Aljabar Linear Mesin v2
-
Upload
cornellius-darwindo -
Category
Documents
-
view
238 -
download
0
Transcript of Aljabar Linear Mesin v2
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
1/59
MATRIKS
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
2/59
DEFINISI MATRIKSDEFINISI MATRIKS
22
22
kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi
panjang, serta termuat diantara sepasang tandakurung.
Apakah yang dimaksuddengan Matriks ?
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
3/59
NOTASI MATRIKSNOTASI MATRIKS
33
33
Nama matriksmenggunakan huruf besarAnggota-anggota matriks dapat berupa huruf kecilmaupun angka
Digunakan kurung biasa atau kurung siku
Ordo matriks atau ukuran matriks merupakan banyaknya baris (garis horizontal) dan banyaknyakolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matrikstersebut.
−=
675
231 A
=
ih g
f ed
cba
H
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
4/59
NOTASI MATRIKSNOTASI MATRIKS
Jadi, suatu matriks yang mempunyai m baris dan nkolom disebut matriks berordo atau berukuran m x n.
Memudahkan menunjuk anggota suatu matriks
Notasi A =(aij)
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
...
..................
...
...
321
3333231
2232221
1131211
A =
Dengan i = 1,2,...,m
j = 1,2,...,n
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
5/59
MATRIKSMATRIKS
!!
!!
Contoh : Matriks A merupakan matriks berordo 4x2
Bilangan-bilangan yang terdapat dalam sebuah matriks
dinamakan entri dalam matriks atau disebut jugaelemen atau unsur.
−
=
16
12
13
41
A
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
6/59
NOTASI MATRIKSNOTASI MATRIKS
""
""
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
6
Baris
Kolom Unsur Matriks
Matriks berukuran m x n
atau berorde m x n
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
7/59
MATRIKS #ARIS DAN KO$OMMATRIKS #ARIS DAN KO$OM
%%%%
Matriks baris adalah matriks yang hanya mempunyai satu
baris
Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu
kolom.
[ ]4121=C
=
4
3
1
E
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
8/59
MATRIKS A & #MATRIKS A & #
''''
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (A = B) apabila Adan B mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama
(berordo sama) dan semua unsur yang terkandung di
dalamnya sama.
aij = bij dimana- aij = elemen matriks A dari baris i dan kolom j
- bij = elemen matriks B dari baris i dan kolom j
A = B
dan
A ≠ B
dan
=
10
42 A
=
10
42 B
=
510
242 A
=
13
41 B
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
9/59
(EN)*M$A+AN MATRIKS
,,,,
Apabila A dan B merupakan dua matriks yang ukurannyasama, maka hasil penjumlahan (A + B) adalah matriks yang
diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang
seletakbersesuaian dalam kedua matriks tersebut.
!atriks-matriks yang ordoukurannya berbeda tidak dapatditambahkan.
dan
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
=
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
B
+++
+++
+++
=+
333332323131
232322222121
131312121111
bababa
bababa
bababa
B A
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
10/59
(EN)*M$A+AN MATRIKS
-.-.-.-.
"ontoh #oal
−
−=
22
31
24
A
−
−
=
21
12
43
B
−−+++−−+
=+2212
1321
4234
B A
−
−=+
43
4127
B A
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
11/59
(EN/*RAN/AN MATRIKS
--------
A dan B adalah suatu dua matriks yang ukurannya sama,maka A-B adalah matriks yang diperoleh dengan
mengurangkan bersama-sama entri yang seletakbersesuaian
dalam kedua matriks tersebut.
!atriks-matriks yang ordoukurannya berbeda tidak dapatdikurangkan.
dan
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
=
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
B
−−−
−−−
−−−
=−
333332323131
232322222121
131312121111
bababa
bababa
bababa
B A
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
12/59
(EN/*RAN/AN MATRIKS
-2-2-2-2
Contoh $
−−
=043
322
101
A
−=
243
421
111
B
−−−
−−−+
−−−−
=−
204433
432212
111011
B A
−
−−−
=−
200
703
210
B A
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
13/59
(ERKA$IAN MATRIKS
DEN/AN SKA$AR
-3-3-3-3
%ika k adalah suatu bilangan skalar dan matriks A=(a ij ) maka
matriks kA=(kaij ) adalah suatu matriks yang diperoleh dengan
mengalikan semua elemen matriks A dengan k.
!engalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan
atau dibelakang matriks.
[C]=k[A]=[A]k
=
15
83 A
=
1*45*4
8*43*44 A
=
420
32124 A
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
14/59
(ERKA$IAN MATRIKS
DEN/AN SKA$AR
----
#i&at-si&at perkalian matriks dengan skalar $
k(B+") = kB + k"
k(B-") = kB-k"(k'+k)" = k'" + k"
(k'-k)" = k'" k"
(k'.k)" = k'(k")
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
15/59
(ERKA$IAN MATRIKS
DEN/AN SKA$AR
-!-!-!-!
"ontoh $
dengan k = , maka
*(A+B) = (A+B) = A+B
−=
12
10 A
=
11
43 B
=
=
+
−=+
06
106
03
53*2
11
43
12
10!*2!2 B A
=
+
−=
+
−=+
06
106
22
86
24
20
11
43*2
12
10*222 B A
TERBUKTI
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
16/59
(ERKA$IAN MATRIKS
DEN/AN SKA$AR
-"-"-"-"
"ontoh $
dengan k' = dan k = , maka
(k'+k)" = k'." + k."
−=
12
11C
−=
−=
−+=+
510
55
12
11*5
12
11*32!*! 21 C k k
TERBUKTI
−=
−+
−=
−+
−=+
51055
3633
2422
1211*3!
1211*2!**! 21 C k C k
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
17/59
(ERKA$IAN MATRIKS(ERKA$IAN MATRIKS
-%-%-%-%
erkalian matriks dengan matriks pada umumnya tidak
bersi&at komutati&. #yarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama
matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua. %ika matriks A berukuran mn dan matriks B berukuran np
maka hasil dari perkalian AB adalah suatu matriks "=(/ij )
berukuran mp dimana
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
18/59
(ERKA$IAN MATRIKS(ERKA$IAN MATRIKS
-'-'-'-'
Contoh :
=
0
1
3
B
[ ] [ ] [ ]110*1!1*2!3*3!
0
1
3
*123* =++=
= B A
[ ]123= A
[ ]
=
=
=000
123
36"
1*02*03*0
1*12*13*1
1*32*33*3
123*
0
1
3
* A B
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
19/59
(ERKA$IAN MATRIKS(ERKA$IAN MATRIKS
-,-,-,-,
Apabila A merupakan suatu matriks persegi, maka A0 = A.A 1 A2=A0.A dan seterusnya
Apabila AB = B" maka tidak dapat disimpulkan bah3a A="
(tidak berlaku si&at penghapusan) Apabila AB = A" belum tentu B = "
Apabila AB = 4 maka tidak dapat disimpulkan bah3a A=4 atauB=4 5erdapat beberapa hukum perkalian matriks $
'. A(B") = (AB)"
. A(B+") = AB+A"
. (B+")A = BA+"A
6. A(B-")=AB-A"7. (B-")A = BA-"A
8. A(B") = (aB)"= B(a")
9. A: = :A = A
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
20/59
(ER(AN/KATAN MATRIKS(ER(AN/KATAN MATRIKS
2.2.2.2.
#i&at perpangkatan pada matriks sama seperti si&at perpangkatanpada bilangan-bilangan untuk setiap a bilangan riil, dimana
berlaku $
A2 = A A
A
3
= A
2
AA4 = A3 AA5 = A4 A; dan setersn!a
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
21/59
(ER(AN/KATAN MATRIKS(ER(AN/KATAN MATRIKS
2-2-2-2-
5entukan hasil A0 dan A2
−=
02
11 A
−
−=
−
−==
22
13
02
11
02
112 AxA A
−
−=
−
−
−==
26
35
22
13
02
1123 AxA A
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
22/59
(ER(AN/KATAN MATRIKS(ER(AN/KATAN MATRIKS
22222222
5entukan hasil A0 + A2
−=
02
11 A
−
−=
−
−⋅=
44
26
22
1322
2 A
−
−=
−
−⋅=
66
"15
22
3533 3 A
−−=
−−+
− −=+ 1010
7"66"15
442632 32 A A
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
23/59
)ENIS 0)ENIS MATRIKS )ENIS 0)ENIS MATRIKS
23232323
Matriks bujursangkar (persegi) adalah matriks yang
berukuran n n
Matriks nol adalah matriks yang setiap entri atau elemennya
adalah bilangan nol
#i&at-si&at dari matriks nol $-A+4=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 4
-A4=4, begitu juga 4A=4.
=
13
41 A
=
00
00
00
23 xO
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
24/59
)ENIS 0)ENIS MATRIKS )ENIS 0)ENIS MATRIKS
2222
Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemendiatas dan diba3ah diagonalnya adalah nol. Dinotasikan
sebagai D.
Contoh :
Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang semua elemen
pada diagonalnya sama
=
500
020
001
33 x
D
=
500
050
005
33 x D
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
25/59
)ENIS 0)ENIS MATRIKS )ENIS 0)ENIS MATRIKS
2!2!2!2!
Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemenpada diagonal utamanya bernilai '.
#i&at-si&at matriks identitas $
A:=A
:A=A
Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang elemen di
ba3ah diagonal utamanya bernilai nol Matriks Segitiga a!ah adalah matriks persegi yang elemen
di atas diagonal utamanya bernilai nol
=
100
010
001
D
=
600
210
542
A
=
152
043
001
B
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
26/59
DETERMINAN MATRIKSDETERMINAN MATRIKS
2"2"2"2"
Setiap matriks persegi atau bujur sangkar memilikinilai determinan
Nilai determinan dari suatu matriks merupakansuatu skalar.
Jika nilai determinan suatu matriks sama dengannol, maka matriks tersebut disebut matriks singular.
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
27/59
MATRIKSMATRIKS E$EMENTERE$EMENTER
2%2%2%2%
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
28/59
MATRIKSMATRIKS E$EMENTERE$EMENTER
2'2'2'2'
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
29/59
MATRIKSMATRIKS E$EMENTERE$EMENTER
2,2,2,2,
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
30/59
IN1ERSIN1ERS MATRIKSMATRIKS
3.3.3.3.
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
31/59
"onto#
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
32/59
IN1ERSIN1ERS MATRIKSMATRIKS
32323232
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
33/59
S ( $S ( $
33333333
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
34/59
S ( $S ( $
3333
$ati#an
%&Tent'an sosi 'eda siste *eri'tse+ara *ersaaan&
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
35/59
2& Tent'an 'ondisi !an, #arsdi-en#i oe# b
se#in,,a siste -ersaaan inear*eri't
'onsisten
S ( $S ( $
3!3!3!3!
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
36/59
NOTASI DETERMINANNOTASI DETERMINAN
3"3"3"3"
Misalkan matriks A merupakan sebuah matriks bujur sangkarFungsi determinan dinyatakan oleh det (A) Jumlah det(A) disebut determinan Adet(A) sering dinotasikan |A|
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
37/59
NOTASI DETERMINANNOTASI DETERMINAN
3%3%3%3%
Pada matriks 2x2 cara menghitung nilaideterminannya adalah :
Contoh :
=
2221
1211
aa
aa A
21122211det! aaaa A −=
= 3152
A 156det! =−= A
2221
1211det!
aa
aa A =
31
52
det! = A
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
38/59
METODE SARR*SMETODE SARR*S
3'3'3'3'
Pada matriks 3x3 cara menghitung nilaideterminannya adalah menggunakan Metode Sarrus
Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3
122133112332132231322113312312332211det! aaaaaaaaaaaaaaaaaa A −−−++=
=333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
39/59
METODE SARR*SMETODE SARR*S
3,3,3,3,
Contoh :
Nilai Determinan dicari menggunakan metodeSarrus
det(A) = (-2·1 ·-1) + (2 ·3 ·2) + (-3 ·-1 ·0) – (-3 ·1 ·2) –(-2 ·3·0)-(2 ·-1 ·-1)
= 2 +12+0+6-0-2= 18
−−
−−=
102
311
322
A
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
40/59
MINORMINOR
....
Yang dimaksud dengan MINOR unsur aijadalahdeterminan yang berasal dari determinan orde ke-ntadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.
Dinotasikan dengan MijContoh Minor dari elemen a
₁₁
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A3332
2322
11aa
aa M =
=
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
444342
343332
242322
11
aaa
aaa
aaa
M =
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
41/59
MINORMINOR
----
Minor-minor dari Matrik A (ordo 3x3)
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
42/59
KOFAKTOR MATRIKSKOFAKTOR MATRIKS
2222
Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskandengan
Contoh :Kofaktor dari elemen a11
2323
32
23 1! M M c −=−= +
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
43/59
TEOREMA $A($AETEOREMA $A($AE
3333
Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlahperkalian elemen-elemen dari sembarang baris ataukolom dengan kofaktor-kofaktornya
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
44/59
TEOREMA $A($AETEOREMA $A($AE
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada BarisMisalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3
Determinan Matriks A dengan metode ekspansikofaktor baris pertama|A|
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
131312121111
131312121111
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
M a M a M a
cacaca
+−=
+−=
++=
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
45/59
TEOREMA $A($AETEOREMA $A($AE
!!!!
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris
kedua|A|
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor barisketiga
|A|
3231
1211
23
3331
1311
22
3332
1312
21
232322222121
232322222121
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
M a M a M a
cacaca
+−=
+−=
++=
2221
1211
33
2321
1311
32
2322
1312
31
333332323131
333332323131
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
M a M a M a
cacaca
+−=
+−=
++=
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
46/59
TEOREMA $A($AETEOREMA $A($AE
""""
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada KolomMisalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3
Determinan Matriks A dengan metode ekspansikofaktor kolom pertama|A|
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
2322
1312
31
3332
1312
21
3332
2322
11
313121211111
313121211111
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
M a M a M a
cacaca
+−=
+−=
++=
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
47/59
TEOREMA $A($AETEOREMA $A($AE
%%%%
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom
kedua|A|
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolomketiga
|A|
2321
1311
32
3331
1311
22
3331
2321
12
323222221212
323222221212
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
M a M a M a
cacaca
+−=
+−=
++=
2221
1211
33
3231
1211
23
3231
2221
13
333323231313
333323231313
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
M a M a M a
cacaca
+−=
+−=
++=
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
48/59
DET MATRIKS SE/ITI/ADET MATRIKS SE/ITI/A
''''
Jika A adalah matriks segitiga bujur sangkar berupasegitiga atas atau segitiga bawah maka nilai det(A)adalah hasil kali diagonal matriks tersebut
Contoh
dst aaa A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 332211det!
12"64"63!2det! −=⋅⋅⋅−⋅= A
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
49/59
TRANS(OSE MATRIKS
,,,,
%ika A adalah suatu matriks m n, maka tranpose A
dinyatakan oleh A;
dan dide&inisikan dengan matriks n m A A A A A A A A A A A
yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom
keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan
kolom ketiga adalah baris ketiga dari A dan seterusnya.
"ontoh $matriks A $ berordo
transposenya $ berordo
=
314
131 A
=
31
13
41t A
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
50/59
TRANS(OSE MATRIKS
!.!.!.!.
Beberapa #i&at !atriks 5ranspose $
T T
T T T
T T
T T T
kAkA
A B AB
A A
B A B A
=
=
=
+=+
.!4
.!3
.!2
.!1
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
51/59
TRANS(OSE MATRIKS
!-!-!-!-
embuktian aturan no' $
++++++
=
+
=+
232322222121
131312121111
232221
131211
232221
131211
bababa
bababa
bbb
bbb
aaa
aaa B A
=
232221
131211
bbbbbb B
=
232221
131211
aaa
aaa A
=
2313
2212
2111
aa
aa
aa
AT
=
2313
2212
2111
bb
bb
bb
BT
++
++
++
=
+
=+
23231313
22221212
21211111
2313
2212
2111
2313
2212
2111
baba
baba
baba
bb
bb
bb
aa
aa
aa
B A T T
TERBUKTI
++
++
++
=+
23231313
22221212
21211111
!
baba
baba
baba
B A T
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
52/59
TRANS(OSE MATRIKS
!2!2!2!2
embuktian aturan no $
=
232221
131211
aaa
aaa A
=
2313
2212
2111
aa
aa
aa
AT
=
=232221
131211
2313
2212
2111
! aaa
aaa
aaaa
aa
A
T
T T
TERBUKTI
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
53/59
MATRIKS SIMETRI
!3!3!3!3
#ebuah matriks dikatakan simetri apabila hasil dari transpose
matriks A sama dengan matriks A itu sendiri.
"ontoh $'. .
=
=
002
003231
002
003
231
T A
A
=
=
21
12
21
12
T
B
B
A AT =
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
54/59
IN1ERS MATRIKSIN1ERS MATRIKS
!!!!
1− A
I A A =−1
=
d c
ba A
−
−−
=−ac
bd
bcad A
11
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
55/59
IN1ERS MATRIIN1ERS MATRI
!!!!!!!!
Langkah-langkah untuk mencari invers matriks M yang berordo 3x3 adalah :- Cari determinan dari M- Transpose matriks M sehingga menjadi
- Cari adjoin matriks- Gunakan rumus
T M
!!det!
11 M adjoin
M M =−
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
56/59
IN1ERS MATRIIN1ERS MATRI
!"!"!"!"
Contoh Soal :
- Cari Determinannya : det(M) = 1(0-24)-2(0-20)+3(0-5) = 1- Transpose matriks M
=
065
410
321
M
=043
612
501T
M
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
57/59
IN1ERS MATRIIN1ERS MATRI
!%!%!%!%
- Temukan matriks kofaktor dengan menghitung minor-minor matriksnya
- Hasilnya :
==> ==>
−−−−
−−
145
41520
51824
+−+−+−
+−+
−−−
−
145
41520
51824
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
58/59
IN1ERS MATRIIN1ERS MATRI
!'!'!'!'
Hasil Adjoinnya :
Hasil akhir
−−−
−=
−−−
−=−
145
41520
51824
145
41520
51824
1
11 M
−−−
−
145
41520
51824
-
8/18/2019 Aljabar Linear Mesin v2
59/59
REFERENSIREFERENSI
!,!,!,!,
%& .is+rete Mat#eati+s and itsA--i+ations; Kennet# /& Rosen; M+0ra1/i; sit# edition; 2
2& #tt--4t'ateati'a&or,
3& #tt-111&idoat#s&+oidatri's&-#-