13 Slides de Naturaleza Ondulatoria de Las Particulas

8/22/2019 13 Slides de Naturaleza Ondulatoria de Las Particulas

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USACH/MagalUSACH/MagalReyes M.Reyes M. 11

NATURALEZA ONDULATORIADE LAS PARTCULAS

Postulados de De BroglieExperimento de Davisson y

GermerPrincipio de Incertidumbre


INTRODUCCIINTRODUCCINN En FEn Fsica Clsica Clsica sabemos que la REMsica sabemos que la REMes un fenes un fenmeno netamente demeno netamente depropagacipropagacin ondulatorian ondulatoria..

1905: FOT1905: FOTN = 1 QUANTUM DE REMN = 1 QUANTUM DE REM 1924: Louis de Broglie sugiere:1924: Louis de Broglie sugiere: Bajo ciertas condiciones las partBajo ciertas condiciones las partculasculas

(part. Alfa, e, H,(part. Alfa, e, H, etcetc) manifiestan un) manifiestan uncomportamiento que es caractercomportamiento que es caracterstico destico delas ondaslas ondas..


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LouisLouis--VictorVictor Broglie,Broglie,

prprncipe de Brogliencipe de Broglie Nacido el5 de agostoNacido el5 de agostode 1892, ende 1892, en DieppeDieppe,,Francia.Francia.

Fallecido el19 de marzoFallecido el19 de marzode 1987,en Paris,de 1987,en Paris,Francia.Francia.

PremioPremio NobelNobel de Fde Fsicasicadel adel ao 1929o 1929


LA MATERIA POSEE TANTO PROPIEDADESLA MATERIA POSEE TANTO PROPIEDADESCORPUSCULAES COMO ONDULARORIASCORPUSCULAES COMO ONDULARORIAS

En 1924 existEn 1924 exista gran efervescencia intelectual, por ello losa gran efervescencia intelectual, por ello losplanteamientos deplanteamientos de DeDe Broglie recibieron una atenciBroglie recibieron una atencinninmediata y preferente.inmediata y preferente.

En 1927 se comprueba experimentalmente elEn 1927 se comprueba experimentalmente elcomportamiento ondulatorio de las partcomportamiento ondulatorio de las partculas y el principioculas y el principiode Dualidad. Constituyendo este hecho, el punto dede Dualidad. Constituyendo este hecho, el punto departida de la Mecpartida de la Mecnica Cunica Cuntica (MQ). Cuando De Broglientica (MQ). Cuando De Brogliepublicpublic su trabajo, asu trabajo, an no se habn no se haba observadoa observadoexperimentalmente el comportamiento ondulatorio de lasexperimentalmente el comportamiento ondulatorio de las

partpartculas, aunqueculas, aunque ste ya se comenzaba a investigar. Esste ya se comenzaba a investigar. Esprobable que laprobable que la LDOB = LDDB=LDOB = LDDB= (Longitud de Onda de(Longitud de Onda deDeDe Broglie) asociada a la partBroglie) asociada a la partcula fuese muy pequecula fuese muy pequeaacomparada con las dimensiones lineales del sistema fcomparada con las dimensiones lineales del sistema fsicosicode observacide observacin. Por esto no fue posible observar efectosn. Por esto no fue posible observar efectosondulatorios.ondulatorios.

B


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POSTULADOS DE BROGLIE: 1924POSTULADOS DE BROGLIE: 1924A cada partcula de masa m y momentumlineal se le asocia una onda piloto,

cuya frecuencia y longitud de ondason:

E

h = h

p =

p


2 4 2 2

o oE m c c p E E T == =

oE

p mvc

= = E h =

hp k=


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22 2 2 2

ODDB

m c c pE mcV c 1 c

P p p

= = = = >

ODDBV c No contradice RelatividadNo contradice Relatividad

Especial, ya que VODDB =Especial, ya que VODDB =velocidad de fase.velocidad de fase.


FUNCIFUNCIN DE ONDA:N DE ONDA:Onda Plana MonocromOnda Plana Monocromtica: OPMtica: OPM El movimiento mEl movimiento ms simple, implica unas simple, implica una

Onda Plana MonocromOnda Plana Monocromtica: Perturbacitica: Perturbacinnque se propaga sinusoidalmente en elque se propaga sinusoidalmente en elespacio con LDO, , y sinusoidalmente enespacio con LDO, , y sinusoidalmente enel tiempo; con frecuencia, ; conel tiempo; con frecuencia, ; conamplitud constante desde aamplitud constante desde a

y se muevey se mueve cincin velocidadvelocidadconstanteconstanteconstanteconstante ..


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x t(x, t) Asen 2 Asen (kx t)

T

= = 1 2 2

2 k =T T

= = =


PARA UN PUNTO XPARA UN PUNTO XFIJOFIJO

La funciLa funcin varn varaasinusoidalmente ensinusoidalmente enel tiempo, con unael tiempo, con unafrecuenciafrecuencia,,

PARA UNPARA UNINSTANTE t FIJOINSTANTE t FIJO

La funciLa funcin varn varaasinusoidalmente elsinusoidalmente elespacio con unespacio con unLDO, :LDO, :

1

T 2

= = 2k

=


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Los ceros de la funciLos ceros de la funcin corresponden an corresponden a

los NODOS DE LA ONDA, ubiclos NODOS DE LA ONDA, ubicndose enndose enlos valores,los valores, xxNN tales que:tales que:

Nkx t n , = N nx t,k k

=N

fase

dxV

dt k

= =


Una Plana MonocromUna Plana Monocromticaticarepresentarrepresentara un objetoa un objetono localizadono localizado

Ya que el cuadrado de la amplitud deYa que el cuadrado de la amplitud delas ODDB asociada a una partlas ODDB asociada a una partcula,cula,estest relacionada con larelacionada con laPROBABILIDAD DE ENCONTRAR LAPROBABILIDAD DE ENCONTRAR LAPARTICULA EN UN PUNTO DELPARTICULA EN UN PUNTO DEL

ESPACIO Y EN UN INSTANTE DEESPACIO Y EN UN INSTANTE DETIEMPO.TIEMPO.


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Paquete de onda: PDOPaquete de onda: PDO

Un PDO se puede obtener sumando unUn PDO se puede obtener sumando unnnmero infinitamente grande de ondas demero infinitamente grande de ondas dela forma (3), de modo que sus frecuenciasla forma (3), de modo que sus frecuenciasy su ny su nmero de ondas difieren en unamero de ondas difieren en unacantidad muy pequecantidad muy pequeita muy pequeita muy pequeita,ita,

dd yy dkdkrespectivamente.respectivamente.


1 asen k dk x d t= d 2 2 d 2 => 2 Asen(kx t)= dk 2k 2k dk 2k>


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dk d

2Acos x t sen(kx t)2 2

=

Los ceros de la Amplitud NODOS DEL PDO.

N

dk d 1x t n

2 2 2

= N

gdx d vdt dt= = n fdx vdt k= =


La rapidez con se propagan los ceros de lasLa rapidez con se propagan los ceros de lasfases velocidad de fasefases velocidad de fase..

PARTICULA NOPARTICULA NO--RELATIVISTARELATIVISTA

V


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NR

p mv 2mT=2 2

o o

1 1p E E T 2TE mv

c c= = =


EXPERIMENTO DE DAVISSON YEXPERIMENTO DE DAVISSON YGERMERGERMER: 1927: 1927

ObjetivoObjetivo Comprobar experimentalmente elComprobar experimentalmente el

comportamiento ondulatorio de lascomportamiento ondulatorio de laspartpartculas.culas.

Estudiar la difracciEstudiar la difraccin de electrones (porn de electrones (porreflexireflexin) en un monocristal de Ni.n) en un monocristal de Ni.


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En 1925En 1925 DavissonDavisson y Germen haby Germen habanan

comenzado una serie de experimentoscomenzado una serie de experimentossobre la emisisobre la emisin secundaria de electrones.n secundaria de electrones.En estos experimentos, un haz deEn estos experimentos, un haz deelectrones incidentes sobre un cristal deelectrones incidentes sobre un cristal deNiquelNiquel, hac, haca que otros electronesa que otros electrones(secundarios) fueran reemitidos por el(secundarios) fueran reemitidos por elcristal.cristal.

Cuando uno de los blancos de Ni, se cubriCuando uno de los blancos de Ni, se cubriaccidentalmente con una capa deaccidentalmente con una capa de xido, sexido, sele recalentle recalent con el fin de remover elcon el fin de remover el xido.xido.

Los experimentos efectuados con esteLos experimentos efectuados con estecristal, dieron despucristal, dieron despus resultadoss resultadosexperimentales muy diferentes.experimentales muy diferentes.


El calentamiento prolongado habEl calentamiento prolongado habaacambiado elcambiado el blanco policristalino,blanco policristalino, enenun solo gran monocristal. Losun solo gran monocristal. Loselectrones aelectrones an eran emitidos enn eran emitidos endiferentesdiferentes ngulos, pero en ciertosngulos, pero en ciertos

ngulos se detectaban notoriamentengulos se detectaban notoriamentemms electrones que antes.s electrones que antes.


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DIFRACCIDIFRACCIN DE ELECTRONES POR UNN DE ELECTRONES POR UNMONOCRISTAL DE Ni.MONOCRISTAL DE Ni.

Un haz de electrones de 54 producUn haz de electrones de 54 producaaun incremento en el nun incremento en el nmero demero deelectrones emitidos a unelectrones emitidos a un ngulongulo ..

La hipLa hiptesis detesis de DeDe Broglie, prediceBroglie, predicepara los electrones de 50para los electrones de 50 eVeV, una, una

longitud de onda de 1,67 Alongitud de onda de 1,67 ACOMPRUEBELO!COMPRUEBELO!


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Para una Onda difractada, por los PlanosPara una Onda difractada, por los Planosdede BraggBragg, dentro de un cristal; para, dentro de un cristal; paradifraccidifraccin de primer orden (n=1) por eln de primer orden (n=1) por elcristal de Ni con un espaciamiento decristal de Ni con un espaciamiento de0,91A , se tiene una LDO:0,91A , se tiene una LDO:= 2= 20,910,91sensen 6565 = 1,65 . que es la= 1,65 . que es laLDO de una onda difractada.LDO de una onda difractada.

2dsen=



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Lo anterior es unaLo anterior es unabuena comparacibuena comparacin yn yproporciona unaproporciona unafuerte evidencia, quefuerte evidencia, queen verdad,en verdad,

Los electronesLos electronesmanifiestan carmanifiestan carctercter

ondulatorioondulatorio

LOS ELECTRONES MANIFIESTANLOS ELECTRONES MANIFIESTAN

UN CARUN CARCTER ONDULATORIOCTER ONDULATORIO


Casi al mismo tiempo que se efectuaban losCasi al mismo tiempo que se efectuaban losanteriores experimentos;anteriores experimentos; G.PG.P. Thomson y algunos. Thomson y algunosde sus estudiantes hacde sus estudiantes hacan un experimentoan un experimentodiferente, que los llevardiferente, que los llevara a la misma conclusia a la misma conclusin.n.G. P. Thomson dispersG. P. Thomson dispers electrones de alta energelectrones de alta energaa(simulara lo que hab(simulara lo que haba hechoa hecho VonVon LaueLaue con RX)con RX)mediante hojas muy delgadas de metal, demediante hojas muy delgadas de metal, dematerial policristalino, con los ejes orientados almaterial policristalino, con los ejes orientados alazar. Envazar. Envo un haz colmado de electrones de 10o un haz colmado de electrones de 10a trava travs de hojas de 1.000 de espesor. Pudos de hojas de 1.000 de espesor. Pudoobtener asobtener as, una serie de anillos de difracci, una serie de anillos de difraccin,n,

cuyoscuyos ngulos de difraccingulos de difraccin, cuyosn, cuyos ngulos dengulos dedifraccidifraccin:n: 1,1, 2,2, 3,3,, etc., verificaban la bien, etc., verificaban la bienconocida ecuaciconocida ecuacin para la difraccin para la difraccin porn portansmisitansmisinn..


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G. P. ThomsonG. P. Thomson


Otras verificaciones experimentales de laOtras verificaciones experimentales de lanaturaleza ondulatoria de las partnaturaleza ondulatoria de las partculas.culas.

En Alemania,En Alemania, RuppRupp midimidi LDO de (e), porLDO de (e), pordifraccidifraccin de electrones sobre una red den de electrones sobre una red dedifraccidifraccinn ptica.ptica.

1931, Jonson: demostr1931, Jonson: demostr efectos de difracciefectos de difraccinnde haces de hidrde haces de hidrgenosgenos oror cristales.cristales.

1938,1938, EastermannEastermann,, FrischFrisch yy SternStern produjeronprodujerondifraccidifraccin de haces de moln de haces de molculas de He, sobreculas de He, sobreun cristal deun cristal de LiFLiF (fluoruro de litio).(fluoruro de litio).

n 2d sen=


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Onda Piloto y electrOnda Piloto y electrnn lidadolidado::

o

1v

4 rm =

o

mp e

4 r= oB 4 rhe m =

2

2 o

n 2

h

r n me

=



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PRINCIPIO DE INCERTIDUMBREPRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE

Definiciones:Definiciones: VALOR ESPERADOVALOR ESPERADO Valor medio de una cantidad queValor medio de una cantidad que

tiene una distribucitiene una distribucin de valoresn de valores En un experimento ideal, esEn un experimento ideal, es

importante entender que laimportante entender que ladistribucidistribucin de valores surge de lan de valores surge de lanaturaleza ondulatoria de lanaturaleza ondulatoria de lamateria.materia.


FFsicamente, el valor esperado de unasicamente, el valor esperado de unacantidad fcantidad fsica, es el valor medio sobresica, es el valor medio sobreun gran nun gran nmero de mediciones hechasmero de mediciones hechasbajo idbajo idnticas condiciones. Puede sernticas condiciones. Puede serinterpretado como, el valor de unainterpretado como, el valor de unacantidad fcantidad fsica que uno puede esperarsica que uno puede esperarde obtener en una sola medicide obtener en una sola medicin.n.TambiTambin se llama valor de expectacin se llama valor de expectacin.n.

La probabilidad de encontrar el valorLa probabilidad de encontrar el valor

de expectacide expectacin en una simplen en una simplemedicimedicin, decrece a medida que crecen, decrece a medida que crecela varianza.la varianza.


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i i

i

PQQ

P

= Pi : probabilidad de ocurrencia de Qi

P(x)Q(x)dxQ

P(x)dx=

Q(x) : valor de Q en x.

P(x) : probabilidad de ocurrencia de Q entre(x, x+dx)


*

*

(x)Q(x) (x)dxQ(x) (x)dx

= x

x Py

y P L E t22Q Q Q=


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WerberWerber Heisenberg,Heisenberg,1901, 1976.1901, 1976. Nobel 1932.Nobel 1932.

El producto de lasEl producto de lasincertezas de dosincertezas de dos cantidacantida--des fdes fsicas, cansicas, cannicamentenicamenteconjugadas no puede serconjugadas no puede ser

menor que cierto valormenor que cierto valormmnimo,nimo, ..

Principio de Incertidumbre.Principio de Incertidumbre.


xx p

2


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El Principio de Incertidumbre se aplica cuandoEl Principio de Incertidumbre se aplica cuandoambas cantidades son medidas en el mismoambas cantidades son medidas en el mismoexperimento.experimento.

SegSegn el Principio de Incertidumbre de Heisenberg,n el Principio de Incertidumbre de Heisenberg,las llamadas variables canlas llamadas variables cannicamente conjugadas,nicamente conjugadas,estestnn ntimamente relacionadas, de tal manera que,ntimamente relacionadas, de tal manera que,las incertezas no pueden variar de una maneralas incertezas no pueden variar de una maneraarbitraria.arbitraria.

Este principio es una consecuencia directa de laEste principio es una consecuencia directa de ladualidad Ondadualidad Onda--PartPartcula, y ello implica una limitacicula, y ello implica una limitacinnde la exactitud con la cual se pueden medirde la exactitud con la cual se pueden medir

simultsimultneamente cantidades canneamente cantidades cannicamentenicamenteconjugadas.conjugadas.

Variables canVariables cannicamente conjugadasnicamente conjugadas::

xx p yy p zz p [ ]L [ ]t E


xx p2

L2

t E2

x,x, pxpx: posici: posicin y momentum a lon y momentum a lolargo del eje x.largo del eje x.

, L: posici, L: posicin y momentumn y momentumangular.angular.

t : tiempo de vida y E: energt : tiempo de vida y E: energaadel sistema.del sistema.

EN CADA CASO, el producto de las incertezas esEN CADA CASO, el producto de las incertezas esfinito no nulofinito no nulo, en un par de variables, es una, en un par de variables, es unaimposiciimposicin cuando ambas son medidas en el mismon cuando ambas son medidas en el mismoexperimento.experimento.


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Si sSi slo una de las cantidades eslo una de las cantidades esmedida, el experimento no dice nadamedida, el experimento no dice nadaacerca de la otra, consecuentemente;acerca de la otra, consecuentemente;la incerteza en este valor esla incerteza en este valor esefectivamente infinito.efectivamente infinito.

Las relaciones del Principio deLas relaciones del Principio deIncertidumbre sonIncertidumbre son tiles para hacertiles para hacerestimaciones cualitativas en sistemasestimaciones cualitativas en sistemas

con distribuciones de probabilidadcon distribuciones de probabilidaddesconocida.desconocida.


Experimento pensado:Experimento pensado: Se efectSe efecta un intento paraa un intento paramedir simultmedir simultneamente la posicineamente la posicin y el momentumn y el momentum

lineal en la direccilineal en la direccin x, de un electrn x, de un electrnn


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pticaptica PoderPoder de resolucide resolucinn LaLa OpticaOptica geomgeomtrica muestra que eltrica muestra que el

poder de resolucipoder de resolucin de un microscopion de un microscopiopermite una incerteza en la medicipermite una incerteza en la medicin de lan de laposiciposicin:n: xx

Cuando la distancia es menor queCuando la distancia es menor que xx, los, losdos puntos se verdos puntos se vern como uno solo.n como uno solo.

LuegoLuego xx representa la menor incertezarepresenta la menor incertezaen la posicien la posicin del electrn del electrn que estamosn que estamostratando de medir con el microscopio.tratando de medir con el microscopio.

x

2sen

=


Mientras menor sea la longitud de onda,Mientras menor sea la longitud de onda, de la LUZ incidente, con que se ilumina elde la LUZ incidente, con que se ilumina elobjeto, menor serobjeto, menor ser xx. Esto significa que. Esto significa quese podrse podr fijar con mfijar con ms presicis presicin la posicin la posicinndel electrdel electrn.n.

Sin embargo, el fotSin embargo, el fotn incidente interactn incidente interactaacon el electrcon el electrn, a travn, a travs del Efectos del EfectoComptonCompton. Para poder. Para poderververal electral electrn, eln, el

fotfotn dispersado debe entrar al microscopion dispersado debe entrar al microscopiodentro deldentro del ngulongulo 22 . Entonces, el. Entonces, elmomentum del fotmomentum del fotn tiene una incerteza enn tiene una incerteza enla direccila direccin x.n x.


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De acuerdo con la conservaciDe acuerdo con la conservacin deln delmomentum lineal, la ecuacimomentum lineal, la ecuacin anterior,n anterior,tambitambin nos debe dar la misman nos debe dar la mismaincerteza en el momentum del electrincerteza en el momentum del electrnnen retroceso. Para el electren retroceso. Para el electrn tenemos:n tenemos:

xp psen= hp momentum lineal del fotn

x h hp x psen2sen 2 2

= = = x

hp x donde

2 2 =


Principio de IncertidumbrePrincipio de Incertidumbre Si queremos caracterizar unaSi queremos caracterizar unamicropartmicropartculacula por medio de magnitudespor medio de magnitudesffsicas propias de unasicas propias de una macropartmacropartculaculaordinaria, podemos conseguirloordinaria, podemos conseguirlonicamente con una aproximacinicamente con una aproximacinndeterminada.determinada.

Una consecuencia inevitable de la descripciUna consecuencia inevitable de la descripcin den deun electrun electrn que se mueve en unan que se mueve en una rbita derbita deBohr, introducida por De Broglie, es laBohr, introducida por De Broglie, es laimposibilidad de especificar exactamente y enimposibilidad de especificar exactamente y enforma simultforma simultnea, la posicinea, la posicin y el momentumn y el momentumlineal del electrlineal del electrn.n.


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LDO de la modulaciLDO de la modulacinn

NN se ondas de lase ondas de lamodulacimodulacin.n.

Frecuencia de laFrecuencia de lamodulacimodulacinn

dk d(x, t) 2Acos x t sen kx t2 2

= m

mk

m

m

2k

= m

m

m

2

T

=


La extensiLa extensin de cada paquete de ondas esn de cada paquete de ondas esigual a la mitad de la LDO de la modulaciigual a la mitad de la LDO de la modulacin.n.Por lo tanto, el lPor lo tanto, el lmite para la precisimite para la precisin conn conque podemos medir posicique podemos medir posicin de la partn de la partculaculaeses xx ..

1 1m m2 2

m

k 2 2x k x

2 k k

= = = = x k 2

m2

=

p k p k = p

x 2 = x p h =


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Interferencia de electronesInterferencia de electrones

(Experimento pensado)(Experimento pensado) Condiciones (ideales)Condiciones (ideales)experimentales paraexperimentales paradecidir lo que vamos adecidir lo que vamos aobservar:observar:

a b2

1 1P 2

2 2P 2

12 1 2P


Interferencia de ondas: Princ. de SuperposiciInterferencia de ondas: Princ. de Superposicin.n.

El diagrama que obtenemos en la pantalla es delEl diagrama que obtenemos en la pantalla es delmismo tipo al que se obtiene enmismo tipo al que se obtiene en ptica Fptica Fsica.sica.

Esto vendrEsto vendra a ilustrar que los electronesa a ilustrar que los electronesmanifiestan un comportamiento ondulatorio.manifiestan un comportamiento ondulatorio.

CADA ELECTRON, ATRAVIESA EL AGUJERO (1) O ATRAVIESACADA ELECTRON, ATRAVIESA EL AGUJERO (1) O ATRAVIESAEL AGUJERO (2)?EL AGUJERO (2)?

Los electrones llegan en bultos, como si fuesenLos electrones llegan en bultos, como si fuesenbolas, pero la probabilidad de llegada de estos bultosbolas, pero la probabilidad de llegada de estos bultosse distribuye como la distribucise distribuye como la distribucin de intensidad den de intensidad de

una Onda.una Onda. Es en este sentido que se dice, que losEs en este sentido que se dice, que los

electrones se comportan algunas veces comoelectrones se comportan algunas veces comopartpartculas y otras como ondas.culas y otras como ondas.


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ESPIANDO ELECTRONES:ESPIANDO ELECTRONES: Si colocamos un dispositivo, que nos permitaSi colocamos un dispositivo, que nos permita

averiguar por cual agujero pasa el electraveriguar por cual agujero pasa el electrn,n,DESTRUIREMOS EL ESPECTRO DE INTERFERENCIA.DESTRUIREMOS EL ESPECTRO DE INTERFERENCIA.

Cuando los miramos, los electrones pasanCuando los miramos, los electrones pasanexactamente como esperarexactamente como esperaramos que lo hicieran. Yaamos que lo hicieran. Yasea que los agujeros estsea que los agujeros estn cerrados o abiertos.n cerrados o abiertos.

Cuando miramos a los electrones, la distribuciCuando miramos a los electrones, la distribucin den dellegada de ellos en la pantalla es diferente a cuandollegada de ellos en la pantalla es diferente a cuandono los miramos.no los miramos.

TRATANDO DE ESPIAR A LOS ELECTRONES HEMOSTRATANDO DE ESPIAR A LOS ELECTRONES HEMOSCABIADO SU MOVIMIENTOCABIADO SU MOVIMIENTO



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Si colocamos un sutil detector (placa fotogrSi colocamos un sutil detector (placa fotogrfica)fica)detrdetrs de las rendijas,s de las rendijas,nos perturba la situacinos perturba la situacinnyayaque cualquier tipo de detector desvque cualquier tipo de detector desva a losa a loselectrones.electrones.

Queremos que elQueremos que el ngulongulo sea menor quesea menor que (para(paraque no se destruya el patrque no se destruya el patrn de interferencia);n de interferencia);

Esto significa que:Esto significa que:

lo quelo que VIOLAR EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE!VIOLAR EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE!

y2

< ypp

y yp p pp 2a 2a

< < 2a

=

y

hy p

4

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