Quantum wells, wires and dots

Dimensionalità (a) Quantum well (2d)

(b) Quantum wire (1d)

(c) Quantum dot (0d)

Densità degli stati (DOS) e dimensionalità

La dimensionalità governa l’andamentodella DOS ed influenza pesantemente leproprietà fisiche (es. trasporto, proprietàottiche, etc.)

Quantum well:

In una buca infinita, i.e. ∆Ec = ∞, larga dx :

Funzione d’onda:

ψ(x,y,z) = An sin (nπx/dx) exp [±i(kyy + kzz)] per 0 ≤ x ≤ dx

= 0 fuori la buca

Energia:

E -Ec = En + (ћ2/2m*)(ky2 + kz

2) con En = π2h2n2/2m*dx2

Densità di stati:

ρ(E) = (m*/π2ћ) per E ≥ En per ogni n

Quantum wire:

In un filo infinito, i.e. ∆Ec = ∞, dx per dy:

Funzione d’onda:ψ(x,y,z) = Anm sin (nπx/dx) sin (mπx/dy) exp [±i kzz)] per 0 ≤ x ≤ dx,

0 ≤ y ≤ dy= 0 fuori il filo

Energia:

E -Ec = En,m + (ћ2/2m*) kz2 con En,m = (π2ћ2 /2m*)(n2/dx

2 + m2/dy2)

Densità di stati:

ρ(E) = {m*/[2ћ2π2(E - Ec - En,m)]}1/2 per ogni n,m

N.B.: combinazioni diverse di n e m possono dare la stessa energia

Quantum box:

In una scatola infinita, i.e. ∆Ec = ∞, dx per dy per dz:

Funzione d’onda:ψ(x,y,z) = Anmsin(nπx/dx)sin(mπx/dy)sin(pπx/dz) per 0 ≤ x ≤ dx, 0 ≤ y ≤ dy , 0 ≤ z ≤ dz

= 0 fuori la scatola

Energia:E - Ec = En,m,p con En,m,p = (π2ћ2/2m*)(n2/dx

2 + m2/dy2 + p2/dz

2)

Densità di stati:ρ(E) = uno per scatola per ogni combinazione di n, m, e pN.B.: alcune combinazioni di n e m possono dare le stesse energie

Densità di stati DOS

1. Materiale di bulkVolume nello spazio k per stato: (2π/L)3

Volume nello spazio k occupato da stati con energia inferiore a E:

Vk = 4πk3/3 con k =c2 EEm2

−h

Numero di stati elettronici in questo volume:

23c

23

22

3

3

3

)EE(m23L

)L/2(3/k42)E(N −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

π=

ππ

=h

Densità di stati con energie fra E e E+dE per unità di volume:

21c

23

22331 )EE(m2

21

dE)E(dN

L1]meV)[E( −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

π==ρ −−

h

2. Quantum wellArea nello spazio k 2-d (i.e., ky,kz) per stato: (2π/L)2

Area nello spazio k occupato da stati con energia inferiore a En:

Ak = πk2 con k = cn2 EEEm2−−

h

Numero di stati elettronici nella banda n:

)EEE(*mL)L/2(

k2)E(N cn22

2

2

2

n −−π

=ππ

=h

Densità di stati nella buca fra E and E+dE per unità di area:

22n

221

n*m

dE)E(dN

L1]meV)[E(

hπ==ρ −−

e 2x

222

n d*m2nE hπ

=

Larghezza dk

DOS costante

3. Quantum wireDistanza nello spazio k per stato: 2p/L

Distanza nello spazio k occupato da stati con energia inferiore a En,m:

Lk = k con k = cm,n2 EEEm2−−

h

Numero di stati elettronici nella banda n,m:

cn2m,n EEE*m2LL/2

k2)E(N −−π

=π

=h

Densità di stati fra E e E+dE per unità di lunghezza del filo:

m,nc22

m,n11m,n EEE

12

*mdE

)E(dNL1]meV)[E(

−−π==ρ −−

h

e ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

π= 2

y

2

2x

222

m,n dm

dn

*m2E h

3. Quantum boxLa densità di stati è data dal numero di stati che è pari a 2 per ogni livello energetico discreto possibile, En,m, p, per la degenerazione del livello, (ossia il numero di combinazioni di n, m, e p che danno lo stesso valore di En,m, p).

m,nc22

m,n11m,n EEE

12

*mdE

)E(dNL1]meV)[E(

−−π==ρ −−

h

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

π= 2

z

2

2y

2

2x

222

p,m,n dp

dm

dn

*m2E h

Riassunto:

Bulk21

c

23

2331 )EE(m2

21

dE)E(dN

L1]meV)[E( −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

π==ρ −−

h

Well 22n

221

n*m

dE)E(dN

L1]meV)[E(

hπ==ρ −−

Wire

Riassumendo : dipendenza della DOS dall’energia per diverse dimensionalità

d=1 : nanofilo,d=2 : strato sottiled=3 : cristallo di bulk

Per un quantum dot (d=0) la DOS ha un comportamento a delta:

Energie permesse discrete

Profili di densità di stati:

Supponendo dx = dy = dz

Profili di densità di stati:

Supponendo dx = dy = dz

Eterostrutture

Le buche di potenziale confinano i portatori in 1 dimensione. Sono invece liberi nelle altre due. Per essere “quantica” la buca deve essere piuttosto sottile – in genere inferiori a alcune decine di nm, difficilmente più di 100nm

Sistemi confinati: Proprietà Ottiche

Bandgap in un QW:

Eg = Ega + E1(elettrone) + E1(buca)

Il bandgap effettivo è più grande di quello del materiale del QW. Inoltre può essere modificato cambiando la larghezza del pozzo Lz. Il blue shift del bandgap è detto “quantum size effect”.

Proprietà ottiche:

• La diminuzione della dimensione del materiale nanostrutturato aumenta la differenza di energia, ΔE, fra i livelli energetici permessi

• Quando un elettrone transisce da uno stato a energia superiore a uno stato a energia inferiore, viene emesso un fotone di lunghezza d’onda, λ= hc/ΔE

• ΔE maggiori implicano lunghezze d’onda inferiori (“blue shift”)

Assorbimento/emissione in quantum well

Spettro di emissione

Eg = 2.55eV (10K)

Eg = 2.45eV (300K)

• L’energia di emissione cambia da Eg a (Eg + Ee1 + Ehh1)

• λ viene modulata cambiando d

• Più intensa che nel bulk per il miglior overlap elettrone-buca

• Usata nei laser a diodi e per i LED

Assorbimento 2-D

• Assorbimento ∝ densità di stati

• Densità di stati costante in 2-D: g2D(E) = m / πħ2

• Soglia ħω > (Eg + Een+ Ehn)

• Band edge spostato a (Eg + Ee1+ Eh1)

Transizioni tra sottobande

• Energia di transizione ~ 0.1 eV (~ 10 µm, infrarosso)

• Assorbimento usato per detettori nell’infrarosso

• Emissione usata per laser nell’infrarosso (Quantum cascadelasers)