Algebra II

Álgebra II

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- iii -

Indice

Capítulo 1 Grupo 1

Definición de operación binaria, neutro, asociativa................................... 1 Semigrupo, monoide.................................................................................. 2 Submonoide, elemento invertible............................................................... 3 Grupo, grupo abeliano................................................................................ 4 Ejemplos............................................................................... 5 Orden del grupo.......................................................................................... 6 Ejemplos de grupos abelianos.............................................. 7 Propiedades de grupo................................................................................. 8 Subgrupo..................................................................................................... 9 Subgrupos triviales, propios........................................................ 10 Subgrupo cíclico generado por “a”............................................................. 11 Conjunto generador, grupo finitamente generado....................... 12 Orden de un elemento................................................................................. 13 Morfismos de grupos.................................................................................. 14 Monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo, endomorfismo............. 16 Producto directo de grupos......................................................................... 18 Grupo cíclico.............................................................................................. 20 Teorema de clasificación............................................................................ 21 Coclases...................................................................................................... 25 Conjunto cociente....................................................................................... 27 Conjunto de representantes......................................................................... 28 Teorema de Lagrange................................................................................. 30 Normalidad................................................................................................. 34 Subgrupo normal........................................................................................ 35 Propiedad universal del cociente................................................................ 39 Primer teorema de isomorfimo................................................................... 40 Segundo teorema de isomorfismo.............................................................. 42

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Tercer teorema de isomorfismo.................................................................. 43 Capítulo 2 Grupos simétricos

Grupo simétrico, permutaciones................................................................. 47 Teorema de Cayley..................................................................................... 48 r-ciclo.......................................................................................................... 49 Trasposición............................................................................................... 49 Permutaciones disjuntas............................................................................. 50 Permutación par, impar.............................................................................. 56 Grupo alternado.......................................................................................... 56 Grupo simple.............................................................................................. 57 Elementos conjugados................................................................................ 57 Clase de conjugación de un elemento........................................................ 58 Grupos Libres........................................................................................... 60 Grupo libre de base X................................................................................. 60 Palabra reducida......................................................................................... 61 Grupo libre................................................................................................. 63 Generadores y relaciones........................................................................ 66 Subgrupo normal generado por S............................................................... 66 Grupo definido por los generadores........................................................... 66 Representación de un grupo....................................................................... 66 Finitamente generado................................................................................. 70 Grupo abeliano libre................................................................................... 70 Subgrupo de torsión.................................................................................... 70 Grupo de torsión......................................................................................... 70 Factores invariantes y divisores elementales..................................... 71 Capítulo 3 Acciones

Acción de un grupo en un conjunto............................................................ 73 G actúa en X...................................................................................... 73 G-conjunto......................................................................................... 73 Acción trivial.............................................................................................. 75

- v -

Acción fiel.................................................................................................. 76 G-estable............................................................................................. 76 G-función............................................................................................ 76 Acción transitiva......................................................................................... 76 Orbitas........................................................................................................ 78 Estabilizador............................................................................................... 78 Punto fijo............................................................................................ 80 Acción por conjugación............................................................................ 80 Normalizador.............................................................................................. 82 Ecuación de las clases......................................................................... 82 Acción por traslación............................................................................... 83 Criterio par obtener subgrupos normales............................................ 85 Ejemplo............................................................................................... 85 Producto semidirecto............................................................................... 86 Neutro, inverso.................................................................................... 87 Subgrupos de Sylow................................................................................. 90 p-grupo................................................................................................ 91 p-subgrupo........................................................................................... 91 p-subgrupo de Sylow.................................................................................. 91 Primer teorema de Sylow........................................................................... 93 Teorema de Cauchy.................................................................................... 95 Segundo teorema de Sylow........................................................................ 95 Aplicaciones............................................................................................... 98 Capítulo 4 Cuerpos

Cuerpo........................................................................................................ 103 Subcuerpo................................................................................................... 103 Morfismo de cuerpos.................................................................................. 104 Extensión de cuerpos.................................................................................. 104 Extensión finita........................................................................................... 104 Grado de la extensión................................................................................. 104 Cuerpo compuesto...................................................................................... 105 Cuerpo intermedio...................................................................................... 105 Subcuerpo generado................................................................................... 105

- vi -

Cuerpo primo.............................................................................................. 105 Característica de un cuerpo........................................................................ 106 Extensión finitamente generada................................................................. 106 Extensión simple........................................................................................ 107 Elemento trascendente................................................................................ 107 Elemento algebraico................................................................................... 108 Polinomio irreducible................................................................................ 108 Extensión algebraica................................................................................... 108 Extensión trascendente............................................................................... 108 Buena clase................................................................................................. 115 Un polinomio se escinde............................................................................ 119 Cuerpo de descomposición......................................................................... 119 Cuerpo algebraicamente cerrado................................................................ 120 Clausura algebraica.................................................................................... 122 Capítulo 5 Galois

Grupos de Galois........................................................................................ 127 Ejemplos............................................................................................. 129 Extensión de Galois.................................................................................... 132 Cuerpo cerrado........................................................................................... 132 Subgrupo cerrado........................................................................................ 132 Cuerpo estable............................................................................................ 138 Cuerpo extendible....................................................................................... 139 Teorema de Galois...................................................................................... 140 Ejemplo.............................................................................................. 141 Teorema de Artin........................................................................................ 143 Polinomio separable................................................................................... 144 Elemento separable..................................................................................... 144 Extensión separable.................................................................................... 144 Extensión normal........................................................................................ 148 Ejemplo.............................................................................................. 149

- vii -

Capítulo 6 Grupo de Galois de polinomios Clausura normal ......................................................................................... 152 Teorema fundamental del álgebra.............................................................. 153 Subgrupo transitivo.................................................................................... 154 Discriminante de f ..................................................................................... 155 Grupo de Klein........................................................................................... 157 Resolverte cúbica de f................................................................................. 158 Polinomio de 4to grado.............................................................................. 159 Funciones racionales simétricas sobre K ................................................. 164 Funciones simétricas elementales.............................................................. 165 Apéndice A

Operaciones elementales............................................................................ 169 Punto constructible..................................................................................... 169 Rectas constructibles.................................................................................. 170 Número constructible................................................................................. 170 Coordenadas............................................................................................... 173 Teorema de Gauss...................................................................................... 176 Índice alfabético......................................................................................... 177

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- 1 -

Capítulo 1 Grupos Definición 1.1 Sea G un conjunto no vacío llamamos operación binaria o ley de composición interna a una función:

( )

:

,

G G G

a b a b

⋅ × →→ ⋅

Anotamos o a b ab⋅ Definición 1.2 Dado el conjunto G, a un elemento e G∈ llamamos neutro para ⋅ en G si: ae ea a a G= = ∀ ∈ Proposición 1.1 Si un conjunto G tiene neutro este es único. Demostración Supongamos que existe otro e G∈% tal que: ae ea a a G= = ∀ ∈% % entonces en particular

por ser neutro

por ser neutro

ee e e

ee e e

==

% %%

luego e e= % Definición 1.3 Dado un conjunto G y en él una operación binaria decimos que es asociativa si verifica: ( ) ( ) , ,a bc ab c a b c G= ∀ ∈

%

Notas de Álgebra II Capítulo 1 - 2 -

- 2 -

si definimos ( ) ( ):abc ab c a bc= = generalizamos:

( )1 2 1 2 1... ( (... ...)n n na a a a a a a−= Definición 1.4 Sea G un conjunto no vacío y ⋅una operación binaria definida en él que sea asociativa. Al par ( ),G ⋅ le llamamos semigrupo A veces se sobreentenderá la operación definida sobre el conjunto G y anotaremos a ( ),G ⋅ simplemente por G. Definición 1.5 Al semigrupo ( ),G ⋅ en que la operación además de ser asociativa tiene neutro le llamamos monoide. Ejemplo 1.1 Si { },G e= es un monoide con la única operación posible ⋅ definida tal que: e e e⋅ = Ejemplo 1.2 Los movimientos del plano con la composición como operación binaria es un monoide Ejemplo 1.3 Los pares ( ) ( ) ( ), , , , ,+ ⋅ +¡ ¡ ¤ son monoides. En general si A es un

anillo con unidad entonces ( ) ( ), , ,A A+ ⋅ son monoides.

Más aún ( )2 ,⋅¥ es un semigrupo pero no es un monoide (ya que en el conjunto de los pares no tenemos neutro del producto). Definición 1.6 Dado el monoide ( ),G ⋅ dos elementos en G decimos que conmutan si: ab ba= y decimos que ( ),G ⋅ es un monoide conmutativo si: ,ab ba a b G= ∀ ∈ Ejemplo 1.4 Los naturales con la suma ( ),+¥ es un monoide, así como. Ejemplo 1.5 Dado un conjunto X, sea ( )XP el conjunto de partes de X, las

siguientes parejas son monoides; ( )( ) ( )( ), , , .X X∪ ∩P P

Ejemplo 1.6 Sea S un conjunto no vacío, ( ) { }: / función SFun S f S S f S= → =

(notación: YX es el conjunto de las funciones de Y X→ , { }: ).YX f Y X= →

Notas de Álgebra II Grupos - 3 -

- 3 -

( )Fun S con la composición tiene una estructura de monoide no conmutativa. f g f g⋅ = o composición Ejemplo 1.7 Sea K un cuerpo, V un K-espacio vectorial ( ) ( ) { }: / es linealKEnd V V V Vϕ ϕ= = →L con la composición también da un monoide. Ejemplo 1.8 Las matrices ( )n n K×M n por n definidas en el cuerpo K se tiene que:

( )( ),n m K× +M es un monoide conmutativo;

( )( ),n n K× ⋅M es un monoide no conmutativo si 2n ≥

Ejemplo 1.9 Consideremos { }:SM f S M= → con ( ),M ⊕ monoide S φ≠ y la

operación suma definida punto a punto ( )( ) ( ) ( )f g s f s g s+ = ⊕ donde ⊕ es la operación definida en el monoide M. Entonces ( ),SM + es un monoide, y será conmutativo si ( ),M ⊕ lo es.

Definición 1.7 Dado el monoide ( ),G ⋅ y un subconjunto H G⊂ entonces decimos que es un submonoide si verifica: i) Ge H∈ entendiendo por Ge el neutro del monoide ( ),G ⋅ ii) Si , entonces x y H x y H∈ ⋅ ∈ es decir que la operación ⋅ es cerrada en H. Ejemplo 1.10 Sea S un espacio vectorial sobre K entonces: ( ) ( ) { } ( ): lineal KEnd S S f S S Fun S= = → ⊂L

entonces ( )( ),KEnd S o es un submomoide del ( )( ), ,Fun S o también lo es con la

suma definidos punto a punto. Ejemplo 1.11 Sea { }2 /H Id Kλ λ= ∈ el espacio de las matrices escalares y sea

1H = matrices diagonales. Entonces: 2 1 ,H H G⊂ ⊂ es decir, 2H es un submonoide de 1H y 1H es un submonoide de G, siempre con la operación de producto. Definición 1.8 Sea ( ),G ⋅ un monoide, un elemento a G∈ se dice que es invertible si:


- 4 -

tal que .a G aa a a e′ ′ ′∃ ∈ = =

Además al elemento a′ le llamamos inverso de a y anotamos 1.a a−′ = Proposición 1.2 Dado un monoide ( ),G ⋅ y dado a G∈ invertible entonces el inverso es único. Demostración Supongamos que existe otro a G′′∈ tal que: aa a a e′′ ′′= = entonces

( ) { .e

a a e a aa a a a ea a=

′ ′ ′ ′′ ′ ′′ ′′ ′′= = = = =

Observación 1.1 Dado un monoide G tenemos que se cumple: i) e es invertible y además el inverso es e : 1e e− = ; ii) Si a G∈ es invertible entonces su inverso es invertible y además:

( ) 11a a−− = ;

iii) Si ,a b G∈ son invertibles entonces ab es invertible y además:

( ) 1 1 1ab b a− − −= ;

iv) Sea ( ) { }/ es invertibleG a G a G= ∈ ⊂U tenemos que ( )GU es un submonoide de G , ya que: a) ( )e G∈U por observación anterior (i);

b) Si ( ) ( ),a b G ab G∈ ⇒ ∈U U también por la observación (iii). La razón de

llamar a este conjunto ( )GU es que a los elementos invertibles se le suelen llamar también unidades de G. Definición 1.9 Un monoide en el cual todos sus elementos son invertible es llamado grupo. Es decir que se cumple ( )G G=U . Además si es conmutativo se dice que es un grupo abeliano. Tener en cuenta que:

Cuando la operación es la suma anotamos1

0

ab a b

e

a a−

+ −

ÎÎÎ

En resumen tenemos un conjunto G en que hemos definido una operación binaria. Las estructuras hasta ahora, en forma esquemática, son:


- 5 -

( )( )todo elemento

asociativa semigrupo neutro monoide grupoinvertible

G

+ = + = + =

Ejemplo 1.12 ( ),+¡ es un grupo abeliano

Ejemplo 1.13 ( ),⋅£ es un monoide pero no es un grupo porque el cero no es

invertible. Si definimos ∗£ como los complejos sin el cero entonces ahora sí ( ),∗ ⋅£

es grupo. Es decir ( ) ∗=£ £U . Ejemplo 1.14 Sea ( ),G ⋅ un monoide entonces ( )( ),G ⋅U es un submonoide como ya

vimos y por lo tanto ( )( ),G ⋅U es un ejemplo de grupo.

Ejemplo 1.15 Sea S φ≠ consideremos ( )( ),Fun S o es monoide y en el:

( )( ) { }: / es biyectivaFun S f S S f= →U

Observar que f es biyectiva : tal que Sg S S f g g f Id f⇔ ∃ → = = ⇔o o es invertible. (Recordar que :f A B→ es inyectiva : tal que Ag B A g f Id⇔ ∃ → =o y que :f A B→ es sobreyectiva : tal que Bg B A f g Id⇔ ∃ → =o ) Si escribimos: ( )( ) { } ( ): / es biyectivaFun S f S S f Biy S= → =U

se llega a que ( )( ),Biy S o es un grupo.

Ejemplo 1.16 Sea S un conjunto finito con #S n= llamaremos ( )nS Biy S= tenemos que con la composición es un grupo y a sus elementos nSσ ∈ son las permutaciones de los elementos de S. Si { }1,...,S n= , y { } { }{ }: 1,..., 1,..., / es biyectivanS n nσ σ= → , adoptaremos en

general la siguiente notación para referirnos a un elemento de nS

( ) ( ) ( )1 2

1 2

n

nσ σ σ

LL

El producto es la composición: así por ejemplo:

1 2 3 1 2 3 1 2 3

3 1 2 2 1 3 1 3 2 =

y

1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 1 3 3 1 2 3 2 1 =

de forma que no es conmutativo.


- 6 -

Definición 1.10 Dado un grupo G definimos orden de G como la cantidad de elementos del grupo. Anotamos: #G G= ;

si G es finito G < ∞ ;

si G es infinito G = ∞ . Ejemplo 1.17 En el ejemplo anterior !nS n= . Ejemplo 1.18 Sean ( )n n K×M matrices cuadradas n n× donde K es un cuerpo. Consideremos ( )( ) ( ){ }/ es invertiblen n n nK A K A× ×= ∈U M M

A es invertible si K es un cuerpo y ( )det 0A ≠ . Llamaremos Grupo general lineal a

( ) ( ) ( ){ }/ det 0n nGLn K A K A×= ∈ ≠M .

Se tiene que el par ( )( ),GLn K ⋅ es un grupo.

Ejemplo 1.19 Los movimientos del plano con la composición forman grupo G. En particular nos interesa un subconjunto del anterior que denominamos 4D . Sea C el cuadrado de la figura. Entonces:

( ){ }4 /D f G f C C= ∈ =

Dado el cuadrado en la siguiente ubicación: B A O C D

Los movimientos que conservan al cuadrado invariante son: las simetrías axiales

1 2, , ,D oy D oxS S S S

las rotaciones:

32 2, , , ,2, , ,o o oo oR R C R R Idπ ππ π= =

Ñ Ñ Ñ

2DS 1DS

C oxS x oyS


- 7 -

Clasificados en directos:

Los inversos oyS

2DS oxS 1DS

Entonces: 4 8D = Ejemplos de Grupos abelianos Ejemplo 1.20 ( ),+¢ es un grupo abeliano y es de orden infinito.

Ejemplo 1.21 m m= ¢¢ ¢ con m +∈¢ con la adición es un grupo abeliano finito de

orden m. ( ) { }mod : |a b m a b m mh h a b m m a b≡ ⇔ − ∈ = ∈ ⇔ − = ⇔ −&¢ ¢ .

( )modm≡ es una relación de equivalencia y a las clases que anotamos:

[ ] ( ){ }: moda a b b a m= = ∈ =¢ ,

entonces: { }:a a m a n n m= + = + ∈¢ ¢

{ } o sea 0,1,..., 1modm m mm mm= = − ⇒ =≡¢¢ ¢ ¢ .

( ),m +¢ es un grupo abeliano. Queremos ver cuando ( ),m∗ ⋅¢ es un grupo

Primero que nada al considerar m∗¢ sacamos el cero porque no es invertible,

analicemos el caso 6m =

2,oR π

Ñ oC 3

2,oR π

Ñ Id


- 8 -

{ }6 0, 1, 2, 3, 4, 5=¢ tenemos que 63 y 2 3 0∈ ⋅ =¢ Supongamos que el 3 tiene

inverso: {1

1

3 3 2 0 2 0−

=

⋅ ⋅ = ⇒ = ,

lo cual es absurdo. En general si: 0 y no tienen inversoa b a b⋅ = ⇒ . Es decir los divisores de cero no tienen inverso.

( ) {0

1 , tal que:

1 1 tiene inverso con mcd ,

1 0 no tiene inverso

m

m xt t

a b

ax bm ax xx x m

t x m m x

=

⇒ ∃ ∈ + = ⇒ = ⇒∈ =

> ⇒ ⋅ = ⋅ = = ⇒

¢¢

Entonces tenemos que: ( ) ( ){ }: mcd , 1m ma a m= ∈ =¢ ¢U .

Luego con respecto a la pregunta que nos hacíamos ( ),m∗ ⋅¢ es un grupo si y solo sí m

es primo. Propiedades de Grupo Proposición 1.3 Dado un grupo G entonces se cumple: i) Propiedad cancelativa:

si

, , ;

ab ac b c

ba ca b c a b c G

= ⇒ == ⇒ = ∀ ∈

ii) Si 2 a G tal que a a a e∈ = ⇒ = ;

iii) La ecuación ax b= tiene una única solución 1x a b−= ; la ecuación xa b= tiene una única solución 1x ba−= . Demostración i) Si { ( ) ( ) { ( ){ ( ){ {1 1 1 1

def. oper. asociativa def. neutroe e

ab ac a ab a ac a a b a a c eb ec b c− − − −

= =

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ;

ii) Si

( ){2

i

a a a a a a e a e= ⇒ ⋅ = = ⋅ ⇒ = .

Dado un monoide G y a G∈ podemos considerar:


- 9 -

1

si 0,

para 1,2...;n

n

e na

a a n−

== =

de esta forma

0

1 0

2 1

veces

.... .n

n

a e

a a a ea a

a a a aa

a aa a

=

= = =

= =

=

M M123

Definición 1.11 Dado un grupo G y un elemento a del mismo definimos la potencia de exponente negativo como sigue:

( )1, , .nna G n a a+ − −∀ ∈ ∀ ∈ =¢

De esta forma tenemos definida la potencia de exponente entero: con za z ∈¢ . Proposición 1.4 Dado un grupo G entonces se cumple: i) , , y ;n m n ma a a m n a G+= ∀ ∈ ∀ ∈¢

ii) ( ) , , y ;mn nma a n m a G= ∀ ∈ ∀ ∈¢

iii) Si G es abeliano ( ) .n n nab a b= Un procedimiento natural en el estudio de estructuras algebraicas es investigar las estructuras “más pequeñas” de la misma o, más propiamente dicho, las llamadas subestructuras. En este sentido introducimos la siguiente definición. Definición 1.12 Dado un grupo G, H G⊂ decimos que es un subgrupo si verifica: i) Ge H∈ entendiendo por Ge el neutro del grupo G, ii) Si ,a b H ab H∈ ⇒ ∈ ,

iii) Si 1a H a H−∈ ⇒ ∈ . Anotaremos H G< para indicar que H es subgrupo del grupo G. Observación 1.2 Las propiedades i) y ii) que indican que el producto es cerrado en H y que el neutro pertenece a H son las condiciones que debe cumplirse para que ( ),H ⋅ sea submonoide. Si definimos H⋅ como la restricción de la operación definida

en G entonces ( ), HH ⋅ es un grupo.


- 10 -

Proposición 1.5 Si , H G H φ⊂ ≠ , entonces H es un subgrupo de G si y solo sí:

1,a b H ab H−∀ ∈ ⇒ ∈ Demostración ( )⇒ Como

( ){

( ){1 1

iii ii

,a b H b H ab H− −∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈ .

( )⇐ como H a Hφ≠ ⇒ ∃ ∈ ; aplicando la hipótesis {1

e

aa H e H−

=

∈ ⇒ ∈ es decir que

se cumple i) Por otro lado si a H∈ como {

1

1 1

a

e H ea H a H−

− −

=

∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈ es decir que se cumple

iii).

Sean ( ) 11 1,a b H b H ab a b H

a H

−− −∈ ⇒ ∈ ⇒ = ∈

∈

por lo que se cumple ii).

Ejemplo 1.22 Los subgrupos de ¢ son de la forma m¢ con m ∈¥ . Ejemplo 1.23 Consideremos las permutaciones que dejan fijo un punto. ( ){ }:n nH S n n Sσ σ= ∈ = < :

la identidad pertenece a H porque esta última deja fijos todos los puntos. Si , Hσ τ ∈ entonces ( ) ( ) ( )( ) ( )n n n n nστ σ τ σ τ σ= = = =o .

Luego Hστ ∈ . Por otro lado ( ) ( )1 1n n n n Hσ σ σ− −= ⇒ = ⇒ ∈ . Luego H es un subgrupo. Ejemplo 1.24 Dado el grupo { }6 0,1,2,3,4,5 ,=¢ entonces:

{ }0,2,4 es un subgrupo así como: { } { }60 , ,¢ también son subgrupos que llamamos triviales. Definición 1.13 Dado un grupo G a los subgrupos { } { },e G son llamados subgrupos triviales. Los otros subgrupos no triviales son llamados subgrupos propios. Ejemplo 1.25 Sea ∗£ los complejos sin el cero. Entonces: { } { }: 1 para algún : 1nH z z n K z z∗ + ∗= ∈ = ∈ < = ∈ = <¢ ¢ ¢ £ .


- 11 -

Ya que :

( ) ( ){ ( ){1 1

1 2 1 2 1 2 1 22 2 1 1

11

1

nm nmn mn mn n m

m

z H zz z z z z z z z H

z H z= =

∈ = ⇒ ⇒ = = = ⇒ ∈ ∈ =

;

por otro lado:

( ) ( ){11 1

1

1 1nn nz z z z H

−− −

=

= ⇒ = = ⇒ ∈ ;

además: 1 1 1nn nz z z z z K= ⇒ = = ⇒ = ⇒ ∈

es decir H K< . Observación 1.2 Dado un grupo G y a G∈ entonces el conjunto: { }:nH a n= ∈¢

con la operación del grupo es un subgrupo. Demostración 0 ya que e H e a H∈ = ∈ Además

( ) ( )1 1 mn m n n m n ma a a a a a a H− − − −= = = ∈

lo que significa que H es un subgrupo de G. Definición 1.14 Dado un grupo G, a G∈ al subgrupo H de la observación anterior lo llamamos subgrupo cíclico generado por a. Y anotamos:

{ }:nH a n a= ∈ =¢ .

Observación 1.3 El subgrupo cíclico generado por a es abeliano. Demostración n m n m m n m na a a a a a+ += = = . Luego a es conmutativo. Observación 1.4 Dado un grupo G, consideremos con iH i I∈ , una familia de subgrupos de G entonces: i

i I

H G∈

<∩ .

Demostración Como los , iH G i I< ∀ ∈ entonces , .i i

i I

e H i I e H∈

∈ ∀ ∈ ⇒ ∈∩


- 12 -

(Vale observar que la intersección de subgrupos siempre es no vacía.) Dados , , i i

i I

a b H a b H i I∈

∈ ⇒ ∈ ∀ ∈∩ y como los iH son subgrupos de G

aplicando la proposición 1.5: 1 1 i i

i I

ab H i I ab H− −

∈

∈ ∀ ∈ ⇒ ∈∩ .

Y entonces por la misma proposición i

i I

H G∈

<∩ .

Definición 1.15 Dado un grupo G, sea S G⊂ definimos el subgrupo generado por S como:

S H G

S H⊂ <

= ∩

De acuerdo a la observación anterior efectivamente es un subgrupo , y por definición S S⊂ ya que está en todos los subgrupos que determinan la intersección. Observación 1.5 S es el menor subgrupo de G que contiene a S. Ya que:

.S H G

S KS H K

K G ⊂ <

⊂ ⇒ = << ∩

Explícitamente podemos escribir al subgrupo generado por S como: { }1 2

1 2 ... : , 1,..., , knn nk i iS s s s s S n i k k += ∈ ∈ = ∈¢ ¢

nótese que 0is e=

En el caso que S sea finito: { }1,..., nS a a=

anotaremos a { }1 1,..., simplemente por ,...,n na a a a (subgrupo generado por S).

En particular { } { }:na a a n= = ∈¢ .

Definición 1.16 Dado un grupo G si existe un conjunto S tal que: S G= , entonces decimos que S es un conjunto generador. Definición 1.17 Dado un grupo G decimos que es finitamente generado si existen

1,..., na a G∈ tal que:

1,..., nG a a= .


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Observación 1.6 Si el grupo G es finito entonces es finitamente generado ya que puede ser considerado generado por él mismo. El recíproco de lo anterior no es cierto ya que 1 y no es finito=¢ . Además los únicos generadores de ¢ son el 1 y el –1 y por la definición dada más arriba es cíclico. Definición 1.18 Dado un grupo G, a G∈ llamaremos orden de a, que anotamos por a , al orden del subgrupo cíclico generado por a:

a a= . Ejemplo 1.26 n¢ es un grupo cíclico ya que

1n =¢

Pero si ( ), 1m n = , también se cumple que

n m=¢

es decir que { }, 2 ,...,n m m nm=¢ ya que:

( )( )( )

mod

, 1

im jm n

i j m ni j

m n

=

− = ⇒ =

=

&

todos sus elementos son distintos y tenemos n elementos, luego son todos por ser

n n=¢ . Tenemos que n¢ es cíclico, vale aclarar que la operación acá es la suma Observación 1.7 Dado un grupo G, sean H,K subgrupos de G entonces:

;

.

H K H G

H K K G

< << <

∩∩

Sin embargo H K∪ no tiene porque ser un subgrupo: por ejemplo si:

3 no es un subgrupo

ya que 3 4 .4

H H K

H KK

= ⇒ + ∉=

¢ ∪∪¢

Lo que haremos es considerar al subgrupo generado por la unión que anotaremos por H K∨

H K H K∨ = ∪ , que es el menor subgrupo de G que contiene a H y a K

G H K∨ H K H K∩


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En general si tenemos una familia { }i i IH ∈ de subgrupos de G i I∀ ∈ entonces:

,i ii Ii I

H H∈∈

= ∪-

(unión en la categoría de grupos), es el menor subgrupo de G que contiene a los iH i I∀ ∈ Morfismos En general, cuando se estudian estructuras algebraicas, son de gran importancia las funciones que preservan dichas estructura. Con lo anterior en mente nos interesa estudiar funciones de un grupo en otro, que preservan las operaciones. Definición 1.19 Dados los grupos ( ) ( )1 1 2 2, y ,G G⋅ ⋅ llamaremos morfismo de

grupos a la aplicación ( ) ( )1 1 2 2: , ,G Gϕ ⋅ → ⋅ tal que:

( ) ( ) ( )1 2 1 ,a b a b a b Gϕ ϕ ϕ⋅ = ⋅ ∀ ∈ Proposición 1.6 Dados dos grupos G1 y G2 sea 1 2: G Gϕ → morfismo de grupos, con 1e neutro de G1 y 2e neutro de G2. Entonces se cumplen:

i) ( )1 2e eϕ = ;

ii) ( ) ( ) 111, ;a a a Gϕ ϕ −− = ∀ ∈

iii) Si ( )1 2 2, en particular ImH G H G Gϕ ϕ< ⇒ < < ;

iv) Si ( )( ) ( ){ } ( )

12 1

11 2 2 1

, en particular:

: .

K G K G

N a G a e e G

ϕ

ϕ ϕ ϕ

−

−

< ⇒ <

= ∈ = = <

Demostración i) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1 1 1 1 1 1e e e e e eϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= = = , entonces por la proposición

1.3 (ii) se tiene que ( )2 1e eϕ= .

ii) Dado 1 11 1 se tiene que a G e aa a a− −∈ = = entonces:

( ){( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

1 1

1 1 1

e

aa a ae

a a a a

ϕ ϕ ϕϕ

ϕ ϕ ϕ

− −

− −=

== =

luego: ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) 11 1 1

2por def.

e a a a a a aϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ −− − −= = ⇒ = .

iii) Como 11 , se cumple que H G a b H ab H−< ⇒ ∀ ∈ ∈ entonces:

Dados ( ) ( ) ( ),a b Hϕ ϕ ϕ∈ queremos probar que ( ) ( ) ( )1 :a b Hϕ ϕ ϕ− ∈


- 15 -

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 12ab a b a b H H Gϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ−− −= = ∈ ⇒ < .

Como ( )1 1 1Im y ImG G Gϕ ϕ ϕ= < ⇒ es un caso particular de lo anterior, luego 2Im Gϕ < . iv) Si 2K G< tenemos que:

( ) ( ){ }11 :K a G a Kϕ ϕ− = ∈ ∈ .

entonces si ( ) ( ) ( )12, ,a b K a b K Gϕ ϕ ϕ−∈ ⇒ ∈ < luego:

( ) ( ) 1a b Kϕ ϕ − ∈ pero por otro lado ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1a b a b abϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− − −= = ,

luego: ( ) ( ) ( )1 1 1 1

1ab K ab K K Gϕ ϕ ϕ− − − −∈ ⇒ ∈ ⇒ < .

Como el ( ) { }( ) { } ( )12 2 2 y N e e G Nϕ ϕ ϕ−= < ⇒ es un caso particular de lo

anterior. Corolario 1.7 Sean G1 y G2 grupos, y el morfismo 1 2: G Gϕ → . Entonces para todo

1a G∈ y para todo n entero se tiene:

( ) ( )nna aϕ ϕ= .

Demostración Primero consideremos

veces

, . .... ,n

n

n a a a a+∈ =¢ 123 entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) veces veces

. .... ...... .... nn

n n

a a a a a a a aϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= = = = 123 144424443

Si y 0n n∈ <¢ como todos los elementos de G1 son invertibles (grupo) para todo 1

1 1 tal que a G b G a b−∈ ⇒ ∃ ∈ = .

Consideremos ,m n= − entonces, como m +∈¢ , aplicando lo anterior a 1b G∈ :

( ) ( )mmb bϕ ϕ= ,

remplazando

( ) ( )

( ){ ( )( ) {11 1 ,

nn

nnn

aa

b b

b b b

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

−−

−− −

==

=

= =

PP123123


- 16 -

O sea:

( ) ( ) .nna aϕ ϕ=

Vamos a introducir algunas definiciones para clasificar los morfismos Definición 1.20 Dados dos grupos 1 2 y G G sea 1 2: G Gϕ → un morfismo decimos : i) que ϕ es un monomorfismo si la aplicación ϕ es inyectiva. Anotamos:

1 2 G G° o 1 2G Gy ; ii) que ϕ es un epimorfismo si es sobreyectiva y anotamos:

1 2 G Gϕ→ > ; iii) que ϕ es isomorfismo si ϕ es biyectiva y anotamos:

1 2 G Gϕ> → > ; (En este caso decimos que los grupos son isomorfos y anotamos: 1 2G G≅ ) iv) que ϕ es un endomorfismo cuando 1 2G G= ; v) si 1 2 , y G G ϕ= es un isomorfismo entonces decimos que es un automorfismo. Observación 1.8 i) Tenemos que la identidad es un morfismo más precisamente es un automorfismo.

ii) Sean 1 21 3

2 3

:morfismos :

:

G GG G

G G

ϕψ ϕ

ψ

→ ⇒ →

→ o es también un morfismo.

iii) Si 11 2 2 1: es un isomorfismo :G G G Gϕ ϕ −→ ⇒ → es también un isomorfismo

iv) La relación de ser isomorfo es una relación de equivalencia. Demostración a modo de ejemplo probaremos la iii) Sean 2,g h G∈ entonces si:

( ) ( )( ) ( )

1

1

g a a g

h b b h

ϕ ϕ

ϕ ϕ

−

−

= ⇒ =

= ⇒ =

multiplicando ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1ab a b gh gh ab g hϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− − −= = ⇒ = =

luego 1ϕ − es un morfismo biyectivo o sea, es un isomorfismo.


- 17 -

Observación 1.9 Si G es un grupo entonces: { }: : endomorfismoEndG G Gϕ ϕ= → ,

{ }: : es automorfismoAutG G Gϕ ϕ= → ,

son tales que ( ),EndG o es un monoide y

( ),AutG o es un grupo ya que ( )AutG EndG= U . Ejemplo 1.27 Sean los grupos ( ) ( ), y ,++ ⋅¡ ¡ y definimos :ϕ +→¡ ¡ como:

( ) , .xx e xϕ = ∀ ∈¡ Entonces como: ( ) ( ) ( )a b a ba b e e e a bϕ ϕ ϕ++ = = = , se cumple que ϕ es un morfismo. Además es monótona creciente y continua con:

( )

( )

lim 0 es un isomorfismo

limx

x

x

x

ϕϕ

ϕ

+

→−∞

→+∞

= ⇒= +∞

Ejemplo 1.28 Sea m +∈¢ , definimos : mπ →¢ ¢ como ( )x xπ = (clase de x módulo m). Entonces: { }:x x mb b x m= + ∈ = +¢ ¢ La proyección canónica, : mπ →¢ ¢

( ) ( ) ( )x y x y x y x yπ π π+ = + = + = + es un epimorfismo Ejemplo 1.29 Sea G un grupo abeliano, nos definimos:

1

:

.

G G

a a

τ−

→

Î

Entonces ( ) ( ) { ( ) ( )1 1 1 1 1

abeliano

ab ab b a a b a bτ τ τ− − − − −= = = = .

Luego es un morfismo, pero como todo elemento es invertible por ser G grupo tenemos que es sobreyectiva y por ser el inverso único, es inyectiva. Luego τ es un isomorfismo, (un automorfismo). Ejemplo 1.30 Generalizando el ejemplo anterior podemos considerar G grupo abeliano y n ∈¢ a:

:

n

n

G G

g g

ϕ →

Î


- 18 -

( )n End Gϕ ∈ ya que:

( ) ( ) { ( ) ( ) abeliano

n n nn n n

G

gh gh g h g hϕ ϕ ϕ= = = .

Ejemplo 1.31 Sea G un grupo y H G< entonces la inclusión:

:

i H G

h h

→Î

es un monomorfismo. Producto directo Uno de los problemas fundamentales en álgebra, al estudiar estructuras, es poder “descomponer” los objetos bajo estudio en términos de elementos más simples de entender. Por ejemplo al estudiar a los números enteros, se tiene que estos se representan como producto de primos. Cuando se estudian matrices no singulares, se tiene que estas se representan como producto de matrices elementales. Si el objeto bajo estudio es un espacio vectorial de dimensión finita junto con un operador T, éste se puede representar como suma directa de subespacios T-invariantes con propiedades adicionales (Teorema de descomposición primaria). En el estudio de grupos, un problema de gran importancia es la “descomposición” de un grupo como “producto” de subgrupos. Este resultado es un problema de gran dificultad, sin embargo, bajo buenas hipótesis (abeliano y finito) la respuesta es satisfactoria. Definición 1.21 Dados dos grupos ( ) ( )1 1 2 2, y ,G G⋅ ⋅ consideramos sobre el producto cartesiano 1 2G G× la operación :

( )( ) ( )

1 2 1 2

1 2

:

, , ,

G G G G

g h g h g g h h

⋅ × → ×′ ′ ′ ′⋅ ⋅Î

Esta operación definida así hace que ( )1 2 ,G G× ⋅ sea un grupo que llamaremos producto directo de grupos. Es claro que el neutro de este nuevo grupo es ( )1 2,e e . El opuesto: ( ) ( )1 1 1, ,a b a b− − −Î

Observación 1.10 Si tomamos el grupo ( )op

1 1,G ⋅ entendiendo a op1⋅ de la siguiente

manera:


- 19 -

op1 1a b b a⋅ = ⋅

y al grupo ( )op2 2,G ⋅ obtenemos estructuras equivalentes.

Podemos generalizar el producto para una familia de grupos de la siguiente forma: Definición 1.22 Dada una familia de grupos { }i i I

G ∈ definimos en el producto

cartesiano ( ){ }: i i i ii I

i I

G g g G i I∈

∈

= ∈ ∀ ∈∏

la operación ⋅como: ( ) ( ) ( )i i i ii I i I i I

g h g h∈ ∈ ∈⋅ =

entonces ,ii I

G∈

⋅ ∏ es un grupo que llamamos producto directo de grupos.

Observación 1.11 es abeliano es abeliano i i

i I

G G∈

⇔ ∏

Además en el caso que los grupos sean ( ) ( )1 2, y ,G G+ + abelianos entonces 1 2 1 2G G G G× = ⊕ Definición 1.23 Dada la familia de grupos { }i i I

G ∈ definimos los morfismos

inclusión y proyección de la siguiente forma:

( )( )

01

1 0

0

11

tal que , .

jji

j j jj I

j jj I

i i I

i i j

G G G

y y

g x

x e i j x g

π

∈

∈

∈

= ∀ ≠ =

∏ ²

ÎyÎ

y

Notamos: :j j j

j I

i G G∈

∏y

a la inclusión que es un monomorfismo, además: ( ) ( ) {0 0 0 0 0

definimos

Im :j j j i j j ji j j I

i G i e G G G≠ ∈

= = × = <∏ ∏% ,

entonces :

0 0j j jj I

G G G∈

≅ < ∏% .

Por otro lado si


- 20 -

con j

i

x Gi j xy yx

y G

∈≠ ⇒ =

∈

%%

además Id

jj j Giπ =o .

la proyección jπ es sobre por eso es un epimorfismo y la inclusión es inyectiva.

Definición 1.24 Decimos que un grupo G es cíclico si existe a G∈ tal que { }:nG a a n= = ∈¢

Notar que a diferencia de la definición 1.14 acá estamos diciendo que el subgrupo cíclico generado por a es el propio grupo G. Proposición 1.8 Sea G un grupo cíclico, G a= entonces:

i) Si : G Gϕ → % es un morfismo ( )Im ϕ⇒ es un subgrupo cíclico de G% .

ii) Si H G H< ⇒ es cíclico además si { }H e≠ y { }min : mn m a H+= ∈ ∈¢ entonces

nH a=

Demostración i) Sea / nb G n b a+∈ ⇒ ∃ ∈ =¢ entonces: ( ) ( ) ( )nnb a aϕ ϕ ϕ= =

esto se cumple para cualquier elemento, entonces ( ) ( )Im aϕ ϕ=

ii) Si H G< , en el caso que { }H e H e= ⇒ = pero como { }H e≠ entonces se

tiene que { }\ 0 tal que nn a H∃ ∈ ∈¢ ( ) 1n na a H−−⇒ = ∈ entonces:

{ }: mm a H φ+∈ ∈ ≠¢

y por lo tanto tiene mínimo, sea { }min : mn m a H+= ∈ ∈¢

tenemos que na H< (observación 1.2) lo que implica na H⊂ .

Probaremos ahora la otra inclusión Sea tal que xb H G x a b∈ < ⇒ ∃ ∈ =¢ supongamos primero que: a) 0x ≥ entonces si dividimos x por n tenemos: con y 0x nq r q r n= + ∈ ≤ <¢ como

{ ya que x nq r nq r n nq r

H

b a H a a a H a H a H a H+

∈

= ∈ ⇒ = ∈ ∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈


- 21 -

pero n es el menor entero positivo tal que 0na H r∈ ⇒ = entonces:

( )qn nb a a= ∈

luego nH a⊂ como se dan las dos inclusiones concluimos nH a=

b) Si 0x < tomamos ( ) 1x na a H−− = ∈ aplicamos lo anterior y concluimos que:

x na a− ∈

pero como na es un subgrupo ( ) 1

x

x n x n

a

a a b a a−−

=

⇒ ∈ ⇒ = ∈123 y también

tenemos la otra inclusión, luego nH a=

Proposición 1.9 (Teorema de clasificación ) Sea G un grupo cíclico entonces si: i) G G= ∞ ⇒ ≅ ¢

ii) mG m G= < ∞ ⇒ ≅ ¢ Demostración Como el grupo es cíclico { }:nG a a n= = ∈¢ definimos:

:

n

G

n a

ϕ →¢Î

Dicha aplicación es morfismo ya que: ( ) ( ) ( ) ,m n m nm n a a a m n m nϕ ϕ ϕ++ = = = ∀ ∈¢ tenemos que ϕ es epimorfismo. Sea ( ) { }Ker : nH n a eϕ= = ∈ = <¢ ¢

Puede suceder que: i) { }0H ϕ= ⇒ es inyectiva ϕ es isomorfismo es decir que y G G= ∞ ≅ ¢

ii) { }0H ≠ < ⇒¢ como los enteros son un grupo cíclico y { }0H ≠ por la

proposición 1.8 H es cíclico H n n⇒ = = ¢ . Considerando la proyección canónica

:

n

n n

π → ¢¢ ¢În

Se tiene que nn =¢ ¢¢ y definimos

ϕ G¢ π ≅ ˆ ϕ

n¢ ¢


- 22 -

ˆ :

n

n

G

n a

ϕ →¢Îa

De esta forma ˆϕ ϕ π= o y y π ϕ son sobreyectiva ϕ⇒ es sobreyectiva , además : ( )1 2 1 2 1 2mod :n n n n n h n n nh= ⇔ = ⇔ ∃ ∈ = +¢ y entonces:

{1 2 2 2 2

hn n nh n n nnh n

e

a a a a a a a+

=

= = = =

lo que prueba que ϕ es inyectiva luego es un isomorfismo. Proposición 1.10 Dado un grupo G y un elemento a G∈ ya definimos el orden de a como: a a= entonces:

i) Si 0k

k

a e ka

a a k

= ⇔ == ∞ ⇒

= ⇔ =l l

ii) Si

{ }

( )

min :

mod

k

k

k

m k a e

a m a e k m

a a k m

+ = ∈ =

= < ∞ ⇒ = ⇔ = = ⇔ =

l

¢&l

Además si | entonces n mnn m a =

Demostración Consideremos el siguiente morfismo:

:

n

a

n a

ϕ →¢Î

Al igual que la proposición anterior es morfismo y es sobreyectiva por definición. Si a a= ∞ ⇔ = ∞ ⇒ por la proposición anterior que a ≅ ¢ es decir que ϕ es

un isomorfismo ( ) { }Ker 0ϕ⇒ = o sea que:

0

0

k

k k k

a e k

a a a a e a e k k− −

= ⇔ =

= ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ =l l l l l

Si ( ) { } sea Ker : na m H n a eϕ+= ∈ = = ∈ =¢ ¢

Pueden darse los casos: i) { }0 es un isomorfismoH ϕ= ⇒

ii) { }0 H ≠ , como H H m< ⇒ =¢ ¢ y entonces por la proposición anterior:

ma m≅ =¢ ¢¢


- 23 -

{ } { }min : min : nH m m n n H n a e+ += ⇒ = ∈ ∈ = ∈ =¢ ¢ ¢

esto último por se definición de H De acuerdo a la proposición anterior:

ˆ :

m

n

a

n a

ϕ →¢Î

es un isomorfismo, y como { }0, 1,..., 1m m= −¢ entonces:

( ) ( ) ( ){ } { }2 1ˆ ˆ ˆ0 , 1 ,..., 1 , , ,..., ma m e a a aϕ ϕ ϕ −= − =

{ } es consecuencia de min :m na e m n a e+= = ∈ =¢ y si:

{ {

( ) ( )( )

ˆ ˆ ˆ con inyectiva en

mod

k

m

a a

k k

k m

ϕ ϕ ϕ

=

= ⇒ =

∴ =

l

P P

l l ¢l

( )0 0 mod | o k ka e a a k m m k k m= ⇔ = ⇔ = ⇔ = & Consideremos ahora el caso que |n m :

( )sea por lo anterior se tiene que es decir |tn n nta t a e a e m nt= ⇒ = = ⇒

por otro lado sabemos que { ( )|

|mnm n m

nn m

e a a t= = ⇒

es decir que tenemos :

}|

| ||

n m

m mn n

mn

m nt t tt

⇒ ⇒ =

Proposición 1.11 Dado un grupo cíclico G a= entonces:

i) Si 1,G a a−= ∞ ⇒ son los únicos generadores de G.

ii) Si kG m k a= < ⇒ genera a G si y solo sí ( ), 1mcd k m = Demostración

i) En este caso como ya vimos en la proposición 1.9 G ≅ ⇒¢ alcanza con probar que 1, y 1− son los únicos generadores de ( ),+¢ y esto se cumple ya que:

Si y 1 ya que 1m m m m m∈ ≠ ± = ≠ ∉¢ ¢ ¢ ¢ ii) En este caso por proposición 1.9 mG ≅ ¢ entonces alcanza con probar que

k genera a ( ), 1m mcd k m⇔ =¢


- 24 -

Entonces:

( )( )

genera a 1 :

1 1 mod , :

1 , 1

m m mk k k b

k b kb m b h

kb hm mcd k m

⇔ ∈ = ⇔ ∃ ∈

= ⋅ ⇔ = ⇔ ∃ ∈

= + ⇔ =

¢ ¢ ¢¢

Ejemplo 1.32 { }6 0, 1, 2, 3, 4, 5=¢ se tiene que 6 6=¢ y:

6 1 5= =¢

así como: 8 1 3 5 7= = = =¢

y 7 1 2 3 4 5 6= = = = = =¢

Ejemplo 1.33 Sea { }: 1mG z z ∗= ∈ = <£ £

Entonces como 2

1 con 0,1,..., 1k i

mmz z e k mπ

= ⇔ = = −

G esta generado por 2 i

meπ

ξ = Luego

{ }2 11, , ,..., mG ξ ξ ξ ξ −= = es cíclico de orden n luego

por la proposición 1.9 nG ≅ ¢ Así por ejemplo para el caso 4m =

4 1 1,z z i= ⇔ = ± ± los generadores en este caso son i± En general los generadores de G son de la forma: ( )2

, 1k i

mk e mcd k mπ

ξ = = y se llaman raíces primitivas de orden m de 1. Definición 1.25 Sea G un grupo , H G< y ,a b G∈ definimos:

( )( )

1

1

mod

mod

d

i

a b H ab H

a b H b a H

−

−

≡ ⇔ ∈

≡ ⇔ ∈

Proposición 1.12 Estas relaciones y d i≡ ≡ son relaciones de equivalencia y veremos además que son distintas. Demostración i) Reflexiva ( ) {1modd

e

a a H aa H−

=

≡ ⇒ ∈

2ξ ξ


- 25 -

ii) Simetría ( )( )

{ ( )

( ) ( )( )

11 1

subgrupo

1 11 1 1 1

mod

y como

Luego mod

d

d

a b H ab H ab H

ab b a ba H

b a H

−− −

− −− − − −

≡ ⇒ ∈ ⇒ ∈

= = ∈

≡

iii) Transitiva

( )( ) { { ( )

11 1 1

1 es subgrupo

modmod

modd

dH ed

a b H ab Hab bc H ac H a c H

b c H bc H

−− − −

−=

≡ ⇒ ∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈ ⇒ ≡

≡ ⇒ ∈

idéntica demostración con la relación i≡ o si se prefiere usando el grupo

( )op,G ⋅ como en la observación 1.10 es decir:

op

op

:

G G G

a b b a

⋅ × →

⋅ ⋅Î

tal que la operación ⋅es la del grupo original. Llamaremos para abreviar a

( )op op,G G⋅ = entonces:

( ) ( )1 op 1 opmod mod en i da b H b a H a b H a b H G− −≡ ⇔ ⋅ ∈ ⇔ ⋅ ∈ ⇔ ≡ esta última ya probamos que es una relación de equivalencia, luego i≡ también. Definición 1.26 Dado un grupo G , H G< y sea a G∈ definimos el conjunto Ha que llamamos coclase a derecha de H como: { }:Ha ha h H= ∈ de igual manera definimos la coclase a izquierda de H como: { }:aH ah h H= ∈ Proposición 1.13 Dado el grupo G, H G< y a G∈ las coclases a derecha e izquierda las podemos escribir como:

( ){ }( ){ }

: mod

: modd

i

Ha g G g a H

aH b G g a H

= ∈ ≡

= ∈ ≡

Demostración

Sea ( )

{

1

1 1

mod tal que:

d

e

g a H ga H h H

ga h g a a ha g ha

g Ha

−

− −

=

≡ ⇒ ∈ ⇒ ∃ ∈

= ⇒ = ⇒ =

⇒ ∈

Recíprocamente:


- 26 -

Si

{( )

1 1 1

tal que:

mode

d

g Ha h H

g ha ga h aa h ga H

g a H

− − −

=

∈ ⇒ ∃ ∈

= ⇒ = = ⇒ ∈

∴ ≡

Análogamente para la coclase izquierda. Observación 1.12 Toda relación de equivalencia en un conjunto G establece un partición del mismo en clases de equivalencias, la proposición anterior nos dice que esas clases de equivalencias son las coclases. Como las clases de equivalencia son disjuntas o coinciden con las coclases pasa lo mismo. Proposición 1.14 Dado un grupo G, H G< entonces:

1

1

Ha Hb ab H

aH bH b a H

−

−

= ⇔ ∈

= ⇔ ∈

Demostración ⇒ por la observación anterior Ha Hb= ⇒que la clase de equivalencia de a es la misma que la clase de b luego si a y b pertenecen a la misma clase significa que están relacionados, es decir: ( ){ 1

def.

modda b H ab H−≡ ⇒ ∈

{ ( )1

def.

si moddab H a b H−⇐ ∈ ⇒ ≡ ⇒ que la clase de equivalencia de a es la misma

que la clase de equivalencia de b o sea Ha Hb= Análogamente se prueba que: 1aH bH b a H−= ⇔ ∈ Proposición 1.15 Dado el grupo G, y H G a G< ∈ entonces: H Ha aH a G= = ∀ ∈ Demostración Consideremos la siguiente aplicación entre conjuntos:

:

a H Ha

h ha

ϕ →

Î

aϕ es inyectiva ya que por la proposición 1.3 (i) (Propiedad cancelativa) se tiene: ah ah h h′ ′= ⇒ = y es sobreyectiva ya que si { ( )

def .

tal que ax Ha h H x ha hϕ∈ ⇒∃ ∈ = = luego:

H Ha= análogamente se prueba que


- 27 -

H aH= Observación 1.13 Dado un grupo G y H G< , entonces G es unión disjunta de coclases derecha, al igual que es unión disjunta de coclases izquierda. En general y Ha aH no tienen porque coincidir. Si a H∈ es claro que Ha y aH coinciden con H. Hay una que es la misma en ambas como e H∈ se tiene: He eH H= = Definición 1.27 Dado un grupo G y H G< definimos el conjunto cociente a derecha como:

( )modd

GD H= ≡

y definimos conjunto cociente a izquierda a:

( )modi

GI H= ≡

en forma explicita tenemos que:

{ }

{ }:

:

D Ha a G

I aH a G

= ∈

= ∈

Proposición 1.16 Dado el grupo G y H G< , y sean D e I los conjuntos cocientes derecha e izquierda respectivamente entonces: D I= Demostración Consideremos la siguiente aplicación

1

:

D I

Ha a H

ϕ−

→

Î

tenemos que es inyectiva ya que:

( ) ( ) ( )1

1 11 1 1 1 1 1

ba

a H b H b a H ab ba H Ha Hb−

− −− − − − − −

=

= ⇔ ∈ ⇔ = ∈ ⇔ =14243

y es sobre por definición luego es biyectiva y por lo tanto: D I= Definición 1.28 Dado un grupo G , H G< definimos el indice de H en G por: [ ]:G H D I= = Por la proposición anterior está bien definido.


- 28 -

Ejemplo 1.34 Sea , G H G H m= < ⇒ =¢ ¢ ( )modda b H a b H m≡ ⇒ − ∈ = ¢

en este caso [ ]:m mD L m m= = ⇒ = =¢ ¢ ¢ ¢ Ejemplo 1.35 { }Si H e=

( ) 1 1modda b H ab e ab b eb a b− −≡ ⇔ = ⇔ = ⇔ =

entonces { }Ha a= y lo mismo para la relación i≡ luego:

{ } Ha aH a a G D I= = ∀ ∈ ⇒ = además existe una aplicación biyectiva

{ }:

D G

a a

ϕ →Î

por lo que D I G= ≅ entonces: { }[ ]:G e G=

Ejemplo 1.36 Veremos que:

[ ]Si

: 1

H GH G

G H

< ⇔ ==

⇒ que el índice sea 1 implica que hay solo una clase { }: D Ha a G a G Ha He H= ∈ ∀ ∈ ⇒ = =

y como:

a G

G Ha H∈

= =∪

⇐ Si H G= dado un a G∈ se tiene que:

{ ( )1

def. subgrupo

moddb G H ab H a b H Ha G−∀ ∈ = ⇒ ∈ ⇒ ≡ ⇒ =

luego ( ) { } 1modd

G GD e DGH= = = ⇒ =≡ o sea:

[ ]: 1G G = Definición 1.29 Dado un grupo G , H G< sea un conjunto G

HS G⊂ , decimos que es

un conjunto de representantes de las clases a derecha de H si GHS tiene

exactamente un elemento de cada clase de equivalencia. Observar que por la definición: [ ]# :G

HS G H= y que:


- 29 -

( )# 1GHS H =∩

Teorema 1.17 Dado un grupo G, sean K H G< < entonces: [ ] [ ][ ]: : :G K G H H K=

además si [ ] [ ] [ ]: : y : es G K G H H K< ∞ ⇒ < ∞ en general si dos son finitos implica que el tercero también Demostración Sea G

HS el conjunto de representantes de las coclases a derecha de H

en G y sea HKS el conjunto de representantes de K en H entonces:

[ ][ ]

# :

# :

GH

HK

S G H

S H K

=

=

Por definición del conjunto de representantes y de coclase se tiene:

GH

HK

a S

b S

G Ha

H Kb

∈

∈

=

=

ââ

tenemos que probar que:

( ), G GH Ka b S S

G Kba∈ ×

= â

Primero probaremos que se trata de una unión luego justificaremos que es disjunta. Sea , tal que:G

Hg G a S h H∈ ⇒ ∃ ∈ ∈ g ha=

por otro lado si , tal que:HKh H b S k K∈ ⇒ ∃ ∈ ∈

h kb= sustituyendo: g kba= luego g Kba∈ esto prueba la unión. Para probar que son disjuntos consideremos que g Kba Kb a′ ′∃ ∈ ∩ esto implica: , tal que k k K g kba k b a′ ′ ′ ′∃ ∈ = =

entonces {{1 1 1 1

H K

H

b k k b a a a a H Ha Ha− − − −

∈ ∈

∈

′ ′ ′ ′ ′= ⇒ ∈ ⇒ =123

y como tomamos un solo

representante por clase a a′= y sustituyendo

{1 1 1

K

kba k b a kb k b

k k b b b b K Kb Kb− − −

∈

′ ′ ′ ′= ⇒ =

′ ′ ′ ′∴ = ⇒ ∈ ⇒ =

y como tomamos un solo representante se tiene b b′= y luego:


- 30 -

Kba Kb a′ ′= Entonces de tener intersección son la misma y se trata de una unión disjunta. Sea { }: ,G H G H G

K K H K HS ba b S a S S S= ∈ ∈ = ×

entonces:

{ { {

[ ] [ ][ ]

# # #

: : :

G H GK K HS S S

G K H K G H

= ⋅

=P P P

Corolario 1.18 (Teorema de Lagrange ) Dado un grupo G , H G< entonces [ ]:G G H H= ⋅ sean finitos o infinitos. Demostración Apliquemos el teorema anterior al caso { }e H G< < entonces:

{ }[ ] [ ] { }[ ]

[ ]

: : :

= :

G e G H H e

G G H H

=

⋅PP P

12314243 14243

además en particular si:

[ ]

[ ]|

: : |

H GG GG H Hy G H GH G

< ∞ ⇒ ⇒ =

<

y si

[ ]:

HG

G H

< ∞ ⇒ < ∞< ∞

Corolario 1.19 Dado un grupo G cuyo orden es finito, entonces el orden de un elemento cualquiera del grupo divide al orden del mismo Es decir si a G∈ ,y G es finito entonces

|a G Demostración Aplicamos el corolario anterior para H a= como a a= tenemos que : [ ] {: |

G

G G a a a G<∞

= ⋅ ⇒


- 31 -

Corolario 1.20 Todo grupo finito de orden primo, es cíclico y en consecuencia abeliano. Demostración Sea G un grupo tal que 1G p= > ⇒ , con g G g e∃ ∈ ≠ entonces

g es un subgrupo de G que como contiene a { },e g es de 1g > . Pero como por

el teorema de Lagrange , g divide a G que es primo y 1g g p≠ ⇒ = , o

sea que G g= es cíclico y por lo tanto abeliano. Ejemplo 1.37 Probar que si G es un grupo tal que 5G ≤ entonces G es abeliano.

Primero si { }1G G e= ⇒ =

Ahora si 2,3 o 5G G p= ⇒ = primo y por el corolario anterior es cíclico y por lo tanto abeliano. Sea ahora 4G = en este caso si existe tal que g G G g∈ = igual que antes G es cíclico y por tanto abeliano entonces supongamos que se tiene que y g G g e G g∀ ∈ ≠ ≠

Pero por otro lado como g G g G< ∀ ∈ entonces aplicando Lagrange :

2

1

| 2g G g

g e

g g−

⇒ =

⇒ =

∴ =

Luego dados ,x y G∈ se cumple:

( ) 1 1 1xy xy y x yx− − −= = = por lo tanto es abeliano Definición 1.30 Dado un grupo G y los subconjuntos ,H K G⊂ definimos : { }: ,HK hk h H k K= ∈ ∈ en general si ,H G K G< < entonces no tiene por que ser HK un subgrupo de G Ahora si ( ),G + es abeliano entonces

{ HK H K G

H K

= ∨ <

+P

Proposición 1.21 Dado el grupo G, sean , y H G K G< < con ,H K< ∞ < ∞ entonces:

H K

HKH K

⋅= ∩


- 32 -

Demostración Tenemos que por ser H K K<∩ entonces:

[ ] {:K

KK H K n

H K+

<∞

= = ∈∩ ¢∩

entonces 1 2, ,..., tal que:nk k k K∃ ∈

( )1

n

ii

K H K k=

= ∩â

tenemos que demostrar que:

{1

n

ii

HK Hk

H K H↓ =

=

⊂∩â

veamos primero que es una unión simple.

Como {1

n

i iiK

H k HK Hk HK=∈

⊂ ⇒ ⊂∪ para la otra inclusión:

Sea ,h H k K∈ ∈ entonces como ( )1

n

ii

K H K k=

= ∩â se tiene que

{ {

1

/ con i

n

i i iH H K H i

i k ak a H K

hk h a k Hk HK Hk∈ ∈ ⊂ =

∃ = ∈

= ∈ ⇒ ⊂∩

∩

∪

luego 1

n

ii

HK Hk=

= ∪

veamos ahora que son disjuntos, supongamos que i jHk Hk φ≠∩ entonces por la

observación 1.12 {i jHk Hk⇓

⇒ =

{ {

11 2 1 2

1 1 11 2

i j i j

i j i j

HK

h k h k k h h k

k k h h k k H K

−

− − −

∈∈

= ⇒ =

⇒ = ⇒ ∈ ∩

entonces: ( )( )modi d jk k H K≡ ∩

y como tomamos un solo representante por clase i jk k= luego la unión es disjunta y

{1

n

ii H

HK Hk n H= =

= =∑

HK n H∴ = sustituyendo el n tenemos la tesis


- 33 -

H K

HKH K

⋅= ∩

Proposición 1.22 Dado el grupo G , , H G K G< < entonces se cumple: i) [ ] [ ]: :K H K G H≤∩

ii) Si [ ][ ] [ ]

:

: :

G H

K H K G H G KH

< ∞

= ⇔ =∩

Demostración Consideremos los siguientes conjuntos cocientes

( ) { } {

( )( ) ( ){ } {not.

not.

:mod

:mod

d

d

G GHg g G HH

K KH K k k K H KH K

= ∈ =≡

= ∈ =≡ ∩ ∩∩

y sea el diagrama adjunto Tenemos definida una aplicación

( )

:

GKH K H

H K k Hk

ϕ →∩∩ Î

es decir que ( )( )H K k Hkϕ =∩

tomemos dos elementos iguales en la imagen o sea que ( )1 2 modk k H≡

( ) ( )1

1 2 1 2 11 2 1 21

1 2 1 2

como ,

Hk Hk k k Hk k H K H K k H K k

k k K k k K

−−

−

⇒ = ⇒ ∈ ⇒ ∈ ⇒ =∈ ⇒ ∈

∩ ∩ ∩

luego ( )( )1 2 moddk k H K ϕ≡ ⇒∩ es inyectiva , entonces la cantidad de coclases de

H K∩ son menor o igual a las coclases de H.

{

[ ] [ ]

: :

GKH K H

K H K G H

≤

≤

PP∩14243∩

ii) Siendo [ ]:G H < ∞ tenemos que probar que [ ] [ ]: :K H K G H G HK= ⇔ =∩ y esto se cumple ϕ⇔ es sobreyectiva.

⇒ Sea ϕ es sobreyectiva; tomemos ( )

{2 g

Gg G Hg Hπ=

∈ ⇒ ∈

como ϕ es sobreyectiva tal que k K Hk Hg⇒ ∃ ∈ = y esto último a su ves implica

i K G 1π 2π ϕ

KH K∩ G H


- 34 -

{}

11 2 1 2 2 1, tal que

K

H

h h H h k h g h h k g g HK∈

−

∈

∃ ∈ = ⇒ = ⇒ ∈

Sea g G⇐ ∈ queremos ver si {( )( )

tal que

k K Hk Hg

H K kϕ

∃ ∈ =P

∩

y como y tal que G HK h H k K g hk= ⇒ ∃ ∈ ∈ = despejando:

( )1 1 moddgk h H gk H g k H Hk Hg− −= ∈ ⇒ ∈ ⇒ ≡ ⇒ = ϕ⇒ es sobreyectiva.

Corolario 1.23 Dado el grupo G y los subgrupos H,K si [ ] [ ]: y :G H G K< ∞ < ∞ entonces: i) [ ]: yG H K < ∞∩

[ ] [ ] [ ]: : :G H K G H G K≤ ⋅∩ ii) y se da la igualdad [ ] [ ] [ ]: : :G H K G H G K G KH HK= ⋅ ⇔ = =∩ Demostración Aplicando la proposición 1.17 tenemos:

[ ][ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ]

:

:

: :: : :

: :

G H

G K

G K K H KG H K G K G H

G H H H K

≤

≤

⋅ = ≤ ⋅ ⋅

64748∩∩ ∩14243

ii) además

[ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]

: :: : :

: :

K H K G H G HKG H K G H G K

H H K G K G KH

= ⇔ == ⋅ ⇔ = ⇔ =

∩∩ ∩

Normalidad Dado un grupo G , un subgrupo N donde las relaciones de equivalencia derecha e izquierda módulo N coinciden juegan un papel importante para determinar la estructura del grupo G así como para la naturaleza de los morfismo de dominio G. Proposición 1.24 Dado un grupo G, sea N G< las siguientes afirmaciones son equivalentes: i) Las relaciones izquierda derecha módulo N son iguales es decir: ( ) ( )mod modd iN N≡ = ≡


- 35 -

ii) Toda coclase izquierda de N, es una coclase derecha de N. iii) Para todo a G∈ se cumple: aN Na= iv) Para todo a G∈ se cumple: 1aNa N− ⊂ v) Para todo a G∈ se cumple: 1aNa N− = Demostración Haremos la demostración como está esquematizada en el diagrama adjunto. i) iii)⇔ es inmediato iii) ii)⇒ es trivial ii) iii)⇒ Sea a G∈ entonces por hipótesis existe

tal que b G∈ aN Nb=

lo que quiere decir que a Nb∈ , por ser Na Nb φ≠∩ implica que Na Nb= y por lo tanto sustituyendo aN Na= iii) iv)⇒ Sea , entonces n N an aN Na∈ ∈ = lo que implica: tal que n N an na∃ ∈ =% % luego 1 1ana n N aNa N− −= ∈ ⇒ ⊂% iv) v)⇒ Por hipótesis

1 a G aNa N−∀ ∈ ⊂ luego como 1a G− ∈ también se cumple: 1 1a Na N N aNa− −⊂ ⇒ ⊂ y por lo tanto 1aNa N− = v) iii)⇒ Como {1 1 se cumple que

e

a G aNa N aN a a Na− −

=

∀ ∈ = ⇒ =

luego aN Na= Definición 1.31 Dado un grupo G, sea N G< decimos que es subgrupo normal si verifica alguna de las condiciones de la proposición anterior. Escribimos N G< Ejemplo 1.38 Dado un grupo cualquiera G los subgrupos triviales son normales es decir los subgrupos { } y e G ya que:

i) ii) iii) v) iv)


- 36 -

1 1 y geg e g G aGa G a G− −= ∀ ∈ ⊂ ∀ ∈ Ejemplo 1.39 Si G es abeliano todo subgrupo de G es trivialmente normal. El recíproco es falso, recordar los cuaterniones. Ejemplo 1.40 Dado un grupo G probar que:

N H G

N HN G

< < ⇒

<<

Si 1 N G aNa N a G−⇒ ⊂ ∀ ∈< en particular h H h G∀ ∈ ⇒ ∈ ⇒ 1hNh N N H− ⊂ ⇒ < Ejemplo 1.41 Sean dos grupos 1 2,G G y 1 2: G Gϕ → un morfismo entre los mismos probar que:

1ker Gϕ <

Ya que ( ){ }1ker :g G g eϕ ϕ= ∈ = entonces 1ker y g a Gϕ∀ ∈ ∈ se tiene:

( ) ( ) ( ){ ( ) ( ) ( )1 11

e

aga a g a a a eϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− −−

=

= = =

luego 11 ker kera G a aϕ ϕ−∀ ∈ ⊂

1ker Gϕ∴ < Una forma de buscar subgrupos normales es con los núcleos de morfismos. Observación 1.14 De la definición ( ) ( )mod modd iN G N N⇔≡ = ≡< y

podemos hablar de una sola relación ( )mod N≡ Entonces

{ }:G gN g GN = ∈

se tiene que si:

( )

( )( )1 2

1 1 2 21 2

modmod

mod

g g Ng h g h N

h h N

≡ ⇒ ≡

≡

Demostración

( )

( )

11 2 1 2

11 2 1 2

mod

mod

g g N g g N

h h N h h N

−

−

≡ ⇒ ∈

≡ ⇒ ∈

entonces sea: {1 1 1

1 1 2 2 1 2

N

g h h g g Ng− − −

∈

= y como 1 1N G g N Ng⇒ =< luego existe ñ N∈

tal que 11 1 2 1g h h ñg− = sustituyendo:


- 37 -

{ ( )1 1 11 1 2 2 1 2 1 1 2 2 mod

N

g h h g ñ g g N g h g h N− − −

∈

= ∈ ⇒ ≡

Luego podemos definir el producto en G N como sigue

Definición Dado un grupo G , y N G< vamos a definir una operación binaria en G

N llamada producto como sigue:

( )1 2 1 2 ,

G G GN N N

g g g g

× →i

Î

es decir que 1 2 1 2 1 2 ,g g g g g g G= ∀ ∈i Proposición 1.25 Dado el grupo G y el subgrupo normal N sea

{ }:G gN g GN = ∈

entonces ( ),GN i admite una estructura de grupo y si consideramos la proyección

canónica : GG Nπ → definida como ( )g g gNπ = = entonces esta aplicación es

un epimorfismo de grupos y si G < ∞ entonces:

GGN N

=

Demostración Asociativa ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

asoc. grupo

g g g g g g g g g g g g g g g g g g= = = = =i i i i i i

Neutro El neutro de G N es e

Inverso El inverso de la clase de g es la clase del inverso:

( ) ( )1 1g g− −= ya que:

( ) ( )1 1g g gg e− −= =i

Luego ( ),GN i es un grupo

Consideremos ahora : GG Nπ → como:

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2g g g g g g g gπ π π= = =i i se trata de un morfismo de grupos sobreyectivo ⇒ es un epimorfismo.


- 38 -

Además: ( ){ } { } ( ){ }ker : : : modg G g e g G g e g G g e N Nπ π= ∈ = = ∈ = = ∈ ≡ =

ker Nπ∴ = Por otro lado Lagrange

{ [ ] {por def.

:G

GG G NN N<∞

= =

Observación 1.15 En los subgrupos normales N G< la condición que más usamos para probar que es normal es: 1 aNa N a G− ⊂ ∀ ∈ y esto en cierto sentido nos permite conmutar, es decir: 1 tal que ,ñ N ana ñ a G n N−∃ ∈ = ∀ ∈ ∀ ∈ o sea dados , tal que a G n N ñ N an ña∈ ∈ ⇒ ∃ ∈ = Proposición 1.26 Sea G un grupo ,K y N subgrupos de G entonces se cumple: i) Si N G NK KN N K G⇒ = = ∨ << ii) Si ,N G K G NK G⇒< < < iii) Si { } , y N G K G N K e=< < ∩ entonces: ,nk kn n N k K= ∀ ∈ ∈ Demostración i) Como N G kN Nk k K KN NK⇒ = ∀ ∈ ⇒ =< entonces Dados:

( )( ) {}

{{

11 2 1 1 1 11 1 2 2 1 1 2 2

2 21 2

obser. anterior

1 1 11 2 2 1 2

1 1 11 1 2 2 1 1 2

,

,

tal que sustituyendo

KN NK

K

N K

k k K n k NKn k n k n k k n

n k NKn n N

N G ñ N k k n ñk k

n k k n n ñ k k NK NK G

∈ =

− − −

∈

− − −

− − −

∈ ∈

∈ ∈ ⇒ ⇒ = ∈∈

⇒ ∃ ∈ =

= ∈ ⇒ <

64748

<

Además como N K NK G NK N K⊂ < ⇒ = ∨∪ ii) sea , ,n N k K g G∈ ∈ ∈ entonces:

{} por ser

1 1 1

por ser

K K G

N N G

gnkg gng gkg NK

∈

− − −

∈

= ∈

<

<

es decir que: 1gNKg NK NK G− ⊂ ⇒ < iii) Sea y n N k K∈ ∈ entonces:


- 39 -

{

}

} { }

1 1

por ser 1 1

1 1

por ser

K

K K G

N

N N G

nkn k K

nkn k N K e

n kn k N

∈

− −

∈ − −

∈− −

∈

∈

⇒ ∈ =

∈

<

<

∩123

1 1 nkn k e nk kn− −∴ = ⇒ = Como aplicación de la proposición anterior veremos el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.42 Dado un grupo G sean H, K dos subgrupos tales que: { }, y H G K G H K e=< < ∩ entonces:

( )

:

,

H K HK

h k hk

Φ × →

Î

es un isomorfismo de grupos. Demostración Por la proposición anterior: Si , , H G K G HK G< ⇒ << (parte (i)). Como además { } y y K G H K e hk kh h H k K= ⇒ = ∀ ∈ ∀ ∈< ∩ (parte (iii)). Entonces:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2, , , , ,h k h k h h k k h h k k h k h k h k h k↔

Φ ⋅ = Φ = = = Φ Φ

además ( ),e e ee eΦ = = ⇒ Φ es un morfismo de grupos

( ){ }ker , : ,h k H K hk eΦ = ∈ × =

pero que { } ( ){ }1 1 ker ,H K

hk e h k H K e h e k e e− −

∈ ∈= ⇒ = ∈ = ⇒ = = ⇒ Φ =∩ y por lo

tanto Φ es inyectiva. ( ), tal que ,p HK h H k K p hk h k p∀ ∈ ⇒ ∃ ∈ ∃ ∈ = ⇒ Φ = ⇒ Φ es sobre.

Luego Φ es un isomorfismo y: H K HK× ≅ Propiedad universal del cociente Proposición 1.27 Dado los grupos 1G y 2G sea 1 2: G Gϕ → un morfismo de grupos

en que 1ker , N N Gϕ⊂ < entonces existe y es único el morfismo 12ˆ : G GNϕ → tal

que conmuta el diagrama. Y además:


- 40 -

ˆIm Im

kerˆker N

ϕ ϕϕϕ

=

=

Demostración Para que conmute el diagrama se tiene que cumplir ϕ π ϕ=o es decir:

( )( ) ( )( ) ( )

ˆ

ˆ

a a a G

a a

ϕ π ϕ

ϕ ϕ

= ∀ ∈

=

ϕ está bien definida es decir que no depende del representante. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆSi moda b N a b a bϕ ϕ ϕ ϕ≡ ⇒ = ⇒ =

y esto se cumple porque: ( ) 1Si mod kera b N ab N ϕ−≡ ⇒ ∈ ⊂

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1

11

ab e

a b a b e

a b

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

−

−−

∴ =

= =

⇒ =

P14243

veremos ahora que ϕ es un morfismo.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆab ab ab a b a bϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= = = =

luego es un morfismo que además es único Como el diagrama conmuta y π es sobreyectiva implica que las imagines son iguales. ( )

( ){ ( )ˆ ˆker

a

a aN a e a eϕ

ϕ ϕ ϕ=

= ∈ ⇔ = ⇔ =

es decir que:

{ } kerˆker : keraN a Nϕϕ ϕ= ∈ =

Proposición 1.28 (Primer Teorema de Isomorfismo ) Sea 1 2: G Gϕ → un morfismo entonces:

1Im kerGϕ ϕ≅

en particular si ϕ es epimorfismo (sobre) entonces:

12 ker

GG ϕ≅

ϕ 1G 2G π # ϕ

1GN


- 41 -

Demostración Sea kerN ϕ= sabemos que es normal a 1G (ejemplo 1.41) y entonces por proposición anterior existe y es único el morfismo

12ˆ : ker

G Gϕ ϕ → donde ˆIm Imϕ ϕ= .

ˆ1 ˆIm ImkerG ϕ ϕ ϕϕ → > =

de acuerdo a la proposición anterior

{ }kerˆker ker eNϕϕ ϕ= ==

por lo que ϕ es inyectiva. Luego

( )

1 ˆ Im Imker

G

a a

ϕ ϕϕ

ϕ

≅ =

Î a

Proposición 1.29 Sean dos grupos 1 2 y G G , 1 2: G Gϕ → morfismo entre ellos con

( )1 1 2 2 1 2, tal que N G N G N Nϕ ⊂< < entonces:

Existe un único morfismo 1 2

1 2

ˆ : G GN Nϕ →

tal que el diagrama conmuta y además ϕ es

inyectiva si y solo sí ( )11 2N Nϕ −= y ϕ es

sobre si y solo sí 2 2 2Im ImG N Nϕ ϕ= = Demostración Para la demostración vamos a aplicar la propiedad universal del cociente a la aplicación 2π ϕo para ello primero

necesitamos ver si ( )1 2kerN π ϕ⊂ o

Como por hipótesis ( )1 2N Nϕ ⊂ entonces

( ) ( ) ( )( )

( )1 2 2

1 2ker

a N a N a e a e

N

ϕ ϕ π ϕ

π ϕ

∀ ∈ ⇒ ∈ ⇔ = ⇔ =

∴ ⊂ o

luego existe ϕ definida por ( ) ( )1 2

ˆ N Na aϕ ϕ= clase de ( )aϕ en N2

clase de a en N1 tal que

( )2

1

kerˆker Nπ ϕϕ = o

ϕ 1G 2Im Gϕ ⊂ π ≅ ϕ

1ker

Gϕ

ϕ 1G 2G Ð 1π 2π ϕo 2π Ñ

1

1

GN 2

2

GN

ϕ


- 42 -

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2

12 2 2ker

a a e a N

a a N a N

π ϕ ϕ ϕ

π ϕ ϕ ϕ −

= = ⇔ ∈

∴ ∈ ⇔ ∈ ⇔ ∈

oo

entonces resulta

( )12

1

ˆker NN

ϕϕ−

=

y por lo tanto será inyectiva si y solo sí

( ) ( ) { }1

1 22 1

1

ˆker NN N eNϕϕ ϕ

−− = ⇔ = =

además ϕ es sobre ( )( )

{2 1 ˆ tal que a

b G a G a bϕ

ϕ=

∀ ∈ ∃ ∈ = es decir:

( ) ( ) ( )122 2

2 en tal que ImGb a n N b a n b n a NNϕ ϕ ϕ ϕ−= ⇔ ∃ ∈ = ⇔ = ∈

luego si 2 2 2Im ImG N Nϕ ϕ= = Corolario 1.30 (Segundo Teorema de Isomorfismo ) Dado el grupo G si se cumple que , N G K G<< entonces:

N NK

N K K

<∩ < y

K NKN K N

≅∩

Demostración Si N G< como N NK G< < entonces por el ejemplo 1.40:

N NK< Por otro lado sea ,a K b N K∈ ∈ ∩ entonces:

}{

11 1

1

K

N G

b K aba Ka b a aba N K

b N aba N

∈ −− −

−∈

∈ ⇒ ∈ = ⇒ ∈ ∈ ⇒ ∈ <

%∩%

luego ( ) {1

por def.

, a K a N K a N K N K K−∀ ∈ ⊂ ⇒∩ ∩ ∩ <

Definimos ahora la aplicación inclusión :i K NK→ y aplicamos la proposición anterior ya que

( )i N K N K N= ⊂∩ ∩

Entonces existe ˆ : NKKi N K N→∩ y como:

( ) { }1 :i N k K k N N K− = ∈ ∈ = ∩

luego i es inyectiva

G < NK <? N K <? N K∩

i K NK i

KN K∩ NK

N


- 43 -

por otro lado como { ÎmK

N i NK i=

= ⇒ es sobreyectiva entonces es un isomorfismos y

K NK

N K N≅∩

como queríamos probar. Además se tiene: [ ] [ ]: :K N K NK N=∩ Observación 1.16 Si tenemos ( ),G + abeliano entonces el segundo teorema de isomorfismo nos queda

K N K

N K N+

≅∩

Proposición 1.31 (Tercer Teorema de Isomorfismo ) Dado un grupo G , K H G< < tales que ,K G H G< < entonces:

y G GKGH

K K H HK

≅<

Demostración Aplicamos al morfismo identidad la proposición 1.29 Por ser ( )Id K K H= ⊂ entonces existe Îdϕ = y es única Además al ser:

}ImId

H G

H HG G⊂

= = luego ϕ es sobre y como

( )1Idˆker H HK Kϕ

−

= =

esto implica dos cosas una que: GH

K H<

la otra que podemos aplicar el primer teorema de isomorfismo al morfismo ϕ para obtener un

morfismo ˆ :G GKH H

Kϕ → definido:

{ˆgK

Hg g gH

Kϕ ϕ

=

= =

G < < H K

Id G G π π

G K G H

Îdϕ = π ϕ

G

KH

K


- 44 -

Entonces g G

GH GKg gHHK H

K∈≅→ ⇒ ≅

Lema 1.32 Sea dos grupo 1 2 y G G , 1 2: G Gϕ → morfismo entonces se cumple que:

i) Si ( )1 1 1 ImN G Nϕ ϕ⇒< <

ii) Si ( )12 2 2 1N G N Gϕ −⇒< <

iii) Si ( )12 kerH G Hϕ ϕ −< ⇒ <

Demostración i) Sean 1 1,a G b N∈ ∈ entonces:

( ) ( )( )

{ ( ) { ( )1 1

1

1 11

N GN

a b a aba Nϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− −

∈∈

= ∈

<

luego ( )1 ImNϕ ϕ<

ii) Sean ( )11 2,a G b Nϕ −∈ ∈ es decir tal que ( ) 2b Nϕ ∈ entonces:

( ){ ( )}

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2 2

12 2 2

1 1 1 12 2

Como

N

G G

N G a b a N

a b a aba N aba N

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

∈

−

∈ ∈

− − − −

⇒ ∈

= ∈ ⇔ ∈P

< 123144424443

Luego ( )12 1N Gϕ − <

iii) ahora como { }e H< entonces aplicando la proposición 1.6

{ }( ) ( )

( )

1 1

1 ker

e H

H

ϕ ϕ

ϕ ϕ

− −

−

<

<P

14243

Proposición 1.32 Dado un grupo G , N G< y sean { }:NS H G N H= < < y

{ }ˆ : GS K K N= < Sea : GG Nπ → (proy. Canónica) y consideremos la aplicación:

( )

ˆNS S

H Hπ

→

Î

( )1

ˆNS S

K Kπ −

→

Î

siendo ( ) HH Nπ = entonces esta aplicación es una biyección monótona creciente

que respeta la normalidad. Demostración Primero probaremos que conserva la normalidad


- 45 -

: GG Nπ → si ( ) GH G H Nπ< ⇒ <

1 : G GNπ − → si ( )1GK K GN π −< ⇒ <

De acuerdo con la proposición anterior como π es sobre:

( )

( )1

Si

Si

GHH G H N NGK K GN

π

π −

⇒ =

⇒

< << <

además

{ ( )

( )

1

1

ker

K G

N K G

π π

π

−

−

< <

< <P

La monotonía es clara

( ) ( )1 11 2 1 2

GK K K K GN π π− −< < ⇒ < <

Por otro lado la siguiente inclusión siempre se da ( )( )1H Hπ π−⊂

Para probar la otra inclusión consideremos ( )( )1g Hπ π−∈ esto implica que:

( ) 1 tal que en modGh H g h g h N gh NN−∃ ∈ = ⇒ ≡ ⇒ ∈

Es decir que {1 tal que N H

n N gh n g n h H−

∈ ⊂

∃ ∈ = ⇒ = ∈ y entonces:

( )( )1 H Hπ π− ⊂

Y se da la igualdad ( )( )1H Hπ π−=

Por otro lado siempre se cumple la siguiente inclusión : ( )( )1 K Kπ π − ⊂

Para probar la otra inclusión sea Kα ∈ lo que significa que: ( ) tal que g G g gα π∃ ∈ = = entonces ( ) ( )1g g Kπ α π −= ⇒ ∈ sustituyendo ( )( )1 Kα π π −∈

y se da la inclusión ( )( )1K Kπ π −⊂ y por lo tanto se cumple:

( )( )1K Kπ π −=

Así una es la inversa de la otra y existe entonces una biyección como afirmamos.

π

G G N

H ( ) HH Nπ =

( )1 Kπ − K

N { }e


- 46 -

Ejemplo 1.43 Sea 1 2: G Gϕ → un epimorfismo y sean

{ }{ }

1

2 2

: ker

:

S H G H

S K K G

ϕ= < <

= <

Entonces la aplicación en que

( )( )

1 2

1 2

12

:verifican lo mismo

que la proposción anterior

f S S

H G H G

K K G

ϕ

ϕ −

→

< → < ← <

- 47 -

Capítulo 2 Grupos Simétricos En este capítulo estudiaremos con más detalle a los grupos simétricos ya mencionados en los ejemplos 1.15 y 1.16 nS así como los subgrupos de los mismos. Recordar que; si S es un conjunto no vació llamábamos: ( ) { }: / es biyectivaBiy S f S S f= →

y ( )( ),Biy S o es un grupo con la composición como operación.

Si llamamos { }1,...,nI n= , entonces ( )n nS Biy I= y llamamos al grupo ( ),nS o grupo simétrico , en particular si nSσ ∈ lo llamamos permutación y escribimos:

( ) ( ) ( )1 2

1 2

n

nσ

σ σ σ

=

LL

Cuando los grupo aparecieron al principio en las matemáticas, generalmente procedían de una fuente específica y se presentaban en forma muy concreta. Muy a menudo era en la forma de un conjunto de transformaciones de algún objeto matemático particular. En realidad, la mayor parte de los grupos aparecieron como grupo de permutaciones, es decir , como subgrupos de nS (cuando S es un conjunto finito de n elementos ) De ahí la importancia de estos grupos en particular. El matemático inglés Cayley fue el primero en notar que todo grupo podía realizarse como un subgrupo de nS Con ese propósito daremos el teorema de Cayley como alguno de sus otros resultados. El teorema de Cayley afirma que todo grupo G es isomorfo a un subgrupo de

( )Biy G , acá lo veremos como corolario del siguiente teorema: Proposición 2.1 Si G es un grupo entonces existe un monomorfismo ϕ tal que


- 48 -

( ):

:

a

G Biy G

a G G

x ax

ϕ

ϕ

→

→ÎÎ

Demostración Demostraremos primero que es un morfismo Observar que

( )

( )( )( ) ( )

a

aa

a G aa x x ax

x G x ax

ϕ ϕϕ ϕ

ϕ

∀ ∈ = ⇒ = =

∀ ∈ =

entonces: ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )ab a a b a bab x x abx bx x x a b xϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= = = = = =o o

Luego ( ) ( ) ( )ab a bϕ ϕ ϕ= o Así ϕ es un morfismo de grupos y por lo tanto lleva elemento neutro en elemento neutro ( )( ) ( ) ( ) Idee x x ex x eϕ ϕ ϕ= = = ⇒ = y lleva elementos invertibles en invertibles

( ) ( )

( )1

11

1 aa

a aϕ ϕ

ϕ ϕ−

−−

−

=

=

PP123123

Es decir que ( ) aa G Biy Gϕ∀ ∈ ⇒ ∈ ( )Im Biy Gϕ⇒ ⊂ Además si

( ) ( )( ) ( ){

{ }

Id

ker

aa a x x x x G

ax x a e e

ϕ ϕ ϕ

ϕ

= ⇒ = = ∀ ∈

= ⇒ = ⇒ =P

Luego ϕ es inyectiva y se trata de un monomorfismo. Corolario 2.2 Si G es un grupo tal que G n= < ∞ entonces existe un monomorfismo : nG Sϕ → Demostración Aplicamos el teorema para el caso particular en que ( ) nBiy G S= por ser G de finitos elementos. Corolario 2.3 (Teorema de Cayley) Si G es un grupo entonces es isomorfo a un subgrupo de ( )Biy G

Notas de Álgebra II Grupos de Permutaciones - 49 -

- 49 -

Demostración Ya esta hecha la demostración solo hay que tener en cuenta que por ser ϕ un monomorfismo (inyectiva) de acuerdo a lo visto en la proposición 1.6 (ii)

( )Im Biy Gϕ < entonces ϕ es un isomorfismo sobre Imϕ que es a su ves un

subgrupo de ( )Biy G . El teorema de Cayley nos permite exhibir cualquier grupo abstracto como un objeto más concreto, a saber, como un grupo de transformaciones. ( )( )Biy G Pero tiene sus

limitaciones; pues si G es un grupo finito de orden n , entonces como !nS n= . Nuestro grupo G de n elementos es algo perdido en un grupo que, con sus n! elementos es gigantesco en comparación con G . Una pregunta natural es: ¿podemos mejorar el resultado en el sentido de encontrar otro grupo con menos elementos, de manera que la conclusión del teorema siga siendo válida? En esta dirección veremos más adelante el teorema de generalización de Cayley. Definición 2.1 Sea nSσ ∈ decimos que es un r-ciclo o ciclo de longitud r si existen elementos 1,..., distintos tales que:r ni i I∈

i) ( ) { }1 ,..., nx x x i iσ = ∀ ∉

ii) ( ) 1 si 1,..., 1k ki i k rσ += = −

iii) ( ) 1ri iσ = Anotamos ( )1 2, ,..., ri i iσ = En el caso particular que sea σ un 2-ciclo lo llamamos trasposición y anotamos

( ),i jσ = Un 1-ciclo por definición es la identidad

Ejemplo 2.1 Sea { }2

1 21,2

2 1I τ

= =

claramente { }2 2Id,S τ= ≅ ¢

En el caso de 3S tenemos :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3Id ; 2,3 ; 1,2 ; 1,2,3

1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1

1 2 3 1 2 31,3,2 ; 1,3

3 1 2 3 2 1

= = = =

= =

luego ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3 Id, 1,2 ; 1,3 ; 2,3 ; 1,2,3 ; 1,3,2S =

Observar que ( ) ( ) ( )1 2 2 1 1 1, ,..., ,..., , ..... , ,...,r r r ri i i i i i i i i −= = =

Si ( )1 2, ,..., entonces ra a a rσ σ= = ya que Idrσ = entendiendo a


- 50 -

veces

...r

r

σ σ σ σ= o o o14243

Notar que ( )1 1

1 1, ,..., rr ra a aσ σ− −

−= = ya que 1 1 Idr r rσ σ σ σ σ− −= = =o o Definición 2.2 Dadas dos permutaciones y nSσ τ ∈ decimos que son disjuntas si:

( ) ( )( ) ( )

x x x x

x x x x

σ τ

τ σ

≠ ⇒ =

≠ ⇒ =

En particular si y σ τ son ciclos entonces :

( )( )

1

1

,..., como

,..., conjuntosr

s

a a

b b

σσ τ φ

τ=

⇒ == ∩

Notar además que si ( ) es un ciclo y nr x I x xσ σ− ∈ ≠ entonces:

( ) ( ) ( )( )2 1, , ,..., rx x x xσ σ σ σ −=

Proposición 2.2 Toda permutación , IdnSσ σ∈ ≠ se puede escribir en forma única (a menos del orden) como producto de ciclos disjuntos de longitudes mayores o iguales que dos. Demostración Primero vamos a definir una relación de equivalencia, como sigue: ( ), tal que m

nx y I x y m y xσ∈ ⇔ ∃ ∈ =∼ ¢ dicha relación es efectivamente de equivalencia. 1) ( ) ( )0 ya que Idx x x x xσ= =∼

2) ( ) ( ) tal que m mx y m y x x y y xσ σ −⇒ ∃ ∈ = ⇒ = ⇒∼ ¢ ∼

3) ( )

( )( )( ) ( )

tal que

tal que

mn m n m

n

x y m y xz x x x z

y z n z y

σσ σ σ

σ+

⇒ ∃ ∈ = ⇒ = = ⇒⇒ ∃ ∈ =

∼ ¢ ∼∼ ¢

Esta relación de equivalencia establece una partición en nI en clases de equivalencia y a estas anotaremos por ( ){ }:mx x mσ σ= ∈¢

Así por ejemplo si la permutación dada:

1 2 3 4 5 6

2 4 3 1 6 5σ

=

se tiene { } { } { }2 2,4,1 , 3 3 , 5 5,6σ σ σ= = = entonces existe un conjunto de representantes 1 2, ,..., tal que:t nx x x I∈


- 51 -

1

t

n ii

I xσ=

= 5

teniendo en cuenta que puede haber clases con un solo elemento es decir que { }x xσ = y reordenando

1 si 1,...,

tal que 1 si 1,2,...,

i

i

x i s ts t

x i s

σσ

= = +∃ ≤ > =

consideremos 1,2,...,i s= vamos a probar que tal que im∃ ∈¢

( ) ( ){ }12 y , , ,..., imi i i i i ix m x x x xσ σ σ σ σ −= =

cumpliéndose ( )imi ix xσ =

Definimos ( ){ }:

i

mx i iH m x xσ= ∈ =¢

se tiene que: 1) ( ) ( )00 ya que Id

ix i i iH x x xσ∈ = = :

2) Si ( )( ) ( )

,i

mi i

x n ni i i i

x xm n H

x x x x

σσ σ −

=∈ ⇒

= ⇒ =

sustituyendo:

( ) ( )

( )

i

i

x

m n mi i i

m ni i x

x x x

x x m n H

σ σ σ

σ

=

−

−

⇒ = =

= ⇒ − ∈P

64748

1442443

luego ixH < ¢ , y Id

i ix xH H≠ ≠¢ para esto último elegimos los 1,...,i s= lo que

significa que ixH es un subgrupo propio de los enteros ¢ y como ya sabemos de

álgebra 1 existe tal que con 2ii x i im H m m+∈ = ≥¢ ¢ .

Consideremos la aplicación

( ):

i

mi

x

m x

ϕ σ

σ

→¢Î

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )mod en

i

i i

m ni i

m ni i x i

x m

m n x x

x x m n H m

m n H m n

ϕ ϕ σ σ

σ −

= ⇔ =

⇔ = ⇔ − ∈ =

⇔ ≡ ⇔ =

¢¢

entonces sabemos que existe una única ϕ

ˆ : ii

xmϕ σ→¢ ¢ tal que ( ) ( )ˆ m mϕ ϕ= entonces:

ϕ ¢ ixσ π ˆ ϕ≅

im

¢ ¢


- 52 -

( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆm n m n m nϕ ϕ ϕ ϕ= ⇔ = ⇔ = luego ϕ es inyectiva y como ϕ es sobre entonces ϕ es sobre y por lo tanto es biyectiva.

{ }

( ) ( )1

0, 1 ,..., 1

, ,...,

, ,..,

i

i

m i

mi i i

m

x x xσ σ −

= −

↓ ↓ ↓

¢

Como im i i im x mσ= ⇒ =¢ y además dichos elementos son:

( ) ( ) ( ){ }12, , ,..., imi i i i ix x x x xσ σ σ σ −=

Llamemos para 1,...,i ix i sη σ= = vamos a probar que 1 2.... sσ ηη η= Sea nx I∈ ⇒ puede suceder dos cosas:

( ) ( ) ( )

{ } ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

1 21

1 2 1 1 1

1) 1,..., ...

2) 1,..., tal que

... ... ...

s

i i si

i j

s i i i s i

x x x x x x i s x x

i s x x x x j i

x x x x

σ σ η ηη η

σ η

ηη η η η η η η η σ

=

− +

∉ ⇒ = ⇒ = ∀ = ⇒ = ∃ ∈ ∈ ⇒ = ∀ ≠ ⇒ = = =

5

Esto prueba la existencia Unicidad Supongamos que tenemos otra descomposición de σ la siguiente forma: 1 2... rσ τ τ τ=

con iτ ciclos disjuntos con ( ) ( )( ) ( )12 y , ,..., con i im mi i i i i i i i i iy y y y yτ τ τ τ τ−≥ = =

Sea ( ) ( ){ }1, ,..., 1,...,imi i i i i iA y y y i rτ τ −= =

como los ciclos son disjuntos si i jA A i jφ= ≠∩

Si ( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 1 1 1... ... ...i r i i i r i iy A y y y y Aσ τ τ τ τ τ τ τ τ τ− +∈ ⇒ = = = ∈

( ) ( ){ ( )( ) ( )

( ) ( )

2 2

i

i i i i i

A

m mi i

y y y y A

y y y A m

σ σ τ τ τ τ

σ τ

∈

= = = ∈

= ∀ ∈ ∀ ∈

LLLLLLLLLLLLL¢

Luego ( ){ } ( ){ }: :m m

i i i i iy y m y m Aσ σ τ= ∈ = ∈ =¢ ¢

Los iA son clases de equivalencia según la relación definida más arriba con 2iA ≥ desde 1,...,i r= . Si ( ) { } ( ) ( )1 2 1 2... 1,..., ...r i rx A A A x x i r x x xτ σ τ τ τ∉ ⇒ = ∀ ∈ ⇒ = =∪ ∪ ∪


- 53 -

Entonces si llamamos 11

,..., \r

k n ii

z z I A=

= ∪ se tiene que

{ } { }

{ } { }1 2 1

1 1

... ...

... ...n r k

n r k

I A A A z z

I y y z zσ σ

=

=

â â â â â ââ â â â â

tenemos una partición de nI en clases de equivalencia y como esta es única se tiene probado la unicidad. Ejemplo 2.2

( )( ) ( )( )1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

1,3 2,4,5 ; 1,3 2,53 4 1 5 2 3 5 1 4 2

= =

Observación 2.1 Dada una permutación nSσ ∈ y sea su descomposición en ciclos disjuntos 1 2. ... rσ τ τ τ= entonces:

{ }1m.c.m ,..., rσ τ τ= Así como en el ejemplo:

( ) ( ){ }1 2 3 4 5

m.c.m 1,3 , 2,4,5 2.3 63 4 1 5 2

= = =

Corolario 2.3 Toda permutación , IdnSσ σ∈ ≠ se puede escribir como producto de trasposiciones ( no necesariamente disjuntas) Salvo que esta descomposición no es única. Demostración Basta con demostrar que todo ciclo lo verifica y que la identidad también § ( )( )Id , ,i j j i=

§ ( ) ( )( ) ( )( )1 2 3 2 1 1 1 1 1 3 1 2, , ,..., , , , , ... , , 2r r r r rx x x x x x x x x x x x x x r− − −= ≥ Ejemplos 2.3

1. ( ) ( )( ), , , ,a b c a c a b=

2. ( )( )( )

( )( )( )( ), ,

, , , , , , , ,b x y

x y a x y b x a x y b y b x=14243

Por otro lado

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )( )( ) ( )( ) Id

, , , ,, , , , , ,

, , , , , , , ,

x y a x a x yx a x y y x y b x a y b

x y b b x y y b x y x y b=

= ⇒ =

= = = 14243

Luego tenemos dos descomposiciones


- 54 -

( )( )( )( )( )( )

( )( ), , , ,

, , , ,, ,

x a x y b y b xx y a x y b

x a y b

=

en las que no hay unicidad en la cantidad de factores. Definición 2.3 Dada una función : nf →¢ ¢ y una permutación nSσ ∈ definimos

la siguiente función : nfσ →¢ ¢ como:

( ) ( ) ( )( )1 11,..., ,..., ,...,n nnf x x f x x x xσ σσ = ∀ ∈¢

Observación 2.2 Dadas dos permutaciones , nSσ τ ∈ y una función : nf →¢ ¢ entonces se cumple: 1) Idf f= en forma obvia. 2) ( ) ( )f fτσ τ σ= Ya que: ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )( )1 1,..., ,...,n nf x x f x xτ ττ σ σ=

llamemos ( ) para 1,...,i iy x i nτ= = entonces

( )( ) ( ) ( )( )1 1,..., ,...,n nf y y f y yσ σσ =

y como ( ) ( )( ) 1,...i iy x i nσ τ σ= ∀ = sustituyendo nos queda:

( )[ ]( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]( )1 11,..., ,..., ,...,n nnf x x f x x f x xτσ τστ σ τσ= =

lo que queríamos probar. Observación 2.3 Si , : nf g →¢ ¢ , y nc Sσ∈ ∈¢ entonces:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ; ; f g f g fg f g cf c fσ σ σ σ σ σ σ σ+ = + = = Demostración Ejercicio. Proposición 2.4 Existe un único morfismo { }: 1,1nSε ×→ − = ¢ tal que ( ) 1ε τ = − para toda trasposición τ . Demostración Para ello definimos una función : n∆ →¢ ¢ tal que: ( ) ( )1

1

,..., n j ii j n

x x x x≤ < ≤

∆ = −∏

Primero que nada 0∆ ≠ por ser cada factor distinto de cero. Consideremos una trasposición cualquiera ( ),r sσ = entonces de acuerdo a la

definición 2.3 está definida : nσ∆ →¢ ¢ y además si suponemos r s< tenemos:


- 55 -

( )1 2 1 1 1

cambiamos con

, ,.. ,..., ,..., ,..., , ,..., , ,...,r s n r s s r n

r s

x x x x x x x x x x xσ − −

∆ = ∆

E5555555F

entonces podemos escribir:

( ) ( ) ( ){ } { }

( )( )

( )( ) ( )( )

321

4 5

11

, ,

1

,..., n s r j i j s j ri j n j s

i j r s

s j r j s j j rj r j s

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x

φ

∆∆∆

≤ < ≤ >=

< < <

∆ ∆

∆ = − − ⋅ − − ⋅

⋅ − − ⋅ − −

∏ ∏

∏ ∏∩

6447448 64447444864748

144424443 144424443

De esta forma 1 2 3 4 5∆ = ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

ahora ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 1,..., n r ss rx x x x x xσ σσ∆ = − = − = −∆

( ){ } { }

2 21

, ,

j ii j n

i j r s

x x σ

φ≤ < ≤

=

∆ = − →∆∏∩

ya que r y s no aparecen

( )( ) ( )( )3 3j s j r j r j sj s j s

x x x x x x x xσ

> >

∆ = − − → − − = ∆∏ ∏ 1 r s j n

( )( ) ( )( )4 4s j r j r j s jj r j r

x x x x x x x xσ

< <

∆ = − − → − − = ∆∏ ∏ 1 j r s n

( )( ) ( )( )

( )( )

5 5

j r s j

s j j r r j j sr j s r j s

x x x x

x x x x x x x xσ

< < < <=− − =− −

∆ = − − → − − = ∆∏ ∏ 14243 14243 1 r j s n

Luego ( ) , con ,r sσ σ∆ = −∆ = Para el caso general nSσ ∈ cualquiera, tenemos por el corolario anterior que existen trasposiciones 1,..., kτ τ tal que: 1 2... kτ τ τ τ= entonces ( ) ( )( )( ) ( )1 2 1 2... ... ... 1 k

k kσ τ τ τ τ τ τ∆ = ∆ = ∆ = − ∆

Definimos { }: 1,1nSε → − por ( ) nSσ ε σ σ∆ = ∆ ∀ ∈ ; por lo visto hasta ahora tiene sentido dicha definición y además: Sean

( ) ( ) ( ) ( ){ ( ) ( ) ( )

, entonces

nSσ τ

ε στ στ σ τ σ ε τ ε τ σ ε τ ε σ∈

∈

∆ = ∆ = ∆ = ∆ = ∆ = ∆

¢

Luego ( ) ( ) ( )ε στ ε σ ε τ= es decir que { }: 1,1nSε ×→ = −¢ es un morfismo de

grupos y ( ) 1ε τ = − si τ es una transposición.


- 56 -

La unicidad de ε se deduce de que las trasposiciones generan a nS como grupo, porque ya vimos que cualquier permutación se puede escribir como producto de trasposiciones. Observación 2.4 Ya vimos que una permutación se puede escribir como producto de trasposiciones lo que además se cumple que esta descomposición no es única ni siquiera en el número de factores, pero estos son iguales módulo dos. Es decir si: nSσ ∈ y

( ) ( ) ( )1 2

1 2

...1 1 mod 2

....r sr

s

r sσ τ τ τ

σ ηη η

= ⇒ − = − ⇒ ≡

=

Definición 2.4 Dada una permutación nSσ ∈ decimos que es par si ( ) 1ε σ = Notar que si una permutación es par entonces se descompone en un número par de trasposiciones. ( ) ( )1 2... con par 1 1r

r rσ τ τ τ ε σ= ⇔ = − = En caso contrario decimos que σ es impar. Definición 2.5 Llamaremos grupo alternado al grupo: { }: es parn nA Sσ σ= ∈ Como Id nA∈ y si 1, n nA Aσ τ στ −∈ ⇒ ∈ luego n nA S< otra forma de ver lo mismo

es observando que ( )kern n nA A Sε= ⇒ < y además como { }: 1,1nSε → − es sobreyectiva entonces

{ } [ ]1,1 2 : nnn n

n n

SS S AA A− ≅ ⇒ = =

luego

!

2 2n

n

S nA = =

Observación 2.5 Si nSσ ∈ es un r-ciclo de la forma ( )1 2, ,..., ra a aσ = como:

( ) ( )( ) ( )1 2 1 1 1 1 2

1 factor

, ,..., , , ... ,r r r

r

a a a a a a a a a−

−

= 14444244443

entonces es par es imparrσ ⇔ Ejemplo 2.4

( ){ } { }2 2Id, 1,2 IdS A= ⇒ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3 Id, 1,2 ; 1,3 ; 2,3 ; 1,2,3 ; 1,3,2S = entonces ( ) ( ){ }3 3Id, 1,2,3 ; 1,3,2A = ≅ ¢


- 57 -

Definición 2.6 Dado un grupo { }IdG ≠ decimos que es un grupo simple si no contiene subgrupos normales propios (no triviales). Es decir si { }Id o H G H H G⇒ = =< Ejemplo 2.5 Si G es abeliano, G es simple si y solo sí pG ≅ ¢ con p primo.

Ya que si es abeliano todo subgrupo es normal y si es isomorfo a p¢ con p primo

implica que no tiene subgrupos propios, los únicos subgrupos son los triviales ⇒ los únicos subgrupos normales de G son los triviales. Ejemplo 2.6 En base al ejemplo anterior y al ejemplo 2.4 3A⇒ es simple Ejemplo 2.7 Sea en ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ){ }4 4 Id, 12 34 ; 13 24 ; 14 23S N A= < (ejercicio del

practico) luego 4A no es simple. Probaremos que nA es simple si 5n ≥ para lo cual veremos los siguientes lemas. Lema 2.5 nA es el subgrupo de nS generado por los 3-ciclos para todo 3n ≥ Demostración Sea L= subgrupo de nS generado por los 3-ciclos.

Como ( ) ( )( ) n nabc ab bc A L A= ∈ ⇒ ⊂

Para ( ) ( ){ }33 Id, 123 ; 132n A= = y se cumple 3A L=

Para 3n ≥ si 1 2 2... con trasposición 1,..., 2n k iA i kσ σ τ τ τ τ∈ ⇒ = ∀ = es decir se descompone en un número par de trasposiciones. Entonces según sean estas disjuntas o no se tiene:

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )

Id

1i i nxa yb xa xy xy yb xya xyb A Lab bc ba bc bca abc

τ τ

=

+

= == ⇒ ⊂ = = =

64748

y por lo tanto nL A= Definición 2.7 Dado un grupo G, sean ,a b G∈ decimos que son conjugados si

existe 1 tal que c G a cbc−∈ = . Observación 2.6 Ser conjugados es una relación de equivalencia en G Ya que i) 1a eae−= ⇒ a es conjugado consigo mismo. ii) Si a es conjugado con b 1 1 tal que c G a cbc c ac b− −⇒ ∃ ∈ = ⇒ =


- 58 -

( ) 11 1 1 tal que es conjugado con c G b c a c b a−− − −∴ ∃ ∈ = ⇒

iii) Sean a conjugado con b y b conjugado con c entonces:

( ) ( )1

11 1

1

tal que con

tal que

h G a hbha hkck h a hk c hk hk G

k G b kck

−−− −

−

∃ ∈ = = ⇒ = ∈

∃ ∈ =

luego a es conjugado con c . Definición 2.8 Dado un grupo G y a G∈ llamamos clase de conjugación de a y anotamos ( )GC a a la clase de equivalencia que pertenece a:

( ) { }1 :GC a cac c G−= ∈

Lema 2.6 Dada una permutación nSσ ∈ entonces:

( ) ( ) ( ) ( )( )11 2 1 2, ,..., , ,...,r ra a a a a aσ σ σ σ σ− =

Demostración Primero consideremos que :

( ) ( ){ } ( ) { }11 1,..., ,...,r rx a a x a aσ σ σ −∉ ⇒ ∉ luego se tiene:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )1 11 1,..., ,...,r ra a x x x a a xσ σ σ σ σ σ− −= = =

Ahora si ( ) ( ){ } ( )1 ,..., para algún r kx a a x a k rσ σ σ∈ ⇒ = ≤ entonces:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( )

11 11 1 1

1

si ,..., ,..., ,...,

si k

r r k r k

a k ra a x a a a a a a

a k r

σσ σ σ σ σ σ

σ+− − ≠

= = = =

Luego ( ) ( ) ( )( )1

1 1,..., ,...,r ra a a aσ σ σ σ− =

Lema 2.7 Si 5n ≥ , entonces todos los 3- ciclos son conjugados entre sí en nA . Demostración Sea ( ) ( ) e abc ijk dos 3-ciclos :

( ) ( ) ( ) tal que ; ; nS a i b j c kσ σ σ σ∃ ∈ = = =

entonces ( ) ( )1abc ijkσ σ − = por lema anterior Si nAσ ∈ ya está

Si nAσ ∉ se tiene que { } ( )si . nde abc de Aσ∉ ⇒ ∈ y entonces:

( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )

conmutan Id

1 1 1 1

1

. .de abc de de abc de de de abc

abc ijk

σ σ σ σ σ σ

σ σ

− − − −

−

= = =

= =

64748 64748

Es decir que todos los 3-ciclos son conjugados entre sí en nA


- 59 -

Corolario 2.8 Si 5 , nn N A≥ < y N contiene un 3-ciclo, entonces nN A= Demostración Por ser N normal se tiene que: 1 y nN N Aστσ τ σ− ∈ ∀ ∈ ∈

( )

( ) { contiene a todos los 3-ciclos

1y 3-ciclo

prop. ant.

por hip. 3-ciclo 3-ciclo /

n

n N

nAn n

N

N AN N AA A

τδδ σ στσ δ−

=∈

∃ ∈ ⊂ ⇒ ∈ ⇒ =∀ ∈ ⇒ ∃ ∈ =

Proposición 2.9 El subgrupo nA para 5n ≥ es simple Demostración Consideramos que tenemos { } con IdnN A N ≠< entonces probaremos que nN A= . Para ello usaremos el corolario anterior, es decir demostraremos que N contiene un 3-ciclo. Como { }Id , IdN Nσ σ≠ ⇒ ∃ ∈ ≠ es decir que: 1 2... , r iσ τ τ τ τ= ciclos disjuntos

2 , 1,...,i i rτ ≥ = Tenemos 4 casos posibles:

1) Existe un tal que 4ii τ ≥

2) , 3ii τ∀ ≤ pero existen tales que 3i ji j τ τ≠ = =

3) Existe un i tal que 3 y 3 ki k iτ τ= < ∀ ≠

4) , 2ii τ∀ = Caso 1 Como existe un ciclo de orden mayor que cuatro sea este ( )1 2... ra a a y

consideremos ( ) ( )1 2 1 2... con ... y disjuntosr ra a a a a aσ τ τ=

Sea ( )1 2 3 na a a Aδ = ∈ entonces como { { ( )1 1 1

nN A NN

N N Nσ δσδ σ δσδ− − −

∈∈

∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈< 14243

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )

111 1 11 1 2 3 1 1 2 3

1 11 11 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3

Aplicamos el lema 2.6

... ...

... ... ... ...

r r

r r r r

a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

σ δσδ τ τ

τ τ τ τ

−−− − −

− −− −

= =

= 14444244443

( )( ) ( )1 2 3 1 4 1 3... ... con 4;r r ra a a a a a a a a a N r= = ∈ ≥ luego encontramos un 3-ciclo perteneciente a N, por corolario anterior nN A= Caso 2 ( )( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6, con , , disjuntosna a a a a a a a a a a a Sσ τ τ= ∈

Sea ( ) ( )1 11 2 4 na a a A Nδ σ δσδ− −= ∈ ⇒ ∈

1 1 1σ δσδ τ− − −= ( )( )( )( )( )6 5 4 3 2 1 1 2 4 1 2 3 4 5 6a a a a a a a a a a a a a a a τ ( )

( )4 2 1

4 2 6 3 1 y estamos en el caso 1

a a a

a a a a a N

=

= ∈


- 60 -

Caso 3 ( ) ( )1 2 3 1 1 1 2 3 1... , con ,..., trasposiciones ; , ,..., disjuntoss s sa a a a a aσ τ τ τ τ τ τ=

( ) ( )

( )( )( )

( )

2 21 2 3 1 1 2 3 1

2 21 2 3 1 2 3 1 1 3 2

Id por trasp.

Como , ... ...

...

s s

s

N N a a a a a a

a a a a a a a a a N

σ σ σ τ τ τ τ

τ τ=

∈ ⇒ ∈ = =

= = ∈123

luego nN A= Caso 4 ( )( ) ( ) ( )1 2 3 4 1 2 3 4 con , , disjuntos ; con a a a a a a a aσ τ τ τ= producto de trasposiciones. Sea ( ) 1 1

1 2 3 na a a A Nδ σ δσδ− −= ∈ ⇒ ∈

1 1 1σ δσδ τ− − −= ( )( )( )( )( )4 3 2 1 1 2 3 1 2 3 4a a a a a a a a a a a τ ( )

( )( )( )( ) ( )( )

1

1 2 3

aplicamos lema 2.6

4 3 2 1 2 3 1 4 1 3 2 4

a a a

a a a a a a a a a a a a

−

= =

144444424444443

Llamemos ( )( )2 1 3 2 4a a a a Nσ = ∈ sea 1 2 3 4, , , b a a a a≠ esto es posible por ser 5n ≥

Sea ( ) 1 12 1 3 2 2 2 2na a b A Nδ σ δ σ δ− −= ∈ ⇒ ∈ y entonces:

( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( ) ( )

11 12 2 2 2 2 4 1 3 1 3 1 3 2 4 1 2

Aplicamos Lema 2.6

2 4 1 3 3 2 4 1 3

a a a a a a b a a a a a a b

a a a a a b a a ba a N

σ δ σ δ −− − = =

= = ∈

1444442444443

Luego también en este caso nN A=

Grupos Libres Proposición 2.10 Dado un conjunto X φ≠ entonces existe un grupo ( )F X y una

función inyectiva ( ):i X F X→ tal que para todo grupo G y función : X Gϕ →

existe un único morfismo ( )ˆ : F X Gϕ → tal que el diagrama conmuta, es decir que ˆ iϕ ϕ=o

Demostración Para la demostración primero vamos a construir al grupo ( )F X que definiremos de la siguiente manera. Definición 2.9 Decimos que ( )F X es un grupo libre de base X, o generado por X, o de alfabeto X. Sea 1X − un conjunto disjunto con X y con la misma cantidad de elementos:

ϕ X G # i ϕ F(X)


- 61 -

1 1 y X X X X φ− −= =∩

entonces existe una biyección entre dichos conjuntos , y convenimos en llamar al correspondiente de un elemento x en dicha biyección, 1x− , o sea

1

1

X X

x x

−

−

→

Î

Notar que acá 1x− no indica el inverso de x debido a que no tenemos definido un producto, aún. Tomamos un elemento que llamamos 11 X X −∉ ∪ . Una palabra en X (o de alfabeto X ) es una función : g Y→¥ donde

{ }1 1Y X X −= ∪ ∪ una palabra entonces es una sucesión de elementos de Y.

( )1 2, ,.... tal que 1,2...ia a a Y iα = ∈ ∀ =

y tal que existe 0 0 tal que 1 in a i n+∈ = ∀ ≥¢ es decir: ( )1 2 1, ,...., ,1,1,1,.....

ona a aα −=

A los elementos 1,i ia a + se les llaman adyacentes.

La palabra constante ( )1,1,1,...... es la palabra vacía y le llamamos 1 es decir escribimos: ( )1 1,1,1,.....= Definición 2.10 Una palabra α se llama reducida si se verifica: 1) 1 , no son adyacentes en x X x x α−∀ ∈ .

2) Si existe tal que 1 1 k ik a a i k+∈ = ⇒ = ∀ ≥¢

Como caso particular la palabra ( )1 1,1,1,.....= es reducida.

( )F X como conjunto es el conjunto de las palabra reducidas es decir:

( ) { }palabras reducidad de alfabeto F X X= Observar que toda palabra reducida es de la forma:

( ) {1 2 11 2

def.

, ,..., ,1,1... con , 1, 1,..., nn i i i ix x x x X i n x xλλ λ λ + ∈ = ± = =

Escribimos ( )1 2 1 2

1 2 1 2, ,..., ,1,1,... ....n nn nx x x x x xλ λλ λ λ λ=

Con la anotación acordada entonces:

1 2 1 21 2 1 2.... ....

1,..,n m

i in m

i i

n m

x yx x x y y yi n

λ λλ λ µ µ

λ µ

= == ⇔ ∀ = =


- 62 -

Definiremos un producto en ( )F X de tal manera de obtener una estructura de grupo. Sea ( ) ( ) ( )F X F X F X⋅× → mediante las siguientes consideraciones: 1) La palabra vacía 1 es el neutro : ( )1 1 p p p p F X⋅ = ⋅ = ∀ ∈ 2) Si

1 2

1 1 2 1 2

1 2

1 21 1 2 1 2

1 2

... con ... ...

...

n

n n m

m

nn n m

m

p x x xx y p q x x x y y y

q y y y

λλ λλ λ µµ λ λ µ µ

µµ µ−= ≠ ⇒ ⋅ =

=

3) Si

1 2 1 2

1 1 2 1 2

1 1 1 2

1 2 1 21 1 2 1 2

1 1 1 2

... ... con ... ...

... ...

n r

n n m

mr r

n rn n m

r r m

p x x x z z zx y p q x x x y y y

q z z z y y y

λλ λ δ δ δλ λ µµ λ λ µ µ

µδ δ δ µ µ−

−− − −

−

= ≠ ⇒ ⋅ ==

4) Si

1 1

1

1

1 11

1

... ......

...

n m

n

m

n mn

m

p x x y yp q x x

q y y

λ µλ µλλ

µµ

− − =⇒ ⋅ =

=

5) Si

1

1

1 1

11

1 1

......

... ...

n

m

n m

nm

n m

p x xp q y y

q x x y y

λλµµ

λ µλ µ− −

=⇒ ⋅ =

=

6) Si

1

1

1

1

...1

...

n

n

n

n

p x xp q

q x x

λλ

λ λ− −

=⇒ ⋅ =

=

Esta última nos dice que todo elemento es invertible , lo que falta probar es que este producto es asociativo (ejercicio). Luego ( )( ),F X ⋅ es un grupo.

Definimos ( )( )1

:

,1,1,...

i X F X

x x x

→

=Îxfunción

Como ( ) ( ) ( ) ( ),1,1,... ,1,1,...i x i y x y x y= ⇒ = ⇒ = luego i es inyectiva. Sea G un grupo y : X Gϕ → una función. Probaremos que existe un único morfismo ( )ˆ : tal que F X Gϕ → : ˆ iϕ ϕ=o .

Entonces de existir tal morfismo ( )ˆ : F X Gϕ → con ˆ iϕ ϕ=o se tiene:


- 63 -

( ) ( ) { ( ) ( ) ( )1 11 1

ˆ morfismo

ˆ ˆ ˆ x x x X x x x x Xϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− −−= ∀ ∈ ⇒ = = ∀ ∈

entonces ( ) ( )ˆ , 1x x λλϕ ϕ λ= = ±

( )( )

1 21 1 2

ˆ1 Si

1 ! ,..., , 1 tal que: ... nn i n

x x ex F X

x x x X x x x xλλ λ

ϕλ

= =∈ ⇒

≠ ∃ ∈ = ± =

Y se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 21 2

1 2

1 2 1 2

1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ... ...

...

nn

n

n n

n

x x x x x x x

x x x G

λλ λλλ λ

λλ λ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

= =

= ∈

Esto implica que si el morfismo ϕ existe, entonces queda determinado por la fórmula anterior (Unicidad). Es un ejercicio verificar que dicha fórmula determina un morfismo (Existencia). Observación 2.7 Como la función ( ):i X F X→ es inyectiva , podemos

identificar ( ) 1 con via X i X x x↔ mediante esta identificación tenemos

( )X F X⊂ y el mapa ( ):i X F Xy es la inclusión

( ) ( ) ( )1 2

1 2 ... , 1n

n ix i x i x i x λλ λ λ= = ±

es decir X genera ( )F X como grupo. Observación 2.8 Si ( )2 no es abelianoX F X≥ ⇒ Demostración Como 2 , con X x y X x y≥ ⇒ ∃ ∈ ≠ entonces 1 1xyx y− − es una

palabra reducida ( )1 1xyx y F X− −⇒ ∈ :

( ) ( )1 1 1 1

1 1

, , , ,1,1... 1,1,.... 1

1

xyx y x y x y

xyx y xy yx

− − − −

− −

= ≠ =

∴ ≠ ⇒ ≠

luego ( )F X no es conmutativo. Definición 2.11 Dado un grupo F decimos que es un grupo libre si existe un conjunto X y una función :i X F→ inyectiva tal que verifica la propiedad universal de la proposición 2.10 es decir que para todo grupo G y toda función : X Gϕ → existe un único morfismo de grupos ˆ : F Gϕ → tal que:

ˆ iϕ ϕ=o

ϕ X G # i ϕ F


- 64 -

Proposición 2.11 Todo grupo es isomorfo a un cociente de un grupo libre. Demostración Sea G un grupo y X un generador de G (por ejemplo X G= ) y consideremos la función inclusión

: X Gϕ y entonces por la proposición 2.10 existe un

único morfismo ( )ˆ : F X Gϕ → tal que:

( )( ) { ( )inc.

ˆ ˆ Imi x x x x X Xϕ ϕ ϕ=

= = ∀ ∈ ⇒ ⊂

Pero X genera a G X⇒ es el menor subgrupo de G que contiene a X. Pero

{ˆ ˆIm Im

ˆIm

X G XG

G

ϕ ϕϕ

⊂ < ⇒ ⊂ ⇒ =

P

Luego ϕ es sobre ( )ˆker

F XG ϕ⇒ ≅

Observar que el morfismo ϕ es simplemente:

( )

1 2 1 21 2 1 2

1 2

ˆ ... ...

no hay relaciones puede haber relaciones

entre ...

n nn n

GF X

n

x x x x x x

x x x

λ λλ λ λ λϕ∈∈

=

↓ ↓

14243 14243

Proposición 2.12 Dado un grupo F, éste es libre si y solo sí existe un conjunto X tal que ( )F F X≅ Demostración Veamos primero el recíproco Sabemos por la proposición 2.10 que dada una función inyectiva ( ):Xi X F X→ entonces para toda función

: X Gϕ → existe un único morfismo 1ϕ tal que:

1 Xiϕ ϕ=o

Como por hipótesis existe un isomorfismo ( ): F X Fα →

podemos definir el morfismo 11ϕ ϕ α −= o y una función

inyectiva Xi iα= o (es inyectiva por ser composición de funciones inyectivas), luego existe un morfismo ϕ que conmuta el diagrama ya que:

11 1ˆ X Xi i iϕ ϕ α α ϕ ϕ−= = =o o o o o

ϕ X G # i ϕ F(X)

ϕ X G Xi 1ϕ ( )F X ϕ α ≅ F


- 65 -

falta ver que esta ϕ es única. Supongamos que existe otro morfismo : F Gψ → tal que:

iψ ϕ=o entonces consideremos el morfismo αψ ψ α= o donde

( ): F X Gαψ → y tal que

{X X

i

X

i i i

i

α

α

ψ ψ α ψ ϕ

ψ ϕ=

= = =

∴ =

o o o o

o

pero el morfismo que cumple con eso era único luego: 1 1

1 1 ˆα αψ ϕ ψ ψ α ϕ α ϕ− −= ⇒ = = =o o lo que prueba la unicidad. Ahora demostraremos el directo. Por ser F grupo libre X φ⇒ ∃ ≠ y una función : ;i X F→ a esta función y a este X aplicamos la proposición 2.10 ⇒ ∃ un grupo ( )F X y una

función ( ):Xi X F X→ inyectiva tal que para todo grupo (y en particular para F) y para toda función (y en particular para la función i) existe un único morfismo ( )1 : F X Fϕ → tal que:

1 Xi iϕ =o (parte de abajo del diagrama) Por otro lado como F es libre implica que para todo grupo (y en particular ( )F X ) y toda función ( ):Xi X F X→

entonces existe un único morfismo ( )2 : F F Xϕ → tal que:

2 xi iϕ =o (parte de arriba del diagrama)

Tenemos entonces que ( ) ( )2 1 : F X F Xϕ ϕ →o pero si aplicamos la propiedad universal a Xi , implica que existe

un único morfismo de ( )F X en sí mismo que conmuta el diagrama, pero como la identidad ya es un morfismo que cumple lo anterior. Es decir que:

( )2 1 IdF Xϕ ϕ =o

Análogamente.

1 2 IdFϕ ϕ =o

por lo tanto ( )1 : F X Fϕ → es un isomorfismo.

ϕ X G Xi αψ ( )F X ψ α ≅ F

( )F X Xi Ñ 2! ϕ∃ i X F Ñ Xi 1! ϕ∃ ( )F X

Xi

X ( )F X Ñ Xi 2 1 Idϕ ϕ ≡o F(X)


- 66 -

Generadores y Relaciones Definición 2.12 Sea G un grupo y S G⊂ un subconjunto, llamamos subgrupo normal generado por S y anotamos SN a la intersección de todo subgrupo normal que contiene a S. Es decir : S

S N G

N N⊂

=<

∩

en particular ya que SS N S N N G⊂ ⊂ ∀ < además por ser intersecciones de subgrupos normales, entonces es normal. Observación 2.9 El subgrupo normal generado por S es el subgrupo generado por: { }1 1 : ,GSG asa a G s S− −= ∈ ∈

Demostración Sea H G< subgrupo de G generado por 1GSG− , o sea 1H GSG−=

1

1

1

S S S

S

S N G a G aN a NH GSG N

aSa

−

−

−

⊂ ⇒ ∀ ∈ ⊂ ⇒ = ⊂

∪

< 123

Por otro lado si x H∈ entonces: 1 21 1 1

1 1 1 2 2 2 ... nn n nx a s a a s a a s aλλ λ− − −=

luego

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

1 2

1 2

1 1 1 1 11 1 1 2 2 2

1 1 1 1 1 11 1 1 2 2 2

1 1

1 1 1 2 2 2

se tiene ...

...

.

n

n

n n n

n n n

g G gxg ga s a a s a a s a g

ga s a g ga s a g ga s a g

ga s ga ga s ga

λλ λ

λλ λ

λ λ

− − − − −

− − − − − −

− −

∀ ∈ = =

= =

= ( ) ( ) 1.. nn n nga s ga Hλ − ∈

es decir

SS N G

H GN N H

S H ⊂

⇒ = ⊂⊂ <

< ∩

entonces SH N= Definición 2.13 Sea X un conjunto y ( )P F X⊂ un subconjunto del grupo libre determinado por X , decimos que un grupo G es el grupo definido por los generadores x X∈ y relaciones ( ) con p e p P= ∈ si:

( )P

F XG N≅

siendo PN el subgrupo normal generado por P en ( )F X y anotamos ( )|X P y decimos que es un representación de G .


- 67 -

Ejemplo 2.8 Si { } ( ) ( ), 1 F XP N F XNφφ= = ⇒ ≅ entonces

( ) ( )|F X X φ=

es decir que una representación de ( )F X es la dada por el conjunto X y ninguna relación. Ejemplo 2.9 Sea { } { }

( )

2 1, , , , P H F X

X a b c P a b bab ac N H−

⊂

= = =<∩ entonces:

( ) { } { }2 1, , : 1 1F X a b c a b bab acN−= = = = =

ya que

12

1 11 1

1 1

ac cbab ba b a

a b b− = ⇒ =

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Notación De ahora en adelante adoptaremos la siguiente anotación : 1 1 1 1 1 2 3x x y y y x y− − − −= Proposición 2.13 Dado un grupo G , { }, i i I

Y G Y y ∈⊂ = un generador de G y

supongamos que los elementos de Y verifican relaciones:

1

1 1 1 .... , ,..., , ,...,

palabras reducidas

i i

i i i iy y e i i Iα α α α↓

= ∈ ∈ll l l¢14243

Sea X un conjunto tal que { }, y sea :i i IX Y X x ∈= =

{ } ( )1

1 11... : ,..., , ,...,i i

i i i iP x x i i I F Xα α α α= ∈ ∈ ⊂ll ll ¢

PN el subgrupo normal generado por P en ( )F X , entonces existe un epimorfismo:

( )

P

i i

F X GN

x y

²

Î

Demostración Consideremos : X Gϕ → definida por ( )i ix yϕ =

aplicando la propiedad universal de ( )F X implica que

existe un único morfismo ( )ˆ : F X Gϕ → tal que conmuta el diagrama, o sea:

ˆ iϕ ϕ=o Además

ˆIm Im

ˆImY G

GG Y

ϕ ϕϕ

⊂ ⊂ < ⇒ ==

ϕ X G # i ϕ ( )F X


- 68 -

Luego ϕ es sobreyectiva y es un epimorfismo. Entonces si

11,..., ; ,...,i ip P i i I α α∈ ⇒ ∃ ∈ ∈ll ¢ tales que:

( ) { ( ) ( )11 1

1 1 1morfismo

ˆ ˆ ˆ... y ... ...

ˆ ker

i ii i i i

ii i i i ip x x p x x y y e

p P p

α αα α α αϕ ϕ ϕ

ϕ

= = = =

⇒ ∀ ∈ ∈

ll ll l l

Luego

( )

( )

( )ˆker

ˆker , P PP

P H F X

P F XN N F XN H

ϕϕ

⊂

⊂ ⇒ ⊂=<

<<∩

Aplicando la propiedad universal a ϕ (proposición 1.27) tenemos que existe un único morfismo ψ que conmuta el diagrama, es decir:

ˆψ π ϕ=o además ˆIm Imψ ϕ ψ= ⇒ es sobre. Ejemplo 2.10

Sea { } { }2, , ,nX a b P a b abab= = ( )P

F XG N=

Sean , con ,a b Gα β α β= = ∈ tenemos que :

2 2 2 2

1

1

1

n n n na a e e

b b e e

eabab abab

α αβ β

αβαβαβαβ

= = = = == = = = ⇒ = == = =

luego ( ) , ,F X a b G α β= ⇒ = y como:

{ } { }

{ } { }

#2 1

#2 1

: , 22

: , , ,...,

n

n m n

e n eG n

e m e n

β β β β β

α α α α α

−

−

= ⇒ = ⇒ ∈ = → ⇒ ≥= ⇒ ∈ = →

¢¢

además

{ } { }1 1 1

2 1

1

: , , ,...,

m n

m m

m

αβαβ αβ β α βαα β β αβ α β α β

α β βα

− − −

−

−

= ⇒ = = ⇒ ∈ ==

M ¢

Entonces al ser: { } { }2 1 2 1, : , , , ,..., , , , ,..., 2m n n nG m n e G nα β α β α α α β αβ α β α β− −= = ∈ = ⇒ ≤¢

luego 2G n=

ϕ ( )F X G

Ñ π ψ

( )P

F XN


- 69 -

El ejemplo anterior es un modelo de 2, con IdnnD R S R S RSRS= = = = donde R

representa rotación y S simetría axial , ya sabemos que 2G n=

Por el teorema anterior existe un epimorfismo

:

2

n

n

G D

R G D n

S

ϕ

αβ

→ ⇒ ≥ =

ÎÎ

Y como 2G n ϕ= ⇒ es un isomorfismo. Ejemplo 2.11 Sea { } { }1 1, , X a b P aba b− −= = Probaremos que ( )|X P es una presentación de

⊕¢ ¢

Sea ( )P

F XG N= , , , y =a b Gα β α β αβ βα= = ⇒ =

Tenemos en ⊕¢ ¢ a los generadores ( ) ( )1,0 y 0,1 , son tales que:

( ) ( ) ( ) ( )1,0 0,1 0,1 1,0+ = + conmutan. Por el teorema anterior existe un epimorfismo : Gϕ → ⊕¢ ¢ tal que:

( ) ( )( ) ( )

1,0

0,1

ϕ α

ϕ β

=

=

G es abeliano por ser generado por dos elementos que conmutan. Consideremos los morfismos 1 2, : Gψ ψ →¢ definidos por:

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )11 2 2 1

2

como n

n m m nm

nn m m n

m

ψ ααβ βα ψ ψ α β β α ψ ψ

ψ β=

= ⇒ = = ==

,n m∀ ∈¢

Sean ( ) ( )( ) ( )

11 2

2

,0, : definidas

0,

i n ni i

i m m

=→ ⊕ =

¢ ¢ ¢

Entonces existe un único morfismo: : Gψ ⊕ →¢ ¢

tal que ( ) ( )1,0 , 0,1ψ α ψ β= = y es claro que:

( )( ) ( )( ) , ψ ϕ α α ψ ϕ β β= =o o como y α β generan a G entonces IdGψ ϕ =o . Análogamente ( )( ) ( ) ( )( ) ( )1,0 1,0 y 0,1 0,1ϕ ψ ϕ ψ= =o o

entonces Idϕ ψ ⊕= ¢ ¢o luego 1ϕ ψ −= y se trata entonces de un isomorfismo.

¢ 1ψ 1i ψ ⊕¢ ¢ G ϕ 2i 2ψ ¢


- 70 -

Definición 2.13 Dado un grupo abeliano ( ),A + decimos que A es finitamente generado si lo es como grupo es decir: 1 2, ,..., ra a a A∃ ∈ tal que a A∀ ∈ existen

1 2 1 1, ,..., y ...r r rn n n a n a n a∈ = + +¢ . Si además los 1,...,in i r= son únicos decimos que A es un grupo abeliano libre ,

que { }1,..., ra a son una base de A y que r = rango de A. Entonces si A es un grupo abeliano libre existe A⊂A tal que a A∀ ∈ existen únicos , tal que

i

i i i ia

n a a n a∈

∈ ∈ = ∑¢A

A en que 0 i in a= ∀ ∈A salvo una

cantidad finita. Observación 2.10 En el caso que A es un grupo abeliano libre la función

: rAϕ → ¢ definida por ( )11

,...r

i i ri

n a n nϕ=

= ∑ es un isomorfismo.

Observase que un grupo abeliano libre nunca es un grupo libre ya que este último no es abeliano (observación 2.8). Observación 2.11 Si A es un grupo abeliano libre y tenemos A⊂%A,A bases de

A entonces = %A A

Observación 2.12 Si A es abeliano libre y G A< (subgrupo de A ) entonces G también es un grupo abeliano libre. Ejemplo 2.12 ( ) y son grupos finitamente generados abelianos libres n¢ ¢ generado por el 1 generado por la clase del 1 entonces lo son también los de la forma:

1

veces

... ...tn n

s

⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕¢ ¢ ¢ ¢14243

observar además que todo grupo finito es finitamente generado. Definición 2.14 Sea ( ),A + un grupo abeliano definimos el grupo que llamaremos

subgrupo de torsión de A y anotamos ( )T A como:

( ) { }: , 0T A a A n na+= ∈ ∃ ∈ =¢

es fácil verificar que es un subgrupo de A. Si además se cumple que ( )T A A= entonces decimos que A es de torsión

Por la observación anterior si A es abeliano libre entonces ( )T A A< también es un grupo abeliano libre.


- 71 -

Observación 2.13 ( ) si mcd , 1m n mn m n⊕ ≅ =¢ ¢ ¢ Por el teorema chino de los restos m n mn⊕ ≅¢ ¢ ¢

En caso general m¢ con 11 ...n nm p p= l

l donde los 1,...,ip i = l son primos distintos entonces

11

...n nm p p≅ ⊕ ⊕ ll

¢ ¢ ¢

Proposición 2.14 Si A es un grupo abeliano finitamente generado entonces:

1) Existe F subgrupo de A , F abeliano libre , tal que ( )A T A F= ⊕ Donde el rango de F depende solo de A. 2) Existen únicos 1 21 ... tm m m< ≤ ≤ ≤ tales que 1 2| | ... | tm m m y:

( )1

...tm mT A ≅ ⊕ ⊕¢ ¢

3) Existen únicos 1,..., rp p primos y 1,..., rn n +∈¢ tal que:

( ) 11

...n nrrpp

T A ≅ ⊕ ⊕¢ ¢

y llamamos a los 1,..., tm m factores invariantes y a los 11 ,..., rn n

rp p divisores elementales En el caso en que A es un grupo abeliano finito ( )T A A⇒ = entonces:

1

1 2

...

...tm m

t

A

A m m m

≅ ⊕ ⊕

=

¢ ¢

Ejemplo 2.13 Hallar los grupos abelianos de orden 1500. Descomponemos 1500 en producto de factores primos: 2 31500 2 .3.5=

( )( )

( )( )( )

( )

2 2 3 5 5 5

22 2 3 25 5

32 2 3 125

24 3 5 5 5

2 24 3 25 5

2 34 3 125

2,2,3,5,5,5

2,2,3,5 ,5

2,2,3,5

2 ,3,5,5,5

2 ,3,5 ,5

2 ,3,5

→ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕

→ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕

→ ⊕ ⊕ ⊕

→ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕

→ ⊕ ⊕ ⊕

→ ⊕ ⊕

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢

( ) ( ) ( )6 2 1 3p p p= siendo p número de particiones El algoritmo para hallar los factores invariantes es el siguiente: Tomamos todos los primos repitiéndolos tatas veces como el factor que más se repite, elevándolos a la cero si no está en la descomposición de factores primos.


- 72 -

En el ejemplo para el caso ( )2,2,3,5,5,5 el factor que más se repite es el 5 que se repite 3 veces luego escribimos tres veces a cada factor primo y elevando a la cero cuando no integraba la descomposición es decir: 0 02 .3 .5 0 0 02 ,2,2 ; 3 ,3 ,3 ; 5,5,5 2.3.5 02.3 .5 tomando los primeros ( 0 02 .3 .5 5= ) luego los segundos ( 02.3 .5 10= ) y por los últimos ( 2.3.5 30= ) los factores invariantes son: { { {

1 2 3

5 10 305 |10 | 30 m m m

A⇒ ≅ ⊕ ⊕¢ ¢ ¢

Para ( )2 0 22,2,3,5 ,5 2,2 ; 3 ,3 ; 5,5→ luego los factores invariantes para este caso

son 0 21 2 10 1502.3 .5 10 ; 2.3.5 150m m A= = = = ⇒ ≅ ⊕¢ ¢

Para ( )3 0 0 32,2,3,5 2,2 ; 3 ,3 ; 5 ,5→ en este caso los factores invariantes son: 0 0 3

1 2 2 7502.3 .5 2 , 2.3.5 750m m A= = = = ⇒ ≅ ⊕¢ ¢

Para el caso ( )2 0 0 2 0 02 ,3,5,5,5 2 ,2 ,2 ; 3 ,3 ,3 ; 5,5,5→ luego los factores

invariantes son: 0 0 0 0 2

1 2 3 5 5 602 .3 .5 5 , 2 .3 .5 5 , 2 .3.5 60 m m m A= = = = = = ⇒ ≅ ⊕ ⊕¢ ¢ ¢

Para el caso ( )2 2 0 2 0 22 ,3,5 ,5 2 ,2 ; 3 ,3 ; 5,5→ los factores invariantes son: 0 0 2 2

1 2 5 3002 .3 .5 5 , 2 .3.5 300 m m A= = = = ⇒ ≅ ⊕¢ ¢

Para el caso ( )2 3 2 315002 ,3,5 2 .3.5 1500 m A→ = = ⇒ ≅ ¢

Ejemplo 2.14 Hallar los divisores elementales y factores invariantes de: 5 15 25 36 45A ≅ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕¢ ¢ ¢ ¢ ¢ tenemos que 2 2 2 25 3.5 5 2 .3 3 .5

A ≅ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕¢ ¢ ¢ ¢ ¢ entonces:

2 2 23 3 5 5 52 3 5A ≅ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢

es decir que los divisores elementales son ( )2 2 2 22 ,3,3 ,3 ,5,5,5,5

Si escribimos 0 0 0 0 2 2 22 ,2 ,2 ,2 ; 3 ,3,3 ,3 ; 5,5,5,5

y los factores invariantes son ( )2 2 2 25 15 45 5005,3.5,3 .5,2 .3 .5 A→ ≅ ⊕ ⊕ ⊕¢ ¢ ¢ ¢

Corolario 2.15 Sea G un grupo abeliano finito y |m G entonces existe H G< tal

que H m= . Demostración Alcanza con tomar en la proposición anterior mH = ¢

- 73 -

Capítulo 3

Acción de un grupo en un conjunto El teorema de Cayley demuestra que los elementos de G pueden ser considerados como permutaciones de los elementos de un conjunto, es decir ( )G Biy Xy para algún X. Este es un caso especial de una situación más general de gran utilidad para el estudio de un grupo, lo cual se precisa con la siguiente definición. Definición 3.1 Sea G un grupo y X un conjunto. Una acción de G en X es una función

( ) ,

G X X

g x g x

× →i

iÎ

tales que verifica: i) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, , y ;g g x g g x g g G x X= ⋅ ∀ ∈ ∀ ∈i i i ii) .e x x x X= ∀ ∈i En esta situación se dice que G actúa en X y que X es un G-conjunto. Observación 3.1 Si G actúa en X y H G< entonces H actúa en X Consideramos la función inclusión

:i H X G X× → × tenemos así definido una función

: H G X× →i Donde por ser el neutro de un subgrupo igual al neutro del grupo se tiene que cumple con las propiedades de la definición anterior. Observación 3.2 En la definición de la acción hablamos de una función que llamamos i probaremos que para cada g G∈ se trata de una biyección de X en sí mismo. Dado , ,g G y X∈ ∈ como G es un grupo 1 1g G x g y X− −⇒ ∃ ∈ ⇒ ∃ = ∈i tal que:

i G X× X i H X×


- 74 -

( )( )

( )( )i ii

1 1g x g g y g g y e y y− −= = ⋅ = = ⇒i i i i i que es sobreyectiva; ahora para ver que es

inyectiva consideremos para un determinado 0g G∈

0 1 0 2g x g x=i i

entonces como existe 10g G− ∈ por ser G un grupo podemos escribir:

( ) ( )1 10 0 1 0 0 2g g x g g x− −=i i i i

y por definición de acción aplicando la condición (i) :

( ) ( )1 1

0 0 1 0 0 2

1 2

e e

g g x g g x

e x e x

− −

= =

⋅ = ⋅

=

i i14243 14243i i

Aplicando la condición (ii) 1 2 .x x= Lo mismo se cumple para cualquier otro .g G∈ Proposición 3.1 Sea G un grupo y X un conjunto. Existe una biyección entre el conjunto de las acciones de G en X y el conjunto de los morfismos de grupos de G en ( )Biy X , definida mediante:

{ } ( )( )

( )( )

acciones de en Hom ,

:

, g :g

G X G Biy X

G X X G Biy X

g x g x X X

ψ

ϕ

ϕ

←→

× → →

→

P Pi

144424443 144424443

iÎ Î

Demostración Definimos: ( )( ) ,g x g x g G x Xϕ= ∀ ∈ ∈i

esta fórmula nos da una biyección Consideremos morfismos ( ) 1 2: ,G Biy X g g Gϕ → ∈ entonces por ser morfismo:

( ) ( ) ( )1 2 1 2g g g gϕ ϕ ϕ⋅ = o y tenemos que:

aplicamos la fórmula ( )( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )

1 2 1 2

1 2 1 2

g g x g g x

g g x g g x

ϕ ϕ ϕ⋅ =

⋅ =P P

1442443 144424443i i i

esto último es la condición (i) de acción, luego se cumple por ser ϕ morfismo Por otro lado si ( ): G Biy Xϕ → es un morfismo ( ) Ideϕ⇒ =

( )( ) ( ) ( )Id iie x e x x xϕ= = = ⇒i De esta forma dado un morfismo en las condiciones de arriba implica tener una acción G en X. Y recíprocamente sea G X X× →i una acción de G en X.

Notas de Álgebra II Acciones - 75 -

- 75 -

Definimos ( )

( ):

g

G fun X

g

ϕ

ϕ

→

Î

de manera que ( ) ( )( ): está definida por g X X g x g xϕ ϕ→ = i entonces:

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

i) , ,

g g x g g x g g G x X

g g x g g x g g xϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

⇒ ⋅ = ∀ ∈ ∈

⋅ = =P P

i i i14243 14243o

luego ϕ es un morfismo.

{

( )( )( )

ii)Id

e x xe

e x xϕ

ϕ

⇒ = ⇒ ==

Pi

.

Por otro lado ( ) ( ) ( ) ( )1 1 Idg g g g eϕ ϕ ϕ ϕ− −= ⋅ = =o

luego ( )gϕ es invertible y ( ) ( ) ( )1 1g g gϕ ϕ ϕ− −= ⇒ es biyectiva y entonces

( ): G Biy Xϕ → . Entonces dar una acción de G en X es lo mismo que dar un morfismo

( ): G Biy Xϕ → y viceversa. Y esta podía haber sido nuestra definición de acción de un grupo en un conjunto, en consecuencia todo grupo por el teorema de Cayley es un G-conjunto ya que existe siempre un morfismo ( ): G Biy Gϕ → . Corolario 3.2 Si { } : ,G X X acción g G g x x x X G× → ⇒ ∈ = ∀ ∈i i < Demostración Por el teorema anterior y el comentario final de dicho teorema, tener una acción es lo mismo que tener definido un morfismo ( ): G Biy Xϕ → , tal que

( )( )g x g xϕ = i

el núcleo de ( ){ } es ker : Idg G gϕ ϕ ϕ= ∈ = y como:

( )( ) ( )Id

g x x xg x x x X

g x

ϕ = = ⇒ = ∀ ∈

P14243 i

i

entonces { }ker : ,g G g x x x Xϕ = ∈ = ∀ ∈i y como ker Gϕ ⇒< la tesis Definición 3.2 Sea una acción G X X× →i tal que ,g x x g G x X= ∀ ∈ ∈i entonces decimos que dicha acción es la acción trivial.


- 76 -

Definición 3.3 Una acción G X X× →i se dice fiel si { }ker eϕ = es decir que

, g x x x X g e= ∀ ∈ ⇒ =i , en este caso ( ): G Biy Xϕ → es inyectiva y anotamos:

( ): G Biy Xϕ ° Definición 3.4 Un subconjunto Y de un G-conjunto X se dice G-estable si:

,g y Y g G y Y∈ ∀ ∈ ∈i En esta situación G actúa en Y por restricción

{ {G X X

G Y Y

× →

× − − −>

i

∪∪

y por lo tanto Y es un G-conjunto. Es decir que un conjunto Y es G-estable haciendo abuso de notación podemos escribir GY Y⊂ y entonces:

{ ( )1 1

G Y

y Y g y Y y g g y GY Y GY

Y GY

− −

∈ ∈

∀ ∈ ⇒ ∈ ⇒ = ∈ ⇒ ⊂

∴ =

123

Luego Y es G- estable Y GY⇔ = Observación 3.1 Si G actúa en X entonces G actúa en ( ) { }:X Y Y X= ⊂P (conjunto de partes de X ) mediante una acción inducida de la siguiente manera: Dada la acción G X X× →i induce una acción en la partes de X:

( ) ( )( ) { } , :

G X X

g Y g Y g y y Y

× →

= ∈

i

i iÎP P

Sea ( ){ }:nY Y X Y n= ∈ =P siendo n un cardinal fijo, como ,gY Y g G= ∀ ∈

entonces nY es G-estable y G actúa en nY por restricción de la acción de G en

( )XP .

( ) ( )

n n

G X X

G Y Y

× →

× − − − >

i

∪ ∪14243 123P P

Definición 3.5 Sean X,Y dos G-conjuntos, entonces a una función :f X Y→ se le llama G-función si verifica: ( ) ( ) ,f g x g f x g G x X= ∀ ∈ ∈i i Definición 3.6 Dada una acción G X X× →i decimos que es transitiva si

,x y X∀ ∈ existe algún tal que g G g x y∈ =i


- 77 -

Ejemplo 3.1 Sea X un conjunto una acción de las ( )Biy X en X es la siguiente:

( )

( ) ( ) , :

Biy X X X

x x xϕ ϕ ϕ

× →

=

i

iÎ

definido Caso particular del anterior ejemplo es el siguiente:

( ) ( ) , :

n n nS I I

i i iσ σ σ

× →

=

i

iÎ

Ejemplo 3.2 Consideremos el conjunto de las matrices lineales ( )nGL K actuando en

nK dado por:

( )

( ) , :

n nnGL K K K

A v A v A v

× →

= ⋅

i

iÎ

Observar que en los dos ejemplos anteriores las acciones son transitivas y fieles. Proposición 3.3 Dada una acción G X X× →i entonces i) La relación ∼ en X definida por: tal que x y g G g x y⇔ ∃ ∈ =∼ i es una relación de equivalencia. ii) Para cada { }, :xx X G g G g x x∈ = ∈ =i es un subgrupo de G. Demostración i) a) x x∼ ya que e x x=i b) Sea tal que x y g G g x y⇒ ∃ ∈ =∼ i pero como G es un grupo implica que:

( )

( )

1 1 1

1

1

tal que

g G g g x g y

x g y y xg g x x

− − −

−

−

∃ ∈ = ⇒ = ⇒⋅ =

P

i i i14243 i ∼i

c) Transitiva

{ ( )

( ){( )sustituyendo

tal que

tal que

G

x y g G g x yg g x z

y z g G g y zg g x z x z

g g x∈

⇒ ∃ ∈ = ′⇒ = ′ ′⇒ ∃ ∈ = ′⇒ = ⇒′

P

∼ i i i14243∼ i i ∼i

ii) Primero que nada xe G∈ de forma obvia. Sean 1 2 1 2, y xg g G g x x g x x∈ ⇒ = =i i como G es un grupo tenemos que existe

12g G− ∈ y podemos escribir ( )1 1

2 2 2

x

g g x g x− −

=

=i i i123 pero por otro lado:


- 78 -

( ) ( )1 12 2 2 2g g x g g x x− −= ⋅ =i i i

luego 1

2g x x− =i sustituyendo en 1g x x=i tenemos:

( ) ( )1 1

1 1 2 1 2

11 2 x

g x g g x g g x x

g g G

− −

−

= = ⋅ =

∴ ⋅ ∈

i i i i

y xG G< Definición 3.7 La relación de equivalencia anterior establece una partición de X en clases de equivalencia que llamamos orbitas y anotamos por ( )xσ a la clase de equivalencia de x. ( ) { } : ,con x g x g G x Xσ = ∈ ∈i Definición 3.8 Al subgrupo xG definido en la proposición anterior le llamamos

estabilizador o grupo de isotropía de x; { } :xG g G g x x= ∈ =i

Observación 3.2 1) Si ( ) ( ) ( ) ( ), o x y X x y x yσ σ σ σ φ∈ ⇒ = =∩ esto es claro porque las orbitar son las clases de equivalencia. 2) Una acción es transitiva si y solo sí tiene solo una orbita. 3) Para cada ( ) , x X x Xσ∈ ⊂ es G-estable y además la acción restringida a ( )xσ

es decir de ( ) ( )G x xσ σ× →i es transitiva.

Para ver lo de G-estable basta con ver que ( ) ( )x G xσ σ= ya que:

( ) { ( )por def.

,x x g G g x xσ σ∀ ∈ ∈ ⇒ ∈% %i

y la acción de G sobre ( )xσ es transitiva ya que ( )1 2,x x xσ∀ ∈ tenemos por definición que

( )

( )

1 1 1 1 11 1 1 1

12 2 2

1 1

11 1

tal que

tal que

g G g x xg g x g x

g G g x x x g x

g g x x

− −

−

−

∃ ∈ = ⇒ = ∃ ∈ = ⇒ =

⋅ =

P

i i i i14243i ii

entonces sustituyendo

( )

( )( )

12 1 1 2

12 1 1 2

12 1 1 G

g g x x

g g x x

g g x

−

−

−∈

= ⇒ ⋅ =⋅

P

i i14243 i14243i

Por definición es transitiva.


- 79 -

4) { }: , kerx xx X x X

G g G g x x x X G Gϕ∈ ∈

= ∈ = ∀ ∈ = ⇒i <∩ ∩ .

Ya habíamos visto que dar una acción es lo mismo que tener un morfismo ( ): G Biy Xϕ → entonces ( ){ } ( )( )ker : Id como g G g g x g x x Xϕ ϕ ϕ= ∈ = = ∀ ∈i

luego ( ){ } { }ker : Id , : , xx X

g G x g x x X g G x g x x X Gϕ∈

= ∈ = ∀ ∈ = ∈ = ∀ ∈ =i i ∩

Además por el ejemplo1.41 se cumple que ker xx X

G G Gϕ∈

⇒< <∩ .

Observar además que si la acción es fiel entonces { }xx X

G e∈

=∩

Proposición 3.4 Sea X un G-conjunto e Y X⊂ un subconjunto. Entonces Y es un subconjunto G-estable si y solo sí es unión de orbitas. Demostración ⇐ como cada orbita es G-estable implica que la unión también lo es. ⇒ Si ( ) ( ) luego

y Y

y Y y Y y Yσ σ∈

∈ ⇒ ⊂ ⊂∪ pero como la otra inclusión es obvia

se tiene que ( )y Y

Y yσ∈

= ∪

Proposición 3.5 Sea X un G-conjunto y x X∈ entonces ( ) [ ]: xx G Gσ =

Demostración Dado un x X∈ consideremos una función

( ):

G x

g g x

ϕ σ

i²Î

por definición es sobreyectiva, y además se tiene ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1

1 1 1 1 x

e

g h g x h x h g x h h x

h g x h h x h g x x h g G

ϕ ϕ − −

− − − −

=

= ⇔ = ⇔ =

⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ = ⇔ ⋅ ∈P P

i i i i i i14243 14243

i i i14243

x xgG hG⇔ = entonces ϕ induce una biyección

( )ˆ :

x

x

G xG

gG g x

ϕ σ→

iÎ

entonces

( ) [ ]: xx

Gx G GGσ = =

como se quería demostrar.

ϕ G ( )xσ ϕ

x

GG


- 80 -

Definición 3.9 Dada una acción G X X× →i decimos que x es punto fijo si: g x x g G= ∀ ∈i Al conjunto de puntos fijos lo anotamos por 0X es decir:

{ }0 : ,X x X g x x g G X= ∈ = ∀ ∈ ⊂i Observar que claramente 0X es G-estable y además la acción de G sobre 0X es la trivial. Si [ ] ( ) ( ) { }0 : 1 1x xx X G G G G x x xσ σ∈ ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∴ =

Observación 3.3 Sea X un G-conjunto con X < ∞ y sea { }1,..., nx x X⊂ un conjunto de representantes de las orbitas entonces: ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( )1: ,..., y si n i jx x X x x x x i jσ σ σ σ σ φ∈ = = ≠∩

Podemos escribir:

( ) ( )1 1

nn

i ii i

X x X xσ σ= =

= ⇒ = ∑â

luego

1

:i

n

xi

X G G=

= ∑

observar además que necesariamente { }0 1,..., nX x x⊂ entonces si escribimos:

{ } { }1 0 1,..., ,..., con n mx x X x x m n= ≤∪ nos queda

01

: con : 2 , 1,...,i i

m

x xi

X X G G G G i m=

= + ≥ ∀ = ∑

Aplicaciones 1) Acción por conjugación Como conjunto X tomamos el propio G y definimos la función siguiente:

( ) 1 ,

G G G

g x gxg−

× →i

Îg

o sea que a 1g x gxg−=i (o también ( )int siendo intg gg x x=i la función definida

en la observación 3.4) 1) 1e x exe x−= =i ; 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 1h g x h gxg h gxg h hg x hg hg x−− − −= = = =i i i i .


- 81 -

luego se trata de una acción. Las orbitas ( ) { } ( )1 :x gxg g G C xσ −= ∈ =

Clase de conjugación de x El estabilizador, que para este caso recibe el nombre de centralizador de x y anotamos ( )GC x es:

( ) { } { }1: :GC x g G gxg x g G gx xg G−= ∈ = = ∈ = <

El centro de G que anotamos como ( )Z G es: ( ) { }: ,Z G g G gx xg x G= ∈ = ∀ ∈ luego: ( ) ( )

observación 3.2 (4)

Gx G

Z G C x G∈

= <1442443∩

Es decir que el centro es un subgrupo normal a G Observación 3.4 Si 1 , H G gHg G g G−< ⇒ < ∀ ∈ y decimos que 1gHg − es el

conjugado de H y : 1: H gHgψ −→ definida por ( ) 1h ghgψ −= es un isomorfismo. Consideremos la función int g definida:

1

int :

g G G

x gxg −

→

Î

Claramente dicha función es un morfismo ya que: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1int int intg g gxy g xy g gxg gyg x y− − −= = =

Entonces de acuerdo a la proposición 1.6 (iii) si ( )int gH G H G< ⇒ < y como

( ) 1int g H gHg −= se tiene la primera parte de la afirmación.

Ahora ψ es sobre ya que dado 1 1 1 tal que y gHg h H y ghg h g yg− − −∈ ⇒ ∃ ∈ = ⇒ =

es tal que ( ) ( )1 1 ;h g g yg g yψ − −= = por otro lado:

Si { {1 1 1 1

1 2 1 2 2

e e

gh g gh g h g g h g g h− − − −

= =

= ⇔ = =

Es por lo tanto inyectiva, también podíamos haberlo justificado por el hecho de que int |g Hψ = y esta última (ejercicio del practico) ya sabemos que es inyectiva luego

se trata de un isomorfismo. Como conclusión tenemos que la conjugación pasa de un subgrupo a otro con el mismo cardinal. Observación 3.5 La acción de G en G por conjugación , induce una acción de G en

( )GP dada por { }1 1 :g X gXg gxg x X− −= = ∈i la observación anterior implica que

( ) { }:Subg G H H G= < , y ( ) { }: , nSubg G H H G H n n += < = ∈¢ (conjunto de


- 82 -

subgrupos de G, y conjunto de subgrupos de G de orden n respectivamente) son subconjuntos G-estables de ( )GP . Luego G actúa por conjugación en ( )Subg G y

( )nSubg G , además si ( ) ( )1

m

nn

G m n Subg G Subg G=

= > ⇒ =â

Definición 3.10 Si ( )H Subg G∈ al estabilizador de H se le llama normalizador de

H, y anotamos como ( )GN H entonces:

( ) { }1:GN H g G gHg H G−= ∈ = <

Observar que en forma obvia ( )GH N H< Además :

( ) si :

y G

K H K GK N H

H K

∃ < < ⇒ <<

Es decir que ( )GN H es el mayor subgrupo de G que contiene a H y en el cual H es normal , dicho de otra forma:

( )GH G N H G⇔ =< Proposición 3.6 Sea G un grupo finito entonces: i) ( ) ( )[ ] ( ): | GC x G C x C x G x G= ⇒ ∀ ∈

ii) 1,..., mx x G tales que∃ ∈

( ) ( )[ ] ( )[ ]1

: : 2, 1,...,m

G i G ii

G Z G G C x con G C x i m=

= + ≥ ∀ =∑

iii) Si { } ( )[ ] y : : GK G n H G H conjugado de K n G N K< = < ⇒ = y luego |n G

Demostración i) En este caso la orbita es igual a la clase de conjugación, entonces: ( ) ( ) ( )[ ]: Gx C x G C x x Gσ = = ∀ ∈

ii) Si ( ) ( )10 0 x X gxg x g G gx xg g G x Z G X Z G−∈ ⇔ = ∀ ∈ ⇔ = ∀ ∈ ⇔ ∈ ⇒ =

Aplicando lo obtenido en la observación 3.3 para este caso particular se obtiene lo que se da en llamar ecuación de las clases. iii) Sea 1,H G g G gHg G−< ∈ ⇒ < entonces si consideramos la acción definida por:

( ) ( )

( ) 1 , :

G Subg G Subg G

g H g H gHg−

× →

=

i

iÎg

definido tenemos que:


- 83 -

( ) { } { }1: :K g K g G gKg g Gσ −= ∈ = ∈i

en forma general, el orden de la orbita es el índice del estabilizador en el grupo G, pero en este caso el estabilizador es el normalizador; luego: ( ) ( )[ ] { }: : conjugado de GK G N K H G H K nσ = = < =

luego |n G .

2) Si G actúa en X, esto equivale a tener un morfismo ( ):G Biy Xϕ →

llamemos ( ) kerN ϕ ϕ= . Tenemos que se induce un

monomorfismo ( ) ( )ˆ : G Biy XNϕ ϕ °

( ) ( ) ( ) ( )ker , xx X

GN G G G Biy XNϕ ϕ ϕϕ∈

= = ≅ <<∩

Entonces si ( )[ ]( )

, : | !G

G X G N XN

ϕϕ

< ∞ < ∞ ⇒ =

Podemos entonces considerar esto para la siguiente situación:

{( )( ) { }

no divide

Si ! N G

G XN e

ϕϕ

⇒ ≠

<�

Es decir que tenemos un subgrupo normal distinto del trivial, por lo que G no es simple.

3) Acciones por traslación (izquierda) Definición 3.11 Sea X G= un grupo y definimos la acción que llamamos acción por traslación por medio de la siguiente función

( ) ,

G G G

g x g x

× →

⋅

i

Îg

Producto en G O sea g x g x= ⋅i . A diferencia de la acción por conjugación, la función que define la acción en este caso no es un morfismo (en el caso de acción por conjugación vimos que era un isomorfismo observación 3.4) Claramente se cumplen las condiciones para que sea acción : i) e x e x x x X G= ⋅ = ∀ ∈ =i

G ϕ ( )Biy X π ϕ

( )G

N ϕ


- 84 -

ii) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 g , ,g g x g g x g g x g g x g g x g x G= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ∀ ∈i i i i . Observar que es una acción transitiva ya que , ,x y G∀ ∈ tenemos que ver si existe g G∈ que cumpla g x y=i .

{

1 g x y

g yx Ggx

−= ⇒ = ∈

Pi

Además es una acción fiel ya que g x x gx x g e= ⇒ = ⇒ =i . Observación 3.6 La acción por traslación induce una acción por traslación de G sobre las partes de G.

( ) ( )

( ) { } , :

G G G

g Y gY gy y Y

× →

= ∈

iP PÎ

Sea H G< , ( )G GH ⊂ P y , se tiene G G Gg G fH gfH gHH H H∀ ∈ ∈ = ∈ ⇒%

es G-estable, entonces por restricción, G actúa por traslación en G H , y se tiene:

( ) ,

G GG H Hg fH gfH

× →i

Î

que por ser la primera transitiva esta última también, luego tenemos solo una orbita:

( ) { } { }: : GfH gfH g G gH g G Hσ = ∈ = ∈ =% %

El estabilizador de fH es por definición: { }:fHG g G gfH fH= ∈ =

Pero por otro lado: 1 1 1 1 tal que gfH fH f gf H h H f gf h g fhf g fHf− − − −= ⇔ ∈ ⇔ ∃ ∈ = ⇔ = ⇔ ∈ luego: { } 1:fHG g G gfH fH fHf −= ∈ = =

Consideremos

( )( )

:

:

GG Biy HG Gg g H HfH gfH

ϕ

ϕ

→

→ÎÎ

Sea kerK ϕ= entonces como: 1 fH

f G g G

K G K gHg G−

∈ ∈

= ⇒ = <∩ ∩

y 1 si fHf H f H− = ∈ entonces K H⊂ luego:

G ϕ ( )GBiy H

π ϕ monomorfismo

G K


- 85 -

es el mayor subgrupo normal a contenido en K H

K G HK G

⊂ ⇒

<

ya que si existe algún T que cumple:

{1

1 1

por ser

,

f G

K fHf

T Gf G T fTf fHf T K

T H −

∈

− −

=

⇒ ∀ ∈ = ⊂ ⇒ ⊂⊂

<∩

Aplicando 2) a esta situación obtenemos:

Si [ ] { } , y : ! tal que K G

G H G G G H K eK H

< ∞ < ⇒ ∃ ≠ ⊂

<�

De esta forma obtenemos un subgrupo normal a G que está contenido en el subgrupo dado H. Ejemplo 3.3 Si 99 y con 11G H G H H G= < = ⇒ < Ya que

[ ] { { }99

99: 9 y 9! t.q.

11

K GGG H G K e

K HH=

= = = ⇒ ∃ ≠ ⊂

<�

Pero 11 primoH K H= ⇒ = Proposición 3.7 Sea G un grupo , G H G< ∞ < tal que [ ]:G H p= siendo p el

menor número primo que divide a G entonces H G< Demostración Sea la acción sobre el cociente considerada en la proposición anterior

G GG H H× →i y el morfismo ( ): GG Biy Hϕ →

Tenemos que se induce un monomorfismo (inyectivo)

( ) ( )ˆ : G GBiy HNϕ ϕ ° ( )

{kerN

H Gϕ

ϕ=

⊂ ⊂ entonces:

( )[ ] [ ]: | : !p

G N G Hϕ=

123

y como ( )[ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )

( )

: : : | ! : | 1 !

p

G N G H H N p H N p

H

N

ϕ ϕ ϕ

ϕ

=

= ⇒ −P

123 14243

Supongamos que ( ) ( )[ ]: 1N H H Nϕ ϕ⇒ >⊊ . Sea q primo tal que:

( )[ ] ( )| : | 1 !q H N pϕ − entonces ( )| 1 !q p −

G ϕ ( )GBiy H

π ϕ

( )G

N ϕ


- 86 -

además como

( )[ ]( )

| : | | |H

q H N q H G q GN

ϕϕ

= ⇒ ⇒

entonces:

( )

{por hip.

| 1 ! 1absurdo|

q p q p

q G q p

− ⇒ ≤ − ⇒⇒ >

Luego ( )N H H Gϕ = ⇒ <

Producto semidirecto Dado un grupo G tal que existe { } y tales que y N G K G N K e NK G< = =< ∩ . Si además K G< entonces

( ) ,

N K G

n k nk

× →Î

es un isomorfismo. Analicemos el caso en que K no es necesariamente normal. Observar que { } N K e g G= ⇒ ∀ ∈∩ existe un único , tal que n N k K g nk∈ ∈ = ya que de no ser así :

{ { { }1 2 1 2 1 21 12 1 2 1

1 1 2 2 1 2

, ,

N K

n n N k k K n nn n k k N K e

n k n k k k− −

∈ ∈

∈ ∈ = ⇒ = ∈ = ⇒ = =

∩

Consideremos la acción por conjugación

( ) 1 ,

G G G

g x gxg −

× →i

Î

Como N es normal es G-estable y por lo tanto induce una acción G N N× →i y como K G< tenemos una acción por restricción:

( ) 1 ,

K N N

k x kxk −

× →i

Î

lo que equivale a tener un morfismo:

( )

1

:

:

k

K Biy N

k N N

n knk

τ

τ−

→

→ÎÎ

es decir ( ) 1n knkτ −= Observar además que G NK= entonces el producto nos queda:


- 87 -

( ) {1

11 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2k

KN N

n k n k n k n k k k n n k kτ−

∈∈ ∈

⋅ = = ⋅123 14243

Observar que 1int | :k k N N kNkτ −= → de acuerdo a lo visto en la observación 3.4 es

un isomorfismo, pero como N es normal 1kNk N− = se trata de un automorfismo para todo k K∈ . Luego ( ) ( ): K Aut N Biy Nτ → < . Con esta idea modelamos el producto semidirecto que definimos a continuación. Definición 3.12 Sean N y K dos grupos y el morfismo:

( ):

k

K Aut N

k

τ

τ

→

Î

definimos el producto semidirecto (o producto torcido) que anotamos N Kτã como el grupo que como conjunto es N K× con producto, neutro e inverso definido por: Producto ( ) ( ) ( )( )

11 1 2 2 1 2 1 2, , ,kn k n k n n k kτ⋅ =

Neutro ( ),N K N Ke e e=ã Inverso

( ) ( )( )1

1 1 1, ,k

n k n kτ −

− − −=

Es un ejercicio verificar que N Kτã con estas definiciones es efectivamente un grupo. Veremos acá que el inverso está bien definido.

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )( ) ( ) ( ) ( )

1

1 1

1 1 1

1 1 1 1

Id

, , , , por definición del producto

, , , ,

k

k k K K N Kk k

n k n k n k n k

n n k k n n e nn e e e

τ

τ τ τ τ

−

− −

− − −

− − − −

⋅ = ⋅ =

= = = =

o123

por ser τ un morfismo y

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ){ ( ) ( )

1

1 1 1 1

1 1 1

1 1 1

, , , ,

, , , ,

N N

k

K N K N Kk k k k

e e

n k n k n k n k

n n k k n n e e e e e

τ

τ τ τ τ

−

− − − −

− − −

− − −

= =

⋅ = ⋅ =

= = =

14243

por ser 1kτ − morfismo automorfismo

Observación 3.7 Es equivalente tener un morfismo ( ): K Aut Nτ → a tener una función


- 88 -

( ):

:k

K Fun N

k N N

τ

τ

→

→Î

que verifique:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

,

,

k k k

k k k k

e

n n n nn n N

n nk k K

n n

τ τ τ

τ τ τ

τ

= ∀ ∈

= ∀ ∈=

En particular tenemos ( ) ( ) ( ) ( )1

1 11, , ,k k k kke e n n k K n Nτ τ τ τ τ−

− −−= = = ∀ ∈ ∈ .

Proposición 3.8 Sean N y K grupos y ( ): K Aut Nτ → morfismo definimos:

( ){ } ( ){ }, por , : , , :N K N K N n e n N K e k k Kτ⊂ = ∈ = ∈% % % %ã

entonces: i) ( ){ }, , , y N N K K N K N K e e NK N Kτ τ τ< = =% % % % % %< ∩ã ã ã

ii)

( ) ,

N N

n n e

→

%Î

y

( ) ,

K K

k e k

→

→

% son isomorfismos

iii) ( ) ( ) ( ) ( )( )1, , , , ,ke k n e e k n e k K n Nτ−⋅ ⋅ = ∀ ∈ ∈

Recíprocamente, si G es un grupo y existen , N G K G<< tales que

{ } y ,N K e NK G= =∩ entonces definiendo ( ) ( ) 1: ,kK Aut N por n knkτ τ −→ = resulta que

( ) ,

N K G

n k nkτ →ã

Î

es un isomorfismo. Demostración Definimos

( ):

,

N N K

n n eτϕ → ã

Î y

( ):

,

K N K

k e kτψ → ã

Î

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ), , , ,en n n e n e n n e e n n e n nϕ ϕ τ ϕ′ ′ ′ ′ ′⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ), , , ,kk k e k e k e e k k e k k k kψ ψ τ ψ′ ′ ′ ′ ′⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅

lo que implica que y ϕ ψ son morfismos, como Im , ImN Kϕ ψ= =% % y claramente

,ϕ ψ son inyectivos, se deduce , y , N N K K N K N N K Kτ τ< < ≅ ≅% % % %ã ã .

• ( ){ },N K e e=% %∩ es obvio.

• ( ) ( ) ( )( ) ( ), , , ,en e e k n e k n k N K NKττ⋅ = = ⇒ = % %ã .


- 89 -

• ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

( )

11 1

11 1 11

11

1 1 11 1 2 1 1 1 2 1 1 1

1 1 11 2 1 1 1 1 2 1

Id

, , , , ,

, ,

k k

N

k k kk

Nn

n k n e n k n n k n k

n n n k k n n n e N

τ τ

τ τ τ τ

−

−

−

− − −

∈

− − −

∈

⋅ ⋅ = ⋅ =

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ∈

678 %14424431442443

luego N N Kτ% < ã .

• Tomando ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 1

1

1 1 2 1 2 2, , , , ,k kn e e k n e e k e n e e n eτ τ−= ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Recíprocamente sea la función:

( ) ,

N K G

n k nk

µτ →ã

Î

Claramente es sobreyectiva (G NK= ) y es inyectiva porque { }N K e=∩ , luego µ es biyectiva.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

{ ( ) ( )1

11 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2

11 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

, , , ,

, ,

k

e

n k n k n n k k n k n k k k

n k n k k k n k n k n k n k

µ µ τ µ

µ µ

−

−

=

⋅ = ⋅ = =

= = = ⋅

luego µ es un morfismo. Proposición 3.9 Sea G un grupo tal que existen , N G K G<< que verifiquen G NK KN= = y { }N K e=∩ Entonces K G< si y solo sí , ,nk kn n N k K= ∀ ∈ ∈ Demostración ⇒ ya lo demostramos en la proposición 1.26 (iii)

1 1 1 1 Sea y , con ,k K g k n G k K n N⇐ ∈ = ∈ ∈ ∈ consideremos:

{ {1

1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1

kn e

gkg k n k n k k k n n k k kk K− − − − − −

= =

= = = ∈

luego K G< Observación 3.8 Si K y N son grupos y ( ): K Aut Nτ → es el morfismo trivial es decir Id, k k Kτ = ∀ ∈ si y solo sí : N K N Kτ = ×ã Demostración ( ) ( ) { ( )( ) ( )

11 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2def

, , , , , ,kn k n k n n k k n n k k n n N k k Kτ⋅ = = ∀ ∈ ∈

se cumple si y solo sí Id k k Kτ = ∀ ∈


- 90 -

Proposición 3.10 Si K, N son grupos y ( ): K Aut Nτ → es un morfismo no trivial, entonces N Kτã no es abeliano. Demostración Como τ no es trivial tal que Idkk K τ∃ ∈ ≠ on N⇒ ∃ ∈ tal que

( )0 0k n nτ ≠ para este k y este n0 sea:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

0 0

0 0 0

, , , ,, , , ,

, , , ,

e

k k

n e e k n e ek n kn e e k e k n e

e k n e e n ke n k

τ

τ τ

⋅ = = ⇒ ⋅ ≠ ⋅ ⋅ = =

�

Proposición 3.11 Si K es un cuerpo y G con G×< < ∞K entonces G es cíclico. En

particular si K es un cuerpo finito, entonces ×K es cíclico. Demostración Si { }1G = es trivial. Supongamos ahora que { }1G ≠ G abeliano finito

1 21 2 1 | | ... | tal que ...kk m m mm m m G⇒ ∃ < ≅ ⊕ ⊕ ⊕¢ ¢ ¢

Tenemos que: notación multiplicativa

10 0 0 1 k

i i i

km

i m k m k mi

m i m i m g g G=

⋅ = ∀ ⇒ ⋅ = ∀ ⇒ ⋅⊕ = ⇒ = ∀ ∈¢ ¢ ¢ .

Luego todos los elementos de G son raíces de [ ]1kmx K X− ∈ , pero este polinomio

tiene a lo sumo km raíces, entonces kG m≤ .

Pero 1 2. .... kG m m m= con 1 21 | | ... | km m m< , si fuese 1k > sería kG m> lo cual es absurdo, entonces

11 y .mk G= ≅ ¢

Observación 3.9 Si p es primo p⇒ ¢ es un cuerpo finito p

×⇒ ¢ es cíclico

( )pAut⇒ ¢ es cíclico { }1,2,..., 1a p∃ ∈ − tal que { }21, ,..., pp a a× −=¢ con

( )1 1 modpa p− ≡ .

Como ( ) ( )11 , ,

p p p

n

p

a n

× ×−= − ⇒ ⋅ ≅ +¢ ¢ ¢

Ï.

Subgrupos de Sylow Ya hemos visto que si G es un grupo de orden n, el orden de cada subgrupo H de G divide a n. También sabemos con ejemplos del practico que el recíproco no es cierto en general. 4A no posee subgrupos de orden 6.


- 91 -

A continuación probaremos que si | y m n m es potencia de un primo ( rm p= ) entonces todo grupo de orden n posee subgrupos de orden m. Además fijaremos las condiciones respecto al número de tales subgrupos. En particular verificaremos la existencia de p-subgrupos de orden máximo y demostraremos que todos ellos son conjugados. Estos resultados se conocen como Teoremas de Sylow y se encuentran entre los más importantes de la teoría de grupos. Definición 3.13 Sea p un número primo decimos que un grupo G es un p-grupo si el orden de todo elemento de G es np para algún 0,1,2,.....n = . Ejemplo 3.4 Si { }G e= , es un p-grupo para todo primo p, es el p-grupo trivial. Observación 3.10 Si G es un p-grupo finito entonces para algún nG p n= Demostración Supongamos que existe un primo q p≠ tal que |q G entonces por el teorema de Cauchy existe un elemento cuyo orden es q y G no sería un p-grupo. Observar que nosotros probamos el teorema de Cauchy más adelante usando Sylow, pero se puede demostrar sin usar Sylow (ver al final del capítulo). Definición 3.14 Si G es un grupo y H G< es un p-grupo entonces decimos que H es un p-subgrupo de G. Definición 3.15 Dado un grupo G , decimos que H G< es un p-subgrupo de Sylow de G si H es un p-subgrupo maximal de G (en el sentido de que si K es un p-subgrupo de G entonces K H< ). Por otra parte si G es finito entonces H G< es un p-subgrupo de Sylow si y solo sí nH p= siendo n el mayor natural tal que | .np G

Si p G� entonces { }e el único p-subgrupo de Sylow. Proposición 3.12 Sea G un p-grupo que actúa en un conjunto X finito. Entonces: ( )0 modX X p≡

Siendo { }0 : ,X x X g x x g G= ∈ = ∀ ∈i (el conjunto de los puntos fijos de la acción) Demostración Si la acción es la trivial todos los puntos son fijos y se cumple por ser G un p-grupo. Si la acción no es la trivial 1,..., tales que:mx x X⇒ ∃ ∈

01

: con : 1 1,...,i i

m

x xi

X X G G G G i m=

= + > ∀ = ∑

Ahora y 1 : | : 1,...,i

i i

nx xG p G G G G G p i m = < ⇒ = ∀ =

l luego


- 92 -

( )0| : , 1,..., modixp G G i m X X p ⇒ ∀ = ⇒ ≡

Corolario 3.13 Si G es un p-grupo finito no trivial. Entonces: ( ) { }Z G e≠ Demostración Consideremos la acción por conjugación, en la misma X G= y la ecuación de clases nos queda:

( ) ( )[ ] ( )[ ]1

: con : 1 1,...,m

G i G ii

G Z G G C x G C x i m=

= + > ∀ =∑

y ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]1 : | : | : 1,...inG i G i G iG C x G p G C x p p G C x i m< = ⇒ = ⇒ ∀ =l

luego ( ) ( )| 1p Z G Z G⇒ ≠

Observación 3.11 1) Si { } ( ) { }, GG e C x e x G≠ ⇒ ≠ ∀ ∈

2) Si ( )H Z G H G< ⇒ < Demostración 1) ( ) { }:GC x a G xa ax= ∈ = en particular ( ) , Gx C x x G∈ ∀ ∈

entonces si ( ) { } { } ( ) ( ) tal que G G Gx G C x e x e e C x C e G∃ ∈ = ⇒ = ⇒ = = = por lo tanto se tiene: { }G e=

2) Si ( )

{1, H Z G

g G h H ghg h H G−

<

∈ ∈ ⇒ = ⇒ <

Proposición 3.14 Si G es un p-grupo no trivial, entonces existe una torre (cadena)

de subgrupos { } 0 1 ... ne G G G G= < < < = tales que 1 y ii

i

GG G G+< es cíclico de

orden 0,1,...,p i n∀ = luego , 0,1,...,iiG p i n= =

Demostración Razonaremos por inducción completa en n con nG p= .

Para { } 0 11 es con n e G G G G p= = < = = luego se cumple trivialmente.

Sea nG p= y supongamos que la proposición vale para todo grupo de orden 1np − .

Como G es un grupo no trivial ( ) { } ( ) con 1Z G e Z G p n⇒ ≠ ⇒ = ≤ ≤l l pero

( )Z G es abeliano finito, considerando corolario 2.15 ⇒ existe H tal que:

( )

{obsev.3.11(2)

H Z G GH G

H p

< < ⇒

= <


- 93 -

consideramos 1, como nG G pH H−= podemos aplicar la hipótesis de inducción y

tenemos:

{ }0 1 1... nGG e G G H−= < < < =% % %

con

1 1 cíclico y 0,1,..., 2i ii

i i

G GGG p i nH G G+ + = ∀ = −

% %% < % %

Por la proposición 1.32 tenemos una biyección entre los subgrupos de G y los

subgrupos de GH monótona creciente que respeta la normalidad. Es decir que

aplicando dicha biyección que en su momento establecimos por medio de π :

{ }

{ }{ {00

0 1 1

1

1 1ˆ

...

ˆ ˆ ....

n

n

GG

GG e G G H

e H G G G

π π

−

−

−==

= < < < =

↑ ↓

< < < < =

% % %

b

Es decir que para cada i existe ˆˆ ˆ con y tal que i

i i iGG G H G G H< =%< entonces:

1

1 1

ˆˆ

ˆ ˆ

i

i i

ii i

GG GH p

GG GH

+

+ += = =%

%

Definimos

{ }

1

0

ˆ 1,...,i iG G i n

G e−= ∀ =

=

luego tenemos { } 0 1

0 1

...

ˆ ˆ

n

n

e G G G G

G G −

= < < < =P P

en las condiciones de la tesis.

Además 0,1,...,iiG p i n= ∀ =

Proposición 3.15 (Primer Teorema de Sylow) Dado un grupo G, si |p G con p primo, entonces existe un p-subgrupo de Sylow.

Además si ( ), , 1nG p k con p k= = , entonces npS p= siendo pS un p-subgrupo de

Sylow. Demostración Si G p= el propio G es un p-subgrupo se Sylow de G

Supongamos que el teorema es valido para todo grupo H con H G< y sea:


- 94 -

( ) con , 1nG p k p k= =

Si G no tiene subgrupos propios es primo G G p⇒ ⇒ = ⇒ la tesis.

Supongamos entonces que existe { } con H G e H G< ≠ ≠ , consideremos las siguientes situaciones: a) [ ]:p G H� , entonces como:

[ ] [ ]

[ ]( ): :

|, : 1

n

n

n

G G H H p k G H Hp H

p G H

= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒=

Luego ,nH p r= ⋅ pero como | |nH G p k r k= ⋅ ⇒ y por lo tanto ( ), 1p r = es

decir que ( ) con , 1nH p r p r= ⋅ = y H G< ⇒ que podemos aplicar la hipótesis

de inducción, y tenemos que tal que nK H K p∃ < = ⇒ que K es un p-subgrupo de Sylow de G. b) [ ] { }| : , con p G H H G e H G∀ < ≠ ≠ entonces considerando la ecuación de clases:

( ) ( )[ ] ( )[ ]1

: , : 1, 1,...,m

G i C ii

G Z G G C x G C x i m=

= + > ∀ =∑

( )[ ] ( )( )

{ { } ( ) ( )por obser.3.11 1

: 1 y G i G i G i G iG C x C x G e C x G C x G> ⇒ ≠ ⇒ ≠ ≠ < , luego por

hipótesis:

( )[ ] ( )

( )( )

| : , 1,..., | tal que

abeliano|G ip G C x i m p Z G

H Z G H pZ Gp G

∀ = ⇒ ⇒ ∃ < =

Pero que ( ) ( )H Z G H Z G< ⇒ < y podemos considerar el cociente GH que

cumple:

{1 1

por hipótesis de inducción

tal que n

n np kG Gp k K K pH Hp− −⋅

= = ⋅ ⇒ ∃ < =% %

considerando la biyección de la proposición 1.32 se tiene que: 1 con tal que n nK KK G H K K K H p p pH H

−∃ < < = ⇒ = ⋅ = ⋅ =%

Este K es el p-subgrupo de Sylow que estábamos buscando. Corolario 3.16 Sea G un grupo tal que ( ) , 1nG p k con p k= ⋅ = , entonces existen

subgrupos de G de orden , 0,1,...,p n∀ =l l Demostración Por la proposición anterior existe tal que nH G H p< = y por la

proposición 3.14 aplicada al H implica que existen ( )i iH H H G⇒ << tales que:

{ } 0 1 ... con para 0,1,...,in ie H H H H H p i n= < < < = = =


- 95 -

Otro corolario muy importante es el que se conoce como Teorema de Cauchy Corolario 3.17 (Teorema de Cauchy) Dado un grupo G y un número primo p tal que |p G , entonces existe un elemento

a G∈ tal que a p= . Demostración Por el Teorema de Sylow existe tal que .H G H p< =

Si e a H≠ ∈ de acuerdo al corolario 1.19 {1

|a H p a p>

= ⇒ = .

Lema 3.18 Sea G un grupo, p un número primo tal que |p G , H un p-subgrupo de

G y S un p-subgrupo de Sylow de G. Si ( )GH N S< , entonces H S< . Demostración Usando la proposición 1.26 (i) tenemos:

( )( )

( )GG

G

S N SHS N S G

H N S

⇒ < <

<

<

Luego HS G< Sea , n mS p H p= = por definición de p-subgrupo de Sylow m n≤ .Además podemos considerar que 1m ≥ ya que si 0,m = H sería el p-subgrupo trivial ⇒ H S< como queremos probar. Como consecuencia del segundo teorema de isomorfismo teníamos que: [ ] [ ]: :HS S H H S= ∩ pero este último divide a mH p= luego [ ]: | mHS S p

supongamos que [ ] [ ]: 1 : con 1HS S HS S HS S p≠ ⇒ > ⇒ = ≥l l por otro lado:

[ ]: con nHS HS S S p n n+= ⋅ = + >l l Luego encontramos un p-subgrupo de G de mayor orden que S lo cual es absurdo por definición, entonces HS S H S= ⇒ < . Proposición 3.19 (Segundo Teorema de Sylow) Sea G un grupo finito y p primo tal que |p G entonces se cumplen: i) Todo p subgrupo de G está contenido en algún p-subgrupo de Sylow. ii) Todos los p-subgrupos de Sylow son conjugados iii) Si { } pn p subgrupos de Sylow de G= − entonces:

( )1 modpn p≡

G ( )GN S HS = H S = H S∩


- 96 -

Demostración i) Sea S un p-subgrupo de Sylow de G. Es nS p= siendo

( ), , 1nG p k p k= ⋅ = Consideremos la acción:

( ) ( )

( ) 1 ,

G Subg G Subg G

g K gKg −

× →i

Îg

Sea { }1 :gSg g G−= ∈S la orbita de S ( )( )Sσ = S

De acuerdo a la proposición 3.5 ( )[ ]: GG N S=S por otro lado:

( ) ( ) ( ) considerando los ordenes | |n n nG G GS N S G p N S p k N S p h< < ⇒ ⋅ ⇒ = ⋅

con ( ), 1p h = , entonces:

( )[ ]( )

( ): con , 1n

kG hn

G

G p k kG N S p

N S p h h⋅

= = = = =⋅

S

luego ≡S ( )0 mod p . Sea H un p-subgrupo de G . Como S es G-estable, podemos restringir la acción a S (ver observación 3.2) y tenemos

( ) 1 ,

G

g S gSg −

× →i

ÎgS S

y restringiendo a H

( ) 1 ,

H

h S hSh−

× →i

ÎhS S

Como H es un p-subgrupo por la proposición 3.12 ( )0 modH p≡S S siendo 0HS

el conjunto de puntos fijos de la acción restringida a H, es decir: { }1

0 : , H Q hQh Q h H−= ∈ = ∀ ∈S S

y como ≡S ( ) 00 mod Hp ⇒ ≡S ( ) 0 00 mod 0H Hp φ⇒ ≠ ⇒ ≠S S

( ){

10

Lema 3.18

luego existe , i)

es un -subgrupo de Sylow

HGQ hQh Q h H H N Q

H QQ S Q p

−

∈

∈ ⇒ = ∀ ∈ ⇒ < ⇒ < ⇒⇒ = ⇒

123S

S

Si además H es un p-subgrupo de Sylow de G y 0HQ ∈S es H Q< , con H Q=

luego 1 tal que H Q g G H gSg −= ∈ ⇒ ∃ ∈ =S y esto prueba ii)

Esto prueba además que todo p-subgrupo de Sylow está en S , y { }0H H=S luego

( ) ( )0 01,como mod 1 modH H p p= ≡ ⇒ ≡S S S S pero:

{ }-subgrupos de Sylow de p G=S

entonces ( )1 modpn p= ≡S .


- 97 -

Observación 3.12 Si pS es un p-subgrupo de Sylow de G y :

{ }subgrupos de Sylow de pn p G= −

entonces valen

( ) ( )1 mod y |p p p

pG p

G Gn p n n

SN S≡ =

Demostración ( ) ( ):p G p

G p

Gn G N S

N S= = = S

( ) ( ) ( ): : : | :

p

p G p G p G p p p p pp

n

GS N S G G N S N S S G S n G S

S=

< ⇒ ⋅ = ⇒ = < 1442443

Corolario 3.20 Sea p primo tal que | y pp G S es un p-subgrupo de Sylow de G.

Entonces 1p pS G n⇔ =<

Demostración

( ) ( )1 1p G p pG p

Gn N S G S G

N S= ⇔ = ⇔ = ⇔ <

Corolario 3.21 Sea p primo tal que | y pp G S un p-subgrupo de Sylow de G.

Entonces ( )( ) ( )G G p G pN N S N S=

Demostración Si ( ) { } ( )1 es : y G GH G N H g G gHg H N H−< = ∈ = es el mayor

subgrupo de G del cual H es un subgrupo normal Luego es ( ) ( )( )G p G G pN S N N S<

( )p G pS N S< y es un p-subgrupo de Sylow de ( )G pN S , luego por el corolario

anterior implica que pS es el único p-subgrupo de Sylow contenido en ( )G pN S .

( )( ) ( ) ( )( )

{ ( )1 1Si , perop G p

G G p G p G p p G pS N S

x N N S xN S x N S xS x N S− −

<

∈ ⇒ = ⇒ <

1pxS x− es un p-subgrupo de Sylow de ( ) ( )1

G p p p G pN S xS x S x N S−⇒ = ⇒ ∈ luego:

( )( ) ( )G G p G pN N S N S⊂

como la otro inclusión es obvia son iguales. Veamos ahora algunas aplicaciones.


- 98 -

Aplicaciones Ejemplo 3.5 Sea un grupo G tal que 72G = probar que G no es simple.

Descomponemos el 3 272 2 3= ⋅ . Entonces si 3S es un 3-subgrupo de Sylow, implica

que 3 9S = (Primer Teorema de Sylow). Por el segundo Teorema de Sylow

( ) 33 3 3 3

1 af.72| 8 | 8 y 1 mod3

49p

S GGn n n n

S

⇒ ⇒= = ⇒ ≡ ⇒ =

<

Si ( )[ ] { ( ) {3 32472

4 : 4 : ! 4!G G pn G N S G G N S= ⇒ = ⇒ = � entonces de acuerdo a lo

visto en la aplicación 2) de acciones (pag.83) (ver conclusión de la observación 3.6)

{ { } ( )3 3Lema 3.18

ker

tal que e GK G K N S K Sϕ=

∃ ≠ < ⇒ <<

Ejemplo 3.6 Sea G un grupo tal que 2G p= con p primo, entonces G es abeliano luego es 2 o p pp

G G≅ ≅ ⊕¢ ¢ ¢ .

G es un p-grupo, luego tenemos:

( ) { } ( ) ( ) ( ) ( )2

cor.3.13

af. como mod

p Z G GZ G e G Z G p Z G

p

⇒ = ⇒⇒ ≠ ≡ ⇒ =

Si ( ) ( ) ( ), como GZ G p Z G G Z G= ⇒< es un grupo con:

( ) { ( )cor. 1.20

es cíclicoG GpZ G Z G= ⇒

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

mod tal que ,

mod tal que

n n n

m m m

a Z G a Z G h Z G a ha b G

b Z G b Z G k Z G b k

α α αα α α

−

−

≡ ⇒ ∈ ⇒ ∃ ∈ =∀ ∈ ⇒

≡ ⇒ ∈ ⇒ ∃ ∈ =

entonces ( )

{( )

{}

( ){ {{mn n m n m m n m n

h Z G h Z G k Z G b a

ab h k hk kh k h k h baα α α α α α α α α↔

+

∈ ∈ ∈ = =↔ ↔ ↔

= = = = = =EF EF E5F

por lo que G es abeliano ( )Z G G⇒ = pero ( )Z G p G= ≠ luego es absurdo.

Ejemplo 3.7 Sea G un grupo tal que 2 211 13G = demostrar que es abeliano.

11 112

11 11

1 1

1 11 |13 1 11 13

n S G

n k n k

⇒ = ⇒= + ⇒ = + =

<

213


- 99 -

13 13

213 13

1 1

1 13 |11 1 13 11

n S G

n k n k

⇒ = ⇒= + ⇒ = + =

<

211

{ }{ }

2 2 2 211 13 11 13 11 13 11 13

11 13 11 13 11 12 11 13ej. 1.42

11 , 13 1 11 13

, , y

S S S S S S e S S

G S S S G S G S S e G S S

= = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

⇒ = = ⇒ ≅ ×

∩ ∩< < ∩

Y como 2 211 1311 y 13S S= = por el ejemplo anterior 11 13,S S son abelianos y por

lo tanto 11 13S S× también. Ejemplo 3.8 Si 6G = y G no es abeliano entonces es 3G ≅ S entendiendo por 3S a las permutaciones de 3 elementos. Como [ ]3 3: 2G S S G= ⇒ <

}3 2 3 y 1

2 2 3 2 32 21 abeliano1 2 | 33

S G S S

S G G S Sn k n

= ⇒ ⇒ ≅ × ≅ × ⇒= + ⇒ =

< ∩

< ¢ ¢

Luego 2 23n S= ⇒ <G Consideremos la siguiente acción sobre el conjunto 2

GS

dada por:

( )

2 2

2 2 ,

G GG S S

g hS ghS

× →i

Î

Lo que equivale a tener un morfismo:

( )( )

( )( )

2 3

2 2

2 2

:

:

GG Biy S

G Gg g S S

g hS ghS

ϕ

ϕ

ϕ

→

→Î

Î

12 2ker

g G

gS g Sϕ −

∈

= <∩ (ver observación 3.6) pero como { }

22

2 kere

SS

ϕ

= ⇒ =

entonces si 2ker Sϕ = como 12 2ker

g G

gS g G S Gϕ −

∈

= ⇒< <∩

luego { } ( ) 32 2

ker : ya que 3G Ge G Biy S Sϕ ϕ= ⇒ ≅ =S° y como 3G = S

implica que ϕ es un isomorfismo 3G∴ ≅ S


- 100 -

Observación 3.13 Si p q< son primos y ( )1 mod ,q p≡ entonces existe un entero r tal que:

( )1 modpr q

r

≡

≡ ( )1 mod q

y que { }1, : 1, p q ra b a b aba b−= = = es un grupo no abeliano de orden pq.

Proposición 3.22 Sea G un grupo, , G pq p q= < primos: i) Si G es abeliano, entonces pqG ≅ ¢ luego G es cíclico.

ii) Si G no es abeliano, entonces se cumplen: a) ( )1 mod ;q p≡

b) ( ) 1 mod y pr tal que r q r+∀ ∈ ≡ ≡¢ ( )1 mod ,q tenemos que:

{ }1, : 1, p q rG a b a b aba b−≅ = = =

Demostración Sean y tal que , p q p qS G S G S p S q< < = = ( ), p p q qS S≅ ≅¢ ¢

Como ( ), 1 1p q p qp q S S S S pq G= ⇒ = ⇒ = =∩ luego:

{ }

p q

p q

G S S

S S e

=

=∩

{1 | 1q q qp q

n kq p n S G<

= + ⇒ = ⇒ <

11 | p p p q p q pq

pp

n S G G S Sn kp q

n q

= ⇒ ⇒ ≅ × ≅ × ≅= + ⇒ =

< ¢ ¢ ¢

Si ( )1 modpn q q p= ⇒ ≡ Sea ( ) tal que 1 mod y pr r q r+∈ ≡ ≡¢ ( )1 mod .q

Como 1p pn S≠ ⇒ <G , y además { }, , p q q p qG S S S G S S e= =< ∩ implica que:

y tal que p qS Sα β αβ βα∃ ∈ ∈ ≠

ya que de lo contrario 1, ,p qS Sα βαβ α β−= ∀ ∈ ∈ y entonces:

, tal que , y p q pg G a S b S g ab s S∀ ∈ ⇒ ∃ ∈ ∃ ∈ = ∀ ∈ y se tiene que:

( ) ( ) {11 1 1 1p p

s

gsg ab s ab absb a asa S S G−− − − −

=

= = = ⊂ ⇒ <

y p qS S son cíclicos más aún son simples { {si , y p qe e

S Sα β≠ ≠

⇒ ∈ ∈ entonces

, con , p qS S p qα β α β= = = = y como:


- 101 -

{ { }1 1! 2,..., 1 tal que qS G

q

β

α β α β αβα β− −≠ ⇒ ∃ ∈ − =

P

l

<l

c

( ) ( ) 21 1 1Si αβα β αβα β αβ α β− − −= ⇒ = ⇒ =l ll l l l sustituyendo:

( ) 2 21 1 2 2α αβα α β α βα β− − −= ⇒ =l l y así sucesivamente tt t tα βα β− = ∀ ∈l ¢

pero como ( )1 modp pp p p pe qα α βα β β β−= ⇒ = ⇒ = ⇒ ≡l l l donde 2 1q≤ ≤ −l

luego ≡l ( )1 mod q

En ( ) es 1p

q× =¢ l y 1 p≠ ⇒ = =l l l

Análogamente para { }1 es , 1, ,..., pqr r r p r r r× −∈ = = =¢

Pero como q×¢ es cíclico, entonces tiene un único subgrupo de orden p; luego

r=l { }1

1,..., 1 tal que en cqc p r

≠⇒ ∃ ∈ − =l

l ¢ .

{ } ( )1 1 0 en 1,..., 1 tal que 1 1 modpc p c d p cd cd p≤ ≤ − ⇒ ≠ ⇒ ∃ ∈ − = ⇔ ≡¢

En ( )

( )

es mod

1 mod

d cd dq r r r q

cd p

r p

= = ⇒ ≡

≡

=

¢ l lE555555555F

Sea 0 , dpS dα α α= ∈ = ≡ ( ) 00 mod pp S α⇒ =E55555F

( )

( )

1 10 0 0 0

mod

dd d r r

d r q

q

α βα α βα β β α βα β

β

− − −

↑= = = ⇒ =

≡

=

l

l

Luego 10 0 0 0 0, , , y p q r

p qG S S e eα β α β α β α βα β−= = = = = = esto implica

que existe un epimorfismo entre { }1, : 1,p q ra b a b aba b−= = = y G dado por :

{ }1

0

, : 1,

p q ra b a b aba b G

a

b

α

β

−= = = →

ÎÎ

Como ambos grupos tienen orden pq dicho epimorfismo es un isomorfismo. Observar que la proposición anterior prueba que hay solamente dos grupos de orden pq con p q< a menos de isomorfismos.


- 102 -

Corolario 3.23 Dado un grupo G tal que 2G p= con p primo distinto de 2, entonces 2 o p pG G D≅ ≅¢

Demostración

Si G es no abeliano, como ( ) ( )2 21 2 1 1 mod

1

p p p p

p

− = − + ≡− ≡ ( )

pues 21 mod

pp

≠

Entonces tomando 2, y 1p q p r p= = = − en la proposición anterior es:

{ }2 1 1, : , p ppG a b a b aba b D− −≅ = = =

Ejemplo 3.9 Si 6G = y G no es abeliano entonces 3G D≅ en particular 3 3D≅S Ejemplo 3.10 Si 35 3 7, 7G G= ⇒ = ⋅ ≡ ( ) 351 mod5 G⇒ ≅ ¢ . Teorema de Cauchy Sea G un grupo finito, p primo tal que |p G , entonces existe

un elemento a G∈ tal que a p= . Demostración (J.H. MacKay) Consideremos la p-uplas de elementos de G tales que su producto nos de el neutro del grupo o sea: ( ){ }1 2 1 2, ,..., : 1,..., y ...p i pX a a a a G i p a a a e= ∈ ∀ = =

Como pa es determinado unívocamente por ( ) 1

1 2 1... pa a a−

− , entonces:

1

1

pGpX AA G −

−= = (arreglos con repetición)

Consideremos la acción de p¢ actuando en X, definida por una k permutación

circular de la p-upla, en forma explícita: ( ) ( )1 1 1,..., ,..., , ,...,p k p kk a a a a a a+=

Primero que nada ( )1,...,k ka a X+ ∈ por que si ( )1 1xy e yx x xy x x x e− −= ⇒ = = = , y por otro lado se trata de una acción de p¢ sobre X porque:

i) ( ) ( )h k x h k x= +i i i (notación aditiva para el grupo aditivo p¢ ) ii) 0 x x=i y en

este caso 0X conjunto de puntos fijos de la acción, es tal que ( )1 0,..., pa a X∈ si y

solo sí 1 2 ... pa a a= = = es decir ( ){ }0 ,..., : y pX a a a G a e= ∈ = .

Además como p pp= ⇒¢ ¢ es un p-grupo actuando en X, entonces por la

proposición 3.12 0X X= (mod p) y |p G entonces ( )0 modX p= y

como ( ) 0 0,..., 1e e X X∈ ⇒ ≥ , entonces 0X p a e≥ ⇒ ∃ ≠ tal que pa e a p= ⇒ =

- 103 -

Capítulo 4

Cuerpos Definición 4.1 Un cuerpo es un anillo conmutativo { }0≠K en el cual todo elemento no nulo es invertible. Definición 4.2 Un subcuerpo de K es un subconjunto S ⊂ K que verifica:

• Si , y ,a b S a b S a b S a b S∈ ⇒ − ∈ ⋅ ∈ ∀ ∈

• Si 1, 0 , a S a a S a S−∈ ≠ ⇒ ∈ ∀ ∈ • 1 S∈

Luego S es un cuerpo restringiendo + y ⋅ de K a S. Ejemplo 4.1 Tenemos que ⊂ ⊂¤ ¡ £ es una cadena de subcuerpos.

Ejemplo 4.2 p p= ¢¢ ¢ con p primo, es un cuerpo.

Ejemplo 4.3 Si K es un cuerpo [ ]x⇒ K polinomios en la variable x es un dominio

de ideales principales, ( ) [ ]{ }: , , 0fgx f g x g= ∈ ≠K K es el cuerpo de fracciones

de [ ]xK llamado el cuerpo de las expresiones racionales en la variable x.

Generalizando para más variables si K es cuerpo [ ]1,..., nx xK dominio factorial y

su cuerpo de fracciones es ( ) [ ]{ }1 1,..., : , ,..., , 0 .fn ngx x f g x x g= ∈ ≠K K

Ejemplo 4.5 Si K cuerpo, [ ] [ ]{ } y :f x f fg g x∈ = ∈K K el ideal generado por f, entonces:

[ ]xf

K

es un cuerpo f⇔ es irreducible.


- 104 -

Definición 4.2 Dados dos cuerpos ,k f un morfismo de cuerpos es una función

:ϕ →K f que verifica:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

; ,

es un morfismo de anillos;

1 1

a b a ba b

ab a b

ϕ ϕ ϕ

ϕϕ ϕ ϕ

ϕ

+ = + ∀ ∈ ⇔=

=

K

Observación 4.1 Si :ϕ →k f es un morfismo y , 0a a∈ ≠ ⇒K a es invertible, entonces:

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

1 11 1

01 1

.

aaa a a

a a

ϕϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ− −

− −

≠= = = ⇒ =

por lo que Imϕ es un subcuepo de F y como kerϕ < K y los únicos ideales de un cuerpo son { }0 y el propio cuerpo K y por definición ( )1 1ϕ = ⇒ { }ker 0ϕ ϕ= ⇒ es inyectivo. Entonces K es isomorfo a Imϕ y podemos ver al morfismo ϕ como la inclusión, es decir Imϕ≅ ⊆K F , tenemos una copia de K por medio de ϕ en F. Definición 4.3 Dados dos cuerpos ,F K , decimos que el par ordenado ( ),F K es una extensión de cuerpos, y si K es un subcuerpo de F , decimos también que F es una extensión de K . En general usaremos la notación ⊃F K para indicar que F es una extensión de K. Observación 4.2 Si A es un anillo y K es un subanillo de A que es un cuerpo, entonces A es un K-espacio vectorial. En particular si F es una extensión de K , entonces F es un K-espacio vectorial. Escribimos [ ]: dim= KF K F . Definición 4.4 La extensión ⊃F K se dice finita si [ ]: < ∞F K e infinita en el

caso contrario. Llamaremos grado o dimensión de la extensión [ ] a : .⊃F K F K Observación 4.3 Si F es un cuerpo y i ⊂K F es un subcuerpo ,i I∀ ∈ entonces:

es un subcuerpo de .ii I∈∩K F

Además: :

ii I∈

⊂

=

∪∩K L

K L

donde L subcuerpo de F. K es el menor subcuerpo de F que contiene a , .i i I∀ ∈K

Notas de Álgebra II Cuerpos - 105 -

- 105 -

Definición 4.5 Si { } 11,..., , escribimos ... nI n= =K K K y decimos de K que es el cuerpo compuesto de 1,..., .nK K Observación 4.4 Lo anterior prueba que si F es un cuerpo fijo, la familia de subcuerpos de F forma un retículo completo respecto al orden dado por la inclusión. Definición 4.5 Si ⊃ ⊃F E K es una torre de extensiones, decimos que E es un cuerpo intermedio entre F y K . Sea ⊃F K una extensión fija, definimos: ( ) { }Lat , : es un cuerpo intermedio entre y =F K E E F K

Claramente Lat ( ),F K es un reticulado completo respecto a la inclusión, si

( ), Lat , y ∈ ⇒ ∧ = ∨ =∩L E F K E L E L E L E L . Definición 4.6 Sea ⊃F K una extensión fija. Si S ⊂ F es un subconjunto, definimos: 1)El conjunto generado por y SK es:

[ ] subanillo de

,S A

A

S A⊂

=∪∩

KF

K

[ ]S ⊂K F subanillo y luego [ ]SK es un dominio. 2) El subcuerpo generado por y SK es:

( ) subcuerpo de

,S

S⊂

=∪∩

K LL F

K L

( )S ⊂K F subcuerpo.

Es [ ] ( ) .S S S⊂ ⊂ ⊂∪K K K F Notación Si { }1,..., nS u u= escribimos { }[ ] [ ]1 1,..., ,..., .n nu u u u=K K

{ }( ) ( )1 1,..., ,..., .n nu u u u=K K

y [ ] ( ) [ ]{ }1 1 1,..., ,..., : ,...,n n nu u f u u f x x= ∈K K

( ) ( )( ) [ ] ( ){ }1

1

,...,1 1 1,...,,..., : , ,..., , ,..., 0n

n

f u un n ng u uu u f g x x g u u= ∈ ≠K K

Observación 4.5 Si y ⊂ ⊂K F L F son subcuerpos, entonces: ( ) ( )= ⊂K L = K L L K F Definición 4.7 Si F es un cuerpo, le llamamos cuerpo primo de F a la intersección de todos los subcuerpos de .F


- 106 -

Proposición 4.1 Si P es un cuerpo primo de F, entonces o p≅ ≅¤ ¢P P para

algún p primo. Demostración Observar que como: 1 1 ,n n∈ ⇒ ⋅ ∈ ∀ ∈¢F FP P ⇒ { }1 :n n⋅ ∈ ⊂¢F P .

Consideremos el morfismo de anillos :ϕ →¢ F definido por ( ) 1 .n nϕ = ⋅ F

El kerϕ es un ideal de { } y Im 1 : .n nϕ = ⋅ ∈ ⊂¢ ¢F P Entonces se pueden presentar los siguientes casos: a) { }ker 0ϕ ϕ= ⇒ es inyectivo: si ( ) ( )0 0 en n n nϕ ϕ≠ ∈ ⇒ ≠ ⇒¢ F es invertible

ˆ! :ϕ⇒ ∃ →¤ F morfismo de cuerpos tal que el diagrama conmuta. Como ϕ es inyectivo ( )

( ){ }Îm : , , 0nm n m mϕ

ϕϕ⇒ ≅ = ∈ ≠¤ ¢

Como Im y ϕ ⊂ P P es un subcuerpo entonces: Îm

ÎmÎm es subcuerpo de

ϕϕ

ϕ⊂

⇒ = ⇒ ≅≅ ⇒ ¤¤ ¤

PP P

F

b) { }ker 0 ! tal que kerp pϕ ϕ+≠ ⇒ ∃ ∈ =¢ y : pϕ∃ →¢% F morfismo

inyectivo de anillos tal que el diagrama conmuta: Con Im Im y Im Im .pϕ ϕ ϕ ϕ= ≅ =% %¢

Imϕ ⊂% F subanillo y F cuerpo Imϕ% dominio, entonces: dominio cuerpo y es primo.p p p⇒¢ ¢

Luego Im es un subcuerpo de y Impϕ ϕ⇒ ≅ ⊂¢ F P lo

que implica Im .pϕ= ⇒ ≅ ¢P P

Definición 4.8 Si ≅ ¤P decimos que la característica de F es cero (car =0F ) y si

p≅ ¢P decimos que la característica de F es p (car p=F ).

Luego si { }car 0, es min : 1 0 .p p n n+= > = ∈ ⋅ =¢ FF

Observar que si F es cuerpo finito, necesariamente es car 0.p= >F Por otro lado, si p es primo positivo entonces ( )p x¢ es un cuerpo infinito de característica p.

Definición 4.9 Una extensión ⊃F K se dice finitamente generada si existen

1,..., nu u ∈F tales que ( )1,..., .nu u=F K

ϕ ¢ F Ñ ϕ ¤

ϕ ¢ F Ñ π ϕ%

p p= ¢¢


- 107 -

Definición 4.10 Una extensión se dice simple si existe ( ) tal que u u∈ =F F K . Observación 4.6 ( ) ,x ⊃K K es simple (luego finitamente generado) pero

( ) ( )dim ,x x= ∞ ⇒ ⊃K K K K no es finita. Proposición 4.2 Sea ⊃ ⊃F E K una torre de extensiones entonces: [ ] [ ] [ ]: : : ,= ⋅F K F E E K y por lo tanto ⊃F K es finita si y solo sí y ⊃ ⊃F E E K son finitas. Demostración Sean { }:ie i I∈ una base de E como K-espacio vectorial

{ }:jf j J∈ una base de F como E-espacio vectorial.

Afirmamos que ( ){ }: ,i je f i j I J∈ × es una base de F como K-espacio vectorial.

Primero probamos que es generador:

,

Si tal que

; tal que

j j jj J

ij i ji jij j ij i

i I

x a x a f

x a e fa a a e

∈

∈

∈ ⇒ ∃ ∈ = ⇒ =

∃ ∈ =

∑∑

∑

F E

K

Ahora probamos que es L.I.

} }

,

0 0Sean tal que 0

,

ij j ijij ij i j ij i j i

i j j i

a e aa a e f a e f

j J i I

∈∈

∈

= ⇒ =∈ = = ⇒

∀ ∈ ∀ ∈

∑∑ ∑ ∑14243

KK

E

K

Definición 4.11 Sea ⊃F K una extensión y u ∈F fijos Definimos:

[ ]

0 0

:

u

n ni i

i ii i

x

a x a u

ε

= =

→

∑ ∑

K F

Î

morfismo de anillos. [ ] [ ] ( ){ } [ ]Im y ker : 0 ideal de .u uu f x f u xε ε= = ∈ =K K K

a) Si { }ker 0uε = decimos por definición que u es trascendente sobre K. Lo

que implica [ ] [ ]u x≅K K .

Si [ ] ( ) verifica 0 0.f x f u f∈ = ⇒ =K Considerando el siguiente diagrama: Si [ ] ( ) ( ) ( )0 0f x f u f uϕ≠ ∈ ⇒ ≠ = ∈K K lo

que significa que ( )fϕ es invertible en ( )uK .

Entonces ( ) ( )! : x uψ∃ →K K morfismo de

uε

[ ]xK ≅ [ ]uK ϕ ψ ( )xK ( )uK


- 108 -

cuerpos que extiende a ϕ .

( ) ( )( ) [ ], , con 0f

gf u f g x gg uψ = ∀ ∈ ≠K

( ) ( ) es sobre es isomorfismo u xψ ψ⇒ ⇒ ≅K K

b) { }ker 0uε ≠ decimos por definición que u es algebraico sobre K.

[ ] ( )0 tal que 0f x f u⇔ ≠ ∈ =K

[ ]! mónico de grado positivo tal que ker .up x pε∃ ∈ =K Es por el diagrama de la derecha que implica:

[ ] [ ] dominio irreduciblex u pp ≅ ⇒K K

[ ] [ ] cuerpo u cuerpo xp⇒ ⇒K K luego:

[ ] ( ) ( ) [ ] [ ]xu u u u

p⊂ ⇒ = ≅

KK K K K

El polinomio p se llama el polinomio irreducible de u sobre K y escribimos: ( )Irr y queda determinado por lo siguiente:p u= K p es mónico

( )[ ] ( )

0

Si y 0 |

p u

f x f u p f

=

∈ = ⇒K

Definición 4.12 Una extensión ⊃F K se dice algebraica si todo elemento de F es algebraico sobre ,K en caso contrario se dice trascendente. Ejemplo 4.6 ⊃K K es una extensión algebraica: si [ ] ( ) es raíz de Irr .u u x u x u x u∈ ⇒ − ∈ ⇒ = −KK K Ejemplo 4.7 ( ) es trascendente y simple.x ⊃K K

Sea ( ) [ ] ( ) ( )1 0

si es tal que 0 0 en n n

i ii i

i i

u x x f a x x f u a x x= =

= ∈ = ∈ = ⇒ =∑ ∑K K K

[ ]0

0 en 0 es trascendente sobre .n

ii

i

a x x f u x=

⇒ = ⇒ = ⇒ =∑ K K

Ejemplo 4.8 ⊃£ ¡ es algebraica y simple { } [ ] ( ) [ ] ( ): ,a bi a b i i i i= + ∈ ⊂ ⊂ ⊂ ⇒ = =£ ¡ ¡ ¡ £ £ ¡ ¡

Si ( ) ( )2 2 2 2 22 0u a bi u a bi u au a b= + ⇒ − = ⇒ − + + = luego u es raíz del

polinomio [ ]2 2 22x ax a b x u− + + ∈ ⇒¡ es algebraico sobre R.

uε

[ ]xK [ ]u ⊂K F Ñ π ≅

[ ]xp

K


- 109 -

Ejemplo 4.9 2 es algebraico sobre ¤ :

( ) ( )2Irr 2 2 2 2x = − ⇒ = ¤ ¤ ¤ cuerpo. Observar que:

( ) [ ]{ }2 2 :f f x = ∈ ¤ ¤

es decir que si ( ) 20 1 2 ... con n

n if x a a x a x a x a= + + + + ∈¤ entonces:

( ) ( ){ ( ){ ( )2 3

0 1 2 3

2 2 2

2 2 2 2 ... 2n

nf a a a a a= + + + + reagrupando nos queda:

{ } ( )2 : , 2a b a b= + ∈ =¤ ¤ cuerpo y ( )2 : 2 = ¤ ¤ teniendo que { }1, 2 es

una base de ( )2 sobre .¤ ¤ Recordar:

2 2 2 2 2 2

1 1 2 22

2 2 22 2 2

a b a b a ba b a b a ba b a b a b

∈ ∈

− −= ⋅ = = −

− − −+ + −¤ ¤

14243 14243

Ejemplo 4.10 2 3 es algebraico sobre :+ ¤

( ) [ ]

( ) ( ) ( )[ ]

4

2

2

Irr 2 3 10 1

Irr 2 3 2 2 1 2 .

x x x

x x x

+ = − + ∈

+ = − + ∈

¤

¤

¤¤

Si 2 22 3 2 3 2 2 1 0 1 2 2u u u u u u= + ⇒ − = ⇒ − + = ⇒ − = luego: 4 2 2 4 22 1 8 10 1 0u u u u u⇒ − + = ⇒ − + = Ejemplo 4.11 es trascendente:⊃¡ ¤

y eπ son trascendente. Proposición 4.3 Sea ⊂ ⊂K E F una torre de extensiones y u ∈F algebraico sobre K entonces u es algebraico sobre E y ( ) ( )Irr | Irr .u uE K Demostración Sea ( ) [ ] [ ] ( )Irr y 0p u p x x p u u= ⇒ ∈ ⊂ = ⇒K K E es algebraico

sobre E y ( ) ( )Irr | Irr .u p u=E K Como consecuencia si ⊃F K es una extensión algebraica ⇒ ⊃F E es algebraica. Proposición 4.4 Sea ⊃F K una extensión y .u ∈F Entonces las siguientes propiedades son equivalentes: i) [ ]uK es un cuerpo

ii) [ ] ( )u u=K K

iii) [ ]dim u < ∞K K


- 110 -

iv) ( )[ ]:u < ∞K K (es decir que la extensión ( )u ⊃K K es finita)

v) u es algebraico sobre .K Además, si u es algebraico sobre K, entonces si ( ) ( )[ ]Irr :n gr u u= =K K K implica

que { }2 11, , ,..., nu u u − es una base de ( )uK como K- espacio vectorial.

Demostración De ser 0u = todo es obvio. Entonces supongamos 0u ≠ i) ii)⇔ esto es evidente porque { }{ [ ] ( )

0

u u u≠

⊂ ⊂∪K K K

iv) iii)⇒ Es [ ] ( ) [ ]u u u⊂ ⊂ ⇒K K K K es un K –subespacio de ( ) ,uK luego si

( ) ( )[ ] [ ]dim : dimu u u= < ∞ ⇒ < ∞K KK K K K .

{ } [ ]2iii) v) 1, , ,..., ,...nu u u u⇒ ⊂ K necesariamente es L.D. 0 1, ,..., na a a⇒ ∃ ∈K no

todos nulos tales que ( )20 1 2 ... 0 0n

na a u a u a u f u+ + + + = ⇒ = siendo:

[ ]0

0n

ii

i

f a x x=

≠ = ∈∑ K

( ) [ ]10 1 1v) iii) Sea Irr ... .n n

nu a a x a x x x−−⇒ = + + + + ∈K K Sea S el subespacio

generado por { }2 11, , ,..., nu u u − esto implica:

{

{

11 2 1

0 1

12 2 1 2

2 por inducción

, ,...,

,..., , ...

n nn i n i n n

i ii i S

nn i n n n m

ii

u a u S u a u u u u S u S

u a u u u u S u S u S m

−+ +

= = ∈

++ + +

=

= − ∈ ⇒ = − ∈ ⊂ ⇒ ∈ ⇒

⇒ = − ∈ ⊂ ⇒ ∈ ⇒ ⇒ ∈ ∀ ∈

∑ ∑

∑ ¥

luego ( ) [ ] [ ] { }2 1, y 1, , ,..., nf u S f x S u u u u −∈ ∀ ∈ ⇒ =K K genera a [ ];uK Ahora

supongamos que { }11, ,..., nu u − no es linealmente independiente, entonces:

0 1 1, ,..., nb b b −∃ ∈K no todos nulos tales que 1

0

0,n

ii

i

b u−

=

=∑ sea [ ]1

0

0n

ii

i

g b u x−

=

≠ = ∈∑ K

lo anterior ( ) ( ) ( ) ( )0 Irr | y como grIrr y gr 1g u u g u n g n⇒ = ⇒ = = −K K tenemos

un absurdo luego { }11, ,..., nu u − es L.I y por lo tanto es base de [ ]uK y:

[ ] ( ) dim Irr .u n gr u⇒ = =K KK

i) v)⇒ [ ] [ ] [ ] ( ) ( )1 10 tal que 1u u u u g x u g u ug u− −≠ ∈ ⇒ ∃ ∈ ⇒ ∃ ∈ = ⇒ =K K K

luego u es raíz de [ ]1 y 1 0.xg x xg− ∈ − ≠K

v) i)⇒ esto ya lo probamos [ ] [ ]( )Irr

xu u≅K

KK

cuerpo, (ver definición 4.11 b). [ ]iii) iv) Es dim y como iii) ii), es:u⇒ < ∞ ⇒K K

i) ii) iii) v) iv)


- 111 -

( ) [ ] ( )[ ] ( ) [ ]: dim dim .u u u u u= ⇒ = = < ∞K KK K K K K K

Proposición 4.5 Sea :σ →K l un isomorfismo de cuerpos, , , ⊂ ⊂K F l H y sean , u v∈ ∈F H entonces si: i) u y v son trascendentes sobre y K l respectivamente. ii) u y v son algebraicos y ( ) ( )( )Irr Irrv uσ=l K .

En cualquiera de los dos caso existe un isomorfismo ( ) ( ): u vσ →% K l tal que

( )| y u vσ σ σ= =% %K . Demostración i) De acuerdo a la definición 4.11 si u y v son trascendentes entonces:

( ) ( )( ) ( )

x u

x v

≅

≅

K K

l l

llamemos a dichos isomorfismos ,uψK y ,vψ l

respectivamente. Definimos 1

, ,v uσ ψ σ ψ −=% o ol K , obviamente

queda ( ) ( ): u vσ →% K l y tal que:

( ) ( ) ( ){ ( )1, , , ,v u v v

xx

u u x x vσ ψ σ ψ ψ σ ψ−

==

= = = =

% 1442443l K l l

análogamente k∀ ∈K se tiene que:

( ) ( ) ( ){ ( )1, , , |v u v

k

k k k kσ ψ σ ψ ψ σ σ σ σ−

∈=

= = = ⇒ =

% %1442443l K l K

l

ii) De acuerdo a lo visto en la definición 4.11 [ ]( )

( ) [ ]( )

( ) y Irr Irr

x xu v

u v≅ ≅

K l

K lK l y llamemos a dichos isomorfismos ,ϕ ψ

σ ( )xK ( )xl ,uψK ,vψ l

σ% ( )uK ( )vl

σ [ ]xK [ ]xl π π ϕ 0σ ψ

( )uK [ ]( )Irr

x

uK

K

[ ]( )Irr

x

vl

l ( )vl

σ%


- 112 -

A partir del isomorfismo de cuerpo que tenemos, definimos el isomorfismo de anillos que seguimos llamando igual y tal que:

( )0 0

n ni i

i ii i

a x a xσ σ= =

= ∑ ∑

como ( )( ) ( )Irr Irru vσ =K l tenemos que se induce un isomorfismo 0σ tal que:

[ ]( )

[ ]( )

( )( ) ( ) ( )0 0: dado por Irr IrrIrr Irr

x xf u f v

u vσ σ σ→ + = +K l

K l

K l

entonces 10σ ψ σ ϕ −=% o o es un isomorfismo de ( ) ( )u v→K l y tal que:

( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )10 0 Irr Irrk k k k u k v kσ ψ σ ϕ ψ σ ψ σ σ−

∈

∀ ∈ = = + = + =

% K ll

K

luego |σ σ=% K y además:

( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )10 0 Irr Irr

x

u u x u x v vσ ψ σ ϕ ψ σ ψ σ−

=

= = + = + =

% K l

o sea ( )u vσ =% como en la tesis. Proposición 4.6 Sean E y F extensiones de K y u y v∈ ∈E F algebraicos sobre K. Entonces u y v son raíces de un mismo polinomio irreducible [ ]f x∈K si y solo

sí existe un isomorfismo ϕ de cuerpos entre ( ) ( ) u y vK K que lleva a u en v y es la identidad sobre K. Demostración ⇐ ( ) ( )Sea : u vϕ →K K isomorfismo tal que :

( )( )u v

x x x

ϕ

ϕ

=

= ∀ ∈K

Sea ( ) [ ] ( ) ( )0

, si Irr 0,n

ii

i

f x a x x f u f u=

= ∈ = ⇒ =∑ KK

entonces:

{ ( ) ( ) ( ){ ( )0 morfismo 0 0 0 0

0

i

n n n nii i i

i i i ii i i iv

a

f u a u a u a u a v f vϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ∈

= = = = ===

= = = = = = ∑ ∑ ∑ ∑

123K

luego ( ) 0f v = .

[ ] Sea f x⇒ ∈K irreducible tal que ( ) ( ) 0.f v f u= =

Siempre podemos suponer que f es mónico, luego ( ) ( )Irr Irrf u v= =K K y esto implica:

ϕ ( )uK ( )vK

≅ K K |ϕ K


- 113 -

( ) [ ] [ ]( )

[ ] [ ]( )

[ ] ( )

[ ] [ ][ ]

Irr Irr

u v

u

x x xu u v v

u f v

u x x v

k k

= ≅ = = ≅ =

↓ ↓ ↓ ↓ ↓

↓

↓

K K

K K KK K K K

[ ]( ) [ ] ( ) [ ]

v

k k k

p u p p v p x

∀ ∈

∀ ∈

K

K

Luego ( ) ( ).u v≅K K

En el cuadro anterior la notación [ ]ux corresponde a la clase de x respecto a

( )Irr uK . Observación 4.7 El isomorfismo de la proposición anterior es único: Si ( ) ( ) ( ): , | Id. y u v u vϕ ϕ ϕ→ = =KK K , entonces como

( ) [ ] ( ) [ ]{ }:u u g u g x= = ∈K K K

entonces:

( )( ) ( ) [ ]00 0

, ,..., , .n n

i ii i n

i i

a u a v a a g u g v g xϕ ϕ= =

= ∀ ∈ ⇔ = ∀ ∈ ∑ ∑ K K

Ejemplo 4.12 Sea [ ] ( )3 32 2 Irrf x x u f u= − ∈ = ⇒ = ¤¤ apliquemos Ruffini

para determinar las otras raíces

3 23 3

3 23

1 0 0 2

2 2 2 2

1 2 2 0

−

−

luego ( )( )33 2 23 32 2 2 2x x x x− = − + +

Consideremos 3 2v λ= (candidato a isomorfismo) entonces: ( ) ( )3 3 3 32 2 2 2 1 0 1 0f v v λ λ λ= − = − = − = ⇒ − =

Aplicamos Ruffini para hallar todas las raíces de 3 1λ −

1 0 0 1

1 1 1 1

1 1 1 0

−

o sea que ( )( )3 21 1 1λ λ λ λ− = − + + y hallando las raíces de 2 1λ λ+ +

1 3

2

1 32

1 3 1 32 2

i

i

wi

wλ

− +

− −

=− ± − − ±= = =

=


- 114 -

se tiene que 11ww w w−= ⇒ = además:

( )22 1 32

1 2 3 3 2 2 3 1 34 4 2

i i i iw w− + − − − − − −

= = = = =

Luego las raíces de 3 0 21 son , y :w w wλ −

( ) 3 3 2 0 2, 0,1,2f v v v w⇒ = − = ⇔ = =l l los posibles isomorfismos son:

( )3

3 3

2 3

2

2 2

2

w

w

ϕ

= ⋅ ⋅

Proposición 4.7 i) Toda extensión finita es algebraica y finitamente generada. ii) Toda extensión finitamente generada por elementos algebraicos es finita (y consecuentemente algebraica). iii) Toda extensión generada por elementos algebraicos es algebraica (y vale el recíproco). Demostración i) Sea ⊃F K finita. Si u ∈F es ( ) ,u⊃ ⊃F K K como ⊃F K

es finita ( )u⇒ ⊃K K es finita u⇒ es algebraico sobre K.

Sea { }1,..., nB u u= una base de F como K-espacio vectorial.

( ) ( )1 1 1... ,..., ,..., .n n nu u u u u u⇒ = + + ⊂ ⊂ ⇒ =F K K K F F K

ii) Sea ( )1 1 2,..., con , ,...,n nu u u u u= ⊃ ∈F K K F algebraicos sobre K. Tenemos una torre de extensiones:

( ) ( ) ( )1 1 2 1,..., .... ,nu u u u u= ⊃ ⊃ ⊃ ⊃F K K K K

1u es algebraico sobre K ( )1u⇒ ⊃K K es finita

2u es algebraico sobre K ( ) {2

1 2u

u u∈

⊂ ⊂ ⇒K K F es

algebraico sobre ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 2 1 2 1,u u u u u u⇒ = ⊃K K K K es finita, entonces:

( ) ( ) ( )1 2 1 1 2, ,u u u u u⊃ ⊃ ⇒ ⊃K K K K K es finita finita finita

Razonando por inducción obtenemos que: ( )1,..., nu u ⊃F = K K es finita

iii) ⇐ Supongamos ⊃F K es una extensión algebraica ( )⇒ = ⊃F K F K y los elementos de F son algebraicos sobre K.

ϕ

( )3 2¤ ( )3 2wl¤

¤

( )1,..., nu u=F K ( )1 1,..., nu u −K ( )1 2,u uK ( )1uK


- 115 -

⇒ Supongamos que ( ) , S S= ⊃F K K conjunto de elementos de F algebraicos sobre K . Sea ( )

finitoT ST

T⊂

= ∪l K , como ( ) finito

T ST

S T⊂

⊂ =∪ ∪K K l , entonces si l es un cuerpo

( )S⇒ ⊂K l por definición de ( )SK (cuerpo generado), además como T S⊂

( ) ( ) ( ) ( ) finito

T SS

T S T S⊂

⇒ ⊂ ⇒ = ⊂∪K K l K K , luego ( )S= =l K F .

Probemos entonces que l es un cuerpo: 1⊂ ⇒ ∈K L L

Si 1 2, , finitos tal que:a b T T∈ ⇒ ∃L

( )( )

{ } ( )11 2

2

, subcuerpo de a T

a b T Tb T

∈ ⇒ ⊂

∈ ∪K

K FK

( ) ( )11 2

finito

, , ( si 0)T ST

a b ab a a T T T−

⊂

⇒ − ≠ ∈ ⊂ = ⇒∪ ∪K K L l es un cuerpo.

En forma explícita:

( ) ( )( ) [ ] ( ){ }1

1

,...,1 1 1,..., : , ,..., con ,..., 0, ,..., .n

n

f u un n ng u uS f g x x g u u u u S n += ∈ ≠ ∈ ∀ ∈¢K K

Si ( ) { }[ ] ( )

( )( ) ( )1

1

1

1 1

,...,1,...,

, ,...,

y , ,..., con ,..., 0 tal que:

, luego ,..., .n

n

n

n n

f u ung u u

u S n T u u S

f g x x g u u

u u u u

+∈ ⇒ ∃ ∈ = ⊂

∈ ≠

= ∈

¢K

K

K

Como 1 1,..., ,...,n nu u S u u∈ ⇒ son algebraicos sobre K. { ( )1ii)

,..., nu u⇒ ⊃K K es

finita y por lo tanto algebraica, ( )1y ,..., nu u u∈ ⇒K u es algebraico sobre K. Observación 4.8 i) y ii) implican que una extensión ⊃F K es finita si y solo sí F es finitamente generada por elementos algebraicos.

Ejemplo 4.13 ( )2, 3 ⊃¤ ¤ es finitamente generado

por elementos algebraicos, luego es finita. Ejemplo 4.14 ( )x ⊃K K es finitamente generado (es más es simple) pero no es algebraica, ya que x es trascendente sobre K. (ejemplo 4.7) Definición 4.13 Sea C una clase de extensiones de cuerpos. Decimos que C es una buena clase si verifica:

( )2, 3¤

( )2¤ ( )3¤

¤


- 116 -

i) Dada una torre de extensiones .⊃ ⊃E F K La extensión ⊃E K está en C si y solo sí y ⊃ ⊃E F F K están en C.

ii) Dada ⊃F K en C, se cumple que para toda extensión

⊃E K tal que existe con y ,⊃ ⊃L L F L E entonces: ⊃E F E está en C.

Observación 4.9 i) y ii) implican que si C es una buena clase, entonces vale: Si tenemos y con y ⊃ ⊃ ⊃ ⊃ ⊃ ⊃L F K L E K F K E K en C , entonces ⊃E F K está en C.

Proposición 4.8 a) La clase de extensiones finitas es una buena clase. b) La clase de extensiones algebraicas es una buena clase. Demostración a) La parte i) ya la vimos. ii) Dado el reticulado de la derecha con ⊃F K finita esto implica que existen 1,..., nu u ∈F algebraicos sobre K tales que:

( )1,..., nu u=F K

( ) ( )1 1,..., ,...,n nu u u u⇒ = =E F E K E con 1,..., nu u ∈E F alg. sobre ⊂ ⇒K E son algebraicos sobre E ⇒ ⊃E F E es finita. b) i) Sean . Si ⊃ ⊃ ⊃E F K E K es algebraica u⇒ ∀ ∈ ⊂F E es algebraica sobre ⇒ ⊃K F K es algebraica y u∀ ∈E algebraica sobre ⊂ ⇒K F es algebraica sobre ⇒F ⊃E F es algebraica. Recíprocamente si y ⊃ ⊃E F F K son algebraicas: Si . como u ∈ ⊃E E F es algebraico 0 ,..., na a⇒ ∃ ∈F no todos nulos tales que:

0 1 ... 0.nna a u a u+ + + =

Sea ( )0 0 ,..., na a=F K u es algebraico sobre ( )0 0 0u⇒ ⊃F F F es finita y como

0 ,..., y na a ∈ ⊃F F K es algebraica 0 ,..., na a⇒ son algebraicos sobre K

0⇒ ⊃F K es finita, luego:

( ) ( )0 0 finita algebraicau u u⇒ ⊃ ⇒ ⊃ ⇒F K F K es algebraica sobre K. Luego ⊃E K es algebraica.

E F K

L E.F E F K E F E F E F

∈C ∈C E F E F ∈C ∈C ∈C K K K

L E.F ? E F K


- 117 -

ii) ⊃F K es algebraica ( )⇒ = ⊃E F E F E los elementos de F (pensados en E F ) son algebraicos sobre E. es algebraica.⇒ ⊃E F E Observación 4.10 Vale también que la clase de extensiones finitamente generadas es una buena clase. Proposición 4.9 Sea ⊃F K extensión y { :u u= ∈E F es algebraico sobre K}. Entonces E es un subcuerpo de F , y ⊂ ⊂ ⊃K E F E K es algebraica. Demostración Es claro que .⊂ ⊂K E F Sean ( ), ,u v u v∈ ⇒ ⊃E K K es algebraica y :

( ) ( ) ( )1, , , , , si 0u v u v uv u v v u v v−− ∈ ∈ ∈ ≠K K K

Luego 1, ,u v uv v−− son algebraicos sobre K. 1, ,u v uv v−⇒ − ∈E por definición ⇒ E es un subcuerpo de F y es obvio que ⊃E K es algebraica. Observación 4.11 El cuerpo E construido en la proposición anterior es la mayor extensión algebraica de K contenida en F. Proposición 4.10 Sea K un cuerpo y [ ]f x∈K irreducible, ( ) 0gr f n= > .

Entonces existe una extensión simple ( )u=F K de K tal que: i) u ∈F es raíz de f. ii) ( )[ ]: .u n=K K

iii) Si ( )v=E K es otra extensión simple de K tal que v es raíz de f, entonces existe

un único isomorfismo de cuerpos ( ) ( ): u vη →K K tal que ( ) y | Id.u vη η= =K Demostración Observar que si probamos que existe ( )u=F K extensión simple tal

que u es raíz de f, entonces ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]: Irr : .u gr u gr f n u n= = = ⇒ =KK K K K

[ ]f x∈K es irreducible [ ]xf⇒ K es un cuerpo.

Sea [ ] [ ]: xx fπϕ → =KK K Ey morfismo de anillos.

:ϕ⇒ →K E morfismo de cuerpos ϕ⇒ es inyectivo ( )ϕ ϕ≅

⊂

⇒ →123E

K K entonces

si es [ ] ( ){ [ ]0 0

, sea i

n ni i

i ii i a

f a y y f a y yϕ ϕ= = =

= ∈ = ∈∑ ∑K E .


- 118 -

Sea ( ) [ ]0

, 0 en n

ii

i

xz x f z a x f fϕ=

= ∈ = = = =∑ KE E luego:

[ ] , f y zϕ ∈ ∈E E es raíz de fϕ

Sea S un conjunto tal que ( )\ y .S Sϕ φ= ∩E K K =

Definimos S= ∪F K y extendemos :ϕ →K E a una biyección ϕ . Definimos una estructura de cuerpo en F copiando la estructura de E vía ϕ :

( ) ( )( )( ) ( )( )

1

1

Si , ,definimos:

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ .

a b

a b a b

a b a b

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

−

−

∈

+ = +

⋅ = ⋅

F

De esta forma F es un cuerpo y ˆ :ϕ →F E es un isomorfismo de cuerpos. Como :ϕ →K E es un morfismo de cuerpos y ˆ |ϕ ϕ=K , entonces la operaciones de F restringidas a K coinciden con las de K ; por ejemplo si , , es:a b ∈K

{ ( ) ( ) ( ) ( ) { { { {ˆ biy.en en en en en

ˆ ˆ ˆ â b a b a b a b a b a b a bϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + = + = + = + = + ⇒ + = + F K K F K

Luego ⊃F K es una extensión. Sea

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ){1

0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i

n ni i

i ii i a

u z u z f u a u a zϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ−

∈= = =

= ∈ ⇒ = ⇒ = = ⇒ ∑ ∑

KF

( )( ) ( ) ( )ˆ iso.

ˆ 0 0 en con f u f z f u uϕ

ϕ ϕ= = ⇒ = ∈F F

[ ] { }( )

( ) [ ]{ } ( )[ ]

00

0 0

Como : 1,..., : 1,...,

: 1,..., : 1,...,

:

mm i i

i i i iii

m mi i

i i i ii i

x b x b i m b x b i mf

b z b i m b z b i m

g z g x z

ϕ

ϕ ϕ

==

= =

= = ∈ ∀ = = ∈ ∀ = =

= ∈ ∀ = = ∈ ∀ = =

= ∈ =

∑ ∑

∑ ∑

KE K K

K K

K K

( ) ( )[ ]( ) ( )( ) ( ) [ ] { ( )1 1 1 1

alg. sobre

ˆ ˆ ˆ û

z z u uϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− − − −= = = = = K

F E K K K K

( ).u⇒ =F K iii) Se deduce de la proposición 4.5 Corolario 4.11 Sea K un cuerpo y [ ]f x∈K , ( )gr f n= . Entonces existe una

extensión simple ( )u=F K de K tal que: i) u ∈F es raíz de f. ii) ( )[ ]:u n≤K K y vale la igualdad si f es irreducible.

ϕ K E z x= ϕ F ( )1û zϕ −=


- 119 -

Demostración Si f es irreducible, entonces es el teorema anterior. Si f no es reducible, ( ) [ ]10 ,..., rgr f f f x> ⇒ ∃ ∈K irreducibles tales que: 1 2. ..... rf f f f= La tesis se deduce aplicando a f1 el teorema anterior. Definición 4.14 Sea K un cuerpo y [ ] ( ), 0.f x gr f n∈ = >K Decimos que f se

escinde en K (o en [ ]xK ) si existen 0 1, ,..., tales que:nu u u ∈K

( ) ( )0 1 ... nf u x u x u= − − (pueden aparecer elementos repetidos en 0 ,..., nu u ). Definición 4.15 Una extensión ⊃F K es un cuerpo de descomposición de f sobre K si f se escinde en F y ( )1 1,..., siendo ,...,n nu u u u=F K las raíces de f en F.

Ejemplo 4.15 [ ] ( ) { }2 2 tiene raíces 2 2 2 : , .x x a b a b− ∈ ± ∈ = + ∈¤ ¤ ¤

Entonces ( )2¤ es el cuerpo de descomposición de [ ]2 2x x− ∈¤ .

Corolario 4.12 Sea K un cuerpo y [ ] ( ), 0.f x gr f n∈ = >K Entonces existe F

cuerpo de descomposición de f con [ ]: !.n≤F K Demostración Por el corolario anterior, existe ( )1 1u= ⊃F K K extensión tal que 1u

es raíz de f y [ ]1 : n≤F K . Como [ ]1 1 1 y f x u∈ ∈F F es raíz de f [ ]1 1g x⇒ ∃ ∈F tal

que ( ) ( )1 1 1 con 1.f x u g gr g n= − = − Aplicando ahora el mismo razonamiento a

[ ] ( ) ( )1 1 1 2 1 2 1, 1g x gr g n u∈ = − ⇒ ∃ = ⊃F F F F extensión tal que 2u es raíz de 1g y

[ ]2 1: 1.n≤ −F F Luego ( ) ( )( ) ( )2 1 2 1 2 1 2, y: u u u u u= = =F F K K

[ ] [ ][ ] ( )2 2 1 1: : : 1n n= ≤ −F K F F F K

[ ] ( ) [ ] ( )1 2 2 2 1 2 2 2 2, tal que 0 , 2 g x u g u g x gr g n∈ ∈ = ⇒ ∃ ∈ = −F F F tal que:

( ) ( ) ( )( )1 2 2 1 1 1 2 2 .g x u g f x u g x u x u g= − ⇒ = − = − −

Ahora consideramos [ ] ( )2 2 2, 2g x gr g n∈ = −F y le aplicamos el corolario anterior

y así seguimos hasta obtener ( )1,...,n nu u= =F F K extensión de K, tal que:

( )( ) ( ) [ ]1 2 ... en n nf g x u x u x u x= − − − F

con ( ) 00n ngr g g u= ⇔ = ∈ ⇒F por lo tanto:

( )( ) ( ) [ ]0 1 2 ... y : !.nf u x u x u x u n= − − − ≤F K

Observar que si [ ] ( )( ) ( ) [ ]0 1 2 y ... en con nf x f u x u x u x u x∈ = − − − ⊃K F F K

extensión entonces 0u ∈K (ya que 0 ...nf u x= + ).


- 120 -

Definición 4.16 Sea K un cuerpo y [ ] \ ,S x⊂ K K una extensión ⊃F K se dice un cuerpo de descomposición de S sobre K si todo polinomio de S escinde en F y

( )T=F K siendo T el conjunto de las raíces de los polinomios de S.

Observar que en el caso finito { }1,..., nS f f= entonces un cuerpo de descomposición de S es el mismo que un cuerpo de descomposición de 1 2. .... .nf f f f= Corolario 4.13 Sea K cuerpo y [ ]1 2, ,..., \ .nf f f x∈K K Entonces existe una extensión ⊃F K finita que es un cuerpo de descomposición de 1,..., nf f . Ejemplo 4.16 Sea ( )( ) [ ]2 22 1f x x x= − + ∈¤ para hallar el cuerpo de

descomposición de f consideramos ( ) ( )2, 2, , 2,i i i= − − =¤ ¤F entonces:

( )( )( )( ) ( )[ ]2 2 en 2,f x x x i x i i x= − + − + ¤

y el cuerpo de descomposición es ( )2, .i= ¤F

Definición 4.17 Un cuerpo K es algebraicamente cerrado si todo polinomio no constante en [ ]xK tiene alguna raíz en K . Observación 4.12 Es claro que si K es algebraicamente cerrado y [ ] \ ,f x∈K K entonces f escinde en K. En particular si [ ]f x∈K es irreducible, entonces necesariamente es ( ) 1gr f = . Ejemplo 4.17 Si estamos en un cuerpo algebraicamente cerrado el polinomio: 2 1 no es irreduciblex + Luego si K es algebraicamente cerrado y ⊃E K es algebraica ⇒ =E K Observación 4.13 Si K es algebraicamente cerrado ⇒ = ∞K .

Demostración Supongamos que K es finito y sea { }1 2, ,..., nu u uK = consideremos:

( ) ( )( ) ( )1 2 ... 1nf x x u x u x u= − − − +

( ) [ ]f x x∈K ya que después de hacer todos los productos, los coeficientes de f son productos y sumas de elementos de K, luego tienen que pertenecer a K , por ser este un cuerpo, como además 1∈K , resulta que f es un polinomio en [ ].xK Pero no


- 121 -

tiene ninguna raíz en K ( ( ) 1 1,...,if u i n= ∀ = ) lo que es un absurdo por se K algebraicamente cerrado. Proposición 4.14 Si K es un cuerpo, entonces existe F algebraicamente cerrado que extiende a K. Demostración Sea [ ] \xΛ = K K y consideremos para cada f ∈ Λ una

indeterminada .fx Sea el anillo ,

finito

: :f fx f x fΓ⊂ΛΓ

∈ Λ = ∈Γ ∪K K y el ideal

( ) : .fI f x f= ∈ Λ Probaremos que 1 I∉ , para lo cual suponemos que 1 I∈ ⇒

}1

11

,..., :: tal que 1

,...,

i

i

xn

n ff i i f

in

g g x fI x f g f x

f f

=

=

∃ ∈ ∈ Λ = ∈ Λ ⇒ = ∃ ∈ Λ ∑

KK

Cada ig es un polinomio en una cantidad finita de variables y podemos suponer que

[ ]1 1,... ,..., con n mg g x x m n∈ ≥K :

( ) ( )10

1 ,..., :n

i m i i fi

g x x f x x f=

⇒ = ∈ ∈ Λ ∑ K

Considerando [ ]1,..., \nf f x∈K K el corolario 4.12 nos dice que existe una extensión E de K en la cual cada if tiene una raíz , 1,...,iz i n= entonces definiendo

0 si iz n i m= < ≤ y evaluando en 1,..., mz z tenemos:

( ) ( ){1

0

1 ,... 0 en i m i ig z z f z=

= =∑ E

Luego : ideal maximal de :f fI x f M x f∈ Λ ⇒ ∃ ∈ Λ Ü K K tal que .I M⊂

Sea : : la inclución como terminos independientes

:: la proyección canónica

f

ff

x f

x fx f M

π

ϕ

π

∈ Λ ∈ Λ ∈ Λ →

K K

K: K

y

ϕ es un morfismo de anillos inyectivo; π es un morfismo de anillos inyectivo.

Como :

es ideal maximal = fx fM M

∈ Λ ⇒K

L es un cuerpo

Tenemos que ˆ :ϕ →K L es un morfismo de anillos por ser (ϕ π ϕ= o ) composición de morfismos de anillos y como además K y L son cuerpos entonces ϕ es un morfismo de cuerpos, no nulo ( )ˆ 1 0ϕ ≠ ⇒ inyectivo.


- 122 -

Si [ ] ( ) [ ] ( )( )

( ){ ( )

0

0 0 0

ˆ ˆ, sea , es

ˆ 0f

i

ni

i f fi

n n ni i i

i f i f i f f x I Mi i ia

f a y y f y x f x

a x a x a x f x

ϕ ϕ

ϕ

=

∈ ⊂= = ==

= ∈ Λ ⊂ ⇒ ∈ ∈ =

= = = = =

∑

∑ ∑ ∑

K L L

( )ˆ 0 en , .ff x fϕ⇒ = ∀ ∈ ΛL

Como en la proposición 4.10 , construimos un cuerpo 1F que extiende a K tal que si

[ ] \ ,f x∈K K entonces f tiene alguna raíz en 1F . Aplicando el razonamiento anterior a 1,F existe una extensión 2 1⊃F F tal que todo

polinomio no constante en [ ]1 xF tiene alguna raíz en 2.F Razonando inductivamente construimos una sucesión de extensiones: 1 2 1... ....n n−⊃ ⊃ ⊃ ⊃ ⊃ ⊃F F F F K

tal que todo polinomio en [ ]1 1\n nx− −F F tiene alguna raíz en , 1,2,...n n∀ =F

Sea 11

, la condición extensión n n nn

n∞

−=

= ⊃ ∀ ⇒∪F F F F que F es un cuerpo y

⊃F K extensión. Sea [ ] [ ] ( )1\ tal que tal que 0.n nf x n f x u f u+∈ ⇒ ∃ ∈ ⇒ ∃ ∈ ⊂ =F F F F F es algebraicamente cerrado.⇒ F Definición 4.18 Si K es un cuerpo y ⊃F K es una extensión algebraica y F es algebraicamente cerrado, entonces decimos que F es una clausura algebraica de K. Corolario 4.15 Si K es un cuerpo, entonces existe K clausura algebraica de K. Demostración Sea ⊃F K extensión con F algebraicamente cerrado. Sea { }: es algebraico sobre u u∈ ⇒ ⊃ ⊃K = F K F K K es una torre de

extensiones y ⊃K K es algebraica. Sea [ ] [ ]\ \f x f x

⊂∈ ⇒ ∈

K FK K F F con F algebraicamente cerrado u⇒ ∃ ∈F tal

que ( ) 0.f u =

u es algebraico sobre ⇒K ( ) ( ) algebraica

algebraica algebraica

uu

⊃⇒ ⊃

⊃

K KK K

K K

es algebraico sobre u u⇒ ⇒ ∈K K. Luego K es algebraicamente cerrado. Observación 4.14 Existencia del cuerpo de descomposición Sea K un cuerpo y { } [ ]: \ .S f xλ λ= ∈ Λ ⊂ K K

Sea K la clausura algebraica de K y ( ){ }: tal que 0 .T u f uλλ= ∈ ∃ ∈ Λ =K


- 123 -

Entonces ( )TK es el cuerpo de descomposición de S. Observación 4.15 Si K es una clausura algebraica de K, entonces K es el cuerpo de descomposición sobre K de [ ] \ .S x= K K Observación 4.16 En general escribiremos K a la clausura algebraica de K que es único a menos de isomorfismo. Proposición 4.16 Sea :σ →K l isomosfismo de cuerpos, [ ]S x⊂ K de grado 1≥

y sea ( ) ( ){ }:S f f Sσ σ= ∈ definido por:

( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 0... ...n nn na x a x a a x a x aσ σ σ σ+ + + = + + +

Entonces si y ′ ′K l son respectivamente los cuerpos de descomposición de S y

( )Sσ , σ se extiende a un isomorfismo :σ ′ ′ ′→K l . Demostración

• Primero lo probaremos para cuando el conjunto S consta de un solo polinomio { } [ ]S f x= ⊂ K .

Procedemos por inducción en el grado [ ]:′K K .

Si [ ]: 1′ ′= ⇒ = ⇒K K K K que f se descompone sobre K :

( ) ( )( ) ( )0 1 2 ... con n if x u x u x u x u u= − − − ∈K y por lo tanto ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )0 1 2 ... con n if x u x u x u x u uσ σ σ σ σ σ= − − − ∈l

luego ( )fσ se descompone en l y no hay nada que extender, es decir σ σ′ = .

Supongamos ahora que el resultado es válido para [ ]: 1n′ = >K K , entonces existe

u raíz de f en \′K K y consideremos ( ) ( )[ ]:u u n′ ′⊂ ⇒ <K K K K KØ .

Se tiene que u es raíz de un factor irreducible g de grado 1> de f y sea v una raíz de ( )gσ en ′l , ( )gσ es irreducible de grado ( )1 v> ⇒ l lØ y por la proposición

4.5 ( ) ( ) ( ) se extiende a : tal que y |u v u vσ σ σ σ σ→ = =% % % KK l .

Y como ( )[ ]: u n′ <K K y ′K cuerpo de descomposición de f sobre ( )uK , ′l

cuerpo de descomposición de fσ sobre ( )vK , se puede aplicar la hipótesis de inducción y σ% (y por lo tanto σ ) se extiende a un isomorfismo ˆ :σ ′ ′→K l .

• En general con S conjunto arbitrario de funciones. ( ), , : ; y

Sea : es un isomorfismo que extiende a

τ

τ σ

′ ′⊂ ⊂ ⊂ ⊂ =

→

F E K F K l E l

F EF

σ ′ ′K ′l σ% ( )uK ( )vK σ K l


- 124 -

φ≠F por lo anterior y definimos en F una relación de orden dada por: ( ) ( ), , , , si , , |τ τ τ τ′ ′ ′ ′ ′ ′≤ ⊂ ⊂ = FF E F E F F E E

así tenemos una cadena ( ){ }, , : Iα α ατ α ∈F E que además esta acotada por:

, , donde | I I

Iαα α α

α α

τ τ τ α∈ ∈

= ∀ ∈ ∪ ∪ FF E

Aplicando el lema de Zorn hay un elemento maximal que llamamos ( )0 0 0, ,τK l falta probar que 0 0 y que .′ ′= =K K l l Supongamos que 0 f S′≠ ⇒ ∃ ∈K K tal que no se descompone en 0K pero como f se descompone en ′K ⇒ existe un cuerpo 1K de descomposición de f sobre 0K . 0 1 ′⊂ ⊂K K K

Por el caso anterior donde { }S f= , 0τ se extiende a un isomorfismo 0 1 1:τ →% K l

donde 0 1 ′⊂ ⊂l l l , 1l cuerpo de descomposición de ( )0 0 sobre fτ l , entonces

( ) ( )0 0 1 0 0 0, , , ,τ τ≥%K l K l lo cual es absurdo, luego 0 ′=K K

Supongamos que 0 ′≠l l entonces usamos el mismo argumento que antes con 10τ − .

Corolario 4.17 Sea [ ]{ }: de grado 1 S f x Iα α= ∈ ≥ ∀ ∈K , si ⊂K l , ′⊂K l son dos cuerpos de descomposición de S sobre K , entonces y ′l l son isomorfos. Demostración Simplemente aplicamos la proposición anterior a Id|σ = K . Corolario 4.18 Si F y E son dos clausuras algebraicas de K entonces existe un isomorfismo τ entre ellos y tal que:

| Idτ =K

Demostración Por observación 4.14 si [ ] \S x= K K

⇒ K es el cuerpo de descomposición sobre K de S. Entonces si tenemos dos clausuras algebraicas ⇒ tenemos dos cuerpos de descomposición, y por el corolario anterior tienen que ser isomorfos, luego las clausuras algebraicas son isomorfas.

σ ′ l ′l Idσ = K K

σ ′ K ′K Idσ = K K

- 125 -

Capítulo 5

Extensiones de Galois Definición 5.1 Sea F un cuerpo, ( ) { }Aut : : isomorfismo de cuerposϕ ϕ= →F F F es un grupo con la operación de composición. Si ⊂K F es un subcuerpo, definimos ( ){ }Gal Aut Aut : | Id.ϕ ϕ= = ∈ =K K KF F F

es el grupo de Galois de F en K. Observar que ( )Gal AutK F < F (subgrupo). Observación 5.1 Si y ⊃ ⊃E K F K son extensiones escribimos :ϕ →

↖ ↗K

E F si

:ϕ →E F es un morfismo de cuerpos tal que | Id.ϕ =K y diremos que ϕ es un morfismo sobre K . Observar que en este caso E y F son K-espacio vectorial y

:ϕ →E F es K- lineal : ( ) ( ) ( ) ( ) , ,k x k x k x k xϕ ϕ ϕ ϕ⋅ = ⋅ = ⋅ ∀ ∈ ∈K E Luego un morfismo de cuerpos :ϕ →E F es K-lineal | Id.ϕ⇔ =K

En particular { }Gal : : es isomorfismo de espacios vectorialesϕ ϕ→ −K F < F F K Ejemplo 5.1 ( )x=F K expresiones racionales.

Para cada { } ( )( )

( )( )

\ 0 definimos : por a a

f x f axa

g x g axσ σ

∈ → =

K F F claramente

Gal .aσ ∈ K F Si { } ( ): \ 0 Gala a xσ= ∞ ⇒ ∈ = ∞ ⇒ KK K K es infinito.

Para cada definimos : por:bb τ∈ →K F F

( )( )

( )( )

( ) Gal , .b b

f x f x bx b

g x g x bτ τ

+= ⇒ ∈ ∀ ∈ +

K K K


- 126 -

Si ( )( ) ( )

1, 0 Gal es no

abeliano

b ab a a b

a b

x ax ba b

x a x b ax ab

τ στ σ σ τ

σ τ= +

≠ ≠ ⇒ ⇒ ≠ ⇒ = + = +K F

Proposición 5.1 Sea ⊃F K extensión, [ ]Gal y f xσ ∈ ∈K F K . Si u ∈F es una

raíz de f, entonces ( )uσ también es raíz de f. Demostración Como ( ) ( ) ( )( ) ( )( )0 0 0f u f u f uσ σ σ= ⇒ = = = implica que

( )uσ es raíz de f. Observación 5.2 Sea u algebraico sobre K y ( )Irr ,f u= K ( )gr f n= ⇒

{ }11, ,..., nu u − base de ( )uK como K-espacio vectorial.

Sea ( )u ⊃K K y consideremos el conjunto ( ){ }raíces en de R u f= K

Si ( ) ( )Gal u u Rσ σ∈ ⇒ ∈K K ,como ( ) ( ): u uσ →↖ ↗

K

K K se tiene que para un

elemento cualquiera de ( )uK :

( ) ( ) ( ) 110 1 1 0 1 1... ... con 1,..., 1nn

n n ia a u a u a a u a u a i nσ σ σ −−− −+ + + = + + + ∈ ∀ = −K

y σ queda determinado conociendo ( ).uσ Luego el mapa:

( )

( )( ) ( ) ( )1

1

: Gal y como

Id. es inyectivo.u

u

u R u u u u

u

σ τ τ σσ σ τ σ σ τ

−

−

Φ → = ⇔ = ⇔

⇔ = ⇔ = ⇒ Φ

K K

Î

Por otro lado si ( )v u∈K es una raíz de f , queremos saber si existe ( )Gal uσ ∈ K K

tal que ( )u vσ = u⇒ Φ es una biyección. Sabemos que existe un único isomorfismo (proposición 4.5):

( ) ( ): u vσ ≅→↖ ↗

K

K K

tal que: ( )u vσ = , además como ( ) ( ) ( )v u v u∈ ⇒ ⊂K K K y el que

( ) ( ) Irr Irrv f u= =K K esto implica que ( )[ ] ( ) ( )[ ]: :v gr f u= =K K K K luego

( ) ( )u v=K K entonces σ es un automorfismo ( )Gal uσ⇒ ∈ K K

( ) ( ){ } ( ) ( )[ ]Gal raíces de en :u f u gr f u= ≤ =K K K K K

si f se factoriza completamente en ( )uK (sin raíces repetidas) implica que vale la

igualdad. Si f escinde en ( )uK y tiene solo raíces simples en ( ) ,uK entonces:

( ) ( )[ ]Gal :u u=K K K K

Ejemplo 5.2 ⊃K K extensión trivial { }Gal Id⇒ K K = .

Notas de Álgebra II Galois - 127

- 127 -

Ejemplo 5.3 ( ) ( )3Gal con 2 Si Galu u uσ= ⇒ ∈¤ ¤¤ ¤ significa que ( )uσ es raíz

de ( ) ( )( )3 2 y Id.| Id.

u ux u u R

σσ σ

σ=

− ∈ ⊂ ⇒ ⇒ = = ¤¤ luego:

( ) { } ( )Gal Id y u u=¤¤ ¤ ¤⊊

Ejemplo 5.4 Sea ( )2 Gal 2u = ¤¤ , como

( ) ( )2 22 Irr 2 , raíces 2

2x

− = ∈−

¤¤ ¤

( )( )( ) ( ) ( ) { }

2

22

2 2 2

Gal 2 2 Gal 2 Gal 2 Id; con Id

x x x

σ σ

− = − +

⇒ = ⇒ ≅ ⇒ = =¤ ¤ ¤¤ ¤ ¢ ¤

Además ( ) ( )( ) { }2 : Irr 2 2 1, 2gr = = ⇒ ¤¤ ¤ ¤ es una base y se tiene:

( ) { }2 2 : ,a b a b= + ∈¤ ¤

( )22 es raíz de 2 Irr 2x− − = ¤¤ ( ) ( )Gal 2 , 2 2σ σ⇒ ∃ ∈ = −¤¤ entonces:

( )2 2 ,a b a b a bσ + = − ∈¤

Ejemplo 5.5 ( ), i⊃ =£ ¡ £ ¡

( ) ( )raíces2Irr 1i x i i= + →± ∈¡ ¡

( )( ) [ ]2 1 en x x i x i x+ = − + £

{ } ( )Gal 2 Gal Id; i iσ σ= ⇒ = = −¡ ¡£ £ tal que σ deja a los reales fijos entonces

( ) ( ), es a bi a bi a b z zσ σ+ = − ∈ =¡

Ejemplo 5.6 Sea la extensión ( )2, 3 ⊃¤ ¤

( ) [ ] ( )[ ]2Irr 3 3 2x x x= − ∈ ⊂¤ ¤ ¤

Veamos si ( ) { }3 2 2, ,a b a b∈ = + ∈¤ ¤ ⇒

3 2 con ,a b a b= + ∈¤ elevando al cuadrado se tiene:

2 23 2 2 2a ab b= + + ordenando

2 2 03 2 2 2 2 0

0

aa b ab ab

b∈

== + + ⇒ = ⇒ =¤144424443

es decir que :

( ) ( )( )2, 3 2 3=¤ ¤

2 ( ) ( ) 2

2Irr 3 3x= −¤ ¤

( )2¤

2 ( ) 2Irr 2 2x= −¤¤

¤


- 128 -

( ) ( )[ ]23 2 3 Irred. en 2x x∉ ⇒ −¤ ¤ ( ) ( ) 2

2Irr 3 3x⇒ = −¤

( ) ( ) ( )2, 3 : 2 2 2, 3 : 4 = ⇒ = ¤ ¤ ¤ ¤

Por otro lado como:

( )( )

( ) ( ) ( )2 2, 3

2 3 2, 3 2 3 2, 33 2, 3

∈ ⇒ + ∈ ⇒ + ⊂∈

¤¤ ¤ ¤

¤

y como vimos en el ejemplo 4.10

( ) ( ) ( )4

4 2

4

Irr 2 3 10 1 2 3 2, 3x x+ = − + ⇒ ⊂ + ⊂¤

G555555555555555555555H¤ ¤ ¤ ¤

E55555555555F

Es decir:

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 3 : 4 dim 2 32 3 2, 3

2, 3 : 4 dim 2, 3

+ = = + ⇒ + = = =

¤

¤

¤ ¤ ¤¤ ¤

¤ ¤ ¤

tenemos las raíces del ( )Irr 2 3+¤¤

1

24 2

3

4

2 3 2 3

2 3 2 310 1

2 3 2 3

2 3 2 3

x x

σσσσ

+ +

− −− +

− − − −

− + − +

LL LL

Observar que 1

3 22 3

= −+

entonces si llamamos 2 3u = + entonces:

1 13 2 , 2 3 , 2 3u u u− −− = − − = − − = − los automorfismos:

1 2 3 4

1 1

Id

u u u u u

σ σ σ σ− −− −

Y como ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

12 1 1 22 2 3 3

12 1 14 4

; ;u u u u u u u u

u u u u

σ σ σ σ

σ σ

−− −

−− −

= − = − − = = − = − − =

= = =

Todos al cuadrado dan la identidad ( ) 2 2 2 2Gal 2, 3⇒ ≅ × ≅ ⊕¤¤ ¢ ¢ ¢ ¢

( )( )

1121

112

2Como 2 3, 2 3

3

u uu u

u u

−

−

−

= += + = − ⇒ = −

y mirando las bases se

tiene { } ( ) { } ( )1, 2 base de 2 y 1, 3 base de 3¤ ¤ entonces:


- 129 -

{ } ( )1, 2, 3, 6 base de 2, 3⇒ ¤ y

( ) { }2, 3 2 3 6 : , , ,a b c d a b c d= + + + ∈¤ ¤

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 11 12 22 2

1 11 12 22 2

2 2

3 3

u u u u

u u u u

σ σ

σ σ

− −

− −

= + = − − = −

= − = − + = ⇒

2

2

2 2

3 3

σ

σ

−→→

( ) ( )( ) ( )

114 2

114 2

2 2

3 3

u u

u u

σ

σ

−

−

= + =

= − = − ⇒

4

4

2 2

3 3

σ

σ

→→ −

entonces:

2

3

4

2 3 6

2 3 6 2 3 6

2 3 6

a b c d

a b c d a b c d

a b c d

σ

σ

σ

→ − + ++ + + → → − − +→ + − +

Observación 5.3 Se puede probar que dado G grupo finito ⇒ ∃ ⊃F K extensión tal que Gal .GK F = Es un problema abierto si tal que Gal .G∃ ⊃ ¤¤F F =

Proposición 5.2 Sea ⊃F K una extensión entonces: i) Si ⊃ ⊃F E K cuerpo intermedio Gal Gal⇒ E KF < F

ii) Si ( ){ }Gal : ,HH v v v Hσ σ< ⇒ = ∈ = ∀ ∈K F F F es un cuerpo intermedio entre

F y K. Demostración i) si Galσ ∈ E F , Galσ σ

↑

→ ⇒ ∈↖ ↗ K

E

K

F F F

ii) ( ) , Gal Hv v vσ σ∈ ⇒ = ∀ ∈ ⇒ ⊂KK F K F falta probar que HF es un cuerpo

{( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

111 1

0

Sean , ,H Hu v u v u v

u v u v uvuv u v uv

σ σ σ

σ σ σ−

−− −≠

− = − = − ∈ ⇒ ⇒ − ∈ = =

F F luego HF

es un cuerpo. Observación 5.4 Sea ⊃F K una extensión fija y GalG = K F consideremos los conjuntos: { } { }: , : cuerpo intermedioH H G= < = ⊃ ⊃E F E KS F Definimos las siguientes funciones:


- 130 -

Gal ' HH H

→ →

′= EE E F = F

F S S F

Î = Î

La correspondencia da vuelta las inclusiones { }Gal Id′ = =FF F

por def.Gal G′ = =KK F

{ } Id' Id = =F F Ahora no siempre se cumple que:

Gal' GG = = =K FF F K por ejemplo:

Si ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( )3Gal 2 Id

3 3 3 3 32 Gal 2 Id 2 2 2u = ∈ ⇒ = ⇒ = =¤¤

¤¡ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤⊋

En general lo que se cumple que G⊂K F Definición 5.2 Dada una extensión ⊃F K decimos que es de Galois si

Gal =K FF K es decir que si y solo sí ( )\ , Gal , .u u uσ σ∀ ∈ ∃ ∈ ≠KF K F Ejemplo 5.7 Según lo visto en ejemplo 5.5 { } ( )Gal Id, , . z zσ σ= =¡£

Si ( ) Gal, y z z z zσ∈ = ⇔ ∈ ⇒ =¡££ ¡ £ ¡ . Luego es una extensión de Galois. Ejemplo 5.8 Las extensiones que ya hemos visto:

( ) ( ), 3 , 3, 2 ,⊃ ⊃ ⊃¤ ¤ ¤ ¤F F

son de Galois. Y las extensiones

( )3 2 , ,⊃ ⊃¤ ¤ ¡ ¤

no son de Galois. Lema 5.3 Sean ⊃F K extensión y L, M cuerpos intermedios. Sea H y J subgrupos de GalG = K F entonces:

i) { }' Id y ' G= =F K

ii) { }' Id = F iii) ' ' ;

' 'H J J H

⊂ ⇒ << ⇒ ⊂

l m m l

iv) ( ) ( )' ' y ' 'H H⊂ ⊂l l

v) ( )[ ] ( )[ ]' ' ' ' ' ' ' 'H H= =l l

i) { }Gal Id , Gal G= =F KF F

ii) { }Id =F F iii) Gal Gal ;⊂ ⇒ <M Ll m F F

J HH J< ⇒ ⊂F F iv) ( )

Gal , Gal HH⊂ <LF

Fl F F

v) ( )Gal

GalGal Gal , HH = F

FL

F

L FF = F F F

F { }Id F { }Id ∪ ∧ ∪ ∧ E E’ ‘H H ∪ ∧ ∪ ∧ ? K G K G


- 131 -

Demostración Los casos i) y ii) ya los vimos. iii) , ' Gal Gal '

' 'J HH J J H

⊂ ⇒ = < < ⇒ = ⊂ =

M Ll m m F F = lF F

iv) ( ) ( ) ( ){ }Gal' ' ' ' : , Galv v vσ σ⊂ ⇔ = = ∈ = ∀ ∈ ⊃LFLl l l F F F l

( )

( )( )

' ' Gal : ,

: : , Gal ' '

H

H

H

H

H

H H

v

H H

v v

ϕ σ

σ σσ

⇒

⇒ ⇒

= = → ∈ ∈

→ → ⇒ ⊂ = =

↖ ↗

↖ ↗

F

F

F

F

F F FF

F F F F F

v)

( ) ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]' ' ' ' ' '

' ' ' '' ' ' '

⊂ ⇒ ⊂ ⇒ =⊂

l l l ll l

l l el otro es análogo.

Observación 5.5 Sea ⊃F K extensión, por definición F es de Galois sobre K si y solo sí Gal =K FF K es decir si y solo sí ( )' ' =K K . Sea E un cuerpo intermedio ⊃ ⊃F E K entonces: ( )Gal es de Galois ' '⊃ ⇔ = ⇔ =E FF E F E E E Definición 5.3 Dada y GalG⊃ = KF K F . Sean y H G⊃ ⊃ <F E K decimos

que E es cerrado si ( ) Gal' ' = ⇔ = ⇔ ⊃E FE E F E F E es de Galois; y decimos que

H es cerrado si ( )' ' Gal .HH H H= ⇔ =F

F

Luego ⊃F K es de Galois si y solo sí K es cerrado. Proposición 5.4 Sea ⊃F K una extensión, la correspondencia ' , 'H H→ →l l (definida en la observación 5.4) establece una biyección entre los subcuerpos cerrados de F que contienen a K y los subgrupos cerrados de Gal .G = K F Demostración Sean ( ){ }

( ){ }: ' '

: ' 'c

c H G H H

= ⊃ ⊃ =

= < =

l E K E EF

S

Si ( )[ ] ( )' ' ' ' ' 'c c c c∈ ⇒ = ⇒ ∈ ⇒ ⊂E E E EF S F S y análogamente ( )' c c⊂S F

Ahora vamos a ver una serie de lemas previos a la demostración del teorema central de este capítulo, que es el Teorema de Galois. Lema 5.5 Sea ⊃F K una extensión, ,⊃ ⊃ ⊃F M l K cuerpos intermedios. Si [ ] [ ] [ ]: ' : ' :< ∞ ⇒ ≤M l l M M l en particular:


- 132 -

Si [ ] [ ]: Gal : .< ∞ ⇒ ≤KF K F F K Demostración Tenemos que ' Gal , ' Gal= =L Ml F M F supongamos que se cumple la primer afirmación de la tesis lo que significa que la correspondencia de subcuerpos '→l l a subgrupos es en general una contracción. Entonces: [ ] [ ]Gal : Gal :≤L MF F M l y en el caso particular siguiente:

{ }

[ ]

[ ]

Id

Gal :Gal :

Gal :

≤

≤P

123K F

K

F F F K

F F K

tenemos la segunda parte de la afirmación de la tesis. Para probar la primera parte lo hacemos por inducción completa en el grado [ ]:M l

Sea [ ]:n = M l y consideremos el caso 1n = ' '⇔ = ⇒ =M l l M luego se cumple. Sea ahora 1n > , ⇒ M l⊋ y supongamos que el teorema vale para toda extensión con grado n< . Sea \ , finita u u∈ ⊃ ⇒M l M l es algebraico sobre L . Sea ( )Irrf u= L con ( ) ( )1 .gr f k u= > ∉ l

( )k

n

u⊃ ⊃G55555H

E5555555555FM l l entonces ( )[ ]: nku =M l consideremos

los siguientes casos: a) k n<

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

hip de ind.

hip. de ind.

, : ' : ' :1

, : ' : ' :

n n nk k kn u u u

k nk n u k u u k

< = ⇒ ≤ =⇒ < < ⇒ < = ⇒ ≤ =

M l l M M l

l l l l l l

Luego [ ] ( )[ ] ( )[ ] [ ]' : ' ' : ' ' : ' :nku u k n= ⋅ ≤ ⋅ = =l M l l l M M l

b) k n= ( )1n

k u= ⇒ =M l , ( )Irrf u= L

Sea ( ){ } ( ) [ ]raíces de en , :T f u T gr f n= ≤ = =l M l

Sean las coclases a izquierda:

( ) ( ){ }' ' : '' uu τ τ= ⋅ ∈l l ll ( )( ) '

' ' : ''u

u

⇒ =

Pl

l l Ml

M M’ n

k ( )ul ( ) 'ul k L L’

( )ul ( ) 'ul n L L’ K G


- 133 -

y | Idf x τ ↓

∈ =ll

Entonces si ( ) ( )( ) ( )( ) ( )' Gal , 0 0f u f u f u u Tτ τ τ τ∈ = = ⇒ = = ⇒ ∈Ll F

Tenemos entonces un mapa

( ): '

T

u

µτ τ

→l

Î

Debido a que si ( ) ( )', ' Gal uuτ σ∈ ∀ ∈ = Ll l F ( )( )

( )u

u uτ σ τ↓

∈

⇒ ⋅ =l

, se puede pasar

al cociente, con lo cual se induce el siguiente mapa:

( )( ) ( )

'ˆ : '

'

Tu

u u

µ

τ τ τ

→

= ⋅

ll

l Î

Sean ( ) ( )1 2 1 2, ' Gal tal que u uτ τ τ τ∈ = =Ll F

( )12 1 u uτ τ−⇒ = con 1

2 1 :τ τ− →↖ ↗

l

F F luego deja fijo

u y L entonces:

( )

12 1 :

u

τ τ

↑

− →↖ ↗

l

l

F F ( ) ( ) ( ) ( )12 1 1 2Gal ' ' 'u u u uτ τ τ τ−⇒ ∈ = ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒l F l l l el mapa µ

es inyectivo [ ] [ ]' : ' : .T⇒ ≤ ≤l M M l Si F es el cuerpo de descomposición de f sobre µ⇒l es sobreyectivo. Lema 5.6 Sea ⊃F K una extensión , GalH J G< < = K F .entonces:

Si [ ] [ ] [ ]: ' : ' : .J H H J J H< ∞ ⇒ ≤ Es decir que la segunda correspondencia de 'H H→ es también una contracción Demostración Sea [ ]:J H n= y supongamos que [ ]' : 'H J n>

{ }1 1,..., ' , linealmente independiente sobre 'nu u H J+⇒ ∃ ⊂

[ ] { }1 2 1 2: , sea , ,..., , , ,...,n nJJ H n H H H JH τ τ τ τ τ τ= = ∈

Consideremos el sistema de n ecuaciones con n+1 variables 1 1,..., nx x + definido por:

( )1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 1 1 2 2 1 1 1

1 1 2 2 1 1

0

0

n n

n n n n n

u x u x u x

u x u x u x

τ τ τ

τ τ τ

+ +

+ +

+ + + = + + + =

LM M

L

Sea ( )( ) ( ) ( ) ( )1; ,i j n nijA u A T X AXτ × += ∈ ⇒ =FM

1:

n nAT

X AX

+ →F F

Î { }ker 0AT ≠ ⇒ Este sistema siempre admite una solución no trivial.

GalLF µ T µ

( )

GalGal u

L

L

FF

{ }Id F H ' HH = F J ' JJ = F GalK F K


- 134 -

Sea ( ) 11 1,..., n

na a ++ ∈ F solución no trivial con una cantidad minimal de entradas no

nulas. Reordenando si es necesario podemos suponer 0 1,..., y ia i r≠ ∀ = 0ia = para todo 1,..., 1i r n= + + .

Como ker AT es un subespacio de 1n+F podemos suponer 1 1a = F (si no

multiplicamos por 11a− ).

Afirmación 1 Probaremos que { }1 1,..., L.I. sobre ' tal que J

nu u J Jσ+ = ⇒ ∃ ∈F ( )1 1 ,y aσ=

( )2 2y aσ= ( ) 1 1,..., , .... 0r r r ny a y yσ + += = = = es solución de (1) y ( )2 2a aσ ≠ Si se cumple lo anterior, tenemos que la resta de dos soluciones es también una solución, pero:

( )

( ) ( )1 1

2 2 2 2

1 1 1 1 0 implica que la resta es una solución no

trivial de 1 con 1 entrada no nula0

x y

rx y a a

σ

σ

− = − = − = ⇒ −− = − ≠

Luego necesariamente [ ] [ ]' : ' :H J n J H≤ = y se cumple la tesis. Demostración

En ! : ,iJ i H HH τ∃ = reordenando podemos suponer 1 1H H Hτ τ= ⇔ ∈ luego

como ( )1 1 1,..., ' , 1,..., 1.Hn i iu u H u u i nτ+ ∈ = ⇒ = ∀ = +F Los ia son solución,

tenemos que la primer ecuación de (1) queda: 1 1 2 2 ... 0r ru a u a u a+ + + =

Como { }1 1 1,..., es L.I. sobre ' y ,...,n ru u J a a+ ⊂ ∈F F son no nulos, : 'ii a J⇒ ∃ ∉ y

podemos suponer reordenando que ( )2 2 2' :Ja J J a aσ σ∉ = ⇒ ∃ ∈ ≠F . Consideremos el sistema de ecuaciones en F.

(2)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 1 1 2 2 1 1 1

1 1 2 2 1 1

0

0

n n

n n n n n

u x u x u x

u x u x u x

στ στ στ

στ στ στ

+ +

+ +

+ + + = + + + =

LM M

L 1

, ii

H JJ

J

τστ

σ τ

∈ < ∈∈

Como 1 1 2 2 1 1, ,..., , .... 0r r r nx a x a x a x x+ += = = = = = es solución de (1) en F y

( )Autσ ∈ F ( ) ( )1 1 1 1,..., , ... 0r r r ny a y a y yσ σ + +⇒ = = = = = es solución de (2). Afirmación 2 El sistema de ecuaciones (1) y el (2) son el mismo a menos de reordenar las filas. Demostración Dado { } { } ( ) ( )1,.., , ! 1,.., tal que , 1,.., 1i ji n j n u u nστ τ∈ ∃ ∈ = ∀ = +l l l

Ya que:

{ } { }1 2 1 2, ,..., , ,...,n nJH H H H H H Hστ στ στ τ τ τ= =

porque si 1 1! tal que i iJ J i H H H Hη σ η σ η τ η στ− −∈ ⇒ ∈ ⇒ ∃ = ⇒ = luego:

{ } { }1: ,..., nJ JH J H HH Hη η στ στ= ∈ ⊂ ⊂

Es decir que para cada i, ! tal que .jj i H Hτ στ∃ =


- 135 -

Además, Sea ( ) ( ), tal que , 1,..., 1i j i ji j H H u u nστ τ στ τ= ⇒ = ∀ = +l l l ya que:

i tal que jH στ τ∃ ∈ =V V

y ( ) ( )' , 1,..., 1H

Hi j j

Hu H u u u nστ τ τ

∈ ∈

∈ = ⇒ = = ∀ = + l l l l l

F

F V .

Lo que significa que los sistemas son equivalentes porque la fila i de (2) coincide con la fila j de ( )1 , y entonces:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2,..., , ... 0 es solución de 1 con ,r r r ny a y a y y J a aσ σ σ σ+= = = = = ∈ ≠ luego queda probada la afirmación 1, y por lo tanto el Lema. Lema 5.7 Sea ⊃F K una extensión, , Gal .H J G⊃ ⊃ ⊃ < < = KF M l K F

i) Si L es cerrado y [ ]: < ∞ ⇒M l M es cerrado y [ ] [ ]' : ' : ;=l M M l

ii) Si H es cerrado y [ ]:J H J< ∞ ⇒ es cerrado y [ ] [ ]' : ' : ;H J J H= iii) Si ⊃F K es de Galois finita, entonces todos los cuerpos intermedios entre F y K y todos los subgrupos de G son cerrados y [ ]Gal : .=K F F K Demostración i) ( ) cerrado ' '⇔ =l l l

[ ] { [ ] [ ] { ( ) ( ){ [ ] [ ]L. 5.5 L. 5.6

: ' : ' : ' ' : ' ' ' : ' :=

< ∞ ⇒ ≤ < ∞ ⇒ ≤ ≤

l

M l l M M l M l l M M l

( ) [ ] ( ) ( ){ [ ] [ ]' ' : ' ' : ' ' ' : ' :=

⊂ ⊂ ⇒ ≤ ≤ ≤ ⇒

l

l M M M l M l l M M l se tienen

que cumplir todas las igualdades:

[ ] [ ]( )[ ] [ ]

( )( )

: ' : '

' ' : :' '

' '

=

= ⇒ =

⊂ ⊂

M l l M

M l M lM M

l M M

ii) H cerrado ( )' 'H H⇒ =

[ ] { [ ] [ ] { ( ) ( ){ [ ] [ ]L. 5.6 L. 5.5

: ' : ' : ' ' : ' ' ' : ' :H

J H H J J H J H H J J H=

< ∞ ⇒ ≤ < ∞ ⇒ ≤ ≤ < ∞

( ) [ ] ( )( ){ [ ] [ ]' '

' ' : ' ' : ' : ' :H

H J J J H J H H J J H=

< < ⇒ ≤ ≤ ≤ < ∞

luego se tienen que

cumplir todas las igualdades:

[ ] [ ]( )[ ] [ ]

( )( )

: ' : '

' ' : :' '

' '

J H H J

J H J HJ J

H J J

=

= < ∞⇒ =

< <


- 136 -

iii) Sea ⊃F K de Galois finita finita tal que es finita⊃ ⇒ ∀ ⊃ ⊃ ⊃F K E F E K E K

⊃F K de Galois es cerrado ; finita ⇒ ⊃ ⇒K E K E es

cerrado y { [ ]' : ' :G=

= K E E K

Tomando { { }{( ){ [ ]

' i= '

es Gal : Id :G G=

= = = =

K

K F

E F F F K

Luego , ,G H H G< ∞ ⇒ < ∞ ∀ <

{ } { }( ) { } { }{ }[ ]

Id ' ' Id ' ' Id Id cerrado es cerrado.

Si : IdH

H G H H

= ⇒ = = ⇒ ⇒

< ⇒ = < ∞

F F

Definición 5.4 Sea ⊃F K una extensión y tal que .⊃ ⊃E F E K Decimos que E estable (respecto a ⊃F K ) si ( ) , Gal .σ σ⊂ ∀ ∈ KE E F

En este caso 1| : , Gal Galσ σ σ −→ ∈ ⇒ ∈↖ ↗E K K

K

E E F F y esto implica:

( )

( ) ( )( )

1| Gal Gal

σσ σ σ

σ σ−

⊂ ⇒ = ⇒ ∈ ∀ ∈

⊂ ⇒ ⊂ E K K

E EE E E F

E E E E

Lema 5.8 Sea ⊃F K extensión, GalG = K F entonces se cumplen: i) Si y ⊃ ⊃F E K E es estable ' G⇒ <E , ii) Si 'H G H⇒< es estable. Demostración i) ' Gal= EE F . Sean Gal y ' GalGσ τ∈ = ∈ =K EF E F :τ

↑

→↖ ↗

E

K

F F

( )1 Autσ τσ−⇒ ∈ F queremos ver si 1 Gal 'σ τσ− ∈ E F = E . Sea como es estableu ∈E E se cumple que:

( ) { ( ) ( ) ( ) { ( )1 1 1

Gal Id

| Idu u u u u uτ

σ τσ σ σ τσ σ σ σ τσ− − −

∈

∈ ⇒ = ⇒ = = ⇒ =E

EF

E lo que

significa que 1 Gal ' ' Gσ τσ− ∈ ⇒∴ <E F = E E .

ii) Sea ( ){ }, ' : HH G H x x x Hσ σ= = ∈ = ∀ ∈< F F .

Sea y GalHu σ∈ ∈ KF F queremos ver si ( ) ( ) ( ) , Hu u u Hσ τσ σ τ∈ ⇔ = ∀ ∈F

esto último a su vez se cumple ( )1 , .u u Hσ τσ τ−⇔ = ∀ ∈

Entonces como ( )1 1 , 'H

H

uH G H u u u Hσ τσ σ τσ− −

∈⇒ ∈ ⇒ = ∀ ∈ =<

FF ⇒ tesis.

F { }Id finita E H finita

K G


- 137 -

Lema 5.9 Sea ⊃F K extensión de Galois y ⊃ ⊃F E K con E estable, entonces ⊃E K es de

Galois. Demostración Sea \ \u u∈ ⇒ ∈E K F K y por ser

⊃F K de Galois ( )Gal tal que u uσ σ∃ ∈ ≠K F .

( ) es estable | Gal y | u uσ σ⇒ ∈ ≠E K EE E . Lema 5.10 Sea ⊃ ⊃F E K tal que ⊃E K es algebraica y de Galois entonces E es estable.

alg. y Galois

estable⊃ ⊃ ⇒14243F E K E

Demostración Sea ( ) [ ] y Irr ,u u f x∈ = ∈KE K sean 1 2, ,..., ru u u u= raíces

distintas de f en E ( ).r n gr f⇒ ≤ =

Sea [ ] ( )( ) ( )( )Gal , como y 0 0i i if x f u f u f uτ τ τ∈

∈ ∈ = ⇒ = = K

EE K es decir

que ( )iuτ son raíces de f en E ( ) ( ){ } { }1 1,..., ,...,r ru u u uτ τ⇒ =

Sea ( ) ( ) [ ] ( )( ) ( )( )1 1... ...r rg x u x u x g x u x u gτ τ τ= − − ∈ ⇒ = − − =E entonces:

( ) ( )

Gal Gal

Gal , pero luego

Gal y como de Galois

i ii i i i

i i

i i

g g g a x a x g a a

a a

τ τ τ τ τ

τ

⇒ = ∀ ∈ = = = =

∀ ∈ ⇒ ∈ ⊃ ⇒ ∈ = ⇒

∑ ∑K K

K

E EK

E

E E E K E K

que tenemos así [ ] 1, y raíz de |g x u u g f g∈ = ⇒K por ser ( )Irrf u= K entonces

( ) ( )

como mónico

n gr f gr g rf g n r

g

= ≤ = ⇒ = ⇒ =

,

luego todas las raíces de f son distintas y están en E. Importante resultado a tener en cuenta. ( )

alg. Galois

si Irr todas las raíces de son distintas y están en f u f⊃ ⊃ = ⇒14243 KF E K E

[ ] ( ) { } ( )1Si Gal , ,..., es estable

Galnf x u u uσ σ σ

σ

∈ ∈ ⇒ ∈ ⊂ ⇒ ⊂ ⇒

∀ ∈ K

K

F K E E EE

F

Definición 5.5 Sea ⊃ ⊃F E K , Galτ ∈ K E decimos que es extendible a F si existe Gal tal que |σ σ τ∈ =K EF Observación 5.6 { }Gal : extendible a Galτ τ∈ <K KE F E

Sea ( ) ( ) ( ) ( )1 1e e e e e eσ τ σ τ− −= = ⇒ = =% % %

F Galois E estable

⇒ Galois

k

F σ F E τ E K


- 138 -

Si 1 11 1 2 2 2 2| , | |σ τ σ τ σ τ− −= = ⇒ =E E E como ( ) ( )2 2 1 2 1 2|σ τ σ σ τ τ= = ⇒ =EE E E

Lema 5.11 Sea ⊃ ⊃F E K con E estable y GalG = K F entonces 'G

E es

isomorfo a { }Gal : es extendible a Gal .τ τ∈ <K KE F E Demostración Si E estable : Gal Gal

|

G

σ σ⇒ Φ = →K K

E

F E

Î | morfismo de grupos, tal

que ImkerG ≅ ΦΦ ; entonces como { }Im Gal : estiende a τ τΦ = ∈ K E F , y :

{ }ker Gal : | Id Gal 'σ σΦ = ∈ = = =K E EF F E , sustituyendo se tiene la tesis. Proposición 5.12 (Teorema de Galois) Si ⊃F K es una extensión de Galois finita, entonces existe una correspondencia uno a uno que invierte el orden de inclusión entre { }: , cuerpo intermedio= ⊃ ⊃E F E KF y { }: GalH H= < K FS Definida en la observación 5.4 que verifica: i) [ ] [ ]: Gal :Gal , tal que ;= ∀ ⊂ ⊂ ⊂L EE l F F l E K L E F

En particular [ ]Gal : .=K F F K ii) tal que es de Galois;∀ ⊃ ⊃ ⇒ ⊃E F E K F E Y además ⊃E K es de Galois si y solo sí Gal Gal<E KF F y en este caso el mapa:

Gal Gal

|σ σ

→K K

E

F E

Î |

es un epimorfismo de núcleo GalE F . Luego induce un isomorfismo

Gal GalGal

|σ σ

≅KK

E

E

F EF

Ï |

A las correspondencias ya la hemos notado como

( )( ) ( ) ( )Gal y o ' y 'i

i i iF F y decir que una es la

inversa de la otra quiere decir que: ( ) ( )Gal , Gal ; o ' ' , ' 'H H H H= = = =E F

FE E F E E

Demostración Para ver que la correspondencia es una biyección, basta con probar que todos los subcuerpos y subgrupos son cerrados y eso es el Lema 5.7 y antes habíamos probado de que existe una correspondencia biyectiva entre cerrados (proposición 5.4). Además el Lema 5.7 prueba que en este caso si ⊃ ⊃ ⊃F E l K entonces [ ] [ ] [ ]: ' : ' y Gal := =KE l l E F F K . Sea ⊃ ⊃F E K como E es cerrado, es ⊃F E de Galois.

F { }Id E GalE F Galois L GalLF < K G


- 139 -

⊃F K finita ⇒ ⊃E K finita ⇒ ⊃E K es algebraica. Si ⊃E K es de Galois { {

Lema 5.10 Lema 5.8

es estable ' .G⇒ ⇒ <E E

{ ( )( )

{Lema 5.8 Lema5.9

Si ' ' ' es estable es estable

cerrado ' ' de Galois es de Galois

G⇒

⇒ ⇒ ⊃ ⇒ = ⊃

<E E E E K

E E E F K

Sea con ⊃ ⊃ ⊃F E K E K de Galois. GalK F [ ]Gal :=K E E K ≅

GalGal '

G=K

E

FF E

y 'E E son cerrados y ' ( de Galois)G = ⊃K F K

[ ] { ( )[ ] [ ]

[ ]

Lema 5.7

: ' ' ' : ' :'

GalLema 5.11 Gal ''| |

pero de Galois Gal :

G G G

GG

σ σσ σ

≅

⇒ = = = → ⇒

⊃ ⇒ = < ∞

KK

EE

K

E E E KE

EE EE

E K E E K

°ÎÎ

Ejemplo 5.9 Sea ( )2, 3= ⊃¤ ¤F veremos que es de Galois.

( ) { } { }1 2 3 4Gal 2, 3 , , , Id, , ,G σ σ σ σ σ τ στ= = =¤¤ siendo y σ τ tales que 2 2 Id; y σ τ στ τσ= = =

2 2 2 2

3 3 3 3

σ τ στ

− −

− −

2 2G⇒ ≅ ⊕¢ ¢

Los subgrupos de G son: { } { } { }Id, , Id, , Id,H J Kσ τ στ= = = Como vimos en el ejercicio 5.6

{ }2 3

2 3 6 : , , ,a b c d a b c d=

= + + + ∈¤F

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 3 6 2 3 6 3

2 3 6 2 3 6 2

2 3 6 2 3 6 6

H

J

K

a b c d a b c d

a b c d a b c d

a b c d a b c d

σ

τ

στ

+ + + = − + − ⇒ =

+ + + = + − − ⇒ =

+ + + = − − + ⇒ =

¤¤

¤

F

F

F


- 140 -

{ } { } { } { } ( ) ( ) ( )Id, , , 3 2 6G σ τ στ σ τ στ= = =∩ ∩ ¤ ∩ ¤ ∩ ¤F F F F F

Se tiene que ( ) ( ) ( )3 2 6 ' '= ⇒ = ⇒¤ ∩¤ ∩ ¤ ¤ ¤ ¤ la extensión es de Galois.

Corolario 5.13 Sea ⊃F K de Galois finita, L y E cuerpos intermedios entre F y K ; H y J subgrupos de Gal ,G = K F entonces se cumple: i) Gal Gal Gal ,∩E L E LF = F F

ii) Gal Gal Gal . Si∨ ⊃∩E L E LF = F F E K es de Galois, entonces:

Gal Gal Gal= ⋅∩E L E LF F F

iii) H J H J= ⋅∩F F F iv) .H J H J∨ = ∩F F F Si HJ H JH G ⇒ =< ∩F F F Demostración Según la nomenclatura que estamos usando la i) y ii) corresponde a demostrar que:

( ); ′′ ′ ′ ′ ′= = ∨∩ ∩El E l E l e l

( )( )

' ' '

' ' '

⊂⇒ ⊃ ∨

∩∩

El E l

E l E l

( )( ) ( )

' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' '

' ' '

⊂ ⇒ ⊃ = ⇒ ⊃ ⇒ ⊂

⊂ ⊃ =

∩ ∩ ∩ ∩E l E E l E EE l El E l El

l l l i)

( )( ) ( )

' ' ' ' ' '' ' ' ' ' '

'

⊂ ∨ ⇒ ⊃ ∨ ⇒ ⊃ ∨ ⇒ ⊂ ∨

⊂ ⊃ ∩ ∩E E L E E L

E L E L E L E LL L

ii)

{ }Id H K J G Subgrupos

( )2, 3= ¤F

( )3¤ ( )6¤ ( )2¤

¤ Subcuerpos

F EL E L ∩E l K

⇒

Id

' ' '= ∩El E l E’ L’ ( )' ' '∨ = ∩E l E l G


- 141 -

Si ( ) de Galois ' ' ' ' ' ' ' '.G⊃ ⇒ ⇒ ∨ = ⇒ =< ∩E K E E L E L E L E L iii) y iv)

Sean: ' y 'H J= =E l Observar que si H G< entonces: H J HJ∨ = y ⊃E K es de Galois.

( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

i

ii

' ' ' ' ' ' ' ' ' '' , '

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ,

H J H J H J H J H JH J

H J H J H J H J H J

= = ⇒ == = ⇒ = ∨ = ∨ ⇒ = ∨

∩ ∩ ∩∩ ∩E L

Corolario 5.14 Si con ⊃F K Galois finita entonces si

{ }Gal Gal Id ⇒∩L EF F = F = E l Demostración

{ } { }IdGal Gal Gal Id= ⇒ = =∩E L L EF = F F E l F F

Proposición 5.15 (Teorema de Artin) Sea F un cuerpo, Aut y ,GG < =F K F entonces ⊃F K es de Galois. Si G es finito, entonces ⊃F K es de Galois finita y Gal .G=K F Demostración Como ( ){ }: , G u u u Gσ σ= ∈ = ∀ ∈K = F F entonces:

Si ( ) , Gal .u u u G Gσ σ∈ ⇒ = ∀ ∈ ⇒ < KK F

Sea ( )\ tal que Gu u G u uσ σ∈ ⇒ ∉ ⇒ ∃ ∈ ≠F K F {Gal

Gal G

σ<

⇒ ∃ ∈K

KF

F tal que

( )u uσ ≠ ⇒ ⊃F K es de Galois.

Si G es finito [ ] { } { { }[ ]Id

Lema 5.6

: : : IdG G G ⇒ = ≤ = ⇒ ⊃ F K F F F K es finita.

⊃F K de Galois finita [ ]Gal :

Gal Gal

GG

G

⇒ = ≤ < ∞⇒ =

< K

KK

F F KF

F.

F EL E L Galois ∩E l K

( )'⇐

i

Id H J∩ H J < H J HJ∨ = G

F L E K


- 142 -

Observación 5.7 Sea K cuerpo , [ ] \ , f x∈ ⊃K K F K extensión y u ∈F tal que

( ) 0,f u = entonces:

i) u es raíz múltiple de f ( ) ( ) ( )' 0f u f u x u⇔ = = ⇔ − divide a [ ] y ' en f f xF . ii) f tiene solo raíces simples en F ' 0f⇔ ≠ (suponiendo f irreducible). iii) Si f es irreducible en [ ]xK y ( )car 0 ' 0f= ⇒ ≠K . Luego f tiene sólo raíces simples en F. Definición 5.6 Sea K un cuerpo i) [ ]f x∈K irreducible se dice separable si existe extensión ⊃F K , cuerpo de descomposición de f sobre K tal que f tiene sólo raíces simples en F. Si [ ]f x∈K no es irreducible, [ ]1 2. .... con r if f f f f x= ∈K irreducible no necesariamente distintos decimos que f es separable si if es separable .i∀

Ejemplo 5.10 ( )( ) ( ) [ ]3 42 21 2 1f x x x x= + − − ∈¤ es separable por serlo cada factor.

ii) Sea ⊃F K extensión. Un elemento u ∈F se dice separable sobre K si u es algebraico sobre K e ( ) [ ]Irr u x∈K K es separable. iii) Una extensión ⊃F K es separable si todo u ∈F es separable sobre K. Observación 5.8 i) Si [ ],f x∈ ⊃K F K extensión [ ]f x⇒ ∈F , entonces

[ ]f x∈K es separable [ ]f x⇒ ∈F es separable. ii) Si ⊃F K es separable ⇒ ⊃F K es algebraica. iii) Si ( )car 0 y = ⊃K F K es algebraica ⇒ ⊃F K es separable. Lema 5.16 Sea ⊃F K extensión finita entonces ⊃F K es de Galois si y solo sí: [ ]Gal :=K F F K Demostración ⇒ ya la vimos. ⇐ [ ]:F K finita [ ]Gal :⇒ ≤ < ∞K F F K

Sea 0 'G G= =K F entonces por el Teorema de Artin 0⊃F K es de Galois finita y

0Gal Gal=K KF F

[ ]

[ ][ ] [ ]0 0

0

Gal Gal :: :

:

= = ⇒ =

PK KF F F K

F K F KF K

[ ] [ ] [ ]

[ ]

0 0

0 0

Pero : : :

finito : 1↓

= ⋅

⇒ = ⇒∴ =

F K F K K K

K K K Ky por lo tanto ⊃F K es de Galois finita.

F 0K K


- 143 -

Proposición 5.17 Sea ⊃F K extensión entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: i) ⊃F K es algebraica y de Galois. ii) ⊃F K es separable y F es el cuerpo de descomposición de una familia S de polinomios de [ ].xK iii) F es un cuerpo de descomposición de una familia S de polinomios separables de

[ ].xK Demostración i) ii)⇒ ( ) ( ) ( ) [ ]1

Lema 5.10Irr .... ru u x u x u x∈ ⇒ = − − ∈KF F

Con 1 2, ,.., ru u u u= ∈F raíces simples y distintas (escinde) luego por definición es separable u⇒ es separable sobre K ⇒ ⊃F K separable.

( ) algebraica , T T⊃ ⇒ = ⊂F K F K F elementos algebraicos sobre K.

Si ( ) [ ] ( ), es algebraico sobre Irr , 0t tt T t f t x f t∈ ⇒ = ∈ =KK K

Sea { } [ ]:tS f t T x= ∈ ⊂ K y consideremos { }raíces de los , con .tR f t T= ∈

Como [ ] es separable tf x t T∈ ∀ ∈K y las raíces de tf están en F se tiene:

( ) ( ) ( )T R R= ⊂ ⊂ ⇒ =F K K F F K

⇒F es el cuerpo de descomposición de S. ii) iii)⇒ Por hipótesis ⊃F K es separable y F cuerpo de descomposición de S entonces sea [ ] [ ]1

0, ... rf S x f af f x

≠∈ ⊂ = ∈K K con [ ]1,..., rf f x∈K mónicos e

irreducibles y .a ×∈K f escinde en F { } escinde 1,...,if i r⇒ ∀ ∈

( )[ ]

( ) [ ]Sea tal que 0

Irr separable mónico e irreducible

separable

ii

ii

u

u f uf u x

ff x∈

∈ = ⇒ = ∈ ⇒∈ ⊃

K

FK

KF K

iii) i)⇒ Para demostrar esto consideraremos dos casos: a) Sea { } [ ]1, ,..., : separablesrS S f f x< ∞ = ⊂ K

si [ ]por def.

1

es separabler

ii

f f x f=

= ∈ ⇒ ⇒∏ K F es el cuerpo de descomposición de f

Queremos probar que ⊃F K es de Galois finito. ⊃F K finitamente generada por elementos algebraicos ⇒ finita [ ]: n⇒ = < ∞F K . Queremos ver que:

[ ]: Gal= KF K F y lo probaremos por inducción completa en n. 1) Supongamos [ ] { }: 1 Gal Id= ⇒ = ⇒ =KF K F K F y se tiene:

[ ]Gal 1 : .= =K F F K 2) Supongamos 1n > y razonamos por inducción


- 144 -

[ ] [ ]1... con mónico e irreducible separable 1,...,t i if ag g x g x g i t= ∈ ∈ ⇒ ∀ =K K

( )Si 1 1,..., 1igr g i t n= ∀ = ⇒ = ⇒ =F K Existe entonces alguno de grado 1> podemos suponer sin perder generalidad que es el primero. ( )1 1gr g s= > Como f se escinde en F y es separable 1g⇒ se escinde y es separable.

Entonces si { }1raíces de en T g T s= ⇒ =F es decir:

( ) ( ) [ ]1 1 ... con s i jg x u x u x u u i j= − − ∈ ≠ ∀ ≠K

Sea ( ) [ ]1 1 entonces Irru u u g x= = ∈K K donde ( )[ ] ( )1:u gr g s= =K K .

El mapa µ ya definido en Lema 5.5, en este caso es una biyección:

( )

( )

Galˆ : Gal

uT

u

µ

τ τ

→K

K

FF

Î

entonces ( )

( )Gal Gal : GalGal u

us = =

KK K

K

F F FF

como ( )[ ]1 : nss u n> ⇒ = <F K

F es el cuerpo de descomposición de f sobre K ⇒F es cuerpo de descomposición de ( )[ ]f u x∈K sobre

( )uK f⇒ ahora como polinomio en ( )[ ]u xK es separable y por hipótesis de inducción como:

( )[ ] ( ) ( )[ ]: Gal :nusu n u= < ⇒ =KF K F F K entonces por ser:

( ) ( )Gal Gal : Gal Galu u = ⋅ K K K KF F F F

sustituyendo ( )[ ] ( )[ ] [ ]Gal : : :u u= ⋅ =K F K K F K F K

⇒ ⊃F K es de Galois. b) Sea ahora S = ∞ con S familia de polinomios separables.

( ) ( ){ }, con : 0 para algún T T u f u f S= = ∈ = ∈F K F

( )1

1,...,

,...,n

nt t T

n

t t

+∈

∈

⇒ =

¢

∪F K tenemos que probar que ⊃F K es algebraica y de

Galois, algebraica es obvio ya que los elementos de T son algebraicos y toda extensión generada por elementos algebraicos es algebraica.

Gal es de Galois ⊃ ⇔ =K FF K F K lo que equivale a demostrar: ( )Si \ entonces Gal , tal que .u u uσ σ∈ ∃ ∈ ≠KF K F

F { }Id n ( )uK ( )Gal uK F

s s K GalK F


- 145 -

Sea ( ) ( )1 1\ , ,..., algún , ,..., tal que:n nu T t t n t t T+∈ = = ⇒ ∃ ∈ ∈¢∪F K F K K

( )1,..., nu t t∈K

Si { } [ ] ( )1,..., , tal que 0i i i ii n t T f S x f t∈ ∈ ⇒ ∃ ∈ ⊂ =K Consideremos el cuerpo de descomposición de los if y sea:

( ){ }: 0 para algún 1,...,i i iR t T f t i n= ∈ = =

Luego ( )RK es el cuerpo de descomposición de los if es decir de

{ } [ ]1,..., nf f S x⊂ ⊂ K y ( ) [ ]1 1,..., ,...,n nt t R u t t x∈ ⇒ ∈ ⊂K K ( ) \u R⇒ ∈K K

y por lo tanto ( )R ⊃K K es finita y aplicando la parte a) se tiene que es de Galois.

Luego ( ) ( )Gal tal que R u uσ σ∃ ∈ ≠K K Como F es el cuerpo de descomposición de S sobre ( )RK σ se extiende a Galσ ∈ K F%

:σ →% F F ( ) tal que | Rσ σ=K% y como ( )u uσ ≠

se tiene: ( )

( )( )

( )

' Gal

' '

u R

u uσ∈

≠ ⇒ =KK

F K

KP

%

⇒ ⊃F K es de Galois. Corolario 5.18 Sea ⊃F K una extensión entonces son equivalentes: i) ⊃F K es finita y de Galois. ii) ⊃F K es separable y F es el cuerpo de descomposición de una familia de polinomios en [ ].xK iii) F es el cuerpo de descomposición de una familia finita de polinomios separable. iv) F es el cuerpo de descomposición de un polinomio [ ]f x∈K separable, es decir cuyos factores irreducibles son separables. Definición 5.7 Dada una extensión ⊃F K decimos que es normal si para todo

[ ]f x∈K irreducible que tiene una raíz en F , entonces tiene todas sus raíces en F . Proposición 5.19 Sea ⊃F K una extensión algebraica, entonces son equivalentes las siguientes afirmaciones: i) ⊃F K es normal ii) F es el cuerpo de descomposición de una familia de polinomios [ ].S x⊂ K

iii) Si K clausura algebraica de K y ⊂ ⊂K F K , y para todo morfismo :σ →

↖ ↗K

F K entonces: ( )σ =F F .

σ% F F alg.

( )RK ≅ ( )RK K


- 146 -

Demostración i) ii)⇒ Sea { } Iuα α∈ una base de F sobre K , por definición de

normal el polinomio ( )Irr uαK como tiene una raíz uα ∈F se descompone en F , (y

además F está generado por { } Iuα α∈ ) por lo tanto F es el cuerpo de

descomposición de ( ){ }Irr :S u Iα α= ∈K .

ii) iii)⇒ Sea el morfismo :σ →K

F K↖ ↗

, si F es el cuerpo de descomposición de

[ ]S x⊂ K y u es raíz de ( )f S uσ∈ ⇒ es raíz de f ( )uσ⇒ ∈F .

Sea { }raíces de :T f f S= ∈ entonces σ lleva a T sobre sí mismo y T genera a F

(por definición de cuerpo de descomposición) entonces ( )σ =F F . iii) i)⇒

Si ( ):σ σ→ ⇒ =↖ ↗

K

F K F F

Por ser: alg.

alg.

⊂ ⊂ ⇒ =

⊂ ⊂

644744814243K F K

F K

K F K

Sean [ ],f x∈K irreducible con una raíz u ∈F nos

tomamos v ∈ =F K otra raíz de f, por ser u y v raíces de un mismo polinomio irreducible sabemos que existe ( ) ( ): u vσ →K K isomorfismo que deja fijo K , y

que ( )u vσ = , por la proposición 4.16 (para [ ] \S x= K K ) σ se extiende a

:σ →K K isomorfismo, y entonces como | :σ →F F K se tiene que lleva

en F F ( )u vσ⇒ = ∈F , es decir que por definición la extensión ⊃F K es normal como se quería demostrar. Corolario 5.20 Sea ⊃F K una extensión algebraica entonces ⊃F K es de Galois si y solo sí. ⊃F K es normal y separable. (Y si ( )car 0,=K alcanza con pedir que ⊃F K sea normal). Demostración Por la proposición 5.17 ⊃F K de Galois y algebraica ⇔ la extensión ⊃F K es separable y F es cuerpo de descomposición de una familia S de polinomios de [ ]xK y por la proposición anterior esto último es equivalente a que ⊃F K es normal. Si la característica de K es cero y ⊃F K algebraica ⇒ ⊃F K es separable.

K alg. cerrado alg. alg. F ⇒ =F K K

σ K K

F F ( )uK σ ( )vK K


- 147 -

Proposición 5.21 (Teorema fundamental de Galois generalizado) Sea ⊃F K una extensión algebraica de Galois, entonces existe una correspondencia biunívoca entre la familia F de cuerpos intermedios y la familia S de subgrupos cerrados de GalG = K F que verifica: ii)’ tal que ∀ ⊃ ⊃ ⇒ ⊃E F E K F E es de Galois. Y además ⊃E K es de Galois si y solo sí Gal Gal<E KF F y:

GalGal Gal≅ KK

E

FE F

Demostración Alcanza con probar que toda extensión intermedia es cerrada. Por la proposición 5.17 sabemos que F es el cuerpo de descomposición de una familia [ ]S x⊂ K de polinomios separables sobre .K

Sea [ ]{ } factor irreducible de algún polinomio en S g x S′ = ∈ E es una familia en

[ ]xE de polinomios separables, ⇒ ⊃F E es de Galois. ( F cuerpo de descomposición de S’ sobre E ) ⇒ que es cerrada ya que

Gal =E FF E ( )' '⇒ =E E ⇒ E cerrado. ii)’ ⊃E K es de Galois Gal Gal⇔ <E KF F igual que en el teorema fundamental. Si Gal Gal ⇒<E KF F E es estable y :

{ }GalGal que se extiende a Gal Gal

Galσ≅ ∈ =K

K K KE

FE F E

F

ya que F es el cuerpo de descomposición de polinomios en E porque ⊃F E es de Galois. Ejemplo 5.11 Sea ( ) 4, , con 2u i u= = ∈¤ ¡F

[ ] ( )( )4 4 2 22 , 2 0 2 2 0f x x x x x= − ∈ − = ⇒ − + = ⇒¤

( )( )( )( )4 4 4 42 2 2 2 0x x x i x i− + − + =

las raíces de f son ( ), , .u iu u i± ± ∈¤

Se deduce de ( ) ( ), , , ,u i u u ui ui= − −¤ ¤ raíces de f [ ] es irreduciblef x⇒ ∈¤

Más inmediato que lo anterior es decir que es [ ]4 2f x x= − ∈¤ irreducible por el

criterio de Eisenstein (2 divide a 2 y a cero, pero 22 no divide a 2). Sea GalG = ¤F .

Tenemos que ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )[ ]2 4

, , : : :u i u u i u i u u⊃ ⊃ ⇒ = ⋅¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤E5555555555F E555555F

( ) 4Irr 2u x= −¤

( ) [ ] ( )[ ] ( ) ( )2 2, 1 Irr 1ui u x x u x i x∉ ⊂ + ∈ ⊂ ⇒ = +¤¤ ¡ ¤ ¤ 8G =


- 148 -

( ),u i¤ Gal 2 4 Gal ( )u¤ 8 ( )i¤ 4 2 Gal ¤

{ }Id H J 2 < G

Siendo ( ) ( )Gal ,uH u i= ¤ ¤ y ( ) ( )Gal ,iJ u i= ¤ ¤

( ) ( )[ ], : 2H u i u= =¤ ¤

( ) ( )[ ] [ ] ( ), : 4 : 2J u i i G J J G i= = ⇒ = ⇒ ⇒ ⊃¤ ¤ < ¤ ¤ es de Galois.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) { },

Como: ,

y Gal , Gal , Gal , Gal , Idu i u i u i

J G H G

J H u i u i u i u i

<

= = = =¤ ¤ ¤ ¤

<∩ ¤ ∩ ¤ ¤ ¤

Se tiene 2 4 8JH J H G G HJ G J Hτ= ⋅ = ⋅ = = ⇒ = ⇒ ≅ ã

{ } ( )( )

( )2 Id, , , ,u

H H u i u iττ= ⇒ = →↖ ↗

¤¤ ¤

( ) ( ) ( )2Irr 1 tal que u i x i u= + ∉¤ ¤

( ) ( ) ( ) ( ), si Id y i i u i i i u uτ τ τ τ= ± ∈ ≠ ⇒ = − =¤

{ } ( ) ( ) Id, , con y H u u i iτ τ τ⇒ = = = − ( ) ( )4, Gal ,iJ J u i= = ¤ ¤

( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )

[ ] ( )[ ] ( ) ( ) 4

4 4

: , : 4 Irr 4Irr 2

verifica 2 0 con 2

i

i

i u i u i i J gr uu x

u x x x i x

= = = ⇒ = ⇒ = −− = − ∈ ⊂

¤¤

¤ ¤ ¤ ¤¤ ¤

Si ( ) ( ) ( ) ( )Gal , , y , | Idi u i u u iu i iϕ ϕ ϕ ϕ∈ ⇒ = ± ± = =¤¤ ¤ entonces

{ }Id, , ,J σ η ϕ= tales que:

Id

u u iu u iu

i i i i i

σ η ϕ− −

4

2 2

4J J

= ⇒ ≅ ×

¢¢ ¢

( ) ( ) ( ) ( )2 2u iu u iu i u i iu uσ σ σ σ σ η= ⇒ = = = ⋅ = − ⇒ =

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )3 2 3u u u u iu uσ σ σ σ σ ϕ σ ϕ= = − = − = − = ⇒ = entonces:


- 149 -

{ }2 3 44Id, , , , IdJ Jσ σ σ σ= = ⇒ ≅ ¢

( ) ( ) {3

1 1 3, iu i u iu

J G J u u iu iuτ σ τ

τ τ τσ

τσ τ τστ σ− −

= = =−=

⇒ ∈ → → → − ⇒ =<

3

4 , , con 2, 4, G G Dτ σ τ σ τστ σ⇒ = = = = ⇒ ≅ luego { } ( )2 3 2 3Id, , , , , , , Gal ,G u iτ σ σ σ στ σ τ σ τ= = ¤¤

2 3 2 3Id

u u u iu u iu iu u iu

i i i i i i i i i

τ σ σ σ στ σ τ σ− − − −

− − − −

u u iu

i i i

τ σ→ →

→− →−

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 22 2 2

2 2 2 2

u u u u u

i i i i i

σ τ σ σ τσσ τ τσ σ τ

σ τ σ σ τσ

= = − = = ⇒ = ⇒= − = − = − =

es de orden 2,

análogamente 3 3, στ τσ σ τ τσ= = ⇒ que 3; στ σ τ son de orden 2 .

Los subgrupos de orden 4 son:

{ } { } { }2 2 2 2 3 2 2 3, Id, , , ; Id, , , ; , Id, , ,σ τ σ τ σ τ σ σ σ σ σ στ σ στ σ τ= = =

La tabla de subgrupos de G es:

(A) ( )[ ] ( ) { }2 3: 4 : , , ,u u a bu cu du a b c d= ⇒ = + + + ∈¤ ¤ ¤ ¤

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

2

22 2 2 2 2 3 2 3

32 3 3

2 3

0

u u

u u u a bu cu du a bu cu du

u u u

a bu cu du b d

σ

σ σ

σ

= −= − = ⇒ + + + = − + − =

= − = − = + + + ⇔ = =

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) { }2 2 2 2, , , 2

| Id, , : ,

u

u i u u i u u a cu a cσ τ σ τ σ τ σ

τ =⊂ ⇒ = = = + ∈

¤¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

{ }Id τ 2σ τ 2σ στ 3σ τ

2 ,σ τ σ 2 ,σ στ

,σ τ

( ),u i¤

( )u¤ ( )C ( )D ( )E ( )F ( )A ( )i¤ ( )B ¤


- 150 -

que es igual a ( )2 ,u¤ luego ( ) ( )2 , 2,u i uσ τ =¤ ¤

(D) Como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 ,2 2 2 2, , , , ,u i u i u i u i u iσ σ τ σσ τ σ σ= ⇒ = ⋅ = ⋅ =∩ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

Luego ( ) ( )2

2, ,u i u iσ =¤ ¤

(B) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )22 2

2

,, ,2 2 2

,

, , , , ,

u i

u i u i u i u i u i

σ

σ στ στσ στ σ στ⊂ ⇒ = =P

¤

¤ ¤ ¤ ¤ ¤

( ) ( )( ) ( )2 2 2,u i u i u= ⊃ ⊃¤ ¤ ¤ ¤

( ) { } ( )2 2 2 2 24 2 2, Irr 2 1, base de sobre u u u x u u= ⇒ = ⇒ = − ⇒¤ ¤ ¤

( ) { } ( ) ( )2 2 2Irr 1 1, base de , sobre i x i u i u= + ⇒¤ ¤ ¤ Luego:

( ) { }2 2 2, : , , ,u i a bi cu diu a b c d= + + + ∈¤ ¤

entonces como:

( )2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

0

i i i

u u u a bi cu diu a bi cu diu

iu iu iu

a bi cu diu b c

τ σ

στ

→− →−

→ →− ⇒ + + + = − − + =→− →

= + + + ⇔ = =

Luego ( ) ( )2 , 2 ,u i iuσ στ⇒ =¤ ¤

( ) ( ) ( ), y C E F 2 3 2 3

2 2 3 2 3

2 3 2 3

3 2 3 2 3

1

1

1

1

u u u i ui u i u i

u u u i ui u i u i

iu u iu i u u i u

iu u iu i u u i u

a b c d e f g h

σ τστσ τ

− − − −− − − −

− − − −

( )base de , sobre u i→ ¤ ¤

(C)

( ) ( ) { }2 2

2 3, 0 , : , , ,u i b d e g u i a cu fui hu i a c f hσ τ σ τ⇒ = = = = ⇒ = + + + ∈¤ ¤ ¤

( ) ( )2 32 3ui u ui u i= − ⇒ = − luego como ( ) ( ) ( )2

2 3, , , .u i u ui u i uiσ τ = =¤ ¤ ¤

Entonces: ( ) ( )2

,u i uiσ τ⇒ =¤ ¤ Análogamente:

( ) ( )( )

( ) ( )( )3

, 1

, 1

u i u i

u i u i

στ

σ τ

= +

= −

¤ ¤¤ ¤

- 151 -

Capítulo 6 Proposición 6.1 Sea ⊃E K una extensión algebraica, entonces existe un cuerpo F tal que ⊂ ⊂K E F y : i) ⊃F K es normal. ii) Si y ⊂ ⊂ ⊂ ⊃K E E' F E' K es normal entonces =E' F iii) Si ⊃E K es separable entonces ⊃F K es de Galois. iv) Si [ ]: < ∞E K entonces [ ]: < ∞F K y F está determinada por i) y ii) salvo isomorfismos. Demostración i) Sea { } I

uα α∈ una base de E sobre K y consideremos el

conjunto: ( ){ }Irr :S u Iα α= ∈K y sea F el cuerpo de descomposición

de S sobre E. Entonces F es el cuerpo de descomposición sobre K ⇒ ⊃F K es normal (y ⊂ ⊂K E F ) ii) Si y ⊂ ⊂ ⊂ ⊃K E E' F E' K es normal ⇒ que todas las raíces de

( )Irr u Iα α∀ ∈K están en ⇒ =E' E' F .

iii) Si ⊃E K es separable ( )Irr uα⇒ K son separables Iα∀ ∈ entonces F es el cuerpo de descomposición de polinomios separables ⇒ ⊃F K es separable (y normal) ⇒ es de Galois. iv) Si [ ]:E K es finito I⇒ es finito ⇒ S es finito [ ]:⇒ F K es finito porque si

{ } [ ] ( ) ( ) ( )1 1 2,..., : ! !... !m mS f f grf grf grf= ⇒ ≤ < ∞F K

Si y ⊂ ⊂K E F' F' verifica i) y ii) , dado ( ) el Irru uα α∈ ⊂ KE F' se descompone

en F' ⇒ F' contiene un cuerpo de descomposición 0F de S ( ( )R=0F K con R el

conjunto de las raíces de los f S∈ ) ⇒ ⊃0F K es normal ii)

⇒ = ≅0F F' F (ya que dos cuerpos de descomposición son isomorfos).

F F E normal Galois Sep. y alg.

⇒ K K


- 152 -

Definición 6.1 Dada una extensión ⊃E K entonces al cuerpo de la proposición anterior F llamaremos clausura normal de ⊃E K . Observación 6.1 [ ]f x∈¡ de grado impar tiene una raíz real ( por Teorema de

Bolzano), y además para todo ( )2 tal que u uλ λ∈ ⇒ ∃ ∈ ± =£ £ . Lema 6.2 Si K es un cuerpo infinito, ⊃E K una extensión separable de dimensión [ ]:E K finita, entonces u∃ ∈E tal que ( )u=E K , es decir es simple. Demostración Sea ( ) tal que u u∈ ⊂ ⊂E K K E y de manera que ( )[ ]:uK K sea

máximo. Si fuera ( ) ( )\u v u≠ ⇒ ∃ ∈K E E K entonces por ser ⊃E K algebraica y separable por proposición anterior existe F tal que ⊂ ⊂K E F y además ⊃F K es de Galois de dimensión finita ([ ]: < ∞F K ) ⇒ que hay una cantidad finita de extensiones intermedias entre y K F ya que por ser la extensión de Galois se tiene que [ ]Gal := < ∞ ⇒K F F K que tenemos una cantidad finita de subgrupos y por la correspondencia de Galois tenemos una cantidad finita de cuerpos intermedios, entonces si consideramos: ( ) con u av a⊂ + ∈K K K son una cantidad finita de extensiones luego por ser K infinito para distintos valores de a tienen que ser la misma extensión. ( ) ( ), , tal que a b a b u av u bv∃ ∈ ≠ + = +K K K entonces se puede escribir: ( ) ( )( ) ( )1v a b u av u bv u av−= − + − + ∈ +K

y en consecuencia: ( ) ( )u u av av u av= + − ∈ +K luego: ( ) ( ) con u u av u av+ + ∈K K EØ

y ( )[ ]:uK K no sería máximo, lo cual es absurdo ( )u⇒ =K E .

Observación 6.2 No existen extensiones de dimensión 2 sobre £ . Demostración Sea una extensión ⊃F £ con [ ]: 2=F £ y consideremos \u ∈F £

( ) ( )[ ] ( )2

1

: 1u u u≠

⊂ ⊂ ⇒ = ⇒G5555555HE5555F F F F =£ £ £ £

( )Irr u⇒ £ tiene grado 2, sea entonces ( ) 2Irr con ,u x px q p q= + + ∈£ £ lo que tiene raíces en los complejos u⇒ ∈£ , lo que es absurdo.

Notas de Álgebra II Grupo de Galois de Polinomios - 153 -

- 153 -

Proposición 6.3 (Teorema fundamental del álgebra) El cuerpo de los complejos es algebraicamente cerrado. Demostración Alcanza con probar que £ no tiene extensiones de dimensión finita. Supongamos que si las hubiera ⊃E £ , entonces:

2, con alg. y sep.⊂ ⊂ ⊂E55F E E¡ £ ¡

ya que 0 tal que car = ⇒ ∃ ⊂ ⊂ ⊂F E F¡ ¡ £ con ⊃F ¡ de Galois y dimensión finita. Como [ ] [ ]: 2 2 | : 2 | Gal= ⇒ ⇒F F¡£ ¡ ¡ , sea H un 2-Sylow de Gal F¡

entonces [ ]Gal :HF¡ es impar :H⇒ F ¡ es impar, entonces H ⊃F ¡ de

dimensión finita y separable con ¡ infinito ⇒ por el lema que es una extensión simple, o sea ( )H u=F ¡ y ese u es tal que ( )Irr u¡ tiene como grado :H F ¡

que es impar ⇒ que el grado del irreducible es uno ya que todo polinomio de grado impar tiene una raíz real : 1H Hu ∈ ⇒ = ⇒ = F F¡ ¡ ¡ entonces:

[ ]Gal : 1 Gal 2mH H= ⇒ = =F F¡ ¡ por ser un 2-Sylow Si 1m > ⇒ como ⊃F ¡ es de Galois ⇒ ⊃F £ es de Galois 1Gal 2 1m−⇒ = >F£

por corolario 3.16 Gal F£ tiene un subgrupo J de orden 22 1m− ≥ ⇒ [ ]Gal : 2J =£F ,

pero entonces : 2J = F £ , contradiciendo la observación 1 m⇒ = y luego

[ ]: 2= ⇒F ¡ [ ]: 1= ⇒ = ⇒F E£ £ que es algebraicamente cerrado. Corolario 6.4 Toda extensión algebraica propia de ¡ es isomorfa a £ . Demostración Sea E ¡Ù una extensión algebraica.

Sea ( )\ sea raíz de Irru v u∈ ∈ ⇒ ∃E ¡¡ £ un isomorfismo ( ) ( ): u vσ →¡ ¡ tal

que ( ) y | Id.u vσ σ= =¡ se tiene:

( ) ( )[ ] ( )2

1

: 1v v v≠

⊂ ⇒ = ⇒ =G5555555HE5555F¡ ¡ £ £ ¡ ¡ £Ø

entonces ( )u⊂ ≅ ⊂ E¡ £ ¡ y E es algebraico sobre ( ) y u⇒ = ≅E E£ ¡ £ Notación Si K es un cuerpo, [ ]f x∈K notaremos fK al cuerpo de

descomposición de f sobre K y fG al grupo de Galois Gal fK K .


- 154 -

Observación 6.3 Si las raíces de f son todas distintas en fK ⇒ sus factores

irreducibles { }1,...,g gl son separables, como fK es el cuerpo de descomposición

de { }1,..., fg g ⇒ ⊃l K K es una extensión de Galois.

Definición 6.2 Un subgrupo H de nS es transitivo si la acción de sobre nH S es

transitiva, es decir si dados ( ) { } ( ), 1,..., tal que i j n H i jσ σ∈ ⇒ ∃ ∈ = . Proposición 6.5 i) fG es isomorfo a un subgrupo de nS si f tiene n raíces distintas en fK .

ii) Si f , irreducible es separable de grado n, entonces | fn G y f nG S⊂ es

transitivo. Demostración i) Si las raíces de f sobre fK son 1,..., nu u y ( )f i jG u uσ σ∈ ⇒ = para algún j, i∀ .

Sea la correspondencia σ → permutación σ que lleva i en j como arriba, es decir: ( ) ( )i iu uσσ =

Por ser σ inyectiva ⇒ que dicha correspondencia está bien definida. Además esa correspondencia es un morfismo de grupos de f nG S→ y es inyectivo

porque como ( )1,...,f nu u=K K , si ( ) y Gal Id.i i fu uσ σ σ= ∈ ⇒ =K K ⇒ que el

núcleo es la identidad ⇒ inyectivo. ii) f nG S⊂ con n el grado de f

Sea u una raíz de f en fK entonces:

( ) fn

u⊂ ⊂E55555FK K K por ser f irreducible ( )[ ]:u n⇒ =K K

entonces | :fn K K y como f es separable y fK cuerpo de descomposición de f

sobre ⇒K la extensión es de Galois :f fG= K K luego | fn G .

Sean ,i ju u dos raíces de f en fK ( ) ( )0 : i ju uσ⇒ ∃ →K K isomorfismo con

0 | Id.σ =K y tal que ( )0 i ju uσ = y sabemos que se extiende a:

: f fσ →K K

entonces σ es un automorfismo tal que ( )| Id. con f i jG u uσ σ σ= ⇒ ∈ =K esto

quiere decir viendo a ( ) que nS i jσ σ∈ = . Corolario 6.7 Si f es irreducible de grado 2 entonces ( )2 2fG S≅ ≅¢ si f es

separable y { }Id.fG = en caso contrario.


- 155 -

Demostración 2 2S ≅ ¢ el único subgrupo transitivo y de orden un múltiplo de dos es el mismo grupo. Si no es separable ( ) 2f x ax bx c= + + con 0a ≠ se tiene que ( )0 ' 2f x ax b= = +

por lo que car 2 y 0b= =K entonces ( ) 2f x ax c= + tiene una raíz doble fd ∈K

tal que 2 cad = − ya que ( ) ( )2 2 2

02a x d a x dx d

=− = − + entonces si fGσ ∈

( ) { } y | Id. Id.fd d Gσ σ= = ⇒ =K

Definición 6.3 Si [ ]car 2, f x≠ ∈K K de grado n con n raíces distintas en fK

definimos: ( ) 1, ,..., raíces de en i j f n f

i j

u u u u f<

∆ = − ∈∏ K K

Llamaremos discriminante de f a 2fD = ∆ ∈K

Ejemplo 6.1 ( ) 2f x ax bx c= + + entonces:

( ) ( )

22 22

1 2 1 2 1 2 2

2

2

44

4

b cD u u u u u u

a ab ac

Da

= ∆ = − = + − = −

−=

Proposición 6.8 Sean K y f como en la definición anterior entonces: i) Si ( ) f nG S sgσ σ σ∈ ⊂ ∆ = ⋅ ∆

ii) D ∈K Demostración

i) ( ) ( ) ( )( ) ( )i j i ji ji j i j i j

u u u u sg u u sgσ σσ σ σ< < <

− = − = ⋅ − = ⋅ ∆

∏ ∏ ∏

ii)

( ) ( ) ( )( ) ( )2 22fG D Dσ σ σ σ∈ ⇒ = ∆ = ∆ = ±∆ =

luego fG

fD ∈ =K K por ser la extensión de Galois, (corolario 5.18).

Corolario 6.9 Sean K y f como en la proposición anterior, la extensión intermedia que corresponde a f nG A∩ en la correspondencia de Galois es ( )∆K . En

particular si f nG A⊂ , entonces ∈V K .

Demostración


- 156 -

Consideremos la correspondencia de Galois para subgrupos:

( )( ){ }

'

:

f nG A

f n f

f f n

G A

u u u G Aσ σ

= =

= ∈ = ∀ ∈

∩∩∩

K

K

( )

:f f f

f n

n

GG A

A

σ σσ

σ σ

∈ ⇒ →∈ ⇒ ⇒∈ ⇒ =

↖ ↗∩V V

K

K K

que y VK quedan fijos, luego ( )VK queda

fijo y ( )f nG A

f ⊃∩ VK K . Si ahora consideramos

la correspondencia de Galois para subcuerpos ( ) ( )' Gal f= VV KK K se tiene que:

( )

( ) ( )( )

: Gal

Gal

y como

f f f f

f n f f n

n

G

G A G A

A

σ σ

σ

σ σ

↑

→ ⇒ ∈ = ⇒ ∈ ⇒ ⊂∈ ⇒ = ⇒ ∈

↖ ↗VV∩ ∩

V V V VK

KK

K

K K K

K

K

Pero como las correspondencias dan vuelta las inclusiones se tiene que: (ver figura) ( )Gal f f nG A=V ∩K K

Por otro lado como: ( )n n f n fA S G A G⇒ ⇒ ⊃< ∩ < VK K es de Galois y entonces ( )VK es cerrado

y se tiene:

( ) ( )Gal ff nG A

f f= =V∩ VK KK K K

En el caso particular que f nG A⊂ se tiene que f n fG A G=∩ y por lo ya demostrado

( ) f n fG A G

f f= = =∩VK K K K y entonces ( ) = ⇒ ∈V VK K K .

Proposición 6.10 Si car 2≠K y f separable de grado 3, entonces:

3

3f

SG

A

=

Para ver cual es: 2

3 para algún fG A D d d= ⇔ = ∈K

Demostración fG es transitivo y el orden es múltiplo de 3, como además 3fG S<

y 3

33

3 porque es normal y es un 3-Sylow transitiva6

6f

ff

G AS G

G S

⇒ = ⇒= ⇒ = ⇒ =

Para probar la otra afirmación: ⇐ ) Si 2 para algún D d d= ∈K como ,d ∆ son raíces en fK del polinomio

23 3f fx D d G A G A− ⇒ = ±∆ ⇒ ∆ ∈ ⇒ ⊂ ⇒ =K

fG K

( )VK

f nG A∩ ( )' f nG A∩

( )

GalfVK

K

Id fK


- 157 -

⇒ ) Si 3fG A= ⇒ 3fG A⊂ ⇒ ∆ ∈ ⇒K este ∆ es el d de la tesis por ser 2 D∆ = .

Observación 6.4 Si las raíces de f son 1 2 3, , fu u u G tiene los subgrupos ( )3 , 1,2 ,A

( ) ( )2,3 , 1,3 , las correspondientes extensiones son ( ) ( ) ( ) ( )3 1 2, , ,u u u∆K K K K .

Proposición 6.11 Sea car 2,3≠K , ( ) 3 2f x x bx cx d= + + + con , ,b c d ∈ K tal que tiene tres raíces diferentes en fK .

Sea ( ) ( ) [ ]3bg x f x x= − ∈K entonces ( ) 3g x x px q= + + con discriminante ( )D f

( ) 3 24 27D f p q= − − Demostración Si las raíces de f son 1 2 3, ,u u u las de g son de la forma 3 b

iu + para

( ) ( ) 1,2,3 .i D f D g= ⇒ =

( ) ( ) ( ) ( )3 2

3 3 3

3 2

b b bg x x b x c x d

x bx

= − + − + − +

= −2 3 2

3 27b bx bx+ − +

( )

2 3

2 3

3 3 3

3 83 27 3

2 b b cb

b b cb

qp

x cx d

x c x d

− + + − +

= + − + + −144442444431442443

( ) ( ) ( ) ( )2 221 2 2 3 1 3D f u u u u u u= − − − haciendo cuentas y usando relación entre

coeficientes y raíces se llega a que ( ) 3 24 27D f p q= − − Ejemplo 6.2 ( ) [ ]3 3 1f x x x x= − + ∈¤ es separable por ser car 0=¤ . Además es irreducible porque si tiene una raíz racional |1 y |1 1c

d c d⇒ ⇒ ± sería raíz y no lo es.

( ) ( ) ( ) ( )3 2 234 3 27 1 3 27 81 9 fD f G A= − − − = = = ⇒ ≅ .

Ejemplo 6.3 ( ) [ ]3 23 1f x x x x x= + − − ∈¤ Entonces:

( ) ( ) ( ) ( )3 2

3 2 2

3

1 3 1 1 1

3 3 1 3 6 3 1 1

4 2

g x x x x

x x x x x x

x x

= − + − − − −

= − + − + − + − + −

= − +

Aplicando Eisenstein se tiene que 2 divide a todos los coeficientes menos el primero y su cuadrado no divide al termino independiente, por lo que es irreducible.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 24 4 27 2 4 64 4 27 4 37D f = − − − = − = que no es un cuadrado perfecto, luego 3fG S≅ .


- 158 -

Grupo de Klein Llamamos grupo de Klein al siguiente grupo: ( )( ) ( )( ) ( )( ){ } 2 2 4, 12 34 , 13 24 , 14 23N e S= ≅ × <¢ ¢

se tiene que 4N S< ya que ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )14 12 34 1 2 3 4Sσ σ σ σ σ σ σ−∀ ∈ = , es

un producto de trasposiciones disjuntas de 4S y como la cantidad de elementos de esta clase son tantos como:

42 6

32 2

C= =

que son las tres que aparecen en el grupo de Klein, entonces ( )( ) 112 34 Nσ σ − ∈ . Además podemos ver que 4 4 4 4 con N A S N S N A< < ⇒< < . Proposición 6.12 Sea f de cuarto grado con raíces 1 2 3 4, , ,u u u u distintas en fK .

Sean 1 2 3 4 1 3 2 4 1 4 2 3 , , u u u u u u u u u u u uα β γ= + = + = + entonces ( ), ,α β γK es la extensión intermedia que corresponde a fG N∩ en la correspondencia de Galois.

Es decir ( ), ,Gal f fG Nα β γ = ∩K K . Además:

( )Gal , , f

f

G

G Nα β γ ≅ ∩K K

Demostración Para ver esto último observar que por ser 4 f fN S G N G⇒ ⇒< ∩ < que la extensión

( ), ,α β γ ⊃K K es de Galois y por la proposición 5.12 (Teorema de Galois) se tiene dicho isomorfismo. Consideremos fG N

f

∩K está claro que los elementos

de N dejan fijo a los , ,α β γ por como están definidos los mismos. Falta probar que si C

fG Nσ ∈ ∩ no deja fijo a los

, ,α β γ . Sea en 4S ( )12σ = entonces:

( )σ β γ β= ≠ lo mismo con cualquier otra trasposición. Sea ahora ( ) ( ) 2 3 1 4123 entonces u u u uσ σ α α= = + ≠ lo mismo si se tratara de

cualquier otro 3-ciclo ( )ijk

Sea ( ) ( ) 2 3 4 11234 entonces u u u uσ σ α α= = + ≠ y lo mismo para cualquier otro 4-

ciclo ( )ijkl .Luego:

( ), ,fG N

f α β γ=∩K K

fK Id.

( ), ,α β γK fG N∩

Galois <

K fG


- 159 -

y por ser la extensión ( ), ,α β γ ⊃K K de Galois, ( ), ,α β γK es cerrado y como la correspondencia de Galois lleva cuerpos cerrados en grupos cerrados, entonces: ( ), ,Gal f fG Nα β γ = ∩K K

Definición 6.4 Sea f de cuarto grado con raíces distintas en fK y sean , y α β γ

como en la proposición anterior, llamamos resolverte cúbica de f que notamos por

fR a:

( )( )( ) ( )[ ], ,fR x x x xα β γ α β γ= − − − ∈K

Lema 6.13 Si ( ) [ ]4 3 2f x x bx cx dx e x= + + + + ∈K entonces:

( )3 2 2 24 4fR x cx bd e x b e ce d= − + − − + −

(en particular entonces está en [ ]xK ) Demostración Cuentas y relaciones entre raíces y coeficientes. Polinomio de cuarto grado

Si f es además irreducible 4 | fG⇒ y 4fG S< entonces:

4

4

8

12

24

f

f

G

G S

= ⇒ =

• Analicemos el caso 12fG = 4fG A⇒ = vamos a probar que el único subgrupo de

4S de orden 12 es 4A . Supongamos que [ ]4 4 4, 12 : 2H S H S H H S< = ⇒ = ⇒ < consideremos la proyección canónica:

44:

SS

HH

π

σ σ

→

Î

y tomemos un 3-ciclo 4Sσ ∈ entonces como ( ) ( )( )33 Id.π σ π σ= = es decir si

( ) Id.π σ ≠ sería de orden 3, pero ( )3 2 Id.SH Hπ σ σ= ⇒ = ⇒ ∈ y como los 3-

ciclos generan a 4 4 4A A H A H⇒ ⊂ ⇒ = .

• Sea 8f fG G= ⇒ es un 2-Sylow.

El diedral ( ) ( )4 24 ; 1234D = es un grupo de orden 8 que no es normal en 4.S

El número de 2-Sylow en 4S tiene que dividir a 3 y como no es normal no puede ser 1 lo que significa que son tres 2-Sylow.


- 160 -

Entonces hay tres 2-Sylow, y los tres son 4D≅ entonces 48f fG G D= ⇒ ≅ que es

transitivo ya que ( )1234 k lleva el 1 k→ .

• 4fG = si es generado por un 4-ciclo que es transitivo 4fG⇒ ≅ ¢ .

En caso contrario sea ( ) ( ) ( )( ){ }, 12 , 34 , 12 34V e= no es transitivo y lo mismo si hay

dos trasposiciones disjuntas. Como ( ) ( ) ( )12 13 132⋅ = que es un 3-ciclos que no puede haber por ser el grupo de orden 4. Si consideramos que ( ) ( )( ){ } ( )12 , 12 34 34V V⊂ ⇒ ∈ y este caso ya fue analizado.

Sea ( ) ( )( ){ }12 , 13 24 V⊂ y como ( ) ( )( ) ( )12 13 24 1324⋅ = que tiene orden 4 y

generaría a fG , pero no estamos en este caso, luego:

4

f

NG

≅

¢

Observación 6.5 ( ), ,α β γK es el cuerpo de descomposición de fR es decir:

( ), ,fRα β γ =K K

Proposición 6.14 Sea f irreducible, y ( )[ ], , :m α β γ= K K entonces (por problema

del practico) ( )| gr ! | 3! 6fm R m⇒ = se tiene:

( )

4

4

4

4

6

3

1

2 es irreducible sobre , ,

f

f

f

f

m G S

m G A

m G N

m GD f α β γ

= ⇔ =

= ⇔ =

= ⇔ =

≅= ⇔ = ≅ ⇔

¢K

Demostración Está claro que solo alcanza con hacer todas las implicancias en un solo sentido, elegimos ⇐ , entonces:

• Sea 4fG S= , por ser ( ), ,α β γ ⊃K K de Galois y ( ), , fm

α β γ⊂ ⊂E55555555FK K K entonces:

( ) 44

4

24Gal , , 6

4f

f

G SSm

G N S N Nα β γ= = = = = =∩ ∩K K

• 4fG A= en este caso:

4

4

123

4

Am

A N= = =∩


- 161 -

• fG N=

1N

mN

= =

• 4fG ≅ ¢ entonces fG está generado por un 4-ciclo es decir por ejemplo:

( ) ( )( ) ( ) {2 3

1234 , 13 24 , 1432 ,fN

N

G eσ σ σ

∈∈

= 1442443 144424443 1442443

y tenemos

4

4

42

2m

N= = =

¢¢ ∩

lo mismo si fG estuviera generado por otro 4-ciclo.

• 4fG D≅ un de las formas de escribir 4D es:

( ){ ( )4 24 , 1234Dσ τ

= 1442443

entonces { }2 3 2 34 , , , , , , ,D e σ τ τ τ στ στ στ= observamos que , Nσ τ ∉ y si hacemos:

( )( ) ( )( )24 1234 14 23 Nστ = = ∈

pero 2 Nστ τ στ⋅ = ∉ porque uno pertenece y el otro no,

( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

22

2 3

1234 13 24

14 23 13 24 12 34

N

N

τ

στ τ στ

= = ∈

⋅ = = ⋅ = ∈

son cuatro los elementos de la intersección, entonces:

8

24

m = =

( )2

, , fα β γ⊂ ⊂E55555555FK K K , por otro lado ( ) 4, ,Gal f fG N D N Nα β γ = = =∩ ∩K K que es

transitivo, entonces dadas dos raíces ,i ju u distintas de f sabemos que existe un

isomorfismo ( ), ,Gal fα β γσ ∈ K K tal que ( )i ju uσ = , es decir:

( )( ) ( )( )( )

( )( ), ,, ,

| : , , , ,i i ju u uα β γ

α β γ

σ α β γ α β γ→↖ ↗K

K

K K

luego ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , ,Irr Irr , 1,...,4 Irri j iu u i j uα β γ α β γ α β γ= ∀ = ⇒K K K tiene grado 4≥ y

f se anula en ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 , , , ,, , , Irr | como es mónico Irri iu u u u u f f f uα β γ α β γ⇒ ⇒ =K K

y por lo tanto f es irreducible sobre ( ), ,α β γK .

Por otro lado si ( ) ( )4

42

, , : , , 2f f fG α β γ α β γ≅ ⇒ ⊂ ⊂ ⇒ = G555555555555H

¢ E55555555FK K K K K

entonces si fuese f irreducible sobre ( ), ,α β γK se tendría que:


- 162 -

( ) ( )( )2

4

, , , , i fuα β γ α β γ⊂ ⊂G5555555555555555555HE555555555555555FK K K lo cual es absurdo.

Ejemplo 6.4 Sea ( ) [ ]4 24 2f x x x x= + + ∈¤ irreducible por Eisenstein.

( )( )3 2 24 8 32 4 8fR x x x x x= − − + = − −

entonces ( ) ( ), , 2 2fR mα β γ = = ⇒ =¤ ¤ ¤ y:

por ser ( ) ( )( )2 22 2 2 2f x x x= + + + − entonces f no es irreducible en ( )2¤

4fG∴ ≅ ¢

Ejemplo 6.5 ( ) [ ]4 210 4f x x x x= − + ∈¤ es irreducible ya que si tiene una raíz racional c

d tiene que ser | 4 y |1 1, 2, 4c d ⇒ ± ± ± serán raíces y como f es par alcanza con verificar si los positivos son raíces y se tiene que ( ) ( ) ( )1 , 2 , 4 0f f f ≠ , sea: ( )( )( ) ( )3 210 16 160 10 4 4fR x x x x x x x= + − − = + + − ∈¤

luego 1 fm G N= ⇒ = .

Ejemplo 6.6 Sea ( ) ( )( )4 2 2 25 6 3 2f x x x x x= − + = − − no es irreducible y para

hallar fG de una forma diferente al ejemplo 5.9, como ( )2, 3f =¤ ¤

observamos que en ( ) ( )2 2, 3⊂ ⊂¤ ¤ ¤ por ser 2 2x − irreducible sobre ¤

ya que 2 ∉¤ por otro lado 2 3x − es irreducible sobre ( )2¤ ya que si:

( )

{

2

2 2 2 32

3 0

2 3 con 0

2 2 2 3 0 2 3

a b b

a b ab a b b=

+ = ≠

+ + = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ± ∉¤144424443

entonces ( ) ( ) ( ) ( )2, 3 : 2 2 y 2 : 2 2, 3 : 4 ⇒ = = ⇒ = ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

y como la extensión ( )2, 3 ⊃¤ ¤ es de Galois por ser cuerpo descomposición de

un conjunto de polinomios { }2 22, 3x x− − separables. 4fG⇒ =

Sea { } { } 2 21 2 3, , , , , , con y yfG e eσ σ σ σ τ στ σ τ στ τσ= = = = definidos:

2 2 2 2

3 3 3 3

σ τ στ

− −

− −


- 163 -

y por lo tanto 2 2f

G ≅ ×¢ ¢ .

Ejemplo 6.7 ( ) [ ]4 2f x x x= − ∈¤ es irreducible sobre ¤ entonces:

( )3 28 8fR x x x x= + = +

y ( ) ( ) ( ), , 2 2 : 2 2i i mα β γ = ⇒ = ⇒ = ¤ ¤ ¤ ¤ y entonces:

4

4fG

D

≅

¢

Sea 4 2u = entonces las raíces de 4 2x − son 4, , , 2u u ui ui x− − ⇒ − es irreducible

sobre ( )2i¤ ya que:

( )4 42 2 2 2 con , y 0i a bi a b b∈ ⇒ = + ∈ ≠¤ ¤

entonces elevando al cuadrado: 2 2 22 2 2 2 0 2 2a b ab i a b b= − + ⇒ = ⇒ − = ⇒ ∉¤

análogamente si ( )4 42 2 2 2 con , 0i i i a b i a b b∈ ⇒ = + ∈ ≠¤ ¤ elevando al

cuadrado: 2 2 22 2 2 2 0 2 2a b ab i a b b− = − + ⇒ = ⇒ = ⇒ ∉¤ lo mismo con las demás raíces. Luego 4fG D≅ . Ver ejemplo 5.11 donde se muestran todos los subgrupos y los

correspondientes cuerpos intermedios. Proposición 6.15 Sea p primo y [ ]f x∈¤ de grado p, irreducible sobre ¤ y tal que tiene 2p − raíces reales y dos raíces complejas, entonces f pG S≅

Demostración Como f tiene dos raíces complejas estas tienen que ser conjugadas y por lo tanto existe un isomorfismo ( ): tal que z fz Gτ τ τ→ = ⇒ ∈£ £ y es

(viendo a f pG S< ) es una transposición ( ) pab S∈ por otro lado como f es

irreducible | fp G ⇒ por ser p primo aplicando Cauchy ⇒ existe un elemento de

orden p ⇒ existe un p ciclo ( ) ( )1 1.... .... entonces .....kp fai b i G abσ− ∈ = para algún

( ).... fk ab G⇒ ∈

Podemos suponer reordenando las raíces de f si fuera necesario que: ( ) ( )12 , 12.... fp G∈

Y como ( ){ }1 : 2,...,k k p= genera a pS , y:

( ) ( )( ) ( )12... 12 12... 1, 2 0,..., 2k k

fp p k k G k p− = + + ∈ ∀ = −

de esta forma tenemos todas las transposiciones de la forma:


- 164 -

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3

-4

-2

0

2

4

( ) ( ) ( ) ( )12 , 23 , 34 ,..., 1,p p−

y podemos construir ( ) ( )( )( )13 23 12 23= y por inducción

( ) ( )( )( )1, 1 , 1 1, , 1 con 2,..., 1fk k k k k k G k p+ = + + ∈ = −

f pG S∴ ≅

Ejemplo 6.8

( ) [ ]5 4 2f x x x x= − + ∈¤ es irreducible por Eisenstein y haciendo un bosquejo de ( )f x , por

ser ( ) 45 1f x x′ = − Entonces por tener 3 raíces reales y dos complejas es aplicable la proposición y 5fG S≅

Ejemplo 6.9 Sea ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 24 4 16 ... 4rf x x x x x x r= + − − − tal que 2 3r + es

primo. Tenemos que el grado de rf es 2 3p r= + con p primo y con 2 1r + raíz reales y dos raíces complejas, entonces es aplicable la proposición f pG S⇒ ≅

Definición 6.5 Sea K un cuerpo, ( )1,..., nx xK el cuerpo de fracciones del anillo

[ ]1,..., nx xK , siendo:

( )1,..., nx x⊂K K una extensión donde los ix son trascendente sobre K y algebraicamente independientes. Sea nSσ ∈ , existe un único homomorfismo de anillos que seguimos llamando σ :

[ ] ( )1 1: ,..., ,...,n nx x x xσ →K K

tal que ( ) ( ) ( ) y i ik k k x xσσ σ= ∀ ∈ =K , y se extiende a ( )( )1Aut ,..., nx xσ ∈ K

por medio de:

( )( )

con 0ff

gg g

σσ

σ

= ≠

La aplicación de ( )( )1Aut ,...,n nS x x→ K es un homomorfismo inyectivo, luego:

( )( )1Aut ,...,n nS G x x≅ ≤ K

Sea ( ) ( )1 1,..., ,..., G

n nS x x x x=K K


- 165 -

el cuerpo fijo de G, que llamamos funciones racionales simétricas sobre KK en las variables 1,..., nx x . Observación 6.6 Por el teorema de Artin la extensión ( ) ( )1 1,..., ,...,n nS x x x x⊂K K es de Galois y con grupo de Galois isomorfo a nS y como nS es finito entonces la dimensión es !n . Proposición 6.16 Sea G un grupo finito, entonces existe una extensión de Galois con grupo de Galois isomorfo a G. Demostración G es isomorfo a un subgrupo G% de nS donde n G= . Por el Teorema de Cayley G actúa por biyecciones en G con la multiplicación a izquierda:

G G G

x y xy

× →⋅ Î

se induce un morfismo de ( )Biy nG G S→ ≅ que es inyectivo. Sea K un cuerpo ( ) ( )1 1,..., ,...,n nS x x x x⊂K K es de Galois con grupo de Galois nS y dimensión finita.

Sea ( )1,...,G

nx x=%

E K entonces:

( )1Gal ,..., nG x x G= ≅%E K

y la extensión ( )1,..., nx x⊂E K es de Galois.

( ) ( )1 1,..., ,...,n nS x x x x⊂ ⊂K E K Definición 6.6 Sea K un cuerpo llamaremos funciones simétricas elementales

( )1 1,..., ,...,n nf f S x x∈ K a las siguientes:

( )

( )

( )1

1

1 1 1 21

2 11

11 ...

,..., ...

,...,

,..., ...k

k

n n ii n

n i ji j n

k n i ii i n

f x x x x x x

f x x x x

f x x x x

≤ ≤

≤ < ≤

≤ < < ≤

= + + + =

=

=

∑

∑

∑M M

Probaremos que ( ) ( )1 1,..., ,...,n nf f S x x=K K para ello veremos el siguiente lema:


- 166 -

Lema 6.17 Sean 1,..., nf f las funciones elementales en ( )1,..., nS x xK y para 1 1k n≤ ≤ − sean 1,..., kh h funciones elementales en la variables 1,..., kx x , dichas

funciones ( )1 1,..., ,...,k nh h x x⊂ K ; entonces las jh son polinomios en las variables

1 1,..., , ,...,n k nf f x x+ con coeficientes en K. Demostración Si 1k n= − 1 1 1 1 1... ...n nf x x h x x −= + + = + + y entonces 1 1 nh f x= − , análogamente:

2 2 1,

i j ni j ni j

h x x f h x≠

<

= = −∑

y así sucesivamente: 1k k k nh f h x−= − Aplicando una inducción para atrás. Si vale para 1k + llamemos a dichas funciones 1 1,..., kg g + entonces como antes: 1 1j j j kh g h x− += −

Como por hipótesis de inducción los jg son polinomios en 1 2,..., , ,...,n k nf f x x+ ,

entonces las jh son polinomios en 1 1,..., , ,...,n k nf f x x+ .

Proposición 6.18 Sea K un cuerpo, entonces: ( ) ( )1 1,..., ,...,n nS x x f f=K K Demostración Sea ( )1,..., nf f=F K sabemos que:

( ) ( ) ( )1 1 1

grado !

,..., ,..., ,...,n n n

n

f f S x x x x⊂ ⊂144444444444424444444444443K K K

vamos a probar que ( ) ( )[ ]1 1,..., : ,..., !n nx x f f n≤K K entonces como:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

1 11 1

1 1

,..., : ,...,,..., : ,..., 1

,..., : ,...,n n

n nn n

x x f fS x x f f

x x S x x= ≤

K KK K

K K

se tiene que ( ) ( )[ ] ( ) ( )1 1 1 1,..., : ,..., 1 ,..., ,...,n n n nS x x f f S x x f f= ⇒ =K K K K

Consideremos ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1, ... ,..., ,...,n n n n nx x x x x x x−⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂F F F F K entonces

tenemos que ( )[ ]:nx n≤F F ya que:

( ) ( )( ) ( )1 2 ...n ng y y x y x y x= − − − y haciendo cuentas ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )1

1 1 2... ... 1 ... , 0nn nn n n n ng y y x x y x x x y g x−= − + + + + − ∈ =F

y es el irreducible de nx en F .

Para la extensión ( ) ( )1 1,..., ,..., ,n k n k kx x x x x+ +⊂F F probaremos que:


- 167 -

( ) ( )[ ]1,..., : ,...,n k n kx x x x k+ ≤F F

para ello tomamos el polinomio irreducible: ( ) ( ) ( )1 ...k kg y y x y x= − − donde los coeficientes son las funciones elementales en las variables 1,..., kx x , que

por el Lema anterior ( ) ( )[ ] ( )1 1,..., ,..., y 0k n k k n k kx x g x x y g x+ +∈ ⇒ ∈ =F F .

Luego ( )[ ] ( )1 1,..., : ! ,...,n nx x n S x x≤ ⇒ =F F F K .

Corolario 6.19 Sea ( ) ( ) ( )[ ]1 1 1... 1 ,...,nn

n n n nP x x f x f f f x−= − + + − ∈K llamado

polinomio general de grado n, como ( ) ( )( ) ( )1 2 ....n nP x x x x x x x= − − −

Entonces el grupo de Galois de nP sobre ( )1,..., nf fK es:

( ) ( )1 1,...,Gal ,...,

n nP n nf fG x x S= ≅K K

Demostración Claramente el cuerpo de descomposición de es: nP

( )( ) ( )1 1 1,..., ,..., ,...,n n nf f x x x x=K K

y como ( ) ( ) ( )1 1 1,..., ,..., ,..., n

n

S

n n n P nf f S x x x x G S= = ⇒ ≅K K K .

Lema 6.20 Sea el conjunto { }1 2

1 2 ... : 0 , 1,...,nii in kB x x x i k k n= ≤ < ∀ = es una base de

( )1,..., nx xK sobre ( )1,..., nS x xK . Demostración Primero que nada # !B n= ya que tenemos k valores posibles para ki luego # 1 2 3 ... ... !B k n n= × × × × × × = Por la observación 6.6 se cumple:

( ) ( )[ ]1 1,..., : ,..., !n nx x S x x n=K K (1)

y por lo visto en la proposición 6.18 se cumple que: ( ) ( )[ ]1 1 1,..., , ,..., : ,..., , ,...,n n k n n kf f x x f f x x k+ ≤K K (2)

Para que se cumpla (1) ⇒ que en (2) se tienen que cumplir todas las igualdades. Entonces como ( ) ( )1 1,..., , ,...,n n nf f x f f⊃K K es una extensión simple, el conjunto

{ }: 0nin nx i n≤ < es una base de ( )1,..., ,n nf f xK sobre ( ) ( )1 1,... ,...,n nf f S x x=K K .

De igual manera el conjunto { }: 0kik kx i k≤ < es una base de ( )1,..., , ,...,n n kf f x xK

sobre ( )1 1,..., , ,...,n n kf f x x +K , generalizamos por inducción y multiplicando las

bases se tiene { }1 21 2 ... : 0 , 1,...,nii i

n kx x x i k k n≤ < ∀ = es una base de ( )1,..., nx xK sobre

( ) ( )1 1,..., ,...,n nf f S x x=K K .


- 168 -

Proposición 6.21 Sea K un cuerpo y 1,..., nf f las funciones simétricas elementales

en ( )1,..., nx xK , entonces:

i) Todo polinomio [ ]1,..., ,nP x x∈K se puede escribir de manera única como combinación lineal de los !n elementos de B del lema anterior con coeficientes en

[ ]1,..., nf fK .

ii) Todo polinomio [ ]1,..., nP x x∈K simétrico, entonces [ ]1,..., nP f f∈K . Demostración Sea ( ) ( )( ) ( ) ( )1

1 2 1.... ... 1 kk kk k kg y y x y x y x y h y h−= − − − = − + + − siendo jh los

mismos que consideramos en la proposición 6.17, que de acuerdo a la misma son polinomios en las variables 1 1,..., , ,...,n n kf f x x + , y como ( ) 0k kg x = se puede

despejar kkx :

( )11 .... 1 kk k

k k kx h x h−= + − −

y así resulta que kkx se expresa como un polinomio sobre K en las variables

1 1,..., , ,...,n n kf f x x + y en con 0kik kx i k≤ < . Si procedemos paso a paso empezando

por 1k = y sustituimos las kkx en el polinomio [ ]1,..., nP x x∈K se obtiene un

polinomio en 1 1,..., , ,...,n nf f x x donde los exponentes de kx son menores que k, es decir que P es combinación lineal de los !n elementos de B con coeficientes en

[ ]1,..., nf fK . La unicidad se desprende del hecho de que los elementos de B son una

base sobre ( ) ( )1 1,..., ,...,n nS x x f f= ⇒K K los elementos de B son linealmente

independientes sobre ( )1,..., nf fK .Esto prueba i) y también implica que si un

polinomio ( )1,..., nP x x∈K es una combinación lineal de los elementos de B con

coeficientes en ( )1,..., nf fK entonces los coeficientes son de hecho polinomios en

[ ]1,..., .nf fK En particular si P es un polinomio simétrico (esto es que

( ) ( )1 1,..., ,...,n nP S x x f f∈ =K K ) y escribiendo 0 0 01 2 .... nP Px x x= se tiene que en

realidad por lo antes dicho que [ ]1,..., .nP f f∈K

- 169 -

Apéndice A

Construcciones con regla y compás Supongamos que disponemos solo de una regla, sin marcas y un compás donde podemos hacer uso de la regla solo para construir una recta de la que conocemos dos puntos y el compás para construir una circunferencia de la que conocemos el centro y un punto de la misma. Definición A.1 Sea P un subconjunto de 2¡ conteniendo por lo menos dos puntos distintos. Diremos que una recta 2r ∈ ¡ es una recta de P si r contiene dos puntos distintos

en P, y diremos que una circunferencia 2∈¡C es una circunferencia de P si C tiene su centro, y un punto en P. Definición A.2 Llamaremos operaciones elementales en P a las siguientes operaciones: I) Intersección de dos rectas en P. II) Intersección de una recta de P y una circunferencia de P. III) Intersección de dos circunferencias de P. Definición A.3 Un punto 2P ∈ ¡ se dice constructible a partir de P si podemos determinar P a través de una de esas operaciones elementales en P. Denotamos por P al subconjunto de puntos de 2¡ que son construtible a partir de P. Sea { }0 O,A=P siendo ( ) ( ) { }0O 0,0 ; A 1,0 O,A,B,C,D,E⇒ =P con ( )B 1,0− ,

( )C 2,0 y 1 3 1 3

D , ; E ,2 2 2 2

−

y llamaremos 1 0=P P y así sucesivamente

2 1 1,...., n n n+= = ∀ ∈¥P P P P

Notas de Álgebra II Apéndice A - 170 -

- 170 -

Cada es finito n n∀ ∈¥P y si definimos 1

,nn

∞

∞ ∞=

= ∪P P P es obvio que es infinito y

que ∞ ∞=P P . Definición A.4 Los puntos del plano perteneciente a ∞P son llamados puntos constructibles y las rectas en ∞P esto es conteniendo dos puntos distintos constructibles son llamadas rectas constructibles Definición A.5 Un número real a se dice constructible si ( ),0a ∞∈P . Proposición A.1 i) Si A y B son dos puntos distintos constructibles, entonces el punto medio M del segmento que determinan es también constructible y la rectas perpendiculares a AB por A, B y M son constructibles. ii) Sean A y r punto y recta respectivamente constructibles tales que A r∈ , si B y C son puntos constructibles, entonces existe un punto constructible X tal que X r∈ y los segmentos AX y BC tienen la misma longitud. Demostración i) Usando las circunferencias centradas en cada punto y que pasa por el otro, como en la figura, construimos los puntos C, D, E , F y por lo tanto la recta CD es constructible. M queda construido por la

Notas de Álgebra II Construcciones con regla y compás - 171 -

- 171 -

intersección de dos recta CD y AB constructibles. Para las perpendiculares por A y B procedemos en forma análoga teniendo presente que A es punto medio de EB y B es punto medio de AF. ii) Si construimos primero el punto de intersección de BC con r (P) haciendo circunferencias de centro en P que pasen por B y C, construimos los punto B’ C’ pertenecientes a r tales que la longitud del segmento BC es igual a la del segmento B’C’. Luego podemos suponer que los puntos A, B y C pertenecen a r. Sea M el punto medio de BC construido como en la parte a) y haciendo la circunferencia de centro B que pase por A obtenemos un punto N tal que AB BN= ( esto es que los

segmentos AB y BN tienen la misma longitud). Construimos la circunferencia de centro M que pase por N y construimos el punto X como intersección de dicha circunferencia con la recta r. Tenemos así XM MN= , luego este punto X es la solución porque: BM MC

BX NCXM MN

= ⇒ =

= y

entonces AX AB BX BN NC BC= + = + = . Observación A.1 Dados un punto y una recta constructibles que no se pertenecen, se puede construir la perpendicular por el punto a la recta, construyendo primero la circunferencia de centro el punto y que pase por un punto de la recta, determinando con la intersección de dicha circunferencia y la recta un segmento, al cual como en la proposición anterior construimos el punto medio, el punto dado y éste punto nos determinan la perpendicular deseada. Proposición A.2 i) Sean A, B y C tres puntos constructibles no alineados. Entonces existe un punto constructible D, tal que A, B, C, y D forman un paralelogramo. En particular la recta paralela a AB pasando por C es constructible.


- 172 -

ii) Un punto ( ) 2A ,a b= ∈¡ es constructible si y solo sí sus coordenadas ,a b∈¡ son números constructibles. Demostración Sean r y s las recta constructibles determinadas por los puntos AB y AC. Aplicando ii) de la proposición anterior construimos el punto X r∈ tal que BX AC= y con el mismo procedimiento construimos un punto Y s∈ tal que

CY AB= . Ahora al punto D lo construimos como intersección de las circunferencias 1C de centro B que pasa por X y la circunferencia 2C de centro C que pasa por Y. ii) ⇒ Sea ( )A ,a b= un punto constructible y sea M el punto medio de OA. El punto ( )xA ,0a se obtiene con intersección de la circunferencia de centro en M y que pasa por A con la recta OP con

( ) ( )O 0,0 y P 1,0= = La misma circunferencia interceptada con la perpendicular por O, es el punto 1A de

coordenadas ( )0,b ii) ⇐ Supongamos ,a b∈¡ constructibles, esto es que los puntos ( ) ( ),0 y ,0a b son constructibles.

Construimos el punto ( )0,b

interceptando la circunferencia de centro en O y que pasa por ( ),0b con la recta perpendicular a la recta determinada por los puntos dados, y luego como sabemos construir perpendiculares se construye el punto ( ),a b . Proposición A.3 Sea { }: es constructiblex x= ∈¡ ¡C es un subcuerpo de ¡ que contiene a ¤ . Demostración Sabemos que ⊂ ¡¢ C . Tenemos que probar: 1) Si ,a b a b∈ ⇒ − ∈¡ ¡C C 2) Si ,a b a b∈ ⇒ ⋅ ∈¡ ¡C C


- 173 -

3) Si 10 a a−≠ ∈ ⇒ ∈¡ ¡C C Vamos a asumir sin perdida de generalidad que 0b a> > Consideremos

( ) ( )A ,0 , B ,0a b= = Por la proposición A.1 ii) podemos construir X sobre la recta

OU (siendo ( ) ( )O 0,0 y U 1,0= = ), tal que OX AB= y así ( )X ,0b a= − . Antes que nada observe que existen rectas constructibles que pasan por O distintas de las rectas OU y OT siendo ( )T 0,1= Sea r una de esas rectas constructibles como en la figura de más abajo. Construimos la perpendicular a r por A y por U e interceptamos con r para obtener el punto A’ y U’ luego construimos la paralela a UA’ por U’ y la interceptamos con OU, y así obtenemos X. Que por semejanza se tiene:

OA OA' OU

OU OU' OXa = = =

luego 1

OXa

= lo que

prueba 3) Construimos ahora la perpendicular por B a la recta r determinando B’, construimos la paralela por A a UB’ interceptando a r en A’’, luego construimos la perpendicular a r por A’’ interceptando a OU en Y, El punto Y es tal que por semejanza:

OA OA'' OY OYOY

OU OB' OBa a b

b= = = = ⇒ = ⋅

Lo que prueba 2). Definición A.6 Sea ( )P , nu v= ∈P diremos que ,u v son coordenadas de nP y denotamos por nC el conjunto de todas las coordenadas de nP . Sabemos por la proposición A.3 que , n n⊂ ∀ ∈¡ ¥C C .

Así por ejemplo { } { }3 310 1 2 2 20,1 ; 0,1, 1, , , , 2= = − −C C

( ) ( ) ( )0 1 1 2 2Sea , , ,..., ,....n nK K K K= = = =¤ ¤ ¤ ¤C C C Como 0 1 ... .... y n⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂¡ ¡¤C C C C C tenemos: 0 1 1.... ... .n nK K K K += ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ¡¤ C


- 174 -

Obsérvese también que si ( ) entonces ,0 na a∈ ∈¡C P para algún n esto es na ∈C para algún n, y por lo tanto na K∈ . Luego:

0

nn

K K∞

∞=

= = ¡∪ C

Esta interpretación de ¡C la usaremos en la siguiente proposición. Proposición A.4 ¡C es una extensión algebraica de los racionales tal que α∀ ∈ ¡C

tenemos que ( )[ ]:α¤ ¤ es una potencia de 2.

Demostración Basta probar que ( )[ ] se tiene : 2sα α∀ ∈ =¡ ¤ ¤C para algún s ∈¥ .

Como ( )0

tal que .n n nn

K n Kα α∞

=

∈ = ⇒ ∃ ∈ ∈ =¡ ¥ ¤∪C C Por la proposición 4.2

( )[ ]:α¤ ¤ divide a [ ]:nK ¤ entonces es suficiente demostrar que [ ]: 2snK =¤ para

algún s ∈¥ . Vamos a probar que [ ]:nK ¤ es una potencia de 2 por inducción completo sobre n Si 00 tenemos que n K= = ¤ La proposición es válida. Observe además que si 1n =

tenemos que ( )1 3K = ¤ y la proposición es también válida.

Supongamos ahora que [ ]:iK ¤ es una potencia de 2 tal que 0i i n∀ ≤ < , vamos a

probar que [ ]:nK ¤ es también una potencia de 2.

Como [ ] [ ] [ ]1 1 1 y : : :n n n n n nK K K K K K− − −⊂ = ⋅¤ ¤ luego es suficiente si probamos

que [ ]1:n nK K − es potencia de 2 para probar la proposición. Sea 0 1 y .n nL K L K −= = Sabemos que:

( ) { } ( )0 1 0 1, si ,..., ,...,n n k kL L L Lα α α α= = ⇒ =C C

Si denotamos ( ) ( ) ( )0 1 0 1 2 1 2 1... ...i i i kL L L L L L L L Lα α α−⊂ = ⊂ = ⊂ ⊂ = ⊂ ⊂ =

entonces es suficiente si probamos que [ ]1:i iL L − es potencia de 2.

( ) ( ) ( )1 y tal que A , o B ,i i i i n i n i i i i i i nL L α α β α β β α−= ∈ ⇒ ∃ ∈ = = ∈C C P ,

Sin perdida de generalidad supongamos que ( )A , .i i i nα β= ∈P

Como ( )1 A ,n n i i iα β−= ⇒ =P P es obtenido por una de las tres operaciones elementales en 1n−P .Se puede demostrar sin grandes dificultades que iα tendrá que satisfacer una ecuación de grado menor o igual a 2 (será de grado uno si la operación elemental es la I) con coeficientes sobre el cuerpo ( )1 1n nK − −= ¤ C . Ahora como 1 0 1 1n i iK L L i k α− −= ⊂ ≤ ≤ ⇒ es raíz de un polinomio de grado uno o

2 sobre el cuerpo [ ]1 1: 1 o 2i i iL L L− −⇒ = como queríamos demostrar.


- 175 -

Proposición A.5 i) No existe α ∈ ¡C tal que el volumen del cubo de arista α sea el doble del volumen del cubo de arista 1. ii) No existe α ∈ ¡C tal que el área del cuadrado de lado α sea igual al área del círculo de radio 1. iii) Es imposible trisecar un ángulo de 60° con regla y compás (regla sin marcas) Demostración i) Claramente 3 2,α = o sea ( ) ( )[ ]3Irr 2 : 3xα α= − ⇒ =¤ ¤ ¤

entonces por la proposición anterior α no es constructible. ii) Como 2 α π= y como π es trascendente sobre π⇒ ∉ ¡¤ C y por tanto α ∉ ¡C .

iii) Sea 2 2 1

3 y como cos318 6 3 2π π π

θ θ θ= ⇒ = = = y por otro lado:

3 31cos3 4cos 3cos 8cos 6cos 1 0

2θ θ θ θ θ= − = ⇒ − − =

y por lo tanto 2

cos18

uπ

= es raíz del polinomio ( ) 38 6 1p x x x= − − y p es

irreducible sobre ( )[ ]: 3u⇒ = ⇒¤ ¤ ¤ que u no es constructible, entonces θ no es

constructible porque de serlo tendría que ser cosu θ= constructible. Proposición A.6 i) Todo polígono regular de 2rn = lados es constructible. ii) Si un polígono regular de n lados es constructible entonces el polígono regular de 2n lados, también es constructible. iii) Si p es un número primo 3≥ ,si un polígono regular de p lados es constructible,

entonces existe s ∈¥ tal que 22 1.s

p = + En particular el heptágono regular no es constructible. Demostración Los itens i) y ii) es consecuencia de los siguientes casos:

a) El cuadrado es un polígono constructible. b) Es posible bisecar un ángulo con regla y compás

iii) Como 2 2

cos ,senp pπ π

es constructible, entonces se sigue que

( )[ ], : 2mα β =¤ ¤ donde 2 2

cos y senp p

π πα β= = .

Ahora como ( )[ ] 1, , : 2miα β +=¤ ¤ (con 2 1i = − ) donde ( ), , .iα β ⊂¤ £

Ahora sea ( )2 2cos sen , ,i i i

p p

π πζ α β α β= + = + ∈¤ entonces:

( ) ( ) ( )[ ], , y : 2 para algún ri rζ α β ζ⊂ = ∈¤ ¤ ¤ ¤ ¥


- 176 -

Observar que ζ es la raíz p-esima de la unidad distinto de uno, entonces:

Sabemos que ( ) 1 2Irr ... 1p px x xζ − −= + + + +¤ y por tanto 1 2 2 1r rp p− = ⇒ = +

Vamos a probar que 2 para algún sr s= ∈¥ . Supongamos que t es un factor impar de r mayor que 1 entonces r t v= ⋅ y:

( )2 1 2 1 donde es impar mayor que 1tr vp t= + = +

entonces:

( ) ( ) ( )1 22 1 2 2 ... 1

t tv v vp− − = + − + ±

contradiciendo el caso de que p es primo. Proposición A.7 (Teorema de Gauss) Un polígono regular de n lados es constructible si y solo sí 1 12 .... donde y ,...,r

k kn p p r p p= ⋅ ∈¥ son primos distintos

impares de la forma 22 1, 1 , .si

i ip i k s= + ≤ ≤ ∈¥

Los números 22 1s

sF = + son llamados números de Fermat.

Índice alfabético

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Acción 73 Acción fiel 76 Acción por conjugación 80 Acción por traslación 83 Acción transitiva 76 Acción trivial 75 Algebraicamente cerrado 119 Algebraico 108 Anillo conmutativo 103 Asociativa 1 Automorfismo 16 Base 70 Buena clase 115 Característica de un cuerpo 106 Ciclo de longitud r 49 Clase de conjugación de un elemento 58 Clausura algebraica 122 Clausura Normal 152 Coclase a derecha 25 Coclase a izquierda 25 Conjunto cociente a derecha 26 Conjunto cociente a izquierda 27 Conjunto de representantes 28 Conjunto generador 12 Conmutan 2 Constructible 153 Coordenadas 173 Cuerpo 103 Cuerpo algebraicamente cerrado 120 Cuerpo cerrado 138 Cuerpo compuesto 105 Cuerpo de descomposición 119 Cuerpo estable 133 Cuerpo extendible 139 Cuerpo intermedio 105 Cuerpo primo 105

Discriminante de f 155 Divisores elementales 71 Ecuación de las clases 82 Elemento separable 144 Elementos conjugados 57 Endomorfismo 16 Epimorfismo 16 Escinde 119 Estabilizador 78 Extensión algebraica 108 Extensión de cuerpos 104 Extensión de Galois 132 Extensión finita 104 Extensión finitamente generada 106 Extensión infinita 104 Extensión normal 143 Extensión separable 144 Extensión simple 107 Extensión trascendente 108 Factores invariantes 71 Finitamente generado 70 Finitamente generado 12 Funciones racionales simétricas sobre un cuerpo 164 Funciones simétricas elementales 165 G-actúa en X 73 G-conjunto 73 G-estable 76 Grado de una extensión 104 Grupo 4 Grupo abeliano 4 Grupo abeliano libre 70 Grupo alternado 56 Grupo cíclico 19 Grupo de Galois 127 Grupo de isotropía 78 Grupo de Klein 157

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Grupo definido por los generadores 66 Grupo libre 60 Grupo simétrico 47 Grupo simple 57 Inclusión 19 Indice 27 Inverso 4 Invertible 3 Isomorfismo 16 Ley de Composición 1 Modulo H 24 Monoide 2 Monoide conmutativo Monomorfismo 15 Morfismo de cuerpo 104 Morfismo de Grupos 14 Neutro 1 Normalizador 82 Número constructible 170 Operación binaria 1 Operaciones elementales 169 Orbitas 78 Orden de un elemento 12 Orden de un grupo 5 Palabra reducida 61 Permutación impar 56 Permutación par 56 Permutaciones 47 Permutaciones disjuntas 50 p-grupo 91 Polinomio de cuarto grado 159 Polinomio irreducible 108 Polinomio separable 144 Primer teorema de isomorfismo 40 Primer teorema de Sylow 93 Producto directo de Grupos 18 Producto semidirecto 87 Proyección 19 p-subgrupo de Sylow 91

Punto fijo 80 Puntos constructibles 169 Rango 70 r-ciclo 49 Recta constructible 170 Representación de un grupo 66 Resolverte cúbica de f 158 Segundo teorema de isomorfismo 42 Segundo teorema de Sylow 95 Semigrupo 2 Subcuerpo 103 Subcuerpo generado 105 Subgrupo 9 Subgrupo cíclico generado por a 11 Subgrupo de Galois cerrado 133 Subgrupo de torsión 70 Subgrupo normal 35 Subgrupo normal generado 66 Subgrupo transitivo 154 Subgrupos de Sylow 90 Subgrupos propios 10 Subgrupos triviales 10 Submonoide 3 Teorema de Artin 143 Teorema de Cauchy 95 Teorema de Galois 140 Teorema de Gauss 176 Teorema de Lagrange 30 Teorema fundamental del álgebra 153 Tercer teorema de isomorfismo 43 Trascendente 107 Trasposición 49

Algebra II

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