(9) Rendering-Pipeline BV vs. CG - uni-koblenz.decg/ws0910/tmp/09_BV_versus_CG.pdf ·...

(9) Rendering-PipelineBV vs. CG

Vorlesung„CV-Integration“

U N I V E R S I T Ä TKOBLENZ · LANDAU

„CV-Integration“S. Müller

zyw

zxv

zzv

sxv

szv

syv

spv

ztv

O

T

Wiederholung 1zy

wzx

v

zzv

sxv

szv

syv

spv

stv

O

T

� Projektion� Achsen des Zielkoordinaten-

� Linearkombination� Achsen des Startkoordi-

sz ppvv ⋅= M

U N I V E R S I T Ä TKOBLENZ · LANDAU S. Müller - 2 -

( )ssz tppvvv −⋅= R zsz tpp

vvv +⋅= R

� Achsen des Zielkoordinaten-systems und dessen Ursprung in Startkoordinaten gegeben

� Achsen des Startkoordi-natensystems und dessen Ursprung in Zielkoordinaten gegeben

( ) ( ) ssss

zz pzyxtTpvvvvvv ⋅⋅=( ) ss

Tz

Tz

Tz

z ptT

z

y

x

pvv

v

v

v

v ⋅−⋅

=

Matrizen


View-Transformation (Projektion)

� Vektor-Matrix-Notation:

� Matrix-Notation:

( )ww

Tcwc tpp

vvv −⋅= R

wz

y

x

zyx

zyx

zyx

wc pt

t

t

kkk

jjj

iii

ppvvv ⋅

−−−

⋅

=⋅=100

010

001

0

0

0

V


ausmultipliziert

S. Müller - 4 -

zzyx

10001000

Formal handelt es sich bei dieser Gleichung um 4D Vektoren. Auf neue Bezeichner habe ich aber verzichtet…

( )( )( )

=

−−−

=

1010 T

Tw

cTw

Tw

Tww

Tw

wwTw

wwT

w

k

tj

i

ktk

jtj

iti

v

v

vv

v

v

v

ovv

vo

vv

vo

vv

V

Transformationshierarchie (Linearkombination )

� Vektor-Matrix-Notation:

� Matrix-Notation:

wccww tpp

vvv +⋅= R

czzz

yyy

xxx

z

y

x

cw pkji

kji

kji

t

t

t

ppvvv ⋅

=⋅=0

0

0

100

010

001

M


ausmultipliziert

=

10Twwww tkji

v

vvvv

M

zzzz

10001000

Formal handelt es sich bei dieser Gleichung um 4D Vektoren. Auf neue Bezeichner habe ich aber verzichtet…

Bedeutung

� Wenn für eine Koordinaten-transformation (Rotation und Translation) von einem Start (s)- in ein Zielkoordinaten-system (z) eine 4x4 Matrix gegeben ist:

� Dann gilt

( )sz

sz

sz

Tz

Tzs

Tzs

zyx

z

y

x

mmm

mmm

mmmvvv

v

v

v

=

=

852

741

Start-Achsen

Ziel-Achsen


� Und

S. Müller - 6 -

sz pmmmm

mmmm

mmmm

pvv ⋅

=

100012963

11852

10741

Tzszmmmv

963

−−−

=

=

szs

szs

szs

zz

yz

xz

tz

ty

tx

t

t

t

m

m

m

vo

v

vo

v

vo

v

,

,

,

12

11

10

TranslationsvektorIn Zielkoordinaten

Merke:Startachsen – SpalteZielachsen– Zeile

Bsp. 11: Normale des Markers

xv

zv

yv

ctv

jv

T

iv

kv

O A

B


T

� Die Achsen des Weltkoordinatensystems werden durch den Marker wie gezeigt aufgespannt. Weiterhin ist die 4x4 View-Matrix bekannt.� Gesucht ist der Ursprung des Weltkoordinatensystems in

Kamerakoordinaten,� sowie die Normale des Markers in Kamerakoordinaten.

Lösung

� Entsprechend Bsp. 6 gilt:

� In Matrixnotation:

cwwcc tpp

vvv +⋅= R

ccccjjj

iii

j

i

pptzyx

pzyx

zyx

t

t

pvv

v

vvvvvv ⋅=⋅

=⋅

= V0

0

010

001


� Dies entspricht der gegebenen View-Matrix (Abb. von Welt- in Kamerakoordinaten)

� Ursprung des WKS in Kamerakoordinaten: 4. Spalte von V� Normale des Markers in Kamerakoordinaten: 2. Spalte von V (y-

Achse des WKS)

S. Müller - 8 -

wwTwkkkk

c pppzyxt

p v ⋅=⋅

=⋅

= V10

1000

0

1000

100

Bsp. 12: Szenengraph� In welcher Reihenfolge

stehen Translation/Rotation in einem Szenengraph?

Rechtes Vorderrad

Karosserie

7M

3M

( )( )

( )( )

RTM

TRM

TRM

⋅=⋅=

−⋅=

tc

tb

ta

v

v

v

v

)

)

)

L


� Wie ist die Reihenfolge der Gesamttransformation?

� Wie ist die entsprechende Reihenfolge der OpenGL-Kommandos?

S. Müller - 9 -

Vorderrad

37

73

)

)

MMM

MMM

⋅=⋅=

b

a

( )( ) RTM ⋅−= td

tcv

)

)

Lokale Geometrie

Lösung

� Die richtige Reihenfolge:

� Die richtige Reihenfolge

� OpenGL:

glTranslatef(…t3…);

glRotatef(…R3…);

glTranslatef(…t7…);

glRotatef (…R7…);

( ) RTM ⋅= tcv

)

) MMM ⋅=a


glRotatef (…R7…);

// DrawObjekt //

S. Müller - 10 -

73) MMM ⋅=a

Geometrische Interpretation

� Transformationen hintereinander versucht man sich meist in einzelnen Schritten vorzustellen.

� Bsp.: Transformation von lokalen Koordinaten in Weltkoordinaten:

lw ppvv ⋅⋅⋅⋅= 1234 MMMM


� Interpretation in Einzelschritten bedeutet, dass man sich für die Schritte anfangs die Einheitsmatrix denkt:

� Danach wird Schritt für Schritt jede Einheitsmatrix durch die tatsächliche Matrix ersetzt.

� Es gibt 2 übliche Interpretationen:

S. Müller - 11 -

lw pp ⋅⋅⋅⋅= 1234 MMMM

lw ppvv ⋅⋅⋅⋅= EEEE

Geometrische Interpretation

Weltkoordinaten: � man ersetzt von rechts� Interpretation: wir schieben das

Objekt durch die Welt, bzw. wir lesen das OpenGL Programm von unten nach oben.

� Alle Transformationen beziehen

Lokale Koordinatensysteme: � man ersetzt von links� Interpretation: wir verschieben

lokale Koordinatensysteme; bzw. wir lesen das OpenGLProgramm von oben nach unten.

� Alle Transformationen beziehen


� Alle Transformationen beziehen sich dabei auf das Weltkoordinatensystems

Anfangs ist das Objekt im Weltkoordinatensystem geben.

Dann wird M1 auf das Objekt angewandt.

Dann M2 bzgl. dem WKS etc..

� Alle Transformationen beziehen sich dabei auf das jeweilige lokale Koordinatensystem (LKS)

Anfangs ist das Koordinatensystem mit dem Weltkoordinatensystem identisch.

Dann wird M4 auf das LKS angewandt.

Dann M3 bzgl. dem LKS etc.

S. Müller - 12 -

lw ppvv ⋅⋅⋅⋅= 12 MMEE

lw ppvv ⋅⋅⋅⋅= EEEM4


lw ppvv ⋅⋅⋅⋅= 1MEEE


lw ppvv ⋅⋅⋅⋅= EEMM 34

Bsp. 13: Geometrische Interpretation

� Als Beispiel verwenden folgenden Szenengraphen.

Karosserie

( )av

T

R

Auto

yv

yv

xv

zv

1C

bva

v


Rechtes Vorderrad

Lokale Geometrie

L

( ) ( ) 2pbapw

vvvv ⋅⋅⋅= TRT

( )bv

T

2pv

xv

zv

yv

xv

zv

2C

W

bva

R

Weltkoordinaten

yv

zv

zv

W

yv

xv

zv

xv

bv

yv

zvW

xv

yv

R

av

yv

zvW

xv

yv

xv

zv


( ) 2pbpw

vvv ⋅⋅⋅= TEE

xv

zv

( ) 2pbpw

vvv ⋅⋅⋅= TRE( ) ( ) 2pbapw

vvvv ⋅⋅⋅= TRT

Das Objekt startet im Weltkoordinatensystem. Zuerst wird die Translation in Richtung b in Weltkoordinaten durchgeführt .

Es folgt die Rotation um den Ursprung des Weltkoordinaten-systems,

Als letztes folgt die Translation in Richtung a in Weltkoordi-naten. Damit ist das Objekt in seiner Zielposition.

Interpretationsrichtung

Lokale Koordinatensystemeyv

xv

zv

av


yv

zvW

xv

R

zv

yv

xv

bvz

v

yv

xv

zv

yv

xv



( ) ( ) 2pbapw

vvvv ⋅⋅⋅= TRT( ) 2papw

vvv ⋅⋅⋅= ERT( ) 2papw

vvv ⋅⋅⋅= EET

Als letztes folgt die Translation in Richtung b in Bezug zum letzten LKS. Damit ist das LKS – und damit auch das Objekt –in seiner Zielposition.

Es folgt die Rotation um den Ursprung des LKS,

Anfangs ist das LKS mit dem Weltkoordinatensystem identisch. Zuerst wird es in Richtung a – in Bezug zum letzten LKS – verschoben.

Bsp. 14: Transformationskette

e 1

xv

yv

sEinheitswürfel


� Ein Einheitswürfel soll mit Winkel s um die y-Achse gedreht werden. Darauf befindet sich ein weiterer Würfel, der sich mit dreht, aber zusätzlich noch um einen eigenen Winkel e gedreht werden soll.

� Geben sie die Reihenfolge der Transformationen für beide Würfel an.

S. Müller - 16 -

Lösunge

s


� Unterer Würfel

� Oberer Würfel

S. Müller - 17 -

( )syR

( ) ( ) ( )es yyy RTR ⋅⋅ 1

hier_arm.vcproj

Koordinatensysteme

BV versus CG


Ziel

� Das Ziel der folgenden Folien ist eine vereinheitlichte Sicht (CG und BV) der Transformation einer Weltkoordinate pw in eine Pixelkoordinate pp.

� Die Objekte liegen dabei bereits in Weltkoordinaten vor (keine Modeltransformation).


� Die Details zur Herleitung der Matrizen s. CG1

S. Müller - 19 -

(diskrete) Pixelkoordinaten p

pxv

pyv

0 B

H

L

L

pxv

BVpy ,v

0 B

H

L

L

−=

yBV

x

y

x

pH

p

p

p

,

zv

zv


� CG (OpenGL)� Ursprung unten links� Bildauflösung B und H (in

Pixeln)

� Blick entlang der z-Achse� Linkssystem

� BV (oftmals…)� Ursprung oben links� Bildauflösung B und H (in

Pixeln)

� Blick entlang der z-Achse� Rechtssystem

S. Müller - 20 -

x0 B BVpy ,v

Kamerakoordinatensysteme c

� CG (OpenGL) � BV (oftmals…)

jv

iv

kv

O

O

BVjv

iv

BVkv

−−=

TBV

TBV

T

T

T

T

k

j

i

k

j

i

v

v

v

v

v

v


� CG (OpenGL)� Kamera im Ursprung� x nach rechts� y nach oben� wir sehen entlang der

negativen z-Achse� Rechtssystem

� BV (oftmals…)� Kamera im Ursprung� x nach rechts� y nach unten� wir sehen entlang der

positiven z-Achse� Rechtssystem

S. Müller - 21 -

Bsp. 1: View-Matrix aus BV-MatrixR

BVjv

iv

BVkv

xv

zv

yv

O

wpv

tv


� Die Kamera wird mit Hilfe eines BV-Tools beschrieben durch die Matrix R und den Vektor t mit

� Wie lautet die OpenGL Viewmatrix?

S. Müller - 22 -

zv

( )tpp wc

vvv −⋅= R

=

852

741

630

rrr

rrr

rrr

R

=

z

y

x

t

t

t

tv

Lösung

� Es gilt:

� Daher:

=

=

=

=

z

y

x

wBV

wBVww

t

t

t

t

r

r

r

k

r

r

r

j

r

r

r

ivvvv

;;;

8

5

2

7

4

1

6

3

0

−−

=

−−

=

=210

;; r

r

kr

r

jr

r

ivvv


� View-Matrix:

S. Müller - 23 -

−−=

−−=

=

8

5

7

4

6

3 ;;

r

rk

r

rj

r

ri www

vvv

( )( )( )

( )

++−−−++−−−++−

=

−−−

=

100010852852

741741

630630

rtrtrtrrr

rtrtrtrrr

rtrtrtrrr

ktk

jtj

iti

zyx

zyx

zyx

Tww

Tw

wwTw

wwT

w

v

v

ovv

vo

vv

vo

vv

V

Projektion (BV)


Projektion

� Zur Definition der Projektion wird die Brennweite F verwendet.

1

0 F1

F

1

zv

0

iv

BVkv

1ixv

1

1−

1−

1

F1

F1

iyv

M


� Die Projektion geschieht durch Division durch die z-Koordinaten.

� Nach dem Strahlensatz entspricht dies der Projektion auf die z = 1 Ebene.

� Sie legt den Öffnungswinkel der Kamera fest.

� F ist die Distanz zur Bildfläche mit (halber) Höhe 1

� Genauer: der Bildausschnitt deckt (in Kamerakoordinaten) den Bereich von -1/F bis 1/F auf der z = 1 Ebene ab.

S. Müller - 25 -

BVjv

iv

Bildkoordinaten i� Da die perspektivische Division

erst am Ende ausgeführt wird, werden die Koordinaten als homogene Koordinaten gekennzeichnet.

� Es gilt:

BVci pF

F

p ,00

00~ vv ⋅

=

0

iv

BVkv

1ixv

1

1−

1−

1

F1

F1

iyv

M


� Das Bildkoordinatensystem wird mit dem Buchstaben igekennzeichnet und hat seinen Ursprung in der Mitte.

� Anm.: manchmal wird auch nur die Einheitsmatrix quasi als didaktisches Konstrukt für die Projektion verwendet und F den weiteren Transformationen zugeordnet. Das i-Koordinaten-system entspricht dann dem Kamerakoordinatensystem mit Ursprung bei zc=1.

S. Müller - 26 -

100

BVjv

iv

Kamera

mpv

cpv


� Original Frustum (außen). Die Kamera definiert daraus einen verschobenen, gescherten und skalierten Bereich.

� Das Bild der Kamera - auf einem normalen Bildschirm angezeigt -liefert ein verzerrtes Bild.

� Das Rendering muss genau diese Verzerrung für eine pixel-genaue Überlagerung erreichen

S. Müller - 27 -mc ppvv → :Gesucht

Intrinsische Parameter

� Die Parameter der Kamera werden unterschieden in extrinsische (Lage und

Orientierung im Raum) und intrinsische Parameter.

� Üblich ist ein Kameramodell mit 6 intrinsischen

=100

0 yy

xx

hdF

hsdF

K

−

−−

=− 0

2

1

F

dh

F

d

hF

dsh

F

d

F

dsd

F

d

yyy

xyyxyxx

K


mit 6 intrinsischen Parametern, die oft so beschrieben werden� Hauptpunkt hx und hy

� Brennweite F� Skew (Scherung) s� Breite und Höhe eines

Sensors dx, dy

� Die Abbildung von Kamera-in Pixelkoordinaten geschieht mit Hilfe der Matrix K.

S. Müller - 28 -

cyy

xx

m phdF

hsdF

pvv ⋅

=100

0~

−=

100

0FF

K

Pixelkoordinaten m

� Oft verwendet:� Der Ursprung ist in der Mitte

des Bildes. � Die Ausdehnung ist im

Bereich von -1 bis 1

� Die Bildauflösung B x H spielt keine Rolle

mxv

1−

M

11−


keine Rolle � sie taucht in der K-Matrix

auch nicht auf

� Die (diskreten) Pixelkoordi-naten p in einem gerasterten Bild erhält man durch die gleiche Viewporttrans-formation, wie in der CG (s. später)

� Dies entspricht dem kanonischen Volumen der CG (ohne die Tiefe), bzw. den normalized device coordinates

� Der Ursprung M liegt in Kamerakoordinaten bei

S. Müller - 29 -

1myv

( )100=cM

Parameter (genauer) Frustum in Kamerakoordinaten (-1 bis 1)c

c

i

ixv

i Frustum in Bildkoordinaten (-1 bis 1)

m

mhv

m

mxv

yd

xd

myv


� hx und hy ist die Verschiebung des Ursprungs des Pixelkoordinaten-systems m in den Ursprung des Bildkoordinatensystems i (in Pixelkoordinaten)

� dx und dy sind die halbe horizontale, bzw. vertikale Ausbreitung des Pixelkoordinatensystems (in Bildkoordinaten)

� s ist die Scherung als Abstand zur y-Achse des Kamerakoordinaten-systems bei yc = 1 (in Kamera-koordinaten)

S. Müller - 30 -

iyv

iyv

BVjv

Fdss y=′s

s′my

Deutung von K

� Die K-Matrix

� entspricht einer Linear-kombination gem. Fall 4 � Die Spalten von K sind die

cyy

xx

m phdF

hsdF

pvv ⋅

=100

0~

c

m

cxv

cyv

mhv

myv

mxv


kombination gem. Fall 4

� mit

� Die Spalten von K sind die Achsen des Kamera-koordinatensystems in Pixelkoordinaten.

S. Müller - 31 -

mccmm hpp

vvv +⋅= M

=

=0

;

0

0 ycm

xcm dF

s

y

dF

xvv

=

=1

;

100

00

0

y

x

my

xcm h

h

hdF

sdFv

M

010

001

y

x

d

d

′

010

01 s

=100

10

01~

y

x

m h

h

pv ⋅ ⋅

cpF

Fv⋅

00

00⋅

Pixelkoordinaten

s′

hv


100

100

100

100

F1

Kamerakoordinaten (Inverse)

xd

yd

100

010

001

y

x

d

d

′

100

010

01 s

=100

10

01~

y

x

m h

h

pv ⋅ ⋅

cpF

Fv⋅

100

00

00⋅

Objekt transformierenInterpretationsrichtung


100 100 100 100

Lok. Koordinatenachsen transformieren

Alle Matrizen: Identität Nur Translation Zusätzlich Scherung Zus. Skalierung Zus. Skalierung


Projektion (OpenGL)

(ideale Kamera – symmetrisches Frustum)


Koordinatensysteme

� und Bildschirmkoordinaten p� nach der Viewport-

Transformation� Diskrete Werte in der Dimension

der Bildauflösung� Linkssystem, y-Achse nach

oben, Blick entlang von z

0

jv

iv

kv

−

1

1−

1−

1


� Hier gibt es nur � Kamerakoordinaten c (Blick

entlang der neg. z-Achse, Rechtssystem)

� Normalized Device Coordinatesbzw. kanonisches Volumen (nach der perspektivischen Divison von -1 bis 1 in alle drei Raumrichtungen, Linkssystem)

S. Müller - 35 -

pxv

pyv

0 B

H

L

L

Symmetrisches Frustum (OpenGL) f

n

kv

iv

O

θ


� Perspektive� Voller vertikaler Öffnungswinkel θ (in Grad!)

� Breiten-/Höhenverhältnis aus Bildauflösung B x H� near und far

S. Müller - 36 -

gluPerspective( θ, B/H, n, f)

Projektion

� P setzt sich zusammen aus 3 Transformationen:� Spiegelung von Rechts- in

Linkssystem� Perspektivische Projektion� Orthographische Projektion

MMMP ⋅⋅=

iv

0

f

jv

zv

2/θ1

zv

0

n

F

B

1f

2/θ ′


� Die Bildebene ist bei z = 1 und hat (in Kamerakoordinaten)

die Ausdehnung

� Aus der Zeichnung ergibt sich:

S. Müller - 37 -

LRPERSPORTHO MMMP →⋅⋅=

F=2cotθ

0

H

B

1×HB FB

H ⋅=′ 2cotθ

2/θ ′

Projektion

� Perspektivische Projektion

−+=

0100

00

0010

0001

fnfnPERSPM

Die z-Koordinaten wird abgebildet auf:

(nach der perspektivischen Division)

zz pfnfnp −+=′


� Orthographische Projektion

S. Müller - 38 -

+−⋅

−

⋅

=

10002

100

0010

0001

1000

02

00

000

000

nf

nf

F

FB

H

ORTHOM

Verschiebung und Skalierung in das kanonische Volumen

Projektion

� Alles zusammen

−⋅

−+⋅

+

⋅

=

⋅⋅= →

0100

0010

0001

00

0010

0001

200

000

000

fnfnnfF

FB

H

P

MMMP LRPERSPORTHO


−

−+

−+

− 1000

0100

0100

00

1000

200 fnfn

fn

nf

nf

−−−

+

⋅

=

0100

200

000

000

fn

fn

fn

nfF

FB

H

PResultat vongluPerspective( θ, B/H, n, f)mit 2cotθ=F

Identischer CodeGLfloat m[16] = {

(float)H/B*F, 0, 0, 0,

0, F, 0, 0,

0, 0, (f+n)/(n-f), -1,

0, 0, 2.0*f*n/(n-f), 0};

glMatrixMode( GL_PROJECTION);

glLoadIdentity ();

#define M_PI 3.1415926535897932384

#define RAD_DEG *180.0/M_PI

float th = 2*atan(1.0/F) RAD_DEG;


glLoadIdentity ();


glLoadIdentity ();

glMultMatrixf( m);

glLoadIdentity ();

gluPerspective(th,(float)B/H,n,f);

S. Müller - 40 -

Gegenüberstellung

� Die ideale Kamera ist für manche Kameras bereits eine gute Abschätzung.

� Damit vereinfacht sich die K-Matrix zu:

=100

0 yy

xx

hdF

hsdF

K

′

′⋅

=100

00

00

F

FB

H

K


eine gute Abschätzung.� Hier gilt:

� Hauptpunkt in der Mitte� Keine Scherung� Skalierung in y-Richtung und

in x-Richtung ergibt sich aus Bildauflösung

� Diese Projektion kann mit OpenGL direkt gerendert werden durch:

� wobei

S. Müller - 41 -

BHdd xy =

F

FdF y

′=

==′=

1arctan2

2tan1

2cot

θ

θθ

gluPerspective( θ, B/H, n, f)

Bsp. 2: Symmetrisches Frustum

� Gegeben sind die 6 intrinsischen Parameter einer Kamera .

� Die Bildauflösung sei B x H.

Prüfen sie, ob es sich um eine ideale Kamera handelt .

yxyx hhddsF ,,,,,


� Prüfen sie, ob es sich um eine ideale Kamera handelt .

S. Müller - 42 -

Lösung

� Der Hauptpunkt liegt in der Bildmitte:

� Keine Scherung

=100

0 yy

xx

hdF

hsdF

K

0;0 == yx hh


� Keine Scherung

� Skalierung in y-Richtung und in x-Richtung ergibt sich aus Bildauflösung

S. Müller - 43 -

0=s

B

H

d

d

x

y =

Projektion (OpenGL)

Allgemeine K-Matrix


K-Matrix in OpenGL

� Dies ist die OpenGL-Projektionsmatrix aus den K-Matrix-Parametern.

−−

−−+−

−−

=

0100

200

00

0

nf

fn

nf

nfhdF

hsdF

yy

xx

P


� Dies ist die OpenGL-Projektionsmatrix aus den K-Matrix-Parametern.

GLfloat k[16]; /*K-Matrix*/

k[ 0] = F/dx; k[ 1] = 0; k[ 2] = 0; k[ 3] = 0;

k[ 4] = -skew; k[ 5] = F/dy; k[ 6] = 0; k[ 7] = 0;

k[ 8] = -hx; k[ 9] = hy; k[10] = -(f+n)/(f-n); k[11] = -1;

k[12] = 0; k[13] = 0; k[14] = -2.0*f*n/(f-n); k[15] = 0;

...


glLoadIdentity();

glMultMatrixf( k);

S. Müller - 45 -

Begründung

−−

⋅

−+⋅

−+

−⋅

−=

1000

0100

0010

0001

0100

00

0010

0001

1000

200

00

0

1000

0100

0010

0001

fnfnfn

fn

nf

hdF

hsdF

yy

xx

P

- Blick entlang pos. Z-Achse - y-Achse nach unten (BV)

Nicht-lineare Skalierung der Tiefenwerte

K-Matrix inkl. Verschiebung und Skalierung der

y-Achse wieder nach oben (CG)


−−

−−+−

−−

=

0100

200

00

0

nf

fn

nf

nfhdF

hsdF

yy

xx

P

der Tiefenwerteund Skalierung der Tiefenwerte in das kanonische Volumen (vor persp. Division)

nach oben (CG)

Viewport � Die Viewport-Transformation geschieht in der OpenGL-Pipeline explizit (also keine weitere Matrix).

� Dabei wird das kanonische Volumen (von -1 bis 1 in alle drei Raumrichtungen) auf die Bildschirmkoordinaten (von 0 bis H-1, bzw. von 0 bis B-1) px

v

pyv

0 B

H

L

L


� Bild� Pixel im Mittelpunkt bei

� Bildauflösung B und H (in Pixeln)

bis H-1, bzw. von 0 bis B-1) und z auf den Bereich von 0 bis 1 abgebildet.

� Als Matrix wäre das

S. Müller - 47 -

pxv

0 B

( )5.05.0 ++ yx

glViewport(0, 0, B, H)

=

1000

212100

2020

2002

HH

BB

ViewportM

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