ความสมพนธและฟงกชน(Relations and Functions)

1. ผลคณคารทเชยน(Cartesian Product) นยาม คณคารทเชยน ของเซต A และ B คอ เซตคล าดบ (a,b) ทงหมดโดยท a A และ b B เชน A = 1,2,3 , B = 4,5,6 และ A x B คอ ผลคณคารทเชยนของเซต A และ เซต B ดงนน A x B = (1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),( 3,6)

2. ความสมพนธ (Relation) หมายถง เซตของคล าดบ 2.1 ความสมพนธจะมขนตองมเซตของคล าดบ(Order Pairs) กอน 2.2 คล าดบจะเกดขนไดเมอม A x B หรอ B x A ซงเปนผลคณคารทเชยนนนเอง

3. โดเมน และ เรนจของความสมพนธ (Domain and Range of Relations) ถาก าหนด R เปนความสมพนธ โดเมนของ R : (Dr) คอ เซตของสมาชกตวหนาของคล าดบ เรนจ ของ R : (Rr) คอ เซตของสมาชกตวหลงของคล าดบ ตวอยาง R = (-1,1),(0,0) โดเมน คอ -1,0 เรนจ คอ 1,0

ตวอยาง ก าหนดให r = (x,y) R x R y2 = x จงหาคา โดเมน และ เรนจ

วธท า น าความสมพนธดงกลาวเขยนเปนกราฟ y

y2 = x x Dr = x R x 0 Rr = R (เซตจ านวนจรง)

4. ฟงกชน (Function) คอ ความสมพนธอยางหนงโดยทคล าดบใด ๆ จะม สมาชกตวหนาซ ากนไมได เชน R1 = (1,2),(1,4) R1 ไมเปนฟงกชนเพราะสมาชกตวหนาซ ากน R2 = (1,3),(2,3) R2 เปนฟงกชน ตามนยาม R3 = (1,4),(2,3) R3 เปนฟงกชน ตามนยาม

5. การตรวจสอบความสมพนธใดเปนฟงกชนหรอไม 1. ลากเสนขนานกบแกน y ตดกราฟความสมพนธ ได 1 จดเปนฟงกชน

แตถาตดกราฟเกน 1 จด ไมเปนฟงกชน 2. ตรวจสอบใชหลกทวา ก าหนดให (a , b) r และ (a , c) r ดงภาพ

a b c

เราสามารถสรปไดวา b = c กแสดงวาความสมพนธเปนฟงกชน

ตวอยาง

จงตรวจสอบวา r = (x,y) R x R y2 = 4x + 1 เปนฟงกชนหรอไม วธท า

ใชวธท 2 จาก y2 = 4x + 1

ให (a,b) r จะได b2 = 4a + 1 -------(1)

ให (a,c) r จะได c2 = 4a + 1 --------(2)

จาก (1) และ (2) จะได b2 = c2

b = c เราไมสามารถสรปไดวา b = c แสดงวาความสมพนธนไมเปนฟงกชน 6. ฟงกชนจาก A ไป B ถาก าหนดให f เปนฟงกชนจาก A ไป B มเงอนไข Df = A 7. ฟงกชน 1 - 1 ( One - to - one function ) เปนฟงกชนแบบ 1 - 1 กตอเมอ สมาชกในเรนจแตละตวมความสมพนธ

กบสมาชกในโดเมนเพยงตวเดยวเทานน

f

การตรวจสอบวาเปนฟงกชน แบบ 1-1 หรอไม โดย 1. ลากเสนขนานกบแนวแกน x ตดกราฟฟงกชน 1 จด เปนฟงกชน 1-1

ถาตดกราฟฟงกชนมากกวา 1 จด ไมเปนฟงกชน 1-1 2. ตรวจสอบใชหลกทวา ก าหนดให (a , c) f และ (b , c) f ดงภาพ

a b c

เราสามารถสรปไดวา a = b กแสดงวาความสมพนธเปนฟงกชนแบบ1-1 8. ฟงกชนไปทวถง(onto function)

ถา f เปนฟงกชนจาก A ไป B จะเรยก f วาเปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B กตอเมอ Rf = B

9. พชคณตของฟงกชน คอ การน าฟงกชนมา บวก ลบ คณ และหารกน 10. อนเวอรสของฟงกชน (f-1)

ถา r เปนความสมพนธจาก A ไป B อนเวอรสของ r เขยนแทนดวย r-1 กจะเปนความสมพนธจาก B ไป A

r = (x,y) xA, yB r-1 = (y,x) (x,y)r

การหาอนเวอรสฟงกชน(f-1) (1) ทใดม x แทนดวย y และทใดม y แทนดวย x (2) พยายามท าใหอยในรป y = f(x) (3) y ตวนคอ f-1 นนเอง กรณเขยนเปนรปคอนดบ การหาอนเวอรสฟงกชน(f-1) ท าไดโดย ถา f = (a,1),(b,2),(c,3) ดงนน f-1 = (1,a),(2,b),(3,c)

12

11

2

1

xxf

11.ฟงกชนคอมโพสท(composite function) เปนการกระท าตงแตฟงกชน 2 ฟงกชนขนไป โดยมลกษณะเหมอนกบการน าฟงกชนนนมาเชอมกน

ให f เปนฟงกชนจาก A ไป B ให g เปนฟงกชนจาก B ไป C เราสามารถสรางฟงกชนจาก A ไป C ไดโดยเขยนแทนดวย gof(x) = gf(x) จะสราง gof(x) ไดกตอเมอ เรนจของ f ตองเปนสบเซตของโดเมน g A B C x f y g z gof ทดสอบความเขาใจ ขอ 1. จงบอกโดเมน และเรนจของความสมพนธ R ตอไปน

1.1) R1 = (-3,9),(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1) 1.2) R2 = (X,Y) Y = 2X 1.3) R3 = (X,Y) Y = X2 1.4) R4 = (X,Y) Y2 = X 1.5) R5 = (X,Y) X2 + Y2 = 1

ขอ 2. จงบอกความสมพนธในขอ 1 วาขอใดเปนความสมพนธแบบฟงกชน ขอ 3. ก าหนดให จะไดวา f-1 (2) มคาเทากบ 1. 6 2. 4 3. 2 4. ไมมค าตอบ เฉลย ขอ 1. โดเมนขอ R1 = -3,-2,-1,0,1เรนจ R1 = 9,4,1,0,1 โดเมนขอ R2 = X X R เรนจ R2 = Y Y R โดเมนขอ R3 = X X R เรนจ R3 = Y Y เปนจ านวนจรงบวก

โดเมนขอ R4 = X X เปนจ านวนจรงบวก เรนจ R4 = Y Y เปน จ านวนจรง

โดเมนขอ R5 = X X R และ X2 < 1 เรนจ R5 = Y Y R และ Y2 < 1

ขอ 2. R1 , R2 , R2 เปนฟงกชน ขอ 3. ตอบ 2

ความสมพนธและฟงกชน 1. ผลคณคารทเชยน ถา A และ B เปนเซต 2 เซต ผลคณคารทเชยนของ A และ B เขยนแทนดวย

AB = {(x,y)xA และ y B}

จากความหมายขางตน AB คอเซตชนดหนง โดยสมาชกในเซตเปนคอนดบ ซงสมาชกตวหนา ของคอนดบเปนสมาชกของ A สวนสมาชกตวหลงของคอนดบเปนสมาชกของ B ตวอยางท 1 ก าหนดให A = {1 , 2 ,3 } , B = { a , b} , C = {7}

วธท า AB = {(1 , a) , (2 ,b),(2 , a ) , (2 , b),(3 , a ) , ( 3 , b)}

AC = {(1 , 7) ,( 2 , 7 ), (3 , 7)}

BC = {((a ,7) ,(b ,7)}

สมบตทส าคญ 1. ถา A มจ านวนสมาชก m ตว และ B มจ านวนสมาชก n ตว แลว AB จะมจ านวน

สมาชก mn ตว

2. AB = กตอเมอ A = หรอ B =

3. ถา AB = AC และ A แลว B = C

4. A(BC) = (AB)( AC)

5. A(BC) = (AB) ( AC)

6. A(B - C) = (AB) - ( AC) 2. ความสมพนธ( Relation) ให A และ B เปนเซต 2 เซต เรยก r เปนความสมพนธจาก A ไป B

เมอ r AB ตวอยางท 1 ก าหนดให A = {1 , 2 , 3} , B = {2 , 3 ,4}

วธท า AB = {(1 ,2) ,(1 ,3) , (1 , 4) ,(2 , 2) , (2 , 3) , (2 , 4) ,(3 , 2 ) , (3 , 3) , (3 , 4)} r1 = {(2 , 2) , (3 , 3)} จะพบวา r1 เปนความสมพนธจาก A ไป B โดยมเงอนไข “ในแตละคอนดบ สมาชกตวหนาจะมคาเทากบสมาชกตวหลง” r2 = {(1 ,2) , (2 , 3), ( 3 , 4)}

จะพบวา r1 เปนความสมพนธจาก A ไป B โดยมเงอนไข “ในแตละคอนดบ สมาชกตวหนามคานอยกวาสมาชกตวหลง”

3. โดเมนและเรนจของความสมพนธ ถา r เปนความสมพนธ โดเมนของ r คอ เซตของสมาชกตวหนาของทกคอนดบทอยใน r เรนจของ r คอ เซตของสมาชกตวหลงของทกคอนดบทอยใน r เรานยมใชสญลกษณ Dr แทน โดเมนของ r และ Rr แทน เรนจของ r นนคอ

Dr = { x(x , y) r }

Rr = {y (x , y) r } ตวอยางท 3 ถา r = {(a ,1),(b , 2),(c , 3)} วธท า Dr = { a , b , c } Rr = {1 , 2 , 3 } 4. การหาโดเมนและเรนจของความสมพนธจากกราฟ

ตวอยาง ให r = {(x , y ) R R 194

22

yx } จงหาโดเมนและเรนจ

จดบนกราฟจะครอบคลมคา x ตงแต -2 ถง 2 ดงนน Dr = [-2 , 2] จดบนกราฟจะครอบคลมคา y ตงแต -3 ถง 3 ดงนน Rr = [-3 , 3] Ans.

ตวอยางท 2 ให r = {(x ,y)RR1

23

x

xy } จงหาโดเมนของ r และ เรนจ Rr

วธท า จากความสมพนธ 1

23

x

xy จะพบวาทก ๆ คาทท าให x ทเปนจ านวนจรง

ยกเวน x = 1 เราสามารถหาคา y ทเปนจ านวนจรง และสอดคลองกบสมการ

Dr = { xxR, x1} = R – {1}

จากความสมพนธ 1

23

x

xy จะพบวา

yx –y = 3x – 2 yx –3x = y –2 x(y-3 ) = y – 2

x = 3

2

y

y

Rr = { yy R, y 3} = R – {3} Ans. 5. ฟงกชน(function) ถา f เปนความสมพนธ จะเรยก f วาเปนฟงกชน เมอแตละสมาชกในโดเมน(สมาชกตวหนาของคอนดบ)จะจบคหรอมความสมพนธกบสมาชกในเรนจ(สมาชกตวหลงของคอนดบ)ไดเพยงสมาชกเดยว

(2,0) (-2,0)

(0 ,3)

(0 , -3)

Rr

Dr

รปท 1 และรปท 2 เปนลกษณะการจบคทท าใหความสมพนธเปนฟงกชน รปท 3 เปนลกษณะการจบคทท าใหความสมพนธไมเปนฟงกชน

การตรวจสอบวาความสมพนธใดเปนฟงกชนหรอไม 1. สามารถเขยนกราฟของความสมพนธนนได โดยใชวธตรวจสอบโดยการลากเสน

ขนานกบแกน Y ตดกราฟของความสมพนธนน และถามเสนทขนานกบแกน Y เสนใดเสนหนง ตดเกน 1 จด กแสดงวาความสมพนธนนไมเปนฟงกชน

2. ใชวธการคาดคะเน กลาวคอใชพจารณาจากตวแปร y วาอยในรปก าลงทเปนจ านวนเตมคหรออยในรปคาสมบรณหรอไม ถาอยในลกษณะดงกลาว ความสมพนธนนนาจะไมเปนฟงกชน เชน

y2 = x ไมเปนฟงกชน เพราะวา ถา x = 1 จะได y = 1, -1

y = x ไมเปนฟงกชน เพราะวา ถา x = 2 จะได y = 2, -2 หมายเหต การใชวธนคอนขางอนตราย ดงนนนกเรยนตองพจารณาใหรอบคอบโดยยดหลกการจบคระหวางสามชกตวหนากบสมาชกตวหลง

3. ตรวจสอบโดยใชหลกทวา

ให ( a, b ) r และ ( a, c) r ดงภาพ ถาสามารถสรปไดวา b = c กแสดงวาความสมพนธเปนฟงกชน

วธการนเปนวธทแนนอน โดยเฉพาะกรณทเราไมสามารถเขยนกราฟได นกเรยนควรจะฝกท าโดยใชวธนมาก ๆ

ตวอยางท 1 จงตรวจสอบวา r = {(x,y) R R y2 = 4x +1 }เปนฟงกชนหรอไม วธท า ใชวธท 3 จาก y2 = 4x + 1

ให (a , b) r จะได b2 = 4a + 1 ….. (1)

ให (a , c) r จะได c2 = 4a + 1 ….. (2) จาก (1) และ (2) จะได b2 = c2

1 23

a b c d

A B

f

รปท 1

A B

1 2 3

x y

f

รปท 2

1 2 3

a b c d

รปท 3

b a c c

b = c ดงนนเราไมสามารถสรปไดวา b = c แสดงวาความสมพนธนไมเปนฟงกชน

ตวอยางท 2 จงตรวจสอบวา r = {(x,y) R R y = 1x } เปนฟงกชนหรอไม วธท า ใชวธท 3 จาก y = 1x

ให (a, b) r จะได b = 1a …..(1)

ให (a, c) r จะได c = 1a …..(2) จาก (1) และ (2) จะได b = c

ความสมพนธดงกลาวเปนฟงกชน หมายเหต ถาความสมพนธใดเปนฟงกชน เรานยมเขยนเงอนไขของฟงกชน ดงกลาว ในรปของ y = f(x) = ….. 6. ความหมายของค าวา ฟงกชน จาก A ไป B ถาก าหนดให f เปนฟงกชนจาก Aไป B

เรานยมใชสญลกษณ f:A B แทนความหมายดงกลาว และมเงอนไขวา Df = A นนคอ ถาเรากลาววา f เปนฟงกชน กไมตองมเงอนไขเพมเตม จากลกษณะเกยวกบการเปนฟงกชนแตถาเรากลาววา f เปนฟงกชน จาก A ไป B เราตองมเงอนไขเพมเตมขนมาอกขอหนง คอ Df = A

ในกรณท f เปนฟงกชน และ (x, y) f เรานยมเขยน y = f (x) ตวอยางท 1 ให A = {1,2,3,4} B = {3,6,7,8}

1. ถา f1 = { (1,3) , (2,6) , (3,7) , (4,8) } จะพบวา f1 เปนฟงกชน และ Domain ของ f 1 = { 1,2,3,4, } = A

f1เปนฟงกชนจากA ไป B 2. ถา f2 = { (1,6) , (2,7) , (3,8) }

จะพบวา f2 เปนฟงกชน และ Domain f2 = { 1,2,3 } A เราจะเรยกวา f2 เปนฟงกชนเฉย ๆ แตถาจะเรยกวาเปนฟงกชนจากไหนไปไหน ตองเรยกวา f2 เปนฟงกชนจาก Domain f2 ไป B

7. ฟงกชนแบบ 1 – 1 (One – to – one function ) ฟงกชน f จะเรยกวา ฟงกชนแบบ 1-1 กตอเมอสมาชกในเรนจแตละตวมความสมพนธ กบสมาชกในโดเมนเพยงตวเดยวเทานน หรอกลาวอกนยหนงไดวา ไมมสมาชกในโดเมน 2 สมาชก หรอมากกวาไปมความสมพนธกบสมาชกในเรนจสมาชกเดยวกน และเพอความเขาใจ ขอใหนกเรยนดแผนภาพตอไปน ถา f เปนฟงกชนซงมความสมพนธดงแผนภาพตอไปน

1 2 3

x y z

f1 A B

m o n

x y

f2

A B

เราเรยก f1 วา เปนฟงกชนแบบ 1-1 สวน f2 เรยกวา เปนฟงกชนไมใชแบบ 1-1 หรออาจจะเรยกอกอยางหนงวาเปนฟงกชนแบบ many-to-one (many-1) 8. การตรวจสอบวา f เปนฟงกชนแบบ 1 – 1 หรอไม ลกษณะการตรวจสอบจะคลายคลงกบการตรวจสอบวาความสมพนธเปนฟงกชนหรอไม แตกลบกน

1. ถาเราสามารถเขยนกราฟของฟงกชนนนได เราจะใชวธการตรวจสอบโดยการลากเสนขนานกบแกน X ตดกบกราฟของฟงกชนนน และถามเสนทขนานกบแกน X เสนใดเสนหนงตดกบกราฟเกน 1 จด กแสดงวาฟงกชนนนเปนฟงกชน ไมใชแบบ 1 – 1

2. ใชวธการคาดคะเน กลาวคอ ใชพจารณาจากตวแปร X วาอยในรปก าลงทเปนจ านวนเตมคหรออยในรปคาสมบรณหรอไม ถาอยในลกษณะดงกลาว ฟงกชนนนไมควรเปนฟงกชนแบบ 1-1 กลาวคอควรจะเปนฟงกชนแบบ many – to – one

3. ตรวจสอบโดยใชหลกทวา

ให (a,c) f และ (b,c) f ดงภาพ ถาสามารถสรปไดวา a = b กแสดงวาฟงกชนดงกลาวเปนฟงกชนแบบ 1-1

ตวอยางท 1 ก าหนดให f เปนฟงกชน โดยท f ={(x , y) R R 1X + 1Y =2} จงพจารณาวา f เปนฟงกชนแบบ 1-1 หรอไม วธท า ฟงกชน f ทโจทยก าหนดใหน ถาจะน ามาเขยนเปนกราฟกคงจะยากและเสยเวลา ดงนน ถาเราใชวธคาดคะเน คอพจารณาจากคา x ปรากฏวา ก าลงของ x ไมเปนจ านวนค และคา x ไมมคาสมบรณ ฟงกชนดงกลาวนาจะเปนฟงกชนแบบ 1-1

แตถาจะตรวจสอบใหแนชด กใชหลกการในขอท 3 คอให (a , c) f และ (b , c) f

จะไดวา 1a + 1c = 2 ….. (1) และ 1b + 1c = 2 …...(2)

(1)=(2) จะได 1a = 1b a + 1 = b + 1 a = b แสดงวาฟงกชนดงกลาวเปนฟงกชนแบบ 1-1

ตวอยางท 2 ก าหนดให f = {(x , y) R Ry = x2} จงตรวจสอบวาฟงกชน f เปน 1-1 หรอไม วธท า ถาใชวธคาดคะเน กใหพจารณาก าลงของตวแปร x จะพบวาก าลงของตวแปร x เปนก าลง 2

ดงนน f เปนฟงกชนไมใชแบบ 1-1

ถาใชวธการท 3 กให (a , c) f และ (b , c) f จะได c = a2 …….. (1) c = b2 …….. (2)

a2 = b2 และได a = b ซงไมาสามารถสรปไดวา a = b ดงนน f เปนฟงกชนไมใชแบบ 1-1

9. ชนดฟงกชน ถา f เปนฟงกชนจาก A ไป B ลกษณะของฟงกชน f สามารถแยกออกเปน 4 ชนดคอ พชคณตของฟงกชน คอการน าฟงกชนมาบวก ลบ คณ หาร กน ซงผลทไดมลกษณะดงน

1. f + g = {(x , y)y = f(x) + g(x)} โดยท Df+g = Df Dg

2. f - g = {(x , y)y = f(x) - g(x)} โดยท Df-g = Df Dg

3. f . g = {(x , y)y = f(x).g(x)} โดยท Dfg = Df Dg

4. g

f = {(x , y)y = )(

)(

xg

xf } โดยท D ของ g

f = Df Dg-{xg(x) = 0}

m o n

x y

F3

A B

1 2 3

x y z

f1 A B

1 2 3 4

a v c

f2

abc

x y z

f4

2. f1 เปนฟงกชนจาก A ไปไมทงถง B แบบ 1 -1

f1 :A o

B

int

11

1. f1 เปนฟงกชนจาก A ไปทงถง B แบบ 1 -1

f1 :A onto

B 11

3. f3 เปนฟงกชนจาก A ไปทงถง B แบบ many-to-one

f3 : A onto

Bmany

1

4. F4 เปนฟงกชนจาก A ไปทงถง B แบบ many-to-one

f4 : A o

Bmany

int

1

10. อนเวอรสของฟงกชน ถา r เปนความสมพนธจาก A ไป B อนเวอรส ของ r ใชสญลกษณ r-1 จะเปน

ความสมพนธจาก B ไป A

r-1 = {(y ,x) (x , y) r} ตวอยาง A = {1 , 2 , 3 , 4} B = {a , b ,c , d} r = {(1 ,a) , (2 , c) ,(3 ,d)} r เปนฟงกชนจาก A ไป r-1 = {(a , 1),(c , 2),(d ,3)}

11. หลกการหาอนเวอรสของความสมพนธ r = {(x , y) AB y = 2x2 + 1}

r-1 = {(x , y) BA y = 2x2 + 1} หรอ

r-1 = {(x , y) BA x = 2y2 + 1}

ตวอยางท 1 ก าหนดให r = {(x , y) RR y = 12

13

x

x } จงหา r-1

วธท า เงอนไขของความสมพนธ r y = 12

13

x

x

*** x = 12

13

y

y

x(2y + 1) = 3y+1 2xy + 2x = 3y+1 3xy - 3y = 1 – 2x y(3x – 3) = 1 – 2x

y =33

21

x

x

r-1 = {(x ,y) RR y =33

21

x

x Ans.

1 2 3 4

ab c d

r a b c d

1 2 3 4

r-1

A B B A

*** สลบท ระหวางสมาชกตวหนา และสมาชกตวหลงกลาวคอเปลยนจาก

(x , y) เปน (y , x) และ AB เปน BA

12. ฟงกชนคอมโพสต(Composit Function) ถา f และ g เปนฟงกชน ซงมลกษณะการจบคระหวางสมาชกตวหนากบสมาชกตวหลง

A B C

1 2 4

3 6 5

0 2 8

f g