ANALISIS TEORI ANTRIAN MULTI-CHANNEL

DENGAN DISTRIBUSI EKSPONENSIAL

(Skripsi)

Oleh

AGNES MALUDFI PUTRI

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2016

Lucia Dewanti Maharani

ABSTRACK

ANALYSIS MULTI-CHANNEL QUEUING THEORY WITHEXPONENTIAL DISTRIBUTION

By

AGNES MALUDFI PUTRI

Queuing Theory is one of theory to analyze queuing systems. Queuing is asituation where customers have to wait their turn to get services. The basiccomponents contained in the queuing process are arrival, service and queues.Nature arrivals that occur in the queuing system are the random arrival andconstant arrival. Based on the order of channels in the queue structure, there aretwo types of queuing system, single-channel and multi-channel queuing system.There are some customer behavior that can occur in a queue; jockeying, balkingand reneging. In this study we use random arrival properties that generally occurin everyday life. The arrival rate will be Poisson distribution with parameter andinterarrival time or service time will be exponential distribution with µ parameter.In this research we will discuss the length of the queue L and Lq and the waitingtime W and Wq.

Keywords: Queuing theory, multi-channel, exponential distribution

Lucia Dewanti Maharani

ABSTRAK

ANALISIS TEORI ANTRIAN MULTI-CHANNEL DENGAN DISTRIBUSIEKSPONENSIAL

Oleh

AGNES MALUDFI PUTRI

Teori Antrian adalah salah satu teori untuk menganalisis sistem antrian. Antrianmerupakan keadaan dimana pelanggan harus menunggu giliran untukmendapatkan jasa pelayanan. Komponen dasar yang terdapat dalam proses antrianyaitu kedatangan, pelayanan dan antrian. Sifat kedatangan yang terjadi dalamsistem antrian yaitu kedatangan secara acak dan kedatangan secara konstan.Berdasarkan susunan saluran dalam struktur antrian, terdapat 2 jenis sistemantrian yaitu sistem antrian single-channel dan sistem antrian multi-channel.Terdapat beberapa perilaku customer yang dapat terjadi dalam suatu antrian, yaitujockeying, balking dan reneging. Dalam penelitian ini karena digunakan sifatkedatangan acak yang umumnya terjadi dalam kehidupan sehari-hari, makatingkat kedatangan akan berdistribusi Poisson dengan parameter dan waktupelayanan akan berdistribusi eksponensial dengan parameter µ. Pada penelitian iniakan didiskusikan tentang panjang antrian L dan Lq serta waktu antrian W dan Wq.

Kata kunci: Teori Antrian, Multi-Channel, Distribusi Eksponensial

ANALISIS TEORI ANTRIAN MULTI CHANNEL DENGAN

DISTRIBUSI EKSPONENSIAL

Oleh

Agnes Maludfi Putri

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar

SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2016

MOTTO

“Jenius adalah 1 % dan 99 % keringat. Tidak ada yang dapat menggantikankerja keras. Keberuntungan adalah sesuatu yang terjadi ketika kesempatan

bertemu kesiapan.”(Thomas Alfa Edison)

“Allah tidak akan membebani seseorang melainkan sesuai dengankesanggupannya”

(Al-Baqarah:286)

“Tidak ada rahasia untuk menggapai sukses. Sukses itu dapat terjadi karenapersiapan, kerja keras dan mau belajar dari kegagalan”

(General Colin Powell)

PERSEMBAHAN

Dengan penuh rasa syukur kepada Allah SWT, penulis persembahkan karya

kecil dan sederhana ini sebagai tanda bakti dan cinta kepada semua orang yang

senantiasa mendukung dan dengan tulus mendoakan kelancaran terciptanya

karya ini.

Ayah, Mama, Fabi yang selalu meberikan semangat dan menjadi sumber

motivasi terbesar selama ini

Dosen Pembimbing dan Penguji yang senantiasa mengarahkan dan memberi

motivasi kepada penulis

Sahabat-sahabat yang selalu ada. Terima kasih atas keceriaan, semangat, serta

motivasi yang diberikan kepada penulis.

Almamater penulis Universitas Lampung

MOTTO

“Jenius adalah 1 % dan 99 % keringat. Tidak ada yang dapat menggantikankerja keras. Keberuntungan adalah sesuatu yang terjadi ketika kesempatan

bertemu kesiapan.”(Thomas Alfa Edison)

“Allah tidak akan membebani seseorang melainkan sesuai dengankesanggupannya”

(Al-Baqarah:286)

“Tidak ada rahasia untuk menggapai sukses. Sukses itu dapat terjadi karenapersiapan, kerja keras dan mau belajar dari kegagalan”

(General Colin Powell)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Tanjung Karang, Bandar Lampung pada tanggal 20

Agustus 1994, sebagai anak pertama dari dua bersaudara pasangan Bapak

Sugeng Wasito dan Ibu Asmariyani.

Pendidikan Sekolah Dasar (SD) Al-Kautsar Bandar Lampung diselesaikan

pada tahun 2006, Sekolah Menengah Pertama (SMP) N 1 Bandar

Lampung diselesaikan pada tahun 2009, dan Sekolah Menengah Atas

(SMA) Negeri 5 Bandar Lampung diselesaikan pada tahun 2012.

Tahun 2012 penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung

melalui jalur mandiri. Selama menjadi mahasiswa, penulis aktif dalam

organisasi kemahasiswaan tingkat jurusan, fakultas dan universitas yaitu

Anggota Gematika 2012-2013, anggota eksternal Himpunan Mahasiswa

Matematika (HIMATIKA) periode 2013-2014, pengurus Unit Kegiatan

Mahasiswa Fakultas (UKMF) Klub Selam Anemon (KSAn) Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam, pengurus Unit Kegiatan Mahasiswa (UKM)

Judo Universitas Lampung, pengurus Forum Penyelam Mahasiswa

Indonesia (FoPMI).

Pada tahun 2015 penulis melakukan Kerja Praktik (KP) di Kantor Badan

Pusat Statistik (BPS) Kota Bandar Lampung, dan pada tahun yang sama

penulis melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Bakung Rahayu,

Kecamatan Gedung Meneng, Kabupaten Tulang Bawang, Provinsi

Lampung.

SANWACANA

Dengan mengucapkan Alhamdulillah penulis panjatkan puji syukur kehadirat

Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan

skripsi ini yang berjudul “Analisis Teori Antrian Multi-channel dengan Distribusi

Eksponensial”. Skripsi ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh

gelar Sarjana Sains di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Lampung. Dalam pelaksanaan dan penyusunan

skripsi ini penulis banyak mendapatkan bantuan, pengarahan, motivasi serta

bimbingan dari berbagai pihak. Dengan ketulusan hati penulis ingin mengucapkan

terimakasih banyak kepada :

1. Ibu Dian Kurniasari, M.Sc. selaku Dosen Pembimbing I, terimakasih untuk

bimbingan dan kesediaan waktunya selama penyusunan skripsi ini.

2. Ibu Dra. Wamiliana, M.A. Ph.D. selaku Dosen Pembimbing II, terimakasih

untuk bimbingan dan masukannya selama penyusunan skripsi.

3. Bapak Drs. Mustofa Usman, M.A., Ph.D. selaku Dosen Penguji, terimakasih

atas kesediannya untuk menguji, memberikan saran dan kritik yang

membangun dalam penyelesaian skripsi ini.

4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. selaku Pembimbing Akademik dan

Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung, terimakasih atas

bimbingan dan pembelajarannya dalam menjalani perkuliahan.

5. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D.,selaku Dekan FMIPA Universitas

Lampung.

6. Seluruh Dosen dan Karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas

Lampung.

7. Ayah, Mama dan Adik tercinta yang tak pernah berhenti memberi semangat,

doa, materi, dorongan, nasehat dan kasih sayang serta pengorbanan yang tak

tergantikan hingga penulis selalu kuat menjalani setiap rintangan yang ada di

depan.

8. Sahabat tersayang Elva, Putri, Dwi, Mutia dan Erni yang selalu ada dalam

keadaan apapun.

9. Sahabat-sahabat seperjuangan Matematika 2012 Ima, Hana, Ica, Ernia, Mba

Desti, Yama, Maya, Anggi, Gerry, Yefta, dan semua teman-teman yang tidak

dapat disebutkan satu persatu.

10. Keluarga HIMATIKA dan Klub Selam Anemon FMIPA Universitas

Lampung atas kebersamaannya selama ini.

11. Almamater tercinta Universitas Lampung.

12. Seluruh pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan satu

persatu.

Bandar Lampung, Oktober 2016

Agnes Maludfi Putri

Notasi

=Peluang tidak ada pelanggan dalam sistem antrian

=Peluang terdapat n pelanggan dalam suatu sistem antrian

=Rata-rata jumlah pelanggan dalam suatu sistem antrian

=Rata-rata jumlah pelanggan yang sedang antri

=Rata-rata waktu yang dihabiskan seorang pelanggan dalam sistem antrian

=Rata-rata waktu yang dihabiskan seorang pelanggan untuk menunggu antrian

sampai dilayani

=Seorang pelanggan yang sedang dilayani1 =Rata-rata waktu pelayanan1 =Panjang interval waktu diantara 2 kedatangan berurutan

=Jumlah kedatangan per unit waktu (Rata-rata tingkat kedatangan)

=Jumlah pelanggan dilayani per unit waktu (Rata-rata tingkat pelayanan)

=Banyaknya pelanggan

=Banyaknya server

=Total biaya harapan

=Harapan biaya tunggu untuk kedatangan per periode

=Harapan biaya fasilitas dari personel pelayanan per pelanggan

=Harapan biaya tunggu per periode

=Hasil biaya tunggu untuk setiap kedatangan per periode

=Harapan biaya pelayanan per periode

=Hasil dari biaya melayani satu orang

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ……………………………………………………… xiv

DAFTAR GAMBAR ................................................................................ xv

I. PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang dan Masalah .................................................... 11.2. Tujuan Penelitian...................................................................... 31.3. Manfaat Penelitian.................................................................... 3

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Teori Antrian ............................................................................ 42.2 Distribusi Eksponensial .......................................................... 52.3 Rantai Markov ........................................................................ 8

2.3.1 State................................................................................. 82.3.2 Proses Stokastik .............................................................. 82.3.3 Rantai Markov ................................................................ 82.3.4 Rantai Markov Waktu Kontinu ...................................... 9

2.4 Komponen Model Antrian ...................................................... 122.5 Distribusi Kedatangan ............................................................ 162.6 Distribusi Waktu Pelayanan ................................................... 172.7 Peranan Distribusi Eksponensial ............................................ 192.8 Proses Kelahiran dan Kematian .............................................. 202.9 Perilaku Biaya.......................................................................... 212.10 Tingkat Kegunaan .................................................................. 23

III. METODE PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian.................................................. 243.2 Metode Penelitian .................................................................... 24

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Mendeskrisikan konsep analisis antrian single-channel ………. 274.2 Menganalisis persamaan keseimbangan proses kelahiran dan

kematian untuk pada antrian multi-channel berdasarkan konsepantrian single-channel …………………………………………. 30

4.3 Menganalisis persamaan berdasarkan persamaan keseimbanganyang telah diketahui …………………………………….…. 33

4.4 Menganalisis persamaan berdasarkan persamaan keseimbanganyang telah diketahui ……………………………………… 34

4.5 Menganalisis persamaan dengan menjumlahkan denganpersamaan yang telah diketahui ………………………….. 36

4.6 Menganalisis persamaan dengan mengalikan 1 dengan

persamaan yang telah diketahui …………………………. 37

4.7 Menganalisis persamaan dengan menjumlahkan 1 denganpersamaan yang telah diketahui ………………………… 37

4.8 Menerapkan hasil analisis teori antrian multi-channel dengandistribusi eksponensial pada studi kasus …………………….. 38

V. KESIMPULAN

5.1 Kesimpulan …………………………………………………... 495.2 Saran …………………………………………………………. 50

DAFTAR PUSTAKA

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

4.1 Persamaan keseimbangan untuk proses kelahiran dan Kematian ......... 284.2 Persamaan keseimbangan untuk proses kelahiran dan kematian untuk= ; = 1,2,3, … ……………………………………………. 314.3 Persamaan keseimbangan untuk proses kelahiran dan kematian untuk= ; = , + 1, + 2,………………………………………. 324.4 Persamaan keseimbangan untuk proses kelahiran dan kematian pada

stasiun pelayanan suatu pompa bensin …………..….………………. 42

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

2.1 Model sistem antrian single channel- single phase…………………… 142.2 Model sistem antrian single channel- multi phase ………………........ 152.3 Model sistem antrian multi channel- single phase …………………… 152.4 Model sistem antrian multi channel- multi phase ……………….…… 163.1 Diagram alir langkah-langkah penelitian …………………………… 264.1 Diagram transisi untuk single channel …………………………..…… 284.2 Diagram transisi untuk multi channel …………………………...……. 314.3 Diagram transisi untuk stasiun pelayanan suatu pompa bensin ……... 424.4 Diagram transisi untuk sebuah toko grosir …………………...……… 45

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Teori Antrian adalah salah satu teori untuk menganalisis sistem antrian. Antrian

merupakan keadaan dimana pelanggan harus menunggu giliran untuk mendapatkan

jasa pelayanan. Komponen dasar yang terdapat dalam proses antrian, yaitu

kedatangan, pelayanan dan antrian. Dalam sistem antrian pola kedatangan yang dapat

terjadi, antara lain kedatangan secara konstan dan kedatangan secara acak. Pola

kedatangan secara konstan umumnya terjadi pada proses pembuatan atau pengemasan

suatu produk. Sedangkan pola kedatangan secara acak umumnya terjadi pada antrian

di bank, rumah sakit, dan sebagainya. Berdasarkan susunan saluran dalam struktur

antrian, terdapat 2 jenis sistem antrian, yaitu sistem antrian single-channel dan sistem

antrian multi-channel. Sistem antrian single-channel artinya hanya terdapat satu

pelayanan, sedangkan sistem antrian multi-channel artinya terdapat beberapa

pelayanan.

Kejadian antrian (queues) terjadi karena permintaan pelayanan lebih besar daripada

fasilitas pelayan yang ada dalam sistem antrian. Permintaan pelayanan akan

meningkat terus menerus sedangkan ketersediaan fasilitas pelayanan terbatas. Antrian

menimbulkan berbagai kerugian (loss), opportunity loss dan wasting time. Antrian

2

yang terlalu panjang memungkinkan terjadinya jockeying (berpindah dari antrian satu

ke antrian lainnya), balking (penolakan) dan reneging (pembatalan) sehingga akan

merugikan pihak yang membutuhkan layanan. Untuk mengurangi kerugian dalam

antrian, perlu dilakukan peningkatan efisiensi sistem antrian.

Salah satu cara untuk mengatasi antrian yang terlalu panjang dapat dilakukan dengan

menambah saluran pada sistem antrian yang nantinya akan memudahkan pelayanan,

sehingga dapat menetralisir antrian yang panjang. Tetapi, menyelenggarakan layanan

yang berlebihan juga harus dihindari karena akan mengakibatkan sumber daya yang

tersedia terlalu lama menganggur sehingga akan merugikan pihak penyelenggara

layanan. Antrian yang panjang umumnya terjadi pada sistem antrian single-channel

karena hanya memiliki satu saluran pelayanan. Jika dilakukan penambahan saluran

pelayanan, maka sistem antrian single-channel akan membentuk sistem antrian multi-

channel. Namun, untuk melakukan penambahan saluran layanan tentunya akan

menimbulkan biaya tambahan yang tidak sedikit.

Pola kedatangan sistem antrian yang akan digunakan dalam penelitian ini

menggunakan pola kedatangan yang umumnya terjadi dalam kehidupan sehari-hari,

yaitu kedatangan secara acak. Karena pola kedatangan terjadi secara acak, maka

waktu pelayanan akan berdistribusi eksponensial. Dalam berbagai bidang dan

berbagai kasus, teori antrian dapat diterapkan untuk mengoptimalkan

penyelenggaraan layanan dengan cara meminimalkan baik biaya penyediaan sumber

daya untuk menyelenggarakan layanan maupun biaya yang mungkin timbul pada

3

pihak yang memerlukan layanan. Oleh karena itu, dalam penelitian ini penulis tertarik

untuk menganalisis teori antrian multi-channel dengan distribusi eksponensial.

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menganalisis Teori Antrian Multi-Channel

dengan menggunakan Distribusi Eksponensial.

1.3 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah :

1. Memberikan informasi tentang teori antrian multi-channel dengan distribusi

eksponensial.

2. Dapat mengaplikasikannya pada kasus yang berkaitan dengan penelitian ini.

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Teori Antrian

Teori antrian adalah teori yang menyangkut studi matematis dari antrian atau baris-

baris penungguan. Teori antrian berkenaan dengan seluruh aspek dari situasi

pelanggan (baik orang maupun barang) harus antri untuk mendapatkan suatu layanan.

Menurut Heizer dan Render (2009) antrian adalah ilmu pengetahuan tentang bentuk

antrian dan merupakan orang-orang atau barang dalam barisan yang sedang menunggu

untuk dilayani atau meliputi bagaimana perusahaan dapat menentukan waktu dan fasilitas

yang sebaik-baiknya agar dapat melayani pelanggan dengan efisien.

Sistem antrian adalah suatu himpunan pelanggan, pelayan, dan aturan yang mengatur

kedatangan para pelanggan. Keadaan sistem menunjuk pada jumlah pelanggan yang

berada dalam suatu fasilitas pelayanan, termasuk dalam antriannya. Populasi adalah

jumlah pelanggan (customer) yang datang pada fasilitas pelayanan, sedangkan

besarnya populasi merupakan jumlah pelanggan yang memerlukan pelayanan

(server). Antrian yang sangat panjang dan terlalu lama untuk memperoleh giliran

pelayanan membuang banyak waktu. Rata-rata lamanya waktu menunggu (waiting

time) sangatlah tergantung kepada rata-rata tingkat kecepatan pelayanan (rate of

services).

5

Teori tentang antrian pertama diketemukan dan dikembangkan oleh Erlang seorang

insinyur dari Denmark, dalam bukunya Solution of Some Problem in the Theory of

Probability of Significance in Automatic Telephone Exchange pada tahun 1913.

Sewaktu itu Erlang masih bekerja pada perusahaan telepon di Kopenhagen. Erlang

melakukan eksperimen tentang fluktuasi permintaan fasilitas telepon yang

berhubungan dengan automatic dialing equipment, yaitu peralatan penyambungan

telepon secara otomatis. Dalam waktu-waktu yang sibuk operator sangat kewalahan

untuk melayani para penelepon secepatnya, sehingga para penelepon harus antri

menunggu giliran, mungkin cukup lama. Tujuan penggunaan teori antrian adalah

untuk merancang fasilitas pelayanan, dalam mengatasi permintaan pelayanan yang

berfluktuasi secara random dan menjaga keseimbangan antara biaya (waktu

menganggur) pelayanan dan biaya (waktu) yang diperlukan selama antrian (Subagyo,

dkk., 2000).

2.2 Distribusi Eksponensial

Distribusi probabilitas eksponensial merupakan pengujian yang dilakukan untuk

melakukan perkiraan atau prediksi dengan hanya membutuhkan perkiraan rata-rata

populasi, karena distribusi eksponensial memiliki standar deviasi sama dengan rata-

rata. Distribusi ini termasuk ke dalam distribusi kontinu. Distribusi eksponensial

merupakan model waktu (atau panjang atau area) antara kejadian Poisson.

6

Definisi 2.2

Fungsi densitas peluang dari distribusi eksponensial, yaitu

( ) {

(2.1)

dengan adalah parameter. Fungsi distribusi kumulatifnya, yaitu

( ) ∫

(2.2)

Nilai harapan distribusi eksponensial, yaitu

( ) ∫

∫

∫

∫

dengan menggunakan integral parsial ∫ ∫

∫

0.

/

.∫

/1

0.

/

.∫

/1

0.

/

.

/

1

0.

/

( )1

0( )

( )1

Jadi, nilai harapan distribusi eksponensial adalah

( )

(2.3)

7

Fungsi pembangkit momen distribusi eksponensial, yaitu

( )

∫

∫

∫ ( )

.

( )/

( ( ) )

( )

( )( )|

( ) ( )

( )

( )( )|

( ) ( )

( )

( )

Jadi, fungsi pembangkit momen distribusi eksponensial adalah

( )

(2.4)

Varian distribusi eksponensial, yaitu

( ) ( ) ( ( ))

.

/

Jadi, varian distribusi eksponensial adalah

( )

(2.5)

(Walpole dan Myers, 1995).

8

2.3 Rantai Markov

2.3.1 State

State adalah kondisi yang merupakan peubah acak , dimana jika suatu partikel

berada pada state tersebut maka dapat berpindah ke state lainnya. Biasanya state

dilambangkan dengan bilangan asli, yaitu 1,2,3,…N. Himpunan atau kumpulan dari

state-state tersebut membentuk ruang state dan dinyatakan dengan , maka

* + (Cox and Miller,1965).

2.3.2 Proses Stokastik

Stokastik proses adalah kumpulan dari peubah acak * + di dalam ruang

peluang bersama ( ) dengan nilai di R (bilangan riil). T disebut indeks dari

proses atau ruang parameter, yang biasanya bagian dari R (bilangan riil). bagian dari

nilai pada peubah acak dapat disebut sebagai ruang state dalam proses dan

dinotasikan dengan S (Kijima, 1997).

2.3.3 Rantai Markov

Rantai Markov adalah salah satu bentuk dari proses stokastik yang memenuhi sifat

Markov, yaitu peluang kejadian atau peubah acak X pada waktu hanya akan

dipengaruhi oleh kejaidan X pada waktu t dan tidak akan dipengaruhi oleh kejadian

sebelum waktu t atau dapat dinyatakan dengan ;

* | + * | + (2.6)

(Kijima, 1997).

9

2.3.4 Rantai Markov Waktu Kontinu

Misalkan ( ) adalah rantai Markov dengan waktu kontinu dengan

dan (2.7)

Maka, peluang transisi rantai Markov dengan waktu kontinu;

* ( ) ( ) ( ) ( ) +

* ( ) | ( ) ( ) + (2.8)

Maka, dengan sifat Markov

* ( ) | ( ) + (2.9)

Peluang bersyarat * ( ) | ( ) + untuk dan disebut

peluang transisi dan dinyatakan dengan

( ) * ( ) | ( ) + (2.10)

Dengan ( ) adalah fungsi peluang transisi dari state pada waktu t akan pindah

ke state pada waktu u. Peluang transisi rantai Markov dengan waktu kontinu dapat

dinyatakan dalam bentuk matriks:

( ) ( )

[ ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )]

(2.11)

Notasi ( ) untuk ditafsirkan sebagai peluang transisi dari state pada

waktu t akan tetap berada di state pada waktu u atau dinyatakan dengan

( ) * , -| + (2.12)

Peluang transisi di atas disebut occupancy probability.

10

Sedangkan untuk ditafsirkan sebagai peluang transisi dari state pada waktu t

akan pindah ke state pada waktu u dan dituliskan dengan

( ) * ( ) | ( ) + (2.13)

Persamaan Chapman Kolmogorof untuk rantai Markov dengan waktu kontinu dengan

dinyatakan dengan

( ) ∑ ( ) ( ) (2.14)

Bukti :

* ( ) | ( ) + ∑ * ( ) ( ) | ( ) +

∑ * ( ) | ( ) ( ) + * ( ) | ( ) +

∑ * ( ) | ( ) + * ( ) | ( ) +

∑ * ( ) | ( ) + * ( ) | ( ) +

( ) ∑ ( ) ( )

Dalam matriks:

( ) ( ) ( )

Rantai Markov dengan waktu kontinu dibedakan menjadi:

1. Waktu homogen

Rantai Markov dengan waktu kontinu dengan fungsi peluang transisi hanya di

pengaruhi oleh beda waktu ( ).

Fungsi peluang transisi dinyatakan oleh

11

( ) * ( ) | ( ) + (2.15)

( ) ditafsirkan sebagai peluang transisi dari state ke state pada beda waktu t

dan u. Persamaan Chapman Kolmogorof dinyatakan oleh

( ) ∑ ( ) ( ) (2.16)

Bukti :

( ) * ( ) | ( ) +

∑ * ( ) ( ) | ( ) +

∑ * ( ) | ( ) + * ( ) | ( ) +

∑ * ( ) | ( ) + * ( ) | ( ) +

∑ ( ) ( )

Jika ditulis dalam bentuk matriks :

( ) ( ) ( )

2. Waktu non homogen

Rantai Markov dengan waktu kontinu dengan fungsi peluang tarnsisi akan

bergantung pada kedua waktu transisi terakhir yaitu t dan u. Fungsi peluang transisi

dinyatakan oleh:

( ) * ( ) | ( ) + (2.17)

Persamaan Chapman Kolomogorov dinyatakan oleh

( ) ∑ ( ) ( ) (2.18)

12

Atau dalam bentuk matriks :

( ) ( ) ( )

(Kijima, 1997).

2.4 Komponen Model Antrian

Komponen-komponen yang dibutuhkan untuk membentuk model matematis dari

suatu antrian adalah

1. Kapasitas sistem

Kapasitas sistem adalah maksimum banyak customer, baik customer yang sedang

berada dalam pelayanan maupun dalam antrian, yang ditampung oleh fasilitas

pelayanan pada waktu yang sama (Bronson, 1996).

2. Disiplin Pelayanan

Sinalungga (2008) dalam bukunya menyatakan bahwa disiplin pelayanan adalah

suatu aturan yang dikenalkan dalam memilih customer dari barisan antrian untuk

segera dilayani. Ini merupakan faktor penting pada analisis model antrian. Beberapa

jenis disiplin pelayanan adalah sebagai berikut:

a. First Come First Serve (FCFS)

Suatu aturan dimana yang akan dilayani ialah customer yang datang terlebih dahulu.

Contohnya antrian di suatu kasir sebuah swalayan.

b. Last Come First Serve (LCFS)

Last Come First Serve (LCFS) merupakan antrian dimana yang datang paling akhir

adalah yang dilayani paling awal. Contohnya antrian pada satu tumpukan barang di

13

gudang. Barang yang terakhir masuk akan berada ditumpukkan paling atas sehingga

harus diambil pertama.

c. Service in Random Order (SIRO) atau random selection for services (RSS)

Service in Random Order (SIRO) atau random selection for services (RSS)

merupakan pelayanan atau panggilan didasarkan pada peluang secara acak, tidak

mempermasalahkan siapa yang lebih dahulu tiba. Contohnya kertas–kertas undian

yang menunggu untuk ditentukan pemenangnya yang diambil secara acak.

d. Priority Service (PS)

Priority Service (PS) artinya prioritas pelayanan diberikan kepada mereka yang

mempunyai prioritas paling tinggi dibandingkan dengan mereka yang memiliki

prioritas paling rendah, meskipun yang terakhir ini sudah lebih dahulu tiba dalam

garis tunggu. Kejadian seperti ini bisa disebabkan oleh beberapa hal, misalnya

seseorang yang keadaan penyakit yang lebih berat dibanding dengan orang lain dalam

sebuah rumah sakit.

3. Perilaku Customer

Perilaku customer saat mengantri dapat mempengaruhi analisis pada barisan antrian.

Perilaku manusia dalam sistem antrian jika berperan sebagai customer sebagai

berikut:

a. Jockeying adalah suatu perilaku seseorang untuk mengurangi waktu tunggu

dengan berpindah dari antrian satu ke yang lainnya.

b. Balking adalah suatu perilaku dimana seseorang tidak masuk dalam antrian dan

langsung meninggalkan tempat antrian.

14

c. Reneging adalah suatu perilaku dimana seseorang masuk dalam antrian, namun

belum memperoleh pelayanan, kemudian meninggalkan antrian tersebut (Gross

dan Harris, 2008).

4. Desain Pelayanan

Desain sarana pelayanan dapat diklasifikasikan dalam channel dan phase yang akan

membentuk struktur antrian yang berbeda-beda (Sinalungga, 2008). Desain dari

fasilitas pelayanan bisa berupa server yang diatur paralel, seperti kantor pos atau pada

teller bank. Server bisa juga diatur menjadi bentuk seri, seperti proses pada mesin

yang berurutan, atau bisa disusun menjadi sebuah jaringan, seperti router pada

jaringan komputer (Taha, 2007). Berikut adalah model struktur antrian yang sering

diterapkan pada suatu sistem antrian:

a. Single Channel – Single Phase

Tipe desain pelayanan ini berarti sistem antrian tersebut hanya memiliki satu server.

Single-channel menunjukkan bahwa hanya ada satu server yang bisa 18 memberikan

pelayanan sedangkan single-phase menunjukkan bahwa sistem antrian hanya

memiliki satu tahap pelayanan. Contohnya pada penjualan karcis masuk obyek wisata

yang hanya memiliki satu loket saja.

Gambar 2.1 Model sistem antrian single chanel – single phase

Pelanggan Keluar Sistem

Pelayanan

Sistem

Pelayanan

15

b. Single Channel – Multi Phase

Desain pelayanan ini berarti bahwa sistem antrian tersebut memiliki server yang

disusun secara berurutan atau seri atau bisa disebut juga disusun menjadi beberapa

phase. Desain pelayanan seperti ini biasa diterapkan pada saat memperpanjang surat

ijin mengemudi (SIM). Untuk memperpanjang SIM tersebut, seseorang diharuskan

untuk menyelesaikan proses melalui loket – loket yang tersusun secara berurutan.

Gambar 2.2 Model sistem antrian single channel – multi phase

c. Multi Channel – Single Phase

Desain pelayanan ini memiliki server yang disusun secara paralel yang dialiri dari

satu antrian tunggal. Contohnya seperti saat nasabah mengantri di bank dengan

beberapa loket teller.

Gambar 2.3 Model sistem antrian multi channel – single phase

d. Multi Channel – Multi Phase

Desain pelayanan ini memiliki satu antrian tunggal yang melewati beberapa jalur

server yang tersusun paralel dan tiap jalur server tersebut terdapat beberapa server

yang tersusun seri. Contohnya seperti pendaftaran pasien di rumah sakit. Pasien

Keluar Pelanggan

Fasilitas

Pelayanan

Tahap 1

Fasilitas

Pelayanan

Tahap 2

Pelanggan

Fasilitas

Pelayanan 1

Fasilitas

Pelayanan 2

Keluar

16

mendaftar di rumah sakit menuju loket pendaftaran yang terdiri dari beberapa loket.

Kemudian, pasien melanjutkannya dengan menuju klinik yang diinginkan.

Gambar 2.4 Model sistem antrian multi channel – multi phase

5. Sumber Pemanggilan

Sumber pemanggilan customer bisa bersifat terbatas atau tak terbatas. Sumber yang

terbatas (finite source) berarti bahwa customer yang datang untuk mendapatkan

pelayanan terbatas, seperti pada kerusakan pada mesin-mesin yang menunggu servis

dari montir mesin tersebut. Sumber yang tak terbatas (infinite source) adalah

customer yang terus datang tanpa henti, seperti panggilan pada sentral telepon (Taha,

2007).

2.5 Distribusi Kedatangan

Distribusi kedatangan para pelanggan biasanya diperhitungkan oleh waktu antar

kedatangan, yaitu waktu antara kedatangan dua pelanggan yang berurutan pada suatu

fasilitas pelayanan. Distribusi kedatangan ini dapat bergantung pada jumlah

pelanggan yang berada dalam sistem ataupun tidak bergantung pada keadaan sistem

tersebut. Distribusi ini dapat deterministik (diketahui secara pasti), atau berupa suatu

Keluar

Pelanggan

Fasilitas

Pelayanan

Tahap 1 Jalur 2

Fasilitas

Pelayanan

Tahap 2 Jalur 2

Keluar Fasilitas

Pelayanan

Tahap 1 Jalur 1

Fasilitas

Pelayanan

Tahap 2 Jalur 1

17

variabel acak yang distribusi peluangnya dianggap telah diketahui. Bila distribusi

kedatangan tidak disebut secara khusus, maka dianggap bahwa pelanggan tiba satu

per satu. Asumsinya adalah kedatangan pelanggan mengikuti suatu proses dengan

distribusi peluang tertentu. Distribusi peluang yang sering digunakan adalah distribusi

Poisson karena kedatangan bersifat bebas dan tidak terpengaruh oleh kedatangan

sebelum ataupun sesudahnya. Asumsi distribusi Poisson menyatakan kedatangan

yang terjadi secara acak.yang disimbolkan dengan konstanta (Kakiay, 2004).

Peluang n kedatangan dalam waktu t ditentukan dengan rumus :

* +

(2.19)

dimana:

= rata-rata kedatangan persatuan waktu

t = periode waktu

n = jumlah kedatangan dalam waktu t [

P (n,t) = peluang n kedatangan dalam waktu t

(Ross, 2014).

2.6 Distribusi Waktu Pelayanan

Bentuk pelayanan ditentukan oleh waktu pelayanan, yaitu waktu yang dibutuhkan

untuk melayani pelanggan pada fasilitas pelayanan. Besaran ini bergantung pada

jumlah pelanggan yang telah berada di dalam fasilitas pelayanan ataupun tidak

bergantung pada keadaan tersebut. Karena kedatangan mengikuti distribusi Poisson

18

dapat ditunjukkan secara matematis bahwa waktu antar kedatangan akan terdistribusi

sesuai dengan distribusi eksponensial (Ross, 2014)

* + (2.20)

* + (2.21)

dimana:

* + = peluang di mana waktu antar kedatangan suatu waktu tertentu

* + = peluang di mana waktu antar kedatangan T > suatu waktu tertentu

= rata - rata kedatangan persatuan waktu

t = suatu waktu tertentu

Pelayanan dapat dilakukan dengan satu atau lebih fasilitas pelayanan yang masing-

masing dapat mempunyai satu atau lebih saluran atau tempat pelayanan yang disebut

dengan server. Apabila terdapat lebih dari satu fasilitas pelayanan maka pelanggan

dapat menerima pelayanan melalui suatu urutan tertentu atau fase tertentu. Pada suatu

fasilitas pelayanan, pelanggan akan masuk dalam suatu tempat pelayanan dan

menerima pelayanan secara tuntas dari pelayan (server). Bila tidak disebutkan secara

khusus, pada bentuk pelayanan ini, maka dianggap bahwa satu pelayan dapat

melayani secara tuntas satu pelanggan. Rata-rata pelayanan dapat diberi simbol

yang merupakan jumlah pelanggan yang dapat dilayani dalam satuan waktu.

Sedangkan rata-rata waktu yang dipergunakan untuk melayani setiap pelanggan

diberi simbol 1/μ unit (satuan). Distribusi waktu pelayanan terbagi menjadi dua

komponen penting yaitu: pelayanan secara individual (single service), dan pelayanan

secara kelompok (bulk service) (Kakiay, 2004).

19

2.7 Peranan Distribusi Eksponensial

Misalkan T adalah jumlah waktu proses menghabiskan waktu pada suatu state

sebelum pindah ke sebuah state berbeda. Maka T merupakan peubah acak. Proses

Markov menyiratkan bahwa

* | + * + (2.22)

Bukti :

* | + * +

* +

* +

* +

( )

* +

* | + * + (2.23)

Bukti :

* | + ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

* +

Dengan kata lain, distribusi peluang dari sisa waktu sampai sebuah perpindahan akan

selalu sama, tidak peduli berapa banyak waktu yang sudah dihabiskan pada state

20

tersebut. Dapat dikatakan T adalah lack of memory. Dimana hanya ada satu distribusi

peluang kontinu dengan sifat lack of memory, yaitu distribusi eksponensial (Hillier

and Leiberman, 1980).

2.8 Proses Kelahiran dan Kematian

Asumsi dasar model antrian yaitu masukan (pelanggan yang tiba) dan keluaran

(pelanggan yang meninggalkan antrian) dari sistem antrian yang terjadi berdasarkan

proses kelahiran dan kematian. Syarat kelahiran berhubungan dengan kedatangan

seorang pelanggan baru yang memasuki sistem antrian dan kematian berhubungan

dengan pelanggan yang telah dilayani meninggalkan sistem antrian. State dari sistem

saat waktu t ( ) ditandai dengan N(t) yang merupakan jumlah pelanggan dalam

sistem antrian saat waktu t.

Adapun asumsi dari proses kelahiran dan kematian, yaitu:

Asumsi 1

Diberikan N(t) = n, distribusi peluang dari sisa waktu sampai kelahiran selanjutnya

(kedatangan) adalah eksponensial dengan parameter ( )

Asumsi 2

Diberikan N(t) = n, distribusi peluang dari sisa waktu sampai kematian selanjutnya

(pelayanan selesai) Adalah eksponensial dengan parameter ( )

Asumsi 3

Asumsi variabel acak 1 (sisa waktu sampai kelahiran selanjutnya) dan asumsi

variabel acak 2 (sisa waktu sampai kelahiran selanjutnya) hubungannya bebas.

21

Transisi selanjutnya pada state salah satu proses dari keduanya, yaitu

(kelahiran tunggal) atau ( kematian tunggal) (Hillier and Lieberman,

1980).

2.9 Perilaku Biaya

Dalam sistem antrian ada dua jenis biaya yang timbul, yaitu biaya karena orang

mengantri, dan di sisi lain biaya karena menambah fasilitas layanan. Biaya yang

terjadi karena orang mengantri, antara lain berupa waktu yang hilang karena

menunggu. Sementara biaya menambah fasilitas layanan berupa penambahan fasilitas

layanan serta gaji tenaga kerja yang memberi pelayanan.

1. Biaya Pelayanan

Misalnya suatu supermarket yang ingin menambah checkout counter perlu

membiayai seluruh perlengkapan counter tambahan dan menggaji pelayan baru. Ini

berarti jika tingkat pelayanan diperbaiki, biaya pelayanan akan bertambah. Biaya

pelayanan dapat juga dilihat dari sisi pandang yang lain. Jika tingkat pelayanan

bertambah, waktu nganggur pelayan diperkirakan juga bertambah, yang berarti suatu

kenaikan dalam opportunity cost karena tidak mengalokasikan pelayan ke kegiatan

produktif yang lain. Cara yang digunakan untuk menghitung biaya pelayanan dapat

berbeda untuk kasus yang berbeda. Cara apapun yang dipakai seharusnya

memberikan jumlah yang sama.

Model harapan biaya total dari suatu sistem antrian :

( ) ( ) ( )

22

( ) (2.24)

dengan

( ) adalah harapan biaya total pelayanan

S adalah jumlah fasilitas pelayanan

adalah biaya per fasilitas pelayanan per unit waktu

2. Biaya menunggu

Umumnya terdapat hubungan terbalik antara tingkat pelayanan dan waktu menunggu.

Namun terkadang sulit menyatakan secara ekspilit biaya menunggu per unit waktu.

Biaya menunggu dapat diduga secara sederhana sebagai biaya kehilangan keuntungan

bagi pengusaha, atau biaya turunnya produktivitas bagi pekerja. Ini berarti serupa

dengan biaya pelayanan, dimana penentuannya dapat berbeda dari satu kasus ke

kasus lain. Sehingga, masalah keputusannya merupakan konflik antara biaya

menunggu bagi pengantri melawan biaya pelayanan.

Jika biaya menganggur seorang individu diketahui, maka harapan total biaya

menunggu per periode waktu :

( ) (2.25)

dimana,

( ) adalah Total biaya menunggu per unit waktu

adalah Rata-rata jumlah individu yang menunggu per unit waktu dalam sistem

adalah Biaya menunggu per individu per unit waktu (Hadianti, 2006).

23

2.10 Tingkat Kegunaan (Utilitas)

Pada sistem saluran ganda, untuk mencari tingkat kegunaan dari fasilitas pelayanan

adalah dengan membagi tingkat kedatangan dengan tingkat pelayanan yang dikali

dengan banyaknya saluran dan dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut :

(2.26)

dengan

λ = tingkat kedatangan pelanggan

μ = tingkat pelayanan

s = banyaknya saluran

Tingkat kegunaan ( ) merupakan faktor kegunaan yang menyatakan jumlah

kedatangan yang diharapkan per rata-rata waktu pelayanan. Ukuran steady state

adalah keadaan yang stabil di mana laju kedatangan kurang dari laju pelayanan, yaitu

(Supranto,1987).

24

III. METODE PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada Semester Genap Tahun Ajaran 2015/2016 di Jurusan

Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas

Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Penelitian ini dilakukan secara studi literatur secara sistematis yang diperoleh dari

buku-buku, jurnal-jurnal, atau media lain yang dapat menunjang proses penulisan

skripsi ini.

Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Mendeskripsikan konsep analisis antrian single-channel

2. Menganalisis persamaan keseimbangan proses kelahiran dan kematian untuk

pada antrian multi-channel berdasarkan konsep antrian single-channel yang telah

diketahui.

3. Menganalisis persamaan berdasarkan persamaan keseimbangan yang telah

diketahui.

25

4. Menganalisis persamaan berdasarkan persamaan keseimbangan yang telah

diketahui.

5. Menganalisis persamaan dengan menjumlahkan dengan persamaan yang

telah diketahui.

6. Menganalisis persamaan dengan mengalikan 1 dengan persamaan yang

telah diketahui.

7. Menganalisis persamaan dengan menjumlahkan 1 dengan persamaan

yang telah diketahui.

8. Menerapkan hasil analisis teori antrian pada studi kasus.

Langkah-langkah penelitian yang telah diuraikan sebelumnya, dapat digambarkan

dalam diagram alir sebagai berikut

Mulai

Deskripsikan konsep analisis antrian single-channel

Analisis persamaan keseimbangan proses kelahiran dan kematian untuk

Analisis persamaan

A

26

Analisis persamaan

Analisis persamaan

Analisis persamaan

Analisis persamaan

Terapkan hasil analisis teori antrian pada studi kasus

Selesai

Gambar 3.1 Diagram alir langkah-langkah penelitian

A

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilakukan, teori antrian dapat digunakan

untuk menganalisis suatu sistem antrian, beserta komponen di dalamnya yaitu,

pelanggan, fasilitas pelayanan dan antrian. Sifat kedatangan yang terjadi dalam suatu

sistem antrian umumnya bersifat acak, maka tingkat kedatangan akan berdistribusi

Poisson dan waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan akan berdistribusi

eksponensial. Sehingga, diperoleh persamaan antrian; = !( ) + ,

= !( ) , = !( ) + , = !( )dengan

L adalah rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem antrian

Lq adalah rata-rata jumlah pelanggan yang sedang antri

W adalah rata-rata waktu yang dihabiskan seorang pelanggan dalam sistem antrian

Wq adalah rata-rata waktu yang dihabiskan seorang pelanggan menunggu dalam

antrian sampai dilayani.

50

5.2 Saran

Pada penulisan skripsi ini, penulis hanya melakukan analisis teori antrian multi-

channel dengan distribusi eksponensial dan menjawab beberapa pertanyaan dalam

studi kasus untuk menggambarkan permasalahan antrian single-channel dan multi-

channel. Oleh karena itu, penulis mengharapkan dan menyarankan peneliti

selanjutnya dapat lebih mengembangkan permasalahan-permasalahan yang terdapat

dalam teori antrian dan dapat menerapkan langsung dalam sistem antrian yang terjadi

pada kehidupan sehari-hari.

DAFTAR PUSTAKA

Bronson, R. (1996). Teori dan Soal-Soal Operations Research (Terjemahan HansWospakrik). Erlangga, Jakarta.

Cox, D. R. and Miller, H. D. (1965). The Theory of Stochastic Processes. Methuen,London.

Gross, D and Haris, C. M. (2008).Fundamental of Queueing Theory. 4th ed. JohnWilley & Sons Inc, New Jersey.

Hadianti, R. (2006). Kapita Selekta Terapan I (Teori Antrian). ITB, Bandung.

Hezier, Jay and Bany, Render. (2009). Operation Management. Terjemahan olehDwianoegrawati Setyaningsih & Indra Almahdy. Edisi 7. Buku I. Salembaempat, Jakarta.

Hillier, Frederick S. and Lieberman, Gerald J. (1980). Introduction to OperationResearch. 3rd ed. Holden-Day, USA.

Kakiay, Thomas J. (2004. Dasar-dasar Teori Antrian untuk Kehidupan Nyata. AndiOffset, Yogyakarta.

Kijima, M. 1997. Markov Process for Stochastic Modelling. Chapman & Hall,London.

Ross, Sheldon M. (2014). Introduction to Probability Models. 11th ed. AcademicPress, USA.

Sinalungga, S. (2008). Pengantar Teknik Industri. Graha Ilmu, Yogyakarta.

Subagyo Pangestu, Marwan Asri, T. Hani Handoko.(2000). Dasar-dasar OperationResearch.BPFE.Yogyakarta.

52

Supranto, J., (1987), Riset Operasi: Untuk Pengambilan Keputusan, UniversitasIndonesia Press, Jakarta.

Taha, H. (2007). Operations Research and Introduction. Pearson Education Inc, NewJersey.

Walpole, E. R and Myers, H. R., (1995). Probability and statistic for engineers andscientists, four edition.Translated by R.K. Sembiring. Bandung: InsitutTeknologi Bandung.