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Analise Nao-Linear de Pavimentos de Edifıcios de Concreto ArmadoAtrav es do Metodo dos Elementos Finitos

Non Linear Analysis of Reinforced Concrete Building Floors by FiniteElement Method

Leandro Mota Peres1; Roque Luiz da Silva Pitangueira2

1 Mestrando do Programa de Pos-Graduacao em Engenharia de Estruturas da Universidade Federal de Minas Gerais;[email protected]

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da Universidade Federal de Minas Gerais; [email protected]

ResumoEste texto apresenta uma proposta de dissertacao de mestrado em Engenharia de Estruturas sobre analise nao linearde pavimentos de edifıcios de concreto armado atraves do metodo dos elementos finitos. Inicia-se com uma revisaobibliografica, apresentando trabalhos relacionados com o tema proposto, as consideracoes da norma brasileira deprojeto de estruturas de concreto NBR 6118:2007 sobre nao linearidade e algumas informacoes sobre programascomerciais para calculo e detalhamento de estruturas de concreto. Posteriormente sao apresentados os recursos dosistema computacional INSANE para a analise fisicamente nao linear de estruturas. Por fim, busca-se detalhar ametodologia do futuro trabalho.

Palavras-chave: Analise Nao Linear, Metodo dos Elementos Finitos, Pavimentos de Edifıcios de Concreto Armado

AbstractThis paper presents a proposal of masters dissertation in Structural Engineering about nonlinear analysis of reinforcedconcrete building floor by Finite Element Method. It begins with a bibliographic review, presenting the researchesrelated to the proposed topic, the considerations from the brazilian standard of concrete structures design NBR6118:2007 about non-linearity, and some information about commercial programs for calculation and detailing ofconcrete structures. Later it presents resources of the INSANE computational system for physics nonlinear analysis ofstructures. Finally, it seeks to detail the methodology of future work.

Key words: Nonlinear Analysis, Finite Element Method, Reinforced Concrete Building Floors.

1 Introduc ao

A analise estrutural consiste na obtencao das respostas daestrutura perante as acoes que lhe foram aplicadas, ou seja,o calculo dos deslocamentos e esforcos solicitantes nos ele-mentos que compoem a estrutura, como lajes, vigas e pila-res. Embora o produto final do projeto de uma estrutura sejacomposto por desenhos diversos, a analise estrutural de umedifıcio pode ser caracterizada como a etapa mais importantedo projeto, pois com os seus resultados o dimensionamentoe detalhamento dos elementos sao realizados, assim como ocomportamento em servicoe verificado.

Para analisar um edifıcio e necessario adotar um modeloestrutural que seja capaz de simular o comportamento da es-trutura na realidade. Diversos modelos podem ser emprega-dos na analise de edifıcios de concreto armado, sendo algunsdeles direcionados exclusivamentea analise de pavimentos(viga contınua e lajes por metodos simplificados, grelha e ele-

mentos finitos de placa), e outros direcionadosa avaliacao doedifıcio como um todo (portico plano e portico espacial).

Em relacaoa analise dos pavimentos de edifıcios compos-tos por lajes e vigas, durante muitos anos, a alternativa maisviavel foi fazer um calculo de maneira simplificada, consi-derando as lajes isoladas apoiadas em vigas rıgidas. O prin-cipal motivo do uso dessa aproximacao era a falta de recur-sos computacionais capazes de resolver um grande numero deequacoes simultaneas necessarias para avaliar um pavimentocomo um todo. Para as situacoes em que os paineis sao for-mados por lajes quadradas ou retangulares, com dimensoesnao muito diferentes entre si e com vigas de apoio suficiente-mente rıgidas para que se possa considerar os apoios das lajesindeformaveis, o procedimento simplificado de se consideraras lajes como componentes estruturais isolados nao leva a re-sultados muito diferentes daqueles obtidos com uma analisedo pavimento interno com o modelo de grelha ou pelo metododos elementos finitos considerando a laje como elemento de

Mostra PROPEEs UFMG, 29 e 30 de Abril de 20131

Peres, L. M.; Pitangueira, R. L. S.

flexao de placas. Porem, as imposicoes arquitetonicas e acrescente demanda de melhor aproveitamento dos espacos in-ternos de um edifıcio levaram os projetistas a utilizarem ele-mentos estruturais mais esbeltos e vao livres cada vez maio-res.

Diante deste cenario, tornou-se de fundamental im-portancia uma analise mais precisa do comportamento dospavimentos de edifıcios, principalmente em relacao as suasdeformacoes, uma vez que o surgimento de flechas excessi-vas podem inviabilizar a utilizacao de uma obra. Para su-prir esta necessidade, os metodos simplificados foram subs-tituıdos pelo metodo de analogia de grelha e pelo metododos elementos finitos. Com a utilizacao destes metodos maissofisticados foi possıvel elaborar modelos discretos conside-rando a alteracao das propriedades dos materiais e da geo-metria, ou seja, foi possıvel considerar o comportamento naolinear das estruturas.

As acoes adicionais provenientes do deslocamento de umaestrutura podem ocasionar acrescimos de esforcos capazesde conduzi-la ao colapso. O tipo de analise que consi-dera o equilıbrio da estrutura em sua posicao deslocadaedenominada analise com nao linearidade geometrica e suaconsideracaoe fundamental na avaliacao da estabilidade glo-bal de edifıcios e na analise local de pilares. Por outro lado,quando se considera que o comportamento do material consti-tuinte da estrutura, no caso o concreto armado, naoe elasticoem decorrencia da fissuracao progressiva, fluencia, escoa-mento das armaduras, que conferem ao concreto um com-portamento nao linear, a analisee denominada analise fisica-mente nao linear e sua consideracaoe adotada na analise maisrefinada de flechas em pavimentos e na analise dos esforcoslocais utilizado no dimensionamento de pilares.

Ao adotar a analise nao lineare possıvel simular o compor-tamento de um edifıcio de concreto armado de forma muitomais realista, porem, sua utilizacao so e possıvel com o uso derecursos computacionais adequados, visto quee totalmenteinviavel realizar os calculos envolvidos em uma analise naolinear manualmente.

Os sistemas computacionais atuais dispoe de recuros paraanalises nao lineares, dentre esses sistemas destaca-se o IN-SANE (INteractive Structural ANalysis Environment) quee um programa desenvolvido no Departamento de Enge-nharia de Estruturas da UFMG segundo o paradigma deProgramacao Orientada a Objetos, utilizando a linguagemJAVA. O sistemae baseado no Metodo dos Elementos Finitose possui recursos para a analise nao linear fısica e geometrica.

Utilizando os recursos do programa INSANE, o objetivoprincipal do futuro trabalhoe analisar pavimentos de edifıciosde concreto armado mediante a utilizacao do metodo dos ele-mentos finitos e considerando a nao linearidade fısica. Alemdisso, busca-se fornecer conceitos que possam ser incluıdosna pratica de projetos estruturais, visando interpretar de formamais crıtica resultados obtidos por programas de elementosfinitos.

Para apresentar de forma mais clara o projeto dedissertacao, este texto foi dividido em tres partes. Primei-ramentee feita uma revisao bibliografica apresentando os tra-balhos relacionados com o tema proposto, as consideracoesda norma brasileira de projeto de estruturas de concreto NBR6118:2007 sobre nao linearidade, e algumas informacoes so-bre programas comerciais para calculo e detalhamento de es-truturas de concreto. Posteriormentee apresentado os recur-sos do INSANE para a analise fisicamente nao linear de es-truturas. Por fim, busca-se detalhar a metodologia do futurotrabalho.

2 REVISAO BIBLIOGR AFICA

2.1 Trabalhos Relacionados

Neste item sao apresentados alguns trabalhos encontrados naliteratura que abordam assuntos relacionados ao tema pro-posto para a dissertacao.

No trabalho de Carvalho (1994) sao analisados pavimen-tos de edifıcios levando-se em conta a nao linearidade doconcreto devidaa fissuracao, a flexao ea torcao. E consi-derado tambem, o efeito da fluencia nos deslocamentos. Opavimento de edifıcio de concreto, constituıdo de lajes e vi-gas,e analisado considerando a interacao de seus elementos,utilizando-se o metodo da analogia da grelha. A consideracaoda fissuracaoe feita a partir das relacoes momento-curvaturapara a flexao, e momento-rotacao para a torcao. Com o em-prego da relacao momento-curvatura, calculam-se os deslo-camentos transversais de vigas de concreto, comparando-oscom resultados experimentais. A partir destas idealizacoesestruturais, sao feitas analises dos esforcos e deslocamentostransversais de lajes isoladas, de lajes associadas e vigas for-mando um pavimento representativo. Os resultados obtidossao comparados com os do procedimento usual, em queefeita a decomposicao do pavimento em vigas e lajes, bemcomo os de analise linear, considerando a analogia de grelhae, em alguns casos, o metodo dos elementos finitos.

Um outro trabalho sobre a analise de pavimentos deedifıcios foi desenvolvido por Baptista (1994) utilizando oMetodo dos Elementos finitos e comparando os resultadoscom os gerados a partir do modelo de grelha. Neste traba-lho a nao linearidade fısica do concreto nao foi considerada.

Pinto e Ramalho (2002) discutem procedimentos simplifi-cados para a consideracao da nao linearidade fısica e da naolinearidade geometrica na analise de edifıcios de concretoarmado, com o objetivo de estabelecer o grau de confiabi-lidade desses processos. Algumas prescricoes para reducaoda inercia dos elementos estruturais sao comparadas com osresultados obtidos atraves de modelos de elementos finitos,permitindo, assim, a avaliacao destas prescricoes.

ARAUJO (2003) apresenta um modelo nao linear paraa analise de lajes nervuradas de concreto armado. O mo-delo considera a nao linearidade fısica do concreto em com-

2Mostra PROPEEs UFMG, 29 e 30 de Abril de 2013

Analise Nao-Linear de Pavimentos de Edifıcios de Concreto Armado Atraves do Metodo dos Elementos Finitos

pressao, bem como a colaboracao do concreto tracionado en-tre fissuras. A formulacao e baseada na teoria de placas deReissner-Mindlin. A analise estruturale realizada com o em-prego do metodo dos elementos finitos, adotando-se um al-goritmo iterativo para a solucao do sistema de equacoes naolineares. Para as integracoes ao longo da espessura da laje,adota-se uma discretizacao em camadas. Atraves da definicaode propriedades equivalentes,e realizada a analise nao linearde lajes nervuradas de concreto armado. O modelo nao lineare empregado para verificar a pertinencia dos usuais criteriosde projeto de lajes nervuradas de concreto armado, estabele-cidos nas normas de projeto.

Bandeira (2006) analisa lajes macicas de concreto armadoatraves do metodo dos elementos finitos e compara os resul-tados com os obtidos de pesquisas experimentais realizadasem lajes de concreto armado levadasa ruına por flexao. Paraa modelagem foi usada a versao 8.1.2 do programa DIANAe a investigacao do comportamento das lajes foi feita atravesde analise nao linear, adotando-se elementos finitos de cascae solido. O comportamento das lajes foi analisado atraves dosdeslocamentos centrais e abordou a influencia do posiciona-mento das armaduras, dos apoios e dos parametros que defi-nem o comportamento do concreto na fase de amolecimento,destacando-se a maxima resistencia do concretoa tracao.

2.2 Algumas Consideracoes da NBR6118:2007 sobre a nao linearidade Fısica

De forma geral, pode-se afirmar que uma das grandesmodificacoes da nova norma de concreto com relacaoa antigaNBR6118:1980e a apresentacao de maneira mais explıcita eincisiva de como as nao linearidades fısica e geometrica de-vem ser consideradas na elaboracao de projetos estruturaisde edifıcios. Por exemplo, o item 15.3 da NBR 6118:2007 -“Princıpios basicos de calculo”, prescreve de forma bastanteclara: “A nao linearidade fısica, presente nas estruturas deconcreto, deve ser obrigatoriamente considerada (KIMURA ,2007).

Um dos fatores que geram a nao linearidade fısica do con-cretoe a fissuracao. Em elementos predominantemente fle-tidos, como as vigas e lajes, a fissuracao influencia direta-mente na resposta nao linear da estrutura e sua consideracaoe fundamental para o calculo dos deslocamentos dessas pecas.A norma de concreto, no item 17.3.2 - “Estado limite dedeformacao” exige a consideracao da presenca de fissuras noconcreto para calculo de deslocamentos.

Uma das maneiras de considerar a fissuracao de uma pecade concreto armado, de forma aproximada,e reduzir o va-lor de sua rigidez a flexao. A NBR 6118:2007, item 15.7.3- Consideracao aproximada da nao linearidade fısica, defineuma correcao de rigidez de forma aproximada na analise daestabilidade global de uma edifıcio da seguinte forma:

- lajes: (EI)sec = 0, 3EciIc

- vigas: (EI)sec = 0, 4EciIc para A′

s 6= As e(EI)sec = 0, 5EciIc para A

′

s = As

- pilares:(EI)sec = 0, 8EciIc

onde,(EI)sec e a rigidez secante;Eci e o modulo de elasticidade tangente;Ic e o momento de inercia da secao bruta de concreto;As e aarea da secao transversal da armadura longitudinal

de tracao;A′

s e a area da secao da armadura longitudinal de com-pressao.

A avaliacao aproximada das flechas imediatas em vigaspela rigidez equivalenteEIeq, de tal modo a considerar anao linearidade fısica ocasionada predominantemente pelafissuracao do concreto,e especificada pela norma no item17.3.2.1.1 - Flecha imediata em vigas de concreto armado.

2.3 Programas Comerciais

Atualmente existem diversos programas que fazem a analise,dimensionamento e detalhamento de edifıcios de concretoarmado. Dentre esses programas, dois dos mais utilizadossao o Eberick da AltoQi e o sistema CAD/TQS da TQS,ambos desenvolvidos no Brasil. Embora existam diversasdiferencas entre os dois, busca-se apresentar neste item, deforma generica, como a analise de pavimentos de edifıcios efeita por estes programas segundo as prescricoes da norma deconcreto.

Os dois sistemas utilizam na analise de pavimentos ometodo de analogia por grelha, sendo as vigas discretiza-das em barras e as lajes em uma grelha com faixas ortogo-nais. A analise das lajes por analogia de grelha pressupoea subdivisao da laje em faixas, cujas propriedades fısicas egeometricas passam a ser representadas atraves de um reticu-lado de barras que compoem uma grelha, conforma ilustradona figura 1.

A malha da grelhae gerada automaticamente pelo pro-grama. No caso das lajes macicas, cabe ao usuario definir oespacamento entre as barras nas duas direcoes e a direcao damalha, sendo possıvel discretizar uma laje com espacamentodiferente das demais. A montagem da grelhae feita a partir dadelimitacao do contorno e do espacamento entre barras. Paraas lajes que contem nervuras, o espacamento da grelha cor-responde ao espacamento e posicao das nervuras, de maneiraa aproximar o modelo de calculo daquilo que sera construıdo.

Nos casos em que a largura da viga engloba barras da gre-lha paralelasa barra da viga, o programa ajusta a rigidez daviga para que nao haja superposicao de rigidezes entre a vigae a laje. Os criterios utilizados nesse ajuste de rigidez saoos seguintes: considera-se oangulo relativo entre as barras dagrelha e da viga na composicao da rigidez da grelha; o calculo



Figura 1: Analogia de Grelha (EBERICK, 2013).

das inercias da viga e das lajes considera a posicao dos res-pectivos centros geometricos em relacao a elevacao relativaentre lajes e vigas; a inercia corrigida da viga nao sera infe-rior a inercia de uma barra isolada da grelha e nem superiorainercia da viga em relacao ao seu centro geometrico.

A partir da montagem da grelha, os esforcos elasticos saoobtidos a partir da rigidez inicial, determinada apenas pelasecao bruta de concreto, desprezando-se a fissuracao e apresenca de armadura. Com esses esforcos, calculam-se ascombinacoes no estado limiteultimo e dimensionam-se as vi-gas e lajes de cada pavimento.

Com os esforcos elasticos e com as armaduras calculadas,obtem-se a rigidez equivalente (EIeq) e um modelo de gre-lha exatamente igual ao modelo elastico, mas onde a rigidezde cada barrae alterada para sua rigidez equivalente,e cal-culado. Efetua-se a analise desse modelo, obtendo um novoconjunto de esforcos e deslocamentos. Os deslocamentos ob-tidos fornecem as flechas imediatas em cada ponto.

Pode-se facilmente perceber que, uma vez alterada a rigi-dez do modelo e efetuada nova analise, obtem-se nao ape-nas deslocamentos em servico, mas tambem um novo con-junto de esforcos internos em servico, que deve ser diferentedos esforcos estimados atraves do modelo elastico inicial.Com isso, pode-se obter um resultado mais preciso de rigi-dez equivalente, calculado em funcao dos momentos fletoresem servico. Como a rigidez equivalentee funcao dos momen-tos fletores e esses sao obtidos apos a analise do modelo queconsidera fissuracao,e necessario um procedimento iterativopara se chegara solucao final.

Para cada laje,e determinada a flecha maxima no modelofissurado. Compara-se cada valor com a flecha obtida como modelo anterior (inicialmente, com a flecha elastica). Senenhuma diferenca for superior a um limite estabelecido, o

processamentoe finalizado e os valores obtidos definem asflechas imediatas. Caso contrario, obtem-se uma nova rigidezequivalente, a partir da media dos esforcos obtidos nas duasultimas iteracoes e refaz-se a analise. Compara-se novamenteos valores de flecha maxima com os da iteracao anterior erepete-se o procedimento ate ser atingida a precisao mınimaou o numero maximo de iteracoes.

Alguns tipos de lajes, contudo, nao sao adequadamenteanalisados por este metodo. O que ocorree que este metodo,por utilizar uma malha ortogonal na qual todas as faixaspossuem o mesmo espacamento entre si, nao analisa corre-tamente concentracoes de tensao elevadas que ocorram empontos da laje. Estas concentracoes ocorrem para lajes forte-mente convexas, as quais merecem uma analise pessoal maiscuidadosa, ao inves do detalhamento automatico gerado peloprograma.

3 RECURSOS COMPUTACIONAISDO INSANE

O INSANE e um programa destinadoa analise de estruturaspor meio de modelos discretos, dentre estes os do Metododos Elementos Finitos. Seu ambiente computacionale cons-tituıdo de tres grandes aplicacoes: pre-processador, proces-sador e pos-processador, todas implementadas em linguagemJAVA. O pre e o pos-processador sao aplicacoes graficas inte-rativas que disponibilizam, respectivamente, ferramentas depre e pos-processamento de diferentes modelos discretos. Oprocessadore a aplicacao que representa o nucleo numericodo sistema, responsavel pela obtencao dos resultados de di-ferentes modelos discretos de analise estrutural. Cada umadestas aplicacoese implementada segundo o paradigma deprogramacao orientada a objetos.

Diversas possibilidades para tratar o comportamento cons-titutivo nao linear de estruturas de concreto com modelos uni-dimensionais tem sido estudadas e desenvolvidas, segundoduas vertentes principais: os modelos que usam relacoesmomento curvatura, considerando secoes transversais ho-mogeneas, e os modelos que usam leis tensao-deformacao,decompondo as secoes transversais. Nos modelos da pri-meira vertente, a analise nao linear pode ser conduzida pormeio de relacoes momento curvatura, validas para as secoestransversais, assim consideradas homogeneas. A necessidadede prescricao de relacoes momento curvatura representativasdas diversas secoes transversais do modeloe uma desvanta-gem consideravel deste enfoque (PENNA, 2011).

A analise nao linear de estruturas de concreto armado,usando-se elementos unidimensionais, tambem pode ser feitapela decomposicao do domınio da secao transversal. Fon-seca (2006) apresentou modelos para elementos finitos unidi-mensionais de portico espacial, segundo as teorias de Euler-Benoulli e Timoshenko. Para uma secao composta de variosmateriais, distribuıdos ao longo de umaarea de geometria



qualquer,e possıvel simplificar a integracao dos esforcos aolongo da secao decompondo-a em pequenasareas (Galgoul(1979), Sfakianakis (2001), Romero, Miguel e Cano (2002)),como na figura 2. Este tipo de aproximacao permite que, apartir do monitoramento das tensoes e deformacoes em cadauma destasareas, se aproxime a resposta da secao transversalpela soma de suas contribuicoes.

Figura 2: Decomposicao da secao transversal (FONSECA,2006).

Para a modelagem de placas de concreto armadoe ne-cessaria a decomposicao em camadas da espessura da placa.A figura 3 ilustra este processo.

Figura 3: Decomposicao da espessura da placa em camadas(PENNA, 2011).

Ao se discretizar a placa ao longo da espessura,e possıvelobter a variacao do estado de tensao e deformacao ao longoda altura da placa, permitindo assim, captar o processode dano do material. Portanto, para uma analise nao li-near, cada camada deve ser analisada separadamente, deforma que a degradacao da rigidez seja computada e aobtencao dos esforcos internos seja resultante do somatoriodas contribuicoes das camadas, possibilitando o equilıbrio noprocesso de convergencia (PENNA, 2011).

Os recursos do programa para a analise fisicamente naolinear de pavimentos de edifıcios sao detalhados a seguir.

3.1 Metodos Incrementais-Iterativos

O texto apresentado neste item foi retirado do trabalho desen-volvido por Fuina (2009).

Em problemas de analise nao lineare necessario resolversistemas com N+1 incognitas, sendo N deslocamentos incre-mentais e um incremento no fator de carga, e N+1 equacoes,sendo N equacoes de equilıbrio e uma equacao de restricao.Para obter a solucao desse sistemae necessario utilizar umprocesso incremental-iterativo.

O metodo de Newton-Raphson Padrao pressupoe que a ma-triz de rigidez tangentee recalculada a cada iteracao. Nestecaso, a equacao de equilıbrio incremental (1) correspondentea iteracaoj do passoi pode ser escrita da seguinte forma:

[K]ij−1 · [δU ]ij = δλij · {P}+ {Q}i

j−1 (1)

onde,[K]ij−1 e a matriz de rigidez tangente na iteracaoj − 1 do

passoi , funcao do campo de deslocamentos[U ]ij−1;{δU}i

j e o vetor deslocamentos incrementais da iteracaojdo passoi ;

δλij e o incremento do fator de cargas na iteracaoj do passo

i ;{P} e o vetor de cargas de referencia;{Q}i

j−1 e o vetor de forcas residuais da iteracaoj − 1 dopassoi .

Primeiramente, um valor para o incremento do fator decarga,δλj , e estabelecido em funcao do parametro de con-trole, assim pode-se obter{δU}j em funcao das parcelasassociadasa carga de referencia{δU}P

j e a carga residual

{δU}Qj , na forma:

{δU}j = δλj · {δU}Pj + {δU}Q

j (2)

com

[K]j−1 · {δU}Pj = {P} (3)

e

[K]j−1 · {δU}Qj = {Q}j−1 (4)



Ao final de cada iteracao, a convergenciae verificada pormeio da magnitude do vetor de forcas residuais{Q}j e/ouda magnitude do vetor de deslocamentos iterativos{δU}j . Oprocesso iterativo continua ate que um determinado criteriode convergencia seja atendido. Caso seja necessaria uma novaiteracao, apos calculados{δU}P

j e {δU}Qj com as equacoes

3 e 4, o valor deδλj deve ser obtido com uma equacaode restricao que envolve combinacoes das grandezas do pro-blema.

A atualizacao das variaveise feita da seguinte forma:

λj = λj−1 + δλj (5)

{U}j = {U}j−1 + δU j (6)

O vetor de cargas residuais da iteracao j e dado por:

{Q}j = λj · {P} − {F}j , (7)

onde{F}j e o vetor de forcas equivalentesas tensoes internasao final da iteracaoj . Na primeira iteracao de cada passo, ovetor de cargas residuais{Q}j−1 e nulo.

O diagrama da figura 4 mostra os principais passos do al-goritmo generico proposto por Yang e Shieh (1990). O pro-cedimento em destaque refere-sea obtencao do parametro decarga, que depende do metodo de controle adotado.

Essa formulacao e bastante generica e se aplica a variosmetodos de controle, bastando que se redefina a equacao derestricao, porem, dentre os metodos descritos no texto, o decontrole do resıduo ortogonal exige algumas modificacoesnesse algoritmo.

3.1.1 Controle de Carga

Neste metodo a carga externae incrementada de um valorconstante na primeira iteracao de cada passo(j = 1). Paraas demais iteracoes(j > 1), dentro de um mesmo passo, ocarregamento externoe constante, ou seja, o incremento decargae igual a zero. A variavel δλj pode ser obtida pelaequacao 8.

δλj ={

Constante, para j = 10, para j > 1.

(8)

A figura 5 apresenta um esquema do processo iterativodeste metodo.

Como as iteracoes sao processadasa carga constante, autilizacao deste metodo falha na passagem por pontos limitesde carga, ou seja, quando a carga externa ultrapassa o valorcorrespondente a um ponto limite (ponto B na figura 5), a li-nha horizontal que controla a trajetoria de iteracao nao cruzaa trajetoria de equilıbrio, logo nenhum ponto de convergenciapode ser obtido. A instabilidade numerica ocorre proximoaos pontos limites.

Figura 4: Diagrama do algoritmo generico para metodos decontrole (FUINA, 2009).

3.1.2 Controle Direto de Deslocamento

Este metodo (BATOZ; DHAT, 1979) supoe que as iteracoessao processadas a um deslocamento constante. O incrementode deslocamentos para a componente k,δUk

j , e dado pelaequacao 9.

δUkj =

{Constante, para j = 10, para j > 1.

(9)

Substituindo o vetor de deslocamentos incrementais porsua componente k na equacao {δUj} = δλj · {δUP

j } +{δUQ

j }, tem-se a equacao 10.

δλj =δUk

j − δUQk

j

δUP k

j

(10)

Na primeira iteracao de cada passo o vetor de cargas re-siduais({Q}j−1) e nulo, logo, os deslocamentos a ele as-

sociados{δUQk

j } tambem sao nulos, conforme a equacao 4.Sendo assim, na primeira iteracao, a equacao 9 pode ser es-crita conforme apresentado na equacao 11.

δλj =δUk

1

δUP k

1

, paraj = 1. (11)



Fato

r de

Car

ga

Deslocamento

Trajetória deEquilíbrio

Trajetória deIteração

Figura 5: Processo incremental-iterativo com controle decarga (FUINA, 2009).

Nas demais iteracoes(j > 1), δUkj e nulo, conforme a

equacao 9 e o incremento de cargas proporcionais pode serescrito como na equacao 12.

δλj = −δUQk

j

δUP k

j

, paraj > 1. (12)

A figura 6 ilustra o procedimento iterativo deste metodo.A grande desvantagem deste metodoe a necessidade de

conhecimento previo da estrutura a ser analisada para que sepossa escolher o grau de liberdade adequado a ser usado parao controle, dessa forma a experiencia do usuario contribuipara resolver o problema. Alem disso, assim como no metodode controle de carga, que nao permite a passagem por pontoslimites de carga, o controle direto de deslocamentoe inefici-ente se o deslocamento de controle experimenta diminuicao(snap − back) de um nıvel de carga para outro. Isto se deveao fato da trajetoria de iteracao, controlada por uma linha ver-tical, nunca cruzar a trajetoria de equilıbrio.

3.1.3 Controle de Comprimento de Arco

Nos metodos de comprimento de arco, o processo iterativoecontrolado por uma combinacao geometrica entre as variaveisdeslocamentos e fator de carga proporcional. A figura 7 ilus-tra o procedimento para a obtencao do ponto de equilıbrio B,a partir do ponto de equilıbrio A (FUINA, 2009).

Para estes metodos, definindo o ponto inicial da trajetoriade iteracao (ponto B’ da figura 7), a combinacao apresentadana equacao 13 precisa ser controlada na primeira iteracao.

{δU}T1 · {δU}1 + δλ1 · δλ1 = ∆S2, (13)

Deslocamento

Fato

r de

Car

ga

EquilíbrioTrajetória de

IteraçãoTrajetória de

Figura 6: Processo incremental-iterativo com controle diretode deslocamento (FUINA, 2009).

onde∆S e uma constante a ser controlada.No inıcio de cada passo (j = 1), {Q}j−1 = {0}, pois nao

existem forcas residuais. Pela equacao 4, o vetor de desloca-mentos{δU}Q

1 tambeme nulo.O vetor de deslocamentos incrementais para a primeira

iteracao pode ser obtido da equacao 2 como mostrado naequacao 14.

{δU}1 = δλ1 · {δU}P1 (14)

O vetor de deslocamentos incrementais acumuladose dadopor 15.

{∆U}j = {∆U}j−1 + {δU}j . (15)

Logo, a equacao 14 pode ser escrita na forma apresentadaem 16.

{∆U}1 = δλ1 · {δU}P1 , (16)

uma vez que{∆U} e nulo no inıcio do passo.Substituindo o resultado de 14 na equacao 13, obtem-se o

fator de carga proporcional para a primeira iteracao em 17.

δλ1 = ± ∆S√{δU}P T

1 · {δU}P1 + 1.0

, para j = 1 (17)

Conforme pode-se observar, o sinal do fator de cargae in-determinado, sendo necessario outras informacoes adicionaisao processo. Dessa forma,e comum o uso dos pivots da ma-triz de rigidez para definir-se sobre o incremento ou decre-mento das cargas externas, uma vez que estes servem comoindicadores da mudanca da positividade da referida matriz



Deslocamento

Fato

r de

Car

ga



Figura 7: Processo incremental-iterativo com controle decomprimento de arco (FUINA, 2009).

(FUINA, 2009). Porem, em algumas situacoes, onde ocorremmudancas acentuadas na direcao da trajetoria de equilıbrio,o sinal escolhido pode nao resultar na correta descricao datrajetoria.

Um outro metodo para a escolha do sinal, propostopor Feng, Peric e Owen (1996), estabelece um criteriono qual o sinal do fator de carga da primeira iteracao dequalquer passo incremental coincide com o sinal do pro-duto interno entre o deslocamento incremental convergidono passo anterior,{∆U}i−1, e o deslocamento da primeiraiteracao do passo atual devidoa carga de referencia,{δU}iP

1 .Assim,pode-se escrever a equacao 18.

sinal(δλi1) = sinal({∆U}i−1 · {δU}iP

1 ) (18)

Neste criterio, o valor de{∆U}i−1 traz informacoes dohistorico da trajetoria de equilıbrio atual. Dessa forma, o sinalpositivo do produto{∆U}i−1 · {δU}iP

1 indica que o fator decarga esta crescendo e, portanto, deve assumir valor positivo(figura 8(a)). O sinal negativo indica que o fator de carga estadecrescendo e, portanto, deve assumir valor negativo (figura8(b)).

Figura 8: Direcao da trajetoria de equilıbrio (FUINA, 2009).

O metodo de comprimento de arco geralmentee utilizadodesprezando-se a unidade em presenca do produto escalar en-tre os vetores de deslocamentos no denominador da equacao17, pois este nao possui unidades fısicas consistentes, resul-tando na equacao 19.

δλ1 =∆S

δUPT1 · δUP

1

, paraj = 1 (19)

Atraves da equacao 19 pode-se definir o ponto inicialda trajetoria de iteracao, que deve ser percorrida(j > 1)impondo-se restricoesa sua forma. Assim, algumas possi-bilidades para o metodo de comprimento de arco sao apre-sentadas a seguir.

3.1.4 Trajetoria de Iteracao Ortogonal a Tangente Ini-cial

Este metodo (RICKS, 1972, 1979) mantem a trajetoria deiteracao sempre ortogonala tangente inicial em cada passo.Assim, o produto escalar dos vetores({∆U}1,∆λ1) e({δU}j , δλj) deve se anular de acordo com a equacao 20.

({∆U}1,∆λ1) · ({∆U}j ,∆λj) = 0 (20)

A figura 9 ilustra o procedimento iterativo deste metodo.

Deslocamento

Fato

r de

Car

ga



Figura 9: Comprimento de arco com trajetoria de iteracaoortogonala tangente inicial (FUINA, 2009).

Desenvolvendo a equacao 20 chega-se a equacao 21:

{∆U}1 · {δU}j + ∆λ1 · δλ1 = 0, (21)

e substituindo{δU}j pela expressao dada em 2 obtem-se aequacao 22:



{∆U}1 · (δλj · {δU}Pj + {δU}Q

j ) + ∆λ1 · δλj = 0, (22)

resultando na equacao 23

δλj = −{∆U}T

1 · {δU}Qj

{∆U}T1 · {δU}P

j + ∆λ1. (23)

Desprezando-se∆λ1, em presenca do produto escalar{∆U}T

1 · {δU}pj , obtem-se a equacao 24:

δλj = −{∆U}T

1 · {δU}Qj

{∆U}T1 · {δU}P

j

, paraj > 1. (24)

3.1.5 Trajetoria de Iteracao Ortogonal a Tangente daIteracao Anterior

Este metodo (RAMM , 1981) mantem a trajetoria de iteracaosempre ortogonala tangente da iteracao anterior. As-sim, o produto escalar dos vetores({∆U}j−1,∆λj−1) e({δU}j , δλj) deve ser nulo de acordo com a equacao 25.

({∆U}j−1,∆λj−1) · ({∆U}j ,∆λj) = 0 (25)

Desenvolvendo 25, substituindo{δU}j pela expressaodada em 2 e adotando a mesma simplificacao anterior, obtem-se a equacao 26:

δλj = −{∆U}T

j−1 · {δU}Qj

{∆U}Tj−1 · {δU}P

j

, paraj > 1 (26)

A figura 10 mostra este procedimento.

Deslocamento

Fato

r de

Car

ga



Figura 10: Comprimento de arco com trajetoria de iteracaoortogonala tangente inicial (FUINA, 2009).

3.1.6 Trajetoria Cil ındrica

Este metodo (CRISFIELD, 1981, 1983) controla a norma dosdeslocamentos incrementais dada pela equacao 27.

{∆U}Tj · {∆U}j = ∆S2 (27)

A incognita δλj e dada pela solucao da equacao do se-gundo grau obtida pela substituicao de{δU}j pela expressaodada em 2 na equacao 15 e do resultado na equacao 27. Aescolha da raiz da referida equacao de segundo grau a seradotadae feita baseando-se noangulo formado entre os ve-tores de deslocamentos incrementais dasultimas iteracoes({∆U}j−1 e{∆U}j) e na proximidade da raiz com a solucaolinear da equacao de segundo grau (CRISFIELD, 1981).

A figura 11 apresenta um esquema do processo iterativodeste metodo

Deslocamento

Fato

r de

Car

ga



Figura 11: Comprimento de arco com trajetoria de iteracaocilındrica (FUINA, 2009).

3.1.7 Controle de Deslocamento Generalizado

Este metodo, proposto por Yang e Shieh (1990), tem comoobjetivo automatizar o ajuste do tamanho do passo incremen-tal, pelo acompanhamento da variacao da rigidez, e a trocado sinal do incremento de carga proporcional na ocorrenciade pontos limites. Assim, os autores propuseram relacio-nar deslocamentos incrementais em dois passos sucessivos,utilizando-se a expressao 28 para o fator de carga proporcio-nal.

δλj =Hj − δλ1 · {δU}P,i−1T

1 · {δU}Q,ij

δλ1 · {δU}P,i−1T

1 · {δU}P,ij

. (28)

onde{δU}p,i−11 e o incremento de deslocamento resultante

da primeira iteracao doultimo passo incremental eHj podeser interpretado como um deslocamento generalizado.



Na primeira iteracao (j = 1), um vez que{δU}Qj e nulo,

δλ1 pode ser escrito de acordo com a equacao 29.

δλ1 =(

H1

{δU}P,i−1T

1 ·δUP,i1

)0.5

, paraj = 1. (29)

Para as demais iteracoes,Hj deve se anular para garan-tir o controle estabelecido na primeira iteracao. Assim, daequacao 28 tem-se a equacao 30.

δλj ={δU}P,i−1T

1 · {δU}Q,ij

{δU}P,i−1T

1 · {δU}P,ij

, (30)

No primeiro passo incremental, toma-se{δU}P,01 =

{δU}P,11 e substituindo em 29 obtem-se a equacao 31.

H1 = (δλ11)

2δUP,1T

1 · {δU}P,11 (31)

Para a primeira iteracao de um passo generico, o incre-mento do fator de carga pode ser obtido substituindo-se 31em 30, mostrado na equacao 32

δλ1 = δλ11

({δU}P,1T

1 ·{δU}P,11

{δU}P,i−1T

1 ·{δU}P,i1

)0.5

, paraj = 1 (32)

O termo entre parenteses em 32e definido pelos autorescomo um parametro de rigidez generalizado (GSP), de modoque o incremento no fator de carga, para a primeira iteracaode um passo generico pode se descrito pela equacao 33.

δλ1 = ±δλ11‖GSP‖0.5 (33)

O GSP, como definido em 33, possui duas caracterısticasimportantes:

1. O numerador e o denominador da expressao doparametro de rigidez generalizado representam, respectiva-mente, os deslocamentos no primeiro passo e, aproximada-mente, os deslocamentos no passo corrente. Assim, o GSPe representativo da variacao da rigidez da estrutura e seu usotorna automatico o ajuste do tamanho do passo incremental;

2. O valor do GSPe negativo somente proximo de pontoslimites, pois seu sinal depende somente do produto escalar

{δU}P,i−1T

1 ·{δU}P,i1 . Assim, o parametro, por si so, fornece

a indicacao da mudanca no sinal do incremento de carga.

3.1.8 Controle por Trabalho

O metodo de controle por trabalho proposto por Yang e Mc-Guire (1985) se baseia na equacao de restricao dada em 34.

{δU}Tj (δλj{P}) = ∆W, (34)

onde o incremento de trabalho∆W e definido pela equacao35.

∆W ={

Constante, para j = 10, para j > 1.

(35)

Para a primeira iteracao (j=1), o incremento no fator decargaδλ1 e determinado com base no incremento de trabalhoconstante∆W .

Se{Q}j−1 = {0} e {δU}Q1 = {0} paraj = 1, pode-se

utilizar a equacao 14, substituindo-a na equacao 34 para obtero incremento do fator de cargaδλ1 mostrado na equacao 36

δλ = ±

√∆W

{δU}PT1

· {P}, paraj = 1 (36)

Assim como no controle de comprimento de arco, aequacao acima possui um sinal indeterminado e, novamente,faz-se o uso dos pivots da matriz de rigidez para definir sobreo incremento ou decremento das cargas externas.

Para as demais iteracoes(j > 1) o incremento de trabalhoe nulo. Portanto,

{δU}Tj (δλjP ) = 0. (37)

Substituindo a equacao 2 na equacao 37, tem-se a equacao38.

δλj = −{δU}QT

j · P{δU}PT

j · P, paraj > 1 (38)

3.1.9 Controle de Resıduo Ortogonal

No controle de resıduo ortogonal, proposto por Krenk e He-dedal (1993) e Krenk (1995), o fator de carga para a primeiraiteracao (∆λ1 = δλ1) de cada passoe incrementado de umvalor constante e o vetor deslocamentos incrementaise obtidopela equacao 39.

[K]0 · {∆U}1 = δλ1 · {P} (39)

Nas demais iteracoes(j > 1), o nıvel de cargae ajustadopor um fator(ξ). Este fator oferece um melhor ajuste dasforcas internas, de modo que o vetor de forcas residuaiseescrito conforme a equacao 40.

{Q}j = {Q}j + ξj · (δλ1 · {P}), (40)

onde{Q} e dado por{Q}j = λj ·P −{F}j (ver equacao 7).Como em problemas nao lineares o vetor de forcas re-

siduais nao e nulo, esse induzira a deslocamentos adicio-nais. A magnitude do deslocamento incremental sera entaoaumentada ou diminuıda de acordo com o sinal do produto{Q}T

j · {∆U}j , isto e, o sinal da projecao da forca residualna direcao do deslocamento incremental corrente. A escolhado deslocamento incremental correntee entao otimizada soba condicao descrita pela equacao 41.

{Q}Tj ·∆U j = 0 (41)



Substituindo a forca residual da equacao 40 na condicao deortogonalidade anterior, chega-se ao fator de escala(ξ) dadopela equacao 42.

ξj = −{Q}T

j · {∆U}j

δλ1{P} · {∆U}j(42)

Determinado o fator{ξ} pode-se obter o vetor de forcasresiduais{Q} pela equacao 40. Conhecendo este vetor,avaliam-se os deslocamentos iterativos utilizando-se a ex-pressao dada por 43.

[K]j−1 · {δU}j = {Q}j (43)

A expressao para o calculo do incremento de carga para asiteracoes(j > 1) e dada por 44 ou 45

δλj = δλ1 ·(− {Q}T

j ·{∆U}j

δλ1P T ·{∆U}j

)(44)

δλj = δλ1 · ξj (45)

No final de cada iteracao, atualizam-se os incrementos dedeslocamento e o fator de carga, respectivamente, utilizando-se as equacoes 46 e 47.

{∆U}j = {∆U}j−1 + {δU}j (46)

λj = λj−1 + ξj∆λ1 (47)

As seguintes observacoes podem ser feitas:

1. Se‖∆U1 > Umax entao ∆U1 = Umax

‖∆U1∆U1, pois

proximo aos pontos limites a rigidez pode ser muito pequena,sendo assim,e conveniente impor um limite maximoa mag-nitude do incremento de deslocamento;

2. Se∆UT0 · ∆U1 < 0 entao∆U1 = −∆U1 e ∆λ1, onde

∆U0 = ∆Uj no fim de cada passo. Assim, assegura-se quea trajetoria de equilıbrio sera percorrida corretamente mesmose houver uma reversao do deslocamento;

3. Se‖∆Uj > Umax entao∆Uj = Umax

‖∆Uj∆Uj , novamente

evita-se que a rigidez muito pequena divirja o processo.

Os itens 1 e 3 sao semelhantes ao uso dos pivots da matrizde rigidez mencionado no controle de comprimento de arco eno controle por trabalho. A figura 12 mostra o procedimento.

3.1.10 Resumo

A figura 13 apresenta os parametros de carga obtidos paracada metodo de controle das iteracoesj = 1 e j > 1 (partedestacada no diagrama da figura 4).

Fato

r de

Car

ga

Deslocamento

1 1

0 1

Trajetória deEquilíbrio

Figura 12: Processo incremental-iterativo com controle deresıduo ortogonal (FUINA, 2009).

3.2 Elementos Finitos de Portico Espacial

Um portico espaciale o tipo mais geral de estrutura reticu-lada, no que diz respeito tanto a geometria quanto a cargas. Afigura 14 mostra uma barra, de comprimentol e secao trans-versal deareaA, orientada de maneira arbitraria no espaco. Aorientacao de seu sistema local de coordenadase de tal formaque os planosxy e xz sao os planos principais de flexao.Considera-se que a secao transversal tem dois eixos coinci-dentes com os eixos locaisy e z, de modo que a flexao e atorcao tomem lugar independentemente uma da outra. Umabarra tıpica de portico espacial pode suportar forcas axiais,forcas cortantes nas direcoes principais, momentos de torcaoe momentos fletores nas direcoes principais. Um ponto qual-quer do eixo da barra pode ter ate seis deslocamentos, sendotres translacoes (wx, wy ewz) e tres rotacoes (θx, θy, θz ).

Portanto, na analise de um portico espacial, consideram-se deformacoes axiais, deformacoes devidoa flexao e de-vido a torcao. As deformacoes devido aos esforcos cortan-tes muitas vezes sao desprezadas, mas podem ser signifi-cativas e devem ser incluıdas na analise de tais estruturas,quando necessario. A incorporacao dos efeitos relaciona-dos ao cisalhamento pode ser feita atraves da consideracaoda teoria de flexao de vigas de Timoshenko, a qual incluiuma aproximacao para a distorcao da secao transversal de-vido aos esforcos cortantes. Distorcao esta desprezada na te-oria classica de flexao de vigas esbeltas de Euler-Bernoulli.

Para um portico espacial considerando a teoria de Ti-moshenko sao adotadas as seguintes hipoteses:

1. Secoes transversais normais ao eixo da barra antes da



MÉTODOS DE CONTROLE δλ para j=1 δλ para j>1

Controle de Carga =δλ1 constante =δλ j 0

Controle Direto de Deslocamento kP

1

k1

1UU

δ

δ=δλ

kPj

kQj

jU

U

δ

δ−=δλ

Trajetória de iteração ortogonal à tangente inicial:

{ } { }{ } { }P

jT1

Qj

T1

j UU

UU

δ⋅∆

δ⋅∆−=δλ

Trajetória de iteração ortogonal à tangente da iteração anterior:

{ } { }{ } { }P

jT

1j

Qj

T1j

j UUUUδ⋅∆

δ⋅∆−=δλ

−

−

Controle de Comprimento de Arco { } { }P

1

TP1

1

UU

S

δ⋅δ

∆±=δλ

Trajetória cilíndrica: equação do 2º grau que permite obter jδλ ( ver item 5.2.3.3 ).

Controle de Deslocamento Generalizado

{ } { }{ } { }

5,0

i,P1

T1i,P1

1,P1

T1,P11

11UU

UU

δ⋅δ

δ⋅δδλ=δλ

−

{ } { }{ } { } i,P

j

T1i,P1

i,Qj

T1i,P1

jUU

UU

δ⋅δ

δ⋅δ−=δλ

−

−

Controle por Trabalho { } { }PU

WTP

1

1δ

∆±=δλ { } { }

{ } { }PU

PUTP

j

TQj

jδ

δ−=δλ

Método do Resíduo Ortogonal =δλ1 ±constante { } { }{ } { }

∆⋅δλ

∆⋅−δλ=δλ

jT

1

j

T

j1j

UP

UQ~

Figura 13: Parametros de carga obtidos para os metodos decontrole (FUINA, 2009).

flexao, permanecem planas, mas nao permanecem necessari-amente ortogonais a tal eixo, depois da flexao;

2. A barra suporta deformacao axial, deformacoes devidoao cisalhamento nas duas direcoes principais, deformacao de-vido a torcao e deformacoes devidoa flexao nas duas direcoesprincipais;

3. Admite-se constante a distribuicao de tensoes tangenci-ais ao longo da secao transversal, porem modificada por umfator de correcao de cisalhamento da secao, de maneira que otrabalho da deformacao tangencial constante coincida com otrabalho da deformacao exata.

4. Existe uma completa interacao entre os varios materiaisda barra na secao transversal. As deformacoes nas interfacesdos materiais sao consideradas compatıveis.

Para um portico espacial considerando a teoria de Euler-Bernoulli, assumem-se as seguintes hipoteses:

1. Secoes transversais normais ao eixo da barra antes daflexao, permanecem planas e ortogonais a tal eixo depois daflexao;

Figura 14: Sistema de coordenadas e deslocamentos de umabarra de portico espacial (FONSECA, 2006).

2. A barra suporta deformacao axial, deformacao devidoa torcao, e deformacoes devidoa flexao nas duas direcoesprincipais;

Estas diferem das hipoteses feitas para a teoria de Ti-moshenko quantoa ortogonalidade das secoes e quantoaconsideracao de deformacoes de cisalhamento. Portanto, naoha necessidade de uma hipotese equivalentea hipotese (3)feita para aquela teoria. Assume-se ainda como valida ahipotese (4).

De maneira a demonstrar tais recuros no INSANE, citadosanteriormente, para a analise fisicametne nao linear, sao apre-sentados dois problemas: um portico espacial de concreto ar-mado e uma viga de concreto.

Primeiramentee mostrado o portico espacial de concretoarmado modelado por Fonseca (2006). A figura 15 apre-senta os detalhes geometricos do modelo bem como o car-regamento e as condicoes de contorno.

A malha com 80 elementos finitos, unidimensionais de doisnos, baseados na teoria de Bernoulli-Eulere detalhada na fi-gura 16

Para a analise nao linear, foi utilizado o metodo de controledireto de deslocamento. A figura 17 apresenta o grafico datrajetoria de equilıbrio para o deslocamento de controle.

No segundo exemplo, a viga ilustrada na figura 18 foi mo-delada por Penna (2011) e analisada com dois modelos di-ferentes: o primeiro, com elementos unidimensionais de doisnos, e o segundo, com elementos unidimensionais de tres nos,baseados na teoria de viga de Timoshenko.

A figura 19 apresenta as trajetorias de equilıbrio da extre-midade do balanco.



Figura 15: Detalhes da geometria do portico espacial(PENNA, 2011).

3.3 Elementos Finitos de Placas

Placas sao elementos estruturais planos onde uma das tresdimensoes, a espessura,e muito menor que as outras duas.Geralmente, as placas sao submetidasa acoes que provo-cam flexao. Conforme Soriano (2003) sua funcao principaletransmitir cargas agindo normalmentea mesma, como ocor-rem em lajes e pontes. As placas sao geometricamente repre-sentadas por seu plano medio, quee uma superfıcie equidis-tante dos dois planos que limitam a espessura.

O estudo das placas baseia-se na teoria de Kirchhoff,tambem conhecida como teoria classica, e na teoria deReissner-Mindlin. Estas teorias sao analogas as teoriasde viga de Euler-Bernoulli e Timoshenko, respectivamente,entretanto no caso das placas sao utilizados modelos ma-tematicos bidimensionais. Elas diferem-se basicamente naidealizacao do esforco cisalhante, onde Kirchhoff desprezaeste efeito enquanto Reissner-Mindlin o considera atravesde uma distribuicao uniforme ao longo da espessura. Istofaz com que a teoria de Kirchhoff fique limitada ao estudo

Figura 16: Modelo de elementos finitos e deformada (PENNA,2011).

das placas finas enquanto que a teoria de Reissner-Mindlineaplicavel a placas de qualquer espessura.

A teoria de Kirchhoff, adequada para o estudo das placasonde a razao entre a espessura e a menor dimensao da su-perfıcie media seja inferior a1/20, ou seja, adequada ao es-tudo de placas finas, adota as seguintes hipoteses simplifica-doras:

1. Os pontos contidos no plano medio somente se deslocamverticalmente, logo os deslocamentos horizontais (u, v) saoiguaisa zero;

2. Todos os pontos contidos numa reta normal ao planomedio tem o mesmo deslocamento vertical;

3. A tensao normal na direcaoz e desprezıvel;

4. Retas normais ao plano medio da placa indeformada per-manecem retas e normais ao plano medio apos a deformacaoda placa.

Assim como a teoria de Kirchhoff, a teoria de Reissner-Mindlin tambem esta fundamentada em quatro hipoteses sim-plificadoras, sendo as tres primeiras iguaisas de Kirchhoff,enquanto aultima, que se referea ortogonalidade da reta nor-mal ao plano medio, sofre alteracao:

1. Os pontos contidos no plano medio somente deslocamverticalmente, portanto tem-se os deslocamentos horizontais



Figura 17: Trajetoria de equilıbrio: Fator de carga× Deslo-camento horizontal (PENNA, 2011).

Figura 18: Detalhes da geometria da viga (PENNA, 2011).

(u, v) iguaisa zero;

2. Todos os pontos contidos numa reta normal ao planomedio tem o mesmo deslocamento vertical;

3. A tensao normal na direcao ze desprezıvel;

4. Retas normais ao plano medio da placa indeformada per-manecem retas, mas nao necessariamente normais ao planomedio, apos a deformacao da placa.

Os elementos finitos de placas do sistema INSANE, abaixolistados, foram implementados por Saliba (2007).

- Elementos Finitos para Placas Finas baseados na Teoriade Kirchhoff:

. Elemento Retangular de 4 Nos Nao - Conforme (MZC);

. Elemento Retangular de 4 Nos Conforme (BFS);

Figura 19: Trajetorias de equilıbrio da extremidade dobalanco (PENNA, 2011).

. Elemento Triangular de 3 Nos Nao - Conforme (CKZ);

. Elemento Triangular Conforme de Cowper;

- Elementos Finitos para Placas Finas baseados na Teoriade Reissner- Mindlin com Integracao Reduzida / Seletiva:

. Elemento Quadrilateral de 4 Nos (Q4);



. Elemento Quadrilateral Heterosis (Q9H);

- Elementos Finitos para Placas Finas baseados na Teoriade Reissner- Mindlin com Deformacao de Cisalhamento Im-posta:

. Elemento Quadrilateral de 4 Nos (RMCIQ4);



. Elemento Triangular de 6 Nos (RMCIT6);

Os exemplos a seguir ilustram os recursos do INSANE paraa analise fisicamente nao linear de placas. No primeiro exem-plo foi modelado uma placa com elementos baseados na teo-ria de Kirchhoff e no segundo exemplo com elementos base-ados na teoria Reissner-Mindlin.

No primeiro exemplo uma placa fina retangular foi mode-lada por Penna (2011) com 166 elementos finitos retangularesbaseados na teoria de Kirchhoff. A figura 20 apresenta os de-talhes do modelo e da malha de elementos finitos.



Figura 20: Modelo de placa de Kirchhoff (PENNA, 2011).

Para a obtencao das trajetorias de equilıbrio foi usado ometodo de controle de comprimento de arco cilındrico. A fi-gura 21 apresenta o grafico “Fator de carga× Deslocamento”para o no central da malha.

No segundo exemplo uma placa anular com carga dis-tribuıda na borda interna foi modelada com elementos quadri-laterais de quatro nos segundo a teoria de placas de Reissner-Mindlin. Os detalhes do modelo estao especificados na figura22.

As trajetorias de equilıbrio foram obtidas com o metodode controle de deslocamentos generalizados. A trajetoria deequilıbrio do deslocamento vertical, de um dos pontos demaior deslocamento, pode ser vista na figura 23.

4 Proposta de Dissertacao

O objetivo principal do trabalho de dissertacao e anali-sar pavimentos de edifıcios de concreto armado mediante autilizacao do metodo dos elementos finitos e considerando anao linearidade fısica. Sera feito uma analise linear e outra

Figura 21: Trajetoria de equilıbrio: Fator de carga× Deslo-camento (PENNA, 2011).

fisicamente nao linear para lajes macicas e nervuradas paraos seguintes casos:

. Lajes apoiadas em vigas.

. Lajes apoiadas apenas sobre pilares.

. Lajes apoiadas em vigas no contorno e em pilares inter-nos.

Os resultados obtidos serao comparados com os obtidospor programas comerciais, como o Eberick e/ou TQS, quefazem a analise por analogia de grelha. Com isso busca-sefornecer conceitos que possam ser incluıdos na pratica deprojetos estruturais, visando interpretar de forma mais clararesultados obtidos por programas de elementos finitos.

Para a modelagem dos problemas sera utilizado o programaINSANE que possui todos os recursos para as analises que sedeseja fazer.

Para o desenvolvimento do trabalho, a revisao bibliograficasera enriquecida com publicacoes nacionais e internacio-nais. Posteriormente, serao estudados os modelos constitu-tivos para representacao do comportamento do concreto dis-ponıveis no programa INSANE, para, entao, dar inıcio a mo-delagem das estruturas.

Agradecimentos

Os autores agradecem o apoio financeiro em forma de fo-mentoa pesquisa concedido pela FAPEMIG (Fundacao deAmparoa Pesquisa do Estado de Minas Gerais) e pela CA-PES (Coordenacao de Aperfeicoamento de Pessoal de NıvelSuperior).



Figura 22: Modelo de placa de Reissner-Mindlin (PENNA,2011).

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Figura 23: Trajetoria de equilıbrio: Fator de carga× Deslo-camento vertical (PENNA, 2011).

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