Álgebra Linear

Á LGEBRÁ LINEÁR

“Excellence is the gradual result of always striving to do better.”-

Pat Riley

Y o u a l w a y s p a s s f a i l u r e o n t h e w a y t o s u c c e s s . - M i c k e y R o o n e y

Página 1

Matrizes

Uma matriz real m × n é um conjunto de m xn elementos (números ou expressões) se distribuem,

ordenadamente, segundo m linhas e n colunas do seguinte modo:

Cada elemento da matriz é afectado de dois índices, o índice de linha que nos indica a linha a que o elemento pertence e o índice de coluna que indica a coluna a que ele pertence:

𝒂𝐢𝐣 : i → índice de linha; j → índice de coluna

Exemplo:

A = [1 2 34 5 6

]

A matriz A é uma matriz com 2 linhas e 3 colunas.

𝑎11 = 1; 𝑎21 = 4; 𝑎12 = 2; … ; 𝑎22 = 6

Matriz coluna ou Vector Coluna: é toda a matriz que seja m × 1, isto é, a toda a matriz com m

linhas e 1 coluna. Exemplo:

A = [

𝑎11𝑎21…𝑎m1

]

Matriz Linha ou Vector Linha: é toda a matriz 1 × n , isto é, toda a matriz com 1 linha e n colunas.

Exemplo:

A = [𝑎11 𝑎12 … 𝑎1n]

Matriz Nula: é toda a matriz m xn com os elementos todos iguais a zero.

Exemplo:

A = [0 0 00 0 0

]

Matriz quadrada: toda uma matriz n × n, ou seja, a uma matriz com n linhas e n colunas.

Exemplo:


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A = [1 23 4

]

Ainda podemos destacar os elementos 𝒂𝟏𝟏, 𝒂𝟐𝟐, 𝒂𝟑𝟑, …, 𝒂𝒏𝒏 consistem a diagonal principal da matriz. Os elementos 𝒂𝒏𝟏, 𝒂(𝒏−𝟏)𝟐, 𝒂(𝐧−𝟐)𝟑, …, 𝒂𝟏𝐧 consistem a diagonal não principal ou diagonal

secundária da matriz.

Exemplo:

Diagonal principal é constituída pelos elementos 3, 1 e -5. Diagonal secundária é constituída pelos elementos -1, 1, 0. Ainda para matrizes quadradas devemos destacar:

Matiz Diagonal A matriz diagonal é uma matriz quadrada em que, excepto os elementos situados na diagonal principal, todos os restantes elementos são iguais a zero. Exemplo:

Matriz Escalar

É um tipo de matriz diagonal, isto é, todos os elementos fora da diagonal são zeros, no entanto, todos os elementos da diagonal são iguais. Exemplo:

𝑰𝒏 = [2 0 00 2 00 0 2

]

Matriz Identidade


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A matriz identidade é uma matriz quadrada de ordem n sendo que n ≥ 2, onde os elementos que pertencem à diagonal principal são sempre iguais a 1 e os outros elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero. A matriz identidade de ordem n representa-se por 𝑰𝒏. E é importante destacar que ela é elemento neutro da multiplicação de matrizes. Exemplo:

𝑰𝒏 = [1 0 00 1 00 0 1

]

Matriz Triangular Superior É uma matriz quadrada em que todos os elementos situados abaixo da diagonal principal são iguais a zero, isto é, A = [𝑎𝑖𝑗] é uma matriz triangular superior sse 𝑎𝑖𝑗 = 0 para i > j.

Exemplo:

A = [1 2 30 4 50 0 6

]

Matriz Triangular Inferior É uma matriz quadrada em que todos os elementos situados acima da diagonal principal são iguais a zero, isto é, que A = [𝑎𝑖𝑗] é uma matriz triangular inferior sse 𝑎𝑖𝑗 = 0 para i < j .

Exemplo:

A = [1 0 02 4 03 5 6

]

Matriz Simétrica

Uma matriz diz-se simétrica se coincide com a sua própria transposta, isto é, A = 𝑨𝑻, isto é, 𝒂𝒊𝒋 = 𝒂𝒋𝒊.

Exemplo:

A = [1 2 32 7 −13 −1 0

]

Matriz hemi-simétrica

Um matriz diz-se hemi-simétrica se - A = 𝑨𝑻, isto é, 𝒂𝒊𝒋 = −𝒂𝒋𝒊.

Exemplo:

Sendo A = [0 −2 −32 0 13 −1 0

] e sendo 𝐴𝑇 = [0 2 3−2 0 −1−3 1 0

]. Assim vamos ter:

[0 −2 −32 0 13 −1 0

] = - [0 2 3−2 0 −1−3 1 0

]

Traço O traço de uma matriz quadrada é a soma dos seus elementos da diagonal principal. É representado por tr(). As propriedades do traço de uma matriz são:


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• tr(A + B) = tr(A) + tr(B) ; • tr(λA) =λ tr(A) ; • tr(AB) = tr(BA) ; • tr(𝐴𝑇) = tr(A) .

Matriz Idempotente Uma matriz idempotente é uma matriz que, ao ser multiplicada por si mesma, resulta em si mesma.

𝐀𝟐 = A Com excepção da matriz identidade, uma matriz idempotente A é sempre singular, ou seja, não admite inversa:

𝐼 = 𝐴𝐴−1 = 𝐴2𝐴−1 = 𝐴(𝐴𝐴−1) = 𝐴

Matriz Inversa A Matriz Inversa (𝐴−1) é a matriz cujo produto por A, por qualquer ordem, resulta na matriz identidade de dimensão n.

∋ 𝑨−𝟏 ↔ A𝑨−𝟏 = 𝑨−𝟏 = 𝑰𝒏 Exemplo:

Sendo a matriz A = [1 02 1

], a 𝐴−1 será [1 0−2 1

] pois: [1 02 1

] [1 0−2 1

] = [1 0−2 1

] [1 02 1

] = [1 02 1

].

As propriedades são: • 𝐴−1 quando existe é única; • (𝐴−1)−1 = A; • (𝐴 𝑥 𝐵)−1 = 𝐵−1 𝑥 𝐴−1, se existe (𝐴 𝑥 𝐵)−1 , então A e B admitem inversa; • (𝐴 𝑥 𝐵 𝑥 …𝑥 𝑊)−1 = 𝑊−1𝑥…𝑥 𝐵−1 𝑥 𝐴−1;

• 𝐴−𝑘 = (𝐴−1)𝑘 = 𝐴−1𝑘

= 𝐴−1 x 𝐴−1 x … x 𝐴−1 (k vezes); • 𝐴𝑟𝐴𝑠 = 𝐴𝑟+𝑠; •(𝐴𝑟)𝑠 = 𝐴𝑟𝑠;

•(𝜆𝐴)−1 = 1

𝜆 𝐴−1;

• (𝐴𝑇)−1 = (𝐴−1)𝑇; Por causa da inversa, ainda podemos elucidar as seguintes classificações:


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- Matriz singular ou não invertível: quando a matriz não admite inversa.

Para A ∄ 𝑨−𝟏 - Matriz invertível ou não singular: quando a matriz admite inversa.

Para A ∈ 𝑨−𝟏 - Matriz Ortogonal: a matriz quadrada que tem como inversa a sua transposta, isto é:

𝑨𝑨𝑻 = 𝑨𝑻𝑨 = 𝑰𝒏

Operações com Matrizes

1- Adição de Matrizes A adição de duas matrizes obtém-se somando os elementos homólogos das matrizes de cada uma delas. Só é possível adicionar matrizes que tenham o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas.

Exemplo:

[𝟕 𝟐−𝟐 −𝟒−𝟏 𝟓

] + [𝟏 −𝟕−𝟕 𝟒𝟔 −𝟏

] = [𝟕 + 𝟏 𝟐 − 𝟕−𝟐− 𝟕 −𝟒+ 𝟒−𝟏+ 𝟔 𝟓 − 𝟏

] = [𝟖 −𝟓−𝟗 𝟎𝟓 𝟒

]

As propriedades são: • A + B = B + A (comutatividade). • (A + B) + C = A + (B + C) (associatividade). • A + 𝑂𝑚 𝑥 𝑛 = 𝑂𝑚 𝑥 𝑛 + A = A (existência de um elemento neutro). • A + (-A) = (-A) + A = 𝑂𝑚 𝑥 𝑛 (existência de um simétrico). • (𝐴 + 𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇+ 𝐵𝑇

2- Multiplicação de uma Matriz por um Escalar O produto de um escalar λ pela matriz A, é a matriz obtida multiplicando cada elemento de A por λ. Exemplo:

Sendo que A = [𝟕 𝟐−𝟐 −𝟒−𝟏 𝟓

] e λ = -2, vamos ter:

λA = (-2) [𝟕 𝟐−𝟐 −𝟒−𝟏 𝟓

] = [−𝟏𝟒 −𝟒2 82 −𝟏𝟎

]

As propriedades são:


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• (𝝀𝟏 𝝀𝟐)A = 𝝀𝟏 (𝝀𝟐A) (associatividade). • (𝝀𝟏A) = A𝝀𝟏 (comutatividade). • (𝝀𝟏 + 𝝀𝟐)A = 𝝀𝟏A + 𝝀𝟐A (distributividade). • 𝝀𝟏(A + B) = 𝝀𝟏A + 𝝀𝟏B (distributividade no espaço das matrizes).

3- Produto de Matrizes Para que seja possível realizar a multiplicação é preciso que o número de colunas da 1ª matriz seja igual ao número de linhas da 2ª matriz.

Nota bem: 1º matriz = m xn; 2º matriz = n xp. A matriz que resulta da multiplicação: m xp. Isto

é, o número de linhas da nova matriz é o número de linhas da 1º matriz enquanto que o número de colunas será o número de colunas da 2º matriz.

A multiplicação de matrizes é feita seguindo esta regra:

A = [𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

] e B = [𝑏11 𝑏12 𝑏13𝑏21 𝑏22 𝑏23

]

Vamos ter:

AB = [𝑎11 ∗ 𝑏11 + 𝑎12 ∗ 𝑏21 𝑎11 ∗ 𝑏12 + 𝑎12 ∗ 𝑏22 𝑎11 ∗ 𝑏13 + 𝑎12 ∗ 𝑏23𝑎21 ∗ 𝑏11 + 𝑎22 ∗ 𝑏21 𝑎21 ∗ 𝑏12 + 𝑎22 ∗ 𝑏22 𝑎21 ∗ 𝑏13 + 𝑎22 ∗ 𝑏23

]

Exemplo:

[𝟕 𝟏𝟐 𝟗

] ∗ [𝟑 𝟒𝟔 −𝟓

] = [𝟕 ∗ 𝟑 + 𝟏 ∗ 𝟔 𝟕 ∗ 𝟒 − 𝟏 ∗ 𝟓𝟐 ∗ 𝟑 + 𝟗 ∗ 𝟔 𝟐 ∗ 𝟒 − 𝟗 ∗ 𝟓

]

Nota bem: - O produto de duas matrizes pode ser a matriz nula sem que nenhuma das matrizes factor o seja. - Matrizes que comuntam: dizemos que as matrizes A e B comutam, quando AB = BA As propriedades da multiplicação são: • Associatividade: (A x B) x C = A x (B x C); • Não comutatividade, pode existir A x B mas não B x A, ou existirem mas serem diferentes;


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• Distributividade em relação à adição de matrizes, A x (B + C) = A x B + A x C e (B + C) x A = B x A + C x A; • λ(A x B) = (λ A) x B = A x (λ B), λ ∈ 𝑅; • A x 𝑂𝑚 𝑥 𝑛 = 𝑂𝑚 𝑥 𝑛 e 𝑂𝑚 𝑥 𝑛 x A = 𝑂𝑚 𝑥 𝑛 (matriz nula); • A x 𝐼𝑛 = A e 𝐼𝑛 x A = A (a matriz identidade 𝐼𝑛 é o elemento neutro);

• 𝐴𝑘 = A x A x … x A (k vezes); ( k > 0 ) desde que A seja quadrada; • 𝐴0 = 𝐼𝑛 (matriz identidade). • (𝐴𝐵)𝑇 = 𝐵𝑇. 𝐴𝑇 • Não é válida a lei do anulamento do produto

4- Matriz Transposta A matriz transposta de uma matriz A é a matiz obtida a partir de A transformando as linhas em colunas (ou, analogamente, as colunas em linhas).

A = [𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23

] e vamos ter 𝐴𝑇 [

𝑎11 𝑎21𝑎12 𝑎22𝑎13 𝑎23

]

As propriedades são: • (𝐴𝑇)𝑇 = A; • (λ A) = λ 𝐴𝑇 (λ constante);

• (𝐴𝑇)𝑘= (𝐴𝑘)𝑇; • (𝐴 + 𝐵)𝑇= 𝐴 𝑇+ 𝐵 𝑇; • (𝐴 𝑥 𝐵)𝑇 = 𝐵𝑇x 𝐴𝑇; • (𝐴 𝑥 𝐵 𝑥 …𝑥 𝑊)𝑇 = 𝑊𝑇 x … x 𝐵𝑇x 𝐴𝑇; • A transposta da matriz identidade é a própria matriz identidade; OBS: - Matriz simétrica é uma matriz quadrada que se iguala à sua própria transposta.

A = 𝑨𝑻, isto é, 𝒂𝒊𝒋 = 𝒂𝒋𝒊.

- Matriz hemi-simétrica é uma matriz quadrada cuja sua transposta se iguala ao seu hemi-simétrico (elementos opostos).

- A = 𝑨𝑻, isto é, 𝒂𝒊𝒋 = −𝒂𝒋𝒊.

5- Determinantes

A função determinante é uma função real de variável matricial no sentido que associa a uma matriz quadrada um número real y = f (X).


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O determinante da matriz quadrada A define-se como sendo a soma de todos os termos de A, afectados do sinal (+) ou (-) consoante se trate de um termo par ou de um termo ímpar. O determinante de A é representado por |A| ou det(A). O determinante de uma matriz de ordem n diz-se um determinante de ordem n.

Formas de calcular determinantes É importante destacar que se a matriz A não for quadrada não se pode calcular det A = |A|, quanto muito, podemos calcular determinantes de sub-matrizes quadradas de A. Consoante a dimensão da matriz, podemos ter: • Matrizes (1×1): A = [𝑎11] ↔ det A =| A |= 𝑎11;

• Matrizes (2×2): A = [𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

] ↔ det A =| A |= 𝑎11 ∗ 𝑎22 - 𝑎12 ∗ 𝑎21

• Matrizes (3×3): Podemos aplicar a regra de Sarrus: A soma do produto dos elementos de cada diagonal que surge quando são repetidas por baixo, sendo as diagonais paralelas à diagonal principal de afectadas de sinal positivo e as paralelas à sua diagonal secundária de sinal negativo.

A = [

𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖

]

𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓

det A =| A |= 𝒂𝒆𝒊 + 𝒅𝒉𝒄 + 𝒈𝒃𝒇 − 𝒄𝒆𝒈 − 𝒇𝒉𝒂 + 𝒊𝒃𝒅

• Matrizes (n×n):

- Menor Complementar de 𝒂𝒊𝒋 (𝑴𝒊𝒋): é o determinante da matriz ordem n − 1 que se obtém de A

por eliminação da linha i e da coluna j.

- Complemento Algébrico de 𝒂𝒊𝒋: é o produto de (−1)1+𝑗 pelo seu correspondente menor

complementar. Exemplo:

A = [1 2 03 4 15 6 7

]

O Menor Complementar de 𝒂𝟑𝟐:

|1 03 1

| ↔ 1- 0 = 1

O Complemento Algébrico de 𝒂𝟑𝟐:

(−1)3+2 * 𝑀32 ↔ (-1) * |1 03 1

| = - 1 * 1 = -1


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De acordo com o Teorema de Laplace, o determinante de uma matriz é igual à soma algébrica dos produtos dos elementos de uma fila pelos respectivos complementos algébricos. Exemplo:

OBS: Podemos aplicar o teorema de Laplace a uma fila (linha ou coluna) qualquer do determinante; no entanto, é vantajoso aplicar o teorema à fila do determinante que tem mais zeros. As propriedades 1dos Determinantes são: • O determinante de 𝐴𝑇 é igual ao determinante de A: |A|= |𝐴𝑇|; • Se A tem uma fila nula, então o determinante de A é igual a zero; • Se A tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais, então o determinante de A é igual a zero; Exemplo:

|3 96 18

| = 0 pois 𝑳𝟐= 2𝑳𝟏 ou 𝑪𝟐 = 3𝑪𝟏 ou 𝑳𝟏=𝟏

𝟐𝑳𝟐 ou 𝑪𝟏=

𝟏

𝟑𝑪𝟐

• Se uma fila de A é multiplicada por um escalar λ, então o determinante da matriz resultante é igual ao produto de λ pelo determinante de A.

Det

[ 𝐿1𝐿2⋮ λ𝐿𝑗⋮ 𝐿𝑛 ]

= λ x Det

[ 𝐿1𝐿2⋮ 𝐿𝑗⋮ 𝐿𝑛]

Ou

Det [𝐶1 𝐶2 … λ𝐶𝑗 … 𝐶𝑛] = λ x Det [𝐶1 𝐶2 … λ𝐶𝑗 … 𝐶𝑛]

Exemplo:

|1 62 8

| = |1 6

2 𝑥 1 2 𝑥 4| = 2 x |

1 61 4

|

A partir desta propriedade podemos deduzir que |λ A|= 𝛌𝒏|𝑨|; Exemplo:

Det [λ𝐶1 λ𝐶2 … λ𝐶𝑗 … λ𝐶𝑛] =λ𝑛x Det [𝐶1 𝐶2 … λ𝐶𝑗 … 𝐶𝑛]

1 Estas propriedades são válidas tanto para linhas como para colunas.


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Ou

Det

[ λ𝐿1λ𝐿2⋮ λ𝐿𝑗⋮

λ𝐿𝑛]

= λ𝑛x Det

[ 𝐿1𝐿2⋮ 𝐿𝑗⋮ 𝐿𝑛]

Exemplo:

• Se se trocarem, entre si, duas filas paralelas de A, o determinante da matriz resultante é igual ao simétrico do determinante de A. Ou seja: uma troca ↔ troca de sinal do determinante. • O Determinante de A não se altera se se adicionar a uma fila de A o produto de outra fila, paralela, por um escalar. Nota importante: Tendo em conta esta propriedade, para calcular o determinante de A podemos condensar-se as filas de A com operações elementares do tipo: 𝑳𝒊 ← - µ𝑳𝒋 ou 𝑪𝒊 ← - µ𝑪𝒋 e depois

aplicar o teorema de Laplace a essa fila. • Se uma fila de A se pode desdobrar na soma de duas filas, o valor do determinante de A é igual à soma dos determinantes de duas matrizes em que nessa fila aparece uma das parcelas e as restantes filas mantêm-se.

A = Det

[

𝐿1𝐿2⋮

𝐿𝑗′ + 𝐿𝑗′′

⋮ 𝐿𝑛 ]

↔|A| = Det

[ 𝐿1𝐿2⋮ 𝐿𝑗′

⋮ 𝐿𝑛]

+ Det

[ 𝐿1𝐿2⋮ 𝐿𝑗′′

⋮ 𝐿𝑛 ]

Ou

Det [𝐶1 𝐶2 … 𝐶𝑗′ + 𝐶𝑗

′′ … 𝐶𝑛] ↔|A| = Det[𝐶1 𝐶2 … 𝐶𝑗′ … 𝐶𝑛] +

[𝐶1 𝐶2 … 𝐶𝑗′′ … 𝐶𝑛]

Exemplo:


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Esta propriedade também pode-se aplicar a filas cujos elementos estão decompostos num número

qualquer (infinito) de parcelas.

OBS: Em geral, tem-se que |A + B| ≠|A| + |B|.

• Se A e B são matrizes de ordem n, então |AB| = |A| x |B|. Podemos generalizar |ABC| = |A| x |B|

x |C| ou ainda |ABCD| = |A| x |B| x |C| x |D|.

• Se A é uma matriz triangular (inferior ou superior), então o determinante de A é igual ao produto

dos seus elementos principais (elementos da diagonal principal).

Exemplo:

A = [−1 0 01 −3 00 −2 −5

] → |𝑨| = −1 ∗ (−3) ∗ (−5) = −15 (matriz triangular inferior)

B = [

0 0 0 00 −1 0 00 0 2 00 0 0 4

] → |𝑩| = 0 ∗ (−1) ∗ 2 ∗ 4 = 0 (matriz diagonal – simultaneamente triangular

superior e inferior)

|𝐼𝑛| = 1, ∀ 𝑛 (𝑛 ∈ 𝑁) 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜

• O determinante de A é igual a zero se e sé se a característica de A é inferior a n (a ordem da matriz).

𝑨𝒏 𝒙 𝒏 → |A| = 0 ↔ c(A) < 0

6- Característica O conceito de Característica se aplica a matrizes quaisquer, quadradas ou não. A característica de uma matriz é um inteiro não-negativo que é sempre menor ou igual ao número de linhas e ao número de colunas. - Método 1 - Pela Definição: Temos que condensar a matriz até obter obtermos uma matriz na forma:

[𝐼𝑝 0

0 0] ou [

𝐼𝑝 0

0]

A característica será a ordem da matriz identidade obtida, isto é, p. - Método 2 - Pelo Determinante Principal: Se A é a matriz nula, dizemos que a sua característica é zero. Caso contrário, dizemos que A tem característica r quando são satisfeitas as seguintes condições: (1) Existe pelo pelos uma submatriz r x r cujo determinante é diferente de zero; (2) Toda submatriz quadrada de ordem superior a r tem determinante igual a zero;


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Um menor de uma matriz é o determinante de uma submatriz. Assim, A tem característica r quando possui pelo menos um menor de ordem r x r não-nulo e todo menor de ordem superior é nulo. OBS: O cálculo da característica por meio da definição acima pode ser algo laborioso. Dada uma matriz m x n a fim de nos certificarmos de que car A = r devemos, em princípio, extrair de A todas as suas submatrizes quadradas de ordem r + 1 ou superior e testar se o determinante de alguma delas é zero ou não. - Método 3 – Pela condensação: O objetivo é condensar a matriz até termos uma matriz triangular. Tendo a matriz triangular, a matriz será o número de linhas não nulas. OBS: Se A = 0𝑚∗𝑛, convenciona-se que A tem característica 0. A característica de A é representada por car(A). Se A é uma matriz de ordem m x n, tem-se que car(A) ≤ min {𝑚, 𝑛}. Se m = n, car(A) = n se e só se A é invertível/não singular/regular. Nota bem: Se a matriz for quadrada (n x n), vamos ter que:

{𝑆𝑒 |𝐴| ≠ 0 (𝑖𝑠𝑡𝑜 é, 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡í𝑣𝑒𝑙) → 𝐶𝑎𝑟(𝐴) = 𝑛

𝑆𝑒 |𝐴| = 0 (𝑖𝑠𝑡𝑜 é, 𝑛ã𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡í𝑣𝑒𝑙) → 𝐶𝑎𝑟(𝐴) < 𝑛

OBS2: Neste caso, operações elementares podem ser aplicadas sobre as linhas e colinas. Para além disso, é importante destacar que a equivalência de matrizes é transitiva, isso é:

Se B é equivalente a A, então A é equivalente a B (A ~ B então B ~ A). Se B é equivalente a C, então temos B ~ C, C ~ B, e ainda, A ~ C

∴

Se A e B são matrizes equivalente, então car(A) = car(B). Chamam-se operações elementares às seguintes operações: - Trocar a posição de duas equações do sistema; - Multiplicar uma equação por um escalar diferente de zero; - Substituição de uma equação pela sua soma com um múltiplo escalar de outra equação. - Troca da ordem das incógnitas;

7- Sistemas de Equações Lineares Uma equação linear com n incógnitas 𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑛 é uma equação da forma:

𝛼1𝑥1 + 𝛼2𝑥2 +⋯+ 𝛼𝑛𝑥𝑛 = 𝑏

Em que 𝛼1, 𝛼2, … . , 𝛼𝑛 e b são escalares (reais ou complexos).

2 Ver página 9.


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Um sistema de m equações lineares com n incógnitas é um conjunto de equações lineares da forma:

{

𝛼11𝑥1 + 𝛼12𝑥2 +⋯+ 𝛼1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1 𝛼21𝑥1 + 𝛼22𝑥2 +⋯+ 𝛼2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2

⋮𝛼𝑚1𝑥1 + 𝛼𝑚2𝑥2 +⋯+ 𝛼𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚

Em que 𝛼𝑖𝑗 são os coeficientes do sistema, 𝑏𝑘 são os termos independentes e 𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑛 são as

incógnitas ou variáveis. OBS: Repare-se que o sistema tem m equações e n variáveis. E que, as m equações lineares do sistema envolvem, cada uma, as mesmas variáveis. O sistema pode ser representado matricialmente por:

AX = B

A = [

𝑎11 … 𝑎1𝑛⋮ ⋱ ⋮

𝑎𝑚1 … 𝑎𝑚𝑛] , X = [

𝑥1⋮𝑥𝑛] e B = [

𝑏1⋮𝑏𝑛

]

• A matriz A chama-se a matriz dos coeficientes do sistema. • A matriz X é a matriz das incógnitas ou variáveis. • A matriz B é a matriz dos termos independentes. • Fazendo X = 𝛼 tem-se a condição verdadeira de: A 𝛼 = B. Ao conjunto de todas as soluções do sistema chama-se conjunto solução ou solução geral:

𝛼 = [

𝛼1⋮𝛼𝑛]

Sistemas Equivalentes

Dizemos que dois sistemas de equações lineares são sistemas são equivalentes quando estes possuem o mesmo conjunto solução. Convém destacar que dois sistemas de equações equivalentes não têm que ter o mesmo número de equações porém, é necessário que tenham o mesmo número de incógnitas. Dois sistemas de equações lineares que se obtêm um do outro através de um número finito de operações elementares, dizem-se equivalentes, tendo assim o mesmo conjunto solução. OBS: Quando aplicamos operações elementares às equações de um sistema de equações lineares, só os coeficientes e os termos independentes do sistema são alterados. Para efetuar o estudo do sistema de equações lineares, podemos representar o sistema linear pela matriz ampliada [𝑨|𝑩] (matriz completa do sistema) associada que se obtém acrescentando a coluna dos termos independentes B à matriz do sistema A, ou seja:


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[

𝛼11 … 𝛼1𝑛 | 𝑏1⋮ ⋱ ⋮ | ⋮

𝑎𝑚1 … 𝑎𝑚𝑛 | 𝑏𝑚

]

• Se dois sistemas lineares AX = B e CX = D são tais que a matriz aumentada [C|D] é obtida de [A|B] através de uma ou mais operações elementares, então os dois sistemas são equivalentes. As operações elementares que podem ser aplicadas às linhas (i e j) de uma matriz são: - Trocar a posição de duas linhas (i e j) da matriz: 𝐿𝑖 ↔ 𝐿𝑗;

- Multiplicar uma linha (i) da matriz por um escalar (α) diferente de zero: α 𝐿𝑖 ↔ 𝐿𝑗;

- Substituição de uma linha (j) pela sua soma com um múltiplo escalar (α) de outra linha (i): α 𝐿𝑖 + 𝐿𝑗 ↔ 𝐿𝑗;

- Troca de coluna de A (a troca não inclui a coluna B);

Nota Importante: Ainda podemos condensar a matriz de uma outra maneira, ou seja, através de operações elementares termos a matriz ampliada [𝑨|𝑩] na forma:

Em que p é a característica da matriz.

Condensação de Matrizes (método de eliminação de Gaus) A condensação é o processo que consiste em transformar uma dada matriz numa triangular (superior ou inferior) de elementos principais significativos através das operações elementares. O processo de condensação é constituído por várias fases - reduções - onde se vão anulando os elementos abaixo e/ou acima da diagonal principal da matriz quadrada inicial ou duma sub-matriz quadrada da maior ordem possível (caso da matriz inicial retangular). Exemplo: A matriz é:

[1 1 21 3 32 8 12

] 𝐿2 → 𝐿2 − 𝐿1 [1 1 20 2 12 8 12

] 𝐿3 → 𝐿3 − 2𝐿1 [1 1 20 2 10 6 8

] 𝐿3 → 𝐿3 − 3𝐿2 [1 1 20 2 10 0 5

]

OBS: Se uma linha de uma matriz não é toda nula, chamamos pivot ao elemento não nulo dessa linha, mais à esquerda.


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Método de Condensação de Gaus- Jordan O método de Condensação de Gaus é um método de resolver equações lineares na forma:

A X = B Para executar a eliminação de Gauss, devemos ter a equação matriz ampliada:

[A|B] = [

𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 | 𝑏1𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 | 𝑏2⋮ ⋮ ⋱ ⋮ | ⋮𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛 | 𝑏𝑚

]

Os passos no método de eliminação de Gauss são: 1.Faça a matriz aumentada do sistema.

2. Use operações elementares com as linhas para transformar a matriz aumentada na forma:

[A|B] = [

1 0 … 0 | 𝑏10 1 … 0 | 𝑏2⋮ ⋮ ⋱ ⋮ | ⋮0 0 … 1 | 𝑏𝑚

]

- Cada linha que não consiste inteiramente de zeros, o elemento diferente de zero mais à esquerda é uma 1 (o pivô); - Cada coluna que contém um pivô tem zeros em todas as outras entradas. 3. Parar de processo da etapa 2, se obtermos uma linha cujos elementos são todos os zeros, exceto o último à direita. Nesse caso, o sistema é inconsistente e não tem soluções. Caso contrário, termina-se o passo 2 e temos as soluções.

Classificação de Sistemas 3 Após a condensação da matriz A (transformada em zeros os elementos abaixo da diagonal) podemos obter três situações: • Se 𝒄𝒂𝒓(𝑨) < 𝒄𝒂𝒓( [𝑨|𝑩]), temos um Sistema Impossível, isto é, não tem solução. Neste caso, p < m. Exemplo:

[

⋯ |

⋮ ⋱ ⋮ |0 0 ⋯ 0 | 7

]

• Se 𝒄𝒂𝒓(𝑨) = 𝒄𝒂𝒓( [𝑨|𝑩]) = p < n, temos um Sistema Possível e indeterminado, isto é, tem múltiplas soluções.

3 n é o número de incógnitas (ou nº de colunas); m é o número de equações (nº de linhas); p é a de A.


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Exemplo:

[

⋯ |

⋮ ⋱ ⋮ |0 0 ⋯ 0 | 0

]

A sua solução é dada por:

{

𝑥1 = 𝛽1 − 𝛼1,𝑝+1𝑋𝑝+1 −⋯− 𝛼1𝑛𝑋𝑛⋮

𝑥𝑝 = 𝛽𝑝 − 𝛼𝑝,𝑝+1𝑋𝑝+1 −⋯− 𝛼𝑝,𝑛𝑋𝑛

O grau de indeterminação é n – p. Se o grau de indeterminação for 1, o sistema diz-se simplesmente indeterminado. Se o grau de indeterminação for 2, o sistema diz-se duplamente indeterminado. E assim sucessivamente. • Se 𝒄𝒂𝒓(𝑨) = 𝒄𝒂𝒓( [𝑨|𝑩]) = n = m, , temos um Sistema Possível e Determinado com uma única solução. A sua solução é dada por:

{𝑥1 = 𝛽1

⋮𝑥𝑛 = 𝛽𝑛

Conclusão:

{

𝑷𝒐𝒔𝒔í𝒗𝒆𝒍 (𝒕𝒆𝒎 𝒔𝒐𝒍𝒖çõ𝒆𝒔): {

𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐: 𝐶𝑎𝑟 (𝐴) = 𝐶𝑎𝑟 (𝐴|𝐵) = 𝑝 = 𝑛 = 𝑚

𝒊𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐: 𝐶𝑎𝑟 (𝐴) = 𝐶𝑎𝑟 (𝐴|𝐵),𝑚𝑎𝑠 𝑝 < 𝑛

𝑰𝒎𝒑𝒐𝒔𝒔í𝒗𝒆𝒍 (𝒏ã𝒐 𝒕𝒆𝒎 𝒔𝒐𝒍𝒖çõ𝒆𝒔): 𝐶𝑎𝑟 (𝐴) < 𝐶𝑎𝑟 (𝐴|𝐵), 𝑝 < 𝑚

Nota bem: Se a matriz A for quadrada, temos que:

{𝑆𝑒 |𝐴| ≠ 0 → 𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 é 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜

𝑆𝑒 |𝐴| = 0 → 𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑜𝑢 é 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑜𝑢 é 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜

Sistema Homogéneo4 Um sistema diz-se homogéneo se o vetor dos termos independentes é nulo, isto é, se B = 0.

{

𝛼11𝑥1 + 𝛼12𝑥2 +⋯+ 𝛼1𝑛𝑥𝑛 = 0 𝛼21𝑥1 + 𝛼22𝑥2 +⋯+ 𝛼2𝑛𝑥𝑛 = 0

⋮𝛼𝑚1𝑥1 + 𝛼𝑚2𝑥2 +⋯ + 𝛼𝑚𝑛𝑥𝑛 = 0

Todo sistema linear homogéneo admite pelo menos a solução trivial:

X = [

𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛

] = [

00⋮0

]

Isto é:

4 Mais à frente, chamaremos o conjunto de soluções (conjunto solução ou solução geral) do sistema linear homogéneo de núcleo de A.


Página 17

{𝑂𝑢 é 𝒑𝒐𝒔𝒔í𝒗𝒆𝒍 𝒆 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐 (𝑒 𝑠ó 𝑡𝑒𝑚 𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑎)

𝑂𝑢 é 𝒑𝒐𝒔𝒔í𝒗𝒆𝒍 𝒆 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐 (𝑒 𝑡𝑒𝑚 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢çõ𝑒𝑠 𝑎𝑙é𝑚 𝑑𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑎)

8- Inversão de Matrizes (Continuação)5

Modo 2: Através da Matriz Adjunta A Matriz Adjunta de A é a transposta da matriz que se obtém de A por substituição de cada um dos seus elementos pelo respectivo complemento algébrico. Representa-se por Adj A. Exemplo:

A = [1 3 −20 1 5−2 −6 7

]

Ad A =

[ (−1)

1+1 |1 5−6 7

| (−1)1+2 |0 5−2 7

| (−1)1+3 |0 1−2 −6

|

(−1)2+1 |3 −2−6 7

| (−1)2+2 |1 −2−2 7

| (−1)2+3 |1 3−2 −6

|

(−1)3+1 |3 −21 5

| (−1)3+2 |1 −20 5

| (−1)3+3 |1 30 1

| ] 𝑻

=[37 −10 2−9 3 017 −5 1

]

𝑻

= [37 −9 17−10 3 −52 0 1

]

A fórmula que permite calcular a inversa de uma matriz através da sua adjunta:

𝑨−𝟏 = 𝟏

𝑫𝒆𝒕 (𝑨)∗ 𝑨𝒅𝒋(𝑨) ↔ 𝑨−𝟏 =

𝟏

|𝑨|∗ 𝑨𝒅𝒋(𝑨)

Daqui podemos determinar:

𝐴−1 = 1

|𝐴|∗ 𝐴𝑑𝑗(𝐴)

↔ |𝐴|𝐴−1 = |𝐴|

|𝐴|∗ 𝐴𝑑𝑗(𝐴)

↔ |𝑨|𝑨−𝟏 = 𝑨𝒅𝒋(𝑨) Exemplo:

Sendo A = [1 3 −20 1 5−2 −6 7

] vamos ter que |A| = 3 e portanto:

𝑨−𝟏 = 1

3∗ [

37 −9 17−10 3 −52 0 1

] =

[ 37

3−3

17

3

−10

31 −

5

32

30

1

3 ]

Por causa da inversa e determinantes, podemos destacar as seguintes classificações:

5 Ver página 4.


Página 18

- Matriz não invertível ou não regular ou singular: quando a matriz não admite inversa.

Para A ∄ 𝑨−𝟏 ↔ 𝒅𝒆𝒕(𝑨) = 𝟎 - Matriz invertível ou regular ou não singular: quando a matriz admite inversa.

Para A ∈ 𝑨−𝟏 ↔ 𝒅𝒆𝒕(𝑨) ≠ 𝟎

Ainda podemos concluir que se A é invertível então A−1 é regular e Det(𝐀−𝟏) = 𝟏

𝑫𝒆𝒕(𝑨).

Modo 3: Através da resolução de sistemas lineares O método para determinar a matriz inversa é: 1º passo: Forma-se a matriz M, colocando ao lado da matriz A e a matriz identidade correspondente, separada por um traço vertical: M = [A|𝑰𝒏]. 2º passo: Aplicam-se as operações elementares à matriz M de modo a transformar a metade A de M numa matriz triangular (superior ou superior); 3º passo: Aplicam-se as operações elementares à matriz obtida no passo anterior de modo a transformar a metade esquerda, matriz triangular, na matriz identidade; 4º passo: Pelos passos 2 e 3 a matriz [A|𝑰𝒏] fica transformada numa matriz [𝑰𝒏|B] em que B = 𝐴−1; OBS: Se o passo 2 gerar uma linha com elementos todos nulos na metade A de M, a matriz A é invertível. Exemplo:

A = [1 0 22 −1 34 1 8

]

Resolução:

[

1 0 2 | 1 0 02 −1 3 | 0 1 04 1 8 | 0 0 1

] 𝐿2 → 𝐿2 −1

2𝐿3

[

1 0 2 | 1 0 0

0−3

2−1 | 0 1

−1

24 1 8 | 0 0 1

] 𝐿3 → 𝐿3 − 4𝐿1

[

1 0 2 | 1 0 0

0−3

2−1 | 0 1

−1

20 1 0 | −4 0 1

] 𝐿2 → 𝐿3 [

1 0 2 | 1 0 00 1 0 | −4 0 1

0−3

2−1 | 0 1

−1

2

] 𝐿3 → 𝐿3 + 3

2

𝐿2

[

1 0 2 | 1 0 00 1 0 | −4 0 10 0 −1 | −6 1 1

] 𝐿3 →𝐿3−1

[

1 0 2 | 1 0 00 1 0 | −4 0 10 0 1 | 6 −1 −1

] 𝐿1 → 𝐿1 − 2 𝐿3

[

1 0 0 | −11 2 20 1 0 | −4 0 10 0 1 | 6 −1 −1

]


Página 19

Assim conclui-se que:

𝑨−𝟏 = [−11 2 2−4 0 16 −1 −1

]

Álgebra Linear

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