-2 Fundamentos de la teora de probabilidad 2.1 Teora elemental de probabilidad. 2.2 Probabilidad de Eventos: Definicin de espacio muestral, definicin de evento, simbologa, unin, interseccin, diagramas de Venn. 2.3 Probabilidad con Tcnicas de Conteo: Axiomas, Teoremas. 2.4 Probabilidad condicional: Dependiente, Independiente. 2.5 Ley multiplicativa. 2.6 Eventos independientes: Regla de Bayes. 2.7 Variable aleatoria. 2.8 Variables aleatorias conjuntas. 2.9 Modelos analticos de fenmenos aleatorios discretos. 2.10 Modelos analticos de fenmenos aleatorios continuos. 2.2.- Probabilidad de eventos Para calcular la probabilidad de eventos es necesario que stos se comporten de una maner ms o menos estable. Precisamente, se echa mano de la regularidad estadstica, que es la propiedad de los fenmenos aleatorios, y que consiste en que al aumentar el nmero de repeticiones de un experimento en condiciones prcticamente constantes, la frecuencia relativa de ocurrencia para cada evento tiende a un valor fijo. Sin embargo, al momento de definir la probabilidad de un evento podemos tomar en cuenta los siguientes criterios: 1.La probabilidad subjetiva de un evento se la asigna la persona que hace el estudio, y depende del conocimiento que esta persona tenga sobre el tema. Precisamente por su carcter de subjetividad no se considera con validez cientfica, aunque en la vida diaria es de las ms comnes que se utilizan al no apoyarse ms que en el sentido comn y los conocimientos previos, y no en resultados estadsticos.2.La probabilidad frecuencial de un evento es el valor fijo al que tienden las frecuencias relativas de ocurrencia del evento de acuerdo a la regularidad estadstica. Esta definicin sera la ms real, pero proporciona probabilidades aproximadas, es decir, proporciona estimaciones y no valores reales. Adems, los resultados son a posteriori, pues se necesita realizar el experimento para poder obtenerlo. (Para ver un ejemplo haz click aqu.)3.La probabilidad clsica de un evento E, que denotaremos por P(E), se define como el nmero de eventos elementales que componen al evento E, entre el nmero de eventos elementales que componen el espacio muestral: Es la definicin ms utilizada porque supone de antemano, y se necesita como requisito indispensable, que todos los eventos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir. el espacio muestral o espacio de muestreo (denotado E, S, o U) consiste en el conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio. Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos monedas, el espacio de muestreo es el conjunto {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)}. Un evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral, llamndose a los sucesos que contengan un nico elemento sucesos elementales. En el ejemplo, el suceso "sacar cara en el primer lanzamiento", o {(cara, cara), (cara, cruz)}, estara formado por los sucesos elementales {(cara, cara)} y {(cara, cruz)}. Para algunos tipos de experimento puede haber dos o ms espacios de muestreo posibles. Por ejemplo, cuando se toma una carta de un mazo normal de 52 cartas, una posibilidad del espacio de muestreo podra ser el nmero (del as al rey), mientras que otra posibilidad sera el palo (diamantes, trboles, corazones y picas). Una descripcin completa de los resultados, sin embargo, especificara ambos valores, nmero y palo, y se podra construir un espacio de muestreo que describiese cada carta individual como el producto cartesiano de los dos espacios de muestreo descritos. Los espacios de muestreo aparecen de forma natural en una aproximacin elemental a la probabilidad, pero son tambin importantes en espacios de probabilidad. Un espacio de probabilidad (, F, P) incorpora un espacio de muestreo de resultados, , pero define un conjunto de sucesos de inters, la -lgebra F, por la cul se define la medida de probabilidad P. Tipos de espacio muestral Podemos diferenciar entre dos tipos de espacios muestrales: discretos y continuos. [editar] Discretos Son aquellos espacios donde el nmero de sucesos elementales es finito o infinito numerable. [editar] Espacio Probabilstico discreto Es aquel cuyo espacio muestral es discreto.Podemos diferenciar varios tipos de espacio probabilstico discreto: [editar] Espacio Probabilistico Discreto Equiprobable -Su espacio muestral es finito de tamao n. -La probabilidad de cualquier suceso elemental E es , de aqu se deduce que para todo suceso A la probabilidad es [editar] Espacio Probabilistico Finito -Su espacio muestral es discreto finito. -Hay al menos 2 sucesos elementales que cumplen.[editar] Procesos Estocasticos Finitos Y Diagramas de rbol Un proceso estocstico es una sucesin finita de experimentos aleatorios, cada uno de ellos con un n finito de resultados posibles. Se representan con diagrama de rbol. [editar] Ejemplo Imaginemos que se lanzan una moneda y un dado -La probabilidad de un camino es la multiplicacion de sus probabilidades. -La probabilidad de sacar una cara y un tres ser ----> -La probabilidad de un suceso cualquiera es la suma de las probabilidades de los caminos -La probabilidad de sacar impar ser ----> Evento. Es un conjunto de resultados que tiene cierta caracterstica comn. Los eventos pueden ser: -Evento seguro. Es aquel que tiene todos los posibles resultados. -Evento imposible. Es aquel que no tiene un posible resultado. -Evento complementario. Es aquel evento que esta compuesto por los eventos que no estn en este evento. -Eventos mutuamente excluyentes. Para que un evento sea mutuamente excluyente debe cumplirse que A"B=. -Evento colectivamente exhaustivo. Un conjuntos de eventos E1, E2,...En son colectivamente exhaustivos cuando E1U E2.... UEn= S, donde S es el espacio muestral Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de la Matemtica y Lgica de clases conocida como teora de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar grficamente la agrupacin de cosas elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un crculo o un valo. La posicin relativa en el plano de tales crculos muestra la relacin entre los conjuntos. Por ejemplo, si los crculos de los conjuntos A y B se solapan, se muestra un rea comn a ambos conjuntos que contiene todos los elementos contenidos a la vez en A y en B. Si el crculo del conjunto A aparece dentro del crculo de otro B, es que todos los elementos de A tambin estn contenidos en B. Diagrama de Venn mostrando la interseccin de dos conjuntos. AXIOMAS Y TEOREMAS. B) AXIOMAS Y TEOREMAS.

ParaelclculodeprobabilidadeshayquetomarencuentalosAxiomasyTeoremas que a continuacin se enumeran.

1)LaprobabilidaddequeocurrauneventoAcualquieraseencuentraentreceroy uno.

0 s p(A) > 1

2)La probabilidad de que ocurra el espacio muestral o debe de ser 1.

p(o) = 1

3)Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la p(AB) = p(A) + p(B) Generalizando:

Si se tienen n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A1, A2, A3,.....An, entonces;

p(A1A2.........An) = p(A1) + p(A2) + .......+ p(An)

TEOREMAS

TEOREMA 1. Si | es un evento nulo o vaco, entonces la probabilidad de que ocurra | debe ser cero.

p(|)=0

DEMOSTRACIN: Sisumamosa|uneventoAcualquiera,como|yAsondoseventosmutuamente excluyentes, entonces p(A|)=p(A) +p(|)=p(A). LQQD

TEOREMA 2. La probabilidad del complemento de A, Ac debe ser, p(Ac)= 1 p(A)

o A A Ac o

DEMOSTRACIN: Si el espacio muestral o, se divide en dos eventos mutuamente exclusivos, A y Ac luego o=AAc, portanto p(o)=p(A) + p(Ac) y comoen el axioma dos se afirma que p(o)=1, por tanto, p(Ac)= 1 - p(A) .LQQD

TEOREMA 3. Si un evento A c B, entonces la p(A) s p(B).

DEMOSTRACIN: Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B \ A (B menos A),portanto,B=A(B\A)yp(B)=p(A)+p(B\A),luegoentoncessip(B\A)>0 entonces se cumple que p(A)sp(B). LQQD

TEOREMA 4. La p( A \ B )= p(A) p(AB)

DEMOSTRACIN:SiAyBsondoseventoscualquiera,entonceseleventoAse puedesepararendoseventosmutuamenteexcluyentes,(A\B)yAB,portanto, A=(A \ B)(AB), luego p(A)=p(A \ B) + p(AB), entonces, p(A \ B) = p(A) p(AB).LQQD

TEOREMA 5. Para dos eventos A y B, p(AB)=p(A) + p(B) p(AB).

o A B\A B A B A\B AB o

DEMOSTRACIN: Si AB = (A \ B)B, donde (A \ B) y B son eventos mutuamente excluyentes, por lo que p(AB) = p(A \ B) + p(B) y del teorema anterior tomamos que p(A \ B) = p(A) p(AB), por tanto, p(AB) = p(A) + p(B) p(AB).LQQD

COROLARIO: ParatreseventosA,ByC,p(ABC)=p(A)+p(B)+p(C)p(AB)p(AC) (BC) + p(ABC).

A B AB o AB ABC A B C o BC AC E) PROBABILIDAD CONDICIONAL

SeaounespaciomuestralendondesehadefinidouneventoE,dondep(E)>0,si deseamosdeterminarlaprobabilidaddequeocurrauneventoA(elquetambin esdefinidoenelmismoespaciomuestral),dadoqueEyaocurri,entonces deseamosdeterminarunaprobabilidaddetipocondicional,laquesedetermina como se muestra;

Donde:

p(A|E) = probabilidad de que ocurra A dado que E ya ocurri p(AE) = probabilidad de que ocurra A y E a un mismo tiempo p(E) = probabilidad de que ocurra E

Luego;

Por tanto:

Donde:

|AE|= nmero de elementos comunes a los eventos A y E |E|= nmero de elementos del evento E Luegoentoncespodemosusarcualquieradelasdosfrmulasparacalcularla probabilidad condicional de A dado que E ya ocurri.

Ejemplos: 1. Se lanza al aire dos dados normales, si la suma de los nmeros que aparecen es deporlomenossiete,a.determinelaprobabilidaddequeenelsegundodado aparezcaelnmerocuatro,b.Determinelaprobabilidaddequeambosnmeros ) E ( p) E A ( p) E | A ( p=I II I= o E A) E A ( PI I I I=oE) E ( PI II I=EE A) E | A ( PE A o AE seanpares,c.Determinelaprobabilidaddequeenelprimerdadoaparezcael numero dos.

Solucin: Elespaciomuestraleselmismoquecuandoselanzaundadodosvecesyse muestra a continuacin;

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) o =(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

a.a. Para calcular una probabilidad condicional es necesario definir los eventos A y E, siendo estos,

A = evento de que en el segundo dado aparezca el nmero cuatro,E = evento de que la suma de los nmeros que aparecen sea de por lo menos siete, (que es que es el evento que est condicionando)

E = {21 elementos, los que suman siete o ms}

(6,1) (5,2) (6,2) E =(4,3) (5,3) (6,3) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

A = {6 elementos, los que en el segundo dado aparece el cuatro} A = {(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)}

Luego,

AE = {(3,4) (4,4) (5,4) (6,4)}, |AE|= 4 elementos

Por tanto;

p(A|E) = |AE|/ |E|= 4/21 = 0.19048

b.b. E=eventodequelasumadelosnmerosqueaparecenseadeporlo menos siete

(6,1) (5,2) (6,2) E =(4,3) (5,3) (6,3) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

A = evento de que ambos nmeros sean pares

(2,2) (4,2) (6,2) A = (2,4) (4,4) (6,4) (2,6) (4,6) (6,6)

(6,2) AE = (4,4) (6,4)|AE|= 6 elementos (2,6) (4,6) (6,6)

p(A|E)= |AE|/ |E| = 6/ 21 = 0.28571

c.c.E=eventodequelasumadelosnmerosqueaparecenseadeporlo menossiete

(6,1) (5,2) (6,2) E = (4,3) (5,3) (6,3) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

A = evento de que en el primer dado aparezca el nmero dos

(2,1) (2,2)A = (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)AE = {(2,5)}, |AE|= 1 elemento

P(A|E) = |AE|/|E| = 1/21= 0.04762

2.Se seleccionan al azar dos nmeros de entre los nmeros del1 al 9, si la suma de losnmerosqueaparecenespar,a.Determinelaprobabilidaddequeambos nmerosseanpares,b.Determinelaprobabilidaddequeambosnmerossean impares.

Solucin:

o = {9C2 = 36 maneras de seleccionar dos nmeros de entre nueve que se tienen}

(1,2) (1,3) (2,3) (1,4) (2,4) (3,4) o =(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (1,7) (2,7) (3,7) (4,7) (5,7) (6,7) (1,8) (2,8) (3,8) (4,8) (5,8) (6,8) (7,8) (1,9) (2,9) (3,9) (4,9) (5,9) (6,9) (7,9) (8,9)

a.a. E = evento de que la suma de los nmeros que se seleccionan sea par

(1,3) (2,4)E =(1,5) (3,5) (2,6) (4,6) (1,3) (3,7) (5,7) (2,8) (4,8) (6,8) (1,9) (3,9) (5,9) (7,9)

E = {16 elementos }

A = evento de que ambos nmeros sean pares

(2,4) A =(2,6) (4,6)

(2,8) (4,8) (6,8)

A = {6 elementos}

(2,4) AE =(2,6) (4,6)

(2,8) (4,8) (6,8)

|AE| = 6 elementos ,p(A|E) = |AE|/ |E|= 6/16 = 0.375

b.b.E = evento de que la suma de los nmeros seleccionados es par

(1,3) (2,4)E =(1,5) (3,5) (2,6) (4,6) (1,3) (3,7) (5,7) (2,8) (4,8) (6,8) (1,9) (3,9) (5,9) (7,9)

A = evento de que ambos nmeros sean impares

(1,3)

A = (1,5) (3,5)

(1,7) (3,7) (5,7)

(1,9) (3,9) (5,9) (7,9)

A = {10 elementos},

(1,3)

AE = (1,5) (3,5)

(1,7) (3,7) (5,7)

(1,9) (3,9) (5,9) (7,9)

|AE|= 10 elementos; p(A|E)= |AE|/ |E|= 10/16 = 0.625

Esteejerciciotambinpuedeserresueltohaciendousodelascombinaciones;el espacio muestral puede ser definido;

o = {9C2 = 36 maneras de seleccionar los dos nmeros}

a.a. E = evento de que la suma de los nmeros seleccionados sea par

Para que la suma de dos nmeros sea par, forzosamente ambos deben ser pares o impares, por tanto,

E = {seleccin de dos nmeros pares ode dos impares = 4C2 + 5C2}

A = evento de que ambos nmeros sean pares

A = {4C2 }

AE = {4C2 = 6 maneras de seleccionar dos nmeros pares }

|AE|= 6 elementos

p(A|E) = |AE|/|E|= 6/16 = 0.375

b.b.E = evento de que la suma de los nmeros seleccionados sea par

E = {4C2 + 5C2 = 16 maneras de seleccionar dos nmeros de entre nueve}

A = evento de que ambos nmeros sean impares

A = {5C2 = 10 maneras de seleccionar dos nmeros impares}

|AE|= {5C2 = 10 }

p(A|E|= |AE|/|E|= 10/16 = 0.625

3.Dadalasiguientetablareferentealaproduccindeflechasparacamindecarga pesada; se inspeccionan 200 flechas del tipo A y B, 300 del tipo C y 400 del tipo D, a continuacin se presentan los resultados obtenidos en la inspeccin;

TIPO FLECHA DEFECTOABCDTOTAL I54234015132 II281214559 S - DEF118165246380909 TOTAL2002003004001100

a.a.SiseseleccionaunaflechaalazaryresultaqueesunaflechadeltipoB, cul es la probabilidad de que no tenga defectos, b. Si la flecha seleccionada es deltipoC,culeslaprobabilidaddequetengadefectosdeltipoII?,c.Sila flecha seleccionada tiene defectos del tipo I, cul es la probabilidad de que sea del tipo A, d. cul es la probabilidad de que una flecha no tenga defectos?, e. cul es la probabilidad de que una flecha tenga defectos?

Solucin:

a. Definiremos los eventos;

E = evento de que la flecha seleccionada sea del tipo B = {200 elementos oflechas}

A=eventodequelaflechaseleccionadanotengadefectos={909flechaso elementos}

AE = {165 elementos del tipo B y que no tienen defectos}

p(A|E) = |AE|/|E|= 165/200 = 0.825

b.b.E = evento de que la flecha sea del tipo C ={300 flechas}

A = evento de que la flecha tenga defectos del tipo II ={59 flechas}

AE = {14 flechas del tipo C y que tienen defectos del II }

p(A|E) =|AE|/|E|= 14/300 = 0.04667

c.c. E = evento de que la flecha tenga defectos del tipo I = {132 flechas} A = evento de que la flecha sea del tipo A = {200 flechas}

AE = {54 flechas con defectos del tipo I y del tipo A}

p(A|E) = |AE|/|E|= 54 / 132 = 0.40901

d. En este caso se trata de una probabilidad simple, ya que no hay un evento que est condicionando al evento del cual se desea determinar su probabilidad D = evento de que una flecha no tenga defectos = {909 flechas}

o = {1100 flechas}

p(D) = 909/1100 = 0.82636

d.d.F = evento de que una flecha tenga defectos = {132 + 59 = 191 flechas}

o = {1100 flechas}

p(F) = 191 / 1100 = 0.17364

4. Una pareja de recin casa dos ha decidido formar una familia de solo tres hijos, a. determinelaprobabilidaddequetengapuroshijosvarones,b.culesla probabilidad de que tenga como mximo un hijo varn, c. cul es la probabilidad de que su segundo hijo sea varn, d. Si esta familia tiene por lo menos una hija, cul es laprobabilidaddequeelsegundohijoseavarn?,e.Siestafamiliatienecomo mximo un hijo varn, cul es la probabilidad de que tenga puras hijas?

Solucin:

Loprimeroquehayqueobtenerpararesolveresteproblemaeselespaciomuestral, para lo cual nos podemos ayudar con un diagrama de rbol en donde representemos unotrasotroelnacimientodecadaunodesushijos,endondesoloconsideraremos partos de un solo beb, no mltiples y se considera que existe lamisma probabilidad de que nazca un varn o una nia.

Y el espacio muestral obtenido es: H = nio M = nia

o = {HHH, HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM}

a.a. A = evento de que la familia tenga puros hijos varones

A = {HHH}

p(A) = 1/8 = 0.125

b.b.B = evento de que la familia tenga como mximo un hijo varn

B = {ningn hijo varn o un hijo varn}= {MMM, HMM, MHM, MMH}

p(B) = 4/8 = 1/2 =0.5

c.c. C = evento de que el segundo hijo de la familia sea varnC = {HHH, HHM, MHH, MHM }

P(C) = 4/8 =1/2 = 0.5

d.d. Comoenestecasosetratadecalcularunaprobabilidaddetipo condicional,serequieredefinirdoseventos,eleventoEqueeselque condiciona y el evento A; E = evento de que la familia tenga por lo menos una hija E = {tenga una o ms hijas}

E = {HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM}= {7 elementos}

A = evento de que el segundo hijo sea varn

A = { HHH, HHM, MHH, MHM }

AE = { HHM, MHH, MHM }= {3 elementos}

Luego;

p(A|E) = |AE|/|E|= 3/7 =0.42857

e.e. E = evento de que la familia tenga como mximo un hijo varn A = evento de que la familia tenga puras hijas

E = {MMM, MHM, MMH, HMM}= {4 elementos}

A = {MMM}

AE = {MMM} = {1 elemento}

P(A|E) = |AE|/|E|= 1/4 = 0.25

5.Segnlasestadsticas,laprobabilidaddequeunautoquellegaacierta gasolinera cargue gasolina es de 0.79,mientras que la probabilidad de que ponga aceite al motor es de 0.11 y la probabilidad de que ponga gasolina y aceite al motor esde0.06,a.Sunautocargagasolina,culeslaprobabilidaddequeponga aceite?, b. S un auto pone aceite al motor, cul es la probabilidad de que ponga gasolina?

Solucin:

a.a. E = evento de que un auto cargue gasolina b.b.p(E) = 0.79

A = evento de que un auto ponga aceite al motor

P(A) = 0.11

AE = evento de que un auto ponga gasolina y aceite

p(AE) = 0.07 p(A|E) = p(AE)/p(E) = 0.07/ 0.79 = 0.0881

c.c. E = evento de que un auto ponga aceite al motor

P(E) = 0.11

A = evento de que un auto ponga gasolina

P(A) = 0.79

AE = evento de que un auto ponga aceite al motor y ponga gasolina

P(AE) = 0.07 P(A|E) = p(AE)/ p(E) = 0.07/0.11 = 0.63636 6.-Laprobabilidad de queunauto decarrerascarguegasolinaenciertocircuito enlaprimeramediahoraderecorridoesde0.58,laprobabilidaddequecambie de neumticos en esa primera media hora de recorrido es de 0.16, la probabilidad dequecarguegasolinaycambiedeneumticosenlaprimeramediahorade recorrido es de 0.05, a. Cul es la probabilidad de que cargue gasolina o cambie de neumticos en la primera media hora de recorrido?, b. cul es la probabilidad dequenocarguecombustibleydeneumticosenlaprimeramediahorade recorrido,c.Sielautocambiadeneumticosenlaprimeramediahorade recorrido,culeslaprobabilidaddequecarguecombustibletambin?,d.Siel autocargacombustibleenlaprimeramediahoraderecorrido,culesla probabilidad de que cambie de neumticos tambin? Solucin: a.a.A=eventodequecarguegasolinaenlaprimeramediahorade recorrido P(A) = 0.58 B = evento de que cambie de neumticos en la primera hora de recorrido P(B) = 0.16 AB=eventodequecarguecombustibleycambiedeneumticosenla primera hora de recorrido P(AB) = 0.05 P(carguegasolinaocambiedeneumticos)=p(AB)=p(A)+p(B) p(AB) = 0.58 + 0.16 0.05 = 0.69 b.b.p( no cargue combustible y no cambie de neumticos) = 1 p(AB) = 1 0.69 = 0.31 c.c.E=eventodequeelautocambiedeneumticosenlaprimera media hora de recorrido A = evento de que el auto cargue combustible en la primera media hora de recorrido p(A|E) = p(AE)/ p(E) = 0.05/0.16 = 0.3125 d.d. E=eventodequeelautocarguecombustibleenlaprimeramedia hora de recorrido A = es el evento de que el auto cambie de neumticos en la primera media hora de recorrido p(A|E) = p(AE)/p(E) = 0.05/0.58 = 0.08621 -La ley multiplicativa de probabilidades indica que la probabilidad de que dos sucesos A y B ocurran simultneamente es igual a:La ley multiplicativa anterior se utiliza tambin con el fin de determinar una probabilidad condicional a partir de los valores de y :Supongamos, por ejemplo, que queremos estudiar la incidencia del hecho de ser fumador como factor de riesgo en el desarrollo de una enfermedad en una determinada poblacin. Para ello se dise un estudio prospectivo y, tras seleccionar una muestra de 180 sujetos, los resultados son los que se muestran en la Tabla 1. Considerando toda la muestra, la probabilidad de desarrollar la enfermedad (E) en la poblacin de estudio es: Concepto de variable aleatoria Se llama variable aleatoria (v.a.) a toda aplicacin que asocia a cada elemento del espacio muestral () de un experimento, un nmero real. Ejemplo 1:Consideremos el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. Llamaremos C a Cara y X a Cruz, el espacio muestral ser:={CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX}Definimos la variable aleatoria (v.a.) X como el nmero de caras, estamos asociando a cada suceso un nmero, as: X(CCC)=3 X(CCX)=2 X(XXC)=1 X(XXX)=0Ejemplo 2:Consideremos el experimento que consiste en lanzar un dado dos veces. El espacio muestral ser: ={(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) }Definimos la variable aleatoria (v.a.) X como la suma de las puntuaciones, entonces X((1,1))=2X((3,4))=7X((2,6))=8X((5,6))=11 Las variables aleatorias las podemos clasificar en discretas, si pueda tomar un nmero finito o infinito numerable de valores o continuas si dado un intervalo (a,b) la variable puede tomar todos los valores comprendidos entre a y b. Sel l amavari abl eal eatori aatodaf unci nqueasoci aacada el ementodel espaci omuestral Eunnmeroreal .Seut i l i zanl et r asmayscul asX, Y, . . . par adesi gnar var i abl es al eat or i as, yl asr espect i vasmi nscul as(x, y, . . . ) par adesi gnar val or esconcr et osdel asmi smas.Vari abl eal eatori adi screta Unavari abl eal eatori adi scretaesaquel l aquesl opuede tomarval oresenteros.Ej empl os El nmer odehi j osdeunaf ami l i a, l apunt uaci nobt eni daall anzar undado.Vari abl eal eatori aconti nua Unavari abl eal eatori aconti nuaesaquel l aquepuedet omar todosl osval oresposi bl esdentrodeunci ertoi nterval odel a r ect ar eal .Ej empl os Laal t ur adel osal umnosdeunacl ase, l ashor asdedur aci nde unapi l a. Eventos IndependientesDos o ms eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso tpico de eventos independiente es el muestreo con reposicin, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la poblacin donde se obtuvo.Ejemplo:lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento. Eventos dependientesDos o ms eventos sern dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresin P(A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A s el evento B ya ocurri.Se debe tener claro que A|B no es una fraccin. P(A|B) = P(A y B)/P(B) o P(B|A) = P(A y B)/P(A)