 1
nπ+ 0 + 2
cos(nπ) − 1
n3π3
I4 = −cos(nπ) − 1
nπ+ 0 + −6
cos(nπ)
n3π3− 0
NOTA:
sen(nπ) = 0
sen(0) = 0
cos(nπ) = (−1)n
SUMANDO LAS DOS INTEGRALES Y SIMPLIFICANDO OBTENEMOS:
cn = (−4(−1)n − 2
n3π3)
POR LO TANTO EL u(x,t):
u(x, t) =2
L
∞∑n=1
(−4(−1)n − 2
n3π3)e−5(n
2π2)tsen(nπx)
Ingenierıa Civil 4
Ing. Civil
