Antologia AL UTEL

8/10/2019 Antologia AL UTEL

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lgebralineal

17

Introduccin

En esta unidad se estudiarn los conceptos de matriz y determinante,

los cuales son una herramienta fundamental para realizar y simplificar

clculos con varias ecuaciones relacionadas entre s, con muchas

aplicaciones en ingeniera, f sica, economa, matemticas y otras ciencias.

1.1. Matrices: Conceptos generales

E1 propsito de esta seccin es sentar las bases para aprender las distintas

relaciones entre las matrices, para ello comenzaremos con la definicin de

vector renglny vector columna.

Definicin 1.1. Un vector rengln de n componentes es un conjunto

ordenado den nmeros escritos de la siguiente manera (n-ada):

(x1, x

2,, x

n) (1)

Definicin 1.2. Un vector columna de n componentes es un conjunto

ordenado den nmeros escritos de la siguiente manera (n-ada):

x

x

xn

1

2

(2)

En (1) o (2) x1 se llama primera componente del vector, x

2 es la

segunda componentey as sucesivamente. En general,xkse llama la k-sima

componentedel vector.

Cualquier vector cuyas componentes sean todas cero se llama vector cero.


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Unidad 1

Ejemplo 1

a) ( 1, 5) es un vector rengln con dos componentes.

b)

3

2

5

es un vector columna con tres componentes.

c) 0 0 0 0, , , es un vector rengln cero con cuatro componentes.

Nota. La palabra ordenado en la definicin de un vector es esencial.

Dos vectores con las mismas componentes escritas en diferente orden no

son iguales. Por ejemplo, los vectores (3, 5) y ( 5, 3) no son iguales (ver

definicin 1.12 ms adelante).

Las componentes de todos los vectores en este texto son nmeros reales,

los cuales llamaremos escalares. Por ejemplo, los nmeros 2 7 5, 3 , , son escalares.

En realidad los vectores son tipos especiales de matrices, concepto que a

continuacin se define.

Definicin 1.3. Sim yn son enteros positivos, entonces una matrizesun

arreglo rectangular dem n nmeros dispuestos en m renglones yn columnas

de la forma:

A

a a a a

a a a a

a

j n

j n

i

11 12 1 1

21 22 2 2

... ...

... ...

... ... ... ... ... ...

11 2

1 2

a a a

a a a a

i ij in

m m mj mn

... ...

... ... ... ... ... ...

... ...

Donde cada aijes un nmero llamado entrada o componente ij de la matrizAque se encuentra en el rengln iy en la columnaj deA. En lugar del smboloA

se usaAmn

para remarcar de cuntos renglones y cuntas columnas consta.

E1 i-simo rengln deAdetermina un vector rengln (ai1, a

i2,..., a

in), yla


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j-sima columna deAdetermina un vector columna

a

a

a

j

j

mj

1

2

.

Definicin 1.4. Una matrizAque cuenta conmrenglones yncolumnas es

de ordenmn y se denota porAmn

.

En ocasiones se escribir la matriz A como A = [aij]. Por lo general, las

matrices se denotarn con letras maysculas.

Ejemplo 2

a) A

5 1

0 7es una matriz de orden 2 2. Se denotaA

22

b) B

1 3

2 5

8 4

es una matriz de orden 3 2. Se denotaB32

c) C

4 3 1 0

2 2 7

es una matriz de orden 2 4. Se denota C24

Existe una matriz que contiene el mismo nmero de vectores rengln

que los vectores columna la cual se define a continuacin.

Definicin 1.5. SiAes una matriz de ordenm n conm = n, entoncesAesuna matriz cuadrada, de ordennylas entradas a

11, a

22,a

33, . . ., a

nn forman la

diagonal principal.


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Unidad 1

Ejemplo 3

a) A2 25 3

1 4

es una matriz cuadrada y las entradas a a11 225 4 ,

son la entrada de la diagonal principal.

b) B3 3

2 3 1

6 0 4

5 7 8

es una matriz cuadrada y las entradas

a a a11 22 332 0 8 , , forman la diagonal principal.

Definicin 1.6. Una matriz cuadrada de orden nn, cuyas entradas de ladiagonal principal son iguales a uno y todas las dems son cero, se llama matriz

identidadde ordenn

ny se denota por Inn.

Ejemplo 4

a) I2 21 0

0 1

matriz identidad de orden 2 2.

b) I3 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

matriz identidad de orden 33.

Definicin 1.7. Una matriz de ordenmn cuyas entradas son todas cero sellama matriz cerode ordenm nyse denota por 0

mn.

Ejemplo 5

a) 00 0 0

0 0 02 3

matriz cero de orden 2 3.

b) 0

0 0

0 0

0 0

3 2

matriz cero de orden 3 2


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Ejercicio 1

1.Qu afirmacin es verdadera respecto a la siguiente matriz3 2 1

4 2 0

?

a) Es una matriz cuadrada.

b) Es una matriz de orden 3 2.c) Es una matriz de orden 2 3.d) Es una matriz identidad.

2.Dada la matriz B

3 2 1 0

4 8 0 1

0 1 3 2

4 3 1 5

contesta lo que se te pide en cada

inciso:

a) Identifica el tercer rengln deB.

b) Identifica la segunda columna deB.

c) Identifica las entradas b b b31 22 34, , .

3.a) Determina el nmero de renglones y de columnas, as como el orden

de las matrices.

b) Identifica la entrada a32

deAy la entrada b13

deB.

A B

1 0

2 3

5 1

2 7 54 3 6

4.a) Escribe la matriz identidad de orden 4 4. b) Escribe la matriz cero de orden 3 4.

1.2. Tipos de matrices

En esta seccin se definen algunos tipos de matrices, los cuales sern de

utilidad a lo largo del texto.

Definicin 1.8. Una matriz cuadradaA= [aij] de ordenn se llama diagonal

sitodas sus entradas fuera de la diagonal principal son cero.


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23

Ejemplo 8

a) A

2 0 1

5 1 0

0 3 4

no es triangular inferior, ya que hay una entrada

distinta de cero, a13

= 1 arr iba de la diagonal principal.

b) B

3 0 0 0

0 5 0 0

2 1 0 0

4 7 2 6

es triangular inferior, ya que todas las entradas

arriba de la diagonal principal son cero.

Asociada a cualquier matriz A= [aij] de orden mn hay una matriz de

orden nm, que es llamada transpuesta deA; sta se define como sigue:

Definicin 1.11. SiA= [aij] es una matriz de orden mn, su transpuesta

denotada porATes la matriz de orden nm y se obtiene convirtiendo cadarengln deAen la columna correspondiente deAT.

Ejemplo 9

a) Determina la transpuesta de A2 3

2 1 3

0 5 2

A1 escribir cada rengln de Acomo la columna correspondiente de ATse

tiene que

AT

2 0

1 5

3 2

es de orden 3 2

b) Determina la transpuesta de la mat riz de orden 34,

B

1 0 5 4

2 1 3 7

0 6 1 8


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24

Unidad 1

A1 escribir cada rengln de B como la columna correspondiente de BTse

tiene que

BT

1 2 0

0 1 6

5 3 1

4 7 8

de orden 4 3

A continuacin se definirn matrices simtricas y antisimtricas, y para

ello se requieren los siguientes conceptos.

Definicin 1.12. Dos matricesAy B son iguales, denotadoA = B, sitienen

el mismo orden y sus entradas correspondientes son iguales.

Ejemplo 10

a)5 9

3 4

5 9

4 1 2

b)1 3 5

4 1 3

1 3 5

4 1 3

Definicin 1.13. SiA= [aij] es una matriz de ordenmn, entonces se define

Acomo la matriz

A= [aij] de ordenmn.

Ejemplo 11

Si A

2 3 5

1 4 6, determina A. Por definicin de Ase tiene que

A

( 2) 3 5

1 ( 4) ( 6)

2 3 5

1 4 6

Son iguales porque todas sus entradas

correspondientes son iguales.

Son distintas porque al menos una de sus

entradas correspondientes no son iguales.


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25

Definicin 1.14. Una matriz cuadradaAdenn es simtricasiA = AT.

Ejemplo 12

a) Determina si A

1 2

2 3es simtrica.

Calculando la transpuesta deAse tiene que:

AT

1 2

2 3

asA AT. Por lo tanto,Ano es simtrica.

b) Determina si B

1 4 2

4 7 5

2 5 0

es simtrica.

Calculando la transpuesta deBse tiene que:

BT

1 4 2

4 7 5

2 5 0

asB = B T,de tal manera que B es simtrica.

Definicin 1.15. Una matriz cuadradaA = [aij] de ordennn es antisimtrica

si A AT

Ejemplo 13

a) Determina si A

1 6

6 0es antisimtrica.

Como A AT

1 6

0 y

1 6

06 6, entonces A A

T . AsAno es

antisimtrica.


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Unidad 1

b) Determina si B

0 1 1

1 0 2

1 2 0

es antisimtrica.

Como B BT

0 1 1

1 0 2

1 2 0

y

0 1 1

1 0 2

1 2 0

, entonces B BT .

Por lo tanto,Bes antisimtrica.

Ejercicio 2

1. Cul de las siguientes matrices

A B C

1 0 1

0 0 0

1 0 0

1 0 0

1 0 0

1 0 0

, ,

1 0 0

0 22 0

0 0 5

,

D E F

0 3 1

0 0 2

0 0 0

, ,

0 0 0

1 0 0

0 0 0

0 1 1

00 0 2

0 0 3

,

es de alguno de los tipos listados?

a) Triangular superior.

b) Triangular inferior.

c) Diagonal.

d) Nada de lo anterior.

2. Determina cul de las siguientes matrices es simtrica:

a) A

2 3

3 5

b) B

1 3 5

3 2 1

5 1 4


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28

Unidad 1

Ejemplo 14

a) Determina la suma de A B

1 3

4 2

5

82 2 2 1

y

ComoAyB tienen distinto orden no se pueden sumar.

b) Determina la suma de A B

y

2 1 3

4 0 5

7 1 5

3 1 2

Dado queAyB tienen el mismo orden se pueden sumar y

A B

2 1 3

4 0 5

7 1 5

3 1 2

2 7 1 1 3 5

4 3 00 1 5 2

9 0 8

1 1 3

Cuando trabajamos con matrices, a los nmeros los llamamos escalares.

Las matrices sern reales y la multiplicacin de un escalar por una matriz se

define como sigue:

Definicin 1.17. Si ces un escalar yA= [aij] es una matriz de ordenmn,

entonces lamultiplicacin del escalar cy la matrizAes la matriz cA= [caij] de

mn, es decir, cA se obtiene al multiplicar cada componente deA por c.

Ejemplo 15

a) Para c = 1 y A

3 1

6 0

5 2

, determina cA.

Por definicin cA

( )

( )( ) ( )( )

( )( )1

1 3 1 1

1 6

3 1

6 0

5 2

(( )( )

( )( ) ( )( )

1 0

1 5 1 2

3 1

6 0

5 2

b) Para c A

25

3 511

2

y , determina cA.

Por definicin cA

2

5

3 5

112

25

25

25

12

25

3 5

(1)

65

15

25

2


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29

La suma y la multiplicacin por un escalar de matrices cumplen ciertas

propiedades, stas se resumen en el siguiente teorema.

Teorema 1.1. SeanA, By Cmatrices de ordenmncualesquiera, y sean aybescalares cualesquiera. Entonces son vlidas las siguientes afirmaciones:

1)A + 0 = 0 +A = A Elemento neutro aditivo (donde 0

representa la matriz cero de mn).

2)A + B = B + A Propiedad conmutativa para la suma.

3) (A + B) + C = A +(B + C) Propiedad asociativa para la suma.

4)A + (A) = (A) + A = 0 Inverso aditivo.

5)a(A + B) = aA + aB Propiedad distributiva de un escalar

para la suma de matrices.

6)(a + b)A = aA + bA Propiedad distributiva de suma de

escalares por una matriz.

7)(ab)A = a(bA) Propiedad asociativa de la multiplicacin

de escalares por una matriz.

8)1A = A Neutro multiplicativo.

Ahora definiremos el producto internode un vector rengln y un vector

columna. Esta definicin ser de gran utilidad en el concepto de producto

matricial.

Definicin 1.18.Seaa= (a1, a

2, . . ., a

n) un vector rengln y b

b

b

bn

1

2

un

vector columna.

Se define el producto internode ay b(tambin llamadoproducto escalaro

producto punto), denotado por a b, como el escalar dado por

a b= a1b

1+ a

2b

2+. . .+ a

nb

n


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30

Unidad 1

Nota. Al tomar el producto interno del vector rengln ay el vector columna

bes necesario que ay btengan el mismo nmero de componentes.

Ejemplo 16

a) Determina el producto interno de a= (1, 4, 3)y b

2

1

1Por definicin

a b

( , , ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 4 3

2

1

1

1 2 4 1 3 1 2 4 3 3

b) Determina el producto interno de a b

0 1 2 4, , y

7

2

1

1

,

Por definicin:

Las propiedades del producto interno se especifican en el siguiente

resultado:

Teorema 1.2. Sean a, b, c, tresn-vectores y sea un escalar, entonces sonvlidas las siguientes afirmaciones:

i) a 0 0ii) a b b a

iii) a b c a b a c

iv) a b a b

a b

( ) ( )( ) ( )( )0 1 2 4 0 7 1 2, , ,

7

2

11

(( )( ) ( )( )2 1 4 1 0 2 2 4 4


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31

Ahora estamos listos para definir el producto matricial.

Definicin 1.19. SeaA = [aij]una matriz de ordenmn yB = [b

jk]una

matriz de ordennp. Se define el producto deAyB como la matrizAB = [cik]

de ordenmp, donde la entrada cikes el producto interno del i-simo rengln

deA con la k-sima columna de B; esto es

c a a a

b

b

b

a b a bik i i in

k

k

nk

i k i

1 2

1

2

1 1 2, , ..., i

22k in nk a b

Nota. El producto de A y B slo est definido cuando el nmero de

columnas deA es igual al nmero de renglones deB.

De la definicin 1.19. tenemos que si Amn

yBnp

, entonces AB tiene orden

m p. Por ejemplo, (A35

)(B57

)= (AB)37

Ejemplo 17

Sean A B

4 0 2 3

1 5

y1 4

1 33 2

2 2

, determinaAB

ComoA tiene orden 3 2 yB tiene orden 2 2, entoncesAB est definiday es de orden 3 2.

Sea AB

c c

c c

c c

11 12

21 22

31 32

, entonces c11

se obtiene como sigue:

Con A B

y

4 0

2 3

1 5

1 41 3

3 2

2 2

as, c a ab

b11 11 12

11

21

4 01

14 0 4

( , ) ( , )i i


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32

Unidad 1

Para calcular c12

se toma:

c a a bb

12 11 12

12

22

4 0 43

16 0 16

( ) ( , ), i i

Continuando con el procedimiento anterior, se t iene que:

c21 2 31

12 3 5

( , ) i

, c22 2 3

4

38 9 1

( , ) i ,

c31 1 51

11 5 6

( , ) i

y c32 1 5

4

34 15 11

( , ) i .

Por tanto, AB

4 16

5 1

6 11

Nota. La multiplicacin de matrices no es conmutativa, esto es, en general

AB BA. Por ejemplo:

AB

1 4

2 8

4 8

1 2

0 0

0 0

y BA

4 8

1 2

1 4

2 8

12 48

3 12

Las propiedades bsicas de la multiplicacin matricial definidas para

matrices deAmn

,Bnp

y Cpq

, as como por la matriz 0y la matriz identidad I,

son resumidas en el teorema siguiente:

Teorema 1.3. La suma y producto de matrices estn definidos, por lo que se

tienen las siguientes propiedades:

1) A(BC) = (AB)C Propiedad asociativa de la multiplicacin.

2)A(B+ C) =AB+AC Propiedad distributiva izquierda.

3) (A+ B)C=AC+ BC Propiedad distributiva derecha.4) IA=Ay BI= B Propiedad multiplicativa de la matriz identidad.

5)0A = 0yA0 = 0 Propiedad multiplicativa de la matriz cero.


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33

De estas propiedades observamos que las matricesA,B, C, cero (0) e identidad

(I), debern cumplir con la condicin de orden para la multiplicacin.

Veamos cmo las operaciones matriciales bsicas afectan la transposicin.

Teorema 1.4. Con AyB matrices, c un escalar las propiedades para la matriz

transpuesta estn definidas como sigue:

1) A ATT

Transpuesta de una matriz transpuesta.

2) A B A BT T T Transpuesta de una suma.

3) cA cAT T

Transpuesta de un producto escalar.

4) AB B AT T T

Transpuesta de un producto de matrices.

Ejercicio 3

1.Calcula las siguientes operaciones. Si no se puede, di por qu:

a)1 1

0 1

0 1

1 2

b)

3

1 1 1

1 1 1

c)2 2

5 7

7 8

10 3

d)

1 2

1 2

4 3

e)

2 3

4 5

6 7

7 2

5 1

3 6

2. Si es posible, calcula

a)3

41 2

b) ( )1 23

4


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43

1.6. Solucin de sistemas lineales nn

empleando la Regla de CramerEn esta seccin explicaremos un mtodo muy til, llamado Regla de

Cramer, para resolver un sistema lineal de n ecuaciones con n variables que

tenga una solucin nica.

El trmino lineal proviene de la palabra lnea. La ecuacin de una lnea en

el planoxyes una ecuacin de la forma:

ax + by = c (1)

donde a, byc son constantes, y a yb no son ambas cero. En general, unaecuacin linealen las variablesx

1, x

2, . . ., x

nes una ecuacin de la forma:

a1x

l+ a

2x

2+ ...+ a

nx

n= b (2)

donde a1,a

2,. . .,a

ny bson constantes, y a

1,...,a

nno son todas cero.

Una solucin de la ecuacin lineal (2) es una sucesin de nmeros t1, t

2,...,t

n,

tales que si sustituimos x1 = t

1, x

2 = t

2, . . . , x

n = t

n en (2) se cumple la

igualdad.Resolver una ecuacin lineal significa encontrar todas sus soluciones;

el conjunto de soluciones se llama conjunto solucin.

Ejemplo 25

Resuelve la ecuacin lineal 4x5y = 3.

Despejando y de la ecuacin obtenemos que yx

4 3

5. Entonces para

resolver se tiene que c R con x c yc

, por lo que4 3

5es la solucin de la

ecuacin.

Con frecuencia deseamos resolver varias ecuaciones lineales al mismo

tiempo. Una coleccin finita de ecuaciones lineales en las variablesxl, x

2, . . .,

xnse llama sistema de ecuaciones lineales.

En esta parte daremos una regla para resolver un sistema lineal de n

ecuaciones con n variables, esto es un sistema de la forma:


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44

Unidad 1

a x a x a x b

a x a x a x b

n n

n n

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

a x a x a x bn n nn n n1 1 2 2

(3)

Una solucin del sistema lineal (3) es una sucesin de n nmeros t1, t

2,...,t

n

con la propiedad de que cada ecuacin de (3) se satisface cuando x1= t

1, x

2=

t2,. . ., x

n= t

nson sustituidas en (3).

Definicin 1.24. Un sistema lineal que no tiene solucin se llamainconsistente. Un sistema lineal con al menos una solucin es consistente.

E1 sistema lineal (3) se puede expresar como una ecuacin matricial de lasiguiente forma:

Ax=b. (4)donde

A

a a a

a a a

a a a

x

x

n

n

n n nn

11 12 1

21 22 2

1 2

1

, x22

1

2

x

b

b

bn n

y b

La ecuacin (4) es la ecuacin matricial asociada al sistema (3), y la matriz A

es lamatriz de coeficientes del sistema (3).

Ejemplo 26

Determina la ecuacin matricial del sistema lineal siguiente:

2 3 4 5

4 2

2 1

x y z

x z

x y z

La ecuacin matricial del sistema est dada como:

2 3 4

4 0 1

1 1 2

x

y

z

5

2

1


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lgebralineal

45

Antes de enunciar la Regla de Cramer, daremos una interpretacin

geomtrica del conjunto solucin de un sistema lineal de 22.

Considera un sistema lineal de dos ecuaciones con dos variables:

a x a y b

a x a y b

11 12 1

21 22 2

Cada una de estas ecuaciones es la ecuacin de una recta en el plano xy.

As, geomtricamente se tienen tres casos:

(1) Si las rectas se cortan en un punto, entonces el sistema tiene una

solucin dada por el punto de interseccin.

(2) Si las rectas son paralelas, entonces el sistema no tiene solucin.

(3) Si las rectas coinciden, entonces el sistema tiene una infinidad de

soluciones, representadas por todos los puntos sobre la recta.

Las siguientes figuras ilustran dichas condiciones:

Figura 1.1 Figura 1.2 Figura 1.3

Ahora enunciamos la Regla de Cramer, la cual proporciona un algoritmo

para resolver sistemas lineales de necuaciones con nvariables.

Teorema 1.6. (Regla de Cramer) SeaAx = bla ecuacin matricial de un

sistema lineal den ecuaciones conn variables. Si el detA

0 , entonces el sistemalineal tiene una solucin nica dada por:

xA

Ax

A

Ax

An

n

11

22

det

det

det

det( ) ,

det

det

( )

( ),

( ),

( )

(( )A


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Unidad 1

dondeAicon i = 1, 2, . . .,n es la matriz que se obtiene al reemplazar la

i-sima columna de A por el vector columna b

bb

bn

1

2

esto es :

A

a a a b a a

a a a b a a

i

i i n

n n ni n ni nn

11 12 1 1 1 1 1 1

1 2 1 1

Ejemplo 27

Aplica la Regla de Cramerpara resolver el sistema:

2 7

4 3 1

x y

x y

A B

2 1

4 3y

7

1 , entonces A A1 2

7 1

1 3

2 7

4 1

,

y det(A) = 10, det(A1) = 20 y det(A

2) = 30, por lo tanto:

xA

Ay

A

A

det

det( y

det

det(

( )

)

( )

)

1 220

102

30

103

Ejemplo 28

Aplica la Regla de Cramerpara resolver el sistema:

x y z

x y z

x y z

2

3

4

Sea A b

1 1 1

1 1 1

1 1 1

,

2

3

4

Entonces A A1 2

2 1 1

3 1 1

4 1 1

1 2 1

1, 33 1

1 4 1

, y

1 1 2

1 1 3

1

A3

1 4


22/164

lgebralineal

47

de tal manera que

x AA

y AA

z

det(det

52

, detdet

124

1 2104

3)( )

( )( )

, ddetdet

( )( )AA

3 144

72

Ejercicio 6

1. Aplica la Regla de Cramerpara resolver los siguientes sistemas:

a) 2 8

3 7

x y

x y

b) 2 3 45 2 2x yx y

c) 2 1

3 4 1

4 2 1

x y z

x y z

x y z

d)x y z

y z

z

2 3 1

4 1

1

e) 3 3 2 2

4 2 7

5 4 3

x y z

x y z

x y z

Ejercicios resueltos

1. Considera la siguiente matriz A

3 5 4 1 0

1 2 8 6 3

1 1 0 8 7

y encuentra:

a) El primer rengln:

( )3 5 4 1 0

b) La tercera columna:

4

8

0


23/164

lgebralineal

67

Introduccin

El problema de solucionar un sistema de mecuaciones con nincgnitas

ha sido objeto de estudio desde hace mucho tiempo. En esta unidad

estudiaremos varios mtodos para dar solucin a dichos sistemas

utilizando para ello las matrices y sus propiedades.

2.1. Representacin de un sistema mediante

matrices

En esta seccin veremos la representacin matricial de un sistema de mn.

Recordemos que esto significa que tenemos m ecuaciones, cada una con nincgnitas:

a x a x a x b

a x a x a x b

n n

n n

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

a x a x a x bm m mn n m1 1 2 2

Vamos a formar una matriz A de orden mncon todos los coeficientes delas ecuaciones y dos vectores columna, el xformado por las incgnitas y elb

formado por los trminos independientes. As, tenemos:

A

a a a a

a a a a

a

j n

j n

i

11 12 1 1

21 22 2 2

... ...

... ...

... ... ... ... ... ...

11 2

1 2

a a a

a a a a

i ij in

m m mj mn

... ...

... ... ... ... ... ...

... ...

, ,x b

x

x

x

x

b

b

bi

m

1

2

1

2

ii

mb

Definicin 2.1. Si tenemos un sistema demecuaciones connincgnitas.

a x a x a x b

a x a x a x b

n n

n n

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

a x a x a x bm m mn n m1 1 2 2


24/164

68

Unidad 2

La representacin matricial del sistemaes:

Ax= b

dondeAse llama la matriz de los coeficientes,xes el vector columna cuyas

entradas son las incgnitas y b es el vector columna cuyas entradas son los

trminos independientesde las ecuaciones.

Ax b

a a a a

a a a a

j n

j n

11 12 1 1

21 22 2 2

... ...

... ...

... ... ... ... ... ....

... ...

... ... ... ... ... ...

... ...

a a a a

a a a a

i i ij in

m m mj mn

1 2

1 2

x

x

x

x

b

b

bi

m

i

1

2

1

2

bm

Ejemplo 1

Escribe los siguientes sistemas en su representacin matricial:

a) Con el sistema dado por las siguientes ecuaciones:

2 4 6 18

4 5 6 24

3 2 4

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x

x x x

x x x

tenemos que A

2 4 6

4 5 6

3 1 2

es la matriz de los coeficientes,

x b

x

x

x

1

2

3

18

24

4

y entonces el sistema se puede escribir como

A

x

x

x

x b

2 4 6

4 5 6

3 1 2

1

2

3

18

24

44


25/164

lgebralineal

69

b) Sea el sistema de ecuaciones dado por:

3 2 5 6 7

4 3 2 1

5 3 1

a b c d

a b c d

a b c d

tenemos que A

a

b

3 2 5 6

4 1 3 2

1 5 3 1

, xcc

d

y

b

7

1

1

, entonces

el sistema queda representado como

A

a

b

c

d

x b

3 2 5 6

4 1 3 2

1 5 3 1

7

1

1

Los ejemplos anteriores tienen la caracterstica de que para todos los

trminos independientes al menos uno es distinto de cero, por lo que son

sistemas de ecuaciones no homogneos, de lo que definiremos cuando todos

los trminos independientes son iguales a cero.

Definicin 2.2. Un sistema de ecuaciones demnse llama homogneosi elvector bde los trminos independientes es el vector cero.Ax= 0

Ejemplo 2

El sistema

2 4 0

3 4 0

2 0

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x

x x x

x x x

es un sistema homogneo ya que b

0

0

0

Si tenemos un sistema no homogneo

3 5 3

2 3 6 2

2 2 1

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x

x x x

x x x

siempre podemos

formar un sistema homogneo asociado a l:

3 5 0

2 3 6 0

2 2 0

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x

x x x

x x x

poniendo 0 en

los resultados.


26/164

70

Unidad 2

Las matrices que hemos estudiado son conformadas por los coeficientes

de las ecuaciones del sistema, por lo que definiremos las que contienen una

columna ms, que incluye al vector columna de los valores independientes.

Definicin 2.3.Se llama matriz aumentadade un sistemamna la matrizde ordenm(n+1) que se obtiene al aumentar a la matriz de los coeficientes unacolumna formada por los trminos independientes.

Ejemplo 3

a) Obtn la matriz aumentada del sistema

3 5 3

2 3 6 2

2 2 1

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x

x x x

x x x

Sea A

3 5 1

2 3 6

1 2 2

, entonces la matriz aumentada es

B

3 5 1 3

2 3 6 2

1 2 2 1

Nota queAes de orden 33 y la matriz aumentadaBes de orden 34.

b) Obtn la matriz aumentada del sistema3 2 9

3 6 8

x y z

x y z

entonces

A

3 2 1

1 3 6es la matriz de coeficientes y B

3 2 1 9

1 3 6 8es la matriz

aumentada

Nota queAes de orden 23 y que la matriz aumentadaBes de orden 24.


27/164

lgebralineal

71

Ejercicio 1

1. De los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, encuentra:

Su representacin matricial.

La matriz aumentada.

El sistema homogneo asociado.

a) 4 3 5 3 4

2 4 7 2

7 6 2 2 0

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x x x x

x x x x

x x x x

b) 2 7 6

3 14 2 4

1 2

1 2

1 2

x x

x xx x

c) 3 9 3 18

3 3 2 3 541 2 3 4

1 2 3 4

x x x x

x x x x

2.2. Solucin de sistemas de ordenmn,mediante el mtodo de Gauss

Para resolver un sistema de m ecuaciones con n incgnitas usaremosel mtodo de Gauss, para ello necesitamos llevar la matriz a una forma

adecuada, de tal manera que podamos obtener inmediatamente el resultado de

las incgnitas, las matrices se llevan a ceros en algunos de sus elementos en

forma de escaln.

Definicin 2.4.Una matrizAse encuentra en forma escalonada reducida

por renglonessi cumple con las siguientes condiciones:

i. Todos los renglones cuyos elementos son todos ceros aparecen en la parte

inferior de la matriz.

ii. El primer nmero diferente de cero (comenzando por la izquierda) en

cualquier rengln cuyos elementos no son todos cero es 1.iii. Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero, entonces el

primer 1 en el rengln de abajo est ms hacia la derecha que el primer 1

en el rengln de arriba.


28/164

lgebralineal

71

Ejercicio 1





a) 4 3 5 3 4

2 4 7 2

7 6 2 2 0

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x x x x

x x x x

x x x x

+ + = + + = + + =

b) 2 7 6

3 14 2 4

1 2

1 2

1 2

x x

x xx x

+ =

= =

c) 3 9 3 18

3 3 2 3 541 2 3 4

1 2 3 4

x x x x

x x x x

+ = + + =

2.2. Solucin de sistemas de orden mn,

mediante el mtodo de Gauss

Para resolver un sistema de m ecuaciones con n incgnitas usaremosel mtodo de Gauss, para ello necesitamos llevar la matriz a una forma



forma de escaln.

Definicin 2.4.Una matriz Ase encuentra en forma escalonada reducida





cualquier rengln cuyos elementos no son todos cero es 1.iii. Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero, entonces el

primer 1 en el rengln de abajo est ms hacia la derecha que el primer 1

en el rengln de arriba.


29/164

72

Unidad 2

iv. Cualquier columna que contiene el primer 1 en un rengln, tiene ceros en el

resto de sus elementos. El primer nmero diferente de cero en un rengln sellama pivotede ese rengln.

Una matriz se encuentra en forma escalonada por renglonessi se cumplen

las condiciones

(i), (ii) y (iii).

Cabe sealar que:

a) La forma escalonada reducida por renglones es nica.

b) Es posible que al cambiar la sucesin de operaciones elementales sobre los

renglones se llegue a formas escalonadas distintas.

Ejemplo 4

1. Las siguientes matrices estn en la forma escalonada reducida por

renglones:

a)

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

b)

1 0 2

0 1 3

0 0 0

c)1 0 0 50 0 1 2

d)

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

2.Las siguientes matrices noestn en la forma escalonada reducida por

renglones:

a)

1 0 0 0

0 4 0 0

0 0 1 0

b)

1 0 0

0 1 0

1 0 0

0 0 0

Tiene un 4 en el segundo

rengln en lugar de 1.

El tercer rengln tiene 1 a la

izquierda del 1 del segundo

rengln y debe estar a la

derecha.


30/164

lgebralineal

73

c)

1 0 0

0 0 0

0 0 1

Observacin: Siempre se puede llevar una matriz a la forma escalonada

reducida por renglones realizando operaciones elementales con los renglones.

Por lo anterior, requerimos conocer cules son las operaciones elementales

que se pueden realizar con los renglones de una matriz; stas surgen de

convertir una ecuacin en otra equivalente realizando ciertas operaciones como

son:

Definicin 2.5. Las operaciones elementales con renglones de una matrizson:

i. Multiplicar o dividir un rengln por un nmero diferente de cero.

ii. Sumar un mltiplo de un rengln a otro rengln.

iii. Intercambiar dos renglones.

El proceso de aplicar las operaciones elementales con renglones para

simplificar una matriz aumentada se llama reduccin por renglones.

Notacin:

1. Ri

cRisignifica reemplaza el i-simo rengln por ese mismo rengln

multiplicado por c. (Para multiplicar un rengln por c, se multiplica cadanmero del rengln por c).

2. Rj

Rj+ cR

i significa sustituye el j-simo rengln por la suma del

rengln jms el rengln imultiplicado por c.

3. Ri

Rjquiere decir intercambiar los renglones iy j.

Ejemplo 5

1. Lleva la matriz A=

2 4 6

4 5 63 1 2

a la forma escalonada reducida porrenglones:

El rengln de puros ceros

no est en la parte inferior

de la matriz.


31/164

74

Unidad 2

2 4 6

4 5 6

3 1 2

2 4 6

1 4R R R2 2

3 8

3 1 2

1 4 8

2 4 6

3 1 2

R R R1 2

22 2

3 3

R R

R R R

2

31

1

1 4 8

0 4 10

0 11 26

1 0

1 4

R R R

R R1 1 2

2 2

+

/

2

0 1 5 2

0 11 26

/

R R R R R R 3 3 2 2 3 +

11 2

1 0 2

0 1 5 2

0 0 3 2

1 0 2

0 1/

/

R R3 31

0 0 3 2

2 3

/

/

1 0 2

0 1 1

0 0 1

1 0 2

0 1 0R R R2 2 3

00 0 1

R R +2R 1 1 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Estamos ya en condiciones de aprender el mtodo de Gauss para resolver

un sistema de ecuaciones.

Mtodo de eliminacin de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones.

i. Se reduce por rengln la matriz aumentada del sistema a la forma

escalonada.

ii. Se despeja el valor de la ltima incgnita.

iii. Se usa la sustitucin hacia atrs para las dems incgnitas.

Ejemplo 6

1. Resuelve el sistema2 4 6 18

4 5 6 24

3 2 4

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ + =

+ =usando el mtodo de Gauss.

Se forma la matriz de los coeficientes aumentada2 4 6 18

4 5 6 24

3 1 2 4

y se

reduce a su forma escalonada por renglones:

2 4 6 18

4 5 6 24

3 1 2 4

1 2 3 9

4 5 6 21 11 2

R R

/ 44

3 1 2 4

1 2 3 9

0 34

3

R R R

R R R

2 2 1

3 3 1

66 12

0 5 11 23


32/164

lgebralineal

75

R R R R R 2 3 3 2

21 3 5

1 2 3 9

0 1 2 4

0 5 11 23

/

1 2 3 9

0 1 2 4

0 0 1 3

R R

R R

2 2

3 3

1 2 3 9

0 1 2 4

0 0 1 3

De aqu regresamos a un sistema de ecuaciones

x y z

y z

z

+ + =

+ =

=

2 3 9

2 4

3

donde ya tenemos el valor dez= 3; sustituyendo en la segunda

ecuacin obtenemos el valor dey:y+ 2(3) = 4 y= 2 ;sustituyendo en la

primera ecuacin los valores dezyyobtenemos el valor dex: x+ 2(2) + 3(3)

= 9x= 4. Por lo que la solucin es (4, 2, 3).

2. Resuelve el sistemax x x x

x x x x1 2 3 4

1 2 3 4

3 5 4

2 5 2 4 6

+ + =+ + =

por el mtodo de Gauss.

Se forma la matriz aumentada1 3 5 1 4

2 5 2 4 6

y se reduce por

renglones.

1 3 5 1 4

2 5 2 4 6

1 3 5 1 4

0 1 8 2 2

2

R R R2 2 1 RR R2 2

1 3 5 1 4

0 1 8 2 2

1 0 19 7 2

0 1 8 2 2

3

R R R1 1 2

Si regresamos al sistema de ecuaciones obtenemosx x x

x x x

1 3 4

2 3 4

19 7 2

8 2 2

+ + =

=

lo que evidentemente nos muestra que tenemos una infinidad de soluciones,

pues los valores dex3y x

4pueden escogerse de manera arbitraria, y para cada

par de valores obtenemos los valores dex1y dex

2.

Como mencionamos en la definicin 1.24,un sistema de ecuaciones lineales

es inconsistente si no tiene solucin y consistente si tiene al menos una

solucin.

Nota. Recordemos los sistemas homogneos; en ellos los trminosindependientes son todos cero, por lo tanto podemos decir que un sistema

homogneo siempre tiene al menos una solucin: la trivial (donde todas las

variablesx1=x

2=x

3= = 0) y por tanto siempre es consistente.


33/164

76

Unidad 2

Ejercicio 2

1. Di si las siguientes matrices se encuentran en forma escalonada porrenglones (pero no reducida por renglones), en forma escalonada reducida por

renglones o ninguna de las dos:

a)

1 1 0

0 1 0

0 0 1

b)

1 0 1 0

0 1 1 0

0 0 0 0

c)

1 0

0 1

0 0

d)

1 0 0 4

0 1 0 5

0 1 1 6

2. Usa las operaciones elementales con renglones para reducir las siguientes

matrices a la forma escalonada por renglones y a la forma escalonada reducida

por renglones:

a)1 1

2 3

b)2 4 2

3 1 6

c)

2 7

3 5

4 3

d)

2 4 8

3 5 8

6 0 4

3. Encuentra las soluciones (si las hay) de los siguientes sistemas usando elmtodo de Gauss:

a)

2 3 3

2 2 1

3 3 0

x y z

x y z

x y z

+ = + =

+ + =


34/164

lgebralineal

77

b) 2 3 2

2 1

x y z

x y z

+ = + =

c)x x

x x

x x

1 2

1 2

1 2

4

2 3 7

3 2 8

+ =

=+ =

2.3. Solucin de sistemas de ordenmn,

mediante el mtodo de Gauss-Jordan

El mtodo de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones es muy

similar al mtodo de Gauss, la diferencia es que en ste se pide que la reduccin

de las matrices sea en la forma escalonada reducida, con lo que se obtienendirectamente las soluciones del sistema.

Mtodo de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

i. Se reduce la matriz aumentada a la forma escalonada reducida por

renglones.

ii. Se obtienen las soluciones del sistema.

Ejemplo 7

1. Resuelve el sistema

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ + =

+ =

2 3 9

4 5 6 24

3 2 4

utilizando el mtodo de Gauss-

Jordan:

Formamos la matriz aumentada1 2 3 9

4 5 6 24

3 1 2 4

y la llevamos a la

forma escalonada reducida por renglones:

R R R R R 3 3 2 3 3

+

5

1 2 3 9

0 1 2 4

0 0 1 3

1 2 3 9

0 1 2 4

0 0 1 3

2R R R1 1 2

1 2 3 9

4 5 6 24

3 1 2 4

1

4

3

R R R

R R R

2 2 1

3 3 1

22 3 9

0 3 6 12

0 5 11 23

1 3

1 2 3

R R2 2

/ 9

0 1 2 4

0 5 11 23


35/164

78

Unidad 2

1 0 1 1

0 1 2 4

0 0 1 3

1 0 0 4

0 12

+

R R R

R R R2 2 3

1 1 3

00 2

0 0 1 3

De aqu podemos obtener las soluciones del sistema

x= 4; y= 2; z= 3.


3 6 6 9

2 5 4 6

16 14 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x

x x x

x x x

+ = + =

+ =usando Gauss-Jordan.

Formamos la matriz aumentada

3 6 6 9

2 5 4 6

1 16 14 3

y la llevamos a la


3 6 6 9

2 5 4 6

1 16 14 3

R R

1 11 3/

1 2 2 3

2 5 4 6

1 16 14 3

R2

R 2R

R R + R

2 1

3 3 1

R R R R 2R 2 2 1 1 2

1 91 2 2 3

0 1 8 9 0

0 0 0 0

//

1 0 2 9 3

0 1 8 9 0

0 0 0 0

/

/

Como la matriz tiene un rengln cuyos elementos son todos ceros, podemos

concluir que el sistema tiene una inf inidad de soluciones, ya quex x

x x1 3

2 3

2 9 3

8 9 0

= =

/

/

y por lo tantox1yx

2dependen del valor dex

3.


x y z

x y z

x y z

+ = + =

+ + =

7

4 5 4

6 3 20

usando el mtodo de Gauss-Jordan.

Llevamos la matriz aumentada

1 1 1 7

4 1 5 4

6 1 3 20

a su forma escalonada

reducida.

1 1 1 7

4 1 5 4

6 1 3 20

4

6

R R R

R R R2 2 1

3 3 1

1 1 1 7

0 5 9 24

0 5 9 22

R R R32 2

1 2 2 3

0 9 8 0

0 18 16 0

1 2 2 3

0 9

R 1/2R 3 3

R R +R 3 3 28 0

0 9 8 0

1 2 2 3

0 9 8 0

0

00 0 0


36/164

lgebralineal

79

1 1 1 7

0 0 0 2

0 5 9 22

R R +1/5R

R R1 1 3

2 3

1 0 4 5 13 5

0 5 9 22

0 0 0 2

/ /

Como la matriz tiene un rengln (0, 0, 0, 2) indica que el sistema notiene

solucin ya que no existe un nmero que sea 2 y al mismo tiempo sea cero.

Ejercicio 3

1. Encuentra las soluciones (si las hay) de los siguientes sistemas de

ecuaciones usando el mtodo de Gauss-Jordan. Explica.

a) x x x

x x x

x x x

1 2 3

1 2 3

1 2 3

7

4 5 4

2 2 3 0

+ = + =

+ =

b) 3 6 6 9

2 5 4 6

5 28 26 8

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x

x x x

x x x

+ = + =

+ =

c) x x x

x x x

x x x

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 11

4 4

2 3 10

+ =+ =

+ =

2.4. Matriz inversa y matriz adjunta

En esta seccin definiremos dos tipos de matrices muy importantes que son

bsicas en la teora de matrices y que nos son tiles para la solucin de sistemas

de ecuaciones.

Comencemos con un ejemplo sencillo:

Sean A=2 5

1 3

y B=

3 5

1 2

, obtengamos los productos AByBA.

AB=2 5

1 3

3 5

1 2

1 0

0 1

=

y BA =

3 5

1 2

2 5

1 3

1 0

0 1

=

, por

lo tanto podemos decir que AB = BA = I2, donde I

2 =

1 0

0 1

es la matriz

identidad de 22.

A la matrizBse le llama matriz inversa deAy se denotaB=A1.


37/164

lgebralineal

79

1 1 1 7

0 0 0 2

0 5 9 22

R R +1/5R

R R1 1 3

2 3

1 0 4 5 13 5

0 5 9 22

0 0 0 2

/ /

Como la matriz tiene un rengln (0, 0, 0, 2) indica que el sistema notiene

solucin ya que no existe un nmero que sea 2 y al mismo tiempo sea cero.

Ejercicio 3



a) x x x

x x x

x x x

1 2 3

1 2 3

1 2 3

7

4 5 4

2 2 3 0

b) 3 6 6 9

2 5 4 6

5 28 26 8

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x

x x x

x x x

c) x x x

x x x

x x x

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 11

4 4

2 3 10




de ecuaciones.


Sean A=2 5

1 3

y B=

3 5

1 2


AB=2 5

1 3

3 5

1 2

1 0

0 1

y BA =

3 5

1 2

2 5

1 3

1 0

0 1

, por


2 =

1 0

0 1

es la matriz

identidad de 22.

A la matrizBse le llama matriz inversa deAy se denotaB=A1.


38/164

80

Unidad 2

Definicin 2.7. SeanAy Bdos matrices de orden nnque satisfacenAB =

BA=I dondeIes la matriz identidad de orden nn,

entonces Bse llama matriz inversadeAy se denota porA1.

De donde se tiene que AA1 = A1A= I. En este caso se dice que A es

invertible.

As como toda matriz, tambin existen propiedades para la matriz

identidad e inversa.

Teorema 2.1.Propiedad de la matriz identidad.

Sean A una matriz de orden nn e I la matriz identidad de orden nn,entonces

AI= IA=A

Teorema 2.2.Propiedades de las matrices invertibles.

Sean A y Bdos matrices invertibles de orden nn, entonces

1. La inversa es nica.

2. (A1)1=A3. (AB)1= B1A1

En este momento nos podemos hacer las siguientes preguntas:

1. Todas las matrices cuadradas tienen inversa?

2. Qu matrices tienen inversa?

3. Si una matriz tiene inversa, cmo se puede calcular?

En esta parte vamos a contestar esas preguntas. Comenzaremos con el caso

de 22.

Consideremos la matriz A =2 3

4 5

y vamos a suponer que es

invertible.

Sea A1=x y

z w

, entonces debe satisfacer queAA

1=I, por lo tanto:


39/164

lgebralineal

81

AA1=2 3

4 5

2 3 2 3

4 5 4 5

x yz w

x z y w

x z y w

1 0

0 1

Recordemos que dos matrices son iguales si todas sus entradas lo son, por

lo cual

2x 3z = 1; 4x + 5z = 0; 2y 3w = 0; 4y + 5w =1.

Con esto se forman dos sistemas de ecuaciones lineales:

2 3 1

4 5 0

x z

x z

y2 3 0

4 5 1

y w

y w

y para resolverlos vamos a escribirlos en

la forma matricial aumentada: 2 3 1

4 5 0

y 2 3 0

4 5 1

. Al

reducirlas obtendremos los resultados 1 00 1

xz

y

1 00 1

yw

Como la matriz original es la misma para ambos sistemas, podemos

realizar la reduccin por renglones al mismo tiempo considerando la

nueva matriz aumentada2 3 1 0

4 5 0 1

al hacerlo obtendremos

1 0

0 1

x y

z w

R R1 12 3 1 0

4 5 0 1

1 3 2 1 2 0

4 5 0 1

1 2

/ / /

R R R2 2 14

1 3 2 1 2 0

0 1 2 1

1 0 5 2 3 2

0 1 23 2

/ / / //

R R

R R R2 2

1 1 2

1

1 0

0 1

x y

z w

De donde obtenemos las soluciones x= 5/2; z= 2;y= 3/2; w= 1

EntoncesAes invertible y su inversa esA1=

5 2 3 2

2 1

/ /

Este ejemplo nos ilustra un procedimiento para encontrar la matriz inversa

que siempre funciona y que se puede generalizar a matrices de orden nn.


40/164

82

Unidad 2

Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadradaA

1. Se escribe la matriz aumentada ( )A I .

2. Se utiliza la reduccin por renglones para poner la matriz Aen su forma

escalonada reducida por renglones.

3. Se decide si es invertible.

a. Si la forma escalonada reducida por renglones deAes la matriz identidad

I, entoncesA1es la matriz que se tiene a la derecha de la barra vertical.

b. Si la reduccin deAconduce a un rengln de ceros a la izquierda de la

barra vertical, entoncesA no es invertible.

Ejemplo 8

1. Sea A =1 2

2 4

vamos a determinar si es o no invertible.

R R R2 2 11 2 1 0

2 4 0 1

1 2 1 0

0 0 2 1

2

Como tiene un rengln de ceros a la izquierda de la barra vertical, Ano esinvertible.

2. SeaA=2 4 6

4 5 6

3 1 2

, vamos a determinar si es o no invertible, y si lo

es encontrarA1.

2 4 6 1 0 0

4 5 6 0 1 0

3 1 2 0 0 1

1 21 2

R R1 1

/

3 1 2 0 0

4 5 6 0 1 0

3 1 2 0 0 1

/

R R 4R

R R 3R 2 2 1

3 3 1

1 2 3 1 2 0 0

0 3 6 2 1 0

0 5 11 3 2

/

/ 00 1

R 1/3R 2 2


41/164

lgebralineal

83

R 1R

R R + R 3 3

1 1 3

1 0 0 8 3 7 3 1

0 1 2 2 3 1 3 0

0 0 1

/ /

/ /

11 6 5 3 1/ /

R R 2R 2 2 3

1 0 0 8 3 7 3 1

0 1 0 13 3 11 3 2

0 0 1 11 6 5 3 1

/ /

/ /

/ /

De donde obtenemos la matriz inversa A1=

8 3 7 3 1

13 3 11 3 211 6 5 3 1

/ /

/ // /

(*)

Verificacin: AA1=

2 4 6

4 5 6

3 1 2

8 3 7 3 1

13 3 11 3 2

/ /

/ /

11 6 5 3 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1/ /

Nota: Es importante verificar que AA1=I.

Veamos algunos resultados importantes acerca de las matrices inversas.

Teorema 2.3. SeaAuna matriz de ordennn.EntoncesAes invertible, si y slo si, detA0

Ejemplo 9

1. Consideremos la matriz del ejemplo anterior:

A

2 4 6

4 5 6

3 1 2 sabemos que es invertible, vamos a calcular su

determinante.

detA= 25 6

1 24

4 6

3 26

4 5

3 1

2(106) 4(818) + 6(415) = 6

1 2 3 1 2 0 0

0 1 2 2 3 1 3 0

0 5 11 3 2 0 1

/

/ /

/

R R + 5R

R R 2R 3 3 2

1 1 2

1 0 1 5 6 2 3 0

0 1

/ /

22 2 3 1 3 0

0 0 1 11 6 5 3 1

/ /

/ /


42/164

84

Unidad 2

detA 0

2. Consideremos la matriz A=1 2

2 4

y calculemos su determinante.

detA= 4 + 4 = 0 y

R R R2 2 11 2 1 0

2 4 0 1

1 2 1 0

0 0 2 1

2

por lo tanto no es

invertible.

Vamos ahora a dar la definicin de otra matriz importante en nuestra

bsqueda de matrices inversas.

Recordemos lo que son los cofactores de una matriz A (Definicin 1.22)

A Mij

i j

ij

1

SiA =

2 4 6

4 5 6

3 1 2

entonces sus cofactores son

A11

=5 6

1 2

= 10 6 = 16 A

12=

4 6

3 2

= (818) = 26

A13

=4 5

3 1= 415 = 11

A21

= 4 6

1 2

= (86) = 14 A

22=

2 6

3 2

= 418 = 22

A23

= 2 4

3 1= (212) = 10

A31

=4 6

5 6= 24 30 = 6 A

32=

2 6

4 6 = (1224) = 12

A33

= 2 4

4 5= 1016 = 6

Con estos cofactores haremos una matriz de orden 33 de tal manera queobtendremos una matrizB:

B

16 26 11

14 22 10

6 12 6

Habiendo calculado esta matriz podemos definir lo siguiente:


43/164

lgebralineal

85

Definicin 2.8. SeaAuna matriz de orden nny sea Bla matriz formada

por los cofactores deA. Entonces la adjuntadeA, que se denota adj Aes latranspuesta de la matriz B, es decir:

adjA=BT=

A A A

A A A

A A A

n

n

n n nn

11 21 1

12 22 2

1 2

Ejemplo 10

Vamos a encontrar la adjunta de A

2 4 64 5 6

3 1 2

SeaBla matriz de los cofactores deA.

B=

A A A

A A A

A A A

11 12 13

21 22 23

31 32 33

16 26 11

14 22

110

6 12 6

entonces

adjA =BT=

16 14 6

26 22 12

11 10 6

Ya con estos elementos podemos encontrar la inversa de una matriz usando

su determinante y su matriz adjunta como nos lo indica el siguiente teorema.

Teorema 2.4. SiAes una matriz de ordennninvertible.

Entonces A1=1

detAadjA

Ejemplo 11

Usaremos la matriz anterior A =

2 4 6

4 5 6

3 1 2

y vamos a calcular su

inversa.


44/164

86

Unidad 2

det A = 25 6

1 24

4 6

3 26

4 5

3 1

= 2(106) 4(818) +6(415) =

32 + 104 66 = 6

entoncesA1=1

6adjA=

1

6

16 14 6

26 22 12

11 10 6

=

8 3 7 3 1

13 3 11 3 2

11 6 5 3 1

/ /

/ /

/ /

Nota que esta matriz inversa ya la habamos obtenido con el mtodo de

Gauss-Jordan.*

Observacin:Este teorema refuerza el resultado acerca de que una matriz

invertible necesariamente debe tener un determinante distinto de cero.

Ejercicio 4

1. Encuentra la matriz inversa, si existe, usando el mtodo de Gauss-

Jordan. En caso de que no exista la matriz inversa, indica la razn:

a) 2 1

3 2

b) 1 1

3 3

c)3 2 10 2 2

0 0 1

d)

1 6 2

2 3 5

7 12 4

e)

1 3 0 2

3 12 2 6

2 10 2 5

1 6 1 3

2. Encuentra la matriz inversa, si existe, usando el mtodo de la matriz

adjunta. Recuerda calcular primero el determinante para ver si existe o no.

* En este momento ya tenemos dos mtodos para calcular la matriz inversa, sin embargo, podemos notar

que si n> 3 , en general es ms fcil calcularA1con el mtodo de la reduccin por renglones que usando

la matriz adjunta, pues aun en el caso de 44 tenemos que calcular 17 determinantes.


45/164

lgebralineal

87

a) 3 2

1 2

b)

1 2 3

1 1 2

0 1 2

c)

2 1 4

1 0 5

19 7 3

2.5. Solucin de sistemas de nn, mediante lamatriz inversa

En esta seccin encontraremos la solucin de un sistema de ecuaciones de

nnmediante la matriz inversa.

El siguiente resultado nos da una pista acerca de cmo encontrar la solucin

de un sistema si la matriz de coeficientes asociada es invertible.

Teorema 2.5.SeaAla matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones de

ordennn. Entonces se cumplen las siguientes condiciones:Aes invertible.

El sistemaAx= b tiene una solucin nica que es x=A1

b El sistema homogneo asociadoAx= 0tiene una solucin nica que es

x= 0

Ejemplo 12

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

2 4 3 1

2

3 5 7 1

x y z

y z

x y z

formamos la matriz de coeficientesA =

2 4 3

0 1 1

3 5 7

Vamos a ver siAes invertible, para eso calculamos su determinante:

detA= 21 1

5 70

4 3

5 73

4 3

1 1

= 2(7+5) + 0 + 3(43) = 3


46/164

UNIDAD2

MTODODEGAUSSMATRIZINVERSA

MULTIPLICATIVA

Objetivos:

Al nalizar la unidad, el alumno:

Representar un sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas

mediante una matriz de orden mn. Conocer y aplicar el mtodo de Gauss para solucionar un sistema de

mn. Conocer y aplicar el mtodo de Gauss-Jordan para solucionar unsistema de nn.

Identificar las caractersticas de la matriz inversa multiplicativa.

Usar el mtodo de Gauss-Jordan para encontrar la matriz inversa

multiplicativa.

Usar la matriz adjunta para encontrar la matriz inversa multiplicativa.

Aplicar el mtodo de la matriz inversa para resolver sistemas de nn.


47/164


48/164

lgebralin

Introduccin

E

l problema de solucionar un sistema de mecuaciones con nincgnitas

ha sido objeto de estudio desde hace mucho tiempo. En esta unidad

estudiaremos varios mtodos para dar solucin a dichos sistemasutilizando para ello las matrices y sus propiedades.

2.1. Representacin de un sistema mediante

matrices

En esta seccin veremos la representacin matricial de un sistema de mn.

Recordemos que esto significa que tenemos m ecuaciones, cada una con nincgnitas:

a x a x a x b

a x a x a x b

n n

n n

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

+ + + =

+ + + =

a x a x a x bm m mn n m1 1 2 2+ + + =

Vamos a formar una matrizA de orden mncon todos los coeficientes delas ecuaciones y dos vectores columna, el xformado por las incgnitas y el b

formado por los trminos independientes. As, tenemos:

A

a a a a

a a a a

a

j n

j n

i

=

11 12 1 1

21 22 2 2

... ...

... ...

... ... ... ... ... ...

11 2

1 2

a a a

a a a a

i ij in

m m mj mn

... ...... ... ... ... ... ...

... ...

=

=, ,x b

x

x

x

x

b

b

bi

m

1

2

1

2

ii

mb

Definicin 2.1. Si tenemos un sistema demecuaciones connincgnitas.

a x a x a x b

a x a x a x b

n n

n n

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

+ + + =

+ + + =

=


49/164

Unidad 2

La representacin matricial del sistemaes:

Ax= b

dondeAse llama la matriz de los coeficientes,xes el vector columna cuyasentradas son las incgnitas y b es el vector columna cuyas entradas son los

trminos independientesde las ecuaciones.

Ax b=

a a a a

a a a a

j n

j n

11 12 1 1

21 22 2 2

... ...

... ...

... ... ... ... ... ....

... ...... ... ... ... ... ...

... ...

a a a a

a a a a

i i ij in

m m mj mn

1 2

1 2

=

x

x

x

x

b

b

bi

m

i

1

2

1

2

bm

Ejemplo 1

Escribe los siguientes sistemas en su representacin matricial:

a) Con el sistema dado por las siguientes ecuaciones:

2 4 6 18

4 5 6 24

3 2 4

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x

x x x

x x x

+ + =

+ + =

+ =

tenemos que A =

2 4 64 5 6

3 1 2

es la matriz de los coeficientes,

x b=

=

x

x

x

1

2

3

18

24

4

y entonces el sistema se puede escribir como

Axxx b=

=

2 4 64 5 6

1

2

1824


50/164


51/164

Unidad 2

Las matrices que hemos estudiado son conformadas por los coeficientes

de las ecuaciones del sistema, por lo que definiremos las que contienen una

columna ms, que incluye al vector columna de los valores independientes.

Definicin 2.3.Se llama matriz aumentadade un sistemamna la matrizde ordenm(n+1) que se obtiene al aumentar a la matriz de los coeficientes unacolumna formada por los trminos independientes.

Ejemplo 3

a) Obtn la matriz aumentada del sistema3 5 32 3 6 2

2 2 1

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x xx x x

x x x

+ = + =

+ =

Sea A =

3 5 1

2 3 6

1 2 2

, entonces la matriz aumentada es

B=

3 5 1 3

2 3 6 2

1 2 2 1

Nota queAes de orden 33 y la matriz aumentadaBes de orden 34.

b) Obtn la matriz aumentada del sistema3 2 9

3 6 8

x y z

x y z

+ =

+ =

entonces

A =

3 2 1

1 3 6es la matriz de coeficientes y B=

3 2 1 9

1 3 6 8es la matriz

aumentada

Nota queAes de orden 23 y que la matriz aumentadaBes de orden 24.


52/164

lgebralin

Ejercicio 1





a) 4 3 5 3 4

2 4 7 2

7 6 2 2 0

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x x x x

x x x x

x x x x

+ + = + + = + + =

b) 2 7 6

3 14 2 4

1 2

1 2

1 2

x x

x xx x

+ =

= =

c) 3 9 3 18

3 3 2 3 541 2 3 4

1 2 3 4

x x x x

x x x x

+ = + + =

2.2. Solucin de sistemas de orden mn,mediante el mtodo de Gauss

Para resolver un sistema de m ecuaciones con n incgnitas usaremos

el mtodo de Gauss, para ello necesitamos llevar la matriz a una forma



forma de escaln.

Definicin 2.4.Una matrizAse encuentra en forma escalonada reducida





cualquier rengln cuyos elementos no son todos cero es 1.

iii. Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero, entonces elprimer 1 en el rengln de abajo est ms hacia la derecha que el primer 1

en el rengln de arriba


53/164

Unidad 2

iv. Cualquier columna que contiene el primer 1 en un rengln, tiene ceros en el

resto de sus elementos. El primer nmero diferente de cero en un rengln se

llama pivotede ese rengln.

Una matriz se encuentra en forma escalonada por renglonessi se cumplen

las condiciones(i), (ii) y (iii).

Cabe sealar que:

a) La forma escalonada reducida por renglones es nica.

b) Es posible que al cambiar la sucesin de operaciones elementales sobre los

renglones se llegue a formas escalonadas distintas.

Ejemplo 4

1. Las siguientes matrices estn en la forma escalonada reducida por

renglones:

a)

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

b)1 0 20 1 3

0 0 0

c)1 0 0 5

0 0 1 2

d)

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

2. Las siguientes matrices no estn en la forma escalonada reducida por

renglones:

a)

1 0 0 0

0 4 0 0

0 0 1 0

b)

1 0 0

0 1 0

Tiene un 4 en el segundo

rengln en lugar de 1.

El tercer rengln tiene 1 a la

i i d d l 1 d l d


54/164

lgebralin

c)

1 0 0

0 0 0

0 0 1

Observacin: Siempre se puede llevar una matriz a la forma escalonadareducida por renglones realizando operaciones elementales con los renglones.

Por lo anterior, requerimos conocer cules son las operaciones elementales

que se pueden realizar con los renglones de una matriz; stas surgen de

convertir una ecuacin en otra equivalente realizando ciertas operaciones como

son:

Definicin 2.5. Las operaciones elementales con renglones de una matrizson:

i. Multiplicar o dividir un rengln por un nmero diferente de cero.

ii. Sumar un mltiplo de un rengln a otro rengln.

iii. Intercambiar dos renglones.

El proceso de aplicar las operaciones elementales con renglones para

simplificar una matriz aumentada se llama reduccin por renglones.

Notacin:

1. Ri

cRisignifica reemplaza el i-simo rengln por ese mismo rengln

multiplicado por c. (Para multiplicar un rengln por c, se multiplica cada

nmero del rengln por c).

2. Rj

Rj+ cR

i significa sustituye el j-simo rengln por la suma del

renglnjms el rengln imultiplicado por c.

3. Ri

Rjquiere decir intercambiar los renglones iyj.

Ejemplo 5

1. Lleva la matriz A=

2 4 6

4 5 6

3 1 2

a la forma escalonada reducida por

renglones:

El rengln de puros ceros

no est en la parte inferior

de la matriz.


55/164

Unidad 2

2 4 6

4 5 6

3 1 2

2 4 6

1 4R R R2 2

3 8

3 1 2

1 4 8

2 4 6

3 1 2

R R R1 2

22 2

3 3

R R

R R R

2

31

1

1 4 8

0 4 100 11 26

1 0

1 4

R R R

R R1 1 22 2

+

/

2

0 1 5 20 11 26

/

R R R R R R 3 3 2 2 3 +

11 2

1 0 2

0 1 5 2

0 0 3 2

1 0 2

0 1/

/

R R3 31

0 0 3 2

2 3

/

/

1 0 2

0 1 1

0 0 1

1 0 2

0 1 0R R R2 2 3

00 0 1

R R +2R 1 1 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Estamos ya en condiciones de aprender el mtodo de Gauss para resolver

un sistema de ecuaciones.

Mtodo de eliminacin de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones.

i. Se reduce por rengln la matriz aumentada del sistema a la forma

escalonada.

ii. Se despeja el valor de la ltima incgnita.

iii. Se usa la sustitucin hacia atrs para las dems incgnitas.

Ejemplo 6

1. Resuelve el sistema2 4 6 18

4 5 6 24

3 2 4

x y z

x y z

x y z

+ + =+ + =

+ =usando el mtodo de Gauss.

Se forma la matriz de los coeficientes aumentada2 4 6 18

4 5 6 24

3 1 2 4

y se

reduce a su forma escalonada por renglones:

2 4 6 18

4 5 6 24

1 2 3 9

4 5 6 21 11 2

R R

/44

1 2 3 9

0 34

R R R2 2 1

66 12


56/164

lgebralin

R R R R R2 3 3 2

2 1 3 5

1 2 3 9

0 1 2 4

0 5 11 23

/

1 2 3 9

0 1 2 4

0 0 1 3

R R

R R

2 2

3 3

1 2 3 90 1 2 4

0 0 1 3

De aqu regresamos a un sistema de ecuaciones

x y z

y z

z

+ + =+ =

=

2 3 9

2 4

3

donde ya tenemos el valor dez= 3; sustituyendo en la segunda

ecuacin obtenemos el valor dey:y+ 2(3) = 4 y= 2 ;sustituyendo en la

primera ecuacin los valores dezyyobtenemos el valor dex: x+ 2(2) + 3(3)

= 9x= 4. Por lo que la solucin es (4, 2, 3).

2. Resuelve el sistemax x x x

x x x x1 2 3 4

1 2 3 4

3 5 4

2 5 2 4 6

+ + =+ + =

por el mtodo de Gauss.

Se forma la matriz aumentada1 3 5 1 4

2 5 2 4 6

y se reduce por

renglones.

1 3 5 1 4

2 5 2 4 6

1 3 5 1 4

0 1 8 2 22

R R R2 2 1 RR R2 2

1 3 5 1 4

0 1 8 2 2

1 0 19 7 2

0 1 8 2 23

R R R1 1 2

Si regresamos al sistema de ecuaciones obtenemosx x x

x x x

1 3 4

2 3 4

19 7 2

8 2 2

+ + =

=

lo que evidentemente nos muestra que tenemos una infinidad de soluciones,

pues los valores dex3yx4pueden escogerse de manera arbitraria, y para cadapar de valores obtenemos los valores dex1y dex

2.

Como mencionamos en la definicin 1.24,un sistema de ecuaciones lineales

es inconsistente si no tiene solucin y consistente si tiene al menos una

solucin.

Nota. Recordemos los sistemas homogneos; en ellos los trminos

independientes son todos cero, por lo tanto podemos decir que un sistema

homogneo siempre tiene al menos una solucin: la trivial (donde todas lasvariablesx

1=x

2=x

3= = 0) y por tanto siempre es consistente.


57/164

Unidad 2

Ejercicio 2

1. Di si las siguientes matrices se encuentran en forma escalonada por

renglones (pero no reducida por renglones), en forma escalonada reducida por

renglones o ninguna de las dos:

a)

1 1 0

0 1 0

0 0 1

b)1 0 1 0

0 1 1 0

0 0 0 0

c)1 00 1

0 0

d)1 0 0 4

0 1 0 5

0 1 1 6

2. Usa las operaciones elementales con renglones para reducir las siguientes

matrices a la forma escalonada por renglones y a la forma escalonada reducidapor renglones:

a)1 1

2 3

b)2 4 2

3 1 6

c)

2 7

3 54 3

d)

2 4 8

3 5 8

6 0 4

3. Encuentra las soluciones (si las hay) de los siguientes sistemas usando el

mtodo de Gauss:

)

2 3 3

2 2 1

x y z+ =


58/164

lgebralin

b) 2 3 22 1

x y z

x y z

+ = + =

c)x x

x x

x x

1 2

1 2

1 2

4

2 3 7

3 2 8

+ = =

+ =

2.3. Solucin de sistemas de ordenmn,mediante el mtodo de Gauss-Jordan

El mtodo de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones es muy

similar al mtodo de Gauss, la diferencia es que en ste se pide que la reduccin

de las matrices sea en la forma escalonada reducida, con lo que se obtienendirectamente las soluciones del sistema.

Mtodo de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

i. Se reduce la matriz aumentada a la forma escalonada reducida por

renglones.

ii. Se obtienen las soluciones del sistema.

Ejemplo 7

1. Resuelve el sistemax y z

x y z

x y z

+ + =+ + =

+ =

2 3 9

4 5 6 24

3 2 4

utilizando el mtodo de Gauss-

Jordan:

Formamos la matriz aumentada1 2 3 9

4 5 6 24

3 1 2 4

y la llevamos a la


R R R R R 3 3 2 3 3

+

5

1 2 3 9

0 1 2 4

1 2 3 9

0 1 2 4 2R R R1 1 2

1 2 3 9

4 5 6 24

3 1 2 4

1

4

3

R R R

R R R

2 2 1

3 3 1

22 3 9

0 3 6 12

0 5 11 23

1 3

1 2 3

R R2 2

/ 9

0 1 2 4

0 5 11 23


59/164

Unidad 2

1 0 1 1

0 1 2 4

0 0 1 3

1 0 0 4

0 12

+

R R R

R R R2 2 3

1 1 300 2

0 0 1 3

De aqu podemos obtener las soluciones del sistemax= 4; y= 2; z= 3.


3 6 6 9

2 5 4 6

16 14 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x

x x x

x x x

+ = + =

+ = usando Gauss-Jordan.

Formamos la matriz aumentada

3 6 6 9

2 5 4 6

1 16 14 3

y la llevamos a la


3 6 6 9

2 5 4 6

1 16 14 3

R R

1 11 3/

1 2 2 3

2 5 4 6

1 16 14 3

R2 R 2R

R R + R

2 1

3 3 1

R R R R 2R 2 2 1 1 2

1 91 2 2 3

0 1 8 9 0

0 0 0 0

//

1 0 2 9 3

0 1 8 9 0

0 0 0 0

/

/

Como la matriz tiene un rengln cuyos elementos son todos ceros, podemos

concluir que el sistema tiene una infinidad de soluciones, ya quex x

x x

1 3

2 3

2 9 3

8 9 0

=

=

/

/

y por lo tantox1yx

2dependen del valor dex

3.

3. Resuelve el sistemax y z

x y z

x y z

+ = + =

+ + =

7

4 5 4

6 3 20

usando el mtodo de Gauss-Jordan.

Llevamos la matriz aumentada1 1 1 7

4 1 5 4

6 1 3 20

a su forma escalonada

reducida.

1 1 1 7 1 1 1 7

1 2 2 3

0 9 8 0

0 18 16 0

1 2 2 3

0 9

R 1/2R 3 3

R R +R 3 3 28 0

0 9 8 0

1 2 2 3

0 9 8 0

0

00 0 0


60/164

lgebralin

1 1 1 7

0 0 0 2

0 5 9 22

R R +1/5R

R R1 1 3

2 3

1 0 4 5 13 5

0 5 9 22

0 0 0 2

/ /

Como la matriz tiene un rengln (0, 0, 0, 2) indica que el sistema notienesolucin ya que no existe un nmero que sea 2 y al mismo tiempo sea cero.

Ejercicio 3



a) x x x

x x x

x x x

1 2 3

1 2 3

1 2 3

7

4 5 4

2 2 3 0

+ = + =

+ =

b) 3 6 6 9

2 5 4 6

5 28 26 8

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x

x x x

x x x

+ = + =

+ =

c) x x x

x x x

x x x

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 11

4 4

2 3 10

+ =+ =

+ =




de ecuaciones.


Sean A=2 5

1 3

y B=

3 5

1 2


AB=2 5

1 3

3 5

1 2

1 0

0 1

=

y BA =

3 5

1 2

2 5

1 3

1 0

0 1

=

, por


2 =

1 0

0 1

es la matriz

identidad de 22.


61/164


62/164

lgebralin

AA1=2 3

4 5

2 3 2 3

4 5 4 5

=

+ +

x yz w

x z y w

x z y w

=

1 0

0 1

Recordemos que dos matrices son iguales si todas sus entradas lo son, por

lo cual

2x 3z = 1; 4x + 5z = 0; 2y 3w = 0; 4y + 5w =1.

Con esto se forman dos sistemas de ecuaciones lineales:

2 3 1

4 5 0

x z

x z

= + =

y2 3 0

4 5 1

y w

y w

= + =

y para resolverlos vamos a escribirlos en

la forma matricial aumentada: 2 3 1

4 5 0

y

2 3 0

4 5 1

. Al

reducirlas obtendremos los resultados1 0

0 1

x

z

y

1 0

0 1

y

w

Como la matriz original es la misma para ambos sistemas, podemos

realizar la reduccin por renglones al mismo tiempo considerando la

nueva matriz aumentada2 3 1 0

4 5 0 1

al hacerlo obtendremos

1 0

0 1

x y

z w

R R1 12 3 1 0

4 5 0 1

1 3 2 1 2 0

4 5 0 11 2

/ / /

+R R R2 2 14

1 3 2 1 2 0

0 1 2 1

1 0 5 2 3 2

0 1 23 2

+

/ / / //

R R

R R R2 2

1 1 2

=

1

1 0

0 1

x y

z w

De donde obtenemos las soluciones x= 5/2; z= 2;y= 3/2; w= 1

EntoncesAes invertible y su inversa esA1=

5 2 3 2

2 1

/ /

Este ejemplo nos ilustra un procedimiento para encontrar la matriz inversa

que siempre funciona y que se puede generalizar a matrices de orden nn.


63/164

Unidad 2

Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadradaA

1. Se escribe la matriz aumentada ( )A I .

2. Se utiliza la reduccin por renglones para poner la matrizAen su formaescalonada reducida por renglones.

3. Se decide si es invertible.

a. Si la forma escalonada reducida por renglones deAes la matriz identidad

I, entoncesA1es la matriz que se tiene a la derecha de la barra vertical.

b. Si la reduccin deAconduce a un rengln de ceros a la izquierda de la

barra vertical, entoncesA no es invertible.

Ejemplo 8

1. Sea A =1 2

2 4

vamos a determinar si es o no invertible.

R R R2 2 11 2 1 0

2 4 0 1

1 2 1 0

0 0 2 12

+

Como tiene un rengln de ceros a la izquierda de la barra vertical, Ano es

invertible.

2. SeaA=2 4 6

4 5 6

3 1 2

, vamos a determinar si es o no invertible, y si lo

es encontrarA1.

2 4 6 1 0 0

4 5 6 0 1 0

3 1 2 0 0 1

1 21 2

R R1 1

/

3 1 2 0 0

4 5 6 0 1 0

3 1 2 0 0 1

/

R R 4R R R 3R

2 2 1

3 3 1

1 2 3 1 2 0 0

0 3 6 2 1 0

0 5 11 3 2

/

/ 00 1

R 1/3R 2 2


64/164

lgebralin

R 1R

R R + R 3 3

1 1 3

1 0 0 8 3 7 3 1

0 1 2 2 3 1 3 0

0 0 1

/ /

/ /

11 6 5 3 1/ /

R R 2R 2 2 3

1 0 0 8 3 7 3 1

0 1 0 13 3 11 3 2

0 0 1 11 6 5 3 1

/ /

/ /

/ /

De donde obtenemos la matriz inversa A1=

8 3 7 3 113 3 11 3 2

11 6 5 3 1

/ // /

/ /

(*)

Verificacin:AA1=

2 4 6

4 5 6

3 1 2

8 3 7 3 1

13 3 11 3 2

/ /

/ /

=

11 6 5 3 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1/ /

Nota: Es importante verificar que AA1=I.

Veamos algunos resultados importantes acerca de las matrices inversas.

Teorema 2.3. SeaAuna matriz de ordennn.

EntoncesAes invertible, si y slo si, detA0

Ejemplo 9

1. Consideremos la matriz del ejemplo anterior:

A =

2 4 6

4 5 6

3 1 2 sabemos que es invertible, vamos a calcular su

determinante.

det A = 25 6

1 24

4 6

3 26

4 5

3 1

+ = 2(106) 4(818) + 6(415) = 6

1 2 3 1 2 0 0

0 1 2 2 3 1 3 0

0 5 11 3 2 0 1

/

/ /

/

R R + 5R

R R 2R 3 3 2

1 1 2

1 0 1 5 6 2 3 0

0 1

/ /

22 2 3 1 3 0

0 0 1 11 6 5 3 1

/ /

/ /


65/164

Unidad 2

detA 0

2. Consideremos la matriz A=1 2

2 4

y calculemos su determinante.

detA= 4 + 4 = 0 y

R R R2 2 11 2 1 02 4 0 1

1 2 1 00 0 2 1

2

+ por lo tanto no es

invertible.

Vamos ahora a dar la definicin de otra matriz importante en nuestra

bsqueda de matrices inversas.

Recordemos lo que son los cofactores de una matriz A (Definicin 1.22)

A Miji j

ij= ( )+

1

SiA =

2 4 6

4 5 6

3 1 2

entonces sus cofactores son

A11

=5 6

1 2

= 10 6 =16 A

12=

4 6

3 2

= (818) = 26

A13

=4 5

3 1

= 415 =11

A21

= 4 6

1 2

= (86) = 14 A

22=

2 6

3 2

= 418 =22

A23

= 2 4

3 1= (212) = 10

A31

=4 6

5 6= 24 30 =6 A

32=

2 6

4 6 = (1224) = 12

A33

= 2 44 5

= 1016 =6

Con estos cofactores haremos una matriz de orden 33 de tal manera queobtendremos una matrizB:

B=

16 26 11

14 22 10

6 12 6


66/164

lgebralin

Definicin 2.8. SeaAuna matriz de orden nny sea Bla matriz formadapor los cofactores deA. Entonces la adjuntadeA, que se denota adj Aes la

transpuesta de la matriz B, es decir:

adjA=BT=

A A A

A A A

A A A

n

n

n n nn

11 21 1

12 22 2

1 2

Ejemplo 10

Vamos a encontrar la adjunta de A =

2 4 6

4 5 6

3 1 2

SeaBla matriz de los cofactores deA.

B=

A A A

A A A

A A A

11 12 13

21 22 23

31 32 33

16 26 11

14 22

=

110

6 12 6

entonces

adjA =BT=

16 14 626 22 12

11 10 6

Ya con estos elementos podemos encontrar la inversa de una matriz usando

su determinante y su matriz adjunta como nos lo indica el siguiente teorema.

Teorema 2.4. SiAes una matriz de ordennninvertible.

Entonces A1=1

detAadjA

Ejemplo 11

Usaremos la matriz anterior A =2 4 64 5 6

y vamos a calcular su


67/164

Unidad 2

det A = 25 6

1 24

4 6

3 26

4 5

3 1

+ = 2(106) 4(818) +6(415) =

32 + 104 66 = 6

entoncesA1=1

6adjA=

1

6

16 14 626 22 12

11 10 6

=

8 3 7 3 113 3 11 3 2

11 6 5 3 1

/ // /

/ /

Nota que esta matriz inversa ya la habamos obtenido con el mtodo de

Gauss-Jordan.*

Observacin:Este teorema refuerza el resultado acerca de que una matriz

invertible necesariamente debe tener un determinante distinto de cero.

Ejercicio 4

1. Encuentra la matriz inversa, si existe, usando el mtodo de Gauss-

Jordan. En caso de que no exista la matriz inversa, indica la razn:

a) 2 1

3 2

b) 1 13 3

c)

3 2 1

0 2 2

0 0 1

d)

1 6 2

2 3 5

7 12 4

e)

1 3 0 2

3 12 2 6

2 10 2 5

1 6 1 3

2. Encuentra la matriz inversa, si existe, usando el mtodo de la matriz

adjunta. Recuerda calcular primero el determinante para ver si existe o no.

* En este momento ya tenemos dos mtodos para calcular la matriz inversa, sin embargo, podemos notar


68/164

lgebralin

a) 3 21 2

b)

1 2 3

1 1 2

0 1 2

c)

2 1 4

1 0 5

19 7 3

2.5. Solucin de sistemas de nn, mediante la

matriz inversaEn esta seccin encontraremos la solucin de un sistema de ecuaciones de

nnmediante la matriz inversa.

El siguiente resultado nos da una pista acerca de cmo encontrar la solucin

de un sistema si la matriz de coeficientes asociada es invertible.

Teorema 2.5.SeaAla matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones de

ordennn. Entonces se cumplen las siguientes condiciones:Aes invertible. El sistemaAx= b tiene una solucin nica que es x=A1b

El sistema homogneo asociadoAx= 0tiene una solucin nica que es

x= 0

Ejemplo 12

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

2 4 3 1

2

3 5 7 1

x y z

y z

x y z

+ + = =

+ + = formamos la matriz de coeficientesA =

2 4 3

0 1 1

3 5 7

Vamos a ver siAes invertible, para eso calculamos su determinante:

1 1 4 3 4 3


69/164

Unidad 2

Como el determinante es distinto de cero, la matriz es invertible y por lo

tanto el sistema tiene solucin nica.

Usando alguno de los mtodos vistos con anterioridad encontramos que

A1=

4 13/3 7/3

1 5/3 2/3

1 2/3 2/3

por lo tanto la solucin del sistema ser

x=A1b=

4 13/3 7/3

1 5/3 2/3

1 2/3 2/3

1

2

11

7 3 5 3 1 3

= ( )/ / / de donde

x= 7/3 2(7/3)+4(5/3)+3(1/3) = 1

y= 5/3 comprobando tenemos 5/3 (1/3) = 2

z= 1/3 3(7/3)+5(5/3)+7(1/3)= 1

Ejercicio 5

1. Considera los siguientes sistemas de ecuaciones lineales y encuentra:

1) El determinante de la matriz de coeficientes asociada.

ii) Con base en lo anterior indica si el sistema tiene o no solucin nica.

iii) Encuentra la matriz inversa, si la hay.

iv) Encuentra la solucin del sistema, si tiene, usando la matriz inversa.

a) x x x

x x x

x x x

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 0

4 0

2 3 0

+ =+ =

+ =

b) + =+ =

x y

x y

6 2

4 2 1

c) 2 4 8 13 5 8 0

6 4 2

x y z

x y z

x z

+ =+ + =

+ =


70/164

lgebralin

Ejercicios resueltos

1. Lleva a la forma escalonada reducida por renglones la matriz

2 3 1

4 1 5

3 6 7

2 3 1

4 1 5

3 6 7

2 3 1

1 7R R R2 2 3

112

3 6 7

1 7 12

2 3 1

3 6 7

R R

1 2

R R 2R

R R 3R

R R2 2 1

3 3 1

3

1 7 12

0 17 23

0 27 43

33 2 3 3R R R

1 7 12

0 17 23

0 10 20

1 10/

1 7 12

0 17 23

0 1 2

1 7 12

0 1 2

0

R R3 2

17 23

R R 17 R3 3 2

1 7 12

0 1 2

0 0 11

R R + 7R R 1/11R1 1 2 3 3

1 0 2

0 1 2

0 0 11

R R + 2R

R R + 2R

2 2 3

1 1

1 0 2

0 1 2

0 0 133

1 0 0

0 1 00 0 1

2. Considera el siguiente problema:

Una compaa quiere comprar maquinaria y recibe de cuatro proveedores

los siguientes presupuestos:

Proveedor A B C DNm. compresoras 2 0 1 1

Nm. de medidores 0 4 2 2

Nm. vlvulas 4 4 0 4

Nm. reguladores 1 2 2 0

Costo total _______ _______ ______ _______

millones de dlares 6 5 5 4

Si sabemos que todos los proveedores tienen el mismo precio para cada tipo

d i i ill d d d l i ?


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Unidad 2

Para resolver este problema vamos a convertirlo a un sistema de ecuaciones

de la siguiente manera: seaxel precio de las compresoras, yel precio de los

medidores,zel precio de las vlvulas y wel precio de los reguladores, por lo

tanto tenemos:

2 4 64 4 2 5

2 2 5

2 4 4

x z w

Antologia AL UTEL

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