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ANLISIS MATEMTICO II APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA -UASF

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES INDEFINIDASINTEGRALES INDEFINIDASUsted est familiarizado con algunas operaciones inversas. La adicin y la sustraccin son operacionesinversas, la multiplicaciny la divisin son tambin operaciones inversas, as como la potenciacin y la extraccin de races. Aora, conocer la operacininversa la de derivacin o diferenciacin denominada antiderivacin o antidiferenciacin, la cual implica el clculo deuna antiderivada.Antiderivada.

Una funcin ! se denomina antiderivada de una funcin f en un intervalo " si para todo#$emplo.

%i ! es la funcin definida por entonces &e modo 'ue si

entonces f es la derivada de !, y ! es la antiderivada de f. %i ( es la funcin definida por

entonces ( tambin es una antiderivada de f, por'ue #n realidad, cual'uier funcin ) definida

por donde * es una constante, es una antiderivada de f.+eorema .

%i f y g son dos funcionesdefinidas en el intervalo ", tales 'ue para todo entonces existe una

constante - tal 'ue para todoLa antiderivacin o antidiferenciacin es el procesomediante el cual se determina el con$unto de todas las antiderivadas de una

funcin dada. #l smbolo denota la operacin de antiderivacin, y se escribe donde

y

#n la igualdad x es la variable de integracin, es el integrando y la expresin recibe el

nombre de antiderivada general o integral indefinida de f. %i es el con$unto de todas las funciones cuyas diferenciales

sean tambin es el con$unto de todas las funciones cuya derivada es+eorema /.

+eorema 0.

donde a es una constante.+eorema 1.

%i las funciones f y g estn definidas en el mismo intervalo, entonces+eorema 2.

%i las funciones estn definidas en el mismo intervalo,

entonces

donde son constantes.+eorema 3.

%i n es un n4mero racional, entonces#$emplos.

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5 #val4e%olucin.

/5 *alcule%olucin.

05 &etermine%olucin.

Los teoremas para lasintegralesindefinidas de las funciones trigonomtricas seno, coseno, secante al cuadrado, cosecante alcuadrado, secante por tangente y cosecante por cotangente, son deducciones inmediatas de los teoremas correspondientes dediferenciacin. A continuacin se presentan tales teoremas.+eorema 6.

Te#re$a %.

Te#re$a &.

Te#re$a "'.

Te#re$a "".

Te#re$a "(.

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E)e$*+#,.

"#val4eS#+/i0n.

Las identidades trigonomtricas se emplean con frecuencia cuando se calculanintegralesindefinidas 'ueinvolucranfuncionestrigonomtricas. Las oco identidades trigonomtricas fundamentales siguientes son de crucial importancia.

(*alculeS#+/i0n.

1&etermine

S#+/i0n.

E)er/i/i#,.*alcule las integrales indefinidas7

Te#re$a "1.8egla de la cadena para antiderivacin.%ea g unafuncindiferenciable y sea el contradominio de g alg4n intervalo ". %uponga 'ue f es una funcin definida en " y

'ue ! es una antiderivada de f en ". #ntoncesTe#re$a "2.%i g es una funcin diferenciable y n es un n4mero racional,

entonces

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E)e$*+#,.

"#val4eS#+/i0n.

y observe 'ue si entonces 9or lo tanto, se necesita un factor 1$unto a para

obtener #n consecuencia, se escribe

(*alculeS#+/i0n.

:bserve 'ue si entonces 9or lo tanto, necesitamos un factor 3$unto a para

obtener Luego, se

escribe

05 #val4e

S#+/i0n.

*omo se

escribeE)er/i/i#,.8esuelva7



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#n los teoremas 'ue se presentan a continuacin es una funcin de x, es decir,Te#re$a "4.

E)e$*+#.

#val4eS#+/i0n.

#n este caso por lo tanto, luego se necesita un factor 0 $unto a para obtener #ntonces, seescribe

Te#re$a "3.

E)e$*+#.

*alculeS#+/i0n.

*onsideremos tenemos 'ue luego necesitamos un factor 3 $unto a para obtener 9or lo tanto,

Te#re$a "5.

E)e$*+#.

*alculeS#+/i0n.

*omo entonces por lo tanto,

Te#re$a "%.

E)e$*+#.



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#val4eS#+/i0n.

%iendo entonces luego, podemos escribir

Te#re$a "&.

E)e$*+#.

8esuelvaS#+/i0n.

E)er/i/i#,.8esuelva las integrales indefinidas7

Te#re$a ('.

E)e$*+#.

#val4eS#+/i0n.

%ea entonces, por lo tanto

Te#re$a (".



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E)e$*+#.

#val4eS#+/i0n.

*omo se aplica el teorema / con de donde obtenemos, entonces

E)er/i/i#,.#n los siguientes e$ercicios eval4e la integral indefinida.

A partir de las frmulas de las derivadasde las funciones trigonomtricas inversas se obtienen algunas frmulas de integralesindefinidas. #l teorema siguiente proporciona tres de estas frmulas.Te#re$a ((.

#l teorema siguiente proporciona algunas frmulas ms generales.Te#re$a (1.

E)e$*+#,.

"5 #val4eS#+/i0n.

(5 #val4e

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S#+/i0n.

*on la finalidad de completar el cuadrado de se suma y como est multiplicado por 0 en realidad se suma es al

denominador, de modo 'ue para 'ue la expresin del denominador persista, es decir, no se altere, se resta tambin 9or lotanto, se tiene

15 #val4eS#+/i0n.

Las frmulas deintegracinindefinida del teorema siguientes son consecuencia inmediata de las frmulas de las derivadas de lasfunciones iperblicas.Te#re$a (2.

E)e$*+#,.

"5 #val4eS#+/i0n.

(5 #val4e

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E)er/i/i#,.

Antes de estudiar los diferentesmtodosde integracin, se presenta una lista numerada de las frmulas tpicas de integracinindefinida las cuales deben ser memorizadas por el estudiante para un me$or desenvolvimiento.

ING. DAVID ANDRS SANGA TITO INGENIERA INDUSTRIAL II SEMESTRE P!ina &
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#mprendamos el estudio de los mtodos de integracin. Uno de los mtodos ms ampliamente usados en la resolucin deintegrales es la inte!ra/i0n *#r *arte,.

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INTEGRACI6N POR PARTESLa frmula de la integracin por partes es la siguiente7

#sta frmula expresa a la integral en trminos de la integral ;ediante una eleccin adecuada de u y dv, puede

evaluarse ms fcilmente integralE)e$*+#,.

"5 #valuarS#+/i0n.

+omemos u < ln x y dv < x dx, por lo tanto, y

luego,

(5 #valuarS#+/i0n.

%ea y entonces, y por lo

tanto,E)er/i/i#,.#val4e las integrales indefinidas.

INTEGRALES TRIGONOMTRICAS

Las inte!ra+e, tri!#n#$7tri/a,implican operacionesalgebraicas sobrefunciones trigonomtricas.CASO ".

8i o 8ii donde n es un n4mero entero positivo impar.8i%e ace la transformacin

8ii5 %e ace la transformacin

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E)e$*+#,.

"5 *alculeS#+/i0n.

(5 *alculeS#+/i0n.

CASO (.

donde al menos uno de los exponentes es un n4mero entero positivo impar. #n la solucin de este caso seutiliza un mtodoseme$ante al empleado en el caso .8i5 %i n es impar, entonces

8ii5 %i m es impar, entonces

E)e$*+#.

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*uando ninguno de los exponentes de las potencias seno y coseno es impar, no se pueden seguir losprocedimientosexpuestosen los casos y /. #n tal caso se deben tomar muy en cuenta las identidades siguientes7

CASO 1.

8i 8ii o 8iii donde m y n son n4meros enteros positivos pares.8i5 %e ace la transformacin


8iii5 %e ace la transformacin

E)e$*+#,.

CASO 2.

8i o 8ii donde n es un n4mero entero positivo.8i5 %e ace la transformacin


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E)e$*+#,.

"5 #val4eS#+/i0n.

(5 #val4e

S#+/i0n.

CASO 4.

8i o 8ii donde n es un n4mero entero positivo par.8i5 %e ace la transformacin


E)e$*+#.

#val4eS#+/i0n.



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CASO 3.

8i o 8ii donde m es un entero positivo par.8i5 %e ace la transformacin


E)e$*+#.

#val4eS#+/i0n.

CASO 5.

8i o 8ii donde m es un entero positivo impar.i5 %e ace la transformacin




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E)e$*+#.

#val4eS#+/i0n.

CASO %.

8i o 8ii donde n es un n4mero entero positivo impar.Apli'ue integracin por partes.

8i*onsidere y

8ii*onsidere y

E)e$*+#.

#val4eS#+/i0n.

%eanAplicando el mtodo de integracin por partes tenemos7

Luego,#valuemos la integral " aplicando el mtodo de integracin por partes7

%ean



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#ntonces,9or lo tanto,

#n conclusin,

CASO &.

8i o 8ii donde n es un entero positivo par y m es un entero positivo impar.#xprese el integrando en trminos de potencias impares de la secante o cosecante y despus siga las sugerencias del caso =.8i5 %e ace la transformacin


E)e$*+#.

#val4eS#+/i0n.

Las integrales A y > las resolvimos en el e$emplo del caso =.

La solucin de A es7

La solucin de > es79or lo tanto,

CASO "'.

8i 8i o 8iii m?n.



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8i5 %e ace la transformacin


8iii5 %e ace la transformacin

E)e$*+#.

#val4eS#+/i0n.

E)er/i/i#,.&etermine las integrales indefinidas indicadas a continuacin.

INTEGRACIN POR SUSTITUCI6N TRIGONOMTRICA%e mostrar con tres casos cmo elcambiode variable mediante sustitucin trigonomtrica permite con frecuencia evaluar unaintegral 'ue contiene una expresin de una de las formas siguientes donde a @ 7

CASO ".

#l integrando contiene una expresin de la forma donde a @ .

%e introduce una nueva variable considerando donde

si y si x B 'E)e$*+#,.

"#val4eS#+/i0n.%abemos 'ue7

)agamos el cambio y diferenciemos el primer miembro con respecto de x y al segundo

miembro con respecto de entonces, %ustituyendo obtenemos7

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Aora, como y

entonces,:tra manera de resolver.:bservemos la siguiente figura7

#s evidente

portrigonometra'ue7

y luego, despe$ando x se obtiene79or lo tanto,

*omo emos indicado anteriormente, y

entonces

(#val4eS#+/i0n.

*omo aciendo el cambio tenemos7

ING. DAVID ANDRS SANGA TITO INGENIERA INDUSTRIAL II SEMESTRE P!ina "&
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9or lo tanto,

9ero, y en conclusin.

8esolvamos teniendo en cuenta la figura siguiente7

:bviamente,

y9or lo tanto,

A partir de la figura se tiene7

y entonces,

CASO (.

#l integrando contiene una expresin de la forma donde a @ .

"ntroduzca una variable considerando donde

si y si x B 'E)e$*+#.

ING. DAVID ANDRS SANGA TITO INGENIERA INDUSTRIAL II SEMESTRE P!ina ('


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#val4eS#+/i0n.

aciendo el cambio7 obtenemos, y%ustituyendo nos 'ueda7

La integral A se eval4a por partes, as7

%ea

y sustituyendo7

Luego,

*onsecuentemente,

9ero, por lo tanto, sustituyendo resulta7

CASO 1.

#l integrando contiene una expresin de la formadonde a @ .

"ntroduzca una variable considerando donde

si y siE)e$*+#.

#val4eS#+/i0n.

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Luego debemos acer el cambio7 adems,

%ustituyendo,

9ero,

y %ustituyendo nuevamente obtenemos7

Aora, resolvamos a partir de la siguiente figura.

#videntemente,

yluego,

*omo

y

entonces

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E)er/i/i#,.*alcule las siguientes integrales indefinidas. C#n los e$ercicios /, 0, 3, 6 y D resuelva completando cuadrados5

INTEGRACI6N DE FUNCIONES RACIONALES%i se 'uiere integrar el cociente de dos funciones polinmicas y el grado del numerador es mayor 'ue el del denominador, primerodebe efectuarse la divisin.E)e$*+#.

Al efectuar la divisin de dos polinomios, obtenemos un polinomio cociente ms el resto sobre el divisor. #n el e$emplo anterior, la

expresin7 pudo integrarse de inmediato. #notros casos, se la debe descomponer en fracciones simples, como se indicar a continuacin.

%abemos 'ue7 y grado grado La integral de ' es inmediata, ya 'ue ' es un polinomio, y el problema se reduce a integrar el cociente de dos funcionespolinmicas cuando el grado del numerador es menor 'ue el grado del denominador.#lprocedimientobsico en ste mtodo de integracin, es la descomposicin del cociente en fracciones simples, para lo cual,deben allarse, primero, las races del polinomio correspondiente al denominador.A continuacin se presentan cuatro casos seg4n las races sean reales o imaginarias, simples o compuestas.CASO ".Las raices del denominador son reales y simples. #l denominador se expresa comoproductode polinomios lineales diferentes.E)e$*+#".

Las races del denominador son7 y luego, por lo tanto,

9ara calcular elvalorde A y >, multiplicamos ambos miembros de laigualdadanterior por as7

Luego,9or lo tanto,

E)e$*+# (.

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Las races del denominador son7 y luego, y aora,multiplicando ambos miembros de sta 4ltima igualdad por el denominador obtenemos7

Luego,9or lo tanto,

CASO (.Las races del denominador son reales y m4ltiples. #l denominador se expresa como producto de polinomios lineales, algunosrepetidos.

E)e$*+#.

Las races del denominador son7 y luego,

y multiplicando ambos miembros de sta 4ltima igualdad

por obtenemos7



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Luego, como no existe otro valor de x 'ue anule alguno de los sumandos,conviene elegir cual'uier valor 'ue facilite los clculos.

9or e$emplo, 8eemplacemos A y * porlos valoresobtenidos, y

despe$emos >79or lo tanto,

CAS' 1.#l denominador tiene races comple$as, no reales, simples. #n el factoreo del denominador aparecen polinomios cuadrticosirreducibles, todos distintos entre s.E)e$*+#.

Las races del denominador son7 y

#ntonces, con lo 'ue

;ultiplicando ambos miembros de sta 4ltima igualdad por obtenemos7

&e la 4ltima igualdad se tiene7

y

8esolviendo elsistema, y 9or lo tanto,

CASO 2.#l denominador tiene races comple$as, no reales, m4ltiples. #n el factoreo aparecen factores cuadrticos irreducibles repetidos.E)e$*+#.

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#l denominador no tiene races reales Cno se anula para n4mero real alguno5, por lo 'ue acemos el

cambio para calcular las races comple$as.#n efecto,

Las races en funcin de son7 y Cracesm4ltiples5.

#ntonces, con lo 'ue,

;ultiplicando ambos miembros de sta 4ltima igualdad por

obtenemos7

&e sta 4ltima igualdad se tiene 'ue7

y 9or lo

tanto,E)er/i/i#,.8esuelva las siguientes integrales.

Aora, veamos como resolver integrales cuando en el integrando aparecen expresiones de la forma7

. %e efect4a el cambio de

variable

/. %e efect4a el cambio de variable

0. %e efect4a el cambio de variable o bien

E)e$*+#,.

5 *alcular



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)agamos el cambio luego, y por lo tanto,

/5 *alcular

)aciendo el cambio

tendremos, por lo tanto,

05 *alcular

)aciendo el cambio tendremos,

y luego,

entonces,

05 *alcular

)aciendo el cambio tendremos,

luego,



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por lo tanto,

E)er/i/i#,.8esuelva7

INTEGRACI6N DE FUNCIONES RACIONALES DE SENO 9 COSENO

%i el integrando es una funcin racional de

y se puede reducir a una funcin

racional de z mediante la sustitucin *on la finalidad de obtener la frmula para y en trminos de z se

utilizan las identidades siguientes7 y #ntonces se tiene,

*omo entonces por lo tanto,Los resultados anteriores se establecen como el siguiente teorema.Te#re$a (4.

ING. DAVID ANDRS SANGA TITO INGENIERA INDUSTRIAL II SEMESTRE P!ina (%


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%i entonces7

E)e$*+#,.

5 #val4e

)aciendo el cambio entonces

/5 *alcule

*omo y entonces

05 #val4e

)aciendo el cambio

entonces

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