Apostila de Matemática - Ens Fund - Caderno 04 Álgebra

8/14/2019 Apostila de Matemtica - Ens Fund - Caderno 04 lgebra

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ESTADO DO PARANSECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAO

DEPARTAMENTO DE ENSINO DE JOVENS E ADULTOS

MATEMTICAENSINO FUNDAMENTAL FASEII

CADERNO 4


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GOVERNO DO ESTADO DO PARAN Jaime Lerner

SECRETRIA DE ESTADO DA EDUCAOAlcyone Saliba

DIRETORA GERAL DA SEEDSnia Loyola

CHEFE DO DEPARTAMENTO DE ENSINO SUPLETIVORegina Clia Alegro

ASSISTENTE TCNICO ADMINISTRATIVOAnnete Elise Siedel

EQUIPE ELABORADORA (1 VERSO)Cristina N. Nakamura - CEEBJA de Maring

Leoni Teresa M. Brudzinski - CEEBJA de MaringSachika Sakai Takizawa - CEEBJA de Maring

Vera Lcia G. T. Sanches - CEEBJA de Maring

EQUIPE COLABORADORAGraa Rejane C. Montanher - CEEBJA de Maring

Mafalda D. Nascimento - CEEBJA de Nova Londrina

Missayo Yamada - CEEBJA de Jandaia do SulNeide Aparecida de S. Moreira - CEEBJA de Jandaia do Sul

Neuza Pinto - CEEBJA de Paranava

EQUIPE REVISORACristina Nishioka Nakamura - CEEBJA de MaringMirian Nazar B. Damaceno - CEEBJA de Maring

EQUIPE REVISORA (VERSO ATUAL)CEEBJA Paulo Freire

CEEBJA SESI-CIC

CAPARosngela Gonalves de Oliveira

ILUSTRAOHenrique Cesar Alves de Cerqueira

Jairo de Carvalho

DIAGRAMAOLuiz Carlos Tavares de S


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Este material foi preparado com a inteno de ajud-lo a compreender

idias e conceitos importantes da Matemtica e a suas relaes com a vida diria.

Esperamos que, quando necessrio, voc possa aplicar esses conhecimentos em

situaes novas, resolvendo seus problemas do dia-a-dia.

Ele foi escrito numa linguagem simples e informal, cuja a inteno lev-

la a compreenso dos assuntos bsicos da Matemtica, da maneira mais clara

possvel.

Os conhecimentos matemticos foram construdos ao longo do tempo e,

por acharmos importante para voc, apresentamos tambm alguns aspectos

histricos dessa construo.

Nossa expectativa que esse material torne til e interessante o seu Curso

de Matemtica de 5 a 8 srie de 1 grau.

EQUIPE ELABORADORA

APRESENTAO


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NDICE

UNIDADE 1 INTRODUO ALGEBRA ............................................ 05

1. Linguagem Algbrica ........................................................................ 052. Expresses Algbricas ...................................................................... 06

UNIDADE 2 OPERAES ALGBRICAS ............................................ 08

1. Operaes com Monmios................................................................ 082. Operaes com Polinmios............................................................... 18

UNIDADE 3 EQUAES DO 1 GRAU COM UMA INCGNITA ..... 21

UNIDADE 4 SISTEMAS DE EQUAES DO 1 GRAU COM DUASINCGNITAS .................................................................... 28

UNIDADE 5 TEOREMA DE PITGORAS ............................................ 33

UNIDADE 6 CONJUNTOS NUMRICOS ............................................. 39

Nmeros Irracionais .............................................................................. 39

UNIDADE 7- POTENCIAO E RADICIAO .................................... 42

1. Potenciao ...................................................................................... 422. Radiciao........................................................................................ 443. Propriedades de Raiz Quadrada ........................................................ 49

UNIDADE 8 EQUAES DO 2 GRAU .................................................. 52

BIBLIOGRAFIA........................................................................................... 59


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UNIDADE 1

INTRODUO LGEBRA

1 LINGUAGEM ALGBRICA

Na Antigidade recorria-se ao uso de palavras para indicar os clculos eas operaes, na resoluo de problemas. Com isso, os clculos tornavam-selongos e cansativos.

Mas, com o passar do tempo, superando muitas dificuldades, os homens

foram lentamente aprendendo a substituir as palavras por letras e asoperaes por sinais, para tornar os clculos mais fceis.

Foi por volta do Sculo III, antes de Cristo, que o filsofo gregoAristteles e o matemtico Euclides, passaram a usar letras e smbolos, deforma limitada, para representar nmeros e indicar a soluo de umproblema.

Muitos sculos se passaram, at 1572, quando o matemtico RaffaeleBombeli publicou sua obra, LAlgebra, que muito contribuiu para odesenvolvimento da linguagem algbrica.

Foi, porm o matemtico francs Franois Vite (1540 1603) queintroduziu o uso sistemtico dos smbolos das letras para representar osnmeros, da maneira que so usados at hoje.

Por esse motivo, considerado o Pai da lgebra.Hoje, vivemos numa sociedade onde a quantidade de informaes

numricas que nos so apresentadas dia a dia so imensas e variadas. E,para resolver os problemas decorrentes dessas informaes, podemos traduz-los para a linguagem da lgebra.

Observe, a seguir, sentenas que esto expressas com palavras, bem

como sua representao na linguagem matemtica:a) Um nmero mais o qudruplo dele igual a 10 104 =+ b) A metade do nmero de eleitores de uma cidade

igual a 1642 16422=

c) Os trs quartos de um nmeros menos dois

igual a 35 4

3 x 2 = 35

d) Um nmero adicionado ao se dobro dVinte e oito 282 =+ xx


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Vamos considerar a seguinte situao:

O quintal da casa de rika, tem as dimenses (em metros) representadasna figura abaixo, observe:

Como podemos representar o contorno desse quintal?

A representao algbrica desse contorno, pode ser:

a + b + a + b ou 2a + 2 b metros

Observamos que na expresso 2a + 2b aparecem nmeros e letras.

Dizemos, ento, que:

Veja que a expresso algbrica 2a + 2b formado por duas parcelas que

so chamadas de termos algbricos.

No termo algbrico ou monmio 2a destacamos:

A parte numrica (2), chamada de coeficiente numrico A letra (a), chamada de parte literal.

A expresso algbrica composta por mais de um monmio chamadade polinmio.

o caso da expresso algbrica 2a + 2b.

2 EXPRESSES ALGBRICAS

a

a

b b

Uma expresso matemtica que apresenta somente letras ou nmeros eletras chamada de expresso algbrica ou literal.


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ATIVIDADE - I

1) Faa a traduo para a linguagem matemtica:

a) O dobro de um nmero.

b) O triplo de um nmero.c) A metade de um nmero.d) A tera parte de um nmero.e) Dois teros de um nmero.f) Um nmero mais quatro.g) O triplo de um nmero menos dois.h) Dois quintos de um nmero acrescidos de quinze.i) O dobro de um nmero mais oito. j) A metade de um nmero aumentado de dez.

k) A diferena entre um nmero e sete.l) A quarta parte de um nmero, mais vinte.m) A tera parte de um nmero, menos o seu dobro.

2) Uma creche tem x crianas. Escreva a expresso algbrica que representa:

a) o dobro do nmero de crianas;b) a quinta parte do nmero de crianas;c) o nmero de crianas que a creche teria se sassem quinze

crianas.

3) Escreva a expresso algbrica que representa o permetro das seguintesfiguras:

a)

c)

b)

d)

x

x

xx

x

x

m

m

m

a

c

bb

2a

3b 3b

2a


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A observao da planta da casa de D. Emlia fundamental para resolveras situaes - problema de que trataremos nas pginas seguintes:

Situao 1ADIO DE MONMIOS

D. Emlia quer colocar rodap no contorno da cozinha, cujas dimensesesto representadas no desenho abaixo. Vamos ajud-la!

O contorno da cozinha pode ser encontrado calculando o permetro doretngulo que a representa. Ou seja:

3x + 2x + 3x + 2x = (3 + 2 + 3 + 2) . x = 10x

U N I D A D E 2OPERAES ALGBRICAS

1 OPERAES COM MONMIOS

O que fizemos foi uma adio de monmios. Para isso, somamos os

coeficientes (parte numrica) e repetimos a parte literal (letras), quandoorem iguais.


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Os termos que possuem partes literais iguais, chamamos de termossemelhantes.

Logo, 3x e 2x so exemplos de termos semelhantes.

S podemos fazer a adio de monmios, quando os termos algbricostm a mesma parte literal, ou seja, so semelhantes.

Logo, o contorno da cozinha 10x.

Situao 2MULTIPLICAO DE MONMIOS

D. Emlia quer calcular a rea da cozinha para colocar piso. Vamos ajud-

la!Voc j sabe que a largura da cozinha 3x e o comprimento 2x.

Podemos representar no desenho:

Voc pode encontrar a rea contando os quadrinhos de rea 2x .

Qual a rea que voc encontrou?

Outra maneira de encontrar essa rea fazendo o produto:

3x . 2x = (3 . 2) . x . x = 6 2x

Para efetuar a multiplicao da parte literal, utilizamos a propriedade damultiplicao de potncias de mesma base.

a m x a n = a nm+

Na multiplicao de potncias de mesma base, conserva-se base e somam-se os expoentes.

1x 1x1x

1x1xX2 X2

X2 X2

X2 X2

Voc multiplicou a parte numrica e somou-se os expoentes da partelateral. A esta operao chamamos multiplicao de monmios.


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ATIVIDADE - II

1) Observe a figura e responda:

a) Qual a expresso algbrica que representa a rea desse retngulo?

b) Qual a expresso algbrica do permetro desse retngulo? Essaexpresso pode ser reduzida a um s termo?

2) Qual o monmio que representa o permetro das seguintes figuras:

a) b) c)

3) Qual o permetro que representa o volume das figuras:

a) b)

4) Responda:

a) Quanto d o produto de 3x 2 por 5xy?

b) Qual o produto entre 8ab e ab?

2x3x

a

a

a

h

h

hh

v

v

v v

v

4a

bc


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5) Calcule a rea das figuras abaixo:

a) b) c)

6) Observe abaixo e responda:

a) Qual a expresso algbrica que representa a rea desseretngulo?

b) A parte literal do monmio que representa a rea do retngulo x 2 y 4 ? Explique como chegou-se a esse resultado.

Situao - 3

SUBTRAO DE MONMIOS

Quando D. Emlia chegou loja para comprar o piso, encontrou umaoferta. Resolveu calcular para saber se o piso dava para a cozinha. Descobriuque o total do piso em oferta era 8x 2 .

Como a rea que D. Emlia precisa 6x 2 , o piso em oferta sersuficiente?

Sobrar ou faltar?Quanto?

Para saber quanto vai sobrar, voc tem que calcular a diferena, mascomo?

Assim:

8x 2 - 6x 2 = (8 6) . x 2 = 2x 2

3y

3y

xy

xy

3x2

3x2

O que fizemos foi uma subtrao de monmios. Para fazer esse clculosubtraem-se os coeficientes numricos e repete-se a parte literal. Estaoperao s possvel com monmios semelhantes.

3y3

4x2y


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Situao - 4

DIVISO DE MONMIOS

Mas a loja s venderia parte dessa mercadoria (piso) se sobrasse pelomenos 23x .

Por isso, D. Emlia no pde comprar o piso nessa loja.

Como ainda precisa do piso para a cozinha, D. Emlia foi a outra loja. Lencontrou um lote de lajotas de 218x , o preo estava bom, resolveu levar.Curiosa, pensou em quantas cozinhas do tamanho da sua dariam para forrarcom aquelas lajotas.

Vamos ajud-la:

Se tem 218x de lajotas e cada cozinha tem 26x de rea, basta que se faauma diviso, assim:

218x : 26x = (18 : 6) . ( 2x : 2x ) = 223 x = 03x = 3 . 1 = 3

Para efetuar a diviso da parte literal, usamos a propriedade da diviso depotncias de mesma base:

a m : a n = a nm

Na diviso de potncias de mesma base, conserva-se a base e subtraem-seos expoentes.

Logo, a quantidade de lajota daria para 3 cozinhas iguais a de D. Emlia.

ATIVIDADE III

1) Um litro de leite custa x reais. Yai comprou trs litros de leite. Pagou com5x reais.

Nessas condies, responda:

a) Qual o monmio que representa o preo de 3 litros de leite?

b) Qual a expresso algbrica que representa o troco que Yai recebeu?

3 22x

O que fizemos foi uma diviso de monmios. Para fazer esse clculo,devemos dividir a parte numrica .E a parte literal diminui-se osexpoentes


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2) Observe as figuras abaixo e responda:

a) Qual o monmio que representa o permetro da figura 1?b) Qual o monmio que representa o permetro da figura 2?c) Calcule a diferena entre os permetros das figuras 1 e 2.

3) Determine os monmios que representam a seguinte situao: um sorvetecusta x reais. Leonardo comprou 3 sorvetes e Carolina 5.

a) Quanto os dois gastaram?b) O troco que Leonardo recebeu, se ele pagou os seus sorvetes

com 10x reais.

4) Se Jussara tem 20x reais e resolveu dar a quarta parte desse dinheiropara seu filho, que quantia seu filho receber?

5) Qual a forma mais simples de representar as expresses abaixo?

a) -7xy + 2xy =b) 15mn 8mn =c) 2,5ab 0,5ab =d) 3a 2 b 2 - a 2 b 2 =e) y 2 + 6y 2 - 2y 2 =f) 4ax 2 - 3ax 2 + 9ax 2 =

6) Observe a figura abaixo e determine o monmio que representa:

a) a rea da figura

a

3a

(figura 2)

6a

3a

(figura 1)

8x

6x


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c) a metade dessa reac) a tera parte dessa read) o permetro da figurae) a quarta parte do permetro da figura.

7) Qual o resultado de:

a) ( 215xy ) : (3x) ?b) ( 220x y) : (4y) ?c) (81a 4 b 2 c) : (-9ab) ?d) (-49a 3 b 2 c) : (7a 2 bc) ?e) (-48x 4 y 3 ) : (-12x 4 y 2 ) ?f) (35x 2 y 2 ) : (-5x 2 y 2 ) ?

Situao - 5POTENCIAO DE MONMIOS

Dona Emlia resolveu colocar na sua sala um tapete com as dimensesabaixo:

Ela quer saber a rea desse tapete.

Como o tapete tem a forma de um quadrado, basta fazer o clculo da reado quadrado que :A = l 2

Como o valor do lado 2yA = (2y) 2

ResolvendoA = (2y) 2 = (2y) . (2y) = (2 1 . 2 1) . (y 1 . y 1) = 2 11+ . y 11+ = 2 2 . y 2 = 4y 2

Definio de potncia Definio de potnciade mesma base

2y

2y


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Que tambm pode ser resolvido, elevando-se o coeficiente e a parte literalque compe a base ao expoente da potncia.

A = (2 1y1) 2 = 2 2 . y 2 = 4y 2

Um outro exemplo:

(3x 4 ) 3 = (3x 4 ) . (3x 4 ) . (3x 4 ) = 3 1 . 3 1 . 3 1 . x 4 . x 4 . x 4 = 3 3 . x 12 = 27x12 .

ou

(31

x4

)3

= 33.1

. x3.4

= 33

. x12

= 27x12

Situao - 6

RADIAO DE MONMIOS.

Voc j sabe que a operao inversa da potenciao a radiciao. Ento,para extrairmos a raiz de um monmio fazemos a operao inversa:

24y = 22 22 y = 2 22

. y 22

= 2 1 . y 1 = 2y

Generalizando, temos:

n ma = a nm

e

n ab = a n1

. b n1

Portanto, repetimos a base e dividimos o expoente do radical pelo ndice

da raiz.

Propriedade de potncia

O que fizemos nada mais que potenciao de monmios.


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ATIVIDADE - IV

1) Lembrando que a rea do quadrado dada por A = l 2 , calcule o volumedos cubos abaixo:

a) b)

c)

2) Lembrando que o volume do cubo dado por V = a 3 , calcule o volumedos cubos abaixo:

a) b)

c)

3x 4a

9n

2a

5m

8y


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17

3) Suponha que um quadrado tem rea igual a 9y 2 . Qual a medida do ladodesse quadrado?

4) A sala da casa de Lucimar tem 16 m2 de rea. Qual a medida do ladodessa sala?

5) Encontre a medida do lado dos quadrados abaixo:

a) b)

c)

6) D o resultado de:

a) (-2x) 2 =

b) (3a 2 ) 3 =

c) (a 2 b 3 c) 2 =

d) (-m 2 n 3 ) 2 =

e) (4abx) 3 =

f) 264m =

g) 104100 ba =

h) 869

4yx =

i) 424925xa =

81x2100y4

4a2


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Leia o texto, procure compreend-lo, para resolver as situaes aseguir:

Situao 1

ADIO DE POLINMIOS

O presidente do Bragantino precisa cercar o campo e quer saber quantosmetros de alambrado ter que comprar, sendo o comprimento desse campo defutebol 5x + 20 e a largura 4x + 10.

Vamos ajud-lo. Como voc j sabe ele precisa calcular permetro dessecampo que tem a forma de um retngulo, ento:

(5x + 20) + (5x + 20) + (4x + 10) + (4x + 10) == 5x + 20 + 5x + 20 + 4x + 10 + 4x + 10 == (5 + 5 + 4 + 4)x + 20 + 20 + 10 + 10 == 18x + 60

Juntaram-se os monmios que tm a mesma parte literal. O que voc fezfoi adio de polinmios. Quando se juntam os monmios que tm a mesmaparte literal, est se reduzindo os termos semelhantes.

2 OPERAES COM POLINMIOS

4x + 10

5x + 20


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Situao 2

MULTIPLICAO DE POLINMIOS

E depois ele necessita gramar o campo de futebol. Para isso, voc sabe,

s calcular a rea. Assim:

(5x + 20) . (4x + 10) = 5x . 4x + 5x . 10 + 20 . 4x + 20 . 10

= 20x 2 + 50x + 80x + 200 = 20x 2 + 130x + 200

Multiplicou-se cada monmio do primeiro polinmio por todos osmonmios do segundo e reduziu-se os termos semelhantes. Isso multiplicao de polinmios.

ATI VIDADE - V

1) Branco, comprou 5 calas e 12 camisas. Se cada cala custou x reais ecada camisa y reais, qual o polinmio que representa a quantia que Brancogastou?

2) Na concentrao do Corinthians cada jogador tem um quarto,representado pela figura abaixo. Qual o polinmio que representa a rea decada quarto?

2x + 3

3x - 2


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20

3) Calcule a rea das figuras abaixo e resolva as expresses algbricas(polinmios) obtidas.

a)

b)

c)

d)

4) Calcule:

a) (x + y) 2 =b) (x y) 2 =c) (x + 4) (x 4) =d) (x + 3) 2 =

e) (y-7)2

=f) (m + n) (m n) =

3x

3x + 4

x - y

x + y

x + 2

x + 2

2x + 7

3x


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A letra que indica o nmero desconhecido, chama-se incgnita. Naequao anterior a incgnita x.

Numa equao, a expresso que vem esquerda do sinal de igual chamada de 1 membro e a direita, de 2 membro.

x + 3x = 572

Vamos agora encontrar o valor de x.

x + 3x = 5724x = 572

Dividindo cada membro da equao 4x = 572 pelo coeficiente daincgnita que 4. Obteremos uma equao equivalente a 4x = 572.

Assim:

4

572

4

4=

x x = 143

Processo prtico:

x + 3x = 5724x = 572 quatro passa para o 2 membro,

invertendo a operao: de multiplicao para diviso.

x =4

572

x = 143

Como x est indicando o preo da lavadora podemos dizer que seu preo 143 reais.

Vamos, agora, encontrar o preo do televisor, que o triplo do preo dalavadora.Assim: 3x 3 . 143 = 429

O preo do televisor 429 reais para verificarmos se esses valores estocorretos, devemos proceder da seguinte maneira:

Na equao, substitumos a incgnita pelo nmero encontrado, o qualdever satisfazer a igualdade.

Assim: x + 3x = 572

143 + 3 . 143 = 572143 + 429 = 572572 = 572

1 membro 2 membro


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Situao 2

Uma cala custa 9 reais a mais que uma camisa. O preo das duas peasjuntas 53 reais. Qual o preo de cada uma?

Para equacionar esse problema, vamos procurar entender o enunciado.

Observe que o preo da camisa menor que o preo da cala, entopodemos indicar esse preo por x. E o preo da cala nove reais a mais queo preo da camisa, ento podemos indicar esse preo por x + 9.

Com esses dados, voc pode escrever a equao que representa oproblema. Escreva-a ..........................................

Se voc escreveu a equao x + x + 9 = 53, acertou. Vamos agoraencontrar o valor de x.

x + x + 9 = 53

2x + 9 = 53Subtraindo 9 unidades de cada membro, obteremos a equao 2x = 44,

equivalente a 2x + 9 = 53

Assim: 2x + 9 9 = 53 - 92x = 44

Dividindo cada membro da equao pelo coeficiente da incgnita (2),temos:

2

44

2

2=

x

x = 22

Processo prtico:Devemos isolar no 1 membro, os termos que apresentam a incgnita x,

no 2 membro, os que no apresentam a incgnita x.x + x + 9 = 53

x + x = 53 9 nove passa para o 2 membro, invertendo a operao: de adio para subtrao. 2x = 44

2

44=x dois passa para o 2 membro, invertendo a operao: demultiplicao para diviso.

x = 22

Como x est indicado o preo da camisa podemos dizer que seu preo equivalente a que valor?

Agora, determine o preo da cala, sabendo que 9 reais a mais que opreo da camisa.


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Situao 3

Numa classe de 35 alunos o nmero de meninas 3

2 do nmero de

meninos. Calcule o nmero de meninas e meninos dessa classe.

Com a anlise dos dados do problema, podemos indicarO nmero de meninos por...............................................O nmero de meninas por...............................................A equao do problema por............................................

Se voc escreveu a equao x + 353

2=

x

3

105

3

2

3

3=+

xx

reduzimos ao mesmo denominador.

3x + 2x = 105 cancelamos os denominadores.

5x = 105 efetuamos os clculos algbricos.

5

105=x cinco passa para o 2 membro invertendo a operao: de

multiplicao para diviso.

x = 21

Logo, o nmero de meninas representam3

2 do nmero de meninos,

calcule o nmero de meninas.

Observe a resoluo de algumas equaes do 1 grau pelo processoprtico:

a) 4 (x 4) 1 = 3 (2x 7)4x 16 1 = 6x - 214x 17 = 6x 214x 6x = - 21 + 17- 2x = - 4 multiplicamos por (-1) do dois membros.

2

4=x

x = 2


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b) 12

)1(

3=

xx

6

)1(6

6

)1(3

6

)(2=

xx reduzimos todos os termos ao menor denominador comum

(m.m.c.)

6

6

6

)1(3

6

2

=

xx

eliminamos os denominadores.2x 3(1 x) = 62x 3 + 3x = 65x = 6 + 35x = 9

5

9=x

ATIVIDADE - VI

1) Resolva as equaes:a) 7x = 24 5xb) 10x 11 = 12x + 21c) 4x 4 = 0d) 3(x 2) 2(x + 3) = 8

e) 32

)2(

3=

++

xx

f) 13x 16 = 14 17x

g) 6442 =x

h)6

1

3

2

2=+

x

i) 0,4x + 0,5x = 0,27

j) xxx

=

++

3

1

2

)3(3

2) Determine a medida dos lados de cada figura.

a) retngulo de permetro 18 cm:

b) tringulo equiltero de permetro 21 cm:c) quadrado de permetro 22 cm:

2x

2x

xx


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26

3) O dobro de um nmero somado com seu triplo d como resultado 45. Quenmero esse?

4) Dona Lgia vai construir em sua fazenda, uma horta de forma retangular.Ela quer que a largura dessa horta seja a metade do comprimento e que o

permetro seja de 48 m. Quais as medidas da horta de D. Lgia?

5) Seu Joo tem uma quantia de bois no pasto. Pedro tem o dobro dos boisde seu Joo. Quantos bois tem cada um se ambos tm juntos 372 bois?

6) Uma me quer repartir 25 balas entre seus filhos, Pedro e Andr. Quantasbalas receber cada um se Pedro receber o mesmo tanto que Andr mais 5balas?

7) Um caderno custa a tera parte do preo de uma apostila. Os dois juntoscustam R$12,00. Qual o preo de cada um?

8) Adriano compro um tablete de chocolate de 200 gramas, mais 3 tabletesde chocolate branco que juntos pesaram 650 gramas. Quantos gramas temcada tablete de chocolate branco?

9) Paulo tem uma certa quantia na poupana e sua irm Rosa tem o triplodessa quantia. Os dois junto tm R$ 160,00. Quanto tem Paulo e quanto temRosa?

10) Lembrando que a soma dos ngulos internos de um tringulo 180, calcule a medida em graus dos ngulos desconhecidos, sem usar otransferidor.


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11) Sabendo que a soma dos ngulos internos de um quadriltero 360. Determine as medidas em graus dos ngulos desconhecidos, sem usar otransferidor:


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Considere a situao:

Tenho 220 reais e quero comprar 8 peas de roupas entre camisetas ebermudas. O preo de cada camiseta vinte e de cada bermuda quarentareais. Quantas camisetas e quantas bermudas posso comprar, usando todo omeu dinheiro?

Usando a aritmtica ou pelo clculo mental tente resolver este problema.

Para facilitar a resoluo desse problema podemos utilizar equaes do 1grau com duas incgnitas. Assim, vamos indicar o nmero de camisetas por xe o nmero de bermudas por y. Como quero comprar 8 peas de roupas,podemos dizer que x + y = 8.

O preo de cada camiseta vinte reais e de cada bermuda quarenta reais.Como indicamos as camisetas por x e as bermudas por y, podemos dizer queo preo das camisetas 20x e que o preo das bermudas 40y. Ento

2204020 =+ yx , pois tenho 220 reais para a compra.

Com os dados do problema, montamos duas equaes: 8=+ yx e2204020 =+ yx . Nesse caso, dizemos que as equaes formam um sistema de

equaes do 1 grau com duas incgnitas e devem ser escritas na forma

Para resolver esse sistema temos que encontrar os valores de x e de y que soluo tanto da primeira equao como da segunda.

Para resolver um sistema de duas equaes preciso chegar a uma sequao com uma s incgnita e para isso existem vrios mtodos.

Vamos resolv-lo usando o mtodo da adio.

Por esse mtodo necessrio que o sistema tenha termos opostos.

U N I D A D E 4SISTEMA DE EQUAES DO 1 GRAU

COM DUAS INCGNITAS

8=+yx2204020 =+ yx


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29

No sistema, no h termos opostos, mas temos que descobrir uma maneirade obter termos opostos para fazer desaparecer uma das incgnitas.

Vamos multiplicar todos os termos da 1 equao por (-20), assim:

Agora, que temos opostos 20 e 20x, vamos somar membro a membro asduas equaes.

-20x - 20y = -160 Como -20x + 20x = 0, a incgnita x desaparece20x + 40y = 220

0 + 20y = 60

y =2060

y = 3

Para descobrir o valor de x s subtrair o valor de y numa das equaesdo sistema:

x + y = 8x + 3 = 8

x = 8 - 3x = 5

Como indicamos por x o nmero de camisetas e por y o nmero debermudas, podemos dizer que posso comprar 5 camisetas e 3 bermudas.

Verificao:

Para verificar se esses valores esto corretos, devemos substituir as

incgnitas das duas equaes pelos seus valores encontrados (5, 3) quedevero satisfazer as igualdades.

Assim:

1 equao: x + y = 8 5 + 3 = 8 8 = 82 equao: 20x + 40y = 220 20 . 5 + 40 . 3 = 220

100 + 120 = 220 220 = 200

8=+yx2204020 =+ yx

-20x - 20y = -16020x + 40y = 220


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O par ordenado (5, 3) que satisfaz as duas equaes ao mesmo tempo chamado soluo do sistema.

Voc j sabe que o grfico de uma equao do 1 grau com duas variveis sempre uma reta. Vamos, agora, representar graficamente as equaes

8=+ yx e 2204020 =+ yx , num mesmo plano cartesiano.

1 equao: x + y = 8x y X + y = 81 7 1 + y = 83 5 3 + y = 8

y = 8 1 = 7y = 8 3 = 5

2 equao: 20x + 40y = 220x y 20x + 40y = 2201 5 20 . 1 + 40y = 2203 4 20 . 3 + 40y = 220

40y = 220 20 40

200=y y = 5

40y = 220 60 40

160=y y = 4

Observe as duas retas e responda:

Qual o ponto comum das duas retas?...............................................

Compare esse ponto com a soluo do sistema. O que voc observa?

Comente sua concluso com seus colegas e o seu professor.


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Vamos agora resolver o mesmo sistema de equaes usando o mtodo dasubstituio.

Nesse mtodo, isolamos uma das letras em qualquer uma das equaes.

Vamos isolar o x na 1 equao:

x+ y = 8 x = 8 y

Agora, vamos substituir o valor de x na 2 equao:

20x + 40y = 22020(8 y) +40 y = 220 (equao de 1 grau na incgnita y)

Basta resolver a equao!

20(8 y) + 40y = 220160 20y + 40y = 22020y = 220 - 16020y = 60

20

60=y

y = 3

J encontramos o valor de y. Note que no incio da resoluo j tnhamosconcludo que:

x = 8 - y

Ento, para obter x, basta substituir y por 3.

Assim:

x = 8 - yx = 8 - 3x = 5

A soluo o par ordenado (5, 3).

8=+yx2204020 =+ yx


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ATIVIDADE - VII

1) Um sorvete de chocolate custa x e um sorvete de limo custa y. Anacomprou um sorvete de chocolate e um de limo pagando R$0,90. Mariacomprou dois sorvetes de chocolates e trs de limo pagando R$2,20. Qual

o preo de cada sorvete?

2) A soma das idades de dois irmos 25 anos. Um mais novo que o outro5 anos. Determine suas idades.

3) O permetro de um retngulo 40 cm. O comprimento igual ao triplo dalargura. Quais so as dimenses desse retngulo?

4) Quais so os dois nmeros cuja soma 38 e cuja diferena 8?

5) A soma das idades de dois irmos 21 anos. A idade do mais velho odobro da do mais novo. Qual a idade de cada um?

6) Numa sala de aula h 36 alunos entre meninos e meninas. Sabendo queexistem 6 meninos a mais que meninas, calcule o nmero de meninos emeninas.

7) Um aluno ganha 5 pontos por exerccio que acerta e perde 3 por exerccioque erra. Ao fim de 50 exerccios tinha 210 pontos. Determine quantosexerccios ele acertou.

8) Uma senhora comprou 4 abacates e 3 meles por R$7,20. Se tivessecomprado 3 abacates e 4 meles, teria pago R$8,90. Qual o preo de cadafruta?

9) Em um ptio existem carros e bicicletas num total de 30 veculos e 86rodas. Quantos veculos de cada espcie existem nesse ptio?

10)Uma pessoa paga uma conta de R$108,00 com 32 cdulas, umas deR$1,00 e outras de R$5,00. Quantas cdulas h de cada espcie?

11)Resolva os sistemas algbricamente:

a) x + y = 9x y = 1

b) 3x + 2y = 12x + y = 5

c) x + 2y = -9x 3y = 11


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Como voc deve saber, antes de fazer uma construo necessrio

planej-la. Esse planejamento feito atravs de um modelo esboado nopapel. A esse modelo damos o nome de planta baixa.

Todos os clculos da construo de uma casa, de um prdio, de umviaduto, dentre outras, so feitas tendo como base os dados contidos numa

planta, que tem como referncia as formas e dimenses da realidade.

Vamos verificar, num exemplo, como isso ocorre.

Observe a planta baixa que seu Nilo fez para construir a casa de seu filho:

A planta est na escala de 1:100. Mas o que significa 1:100?

Essa notao significa que a planta foi desenhada na escala 1 por 100, ouseja, para cada 1 cm desenhado no papel, corresponde a 100 cm ou a 1 m, narealidade.

Vamos estudar agora, uma outra questo referente as construes demaneira geral.

Voltando a observar a planta do quarto 2, cujas dimenses, na realidade,so 4 m de comprimento por 3 m de largura.

O problema saber se as paredes construdas esto ou no no esquadro,ou se os cantos formam um ngulo de 90.

U N I D A D E 5

TEOREMA DE PITGORAS


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Esse problema muito comum para os trabalhadores da construocivil, que tm uma maneira prpria para resolv-lo.

Vamos supor que o pedreiro de seu Nilo vai examinar se as paredes doquarto 2, da casa de seu filho, foram construdas no esquadro. Para isso, ele

estica um fio entre duas estacas cravadas no cho, junto ao comprimento ou alargura das paredes do quarto; no caso, no comprimento. Observe, na figuraabaixo, que o fio que liga as pontas A e B tm a mesma medida docomprimento da parede, 4m.

Usando sua experincia, o pedreiro dever cravar a 3 estaca num pontoC de modo que AC fique perpendicular a AB. No caso, a distnciaentre as estacas situadas nos pontos A e C devero ter uma distnciaequivalente a 3 m (largura do quarto). A estaca C provisria.

A seguir, mede a distncia BC.

Se essa medida for equivalente a 5 m, ele garante que a parede est noesquadro, se no, movimentar a estaca C at dar 5 m.

Voc sabe porque o pedreiro forma, com as estacas, um tringuloretngulo de lados 3m, 4m e 5m para saber se as paredes esto ou no noesquadro?

Esse conhecimento vem de muitos milnios atrs, quando no antigo Egitocostumava-se medir as Terras a beira do rio Nilo, onde havia as plantaes e,a cada enchente, as marcas deixadas pelos agrimensores eram carregadaspelas guas, necessitando, portanto, de novas remarcaes.

Os Hindus, tambm na mesma poca, construam o ngulo reto de modosemelhante, porm utilizavam outras medidas.


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O matemtico e filsofo grego Pitgoras, fundou a Sociedade chamadaOrdem dos Pitagricos, onde com seus discpulos descobriu a relaoexistente entre as medidas dos lados de qualquer tringulo retngulo.

Se um tringulo tem os lados medindo: 3; 4 e 5, ou 6; 8 e 10, ou 9; 12 e 15

ou qualquer tringulo com lados proporcionais a 3; 4 e 5 um tringuloretngulo.

Observe:

Considere o tringulo retngulo ABC acima. Os lados que formam ongulo reto so denominados catetos (b e c) e o lado oposto ao ngulo reto denominado hipotenusa (a).

A medida da hipotenusa mantm uma relao com as medidas dos catetos.

Essa relao mostra uma das propriedades mais importantes da Matemtica.A rea de um quadrado traado sobre a hipotenusa igual a soma das

reas dos quadrados traados a partir dos catetos, ou seja, 25 ua + 16 ua (ua) unidades de rea.

Essa propriedade conhecida como Teorema de Pitgoras, e, parafacilitar os clculos pode ser designada:

222 cba +=

O uadrado da medida da hi otenusa i ual a soma dos uadrados dos


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Por exemplo

O tringulo utilizado pelos pedreiros de lados 3,4,5:

A2=b2 + c2

52

= 32

+ 42

25 = 9 + 1625 = 25

Observe que o quadrado da hipotenusa igual soma dos quadradosdos catetos.

Dissemos que, as medidas dos lados de um tringulo, em uma dadaunidade, so: 3, 4 e 5 ou 6, 8 e 10 ou 9, 12 15 ou 12, 16 e 20 ou ..., ele um

tringulo retngulo. Verifique se em todos eles verdade que: o quadrado damedida do maior lado igual soma dos quadrados das medidas dos ladosmenores.

Se voc pegou as medidas: 6, 8 e 10, o lado maior a hipotenusa (10) e oslados menores (6 e 8) so os catetos.

Se voc fez

102 = 62 + 82

100 = 36 + 64100 = 100 a igualdade foi comprovada. Ento, os valores 6, 8 10

realmente so medidas de um tringulo retngulo.

Situao - 1No tringulo retngulo abaixo, so dadas as medidas dos catetos. Encontre

a medida x que corresponde a hipotenusa.

Fazendo os clculos, voc deve ter chegado relaox2= 225 ( essa umaequao de 2 grau).

Como fazer para achar x?

x

12 cm

9 cm


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Lembre-se de que a operao inversa da potenciao a radiciao. Sex

2= 225, ento,x = 225 x = 15.

Logo, a medida da hipotenusa 15 cm.

Situao 2Observe o tringulo retngulo abaixo:

Qual a medida do cateto maior?52 = 32 +x2 (chegamos outra vez em uma equao de 2 grau.)25 = 9 + x

x = 25 9x

2 = 16x = 16 x = 4

Logo, a medida do cateto maior 4 cm.

ATI VI DADE VI I

1)Os catetos de um tringulo retngulo medem 5 cm e 12 cm. Qual amedida da hipotenusa?

2)A figura mostra que a distncia entre dois postes de 15 cm. As alturasdestes postes so respectivamente 6m e 12 m. Qual dever ser o

comprimento do cabo que une as extremidades superiores destes postes?

A

B

C

3 cm 5 cm

x

x

6 m

15 m

12 m


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3) Uma escada est apoiada numa parede a 20m do cho, como mostra afigura. Sabendo que a escada tem 25 m de comprimento, qual a distncia doincio da escada at a parede ao nvel do cho?

4) Devido a um temporal, um p de eucalipto quebra de modo tal que suaparte mais alta toca o solo. Sabe-se que a distncia entre o tronco doeucaliptos e a parte que tocou o solo de 6 m e a parte que ficou fixa no solotem 4,5 m. Qual era a altura desses eucalipto antes de ter-se quebrado?

6m

4,5mx


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NMEROS IRRACIONAIS

Os nmeros inteiros exerciam grande fascnio sobre Pitgoras e seusdiscpulos.

Ao resolver um problema, sobre diagonal, fizeram uma descobertaimportante. Construram um tringulo retngulo cuja medida da hipotenusano conseguiam descobrir

Utilizando nossos conhecimentos sobre tringulos, podemos escrever:

A2 =12 + 12

A2 = 2

Voc conhece um nmero inteiro ou fracionrio que elevado ao quadradod 2?

No1

Ento, 2 no um nmero inteiro e nem racional.

Pitgoras, que s acreditava na existncia dos nmeros naturais e dosnmeros racionais positivos, nunca encontrou um nmero cujo quadradodesse 2.

S muito mais tarde que outros matemticos provaram que no existenmero racional cujo quadrado 2.

Esse nmero pertence ao conjunto de nmeros irracionais

U N I D A D E 6

CONJUNTOS NUMRICOS

A=?1 m

1 m


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Os nmeros irracionais tm representao decimal infinita e noperidica, no podendo ser escrito sob forma a/b.

Podemos representar 2 por:

2 1,42 1,41

2 1,4142 1,414213

Para utilizarmos o nmero irracional em clculos, podemos fazer poraproximao com uma, duas , trs ou mais casas decimais.

Quando vamos representar na reta um nmero inteiro ou fracionrio, no

temos dificuldade. Por exemplo:

Agora vamos localizar na reta um nmero irracional na reta, porexemplo, 5 . Um caminho pode ser este:

Desenhamos um tringulo retngulo, de maneira que o lado que mede 2

unidades de comprimento fique sobre a reta. A seguir, transportamos o maiorlado para essa reta.

Logo, a medida da hipotenusa de um tringulo retngulo cujos catetosmedem 2 e 1 5 .

Podemos observar ento, que existe um ponto nessa reta que representa onmero irracional 5 .

Um nmero irracional importante foi encontrado nos estudos sobrecrculos e circunferncias: o nmero (pi). eqivale a, aproximadamente3,14...

20

0-2 -3/2

-11/3

1 2

5

5


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OS COJUNTOS NUMRICOS

N = { O, 1, 2, 3, 4, ...} Conjunto dos nmeros naturaisZ = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} conjunto de nmeros inteirosQ

= {..., -1, -0,5, ...,0, , ..., 1, ...

conjunto de nmeros racionais.I = {..., 2 , ...,

5

4 , 2 , ... , ...} Conjunto de nmeros irracionais

R= {..., -1, ...-0,5, ....0, , ... 2 , ... 3,1415, ... 10 conjunto dos nmerosreais.

Podemos fazer a representao desses conjuntos, assim:

Portanto, o conjunto de nmeros reais dado pela unio dos nmerosracionais com os irracionais. Assim: R = QUI

ATI VIDADE IX

1) Trace uma reta e localize os nmeros:

3

1 , -5

2 ,4

17 , 3 , 5

2) identifique como racionais (Q) e como irracionais (I) os seguintesnmeros:

a)41 ( )

b)3

2 ( )

c)1, 4142135 ( )d) 144 ( )e)1,86612071... ( )f)6,78242424 ( )g)3,141592... ( )

h) 2 ( )

Q

Z N

R

IRRACIONAIS


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1 - POTENCIAOVamos supor a seguinte situao:

Vera e Leoni fizeram uma aposta.

Em cinco disputas de jogo da velha, aquela que perdesse, teria que pagarbalas nas condies estabelecidas pelas partes interessadas.

Condies:

Uma bala pela primeira casa do tabuleiro do Jogo da Velha, duas balaspela segunda casa, 4 balas pela terceira casa, e assim, sucessivamente atcompletar as 9 casas do tabuleiro.

Observe abaixo, a representao do tabuleiro do jogo da Velha:

Vamos escrever essas condies:

1 casa = 1 bala = 12 casa = 2 balas = 23 casa = 2.2 balas = 4

4 casa = 2.2.2 balas = 8

Usando a lgica continue:

5 casa =6 casa =7 casa =8 casa =9 casa =

Se somarmos todas as balas, quantas balas a vendedora receber?

U N I D A D E 7POTENCIAO E RADICIAO


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Na 5 casa voc escreveu: 2.2.2.2 = 16? Correto.A escrita 2.2.2.2 pode ser simplificada em 24

Ento: 24 = 16.

Escreva sob forma de potncia:

3 casa = 2.2=4 casa = 2.2.2=5 casa = 2.2.2.2=6 casa = 2.2.2.2.2=7 casa = 2.2.2.2.2.2=8 casa = 2.2.2.2.2.2.2=9 casa = 2.2.2.2.2.2.2.2=

Para indicar a multiplicao com fatores iguais, o homem criou apotenciao.

Vamos fazer a leitura do exerccio anterior:22 L-se: dois elevado ao quadrado ou dois elevado a segundapotncia.

23

L-se: dois elevado ao cubo ou dois elevado terceira potncia.24 L-se: dois elevado a quarta potncia.Continue:

2526272829

De um modo geral, representando por uma um nmero real e porn um nmero natural, diferentes de zero, denominamos depotncia expressoan, que representa um produto den fatores iguais ao nmeroa.

Veja:

Na potncia an, a a base da potncia e n o expoente.

an = a.a.a. ...an fatores

Potncia

OperaoPotenciao

Base

Expoente

24 = 16Base fator que se repete

Expoente nmero de vezes que repete a base.


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Agora, vamos resolver utilizando a definio de potncia.A) (-3)4 = (-3) . (-3) . (-3) = +81

B) (2

1 )3 = (2

1 ) . (2

1 ) . (2

1 ) = -8

1

C) (0,5)2 = (0,5) . (0,5) = 0,25

D) 51 = 5

2 RADICIAO

Para iniciar o estudo da radiciao, o professor Cludio havia propostoaos seus alunos que recortassem alguns cartes de cartolina medindo 1 cm delado.

Com esses cartes ele pediu que montassem figuras, tambm quadradas,

com 2 cm, 3 cm e 4 cm de lado.Agora, faa voc!Complete o quadro com os dados que esto faltando:

Medidas do lado doquadrado

N. de cartes paracada lado do

quadradoTotal de cartes

2 cm

3 cm4 cm

Vamos conferir!

Provavelmente, os alunos do professor Cludio montaram as figurascomeando pela base.

Observe que a montagem da figura cujo lado mede: 2cm, so necessrios 4 cartes. 3 cm, so necessrios 9 cartes.

4 cm, so necessrios 16 cartes.


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Existem alguma relao entre as medidas dos lados das figuras 1,2 e 3com o nmero de cartes utilizados na sua montagem?

Vejamos:

Na figura1, temos 2 quadradinhos de 1cm de lado no comprimento por2 na altura, ou 2X2 = 4.

Na figura 2, temos 3 quadradinhos no comprimento por 3 na largura,ou 3X3 = 9.

Na figura 3, temos 4 quadradinhos no comprimento por 4 na largura ou4X4 = 16.

Fazendo a representao na forma de potenciao, temos:22 = 2x2 =432 = 3x3 = 942 = 4x4 = 16

Observe que:

Os lados dos quadrados so a base da potncia.22 ,32 e 42 tm expoentes 2, ou seja, os nmeros so elevados

segunda potncia.E, 22= 4 cm2 , representa a rea do quadrado de lado de medida igual a

2cm; 42 = 16 cm2 representa a rea do quadrado de 4 cm de lado.

Situao 1

A sustentao de uma planta dada pela raiz. Num muro, como nafigura abaixo, a sustentao a base, que est representada pelos 4 tijolos.

A raiz da planta do muro fazem papis semelhantes. Simbolicamente:42 = 164 a base ( como a raiz) e o 4 elevado ao quadrado d 16, ento

podemos dizer que 4 a raiz quadrada de 16.


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Analogamente:22 = 4 a raiz quadrada de 4.32 = 9 a raiz quadrada de 9

importante observar que quando dada e pede-se o lado, a operao

que nos d o valor desse lado chama-se raiz quadrada da rea dessequadrado.

A operao de achar a raiz chamada radiciao.

A radiciao a operao inversa da potenciao.

Representamos a raiz quadrada de 16 igual a 4, por:

16 = 4

16 = 4 a operao inversa de potenciao, porque, 42 = 4x4 = 16,onde:

Na indicao da raiz quadrada, podemos omitir o ndice 2.

Qualquer nmero que resulta de um outro nmero racional elevado aoquadrado chamado de quadrado perfeito.

Todo o nmero que quadrado perfeito tem raiz quadrada exata.

Por exemplo:

2 22 4 4 = 23 32 9 9 = 34 42 16 16 = 4

4, 9, 16 so quadrados perfeitos e as razes so:2, 3, 4 ...respectivamente.

Raiz quadrada

radicando

ndice do radical

radical

= 4Sinal da raiz2 16


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Para obtermos um resultado com maior aproximao, podemos utilizara calculadora chegando a um resultado, com casas decimais, na ordem doscentsimos, milsimos , etc.

Na calculadora, para achar a 6 , digite primeiramente o nmero 6 e

em seguida . O resultado 2,4494897, porm as casa decimais continuaminfinitamente, pois, se multiplicar 2,449897 por 2,449897 obteremos comoresultado 5,9999997, provando assim que a raiz no exata.

Ento: 6 2,44 onde significa aproximadamente. A 6 =2,449487... um nmero irracional.

AT IV IDADE X

1) Aplique o conceito de potncia e resolva:

a) 13 =b) 02 =c) (-5) 4 =

d) (21 )2 =

e) (0,5) 3 =

f) (-5

2) 2 =

g) (-1,1)2=

2) Compare os valores e escreva qual dos dois maior.

a)5 . 10 e 105b)21 e (1,2) 2c)23 e 32d)-13 e (-1) 2


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3) A rea de um quadrado de 64 cm2.Qual a medida do lado dessequadrado?

4) A rea de um quadrado mede 49 m2. Qual a medida do lado dessequadrado?

5) Faa um crculo nos nmeros que so quadrados perfeitos.2, 6, 8, 9, 24, 30, 36, 64, 100, 120.

6) Qual o nmero natural que elevado ao quadrado d 121? Ou 121 ?Sugesto: faa por tentativas

7) Ache as razes:a) 16 b) 100

3 PROPRIEDADES DA RAIZ QUADRADA.

Observe atentamente as situaes abaixo, pois atravs delas conheceremosalgumas propriedades da raiz quadrada de um nmero real.

Situa o - 1

a) Qual a raiz quadrada de 81? Por qu?

Podemos pensar em um nmero que elevado ao quadrado, resulte em 81.Esse nmero pode ser +9, pois (+9). (+9) = (+9)2 = 81, ento, 81 = +9.

Existe um outro nmero que satisfaa essa condio?

Sim, esse nmero o (-9), ou seja, (-9)2 = (-9) . (-9) = +81, ento a 81 tambm pode ser (-9).

Sendo assim, podemos indicar:

+ 81 = -9 e 81 = -9


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b) A raiz quadrada de 25 um nmero real? Por qu?

Vamos pensar em um nmero real que elevado ao quadrado d comoresultado 25. Esse nmero no existe, pois, sabemos que qualquer nmeroelevado ao quadrado tem como resultado um nmero positivo.

Logo, no existe a raiz quadrada real de 25, pois no existe um nmeroreal que elevado ao quadrado, resulte 25.

c) Existe diferena entre - 25 e 25 ? Justifique a sua resposta.

d) E, quanto a raz quadrada de zero?

Sabemos que 02 = 0.0 = o, ento, 0 = 0.

Logo, a raiz quadrada de zero zero, pois 02

= 0.Podemos estabelecer, ento a seguinte propriedade:

Existe a , quando a um nmero positivo, maior ou igual a zero.No existe a , quando a um nmero menor que zero.

Situao - 2

Qual o resultado de9

4?

Sabendo que a 4 = 2 e 39 = , temos que3

2

9

4=

Ou3

2

9

4

9

4== , obtemos o mesmo resultado.

Logo, o resultado 3

2

.

Sendo assim, estabelecemos a seguinte propriedade:

n

n

n

b

a

b

a= , sendo a e b nmeros positivos (b 0), e n um nmero natural,

maior ou igual a dois.


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ATI VIDADE - XI

1) Escreva nos parnteses sim ou no, respondendo corretamente aquesto:

Existe a raiz quadrada real de:a) 49 ? ( )b) 15 ? ( )c) -81 ? ( )d) 20 ? ( )e) -25 ? ( )f) 1 ? ( )

2) Calcule:

a) - 100 b) 169 c) - 36,0

d) 225

e) -49

4

f)81

169


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H cerca de 4000 anos os babilnios j resolviam problemas envolvendoclculos que hoje conhecemos como equao do 2 grau.

Estes problemas eram escritos em forma de textos e a sua resoluo era atravsde tentativas.

Ao longo dos sculos foram se aperfeioando as escritas da equao do2grau, bem como, foram aparecendo vrios mtodos para sua resoluo.

Hoje, as contribuies deixadas pelos matemticos nos facilitou tanto naescrita como nas tcnicas de resoluo de problemas de 2 grau.

Observe as seguintes situaes:

Situao - 1

As dimenses de um terreno esto representadas na figura abaixo. A readesse terreno 30 m2. Quanto ele mede de comprimento e de largura?

Vamos encaminhar o nosso raciocnio da seguinte maneira:

Sendo o terreno de forma retangular, podemos expressar sua rea como: oproduto do comprimento pela largura.

Assim: A = (x-2) ( x-3)

Como a rea do terreno de 30 m2, podemos escrever:(x-2) (x-3) = 30

U N I D A D E 8EQUAO DO 2 GRAU

X - 2

-


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Efetuando os clculos algbricos, temos:

x2 3x 2x + 6 = 30

x2 5x +6 30 = 0

x2 5x - 24 = 0

Mas o que uma equao do 2 grau?

Vamos retornar a definio d equao estudada anteriormente.

Equao toda sentena matemtica que representa umaigualdade e na qual existem uma ou mais letras que indicam umnmero desconhecido.

Verifique se a expresso:x2 5x - 24 = 0, satisfaz essa definio.

Voc sabe porque uma expresso como essa denominada de equao do2 grau? Vejamos o por qu, lendo a observao que segue:

Como voc j aprendeu o que uma equao do 1 grau, ento compare:x- 5 = 0 com x2 5x 24 = 0

Quais so semelhanas e as diferenas existentes entre as duas equaes?

Uma das diferenas o expoente da varivel x.

Observe que no primeiro caso o expoente de x um, portanto essa

sentena chamada de equao do 1 grau.No segundo caso o maior expoente da varivel x dois, da o nome

equao do 2 grau na varivel x.

Portanto, definimos:

Equao do 2 grau na incgnita x toda equao da forma ax2+ bx + c = 0, onde a, b e c so nmeros reais e a 0.

Os termos a, b e c so chamados coeficientes da equao.

Voltando equaox2 5x 24 = 0

coeficiente (a) representao por 1. coeficiente (b) representado por 5. O coeficiente (c) representado por 24.


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Para se encontrar a medida do comprimento e da largura do terreno dasituao 1 necessrio resolver essa equao do 2 grau.

Resoluo da equao do 2 grau.

Resolver uma equao do 2 grau significa determinar as suasrazes

.Raiz de uma equao o nmero real que ao substituir a varivel de umaequao transforma-a numa sentena verdadeira.

Podemos resolver a equao do 2 grau atravs da frmula de Bskara:

X =a

acbb

2

42

A expresso b2 4ac ( n. real) comumente representada pela letra grega ( delta ) e chamada de discriminante da equao.

Vamos resolver a equao do problema da situao - 1X2 5x 24 = o

= b2 4 ac

= (-5)2 4. 1. (-24)= 25 + 96= 121

x =a

b

2

x' =1.2

121)5( + x =2

115 + x =

2

16 x = 8

x =1.2

121)5( x =2

115 x = -3

As razes dessa equao so:X = 8 e x = -3

As dimenses do terreno da situao 1 so: Comprimento x-2 Largura x-3

Substituindo x por 8 temos: Comprimento 8-2 = 6

Largura 8-3 = 5


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Substituindo x por 3 temos:Comprimento -3-2=-5Largura -3-3=-6

Como no h comprimento e largura menores que zero, conclumos que as

dimenses do terreno so 5m por 6m.

Situao 2Quanto mede o cateto menor do tringulo retngulo abaixo?

No tringulo retngulo, o quadrado da hipotenusa igual a soma doquadrado dos catetos.

Assim:102 = 82 + ( x-6)2

Efetuando os clculos algbricos temos:

100 = 64+x2 12x + 36x2 12x = 100 64 36x2 12x = 0

Comparando essa equao com a forma da equao do 2 grau ax2 + bx + c =0, o que voc observa?

Se voc respondeu que falta o termo c est correto.

Portanto, a equao x2 12x = 0 uma equao do 2 grauincompleta, pela falta do c c = 0

Resolvendo a equao, temos:a=1b=-12c=0 = b2 4 ac = (-12)2 4.1.0

A

B

C

x-6 cm 10 cm

8 cm


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= 144 0 = 144

x =a

b

2

x =2

144)12( +x =

2

1212 + x =

2

24 x = 12

x =2

144)12( x =

2

1212 x =2

0 x = 0

As razes dessa equao so:x' = 12 e x = 0

A dimenso do cateto menor do tringulo da situao 2 :

X - 6

Substituindo, pelos valores numricos de x, temos:

Para x = 0

Cateto menor = x 6 0-6=--6

Para x = 12

Cateto menor = x 6 12-6 = 6

Como a medida de um lado do tringulo no pode ser negativa,conclumos que o cateto maior vale 6 cm.

Situao 3

A rea do quadrado, da figura abaixo, igual a 36 cm

2

. Calcule opermetro, cujo lado representado por x cm.

Podemos expressar a rea do quadrado como produtos dos lados.

x cm

x cm


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Assim:x.x

Como a rea do quadrado acima igual a 36 cm2, podemos escrever:x.x = 36

Efetuando os clculos algbricos, temos:x2 = 36x2 36 = 0

Resolvendo a equao, temos:a = 1b = 0c = -36=

b

2

4ac= 02 4.1. (-36)= 0+144= 144

x =a

b

2

x =

1.2

1440 +x =

2

120 + x =

2

12 x = 6

x =1.2

1440 x =

2

120 x =2

12 x = 6

O lado mede 6 cm, ento o permetro 4.6 = 24 cm

ATI VIDADE - XII

1) Quanto medem os lados do terreno abaixo, cuja rea de 60 m2

2) um terreno retangular mede de frente 13m a menos que a lateral esua rea 300 m2 . Quais so as medidas desse terreno?

x -7

x - 3


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3) O quadrado menos o dobro da idade de Andr igual a 15. Qual aidade de Andr?

4) Determinar o nmero cuja soma do seu quadrado com o dobro

igual a 8 vezes esse mesmo nmero.

5) O quadrado da idade de Jair 144. Calcule sua idade.

6) Se do quadrado da quantia que Rose possui, subtrairmos 12 reais,obteremos 109 reais. Quanto Rose possui?

7) Resolva as seguintes equaes do 2 grau:

a) x2 16 = 0b) x2 - 6x = 0c) (x-2)2 = 4 x ( x +3)d) x2 x 12 = 0e) 7 x2 - 2x 1 = 0f) (x+2)2 + x = 0


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ASIMOV, Isaac. No mundo dos Nmeros, Rio de Janeiro, Editora S/A, 1983.BONGIOVANNI, Vicenzo; LEITE, Olmpio Rudinin Vissoto; LAUREANO, Jos LuizTavares. Matemtica e Vida. So Paulo, Editora tica S.A. 1990.

BOYER, Carl Benjamim. Histria da Matemtica. So Paulo, Editora Edgard Blcher Ltda.1974.

GIOVANNI, Jos Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI JR., Jos Ruy. A conquista daMatemtica. So Paulo, Editora FTD, Edio renovada.

GIOVANNI, Jos Ruy; GIOVANNI JR., Jos Ruy. Aprendizagem e EducaoMatemtica. So Paulo, Editora FTD, 1990.

GOMES, Carmem; CRUSIUS, Maria Fialho; DANYLUK, Osana Snia. Fraes e NmerosDecimais. Passo Fundo, Grfica da Universidade de Passo Fundo, 1992.

IMENES, Luiz Mrcio. Vivendo a Matemtica. So Paulo, Editora Scipione 7 ed. 1992.

IMENES, Luiz Mrcio Pereira; JAKUBO, Jos; LELLIS, Marcelo Cestari. Para que serve aMatemtica. So Paulo, Atual Editora, 1992.

JAKUBOVIC, Jos; LELLIS, Marcelo. Matemtica na Medida Certa. So Paulo, EditoraScipione, 1990.

JORNAL DO TELECURSO 1 GRAU. Rio de Janeiro, Editora Rio Grfica, 5 Edio, 3fase, Fundao Roberto Marinho, 1985.

KARLSON, Paul. A magia dos nmeros. Porto Alegre RS, Editora Globo S/A, 1961.

KIYUKAWA, Rokusaburo; SHIGEKIYO, Carlos Tadashi; YAMAMOTO, Kazuhito. Os elosda matemtica. So Paulo SO, Editora Saraiva, 3 edio, 1993.

MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Para aprender Matemtica. So Paulo SP,Editora Saraiva, 4 edio, 1991.

RAMOS, Luzia Faraco. Srie A Descoberta da Matemtica. So Paulo SP, Editoratica S/A 1993.

BIBLIOGRAFIA

Apostila de Matemática - Ens Fund - Caderno 04 Álgebra

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