รศ.ดร. วีระชาติ กิเลนทอง...

การแจกแจงปกติ (Normal Distributions)

รศ.ดร. วีระชาติ กิเลนทองมหาวิทยาลัยหอการคาไทย

©Kilenthong 2019

รศ.ดร. วีระชาติ กิเลนทอง มหาวิทยาลัยหอการคาไทย Popular Distributions 1 / 40

การแจกแจงปกติ (Normal Distribution)

การแจกแจงปกติ (normal distribution) เปนหนึ่งในรูปแบบของการแจกแจงที่ไดรับความนิยมสูงสุด ซึ่งมีเหตุผลหลักสามประการดังนี้

1 คุณสมบัติทางสถิติที่ทำใหสะดวกตอการวิเคราะห⋆ ผลรวมของตัวแปรสุมที่แตละตัวมีการแจกแจงปกตจิะมีการแจกแจงปกติ⋆ การแจกแจงปกติสามารถอธิบายไดดวย พารามิเตอรเพียงสองตัว คือ คาความคาดหมาย

(mean) µ และคาความแปรปรวน (variance) σ2

2 การแจกแจงของตัวประมาณคา (estimator) หรือตัวทำนาย (predictor) สวนใหญจะอยูในรูปแบบที่เกี่ยวของกับการแจกแจงปกติ เมื่อจำนวนตัวอยางมากขึ้นเรื่อยๆ จาก“ทฤษฎีบทลิมิตของคากลาง (Central Limit Theorem)” ซึ่งจะนำเสนอในบทถัดๆ ไป ไดระบุวาคาเฉลี่ยของตัวอยางจะลูเขาสู (converge) การแจกแจงปกติ (normal distribution)

3 จากการสังเกตในธรรมชาติพบวา มีปรากฏการณจำนวนไมนอยที่นำไปสูการแจกแจงที่มีลักษณะคลายกับการแจกแจงปกติ (normal distribution)


รูปขอมูลตัวอยางของการแจกแจงปกติ (Normal Distribution)


การแจกแจงปกติมาตรฐาน (Standard Normal Distribution Function)การแจกแจงปกติที่มีความพิเศษคือ “การแจกแจงปกติมาตรฐาน (standard normaldistribution)” ซึ่งมีฟงกชันความหนาแนนของความนาจะเปน (p.d.f.) เทากับ

ϕ (z) = 1√2π

e− z22 (1)

“ฟงกชันกอกำเนิดโมเมนต (m.g.f.) ของตัวแปรสุม Z” ที่มีการแจกแจงปกติมาตรฐาน(standard normal distribution) เทากับ

ψz (t) = E[etZ

]=

∫ ∞

−∞etz 1√

2πe− z2

2 dz

=

∫ ∞

−∞e t2

21√2π

e−(z2−2tz+t2)

2 dz =∫ ∞

−∞e t2

21√2π

e− (z−t)22 dz

= e t22

∫ ∞

−∞

1√2π

e− z̃22 dz̃ = e t2

2

โดยที่ในขั้นตอนกอนสุดทายใชเทคนิคการเปลี่ยนตัวแปร z̃ = z− tรศ.ดร. วีระชาติ กิเลนทอง มหาวิทยาลัยหอการคาไทย Popular Distributions 4 / 40

คาความคาดหมาย (mean) และคาความแปรปรวน (variance) ของการแจกแจงปกติมาตรฐาน (standard normal distribution)

คาความคาดหมาย (mean) และคาความแปรปรวน (variance) หาไดจาก ฟงกชันกอกำเนิดโมเมนต (m.g.f.) จากทฤษฎีบทที่กอนหนา

E [Z] = ddtψz (t)

∣∣∣∣t=0

=ddte

t22

∣∣∣∣t=0

= te t22

∣∣∣∣t=0

= 0 (2)

Var [Z] = E[Z2]=

d2dt2 e

t22

∣∣∣∣t=0

=

[e t2

2 + t2e t22

] ∣∣∣∣t=0

= 1 (3)

การแจกแจงปกติมาตรฐาน (standard normal distribution) คือ การแจกแจงแบบปกติที่มี “คาความคาดหมายเทากับศูนยและคาความแปรปรวนเทากับหนึ่ง” ซึ่งมักเขียนแทนการแจกแจงแบบนี้ดวย N (0, 1)


ฟงกชันเชิงเสนของการแจกแจงปกติ (Normal Distribution Function)เราสามารถสรางตัวแปรสุม X ที่มีการการแจกแจงปกติ (normal distribution) ที่มีคาความคาดหมาย (mean) เทากับ µ และคาความแปรปรวน (variance) เทากับ σ2 ไดจากตัวแปรสุม Z โดยใชความสัมพันธเชิงเสนตอไปนี้

X = σZ+ µ (4)

ดังนั้น ฟงกชันกอกำเนิดโมเมนต (m.g.f.) ของตัวแปรสุม X เทากับ

ψx (t) = eµte (σt)22 = eµt+ 1

2σ2t2 (5)

คาความคาดหมาย (mean) และคาความแปรปรวน (variance) คือ

E [X] = ddtψx (t)

∣∣∣∣t=0

=ddte

µt+ 12σ

2t2∣∣∣∣t=0

=(µ+ tσ2

)eµt+ 1

2σ2t2

∣∣∣∣t=0

= µ

Var [X] = E[X2]− µ2 =

d2dt2 e

µt+ 12σ

2t2∣∣∣∣t=0

− µ2

=[σ2eµt+ 1

2σ2t2 +

(µ+ tσ2

)2 eµt+ 12σ

2t2] ∣∣∣∣

t=0

= σ2 + µ2 − µ2 = σ2


การแจกแจงปกติ (Normal Distribution Function)

ตัวแปรสุม X = σZ+ µ มีการการแจกแจงปกติ (normal distribution) ที่คาความคาดหมาย (mean) เทากับ µ และคาความแปรปรวน (variance) เทากับ σ2 ซึ่งมีฟงกชันความหนาแนนของความนาจะเปน (p.d.f.) เทากับ

f (x) = 1√2πσ2

e−(x−µ)22σ2 (6)

และสามารถเขียนแทนการแจกแจงแบบนี้ดวย N(µ, σ2

)หากทราบวาตัวแปรสุม X มีการการแจกแจงปกติ (normal distribution) ที่คาความคาดหมาย (mean) เทากับ µ และคาความแปรปรวน (variance) เทากับ σ2 ̸= 0 แลวก็จะทราบทันทีวาตัวแปรสุม Z = X−µ

σ จะมีการแจกแจงปกติมาตรฐาน (standard normaldistribution)การแปลงคารูปแบบนี้คือการปรับคะแนนมาตรฐาน (standardized score) ซึ่งนิยมใชในการปรับคาผลลัพธหรือผลการทดสอบใหอยูในรูปของตัวแปรที่มีการแจกแจงปกติมาตรฐาน


ตัวอยาง: การประยุกตใชในแบบจำลองทางการเงินExampleแบบจำลองทางการเงินมักสมมุติใหมูลคาของหลักทรัพย ณ เวลา t เปนไปตามความสัมพันธตอไปนี้

V (t) = V0etr

โดยที่ V0 คือมูลคาของหลักทรัพย ณ เวลาที่ t = 0 และ r คืออัตราผลตอบแทนสุทธิ (net return) ของหลักทรัพยดังกลาว ซึ่งเปนตัวแปรสุมที่มีการแจกแจงปกติ (normal distribution) โดยที่คาคาดหมายมีคาเทากับ µ และคาความเบี่ยงเบนมาตรฐาน (standard deviation) ซึ่งในทางการเงินมักเรียกวา ความผันผวน (volatility) มีคาเทากับ σ(r ∼ N(µ, σ2))

คาคาดหมาย (mean) ของมูลคาของหลักทรัพย ณ เวลา t มีคาเทากับ

E [V (t)] = E[V0etr

]= V0E

[etr]

สังเกตไดวา E[etr]คือฟงกชันกอกำเนิดโมเมนต (m.g.f.) ของตัวแปรสุมที่มีการแจกแจงแบบปกติ N

(µ, σ2

)ซึ่งมีคาเทากับ eµt+ 1

2σ2t2 (ดูสมการที่ 5 ประกอบ) ดังนั้น คาคาดหมาย (mean) ของมูลคาของหลักทรัพย ณ

เวลา t มีคาเทากับ

E [V (t)] = V0eµt+ 12σ2t2


ทฤษฎี: ความสมมาตรของการแจกแจงปกติTheorem (ความสมมาตรของการแจกแจงปกติ)สำหรับคาจำนวนจริง z ใดๆ

Φ(−z) = 1− Φ(z) (7)

และสำหรับ 0 < p < 1

Φ−1 (p) = −Φ−1 (1− p) (8)


การพิสูจน: ความสมมาตรของการแจกแจงปกติProof.

เริ่มจากความสัมพันธที่วา

Pr (Z ≤ −z) + Pr (Z > −z) = 1

เนื่องจากการแจกแจงปกติเปนการแจกแจงที่สมมาตร (symmetric) ทำใหPr (Z > −z) = Pr (Z ≤ z) ดังนั้น

Pr (Z ≤ −z) + Pr (Z ≤ z) = 1 ⇒ Φ(−z) = 1− Φ(z)

สมการที่ 8 พิสูจนไดดวยการแทนคา z = Φ−1 (p) และสวนกลับของมัน Φ(z) = p ลงในดานซายและดานขวาสมการที่ 7 ตามลำดับ

Φ(−Φ−1 (p)

)= 1− p ⇒ −Φ−1 (p) = Φ−1 (1− p)

สอดคลองกับสมการที่ 8


ทฤษฎี: ความสัมพันธระหวางการแจกแจงปกติและการแจกแจงปกติมาตรฐาน

Theoremกำหนดให X เปนตัวแปรสุมที่มีแจกแจงปกติ (normal distribution) ดวยคาคาดหมาย (mean)µ และคาความแปรปรวน (variance) σ2 และกำหนดให F แทนฟงกชันความนาจะเปนสะสม(C.D.F.) ของ X ดังนั้น ตัวแปรสุม Z = X−µ

σ มีการแจกแจงปกติมาตรฐาน (standard normaldistribution) โดยที่ สำหรับคาจำนวนจริง x ใดๆ

F (x) = Φ

(x− µ

σ

)(9)

และสำหรับคาจำนวนจริง 0 < p < 1 ใดๆ

F−1 (p) = µ+ σΦ−1 (p) (10)


ตัวอยาง: การหาความนาจะเปนของการแจกแจงแบบปกติExampleสมมุติใหตัวแปรสุม X มีการแจกแจงแบบปกติ ดวยดวยคาคาดหมาย (mean) µ = 10 และคาความแปรปรวน (variance) σ2 = 5 คำถามก็คือ ความนาจะเปนที่ X จะมีคาอยูในชวง 5 < X < 15 มีคาเทาใด?เริ่มจากการแปลงตัวแปรสุมใหเปนแบบปกติมาตรฐานดวยฟงกชัน Z = X−µ

σ

Pr (5 < X < 15) = Pr(5− 10

5<

X− 10

5<

15− 10

5

)= Pr (−1 < Z < 1)

ซึ่งสามารถเขียนในรูปของ Φ ไดเปน

Pr (−1 < Z < 1) = Pr (|Z| < 1) = Φ (1)− Φ (−1) ≈ 0.6826


ทฤษฎี: ฟงกชันเชิงเสน (linear) ของตัวแปรสุมปกติจะยังมีการแจกแจงปกติTheorem (ฟงกชันเชิงเสน (linear) ของตัวแปรสุมปกติจะยังมีการแจกแจงปกติ)ถา X เปนตัวแปรสุมที่มีการแจกแจงปกติ (normally distributed) ดวยคาคาดหมาย (mean) µ และคาความแปรปรวน (variance) σ2 และ Y = aX+ b สำหรับคาคงที่ a และ b โดยที่ a ̸= 0 แลว Y จะมีการแจกแจงปกติ (normally distributed) ดวยคาคาดหมาย (mean) aµ+ b และคาความแปรปรวน(variance) a2σ2

Proof.ฟงกชันกอกำเนิดโมเมนต (m.g.f.) ของตัวแปรสุม X เทากับ

ψx (t) = eµt+ 12σ2t2

ดังนั้น ฟงกชันกอกำเนิดโมเมนต (m.g.f.) ของตัวแปรสุม Y = aX + b เทากับ

ψy (t) = ebtψx (at) = ebteµat+ 12σ2a2t2 = e(aµ+b)t+ 1

2 (a2σ2)t2

ซึ่งเปนฟงกชันที่ตรงกับรูปแบบของฟงกชันกอกำเนิดโมเมนต (m.g.f.) ของการแจกแจงปกติ ที่มี คาคาดหมาย (mean) aµ+ bและ คาความแปรปรวน (variance) a2σ2


ทฤษฎี: การแจกแจงปกติ (normally distributed) ของตัวแปรสุมที่เปนอิสระตอกัน

Theorem (ตัวแปรสุมที่เปนอิสระตอกัน)

ถาตัวแปรสุม X1, . . . , Xn เปนอิสระตอกัน และ Xi มีการแจกแจงปกติ (normally distributed)ดวยคาคาดหมาย (mean) µi และคาความแปรปรวน (variance) σ2i สำหรับ i = 1, . . . , nแลว Y =

∑ni=1 aiXi + b มีการแจกแจงปกติ (normally distributed) ดวยคาคาดหมาย

(mean) ∑ni=1 aiµi + b และคาความแปรปรวน (variance) ∑n

i=1 a2i σ2i


พิสูจน: การแจกแจงปกติ (normally distributed) ของตัวแปรสุมที่เปนอิสระตอกัน

Proof.ฟงกชันกอกำเนิดโมเมนต (m.g.f.) ของ Xi เทากับ

ψi (t) = eµit+ 12σ2i t2

เนื่องจากตัวแปรสุมเหลานี้เปนอิสระตอกัน ฟงกชันกอกำเนิดโมเมนต (m.g.f.) ของ Y เทากับ

ψY (t) =n∏

i=1

ebtψi (ait) =n∏

i=1

ebteµiait+ 12σ2i a2i t2 = e(

∑ni=1 aiµi+b)t+ 1

2(∑n

i=1 a2i σ2i )t2

ซึ่งบงบอกวา Y มีการแจกแจงปกติ (normally distributed) ดวยคาคาดหมาย (mean)∑ni=1 aiµi + b และคาความแปรปรวน (variance) ∑n

i=1 a2i σ2i


นิยาม: คาเฉลี่ยของตัวอยางสุม (random sample)

Definitionกำหนดให X1, . . . , Xn เปนตัวแปรสุม คาคาดหมายของตัวอยาง (sample mean) นิยามไดเปน

Xn =∑n

i=1 Xin (11)

หากพิจารณาจากขอมูล (observed data) n ตัวอยาง คาเฉลี่ย (average) นั้นหมายถึงx̄n =

∑ni=1 xin โดยที่ xi คือคาที่เกิดขั้นจริง (realized value) ของตัวแปรสุม Xi หรือคาตัว

แปรของตัวอยาง 1, . . . , nคาเฉลี่ย (average) x̄n คือสำเนาจากตัวอยาง (sample counterpart) ของคาคาดหมายของตัวอยาง (sample mean) Xn สิ่งที่แตกตางกันก็คือ คาเฉลี่ย (average) x̄n เปนจำนวนจริงคาหนึ่ง สวนคาคาดหมายของตัวอยาง (sample mean) Xn เปนตัวแปรสุม


ทฤษฎี: คาเฉลี่ยของตัวอยางสุม (random sample) ที่สุมมาจากการแจกแจงปกติ (normal distribution) จะมีการแจกแจงปกติTheoremสมมุติให X1, . . . , Xn เปนตัวแปรสุมที่นำไปสูตัวอยางสุม (random sample) ขนาด n และแตละตัวเปนตัวแปรสุมที่มีการแจกแจงปกติ (normally distributed) ดวยคาคาดหมาย (mean)µ และคาความแปรปรวน (variance) σ2 ดังนั้น คาคาดหมายของตัวอยาง (sample mean) Xnเปนตัวแปรสุมที่มีการแจกแจงปกติ (normally distributed) ดวยคาคาดหมาย (mean) µ และคาความแปรปรวน (variance) σ2

n นั่นคือ

Xn ∼ N(µ,σ2

n

)(12)

Proof.ทฤษฎีบทนี้เปนผลมาจากการประยุกตใชทฤษฎีบทที่แลวโดยกำหนดให ai = 1

n และ b = 0 ซึ่งชวยใหสรุปไดวา Xn =∑n

i=1 Xin

เปนตัวแปรสุมที่มีการแจกแจงปกติ (normally distributed) ดวย คาคาดหมาย (mean) ∑ni=1

1n µ = µ และ คาความ

แปรปรวน (variance) ∑ni=1

(1n)2σ2 = σ2

n


ความนาจะเปนและ σ

การประยุกตใชการแจกแจงปกติ (และการแจกแจงที) ในการทดสอบสมมุติฐานทำไดโดยงายI การใชงานในลักษณะของเกณฑมาตรฐาน (benchmark) คือ ที่สองเทาของคาเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2σ

จะหมายถึงประมาณรอยละ 95I สามเทาของคาเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3σ จะหมายถึงมากกวารอยละ 99I เกณฑมาตรฐานแบบนี้ชวยใหนักวิเคราะหสามารถอานผลการประมาณคาไดอยางรวดเร็วโดยไมตองพึ่ง

ตารางสถิติ

การแจกแจงอันหนึ่งที่เชื่อมโยงกับการแจกแจงปกติคือ การแจกแจงปกติดวยล็อก (lognormal distribution)ซึ่งหมายถึงการแจกแจงของตัวแปรสุมที่ล็อกการิธึมของตัวแปรนั้นมีการแจกแจงปกติ (normal distribution)


นิยาม: การแจกแจงปกติดวยล็อก (lognormal distribution)Definitionถา ln X มีการแจกแจงปกติ (normal distribution) ดวยคาคาดหมาย (mean) µ และคาความแปรปรวน (variance) σ2 แลว ตัวแปรสุม X จะมีการแจกแจงปกติดวยล็อก (lognormaldistribution) ที่มีพารามิเตอร µ และ σ2

ฟงกชันความหนาแนนของความนาจะเปน (p.d.f.) ของตัวแปรสุม X ที่มีการแจกแจงปกติดวยล็อก (lognormal distribution) สำหรับพารามิเตอร µ และ σ2 เทากับ

f (x) =

1

x√2πσ2

e−(ln x−µ)2

2σ2 สำหรับ x > 0,

0, สำหรับกรณีอื่น(13)

ฟงกชันความนาจะเปนสะสม (C.D.F.) เทากับ

F (x) = Pr (X ≤ x) = Pr( ln X− µ

σ≤ ln x− µ

σ

)= Φ

( ln x− µ

σ

)(14)


คาคาดหมาย (mean) และคาความแปรปรวน (variance)ของการแจกแจงปกติดวยล็อก (lognormal distribution)

การหาคาคาดหมาย (mean) และคาความแปรปรวน (variance) นั้นมีเทคนิคหนึ่งที่ชวยใหคำนวณหาคาไดงายคือ การใชฟงกชันกอกำเนิดโมเมนต (m.g.f.) ของตัวแปรที่มีการแจกแจงปกติ ซึ่งในที่นี้หมายถึง Y = ln X

ψY (t) = E[etY

]= eµt+ 1

2σ2t2

สมการสุดทายเปนผลมาจากการที่ Y = ln X มีการแจกแจงปกติ (normal distribution) ดวยคาคาดหมาย (mean) µ และคาความแปรปรวน (variance) σ2 ในขณะเดียวกัน เราสามารถเขียนฟงกชันกอกำเนิดโมเมนต (m.g.f.) ในรูปของ X ไดเปน

ψY (t) = E[etY

]= E

[et ln X] = E

[Xt]

คาคาดหมายของ X เทากับ

E [X] = ψY (1) = eµ+ 12σ2

คาความแปรปรวนของ X เทากับ

Var [X] = E[X2

]− E [X]2 = ψY (2)− ψY (1)2

= e2µ+2σ2−

(eµ+ 1

2σ2

)2= e2µ+σ2

[eσ2

− 1]


ตัวอยาง: การคำนวณราคาอนุพันธเพื่อซื้อ (call options)Exampleสมมุติใหราคาหลักทรัพย ณ เวลา t, St , มีการแจกแจงปกติดวยล็อก (lognormal distribution) นั่นคือ St = S0eZt โดยที่ Zt มีการแจกแจงปกติ (normal distribution) ที่มีคาคาดหมาย (mean) µt และคาความแปรปรวน (variance) σ2t

ความสะดวกในการคำนวณ สามารถเขียน Zt ในรูปของตัวแปรสุมที่มีการแจกแจงปกติมาตรฐาน (standard normaldistribution) Z ไดเปน

Zt = µt + σ√

tZ

สามารถเขียนราคาหลักทรัพยในรูปการแจกแจงปกติมาตรฐาน (standard normal distribution) Z ไดเปน

St = S0eµt+σ√tZ

พิจารณาอนุพันธเพื่อซื้อ (call options) ซึ่งหมายถึงอนุพันธที่ใหสิทธิแกผูซื้อในการซื้อหลักทรัพยที่ราคาอางอิง (strike price)K ณ เวลาที่กำหนด T แตไมจำเปนตองใชสิทธิ์นั้นถาไมตองการ ดังนั้นมูลคา (value) ของอนุพันธเพื่อซื้อ (call option) ณเวลาที่กำหนด T มีคาเทากับ

V (S) = max {S − K, 0} =

{ S − K, ถา S > K0, ถาเปนอยางอื่น


วิธีทำ: การคำนวณราคาอนุพันธเพื่อซื้อ (call options)

Exampleการกำหนดราคาอนุพันธ (option pricing) ในที่นี้จะประยุกตใชหลักการเปนกลางตอความเสี่ยง (risk neutrality)กำหนดวา คาคาดหมายของมูลคาของหลักทรัพยควรจะมีคาเทากับผลลัพธที่ไดจากการฝากเงินแบบไมมีความเสี่ยงที่อัตราดอกเบี้ย r นั่นคือ ertS0 = E [St] ซึ่งมีผลทำใหสามารถสรุปไดวา

ertS0 = E[S0eµt+σ√tZ

]⇒ ert = eµt+σ2

2t ⇒ µ = r − σ2

2

หลักการเปนกลางตอความเสี่ยง (risk neutrality) ยังระบุวาราคาอนุพันธเพื่อซื้อ, C (K, T), ควรจะมีคาเทากับคาคาดหมายของมูลคาของอนุพันธที่ปรับสวนลด (discount) ดวยอัตราดอกเบี้ย r นั่นคือ

C (K, T) = e−rTE [V (ST)] = e−rTE [max {ST − K, 0}]


วิธีทำ: การคำนวณราคาอนุพันธเพื่อซื้อ (call options) Con’t

Exampleเพื่อจะคำนวณคาคาดหมายนี้ จำเปนตองแยกออกเปนสองกรณีคือ

1 กรณีที่ ST > K ซึ่งจะเปนจริงก็ตอเมื่อ

S0eµT+σ√

TZ> K ⇒ Z >

ln KS0

− µTσ√

T≡ z̄T

2 กรณีที่ ST > K ซึ่งจะเปนจริงก็ตอเมื่อ

Z <ln K

S0− µT

σ√

T≡ z̄T

ราคาอนุพันธเพื่อซื้อ (call options) ที่สามารถใชสิทธิ์ได ณ เวลา T ที่ราคาอางอิง (strike price) K มีคาเทากับ

C (K, T) = e−rTE [max {ST − K, 0}] = e−rT∫ ∞

z̄T

[S0eµT+σ

√Tz − K

]ϕ (z) dz (15)

= e−rT+µTS0∫ ∞

z̄Teσ

√Tzϕ (z) dz − Ke−rT

∫ ∞

z̄Tϕ (z) dz


วิธีทำ: การคำนวณราคาอนุพันธเพื่อซื้อ (call options), Black-ScholesModelExample

พิจารณาการอินทิเกรตในพจนแรกดานขวา ดังนี้

∫ ∞

z̄Teσ

√Tzϕ (z) dz =

∫ ∞

z̄Teσ

√Tz 1

√2π

e−z22 dz = e

σ2

2T∫ ∞

z̄T

1√

2πe−

(z−σ√

T)22 dz

= eσ2

2T∫ ∞

z̄T−σ√

T

1√

2πe−

z22 dz = e

σ2

2T [

1 − Φ(̄zT − σ

√T)]

= eσ2

2TΦ

(σ√

T − z̄T)

เปนผลมาจากการเปลี่ยนรูปใหเปนกำลังสองสัมบูรณ สวนสมการที่สามเปนผลมาจากการเปลี่ยนตัวแปรอินทิเกรตจาก z เปน z − σ√

T และ สมการสุดทายเปนผลมาจากคุณสมบัติความสมมาตรของการแจกแจงปกติมาตรฐาน เมื่อแทนคากลับเขาไปในสมการราคาอนุพันธเพื่อซื้อ (call options) จะไดวา

C (K, T) = e−rT+µTS0eσ2

2TΦ

(σ√

T − z̄T)− Ke−rT

Φ (−z̄T)

= e−rT+µT+σ2

2TΦ

(σ√


Φ (−z̄T)

C (K, T) = S0Φ(σ√


Φ (−z̄T)

เมื่อแทนคา µ = r − σ2

2และ z̄T =

ln KS0

−(r−σ2

2

)T

σ√

T

สมการนี้คือสมการที่มีชื่อเสียงของ Black-Scholes สำหรับการกำหนดราคาอนุพันธ (option pricing)


ฟงกชันความหนาแนนของความนาจะเปน (p.d.f.) ของการแจกแจงปกติมาตรฐานหลายตัวแปร (Multivariate Normal Distribution)

สิ่งที่ขาดหายไปจากฟงกชันความหนาแนนความนาจะเปน (p.d.f.) ของตัวแปรสุมตัวเดียว คือ ความแปรปรวน (covariance) หรือสหสัมพันธ (correlation) ซึ่งจะปรากฏในกรณีที่มีตัวแปรหลายตัวเริ่มจากตัวแปรสุมปกติมาตรฐานที่เปนอิสระตอกัน ซึ่งเขียนแทนดวยเวคเตอรสุม (random vector)Z = [Z1, . . . , Zn]

′โดยที่ X′ หมายถึง เมทริกซสลับเปลี่ยน (transpose matrix) ของ X และ

Zi ∼ N (0, 1) มีการแจกแจงปกติมาตรฐาน (standard normal) และเปนอิสระตอกัน(independent)นั่นคือตัวแปรสุมเหลานี้มีการแจกแจงเหมือนกันและเปนอิสระตอกัน (identically andindependently distributed หรือ i.i.d.) ซึ่งในกรณีที่การแจกแจงเปนแบบปกติมาตรฐาน สามารถเขียนแทนดวย Z ∼ N (0, In)ฟงกชันความหนาแนนของความนาจะเปน (p.d.f.) ของ Z คือ

f (z) =n∏

i=1

ϕ (zi) =n∏

i=1

(1

2π

) 12

exp{−1

2z2i}

=

(1

2π

) n2

exp{−1

2

n∑i=1

z2i}

=1

(2π)n2

exp{−1

2z′z

}(16)


ฟงกชันกอกำเนิดโมเมนต (m.g.f.) ของการแจกแจงปกติมาตรฐานหลายตัวแปร (Multivariate Normal Distribution)

สมการขางตนเปนผลมาจากการที่ตัวแปรทั้งหมดมีการแจกแจงปกติมาตรฐานเหมือนกันและเปนอิสระตอกัน (i.i.d.)ชัดเจนวา คาคาดหมาย (mean) และเมทริกซของคาความแปรปรวนรวม (covariance matrix)ของ Z มีคาเทากับ 0 และ In ตามลำดับสวนฟงกชันกอกำเนิดโมเมนต (m.g.f.) ของ Z สามารถเขียนไดเปน

ψz (t) = E[exp

{Z′ t

}]= E

[exp

{ n∑i=1

Ziti}]

= E[ n∏

i=1

exp {Ziti}]

=

n∏i=1

E [exp {Ziti}] =n∏

i=1

ψz (ti) =n∏

i=1

e 12 t2i

= exp{1

2

n∑i=1

t2i}

= exp{1

2t′ t}

(17)

เราสามารถสรางเวคเตอรของตัวแปรสุมปกติ (normal random vector) X ที่มีคาคาดหมาย(mean) เทากับ µ และเมทริกซของคาความแปรปรวนรวม (covariance matrix) เทากับ Σ


การสรางเวคเตอรของตัวแปรสุมปกติ (normal random vector) ของการแจกแจงปกติหลายตัวแปร (Multivariate Normal Distribution)

ในการสรางเวคเตอรของตัวแปรสุมปกติ (normal random vector) จะคลายกับตัวแปรสุมตัวเดียวที่มีการแจกแจงปกติแบบมาตรฐาน แตมี ความยุงยากทางเทคนิค ในการนิยามคาความเบี่ยงเบนในรูปของเมทริกซ ซึ่งตองใชเทคนิคที่เรียกวา การแยกสวนสเปกตรัล (spectral decomposition)เริ่มจากคุณสมบัติที่สำคัญอันหนึ่งของเมทริกซของคาความแปรปรวนรวม (variance-covariance matrix) Σ คือมันเปน เมทริกซจัตุรัสและสมมาตร (symmetric square matrix) และ คุณสมบัติเปนบวกเกือบแนนอน (positivesemidefinite) ซึ่งทำใหสามารถใชหลักการทางพีชคณิตเชิงเสน (linear algebra) แยกสวน Σ ออกไดเปน

Σ = Γ′ΛΓ (18)

โดยที่ Λ เปนเมทริกซแนวทแยง (diagonal matrix)

Λ =

λ1 0 · · · 0 00 λ2 · · · 0 0...

.... . .

......

0 0 · · · λn−1 00 0 · · · 0 λn

(19)

และ Γ เปนเมทริกซตั้งฉาก (orthogonal matrix) นั่นคือ Γ−1 = Γ′

สรุปไดวา Γ′Γ = I โดยทั่วไปเพื่อความสะดวก เรามักจะเรียงลำดับ λi จากมากไปหานอย นั่นคือ

λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn ≥ 0 และเรียก λi แตละตัววา คาลักษณะเฉพาะ (eigenvalue) สวนคอลัมนที่ i แตละอัน(สอดคลองกับ λi) ซึ่งแทนดวย γ i มักเรียกวาเวคเตอรลักษณะเฉพาะ (eigenvector) ของ Σ


การสรางเวคเตอรของตัวแปรสุมปกติ (normal random vector) ของการแจกแจงปกติหลายตัวแปร (Multivariate Normal Distribution) Con’ t

จากการที่ เราสามารถเขียนเมทริกซของคาความแปรปรวนรวม (variance-covariance matrix) Σ ในรูปของคาลักษณะเฉพาะ (eigenvalue) และเวคเตอรลักษณะเฉพาะ (eigenvector) ไดดังนี้

Σ = Γ′ΛΓ =

n∑i=1

λiγ iγ′i (20)

ประโยชนที่สำคัญของการแยกสวนนี้ก็คือ การไดมาซึ่งเมทริกซแนวทแยง (diagonal matrix) Λ ซึ่งคาลักษณะเฉพาะ(eigenvalue) λi แตละคามีคาไมติดลบ (nonnegative) ซึ่งชวยใหสามารถนิยามรากที่สอง (square root) ของ Λ ไดเปน

Λ12 =

√λ1 0 · · · 0 00

√λ2 · · · 0 0

......

. . ....

...0 0 · · ·

√λn−1 0

0 0 · · · 0√λn

(21)

ซึ่งมีคุณสมบัติคลายกับรากกำลังสองของจำนวนจริง นั่นคือ

Λ12 Λ

12 = Λ (22)


การสรางเวคเตอรของตัวแปรสุมปกติ (normal random vector) ของการแจกแจงปกติหลายตัวแปร (Multivariate Normal Distribution) Con’ t

เราสามารถเขียนสมการการแยกสวนสเปกตรัล (spectral decomposition) ใหมไดเปน

Σ = Γ′Λ

12 Λ

12 Γ =

(Γ

′Λ

12 Γ

)(Γ

′Λ

12 Γ

)(23)

ใชคุณสมบัติการตั้งฉาก (orthogonal) ของเมทริกซ Γ นั่นคือ ΓΓ′= I ผลที่ตามมาจากสมการที่ 23 คือ ทำใหสามารถ

นิยามรากที่สอง (square root) ของ Σ ไดเปน

Σ12 = Γ

′Λ

12 Γ (24)

หากเมทริกซของคาความแปรปรวนรวม (variance-covariance matrix) Σ เปนบวกแนนอน (positive definite หรือp.d.) แลวคาลักษณะเฉพาะ (eigenvalue) มีคาเปนบวกทุกคา นั่นคือ λi > 0 สำหรับทุกๆ i = 1, . . . , n ซึ่งมีผลทำใหคาดีเทอรมิแนนต (determinant) ของ Λ 1

2 มีคามากกวาศูนยอยางแนนอน ทำใหสามารถหาเมทริกซสวนกลับ (inversematrix) ของ Λ 1

2 ได ดังนั้น จึงสามารถนิยามเมทริกซสวนกลับ (inverse matrix) ของ Σ 12 ไดเปน

Σ− 12 = Γ

′Λ− 1

2 Γ (25)

โดยที่ Λ− 12 แทนเมทริกซสวนกลับ (inverse matrix) ของ Λ 1

2


ฟงกชันกอกำเนิดโมเมนต (m.g.f.) ของการแจกแจงปกติหลายตัวแปร(Multivariate Normal Distribution)

สรางเวคเตอรของตัวแปรสุมปกติ (normal random vector) X ∼ N (µ,Σ) ที่มีคาคาดหมาย (mean) เทากับ µ และเมทริกซของคาความแปรปรวนรวม (covariance matrix) เทากับ Σ โดยกำหนดให

X = Σ12 Z+ µ (26)

ฟงกชันกอกำเนิดโมเมนต (m.g.f.) ของ X เทากับ

ψx (t) = E[exp

{X′ t

}]= E

[exp

{(Σ

12 Z+ µ

)′

t}]

= exp{µ

′ t}

E[exp

{Z′ (

Σ12 t)}]

= exp{µ

′ t}

exp{1

2

(Σ

12 t)′ (

Σ12 t)}

= exp{µ

′ t+ 1

2t′Σt

}(27)

ประยุกตใชฟงกชันกอกำเนิดโมเมนต (m.g.f.) ของ Z ในสมการที่ 17 โดยใช Σ 12 t แทน t สังเกตดวยวา ฟงกชันกอกำเนิด

โมเมนต (m.g.f.) ในที่นี้สามารถหาคาไดตราบเทาที่เมทริกซของคาความแปรปรวนรวม (variance-covariance matrix) Σเปนบวกเกือบแนนอน (p.s.d.) ในขณะที่ ฟงกชันความหนาแนนของความนาจะเปน (p.d.f.) ของ X จะหาคาไดก็ตอเมื่อ Σ

เปนบวกแนนอน (p.d.) ทั้งนี้เพราะการแปลงฟงกชันความหนาแนนของความนาจะเปน (p.d.f.) จำเปนตองใชคาดีเทอรมิแนนต (determinant) ของ Σ− 1

2


ฟงกชันความหนาแนนของความนาจะเปน (p.d.f.) ของการแจกแจงปกติหลายตัวแปร (Multivariate Normal Distribution)

หาก Σ เปนบวกแนนอน (p.d.) แลว จะสามารถเขียนสมการที่ 26 ใหมไดเปน

Z = Σ− 12 (X− µ) (28)

ดังนั้น ฟงกชันความหนาแนนของความนาจะเปน (p.d.f.) ของ X คือ

f (x) = 1

(2π)n2 | detΣ|

12

exp{−1

2(x− µ)

′Σ−1 (x− µ)

}(29)


ทฤษฎี: ความสัมพันธเชิงเสนของการแจกแจงปกติหลายตัวแปร(Multivariate Normal Distribution)Theoremกำหนดให X เปนเวคเตอรของตัวแปรสุม n ตัว ซึ่งมีการแจกแจงรวมแบบปกติ นั่นคือX ∼ N (µ,Σ) และ Y = AX+ b โดยที่ A เปนเมทริกซของคาคงที่ขนาด m× n และ b เปนเวคเตอรของคาคงที่ m ตัว แลว Y ∼ N

(Aµ+ b,AΣA′

)Proof.ฟงกชันกอกำเนิดโมเมนต (m.g.f.) ของ Y เทากับ

ψy (t) = E[exp

{Y′ t

}]= E

[exp

{(AX+ b)′ t

}]= exp

{b′ t

}E[exp

{X′ (A′ t

)}]= exp

{b′ t

}exp

{µ

′ (A′ t)+

1

2

(A′ t

)′

Σ(A′ t

)}= exp

{(Aµ+ b)′ t+ 1

2t′(AΣA′) t

}

นั่นคือ Y ∼ N(Aµ+ b, AΣA′

)รศ.ดร. วีระชาติ กิเลนทอง มหาวิทยาลัยหอการคาไทย Popular Distributions 32 / 40

ประโยชนในการแปลงตัวแปรสุมในรูปแบบฟงกชันเชิงเสน (lineartransformation)

ทฤษฎีบทดานบนยังชวยใหสามารถหาการแจกแจงของตัวแปรสุมเพียงบางสวนในกรณีที่การแจกแจงรวมเปนแบบปกติ โดยเริ่มจากการที่สามารถแบงเวคเตอร X ออกไดเปนสองสวน คือ

X =

[XmXk

](30)

โดยที่ Xm คือเวคเตอรของตัวแปรสุมที่สนใจ โดยในที่นี้กำหนดใหมีขนาด m ในขณะที่ตัวแปรสุม Xkมีขนาด k = n−mกำหนดให b = 0 และ

A =

[Imm 0mk0km 0kk

](31)

จะทำใหฟงกชันที่เกิดจากการแปลงคาโดยใช A และ b เทากับ

Y =[Imm 0mk

] [XmXk

]= Xm


สรุป: การแปลงตัวแปรสุมในรูปแบบฟงกชันเชิงเสน (lineartransformation)

เราสามารถแบง คาคาดหมาย (mean) และเมทริกซความแปรปรวนรวม (variance-covariance matrix) ของ X ไดเปน

µ =

[µmµk

](32)

และ

Σ =

[Σmm ΣmkΣkm Σkk

](33)

โดยที่ Σmk คือเมทริกซความแปรปรวนรวม (variance-covariance matrix) ระหวาง Xm และ Xkคาคาดหมาย (mean) และเมทริกซความแปรปรวนรวม (variance-covariance matrix) ของ Y สามารถแบงสวนไดเปน[Imm 0mk

] [µmµk

]= µm (34)

และ [Imm 0mk] [Σmm Σmk

Σkm Σkk

] [ Imm0mk

]= Σmm (35)

สรุปไดวา Y = Xm ∼ N (µm,Σmm) กลาวคือ การแจกแจงรวมเปนแบบปกติ แลวการแจกแจงของตัวแปรสุมบางสวนก็จะมีการแจกแจงปกติเชนกัน โดยที่คาคาดหมาย (mean) และคาความแปรปรวน (variance) ของชุดตัวแปรบางสวนสามารถหาไดจากคาสถิติของตัวแปรสุมทั้งหมดไดไมยากนัก


ตัวอยาง: การหาฟงกชันความหนาแนนของความนาจะเปนรวม (p.d.f.)ของ X1 และ X2Exampleพิจารณาตัวแปรสุมสองตัว X1 และ X2 ที่มีการแจกแจงปกติ (normally distributed) ดวยคาคาดหมาย (µ1, µ2) และเมทริกซความแปรปรวนรวม (variance-covariancematrix)

Σ =

[σ21 σ12

σ12 σ22

]

จะเห็นไดวา det Σ = σ21σ

22 − σ2

12 = σ21σ

22

(1 − ρ2

)โดยที่ ρ แทนคาสหสัมพันธระหวาง X1 และ X2 ดังนั้น สวนกลับ (inverse) ของ Σ เทากับ

Σ−1

=1

σ21σ

22

(1 − ρ2

) [σ22 −σ12

−σ12 σ21

]

สามารถคำนวณไดวา

(x − µ)′Σ

−1(x − µ) = [x1 − µ1, x2 − µ2]

1

σ21σ

22

(1 − ρ2

) [σ22 −σ12

−σ12 σ21

] [x1 − µ1x2 − µ2

]

=1

1 − ρ2

[( x1 − µ1

σ1

)2− 2ρ

( x1 − µ1

σ1

)( x2 − µ2

σ2

)+

( x2 − µ2

σ2

)2]


วิธีทำ: การหาฟงกชันความหนาแนนของความนาจะเปนรวม (p.d.f.) ของX1 และ X2Example

ฟงกชันความหนาแนนของความนาจะเปนรวม (p.d.f.) ของ X1 และ X2 คือ

f (x1, x2) =1

2πσ1σ2√

1 − ρ2e−

Q2 (36)

โดยที่

Q =1

1 − ρ2

[( x1 − µ1

σ1

)2− 2ρ

( x1 − µ1

σ1

)( x2 − µ2

σ2

)+

( x2 − µ2

σ2

)2](37)

ถา ρ = 0 แลว ฟงกชันความหนาแนนของความนาจะเปนรวม (p.d.f.) ของ X1 และ X2 คือ

f (x1, x2) =1

2πσ1σ2√

1 − ρ2exp

{−

1

2

[( x1 − µ1

σ1

)2+

( x2 − µ2

σ2

)2]}

=

1√2πσ2

1

e− 1

2

( x1−µ1σ1

)2 1√

2πσ22

e− 1

2

( x2−µ2σ2

)2 = f1 (x1) f2 (x2)

หมายความวา X1 และ X2 เปนอิสระตอกัน กลาวคือ ในกรณีของการแจกแจงปกติ (normal distribution) การไมมีสหสัมพันธ (uncorrelated) หมายถึงการเปนอิสระตอกัน (independent) ดวย


ทฤษฎี: ความเปนอิสระตอกัน (independent) ของตัวแปรสุมTheoremกำหนดให X ∼ N (µ,Σ) และสามารถแยกสวนไดเปนสองสวนคือ X = (Xm, Xk) ซึ่งสอดคลองกับสมการที่ 30, 32, และ 33 ดังนั้น Xm และ Xk เปนอิสระตอกัน(independent) ก็ตอเมื่อ (if and only if) Σmk = 0

Proof.พิจารณาฟงกชันกอกำเนิดโมเมนต (m.g.f.) ของ X ในรูปของ tm และ tk

ψ (tm, tk) = exp{µm′tm + µk′tk +

1

2

[t′mΣmmtm + t

′kΣmmtk + t

′mΣmktk + t

′kΣkmtm

]}= exp

{µm′tm + µk′tk +

1

2

[t′mΣmmtm + t

′kΣmmtk

]}exp

{1

2

[t′mΣmktk + t

′kΣkmtm

]}(38)

ψ (tm, tk) = exp{µm′tm +

1

2

[t′mΣmmtm

]}exp

{µk′tk +

1

2

[t′kΣmmtk

]}= exp

{µm′tm + µk′tk +

1

2

[t′mΣmmtm + t

′kΣmmtk

]}(39)

exp{

1

2

[t′mΣmktk + t

′kΣkmtm

]}= 1 ⇒ t

′mΣmktk + t

′kΣkmtm = 0

ซึ่งจะเปนจริงก็ตอเมื่อ Σmk = Σ′km = 0


ทฤษฎี: การแจกแจงแบบมีเงื่อนไข (conditional distribution) เปนการแจกแจงแบบปกติ (normal)

Theoremกำหนดให X ∼ N (µ,Σ) และสามารถแยกสวนไดเปนสองสวนคือ X = (Xm, Xk) ซึ่งสอดคลองกับสมการที่ 30, 32, และ 33 และสมมุติวา Σ เปนบวกแนนอน (positive definite)ดังนั้น การแจกแจงแบบมีเงื่อนไข (conditional distribution) ของ Xm เมื่อทราบ Xk เปนแบบปกติ (normal) นั่นคือ

Xm∣∣Xk ∼ N

(µm +ΣmkΣ−1

kk (Xk − µk) ,Σmm −ΣmkΣ−1kk Σkm

)(40)


การพิสูจน: การแจกแจงแบบมีเงื่อนไข (conditional distribution)เปนการแจกแจงแบบปกติ (normal)Proof.

กำหนดให W = Xm − ΣmkΣ−1kk Xk และ

[WX2

]=

[Im −ΣmkΣ

−1kk

0 Ik

] [X1X2

]

คำนวณหาเมทริกซของคาความแปรปรวน (variance-covariance matrix) ไดเปน

[Im −ΣmkΣ

−1kk

0 Ik

] [Σmm ΣmkΣkm Σkk

] [ Im 0

−ΣmkΣ−1kk Ik

]=

[Σmm − ΣmkΣ

−1kk Σkm 0

0 Σkk

]

เห็นไดวา W และ Xk เปนอิสระตอกัน (independent) ดังนั้น การแจกแจงแบบมีเงื่อนไข W∣∣Xk จะเหมือนกับการแจกแจงของ W ซึ่งเปนการแจกแจงปกติ

(normal distribution) ดวยคาคาดหมาย (mean) เทากับ µm − ΣmkΣ−1kk µk และสามารถสรุปไดวา

W∣∣Xk ∼ N

(µm − ΣmkΣ

−1kk µk,Σmm − ΣmkΣ

−1kk Σkm

)

ในขณะเดียวกัน เนื่องจากสิ่งที่เราสนใจคือการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขเมื่อทราบ Xk ดังนั้น การบวกเพิ่มดวยฟงกชันของ Xk เขาไปยอมมีผลตอเชนเดียวกับการบวกเพิ่มดวยคาคงที่ ซึ่งมีผลตอคาคาดหมาย แตไมมีผลตอคาความแปรปรวนเราสามารถคำนวณหา Xm ไดจาก W + ΣmkΣ

−1kk Xk = Xm ดังนั้น การแจกแจงแบบมีเงื่อนไข (conditional distribution) ของ Xm เมื่อทราบ Xk เทากับ

Xm∣∣Xk ∼ N

(µm − ΣmkΣ

−1kk µk + ΣmkΣ

−1kk Xk,Σmm − ΣmkΣ

−1kk Σkm

)รศ.ดร. วีระชาติ กิเลนทอง มหาวิทยาลัยหอการคาไทย Popular Distributions 39 / 40

ตัวอยาง: การคำนวณหาคาคาดหมายแบบมีเงื่อนไข (conditional mean)Exampleเชนเดียวกับตัวอยางที่แลว สมมุติใหตัวแปรสุม X1 และ X2 มีการแจกแจงปกติ (normally distributed) ดวยคาคาดหมาย(µ1, µ2) และเมทริกซความแปรปรวนรวม (variance-covariance matrix)

Σ =

[σ21 σ12σ12 σ2

2

]

ใชสมการที่ 40 เพื่อคำนวณหาคาคาดหมายแบบมีเงื่อนไข (conditional mean) ของ X1 เมื่อทราบ X2 = x2 ไดเปน

E [X1|X2 = x2] = µ1 +Σ12Σ−122 (X2 − µ2) = µ1 + (ρσ1σ2)

(σ22

)−1(x2 − µ2)

= µ1 + ρσ1

σ2(x2 − µ2)

ฟงกชันเชิงเสน (linear function) ของ x2 สังเกตวาเราไมไดกำหนดหรือบังคับใหคาคาดหมายแบบมีเงื่อนไข (conditionalmean) นี้มีความสัมพันธเชิงเสนแตอยางใด แตคุณสมบัติของการแจกแจงปกติ นอกจากนี้ ยังสามารถเขียนในรูปของตัวแปรสุมไดเปน

E [X1|X2] = µ1 + ρσ1

σ2(X2 − µ2) (41)


รศ.ดร. วีระชาติ กิเลนทอง...

Documents

Transcript of รศ.ดร. วีระชาติ กิเลนทอง...