Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con...
-
Upload
truongthuan -
Category
Documents
-
view
212 -
download
0
Transcript of Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con...
![Page 1: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/1.jpg)
Aproximacion por mınimos cuadrados
Jose Vicente Romero Bauset
ETSIT-curso 2009/2010
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 1
![Page 2: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/2.jpg)
Introduccion
Con el fin de determinar el valor de la constante g, la aceleracioncausada por la accion de la gravedad sobre la superficie de laTierra, se lleva a cabo un experimento en el cual se mide el tiempoque tarda en caer un objeto desde un edificio a lo largo de alturasdiferentes, midiendose el tiempo a distancias prefijadas. Seobtienen los siguientes datos:
t(s) 1.1 1.6 2.9 3.0 4.3 4.8
y(m) 4.9 13.5 39 45 87.6 110
¿Cual es el valor de la aceleracion de la gravedad?
Vamos a suponer que y = a+bt +1
2gt2
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 2
![Page 3: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/3.jpg)
Introduccion
Con el fin de determinar el valor de la constante g, la aceleracioncausada por la accion de la gravedad sobre la superficie de laTierra, se lleva a cabo un experimento en el cual se mide el tiempoque tarda en caer un objeto desde un edificio a lo largo de alturasdiferentes, midiendose el tiempo a distancias prefijadas. Seobtienen los siguientes datos:
t(s) 1.1 1.6 2.9 3.0 4.3 4.8
y(m) 4.9 13.5 39 45 87.6 110
¿Cual es el valor de la aceleracion de la gravedad?
Vamos a suponer que y = a+bt +1
2gt2
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 2
![Page 4: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/4.jpg)
Introduccion
Con el fin de determinar el valor de la constante g, la aceleracioncausada por la accion de la gravedad sobre la superficie de laTierra, se lleva a cabo un experimento en el cual se mide el tiempoque tarda en caer un objeto desde un edificio a lo largo de alturasdiferentes, midiendose el tiempo a distancias prefijadas. Seobtienen los siguientes datos:
t(s) 1.1 1.6 2.9 3.0 4.3 4.8
y(m) 4.9 13.5 39 45 87.6 110
¿Cual es el valor de la aceleracion de la gravedad?
Vamos a suponer que y = a+bt +1
2gt2
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 2
![Page 5: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/5.jpg)
Introduccion
Si se exige que todos los puntos cumplan la ecuacion seobtiene el sistema
y1 = a+bt1 +gt212
y2 = a+bt2 +gt222
y3 = a+bt3 +gt232
y4 = a+bt4 +gt242
y5 = a+bt5 +gt252
y6 = a+bt6 +gt262
⇒
1 t1 t21
1 t2 t22
1 t3 t23
1 t4 t24
1 t5 t25
1 t6 t26
a
bg2
=
y1
y2
y3
y4
y5
y6
Sistema incompatible
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 3
![Page 6: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/6.jpg)
Introduccion
Si se exige que todos los puntos cumplan la ecuacion seobtiene el sistema
y1 = a+bt1 +gt212
y2 = a+bt2 +gt222
y3 = a+bt3 +gt232
y4 = a+bt4 +gt242
y5 = a+bt5 +gt252
y6 = a+bt6 +gt262
⇒
1 t1 t21
1 t2 t22
1 t3 t23
1 t4 t24
1 t5 t25
1 t6 t26
a
bg2
=
y1
y2
y3
y4
y5
y6
Sistema incompatible
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 3
![Page 7: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/7.jpg)
Introduccion
Si se exige que todos los puntos cumplan la ecuacion seobtiene el sistema
y1 = a+bt1 +gt212
y2 = a+bt2 +gt222
y3 = a+bt3 +gt232
y4 = a+bt4 +gt242
y5 = a+bt5 +gt252
y6 = a+bt6 +gt262
⇒
1 t1 t21
1 t2 t22
1 t3 t23
1 t4 t24
1 t5 t25
1 t6 t26
a
bg2
=
y1
y2
y3
y4
y5
y6
Sistema incompatible
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 3
![Page 8: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/8.jpg)
Introduccion
Se minimiza6
∑i=1
(yi −a−bti −g
2t2i )2
Se obtiene g2 = 4.5217
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 4
![Page 9: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/9.jpg)
Introduccion
Se minimiza6
∑i=1
(yi −a−bti −g
2t2i )2
Se obtiene g2 = 4.5217
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 4
![Page 10: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/10.jpg)
Metodo de los mınimos cuadrados
Ax = b incompatible
→ b no es combinacion de las columnas de Aww� hallar un vector x0
minimice E = ‖Ax−b‖
Col A0
b
Ax AxAx
ww� Teorema de la mejor aproximacion
proyeccion ortogonal de b sobre el espacio columna de Aww�b−Ax0 es ortogonal a Ay, ∀ y ∈ Rn.ww�
< Ay,b−Ax0 >= 0⇒ ytAt(b−Ax0) = 0⇒ yt(Atb−AtAx0) = 0ww�AtAx0 = Atb
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 5
![Page 11: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/11.jpg)
Metodo de los mınimos cuadrados
Ax = b incompatible → b no es combinacion de las columnas de A
ww� hallar un vector x0
minimice E = ‖Ax−b‖
Col A0
b
Ax AxAx
ww� Teorema de la mejor aproximacion
proyeccion ortogonal de b sobre el espacio columna de Aww�b−Ax0 es ortogonal a Ay, ∀ y ∈ Rn.ww�
< Ay,b−Ax0 >= 0⇒ ytAt(b−Ax0) = 0⇒ yt(Atb−AtAx0) = 0ww�AtAx0 = Atb
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 5
![Page 12: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/12.jpg)
Metodo de los mınimos cuadrados
Ax = b incompatible → b no es combinacion de las columnas de Aww� hallar un vector x0
minimice E = ‖Ax−b‖
Col A0
b
Ax AxAx
ww� Teorema de la mejor aproximacion
proyeccion ortogonal de b sobre el espacio columna de Aww�b−Ax0 es ortogonal a Ay, ∀ y ∈ Rn.ww�
< Ay,b−Ax0 >= 0⇒ ytAt(b−Ax0) = 0⇒ yt(Atb−AtAx0) = 0ww�AtAx0 = Atb
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 5
![Page 13: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/13.jpg)
Metodo de los mınimos cuadrados
Ax = b incompatible → b no es combinacion de las columnas de Aww� hallar un vector x0
minimice E = ‖Ax−b‖
Col A0
b
Ax AxAx
ww� Teorema de la mejor aproximacion
proyeccion ortogonal de b sobre el espacio columna de A
ww�b−Ax0 es ortogonal a Ay, ∀ y ∈ Rn.ww�
< Ay,b−Ax0 >= 0⇒ ytAt(b−Ax0) = 0⇒ yt(Atb−AtAx0) = 0ww�AtAx0 = Atb
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 5
![Page 14: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/14.jpg)
Metodo de los mınimos cuadrados
Ax = b incompatible → b no es combinacion de las columnas de Aww� hallar un vector x0
minimice E = ‖Ax−b‖
Col A0
b
Ax AxAx
ww� Teorema de la mejor aproximacion
proyeccion ortogonal de b sobre el espacio columna de Aww�b−Ax0 es ortogonal a Ay, ∀ y ∈ Rn.
ww�< Ay,b−Ax0 >= 0⇒ ytAt(b−Ax0) = 0⇒ yt(Atb−AtAx0) = 0ww�
AtAx0 = Atb
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 5
![Page 15: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/15.jpg)
Metodo de los mınimos cuadrados
Ax = b incompatible → b no es combinacion de las columnas de Aww� hallar un vector x0
minimice E = ‖Ax−b‖
Col A0
b
Ax AxAx
ww� Teorema de la mejor aproximacion
proyeccion ortogonal de b sobre el espacio columna de Aww�b−Ax0 es ortogonal a Ay, ∀ y ∈ Rn.ww�
< Ay,b−Ax0 >= 0
⇒ ytAt(b−Ax0) = 0⇒ yt(Atb−AtAx0) = 0ww�AtAx0 = Atb
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 5
![Page 16: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/16.jpg)
Metodo de los mınimos cuadrados
Ax = b incompatible → b no es combinacion de las columnas de Aww� hallar un vector x0
minimice E = ‖Ax−b‖
Col A0
b
Ax AxAx
ww� Teorema de la mejor aproximacion
proyeccion ortogonal de b sobre el espacio columna de Aww�b−Ax0 es ortogonal a Ay, ∀ y ∈ Rn.ww�
< Ay,b−Ax0 >= 0⇒ ytAt(b−Ax0) = 0
⇒ yt(Atb−AtAx0) = 0ww�AtAx0 = Atb
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 5
![Page 17: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/17.jpg)
Metodo de los mınimos cuadrados
Ax = b incompatible → b no es combinacion de las columnas de Aww� hallar un vector x0
minimice E = ‖Ax−b‖
Col A0
b
Ax AxAx
ww� Teorema de la mejor aproximacion
proyeccion ortogonal de b sobre el espacio columna de Aww�b−Ax0 es ortogonal a Ay, ∀ y ∈ Rn.ww�
< Ay,b−Ax0 >= 0⇒ ytAt(b−Ax0) = 0⇒ yt(Atb−AtAx0) = 0
ww�AtAx0 = Atb
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 5
![Page 18: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/18.jpg)
Metodo de los mınimos cuadrados
Ax = b incompatible → b no es combinacion de las columnas de Aww� hallar un vector x0
minimice E = ‖Ax−b‖
Col A0
b
Ax AxAx
ww� Teorema de la mejor aproximacion
proyeccion ortogonal de b sobre el espacio columna de Aww�b−Ax0 es ortogonal a Ay, ∀ y ∈ Rn.ww�
< Ay,b−Ax0 >= 0⇒ ytAt(b−Ax0) = 0⇒ yt(Atb−AtAx0) = 0ww�AtAx0 = Atb
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 5
![Page 19: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/19.jpg)
Metodo de los mınimos cuadrados
A las ecuaciones anteriores se les denomina ecuaciones normales,a la solucion x0 solucion optima y a E 2 = ‖Ax0−b‖2 se le llamaerror cuadratico.
Si las columnas de A son independientes la solucion de lasecuaciones normales es unica, como se puede ver aplicando lafactorizacion QR a A
AtAx0 = Atb
(QR)t(QR)x0 = (QR)tb
RtQtQRx0 = RtQtb
Rx0 = Qtb.
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 6
![Page 20: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/20.jpg)
Metodo de los mınimos cuadrados
A las ecuaciones anteriores se les denomina ecuaciones normales,a la solucion x0 solucion optima y a E 2 = ‖Ax0−b‖2 se le llamaerror cuadratico.
Si las columnas de A son independientes la solucion de lasecuaciones normales es unica, como se puede ver aplicando lafactorizacion QR a A
AtAx0 = Atb
(QR)t(QR)x0 = (QR)tb
RtQtQRx0 = RtQtb
Rx0 = Qtb.
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 6
![Page 21: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/21.jpg)
Metodo de los mınimos cuadrados
A las ecuaciones anteriores se les denomina ecuaciones normales,a la solucion x0 solucion optima y a E 2 = ‖Ax0−b‖2 se le llamaerror cuadratico.
Si las columnas de A son independientes la solucion de lasecuaciones normales es unica, como se puede ver aplicando lafactorizacion QR a A
AtAx0 = Atb
(QR)t(QR)x0 = (QR)tb
RtQtQRx0 = RtQtb
Rx0 = Qtb.
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 6
![Page 22: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/22.jpg)
Metodo de los mınimos cuadrados
A las ecuaciones anteriores se les denomina ecuaciones normales,a la solucion x0 solucion optima y a E 2 = ‖Ax0−b‖2 se le llamaerror cuadratico.
Si las columnas de A son independientes la solucion de lasecuaciones normales es unica, como se puede ver aplicando lafactorizacion QR a A
AtAx0 = Atb
(QR)t(QR)x0 = (QR)tb
RtQtQRx0 = RtQtb
Rx0 = Qtb.
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 6
![Page 23: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/23.jpg)
Metodo de los mınimos cuadrados
A las ecuaciones anteriores se les denomina ecuaciones normales,a la solucion x0 solucion optima y a E 2 = ‖Ax0−b‖2 se le llamaerror cuadratico.
Si las columnas de A son independientes la solucion de lasecuaciones normales es unica, como se puede ver aplicando lafactorizacion QR a A
AtAx0 = Atb
(QR)t(QR)x0 = (QR)tb
RtQtQRx0 = RtQtb
Rx0 = Qtb.
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 6
![Page 24: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/24.jpg)
Metodo de los mınimos cuadrados
A las ecuaciones anteriores se les denomina ecuaciones normales,a la solucion x0 solucion optima y a E 2 = ‖Ax0−b‖2 se le llamaerror cuadratico.
Si las columnas de A son independientes la solucion de lasecuaciones normales es unica, como se puede ver aplicando lafactorizacion QR a A
AtAx0 = Atb
(QR)t(QR)x0 = (QR)tb
RtQtQRx0 = RtQtb
Rx0 = Qtb.
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 6
![Page 25: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/25.jpg)
Ajuste de datos
Relacion lineal
Si se espera una relacion lineal entre los datos y = a+bx
y1 = a+bx1...
ym = a+bxm
⇒
1 x1...
...1 xm
( ab
)=
y1...ym
.
Relacion Cuadratica (y = a+bx + cx2) 1 x1 x21
......
...1 xm x2
m
a
bc
=
y1...ym
.
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 7
![Page 26: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/26.jpg)
Ajuste de datos
Relacion lineal
Si se espera una relacion lineal entre los datos y = a+bx
y1 = a+bx1...
ym = a+bxm
⇒
1 x1...
...1 xm
( ab
)=
y1...ym
.
Relacion Cuadratica (y = a+bx + cx2) 1 x1 x21
......
...1 xm x2
m
a
bc
=
y1...ym
.
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 7
![Page 27: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/27.jpg)
Ajuste de datos
Relacion lineal
Si se espera una relacion lineal entre los datos y = a+bx
y1 = a+bx1...
ym = a+bxm
⇒
1 x1...
...1 xm
( ab
)=
y1...ym
.
Relacion Cuadratica (y = a+bx + cx2) 1 x1 x21
......
...1 xm x2
m
a
bc
=
y1...ym
.
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 7
![Page 28: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/28.jpg)
Ajuste de datos
El error cuadratico (n
∑i=1
(yi −y(xi ))2) depende del numero de puntos
⇓
Se define el ındice de determinacion como
d =
m
∑k=1
(y(xk)−y)2
m
∑k=1
(yk −y)2, y =
1
m
m
∑k=1
yk
Es facil ver que 0≤ d ≤ 1.
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 8
![Page 29: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/29.jpg)
Ajuste de datos
El error cuadratico (n
∑i=1
(yi −y(xi ))2) depende del numero de puntos
⇓
Se define el ındice de determinacion como
d =
m
∑k=1
(y(xk)−y)2
m
∑k=1
(yk −y)2,
y =1
m
m
∑k=1
yk
Es facil ver que 0≤ d ≤ 1.
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 8
![Page 30: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/30.jpg)
Ajuste de datos
El error cuadratico (n
∑i=1
(yi −y(xi ))2) depende del numero de puntos
⇓
Se define el ındice de determinacion como
d =
m
∑k=1
(y(xk)−y)2
m
∑k=1
(yk −y)2, y =
1
m
m
∑k=1
yk
Es facil ver que 0≤ d ≤ 1.
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 8
![Page 31: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/31.jpg)
Ajuste de datos
El error cuadratico (n
∑i=1
(yi −y(xi ))2) depende del numero de puntos
⇓
Se define el ındice de determinacion como
d =
m
∑k=1
(y(xk)−y)2
m
∑k=1
(yk −y)2, y =
1
m
m
∑k=1
yk
Es facil ver que 0≤ d ≤ 1.
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 8
![Page 32: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/32.jpg)
Ajuste de datos
Los ajustes anteriores son casos particulares del ajuste pormodelos lineales
y = a1φ1(x) +a2φ2(x) + · · ·+anφn(x).
⇓φ1(x1) φ2(x1) · · · φn(x1)φ1(x2) φ2(x2) · · · φn(x2)
......
. . ....
φ1(xm) φ2(xm) · · · φn(xm)
a1
a2...an
=
y1...ym
.
Algunas funciones no lineales se pueden linealizar
y = aebx ⇒ lny = lna+bx
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 9
![Page 33: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/33.jpg)
Ajuste de datos
Los ajustes anteriores son casos particulares del ajuste pormodelos lineales
y = a1φ1(x) +a2φ2(x) + · · ·+anφn(x).
⇓φ1(x1) φ2(x1) · · · φn(x1)φ1(x2) φ2(x2) · · · φn(x2)
......
. . ....
φ1(xm) φ2(xm) · · · φn(xm)
a1
a2...an
=
y1...ym
.
Algunas funciones no lineales se pueden linealizar
y = aebx ⇒ lny = lna+bx
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 9
![Page 34: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/34.jpg)
Ajuste de datos
Los ajustes anteriores son casos particulares del ajuste pormodelos lineales
y = a1φ1(x) +a2φ2(x) + · · ·+anφn(x).
⇓φ1(x1) φ2(x1) · · · φn(x1)φ1(x2) φ2(x2) · · · φn(x2)
......
. . ....
φ1(xm) φ2(xm) · · · φn(xm)
a1
a2...an
=
y1...ym
.
Algunas funciones no lineales se pueden linealizar
y = aebx ⇒ lny = lna+bx
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 9
![Page 35: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/35.jpg)
Ajuste de datos
Ejemplo
El nivel del agua en el mar del Norte esta principalmentedeterminado por la marea. Se han tomado las siguientes mediciones
t 0 2 4 6 8 10
h(t) 1 1.6 1.4 0.6 0.2 0.8
con t medido en horas.
a) Ajuste a los datos anteriores una recta. Para ello escriba lasecuaciones normales y resuelva dicho sistema por el metodode Gauss-Jordan. ¿Tiene sentido la solucion obtenida paratiempos grandes?
b Ajuste por mınimos cuadrados los datos anteriores a unafuncion del tipo
h(t) = h0 +a1 sen(
πt
6
)+a2 cos
(πt
6
)Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 10
![Page 36: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/36.jpg)
Ajuste de datos
h = a+bx
1 = a + 0b
1.6 = a + 2b
1.4 = a + 4b
0.6 = a + 6b
0.2 = a + 8b
0.8 = a + 10b
⇒
1 0
1 2
1 4
1 6
1 8
1 10
︸ ︷︷ ︸
A
(a
b
)︸ ︷︷ ︸
x0
=
1
1.6
1.4
0.6
0.2
0.8
︸ ︷︷ ︸
d
AtAx0 = Atd⇒
(6 30
30 220
)x0 =
(5.6
22
)(
6 30 5.630 220 22
)F2−5F1−−−−→
(6 30 5.60 70 −6
)F270−→
(6 30 5.60 1 − 3
35
)
F1−30F2−−−−−→
(6 0
0 1
∣∣∣∣∣ 28635
− 335
)F16−→
(1 0
0 1
∣∣∣∣∣ 143105
− 335
)⇒ x0 =
(1.36
−0.086
)
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 11
![Page 37: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/37.jpg)
Ajuste de datos
h = a+bx
1 = a + 0b
1.6 = a + 2b
1.4 = a + 4b
0.6 = a + 6b
0.2 = a + 8b
0.8 = a + 10b
⇒
1 0
1 2
1 4
1 6
1 8
1 10
︸ ︷︷ ︸
A
(a
b
)︸ ︷︷ ︸
x0
=
1
1.6
1.4
0.6
0.2
0.8
︸ ︷︷ ︸
d
AtAx0 = Atd⇒
(6 30
30 220
)x0 =
(5.6
22
)(
6 30 5.630 220 22
)F2−5F1−−−−→
(6 30 5.60 70 −6
)F270−→
(6 30 5.60 1 − 3
35
)
F1−30F2−−−−−→
(6 0
0 1
∣∣∣∣∣ 28635
− 335
)F16−→
(1 0
0 1
∣∣∣∣∣ 143105
− 335
)⇒ x0 =
(1.36
−0.086
)
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 11
![Page 38: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/38.jpg)
Ajuste de datos
h = a+bx
1 = a + 0b
1.6 = a + 2b
1.4 = a + 4b
0.6 = a + 6b
0.2 = a + 8b
0.8 = a + 10b
⇒
1 0
1 2
1 4
1 6
1 8
1 10
︸ ︷︷ ︸
A
(a
b
)︸ ︷︷ ︸
x0
=
1
1.6
1.4
0.6
0.2
0.8
︸ ︷︷ ︸
d
AtAx0 = Atd⇒
(6 30
30 220
)x0 =
(5.6
22
)(
6 30 5.630 220 22
)F2−5F1−−−−→
(6 30 5.60 70 −6
)F270−→
(6 30 5.60 1 − 3
35
)
F1−30F2−−−−−→
(6 0
0 1
∣∣∣∣∣ 28635
− 335
)F16−→
(1 0
0 1
∣∣∣∣∣ 143105
− 335
)⇒ x0 =
(1.36
−0.086
)
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 11
![Page 39: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/39.jpg)
Ajuste de datos
h = a+bx
1 = a + 0b
1.6 = a + 2b
1.4 = a + 4b
0.6 = a + 6b
0.2 = a + 8b
0.8 = a + 10b
⇒
1 0
1 2
1 4
1 6
1 8
1 10
︸ ︷︷ ︸
A
(a
b
)︸ ︷︷ ︸
x0
=
1
1.6
1.4
0.6
0.2
0.8
︸ ︷︷ ︸
d
AtAx0 = Atd
⇒
(6 30
30 220
)x0 =
(5.6
22
)(
6 30 5.630 220 22
)F2−5F1−−−−→
(6 30 5.60 70 −6
)F270−→
(6 30 5.60 1 − 3
35
)
F1−30F2−−−−−→
(6 0
0 1
∣∣∣∣∣ 28635
− 335
)F16−→
(1 0
0 1
∣∣∣∣∣ 143105
− 335
)⇒ x0 =
(1.36
−0.086
)
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 11
![Page 40: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/40.jpg)
Ajuste de datos
h = a+bx
1 = a + 0b
1.6 = a + 2b
1.4 = a + 4b
0.6 = a + 6b
0.2 = a + 8b
0.8 = a + 10b
⇒
1 0
1 2
1 4
1 6
1 8
1 10
︸ ︷︷ ︸
A
(a
b
)︸ ︷︷ ︸
x0
=
1
1.6
1.4
0.6
0.2
0.8
︸ ︷︷ ︸
d
AtAx0 = Atd⇒
(6 30
30 220
)x0 =
(5.6
22
)
(6 30 5.6
30 220 22
)F2−5F1−−−−→
(6 30 5.60 70 −6
)F270−→
(6 30 5.60 1 − 3
35
)
F1−30F2−−−−−→
(6 0
0 1
∣∣∣∣∣ 28635
− 335
)F16−→
(1 0
0 1
∣∣∣∣∣ 143105
− 335
)⇒ x0 =
(1.36
−0.086
)
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 11
![Page 41: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/41.jpg)
Ajuste de datos
h = a+bx
1 = a + 0b
1.6 = a + 2b
1.4 = a + 4b
0.6 = a + 6b
0.2 = a + 8b
0.8 = a + 10b
⇒
1 0
1 2
1 4
1 6
1 8
1 10
︸ ︷︷ ︸
A
(a
b
)︸ ︷︷ ︸
x0
=
1
1.6
1.4
0.6
0.2
0.8
︸ ︷︷ ︸
d
AtAx0 = Atd⇒
(6 30
30 220
)x0 =
(5.6
22
)(
6 30 5.630 220 22
)F2−5F1−−−−→
(6 30 5.60 70 −6
)F270−→
(6 30 5.60 1 − 3
35
)
F1−30F2−−−−−→
(6 0
0 1
∣∣∣∣∣ 28635
− 335
)F16−→
(1 0
0 1
∣∣∣∣∣ 143105
− 335
)⇒ x0 =
(1.36
−0.086
)Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 11
![Page 42: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/42.jpg)
Ajuste de datos
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 12
![Page 43: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/43.jpg)
Ajuste de datos
h(t) = h0 +a1 sen(
πt
6
)+a2 cos
(πt
6
)
1 = h0 + sen(
π06
)a1 + cos
(π06
)a2
1.6 = h0 + sen(
π26
)a1 + cos
(π26
)a2
1.4 = h0 + sen(
π46
)a1 + cos
(π46
)a2
0.6 = h0 + sen(
π66
)a1 + cos
(π66
)a2
0.2 = h0 + sen(
π86
)a1 + cos
(π86
)a2
0.8 = h0 + sen(
π106
)a1 + cos
(π10
6
)a2
⇒
1 0 1
1√
32
12
1√
32 − 1
2
1 0 −1
1 −√
32 − 1
2
1 −√
32
12
︸ ︷︷ ︸
A
h0
a1
a2
︸ ︷︷ ︸
x0
=
1
1.6
1.4
0.6
0.2
0.8
︸ ︷︷ ︸
d
AtAx0 = Atd⇒
6 0 0
0 3 0
0 0 3
x0 =
5.6
1.73
0.8
⇒ x0 =
0.93
0.58
0.27
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 13
![Page 44: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/44.jpg)
Ajuste de datos
h(t) = h0 +a1 sen(
πt
6
)+a2 cos
(πt
6
)
1 = h0 + sen(
π06
)a1 + cos
(π06
)a2
1.6 = h0 + sen(
π26
)a1 + cos
(π26
)a2
1.4 = h0 + sen(
π46
)a1 + cos
(π46
)a2
0.6 = h0 + sen(
π66
)a1 + cos
(π66
)a2
0.2 = h0 + sen(
π86
)a1 + cos
(π86
)a2
0.8 = h0 + sen(
π106
)a1 + cos
(π10
6
)a2
⇒
1 0 1
1√
32
12
1√
32 − 1
2
1 0 −1
1 −√
32 − 1
2
1 −√
32
12
︸ ︷︷ ︸
A
h0
a1
a2
︸ ︷︷ ︸
x0
=
1
1.6
1.4
0.6
0.2
0.8
︸ ︷︷ ︸
d
AtAx0 = Atd⇒
6 0 0
0 3 0
0 0 3
x0 =
5.6
1.73
0.8
⇒ x0 =
0.93
0.58
0.27
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 13
![Page 45: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/45.jpg)
Ajuste de datos
h(t) = h0 +a1 sen(
πt
6
)+a2 cos
(πt
6
)
1 = h0 + sen(
π06
)a1 + cos
(π06
)a2
1.6 = h0 + sen(
π26
)a1 + cos
(π26
)a2
1.4 = h0 + sen(
π46
)a1 + cos
(π46
)a2
0.6 = h0 + sen(
π66
)a1 + cos
(π66
)a2
0.2 = h0 + sen(
π86
)a1 + cos
(π86
)a2
0.8 = h0 + sen(
π106
)a1 + cos
(π10
6
)a2
⇒
1 0 1
1√
32
12
1√
32 − 1
2
1 0 −1
1 −√
32 − 1
2
1 −√
32
12
︸ ︷︷ ︸
A
h0
a1
a2
︸ ︷︷ ︸
x0
=
1
1.6
1.4
0.6
0.2
0.8
︸ ︷︷ ︸
d
AtAx0 = Atd⇒
6 0 0
0 3 0
0 0 3
x0 =
5.6
1.73
0.8
⇒ x0 =
0.93
0.58
0.27
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 13
![Page 46: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/46.jpg)
Ajuste de datos
h(t) = h0 +a1 sen(
πt
6
)+a2 cos
(πt
6
)
1 = h0 + sen(
π06
)a1 + cos
(π06
)a2
1.6 = h0 + sen(
π26
)a1 + cos
(π26
)a2
1.4 = h0 + sen(
π46
)a1 + cos
(π46
)a2
0.6 = h0 + sen(
π66
)a1 + cos
(π66
)a2
0.2 = h0 + sen(
π86
)a1 + cos
(π86
)a2
0.8 = h0 + sen(
π106
)a1 + cos
(π10
6
)a2
⇒
1 0 1
1√
32
12
1√
32 − 1
2
1 0 −1
1 −√
32 − 1
2
1 −√
32
12
︸ ︷︷ ︸
A
h0
a1
a2
︸ ︷︷ ︸
x0
=
1
1.6
1.4
0.6
0.2
0.8
︸ ︷︷ ︸
d
AtAx0 = Atd
⇒
6 0 0
0 3 0
0 0 3
x0 =
5.6
1.73
0.8
⇒ x0 =
0.93
0.58
0.27
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 13
![Page 47: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/47.jpg)
Ajuste de datos
h(t) = h0 +a1 sen(
πt
6
)+a2 cos
(πt
6
)
1 = h0 + sen(
π06
)a1 + cos
(π06
)a2
1.6 = h0 + sen(
π26
)a1 + cos
(π26
)a2
1.4 = h0 + sen(
π46
)a1 + cos
(π46
)a2
0.6 = h0 + sen(
π66
)a1 + cos
(π66
)a2
0.2 = h0 + sen(
π86
)a1 + cos
(π86
)a2
0.8 = h0 + sen(
π106
)a1 + cos
(π10
6
)a2
⇒
1 0 1
1√
32
12
1√
32 − 1
2
1 0 −1
1 −√
32 − 1
2
1 −√
32
12
︸ ︷︷ ︸
A
h0
a1
a2
︸ ︷︷ ︸
x0
=
1
1.6
1.4
0.6
0.2
0.8
︸ ︷︷ ︸
d
AtAx0 = Atd⇒
6 0 0
0 3 0
0 0 3
x0 =
5.6
1.73
0.8
⇒ x0 =
0.93
0.58
0.27
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 13
![Page 48: Aproximaci on por m nimos cuadrados - …personales.upv.es/jromero1/tema6a.pdf · Introducci on Con el n de determinar el valor de la constante g, la aceleraci on causada por la acci](https://reader031.fdocuments.us/reader031/viewer/2022031117/5bb13ed809d3f246678d49a1/html5/thumbnails/48.jpg)
Ajuste de datos
Jose Vicente Romero Bauset Tema 6.- Aproximacion por mınimos cuadrados. 14