29 AREA DE SUPERFICIE z=f(x,y)

CALCULO VECTORIAL

ROSA ÑIQUE ALVAREZ 1

ÁREA DE UNA SUPERFICIE

S: z = f (x, y)

Rosa Ñique Alvarez 1

CÁLCULO VECTORIAL CAPÍTULO III

SUPERFICIE


S: z = f (x, y)

S : es una superficie definida en forma explícita

Ejemplo


22 xyz −=

Paraboloide

Paraboloide Hiperbólico (Silla de montar)

22 yxz +=

ÁREA DE UNA SUPERFICIE

Rosa Ñique Alvarez4

S: z = f (x, y)

∫∫=S

dSS )Area(

[ ] [ ] dAffSXYR

yx∫∫ ++= 1 )Area( 22


Diferencial de superficie


iT∆

iS∆

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CALCULO VECTORIAL



P = (x, y , f(x, y))

Q

Q=(x+Δx, y , f(x+ Δx, y))

R

R=(x, y+Δy , f(x, y + Δy))


P = (x, y , f(x, y)) Q=(x+Δx, y , f(x+ Δx, y))

a =PQ = Q – P = (Δx , 0, fx(x, y) Δx )

b =PR = R – P = (0, Δy, fy(x, y) Δy )

R = (x, y+Δy , f(x, y + Δy))

kyyxfjyi

kxyxfjix

y

x

rrr

rrr

∆+∆+=

∆++∆=

),(0

),(0

b

a

yyxfyxyxfx

kji

y

x

∆∆∆∆=

),(0),(0

rrr

ba x

Rosa Ñique Alvarez 9 Rosa Ñique Alvarez 10

( ) yxyxfyxf yx ∆∆−−= 1),,(),,(ba x

yyxfyxyxfx

y

x

∆∆∆∆=

),(0),(0

kjiba x

Area del paralelogramo ∆Ti

( ) ( )

( ) ( ) dAyxfyxfT

yxyxfyxfT

iiyiixi

iiyiixi

1),(),(

1),(),(

22

22

++==∆

∆∆++==∆

ba

ba

x

x


Aproximación de ∆Si

ii TS ∆≈∆


( ) ( ) dAyxfyxfT iiyiixi 1),(),( 22 ++=∆

( ) ( ) dAyxfyxfS iiyiixi 1),(),( 22 ++≈∆




CALCULO VECTORIAL


Aproximación de ∆Si

( ) ( ) dAyxfyxfS iiyiix

n

i1),(),(deArea 22

10lim ++= ∑

=→∆


( ) ( ) iiiyiixi TdAyxfyxfS ∆=++≈∆ 1),(),( 22

DEFINICIONEl área de la superficie con ecuación z = f (x, y) ,(x, y) ε RXY, donde fx y fy son continuas en RXY, es

Observe que RXY esta contenido en el plano XY

[ ] [ ] dAyxfyxfSXYR

yx∫∫ ++= 1),(),( )Area( 22


NOTACIÓN

[ ] [ ] dAyxfyxfS

dSS

XYRyx

S

∫∫

∫∫

++=

=

1),(),()Area(

)Area(

22


Observe que RXY esta contenido en el plano XY

S: z = f (x, y) Cálculo del dS

),(: yxfzS =

( ) ( ) dAyxfyxfSd yx 1),(),( 22 ++=


Modelo explícito

EJEMPLO 1

Calcule el área de la parte superior de la esferax2 + y2 + z2 = 4 que se encuentra dentro delcilindro x2 + y2 = 2x.

∫∫=

S

dSSArea )(


Sx2+y2+z2=4

x2+y2=2x




CALCULO VECTORIAL


Solución

2222

22222

4;

4

44:

yx

yzyx

xz

yxzzyxS

yx−−

−=

−−

−=

−−=→=++


Proyectando la superficie S: x2 + y2 + z2 = 4 sobre el plano XY

Solución

[ ] [ ]

( ) dAyx

dS

dAyxzyxzdS yx

22

22

42

1),(),(

+−=

++=



Solución

[ ] [ ]

( ) dAyx

dS

dAyxzyxzdS yx

22

22

42

1),(),(

+−=

++=



Solución: usando coordenadas polares

∫∫∫∫+−

==XYRS

dAyx

dSS)(4

22)(Area22


4: 222 =++ zyxS Porción de esfera

Descripción de la región R (primer cuadrante)

≤≤≤≤

2/0cos20

:πθ

θrRXY



∫ ∫

∫∫∫∫

−=

+−==

2/

0

cos2

02

22

422)(Area

)(422)(Area

π θ

θdrdrr

S

dAyx

dSSXYRS


θθ senryrx == ;cos




CALCULO VECTORIAL



θ

θ

π θ

π θ

ddrr

rS

ddrr

rS

∫ ∫

∫ ∫

−=

−=

2/

0

cos2

02

2/

0

cos2

02

422)(Area

422)(Area



)2(4)(Area

422)(Area

2/

0

cos2

02

−=

−= ∫ ∫

π

θπ θ

S

ddrr

rS


EJEMPLO 2

Calcule el área de la parte superior delparaboloide hiperbólico (silla demontar) z = y2 - x2 que está entre loscilindros x2 + y2 = 1 , x2 + y2 = 4.

∫∫=

S

dSSArea )(


Solución: S: z = y2 - x2

( ) ( )( ) ( ) AdyxdS

AdzzdS yx

122

122

22

++−=

++=


( ) AdyxdS 14 22 ++=

Proyectando la superficie S sobre el plano XY

Solución

4/π4/3π

R

1

≤≤

≤≤

43

4

21π

θπ

rRXY


Solución

( )

[ ] 42,1555171712)(Area

142)(Area

142)(Area

4/3

4/

2

1

2

22

=−=

+=

++==

∫ ∫

∫∫∫∫

π

θπ

π

S

ddrrrS

dAyxdSSXYRS





CALCULO VECTORIAL


La región R contenida en el plano YZ

),(: zyfxS =

( ) ( ) dAzyfzyfSd zy 1),(),( 22 ++=


ÁREA DE SUPERFICIE


[ ] [ ] dAzyfzyfS

dSS

YZRzy

S

∫∫

∫∫

++=

=

1),(),( )Area(

)Area(

22

),(: zyfxS = EXPLÍCITO

La región R contenida en el plano XZ

),(: zxfyS =

( ) ( ) dAzxfzxfSd zx 1),(),( 22 ++=


AREA DE SUPERFICIE


[ ] [ ] dAzxfzxfS

dSS

XZRzx

S

∫∫

∫∫

++=

=

1),(),( )Area(

)Area(

22

),(: zxfyS = EXPLÍCITO

EJEMPLO 3

Calcular el área de la superficie cilíndricax2 + (y - 2)2 = 4 comprendida entre elparaboloide x2 + y2 + z = 16 y el planoz = 16.

∫∫=

S

SdSArea )(


S




CALCULO VECTORIAL


Solución S: x2 + (y - 2)2 = 4, cilindro

Proyectado la porción de S en el plano YZ


( )

( ) ( )( )

dAy

dAxxdS

yxS

zy 222

2

2421

24:

−−=++=

−−=

Solución: proyectar S dos veces sobre RYZ

∫∫∫∫−−

==YZRS

dAy

dSS2)2(4

22)(Area


( )224: −−= yxS

Intersección de las superficies

El Cilindro: x2 + (y - 2)2 = 4 y Paraboloide: x 2 + y2 + z =16 se interceptan en la curva

cuando z = 16 - 4y

−=π≤≤+=

=

sentztsenty

txC

882022

cos2:


Gráfica de la curva C

-2-1

01

2

01

23

40

2

4

6

8

10

12

14

16

xy

z


Solución: proyectando S en el plano YZ

yz 416 −=

R

4

16

Y

Z

≤≤−≤≤

1641640

zyy

RYZ


( )224: −−= yxS

Solución: proyectar dos veces sobre RYZ.

dydzy

S

dAy

dSS

y

RS YZ

2

4

0

16

416

2

)2(422)(Area

)2(422)(Area

−−=

−−==

∫ ∫

∫∫∫∫

−


≤≤−≤≤

1641640

zyy

RYZ




CALCULO VECTORIAL


Solución: proyectar dos veces sobre RYZ.

π32)(Area

)2(422)(Area

2

4

0

16

416

=

−−= ∫ ∫

−

S

dydzy

Sy


EJEMPLO 4

Calcule el área de la superficie del primeroctante cortada en el cilindro x 2 + y 2 = 9 porel plano x = z.

∫∫=

S

dSSArea )(



x2+y2=9 S

X

Y

ZSolución S: x 2 + y 2 = 9

Proyectado la porción de S en el plano XZ


( ) ( ) dAx

dAyydS

xyS

zx 2

22

2

931

9:

−=++=

−=

Solución

dAx

dSSAreaXZRS∫∫∫∫

−==

293)(


29: xyS −=

Solución: proyectando S sobre el plano XZ

z = x

3X

Z

R

≤≤≤≤

xzx

RXZ 030





CALCULO VECTORIAL


Solución

∫ ∫

∫∫∫∫

−=

−==

3

0 02

2

93)(

93)(

x

RS

xdzdx

SArea

dAx

dSSAreaXZ


≤≤≤≤

xzx

RXZ 030 Solución

9)(

93)(

3

0 02

=

−= ∫ ∫

SArea

xdzdx

SAreax


EJEMPLO 5

Calcule el área de la parte superior del cono z2 = x2 + y2 que se encuentra dentro del cilindro x2 + y2 = 2 x.

∫∫=

S

dSSArea )(


SUGERENCIA: PROYECTANDO EN EL PLANO XZ


z2=x2+y2

x2+y2=2x

S

Solución S: z2 = x 2 + y 2 CONO

Proyectado dos veces la porción de S en el plano XZ


( ) ( ) dAxzzdAyydS

xzyS

zx 22

22

22

21

:

−=++=

−=

Solución: Proyectando S dos veces sobre el plano XZ

AdxzzdSSArea

XZRS∫∫∫∫

−==

22

22)(


22: xzyS −=




CALCULO VECTORIAL


Intersección de Superficies

La intersección del Cono: z2 = x2 + y2 y Cilindro:

x2 + y2 = 2 x ocurre cuando la variable

xz 2=


z = x

xz

2=

2X

Z

R

≤≤

≤≤

xzxx

RXZ 2

20



22: xzyS −=


∫ ∫

∫∫∫∫

−=

−==

2

0

2

22

22

22)(

22)(

x

x

RS

dxdzxzzSArea

AdxzzdSSArea

XZ


≤≤

≤≤

xzxx

RXZ 2

20

π2)(

22)(2

0

2

22

=

−= ∫ ∫

SArea

dxdzxzzSArea

x

x



EJEMPLO 6

Calcule el área de la parte superior del cono z2 = x2 + y2 que se encuentra dentro del cilindro x2 + y2 = 2 x.

∫∫=

S

dSSArea )(


SUGERENCIA: PROYECTANDO EN EL PLANO XY

Solución: proyectando en el plano XY


z2=x2+y2

x2+y2=2xS




CALCULO VECTORIAL


Solución S: z2 = x 2 + y 2

Proyectado dos veces la porción de S en el plano XY


( ) ( ) dAdAzzdS

yxzS

yx 21

:

22

22

=++=

+=

Solución


∫∫∫∫ ==XYRS

dAdSSArea 22)(

Solución: en el primer cuadrante


≤≤≤≤

2/0cos20

:πθ

θrRXY

Solución


∫ ∫

∫∫∫∫

=

==

2

0

cos2

0

22)(

22)(

πθ

θddrrSArea

dAdSSAreaXYRS

≤≤≤≤

2/0cos20

:πθ

θrRXY


π

θ

πθ

2)(

22)(2

0

cos2

0

=

= ∫ ∫

SArea

ddrrSArea

Solución: proyectando en el plano XYConclusiones: Ejemplo 5 y 6


∫ ∫∫∫ =−

==2

0

2

22222)(

x

xS

dxdzxzzdSSArea π

πθ

πθ

222)(2

0

cos2

0

=== ∫ ∫∫∫ ddrrdSSAreaS

Proyectando S:

Proyectando S:

22 xzy −= sobre el plano XZ

sobre el plano XY22 yxz +=




29 AREA DE SUPERFICIE z=f(x,y)

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