เมทริ กซื้เบ น องต12 I.นิยามทั่ (General Definition)...

2 เมทริกซเบื้องตน

เมทริกซ เปนพื้นฐานทางคณิตศาสตรที่เขามามีบทบาทอยางมากในการปรับปรุงพันธุ

สัตว เนื่องจากสามารถใชในการอธิบายอิทธิพลของปจจัยตางๆที่มีตอลักษณะการผลิตในรูปตัว

แบบเชิงเสน การที่เมทริกซสามารถเชื่อมโยงกับระบบสมการเชิงเสนได ทําใหการคนหาคําตอบ

ของสมการหรือการประมาณคาของอิทธิพลตางๆ รวมถึงคาการผสมพันธุหรือคาทางพันธุกรรม

อื่นๆทําไดอยางมีประสิทธิภาพขึ้น

เนื่องจากเมทริกซที่นํามาประยุกตในงานปรับปรุงพันธุสัตวนั้น เกี่ยวของทั้งในสวนของ

พีชคณิตเชิงเสน (linear algebra) และสวนของทฤษฎีการประมาณคาทางสถิติดวยโมเดลเชิง

เสน (linear model estimation) จึงมีความจําเปนที่ตองทําความเขาใจเนื้อหาของเมทริกซ

พอสมควรกอนที่จะเขาสูบทที่เกี่ยวของกับการประเมินพันธุที่แทจริงตอไป

เนื้อหาสังเขป นิยามทั่วไปของเมทริกซ : : การจัดการคํานวณและการหาคาของเมทริกซสวนกลับ : : การแบงสวนเมทริกซ : : rank และ trace ของเมทริกซ : :

eigenvalue และ eigenvector : : เมทริกซ idempotent : : quadratic form ของเมทริกซ : : positive definite : : generalized inverse : :

differentiation และ expectation ของเมทริกซ : : ระบบสมการเชิงเสน : : การประมาณได

12

I. นิยามทั่วไป (General Definition)

Matrix (เมทริกซ) คือ อะเรย (array) ของตัวเลข หรือการจัดตัวเลขใหอยูในรูปแบบ

ตารางที่มีขนาด nm× เมื่อ m เปนจํานวนแถวและ n เปนจํานวนคอลัมน ถา nm ≠

เรียกวา rectangular matrix ถา nm = เรียกวา square matrix (เมทริกซจัตุรัส)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

121110987654321

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

987654321

3x4 rectangular matrix 3x3 square matrix

คาตัวเลขแตละตัวในเมทริกซเรียกวา element ซึ่งในการเรียกชื่อแตละ element จะ

เรียกตามตําแหนงของแถวและคอลัมนที่ปรากฏ เชน 12a หมายถึง element ที่

ตําแหนงแถวที่ 1 คอลัมนที่ 2 เปนตน

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

34333231

24232221

14131211

121110987654321

aaaaaaaaaaaa

A

Vector (เวคเตอร) คือ อะเรยของตัวเลขที่มีขนาดเพียง 1 คอลัมนเรียกวา column

vector ซึ่งมีขนาด 1×m เมื่อ m เปนจํานวนแถว หรืออะเรยของตัวเลขที่มีขนาดเพียง

1 แถวเรียกวา row vector ซึ่งมีขนาด n×1 เมื่อ n เปนจํานวนคอลัมน เวคเตอรที่

ประกอบดวยคาศูนยทุกตัวเรียกวา null vector หรือ zero vector นิยมเขียนแทนดวย

~0 , เวคเตอรที่ประกอบดวยคา 1 ทุกตัวเรียกวา unit vector นิยมเขียนแทนดวย

~1 ,

เวคเตอรที่ประกอบดวยคา 1 หรือ –1 เทานั้นเรียกวา sign vector และเวคเตอรที่

ประกอบดวยคา 0 หรือ 1 เทานั้นเรียกวา zero-one vector

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

000

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

111

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

1-11-

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

110

zero vector unit vector sign vector zero-one vector

Diagonal matrix (เมทริกซทะแยง) หมายถึงเมทริกซจัตุรัสที่มีคาของตัวเลขใดๆ ในแนว

ทะแยง สวนนอกแนวทะแยง (off-diagonal) จะมีคาเปน 0, ถาคาตัวเลขในแนวทะแยง

เปนคาเดียวกันทั้งหมดแตไมใช 0 หรือ 1 เรียกวา scalar matrix

Rectangular matrix Square matrix

Column vector Row vector Null or zero vector Unit vector Sign vector

Diagonal matrix Scalar matrix

13

ในกรณีที่คาตัวเลขในแนวทะแยงเปน 1 ทั้งหมดเรียกวา identity matrix, หากคาตัวเลข

ในแนวทะแยงเปนเพียง 1 หรือ –1 เรียกวา sign matrix

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

300020001

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

300030003

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

100010001

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

100010001

diagonal matrix scalar matrix identity matrix sign matrix

Symmetric matrix (เมทริกซสมมาตร) หมายถึงเมทริกซที่มีคุณสมบัติ AA ′= เมื่อ A

เปนมตริกซจัตุรัสและ A′ เปน transpose matrix (อาน transpose matrix ในหัวขอ

ถัดไป) กลาวคือ A จะสมมาตรเมื่อ element jiij aa = โดยเมทริกซจัตุรัสที่มีคาตัวเลข

เหนือแนวทะแยง (above diagonal) เปนศูนยเรียกวา lower triangular matrix สวนเมท

ริกซจัตุรัสที่มีคาตัวเลขใตแนวทะแยง (below diagonal) เปนศูนยเรียกวา upper

triangular matrix

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

653542321

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

653042001

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

600540321

symmetric matrix lower triangular matrix upper triangular matrix

II. การจัดการคํานวณของเมทริกซ (Matrix Operations)

การบวก (addition) และการลบ (substraction) เมทริกซ สามารถทําไดก็ตอเมื่อเมทริกซ

เหลานั้นมีขนาดเทากัน ในขณะที่การคูณ (matrix multiplication) จะทําไดก็ตอเมื่อ

จํานวนคอลัมนของเมทริกซตัวตั้งมีคาเทากับจํานวนแถวของเมทริกซตัวคูณ

กําหนดให

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

542321

,8765

,4321

ZYX

ดังนั้น

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

=+121086

)84()73()62()51(

YX

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

=−4444

)84()73()62()51(

YX

Symmetric matrix Triangular matrix

Identity matrix Sign matrix

Matrix addition Matrix substraction Matrix multiplication

Example 2.1

14

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

=50432219

)8)(4()6)(3()7)(4()5)(3()8)(2()6)(1()7)(2()5)(1(

XY

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++++++

=29221113104

)5)(4()3)(3()4)(4()2)(3()2)(4()1)(3()5)(2()3)(1()4)(2()2)(1()2)(2()1)(1(

XZ

คุณสมบัติ

i) XYYX +=+ ii) YX XY ≠ iii) ZY)(X Z)(YX ++=++ iv) (XY)Z X(YZ)= v) XZXY Z)X(Y +=+ vi) YZXZ Y)Z(X +=+ vii) X0 X =+ viii) 00XX0 == ix) XIX XI ==

การ transpose เมทริกซหมายถึงการเปลี่ยนสลับตําแหนงของแตละ elements จาก

แถวที่ i และคอลัมนที่ j เปนแถวที่ j และคอลัมนที่ i

กําหนดให ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

654321

X , ดังนั้น ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=′

642531

X


i) Xc)(cX ′=′ เมื่อ c เปนคาคงที่

ii) YX)Y(X ′+′=′+ iii) X)X( =′′ iv) XY)(XY ′′=′ และ YX)(XY =′ ถาทั้ง X และ Y เปน symmetric matrix

Scalar product, inner product หรือ dot product หมายถึงการคูณเวคเตอรเขา

ดวยกันในลักษณะที่นําเวคเตอรตัวตั้งมา transpose แลวคูณดวยเวคเตอรเวคเตอรตัว

คูณ ซึ่งผลที่ไดจะเปนคาตัวเลขมิติเดียว ( scalar value)

Outer product หมายถึงการคูณเวคอเตอรเขาดวยกันในลักษณะที่ทําการ transpose

ที่เวคเตอรตัวคูณ ซึ่งผลที่ไดจะเปนเมทริกซ

Vector product หรือ cross product หมายถึงการคูณเวคเตอรเขาดวยกัน ในลักษณะ

ที่นําคาตัวเลขที่ตําแหนงเดียวกันภายในแตละเวคเตอรมาคูณกัน (element by

element) ผลที่ไดจะยังคงเปนเวคเตอร

Matrix transpose

Scalar product Inner product Dot product

Outer product

Vector product Cross product

15


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

521

a และ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

232

b , ดังนั้น

Inner product

[ ] 18)2)(5()3)(2()2)(1(232

521 =++=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=′=• baba

Outer product

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=′

101510464232

232521

ba

Vector product


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

521

a และ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

232

b , ดังนั้น ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

×××

=1062

253221

ba o

Direct product หรือ Kronecker product หมายถึงการคูณเมทริกซในลักษณะที่นําแต

ละ element ของเมทริกซตัวตั้งคูณเขากับทั้งเมทริกซของตัวคูณ

จาก

,aaaa

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211A ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

gggg

G


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⊗

GGGG

GA2221

1211

aaaa

หรือ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⊗

AAAA

AG2221

1211

gggg


,⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

142410201

A และ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2052010

G ,


Direct product Kronecker product

Example 2.2

Example 2.3

16

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⊗

2058020401020108040402080202050080402010002010002054020002010

GA

การคูณ scalar กับเมทริกซใดๆ จะมีคาเทากับนํา scalar หรือคาคงที่นั้นกับทุก

element ของเมทริกซนั้นๆ

กําหนดให ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

4132

A , ดังนั้น ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

12396

3A

การคูณ diagonal matrix กับเมทริกซใดๆเขาทางดานหนา (premultiply) จะมีผล

เทากับการนําแตละ element ในแนวทะแยงของ diagonal matrix เขากับแตละแถวของ

เมทริกซนั้น หากคูณเขาทางดานหลัง (postmultiply) จะมีผลเทากับนําแตละ element

ของแนวทะแยงของ diagonal matrix เขากับแตละคอลัมนของเมทริกซนั้นๆ


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

400030002

,4002

,822

1013FDA


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

31882026

8221013

2052010

DA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

32644036

400030002

8221013

AF

III. การหาเมทริกซสวนกลับหรือเมทริกซผกผัน (Matrix Inversion)

เนื่องจากในสวนของการจัดการเมทริกซนั้น ไมมีการคํานวณในเรื่องของการหาร

(division) จึงตองใชวิธีการคํานวนโดยการคูณกับเมทริกซที่เปนสวนกลับ ดังนั้นการ

คํานวณ BA÷ จึงมีความหมายเทากับ B

A 1× ซึ่งมีคาเทากับ 1−×BA

เมทริกซสวนกลับของ X แสดงดวยสัญลักษณ 1−X หมายถึงเมทริกซสมมาตรใดๆที่

มีคุณสมบัติ IXXXX == −− 11 และเมทริกซใดๆที่สามารถคํานวณเมทริกซสวน

กลับได จะเรียกเมทริกซนั้นวา invertable matrix หรือ non-singular matrix ในทางตรง

ขามหากไมสามารถคํานวณสวนกลับได จะเรียกเมทริกซนั้นวา non-invertable matrix

หรือ singular matrix

Multiplication with diagonal matrix

Singular/non-singular matrix

Multiplication with scalar

Example 2.4

17

การหาเมทริกซสวนกลับของเมทริกซทะแยงสามารถทําไดโดยคํานวณคาสวนกลับของ

คาที่อยูในแนวทะแยงนั้น


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

600030001

D , ดังนั้น ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−

6/10003/10001

1D

โดยทั่วไปแลว inverse ของเมทริกซสามารถคํานวณไดจาก

)int(Adjo AA

A •=− 11

เมื่อ: A = คา determinant ของเมทริกซ A ซึ่งตองไมเทากับ 0

)int(Adjo A = transpose ของเมทริกซ )(Cofactor A

)(Cofactor A = element product ของเมทริกซ )(Minor A กับ ji)( +−1

เมื่อ i และ j เปนคาตําแหนงของ element นั้นๆ

)(Minor A = คา determinant ของ submatrix จากการตัดแถวที่ i และ

คอลัมนที่ j

3.1 การหา inverse ของเมทริกซขนาด 2x2

i) คํานวณคา determinant ของเมทริกซ โดยนําผลคูณตัวเลขในแนวทะแยง

(diagonal) ลบดวยผลคูณตัวเลขนอกแนวทะแยง (off-diagonal)


⎤⎢⎣

⎡=

4321

A , ดังนั้น 2)3)(2()4)(1( −=−=−321321

diagonaloffdiagonal

A

ii) คํานวณ adjoint ของเมทริกซ A โดยการเปลี่ยนสลับ (swap) ตําแหนงของคาใน

แนวทะแยง และเปลี่ยนสัญลักษณ (sign) ของคาที่อยูนอกแนวทะแยง


⎤⎢⎣

⎡=

4321

A , ดังนั้น ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

1324

)int(Adjo A

iii) คํานวณคา inverse ของเมทริกซ จากสูตร )int(Adjo AA

A •=− 11

ดังนั้น ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

=−

212312

1324

211

//A

Inverse of diagonal matrix

Determinant of 2x2 matrix

Adjoint of 2x2 matrix

Example 2.5

18

3.2 การหา inverse ของเมทริกซขนาดใหญกวา 2x2


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

003432211

A

i) คํานวณ adjoint(A) จากการคํานวณคา minor(A) และ cofactor(A) ตามลําดับ

i.i) คํานวณ minor(A) โดยคํานวณแตละ element เปนคา determinant ของ

sub-matirx j,i −−A เมื่อ i และ j เปนแถวและคอลัมนที่ตัดออก

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−−−−−−

−−−−−−

−−−−−−

332313

322212

311111

)(

,,,

,,,

,,,

AAAAAAAAA

AMinor


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=1023609120

3211

4221

4321

0311

0321

0021

0332

0342

0043

)(Minor A

i.ii) คํานวณ cofactor(A) โดยคํานวณคา element product ของ sign matrix กับ

คา minor(A)

จาก

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+−+−+−+

=matrixSingn , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

=1023609120

)(Minor A

Note: สังเกตวาเครื่องหมายในแนวทะแยงจะเปนบวกเสมอ


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

1023609120

)(Cofactor A

i.iii) คํานวณ adjoint(A) โดยคํานวณ transpose ของ Cofactor(A)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

1390612200

)int(Adjo A

Minor of matrix

Cofactor of matrix

Adjoint of matrix

Example 2.6

19

ii) คํานวณคา determinant ของเมทริกซ โดยคํานวณคา scalar product ของ

แถวหรือคอลัมนใดๆ ของเมทริกซ Aกับ )(Cofactor A

สมมุติเลือกคํานวณจากคอลัมนที่ 1 ของ A กับคอลัมนที่ 1 ของ

)(Cofactor A ดังนั้น

6)2)(3()0)(2()0)(1(200

321

−=−++=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−•

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=A

iii) คํานวณ inverse ของเมทริกซ จากสูตร )int(Adjo AA

A •=− 11

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−=−

6/12/12/30123/100

1390612200

611A

คุณสมบัติ:

i) X)(X =−− 11 ii) 111 −−− = XY(XY) iii) )(X)X( ′=′ −− 11 iv) AA =′ v) BAAB .= ถาทั้ง A และ B เปนเมทริกซสมมาตร

IV. การแบงสวนเมทริกซ (Partitioned Matrix)

การจัดการเมทริกซ โดยการจัดแบงออกเปนเมทริกซยอยๆ เรียกวาการแบงสวน

(partition หรือ subdivide) เมทริกซ และเรียกเมทริกซยอยๆ นั้นวา sub-matrix ทั้งนี้

โดยมากเพื่อสะดวกในการจัดการอื่นๆของเมทริกซ


⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

2012111013100101

A

Determinant from cofactor matrix

Example 2.7

20

และกําหนดใหตองการแบงเมทริกซออกเปน 6 สวนใหอยูในรูปของ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

2012111013100101

A


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

232221

131211

AAAAAA

A

ซึ่งจะไดวา

,10

,31

,1001

131211 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= AAA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=21

,01

,1210

232221 AAA

การจัดการทางดานการคํานวณของ partioned matrix ใชวิธีการเชนเดียวกับการ

จัดการเมทริกซทั่วไป โดยถือเสมือนวาแตละ sub-matrix นั้นเปนคา element ของเมท

ริกซ


,111013100101

2221

1211⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

XXXX

X และ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

2221

1211

320010011112

YYYY

Y


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

=+411003111213

22222121

12121111

YXYXYXYX

YX

หากกําหนดให

,143012

2221

1211⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

XXXX

X และ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

21

11

134201

YY

Y


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++

=151444

21221121

21121111

YXYXYXYX

XY

Operation of partitioned matrix

21

หากกําหนดการแบงสวนใหมเปน

,143012

2221

1211⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

XXXX

X และ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

2221

1211

134201

YYYY

Y


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

=151444

2222122121221121

2212121121121111

YXYXYXYXYXYXYXYX

XY

ซึ่งยังคงไดคําตอบเชนเดิม

การหาเมทริกซสวนกลับของเมทริกซที่มีการแบงสวน (Inverse of partitioned matrix)

สามารถทําไดจากสูตรอยางงาย โดยกําหนดใหเมทริกซ M มีการแบงสวนดังนี้

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

DCBA

M

ซึ่งคาสวนกลับของเมทริกซ M สามารถคํานวณไดจาก

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−

WZYX

M 1

เมื่อ:

symmetricisifor MZBWAY

ZBDDW

CXDZ

C)BD(AX

′=

−=

−=

−=

−

−−

−

−−

1

11

1

11


⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

8004104032002214323212125

M


11 −−−= C)BD(AX

1

413221

8/10004/10002/1

432121

3225

−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

Inverse of partitioned matrix

Example 2.8

22

1

4/25338/13

3225

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1

4/13118/27

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

=282.0084.0084.0272.0

CXDZ 1−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

282.0084.0084.0272.0

413221

8/10004/10002/1

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=151.0008.0253.0073.0324.0052.0

ZY ′= 11 −− −= ZBDDW

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

8/10004/10002/1

413221

151.0008.0253.0073.0324.0052.0

8/10004/10002/1

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=048.0117.0155.0117.0097.0217.0155.0217.0202.0


⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−

−−−−−

=−

048.0117.0155.0151.0008.0117.0097.0217.0253.0073.0155.0217.0202.0324.0052.0151.0253.0324.0282.0084.0008.0073.0052.0084.0272.0

1M

V. เมทริกซออโธโกนอล (Orthogonal Matrix)

Orthogonal matrix หมายถึงเมทริกซที่มีคุณสมบัติ IAAAA =′=′ ซึ่งจะเห็นไดวา

A จะตองเปนเมทริกซ จัตุรัส เนื่องจาก AAAA ′=′ และจะเห็นวา 1AA −=′

เนื่องจาก IAA =′ ดังนั้นการหาคา inverse ของ orthogonal matrix จึงทําไดสะดวก

โดยเพียงแตทําการ transpose เมทริกซ

หากกําหนดใหเวคเตอร x และเวคเตอร y มีขนาดเทากัน เวคเตอรทั้งสองจะจัดวามี

ลักษณะ orthogonal ตอกันเมื่อ 0=′=′ xyyx

กําหนดให ,

21

21

21

21

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=A

Orthogonal matrix Orthogonal vectors

Example 2.9

23


IAA =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=′

1001

21

21

21

21

21

21

21

21

เนื่องจาก A′ มีคุณสมบัติเทากับ 1−A แสดงวา A เปน orthogonal matrix

กําหนดให ,

2236

,

4221

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= yx


[ ] 08466

2236

4221 =−−+=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=′yx

เนื่องจาก 0=′yx ดังนั้น x และ y มีลักษณะ orthogonal ตอกัน

Norm ของเวคเตอร x หมายถึงคา scalar ที่อยูในรูป

2/1

2)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=′= ∑

n

iixNorm xxx

กําหนดให [ ] ,4221 ′=′x ดังนั้น

5254221)( 2222 ==+++=′= xxxNorm

Normal vector หมายถึงเวคเตอร x ที่มีคุณสมบัติ 1=′xx ซึ่งพบวาเวคเตอรใดๆ

สามารถเปลี่ยนใหอยูในรูป normal vector หรือ ไดโดยนําเวคเตอรนั้นหารดวยคา norm

ของเวคเตอรนั้นๆ ดังนั้น

xx

xx

xz′

==)(Norm

จาก ,

4221

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=x ดังนั้น

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

5/45/25/25/1

4221

51

)(xxz

Norm

เวคเตอร z ถูกเรียกวาเปน normalized form ของเวคเตอร x โดย z จะมี

คุณสมบัติของการเปน normal vector กลาวคือ 1=′zz

Norm

Normal vector

Normalized form of vector

24

หากกําหนดใหเวคเตอร x และเวคเตอร y มีขนาดเทากัน เวคเตอรทั้งสองจะจัดวามี

ลักษณะ orthonormal ตอกันเมื่อมีคุณสมบัติ orthogonal และ normal ดังนั้นเวคเตอร

x และ y จะมีคุณสมบัติ orthonormal เมื่อ 0=′=′ xyyx และ 1=′=′ yyxx

VI. Rank และ Trace ของเมทริกซ

Rank ของเมตริซ หมายถึงจํานวนของคอลัมนหรือแถวที่อิสระตอกัน (linearly

independent) ดังนั้นเมทริกซ A จะมีลักษณะ full rank เมื่อทุกคอลัมนหรือแถวอิสระ

ตอกัน ในทางตรงกันขามหากมีคอลัมนหรือแถวใดเกิดขึ้นจากความสัมพันธอัน

เนื่องจากคอลัมนหรือแถวอื่นๆ (linearly dependent) เมทริกซนั้นจะมีลักษณะ not of

full rank


,⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

343422321

A และ ,⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

437033123

B

โดยนิยาม หากแบงเมทริกซออกเปนเวคเตอรของคอลัมนหรือแถวยอยๆ เรียก

n21 xxx ,...,, แลวสามารถหาคาคงที่ naaa ,...,, 21 ที่เปนสัมประสิทธิ์ตัวคูณของแต

ละเวคเตอรที่ทําใหไดผลรวมของเวคเตอรมีคาเปนเวคเตอรศูนย หรือกลาวไดวาหาก

สามารถหา naaa ,...,, 21 ที่ทําใหสมการ 0xxx n21 =+++ naaa ...21 เปนจริงได

แลว แสดงวาเมทริกซนั้นมีคุณสมบัติ linearly dependent สังเกตวาเมทริกซ A จะมี

ลักษณะ linearly independent และ full rank ในขณะที่เมทริกซ B จะมีลักษณะ not

of full rank เนื่องจากในเมทริกซ B นั้น คอลัมนที่ 1 เกิดจากการรวมกันของคอลัมนที่

2 กับ 3 แสดงไดจาก

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

000

401

)1(332

)1(733

)1(

การคํานวณคา rank จะคิดจากจํานวนคอลัมนหรือแถวของเมทริกซลบดวย

จํานวนคอลัมนที่ไมอิสระ ดังนั้น ,)(Rank 303 =−=A ในขณะที่

213 =−=)(Rank B

Orthonormal vectors

Full rank Not of full rank

Linearly dependent Linearly independent

25

Rank ของเมทริกซยังมีความหมายถึงขนาด (size) ที่ใหญที่สุดของ non-singular

submatrix ที่เปนไปไดของ A


i) ≤≤ )(rank X0 จํานวนคอลัมนหรือแถวของเมทริกซ

ii) )(rank)(rank)(Rank YXYX +≤+ iii) )(rank)(rank)(rank)(Rank XXXXXX ′==′=′ iv) หากกําหนดให X มีขนาด nn× , n)(Rank =X ไดก็ตอเมื่อ X มีลักษณะ

non-singular

v) ถา X เปน diagonal matrix, )(Rank X จะมีคาเทากับจํานวน diagonal

element ที่ไมเทากับ 0

Trace ของเมทริกซหมายถึงคาผลรวมของทุกคาที่อยูในแนวทะแยงของเมทริกซนั้น


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

123011102

A ,

ดังนั้น ∑ =−++== 2112 )(a)(tr iiA


i) )(tr)(tr)(tr BABA ±=± ii) )(tr)(tr AA =′ iii) )(trc)c(tr AA ⋅= เมื่อ c เปนคาคงที่

iv) )(tr)(tr BAAB = และ )(tr)(tr)(tr CABBCAABC ==

v) ∑=′=′ 2ija)(tr)(tr AAAA

VII. Eigenvalue และ Eigenvector

คา eigenvalue เปนคาที่ชวยบอกคุณลักษณะทั่วไปของเมทริกซ บางครั้งจึงนิยม

เรียกวาคา characteristic root โดยคํานวณจาก

xAx λ=

เมื่อ A เปนเมทริกซจัตุรัสใดๆ ที่สนใจ, λ เปนคา eigenvalue และ x เปน

eigenvector และเมื่อจัดสมการดังกลาวใหอยูในรูปงายขึ้น จะไดวา 0xAx =− λ

หรือ 0xIA =− )( λ หากกําหนดให x เปนเวคเตอรของคาใดๆ ที่ไมเทากับ 0 แลวจะ

เห็นวาคาการแกสมการหาคา eigenvalue จะทําไดก็ตอเมื่อ 0=− IA λ

Trace of matrix

Characteristic root Eigenvalue Eigenvector

26


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=4211

A

7.1 คา eigenvalue สามารถหาไดโดย

i) คํานวณ IA λ−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=−

λλ

λλ

λλ

4211

00

4211

1001

4211

IA

ii) คํานวณคา determinant ของ IA λ−

652141 2 +−=−−−−=− λλλλλ ))(())((IA

iii) เทียบคาใหเทากับศูนย แลวแกสมการหาคา λ

032

0652

=−−=+−

))(( λλλλ

ดังนั้น 32 21 == λλ ,

7.2 คา eigenvector สามารถหาไดโดยอาศัยสมการ xAx λ=

i) แทนคา λ ที่คํานวณได ตัวใดๆ ลงในสมการ สมมุติเลือก 2λ ดังนั้นรูปแบบ

หนึ่งของ eigenvector คํานวณไดจาก

xAx 3= ดังนั้น

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 2

1

2

1 34211

xx

xx

ii) ซึ่งเขียนในรูปสมการเชิงเสนไดเปน

221

121

3423

xxxxxx

=+−=+

iii) เมื่อแกสมการแลวพบวา 212 xx = ซึ่งแสดงใหเห็นวา eigenvector มีได

หลายรูปแบบ หากกําหนดให 51 =x แลวจะไดวา 102 =x ดังนั้นรูปแบบ

หนึ่งของ eigenvector ที่สัมพันธกับ eigenvalue 2λ ไดแก

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

105

x

Example 2.10

Example 2.11

27


i) )(tri A=∑λ คาผลรวมของ eigenvalue คือคา trace ของเมทริกซ

ii) A=∏ iλ คาผลคูณของ eigenvalue คือคา determinant ของ เมท

ริกซ

iii) ถาคา eigenvalues ทุกตัวมีคาเทากับศูนยแสดงวา A เปน non-singular

matrix

iv) คา eigenvalue ของ diagonal, lower triangular และ upper triangular ไดแก

คาที่อยูในแนวทะแยง

v) )(Rank A คํานวณไดจากจํานวน eigenvalue ที่มีคาไมเทากับ 0

vi) ถาทุกคาของ 0>iλ แสดงวาเมทริกซนั้นมีคุณสมบัติ positive definite, และถา

ทุกคาของ 0≥iλ แสดงวาเมทริกซนั้นมีคุณสมบัติ non-negative definite หรือ

positive semi-definite หากมีบางคาของ 0<iλ แสดงวามีคุณสมบัติ negative

definite

VIII. Idempotent Matrix

เมทริกซ idempotent หมายถึงเมทริกซสมมารตรใดๆ ที่มีคุณสมบัติ AA =2

หากกําหนดให XX)XX(H ′′= −1 , สังเกตวา H เปนเมทริกซ idempotent

พิสูจนโดย

H

XX)XX(

XX)XX(XX)XX(HHI

=

′′=

′′′′=

−

−−

1

1143421


i) คา eigenvalue ของเมทริกซ idempotent มีคาเปน 0 หรือ 1 เสมอ

ii) ถา A เปนเมทริกซ idempotent จะไดวา )(rank)(tr AA =

iii) ถา A เปนเมทริกซ idempotent จะไดวา AIAI −=− 2)( และจะเปน

เมทริกซ idempotent ดวย

เมทริกซที่มีคุณสมบัติ 0A =2 ถูกเรียกวาเมทริกซ nilpotent สวนเมทริกซที่มี

คุณสมบัติ IA =2 ถูกเรียกวาเมทริกซ unipotent

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

6/53/16/13/13/13/16/13/16/5

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−− 5211042

521 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡− I0XI

idempotent matrix nilpotent matrix unipotent matrix

Idempotent matrix Nilpotent matrix Unipotent matrix

Eigenvalue and trace Eigenvalue and determinant

28

IX. Quadratic Form ของเมทริกซและเมทริกซ Postive Definite

Quadratic form ของเวคเตอร y จะหมายถึงคา scalar ที่ถูกคํานวณจากรูป Qyy′ เมื่อ

Q เปนเมทริกซจัตุรัสใดๆที่กําหนด เชน ถาให IQ = , ดังนั้น

∑=′=′=′i

iy 2yyIyyQyy เปนตน

เมทริกซ A จะมีคุณสมบัติ positive definite เมื่อ quadratic form ของ A มีคา

มากกวาศูนย ( 0Ayy >′ ) และ A จะมีคุณสมบัติ non-negative definite หรือ semi-

positive definite เมื่อ quadratic form ของ A มีคามากกวาหรือเทากับศูนย

( 0Ayy ≥′ )


i) เมทริกซ positive definite จะมีลักษณะสมมาตร (symmetric)

ii) เมทริกซ positive definite จะมีคาในแนวทะแยง (main diagonal) เปนบวก

iii) ถา A เปน positive definite และมีขนาด 2x2 จะไดวา 2iijiij aaa >×

หากกําหนดให ZZDMP ′+= และทั้ง M และ ZZD ′ มีคุณสมบัติ positive

definite พบวาการหาเมทริกซสวนกลับของ P สามารถคํานวณไดจาก

111111

11

−−−−−−

−−

′+′−=

′+=

MZ)DZMZZ(MM

)ZZD(MP

X. Generalized Inverse

Generialized inverse หรือ g-inverse แทนดวยสัญลักษณ −A ซึ่งหมายถึงเมทริกซ

สมมาตรใดๆที่มีคุณสมบัติ AAAA =− ซึ่งนิยมใชในกรณีที่ A มีลักษณะ not of full

rank ซึ่งทําใหการหาเมทริกซสวนกลับแบบปกติ ( 1−A ) ไมสามารถทําได หาก

กําหนดให A เปนเมทริกซจัตุรัสใดๆ พบวา −A สามารถมีไดหลายคา (non-unique)

ในขณะที่ 1−A จะมีไดเพียงคาเดียว โดยทั่วไปแลว −A สามารถคํานวณไดหลายวิธี

วิธีหนึ่งที่นิยมมีขั้นตอนดังนี้

10.1 Generalized Inverse of Non-symmetric Matrix

i) คํานวณคา )(Arank แลวแบงเมทริกซออกเปน 4 สวน โดยให submatrix

11A มีลักษณะ full-rank ขนาด rr× เมื่อ r เปนจํานวน rank ของเมทริกซ

และแทนที่ 222112 A,A,A ดวยคา 0

Quadratic form

Positive definite Non-negative definite Semi-positive definite

Generalized inverse G-inverse

29


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−=

704522133421

A

เนื่องจาก )(Arank มีคาเทากับ 2 ดังนั้น 11A ที่ตองการคือขนาด 2x2

ทําการแบงสวนเมทริกซใหมีรูปแบบดังนี้

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

000000130021

11

2221

1211

000A

AAAA

A

ii) คํานวณ )( 111 ′−A

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−−

=′

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−−

=′−

7/17/27/37/1

1231

71

1321

71)( 1

11A

iii) จากนั้นแทนที่ลงใน 11A แลวทําการ transpose whole matrix อีกครั้ง ดังนั้น

g-inverse จะมีคาเปน

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=−

0000007/17/3007/27/1

A

10.2 Generalized Inverse of Symmetric Matrix

i) คํานวณคา )(Arank แลวแบงเมทริกซออกเปน 4 สวน โดยให submatrix

11A มีลักษณะ full-rank ขนาด rr× เมื่อ r เปนจํานวน rank ของเมทริกซ

และแทนที่ 222112 A,A,A ดวยคา 0


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

2286832622

A

เนื่องจาก )(Arank มีคาเทากับ 2 ดังนั้น 11A ที่ตองการคือขนาด 2x2

ทําการแบงสวนเมทริกซใหมีรูปแบบดังนี้

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

000032022

11

2221

1211

000A

AAAA

A

ii) คํานวณ 111−A

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=−

1112/3

2223

211

11A

iii) จากนั้นแทนที่ลงใน 11A ซึ่งจะไดวา g-inverse จะมีคาเปน

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=−

000011012/3

A

Example 2.12

Example 2.13

30


i) IAAAA ≠≠ −− ii) AA− และ −AA มีลักษณะ idempotent

iii) )(rank)(rank)(rank −− == AAAAA และ )(rank)(rank −≤ AA

iv) 1−− = AA ไดในกรณีเดียวเทานั้นคือ A เปน non-singular matrix (full rank

matrix)

v) G-inverse จะมีคุณสมบัติ reflexive เมื่อ −−− = AAAA บางครั้งแทนดวย

สัญลักษณ *A

vi) G-inverse ที่สรางจากรูปแบบที่แสดงดานลาง จะมีคุณสมบัติ reflexive

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

000W

A , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

00W0

A , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

00W0

A และ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0000W0000

A

เมื่อ W เปน non-singular matrix ที่มีขนาด rr× เมื่อ r เปนจํานวน

rank ของเมทริกซ A

vii) ถาให XXA ′= และ G เปน generalized inverse ของ A จะไดวา

a) GG ≠′ (ยกเวน G เปน symmetric matrix) แต G ′ ยังคงเปน g-

inverse ของ A กลาวคือ AAGAAGA ==′

b) XXXGX ′=′′ และ XXXXG =′

c) XXG ′ มีลักษณะสมมาตร

Moore-Penrose generalized inverse หรือ pseudo-inverse หรือ p-inverse นิยม

เขียนดวยสัญลักษณ +A หมายถึง generalize inverse ที่มีคุณสมบัติครบ 4 ขอ

ดานลาง

i) AAAA =− ii) −−− = AAAA iii) AAAA −− =′)( iv) −− =′ AAAA )(

จากคุณสมบัติ 4 ชอดังกลาว อาจกลาวไดวา generalized inverse แบงไดเปน 4

ประเภท ไดแก เมทริกซสวนกลับที่มีคุณสมบัติดังตาราง

G-Inverse คุณสมบัติ

Generalized inverse i)

Generalized inverse Reflexive i), ii)

Nomalized generalized inverse i), ii), iii)

Penrose generalized inverse i), ii), iii), iv)

Reflexive property

Moore-Penrose inverse Pseudo-inverse P-inverse

31

XI. Differentiation ของเมทริกซ

กําหนดให a เปนเวคเตอร และ A เปนเมทริกซจัตุรัสของคาจํานวนจริงใดๆ และ

กําหนดให x เปนเวคเตอรของตัวแปรเชิงสุม (random vector) การคํานวณคาอนุพันธ

ตามตัวแปร x (derivative with respect to x ) ที่สําคัญมีดังนี้

i) axax

=′∂∂ )( และ aax

x′=′

∂∂ )(

ii) xxxx

2=′∂∂ )(

iii) xAAAxxx

)( ′+=′∂∂ และ AxAxx

x2=′

∂∂ ในกรณีที่ A เปนเมทริกซ

สมมาตร


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−=

543211202

A , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3

2

1

xxx

x ,


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++−++

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡×⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−=′+=′

∂∂

321

321

321

3

2

1

3

2

1

10252254

1025221514

522410312

543211202

)(

xxxxxxxxx

xxx

xxx

xAAAxxx

XII. คาคาดคะเนของเมทริกซ (Matrix Expectation)

กําหนดให a , b เปนเวคเตอร และ A , B เปนเมทริกซจัตุรัสของคาจํานวนจริงใดๆ

และกําหนดให x , y เปนเวคเตอรของตัวแปรเชิงสุม (random vector) คาคาดคะเน

(expectation) คํานวณไดดังนี้

i) )(E)(E xaxa ′=′

ii) )(E)(E xAAx =

iii) { } )(E)(E)(Vartr)(E xAxxAAxx ′+=′

iv) )(E)(E)(E)(Var ′−′= xxxxx

v) axaxa )(Var)(Var ′=′

Derivative of random vector

Expectation and variance of vector and matrix

Example 2.14

32

vi) AxAAx ′= )(Var)(Var

vii) )(),( xxx VarCov =

viii) )(E)(E)(E),(Cov ′−′= yxyxyx

ix) bxaxbxa )(Var),(Cov ′=′′

x) byxaybxa ),(Cov),(Cov ′=′′

xi) B'yx,AByAx )(Cov),(Cov =

xii) B'xABxAx )(Var),(Cov =

xiii) B'yx,AByAx )(Cov),(Cov =

xiv) )()(),( CzBy,CzAx,CzByAx CovCovCov +=+

CzyBCzxA ′+′= ),(),( CovCov


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

4132

A , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

5312

B , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

21

a , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1

xx

x , และ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡==

2010

2

1

μμ

μx )(E , และ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==

2114

2

2

212

211

xxx

xxx)(Varσσ

σσVx


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

==

9080

2010

4132

AμxAAx )(E)(E

{ }

[ ]

2620260020

2010

4132

20102114

4132

=+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

′+=

′+=′

)(tr

)(tr)(E)(E)(Vartr)(E

AμμAVxAxxAAxx

[ ]

2621

2114

21

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

′=

′=′

Vaaaxaxa )(Var)(Var

Example 2.15

33

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

==

69257330

5132

2114

4132

AVB'B'xABxAx )(Var),(Cov

XIII. ระบบสมการเชิงเสน (Linear System of Equation)

ระบบสมการเชิงเสน (Linear system of equation) ไดแกสมการที่อยูในรูป

yAx =

เมื่อ y เปนเวคเตอรขนาด 1mx , A เปนเมทริกซขนาด mxm และ x เปนเวคเตอร

ของตัวแปรสุมขนาด 1mx

ระบบสมการจะมีความแนบนัย (consistent) เมื่อความสัมพันธเชิงเสน (linear

relationship) ของแตละแถวในสวน LHS (left hand side) สอดคลองกับคาของ RHS

(right hand side)

กําหนดใหระบบสมการ yAx = เปนดังนี้

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡247

6321

2

1

xx

ซึ่งมีความหมายเชนเดียวกับ

)(2163

)(72

21

21

iixxixx

−−=+−−=+

จะเห็นไดถาความสัมพันธของสมการ (i) เปนจริงแลว สมการที่ (ii) จะเปนไปไมได

เนื่องจากเมื่อคูณ 3 ใหกับ LHS แลว คาของ RHS ควรจะถูกคูณดวย 3 เชนกัน ดังนั้น

จึงกลาววาระบบสมการนี้ in-consistent

ระบบสมการที่มี consistency จะสามารถหาคาคําตอบ (solutions) ของ x ไดเสมอ

และสังเกตวาหาก A เปน non-singular matrix คําตอบของสมการจะมีเพียงคําตอบ

เดียว โดยหาไดจาก

yAx 1−= ในกรณีที่ X เปน singular matrix คําตอบของสมการจะมีไดหลายคําตอบ

(เนื่องจาก generalized inverse มีไดหลายแบบ) โดยหาไดจาก yAx −=

Linear system of equation

Consistency

34

ระบบสมการจะมีความสอดคลอง (compatible) เมื่อสามารถหาเวคเตอร k ที่ทําให

0=′yk เมื่อ k เปนเวคเตอร non-zero ใดๆที่มีคุณสมบัติ 0Ak ′=′

ระบบสมการจะมีลักษณะ consistent ไดก็ตอเมื่อระบบสมการนั้นมีลักษณะ

compatible เทานั้น

กําหนดใหระบบสมการ yAx = ซึ่งมีลักษณะ consistent เปนดังนี้

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡217

6321

2

1

xx

ตัวอยางหนึ่งของ k ′ ไดแก [ ]13− ซึ่งจะไดวา

[ ] 0217

13 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=′yk

และ

[ ] [ ] '0Ak ==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=′ 00

6321

13

จะเห็นวาระบบสมการที่ consistent จะมีคุณสมบัติ compatible

XIV. การประมาณได (Estimability)

ในระบบสมการเชิงเสนที่มีลักษณะเปน not of full rank นั้นจะมีคําตอบ (solutions)

ของ β ไดไมจํากัด (not unique) เนื่องจากคําตอบถูกคํานวณขึ้นจาก generalied

inverse ดวยเหตุนี้จึงไมสามารถสนใจที่คาของ β แตละตัวโดยลําพังแตจะสนใจที่

linear combination ของ β อยางไรก็ตามไมใชทุก combination ของคาประมาณ

พารามิเตอร ( β̂ ) ที่ทําให linear combination ของ β เปนจริง จึงจําเปนตองมีการ

ตรวจสอบการประมาณได (estimability) โดยฟงกชันเชิงเสนของคาพารามิเตอรจะถูก

เรียกวาเปนฟงกชันที่ประมาณได (estimable function) เมื่อฟงกชันของพารามิเตอรนั้น

มีคาเทากับคาคาดคะเนของฟงกชันเชิงเสนของคาสังเกต ดังนั้นเมื่อกําหนดให β เปน

เวคเตอรของคาพารามิเตอร, y เปนเวคเตอรของคาสังเกต, k และ l เปนเวคเตอร

ของคาคงที่ใดๆ แลว βk ′ จะเปน estimable function เมื่อ

)(E ylβk' ′=

สังเกตวาหากกําหนดให Xβy =)(E แลว จะไดวา Xβlyl ′=′ )(E , ดังนั้น βk ′ จะ

เปนฟงกชันที่ประมาณคาไดเมื่อ

Xβlβk' ′=

Compatability

Estimable function

35

เมื่อ k มีขนาด 1×p เมื่อ p เปนจํานวนพารามิเตอร (column of X ) และ l มี

ขนาด 1×n เมื่อ n เปนจํานวนขอมูล (row of X )

สมการขางตนบอกใหทราบวา βk' จะ estimable ก็ตอเมื่อ

i) สามารถหาเวคเตอร l ที่ทําให kXl ′=′

ii) k ′ เปนคอลัมนใดๆของ X ′

iii) สามารถหาเวคเตอร l ที่ทําให 0=′lk เมื่อ l เปนเวคเตอรใดๆที่มีคุณสมบัติ

0Xl =

การตรวจสอบวา βk ′ เปน estimable function หรือไมนั้นมีหลายวิธี ซึ่ง Henderson

(1984) ไดเสนอไว 4 วิธี ไดแก

14.1 Method I

เปนการตรวจสอบการประมาณไดโดยใชอาศัยคุณสมบัติของ )( yl ′E ที่แสดง

รายละเอียดไวขางตน โดย βk ′ จะเปน estimable function เมื่อสามารถหา

เวคเตอร l ที่ทําให kXl ′=′ เมื่อ l ขนาดเทากับ 1)( ×XRow


⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

631211421211

X

โดยแตละคอลัมนสัมพันธกับคาพารามิเตอร 1β , 2β , 3β จงตรวจสอบ

estimability ของ 32 2ββ +

1) หาคา k ′

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=+=′

3

2

1

32 2102βββ

βββk , ดังนั้น [ ]210=′k

2) หาเวคเตอร l ที่ทําให kXl ′=′ ได ซึ่งรูปแบบหนึ่งไดแก

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

0011

l

Finding vector l

Show that kXl ′=′

36

จะเห็นวา

[ ] [ ] kXl ′==

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=′ 210

631211421211

0011

ดังนั้น 32 2ββ + เปนฟงกชันที่ประมาณได

สังเกตวาการหาเวคเตอร l ′ ทําไดไมงายนัก อยางไรก็ตามวิธีการสังเกตทาง

หนึ่งไดแก พยายามทํา row operation ภายในเมทริกซ X ที่ใหไดผลลัพธเปน

คา k ′ จากตัวอยางนี้จะเห็นวาการจัดการ (-1)* 1r +(1)* 2r +(0)* 3r +(0)* 4r

เมื่อ ir เปน row ที่ i จะไดผลลัพธเทากับ [ ]210 ซึ่งเปนคา k ′ และจะ

ไดวา l คือคาสัมประสิทธิ์ที่คูณกับ row เหลานั้น

[ ][ ][ ][ ] {

[ ][ ][ ][ ]

44 344 21kl ′==∑

−−−

=

−

××××

====

]210[000000421211

0011

631211421211

4321

rowsrrrr


⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

0011

l

14.2 Method II

เปนการตรวจสอบการประมาณไดโดยใชการแบงสวนเมทริกซ และคุณสมบัติ

linearly independent โดยทําการแบงเมทริกซ X เปนสองสวน

[ ]21 XX เมื่อ wXX 12 = กลาวคือ 2X เปน linear combination

ระหวางคอลัมนของ 1X จากนั้น βk ′ จะเปนจริงเมื่อสามารถหาเวคเตอร w

ที่ทําให [ ]wkkk 11 ′′=′ เมื่อ 1k เปนคาคงที่ของ linear combination ของ

พารามิเตอรเฉพาะสวน 1X และ เมื่อ w ขนาดเทากับ 1)( ×2XCol

1) จากตัวอยางเดิม หากแบงสวนให 1X เปนคอลัมนที่ 1 และ 2 สวน 2X เปน

คอลัมนที่ 3 โดยสังเกตวา 2X เกิดจากการนําคอลัมนที่ 1 คูณดวย 0 บวก

ดวยคอลัมนที่ 2 คูณดวย 2 ทําใหไดวา

Finding vector w

37

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

631211421211

21 XXX


⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

31112111

1X , ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

6242

2X

2) หาเวคเตอร w ที่ทําให wXX 12 = ซึ่งสังเกตวา

wXX 12 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=20

31112111

6242


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

20

w

3) หากตองการตรวจสอบ estimability ของ 32 2ββ + กลาวคือตองการทดสอบ

[ ]210=′k หรือ [ ] [ ]wkkk 21 ′′==′ 210 จากขอ 1) เมื่อ

[ ]10=′1k ดังนั้น βk ′ จะเปน estimable function เมื่อ 2=′wk1

จาก 2) ไดวา ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

20

w ดังนั้น

[ ] 220

10 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=′wk1


14.3 Method III

เปนการตรวจสอบการประมาณไดโดยใชคุณสมบัติ compatability โดยพยายาม

หาเมทริกซ C ที่ทําให 0XC = จากนั้น βk ′ จะเปน estimable function เมื่อ

0Ck =′ เมื่อ C มีขนาดเทากับ qp× เมื่อ p เปนจํานวนพารามิเตอรและ q

เปนจํานวน )()( XX RankCol −

1) จากตัวอยางเดิม p มีคาเทากับ 3 และ q มีคาเทากับ

)()( XX RankCol − = 3 - 2 = 1 ดังนั้น C ควรมีขนาด 3x1

Show that [ ]wkkk 11 ′′=′

Finding matrix C

38

2) สังเกตวาเราสามารถหา C ที่ทําให

0XC =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0000

120

631211421211

3) ดังนั้นหากตองการตรวจสอบ estimability ของ 32 2ββ + กลาวคือตองการ

ทดสอบ [ ]210=′k ดังนั้น βk ′ จะเปน estimable function เมื่อ

0Ck =′

จาก 1) และ 2) จะไดวา ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

120

C , ดังนั้น

[ ] 0120

210 =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=′Ck


สังเกตวาการหาเมทริกซ C ทําไดไมงายนัก อยางไรก็ตามวิธีการสังเกตทางหนึ่ง

ในกรณีที่ตองการ C ที่มีขนาดเพียง 1 คอลัมน ไดแก พยายามทํา column

operation ภายในเมทริกซ X ที่ใหไดผลลัพธเปนเวคเตอร 0 จากตัวอยางนี้จะ

เห็นวาการจัดการ (0)* 1c +(2)* 2c +(-1)* 3c เมื่อ ic เปน column ที่ i จะได

ผลลัพธเทากับเวคเตอร 0 ซึ่งจะไดวา C คือคาสัมประสิทธิ์ที่คูณกับ column

เหลานั้น

{ { {

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−×

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+×

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+×

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0000

)1(

6242

3

)2(

3121

2

)0(

1111

1

321 c

Col

c

Col

c

Col

ดังนั้น รูปแบบหนึ่งของ C ไดแก

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

120

3

2

1

ccc

C

Show that 0Ck =′

39

14.4 Method IV

เปนการตรวจสอบการประมาณไดโดยใชคุณสมบัติ g-inverse โดยเริ่มจากการ

คํานวณคา g-inverse ของ XX ′ จากนั้น βk ′ จะเปน estimable function เมื่อ

kXXX)X(k ′=′′′ −

จากตัวอยางเดิม หากตองการตรวจสอบ estimability ของ 32 2ββ + หรือ

ตองการทดสอบ [ ]210=′k จะไดวา

[ ]

[ ]

[ ]

k

XXX)X(k

′=

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=′′′

−

−

210

603014301571474

000011411701171115

210

603014301571474

603014301571474

210

////


14.5 การประมาณไดแบบอื่นๆและการประมาณไดในโมเดลเชิงเสน

การตรวจสอบการประมาณไดวิธีอื่นๆ อาจศึกษารายละเอียดเพิ่มเติมไดใน Myers

and Milton (1991) และ Searle (1984) ซึ่งในบางกรณีการตรวจสอบ

estimability สามารถทําไดไมยาก เชน

Estimable function ที่เกิดจาก linear contrast ของ parameter ของอิทธิพลตางๆ

ภายในปจจัยเดียวกันจะเปนฟงกชันที่ประมาณได

จากตัวอยางเดิม หากตองการตรวจสอบ estimability ของ 21 ββ − หรือ

ตองการทดสอบ [ ]011 −=′k ซึ่งหากกําหนดให parameter function อยูใน

รูป 2211 ββ aa − จะไดวาฟงกชันนี้จะถูกเรียกวาเปน linear contrast เมื่อ

∑ = 0ia ซึ่งจากตัวอยางนี้จะเห็นไดวา 01121 =−=+ aa ดังนั้น 21 ββ − เปนฟงกชันที่ประมาณได

Finding matrix XXX)X( ′′ −

Show that kXXX)X(k ′=′′′ −

Finding linear contrast of parameters

40

Estimable function ที่เกิดจาก row ใดๆ ของ Xβ จะเปนฟงกชันที่ประมาณได

เสมอ

จาก

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

3

2

1

631211421211

βββ

Xβ

ดังนั้น ,2 321 βββ ++ ,42 321 βββ ++ และ 321 63 βββ ++ เปน

ฟงกชันที่ประมาณได

การประมาณไดในโมเดลเชิงเสนนิยมใช method III และ IV ดังนี้

กําหนดใหโมเดลมีรูปแบบเปน

ijiijy ετμ ++=

เมื่อ ijy เปนคาสังเกต, μ เปนคา overall mean, iτ เปนอิทธิพล

เนื่องจากทรีทเมนต และ ijε เปนความคลาดเคลื่อน

หากกําหนดใหทรีทเมนตที่ 1, 2 และ 3 มีจํานวนซ้ําเปน 6, 6, และ 4

ตามลําดับแลว จะไดวา

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=′

3

2

1

40040606006646616

τττμ

XβX

จงตรวจสอบการเปน estimable function ของ 1) 21 ττ − , 2) 21 ττ + , 3)

3212 τττ −−

1) หากเลือกใชวิธีที่ 3 (method III) ในการตรวจสอบ พบวาตองหา C ที่ทําให

0XCX =′ เมื่อ C มีขนาด qp× เมื่อ p เปนจํานวนพารามิเตอรและ q เปน

จํานวน )()( XXXX ′−′ RankCol และเนื่องจากระบบมี parameter ที่ตองการ

ประมาณเทากับ 4 และ rank เทากับ 3 ดังนั้น C จึงมีขนาด 13×

2) สังเกตวาคาตัวเลขในคอลัมนที่ 1 ของเมทริกซเกิดจากการรวมกันของคอลัมนที่

2,3,4 ดังนั้นรูปแบบหนึ่งของการจัดการใหทุกคอลัมนรวมกันแลวได 0 ไดแก

(1)* 1c +(-1)* 2c +(-1)* 3c +(-1)* 4c ดังนั้นC จึงมีรูปเปน

Example 2.16

41

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=

1111

C

ทดสอบวา 0XCX =′

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=′

0000

1111

40040606006646616

XCX

3) ดังนั้น βk ′ จะเปน estimable function เมื่อ 0Ck =′

1) [ ]0110 −=′k

[ ] 0

1111

0110 =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=′Ck

ดังนั้น 21 ττ − เปน estimable function

2) [ ]0110=′k

[ ] 02

1111

0110 ≠−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=′Ck

ดังนั้น 21 ττ + เปน non-estimable function

3) [ ]1120 −−=′k

[ ] 0

1111

1120 =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−=′Ck

ดังนั้น 3212 τττ −− เปน estimable function

กําหนดใหโมเดลมีรูปแบบเปน

ijjiijy εβαμ +++= เมื่อ

Example 2.17

42

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=′

3

2

1

2

1

5003250301230042243126062220665346612

βββααμ

XβX

จงตรวจสอบการเปน estimable function ของ 1) 21 αα − , 2)

)(31

3211 βββαμ ++++

1) เนื่องจากระบบมี parameter ที่ตองการประมาณเทากับ 6 และ rank เทากับ 4

ดังนั้น C จึงมีขนาด 26×

2) สังเกตวาคาตัวเลขในคอลัมนที่ 1 ของเมทริกซเกิดจากการรวมกันของคอลัมนที่ 2

และ 3 หรือเกิดจากการรวมกันของคอลัมนที่ 4, 5 และ 6 ดังนั้นรูปแบบหนึ่งของ

การจัดการใหทุกคอลัมนรวมกันแลวได 0 ไดแก (1)* 1c +(-1)* 2c +(-1)* 3c และ

(1)* 1c +(-1)* 4c +(-1)* 5c +(-1)* 6c ดังนั้นC จึงมีรูปเปน

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

=

101010010111

C

ทดสอบวา 0XCX =′

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=′

000000000000

101010010111

5003250301230042243126062220665346612

XCX

3) ดังนั้น βk ′ จะเปน estimable function เมื่อ 0Ck =′

1) [ ]000110 −=′k

[ ] [ ]00

101010010111

000110 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

−=′Ck

ดังนั้น 21 αα − เปน estimable function

43

2) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=′

31

31

31011k

[ ]00

101010010111

31

31

31011 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=′Ck

ดังนั้น )(31

3211 βββαμ ++++ เปน estimable function

XV. สรุป

ในบทนี้ไดกลาวถึงนิยามทั่วไปที่สําคัญของเมทริกซ ลักษณะเมทริกซบางชนิดที่มี

ชื่อเรียกเฉพาะ เชน diagonal matrix หมายถึงเมทริกซที่มีเฉพาะคาในแนวทะแยง

สวนนอกแนวทะแยงจะเปนศูนย, triangular matrix หมายถึงเมทริกซที่มีคาใน

แนวทะแยงและคานอกแนวทะแยงดานใดดานหนึ่ง หากเปนดานบนแนวทะแยง

เรียกวา upper triangular ถาเปนดานลางเรียกวา lower triangular, symmetric

matrix หมายถึงเมทริกซที่มีคุณสมบัติ AA ′= เปนตน นอกจากนี้ยังกลาวถึง

คุณสมบัติที่สําคัญของเมทริกซบางอยาง เชน orthogonal matrix หมายถึง เมท

ริกซที่มีคุณสมบัติ IAA =′ หรือ A′ มีคุณสมบัติเปน inverse ของ A ,

idempotent matrix หมายถึงเมทริกซที่มีคุณสมบัติ AAA = เปนตน

สวนกลับของเมทริกซ (inverse of matrix) มี 2 แบบใหญ ไดแก 1) แบบปกติ

(ordinary inverse) และ 2) generalized inverse โดยทั่วไปจะใชสัญลักษณ

ตางกัน แบบแรกใช 1−A ซึ่งตรวจสอบโดยใชคุณสมบัติ IAA =−1 สวนแบบที่

สองใช −A ซึ่งตรวจสอบคุณสมบัติการเปน g-inverse ไดโดยใช AAAA =−

การหา inverse ของเมทริกซเกี่ยวของกับคุณสมบัติ Rank ซึ่งเปนจํานวนคอลัมนที่

อิสระภายในเมทริกซนั้นๆ ในกรณีของ symmetric matrix หาก rank ของเมท

ริกซมีคาเทากับจํานวนคอลัมนของเมทริกซนั้น จะเรียกวา full rank หรือ non-

singular matrix ซึ่งจะสามารถหา ordinary inverse ไดและจะมีเพียงรูปแบบ

เดียว ในกรณีที่เมทริกซมีลักษณะ not of full rank หรือ singular matrix จะไม

สามารถหา inverse ดวยวิธีปกติได จึงตองใช generalized inverse ซึ่งจะมีได

หลากหลายรูปแบบ

คา eigenvalue เปนคาที่สามารถใชอธิบายคุณสมบัติบางอยางของเมทริกซได

บางครั้งจึงเรียกวาคา characteristic roots เชน จํานวนของ eigenvalue ที่มีคาไม

เทากับศูนยจะมีคาเทากับ rank ของเมทริกซ, ผลรวมของคา eigenvalue มีคา

44

เทากับคา trace ของเมทริกซ และผลคูณของคา eigenvalue มีคาเทากับคา

determinant ของเมทริกซเปนตน สวนคา eigenvector หมายถึงเวคเตอรที่มี

ความสัมพันธกับคา eigenvalue ที่ทําใหเกิดคุณสมบัติ λxAx = เมื่อ λ

หมายถึง eigenvalue และ x หมายถึง eigenvector นอกจากนี้คา eigenvalue

ที่เปนบวกหรือลบยังแสดงถึงคุณสมบัติ positive definite, positive semi-definite

หรือ negative definite ไดอีกดวย

ในบทนี้ยังไดกลาวถึงการหาอนุพันธ (derivatives) และคาคาดคะเน

(expectation) ของเวคเตอรและเมทริกซเปนพื้นฐานสําคัญในการพิสูจนทฤษฎี

ทาง linear model ตอไป

ระบบสมการเชิงเสนคือระบบสมการที่สามารถเขียนใหอยูในรูปของ yAx = ได

ในการประเมินคาพารามิเตอร หรือประมาณคาอิทธิพลตางๆทางปรับปรุงพันธุ

สัตวตองอาศัยระบบสมการเชิงเสนเปนสวนใหญ สมการจะสามารถหาคําตอบ

(solutions) ของเวคเตอร x ของระบบสมการนี้ไดเมื่อสามารถหาคา 1−A หรือ −A ได ระบบที่สามารถหาคําตอบไดเรียกวาระบบมีคุณสมบัติ consistency และ

ระบบสมการจะมีลักษณะ consistent ไดก็ตอเมื่อระบบสมการนั้นมีลักษณะ

compatible ดวยเชนกัน และเนื่องจากการหาคําตอบของระบบสมการสามารถทํา

ไดโดยการใช generalized inverse ( −A ) ดังนั้นการตรวจสอบวา parameter

function นั้นเปน estimable function ทําไดหรือไมนั้นจึงเปนส่ิงที่ตองทําความ

เขาใจ

บรรณานุกรม

Carroll, J.D., P.E. Green, and A. Chaturvedi. 1997. Mathematical Tools for Applied Multivariate Analysis.

Academic Press, Boston.

Christensen, R. 1996. Plane Answers to Complex Questions : The Theory of Linear Models. Second

Edition. Springer-Verlag Inc., New York.

Raymond, H.M., and J.S. Milton. 1991. A First Course in the Theory of Linear Statistical Models. PWS-

KENT Publishing Company, Boston.

Schaeffer, L.R. 1994. Course Note in Linear model. Guelph University, Guelph.

Searle, S.R. 1971. Linear Models. John Wiley and Sons, Inc., New York.

Searle, S.R. 1982. Matrix Algebra Useful for Statistics. John Wiley and Sons, Toronto.

.

45

คําถามทายบท II (1)

1. จากเมทริกซที่กําหนดให

,4132⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=X ,321102⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=Y ,201111

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=Z ,

3801⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=W ,

1001⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=T ,

312

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=a

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

021

b

ใช SAS/IML ชวยในการตอบคําถามตอไปนี้

1. คํานวณผลที่ไดจากการจัดการเมทริกซดังตอไปนี้ หากมีขอใดจัดการไมไดใหบอกเหตุผลวาทําไม

1.1) YX + , WX + , TX −

1.2) XY , YX , XT , TX

1.3) X3 2. จงแสดงใหเห็นวา

2.1) TYWYT)Y(W +=+ 2.2) XY)(XY ′′=′

3. คํานวณคาเมทริกซสวนกลับตอไปนี้ (เฉพาะ 3.1 ใหแสดงวิธีดวยมือ)

3.1) จงแสดงใหเห็นวา 11 )X()(X −− ′=′ 3.2) 11 )X(XX)X( −− ′=′ มีคาเทากันหรือไม

4. คํานวณ scalar product และ cross product ของเวคเตอร a และ b และคํานวณ Kroneckor prodcut

ของ YX ⊗

2. จากเมทริกซที่กําหนดให

,1001⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=A ,

3/13/13/13/13/13/13/13/13/1

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=B ,

1001⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=C ,

1002⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=D ,

2/12/12/12/1⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=E

,0101⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=F ,

110101110101

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=G

1. คํานวณ rank และ trace ของเมทริกซ A ถึง F

2. เมทริกซใดบางที่มีคุณสมบัติตอไปนี้

a) diagonal

b) symmetric

c) non-singular

d) square

e) orthogonal

f) full-rank

47

คําถามทายบท II (2)

1. กําหนดให

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡′

= −2221

12111

MMMMM,

DCCA

M

จงพิสูจนวา 1111122 CD)CCD(ACDDM −−−−− ′−′+=

2. กําหนดให

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=

6721105105

53425184

A

i) แสดงใหเห็นวา A เปน singular matrix

ii) คํานวณ generalized inverse ของ A

iii) แสดงใหเห็นวาคําตอบในขอ ii) ถูกตอง และแสดงใหเห็นวา generalized inverse มีคุณสมบัติ reflexive

3. กําหนดให XX)XX(P 1 ′′= − , และ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1210775421

X , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3

2

1

yyy

y , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==

100010001

IA , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

000

)( yE , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100010001

)( yVar

i) จงคํานวณ P พรอมทั้งแสดงใหเห็นวา P เปน idempotent matrix

ii) แสดงใหเห็นวา eigen value ของ P เปนไดเพียงคา 0 หรือ 1

iii) แสดงใหเห็นวา )trace()rank( PP =

iv) แสดงใหเห็นวา P มีคุณสมบัติ positive definite

v) กําหนดให Ayy ′=z จงคํานวณ y∂∂z จากนั้นกําหนดใหคา derivative เทากับ 0 แลวแกสมการหาคา y

vi) จากขอ v) คํานวณคา )(zE

48

4. จากระบบสมการเชิงเสน yAx = เมื่อกําหนดให

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

631212843211

A , ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

5302010

y , และ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3

2

1

βββ

x

i) จงแสดงใหเห็นวาระบบสมการเชิงเสนนี้มีคุณสมบัติ consistency และ compatability

ii) ตรวจสอบ estimability ของ

a) 3β b) 23 ββ − c) 123 βββ ++

เมทริ กซื้เบ น องต12 I.นิยามทั่ (General Definition)...

Documents

Transcript of เมทริ กซื้เบ น องต12 I.นิยามทั่ (General Definition)...