ADVANCED CONTROL

Ali KarimpourAssociate Professor

Ferdowsi University of Mashhad

ADVANCEDADVANCED CONTROL CONTROL

Reference:Chi-Tsong Chen, “Linear System Theory and Design”, 1999.I thank my students , Mahhmodi and Samadi, for their help in making slides of this lecture..

lecture 7

Dr. Ali Karimpour Oct 2013

2

Lecture 7

State feedback and state estimators

Topics to be covered include: Pole placement with state feedback. Tracking and regulator problem Robust tracking and disturbance rejection State estimation Reduced-Dimensional state estimator Feedback from estimated states

lecture 7


3

آنچه پس از مطالعه این مبحث می آموزید

مفهوم فیدبک حالت•

امکان تعیین محل قطبها •

تنظیم خروجی بص,ورت مقاوم)ردیابی(• تخمین حالت•

تنظیم دقیق خروجی)ردیابی(•

چگونگی تخمین حالت•

تخمین حالت با مرتبه کاهش یافته •

روشهای تعیین محل قطب•

قضیه جداسازی•

• State feedback idea

• Pole placement possibility

• Robust output regulating

• State estimation

• Output regulating

• State estimation techniques

• Reduced order state estimation

• Pole placement techniques

• Separation theorem

lecture 7


4

Pole placement with state feedbackجایابی قطب با استفاده از فیدبک

حالت

ducxybuAxx

x x

c

A

u

y

b

d

k

State feedback ? kxru

vector1nconstantn 1

r

lecture 7


5

ducxybuAxx

What are the eigenvalues?

0A-sI of roots

Let u=r-kx where k is an 1×n vector

)()(

kxrdcxykxrbAxx

drxdkcybrxbkAx

)()(

0bkA-sI of roots New eigenvalues?


حالت

lecture 7


6

1-7قضیه کنترل پذیر است اگر و فقط اگر 1n با بعد k برای هر بردار (A-bk, b)زوج کنترل پذیر باشد.(A, b)زوج


حالت

ducxybuAxx

drxdkcybrxbkAx

)()(

باید نشان دهیم کنترل پذیری دو سیستم زیر معادل است.اثبات:

bbkAbbkAbbkAbC n

f

12 )(...)()(

1000100

)(10)()(1 2

32

kbbbkAkkbbbkAkbbkAkkb

bAbAAbbC f

C)()( CC

f

lecture 7


7

xy

uxx

]21[10

1321

xkkru ][ 21

State feedback xy

rxkk

x

]21[10

1321

21

0211

20

2

ff Ck

C The state feedback equation is controllable for any k.

21

21

21042427

21kkO

kkO ff

Observability depends on k.


1-7مثال حالت سیستم کنترل پذیر و رویت پذیر مقابل را در نظر بگیرید.

lecture 7


8

ducxybuAxx

Is it possible to assign the eigenvalues arbitrarily?

drxdkcybrxbkAx

)()(

state feedback

kxru )(I

کنترل پذیر باشد، (I)-بعدی nاگر معادالت حالت :2-7قضیه می 1nیک بردار ثابت k ، که u=r-kxآنگاه با فیدبک حالت

را بطور دلخواه تعیین نمود A-bkباشد، می توان مقادیر ویژه البته باید توجه نمود که مقادیر ویژه مختلط باید بصورت

مزدوج انتخاب شود.


حالت

اثبات در ادامه خواهد آمد.

lecture 7


9

آیا می توان مقادیر ویژه سیستم زیر را : 2-7مثال بطور دلخواه جابجا کرد؟

uxx

021

7101401

800

132028121601

2bAAbbC

21132028121601

C System is controllable

.لذا می توان مقادیر ویژه را در مکانهای دلخواه قرار داد


حالت

lecture 7


10

s=2 is a fixed mode.


در سیستم مقابل در صورت امکان قطبها را در نقاط : 3-7مثال حالت دلخواه قرار دهید.

s=2 is not controllable.

lecture 7


11

uxx

021

300020001

System is not controllableIمی توان مقادیر ویژه را در مکانهای ( آیا

واضح است که دلخواه قرار داد؟ خیر

IIواضح است که قرار داد؟4, -3, -2- می توان مقادیر ویژه را در ( آیابله

III3±2, -13- می توان مقادیر ویژه را در ( آیاj واضح است که قرار داد؟خیر

IV3+2, -3- می توان مقادیر ویژه را در ( آیاj, -2-6j قرار داد؟ واضح است که

خیر


سیستم مقابل را در نظر بگیرید:: 4-7مثال حالت

lecture 7


12

1- Direct method. 1روش مستقیم -

2- Use of similarity transformation. 2 استفاده از تبدیالت -همانندی

3- Use of Lyapunov Equation 3 استفاده از معادله -لیاپانوف


حالت

lecture 7


13

bkA-sI:Find

- روش مستقیم تعیین محل قطبها1

= Desired characteristic equation

Then determine k1, k2, … , kn from above equation

ducxybuAxx

xkkkru n ]...[Let 21

Polynomial ofDegree n

Polynomial ofDegree n


حالت

lecture 7


buAxx Pxw uw

aaaa

w

n

10..00

...1...000

...............................................0...1000...010

1210

?ˆˆˆ kbA

11221100ˆ...ˆˆˆ

1...000...............................................................................0...1000...010

nn kakakaka

012

21

1 ... :is system ofequation sticCharacteri asasasas nn

nn

n

012

21

1 ... :isequation sticcharacteri Desired bsbsbsbs nn

nn

n

2b 1 nb1b0b

1]100[ Cq 1 nT qAqAqP


حالت )اثبات - استفاده از تبدیالت همانندی در تعیین محل قطبها 2 (2-7قضیه

lecture 7


15

11221100ˆ...ˆˆˆ

1...000...............................................................................0...1000...010

ˆˆˆ

nn kakakaka

kbA

2b 1 nb1b0b

11221100 ....ˆ nn ababababk

wkru ˆ Pkk ˆPxkr ˆ kxr

x x

c

A

u

y

b

d

Pw

k

k

r


حالت

lecture 7


16

uxx

11

1011

11

01C

01C

System is controllable

So it is possible to assign the poles on -2±j .

][11

1011

10 kkbkA

10

10

111

kkkk

10

10

111

kskkks

bkAsI

1102 1)( kskks

)2)(2(1)( 1102 jsjskskks 542 ss ]610[ k

روش :اول


j±2-در سیستم مقابل در صورت امکان قطبها را در : 5-7مثال حالت قرار دهید.

lecture 7


17

01CSystem is controllable

So it is possible to assign the poles on -2±j .

qAq

P 1]10[ Cq

0111

P

]46[]04)1(5[ˆ1100 ababk

System characteristic equation: s2+0s-1

Desired characteristic equation: (s+2+j)(s+2-j)=s2+4s+5

]610[ˆ Pkk

uxx

11

1011

11

01C

place(A,b,[-2+i -2-i])


حالت

روش :دوم

j±2-در سیستم مقابل در صورت امکان قطبها را در : 5-7مثال قرار دهید.

lecture 7


2) Select an arbitrary (n-1)1 vector such that is observable.)k(F,k

18

Consider controllable (A , b). Find a real k such that (A-bk) has any set of desired eigenvalues that contains no eigenvalues of A.

1) Select an nn orbitrary matrix F that has the set of desired eigenvalues.

3) Solve the unique T in the Lyapunov equation .kbTFAT

4) Compute the feedback gain .1 Tkk

n1

Theorem 7-3: If A and F have no eigenvalues in common, then the unique solution T of is nonsingular if and only if (A , b) is controllable and is observable.

kbTFAT ),( kF


حالت - استفاده از معادله لیاپانوف در تعیین محل قطبها3

lecture 7


19

Selection of F and k

22

22

11

11

1

0 0 0

000

0000000000

F

If the desired eigenvalues are all distinct, we can use the modal form.

If n=5 and the five distinct desired eigenvalues are selected as

22111, jandj , then we can select F as

For example

For this F, if Has at least one nonzero entry associate with each diagonal block such as:

k]11111[],10011[,]01011[ korkk

Then is observable.),( kF


حالت - استفاده از معادله لیاپانوف در تعیین محل قطبها3

lecture 7


20

xy

uxx

]0001[2

010

0500100001000010


We select F in modal form as

5.15.0005.05.100

00110011

F ]0101[k,

A=[0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 5 0];b=[0;1;0;-2];F=[-1 1 0 0;-1 -1 0 0;0 0 -1.5 0.5;0 0 -0.5 -1.5];k_bar=[1 0 1 0];T=lyap(A,-F,-b*k_bar)k=k_bar*inv(T)

010021002002012010

C 036 C


-در سیستم مقابل در صورت امکان قطبها را در : 6-7مثال حالت 1.5±0.5j 1- و±j.قرار دهید

lecture 7


21

Tracking and regulator problemsمساله تنظیم و ردیابی

در صورت اعمال پله آیا سیستم در خروجی پله را دنبال خواهد کرد؟خطای سیستم به ورودی پله چند است؟

43

2

2

3

1

4

43

2

2

3

1

)()()(

ssss

ssssrsysg

فرض کنید تابع انتقال عبارتست از:

4

4)0()()(

gtystepunittuIft

پاسخ به ورودی پله عبارتست از:

برای رفع مشکل:)()()( tkxtprtu

lecture 7


22


در صورت استفاده از:

)()()(

)(43

2

2

3

1

4

43

2

2

3

1 spgssss

ssspsrsy

sg f

f

تابع انتقال عبارتست از:

)0()()(4

4 pgptystepunittuIft

پاسخ به ورودی پله عبارتست از:

حال:

)()()( tkxtprtu

)0(1

gp

lecture 7


23


خالصه: را بگونه ای u=r-kx کنترل پذیر باشد میتوان فیدبک حالت (A, b)اگر

انتخاب کرد که در نقاط دلخواه قرار گرفته و خروجی در مقدار (A-bk)مقادیر ویژه

خاصی تنظیم شود.

هیچ صفری c(sI-A)-1b کنترل پذیر بوده و اگر (A, b)و عالوه بر آن اگر در مبدا نداشته

را بگونه pباشد آنگاه عالوه بر فیدبک حالت می توان بهره پیش خور ای تعیین کرد که سیستم

منتجه هر مرجع پله ای را بطور مجانبی دنبال کند.

lecture 7


24

)(0101

)(2111

)(

txy

utxtx

5714k


xru 5714

)(0101

)(215613

)(

txy

rtxtx

30112

)()(

2

ss

ssrsy 1

302

)()(

0

s

srsy


در صورت امکان قطب های در سیستم مقابل : 7-7مثال قرار دهید.6,-5-سیستم را در

lecture 7


25

xpru 5714

)(010

)(215613

)(

txy

rp

txtx

1302

)()(

0

psrsy

s

3011)2(

)()(

2

ss

spsrsy

15p


lecture 7


26

x x

c

A

u y

b

k

w

akaxr ax

Robust Tracking and Disturbance Rejection ردیابی مقاوم و حذف اغbتشاش

cxybwbuAxx

cxryrxa

a

aa

xx

cy

wb

rub

xx

cA

xx

0

010

000

uv

lecture 7


27

)1(]0[

010

0

a

a

a

a

xx

cy

wb

rxx

cbkbkA

xx

aa x

xku ][k

cxybwbuAxx

state feedback


:3-7قضیه هیچ صفری در مبدا c(sI-A)-1b کنترل پذیر بوده و اگر (A, b)اگر

نداشته باشد آنگاه در می توان u=kx+kaxa( می توان با استفاده از فیدبک حالت1سیستم )

مقادیر ویژه سیستم منتجه را در نقاط دلخواه قرار داد.

a

aa

xx

cy

wb

rub

xx

cA

xx

0

010

000

برای اثبات باید نشان دهیم که سیستم ( A, b)مقابل در صورت کنترل پذیر بودن

کنترل پذیر است.قضیه داده شده را اثبات کنید.: 1-7تمرین

lecture 7


28

x x

c

A

v y

b

k

w

akaxr ax

uv


را در حالت دائم بدون rحال باید نشان داد سیستم زیر ورودی مرجع را دفع می کند.wخطا دنبال و ورودی اغتشاش

c(sI-A)-1b کنترل پذیر بوده و اینکه (A, b)در سیستم فوق با فرض اینکه : 2-7تمرین هیچ صفری در مبدا نداشته باشد نشان دهید در صورت اعمال پله به ورودی

c(sI-A)-1b کنترل پذیر بوده و اینکه (A, b)در سیستم فوق با فرض اینکه : 3-7تمرین خروجی در حالت دائم صفر می شود.wاغتشاش rهیچ صفری در مبدا نداشته باشد نشان دهید در صورت اعمال پله به ورودی مرجع

خروجی در حالت پله را دنبال می کند.

lecture 7


29

)(0001)(0001

)(

0645.1717.00

)(

010004932.04168.1000129.0015164.00017.0

81.90861.30507.0

)(

txty

wtutxtx

معادله حرکت طولی یک هواپیما را می توان در حالت : 8-7مثال کلی به صورت زیر نوشت

که در آن

3

2

1

xx

vx تغییر در سرعتزاویه حملهبرای مدل هواپیمای داده شده یک کنترل انتگرالی طراحی کنید زاویه فراز

که مقادیر ویژه در- قرارگیرد2/5و -2 ،-1/6 ،-1 ، -0/9 .


uqx

E4 نرخ فراز

انحراف باالبر

lecture 7


30


u(t)پاسخ سیستم در صورت اعمال پله واحد به ورودی

lecture 7


31


و پله u(t)پاسخ سیستم در صورت اعمال همزمان پله واحد به ورودی w(t)واحد به اغتشاش

lecture 7


32

)(00

12 Iub

xx

A

AA

x

x c

c

c

c

c

c

c

c

c

xx

kkrkxru ][ 21

Stabilizationپایدارسازی

rb

xx

A

kbAkbA

x

x c

c

c

c

ccc

c

c

002121

)(I

buAxx :معادالت حالت مقابل را در نظر بگیرید

nn

qqqqP ....121

1

هستند که مستقل خطی باشند و C ستون از n1 ستون اول آن هر n1که ناویژه باشد پس Pستون های باقی مانده بگونه ای انتخاب میشوند که

از تبدیل سیستم ابتدایی بصورت زیر در می آید.

قبال دیدیم که اگر سیستم کنترل ناپذیر بوده و رتبه ماتریس کنترل باشد در اینصورت با تبدیل همانندی زیرn1پذیری

اگر مقادیر ویژه ماتریس پایدار باشد سیستم را پایدار پذیر گویند.c

A

lecture 7


33

Use of state estimation to use in feedback loopاستفاده از تخمین زن حالت برای استفاده در مسیر

فیدبک

x x

c

A

u

y

b

d

k

r

States are not available!

x Estate Estimator

x

Condition for xx ˆ

lecture 7


34

Open loop state estimatorتخمین زن حالت حلقه باز

x x

c

A

u

y

b

xx

A

b

cxybuAxx

)(ˆ)()( txtxte

buxAbuAxxxe

ˆ

)()( tAete

buxAx ˆ

0)( eete At

اشکاالت؟

lecture 7


35

Close loop state estimatorتخمین زن حالت حلقه بسته

x x

c

A

u

y

b

x

l

x

A

b

c

)ˆ(ˆˆ xcylbuxAx lybuxlcAx ˆ)(

lecture 7


36

Estimation errorخطای تخمین زن

)(ˆ)()( txtxte

)(ˆ)(ˆ cxlbuxlcAbuAxxxe

xlcAxlcA ˆ)()(

)ˆ)(( xxlcA

0)()()()()( eetetelcAte tlcA

در چه صورت می توان مقادیر ویژه را به طور دلخواه جابجا کرد؟

lecture 7


37

lecontrollab )c,A( observable c)(A,

kector constant v a selectingby ly aribitrari assigned becan k)c-A( of eigenvalue All lecontrollab )c,A(

kl kc-A)kc-A(

State estimatorتخمین زن حالت

:4-7قضیه را می توان با (A-lc) را در نظر بگیرید. تمام مقادیر ویژه (A, c)زوج

در نقاط مناسب قرار داد اگر و فقط lاستفاده از یک بردار حقیقی رویت پذیر باشد. (A, c)اگر زوج

:4-7اثبات قضیه می دانیم:

lecture 7


38


فیدبک

x x

c

A

u

y

b

k

r

x Estate Estimator

x

)ˆ(ˆˆ xccxlbuxAx

lecture 7


39


فیدبک

)ˆ(ˆˆ xcylbuxAx

x x

c

A

u

y

b

k

r

x

x

A

b

c

l

Estimator

lecture 7


40


فیدبک

lcxxkrbxlcAx

brxbkAxx

)ˆ(ˆ)(ˆ

ˆ

xx

cy

rbb

xx

bklcAlcbkA

xx

ˆ0

ˆ

ex

cy

rb

ex

lcAbkbkA

ex

0

00

خاصیت جداییبکارگیری تخمین زن حالت اثری

بر مقادیر ویژه فیدبک حالت اولیه نمیگذارد.

همچنین مقادیر ویژه تخمین زن حالت با این اتصال تغییری نمی

کند.

state feedback

xkru ˆ

lecture 7


41

M

y

v

xy

uxx

001

10000

100002080980010


معادالت فضای حالت سیستم تعلیق مقابل را در نظر بگیرید:: 4-7تمرین فیدبک

10- و 2j±2-الف( فیدبک حالتی طراحی کنید که مقادیر ویژه سیستم منتجه در ب( پاسخ سیستم را به شرط اولیه غیر صفر دلخواه رسم کنید.قرار گیرد.

ج( برای سیستم فیدبک حالت با استفاده از تخمین زن حالت طراحی کنید.

د( پاسخ سیستم را به شرط اولیه غیر صفر قسمت ب مجددا با استفاده از تخمین زن حالت رسم کنید.

ه( حالتهای واقعی سیستم و حالتهای تخمینی را بر روی یک شکل رسم کنید.

lecture 7


42

Reduced state estimation

با بعد کاهش یافته تخمین زن حالت باشد لذا y=x1در این قسمت فرض می شود که بعنوان مثال حالت را n-1تنها الزم است که تنها حالتهای باقیمانده یعنی

تخمین بزنیم. برای این کار دو روش وجود دارد.

1- Use of similarity transformation. 1 استفاده از تبدیالت -همانندی

2- Use of Lyapunov Equation 2 استفاده از معادله -لیاپانوف

lecture 7


43


استفاده از معادله لیاپانوف در تخمین زن حالت با با بعد کاهش یافته تخمین زن حالت بعد کاهش یافته

آلگوریتم تعیین تخمین زن حالت با بعد کاهش یافته را بگونه ای تنظیم کنید که مقادیر F بعدی (n-1(×)n-1)- ماتریس 1

(A,l) را بگونه ای تنظیم کنید که زوج 1(×n-1) با بعد l- بردار 2 باشد. Aویژه آن پایدار دلخواه و متمایز از مقادیر ویژه -n) که دارای بعد TA-FT=lc- جواب منحصر بفرد معادله لیاپانوف 3کنترل پذیر باشد.

1×)n .است را بیابید بعدی زیر:n-1- تخمین حاالت عبارتست از حل معادله 4

zy

Tc

x

lyTbuFzz1

ˆ

مقدار ویژه A و Fوجود معکوس در رابطه فوق در صورت اینکه کنرل پذیر باشد طی (F,l) رویت پذیر و (A,c)مشترک نداشته و

قضیه ای تضمین می شود.

lecture 7


44

Reduced Dimension estimation errorخطای تخمین زن دارای کاهش مرتبه

TbuTAxlyTbuFzxTze

TAxlcxFz

FTxFze

Fee

است کافی است که نشان دهیم: y=cxحال نظر به اینکه

zy

Tc

x

lyTbuFzz1

ˆ

zy

xTc

ˆ

Txz

Txze پس خطا عبارتست از:

با توجه به رابطه لیاپانوف

lecture 7


45

3

2

1

3

2

1

3

2

1

001

1068

1

10240100010

xxx

y

uxxx

xxx


با بعد کاهش یافته تخمین زن حالت معbادالت فضای حالت سیستم مقابل را در نظر بگیرید:: 5-7تمرین

الف( فیدبک حالتی طراحی کنید که مقادیر ویژه سیستم قرار گیرد.5- و 2j±1- منتجه در

ب( پاسخ سیستم را به شرط اولیه غیر صفر دلخواه رسم کنید.

ج( برای سیستم فیدبک حالت با استفاده از تخمین زن حالت مرتبه کامل طراحی باشد.10- و 10- و 10-کنید که قطبهای تخمین زن در

د( پاسخ سیستم را به شرط اولیه غیر صفر قسمت ب مجددا با استفاده از تخمین ه( حالتهای واقعی سیستم و حالتهای تخمینی را بر روی یک شکل رسم کنید.زن حالت رسم کنید.

و( برای سیستم فیدبک حالت با استفاده از تخمین زن حالت با بعد کاهش یافته را نیز ”ه“ و ”د“ باشد. قسمت 10- و 10-طراحی کنید که قطبهای تخمین زن در

تکرار کنید.

lecture 7


46

Exercisesتمرینها

را اثبات کنید.3-7قضیه : 1-7تمرین

x x

c

A

v y

b

k

w

akaxr ax

uv

کنترل پذیر بوده و اینکه (A, b)در سیستم شکل زیر با فرض اینکه : 2-7تمرین c(sI-A)-1b هیچ صفری در مبدا نداشته باشد نشان دهید در صورت اعمال پله به

خروجی در حالت دائم صفر می شود.wورودی اغتشاش

کنترل پذیر بوده و اینکه (A, b)در سیستم شکل فوقb با فرض اینکه : 3-7تمرین c(sI-A)-1b هیچ صفری در مبدا نداشته باشد نشان دهید در صورت اعمال پله به

خروجی در حالت پله را دنبال می کند.rورودی مرجع

lecture 7


47


M

y

v

xy

xx

001

10000

100002080980010

معادالت فضای حالت سیستم تعلیق مقابل را در نظر بگیرید:: 4-7تمرین

10- و 2j±2-الف( فیدبک حالتی طراحی کنید که مقادیر ویژه سیستم منتجه در ب( پاسخ سیستم را به شرط اولیه غیر صفر دلخواه رسم کنید.قرار گیرد.

ج( برای سیستم فیدبک حالت با استفاده از تخمین زن حالت طراحی کنید.

د( پاسخ سیستم را به شرط اولیه غیر صفر قسمت ب مجددا با استفاده از تخمین زن حالت رسم کنید.

ه( حالتهای واقعی سیستم و حالتهای تخمینی را بر روی یک شکل رسم کنید.

lecture 7


48

3

2

1

3

2

1

3

2

1

001

1068

1

10240100010

xxx

y

uxxx

xxx

معbادالت فضای حالت سیستم مقابل را در نظر بگیرید:: 5-7تمرین

الف( فیدبک حالتی طراحی کنید که مقادیر ویژه سیستم قرار گیرد.5- و 2j±1- منتجه در

ب( پاسخ سیستم را به شرط اولیه غیر صفر دلخواه رسم کنید.

ج( برای سیستم فیدبک حالت با استفاده از تخمین زن حالت مرتبه کامل طراحی باشد.10- و 10- و 10-کنید که قطبهای تخمین زن در

د( پاسخ سیستم را به شرط اولیه غیر صفر قسمت ب مجددا با استفاده از تخمین ه( حالتهای واقعی سیستم و حالتهای تخمینی را بر روی یک شکل رسم کنید.زن حالت رسم کنید.

و( برای سیستم فیدبک حالت با استفاده از تخمین زن حالت با بعد کاهش یافته را نیز ”ه“ و ”د“ باشد. قسمت 10- و 10-طراحی کنید که قطبهای تخمین زن در

تکرار کنید.


lecture 7


49

2

1

2

1

2

1

11

21

1112

xx

y

uxx

xx معbادالت فضای حالت سیستم مقابل را در نظر بگیرید:: 6-7تمرین

-الف( بروش مستقیم فیدبک حالتی طراحی کنید که مقادیر ویژه سیستم منتجه در قرار گیرد.1- و 2


ب( بروش تبدیل همانندی فیدبک حالتی طراحی کنید که مقادیر ویژه سیستم منتجه ج( بروش معادله لیاپانوف فیدبک حالتی طراحی کنید که مقادیر ویژه سیستم منتجه قرار گیرد.1- و 2-در معbادالت فضای حالت سیستم مقابل را در نظر بگیرید:: 7-7تمرین قرار گیرد.1- و 2-در

uxxx

xxx

101

100110211

3

2

1

3

2

1

قرار گیرد.2- و 1j±1-فیدبک حالتی طراحی کbنید که مقادیر ویژه سیستم منتجه در

lecture 7


50

معbادالت فضای حالت سیستم مقابل را در نظر بگیرید:: 8-7تمرین


xy

uxx

002

101

100110211

فیدبک حالت و بهره پیش خور بگونه ای طراحی کنید که مقادیر ویژه سیستم منتجه قرار گرفته و سیستم ورودی پله را بدون خطا دنبال کند.2- و 1j±1-در

معادالت فضای حالت سیستم مقابل را در نظر بگیرید:: 9-7تمرین

uxx

1110

1000010000200012

-و 2-الف( آیا می توان فیدبک حالتی طراحی کرد که مقادیر ویژه سیستم منتجه در 2-و 2-ب( آیا می توان فیدبک حالتی طراحی کرد که مقادیر ویژه سیستم منتجه در قرار گیرد؟1- و 1- و 2 2-و 2-ج( آیا می توان فیدبک حالتی طراحی کرد که مقادیر ویژه سیستم منتجه در قرار گیرد؟1- و 2-و ( آیا سیستم داده شده پایدار پذیر است؟n قرار گbیرد؟2- و 2-و

lecture 7


51

معادالت فضای حالت سیستم مقابل را در نظر بگیرید:: 10-7تمرین


تخمین زن حالت مرتبه کامل و مرتبه کاهش یافته طراحی کنید بگونه ای که مقادیر انتخاب شود.{2j±2,-3}-ویژه تخمین زن از مجموعه

تابع انتقال سیستمی عبارتست از:: 11-7تمرین

)3)(2)(1()2)(1()(

ssssssg

آیا می توان با استفاده از فیدبک حالت تابع انتقال را بفرم زیر تبدیل کرد؟

است؟ پایدار مجانبی چطور؟BIBOآیا سیستم منتجه پایدار

2

1

2

1

2

1

11

21

1112

xx

y

uxx

xx

)3)(2(1)(

ssssg f

lecture 7


52


تابع انتقال سیستمی عبارتست از:: 12-7تمرین

)3)(2)(1()2)(1()(

ssssssg

آیا می توان با استفاده از فیدبک حالت تابع انتقال را بفرم زیر تبدیل کرد؟

است؟ پایدار مجانبی چطور؟BIBOآیا سیستم منتجه پایدار 3

1)(

s

sg f

lecture 7


53

Answers to selected problems

k=[4 1] : 6-7جواب

u=pr-kx, p=0.5, k=[15 47 -8]: 8-7جواب

2تخمین زن مرتبه : 10-7جواب

1تخمین زن مرتبه

بله،b بله و بله: 11-7جواب

zy

x

yuzz

zx

yuzz

215214

ˆ

)21/13(33219

5.2712ˆ

01

3105.06282.0

2222

ADVANCED CONTROL

Documents

Transcript of ADVANCED CONTROL