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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTECENTRO DE CIENCIAS EXATAS E DA TERRA

DEPARTAMENTO DE FISICA TEORICA E EXPERIMENTALBACHARELADO EM FISICA

Suzane Adrielly da Silva

Analise Qualitativa do Metodo deInversao Completa das Formas de

Onda no Domınio do Tempo

Natal-RNNovembro de 2017

Suzane Adrielly da Silva

Analise Qualitativa do Metodo de Inversao Completa das Formasde Onda no Domınio do Tempo

Monografia de graduacao apresentada ao Departamento deFısica Teorica e Experimental do Centro de Ciencias Exatase da Terra da Universidade Federal do Rio Grande do Nortecomo requisito parcial para a obtencao do grau de Bacharelem Fısica.

Orientador: Prof. Dr. Joao Medeiros de Araujo

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRNDepartamento de Fısica Teorica e Experimental - DFTE

Natal - RN2017

Silva, Suzane Adrielly da. Análise qualitativa do método de inversão completa das formasde onda / Suzane Adrielly da Silva. - 2017. 46 f.: il.

Monografia (graduação) - Universidade Federal do Rio Grandedo Norte. Centro de Ciências Exatas e da Terra. Departamento deFísica Teórica e Experimental. Bacharelado em Física. Natal, RN,2017. Orientador: João Medeiros de Araújo.

1. Sismologia - Monografia. 2. Inversão completa das formasde onda - Monografia. 3. Migração - Monografia. 4. Métodoadjunto - Monografia. 5. Programação paralela - Monografia. I.Araújo, João Medeiros de. II. Título.

RN/UF/CCET CDU 550.34

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRNSistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial Prof. Ronaldo Xavier de Arruda - CCET

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In memorian de Mercia Karoliny

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Agradecimentos

A minha famılia, primeiramente. Em especial a minha mae, Rosalucia, que sempre foia minha referencia maior.

Ao meu avo, Joao Martins, por todo carinho e incentivo que me deu. Por acreditarem todos os meus sonhos e me permitir realiza-los. Nunca vou esquecer tudo que fez pormim, e farei por merecer o “minha doutora”com que me apresentava aos seus amigos.

Ao meu orientador, o Prof. Joao medeiros, pelo apoio, por toda atencao e principal-mente pela orientacao academica.

A Matheus Phellipe, que entre todas as pessoas que conheci ao longo dessa jornadafoi a mais importante. O mais companheiro e fiel dos amigos.

Aos meus grandes amigos, Isaac e Valdecio, por tudo que vivemos juntos ao longo docurso, pelo apoio moral e por terem me dado uma segunda famılia.

A Acacio de Melo, que foi muito mais que um amigo, foi um verdadeiro irmao. Alemde ser um exemplo de pessoa para mim, por sua dedicacao, integridade e bondade.

A Marcio Assolin, pela confianca que depositou em mim, pela oportunidade que medeu de fazer parte dos seus projetos e principalmente por ter me apresentado a fısicaexperimental.

Aos colegas do PPGCEP, Rutinaldo Aguiar, Yuri Freitas, Juan Medeiros, MarcosVinıcius e Bruno, pelo conhecimento compartilhado, e pela enriquecedora experiencia ad-quirida nesse grupo de pesquisa.

Aos professores Liacir Lucena, Alvaro Barroca e Gilberto Corso, pelos debates ci-entıficos e pelo grande conhecimento adquirido com eles.

Aos colegas da pos graduacao, Cristovao, Edimilson Felix, Danielle, Diego, Suzana,Carlos Iglesias, Lazaro, Nubia, Carlinhos, Rafael, Veruska, Nazareno, Lucas, Neymar eVivian. (Peco perdao se esqueci de alguem).

Aos professores do Departamento de Fısica, Ananias Monteiro, Carlos Chesman,Bruno Canto, Francisco Alexandre, Daniel Brito e Marco Morales, pelo carinho, atencaoe pelos conselhos valiosos que me deram.

Aos professores do Departamento de Geofısica, Walter, Josibel, Rosangela e MarcioMaia, por terem me apresentado a beleza do curso de Geofısica.

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Aos colegas de Geofısica, Denis, Lucas, Asmminey, entre outros, pela experiencia ad-quirida, assim como pelos momentos de descontracao, que sao essenciais na vida academica.

A minha amiga Raquel Angelica, pelo carinho, pela atencao e por todo apoio quesempre me deu nas hora difıceis.

A minha amiga-irma Jeany Eunice, por ser um exemplo de mulher pra mim. Esperoque um dia eu possa ser uma pessoa tao bondosa e generosa quanto voce.

Aos colegas da fısica, Rafael Nascimento, Rafael Alexandre, Jardes, Felipe da Paz,Diego Brito, Josiano, entre outros, por todo conhecimento adquirido nas brincadeiras eatividades do curso

Aos meus primeiros amigos na UFRN, Caciano, Aline, Arthur, Tiely e Estevam, pelocompanheirismo.

Aos funcionarios do DFTE, Ricardo e Max, pelas boas conversas e por serem pessoasmaravilhosas.

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“Eu e que sei o que penso sobre vos, diz o SENHOR. Pensamentos de paz e nao de mal,para vos dar o fim que desejais.”

(Jr 29 : 11)

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Analise Qualitativa do Metodo de Inversao Completadas Formas de Onda no Domınio do Tempo

Autora: Suzane Adrielly da SilvaOrientador: Prof. Dr. Joao Medeiros de Araujo

RESUMO

Um dos grandes desafios da ciencia moderna e obter boas imagens de subsuperfıcies deforma indireta, tendo em vista que muitas vezes a forma direta de observar tal superfıciee inviavel. Podemos citar alguns exemplos que utilizam processos indiretos de imagea-mento, tais como: Ultrassonografia, Tomografia, Imageamento Sısmico, entre outros. Asemelhanca entre esses metodos advem da forma utilizada para obter a imagem. Em todosos exemplos citados a regiao de interesse e submetida a algum tipo de onda, que penetrano meio (corpo) e sofre reflexoes, refracoes, etc.. Tais fenomenos podem ser detectadosgracas a receptacao dessas ondas por sensores. Neste trabalho abordamos o problema deImageamento Sısmico, detalhando algumas das etapas mais importantes da tecnica, quee a mais utilizada pela industria de Petroleo para imagear subsuperfıcies, em busca dereservatorios de oleo e gas. Este trabalho se trata de uma analise geral da metodologiaFWI no domınio do tempo, desde a formulacao matematica ate uma aplicacao computa-cional. No desenvolvimento deste trabalho foi utilizado o Metodo das Diferencas Finitaspara discretizar a equacao da onda acustica, supondo o campo de onda sendo exclusiva-mente acustico. Tambem foi utilizado o Metodo do Gradiente Descendente para atualizaro modelo de velocidades, onde usamos inicialmente um modelo de velocidades suave quesupomos estar proximo do modelo real e o reconstruımos iterativamente ate obter um mo-delo mais realıstico. Para calcular o gradiente da funcao objetivo foi utilizado o MetodoAdjunto. A analise desenvolvida neste trabalho foi dividida em tres partes: analise daqualidade da imagem de subsuperfıcie reconstruıda perante mudanca na quantidade dedisparos; a mesma analise, agora perante mudanca na quantidade de iteracoes; e analisedo tempo de execucao de cada configuracao. Podemos a partir desse estudo, levantar umaanalise quantitativa dos parametros do modelo, observando o que chamamos de “pontootimo”, o ponto em que encontramos a solucao m que minimiza nossa funcao erro.

Palavras-Chave: Inversao Completa das Formas de Onda, Migracao, Metodo Adjunto,Programacao Paralela.

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Qualitative Analysis of the Full Waveforms InversionMethod in Time Domain

Author: Suzane Adrielly da SilvaAdvisor: Prof. Dr. Joao Medeiros de Araujo

ABSTRACT

One of the great challenges of modern science is to obtain good images of subsurfacesin an indirect way, since the direct way of observing such surface is often not feasible. Wecan cite some examples that use indirect processes of imaging, such as: Ultrasonography,Tomography, Seismic Imaging, among others. The similarity between these methods co-mes from the way used to obtain the image. In all the cited examples the region of interestis subjected to some kind of wave, which penetrates the middle (body) and undergoesreflections, refractions, etc.. Such phenomena can be detected thanks to the reception ofthese waves by sensors. In this work we approach the problem of Seismic Imaging, detai-ling some of the most important steps in the technique, which is the most used by the Oilindustry to image subsurface areas, in search of oil and gas reservoirs. This work dealswith a general analysis of the FWI methodology in the time domain, from mathematicalformulation to a computational application. In the development of this work the FiniteDifferences Method was used to discretize the acoustic wave equation, assuming the wavefield to be exclusively acoustic. We also used the Descent Gradient Method to updatethe velocity model, where we initially use a smooth velocity model that we assume to beclose to the real model and reconstruct iteratively until a more realistic model is obtained.The Adjoint Method was used to calculate the objective function gradient. The analysisdeveloped in this work was divided into three parts: analysis of the quality of the recons-tructed subsurface image due to a change in the number of shots; the same analysis, nowconsidering the change in the number of iterations; and analysis of the execution time ofeach configuration. From this study, we can take a quantitative analysis of the parametersof the model, observing what we call the “optimal point”, the point where we find thesolution m which minimizes our error function.

Keywords : Full Waveform Inversion, Migration, Adjoint Method, Parallel Program-ming.

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Lista de Figuras

1.1 Fluxograma de um levantamento sısmico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Ilustracao de uma aquisicao sısmica marinha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Ilustracao de uma aquisicao sısmica terrestre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Ilustracao de problemas Direto e Inverso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Representacao da malha discreta a esquerda e representacao da malha com

condicoes de borda a direita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1 Fluxograma do FWI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1 (a) Modelo inicial (b) Modelo Reconstruıdo e (c) Modelo Real. . . . . . . . . . 214.2 (a) Modelo inicial. Reconstruıdo com (b) 10 disparos (c) 12 disparos (d) 14

disparos (e) 16 disparos e (f) 18 disparos, mantendo NI = 10. . . . . . . . . . 224.3 (a) Modelo reconstruıdo com 30 disparos e 10 iteracoes (b) Modelo reconstruıdo

com 40 disparos e 10 iteracoes (c) Modelo reconstruıdo com 50 disparos e 10

iteracoes (d) Modelo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.4 Grafico do resıduo em funcao do numero de iteracoes, variando Ns de 2 em 2. . 244.5 Grafico do resıduo em funcao do numero de iteracoes para grandes quantidades

de disparos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.6 (a) Modelo inicial. Modelo reconstruıdo com Ns = 10 e (b) NI = 10 (c) NI = 12

(d) NI = 14 (e) NI = 16 (f) NI = 18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.7 (a) Modelo inicial, (b) Reconstruıdo com Ns = 10 NI = 30, (c) Reconstruıdo

Ns = 10 NI = 40 e (d) Modelo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.8 Grafico do erro em funcao da quantidade de iteracoes, mantendo Ns = 10 e

variando NI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.9 Grafico do erro em funcao da quantidade de iteracoes, com Ns = 10 e NI = 30

a esquerda e NI = 40 a direita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.10 (a) Modelo reconstruıdo com 20 disparos e 20 iteracoes (b) Modelo reconstruıdo

com 20 disparos e 30 iteracoes (c) Modelo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.11 Grafico do erro em funcao do numero de iteracoes, para 20 disparos e 20 iteracoes,

e 20 disparos e 30 iteracoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

ix

Lista de Tabelas

4.1 Geometria de Aquisicao para o modelo Marmousi. . . . . . . . . . . . . . . 204.2 Tabela do tempo de execucao das amostras com NI = 10. . . . . . . . . . . 254.3 Tempo de execucao da simulacoes com Ns = 10 variando a quantidade de

iteracoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.4 Tempo de execucao das simulacoes com Ns = 20 com NI = 20 e NI = 30

iteracoes, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

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Sumario

Lista de Figuras ix

Lista de Tabelas x

Sumario 1

1 Introducao 21.1 Levantamento sısmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Aquisicao sısmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Processamento de sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Interpretacao de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Problema inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Estrutura do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Modelagem Acustica 82.1 Equacao da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Discretizacao pelo Metodo das Diferencas Finitas (MDF) . . . . . . . . . . 9

3 FWI como metodo de otimizacao 113.1 Aproximacao de Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Metodo do Gradiente Descendente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Metodo do Estado Adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Visao geral do metodo FWI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Resultados e Discussoes 204.1 Resultados variando a quantidade de disparos . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1.1 Analise do erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.1.2 Analise do tempo de execucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2 Resultados variando a quantidade de iteracoes . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2.1 Analise do erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2.2 Analise do tempo de execucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3 Ponto otimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3.1 Analise do erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3.2 Analise do tempo de execucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

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SUMARIO 1

5 Conclusoes e Perspectivas 31

Capıtulo 1Introducao

Um dos grandes desafios da ciencia moderna e obter boas imagens de subsuperfıcies deforma indireta, tendo em vista que muitas vezes a forma direta de observar tal superfıciee inviavel. Alguns exemplos de tecnicas que utilizam processos indiretos de imagea-mento sao: Ultrassonografia, Tomografia e Imageamento Sısmico. A semelhanca entreos metodos advem da maneira de gerar a imagem, ja a diferenca vem basicamente daescala em que se trabalha, onde problemas de Medicina (Ultrassonografia, Tomografiacomputadorizada, Ecocardiograma, etc.) trabalha com imageamento muitas vezes da or-dem de centımetros, enquanto problemas sısmicos, usados neste trabalho, podem imagearmilhares de metros, o que torna o metodo sısmico bastante atrativo para a industriaque almeja caracterizar novos reservatorios de hidrocarbonetos. A industria petrolıfera acada dia demanda novas tecnologias para a identificacao e caracterizacao de reservatoriosde oleo e gas, como relata Martins (2015) [10]. “Devido a sua habilidade de produzirimagens ate profundidades de milhares de metros com resolucao de dezenas de metros,o metodo sısmico tornou-se de longe o metodo geofısico mais utilizado na industria dopetroleo”(BLEISTEIN, 2001, traducao propria) [3].

A qualidade dos dados adquiridos em um levantamento sısmico depende de varios fato-res, e precisamos ter consciencia que sempre havera imperfeicoes (ruıdo). Por este motivo,faz-se necessario o uso de metodos que ajustem os dados da melhor maneira possıvel. Umdestes metodos de processamento e o que chamamos de Inversao Completa das Formasde Onda.

Nos ultimos anos, o metodo da Inversao Completa da Forma da Onda (FWI, sigla emingles) tem sido bastante utilizado na exploracao de petroleo. Isso se deve ao fato destemetodo gerar modelos de velocidades sısmica de alta resolucao, como mencionado porCarrillo et al (2015) [4].

A modelagem FWI consiste em obter parametros do meio, atraves dos dados geradosem campo (sismogramas). O processo de inversao ocorre quando minimizamos o resıduoentre o dado observado e o dado modelado. A formulacao matematica do metodo seguenas proximas secoes e nos proximos capıtulos.

Algumas caracterısticas desta modelagem sao:

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1.1. LEVANTAMENTO SISMICO 3

• Funcao objetivo;

• Modelo inicial de velocidades;

• Propagador de ondas.

Uma vez definida a funcao objetivo, buscamos um conjunto de parametros m que atorna mınima. Veremos no proximo capıtulo que m representa um parametro que per-tence ao espaco do modelo, m ∈M. O modelo inicial de velocidades e atualizado ate queseja obtido um modelo reconstruıdo bem proximo do que seria um modelo real.

A teoria de Inversao Completa das Formas de Onda foi desenvolvida na decada de1980 por Laily (1983) [8] e Tarantola (1984) [16] , ambos trabalhando no domınio dotempo. Nos anos seguintes diversos pesquisadores ampliaram a utilizacao do metodo emoutros domınios, como o da Frequencia (Pratt et al., 1998) [13] e de Laplace (Shin et al.,2016) [15].

O FWI geralmente usa metodos de otimizacao que utilizam derivadas, como a famıliade metodos descendentes (Gradiente Conjugado, Quase-Newton, Gradiente Descen-dente, etc.), para atualizar o modelo de velocidades. Contudo, o calculo dessas derivadasnumericamente se torna muito caro, principalmente quando tratamos problemas commuitas fontes e receptores. O que instigou muitos cientistas a buscarem uma maneiraalternativa de realizar esse processo de atualizacao do modelo. Alem das varias tecnicaslivres de derivadas que surgiram nos ultimos anos, outra maneira de implementar o FWIde forma mais agil foi a implementacao do metodo em programacao paralela (Carrillo etal., 2015; Yang, Gao & Wang, 2015).

Neste trabalho realizamos um estudo qualitativo e quantitativo do metodo FWI nodomınio do tempo, desde a sua formulacao matematica ate o produto final, que seria aimagem reconstruıda da subsuperfıcie, atraves de simulacao numerica. No capıtulo de Re-sultados e Discussoes apresentamos uma comparacao entre as imagens obtidas por FWIvariando alguns parametros de interesse, com o objetivo de visualizar a importancia dosmesmos na imagem reconstruıda. Usamos um modelo de velocidades razoavelmente com-plexo para esse estudo.

Na modelagem computacional foi utilizado o metodo das Diferencas Finitas paradiscretizar a equacao da onda acustica e o metodo do Estado Adjunto, ou simplesmenteAdjunto, para calcular o gradiente da funcao objetivo. Foi usado tambem, o metodo doGradiente Descendente para atualizar um modelo de velocidades inicial, tendo emvista que este metodo e mais simples de implementar.

1.1 Levantamento sısmico

1.1.1 Aquisicao sısmica

Em um levantamento sısmico e apropriado dividir o trabalho em partes, a Figura 1.1mostra um fluxograma desse processo.


Figura 1.1: Fluxograma de um levantamento sısmico.

Fonte: figura adaptada de BACON, 2007 [1].

A primeira etapa do levantamento e a aquisicao sısmica. Esta etapa baseia-se emtecnicas especıficas para adquirir informacoes sobre as camadas internas de uma regiaode interesse, e a etapa de obtencao de dados. Os metodos utilizados para gerar o campode ondas, assim como a descricao dos equipamentos nao serao apresentados, pois nao setrata do objetivo deste trabalho descreve-los.

A tecnica de aquisicao sısmica consiste em produzir artificialmente um campo de on-das que se propaga em subsuperfıcie e que, ao encontrar um contraste entre duas camadasgeologicas diferentes, esse campo e refletido e/ou refratado. A aquisicao sısmica pode serfeita em terra (onshore) ou no mar (offshore). Em um tıpico levantamento terrestre saodistribuıdos sensores (geofones) na superfıcie do terreno, que recebem o sinal das ondasrefletidas. A partir destes dados e possıvel estimar caracterısticas das camadas geologicas,tais como: profundidade, velocidade, impedancia acustica, etc.. Em seguida os dados saogravados em sismografos e apresentados em forma de sismogramas. O mesmo ocorre emum levantamento sısmico marinho, onde os sensores, agora hidrofones, estao dispostos nasuperfıcie do mar. A Figura 1.2 apresenta de forma esquematica uma aquisicao sısmicamarinha e a 1.3 uma aquisicao terrestre.

Figura 1.2: Ilustracao de uma aquisicao sısmica marinha.

Fonte: Figura retirada de EUGENIO, 2016, pag.17 [6].


Figura 1.3: Ilustracao de uma aquisicao sısmica terrestre.

Fonte: Figura retirada de EUGENIO, 2016, pag.18 [6].

1.1.2 Processamento de sinais

A aquisicao sısmica e um passo importante, mas o dado medido neste procedimentonao e interpretado diretamente, antes disso deve ser processado. Apos ser processado paraeliminar qualquer ruıdo o dado passa a etapa de modelagem para se ter uma interpretacaogeologica do meio. O resultado desse processamento nos traz uma imagem.

Algumas etapas importantes do processamento sısmico sao:

• Pre-Processamento;

• Deconvolucao;

• Filtragem;

• Migracao.

Sendo esse ultimo um fator importantıssimo em problemas de imageamento.

1.1.3 Interpretacao de dados

De acordo com (Kearey, 2009) [7], a interpretacao de dados segue basicamente duasetapas:

• Analise estrutural;

• Analise estratigrafica.

A Analise estrutural consiste em extrair informacoes analisando os tempos de re-flexao com base na geometria dos refletores. E a Analise estratigrafica consiste emsubdividir as secoes sısmicas em sequencias de reflexoes. A partir dela e possıvel estudaro comportamento dos estratos, ter informacoes sobre a idade das camadas geologicas,entre outras coisas.

1.2. PROBLEMA INVERSO 6

1.2 Problema inverso

A teoria inversa se trata de um conjunto de tecnicas matematicas usadas para obterinformacoes fısicas a partir de dados obtidos em campo. Antes de definir o problemainverso em essencia, e necessario entender o que e o problema direto. Pois bem, vamossupor uma situacao em que conhecemos o modelo (equacao que governa um determinadosistema fısico) e almejamos obter dados, este e um processo direto. Um exemplo, nosconhecemos a equacao que modela um meio geologico, vamos supor a equacao da ondaacustica, se conhecemos os parametros do modelo em cada ponto, podemos obter osdados. No problema inverso os dados que sao conhecidos, e desejamos estimar parametrosdo modelo a partir deles. Vale ressaltar que resolvendo o problema inverso obtemosestimativas dos parametros do modelo, e nao o modelo, propriamente dito. A Figura 1.4ilustra os dois problemas.

Seja d um dado, podemos descreve-lo a partir de um operador de modelagem direta,F . Onde,

Fm = d. (1.1)

“A inversao portanto se caracteriza como o processo inverso da equacao (1.1), tendocomo intuito a aplicacao de processos numericos para se obter o modelo”(ROCHA, 2013)[14].

Figura 1.4: Ilustracao de problemas Direto e Inverso.

Fonte: elaborada pela autora.

1.3. ESTRUTURA DO TRABALHO 7

1.3 Estrutura do trabalho

Este trabalho foi dividido em 5 capıtulos, onde o objetivo e apresentar a modelagemFWI do ponto de vista formal, relatar os metodos utilizados no processo de inversao efazer um estudo numerico do mesmo. Apos introduzido o problema geral precisamos for-malizar matematicamente a modelagem FWI. O primeiro passo desta etapa e definir odomınio fısico em que vamos trabalhar e em que condicoes iremos trabalhar. Para isso,no capıtulo 2 introduziremos a Equacao da Onda Acustica, secao 2.1. Na secao 2.2 seraapresentada a versao discretizada da Equacao da onda, assim como a condicao de bordaabsorvente utilizada.

No capıtulo 3 serao apresentados os pontos principais que formalizam o FWI como ummetodo de otimizacao. Na secao 3.1 sera apresentado um fator chave do nosso trabalhoque e a aproximacao de Born, e a sua importancia para linearizar o problema. Na secao3.2 sera definido o Metodo do Gradiente Descendente como ferramenta para atualizar omodelo. Na secao 3.3 sera apresentado o Metodo Adjunto, destacando alguns aspectoshistoricos e a relevancia do mesmo para o desenvolvimento deste trabalho. Na secao 3.4apresentaremos uma visao geral da modelagem FWI .

No capıtulo 4 serao apresentados os resultados e discussoes, apresentando os princi-pais pontos a serem analisados. E por fim, no capıtulo 5, serao apresentadas as nossasconclusoes, assim como nossas perspectivas para o futuro.

Capıtulo 2Modelagem Acustica

2.1 Equacao da Onda

Em geral, quando construımos um modelo de terra consideramos um meio ideal,isotropico e homogeneo. Entretanto, um modelo realıstico e bem mais complexo. Porsimplicidade, iremos considerar um caso particular, onde o campo de ondas e exclusiva-mente acustico. Nesta abordagem, podemos representar o modelo em termos de pressao(campo escalar, p(x, t)) e velocidade (campo vetorial, ~v(x, t)). Para simplificar a notacaousaremos apenas p e v, mas se tratam de funcoes do espaco e do tempo. Estes parametrossao regidos pelas equacoes:

∂v

∂t= − 1

ρ0∇p; (2.1)

∂p

∂t= −k0∇.v, (2.2)

onde ρ0 e a densidade de massa e k0 o modulo de volume (bulk). Essas quantidades estaorelacionadas atraves da velocidade da onda no meio c, da forma k0 = ρ0c

2. Levando emconsideracao a conservacao do momento e da massa, temos:

ρ

(∂v

∂t+ v.∇v

)= −∇p; (2.3)

∂ρ

∂t+∇.(ρv) = 0. (2.4)

Podemos expressar a equacao de estado em termos apenas de p, derivando em relacaoao tempo a equacao (2.2) e usando o valor de (2.1), obtendo:

∂2p

∂t2=k0(x)

ρ0(x)∇.(∇p) = c20∇2p+ f(x, t). (2.5)

Que nada mais e que a equacao de onda para o campo de pressao que buscamos, ondeintroduzi um termo de fonte f(x, t) que e essencial na pratica. Usaremos esta equacaopara modelar o dado sintetico no processo de inversao, que sera visto no proximo capıtulo.

A discretizacao desta equacao sera vista na proxima secao.

8

2.2. DISCRETIZACAO PELO METODO DAS DIFERENCAS FINITAS (MDF) 9

2.2 Discretizacao pelo Metodo das Diferencas Finitas

(MDF)

Uma ferramenta usual no sentido de resolver problemas de equacoes diferenciais par-ciais (EDPs) numericamente e o metodo das diferencas finitas. Por simplicidade,usaremos ele para resolver a equacao da onda acustica.

A equacao da onda acustica em uma dimensao e dada por:

1

c2∂2p(x, t)

∂t2− ∂2p(x, t)

∂x2= f(x, t), (2.6)

onde p(x, t) representa o campo de onda (pressao) unidimensional e f(x, t) um termode fonte. No nosso caso, iremos considerar a equacao bidimensional (x, z) que evolui notempo (t). Temos entao:

1

c2∂2p(x, z, t)

∂t2−∇2p(x, z, t) = f(x, z, t). (2.7)

Como mencionado f(x, t) e um termo de fonte, neste trabalho foi usada a fonte WaveletRicker, que e dada por:

f(x, t) = w(t)δ(x− xs) = (1− 2π2v20t2)e−π

2v20t2

δ(x− xs).Onde v0 representa o pico de frequencia.

O metodo das diferencas finitas representa o espaco-tempo como uma grade de pontosdiscretos (malha), como mostra a Figura 2.1. Com isso, a equacao da onda e calculadaem cada ponto da malha. O MDF aproxima equacoes diferenciais parciais por seriede Taylor, de ordem N . Para o caso da onda acustica bidimensional e usando umaaproximacao de segunda ordem, temos.

∂2p(x, z, t)

∂t2≈pn+1j,i − 2pnj,i + pn−1j,i

∆t2, (2.8)

∂2p(x, z, t)

∂x2≈pnj,i+1 − 2pnj,i + pnj,i−1

∆h2, (2.9)

∂2p(x, z, t)

∂z2≈pnj+1,i − 2pnj,i + pnj−1,i

∆h2, (2.10)

A equacao da onda para o ponto pj,i representado em azul na Figura 2.1, e:

1

c2j,i

pn+1j,i − 2pnj,i + pn−1j,i

∆t2−pnj,i+1 + pnj,i−1 + pnj+1,i + pnj−1,i − 4pnj,i

∆h2= fnj,i. (2.11)

Para encontrar a equacao de onda no instante seguinte so precisamos isolar o termopn+1i,j :

pn+1j,i − 2pnj,i + pn−1j,i = c2j,idt

2

[pnj,i+1 + pnj,i−1 + pnj+1,i + pnj−1,i − 4pnj,i

∆h2

]. (2.12)

2.2. DISCRETIZACAO PELO METODO DAS DIFERENCAS FINITAS (MDF) 10

A equacao da onda no instante seguinte (pn+1i,j ), e:

pn+1j,i = c2j,idt

2

[pnj,i+1 − 4pnj,i + pnj,i−1 + pnj+1,i + pnj−1,i

∆h2

]+ 2pnj,i+1 − pn−1j,i . (2.13)

Colocando os termos pnj,i em evidencia e chamandoc2j,idt

2

dh2= C2, temos:

pn+1j,i = 2(1− C2)pnj,i + C2

[pnj,i+1 + pnj,i−1 + pnj+1,i + pnj−1,i

]− pn−1j,i . (2.14)

O incremento ∆h representa o passo de um ponto inicial para o ponto vizinho. Grandeparte dos problemas de EDPs sao problemas de valor inicial e sujeitos a condicoes de bordaou de contorno, para garantir a unicidade da solucao. Existem dois tipos de condicoesde borda muito usadas em EDPs: Condicao de Neumann, que exige que a derivadaseja conhecida no contorno da regiao de interesse

(∂p∂n

= 0)

e Condicao de Dirichlet,que exige que a funcao seja conhecida no contorno (p = 0). Entretanto, em problemas depropagacao de onda as condicoes de Neumann e de Dirichlet fariam com que toda a ondaincidente fosse refletida para dentro da regiao de interesse, causando ruıdo nos dados.Uma alternativa para resolver esse problema e usar bordas absorventes, que e enfatizadopor Barbosa (2015) [2] na sua dissertacao.

As bordas absorventes sao necessarias para minimizar reflexoes dentro da area deinteresse. Diversos metodos incluem as ABCs (sigla em ingles de Absorbing BoundaryConditions) na solucao da equacao da onda para atenuar o efeito dessas reflexoes, comopor exemplo: Perfectly Matched Layer (PML), Convolutional Perfectly Matched Layer(CPML), entre outros.

Figura 2.1: Representacao da malha discreta a esquerda e representacao da malha com

condicoes de borda a direita.

Fonte: adaptada de LIMA, paginas 56-57 [9].

Capıtulo 3FWI como metodo de otimizacao

Neste capıtulo serao abordados os principais pontos no sentido de formalizar a FWIcomo um metodo otimizador. O objetivo de todo metodo de otimizacao e maximizar ouminimizar uma variavel. No caso do FWI a quantidade a ser minimizada e a funcao decusto (ou erro, ou objetivo), que nada mais e que a norma L2 da diferenca entre o dadoreal (adquirido em campo) e o dado simulado (ou modelado), como mostra a equacao(3.1).

J [m] =1

2||F [m]− d||22. (3.1)

Definimosdmod = F [m].

• dmod: dado modelado

• m: modelo

• F : um operador que atua nos parametros do modelo

3.1 Aproximacao de Born

Alguns fatores dificultam a inversao da forma da onda, um deles e chamado de pro-blema mal posto. O metodo FWI geralmente e um problema mal posto e nao linear.Uma maneira de resolver o problema da nao linearidade e escrever o modelo em termos deuma serie de perturbacao e usar a chamada aproximacao de Born para linearizar o pro-blema, que sera visto com mais detalhes nesta secao. De acordo com Demanet (2016) [5]Linearizacao e Serie de Espalhamentos sao a base da maioria dos metodos de inversao,ambos direto e iterativo. Do ponto de vista matematico, o problema e dito mal postoquando existem direcoes onde a variacao da funcao objetivo (ou erro) e zero na vizinhancada solucao m. Em outras palavras, ha uma abundancia de possıveis solucoes do problemade minimizacao, o que nos leva a nao unicidade da solucao. Outro fator que torna o pro-blema mal posto e a nao existencia de uma solucao m que minimize a funcao. Ja o fatodele ser do tipo nao linear implica que os parametros do modelo nao podem ser escritoscomo uma combinacao linear dos dados.

11

3.1. APROXIMACAO DE BORN 12

No FWI o modelo e representado da seguinte forma:

1

c2(x)= m, (3.2)

onde c representa a velocidade de propagacao da onda no meio.Podemos expressamos nosso modelo como uma serie de perturbacao:

m(x) = m0(x) + εm1(x), (3.3)

onde assumimos que ε e um numero muito pequeno.

“Se o problema de espalhamento direto e formulado, tal que, o parametro materialdesconhecido e representado como uma perturbacao de um parametro do meio conhe-cido, entao uma representacao do campo de onda e obtida como a soma de um termoque depende linearmente do parametro perturbado do meio mais um termo que dependenao-linearmente destes parametros”(BLEINSTEIN, 2001, traducao propria) [3].

A equacao de onda para esse sistema e dada por:

m(x)∂2u(x)

∂t2−∇2u(x) = f(x, t), (3.4)

onde u e o campo de onda total, que pode ser escrito na forma:

u(x) = u0(x) + usc(x),

sendo u0(x) o campo de onda do meio nao perturbado, e usc(x) o campo espalhado.

Podemos fazer uma breve analise dos campos de onda separados, a equacao de ondapara o meio nao perturbado, ou campo incidente, e dada por:

m0(x)∂2u0(x)

∂t2−∇2u0(x) = f(x, t). (3.5)

E possıvel explicitar o campo espalhado usc subtraindo a equacao (3.5) da (3.4), uti-lizando a equacao (3.3) e a expressao u = u0 + usc, ficamos com:

m0(x)∂2usc(x)

∂t2−∇2usc(x) = −εm1(x)

∂2u(x)

∂t2. (3.6)

Aqui temos um pequeno problema, nao obtemos uma equacao apenas em funcao docampo espalhado como no caso anterior que ficamos com uma equacao de onda para ocampo incidente, como mostra a equacao (3.5), devido o termo u do lado direito que temuma dependencia implıcita de u0. Uma forma de resolver essa equacao e expressar usc(x)em termos de uma funcao de Green:

usc(x) = −εt∫

0

∫Rn

G(x, y; t− s)m1(y)∂2u(x)

∂t2(y, s)dyds. (3.7)

3.1. APROXIMACAO DE BORN 13

Para simplificar a notacao podemos reescreve-la da seguinte forma:

usc(x) = −εGm1∂2u(x)

∂t2. (3.8)

Este passo e util porque agora posso expressar o campo de onda total, u, em funcaoapenas do campo de onda incidente, uo. Substituindo esse resultado na equacao do campode onda total, temos:

u(x) = uo(x)− εGm1∂2u(x)

∂t2. (3.9)

Essa equacao e muito importante em qualquer problema de espalhamento, e conhecidacomo equacao de Lippermann-Schwinger. Rearrumando a equacao, temos u em funcaode u0 da seguinte forma:

u(x) =

[I + εGm1

∂2

∂t2

]−1u0(x). (3.10)

O resultado obtido em (3.10) pode ser expandido como uma serie de Neumann,[I +A]−1 = I −A+A2−A3 + ..., cuja condicao de convergencia e ||A|| < 1. SubstituindoA por εGm1

∂2

∂t2, obtemos a chamada serie de Born:

u = uo − ε(Gm1

∂2

∂t2

)u0 + ε2

(Gm1

∂2

∂t2

)(Gm1

∂2

∂t2

)u0 + ... (3.11)

A serie de Born e fundamental em problemas nao lineares, mas so e valida nacondicao de fraco espalhamento (−ε||Gm1

∂2

∂t2|| < 1). Essa serie representa o campo de

onda total, onde o primeiro termo da serie e o campo incidente, e os demais sao osmultiplos espalhamentos.

Podemos reescrever a equacao (3.11) de forma simplificada, como mostra a expressaoa seguir:

u(x) = u0(x) + εu1(x) + ε2u2(x) + ... (3.12)

onde u1 representa espalhamento unico, u2 duplo espalhamento e assim por diante.

Tratando ε como sendo um fator muito pequeno, podemos desconsiderar os termos deordem superiores. A Aproximacao de Born sugere que usc ' εu1. De tal forma que

u1(x) = −Gm1∂2u0(x)∂t2

, para satisfazer a serie de Born.

Substituindo a aproximacao de Born na equacao (3.5), obtemos a equacao de ondapara reflexao primaria:

m0(x)∂2u1(x)

∂t2−∇2u1(x) = −m1(x)

∂2u0(x)

∂t2. (3.13)

Comparando as equacoes (3.6) e (3.13) podemos perceber que a equacao do campoespalhado que nao era linear, agora tornou-se linear. Alem de que, na equacao (3.6)tınhamos uma dependencia implıcita de u0, enquanto que na (3.13) temos uma de-pendencia explıcita do campo incidente. Conseguimos expressar o campo de espalhamentoem termos apenas do campo incidente.

3.2. METODO DO GRADIENTE DESCENDENTE 14

3.2 Metodo do Gradiente Descendente

Na modelagem FWI definimos um modelo inicial de velocidades que e atualizadopor algum metodo iterativo, com o objetivo de fornecer um modelo que se assemelhea um modelo real de velocidades. Neste trabalho usaremos o metodo do GradienteDescendente (GD), que e um metodo de otimizacao local, como tecnica de iteracaopara atualizar o modelo de velocidades. A expressao do GD e a seguinte:

m(k+1) = m(k) − α(k)δJ [m(k)]

δm, (3.14)

onde m e o parametro do modelo, no nosso caso, a velocidade. α e um parametro de

ajuste, que e util para garantir a estabilidade e a velocidade de convergencia, e δJ [m(k)]δm

eo gradiente da funcao custo, que e obtido atraves do metodo adjunto que sera descrito nasecao seguinte.

Considerando o ponto de partida como sendo k = 0, a primeira iteracao do GD e:

m(1) = m(0) − α(0)δJ [m(0)]

δm.

3.3 Metodo do Estado Adjunto

O Metodo Adjunto foi desenvolvido na decada de 1970 por Chavent (1974), na suatese: Analyse Fonctionelle et Identification de Coefficients Repartis dans les Equations auxDerivees Partielles. Embora hoje seja uma tecnica bastante conhecida pela comunidadeacademica, ainda e pouco compreendida em alguns aspectos, como mencionado por Plessix(2006) [12]. Mas, ainda assim e uma ferramenta matematica de grande utilidade, e temsido amplamente utilizada em varias areas da ciencia, como: Meteorologia, Geodinamica,etc.

No contexto de otimizacao, usando a equacao (3.14) como metodo de atualizacao domodelo, precisamos calcular o gradiente da funcao objetivo J , dado pela equacao (3.1),em cada iteracao. A variacao de J em relacao ao parametro do modelo e chamadaSensibilidade de nucleo e, e dada por:

δJ

δm[m] =

δ

δm

[1

2||F [m]− d||22

]= F ∗[F [m]− d], (3.15)

A prova desta equacao segue abaixo:

J [m+ h] ≈ J [m] +δJ

δmh+O(h2). (3.16)

Portanto,

δJ

δm≈ J [m+ h]− J [m]

h. (3.17)

A equacao (3.1) diz:

J [m] =1

2||F [m]− d||2 =

1

2

⟨F [m]− d|F [m]− d

⟩,

3.3. METODO DO ESTADO ADJUNTO 15

Analogamente,

J [m+ h] =1

2||F [m+ h]− d||2 =

1

2

⟨F [m+ h]− d|F [m+ h]− d

⟩,

onde F [m+ h] ≈ F [m] + δFδm

[m]h. Substituindo na equacao acima, temos:

1

2

⟨F [m+ h]− d|F [m+ h]− d

⟩=

1

2

⟨F [m] +

δFδm

h− d|F [m] +δFδm

h− d⟩

(3.18)

Podemos simplificar a notacao, definindo F = δFδm

[m]. Temos entao:

1

2

⟨F [m+ h]− d|F [m+ h]− d

⟩=

1

2

⟨F [m] + Fh− d|F [m] + Fh− d

⟩(3.19)

Vamos considerar A = F [m]− d e B = Fh

1

2

[⟨F [m] + Fh− d|F [m] + Fh− d

⟩]=

1

2

[⟨A⟩2

+ 2⟨AB⟩

+⟨B⟩2]

. (3.20)

Podemos desconsiderar o termo O(h2), porque se trata da variacao de segunda ordemdo funcional J[m] (Hessiana) que nao e necessaria no metodo do GD, ficamos apenas com⟨A⟩2

+ 2⟨AB⟩.

Temos entao:

1

2

[⟨F [m] + Fh− d|F [m] + Fh− d

⟩]=

1

2

[⟨F [m]− d

⟩2+ 2⟨F [m]− d|Fh

⟩](3.21)

A equacao (3.17) nos da uma aproximacao do gradiente da funcao objetivo. Substi-tuindo J [m+ h](equacao 3.21) e J[m], nela, ficamos com:

δJ

δm≈⟨F [m]− d|Fh

⟩=

⟨F ∗(F [m]− d)|h

⟩h

= F ∗(F [m]− d) (3.22)

onde F representa a derivada de Frechet δFδm

[m], um mapa linearizado do espaco domodelo para o espaco do dado (F :M 7→ D) e F ∗ representa o adjunto de F , um mapado espaco do dado para o espaco do modelo (F ∗ : D 7→ M). Em outras palavras, o ope-rador F atua nos parametros conhecidos do modelo buscando obter dados (sismogramas),esse processo e conhecido como problema direto. Se conhecemos o modelo que define ummeio geologico, podemos inferir os parametros dele, como: velocidade, tempo de transito,etc. Ja o problema inverso ocorre quando modelamos o dado com a equacao da ondae obtemos um modelo de subsuperfıcie. Nesse processo precisamos conhecer o modeloinicial e o dado real, para que seja feita a inversao. Na proxima secao sera apresentadoum fluxograma do metodo FWI.

A aplicacao de F ∗ no dado e a forma mais simples de imagear, por esta razao emmuitas literaturas ele e tratado como “operador de imagem”. Em geofısica, o operadorF ∗ e chamado operador de migracao, ou simplesmente migracao, como mencionado por


Demanet [5].

A necessidade de conseguir uma tecnica que calcule o gradiente da funcao objetivosem usar as derivadas de Frechet surge pelo alto custo de se construir uma matriz derepresentacao do operador F e calcular o transposto conjugado (adjunto) dela. Em casosonde ha muitas fontes e receptores e inviavel o calculo das derivadas diretamente, sendonecessario introduzir variaveis adicionais que auxiliam no calculo indireto do gradienteda funcao objetivo. Para este fim, foi utilizado o metodo Adjunto, tendo em vista quenao ha necessidade de usar as derivadas de Frechet neste metodo, apenas definimos umcampo auxiliar que fara esse papel, como veremos a seguir.

Um fator muito importante na modelagem FWI e o que chamamos de Condicao deImagem. Mas antes de aborda-lo iremos montar o problema. A definicao do adjunto deum operador linear garante que:⟨

d|Fm⟩D =

⟨F ∗d|m

⟩M, (3.23)

onde o produto da esquerda e representado no espaco do dado (D) e o da direita no espacodo modelo (M). Usando a definicao de produto interno, temos:

⟨d|Fm

⟩=∑r

T∫0

(d∗r(t)Fm) dt =∑r

T∫0

(dr(t)u(xr, t)) dt, (3.24)

⟨F ∗d|m

⟩=

∫Rn

(F ∗d)(x)m(x)dx. (3.25)

Onde expressamos Fm = u(xr, t) e d∗r(t) = dr(t), pois o dado e real na equacao (3.24),ja o subscrito r e referente ao receptor e xr a posicao do receptor. Para resolver o ladodireito da equacao (3.24) e necessario introduzir uma integral no espaco, como mostra aequacao (3.25). Isso pode ser feito expressando a contribuicao espacial em termos de umafuncao delta de Dirac localizada em xr, como mostra a equacao a seguir:

dext(x, t) =∑r

dr(t)δ(x− xr). (3.26)

Substituindo este resultado na equacao (3.24) e integrando em relacao ao espaco,temos:

⟨d|Fm

⟩=

∫Rn

T∫0

dext(x, t)u(x, t)dxdt. (3.27)

A relacao u = Fm usada em (3.24) deve satisfazer as seguintes equacoes:(m0

∂2

∂t2−∇2

)u = −m∂2u0

∂t2; (3.28)

e (m0

∂2

∂t2−∇2

)u0 = f. (3.29)


O campo auxiliar q(x, t) que resolve a equacao de onda, para o dado estendido, dext,e conhecido como Campo Adjunto. A equacao do estado Adjunto e dada por:(

m0∂2

∂t2−∇2

)q(x, t) = dext(x, t). (3.30)

Substituindo este resultado na equacao (3.27), obtemos:

⟨d|Fm

⟩=

∫Rn

T∫0

(m0

∂2

∂t2−∇2

)q(x, t)u(x, t)dxdt. (3.31)

Essa integral pode ser resolvida separadamente. Primeiro resolvemos a integral notempo por partes e depois a integral espacial, tambem por partes. As condicoes decontorno para o problema sao: q|t=T = 0 e ∂q

∂t|t=T = 0.

Ficamos com:

⟨d|Fm

⟩=

∫V

T∫0

q(x, t)

(m0

∂2

∂t2−∇2

)u(x, t)dxdt+

∫V

m0∂q

∂tu|t=Tt=0 dx−

−∫V

m0q∂u

∂t|t=Tt=0 dx+

∫∂V

T∫0

∂q

∂ndsxdt−

∫∂V

T∫0

q∂u

∂ndsxdt.

Onde V representa o volume que se estende a todo Rn e ∂V delimita o contorno deV. Devido as condicoes de borda que impomos, apenas o primeiro termo dessa integralpermanecera, ficamos entao com:

⟨d|Fm

⟩=

∫V

T∫0

q(x, t)

(m0

∂2

∂t2−∇2

)u(x, t)dxdt. (3.32)

Usando a equacao (3.28), temos:

∫V

T∫0

q(x, t)

(m0

∂2

∂t2−∇2

)u(x, t)dxdt = −

∫Rn

T∫0

q(x, t)m(x)∂2u0∂t2

dxdt. (3.33)

Lembrando que: ⟨d|Fm

⟩=⟨F ∗d|m

⟩.

Usando novamente a definicao de produto interno, temos:

⟨F ∗d|m

⟩=

∫Rn

(F ∗d)(x)m(x)dx = −∫Rn

T∫0

q(x, t)m(x)∂2u0∂t2

dxdt. (3.34)

Comparando o meio da equacao (3.34) com o lado direito, podemos observar que:

(F ∗d)(x) = −T∫

0

q(x, t)∂2u0∂t2

dt. (3.35)

3.4. VISAO GERAL DO METODO FWI 18

Que e chamada de condicao de imagem, ou Migracao, em Sismologia. Ela e expressacomo a acao de F ∗ no dado d, numa sequencia de passos descritos abaixo:

• Coloca dr na posicao dos receptores para obter dext;

• Usa dext na equacao adjunta da onda para obter o campo Adjunto q;

• Simula o campo incidente, u0;

• Usa a equacao (3.35) para cada x independentemente.

E necessario fazer algumas ressalvas a cerca do Campo Adjunto: primeira, ele naorepresenta um campo fısico, apenas uma convencao utilizada para resolver o problemanumericamente; segundo, ele deve satisfazer algumas exigencias, ou seja, e um problemasujeito a vınculos, e uma outra maneira de resolve-lo e utilizando os multiplicadores deLagrange, para mais informacoes a respeito deste metodo vide Menezes (2016) [11].

3.4 Visao geral do metodo FWI

Nessa secao sera apresentado um fluxograma do metodo FWI, Figura 3.1, assim comoum pseudo-algoritmo que foi utilizado para investigar a eficiencia do metodo perante amudanca de alguns parametros do modelo. O algoritmo completo que esta disponıvel naplataforma Pysit, implementa o metodo FWI em programacao paralela e usa o modelogeologico Marmousi do Institut Francais du Petrole para testar a eficiencia do algoritmo.

1. O pseudo algoritmo abaixo implementa a Inversao Completa da Forma de Onda nodomınio do tempo.

Algorithm 1 FWI no domınio do tempo

1: FWI(v,Obs, α) . Inputs2: Entrada do Modelo Marmousi inicial3: Ns . Ns = Nf , Numero de tiros igual ao numero de fontes4: Config . Aquisicao equidistante, Fonte Wavelet, Nr, Deph5: Densidade da Onda Acustica constante6: Inicia o loop com o Modelo Inicial

7: Modelagem direta com a equacao da onda ⇒ 1c2∂2u(x,t)∂t2

−∇2u(x, t) = f(x, z, t)8: Def Misfit9: Misfit ← 1

2||F [m]− d||22

10: Se Convergiu faca Modelo Real ← Modelo Reconstruıdo11: Senao12: Compute F ∗[F [m]− d] = δJ

δm[m] . Operador Adjunto

13: Atualize o Modelo de Velocidades m(k+1) = m(k) − α(k) δJδm

[m(k)] . GD14: Modelo Inicial ← Modelo Reconstruıdo15: Quando a condicao de parada e obtida FIM do loop . Modelo Final

return J, vfinal

3.4. VISAO GERAL DO METODO FWI 19

Figura 3.1: Fluxograma do FWI.


Capıtulo 4Resultados e Discussoes

Para realizar as simulacoes foi usado um cluster com 20 maquinas, Intel(R) Xeon(R)CPU E3-1270 V2 @ 3.50GHz, cada uma com 1 processador i7, com 4 cores, hyper threa-ding e 16 GB de memoria.

O modelo Marmousi, usado neste trabalho, baseia-se em um perfil que corta a Baciade Cuanza, Quenguela Norte, Angola. Uma serie de falhas e blocos inclinados tornamo modelo bastante complexo. O modelo contem 158 camadas horizontais, uma camadade agua de 32m e abaixo dela 3 km de profundidade, alem de 9,2 km de extensao. Agrade e formada por 151 pontos em z e 461 em x, e o espacamento entre os pontose dx = dz = 20m. Outras informacoes sobre a Geometria de Aquisicao do modelo eapresentado na Tabela 4.1.

Tais simulacoes seguiram a seguinte geometria:

Tabela 4.1: Geometria de Aquisicao para o modelo Marmousi.

Geometria de AquisicaoNumero de Fontes Numero de Tiros

Numero de Receptores Max. (461)Espacamento da Aquisicao Equidistante (20 m)

Profundidade da Fonte 20 mConfiguracao da Fonte 10 HzConfiguracao da Malha 151x461

N◦ de Amostragem Espacial 30 mN◦ de Amostragem Temporal 3, 3× 10−3s

De acordo com Menezes (2016) [11] os numeros de amostragem espacial e temporalsao dados por:

h 6vmin

5fmaxe

∆t 6 0.606h

vmax.

20

4.1. RESULTADOS VARIANDO A QUANTIDADE DE DISPAROS 21

4.1 Resultados variando a quantidade de disparos

O caso mais simples de ser investigado e o que temos um unico disparo e apenasuma iteracao. Essa simulacao durou cerca de 1 minuto. A Figura 4.1 traz a comparacaoentre o modelo de velocidades inicial, reconstruıdo e o modelo geologico real para essaconfiguracao.

Figura 4.1: (a) Modelo inicial (b) Modelo Reconstruıdo e (c) Modelo Real.



E possıvel notar que, com apenas um disparo e uma iteracao pouca coisa mudou.E intuitivo que apenas uma iteracao nao va trazer um bom resultado, independente daquantidade de disparos. Entao mantivemos o numero de iteracoes fixo NI = 10 (chute)e variamos o numero de disparos de 2 em 2 unidades: Ns = 10, 12, ..., 18. Tendo emvista que nao sabemos como a mudanca na quantidade de disparos afeta na resolucao daimagem reconstruıda.

Figura 4.2: (a) Modelo inicial. Reconstruıdo com (b) 10 disparos (c) 12 disparos (d) 14

disparos (e) 16 disparos e (f) 18 disparos, mantendo NI = 10.


E notorio que mantendo fixo NI = 10 obtivemos uma resolucao bem melhor que aquela


obtida com apenas uma iteracao, como mostra a Figura 4.2. Entretanto, percebemostambem que houve pouca mudanca na resolucao variando a quantidade de disparos deduas em duas unidades. Isso nos leva a crer que a pequena mudanca na quantidade detiros gera pouca diferenca no resultado da inversao. Por este motivo, fizemos mudancasconsideraveis na quantidade de disparos, como mostra a Figura 4.3.

Figura 4.3: (a) Modelo reconstruıdo com 30 disparos e 10 iteracoes (b) Modelo reconstruıdo

com 40 disparos e 10 iteracoes (c) Modelo reconstruıdo com 50 disparos e 10 iteracoes (d)Modelo real.


Aqui e possıvel notar que as imagens reconstruıdas apresentam a forma do modeloreal. Conseguimos notar descontinuidades na imagem, assim como as falhas geologicasdo meio. Contudo, comparadas ao conjunto de simulacoes variando de 2 em 2 unidadestambem tivemos pouca mudanca. Entao, em vez de prosseguir aumentando o numero detiros, faremos outra analise, a do resıduo. Com o intuito de observar de outra forma asmudancas em funcao do aumento da quantidade de disparos.


4.1.1 Analise do erro

Figura 4.4: Grafico do resıduo em funcao do numero de iteracoes, variando Ns de 2 em 2.


Com base na Figura 4.4, ha duas coisas a serem observadas: primeira, para cada Ns

temos uma quantidade de iteracoes ideal, que nos traz um desajuste mınimo; segunda,e facil ver que o comportamento do erro (resıduo) em funcao do numero de iteracoes esemelhante em cada caso. O que de certa forma reforca a analise anterior de que poucamudanca na quantidade de disparos acarreta tambem mudancas no resultado obtido, em-bora pouco acentuada. A Figura 4.5 representam a analise do erro para os casos em queNs = 30, 40 e 50. Com base nela e na Figura 4.2, e possıvel observar que embora a re-construcao ja se aproxime do modelo real de velocidades, o desajuste ainda nao e mınimo,como esperamos. O que nos mostra que e necessario aumentar tambem a quantidade deiteracoes.


Figura 4.5: Grafico do resıduo em funcao do numero de iteracoes para grandes quantidades

de disparos.


4.1.2 Analise do tempo de execucao

Uma terceira analise e feita em cima dessa mudanca de parametro, que e o estudo dotempo de execucao de cada simulacao desse conjunto. A Tabela 4.2 apresenta o tempode execucao medio de cada amostra. Podemos observar que a medida que aumentamos aquantidade de disparos tambem aumenta o tempo de execucao.

Tabela 4.2: Tabela do tempo de execucao das amostras com NI = 10.

Conjunto A Tempo de execucao total medioNs = 10 e NI = 10 1h 54mNs = 12 e NI = 10 2h 12mNs = 14 e NI = 10 2h 24mNs = 16 e NI = 10 2h 49mNs = 18 e NI = 10 3h 09m

4.2. RESULTADOS VARIANDO A QUANTIDADE DE ITERACOES 26

4.2 Resultados variando a quantidade de iteracoes

Ao contrario do procedimento anterior em que variamos a quantidade de tiros man-tendo fixo o numero de iteracoes, nessa secao manteremos fixo o numero de disparosNs = 10 e variamos o numero de iteracoes, com o objetivo de visualizar como a mudancadesse parametro interfere no resultado da reconstrucao como mostra a Figura 4.6.

Figura 4.6: (a) Modelo inicial. Modelo reconstruıdo com Ns = 10 e (b) NI = 10 (c) NI = 12

(d) NI = 14 (e) NI = 16 (f) NI = 18.


A Figura 4.7 mostra a reconstrucao para 30 e 40 iteracoes, respectivamente. Podemosobservar que embora ela se aproxime do modelo real, ainda nao podemos a partir delaconfirmar que encontramos o erro mınimo. Entao, mais uma vez partiremos para a analisedo resıduo.


Figura 4.7: (a) Modelo inicial, (b) Reconstruıdo com Ns = 10 NI = 30, (c) Reconstruıdo

Ns = 10 NI = 40 e (d) Modelo real.



A Figura 4.8 mostra o comportamento da funcao erro variando de 2 em 2 unidadesa quantidade de iteracoes. E possıvel notar mais uma vez que a quantidade de iteracoesutilizada nao foi suficiente para encontrar o erro mınimo. Analogo ao que fizemos nasecao anterior, mudaremos consideravelmente a quantidade de iteracoes, dessa vez, comomostra a Figura 4.9.

O erro da Figura 4.9 e o menor entre todas as simulacoes. Ate entao ele era da ordemde 10−3, agora chegamos a 10−4. Tambem e possıvel observar que a curva aparenta estarproxima de encontrar um mınimo, devido a sua inclinacao. Esperamos conseguir realizara simulacoes com NI = 50 e NI = 60, acreditamos que para essas configuracoes ja sejapossıvel observar o menor erro.


Figura 4.8: Grafico do erro em funcao da quantidade de iteracoes, mantendo Ns = 10 e

variando NI .


Figura 4.9: Grafico do erro em funcao da quantidade de iteracoes, com Ns = 10 e NI = 30 a

esquerda e NI = 40 a direita.



A terceira analise desse conjunto e a do tempo de execucao de cada simulacao, quesao apresentados na Tabela 4.3. Assim como na secao anterior, 4.1.2, percebemos que otempo de execucao e diretamente proporcional a quantidade de iteracoes, o que ja era de

4.3. PONTO OTIMO 29

se esperar, tendo em vista que cada nova iteracao e necessario processar e posteriormenteguardar maior volume de dados.

Tabela 4.3: Tempo de execucao da simulacoes com Ns = 10 variando a quantidade deiteracoes.

Conjunto B Tempo de execucao total medioNs = 10 e NI = 12 2h 21mNs = 10 e NI = 14 2h 33mNs = 10 e NI = 16 2h 49mNs = 10 e NI = 18 3h 09mNs = 10 e NI = 20 4h 11m

4.3 Ponto otimo

O grande objetivo de quem busca minimizar a funcao erro e encontrar os parametrosque definem a solucao m que minimiza a funcao objetivo. Tal conjunto de parametrosmuitas vezes e chamado de Ponto otimo. A analise abaixo retrata as melhores recons-trucoes que fizemos neste trabalho, embora nao sejam mınimos absolutos sao proximasdo que seria um ponto otimo, como mostra a Figura 4.10.

Figura 4.10: (a) Modelo reconstruıdo com 20 disparos e 20 iteracoes (b) Modelo reconstruıdo

com 20 disparos e 30 iteracoes (c) Modelo real.


4.3. PONTO OTIMO 30

Figura 4.11: Grafico do erro em funcao do numero de iteracoes, para 20 disparos e 20 iteracoes,

e 20 disparos e 30 iteracoes.


E possıvel notar que as imagens reconstruıdas em 4.10 sao muito proximas do modeloreal. Conseguimos notar todas as camadas, as falhas geologicas, assim como os mergulhos.Prosseguiremos com a analise do resıduo para observar de outra forma o resultado perantea variacao do numero de iteracoes.


A Figura 4.11 mostra que para a simulacao com Ns = 20 e NI = 30 encontramosum ponto onde o erro aparentemente e mınimo. O objetivo e aumentar a quantidade deiteracoes para ter certeza que encontramos a solucao m que e solucao para o problema deminimizacao.


Tabela 4.4: Tempo de execucao das simulacoes com Ns = 20 com NI = 20 e NI = 30

iteracoes, respectivamente.

Conjunto C Tempo de execucao total medioNs = 20 e NI = 20 7h 15mNs = 20 e NI = 30 11h 25m

Com base nos tempos de execucao da Tabela 4.4, podemos notar que o custo compu-tacional para processar essa quantidade de dados ja e muito elevado. Porem, percebemosem varias das analises feitas ate aqui, que a quantidade de iteracoes utilizadas nao fo-ram suficientes para encontrar a solucao do problema de minimizacao, com excecao dassimulacoes com [Ns = 20; NI = 30], [Ns = 12; NI = 10] e [Ns = 14; NI = 10]. O proximoobjetivo deste trabalho e encontrar para cada configuracao testada, os parametros exatosque definem o ponto otimo (analise quantitativa).

Capıtulo 5Conclusoes e Perspectivas

Com base em todas as analises feitas neste trabalho, concluımos que:

• Pequenas variacoes na quantidade de disparos na grade geram pouca melhora naresolucao da imagem reconstruıda. Nossa analise consistiu em mudar esse parametroate 50 disparos, o que ainda nao foi suficiente para obter o ponto otimo. Emboraalgumas configuracoes deste conjunto tenham apresentado um possıvel ponto demınimo, a imagem reconstruıda ainda esta distante do que seria um modelo real. Enecessario fazer um estudo mais detalhado nessas simulacoes e entende-las melhor,os resultados ainda sao inconclusivos.

• Pequenas variacoes na quantidade de iteracoes tambem geram pouca melhora naresolucao da imagem reconstruıda. Em nossa analise variamosNI ate 40, que emboraseja um resultado animador, ainda nao e o ideal. Pelo menos mantendo fixo 10disparos.

• Para se ter um resultado otimo e necessario dispor de maquinas capazes de processargrandes volumes de dados. Tambem e necessario encontrar os valores exatos de Ns

e NI que tragam a melhor reconstrucao possıvel.

• O metodo FWI e uma tecnica poderosa de processamento, tendo em vista que compoucas iteracoes e disparos ja e possıvel obter bons resultados.

• A programacao paralela e essencial neste tipo de trabalho, pois torna o resultadoviavel.

Fica como perspectivas futuras:

• Aumentar a quantidade de iteracoes em busca do modelo que minimiza o resıduo,tendo em vista que muitas das analises feitas nao chegaram no ponto otimo.

• Desenvolver tecnicas de resolver o problema de minimizacao de forma mais eficiente.

• Fazer outras analises, como a analise de memoria consumida, analise do metodo emoutros domınios, entre outras.

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