A BC , y F I Ax () 0 I A() x · 2007-10-07 · Universidad Diego Portales Instituto de Ciencias...

Universidad Diego Portales Instituto de Ciencias Básicas

Ecuaciones lineales de segundo orden

Considere la ecuación lineal general de segundo orden

( ) ( ) ( ) ( )A x y B x y C x y F x′′ ′+ + =

donde las funciones coeficientes , , y A B C F son continuas en el intervaloabierto I .

Suponemos, además que ( ) 0A x ≠ , en cada punto de I , así que podemosdividir cada término, en la ecuación diferencial dada, entre ( )A x y escribirlaen la forma

( ) ( ) ( )y p x y q x y f x′′ ′+ + = .

Primero analizaremos la ecuación homogénea asociada

( ) ( ) 0y p x y q x y′′ ′+ + =


Teorema1. Principio de superposición

Sean 1y y 2y dos soluciones de la ecuación lineal homogénea

( ) ( ) 0y p x y q x y′′ ′+ + = , en el intervalo I . Si 1c y 2c son constantes, la

combinación lineal 1 1 2 2y c y c y= +

también es solución de la ecuación diferencial dada, en el intervalo I .

Ejemplo 1 Por inspección podemos ver que 1 cosy x= y 2 siny x=

son dos soluciones de la ecuación 0y y′′ + = . El teorema anterior nos dice que 1 2cos siny c x c x= +

Es solución de la ecuación diferencial, cualesquiera que sean los valores delas constantes 1c y 2c .


Teorema 2. Existencia y unicidad

Suponga que las funciones p , q y f son continuas en el intervalo abierto

I que contiene al punto a . Entonces, dados cualesquiera dos números 0b y

1b , la ecuación

( ) ( ) ( )y p x y q x y f x′′ ′+ + = tiene una solución única (es decir, una y sólo una) en el intervalo I quesatisface las condiciones iniciales 0( )y a b= , 1( )y a b′ = .

Ejemplo 2 Verifique que las funciones 1( ) xy x e= y 2 ( ) xy x xe=

son soluciones de la ecuación diferencial 2 0y y y′′ ′− + = , y luego determine una solución que satisfaga las condiciones iniciales (0) 3y = , (0) 1y′ = .


Definición: Independencia lineal de dos funciones

Dos funciones definidas en un intervalo abierto I se dice que sonlinealmente independientes en I si se cumple que ninguna es un múltiploconstante de la otra.

Ejemplo 3 Es claro que los siguientes pares de funciones son linealmenteindependientes en toda la recta real:

• sin x y cos x • xe y 2xe− • xe y xxe • 1x + y 2x • x y x

Las funciones ( ) sin 2f x x= y ( ) sin cosg x x x= son linealmentedependientes en cualquier intervalo puesto que ( ) 2 ( )f x g x= .


Teorema 3. Wronskiano de soluciones Suponga que 1y y 2y son dos soluciones de la ecuación lineal homogénea

de segundo orden ( ) ( ) 0y p x y q x y′′ ′+ + = en el intervalo abierto I en el que p y q son continuas.

a) Si 1y y 2y son linealmente dependientes, entonces 1 2( , ) 0W y y ≡ en I .

b) Si 1y y 2y son linealmente independientes, entonces 1 2( , ) 0W y y ≠ en

cada punto de I . En donde el wronskiano de 1y y 2y (determinante de wronski), se define

como 1 21 2

1 2

( , )y y

W y yy y

≡′ ′

.


Teorema 4. Soluciones generales

Sean 1y y 2y dos soluciones linealmente independientes de la ecuación

homogénea ( ) ( ) 0y p x y q x y′′ ′+ + = con p y q continuas en el intervalo abierto I . Si Y es cualquier solución

de la ecuación homogénea en I , entonces existen números 1c y 2c tales

que 1 1 2 2( ) ( ) ( )Y x c y x c y x= +

para toda x en I .


Ejemplo 4 Es claro que 2

1( ) xy x e= y 22 ( ) xy x e−=

son soluciones independientes de 4 0y y′′ − = . También 3 ( ) cosh 2y x x= y 4 ( ) sinh 2y x x=

son soluciones de la ecuación homogénea dada. Esto no es una sorpresa yaque sabemos que 2 21 1

2 2cosh 2 x xx e e−= + y 2 21 12 2sinh 2 x xx e e−= − .


Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes Estudiaremos la ecuación lineal homogénea de segundo orden 0ay by cy′′ ′+ + = .

Una solución natural de la ecuación diferencial tiene la forma xz eλ= , ya quesi reemplazamos xz eλ= , xz eλλ′ = y 2 xz eλλ′′ = en la ecuación diferencial, se obtiene 2( ) ( ) ( ) 0x x xa e b e c eλ λ λλ λ+ + = , de donde 2( ) 0xa b c eλλ λ+ + = . Resolviendo la ecuación característica 2 0a b cλ λ+ + = , obtenemos dos soluciones, linealmente independientes 1

1xz eλ= y 2

2xz eλ= .

Donde 1λ y 2λ son las raíces de la ecuación característica.


Teorema 5. Raíces reales distintas Si las raíces 1λ y 2λ de la ecuación característica son reales y distintas,

entonces 1 2

1 2( ) x xy x c e c eλ λ= +

es la solución general de la ecuación diferencial lineal homogénea 0ay by cy′′ ′+ + = .

Ejemplo 5 Determine la solución general de 2 7 3 0y y y′′ ′− + = . Ejemplo 6 Determine la solución general de 2 0y y′′ ′+ = .


Teorema 6. Raíces repetidas

Si la ecuación característica tiene raíces iguales (reales) 1 2λ λ= , entonces

1

1 2( ) ( ) xy x c c x eλ= +

es la solución general de la ecuación 0ay by cy′′ ′+ + = .

Ejemplo 7 Resolver el problema con condiciones iniciales 2 0y y y′′ ′+ + = ; (0) 5y = , (0) 3y′ = − .


Teorema 7. Raíces complejas

Si la ecuación característica tiene raíces complejas iα β± , con 0β ≠ ,entonces 1 2( ) ( cos sin )xy x e c x c xα β β= +

es la solución general de la ecuación 0ay by cy′′ ′+ + = .

Ejemplo 8 Determine una solución particular de 4 5 0y y y′′ ′− + = ; (0) 1y = , (0) 5y′ = .


Ecuaciones lineales homogéneas de orden ncon coeficientes constantes

La solución general de la ecuación lineal homogénea de orden n ( ) ( 1)

1 2 1 0... 0n nn na y a y a y a y a y−

− ′′ ′+ + + + + = ,

donde 0 1 2, , ,..., na a a a son constantes reales con 0na ≠ , es una extensión

natural de la ecuación lineal homogénea de segundo orden. En este caso la ecuación característica tiene la forma ( ) ( 1) 2

1 2 1 0... 0n nn na a a a aλ λ λ λ−

−+ + + + + = .


Teorema 1. Raíces reales distintas

Si las raíces 1 2, ,..., nλ λ λ de la ecuación característica son reales y distintas,

entonces 1 2

1 2( ) ... nxx xny x c e c e c eλλ λ= + + +

Es la solución general de la ecuación diferencial dada.

Ejemplo 1 Resuelva el problema con condiciones iniciales (3) 3 10 0y y y′′ ′+ − = ; (0) 7y = , (0) 0y′ = , (0) 70y′′ = .


Teorema 2. Raíces repetidas

Si la ecuación característica tiene una raíz λ repetida de multiplicidad k ,entonces la parte de la solución general de la ecuación diferencial linealhomogénea, correspondiente a λ es de la forma 2 1

1 2 3( ... )k xkc c x c x c x eλ−+ + + +

Ejemplo 2 Encuentre una solución general de la ecuación diferencial de quinto orden (5) (4) (3)9 6 0y y y− + = . Ejemplo 3 Determine la solución de 2 2( 6 13) 0D D y+ + = . Ejemplo 4 Encuentre la solución general de la ecuación diferencial (3) 10 0y y y′+ − = .


Ecuación diferencial lineal de orden n no homogénea Consideremos la ecuación lineal diferencial no homogénea de segundoorden ( ) ( ) ( )y p x y q x f x′′ ′+ + = con ecuación homogénea asociada ( ) ( ) 0y p x y q x′′ ′+ + = . El siguiente teorema, permite determinar la solución general de la ecuacióndiferencial lineal no homogénea. Teorema 1 Sea Py , una solución particular de la ecuación no homogénea

( ) ( ) ( )y p x y q x f x′′ ′+ + = en un intervalo abierto I en el cual las funciones p , q y f son continuas.

Sean 1y y 2y , soluciones linealmente independientes de la ecuación

homogénea asociada ( ) ( ) 0y p x y q x′′ ′+ + = . Si Y es una solución cualquiera de la de la ecuación no homogénea sobreI , entonces existen números 1c y 2c tales que

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )PY x c y x c y x y x= + +

para toda x de I .


Ejemplo 1 Es evidente que 3Py x= es una solución particular de la ecuación

4 12y y x′′ + = , y que 1 2( ) cos 2 sin 2Hy x c x c x= + ,

Es la solución general de la ecuación diferencial homogénea. Encuentre unasolución que satisfaga las condiciones iniciales (0) 5y = , (0) 7y′ = .

A continuación estudiaremos un método que permite hallar una soluciónparticular de la ecuación diferencial no homogénea ( ) ( ) ( )y p x y q x f x′′ ′+ + = .


Método de coeficientes indeterminados

Este método se puede emplear siempre que todas las derivadas de ( )f xtengan la misma forma que ( )f x . Caso 1: Si ( )f x es de la forma 0 1( ) ... m

m mP x b b x b x= + + + , la solución

particular es 0 1( ... )s mmx A A x A x+ + +

Ejemplo 2 Encuentre la solución particular de 3 4 3 2y y y x′′ ′+ + = + . Ejemplo 3 Determine una solución particular de 34 3y y x′′ + = .


Caso 2: Si ( )f x es de la forma cos sina kx b kx+ , la solución particular es

( cos sin )sx A kx B kx+

Ejemplo 4 Determine una solución particular de 3 2 2cosy y y x′′ ′+ − = . Ejemplo 5 Determine una solución particular de 2 2(3 2) 2cosD D y x+ − = .


Caso 3: Si ( )f x es de la forma ( cos sin )rxe a kx b kx+ , la solución particular es

( cos sin )s rxx e A kx B kx+

Ejemplo 6 Determine una solución particular de 36 13 sinxy y y e x−′′ ′+ + = . Ejemplo 7 Determine una solución particular de 36 13 cos 2xy y y e x−′′ ′+ + = .


Caso 4: Si ( )f x es de la forma ( ) rxmP x e , la solución particular es

0 1( ... )s m rxmx A A x A x e+ + +

Ejemplo 8 Determine una solución particular de 32 xy y e′′ − = . Ejemplo 9 Determine una solución particular de 22 xy y e′′ − = . Ejemplo 10 Determine una solución particular de 3 2 29 xy y x e′+ = .


Caso 5: Si ( )f x es de la forma ( )( cos sin )mP x a kx b kx+ , la solución particular

es 0 1 0 1( ... ) cos ( ... ) sins m mm mx A A x A x kx B B x B x kx⎡ ⎤+ + + + + + +⎣ ⎦

Ejemplo 11 Determine una solución particular de 3 9 siny y x x′+ = . Ejemplo 12 Determine una solución particular de 3 9 sin 3y y x x′+ = .


Si la función ( ) ( ) ( )f x x xα β= + , podemos usar la linealidad de la ecuacióndiferencial y determinar dos soluciones particulares, una para ( )xα y otrapara ( )xβ . Esta idea se muestra en el ejemplo siguiente. Ejemplo 13 Determine una solución particular de 3 2 29 sin xy y x x x e′+ = + . Ejemplo 14 Determine una solución particular de 3 23 4xy y e x′′+ = + .


Variación de parámetros Este método es útil para determinar una solución particular de la ecuacióndiferencial lineal )()()( xfyxqyxpy =+′+′′ , a partir de la solución general de

la parte homogénea )()()( 2211 xycxycxyH += . En este método se suponeque la solución particular debe ser de la forma

)()()()()( 2211 xyxcxyxcxyP += .

Teorema. Variación de parámetros Si )()()( 2211 xycxycxyH += es la solución de la parte homogénea de laecuación no homogénea )()()( xfyxqyxpy =+′+′′ , entonces una soluciónparticular está dada por

dxxW

xfxyxydx

xWxfxy

xyxyP ∫∫ +−=)(

)()()(

)()()(

)()( 12

21

en la que ),()( 21 yyWxW = , es el wronskiano de las dos soluciones

independientes 1y y 2y de la ecuación homogénea asociada. Ejemplo 11 Determine una solución particular de la ecuación xyy tan=+′′ .


Ejemplo 12 Determine una solución particular de la ecuación 4 xy y xe′′ − = Ejemplo 13 Determine una solución particular de la ecuación 2siny y x′′ + = Ejemplo 14 Determine una solución particular de la ecuación 9 2sec3y y x′′ + =


La ecuación lineal de Euler

La ecuación diferencial lineal

11

1 11 ... ( )n n

n nn nn n

d y d y dyx a x a x a y f xdx dx dx

−−

−−+ + + + = , (1)

en que la derivada de orden r está multiplicada por rx y por una constante,se llama ecuación lineal de Euler. La sustitución tx e= reduce la ecuación aotra lineal con coeficientes constantes, en que t es la variable

independiente. Si tx e= se deduce que dx xdt

= . Así pues,

dy dy dtdx dt dx

= , y dy dyxdx dt

= .

También

2

2

d dy d yx xdx dx dt

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

,


y, en consecuencia,

2 2

22 2 1d y d y dy d dx y

dx dt dt dt dt⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Análogamente

3

33 1 2d y d d dx y

dx dt dt dt⎛ ⎞⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

,

y

1 2 ... 1n

nn

d y d d d dx n ydx dt dt dt dt

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Sustituyendo en (1) esta expresión para r

rr

d yxdx

, la ecuación se transforma

en

1

1 11 ... ( )n n

tn nn n

d y d y dyb b b y f edt dt dt

−

−−+ + + + = ,

en donde 1 2, ,..., nb b b , son constantes.


Ejemplo 1

Resuelva la ecuación 2

22 2

16 6d y dyx x ydx dx x

+ + = .

Ejemplo 2

Resuelva la ecuación 2

2 42 2 2 12d y dyx x y x

dx dx− + = .

Ejemplo 3 Resuelva la ecuación 3 2 33 27x y x y xy x′′′ ′′ ′+ + = .


Aplicaciones de las ecuaciones lineales de orden n

Vibraciones mecánicas

La ecuación diferencial que determina el movimiento de la masa m , sujeta a unresorte con constante del resorte k y a un amortiguador con constante deamortiguamiento c , es: ( )mx cx kx F t′′ ′+ + = , (1)

donde ( )F t es una fuerza externa de forzamiento.


Ejemplo 1 Suponga que 1m = , 9k = , 0 80F = y 5ω = , de modo que la ecuación

diferencial es 9 80cos5x x t′′ + = . Determine ( )x t si (0) (0) 0x x′= = . Solución: ( ) 5(cos3 cos5 )x t t t= − .

Ejemplo 2 Suponga que 0.1m = , 0 50F = , 0 55ω = y 45ω = , de modo que la ecuación

diferencial es 20.1 0.1 55 50cos 45x x t′′ + + = . Determine ( )x t si (0) (0) 0x x′= = . Solución: ( )1

2( ) cos(45 ) cos(55 )x t t t= −


Ejemplo 3

Suponga que 5 Kgm = , 500 N/mk = ( 0 10 rad/segkm

ω = = ), 0 50 NF = , y

9.9 rad/segω = ,de modo que la ecuación diferencial es 5 500 5cos10x x t′′ + = . Determine ( )x t si (0) (0) 0x x′= = .

Solución: ( )( )1000( ) cos 9.9 cos(10 )199

x t t t= − .


Ejemplo con Maple

En este ejemplo investigaremos las vibraciones forzadas de un sistemamasa – resorte – amortiguador con la ecuación

( )mx cx kx F t′′ ′+ + = . (1)

Para simplificar la notación, hacemos 2m p= , 2c p= y 2 2 1k p q= + , endonde 0p > y 0q > : Entonces la solución homogénea de la ecuación (1) es

/1 2( ) ( cos sin )t p

Hx t e C qt C qt−= + .

Tomaremos 5p = , 3q = y así investigamos las soluciones transitorias yperiódicas estacionarias correspondientes a

25 10 226 ( )x x x F t′′ ′+ + = , (0) 0x = , (0) 0x′ = .


> restart; > de2:=25*diff(x(t),t,t)+10*diff(x(t),t)+226*x(t)=900*exp(-t/5)*cos(3*t); > dsolve({de2,x(0)=0,D(x)(0)=0},x(t)); > x:=simplify(combine(rhs(%),trig)); > C:=6*t*exp(-t/5); > plot({x,C,-C},t=0..8*Pi); Observe que la gráfica de

la solución oscila entre las curvas envolventes

/ 56 tx te−= ±


Sistemas de primer orden

Como punto de partida observe que la ecuación diferencial de segundoorden )(xfqyypy =+′+′′ puede transformarse en un sistema de ecuaciones,

introduciendo las variables dependientes yu =1 , yu ′=2 . Entonces laecuación diferencial dada se transforma en el sistema de primer orden

⎩⎨⎧

′=′′′=′

yuyu

1

2 ⇒ ⎩⎨⎧

=′+−−=′

21

122 )(uu

xfqupuu

Este procedimiento también es reversible. Es decir, dado un sistema deprimer orden, podemos transformarlo en una ecuación diferencial como lasque estudiamos anteriormente.


Ejemplo 1 La ecuación de tercer orden txxxx 2sin523)3( =−+′′+ , usando lassustituciones xu =1 , xu ′=2 , xu ′′=3 , se transforma en el sistema de primer

orden

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=′=′

−−=′

21

32

123 23

uuuu

uuu

Ejemplo 2 El sistema

⎩⎨⎧

+−=′′+−=′′

tyxyyxx

3sin4022262

de ecuaciones de segundo orden, se transforma en el sistema de primerorden

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−=′=′

+−=′=′

tuuuuu

uuuuu

3sin4022

262

314

43

312

21


El método de eliminación Ejemplo 3 Resolver el sistema de dos dimensiones

⎩⎨⎧

=′−=′

xyyx

21

2.

con valores iniciales 2)0( =x , 0)0( =y . Ejemplo 4 Encuentre la solución general del sistema

⎩⎨⎧

+=′=′

yxyyx

2.

Ejemplo 5 Determine la solución particular del sistema

⎩⎨⎧

−=′−=′

yxyyxx

7634

que satisface las condiciones iniciales 2)0( =x , 1)0( −=y .


Operadores lineales

El uso del operador diferencial dtdD = , es muy útil para resolver sistemas de

ecuaciones, como se muestra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 6 Encuentre la solución general del sistema

⎩⎨⎧

=′+−=′

yyyxx

23

.

Solución: El sistema se transforma en

⎩⎨⎧

=+−=yDy

yxDx2

3 ⇒

⎩⎨⎧

=−=−+0)2(

03)1(yD

yxD

La solución, no trivial, del sistema se obtiene de

020

31=

−−+

xD

D, o de 0

2031

=−−+

yD

D.

Entonces 0)2)(1( =−+ xDD .


De donde se obtiene la solución general tt ecectx 2

21)( += − . Reemplazando tt ecectx 2

21)( += − y tt ecectx 221 2)( +−=′ − en yxx 3+−=′ ,

obtenemos yecececec tttt 3)(2 2

212

21 ++−=+− −− . Despejamos la variable y , tecty 2

2)( = .


Ejemplo 7 Encuentre la solución general del sistema

⎩⎨⎧

−=′′+−=′′

yxytxx

84sin4

.

Solución: El sistema se transforma en

⎩⎨⎧

=++−=+

0)8(4sin)4(

2

2

yDxtxD

.

De aquí se obtiene

80

0sin84

0422

2

+=

+−+

Dt

yD

D, (es mejor que determinar x ).

Así, se tiene ))(sin8()8)(4( 222 tDyDD +=++ . Entonces tyDD sin7)8)(4( 22 =++ etc

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