Dispersion de Particulas-flujo bifasico

7/26/2019 Dispersion de Particulas-flujo bifasico

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Dispersin de partculas slidas en flujos bifsicosturbulentos de inters industrial*

Santiago Lan Beatove**, Cristian A. Grillo Lpez***

Resumen

Los Flujos Multifsicostienen una destacada importancia en una gran variedadde sistemas tcnicos, industriales y naturales como, por ejemplo, procesos de

transporte, separacin, combustin, flujo sanguneo, transporte capilar, etc.En Mecnica de Fluidos, la simulacin numrica por ordenador constituye toda unarama conocida como Mecnica de Fluidos Computacional. El nmero de problemasabordados desde esta perspectiva crece da a da conforme aumenta la potencia y lavelocidad de los computadores (al mismo tiempo que disminuye su precio), mientrasque el costo de los ensayos de laboratorio crece sin cesar.

Este trabajo aborda el problema de la dispersin de partculas en un campo deflujo subyacente turbulento por medio de la simulacin numrica.

La aproximacin propuesta se centra en el uso de un programa computacional yaexistente dentro del Grupo de Investigacin de Mecnica de Fluidos de la UniversidadAutnoma de Occidente (Cali, Colombia) y de su extensin para mejorar las predic-

ciones tericas de las propiedades turbulentas de la fase discreta en configuracionesde flujos bifsicos turbulentos cargados con partculas.Palabras claves: Turbulencia, flujo bifsico, dispersin turbulenta de partcu-las, modelos lagrangianos.

Abstract

Multiphase flowplay a key role in a variety of technical, industrial and naturesystems such as transport processes, segregation, combustion, capilar transportand many others.

The numerical simulation in Fluid Mechanics, known as CFD, is nowadays one

of the main areas of research around the world. The number of industrial problemsapproached by CFDincreases rapidly due to the constant improvement of computerspeed (with prices decreasing simultaneously) and the increase of the cost of experi-mental tests.Fe

chaderecep

cin:11demayode2005

Fechadeaceptacin:13dejuliode2005

INGENIERA& DESARROLLO

Nmero 17Enero-Junio, 2005ISSN: 0122-3461

* Este artculo es resultado del proyecto de investigacin titulado Dispersin de partculas slidasen flujos de inters industrial, financiado por la Universidad Autnoma de Occidente a travs de laVicerrectora de Investigaciones.

** Doctor en Ciencias Fsicas, Programa de Doctorado Mecnica de Fluidos, Universidad de Zara-goza (Espaa). Director del grupo de investigacin en Mecnica de Fluidos, Universidad Autnomade Occidente. Direccin: Calle 25 N 115-85, Km 2, va a Jamund, Cali (Colombia) [email protected]

*** Ingeniero mecnico, Universidad Autnoma de Occidente, Cali (Colombia).


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88 Ingeniera & Desarrollo. Universidad del Norte. 17: 87-114, 2005

Santiago Lan Beatove, Cristian A. Grillo Lpez

1. INTRODUCCIN

Por Flujo Multifsicose entiende todo proceso termomecnico en el que inter-

viene un fluido donde coexisten varias fases. La palabrafaseadquiere aqu unsentido generalizado, entendindose por tal tanto un estado de agregacin dela materia como determinadas porciones materiales de una o varias sustanciasdistinguibles por saltos significativos de sus propiedades. Dicho cambio puedeconsistir en variaciones, no slo de composicin o estado, sino tambin devariables particulares: velocidad, vorticidad Dentro de un Flujo Multifsicose distinguir una fase fluida que se extender en toda la regin de desarrollodel flujo, llamada fase continua. En este seno fluido, lquido o gas, se encon-trarn porciones de otra materia o bien elementos de la misma sustancia en

estado distinto del existente en la fase continua. La superficie frontera entrelas fases se conoce con el nombre de entrefase.

Si en el flujo se pueden definir dos o ms fases continuas, nos encontramosante unflujoconfases separadas,mientras que si las porciones materiales del restode las fases consisten en elementos aislados, fluidos o slidos, se habla deflujocon fase dispersa. Un ejemplo tpico de flujo con fases separadas lo constituyenla mezcla de dos lquidos inmiscibles como aceite y agua o la coexistencia defases gaseosa y lquida. En el caso de que las fases sean gaseosas o lquidas

miscibles, la frontera entre ellas se encontrar difusa y deber ser definida deforma adecuada al propsito que se busque. Las capas de mezcla, ondas dechoque y otras discontinuidades pueden interpretarse tambin como entrefasesentre dos fluidos a ciertos efectos.

En el caso particular de que tan solo haya dos fases distintas, se hablarde flujo bifsico.De hecho, cualquier flujo que sea exclusivamente con fasedispersa puede considerarse un sistema bifsico en la medida en que la distin-cin entre los elementos de una fase y otras puede hacerse en virtud del salto

que experimenten las propiedades que distinguen cada medio. Por ejemplo,un flujo simultneo de partculas slidas y lquidas en una fase continua es

In this work the turbulent particle dispersion in an underlying flow is addressedby using numerical simulation. The proposed approach uses an existing computationalcode in the Fluid Mechanics Research Group of the UAO, which has been extended inorder to improve the numerical predictions of the particle phase turbulent properties

in two-phase flow laden with solids.Key words: Turbulence, two-phase flow, turbulent particle dispersion, la-grangian tracking.


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DISPERSINDEPARTCULASSLIDASENFLUJOSBIFSICOSTURBULENTOSDEINTERSINDUSTRIAL

nica y los elementos dispersos se distinguen entre s exclusivamente porsus propiedades termodinmicas y cinticas, constituyendo en su conjuntola segunda fase. Por ello, a partir de aqu a cualquier flujo con fases dispersas

se le denominar flujo bifsico disperso.

Losflujos multifsicostienen una destacada importancia en una gran variedadde sistemas tcnicos, industriales y naturales como, por ejemplo, procesos detransporte, separacin, combustin, flujo sanguneo, transporte capilar, etc.

De los mltiples fenmenos en los que se encuentran este tipo de flujos sepueden citar, entre otros:

Sistemas gas-partculas slidas:transportes neumtico, colectores de polvo,lechos fluidizados, reactores heterogneos, xerografa, polvo csmico.

Sistemas gas-lquido (gotas y burbujas):atomizadores, depuradoras, secadores,combustores; aglomeracin, contaminacin, cavitacin, enfriamiento degases, evaporacin

Sistemas lquido-lquido:extraccin, homogeneizacin,..

Sistemas lquido-slido: lechos fluidizados, flotacin, sedimentacin

Como en tantos otros procesos de ndole compleja, durante mucho tiemposus aplicaciones prcticas han venido de la mano de conocimientos empricoso modelos de clculo muy simples incapaces, en la mayora de las ocasiones,de predecir con fiabilidad las condiciones de trabajo. Sin embargo, la constantesofisticacin de los productos tecnolgicos, la exigencia de mayores fiabilidadesy la necesidad de un mejor aprovechamiento de los recursos han conducido ala demanda de mtodos de clculo y predicciones ms potentes, cuyo desarro-

llo y explotacin requieren un profundo conocimiento de sus fundamentosfsicos y una exacta modelizacin de los fenmenos involucrados.

Para lograr el deseado conocimiento de los procesos relevantes que tienelugar en un determinado sistema existen dos vas distintas pero ntimamenteentrelazadas y concomitantes: el experimento y la modelizacin numrica.El primero permite un acceso directo al estudio del fenmeno pero suele sercostoso, mientras que la segunda es comparativamente mucho ms barata ysencilla.


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No obstante, el caso de la turbulencia, presente en la mayora de los flujosde inters industrial, es un paradigma en el conjunto de las ciencias bsicasy aplicadas debido a la inexistencia, todava hoy, de una teora completa que

sea capaz de describir con exactitud su dinmica, lo cual es a la vez un retotecnolgico y un problema de extraordinario inters cientfico. Es sta la raznque nos impulsa a incidir en la modelizacin terico-numrica de diferentesfenmenos, en los que la turbulencia desempea un papel fundamental,construyendo aproximaciones simplificadas, las cuales pueden ser validadasy/o refinadas utilizando el ordenador como un laboratorio numrico. EnMecnica de Fluidos, la simulacin numrica por ordenador constituye todauna rama conocida como Mecnica de Fluidos Computacional. El nmerode problemas abordados desde esta perspectiva crece da a da conforme

aumenta la potencia y la velocidad de los computadores (al mismo tiempoque disminuye su precio), mientras que el costo de los ensayos de laboratoriocrece sin cesar.

Tradicionalmente, en la mayora de las aproximaciones terico-numricasconstruidas para crear modelos de turbulencia, se ha recurrido a algn tipode promedio de las ecuaciones instantneas de Navier-Stokes para encontrardescripciones aproximadas de la evolucin de las variables medias. Este hechoes motivado por la propia naturaleza de los flujos turbulentos donde las es-

calas espaciales y temporales que intervienen son tan pequeas que, hoy porhoy, se hace imposible la resolucin numrica completa del flujo. Adems, lapresencia de varias fases induce fuentes adicionales de fluctuacin debidas alas perturbaciones introducidas por la distribucin aleatoria de las entrefases.Por tanto, en un Flujo Multifsico donde la fase continua posee una dinmicaturbulenta se debe aplicar un proceso de promediacin capaz de contemplarla interaccin entre las fases de una forma suficientemente precisa.

En la aproximacin elegida, implementada en el paquete de clculo ELSA2D,

disponible en el Grupo de Investigacin en Mecnica de Fluidos, las ecuacionesde Navier-Stokes se encuentran promediadas temporalmente siguiendo laaproximacin de Reynolds. La influencia de las partculas sobre la fase gaseosaaparece como trminos adicionales en las ecuaciones promediadas, describien-do lo que se conoce como la modulacin de la turbulencia. El tratamientoelegido para las partculas es de tipo lagrangiano, donde la trayectoria de cadapartcula o paquete de partculas se construye resolviendo sus ecuaciones delmovimiento lagrangianas.

En este tipo de aproximaciones lagrangianas, el problema fundamentalradica en estimar la velocidad instantnea del gas que la partcula slida


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experimenta en cada paso temporal, o velocidad lagrangiana, que va a serdistinta en general de la velocidad euleriana del fluido. Diversas posibilidadespueden plantearse, y una excelente revisin puede consultarse en Shirolkar

et al. (1996) [1]. La opcin considerada en ELSA2Dconsiste en interpolar en lalocalizacin de la partcula una velocidad media euleriana, construida a par-tir de los valores de la velocidad de fluido en los nodos ms cercanos de lamalla, y una componente aleatoria obtenida a partir de una funcin densidadde probabilidad gaussiana cuya varianza se relaciona con las propiedadeslocales de la turbulencia de la fase continua proporcionadas por el modelo deturbulencia utilizado para la descripcin de la dinmica de la fase gaseosa.

La figura 1 esboza el transporte de partculas debido al movimiento de los

vrtices en flujos turbulentos. Dicha figura representa la presencia de los dife-rentes remolinos, que interactan con partculas de varios tamaos. El tamaode la partcula frente al tamao del remolino es el parmetro ms importanteen la determinacin del resultado de la interaccin partcula- vrtice. El trans-porte de partculas debido a los remolinos turbulentos tambin depende dediferentes propiedades del fluido y las partculas, como por ejemplo la visco-sidad del fluido, su densidad y la densidad de la partcula, y de propiedadesde flujo, como la distribucin de energa cintica turbulenta. El entendimientodetallado de la naturaleza de la interaccin de partcula-vrtice es esencial

para modelar el problema de la dispersin de partcula.

Figura 1.Interaccin vrtice-partcula en flujos turbulentos

Es conveniente clasificar las partculas, en general, en dos categoras, basadasen su dimensin caracterstica (el dimetro) respecto a la escala de longitudms pequea (la escala de Kolmogorov) presente en un campo turbulentodado. Una partcula se considerapequeasi su dimetro es ms pequeo quela escala de Kolmogorov, y mediasi su dimetro est entre la escala de Kol-mogorov y la escala de longitud integral. Adems, se debe notar que en los

sistemas bifsicos diluidos cargados con partculas de inters, la mayora departculas son pequeas segn la anterior definicin. La interaccin partcula


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discreta-vrtice viene determinada por dos fenmenos, basados en dos propie-dades fundamentales de la partcula, su inercia y su velocidad de cada libre,las cuales dictan la naturaleza de la interaccin.

Una partcula densa tendr menos velocidad fluctuante que la del fluido.Esta reduccin de la raz cuadrtica media (rms) de las fluctuaciones de velo-cidad de la partcula se conoce como efecto de inercia, y se caracteriza por unaescala de tiempo llamada tiempo derelajacin de la partcula p. El tiempo derelajacin de la partcula es la tasa de respuesta de la aceleracin de la partculaa la velocidad relativa entre la partcula y el fluido externo.

Por tanto, el aumento de la inercia en una partcula pequea, que posee

un tiempo de relajacin ms corto que todas las escalas temporales fluidas,disminuye la fluctuacin de la velocidad de la partcula y al mismo tiempoaumenta su escala temporal integral. Este efecto de incremento de inercia,sin embargo, no nos dice nada sobre el grado de dispersin de la partcula,debido a que, segn la teora estadstica de dispersin turbulenta, el gradode dispersin es determinado por el producto de la raz cuadrtica media dela velocidad fluctuante y la escala temporal integral de la partcula (Taylor,1921) [2].

El fenmeno de migracin de una partcula de un vrtice a otro, antes de sudecaimiento, debido a la turbulencia original del remolino, es conocido comoel efecto de cruce de trayectorias(CTE). Esta migracin prematura es debido a unavelocidad de cada libre significativa para la partcula considerada. Uno delos resultados del CTEes la reduccin de la escala temporal lagrangiana de lapartcula. Esta reduccin es debida a un cambio abrupto de las condicionesfluidas que rodean a la partcula. El CTEviene determinado por la velocidad

de arrastre de la partcula vd( ), la cual es simplemente la diferencia entre la

velocidad de la partcula y la velocidad del fluido circundante.

El resto de este trabajo se organiza como sigue: la seccin dos introduce losmodelos de dispersin turbulenta de partculas considerados en este trabajo; laseccin tres expone la validacin de la implementacin del modelo de Miniery Peirano [3] y su comparacin con los resultados obtenidos con el modeloestndar contemplado en el cdigo ELSA2D, frente a tres experimentos de ref-erencia; por ltimo, la seccin cuatro presenta el resumen y las conclusionesextradas de los resultados obtenidos.


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2. MODELOS DE DISPERSIN TURBULENTA DE PARTCULAS

La mayor parte de los modelos de dispersin pueden ser clasificados basn-

dose en el marco de referencia usado para su formulacin. Hay dos tipos demarcos de referencia, el lagrangiano y euleriano. En el marco de referencialagrangiano, las trayectorias de partculas individuales (o nube de partculas)son construidas conforme se mueven a travs del dominio computacional. Enlos modelos lagrangianos de partculas, el sistema de referencia se mueve conlas partculas, y la posicin instantnea de una partcula puede ser consideradacomo una funcin de la posicin inicial de la partcula y el tiempo transcurrido.Los modelos lagrangianos son llamados algunas veces modelos no continuos,debido a que la fase de las partculas se trata de un modo discreto, a diferencia

de la fase fluida, que es tratada como una fase continua. El marco lagrangianoes un modo natural de tratar las partculas en flujos diluidos; de ah la popu-laridad de estos modelos en usos como sistemas de combustin de carbnpulverizado y sprays. En los modelos eulerianos, el sistema de referencia esestacionario, y las partculas pasan a travs de volmenes de control diferen-ciales fijos. En esta aproximacin, las caractersticas de la fase de las partculasse obtienen resolviendo ecuaciones diferenciales parciales en un sistema decoordenadas determinado. Estos modelos que tratan las partculas como uncontinuo, similar a la fase fluida, se conocen tambin como modelos continuos

omodelos de dos fluidos.Los modelos eulerianos son populares cuando lacarga de partculas es alta, como en el caso de los sistemas de combustin delecho fluidizado. Sin embargo, tambin se usan en la modelacin de flujos car-gados con partculas diluidos. Sin embargo, todos los modelos de dispersinde partculas dependen de ciertas propiedades de la fase continua del fluido.Los ejemplos de las propiedades importantes de las fases fluidas requeridaspor ambos modelos incluyen las velocidades medias y la raz cuadrtica mediade las velocidades fluctuantes del fluido. La informacin exacta requerida dela fase fluida depende del modelo en consideracin. Las propiedades de la

fase fluida se obtienen bien mediante medidas experimentales o por algnprocedimiento computacional apropiado para predecir el campo de flujo tur-bulento. Los mtodos ms extendidos para predecir el comportamiento de lafase fluida y sus propiedades turbulentas incluyen: (1) frmulas algebraicas,por ejemplo, viscosidad turbulenta constante o los modelos de longitud demezcla; (2) los modelos de turbulencia que usan dos o tres ecuaciones, comolas formulaciones k-o k--g. Otros mtodos, como los modelos algebraicos,modelos completos de Reynolds Stress, y simulaciones de grandes escalas(LES), tambin pueden utilizarse para predecir la fase fluida. Sin embargo,

debido a problemas de estabilidad (modelos algebraicos y de Reynolds Stress)o a exigencias sustanciales en los requerimientos computacionales (LES), estosmodelos no son usados tan ampliamente.


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Es importante destacar la necesidad de datos experimentales confiablesen flujos bifsicos para validar los modelos. Datos experimentales paralos momentos estadsticos de las partculas con condiciones de contorno

bien especificadas, bajo condiciones de reaccin y sin reaccin son muyimportantes en el desarrollo final de los modelos. Tales datos pueden serusarse no slo para validar los modelos sino tambin para comprender mejorciertos mecanismos que son fundamentales en flujos de dos fases.

Como ya se ha mencionado, el problema de la dispersin turbulenta departculas en flujos turbulentos de inters industrial se aborda en este trabajodesde una perspectiva computacional. Durante el transcurso de este proyectose ha realizado la implementacin de la aproximacin descrita en Minier

y Peirano (2001) [3], la cual considera una ecuacin de Langevin para laestimacin de la velocidad lagrangiana del fluido vista por las partculas. Enesta ecuacin, las hiptesis de cierre no se centran en la velocidad lagrangianadel fluido en s misma sino en sus aceleraciones siguiendo el espritu de otrasaproximaciones que han tenido xito en la descripcin de la turbulencia dela fase continua (Pope, 1994) [4].

Una vez realizada la implementacin de la ecuacin de Langevin, sta fuevalidada y se compar con las aproximaciones tradicionales lagrangianas,

codificadas en ELSA2D, que llamaremos estndar, en tres configuraciones deflujo: flujo turbulento detrs de una rejilla, flujo cortante simple y chorro libreaxisimtrico turbulento cargado con partculas para las cuales existen variosdatos experimentales. En particular, en esta ltima configuracin se han elegidolos experimentos de Hishida y Maeda (1987) [5], pues contienen todas lasvariables de inters para la fase dispersa. En este ltimo caso se espera mejorarlos resultados obtenidos empleando los modelos de dispersin de partculastradicionales, que llevan a una infraprediccin de la raz cuadrtica media dela velocidad axial fluctuante de las partculas.

El modelo de Minier y Peirano, el cual incluye como variable primera lavelocidad del fluido vista por la partcula, se escribe:

dxp,i =Up,i .dt (2.1)

dUp,i =Ap,i .dt (2.2)

dUs,i =As,i (t,Z).dt+Bs,ij(t,Z).dWj (2.3)

donde el vector de estado de una partcula se escribe Z=(Xp,Up,Us)funcinde la posicin de la partcula, su velocidad y la velocidad del fluido visto


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por la partcula respectivamente; dWes un proceso estocstico de Wiener, oRandom Walk, que posee media cero y varianza; dt. A

p,ies la aceleracin de

la partcula:

Ap,i = Us,i Up,i( ) p +gi

(2.4)

dondepes el tiempo de relajacin de la partcula y ges la aceleracin de lagravedad. As y Bson, respectivamente, el vector de arrastre y la matriz dedifusin, construidos como

As,i = 1

f

P

xi

+ Up,j Us,j( ).Uf,i

xj

Us,i Us,i

TL

*

(2.5)

Bs,ij2 =Bs,i

2 ij = . C0 .bi .k~

k+2

3bi .

k~

k1

ij i =1,2,3

(2.6)

donde no se sobreentiende suma en el subndice repetido iy los bison factores

de correccin, definidos como

bi = TL

TL.i* (2.7)

siendo TLla escala de tiempo lagrangiana del fluido y TL.i

* la escala de tiempolagrangiana por el fluido visto por la partcula, fes la densidad del fluido, Ufsu velocidad (euleriana),

la presin media, kla energa cintica turbu-

lenta del fluido y la tasa promedio de disipacin, k~

es una nueva energacintica definida como

k~

=3

2.

bii=13 uf,i2

bii=13

(2.8)

que representa las energas usualesponderadas con los factores bi. Puesto que

estos factores varan de direccin a direccin, la energa cintica ponderada k~


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difiere de la habitual k= uf,i2i=1

3

. El factor C0es un factor que relaciona la escala

temporal lagrangiana del fluido TLcon la tasa media de disipacin y laenerga cintica turbulenta k.

TL = 4

3C0 +2 /3( )k

(2.9)

El modelo estndar existente en ELSA2D consiste en interpolar en lalocalizacin de la partcula una velocidad media euleriana, construida a

partir de los valores de la velocidad del fluido en los nodos ms cercanosde la malla, y fabricar una componente aleatoria obtenida a partir de unafuncin densidad de probabilidad gaussiana cuya varianza se relaciona conlas propiedades locales de la turbulencia de la fase continua proporcionadaspor el modelo de turbulencia utilizado para la descripcin de la dinmica dela fase gaseosa.

La validacin de la estrategia de Minier y Peirano y su comparacin conel modelo estndar se realiza considerando tres experimentos de referencia

que cuantifican la dispersin turbulenta de partculas. El primero de ellos esla dispersin de partculas slidas en la turbulencia generada por una rejilla;dicha turbulencia tiene la particularidad de ser istropa y no estacionaria,pues su intensidad decae conforme nos alejamos de la rejilla (isotropic decayingturbulence). El segundo de ellos es un experimento numrico consistente enla dispersin de partculas en un flujo cortante simple, donde la velocidadmedia del fluido vara linealmente con la coordenada transversal al flujoy la intensidad de la turbulencia viene especificada. Finalmente, el tercerexperimento de referencia lo constituye un chorro bifsico confinado por una

corriente exterior, la cual es una configuracin presente en varios sistemasindustriales como, por ejemplo, cmaras de combustin o secado de sprayspara producir alimentos en polvo.

3. RESULTADOS

3.1. DISPERSINDEPARTCULASENLATURBULENCIAGENERADAPORUNAREJILLA

3.1.1.Descripcin del experimento

Para la validacin de los modelos de dispersin de partculas por la turbu-


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lencia de la fase continua es comn utilizar esta configuracin de flujo. Enparticular, los experimentos de Wells y Stock (1983) [6] son comnmenteempleados en la literatura especializada. En este montaje experimental se

estudia la dispersin de partculas slidas que emanan desde un punto fuenteen un campo de flujo turbulento generado por una rejilla cuadrada.

La configuracin consiste en un tnel de viento con una seccin cuadradade 200 mm x 200 mm con una velocidad media de aire de U= 6.55 m/s. Deacuerdo a los datos experimentales, los valores cuadrticos medios de lasvelocidades fluctuantes en las direcciones del flujo (direccin x) y tranversal(direcciny) se pueden estimar de las correlaciones

U2

u'2=au x

M+bu

; U2

v'2=av x

M+bv (3.1)

DondeMes el tamao de los huecos de la rejilla, el cual es 25.4 mm, y losparmetros a

u, b

u, a

v, b

v adoptan los siguientes valores:

au= 56.55; b

u= -8.87; a

v= 53.52; b

v= -7.05

Es necesario sealar que las expresiones (3.1) son correlaciones que

permiten describir las velocidades fluctuantes en cualquier experimento deturbulencia generada por una rejilla sin ms que ajustar los valores de losparmetros anteriores.

La energa cintica turbulenta puede determinarse de

k=1

2u'2 +v'2

(3.2)

La tasa de disipacin de energa cintica turbulenta se halla con la ex-presin

= U

2

dk2

dx

(3.3)

Lo cual proporciona, usando (3.1) y (3.2):

(3.4)

=

U3

2M

1

auX

M+bu

2 +

2

avX

M+bv

2


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Para calcular la dispersin de partculas, todas estas propiedades del flujo sevan a prescribir a lo largo del tnel de viento para los casos considerados.

Este experimento de Wells y Stock fue diseado para estudiar el efecto delas fuerzas externas, por ejemplo, la gravedad, sobre el proceso de dispersin.Debido al ya visto efecto de cruce trayectorias, la dispersin de partculas enel flujo turbulento se reduce, puesto que las partculas caen ms rpidamentea travs de los vrtices turbulentos debido a la gravedad. Por consiguiente,dado que el modelo de Minier y Peirano introduce explcitamente dichoefecto de cruce de trayectorias, estos experimentos constituyen un buenbanco de pruebas para tal modelo.

Con objeto de simular diferentes campos gravitatorios, las partculas fueroncargadas y sometidas a un campo elctrico en el tnel de viento. La dispersinde las partculas fue medida utilizando anemometra lser Doppler.

Se utilizaron dos tamaos de partculas de vidrio: 5 m y 57 m. La dis-persin de las partculas ms pequeas se espera que no se vea muy afectadapor el incremento del campo gravitatorio, puesto que la velocidad de arrastrees pequea comparada con las fluctuaciones turbulentas. En el caso de laspartculas ms grandes, el efecto de cruce de trayectorias reduce fuertemente

el proceso de dispersin.

El efecto del campo elctrico sobre la dispersin de partculas puede simu-larse introduciendo una constante gravitacional efectiva que se obtiene de laecuacin de movimiento de la partcula en estado estacionario:

geff =18fDVS

pDp

(3.5)

Donde es la viscosidad dinmica del fluido, VSla velocidad terminal dela partcula en estado estacionario, o velocidad efectiva de arrastre, y py Dpson la densidad y el dimetro de la partcula respectivamente. La funcinf

D

es el trmino no lineal del coeficiente de resistencia:

fD= 1 + 1/6 Rep

0.66 (3.6)

La tabla 1 muestra los diferentes casos considerados:


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Tabla 1Parmetros experimentales en los estudios de Wells y Stock (1983)

Dimetro partcula[m]

Densidad partcula[gr/cm3]

Gravedad efectiva[m/s2]

Velocidad terminal[m/s]

5 2.475 0 05 2.475 900 0.17

57 2.420 0 057 2.420 28.4 0.54557 2.420 72.4 1.216

Los resultados experimentales para el desplazamiento cuadrtico medio

de las partculas se recogen en la tabla 2, tanto para las partculas pequeascomo para las grandes. Es necesario hacer notar que en este experimentolas condiciones iniciales no se encuentran claramente especificadas, por loque los clculos pueden diferir suficientemente de las medidas. Por ello seadopt el uso de las medidas en x/M = 30 como localizacin de referencia,sugirindose desplazar los resultados numricos adecuadamente. Las par-tculas fueron inyectadas con una velocidad media en la direccin del flujode 6.55 m/s, mientras que se emple una velocidad media fluctuante de 0.5m/s en el punto de inyeccin x/M = 10. Todas estas elecciones se hicieron

siguiendo las recomendaciones del caso test presentado en la ERCOFTACSummerschool Experiments, Modelling and Numerical Calculations forDispersed Multiphase Flow, que tuvo lugar del 16 al 19 de julio de 2001 enla Universidad Martin Lutero Halle Wittenberg (Alemania).

3.1.2.Simulaciones y discusin

A continuacin se muestran los resultados obtenidos en las condiciones delexperimento de Wells y Stock utilizando los modelos de dispersin Langevin

estndar y el propuesto por Minier y Peirano.


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Tabla 2

Desplazamientos cuadrticos medios

y'2 para las partculas pequeas (5 m)y grandes (57 m) como funcin de x/M para las

diferentes constantes gravitacionales

partculas pequeas partculas grandes

x/M VS= 0 VS= 0.17 VS= 0 VS= 0.545 VS= 1.216

20 0.77 0.77 0.79 0.71 0.5730 1.10 1.10 1.24 0.90 0.6040 1.53 1.35 1.57 1.12 0.64

50 1.94 1.74 1.87 1.2960 2.35 2.15 2.35 1.4670 2.61 2.52 2.75 1.74

La figura 2 muestra los resultados obtenidos para las partculas pequeas(Dp= 5 m).

En ella se puede apreciar cmo para la situacin sin fuerzas externas (VS=0) ambos modelos proporcionan resultados muy parecidos, como era previsi-

ble. En cambio, cuando tenemos un valor finito de la velocidad de arrastreVSel modelo estndar infrapredice la dispersin de las partculas. Como erade esperar, los resultados experimentales muestran que para estas partculastan poco inerciales, la dispersin turbulenta de partculas se ve muy pocoinfluenciada por la aplicacin de un campo externo (representado por unaconstante gravitacional geff= 900).

En este caso, el modelo propuesto por Minier y Peirano se muestra superioral estndar, ya que incorpora explcitamente el efecto de cruce de trayectorias

reflejado en la existencia de una velocidad de arrastre finita.

La figura 3 muestra los resultados obtenidos para las partculas ms iner-ciales (Dp= 57 m). Se encuentra una mayor dependencia de la dispersinturbulenta de partculas con el campo externo aplicado que en las partculaspequeas, ya que la respuesta de las partculas a las fluctuaciones del campode velocidad del fluido es ms lenta. De nuevo el modelo estndar no capturasuficientemente bien la dispersin indicada por los datos experimentales,infrapredicindola, mientras que el modelo de Minier y Peirano s es capaz

de describirla con una exactitud suficiente.

{{


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Figura 2:Comparacin del desplazamiento cuadrtico medioobtenido numricamente frente a los datos de Wells y Stock

para las partculas de 5 m

Figura 3:Comparacin del desplazamiento cuadrtico medioobtenido numricamente frente a los datos de Wells y Stock

para las partculas de 57 m

Es necesario hacer notar que en los clculos del modelo de Minier y Peiranola constante C0se ha hecho igual a 8.1, lo cual implica que la escala temporallagrangiana del fluido se exprese como TL= 0.152 k/; el valor de 0.152 para

el coeficiente se encuentra en el rango de valores reportados habitualmenteen la literatura (0.13-0.5).


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3.2. DISPERSINDEPARTCULASENUNFLUJOCORTANTESIMPLE

El segundo experimento considerado, flujo cortante simple, es numrico y

su inters radica en que existen soluciones analticas exactas (Reeks, 1993;Zaichik, 1997; Hyland et al., 1999) [7-9]. En este caso se considera un flujo endos dimensiones en el plano x y, cuyos valores medios de velocidad del fluidose expresan:

U = yV = 0 (3.7)

Donde es el gradiente de velocidad que se considera constante. Lasfluctuaciones de velocidad del fluido vienen determinadas por procesos

gaussianos cuyas varianzas son los esfuerzos de Reynolds en la direccincorrespondiente. La magnitud de dichos esfuerzos de Reynolds es un datofijado desde el comienzo.

Los clculos en esta configuracin de flujo estn inspirados en los presen-tados en Hyland et al. (1999) [9] con los tamaos de partcula utilizados en losexperimentos de Wells y Stock (1983) [6], es decir, 5 y 57 m. En particular,se tomarn los esfuerzos de Reynolds normales u'u' =v'v' =1. Las partculas seinyectan en el centro del dominio con velocidad inicial nula y sus trayectorias

se calculan durante un tiempo total de 5 s.

En primer lugar se considera el caso en el que no hay esfuerzo cortanteimpuesto, es decir, = 0 y donde los esfuerzos de Reynolds cortantes (turbu-lentos) son tambin cero, u'v ' =0. En este caso es conocido que los perfiles deconcentracin de partculas son crculos concntricos alrededor del origen,puesto que la turbulencia es istropa y las partculas se difunden con igualprobabilidad en todas las direcciones. Esta situacin se muestra en la figura4, donde la concentracin es mayor en el origen y decrece conforme nos ale-

jamos de l.

Es necesario hacer notar que las lneas no son exactamente crculos concn-tricos debido a que, para mantener el tiempo de clculo en lmites accesibles,el nmero de trayectorias de partculas simuladas se fij en 104. Conforme elnmero de trayectorias aumenta, los crculos se tornan progresivamente msntidos.


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Figura 4: Perfiles de concentracin de partculas en turbulenciahomognea e istropa con = 0(Dp= 5 m)

Cuando la turbulencia no es istropa, es decir, u'v' 0, el procedimientopropuesto por Yuan y Crowe (1989) [10] permite considerar el efecto de laanisotropa o correlaciones cruzadas. En nuestro caso bidimensional, las dosvelocidades fluctuantes, u y v, se obtienen de la siguiente manera: en primerlugar se generan aleatoriamente dos velocidades fluctuantes independientes

con distribucin gaussiana u1y v1. Entonces Yuan y Crowe demuestran quelas dos velocidades, u y v, pueden correlacionarse utilizando el coeficientede correlacin Ren la forma

u'= u'1; v'= R u'1+v'1 1 R2; R =

u'v'

u'u' v'v'

(3.8)

Figura 5:Perfiles de concentracin de partculas en turbulenciahomognea pero anistropa u'v ' = 0.5, con = 0 (Dp= 5 m)


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Como resultado, en el caso anistropo, donde, por ejemplo, u'v ' = 0.5, losperfiles de concentracin se convierten en elipses rotadas 45 de acuerdo conHyland et al.(1999) [9]. Esta situacin se muestra en la figura 5.

Cuando 0, es decir, existe esfuerzo cortante, en el caso de turbulenciaistropa, los perfiles de concentracin de partculas se convierten tambin enelipses rotadas (figura 6 con = 5), aunque en este caso en sentido contrarioa las mostradas en la figura 5. Por consiguiente, el efecto del esfuerzo cortantees cambiar los perfiles de concentracin de crculos concntricos a elipses con-cntricas rotadas. Conforme el tiempo pasa estas elipses se expanden (debidoa la difusin) y rotan (debido al esfuerzo cortante).

Cuando la magnitud del esfuerzo cortante aumenta, el estiramiento y ro-tacin de las elipses aumenta, como se muestra en la figura 7. Si el tamao delas partculas aumenta, considerando por ejemplo Dp= 57 m, la situacin essimilar a la mostrada en las figuras precedentes pero la difusin es menor queen el caso de las partculas pequeas debido al efecto de inercia (figura 8).

Finalmente, si se considera turbulencia no istropa y esfuerzo cortante(

u'v ' = 0.5, = 5) se obtiene la situacin mostrada en la figura 9: las elipses seencuentran rotadas, pero mientras en el centro del dominio el efecto predomi-

nante es el de la anisotropa de la turbulencia, conforme nos alejamos de l, elesfuerzo cortante alinea las partculas siguiendo el sentido del flujo medio.

Es necesario hacer notar que como en estos clculos no se han consideradocampos externos, ambos modelos de dispersin, estndar y Minier y Peirano,proporcionan resultados casi idnticos en lo referente a la dispersin de laspartculas.

3.3. DISPERSINDEPARTCULASENUNCHORROAXISIMTRICOTURBULENTO

La ltima configuracin experimental elegida para comparar las resultadosobtenidos mediante los dos modelos de dispersin turbulenta de partculasconsiderados en este trabajo es la de chorro bifsico gas slido axisimtricocon fase dispersa diluida. Este es un flujo realista, altamente anistropo, en-contrado frecuentemente en los procesos industriales, por lo que la calidad delos resultados obtenidos nos proporcionar una pista sobre la fiabilidad de losmodelos utilizados para la prediccin de flujos industriales reales.


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Figura 6:Perfiles de concentracin de partculas enturbulencia homognea e istropa, con = 5(Dp= 5 m)

Figura 7:Perfiles de concentracin de partculas enturbulencia homognea e istropa, con = 10

(Dp= 5 m)

Las razones que justifican la eleccin de esta configuracin son las siguientes:el flujo monofsico es bien conocido y existe un buen ajuste de los modelosturbulentos empleados usualmente, en particular del modelo de segundo or-den de esfuerzos de Reynolds elegido en este trabajo; la geometra es sencillay posee un buen nmero de simetras; las condiciones de contorno estn bienestablecidas; existen medidas experimentales suficientemente completas,tanto en la fase fluida como en la fase de partculas; y, por ltimo, ha sido la

configuracin histricamente empleada en las calibraciones de modelos flujobifsico turbulento desde finales de los aos sesenta.


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Figura 8:Perfiles de concentracin de las partculas ms grandesen turbulencia homognea e istropa, con = 5 (Dp= 57 m)

Figura 9:Perfiles de concentracin de partculas enturbulencia homognea y anistropa, con u'v ' = 0.5 y = 10 (Dp= 5 m)

3.3.1.Descripcin del experimento y simulaciones

En la configuracin experimental de Hishida y Maeda (1987) [5] el chorroemana de una boquilla interior de 13 mm de dimetro confinada en un tuboexterior de 60 mm. La corriente primaria est confinada en un flujo anularde aire, llamada corriente secundaria, con velocidad elevada para la recircu-lacin del flujo primario. Tal configuracin es esquematizada en la figura 10y los detalles completos del montaje se pueden consultar en Hishida y Maeda

(1987) [5].


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Figura 10: Esquema de la configuracin de flujo del chorrode Hishida y Maeda (1987)

El sistema de medida emplea un anemmetro lser Doppler (LDA) de doscomponentes y modificado por los autores para posibilitar la medida develocidades de ambas fases con discriminacin de tamao. sta se consigueexaminando la amplitud de las seales de ambas fases complementado con

un filtrado de interferencias entre ellas mediante la cuenta del nmero deciclos Doppler.

De los diferentes casos presentados en Hishida y Maeda (1987) [5] se haelegido el primero. En este conjunto de medidas la velocidad en el eje desimetra de la corriente primaria es de 30 m/s, mientras que la velocidaddel flujo secundario es de 15 m/s. La fase slida consiste en partculas de vi-drio de dimetro medio 64.4 m y densidad p= 2590 kg/m

3. La fraccin decarga msica es 0.3 (kg partculas)/(kg aire), que corresponde a una fraccin

volumtrica media p= 1.4 x 10-4. La comparacin entre medidas y clculosse presenta para la seccin transversal situada x = 130 mm aguas abajo de laboquilla, es decir, x/D = 10, donde D es el dimetro de la boquilla.

Como ya se ha comentado, la simulacin se ha realizado con el modelo deesfuerzos de Reynolds, axisimtrico en este caso. Por consiguiente, el clculose ha simplificado considerando las condiciones de simetra y tan solo se cal-cul la mitad del dominio del flujo. Este dominio rectangular abarca 520 mmen la direccin axial y 30 mm en la radial, hasta la pared del tubo exterior, y

se discretiza por medio de una malla no uniforme de 150 x 60 volmenes decontrol en la direccin axial y radial respectivamente. Dicha resolucin de la

D

D2

U2

U0


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malla es suficiente para producir resultados independientes del tamao de lamalla. Los perfiles medidos en x = 0 han sido introducidos como condicionesde entrada y en x = 520 mm se us una condicin de salida. En r = 0 se impuso

la condicin de eje de simetra y en r = 30 mm la condicin de no deslizamientoentre el aire y la pared. Dado el tamao de las partculas, suficientementepequeas, las fuerzas ms relevantes son la resistencia aerodinmica y lagravedad, por lo que otras fuerzas como la sustentacin transversal han sidodespreciadas. La estadstica se realiz sobre un total de 25.000 trayectoriasde partculas. Los resultados se presentan en formato dimensional frente a ladistancia radial r.

3.3.2.Resultados y discusin

Una caracterstica importante de la configuracin de chorro bifsico es sugran anisotropa en los esfuerzos normales de Reynolds, especialmente en losde la fase de partculas. Por ejemplo, en un chorro monofsico axisimtricoes conocido que los esfuerzos normales radiales y acimutales son del ordende la mitad de los esfuerzos axiales, lo cual se sigue manteniendo aproxima-damente para la fase gaseosa en el caso bifsico. En cambio, la fase de laspartculas presenta valores de los esfuerzos axiales normales, up, mayores quelos radiales, vp, en un orden de magnitud, es decir, la anisotropa de la fase

dispersa es mucho mayor que la de la fase continua. Este hecho tambin seha encontrado en un flujo cortante simple, donde Reeks (1993) [7] demuestraque los esfuerzos normales de Reynolds de las partculas para tiempos largospresentan anisotropa a pesar de que los esfuerzos de Reynolds del fluido seimponen istropos y espacialmente uniformes.

Esta alta anisotropa de los esfuerzos normales de Reynolds de las partculasen flujos no uniformes no es capturada con suficientemente exactitud por loscierres tradicionales, siendo verdad tanto para las descripciones eulerianas

como para las lagrangianas de la fase dispersa (Lan y Kohnen, 1999; Lan yAliod, 2000) [11,12]. Desde el punto de vista euleriano, Lan y Aliod (2003) [13]demuestran que un modelo euleriano de segundo orden, el cual incluye explci-tamente trminos de produccin para los esfuerzos normales de Reynolds delas partculas, es capaz de predecir aceptablemente la citada anisotropa en lascantidades turbulentas de las partculas en el chorro experimental de Mostafaet al. (1989) [14]. Por el contrario, hasta el momento las estrategias lagrangia-nas todava no son capaces de capturar razonablemente dicha anisotropa.Una de las razones para ello podra radicar en que los modelos de Langevin

utilizados para describir la dispersin turbulenta de partculas usados habitu-almente en los mdulos lagrangianos son todava demasiado simplificados.


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Por tanto, dado que el modelo de dispersin de Minier y Peirano refleja conms exactitud la fsica subyacente que los tradicionales, cabe preguntarse siproporcionar una estimacin aceptable de la anisotropa de la turbulencia

de las partculas en la configuracin de chorro axisimtrico.

Otro punto que se debe tener en cuenta es que en esta configuracin deflujo existen fuertes gradientes de velocidades medias, en particular de lavelocidad media axial en la direccin radial, por lo que el trmino inhomog-

neo proporcional a /xjen el modelo de Minier y Peirano no se anulaidnticamente como pasaba en el caso de turbulencia generada por una rejilla.Dicho trmino involucra el valor medio de la velocidad de las partculas en lalocalizacin de la partcula; sin embargo, dicho valor medio es desconocido en

el primer lanzamiento del mdulo lagrangiano (que calcula las trayectorias delas partculas). Por consiguiente, el clculo de la dispersin de las partculasmediante el modelo de Minier y Peirano se debe realizar iterativamente supo-niendo un valor inicial para el valor medio de las velocidades de las partculasen los nodos de la malla computacional. Adems, el nmero de esas iteracio-nes depender mucho de la estimacin inicial considerada. Un mtodo queproporcionar un buen valor inicial ser precisamente utilizar en el primerlanzamiento lagrangiano el modelo Langevin estndar, el cual proporcionabuenas estimaciones para la velocidad media de las partculas (Lan y Kohnen,

1999) [11]. De este modo se encontr que dos o tres iteraciones eran suficientespara obtener la convergencia en la propuesta de Minier y Peirano.

Los resultados obtenidos con ambos modelos de dispersin se presentanen las figuras siguientes, donde todos los datos son dimensionales.

La parte superior de la figura 11 muestra las velocidades axiales mediaspara ambas fases. Como era de esperar, ambos modelos de dispersin departculas proporcionan valores prcticamente idnticos para el fluido, donde

la influencia de las partculas se tiene en cuenta mediante el acoplo de dosvas (two-way coupling).


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Figura 11:Velocidades medias (izquierda) y esfuerzos axiales (derecha)para ambas fases en x/D = 10 (Hishida y Maeda, 1987)

En el caso de las partculas, el modelo de Minier y Peirano proporcionauna velocidad media ligeramente superior al modelo estndar debido a quela velocidad media de fluido vista por las partculas es tambin superior a lavelocidad media del gas (figura 13).

En el caso de los esfuerzos de Reynolds (figura 11, derecha, figura 12) losvalores obtenidos para el gas son muy similares en ambos modelos, comparandorazonablemente bien con los valores experimentales. Sin embargo, la situacines distinta en el caso de los esfuerzos de Reynolds de las partculas donde elmodelo de Minier y Peirano incrementa las fluctuaciones de las velocidades

de las partculas upy esfuerzos de Reynolds cortantes u'p v'p .


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Figura 12:Esfuerzos radiales (arriba) y cortantes (abajo) paraambas fases en x/D = 10 (Hishida y Maeda, 1987)

Figura 13:Velocidad axial media vista por las partculas en el modelo

de Minier y Peirano en comparacin con la velocidad media delfluido en x/D = 10


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En estos ltimos el incremento es suficiente para capturar los puntos ex-perimentales, pero insuficiente para aproximarse a los valores medidos de up.En el caso de los esfuerzos normales radiales ambas estrategias de dispersin

predicen prcticamente el mismo resultado. Ello es debido a que la direccinradial es una direccin aproximadamente homognea en el chorro (que tienedireccionalidad axial) y los esfuerzos de Reynolds del gas y las partculas al-canzan los valores de equilibrio rpidamente de forma similar a como sucedeen los flujos cortantes simples (Reeks, 1993) [7]. La situacin es distinta en ladireccin axial donde aparentemente no se alcanzan los valores de equilibriopresentando adems la particularidad que los gradientes de velocidad mediade las partculas actan como una fuente para up, segn se demuestra en Lany Aliod (2003) [13].

En resumen, a pesar de que el modelo de Minier y Peirano mejora las pre-dicciones del estndar en la configuracin de chorro axisimtrico, capturando

correctamente los esfuerzos de Reynolds cortantes u'p v 'p, todava no es capazde capturar la anisotropa de la turbulencia de las partculas debido a la in-fraprediccin de los esfuerzos normales up. Por consiguiente, los modelos deLangevin, utilizados en la descripcin lagrangiana de la fase dispersa, todavadeben mejorarse para capturar dicha anisotropa de los esfuerzos de Reynoldsde los elementos discretos en flujos no uniformes.

RESUMEN Y CONCLUSIONES

Este trabajo ha pretendido contextualizar el papel de los flujos multifsicosen general y bifsicos en particular dentro los procesos industriales, as comoesbozar las dificultades inherentes a su descripcin y modelacin. Concreta-mente, la cuestin abordada ha sido la de la dispersin de partculas discretas(slidos, gotas o burbujas) en un flujo turbulento subyacente, la cual vienegobernada por la interaccin fluido - partcula. La discusin se simplificconsiderablemente al considerar partculas pequeas, menores que la escalade Kolmogorov del flujo, de tal manera que la velocidad del fluido vista porla partcula en todos los puntos de su trayectoria pudiese ser consideradacomo uniforme. Sin embargo, la existencia de dos fenmenos particularesdiferencian considerablemente el comportamiento de una partcula fluida delde una discreta: la existencia de la inercia y el efecto de cruce de trayectoriasya comentados. El punto de vista escogido para la descripcin de las partcu-las es el lagrangiano, o no continuo, donde las partculas se describen comoentes individuales que responden a una ecuacin del movimiento en el senofluido. Por el contrario, la fase continua se describe mediante las ecuaciones


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de Navier - Stokes apropiadamente modificadas y extendidas para describirel comportamiento turbulento del flujo e incluir el efecto de las partculas ensuspensin.

El punto clave de la aproximacin lagrangiana basada en la funcin densidadde probabilidad, consiste en considerar como variable primera en el vectorde estado de una partcula la velocidad del fluido vista por la partcula y endesplazar el cierre de las velocidades instantneas de las partculas fluidashacia sus aceleraciones, de forma similar a como se procede en la turbulenciamonofsica. Cuando la componente fluctuante de la velocidad del fluidovisto por la partcula se considera como un proceso aleatorio, con densidadde probabilidad gaussiana, se desarrollan los modelos de Langevin que se han

denominado en este trabajo modelos estndar. En ellos, la velocidad fluida enla localizacin de la partcula se obtiene por medio de correlaciones que poseendos componentes: una temporal y otra espacial. En cambio, modelando lasaceleraciones de las partculas fluidas mediante un proceso de difusin de Lan-gevin, Minier y Peirano (2001) [3] demuestran que el modelo obtenido respetams fielmente que el estndar la fsica del problema, pudindose incluir deforma ms o menos natural los efectos de inercia y de cruce de trayectorias.

Los modelos lagrangianos estndar y el propuesto por Minier y Peirano

se han confrontado con tres experimentos, dos reales y uno numrico. Losclculos se han desarrollado con el cdigo computacional ELSA2D, disponibleen el Grupo de Investigacin en Mecnica de Fluidos de la UniversidadAutnoma de Occidente, en el cual tan solo el modelo estndar se encon-traba implementado. Por consiguiente, para el desarrollo de este trabajo fuenecesaria la implementacin del modelo de Minier y Peirano (M&P) y suvalidacin con experimentos de referencia. Como resultado, el modelo M&Preproduce mejor que el estndar la dispersin turbulenta de partculas en elflujo turbulento generado por una rejilla cuando se encuentra presente un

campo externo de fuerzas. Ello no es sorprendente, ya que M&P incorporaexplcitamente el efecto de cruce de trayectorias, el cual aparece cuando existeun arrastre medio entre partcula y fluido. En adicin, ambos modelos funcio-nan suficientemente bien a la hora de reproducir los principales fenmenos dedispersin de partculas en un experimento numrico que involucra un flujocortante simple. Finalmente se consider un flujo ms realista, como el chorroturbulento axisimtrico cargado con partculas slidas, el cual se caracterizapor una alta anisotropa de las velocidades fluctuantes de las partculas, muchomayores que las correspondientes de la fase gaseosa, la cual no es capturada

suficientemente bien por los modelos lagrangianos actuales. El resultado parael chorro demuestra que aunque el modelo M&P se aproxima un poco ms a


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los puntos experimentales que el modelo estndar, todava no es lo suficiente-mente preciso para reproducir el comportamiento turbulento, de la fase delas partculas, por lo que ste debe ser todava mejorado. Un camino posible

para la mejora sera el considerar la influencia de los esfuerzos cortantes delfluido sobre el modelo de difusin de Langevin considerado para modelarlas aceleraciones, de las partculas fluidas vistas por la partcula en vez de laeleccin diagonal elegida por Minier y Peirano. Sin embargo, esta posibilidadse considerar en un trabajo futuro.

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Dispersion de Particulas-flujo bifasico

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