UNIVERSIDADNACIONALDELALTIPLANOFACULTADDEINGENIERIACIVILYARQUITECTURAESCUELAPROFESIONALDECIENCIASFISICOMATEMATICASAlgebra II 2007-IILic:FelipeClmacoCcolqueTaipePer u-Puno Febrerodel2008Indicegeneral1. OperacionesBinariasyGrupos 11.1. DenicionesyConceptossinella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. OperacionesBinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1. PropiedadesdeOperacionBinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2. OperacionesBinariasconTablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.3. CriteriosParaDenirUnaOperacionBinaria . . . . . . . . . . . . 41.3. GrupoysusPropiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. GruposFinitosyTablasdeGrupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5. Subgrupoysucaracterizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.1. NotacionyTerminologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.2. SubconjuntosySubgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6. SubgruposCclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7. Permutaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7.1. AplicacionesyPermutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7.2. GrupodePermutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.7.3. CiclosyNotacionCclicadePermutaciones . . . . . . . . . . . . . 221.7.4. PermutacionesPareseImpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.8. GruposCclicosyPropiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.8.1. PropiedadesElementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.8.2. ClasicaciondeGruposCclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.8.3. SubgruposdeGruposCclicosFinitos. . . . . . . . . . . . . . . . . 291.9. PrimerTrabajoPracticodeAlgebraII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322. TeoremaFundamentaldeHomomorsmodegrupos 392.1. IsomorsmodeGruposyPropiedadesFundamentales . . . . . . . . . . . . 392.2. ElTeoremadeCayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3. ProductosDirectosdegrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.3.1. ProductosDirectosExternos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.3.2. ProductosDirectosInternos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.4. GruposdeClasesLaterales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.4.1. ClasesLaterales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.4.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.5. SubgruposNormalesyGruposCocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.5.1. CriteriosparalaExistenciadeClasesLaterales . . . . . . . . . . . 602.5.2. AutomorsmosInternosySubgruposNormales . . . . . . . . . . . 6232.5.3. GruposCocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.5.4. GruposSimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.5.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.6. HomomorsmosdeGruposyPropiedadesFundamentales. . . . . . . . . . 672.7. ElTeoremaFundamentaldelHomomorsmo. . . . . . . . . . . . . . . . . 692.7.1. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.8. SegundoTrabajoPracticodeAlgebraII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733. TeoradeAnillos 793.1. AnillosyPropiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.2. DominiosdeIntegridadyCampos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.2.1. DivisoresdeCeroyCancelacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.3. CaractersticadeunAnillo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.4. TeoremadeFermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.5. AnillosCocienteseIdeales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.6. HomomorsmodeAnillosyPropiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.7. IdealesMaximalesyPrimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.8. TercerTrabajoPracticodeAlgebraII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044. Problemasresueltos 109PrefacioEl contenidodeestelibroestabasadoenlasnotasdeclasesdel cursodealgebraIIdictadoporel autorenEscuelaProfesional deCienciasFsicoMatematicasdelaUni-versidadNacionaldelAltiplanoparaestudiantesdepregradodesegundosemestreenelsemestreacademico2005-Iy2007-II.Al escribirel texto, el autoraprocuradoincluirmasdetallesenlasdemostracionesde los resultados (teoremas, proposiciones ocorolarios) conrespectoal libroAlgebraAbstracta(primercurso)deJohnB.Fraleighyagregarproblemasresueltosparaajustaral sistema exible de currculo por competencias, con la nalidad de hacer mas entendiblepara los lectores que solamente conocenAlgebra I y Logica Matematica. La exposicion esconveniente para efectos delAlgebra Lineal y temas que involucran estudios axiomaticos.En la competencia 1 se analiza la operacion binaria y la estructura algebraica de grupo.En la competencia 2 se identica dos grupos con aplicaciones especiales que preservanoperaciones llamados Isomorsmos y Homomorsmos. Ademas se analiza la formacion deGruposdeclasesLaterales.Enlacompetencia3seanalizalaestructuraalgebraicadeanillosysuspropiedades.Para nalizar se presenta algunos problemas resueltos de la lista de trabajos practicosdejados, donde se muestra que la teora es fundamental para resolver problemas propuestosenlamateria.Mepermitoexpresarmi profundoagradecimientoalaUniversidadNacional del Al-tiplanopordarmelaoportunidaddedictarcursosyal estudianteDannyApazaporsuaporteconelprocesamientodeltexto.Puno,febrerodel2008.FelipeClmacoCcolqueTaipeCaptulo1OperacionesBinariasyGruposCompetencia1.-Manejalaoperacionbinariaylaestructuraalgebraicadegrupoconclaridad,responsabilidadyperseverancia.Capacidad.- Deneyanalizaoperacionesbinarias, (Gruposysubgruposabstractos)ytambienconcretoscomoelgrupoysubgrupodepermutaciones.Ademasdemuestraelteoremaquecaracterizaunsubgrupocomounsubconjuntoconciertaspropiedades.1.1. DenicionesyConceptossinellaLagranimportanciade las deniciones enmatematicas surge de lanecesidaddecomunicarsedelosmatematicosentresacercadesutrabajo.Enmatematicasdebemosevitarambig uedadesusandocorrectamentedenicionesyconceptosprimitivos.Se entiende que toda denicion es una PROPOSICIONdel tipo si y solo si aunque seacostumbraomitirelsolosi.Porejemplo,cuandodenimos:un triangulo es isosceles si tiene dos lados de igual longitud en realidad queremos decirqueuntrianguloesisoscelessiysolositienedosladosdeiguallongitud.Los matematicos sabenque debe haber algunos conceptos sindenicionoprimitivos.Porahora, estamosdeacuerdoenqueCONJUNTOdebeserunodedichosconceptosprimitivos. As unCONJUNTOparanosotrossignicaraunacolecciondeobjetosbiendenidos.Un conjunto Sesta formado por elementos, y si a es uno de sus elementos, lo denotaremospora S.Existeunconjuntosinelementos.Elconjuntovaco,quelodenotaremospor .Podemosdescribirunconjuntoconunapropiedadquecaractericealoselementosme-diante x/p(x),elcualseleeelconjuntodetodaslasxtalesquelaproposicionp(x)acercadexesverdadera.Laotramaneradedescribirunconjuntomediante ellistadodeelementosesporejemplo1, 2, 3, 4, 5.SiS= Z+,entoncespodemosdescribirdichoconjuntocomoS= x/xesunn umeroenteropositivo1obien12S= 1, 2, 3, . . ..1.2. OperacionesBinariasNuestroprimercontactoconalgebrafuecuandoaprendimosasumarymultiplicarn umeros.Lasumaesbasicamenteunareglaqueseaprendeyquenospermiteasociaracadadosn umerosenunordendado,unn umerocomorespuesta.Denicion1.2.1Unaoperacionbinaria enunconjuntoS,esunareglaqueasociaacadaparordenadodeelementosdeS,alg unelementodeS.Comentarios:i) Si : S S SesunaoperacionbinariaenS,denotaremospora balelementoasociadoalpar(a, b)por .ii) La palabra par ordenado es muy importante en la denicion anterior pues es posiblequea b = b a.EJEMPLO1.2.1SiS= Z+ya b =

mna, b sia = ba sia = b,entonces esunaoperacionbinariaenS,debidoaquea b Sparatodo(a, b) S S,siendoa b = a sia < ba b = b sia > ba b = a sia = bEnparticular,2 11 = 2;15 10 = 10;2 2 = 2.EJEMPLO1.2.2Si S= Z+ya

b=a, entonces

esunaoperacionbinariaenSporquea

b Sparatodoa, b S.Enparticular,tenemos2

3 = 2y3

2 = 3.Esto signica que la operacion binaria

en Z+depende del orden del par (a, b) dado.Mientras que la operacion binaria en Z+dado en el ejemplo 1.2.1 no depende del ordendelpardado,puesa b = b aparatodoa, b Z+.EJEMPLO1.2.3SeanS= Z+ya b = a b (1.1)entoncesdeterminarsi esunaoperacionbinariaenS.Solucion: Paraconcluirque denidaen(1.1)noesunaoperacionbinariaenS,tenemosqueexhibiralg un(a, b) S Stalquea b/ S.Claramente existe (1, 2) SStal que 12 = 12 = 1/ S. Por lo tanto, la operaciondelejemplo1.2.3noesunaoperacionbinariaenS F.Clmaco3Comentario.- SiS= Z= . . . , 2, 1, 0, 1, 2, . . .ya b=a bparatodoa, b S,entonceslaoperaciondenidaen(1.1)esunaoperacionbinariaenS.Si es una operacion binaria en S, entonces consideremos elPROBLEMA de calcular abc.Sabemosqueunaoperacionbinaria permitecombinarsolodoselementosyaqu haytres. As lasdistintasmanerasdecombinartreselementosa, b, c Sson(a b) cya (b c).Con denidaenelejemplo1.2.1:(2 5) 9=2 9=2; 2 (5 9)=2 5=2,luego2 5 9 = (2 5) 9 = 2 (5 9).Porconsiguiente,enelejemplo1.2.1estadenidoa b c.Comentario.- Si S= Z+y a

b = ab+2, donde es la operacion binaria del ejemplo1.2.1,entoncesa

b

cnoestadenida.Enotraspalabrasa

b

cesambigua.Enefecto:paraa = 2, b = 5, c = 9tenemos(2

5)

9 = (2 5 + 2)

9= (2 + 2)

9= 4

9= 4 9 + 2= 4 + 2= 62

(5

9) = 2

(5 9 + 2)= 2

(5 + 2)= 2

7= 2 7 + 2= 2 + 2= 4Porconsiguiente,siendo6 = 4laexpresiona

b

cnoestadenida.1.2.1. PropiedadesdeOperacionBinariasDenicion1.2.2Unaoperacionbinaria enunconjuntoSes CONMUTATIVAsi (ysolosi)a b = b aparatodoa, b S.Laoperacionbinaria esASOCIATIVAsi(a b) c = a (b c)paratodoa, b, c S.Comentarios:i) Lasdenicionessonsiempreproposicionesdel tiposi ysolosi, por esosepuedeomitirelsolosi.Losteoremasnosiempresonarmacionesdeestetipo.ii) Si esasociativa,entonceslaexpresiona b c destadenida.Lic:F.Cl. CcolqueT41.2.2. OperacionesBinariasconTablasMedianteunatablaparaunconjuntonitosepuededenirunaoperacionbinariaEJEMPLO1.2.4Lasiguientetabladenelaoperacionbinaria enS= a, b, cme-diantelaregla(i-esimolugarenlaizquierda)(j-esimolugararriba)=lugarenel i-esimorenglonyj-esimacolumnadel cuerpodelatabla. a b ca b c bb a c bc c b aSeobservaque:i) a b = cyb a = a.Porconsiguiente noesconmutativa.ii) c (a b) = c c = ay(c a) b = c b = b.Porconsiguiente noesasociativa.Enestecasoel conjuntoSnoestaformadoporn umeros, entoncesescomprensiblequelasoperacionesbinariaspuedendenirseencualquierconjunto.1.2.3. CriteriosParaDenirUnaOperacionBinariaSeobservaqueal denir unaoperacionbinaria enunconjuntoSdebemosestarsegurosdeque:i) SeasigneexactamenteunelementoacadaparposibledeelementosdeS.ii) ParacadaparordenadodeelementosdeS,elelementoasignadoesteenS.Si se infringe la condicion ii), entonces se dice que Sno esCERRADO BAJO . Caso contrariosedicequeSescerradobajo .EJEMPLO1.2.5Sisedene : Q Q Qpora b = a/bObservamosqueexiste(2, 0) Q Qtal que2 0 = 2/0noestadenido.Estosignicaquefallalacondicioni)para ,porlotanto noesunaoperacionbinariaenQ.EJEMPLO1.2.6Sisedene : Z+Z+Z+pora b = a/bObservamosque1 3 = 1/3/ Z+.Aqufallalacondicionii)para ,porlotanto noesunaoperacionbinariaen Z+.EJEMPLO1.2.7Sisedene : Q+Q+Q+pora b = a/b.Entonces las condiciones i) yii) para se cumplen, por lotanto es unaoperacionbinaria.F.Clmaco51.3. GrupoysusPropiedadesUnavezquesabemos sumar ymultiplicar n umeros reales, estamos encondicionesdehacercalculos(oaplicaroperacionesbinarias)pararesolverproblemasexpresadosenecuaciones,como5 + x = 2, 2x = 3.Ahora, quisieramos ser capaces deresolver ecuaciones lineales quecontengaoperacionbinaria,comoa x = b.Enelejemplo1.2.4laecuaciona x = anotienesolucionenS= a, b, c.VeamosquepropiedadesdebetenerunconjuntoSyunaoperacionbinaria enSparaquelaecuaciona x = btengasolucionenSparatodoa, b S.Es basica la existencia de un elemento e en Stal que ex = x para todo x S. En el casoaditivo,0desempe naelpapeldee,yel1enelcasomultiplicativo.Despuesnecesitamosunelementoa

enStalquea

a = e.Por ultimonecesitamoslaleyasociativa.Siquisieramosresolverlaecuacionx a = bparatodoa, b S,requerimoslaexistenciadee Stalquex e = xparatodox S,laexistenciadea

Stalquea a

= eylapropiedadasociativade .Contodasestaspropiedadesde enSestamossegurosderesolvertodaslasecuacioneslineales.Estassonprecisamentelaspropiedadesdeungrupo.Denicion1.3.1Ungrupo(G, )esunconjuntoG,juntoconunaoperacionbinaria enG,tal quesecumplenlossiguientesaxiomas:G1. Laoperacionbinaria esasociativa.G2. Existeunelementoe Gtal quee x = x e = xparatodox G(Esteelementoeesunelementoidentidad(oneutro)para enG).G3. ParacadaaenGexisteunelementoa

enGtalquea

a = a a

= e(elelementoa

esuninversodearespectoa ).Comentario.- Ungrupo(G, )constadedosentidades, el conjuntoGylaoperacionbinaria enG.Teorema1.3.1Si Ges ungrupoconunaoperacionbinaria , entonces las leyes decancelacionsecumplenenG.Esdecir,(ab = acimplicab = c)y(b a = c aimplicab = c)paratodoa, b, c G.Demostraci on: Supongamosqueb a = c a . . . (1)Comoa G,porG3existea

Gtalquea a

= eMultiplicandoporladerechapora

a(1):(b a) a

= (c a) a

. . . (2)Aplicandoleyasociativaencadaladode(2)b (a a

) = c (a a

) . . . (3)Porlapropiedaddea

de(3):b e = c e . . . (4)De(4)pordeniciondeeenG2obtenemosqueb = c.Similarmente,dea b = a csededuceb = c Lic:F.Cl. CcolqueT6Teorema1.3.2Si Ges ungrupoconoperacionbinaria ysi (ayb sonelementoscualesquiera de G), entonces las ecuaciones lineales ax = b y y a = b tienen soluciones unicasenG.Demostraci on: Solodemostraremosquey a = btienesolucion unica.EXISTENCIA:ComoGes ungrupoyaG, entonces por G3existe a

Gtal que a a

=e.Multiplicandoporladerechaalaecuacionpora

obtenemos(y a) a

= b a

. . . (1)Pero(y a) a

= y (a a

) porG1= y e porG3= y porG2Tomandoextremos(y a) a

= y . . . (2)De(2)en(1)sededucequey= b a

.Esclaroquey Gyaque esunaoperacionbinariaenG.UNICIDAD:Para probar que y G es la unica solucion de ya = b, suponiendo que y1 G es soluciondey a = bdebemosconcluirquey1= y.Comoy, y1sonsolucionesdelaecuacion,entoncessatisfacenalaecuacion;esdecir,y1a = b = ya, tomando extremos y1a = ya. De esto por el teorema 1.3.1 concluimosquey1= y.Demaneraanaloga,sedemuestraquea x = btiene unicasolucion Denicion1.3.2Ungrupo(G, )esABELIANOsilaoperacionbinaria esconmutativa.EJEMPLO1.3.1El conjunto Z+conlaoperacionbinaria+noesungrupo, puesnoexisteunelementoidentidadpara+en Z+.EstosignicaquenosecumpleG2.EJEMPLO1.3.2El conjuntoS= Z+ 0conlaoperacionbinaria+todavanoesungrupo.Existeelementoidentidad0,peronohayinversopara3 S.EstosignicaquenosecumpleG3.EJEMPLO1.3.3El conjunto Zconlaoperacionbinaria+esungrupoporquesesatisfacentodoslosaxiomasG1, G2yG3degrupo. Esmasqueeso, (Z, +)esungrupoabeliano.Comentario.- El problema de resolver las ecuaciones lineales ax = b, yc = d, en virtuddel teorema 1.3.2, quedan resueltos de manera unica en una estructura algebraica llamadagrupo.Teorema1.3.3EnungrupoGconoperacionbinaria hayunasolaidentidadetalquee x = x e = xparatodox G.Delamismamanera,paracadaa Gexisteunsoloelementoa

Gtal quea

a = a

a = eF.Clmaco7Demostraci on:i)UNICIDADDELAIDENTIDADeSupongamosquee, e1sonidentidadespara enG,entoncesdebemosconcluirquee1= e.Sieeslaidentidadpara enG,entoncese x = x e = xparatodox G.Enparticularparax = e1:e e1= e1 e = e1. . . (1)Sie1eslaidentidadpara enG,entoncese1 x = x e1= xparatodox G.Enparticularparax = e:e1 e = e e1= e . . . (2)De(1) e1= e1 e= e e1= e por(2)Tomandoextremosconcluimosquee1= e.Porlotanto,laidentidadenungrupoes unica.ii)UNICIDADDELINVERSODECADAELEMENTOSupongamosquea

, a

Gsoninversosdearespectoa ,entoncesdebemoscon-cluirquea

= a

.Sia

esuninversodea,entoncesa

a = a a

= e . . . (1)Sia

esuninversodea,entoncesa

a = a a

= e . . . (2)demaneraque a

= a

e porG2= a

(a a

) por(1)= (a

a) a

porG1= e a

por(2)= a

porG2Tomandoextremosconcluimosquea

= a

.Porlotanto,elinversodea Genungrupoes unico

1.4. GruposFinitosyTablasdeGrupoEs natural preguntarse si puede existir una estructura de grupo en un conjunto nito,larespuestaess,yciertamente,dichasestructurassonmuyimportantes(llamadosgru-posnitos)El conjuntomaspeque noquepuededarlugaraungrupoesel conjunto edeunele-mento.La unicaoperacionbinaria posibleen eestadenidopore e = e.Lic:F.Cl. CcolqueT8Encadagrupo,elelementoidentidadessiempresuinverso.Tratemos de construir una estructura de grupo en un conjunto de dos elementos. Comounodeloselementosdebedesempe narelpapeldeidentidad,digamosqueelconjuntoese, a. Busquemos una tabla para una operacion binaria en e, a que de una estructuradegrupo* e ae e aComoeseraidentidad,entoncese x = x e = xParatodox e, allenamos* e ae e aa a Ademas,adebetenerinversoa

talquea

a = a a

= e . . . (1)en nuestro caso a

debe ser e o a. Puesto que a

= e, de (1) nos conduce a que a = e(),entoncesdebemostenera

=a, detal modoquecompletamoslatabladelasiguientemanera* e ae e aa a eEnbase aeste ejemplo, podemos enumerar algunas condiciones (paraque unatabladenaunaoperacionbinariaenunconjuntonito) que debe satisfacer, paradotarlodeunaestructuradegrupo. Esnecesarioquealg unelementodel conjunto, quesiempredenotaremoscone,act uecomoidentidad.Lacondicione x = xsignicaqueelrenglonde latablaque contiene ae enel extremoizquierdo, debe contener exactamente loselementos queaparecenarribadelatabla, enel mismoorden. Enformaanaloga, Lacondicionx e =xsignicaque lacolumnade latabladebajode e, debe contenerprecisamenteloselementosqueaparecenenelextremoizquierdo,enelmismoorden.El hecho de que cada elemento a tenga un inverso derecho y un izquierdo, quiere decirque enelrenglonfrente aa debe aparecerelelementoey queenlacolumna debajo deadebeaparecereenalg unlugar.Asedebeaparecerencadarenglonyencadacolumna.Porelteorema1.3.2nosolotienensoluciones unicaslasecuacionesa x = eyy a = e,sino tambien las ecuaciones a x = b y y a = b. Por un argumento analogo esto signicaqueCADAELEMENTObdel grupodebeaparecerunaysolounavezencadarenglonyencadacolumnadelatabla.Supongamosqueunconjuntotienetreselementos.Comoantes, podemoshacerel conjunto e, a, b. Paraqueeseaidentidad, enestecon-junto,unaoperacionbinaria debetenerunesquemadetablacomosemuestra* e a be e a ba ab bF.Clmaco9Quedancuatrolugaresparallenar.Sepuedeverdeinmediatoquelatabladebecomple-tarsecomosemuestraenlasiguientetabla* e a be e a ba a b eb b e aPODEMOSACEPTARque laoperacionbinaria en e, a, bes asociativa, de locontrariodebemos hacer el trabajolaborioso, demodoque s daunaestructuradegrupoenG = e, a, b.SupongamosqueG

escualquierotrogrupodetreselementoseimaginemosunatablapara G

donde la identidad aparece en el primer lugar. Como hemos llenado la tabla paraG= e, a, bdeunasolamanera, vemosquesi llamamosealaidentidaddeG

, aalsiguienteelementoybal ultimo, latabladeG

queresultaseralamismaqueladeG.En otras palabras, las caractersticas estructurales son las mismas para ambos grupos; ungruposeveraexactamenteigualalotroconsolocambiarelnombredesuselementos.Porlotanto, cualesquieradosgruposdetreselementossonestructuralmenteel mismo.Estonosintroducealconceptodeisomorsmo.LosgruposGyG

sonisomorfos.1.5. Subgrupoysucaracterizacion1.5.1. NotacionyTerminologaPorreglageneral,losalgebristasnousanunsmboloespecial paradenotarlaoperacionbinariadiferentedelasumaymultiplicacionusuales.Seaferranalanotacionconvencional de la suma ymultiplicaci onusuales e incluso llamanoperacionsuma omultiplicacion,dependiendodelsmbolousado.Elsmbolousadoparalasumaes+ylamultiplicacionsedenotaconlaYUXTAPOSICIONdelosfactoressinunpunto.Asenlugarde la notacion abUSAMOS ya sea a+b que se lee suma de a y b o ab que se lee productodeayb.Paradesarrollarnuestrateoradegrupos, enunasituaciongeneral dondelaoperacionpuedeseronoconmutativa,usaremossiemprelanotacionMULTIPLICATIVA.Los matematicos usan con frecuencia 0 para denotar una identidad aditiva y el smbolo 1paradenotarunaidentidadmultiplicativa.EnsituacionesgeneralesSEGUIREMOSUSANDOeparadenotarelelementoidentidaddeungrupo.Seacostumbradenotarelinversodeunelementoaenungrupo,cona1enlanotacionmultiplicativa, y con a en la notacion aditiva. En adelante usaremos estas notaciones enlugardea

.Comentario.- Enresumen,posteriormenteusaremosenungrupo(G, )lassiguientesnotaciones:i) ab = a bLic:F.Cl. CcolqueT10ii) e = eiii)Encasomultiplicativo a1Encasoaditivo a

= a

Denicion1.5.1SiGesungruponito,entoncesel ORDENdeGdenotadopor [G[ sedenecomoeln umerodeelementosdeG.Engeneral,paracualquierconjuntonitoS,[S[esel n umerodeelementosdeS.Porejemplo,siS= a, b, c,entonces [S[ = 3.Comentario.- Enlugardelafraseconlaoperacionbinariausaremoslapalabrabajo,as queel grupoIRconlaoperacionbinariasumaSECONVIERTEenel grupoIRbajolasuma.1.5.2. SubconjuntosySubgruposHemosnotadoavecesquehaygruposcontenidosengruposmayores. PorEjemplo,el grupo Zbajolasumaestacontenidoenel grupoQbajolasuma, el cual asuvezestacontenidoenelgrupoIRbajolasuma.Cuando vemos al grupo (Z, +) como contenido en el grupo (IR, +), es importante observarquelaoperacion+enlosenterosnymcomoelementode(Z, +)produceel elementon + m. Estemismoelementoseproducirasi sepensaranymenteroscomoelementosde(IR, +).Por lo tanto, no podemos considerar el grupo (Q+, ) bajo la multiplicaci on como contenidoen el grupo (IR, +) bajo la suma , pues 23 = 6 en (Q+, ) mientras que 2+3=5 en (IR, +)aunqueQ+estacontenidoenIRcomoconjunto.AsparaqueungrupoHestecontenidoenotroGserequierequelaoperaciondegrupoenel menorconjuntoasigneel mismoelementoacadaparordenadodeesteconjuntomenorqueelasignadoporlaoperaciondegrupodelmayorconjunto,ademasdequeHestecontenidoenGcomoconjunto.ab(G,)G *(H,)H *a b=aG *bH *Estediagramamuestraqueelgrupo(H, H)estacontenidoenelgrupo(G, G)F.Clmaco11Denicion1.5.2Un conjunto Bes un subconjunto de A denotado por B A(o A B)sicadaelementodeBestaenA.LasnotacionesB AoA BseusaranparaB A,peroA = B.Comentario.- ParacualquierconjuntoAsetieneque AyA A.Denicion1.5.3SiAescualquierconjunto,entoncesAesel subconjuntoimpropiodeA.CualquierotrosubconjuntodeAesunsubconjuntopropiodeA.Denicion1.5.4SeaGungrupoyseaSunsubconjuntodeG. Si paracadaa, b Sesciertoqueel productoabcalculadoenGtambienestaenS, entoncessedicequeSescerradobajolaoperaciondegrupodeG. LaoperacionbinariaenS, as denida, sellamaoperacioninducidaenSdesdeG.Estamosencondicionesparaprecisarelconceptodegrupocontenidoenotro.Denicion1.5.5Si HesunsubconjuntodeungrupoGcerradobajolaoperaciondegrupodeGysiHmismoesungrupobajoestaoperacioninducida,sedicequeHesunsubgrupodeG.DenotaremosporHGo GHelhechodequeHesunsubgrupodeG.H< Go G > HsignicaraqueHG,peroH = G.Comentarios:i) (Z, +) < (IR, +).ii) (Q+, )(IR, +)aunqueQ+ IR.iii) G Gy e G,dondeeeselelementoidentidaddeG.iv) HGestosignicaraqueHnoesunsubgrupodeG.Denicion1.5.6SiGesungrupo,entoncesGsellamasubgrupoimpropiodeG.TodoslosotrossubgruposdeGsonsubgrupospropios.Ademas eesel subgrupotrivial deG.Todoslosotrossubgrupossonnotriviales.EJEMPLO1.5.1Q+bajolamultiplicacionesunsubgrupopropiodeIR+bajolamultiplicacion.EJEMPLO1.5.2Haydostiposdediferentesestructurasdegrupodeorden4.El grupoV es4-grupodeKleinyel grupo Z4,comomuestranlassiguientestablas:Z4: + 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2V: e a b ce e a b ca a e c bb b c e ac c b a eLic:F.Cl. CcolqueT12Comentarios:i) El unicosubgruponotrivialde Z4es 0, 2ii) 0, 3Z4,pues 0, 3noescerradobajola+,porejemplo3+3=2y2/ 0, 3.iii) ElgrupoV tienetressubgrupospropiosnotriviales,e, a,e, b,e, civ) e, a, bV , pues e, a, b no es cerrado bajo la operacion de V , por ejemplo ab = cyc/ e, a, b.v) Es convenientedibujar undiagramareticular delos subgrupos deungrupo. EndichodiagramaunarectaquebajadeungrupoG aungrupoHsignicaqueHesunsubgrupodeG.Porlotantoelgrupomasgrandeestaarribaeneldiagrama.La siguiente gura contiene diagramas reticulares para los grupos Z4 y Vdel ejemploanterior.Z4

0, 2

0diagramareticularpara Z4V.jjjjjjjjjjjjjjjjjjj

SSSSSSSSSSSSSSSSSSSe, a

SSSSSSSSSSSSSSSSSSe, b

e, c.kkkkkkkkkkkkkkkkkkediagramareticularparaVSi HG y a H entonces, por el teorema 1.3.2 de unicidad de soluciones para ecuacioneslineales, la ecuacion ax = a debe tener solucion unica en H, a saber, el elemento identidadde H. Pero esta ecuacion tambien puede verse como una ecuacion en G y vemos que estasolucion unicadebesertambienlaidentidaddeG.Unargumentoanalogoaplicadoalaecuacionax=econsideradaenHcomoenG,muestraqueelinversoa1deaenGtambieneselinversodeaenelsubgrupoH.El siguienteteoremaproporcionaunCRITERIOparadeterminarsi unsubconjuntodeungrupoesunsubgrupodelgrupo.F.Clmaco13Teorema1.5.1UnsubconjuntoHdeungrupoGesunsubgrupodeGsiysolosi:i) HescerradobajolaoperacionbinariadeG.ii) LaidentidadedeGestaenH.iii) Paratodoa Hsecumplequea1 H.Demostraci on:()i)Si HG, entonces por denicion 1.5.5 Hes cerrado bajo la operacion binaria deG.()ii)SeaelaidentidaddeG,entoncese H.Enefecto,porG2sabemosqueea = ae = aparatodoa G.Estoquieredecir, quela unicasolucionenGdelasecuacionesxa=ax=aparatodoa Gese. Enparticular, la unicasoluciondelasecuacionesxa=ax=aparatodoa H,queeseestaenHporser esteunsubgrupodeG.Esdecire H.()iii)Seaa H. ComoH G, sabemos quea G, demodoquepor G3existea1Gtal quea1a=aa1=e. Estoquieredecir, quela unicasolucionenGdelasecuacionesxa=ax=eparatodoa Gesa1. Comoa HyH G,sededucequea1 H.()Porlacondicioni)HtienecomooperacionbinarialainducidadeG. ParaqueHseagrupodebesatisfacerlostresaxiomasdegruposiguientes:G1: LaoperacionbinariaenGesasociativa,luegolainducidaesasociativaenHEnefecto,sia, b, c H,entonces(ab)c = a(bc)yaquea, b, c G.G2: Porlacondicionii)laidentidade H.Ysecumpleparaelasigualdadesea = ae = aparatodoa H.G3: Poriii)paracadaa H, sabemosquea1H. Pori)a1a Hyaa1Htal quea1a=aa1=e. Porlotantoparatodoa H, existea1Htal quea1a = aa1= e

Teorema1.5.2UnsubconjuntonovacoHdeungrupoGesunsubgrupodeGsi ysolosiab1 Hparatodoa, b H.Demostraci on:()PorhipotesisHG.Seaa, b H,entoncessedebedemostrarqueab1 H.Enefecto,comoHGporG3parab H,existeb1 H.As paraa Hyb1Hdeducimosqueab1HyaqueHescerradobajolaoperacionbinariaenG.Lic:F.Cl. CcolqueT14()ComoH = ,existea H.Porhipotesisparaa = a, b = a : ab1= aa1= e H.Luegosecumplelacondicionii)delteoremaanterior.Seab H, paraa=e, b=bporhipotesistenemosqueb1=eb1=ab1H,luegosecumplelacondicioniii)delteoremaanterior.Seana, b H,entoncesparaa = a, b = b1porhipotesistenemosqueab = a (b1)1 H,conestosecumplelacondicioni)delteoremaanterior.PorelteoremamencionadoseconcluyequeHesunsubgrupodeG

1.6. SubgruposCclicosEnelejemplo1.5.2observamosque 0, 3Z4.VeamosquetangrandetendraqueserunsubgrupoHde Z4quecontengaa3.Tendra que contener la identidad 0 y el inverso de 3 que es 1. Tambien Hdebera contener3+3quees2.Asel unicosubgrupode Z4quecontieneal3es Z4mismo.SeaGungrupoyseaa G. UnsubgrupoHdeGquecontieneel adebe, porelteorema1.5.1conteneraa,loquedenotamospora2.Luego,debecontenera2aloquedenotamospora3.En general debe contener an, que es el resultado del calculo de productos de a por s mis-mo, nfactoresparacadaenteropositivon. (Ennotacionaditivadenotaramosestoporna). Estas potencias enteras positivas de a conformanun conjunto cerrado bajo multipli-cacion. Sinembargo, es posible que el inverso dea no este en este conjunto. Desde luego,unsubgrupoquecontengaadebecontenertambiena1y, porlotantoa1a1, loquedenotamospora2yengeneraldebeconteneramparatodam Z+.Debecontenerlaidentidade = aa1.Porrazonessimb olicas,estamosdeacuerdoenquea0= e.EN RESUMEN, se ha mostrado que un subgrupo de G que contenga a, debe contener todoslos elementosan(onapara gruposaditivos) paratodon Z.Esdecir,unsubgrupoquecontengaadebecontenerelconjunto an/n Z.Porejemplo,enelgrupoV delejemplo1.5.2elsubgrupo e, aquecontienea,contieneatodaslaspotenciasdea;a2= e, a3= a, a4= e, a1= ayassucesivamente.Secumplelaleydelosexponentesanam= an+mparatodom, n Z. (1.2)F.Clmaco15Esclaroquesecumplea2a5= a3Enefecto, a2a5= a1a1aaaaa= a1(a1a)aaaa= a1eaaaa= a1(ea)aaa= a1aaaa= (a1a)aaa= eaaa= (ea)aa= aaa= a3.Teorema1.6.1Sea G un grupo y sea a G. Entonces H= an/ n Z es un subgrupodeGyesel menorsubgrupodeGquecontienea;estoes,cadasubgrupoquecontieneacontieneH.Demostraci on:a) PRIMERODEMOSTRAREMOSQUEHESUNSUBGRUPODEG.Vamosavericarquesecumplenlostrescondicionesdadasenel teorema1.5.1,paraqueunsubconjuntodeungruposeaunsubgrupo.Seobservaquea = a1 H,demodoqueHesunsubconjuntonovacodeG.Ysecumplenlastrescondicionessiguientesmencionadas:i)Seanx, y H,entoncesxy H.Enefectox Himplicaquex = arparaalg unr Zy Himplicaquey= asparaalg uns ZLuegoxy= aras= ar+s.Comor +s Z,pordeniciondeHdeducimosque,xy Hii)Comoe=a0para0 Zvemosquee H(eeslaidentidaddeG), as laidentidadedeGestaenH.iii)Seax H,entoncesx1 H.Enefecto,x Himplicaquex = arparaalg unr Z.Perox1= ary r Z.PordeniciondeHconcluimosquex1 H.Dei),ii)yiii), seg unel teorema1.5.1, concluimosqueHesunsubgrupodeG.b) DEMOSTREMOSQUEHESELMENORSUBGRUPOQUECONTIENEa.SeaKunsubgrupodeGquecontienea,entoncesH K.Enefecto,supongamosquex H,entoncesx = arparaalg unr Z.Sepresentanlossiguientescasosparar:r > 0, r = 0 r < 0.Lic:F.Cl. CcolqueT16i)Sir > 0, x = ar= aa. .. .rveces(productodea)Como Kes un subgrupo de G que contiene a, por la parte i) del teorema 1.5.1,deducimosquex = ar K.ii)Sir = 0, x = a0= e KporqueKesunsubgrupodeG.iii)Sir < 0,entonces r > 0.Delprimercasoar K.Perox = ar= a(r)(1)= (ar)1.Denuevox = ar= (ar)1 KyaqueKesunsubgrupodeG.Demodoque,six H,entoncesx K.PorlotantocadasubgrupoquecontieneacontieneH(oHeselmenorsubgrupodeGquecontienea)

Denicion1.6.1El grupoHdel teorema1.6.1esel SUBGRUPOCICLICOdeGgeneradoporaquesedenotarapor 'a`.EsdecirH= 'a`.Denicion1.6.2UnelementoadeungrupoGgeneraG(oesunGENERADORdeG)siG = 'a`.UngrupoGesCICLICOsiexistealg unelementoaenGtal queG = 'a`.EJEMPLO1.6.1Sean Z4yV losgruposdel ejemplo1.5.2. EntoncesdeducimosqueZ4escclico,puesexistenelementos1y3 Z4quesongeneradoresdel grupo.Esdecir Z4= '1` = '3`.El grupoV noes cclico, pues 'e` = e, 'a` = e, a, 'b` = e, b, 'c` = e, csonsubgrupospropiosdeV .EJEMPLO1.6.2El grupoZbajolasumaesungrupocclicopues1y-1songene-radoresdel grupo.EJEMPLO1.6.3Enel grupoZbajolasuma, el subgrupocclicogeneradopor 3es'3` = 3y/y Z.Estegrupoconstadetodoslosm ultiplosde3,positivos,negativosyelcero.Denotaremosestesubgrupopor3Z.Demanerasimilar,nZeselsubgrupocclico'n`de Zparacadaenteropositivon.Seobservaque6Z < 2Z.1.7. Permutaciones1.7.1. AplicacionesyPermutacionesAqu trabajaremos congrupos cuyos elementos sonllamados permutaciones. Estosgrupos nos danejemplos de grupos que noson ABELIANOS. Enlasiguiente capacidadse demostraraque cualquier grupoes estructuralmente lomismoque alg ungrupodepermutaciones.F.Clmaco171234512345fS SFigura1.7.11234512345yS SFigura1.7.2Si S= 1, 2, 3, 4, 5, entonces se pueden presentar las siguientes correspondencias para S,comosemuestra.La Figura 1.7.1 muestra un ejemplo de permutaci on de S, mientras que la Figura 1.7.2nodaunapermutaci ondeS.LaFigura1.7.3muestralaideadeunaaplicaciondeunconjuntoAenunconjuntoB.fA BFigura1.7.3a bDenicion1.7.1UnaaplicacionotransformaciondeunconjuntoAenunconjuntoBesunareglaqueasignaacadaelementoadeAexactamenteunelementobdeB.Sedicequetransformaaenb(oquellevaaenb)yquetransformaollevaAenB.Paradenotarquellevaaenbseescribe(a) = bobiena = b.El elemento b es laIMAGEN de a bajo . El hecho de que lleva A en Bse representa por : A BComentario.- Enlugardelanotacion(a) = b,muchosalgebristaspreerenlasnota-cionesa = bya= b.Si , sonaplicacionescon:A B, :B C, entoncesexisteunaaplicacionquellevaAenCcomosemuestraenlagurasiguiente.SepuedeirdeAaCvaB,usandolasaplicaciones, .EstaaplicacionquellevaAenCeslaaplicacioncompuestaconstituidaporseguidade. Enlanotacionclasica(a) = by(b) = c,luego((a)) = c.Y se denota la aplicacion compuesta por . El smbolo para seguida de , entoncessetienequeleerdeDERECHAAIZQUIERDA.Lic:F.Cl. CcolqueT18fA BFigura1.7.3a bCcyEnlasnotacionesrecientesa=byb=c, luegoa()=(a)=c. Porlotanto, laaplicacioncompuestaenestanotacionesypuedeleersedeIZQUIERDAADERECHA.Volviendo a las permutaciones, de acuerdo con nuestra denicion, vemos que la gura1.7.2muestraunaaplicaciondeS= 1, 2, 3, 4, 5ensmismo.Peronoqueremosllamaraestounapermutaci onpues1noesimagendening unelementoy3esimagendedoselementos, sin embargo, es necesario escoger aquellas aplicaciones tal que todo elementodelconjuntoesimagenexactamentedeunsoloelemento.Denicion1.7.2Una aplicacion de un conjunto A en un conjunto Bes uno a uno (1-1)si cadaelementodeBesimagendealomasunelementodeA. YessobreBsi cadaelementodeBesimagendeal menosunelementodeA.Comentarios:i) Enterminosdelagura1.7.3,unaaplicacion : A Bes1-1sicadab Btienealomasunaechadirigidahaciab.DecirqueessobreB,signicaquetodob BtienealmenosunaechadirigidahaciabfA BFigura1.7.5abc1234f es1-1yA BFigura1.7.6abc12y essobreBii) Podemos mencionar laTECNICAPARADEMOSTRAR que es 1-1 o sobreB, puesto queestetipodeproblemassenospresentaraconfrecuencia:a) Parademostrar que es 1-1, se debe vericar que a1=a2implicaquea1= a2.F.Clmaco19b) ParademostrarqueessobreB,sedebevericarqueparatodob Bexistea Atalquea = b.iii) Para : A B, el conjunto A es el DOMINIO de , el conjunto Bes el CODOMINIO deyelconjuntoA = a/a AeslaIMAGENdeAbajo.Denicion1.7.3UnaaplicaciondeSenSesunapermutaciondeSsi es1-1ysobreS.EJEMPLO1.7.1Observandolagura1.7.1, deducimosqueesunapermutaciondeS= 1, 2, 3, 4, 5.Delagura1.7.2,sededucequenoesunapermutaciondeS= 1, 2, 3, 4, 5porquenoes1-1.Comentario.- Sepuedeescribir:A11sobreBpararepresentarunaaplicacion, 1-1deAsobreB.NoharemosusodelaterminologapropagadaporlosdiscpulosdeN. Bourbak es1-1(inyecci on), sobre(sobreyecci on) yunaaplicacion1-1ysobre(biyeccion), sinembargo,serviraparaquecomprendanenlalecturadeotrostextosdealgebra.1.7.2. GrupodePermutacionesEnelconjuntodepermutacionesdeunconjuntosedeneunaoperacionbinaria,lamultiplicacion de permutaciones. Sea Sun conjunto y sean y permutaciones de S, demodo que y son aplicaciones 1-1 y llevan S sobre S. La aplicacion compuesta , comose ilustra en la gura 1.7.4, con A = B= C= S; = , = , nos da una aplicacion de Sen S. Ahora bien, sera una permutacion de Ssi es 1-1 y sobre S.USAREMOS la notaciondeescribirlasaplicacionesalaDERECHA, demaneraque puedeleersedeIZQUIERDAADERECHA.i) AFIRMAMOSquees1-1.Seana, b Stalesquea() = b(),entoncesa = b.Enefecto,pordeniciondecomposiciondeaplicacionesdea()=b()setiene(a) =(b), luego se deduce que a =bpor ser 1-1. De esta igualdadobtenemosquea = bpuestoquees1-1.Porlotantoes1-1.ii) AFIRMAMOSqueessobreS.Seac S,entoncesexistea Stalquea() = c.En efecto, como es sobre S, para c S existe b S tal que b= c . . . (1)Ahora bien, como es sobre S, para b S existe a S tal que a= b . . . (2).De(2)en(1)seobtiene(a)= c.Asparac Sexistea Stalquea() = c.PorlotantoessobreSDei)yii)seCONCLUYEqueesunapermutaci ondeS.Parailustrarlodicho,seaS= 1, 2, 3, 4, 5,Lic:F.Cl. CcolqueT201234512345sloqueenadelantedenotaremospor=

1 2 3 4 54 2 5 3 1

ysea=

1 2 3 4 53 5 4 2 1

Entonces =

1 2 3 4 54 2 5 3 1

1 2 3 4 53 5 4 2 1

=

1 2 3 4 52 5 1 4 3

Seobservaque 1() = (1)= (4)= 2. Esdecir1() = 2.Denicion1.7.4(IgualdaddeAplicaciones) Si, sonaplicacionesdeunconjun-toAenunconjuntoB,entonces = sia = aparatodoa A.Teorema1.7.1SeaAunconjuntonovacoyseaSAlacolecciondetodaslaspermuta-cionesdeA.EntoncesSAesungrupobajolamultiplicaciondepermutaciones.Demostraci on: EsclaroqueSA = pues1A SADebemosvericarlostresaxiomasdegrupoparaSA:G1. () = ()paratodo, , SAEnefecto,paraa A(arbitrario)setienequea[()] = [a()]= [(a)]= (a)()= a[()]Asa[()] = a[()]paratodoa A,porigualdaddeaplicaciones,() = ().Porlotantolamultiplicaci ondepermutacionesesASOCIATIVA.G2. Existeunapermutaci onidentidade=iAenSAdenidoporaiA=aparatodoa A,talqueiA= iA= paratodo SA.En efecto, a(iA) = (aiA)= apara todo a A. Tomando extremos por igualdaddeaplicacionesdeducimosqueiA= .F.Clmaco21Porotrolado, a(iA) = (a)iA, cona A= aparatodoa APorelrazonamientoanterior,sededucequeiA= .Por lo tanto, existe el elemento identidad iA para la multiplicaci on de permutacionesenSA.G3. Paracada SA,existe1 SAtalque1= 1= iA.Enefecto,dado SAdenimos1: A Apora1= a

siysolosia = a

. . . (1)AFIRMACION.-1estabiendenidoPara eso, si a, b A tales que a = b, entonces debemos demostrar que a1= b1.Enefecto,seana1= a

yb1= b

,luegopor(1)tenemosquea = a

yb = b

Peroa = b,luegoa

= b

,comoes1-1obtenemosquea

= b

.Deaqua1= b1.Ahora,veriquemoslasigualdades1= 1= iA:a(1) = (a1)= a por(1)= aiAparatodoa ATomando extremos, por igualdad de aplicaciones deducimos que 1= iA. . . (2)Porotrolado, a(1) = (a)1a por(1)= aiAparatodoa APorigualdaddeaplicacionestenemosque1= iA. . . (3)De(2)y(3),seconcluyequeparacada SA,existe1 SAtalque1= 1= iA

Comentario.- Al denir permutaciones, no fue necesario que A fuese un conjunto nito.Denicion1.7.5SiAesel conjuntonito 1, 2, . . . , n,entoncesel grupodetodaslaspermutacionesdeAesel GRUPOSIMETRICOdenletrasysedenotaporSnComentario.- ElgrupoSntienen!elementos,donden! = n(n 1)(n 2)(2)(1)EJEMPLO1.7.2Unejemplointeresantedegruposesel grupoS3de3!=6elementos.SeaS= 1, 2, 3, entonces podemos citartodaslas permutaciones deS(elementos deS3),comosigue:0=

1 2 31 2 3

, 1=

1 2 32 3 1

, 2=

1 2 33 1 2

1=

1 2 31 3 2

, 2=

1 2 33 2 1

, 3=

1 2 32 1 3

Lic:F.Cl. CcolqueT22Podemosvericarquelatablademultiplicaci ondepermutacionessiguienteesCORRECTAparaelgruposimetricoS3.012123001212311202312201312113202122131023321210SeobservaqueelgrupoS3NOESABELIANO,puesexisten1, 1 S3talesque11= 2 = 3= 11seg unlatablaanterior.Sinembargo,podemoscalcular11,comosigue:11=

1 2 32 3 1

1 2 31 3 2

=

1 2 33 2 1

= 2.Todos los grupos hastaconcincoelementos sonconmutativos. As, S3tieneel menorordenentrelosgruposnoabelianos.Comentario.- Hayuna correspondencia natural entre los elementos de S3enelejemplo1.7.2ylasmanerasenquepuedencolocarse, unasobreotra, doscopiasdeuntrianguloequilateroconvertices1,2,3.22222222

1 23[` /Por esta razon, S3es ademas el grupo D3de simetras de un triangulo equilatero. Usamosiparalasrotacionesyiparalasimagenesreejadasenbisectricesdelosangulos.ElgrupoD3representael TERCERgrupodiedrico.ElnesimogrupodiedricoDneselgrupodesimetrasdelnagonoREGULAR.1.7.3. CiclosyNotacionCclicadePermutacionesSealapermutaci onenS8quedejajos al 1, 5y7yact uasobrelos elementosrestantesmediantelarotaciondelcrculodescrito243 68F.Clmaco23Entonces =

1 2 3 4 5 6 7 81 4 6 3 5 8 7 2

Estapermutaci onesunciclodelongitud5;paraelloseintroduceunanotacionnueva,mascompacta= (2, 4, 3, 6, 8).LaNUEVA NOTACION es la notacion cclica. Cada elemento que aparece en (2,4,3,6,8) se llevaal siguienteexceptoel ultimo, quevael primero. Seconsideraqueloselementosquenoaparecenenlanotacionquedanjosbajolapermutacion.Denicion1.7.6UnapermutaciondeunconjuntoSesunCICLODELONGITUDnsiexistens1, s2, . . . , sn Stalesques1= s2, s2= s3, . . . , sn1= sn, sn= s1,yx= xparatodox Stal quex = s1, s2, . . . , sn.Escribimos= (s1, s2, . . . , sn).EJEMPLO1.7.3SiS= 1, 2, 3, 4, 5,entonces(1, 3, 5, 4) =

1 2 3 4 53 2 5 1 4

Comentario.- Seobservaque(1, 3, 5, 4) = (3, 5, 4, 1) = (5, 4, 1, 3) = (4, 1, 3, 5).Siendolos ciclos tipos particulares de permutaciones, puedenmultiplicarse comocua-lesquiera dos permutaciones. Sin embargo, el producto de dos ciclos no necesariamente esunciclo.EJEMPLO1.7.4Sean(1,4,5,6)y(2,1,5)ciclosenel grupoS6detodaslaspermuta-cionesde 1, 2, 3, 4, 5, 6.Entonces(1, 4, 5, 6)(2, 1, 5) =

1 2 3 4 5 64 1 3 2 6 5

y(2, 1, 5)(1, 4, 5, 6) =

1 2 3 4 5 66 4 3 5 2 1

.Ningunadeestasdospermutacionesesunciclo.Sedemuestraquecualquierpermutacionquenoseaidentidaddeunconjuntonitoesproductodeciclosajenos.EJEMPLO1.7.5Consideremoslapermutacion=

1 2 3 4 5 66 5 2 4 3 1

Entoncespodemosescribircomoproductodeciclosdisjuntos(oajenos).Seobserva, enprimerlugar, queel 1semueveal 6yel 6al 1, produciendoel ciclo(1, 6) = (1, 1)donde12= 1.Acontinuaci on2semueveal5,estesemuevea3,elcualsemuevea2,produciendoelciclo(2, 5, 3) = (2, 2, 22)donde23= 2.Finalmente = (1, 6)(2, 5, 3)= (1, 1)(2, 2, 22)= 12Porlotanto,= 12donde1y2sonciclosdisjuntos.Lic:F.Cl. CcolqueT24Comentario.- Lamultiplicaci ondeciclosajenosesconmutativo,asquenoesimpor-tanteelordendelosfactores.Delejemploanterior:= 12= 21,donde1y2sonciclosdisjuntos.Teorema1.7.2CadapermutacionquenoseaidentidaddeunconjuntonitoSesunproductodeciclosdisjuntos.Demostraci on: SupongamosqueS= 1, 2, 3, . . . , n.Consideremosloselementos1, 1, 12, 13, . . .ComoSesnito,nopuedenserdistintosestoselementos.Sea1relprimerterminoqueserepite.Entonces1r= 1.En caso contrario 1r= 1scon 0 < s < r, luego se tendra 1rs= 1 con rs < r()alaseleccionder.Deestamaneraseobtiene1= (1, 1, 12, . . . , 1r1).Seobservaque1tieneelmismoefectoqueentodosloselementosdeSqueaparecenenestanotacioncclicapara1.SeaielprimerelementodeSquenoapareceenlanotacioncclicade1.Serepiteelargumentoanteriorconlasucesioni, i, i2, . . .yobtenemosunciclo2= (i, i, i2, . . . , it1).Ahorabien1y2sondisjuntos,yaquesi tuvieranencom unalg unelementoj deS, seranidenticos, pues cadaciclopodraconstruirse mediante aplicaciones repetidas de la permutacioncomenzando en j(1=2).Paracontinuar, seelegirael primerelementodeSquenoapareceenlasnotacionescclicasde1ni2yseconstruiraelciclo3,yassucesivamente.ComoSesnito,esteprocesodebeterminarenalg unciclom.Elproducto12 mtieneel mismoefectoencadaelementodeSque,porlotanto= 12 m

Comentario.- Larepresentaciondeunapermutacionquenoseaidentidadcomopro-ductodeciclosdisjuntoses unica,salvoelordendelosfactores.1.7.4. PermutacionesPareseImparesDenicion1.7.7UnciclodelongituddosesunaTRANSPOSICION.Deestamanera, unatransposiciondejajostodosloselementosexceptodosyllevaacadaunodeestosenel otro.Uncalculosimplemuestraque(a1, a2, . . . , an) = (a1, a2)(a1, a3)(a1, an)Porlotanto,cualquiercicloesunproductodetransposiciones.EJEMPLO1.7.6Podemos expresar la permutacion (1,6)(2,5,3) como producto de trans-posicionesenlaforma(1,6)(2,5)(2,3).Corolario1.7.8Cualquier permutacion de un conjunto nito de al menos dos elementosesunproductodetransposiciones.F.Clmaco25Comentario.- Seobservaque(a, b)(a, b)eslapermutaci onidentidad.Teorema1.7.3Ningunapermutaciondeunconjuntonitopuedeexpresarsecomounproductodeunn umeropardetransposicionesyalavezcomoproductodeunn umeroimpardetransposiciones.Denicion1.7.9Una permutacion de un conjunto nito esPAR oIMPAR conforme puedaexpresarsecomoel productodeunn umeropardetransposicionesocomoel productodeunn umeroimpardetransposiciones,respectivamente.GRUPOALTERNANTE.- Armamos que para n2, el n umero de permutacionespares en Snes igual al n umero de permutaciones impares. Sea Anel conjunto de permuta-cionesparesenSnyBnelconjuntodepermutacionesimparesparan 2.Comoexisteunaaplicacion: An Bn1-1ysobreBn,entonces [An[ =n!2 .Teorema1.7.4Si n2, la coleccion de todas las permutaciones pares de 1, 2, 3, . . . , nformanunsubgrupodeordenn!2del gruposimetricoSn.Denicion1.7.10El subgrupodeSnqueconstadetodaslaspermutacionesparesdenletrassellamaGRUPOALTERNANTEAndenletras.Ejercicio.- DemostrarqueAnesunsubgrupodeSn,n1.1.8. GruposCclicosyPropiedades1.8.1. PropiedadesElementalesSi G es un grupo y a G, entonces H= an/ n ZG. Este grupo es el subgrupocclicodeGgeneradopora.Ahora bien, si G = an/ n Z, entonces a es un generador de Gy el grupo G = 'a` escclico.El propositodeestaseccionesclasicartodoslosgruposcclicosytodoslossubgruposdelosgruposcclicos.Teorema1.8.1Todogrupocclicoesabeliano.Demostraci on: (ParaqueungrupoGseaabelianodebemosdemostrarqueg1, g2 G : g1g2= g2g1).SeaGungrupocclicoyseaaungeneradordeG,entoncesG = 'a` = an/n ZSig1yg2sonelementoscualesquieradeG,entoncesexistenenterosrystalesqueg1= ar, g2= as, demaneraqueg1g2= aras= ar+spor(1.2)= as+r, +esconmutativaen Z= asar= g2g1Porlotanto,elgrupocclicoGesabeliano Lic:F.Cl. CcolqueT26Comentarios:i) Seguiremos utilizando la notacion multiplicativa en nuestro trabajo sobre grupos, apesardesaberquesonabelianos.ii) Existeunrecprocodebil, del teorema1.8.1, asaber, semuestraquetodogrupoabeliano sucientemente peque nopuede construirse a partir de grupos cclicos, deunaciertamanera.Por lo tanto, los grupos cclicos son fundamentales en el estudio de grupos abelianos.Lema1.8.1(Algoritmodedivisionpara Z) Si m es un entero positivo y n es cualquierentero,entoncesexistenenteros unicosqyrtalesquen = mq + ry0r < m.Demostraci on: Sedaunaexplicacioncondiagramasmediantelasiguientegura

. .. .m 0m2mqm(q + 1)mn = qm + r....rnn0, q0. . .[ [ [ [ [ [ [

. .. .n = qm + rn < 0, q< 0 [ [ [ [ [ [ [. . .qm(q + 1)m 0 m m2mr....ngura1.8.1Sobre elejeXrealusadoengeometra analtica,sehanmarcadolosm ultiplos demysepuede tomar rigual a cero, o n caera entre dos m ultiplos de m. Si este es el caso, sea qmelprimerm ultiplodemalaizquierdaden.Entoncesrescomosemuestraenlagura1.8.1.Seobservaendichaguraque0 r 0.Seamelmenorenteropositivotalqueam= e.ArmamosqueGtendra unicamentelosdistintoselementose, a, a2, . . . , am1.Seaan G,luegoseencuentranqyrtalesquen = mq + rpara0r< mporellema1.8.1,demaneraquean= amq+r= (am)qar= arpara0r < m.EstosignicaqueGesnito

Hip.

;Hip.Gtieneinnitoselementos.Porlotantotodaslaspotenciasdeasondistintas.Ahorabien, si G

es otrogrupocclicoinnitocongenerador b. Es claroquesi secambiael nombredebnporan, aparecequeG

esexactamenteigual aG; esdecir, losgruposGyG

sonisomorfos.As Zbajolasumapuedetomarsecomoprototipodecualquiergrupocclicoinnito.EJEMPLO1.8.1Se parece extra no que los grupos Zy 3Zson estructuralmente identi-cosapesardeque3Z < Z.Losnombresnoimportan,siel1lonombramos3,al2lonombramos6yengeneralalnlonombramos3n,habremosconvertido Zen3Zcomogrupoaditivo.CasoII.-Gtieneordennito.EnestecasonotodaslaspotenciasdeungeneradoradeGsondistintas, as queparaalgunoshyktenemosah= ak.Siguiendolaargumentaci ondelCasoI,existeunenteromtal queam=eyningunapotenciapositivamenordeaese. Entonces, el grupoGconstadelosdistintoselementose, a, a2, . . . , am1.Lic:F.Cl. CcolqueT28Comoseacostumbrausarnparael ordendel grupocclicoengeneral, cambiaremoslanotacionparalosiguiente,estableciendom = n.EJEMPLO1.8.2Es agradableimaginar los elementos e =a0, a1, a2, . . . , an1de ungrupocclicodeordenn,distribuidosequitativamentesobreunacircunferencia.aa=en-10a1a2a3Figura1.8.2n-1Figura1.8.30123Comoseveenlagura1.8.2.El elementoe = a0estalocalizadoenlaparteinferioryel ahestalocalizadoahdeestasunidadesiguales, medidasenel sentidocontrarioalquegiranlasmanecillasdel reloj,desdee = a0.Paramultiplicar ahy akmediante este diagrama, se comienzadesde ahy se avanza,enel sentidocontrarioal quegiranlasmanecillasdel reloj, kunidadesmas. Paraverenterminosaritmeticosdondetermina, encuentreqyrtalesqueh + k=nq + rpara0r < n.El terminonqnosllevaqvecesalrededordel crculohastallegaraar.Denicion1.8.3Seanunenteropositivojoyseanhyk enteros cualesquiera. Eln umerortal queh + k = nq + rpara0r < neslasumadehykmodulon.Teorema1.8.3Elconjunto 0, 1, 2, . . . , n1esungrupocclico Zndeelementosbajolasumamodulon.En la congruencia modulo n. Si h+k = ren Znentonces, para la suma en Z, tenemosh + k = r(modn).Demostraci on: (Sedejacomoejercicio) Seg un el diagrama de la gura 1.8.3 como se explico en el ejemplo 1.8.2, permite renombrarel elementoahdel ejemplo1.8.2conh. Porlotanto, hayungrupocclicodeordennparacadaenteropositivon. Enel casoII, Znserael grupodadoporel teorema1.8.3unprototipoigual queenel casoinnitoesZ. Si GyG

sondos grupos cclicos denelementos cadauno, congeneradores ayb, respectivamente, entonces al cambiar elnombredebrporar, G

severaexactamentecomoG. Estoes, cualesquieradosgruposcclicosdelmismoordennitosonisomorfos.F.Clmaco291.8.3. SubgruposdeGruposCclicosFinitosUnavezterminadalaclasicaciondegruposcclicos,nosdedicamosalossubgruposdegruposcclicosnitos.Sesabequec[asiexisteb Ztalquecb = a.Sim[nyn[m,entoncesm = n. (1.3)Recordemosque,ceselmaximocom undivisordeaybsi:i) c[ayc[bii) sie[aye[b,entoncese[c.Denotaremoselmaximocom undivisordeaybpormcdn, s.Teorema1.8.4SeaGungrupocclicoconnelementosgeneradopora. Seab Gyb = as.Entonces,bgeneraunsubgrupocclicoHdeGquetienendelementos,donded = mcdn, s.Demostraci on: Sabemos, del teorema 1.6.1 que b genera un subgrupo cclico Hde G.NosfaltademostrarqueH= bt/t Ztienendelementos.SiguiendoladiscusionhechaenelcasoI,podemosobservarqueHtienemelementos,dondem = mnr Z+/br= e.Asvamosademostrarquem =nd.Ahorabien,comob = asybm= esetieneque(as)m= asm= e,luegondivideams.Delhechoquen[sm n = smparaalg un Z, nm

s (1.4)Como

nm

m = n,setienenm

n (1.5)Comod = mcdn, s,porii)sededucequenm

d (1.6)Armamosque d

nm(1.7)Enefecto: Comod=mcdn, s, pori)sededucequed[nyd[s, dedonded1=nyd2= s.As1=ndysiendod1= n,setienequend

nyn[ms,luegond

ms.Estosignicaqueexiste3 Ztal quend3=sm, dedondenm= ds3. Conlocualquedavericadolaarmacionhechaen(1.7)sis3 Z.Interpretandos3 Z,signicaque3[s.Dend3= sm 3[sm 3[so3[m. (1.8)Lic:F.Cl. CcolqueT30Supongamosque3[m,entoncesdend3= smseobtienequem3=nds Z.Dedondedm =n3s. (1.9)Porotrolado,comod=mcdn, s,sabemosqueexistenr, t Ztalesqued=rn + ts;demodoquedm = rnm + tsm.Ahoraadm= (an)rm(asm)t= (e)rm(e)t= e,luegopor(1.9)tenemosquee = adm= (as)n3s2= (b)n3s2Peron3s2=mds< m (). Por esta contradicci on a la minimalidad de m, queda estable-cidaelhechoque3[s.De(1.6)y(1.7)en(1.3)seobtienequenm= d.Porlotantom =nd

EJEMPLO1.8.3Hallarlostressubgruposdel grupocclico Z12generadosporsusele-mentossiguientes3,8y5.Solucion: Elteorema1.8.4nosdiceque:Si G =< a > es un grupo cclico con [G[ = n, b = asy d = mcdn, s, entonces < b > Gestalque [ < b > [ =ndy < b >= e, b, . . . , bnd1.HaciendoG = Z12, [Z12[ = n = 12ya = 1obtenemos:i)Parab=as=3(1) =3 Z12setiened=mcd12, 3=3. Luegoel subgrupo< 3 >de Z12estalque [ < 3 > [ =123= 4 y < 3 >= 0, 3, 2(3), 3(3)ii)Parab = 8 = 8(1) Z12setiened = mcd12, 8 = 4.Luegoelsubgrupo< 8 >deZ12estalque [ < 8 > [ =124= 3 y < 8 >= 0, 8, 2(8) = 0, 8, 4.iii)Parab = 5 = 5(1) Z12setiened = mcd12, 5 = 1.Luegoelsubgrupo< 5 >deZ12estalque [ < 5 > [ =121= 12 y< 5 > = 0, 5, 2(5), 3(5), 4(5), 5(5), 6(5), 7(5), 8(5), 9(5), 10(5), 11(5)= 0, 5, 10, 3, 8, 1, 6, 11, 4, 9, 2, 7= Z12

Corolario1.8.4SiaesungeneradordeungrupoccliconitoGdeordenn,entonceslosotrosgeneradoresdeGsonloselementosdelaformaar,dondemcdr, n = 1.Demostraci on: Seab=aryd=mcdr, n=1, entoncesporel teorema1.8.4elsubgrupoH=< b >deGestalque [H[ =n1= nyH= e, b, . . . , bn1 = G EJEMPLO1.8.4Encuentre todos los subgrupos deZ18y elabore el correspondientediagramareticular.F.Clmaco31Solucion: Todoslossubgruposdeungrupocclicoescclicoporelteorema1.8.2.i)7esgeneradorde Z18.Enefecto, si Z18=, podemoshacer7=7(1) Z18, demodoquer=7. Seobservaquemcd7, 18=1, luegoporel corolario1.8.4setiene Z18=. Porconsiguiente,7esgeneradorde Z18.ii)Loselementos1,5,11,13y17sontambiengeneradoresde Z18porelcorolario1.8.4,puestoquemcd1, 18 = mcd5, 18 = mcd11, 18 = mcd13, 18 = mcd17, 18 = 1.iii)Seg unel teorema1.8.4el subgrupo deZ18es de orden9 =182 , donde2 = mcd2, 18.Ademas< 2 >= 0, 2, 2(2), 3(2), 4(2), 5(2), 6(2), 7(2), 8(2) = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16.Para el grupo cclico H=< 2 > de orden 9, seg un el corolario 1.8.4 los generadores deHson sus elementos de la forma r(2) con mcdr, 9 = 1. Por lo tanto los generadoresdeH=< 2 >son2,4,8,10,14y16.iv)Seg unel teorema1.8.4el subgrupo deZ18es de orden3 =186 , donde6 = mcd6, 18.Ademas< 6 >= 0, 6, 2(6) = 0, 6, 12y< 6 >=< 12 >.Hasta ahora hemos encontrado los subgrupos Z18 generados por 1,2,4,5,6,7,8,10,11,12,13,14,16y17.v)Seg unel teorema1.8.4el subgrupo deZ18es de orden6 =183 , donde3 = mcd3, 18.Ademas< 3 >= 0, 3, 2(3), 3(3), 4(3), 5(3) = 0, 3, 6, 9, 12, 15.Parael grupocclicoK=de orden6, seg unel corolario1.8.4los gene-radoresdeKsonsuselementosdelaformar(3)conmcdr, 6=1. PorlotantolosgeneradoresdeK=< 3 >son3y15.Ademas9 Kseexpresacomo9=3(3),luegosetienes = 3yd = mcd3, 6 = 3.Seg un el teorema 1.8.4 el subgrupo < 9 > de Kes de orden 2 =63y < 9 >= 0, 9.Finalmenteseobservaque< 0 >= 0Porlotanto,eldiagramareticulardetodoslossubgruposde Z18eslasiguiente'1` = Z18.uuuuuuuuuu

IIIIIIIIII'2`

IIIIIIIIII'3`.uuuuuuuuuu

AAAAAAAA'6`

IIIIIIIIII'9`.}}}}}}}}'0`

diagramareticularde Z18Lic:F.Cl. CcolqueT321.9. PrimerTrabajoPracticodeAlgebraIIResuelvacadaunodelossiguientesproblemas:1. Si

esunaoperacionbinariaen Z+denidopora

b = (a b) + 2donde estadenidoenelejemplo1.2.1.Entoncescalcule4

5;25

8y7

7.2. Sealaoperacionbinaria denidaenS= a, b, c, d, emediantelatablasiguiente a b c d ea a b c b db b c a e cc c a b b ad b e b e de d b a d ci) Calculea b, c cy[(a c) e] adelatabla.ii) Calcule(a b) cya (b c)delatabla.iii) esconmutativa?,esasociativa?.3. Completelasiguientetabla a b c da a b cb b d cc c a d bd d ademaneraque seaunaoperacionbinariaconmutativaenS= a, b, c, d.4. Determinarsicadaunadelasdenicionesde dadasacontinuaci on,daunaoperacion binaria en el conjunto dado. En caso de que no sea una operacion binariadigadelascondicionesi)oii)oambosnosecumplen.i) En Z+,sedene pora b = a bii) En Z+,sedene pora b = abiii) EnIR,sedene pora b = a b.5. Paratodaoperacionbinaria denidaacontinuaci on,determinecual esconmu-tativaycual esasociativa.i) En Z,sedene pora b = a bii) EnQ,sedene pora b = ab + 1iii) EnQ,sedene pora b =ab2iv) En Z+,sedene pora b = 2ab.F.Clmaco336. Para cada operacion binaria denida sobre un conjunto abajo, decir s o no da laestructuradegruposobreelconjunto.Sinoresultaungrupo,deelprimeraxiomaenelordenG1, G2, G3quenosecumple.i) Sedene en Zpora b = abii) Sedene en Zpora b = a biii) Sedene enIR+pora b = abiv) Sedene enQpora b = abv) Sedene enIR 0pora b = abvi) Sedene enI Cpora b = a + b.7. Demostrarporcalculoyporel teorema1.3.3quesi Gesungrupoconoperacionbinaria ,entonces(a b)

= b

a

paratodoa, b G.8. Construirlosdosgruposcontablasapartirdeunconjuntodecuatroelementos,procediendo de manera analoga a lo que hicimos para un conjunto de tres elementos.9. DemostrarqueungrupoGconidentidadetal quex x=eparatodox Gesconmutativo.10. Probar que, un conjunto no vaco G con una operacion binaria asociativa en G talque,a x = byy a = btienensolucionenGparatodoa, b Gesungrupo.11. Sea Sel conjunto de todos los n umeros reales diferentes de 1. Se dene en Spora b = a + b + abi) Demostrarque esunoperacionbinariaenSii) Demostrarque(S, )esungrupoiii) Hallarlasoluciondelaecuacion2 x 3 = 7enS.12. Determinecualesdelossiguientessubconjuntosdelconjuntodelosn umeroscom-plejossonsubgruposbajolaadiciondelgrupoI Cdelosn umeroscomplejosbajolaadicion:i) IRii) Q+iii) 7Ziv) Elconjunto n/n Zv) ElconjuntoiIRden umerosimaginariosincluyendocero.13. Digacualesdelossiguientesgrupossoncclicos.Paracadagrupocclico,dartodoslosgeneradoresdelgrupoi) G1= (Z, +)ii) G2= (Q, +)Lic:F.Cl. CcolqueT34iii) G3= (Q+, )iv) G4= (6Z, +)v) G5= 6n/n Zbajolamultiplicacion.14. Estudielaestructuradelatablaparaelgrupo Z4dadoenelejemplo1.5.2i) Por laanaloga, completelasiguientetablaparael grupocclicoZ6deseiselementos.Z6: + 0 1 2 3 4 50 0 1 2 3 4 51 1 2 3 4 5 02 23 34 45 5ii) Calculelossubgrupos, , , ydel grupo Z6dadoenlapartei).iii) Se naleloselementosde Z6quesongeneradoresdelgrupo Z6usandoii).15. Demostrar quesi a G, dondeGes ungruponitoconelementoidentidade,entoncesexisten Z+talquean= e.16. SeaGungrupoyseaaunelementojodeG.DemostrarqueH(a) = x G/xa = axesunsubgrupodeG.17. Mostrar mediante un ejemplo que es posible que la ecuacion cuadratica x2= e tengamasdedossolucionesenalg ungrupoconidentidade.18. Si G es un grupo abeliano, entonces demostrar que para todo a, b, G y todo enteron:(ab)n= anbn.19. Si Gesungrupotalque(ab)2=a2b2paratodoa, b G,entoncesdemostrarqueGesabeliano.20. SiHyKsonsubgruposdeG,demostrarqueH KesunsubgrupodeG.21. Si H/ esunafamiliadesubgruposdeG,entoncesdemostrarqueHesunsubgrupodeG.22. Si Hes unsubconjuntonovacode ungruponitoGyHes cerradobajolaoperaciondeG,entoncesdemostrarqueH G.23. Si H G, a G y aHa1= aha1/ h H, entonces demostrar que aHa1 G.24. ElcentroZdeungrupoGestadenidoporZ= z G/zx = xzparatodox G.DemostrarqueZ G.25. Demostrarqueunsubgrupodeungrupocclicoescclico.F.Clmaco3526. SeanHyKsubgruposdeGyseaHK= hk/h H, k K. DemostrarqueHKesunsubgrupodeGsiGesconmutativo.27. SeanlaspermutacionesenS6=

1 2 3 4 5 63 1 4 5 6 2

, =

1 2 3 4 5 62 4 1 3 6 5

, =

1 2 3 4 5 65 2 4 3 1 6

Entoncescalculari) ii) 2iii) 2iv) 2v) 128. Digacuales de las siguientes aplicaciones de IRenIRsonpermutaciones de IR.Justiquesurespuesta.i) f1: IR IRdenidaporf1(x) = x + 1ii) f2: IR IRdenidaporf2(x) = x2iii) f3: IR IRdenidaporf3(x) = x3iv) f4: IR IRdenidaporf4(x) = ex.29. ConsideremoselgrupoS3delejemplo1.7.2i) Calculelossubgruposcclicos< 1>, < 2>y< 2>deS3.ii) Encuentretodoslossubgrupostantopropioscomoimpropiosdel grupoS3yelaboresudiagramareticularcorrespondiente.30. Calcule el subgrupo cclico de S5 generado por la permutacion =

1 2 3 4 52 4 5 1 3

.31. Muestre,medianteunejemplo,quetodosubgrupopropiodeungruponoabelianopuedeserabeliano.32. DemuestrequeSnesungruponoabelianoparan 3.33. Los siguiente ciclos son permutaciones de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Calcular los productossiguientesqueseindican:i) (1, 4, 5)(7, 8)(2, 5, 7)ii) (1, 3, 2, 7)(4, 8, 6)34. Expresarcadaunadelaspermutacionesde 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8comoproductodeciclosajenosydespuescomoproductodetransposicionesLic:F.Cl. CcolqueT36i)

1 2 3 4 5 6 7 88 2 6 3 7 4 5 1

ii)

1 2 3 4 5 6 7 83 6 4 1 8 2 5 7

iii)

1 2 3 4 5 6 7 83 1 4 7 2 5 8 6

35. Un elemento a de un grupo G con identidad e tiene orden r > 0 si ar= e y ningunapotenciamenordeaeslaidentidad.ConsiderandoelgrupoS8i) Calculeelordendelciclo(1, 4, 5, 7)ii) Calculeelordende= (4, 5)(2, 3, 7)iii) Calculeelordende= (1, 4)(3, 5, 7, 8)36. SeaGungrupoyseaa G(arbitrario), entonces demuestrequelaaplicaciona: G Gdadaporga= agparatodog G,esunapermutaci ondeG.37. Conrespectoal ejercicio36, demuestrequeH= a/a GesunsubgrupodeSG,SGeselgrupodepermutacionesdeG.38. Encuentreeln umerodegeneradoresdecadaunodelosgruposcclicosdeorden6,8y12.39. Paracadaunodelossiguientesgrupos,encuentretodoslossubgruposyelaboreeldiagramareticularcorrespondientei) Z12ii) Z8iii) Z3040. Muestreque Zpnotienesubgrupospropiossipesunn umeroprimo.41. Encuentre el n umerode elementos de los subgrupos cclicos encadaunode losgruposcclicosindicados:i) Elsubgrupocclicode Z30generadoporel25ii) Elsubgrupocclicode Z42generadoporel30.42. Muestre, mediante un contraejemplo que el recproco del teorema 1.8.2 no se cumple.Es decir no se verica la armacion: si G es un grupo tal que todo subgrupo propioescclico,entoncesGescclico.F.Clmaco37UNIVERSIDADNACIONALDELALTIPLANO-PUNOESCUELAPROFESIONALDECIENCIASFISICOMATEMATICASPRIMERAPRUEBAESCRITADEALGEBRAIISemestreAcademico2007-II1) DemostrarqueungrupoGesabelianosiysolosi(ab)2= a2b2paratodoa, b G.2) Si H G, a G y aHa1= aha1/ h H, entonces demostrar que aHa1 G.3) Encuentretodoslossubgruposde Z21yelaboreelcorrespondientediagramareticular.4) Calcule el subgrupo cclico de S6 generado por la permutacion =

1 2 3 4 5 62 6 5 4 3 1

.5) Digacuales de las siguientes aplicaciones de IRenIRsonpermutaciones de IR.Justiquesurespuesta.i) f1: IR IRdenidaporf1(x) = x + 1ii) f2: IR IRdenidaporf2(x) = x2iii) f3: IR IRdenidaporf3(x) = x3iv) f4: IR IRdenidaporf4(x) = ex.6) SiGesungrupoconoperacionbinaria ya G(arbitrario),entoncesdemuestrequelaecuaciona x = atienesolucion unicaenG.UNA-PUNO,1deabrildel2008NOTA:Responda4delas6preguntasformuladasLic:F.Cl. CcolqueT38F.ClmacoCaptulo2TeoremaFundamentaldeHomomorsmodegruposCompetencia 2.- Relaciona dos grupos con aplicaciones especiales que preser-vanoperacionesllamadosHomomorsmoseIsomorsmos.Ademascomprendelaforma-ciondeGruposdeclasesLateralesconresponsabilidad,perseveranciayclaridad.Capacidad.- Dene y analiza el isomorsmo y homomorsmo de grupos. Demuestra elteoremadeCayley. Ademasestablecequeel ordendeunsubgrupodivideal ordendelgrupoyanalizaelgrupofactor.2.1. Isomorsmo de Grupos yPropiedades Funda-mentalesNosocuparemosahoradeprecisar,laideadequedosgruposGyG

sonestructural-menteigualesoisomorfos.IntuitivamentelosgruposGyG

sonisomorfos, si sonidenticossalvoel nombredeloselementosylasoperaciones.Deestemodo, podemosobtenerG

apartirdeGcambiandoel nombredeunelementox Gporel nombredeciertoelementox

G

. Enrealidad, laacciondecambiarelnombredeelementos es unaaplicacioncondominioG. Es claroquedos elementosdiferentesx, y Gdebentenercontrapartesdiferentesx

= x, y

= yenG

.Ademas,cadaelementodeG

debesercontrapartedealg unelementodeG.Si losgrupossonestructuralmenteel mismoysi denotamoslaoperaciondel grupoGpor yladeG

por

,entonceslacontrapartedex ydeberaserx

y

,o(x y)elcualdebeser(x)

(y).Comunmenteseomitenlasnotaciones y

paralasoperacionesyseusalanotacionmultiplicativa(xy) = (x)(y) (2.1)3940Se notaque lamultiplicaci onxy en(2.1) es lamultiplicaci onenG; mientras que lamultiplicacion(x)(y)en(2.1)eslamultiplicacionenG

.Denicion2.1.1UnisomorsmodeungrupoGenungrupoG

esunaaplicacion : G G

quees1-1ysobreG

tal que(xy) = (x)(y) paratodox, y G (2.2)EnestecasoGesisomorfoaG

,locual denotaremosporG= G

.Teorema2.1.1Si :G G

esunisomorsmodeGenG

yeeslaidentidaddeG,entonces:i) eeslaidentidaddeG

ii) a1 = (a)1paratodoa GEsdecir,unisomorsmollevalaidentidadenlaidentidadylosinversosenlosinversos.Demostraci on:i)Seax

G

(arbitrario).ComoessobreG,existex Gtalquex=x

.Siendounisomorsmo,por(2.2)seobtienex

= x = (xe) = (x)(e) = x

(e) (2.3)Similarmentex

= x = (ex) = (e)(x) = (e)x

(2.4)De(2.3)y(2.4),deacuerdoalteorema1.3.3sededucequee

= eeslaidentidaddeG

.ii)Seaa G(arbitrario),porG3existea1 Gtalquea1a = aa1= e.Comoesunisomorsmo,por(2.2):e = (a1a) = (a1)(a) (2.5)Demaneraanalogae = (aa1) = (a)(a1) (2.6)De(2.5)y(2.6),deacuerdoalteorema1.3.3sededucequea1 = (a)1

COMODEMOSTRARQUEDOSGRUPOSSONISOMORFOSElprocedimientoparademostrarquedosgrupos,GyG

,sonisomorfos,sigueloscuatropasossiguientes:PASO1. DenirlaaplicacionqueseraelisomorsmodeGenG

.Estosignicadescribir,dealgunamanera,cualseraxenG

paratodox G.F.Clmaco41PASO2. Demostrarqueesunaaplicacion1-1.PASO3. DemostrarqueessobreG

.PASO4. Demostrarque(xy) = (x)(y)parartodox, y G.Secalculanambosladosdelaecuacionysecomparasisoniguales.EJEMPLO2.1.1Demostrar queel grupoIR bajolasumaes isomorfoal grupoIR+bajolamultiplicacion.Demostraci on:PASO1. Parax IRsedenex = exEstonosdaunaaplicacion : IR IR+.PASO2. Seanx, y IRtalesquex = y,entoncesx = yComoex= ey,aplicandologaritmonaturalseobtienex = y.Porlotantoes1-1.PASO3. Sir IR+,entoncesexisteln r IRtal(ln r)=eln r=r.PorlotantoessobreIR+.PASO4. Paratodox, y IR,obtenemos(x + y) = ex+y= exey= (x)(y)

Teorema2.1.2CualquiergrupocclicoinnitoGesisomorfoalgrupo Zdelosenterosbajolasuma.Demostraci on: SupongamosqueGesgeneradopora GylaoperaciondeGesmultiplicativa, entonces G = 'a` = an/ n Z. Sea e la identidad de G, entonces a = e.VamosademostrarqueGesisomorfoa Zconelprocedimientodelossiguientescuatropasos:PASO1. Denamosunaaplicacion : G Zporan = nan G.Armacion:Sian1, an2 Gsontalesquean1= an2,entoncesn1= n2PorRAA,supongamosquen1 = n2,luegon1< n2on2< n1.Si n10. Dean1=an2, deducimosquean2n1=e. Deestasdosarmacionesvemosqueexisten2n1 Z+talquean2n1= e,locualnosindicaqueGtienealomasn2n1elementos

Gesinnito

Sisuponemosquen2< n1,tambiensellegaaunacontradiccion.PorRAAquedademostradalaarmacion. Enconsecuencia, estabiendenidacomoaplicacion.PASO2. Seanan1, an2 Gtalesquean1 = an2,entoncesan1= an2.Comoan1 = n1= n2= an2,inmediatamentesetienean1= an2,ases1-1.Lic:F.Cl. CcolqueT42PASO3. Dadon Z,existeb Gtalqueb = n.Enefecto,b Gsignicaqueexistem Ztalqueb = am.Aplicando:b=am=m; perob=n, luegom=n. Enresumen, dadon Zexisteb = an Gtalqueb = n,luegoessobre Z.PASO4. Seanan1, an2 G(arbitrarios),entoncesan1an2 = an1 + an2Enefecto, (an1an2) = (an1+n2) = n1 +n2= an1 + an2Delospasos1-4,seconcluyequeG= Z Comentarios:i) Si G es un grupo y i : G G es la aplicacion identidad ( gi = g, g G ), entoncesG= G.ii) SiGesisomorfoaG

,entoncesG

esisomorfoaG.Esdecir,G= G

G

= G.iii) G= G

G

= G

,entoncesG= G

.iv) De i), ii) y iii) la propiedad de isomorsmo entre grupos es una relacion de equiva-lenciaenunacolecciondegrupos.Esdecir,dadaunacoleccionnovacadegruposse puede partir la coleccion en celdas (clases de equivalencia) tales que cualesquierados grupos en la misma clase son isomorfos y no hay grupos en celdas distintas queseanisomorfos.v) Hemosvistoquecualesquieradosgruposdeorden3sonisomorfos.LoEXPRESAMOSdiciendoquesolohayungrupodeorden3, SALVOISOMORFISMO.EJEMPLO2.1.2Hay un solo grupo de orden 1, uno de orden 2 y uno de orden 3, salvoisomorsmo. Hemosvistoquehayexactamentedosgruposdiferentesdeorden4, salvoisomorsmos:el grupo Z4yel 4-grupoV deKlein.Hayal menosdosgruposdiferentes,salvoisomorsmosdeorden6: Z6yS3.COMOMOSTRARQUEDOSGRUPOSNOSONISOMORFOSEJEMPLO2.1.3Z4yS6nosonisomorfos, puesnoexisteunaaplicacion1-1deZ4sobreS6.Enel casoinnito,nosiempreestaclarosiexistenonoaplicaciones1-1ysobre.EJEMPLO2.1.4ZbajolasumanoesisomorfoaIRbajolasuma, porquenoexisteunaaplicacion1-1de ZsobreIR.OTRAFORMADEJUSTIFICARlaarmaciondel ejemploconsisteen:Supongamosque Z= IR, luegoelgrupoIRbajolasumaescclico,luegoQbajolasumaesungrupocclico . . . (1)F.Clmaco43Porotrolado,sear =mn Q(jo)conmcdm, n = 1Luegoel subgrupocclicodeQgeneradoporres

mn

=

z

mn

: z ZEsclaroquemn , 2mn

mn

,demodoqueexistenmn , 2mn Qtalesques =m/n+2m/n2=3m2n/

mn

ys QEstosignicaque

mn

esunsubgrupopropiodeQ,comor =mnesarbitrario,'r` < Q r Q,porloqueQcomogrupobajolasumanoescclico

(1)

PorRAA,concluimosque ZIR.Para MOSTRARQUEDOS GRUPOS NOSONISOMORFOS (si tal es el caso) se exhibe algunapropiedadestructuralqueungrupoposeeyelotrono.Laspropiedadesestructuralesdegruposonlasquedebencompartirgruposisomorfos.Podemoscitaralgunaspropiedadesestructuralesdegrupo:i) Elgrupoescclico.ii) Elgrupoesabeliano.iii) Elgrupotieneorden8.iv) Elgrupoesnito.v) Elgrupotieneexactamentedoselementosdeorden6.vi) Laecuacionx2= atieneunasolucionparacadaelementoaenelgrupo.EJEMPLO2.1.5Z y3Z sonisomorfos, porqueexisteunisomorsmo: Z 3Zdadoporn = 3n.EJEMPLO2.1.6Zy Qno son isomorfos como grupos bajo la suma, pues Zes cclicoyQnoescclico.EJEMPLO2.1.7El grupo Q= Q0 bajo la multiplicacion, no es isomorfo al grupoIR= IR 0bajolamultiplicacion.Esclaroquelaecuacionx3= a, a IR,tienesolucionenIR,mientrasqueexisteunaecuacionx3= 2, 2 Q,quenotienesolucionenQ,enconsecuenciaQIR.EJEMPLO2.1.8El grupo IR= IR0 bajo la multiplicacion, no es isomorfo al grupoI C= I C 0bajolamultiplicacion.Esclaroquelaecuacionx2=atienesolucionenI Cparatodoa I C, peroexisteunaecuacionx2= 1quenotienesolucionenIR.Lic:F.Cl. CcolqueT44Justicacion.- SupongamosqueI C =IR, luegoexisteunisomorsmo: I C IRdeI CsobreIR.Como 1 IR,luegoexisteb I Ctal queb = 1.Laecuacionx2= btienesolucionenI C,asexisted I Ctal qued2= b.Aplicando:d2 = b = 1 (2.7)Perod2 = dd = (d)2(2.8)De(2.7)y(2.8),(d)2= 1,donded IR .Estosignicaquex2= 1tienesolucionenIR

x2=1 notienesolucionI R

.PorRAA,concluimosqueI CnoesisomorfoaIR bajolasoperacionesindicadas.EJEMPLO2.1.9El grupoIR=IR 0bajolamultiplicacion, noes isomorfoalgrupoIRden umerosrealesbajolaadicion, puesx + x=asiempretienesolucionen(IR, +), perolaecuacioncorrespondientexx=anosiempretienesolucionen(IR, ),porejemplo,sia = 1.2.2. ElTeoremadeCayleySeobservaquecadarenglondelatabladaunapermutaciondelconjuntodeelemen-tosdeungruponito, seg unestanlistadosenlapartesuperiordelatabla. Demaneraanaloga, cadacolumnadelatabladaunapermutaci ondel conjuntodeelementos delgrupo,seg unestanlistadosalaizquierdadelatabla.Envistadeestasobservacionesesnatural que todo grupo nito G sea isomorfo a alg un subgrupo del grupo SGde todas laspermutacionesdeG.Lo mismo sucede con los grupos innitos: el teorema de Cayley arma que todo grupo esisomorfoaalg ungrupoformadoporpermutaciones, bajolamultiplicaci ondepermuta-ciones.Para facilitar la comprension de la demostracion del teorema de Cayley, se ha dividido entrespasos.ComenzandoconcualquiergrupoG,seprocedecomosigue:PASO1.- EncontrarunconjuntoG

depermutacionesqueseacandidatoaformarungrupo,bajolamultiplicaciondepermutaciones,isomorfoaG.PASO2.- DemostrarqueG

esungrupobajolamultiplicaci ondepermutaciones.PASO3.- Denirunaaplicacion : G G

ydemostrarqueesunisomorsmodeGsobreG

.EJEMPLO2.2.1SeaG = e, a, bungrupoconlaoperacionbinariadadaporlatabla* e a be e a ba a b eb b e aEntonces:F.Clmaco45i) ConstruyaunconjuntoG

depermutacionesdeG.ii) DemuestrequeG

esunsubgrupodeSG.iii) DemuestrequeG

esisomorfoaG.Solucion:i)Si G,entoncessedene: G Gporx= xparatodox G.AFIRMACION.-estabiendenida(comoaplicacion).Seanx, y Gtalesquex = y,entoncesx= yComox = y,multiplic andolepor G:x = y,demodoquex= ypordenicionde.SeDEMUESTRAqueesunapermutaciondeGparatodo G(i.e., SG).Hallemoslapermutaci onedeG:ee= ee = e ,ae= ae = a ,be= be = b , ase=

e a be a b

Hallemoslapermutaci onadeG:ea= ea = a ,aa= aa = b ,ba= ba = e , luegoa=

e a ba b e

DelatabladelgrupoG, b=

e a bb e a

Denamos G

= SG/ G= e, a, bii)MuestrequeG

esunsubgrupodeSG,dondeSG= e, a, b, e, a, bye=

e a be b a

, a=

e a bb a e

, b=

e a ba e b

PodemosconstruirlatabladeG

ee=

e a be a b

e a be a b

=

e a be a b

= e,ea=

e a be a b

e a ba b e

=

e a ba b e

= a,Lic:F.Cl. CcolqueT46eb= b, ae= a, aa=

e a ba b e

e a ba b e

=

e a bb e a

= b,ab= e, be= b, ba= e, bb= aeabeeabaabebbeaa)Como debajo de la primera la y a la derecha de la primera columna, aparecensoloelementosdeG

, concluimosqueG

escerradobajolaoperacionbinariadeSG.b)eeslapermutaci onidentidadenSGyclaramentee G

.c)Seg unlatablaparaG

:lainversadee G

ese G

lainversadea G

esb G

lainversadeb G

esa G

EstosignicaqueG

contienelainversadecadaunodesuselementos.Seg unelteorema1.5.1,dea),b)yc)concluimosqueG

esunsubgrupodeSG.iii)DemostremosqueGesisomorfoaG

.Denamos : G G

porg = gparatodog G.Podemosexhibirquees1-1ysobreG

:e e = ea a = ab b = bArmamosque(rs) = (r)(s)paratodor, s G.Sea x(rs) = xrs= x(rs)= (xr)s= (xr)s= (xr)s= x(rs)= x(r)(s) paratodox GPor igualdad de aplicaciones, (rs) = (r)(s). As es un isomorsmo de G sobreG

,luegoG= G

Teorema2.2.1(CAYLEY) Todogrupoesisomorfoaungrupodepermutaciones.Demostraci on: SeaGungrupodado.F.Clmaco47PASO1.- NuestraprimeratareaesencontrarunconjuntoG

depermutacionesqueescan-didatoaserungrupoisomorfoaG.SiimaginamosGsimplementecomoconjuntonovaco,SGeselgrupodepermutacionesdeGdadoporelteorema1.7.1.Si Gtienenelementos, entoncesSGtienen! elementos. EstosignicaqueSGesmuy grande para ser isomorfo a G, por lo que vamos a construir un subconjunto G

deSGformadoporlasaplicacionesa: G Gdenidaporxa= xaparatodox Gya G(jo). (2.9)AFIRMACION.-aesunapermutaci ondeGparacadaa Gi)aes1-1Paraello,seanx, y Gtalesquexa= ya,luegopor(2.9)setienexa = ya.AplicandolapropiedadcancelativadelgrupoG : x = y.ii)aessobreGParaello,seab G,luegoexistex Gtalquexa= b.Enefecto,dexa= bsetienequexa = b.Multiplicandopora1porladerecha:x = ba1.Ahora,esclaroqueexistex = ba1 Gtalquexa= (ba1)a= ba1a = b.Por denicion 1.7.3, de i) y ii) deducimos que aes una permutaci on de G. Esdecir,a SG.DeestamanerahemosconstruidoelconjuntoG

= a SG/a G (2.10)PASO2.- G

esunsubgrupodeSG(i.e.,G

SG)i)Seana, b G

,entoncesab G

Enefecto,seax G,luegosetienequex(ab) = (xa)b= (xa)b, comoxa G := (xa)b= x(ab) porG1= xabPordeniciondeigualdaddeaplicaciones:ab= ab(2.11)Comoab G, ab G

,por(2.11)ab G

.AsG

escerradobajolaoperaciondelgrupoSG.ii)Sabemosque1G SGeslapermutaci onidentidadysedenecomox1G=xparatodox G.Six G(arbitrarioyjo),entoncesx = xe= xeDedondex1G= xe x G,luego1G= e G

Deestemodo,G

contienealapermutaci onidentidaddeSG.iii)Seaa G

,entonces1a G

Enefecto,a G

a SGya G.Lic:F.Cl. CcolqueT48ComoSGesungrupoexisteun unico1a SGtalque1aa= a1a= eporii)(1G= e) (2.12)Porotrolado,por(2.11):a1a= aa1= e(2.13)De(2.12)y(2.13),porunicidaddelinversodea, 1a= a1 (2.14)Comoa1 G,pordeniciona1 G

,luego1a G

.Dei),ii)yiii),seg unelteorema1.5.1,deducimosqueG

SG.PASO3.- DemostremosqueGesisomorfoaG

.Denamosunaaplicacion : G G

pora = aparatodoa Ga)AFIRMACION.- estabiendenido(comoaplicacion)Seana, b Gtalesquea = b,entoncesa = bEnefecto,comoa = bobtenemosqueab1= eDe(2.11)y(2.14):a1b= eMultiplicandoporladerechaporbyaplicando(2.11):a= b,pordenicionde,a = b.b)AFIRMACION.- esunaaplicacion1-1deGsobreG

es1-1:Seana, b Gtalesquea = b,entoncesa = b.Enefecto,a = bimplicaquea= b.Deaqu,paratodox G,xa= xb.Esdecir,xa = xb,enparticularparax = e,severicaa = ea = eb = b,dondeeeslaidentidadenG.essobreG

:Dado G

,existea Gtalquea = .Enefecto, G

signicaqueexisteb Gtal que=b. Dea=, seobtienequea=b. Comoes1-1, sededucequea=b. Ensntesis, para G

dada,existea Gtalquea = .c)AFIRMACION.- Seana, b G,entonces(ab) = (a)(b)Enefecto,calculando(ab) = ab(2.11)= ab= (a)(b).Tomandoextremosseobtienelaigualdaddeseadaparatodoa, b G.Porlasarmacionesa), b)yc)sededucequeesunisomorsmodeGsobreG

,porconsiguienteGesisomorfoaG

Comentario.- TodogrupoGesisomorfoaG

,dondeG

esunsubgrupodelgrupoSGdepermutacionesdeG.En otras palabras, cada grupo tiene unaCOPIA ISOMORFA en alg un grupo de permutaciones.F.Clmaco492.3. ProductosDirectosdegrupos2.3.1. ProductosDirectosExternosHastaahora, nuestroacervodegruposson: entregruposnitos, grupocclico Zn, elgruposimetricoSn,elgrupoalternanteAnparacadaenteropositivon.Tambienel4-grupoV deKlein.Ademas sabemos que existen subgrupos de estos grupos y conocemos el teorema de Cayley.Respectoagruposinnitos, ZyIR,songruposbajolasuma.Unodelosobjetivosdeestaparteesdaraconocerunmetodoconstructivoparaformarmasgrupos,medianteelusodelosgruposyaconocidoscomopartesconstitutivas.Denicion2.3.1El productocartesianodeconjuntos S1, S2, . . . , Snes el conjuntodetodaslasnadasordenadas(a1, a2, . . . , an),dondeai Si.Comentario.- ElproductocartesianodeconjuntosS1, S2, . . . , SnsedenotaporS1S2 Snoporni=1Si.Tambiensepuededenirelproductocartesianodeunn umeroinnitodeconjuntos.Ahora, si consideramosG1, G2, . . . , Gngruposconoperacionesmultiplicativas, podemosformarungruponi=1Giconoperacionbinariadenidaporcomponentes.Teorema2.3.1SeanG1, G2, . . . , Gngrupos.Para(a1, a2, . . . , an)y(b1, b2, . . . , bn) ni=1Gisedenelaoperacionbinariaenni=1Gipor(a1, a2, . . . , an)(b1, b2, . . . , bn) = (a1b1, a2b2, . . . , anbn).Entoncesni=1Giesungrupobajoestaoperacionbinaria.Demostraci on: (Ejercicio) Denicion2.3.2SeanG1, G2, . . . , Gngrupos,entoncesel grupoobtenidoenel teoremaanterior,ni=1Gi,esel PRODUCTODIRECTOEXTERNOdelosgruposGi.Comentario.- Si el conjuntoAitienerielementosparai =1, . . . , n, entoncesni=1Aitiene r1r2 rn elementos, porque en una nada hay r1 elecciones posibles para la primeracomponente A1y para cada una de estas hay r2elecciones posibles de A2para la segundacomponenteyassucesivamente.EJEMPLO2.3.1El grupo Z2Z3tiene2 3 = 6elementos,pues Z2Z3= (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)Seobservaque Z2Z3esungrupocclico,yaqueexiste(1, 1) Z2Z3tal que Z2Z3= '(1, 1)`= n(1, 1)/n ZLic:F.Cl. CcolqueT50paran = 1, 1(1, 1) = (1, 1)paran = 2, 2(1, 1) = (1 + 1, 1 + 1) = (0, 2)paran = 3, 3(1, 1) = (1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1) = (1, 0)paran = 4, 4(1, 1) = 3(1, 1) + (1, 1) = (0, 1)paran = 5, 5(1, 1) = 4(1, 1) + (1, 1) = (1, 2)paran = 6, 6(1, 1) = 5(1, 1) + (1, 1) = (0, 0)Comohayun unicogrupocclico Z6deorden6,concluimosque Z6 = Z2Z3.EJEMPLO2.3.2El grupo Z3Z3tiene9elementos,puesZ3Z3= (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2).Semuestraque Z3Z3noescclico,porconsiguiente Z9noesisomorfoa Z3Z3.Teorema2.3.2El grupo ZmZnesisomorfoa Zmnsiysolosimcdm, n = 1.Corolario2.3.3Elgruponi=1Zmiesisomorfoa Zm1m2mnsiysolosimcdmi, mj = 1parai, j= 1, , nyi = jEJEMPLO2.3.3Si n=(p1)n1(p2)n2 (pr)nr, dondelospisonn umerosprimosdis-tintos,porel corolarioanterior Znesisomorfoa Z(p1)n1 Z(p2)n2Z(pr)nr .Enparticular, Z12esisomorfoa Z8Z9.Denicion2.3.4SeaGungrupoya G. Si existealg unenteropositivontal quean=e, el menordedichosenterospositivosn, esel ordendea. Si noexistedichan,entoncesaesdeordeninnito.DeestosedesprendequesiaesunelementodeungrupoG,elordendeaesigualalordendel subgrupocclicogeneradopora.Teorema2.3.3Sea(a1, a2, . . . , an) ni=1Gi.SiaiesdeordennitorienGi,entonceselordende(a1, a2, . . . , an)enni=1Giesigualalmnimocom unm ultiplodetodaslasri.EJEMPLO2.3.4Podemoscitarel ordendetodosloselementosde Z3Z3.El ordende(2,0)es3=mcm3, 1.El ordende(2,1)es3=mcm3, 3.El ordende(2,2)es3=mcm3, 3.El ordende(0,0)es1. El ordende(1,0)es3.El ordende(0,1)es3. El ordende(1,1)es3.El ordende(0,2)es3. El ordende(1,2)es3.Sini=1GieselproductodirectoexternodegruposGi,entonceselsubconjuntoGi= (e1, e2, . . . , ei1, ai, ei+1, . . . , en)/ai Giesunsubgrupodeni=1Gi.F.Clmaco51AdemasGiesisomorfoaGimediantelaproyecci oncanonicaidadapor(e1, e2, . . . , ei1, ai, ei+1, . . . , en)i= ai.As,elgrupoGisereejaenlaiesimacomponentedeloselementosdeGi.Consideremosni=1Gi como el producto directo interno de estos subgrupos Gi. Los terminosinterno y externo, aplicados a los productos directos de grupos, solo reejan si se conside-ran o no (respectivamente), a los grupos componentes como subgrupos del grupo producto.Enadelanteseomitelapalabrainternooexternoysedirasoloproductodirecto.Denicion2.3.5Sea Si/i Iunacolecciondeconjuntos.Aqu I puede ser cualquier conjuntodendices. Se dene lainterseccioniISide losconjuntoscomoiISi= x Si/i I.Teorema2.3.4Laintersecciondelos subgrupos HideungrupoGparai I es unsubgrupodeG.Demostraci on: (Vamosausarelteorema1.5.2):SeaH=iIHicomoe Hiparatodoi IporserHiG,deducimosquee iIHiH = .AsHesunsubconjuntonovacodelgrupoG.Seana, b H,entoncesab1 HEnefecto:a H=iIHi a Hiparatodoi I (2.15)b H=iIHi b Hiparatodoi IComoHiGparatodoi I: b1 Hiparatodoi I (2.16)De(2.15)y(2.16):ab1 Hiparatodoi I,puesHiGparatodoi.Luegoab1 H=iIHi.Porelteorema??,concluimosqueiIHiesunsubgrupodeG 2.3.2. ProductosDirectosInternosDenicion2.3.6SeaGungrupoconsubgruposHiparai=1, 2, . . . , n. SedicequeGeselproductodirectointernodelossubgruposHisilaaplicacion :niHi Gdadapor(h1, h2, . . . , hn) = h1h2 hnesunisomorsmo.Teorema2.3.5Si Ges el productodirectointernode sus subgrupos H1, H2, . . . , Hn,entonces cadagGpuede escribirse de manera unicacomog =h1h2 hn, dondehi Hi.Tambienvalelarecproca.Lic:F.Cl. CcolqueT52Demostraci on:)Por hipotesis, Gesel productodirectointernodesussubgrupos H1, H2, . . . , Hn,entonceslaaplicacion :ni=1Hi Gtalque(h

1, h

2, . . . , h

n) = h

1h

2 h

nesunisomorsmo (2.17)Seag= h1h2 hn= g1g2 gn,dondehi, gi Hi(2.18)Por (2.17): (h1, h2, . . . , hn) = (g1, g2, . . . , gn). Como es un isomorsmo, es 1-1,luego(h1, h2, . . . , hn) = (g1, g2, . . . , gn) hi= giparai = 1, 2, . . . , n.Luegode(2.18),concluimosquecadag Gtiene unicarepresentaci oncomog= h1h2 hn,dondehi Hi.)Denamos :ni=1Hi Gpor(h1, h2, . . . , hn) = h1h2 hna)estabiendenidaSean(h1, h2, . . . , hn), (g1, g2, . . . , gn) ni=1Hitalesque(h1, h2, . . . , hn) = (g1, g2, . . . , gn), entonces (h1, h2, . . . , hn) = (g1, g2, . . . , gn).Enefecto,de(h1, h2, . . . , hn) = (g1, g2, . . . , gn) hi= giparai = 1, 2, . . . , n.Luegoh1h2 hn= g1g2 gn.Esdecir(h1, h2, . . . , hn) = (g1, g2, . . . , gn).b)es1-1Sean(h1, h2, . . . , hn), (g1, g2, . . . , gn) ni=1Hitalesque(h1, h2, . . . , hn) = (g1, g2, . . . , gn), entonces (h1, h2, . . . , hn) = (g1, g2, . . . , gn).Enefecto,(h1, h2, . . . , hn) = (g1, g2, . . . , gn) GEsdecir, g=h1h2 hn=g1g2 gn G, dondegi, hi Hi, porhipotesisg Gtiene unicarepresentaci on,luegohi= giparai = 1, 2, . . . , n.As(h1, h2, . . . , hn) = (g1, g2, . . . , gn).c)essobreGSeag G, porhipotesiscadaelementoserepresentacomoproductodeloselementosdesusnsubgruposHi,luegog= h1h2 hn.Dedondeexiste(h1, h2, . . . , hn) ni=1Hitalque(h1, h2, . . . , hn) = g.d)Sean(h1, h2, . . . , hn), (g1, g2, . . . , gn) ni=1Hi,entonces[(h1, h2, . . . , hn)(g1, g2, . . . , gn)] = (h1, h2, . . . , hn)(g1, g2, . . . , gn).Enefecto, [(h1, h2, . . . , hn)(g1, g2, . . . , gn)] = (h1g1, h2g2, . . . , hngn)= h1g1h2g2. . . hngn,porhip.:= h1h2. . . hng1g2. . . gn= (h1, h2, . . . , hn)(g1, g2, . . . , gn)F.Clmaco53Por denicion se concluye que G es producto interno de los subgrupos H1, H2, . . . , Hn

SeaHyKsubgruposdeungrupoG.NosinteresaexaminarHK= hk /h H, kK. DESAFORTUNADAMENTEHKnonecesariamente es unsubgrupodeG,puesh1k1h2k2nosiempreesdelaformahk.Si Ges abelianooaunsi cadaelementoh HconmutaconcadaelementokdeK,hk =kh, entonces h1k1h2k2=h1h2k1k2=h3k3, donde h3=h1h2yk3=k1k2sonelementosdeHyKrespectivamente.SevericafacilmentequeenestecasoHKG,puesee = e HKy(hk)1= k1h1= h1k1 HK.EnelcasoNOCONMUTATIVO,existeunsubgrupodeGquecontieneHK.Denicion2.3.7SeanHyKsubgruposdeungrupodeG.El compuesto HKde Hy Kes la interseccion de todos los subgrupos de G que contienenHK= hk/h H, k K.Comentarios:i) H Keselmaspeque nosubgrupodeGquecontieneHK.ii) Si G es abeliano o conmutan los elementos de H con los de K, entonces HK= HK.Teorema2.3.6UngrupoGesel productodirectointernodelossubgruposHyKsiysolosii) G = H Kii) hk = khparatodoh Hytodok Kiii) H K= eDemostraci on:)Porhipotesis : H K Gtalque(h, k) = hkesunisomorsmo.i)SabemosqueHK H K GComoessobreG,sig G,existe(h, k) H Ktal queg =(h, k)=hk, deaqu G HK, PeroHK H K, por lotantoG = H K= HK.ii)(h, k) = (e, k)(h, e)paratodo(h, k) H K,comoesunisomorsmo:(h, k) = (e, k)(h, e),dedondepordeniciondesabemosquehk = (ek)(he) = kh.Ashk = khparatodoh Hytodok K.iii)Sesabeque e H K. VamosademostrarqueH K e. Paraello, seah HK h Hy h K. Como he = h = eh obtenemos que (h, e) = (e, h);siendoesunisomorsmo,es1-1.Demodoque(h, e) = (e, h),luegoh = e.Delasdosinclusiones,concluimosqueH K= e.Lic:F.Cl. CcolqueT54)Porhipotesissecumplenlascondicionesi),ii)yiii).Demostremosquelaaplicacion, : H K G,denidapor(h, k) = hkesunisomorsmodeH KsobreG.es1-1:Sean (h1, k1),(h2, k2) HKtales que (h1, k1) = (h2, k2), entonces (h1, k1) = (h2, k2).Enefecto, (h1, k1) = (h2, k2) signicaqueh1k1= h2k2, dedondeh12h1= k2k11 H K= eLuegoh12h1= eyk2k11= e,demodoqueh1= h2, k2= k1.Porconsiguiente(h1, k1) = (h2, k2).essobreG:Por la condicion ii) tenemos que hk = kh para todo h Hy todo k K, lo cual implicaqueHKesunsubgrupodeG, luegoHK=H K, Peropori)H V =G, enconse-cuenciaHK= GSig G,existe(h, k) H Ktalque(h, k) = hk = g.Armamossi(h1, k1),(h2, k2) H K,entonces[(h1, k1)(h2, k2)] = (h1, k1)(h2, k2)Enefecto, [(h1, k1)(h2, k2)] = (h1h2, k1k2)= (h1h2)(k1k2), porii)= (h1k1)(h2k2)= (h1, k1)(h2, k2)

2.4. GruposdeClasesLateralesIntroduccion.- Yahemosobservadoquelos36lugaresdelatabladeS3enelejemplo1.7.2, sedividierondemaneranatural, encuatrosectores, cadaunoformadosoloporterminosiosoloporterminosi.AselgrupoS3separtioenceldasByBdeigualtama noyel conjunto B, Bformaungrupocuyatablaseobtienedelatabladelejemplo1.7.2.Estaparticiondeungrupoenceldas,talqueelconjuntodeceldasformaasuvezungrupo,esunconceptodeIMPORTANCIABASICAenalgebra.Llamamos a cada elemento de una celdaREPRESENTANTE de la celda. La ecuacion BB=B,signicaquecualquierrepresentantedeBmultiplicadoporcualquierrepresentantedeBdaalg unrepresentantedeBBBBBBBBBPasandoalcasogeneral,nosgustaradeterminarCONDICIONESprecisasbajolascualessepuedapartirungrupoGenceldasBital quecualquierrepresentantedeunaceldajaF.Clmaco55BrmultiplicadoporcualquierrepresentantedeotraceldajaBs, produzcasiempreunrepresentante de una misma celda Bt, la cual sera entonces considerada como el productoBrBs.ElproductodelasceldasBrBssedenecomolaceldaBt,obtenidaalmultiplicarrepre-sentantesdeBryBs,paratenerbiendenidalaoperacionbinariademultiplicaci ondeceldasen Bi,laceldanalBtquecontieneelproductodelosrepresentantes,debeserlamisma,sinimportarlosrepresentantesescogidosdeBrydeBs.Laoperacionbinariademultiplicaci ondeceldasenel conjunto BieslaoperacionIN-DUCIDAen BiporlaoperaciondeG. Solosi estaoperacionestabiendenida, tienesentidopreguntarsielconjunto Biesungrupobajolaoperacioninducida.Teorema2.4.1Si ungrupoGsepuedepartir enceldas dondelaoperacioninducidadescritaanteriormenteestabiendenida,ysilasceldasformanungrupobajoestaoperacioninducida,entonces,laceldaquecontienelaidentidadedeGesunsubgrupodeG.Demostraci on:i)SupongamosqueGestapartidoenceldasconlaoperacioninducidabiendeniday formando un grupo, y sea Bela celda que contiene la identidad. Al calcular BeBrpodemostomarcualesquierarepresentantesdeBeydeBrycalcularsuproductoenG. Escojamose Be, r Br. Entonceser=ryr Br. As queBeBr=Br.DemaneraanalogaBrBe=Br.As,Bedebeactuarcomolaceldaidentidadenelgrupo de celdas. Por lo tanto BeBe= Be, lo cual muestra que, si elegimos todos losrepresentantesposibles,Beescerradobajolamultiplicaci ondelgrupoGii)Pordenicion,BecontienelaidentidadedeG.iii)Seaa Be,entoncesa1 BeEnefecto,a Be,luegoa G,demodoqueexistea1 G.Asa1Bk.ComoBeeslaceldaidentidadsabemosqueBeBk=Bk.Alescogerrepresentantesa Beya1Bk: aa1=e, luegoBeBk=Be. As Bk=Beya1 Be.Porlotantodelteorema1.5.1concluimosqueBeesunsubgrupodeG 2.4.1. ClasesLateralesSupongamos quesepuedepartir ungrupoGenceldas, demodoquelaoperacioninducidaestabiendenidaylasceldasformanungrupo.SeaBelaceldaquecontienealaidentidad.ElteoremaanteriornosinformaqueBeesunsubgrupodeG.SeaBalaceldaquecontieneaa G.LaecuacionBaBe=Bamuestra,siescogemosalrepresentantea BaytodoslosrepresentantesdeBe,queelconjuntoaBe= ax/x BedebeestarcontenidoenBa.EstosugierequeestasTRASLACIONESoclaseslateralesaBedeungrupoBesonimportantes.Lic:F.Cl. CcolqueT56Denicion2.4.1SeaHunsubgrupodeungrupoGyseaa G. La CLASELATERALIZQUIERDAaHdeHes el conjuntoaH= ah/h H. La CLASELATERALDERECHAHa = ha/h H.Hemosvistoquesi Gsepuedepartirenceldasdemodoquelaoperacioninducidaestabiendenidayformeungrupo,entoncesaBe Ba.Seaa1Bk.Entonces,BkBa=Be,demaneraquealescogerrepresentantesa1Bkycualquierx Ba,tenemosquea1x Be.As,a1x=b, x=abdondeb Be.EstomuestraqueBa aBeAsque Ba= aBe.Porargumentosimilar, Ba= Bea .Teorema2.4.2Si un grupo G se puede partir en celdas de modo que la operacion induci-daestabiendenidayformeungrupo,entonceslasCELDASsonprecisamentelasCLASESLATERALESIZQUIERDAS(ytambienlasderechas)deunsubgrupodeG.Enparticularcadaclaselateral izquierdaesunaclaselateral derecha.Demostraci on: Serealizoantesdeenunciar. EJEMPLO2.4.1Determinemos como se ven las clases laterales izquierdas de 3Z comosubgrupodeZ bajolasuma. Laoperaciones aditiva, desdeluego, 3Z=0 + 3Z eselmismounaclaselateral izquierda.Otraclaselateral izquierdaes1 + 3Z.Esclaroque1 + 3Zestaformadoportodoslosenterosquedejanresiduo1al dividirlosentre3. Deigual manera, laclaselateral izquierda2 + 3Zconstadetodoslosenterosquedejanresiduo2al dividirentre3.El lema1.8.1muestraqueel residuodecualquierentero dividido entre 3 es un entero r, donde 0r < 3, las unicas posibilidades son 0,1,2.As0 + 3Z, 1 + 3Z, 2 + 3Zsontodaslasclaseslateralesizquierdasde3Z.Podramos preguntar en que caso, dado un subgrupo Hde un grupo G, las clases lateralesizquierdas (o derechas) de Hdan una particion de G en celdas distintas. Sabemos que lasparticionescorrespondeaunarelaciondeequivalenciaenG. Senotab aHsi b=ahparaalg unh Ha1b H.EstonossugieredenirunarelacionenGpor a bsia1b H queseraunarelaciondeequivalenciaenG.Teorema2.4.3SeaHunsubgrupodeungrupoG.1Lasrelaciones:i) a lb( modH)sia1b Hii) a rb( modH)siab1 HsonrelacionesdeequivalenciaenG,lacongruenciaizquierdamoduloHylacongruenciaderecha modulo H, respectivamente. Las clases de equivalencia de la congruencia izquierda(derecha) modulo Hson las clases laterales izquierdas (derechas). Todas las clases lateralesdeHtienenel mismon umerodeelementos1idondei = l, r son las primeras letras de left(izquierda)y right(derecha)F.Clmaco57Demostraci on: Demostraremos el enunciado para la congruencia izquierda y las claseslaterales izquierdas. Las demostraciones para la congruencia derecha y las clases lateralesderechassonanalogas.a)LacongruenciaizquierdamoduloHesunarelaciondeequivalenciaenG.Reexividad:a la( modH)sia1a = e HSimetra: a lb( modH),entoncesb la( modH)Enefecto,a lb( modH)implicaquea1b H.ComoHG,(a1b)1= b1a Hdeaqub la( modH).Transitividad: a lb( modH)yb lc( modH),entoncesa lc( modH).Enefecto,a lb( modH) a1b H (2.19)b lc( modH) b1c H (2.20)como HG, de (2.19) y (2.20): a1c = (a1b)(b1c) H, de aqu a lc( modH).Porlotanto, lesunarelaciondeequivalenciaenG.b)Laclasedeequivalencia ao[a]quecontieneaa Gsecalculacomosigue:[a] = x G[a lx( modH)= x G[a1x H= x G[a1x = h, paraalg unh H= x G[x = ah, paraalg unh H= aH Las clases de equivalencia de la congruencia izquierda modulo Hson precisamentelasclaseslateralesizquierdas.c)Dosclaseslateralesizquierdastienenelmismon umerodeelementos,paraellode-namosunaaplicaciona:H aHporha=ah,ydemostremosqueaesunaaplicacion1-1ysobreaH.Enefecto:aes1-1Seanh1, h2 Htalesqueh1a= h2a,entoncesh1= h2.Comoh1a=h2a, setieneh1a=h2a, porlapropiedadcancelativadel grupoG,sededucequeh1= h2aessobreaHSeax aH,entoncesexisteh Htalqueha= x.Como x aH, entonces existe h Htal que x = ah, de modo que existe h Htalqueah = ha= xtodaclaselateralizquierdadeHtieneelmismon umerodeelementos

Lic:F.Cl. CcolqueT58Comentario.- La particion de un grupo en celdas ajenas si la operacion inducida esta bi-endenida, formaungrupo. Lasceldassiempresonclaseslateralesdealg unsubgrupo.Deaquenad