Algebra Lineal 5. Determinantes

7/23/2019 Algebra Lineal 5. Determinantes

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DETERMINANTES

DEFINICIN 1. Determinante de 3 x 3. Sea A = . Entonces

det A = A = a11 a22 a23 - a12 a21 a23 a13 a21 a22a32 a 33 a31 a 33 a31 a32

E!EM"#$ 1 . C%&c'&o de 'n determinante de 3x3. Sea A = . Ca&c'&e A .

3 ( 2A = ) 2 3 = 3 2 3 - ( ) 3 2 ) 2 = 3*2 -(*1+ 2*1, = -+ -1 2 ) 2 ) -1 ) -1 2

E!EM"#$ 2. C%&c'&o de 'n determinante de 3x3. Ca&c'&e A 2 -3 ( 1 , ) 3 -3 +

2 -3 (1 , ) = 2 , ) --3/ 1 ) ( 1 , = 2*12 3-3/ (-3/ = ,3 -3 + -3 + 3 + 3 -3

a11 a12 a13a21 a22 a23

a31 a32 a 33

3 (2

) 23-1 2

)

1


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DETERMINANTES

Existe otro m0todo ara ca&c'&ar determinantes de 3 x 3. Se escrie A se &e ad4'ntans's rimeras dos co&'mnas5

a11 a12 a13 a11 a12 Des'0s se ca&c'&an &os seis rod'ctos6 oniendo si7nomenos antes de &os

a21 a22 a23 a21 a22 rod'ctos con 8ec9a 9acia arria6 se s'man todos.

a31 a32 a 33 a31 a32

E!EM"#$ 3. C%&c'&o de 'n determinante de 3x3 'sando e& n'e:o m0todo. Ca&c'&e 3 (

2 'sando e&

n'e:o m0todo.) 2 3

-1 2 )A& escriir 3 ( 2 3 ( m'&ti&icar como indican &as 8ec9as se otiene ) 2 3 ) 2 -1 2 ) -1 2 A = 3/2/)/ (/3/-1/ 2/)/2/ - -1/2/2/ -

)/)/(/ == 2)-1(1)-1;- ;, = - +

N$TA5 ESTE MET$D$ N$ F de 3 x 3. Sea A = .

- - -

2 -1 ), 1

( 3

-)

2


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DETERMINANTES

E&iminando e& rimer ren7&@n &a tercera co&'mna de A se otiene M13 = . De manerasimi&ar6 si se

e&imina e& tercer ren7&@n &a se7'nda co&'mna se otiene M32 =

EJEMPLO 5. C%&c'&o de dos menores de 'na matri> de )x ). Sea A = .Enc'entre M32 M2).

M32 = M2) =

DEFINICIN. Cofactor. Se A 'na matri> de n x n. E& coactor i4 de A6 denotado or Ai46 est%dado or

Aij = (-1)i + j Mij

EJEMPLO 6. C%&c'&o de dos coactores de 'na matri> de )x ). En e& e4em&o ( se tiene

A 32= -1/ 32B M32B = - 1 ( = - ; A2) = -1/ 2)B M2)B = 1 -3 ( = -1+2

! " 1 5 # $ % $ !

, 1 3

2 ), (

1 -3 (

2 ) ,3

1 ( +-2

) , 2

1 (

2 ,

3) 2

1 -3(

1 (

+) ,2

3


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DETERMINANTES

DEFINICIN $. D&t&r'iat& . Sea A 'na matri> de n x n. Entonces e&determinante de A6 denotado or det A o BAB6 est% dado or

D&t A = *A* = a11A11+ a1A1+ a1"A1"+ + a1A1

EJEMPLO %. C%&c'&o de& determinante de 'na matri> de )x ). Ca&c'&e det A6 donde A =

= 1 -" + 5

-

= 1(-#) , "(-%!) + 5() , (-16) = 16!

DEFINICIN 5. Matri tria/0ar. a 'atri c/a2ra2a 3& 00a'a tria/0ar3/4&rior 3i to2o3 3/3 co'4o&t&3 2&ajo 2& 0a 2iaoa0 3o c&ro. E3 /a'atri tria/0ar if&rior 3i to2o3 3/3 co'4o&t&3 arria 2& 0a 2iaoa03o c&ro. a 'atri 3& 00a'a 2iaoa0 3i to2o3 0o3 &0&'&to3 /& o &3t73or& 0a 2iaoa0 3o c&ro.

1 3 (

2, -1 3)

2 1 +

3 2 );

1 3 (2

, -1 3)

2 1 +

3 2 );

-1 3)

1 +

2 );

, 3

) 2 +

3 );

, -1

) 2 1

3 2;

, -1

3 2 1+

3 2)

)


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DETERMINANTES

E!EM"#$ ;. Seis matrices trian7'&ares. #as matrices A = =son trian7'&ares s'eriores

C = D = son trian7'&ares ineriores I &a matri> identidad/ E = son

dia7oan&es

TE$REMA 1. Sea A = aij ) /a 'atri 2& tria/0ar 3/4&rior o if&rior.Etoc&3 2&t A = a11aa""a

E3to &38 &0 2&t&r'iat& 2& /a 'atri tria/0ar &3 i/a0 a0 4ro2/cto 2& 3/3co'4o&t&3 & 0a 2iaoa0.

EJEMPLO 1!. D&t&r'iat&3 2& 3&i3 'atric&3 tria/0ar&3. Lo3 2&t&r'iat&3

2& 0a3 3&i3 'atric&3 tria/0ar&3 & &0 &j&'40o 9 3o *A* = ::1 = $; *


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"R$#EMAS 2.1

En &os ro&emas 1 a& 1, ca&c'&e e& determinante.1. 2. 3.

).

(. . .;.

+. 1,.

1 ,

3 , 1

) 2 1

,

-1 1

, 2 1

) 1 (

3 -1

) 3(

2 -1

-1 ,

, 2)

1 2-3

-2 31

) (

, 21

-1 1,

2 1) 1 (

2 , 31

, 1 )2, , 1

(1 2 3

,

-3 , ,,

-) ,,( ; -1

,2 3 ,

-2 , ,

1 2 -1)

3 , -1() 2 3

,

2 3 -1 )(

, 1 ;2

, , ) -1(

, , , -2;

, , , ,


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"R$"IEDADES DE #$S DETERMINANTES

EO>EMA 1. Sean A dos matrices de n x n. Entonces5 2&t A< = 2&t A2&t EMA $. 2&t At= 2&t AEO>EMA 5. Se 'ede ca&c'&ar det A or coactores en c'a&G'ier ren7&@n o co&'mna de A.EJEMPLO 1. I0/3traciB 2& 2&t A< = 2&tA 2&t


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A = det A= )A21 2A22 3A23 = )-1/21 2-1/22 3-1/23

det A = -)1/ 21)/ ? 311/ = - + SEJ


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P>OPIEDAD ". S'on7a G'e A6 C son id0nticas exceto or &a co&'mna 4 G'e &aco&'mna 4 de C es &a s'ma de &as 4-0simas co&'mnas de A . Entonces6 det C = det A det . #a misma armaci@n es cierta ara ren7&ones.

EJEMPLO 9. I&'straci@n de &a roiedad 3. Sea A = 6 = C= .

Entonces det A = 16 det = 1,; det C = 12) = det A det .P>OPIEDAD $. E& intercamio de c'a&esG'iera dos ren7&ones o co&'mnas/ distintos de A

tiene e& eecto de m'&ti&icar det A or -1.

EJEMPLO #. I&'straci@n de &a roiedad ). Sea A = . A& intercamiar &osren7&ones 1 3 se otiene

= .

A& intercamiar &as co&'mnas 1 2 de A se otiene C = . Entonces6 9aciendo&os c%&c'&os directos6 se enc'entran G'e e& det A = 1

e& det = det C = -1

P>OPIEDAD 5. Si A tiene dos ren7&ones o co&'mnas i7'a&es6 entonces det A = ,.EJEMPLO 1!. I&'straci@n de &a roiedad (. Mediante e& c%&c'&o directo6 se 'ede :ericar

G'e araA = Kdos ren7&ones i7'a&esL = Kdos co&'mnas i7'a&esL6 det

A = det = ,

1 -1

23 1)

, -2(

1 -2

3 2)

, )(

1 -

23 3)

, 2(

1 -12

3 1), -2

(

, -2

(3 1

)1 -1

2

-1 12

1 3)

-2 ,

(

1 -12

( 3

1 -1

2

( 22

3 -1-1

-2 )

)+


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P>OPIEDAD 6. Si 'n ren7&@n co&'mna/ de A es 'n m&ti&o esca&ar de otro ren7&@nco&'mna/6 entonces

det A =,EJEMPLO 11. I&'straci@n de &a roiedad . = , a G'e e& tercer

ren7&@n es i7'a& a -2 :eces e& rimero.

EJEMPLO 1. $tra i&'straci@n de &a roiedad . = , orG'e&a c'arta co&'mna es i7'a& a tres :eces &a se7'nda.

P>OPIEDAD %. Si se s'ma 'n m&ti&o esca&ar de 'n ren7&@n de A a otro ren7&@nco&'mna/ de A6 entonces e& determinante no camia.

E!EM"#$ 13. I&'straci@n de &a roiedad . Sea A = . Entonces det A =1. Si se m'&ti&ica e& tercer ren7&@n or ) se s'ma a& se7'ndo

ren7&@n6 se otiene 'na n'e:a matri> dada or = = e& det = 1= det A

2 -3( 1

2 -)

-1,

2 ) 112

-1 1 ,

3, -1 +

-3 3

+

1 -12

3 1)

, -2(1 -1 2

3 ),/ 1 )-2/) ()/

, -2 (

1 -1

23 -

2), -2

(

1,


11/21

"R$"IEDADES DE #$S DETERMINANTESE!EM"#$ 1). trian7'&ar s'erior BAB = -11/-1/1/1,/ = -1/-1,/ = 1,

1 3 (2

, -1 3)

2 1 +

3 2 );

1 3 (2

, -1 3

), -( -1

2, - -11

2

1 3 (2

, -1 3)

, , -1-1;, , -32

-2

1 3 (2

, -1 3)

, , 1+O;

, , -32

1 3 (2

, -1 3)

, , 1+O;

, , ,1,

11


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"R$"IEDADES DE #$S DETERMINANTESE!EM"#$ 1(. a &a red'cci@n en ese ren7&@n. Se m'&ti&ica &a se7'nda co&'mna or 2 or -) se s'ma a &a rimera c'arta co&'mnas6 resecti:amente. Se

m'&ti&ica &ase7'nda

co&'mnaBAB = Se intercamian &as rimeras BAB = or -( or -

se dos co&'mnas . s'ma a &a

tercera c'arta

co&'mnas6

resecti:amente.

BAB = Como &a c'arta co&'mna es i7'a& a &a tercera ero con si7no contrario6 entonces BAB = ,

E!EM"#$ 1.


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"R$#EMAS 2.2

En &os ro&emas 1 a& 2, e:a&e e& determinante 'sando &os m0todos de esta [email protected]. 2. 3. ).

(.

. . ;. +.

1,. 11. 12.13.

1). 1(. 1.1.

13

3-(

2

)1,-3

-1 ,2

3 1)

2 ,-

2 1-1

3 -2,

( 1

-3 2)

1 -12

-1 ),

, -23

1 2-3

) ,(

-2 3

) 1;

-2 ,,

2 -13

) ,

( -23

1 -1 2)

, -3 (

1 ) ,3, ( -

2 -3 1), -2 ,

,3 -1

2

) 1 -3;

1 1 -1,-3 )

,2 ( -1

3

) , 3,

3 -1 21) 3 1

-2-1 , 2

3

2 (2

2 , ,,

, , 3,

, -1 ,,

, , ,)

, a ,,

, ,,

, , ,c

, , d,

1 2 ,,

3 -2 ,,

, , 1-(

, , 2

a ,,

c d ,,

, , a-

, , cd

2 -1 , )13 1 -1 2

,3 2 -2 (

1

, , ) -1


14/21

"R$#EMAS 2.21;. 1+.

2,.

1)

1 -1 2 ,,

3 1 ) ,

,2 -1 ( ,

,, , , 2

3, , ,

-1 )

a , , ,,

, , ,,

, , , ,c

, , , d,

, e , ,,

2 ( - ;,

, 1 - ,, , , )

,, 2 1 (

1

) -1 ( 3,


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DETERMINANTES E INHERSAS

TE$REMA 1. Si A es in:erti&e6 entonces det A P , det A-1= 1Odet ADEFINICIN 1. #a Ad4'nta. Sea A 'na matri> de nxn sea 6 dada or =

6 &a matri> de s's coactores. Entonces &a ad4'nta de A6 escrito ad4 A6 es &a

trans'esta de &a matri> de nxn es decir6

ad4 A = t=

E!EM"#$ 1. C%&c'&o de &a ad4'nta de 'na matri> de 3x3. Sea A = . Ca&c'&ead4 A.

Se tiene A11= = 126 A12= - = -36 A13= = -36 A21= -136A22= (6 A23= 26 A31= -6

A32= 26 A33 = 2. AsQ6 = ad4 A = t= .

1(

A11 A12 An1A21 A22 An2

A31 A32 AnnA11 A21 An1A12 A22 An2

A1n A2n Ann2 )

3, 1

-13 (

1 -1

(

, -1

3

, 1

3 (12 -3

-3

-13 (2- 2

2

12 -13-

-3 (2

-3 2 2


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E!EM"#$ 2. C%&c'&o de &a ad4'nta de 'na matri> de )x). Sea A =. Ca&c'&e ad4 A.

A12= - = -16 A2)= = -2 A)3= - = 3. A&com&etar estos c%&c'&os se

enc'entra G'e = ad4 A = t=

TE$REMA 3. Sea A 'na matri> de nxn. Entonces A es in:erti&e si s@&o si det A P ,. Sidet A P ,6 entonces

A-1= 1Odet A/ ad4 A/

1

1 -3 ,-2

3 -12 -2-

-2 1, 2

(-1 13 3 -2

- -2 2

( -1 1

3

1 -3,

-2 1,2

-1

1

1 -3-2

3 -12-

-2 1,

(

, -1 ,2

-1 1 -1-2, 2 -3

-3-2 -2 3

2

, -1 ,

-2-1 1 2-2

, -1 -33

2 -2 -32


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E!EM"#$ ). de )x) 'sando e& determinante &aad4'nta. Sea

A = . Determine si A es in:erti&e 6 si &o es6 ca&c'&e A-1.


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"R$#EMAS 2.)

En &os ro&emas 1 a& 12 'ti&ice &os m0todos de esta secci@n ara determinar si &a matri>dada es in:erti&e. Si &o es6 ca&c'&e &a in:ersa.

1. 2. 3. ). (..

. ;. +. 1,.11.

12. 1). "ara A = 6 :eriG'e G'e e& det A-1 =1Odet A

1. "ara G'0 :a&ores de U &a matri> es no in:erti&eV

1;

3 21 2

3

-) -;

, 11 ,

1 11

, 23( (

1

3 21

, 22, 1

-1

1 11

, 11, ,

11 23

1 12

, 12

3 1,

1 -12

1 11

2 -1)

-1 ,(

-1+ -3

1 2-2 3 ( 12

-)

1 1 11

1 2 -12

1 -1 211 3 3

2

1 -3 ,-2

3 -12 -2-

-2 1, 2(

-1 13

1 12 (

U -3

) 1-U


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REJ#A DE CRAMERTE$REMA 1. Re7&a de Cramer. Sea A 'na matri> de nxn s'on7a G'e det A P ,. Entonces &a

so&'ci@n nica a& sistema Ax = est% dada or

x1= D1OD6 x2= D2OD6 . . . 6 x i= DiOD6 . . . . 6 xn= DnOD

E!EM"#$ 1. So&'ci@n de 'n sistema de 3x3 'sando &a re7&a de Cramer. Res'e&:a e& sistema 'sando&a re7&a de Cramer5 2x1 )x2 x3= 1;

)x1 (x2 x3= 2) 1/

3x1 x2- 2x3= )

D = = P , D1= =2) Se s'stit'e &a rimera co&'mnade D or &os

:a&ores de 1;6 2)6 )/ de&sistema de ec'aciones

de 1/

D2= = -12 #a se7'nda co&'mna de D se s'stit'e or &os :a&ores de 1;62)6)/

D3= = 1; #a tercera co&'mna de D se s'stit'e or &os :a&ores de 1;62)6)/. "or &a tanto6

1= D1D = $6 = $ = DD = -16 = - "= D"D =196 ="

1+

2 ) ) (

3 1

-2

1; ) 2) (

) 1

-2 2 1;

) 2)

3 )

-2 2 )1;

) (2)

3 1)


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REJ#A DE CRAMERE!EM"#$ 2. so&'ci@n de 'n sistema de )x) 'sando &a re7&a de Cramer. Dem'estre G'e e&

sistema tiene 'na so&'ci@n nica enc'0ntre&a 'sando &a re7&a de Cramer.

BAB = = 1, P ,

E& sistema tiene 'na so&'ci@n nica. "ara encontrar&a se ca&c'&a D1= -)) D2= 2;, D3= -( D)= 112.

AsQ1= D1D = -$6$16!

= DD = 9!16!

"= D"D = -5616! $= D$D = 1116!

2,

1x1 3x2 (x3 2x)= 2 -x

2

3x3

)x)

= , 1/

2x1 x2 +x3 x)= -33x1 2x2 )x3 ;x)= -1

1 3 (2

, -1 3

)2 1 +

3 2 );


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"R$#EMAS 2.)En &os ro&emas 1 a& + res'e&:a e& sistema dado 'sando &a re7&a de Cramer.

1. 1+ "= -1 . "1- = ! ".1+ + "= 6

-%1+ $ = $% $1+ = 5"1- - ""= 5

91+ + 5"= 11

$. 1 + + "= 9 5. 1 + + "= %6. 1 + 5 - "= -1

$- "= - 1+ + "= !$1+ + ""= "

"1- + "= ! -1 + + ""= 1-1+ = !

%. 1 + - "= $ 9. 1+ + "+ $= 6#. 1 - $= %

1+ "= 1 - "- $= $+ " =

-+ 5"= 1 ""+ 6$= "$1, = -"

1 - $= 5""- 5$ =

21

Algebra Lineal 5. Determinantes

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