2 Normal Multivariante

8/16/2019 2 Normal Multivariante

1/30

2. DISTRIBUCIÓNNORMAL MULTIVARIANTE

Introducción

Normal bivariante

Normal multivariante

Distribución χ2 Muestreo en poblaciones normales

Distribución de Wishart

Lema de Fisher multivariante

Teorema central del límite

1


2/30

NORMAL MULTIVARIANTE

Introducción: distribución nor!" uni#!ri!nt$

2

),,(~ 2σ µ N X

con función de densidad2

2)(

2

1

2

1)( σ

µ

π σ

−−

= x

e x f

)(

)(2 X V

X E

==

σ

µ

02 ≥∈∈

σ

µ x

donde

6!

"#!

µ$2σ µ$σ µ µ%σ µ%2σ


3/30

Nor!" u"ti#!ri!nt$

3NORMAL MULTIVARIANTE

),,(~ ∑ µ p N X positiva,definida ;1

∑

=

p µ

µ

µ donde

con función de densidad&

p

p

x

X X x f

∈

−∑−−

∑= − )()'(

2

1exp

)2(

1)( 1

2/12/

µ µ

π


4/30

Nor!" bi#!ri!nt$

Ejemplo


2= p

2211

1212

2212

1211

2

1 ;;σ σ

σ ρ σ σ

σ σ

µ

µ µ = =∑ =

Desarrollar ),(21

x x f


5/30

Nor!" bi#!ri!nt$


),,(~ 2 ∑ µ N X ,;2212

1211

2

1

=∑

=

σ σ

σ σ

µ

µ µ donde

con función de densidad

−

−

−

−

+

−

−−−= 2222

11

11

12

2

22

22

2

11

11

212

2

122211

21 2)1(2

1

exp)1(2

1

),( σ

µ

σ

µ

ρ σ

µ

σ

µ

ρ ρ σ σ π

x x x x

x x f


6/30

6EJEMPLOS


7/30

7EJEMPLOS


8/30

Nor!" bi#!ri!nt$


'ropiedades

ρ(2 )* ⇔ f+,( -,2.)f+,(.f+,2. ⇔ /(- /2 independientes

+λ-e. autovalor 0 autovector de Σ ⇒ +(1 λ-e.autovalor 0 autovector de

Σ$(


9/30

Nor!" bi#!ri!nt$

epresentación 3r4fica


212

21 )()'(),( c x xc x x f =−∑−⇔= −

µ µ

,(

,2

f+,(-,2.

c2

,(

,2020(

e2e1c√λ2

c√λ(

∑∑

deesautoveto! , de sautova"o!e,

21

21

eeλ λ


10/30

Nor!" bi#!ri!nt$

Ejemplo

5allar las elipses de densidad constante para


),(~ 2 ∑ µ N x

=∑=

1112

1211

2211 ;

σ σ

σ σ σ σ


11/30

Nor!" u"ti#!ri!nt$

'ropiedades


#$ ; ),(~ )(

1

Entonces

a

a

a N X i

p

p

=∑ µ

va!iante%no!&a" no!&a"',

)','(~' 1

p X X aa

aaa N X a

p

⇒ℜ∈∀

∑ µ


12/30

Nor!" u"ti#!ri!nt$


=∑

qpqq

p

qxp p

aaa

aaa

A N X ii

21

11211

;),(~ )( µ

),(~;

)',(~

1

∑++

=

∑

d N d X

d

d

d

A A A N AX

q

p

q

µ

µ


13/30

Nor!" u"ti#!ri!nt$


∑∑

∑∑=∑

=

=∑

2221

1211

)2(

)1(

)2(

)1(

;

);,(~ )(

µ

µ µ

µ X

X X N X iii p

),(~

),(~

#

22

)2()2(11

)1()1(

∑∑ µ

µ

N X

N X

Entonces


14/30

Nor!" u"ti#!ri!nt$


0,

,~

0),ov( , )(

12)2()1(

2221

1211

)2(

)1(

)2(

)1(

12

)2()1()2()1(

=∑⇔

∑∑∑∑

=∑=⇒

ndientes son indepe X X

N X

X

X X ntesindependie X X iv

µ

µ


15/30


E%$&"o

)200031

014

,(3

≡ µ N X

Nor!" u"ti#!ri!nt$


16/30

Nor!" u"ti#!ri!nt$


∑

∑

⇒∑

∑

+2

1

)2(

)1(

21)2(

)1(

222

)2(

111

)1(

0

0,~

),(~

),(~ )(

µ

µ

µ

µ

qq

q

q

N

X

X

entesindependi N X

N X v


17/30

Nor!" u"ti#!ri!nt$


x N x X X

N X

X Seavi

)),((~

0

,~ )(

21

1

22121122

1

22121221

22

2221

1211

)2(

)1(

)2(

)1(

∑∑∑−∑−∑∑+=

>∑

∑∑∑∑

−− µ µ

µ

µ


18/30


E%$&"o

Dada +/(- /2.- obtener la distribución de /2

condicionada por /( ),(

Nor!" u"ti#!ri!nt$


19/30

Nor!" u"ti#!ri!nt$


+vii. Distribución de combinación lineal de normales

$))(,(~ ntones

$ ; ),(~

indep$,$$$,,

1

2

1

1

11

21

∑∑

∑

==

=

∑

=++=∑

n

i

i

n

i

ii p

n

i

iinni pi

n

cc N U

X c X c X cU N X

X X X

µ

µ


20/30

Nor!" u"ti#!ri!nt$


0' entes independison*+o,o! tant

)()'(

)'()(, #entones

ade&-s, .i,

1

2

1

2

1

12

1

=⇔

∑∑

∑∑

=

=

∑∑

∑∑

∑

=

=

=

=

=

cb

bcb

cbc

b

c N

V

U

X bV

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

ii

p

n

i

ii

µ

µ

+viii. Distribución conunta de normales


21/30


E%$&"o

−=

=

−=

=

−

−≡

1

0

0

0

1

1

1

0

3

1

0

2

$)

2532

391

214

,(,,,

4321

34321

µ µ µ µ

µ indep N X X X X i

Nor!" u"ti#!ri!nt$


22/30


E%$&"o

nteindependieelinealment ncombinacióuna Dar iv

ntesindependie X b X ciii

bcon

X b

X c

ii

ccon X ci

n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii

)(

,)(

0

2

10

)(

1

2

0

1

)(

11

1

1

1

∑∑

∑∑

∑

==

=

=

=

=

−

−

=

Nor!" u"ti#!ri!nt$


23/30

Distribución 2


$1,)1,0(

,

)1,0( ,

2

1

2

121

21

,...,nientesindependi N donde

N donde

i

n

n

ii

=≡

=

≡≡

∑=

χ

χ


24/30

Distribución 2


χ2p-α

α

'ropiedades

{ } α χ µ µ χ µ µ

µ

α −=≤−∑−∈

≡−∑−

>∑∑≡

−

−

1)()'(# )(

)()'( )(

#ntones $0*),( .ea

2

,

1

21

p

p

X

p

p

x x x ! ii

X X i

N X


25/30

Mu$str$o $n &ob"!cion$s nor!"$s


7stimadores de máxima verosimilitud para µ 0 Σ

$$$,,,);,(~ 21 d ii X X X N X n p ∑ µ


26/30



Derivando parcialmente con respecto a todas las

variables e i3ualando a cero- se obtiene&

n

n

i

nii S S n

n X X X X

n

X

=−

=−−=∑

=

∑=

−1

1

1)')((

1

µ


27/30



'ropiedades

)$,0(~

donde

)()(

)(

)()1( )(

*.*)(

2

i

i

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

22

n

σ σ

σ σ

σ

χ σ

µ

N "

X X S nii

X i

n

n

n

n

ii

−

−

−=

++=

=++===−=−

∑

∑

estadísticos suficientes para

7n una dimensión-

son normales independientes


28/30

Distribución d$ 'is(!rt


∑=

=∑∑

m

i

iim

pi

#

N

1

')( #entones

),0(~.ean independientes-

Wishart con m

grados de libertad

'ropiedades

)'(~')(~

)(

)(~ indep$ )(~

)(~ )( 2121

22

11

$ $ # $A$ $

# Aii

# A A# A

# Ai

m

pxp

m

mm

m

m

∑⇒ ∑

∑+⇒

∑∑

+


29/30

L$! d$ )is($r u"ti#!ri!nt$


1

11

1

*)(

)(~)1( )(

)1

,(~ )(

#ntones

i$i$d$ ,, );,(~

−

−− ∑−

∑

∑

n

nn

p

n p

S X iii

# S nii

n N X i

X X N X

µ

µ

son independientes


30/30

T$or$! C$ntr!" d$" L*it$


i$i$d$ ,,;; on ado 1 n X X VX EX X ∑== µ

(i) es asintóticamente normal X

)1

,(),0()(

2/1

∑≈∑−

n N X

N X n

p

p

µ µ

d

(ii) es consistente& X µ X c8s8n→∞

(iii)

(iv)

∑S 'n→∞

21 )()'( p X S X n χ µ µ −− − d

n→∞

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