수의 세계

9주차. Visual Mathematics 2

1. Tiling

• 쪽매붙이기

학습내용

학습목표

수의 세계

9주차. Visual Mathematics 2

1 쪽매붙이기--Tiling 1

쪽매 붙이기 : 특정한 조각들과 합동인 조각,

즉 쪽매들을 이용하여 평면을 빈틈없이 그리고

중복없이 채우는 행위 (tiling, mosaic,

tessellation, quilt)

1 쪽매붙이기--Tiling 1

1) 정다각형 쪽매 -- 정사각형

1 쪽매붙이기--Tiling 1

덕 산 수 덕 사

1) 정다각형 쪽매 -- 정사각형

1 쪽매붙이기--Tiling 1

1) 정다각형 쪽매 -- 정삼각형

1 쪽매붙이기--Tiling 1

1) 정다각형 쪽매 -- 정삼각형

1 쪽매붙이기--Tiling 1

1) 정다각형 쪽매 -- 정육각형

1 쪽매붙이기--Tiling 1

정칠각형 이상의 다각형으로는 쪽매붙이기가

불가능.

(정 n각형의 내각은 180° – 360°/n.

n≥7이면 세개 이상의 내각이 만날 때 도형들이

겹친다.)

1 쪽매붙이기--Tiling 1

2) 다각형 쪽매 -- 사각형

1 쪽매붙이기--Tiling 1

2) Alhambra Palace

Granada, Spain

1 쪽매붙이기--Tiling 1

2) Alhambra Palace

Arabic patterns of tiling

1 쪽매붙이기--Tiling 1

2) Alhambra Palace

Arabic patterns of tiling

1 쪽매붙이기--Tiling 1

2) 쪽매 겹치기

1 쪽매붙이기--Tiling 1

2) 쪽매 겹치기

투명 아크릴판 쪽매를 겹치면….

피타고라스 정리

1 쪽매붙이기--Tiling 1

2) 쪽매 겹치기

투명 아크릴판 쪽매를 겹치면….

피타고라스 정리

수의 세계

9주차. Visual Mathematics 2

1 말이 필요없는 증명 -- 급수 2

1) Sum of cubes

2

333

2

)1(21

nnn

1 말이 필요없는 증명 -- 급수 2

1) Sum of cubes

1 말이 필요없는 증명 -- 급수 2

2) Series

13 + 23 + ×××+ n3 =n(n +1)

2

æ

èçö

ø÷

2

®¥

1

12+

1

22+

1

32+ ×××+

1

n2®

p 2

6

n®¥As

1-1+1-1+

1 말이 필요없는 증명 -- 급수 2

2) 등비급수

1

2+

1

22+

1

23+ ×××+

1

2n®1

1 말이 필요없는 증명 -- 급수 2

2) 등비급수

1

4+

1

42+

1

43+ ×××+

1

4n®

1

3

1 말이 필요없는 증명 -- 급수 2

2) 등비급수 – 계산

1

4nn=1

¥

å = limn®¥

1

4+

1

42+ +

1

4næ

èçö

ø÷=

1

3

1 말이 필요없는 증명 -- 급수 2

2) 등비급수 – 계산

1

4nn=1

¥

å =1

3

1

4+

1

42+

1

43+ ×××+

1

4n= sn -1®

1

3

1 말이 필요없는 증명 -- 급수 2

2) 등비급수 – 아르키메데스의 증명

1

4nn=1

¥

å =1

3

1 말이 필요없는 증명 -- 급수 2

Sum of reciprocal squares

limn®¥

1

12+

1

22+

1

32+ ×××+

1

n2

æ

èçö

ø÷< ¥

1 말이 필요없는 증명 -- 급수 2

Sum of reciprocal of squares of all primes

limp®¥

1

22+

1

32+ ×××+

1

p2

æ

èçö

ø÷< ¥

(P는 소수)

limp®¥

1

2+

1

3+ ×××+

1

p

æ

èçö

ø÷®¥

Sum of reciprocal of all primes

Euler

→ →

1 말이 필요없는 증명 -- 급수 2

Sum of reciprocals – Harmonic series

limn®¥

1

2+

1

3+ ×××+

1

n

æ

èçö

ø÷®¥

→ →

1 말이 필요없는 증명 -- 급수 2

Sum of reciprocals – Harmonic series

limn®¥

1

2+

1

3+ ×××+

1

n

æ

èçö

ø÷®¥

n

nn

ln

1

3

1

2

1ln

1 말이 필요없는 증명 -- 급수 2

Sums of geometric series

1

rn= limn®¥

1+1

r+

1

r2+

1

r3+ ×××+

1

rnæ

èçö

ø÷n=0

¥

å

If r≥1,

1+1

r+

1

r2+

1

r3+ ×××+

1

rn>1+1+1+ +1

If r<1,

1+1

r+

1

r2+

1

r3+ ×××+

1

rn=

1- rn+1

1- r®

1

1- r

1 말이 필요없는 증명 -- 급수 2

Sums of geometric series

1 말이 필요없는 증명 -- 급수 2

Differential geometric series

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9주차. Visual Mathematics 2

[문제1] 아래 그림들이 나타내는 무한급수와 그

합을 구하라.

평가하기

[문제2] “L”자 모양으로 생긴 아래 그림을 각 각

2, 3, 4, 8, 12개의 합동인 모양으로 나누어 보시요.

평가하기

[문제3] 아래 그림을 이용하여 제곱수의 합에 대한

다음 공식을 증명하라.

평가하기

3 12 + 22 + + n2( ) = n n +1

2

æ

èçö

ø÷n +1( )

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9주차. Visual Mathematics 2

정리하기

1강 . 쪽매붙이기

- 쪽매붙이기

정리하기

2강. 무한급수

- 무한급수의 합