DINAMICA

VIBRACIONES MECANICAS

AMORTIGUADAS Y SIN AMORTIGUAMIENTO

4 -A

7 DE JUNIO DE 2010

INTEGRANTES:

CHIN UVALLE JOSE EFRAIN CUJ KUK SERGIO ANTONIO CANCHE CANCHE JOSE GUADALUPE EK CHAN IVAN JESUS

NDICE CAPITULO 1.- GENERALIDADES ........................................................................................................... 3

1.1 introduccin. ............................................................................................................................. 3

CAPITULO 2.- MARCO TEORICO .......................................................................................................... 5

2.1 VIBRACIONES SIN AMORTIGUAMIENTO ................................................................................... 5

2.1.1 Vibraciones libres de partculas. Movimiento armnico simple ........................................ 5

2.1.2 Pndulo simple (solucin aproximada) ............................................................................ 11

2.1.3 Pndulo simple (solucin exacta) ..................................................................................... 13

2.1.4 Vibraciones libres de cuerpos rgidos ............................................................................... 15

2.1.5 Aplicacin del principio de conservacin de la energa ................................................... 17

2.1.6 Vibraciones forzadas ........................................................................................................ 19

2.2 vibraciones amortiguadas ....................................................................................................... 23

2.2.1.- vibraciones libres amortiguadas ................................................................................... 23

2.2.2.- vibraciones forzadas amortiguadas ............................................................................... 26

CAPITULO 3.-EJERCICIOS RESUELTOS ................................................................................................ 29

CAPITULO 4.- CONCLUSIONES ........................................................................................................... 37

BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................................... 38

3

CAPITULO 1.- GENERALIDADES

1.1 introduccin.

Una vibracin mecnica es el movimiento de una partcula o cuerpo que

oscila alrededor de una posicin de equilibrio. La mayora de las vibraciones en

mquinas y estructuras son indeseables debido al aumento de los esfuerzos y a

las prdidas de energa que las acompaan. Por lo tanto, es necesario eliminarlas

o reducirlas en el mayor grado posible mediante un diseo apropiado. El anlisis

de vibraciones se ha vuelto cada vez mas importante en los ltimos aos debido a

la tendencia actual para producir maquinas de ms alta velocidad y estructuras

ms ligeras. Hay razones para esperar que esta tendencia contine y que una

incluso mayor necesidad de anlisis de vibraciones genere en el futuro.

El anlisis de vibraciones es un tema muy amplio al cual se han dedicado

textos completos. En consecuencia, este estudio de limitar a los tipos ms

simples de vibraciones, a saber, las vibraciones de un cuerpo o un sistema de

cuerpos con un grado de libertad.

Una vibracin mecnica se produce por lo general cuando un sistema se

desplaza de una posicin bajo la accin de fuerzas restauradoras (Ya sea fuerzas

elsticas, como en el caso de una masa unida a un resorte, o fuerzas

gravitacionales, dodo en el caso de un pndulo). Pero el sistema por lo general

alcanza su posicin original con cierta velocidad adquirida que lo lleva ms all de

esa posicin. Puesto que el proceso puede repetirse de manera indefinida, el

sistema se mantiene movindose de un lado a otro de su posicin de equilibrio. El

intervalo de tiempo requerido para que el sistema realice un ciclo de movimiento

completo recibe el nombre de periodo de la vibracin. El nmero de ciclos por

unidad de tiempo define la frecuencia y el desplazamiento mximo de un sistema

a partir de su posicin de equilibrio de conoce como amplitud de la vibracin.

Cuando el movimiento se mantiene nicamente por medio de fuerzas

restauradoras, se dice que la friccin es una vibracin libre (secciones 2.2 a 2.6).

4

Cuando se aplica una fuerza peridica al sistema, el movimiento resultante de

describe como una vibracin forzada. (Seccin 2.7). Cuando es posible ignorar los

efectos de la friccin se afirma que las vibraciones son no amortiguadas. Sin

embargo, todas las vibraciones son en realidad amortiguadas hasta cierto grado.

Si una vibracin libre slo se amortigua de manera ligera, su amplitud decrece de

manera lenta hasta que, despus de cierto tiempo, el movimiento se interrumpe.

Pero si el amortiguamiento es suficientemente largo para evitar cualquier vibracin

verdadera, en ese caso el sistema recupera lentamente su posicin original

(Seccin 6.8). Una vibracin forzada amortiguada se mantiene siempre y cuando

se aplique la fuerza peridica que la produce. Sin embargo, la amplitud de la

vibracin se ve afectada por la magnitud de las fuerzas de amortiguamiento

(Seccin 6.9).

1.2 OBJETIVO GENERAL

Aprender y conocer los conceptos acerca sobre las vibraciones mecnicas

como son la vibraciones de amortiguamiento y las vibraciones sin amortiguamiento

y como poder aplicarlos en la vida cotidiana.

1.3 OBBJETIVO ESPESIFICO

1; Conocer los conceptos de amortiguaciones

2; Aprender sobre las formulas para poder realizar los ejercicios

3; Poder aplicar los conceptos y las formulas en la vida cotidiana

5

CAPITULO 2.- MARCO TEORICO

2.1 VIBRACIONES SIN AMORTIGUAMIENTO

2.1.1 Vibraciones libres de partculas. Movimiento armnico simple Considere un cuerpo de masa m unido a un resorte de constante k (figura

19.1a). Puesto que en el tiempo presente se considera solo el movimiento de su

centro de masa, a este cuerpo se le considerara como una partcula. Cuando la

partcula se encuentra en equilibrio esttico, las fuerzas que actan sobre ella son

su peso y la fuerza ejercida por el resorte, de magnitud = , donde

denota la elongacin del resorte. Por consiguiente,

=

Supngase ahora que la partcula se desplaza una distancia se

seleccion ms pequea que , la partcula se mover hacia arriba y hacia

debajo de su posicin de equilibrio; se genero una vibracin de amplitud .

Obsrvese que la vibracin tambin se puede producir si se le imparte una cierta

velocidad inicial a la partcula, cuando esta se encuentra en su posicin de

equilibrio = 0 o, mas generalmente, soltndola desde cualquier posicin dada

= 0 con una velocidad inicial dada 0.

Para analizar la vibracin, considrese que la partcula est en una posicin

en un instante arbitrario (figura 19.1b). Si denota el desplazamiento

medido desde la posicin de equilibrio (positivo hacia abajo), se observa que las

fuerzas que actan sobre la partcula son su peso y la fuerza ejercida por el

resorte, que, en esta posicin, tiene una magnitud = ( + ). Recordando que

= , la magnitud de la fuerza resultante de las dos fuerzas (positiva hacia

abajo) es

= + = (2.1)

6

a)

wEquilibrio

t=kstNo deformado

..ma=mx

-Xm

P

O

+Xm

X

+

FIGURA(19.1)B)

w

Equilibrio

T= (st + x)

=

7

Por lo tanto, la resultante de las fuerzas ejercidas sobre la partcula es

proporcional al desplazamiento medido a partir de la posicin de equilibrio. De

acuerdo con la convencin de signos, se observa que la direccin de siempre es

hacia la posicin de equilibrio . Si sustituye en la ecuacin fundamental =

, y puesto que es la segunda derivada de de con respecto a , se escribe

+ = 0 (2.2)

Obsrvese que la misma convencin de signos se debe usar para la

aceleracin y para el desplazamiento , es decir, positivos hacia abajo.

El movimiento definido por la ecuacin (2.2) se llama movimiento armnico

simple. Se caracteriza por el hecho de que la aceleracin es proporcional al

desplazamiento y tiene direccin opuesta. Se puede verificar que cada una de las

funciones 1 = (

) y 2 = (

) satisface la ecuacin (2.2). Estas

funciones, por consiguiente, constituyen dos soluciones particulares de la

ecuacin diferencial (2.2). La solucin general de la ecuacin (2.2) se obtiene

multiplicando cada una de las soluciones particulares por una constante arbitraria

y sumando. Por tanto, la solucin general se expresa como

= 11 + 22 = 1

+ 2

(2.3)

Se observa que es una funcin peridica del tiempo y, por tanto,

representa una vibracin de la partcula . El coeficiente de de la expresin

obtenida se conoce como la frecuencia circular natural de la vibracin, y esta

denotada por . Se tiene

= =

(2.4)

Si en la ecuacin (6.3) se sustituye,

, se escribe

= 1 + 2 (2.5)

8

Esta es la solucin general de la ecuacin diferencial

+ = (2.6)

La cual se puede obtener a partir de la ecuacin (2.2) dividiendo ambos trminos

entre y observando que

=

2. Diferenciando ambos miembros de la ecuacin

(2.5) con respecto a , se obtienen las siguientes expresiones para la velocidad y

la aceleracin en el instante :

= = 1 + 2 sen (2.7)

= = 12 2

2 cos (2.8)

Los valores de las constantes 1 y 2 dependen de las condiciones iniciales

del movimiento. Por ejemplo, 1 = 0 si la partcula se desplaza de su posicin de

equilibrio y se suelta en el instante = 0 sin la velocidad inicial, y 2 = 0 si la

particula se suelta de la posicin en el instante = 0 con una cierta velocidad

inicial. En general, si se sustituye = 0 y los valores iniciales 0 y 0 del

desplazamiento y la velocidad en las ecuaciones (2.5) y (2.7), se encuentra que

1 =0

y 2 = 0.

Las expresiones obtenidas para el desplazamiento, la velocidad y la

aceleracin de una partcula se pueden escribir en una forma ms compacta si se

observa que la ecuacin (2.5) expresa que le desplazamiento = es la suma

de las componentes de los dos vectores 1 y 2, respectivamente, de magnitud

1 y 2, dirigidos como se muestra en la figura 19.2a. Conforme varia, los dos

vectores giran en el sentido de las manecillas del reloj; tambin se observa que la

magnitud de su resultante es igual al desplazamiento mximo . El

movimiento armnico simple de a lo largo del eje se puede obtener, portanto,

proyectando en este eje el movimiento de un punto que describe un crculo

auxiliar de radio con una velocidad angular constante (lo cual explica el

nombre de frecuencia circular natural dado a ). Si denota el angulo formado

por los vectores y 1, entonces

9

= + (2.9)

La que conduce a nuevas expresiones para el desplazamiento, la velocidad y la

aceleracin de :

= + (2.10)

= = cos( + ) (2.11)

= = 2( + ) (2.12)

La curva desplazamiento tiempo est representada por una curva senoidal

(figura 19.2b); el valor mximo del desplazamiento se llama amplitud de la

vibracin, y el ngulo que define la posicin inicial de en el circulo se llama

ngulo de fase. En la figura 2.2 se observa que se describe un crculo completo

conforme el ngulo se incrementa 2 . El valor correspondiente de ,

demostrado por , se llama periodo de la vibracin libre, y se mide en segundos.

Por consiguiente,

= =2

(2.13)

El trmino denota el nmero de ciclos descritos por unidad de tiempo, y se

conoce como la frecuencia natural de la vibracin. Por tanto,

= =1

=

2 (2.14)

10

La unidad de frecuencia es una frecuencia de 1 ciclo por segundo, que

corresponde a un periodo de 1. En funcin de unidades base, la unidad de

frecuencia es, por tanto, 1/ o 1. Se llama hertz (Hz) en el sistema SI de

unidades. De la ecuacin (2.4) tambin se desprende que una frecuencia de 11

o 1 correponde a una frecuencia circular de 2 / . En problemas que

implican velocidades angulares expresadas en revoluciones por minuto (rpm), se

tiene 1 =1

601 =

1

60, o 1 =

2

60 / .

Puesto que se defini en la ecuacin (2.4) en funcin de la constante

del resorte y la masa de la partcula, se observa que el periodo y la frecuencia

son independientes de las condiciones iniciales y de la amplitud de la vibracin.

Obsrvese que y dependen de la masa y no del peso de la partcula y, por

tanto, son independientes del valor de .

Las curvas velocidad tiempo y aceleracin tiempo se pueden

representar por medio de curvas senoidales del mismo periodo que en la curva

desplazamiento tiempo, pero con diferentes ngulos fase. De acuerdo con las

ecuaciones (2.11) y (2.12), se observa que los valores mximos de las magnitudes

de la velocidad y la aceleracin son

= = 2 (2.15)

Como el punto describe el crculo auxiliar, de radio , a la velocidad angular

constante , su velocidad y aceleracin son iguales, respectivamente, a las

expresiones (2.15). De acuerdo con las ecuaciones (2.11) y (2.12), se ve, por

consiguiente, que la velocidad y aceleracin de se pueden obtener en cualquier

instante proyectando en el eje vectores de magnitudes = y = 2

que representan, respectivamente, la velocidad y la aceleracin de en el mismo

instante (figura 19.3).

11

nW t

Q

Xm

X

O

FIGURA(19.3)

0 2am=xm w

P

W t +

Q

n

Vm= XmWn

n

Los resultados obtenidos no se limitan a la solucin del problema de una masa

conectada a un resorte. Se pueden usar para analizar el movimiento rectilneo de

una partcula siempre que la resultante de las fuerzas que actan sobre la

partcula sea proporcional al desplazamiento y dirigida hacia . La ecuacin

fundamental de movimiento = se puede escribir, entonces, en la forma de la

ecuacin (2.6), la cual es caracterstica de un movimiento armnico simple. Puesto

que el coeficiente de debe ser igual a 2, la frecuencia circular natural del

movimiento se puede determinar con facilidad. Al sustituir el valor obtenido para

en las ecuaciones (2.13) y (2.14), se obtienen entonces el periodo y la

frecuencia natural del movimiento.

2.1.2 Pndulo simple (solucin aproximada) La mayora de las vibraciones que se presentan en aplicaciones de

ingeniera se pueden representar mediante un movimiento armnico simple.

Muchas otras, aunque de diferente tipo, se pueden representar de una manera

aproximada mediante un movimiento armnico simple, siempre que su amplitud

12

permanezca pequea. Considrese, por ejemplo, un pndulo simple, que consiste

en una plomada de masa que pende de una cuerda de longitud , el cual puede

oscilar en un plano vertical (figura 19.4a). en un instante dado , la cuerda forma

un

tman

=

ma

b)

T

FIGURA(19.4)

a)

W

L

angulo con la vertical. Las fuerzas que actan sobre la plomada son su peso

y la fuerza ejercida por la cuerda (figura 19.4b). al transformar el vector en

componentes tangencial y normal, con dirigido hacia la derecha, es decir, en

la direccin correspondientes a valores crecientes de , y puesto que = = ,

se puede escribir

= : =

Como = y dividiendo entre , se obtiene

+

= 0 (2.16)

En el caso de oscilaciones de pequea amplitud, se pueden remplazar con

, expresando en radianes y, por tanto,

13

+

= 0 (2.17)

Si se compara con la ecuacin (2.6) se ve que la ecuacin diferencial (2.17) es la

de un movimiento armnico simple con una frecuencia circular natural igual a

(/) 1/2 . La solucin general de la ecuacin (2.17) se puede expresar, entonces,

como

= ( + )

Donde es la amplitud de las oscilaciones y es un ngulo fase. Con la

sustitucin en la ecuacin (2.13) del valor obtenido para , se obtiene la siguiente

expresin para el periodo de las oscilaciones pequeas de un pndulo de longitud

:

=2

= 2

(2.18)

2.1.3 Pndulo simple (solucin exacta) La formula (2.18) es solo aproximada. Para obtener una expresin exacta para el

periodo de las oscilaciones de un pndulo simple, se tiene que regresar a la

ecuacin (2.16). si se multiplica ambos trminos por 2 y se integra desde un

posicin inicial correspondiente a la deflexin mxima, es decir, = y = 0, se

puede escribir

2

=2

(cos cos )

Si se remplazan cos con 1 2 2

2 y cos con una expresin similar, se

despeja y se integra a lo largo de un cuarto de periodo desde = 0, = 0 a

= /4, = se tiene

= 2

2 2

2 2

0

14

La integral del lado derecho se conoce como integral elptica; no se puede

expresar en funcin de las funciones algebraicas o trigonomtricas usuales. Sin

embargo, con

2 =

2

Se puede escribir

= 4

1 2

2 2

/2

0 (2.19)

Donde la integral obtenida, comnmente denotada por , puede calcularse

mediante un mtodo numrico de integracin. Tambin se puede encontrar en

tabla de integrales elpticas para diferentes valores de /2. Para compara el

resultado que se acaba de obtener con el de la seccin anterior, se escribe la

ecuacin (2.19) en la forma

=2

2

(2.20)

La formula (2.20) demuestra que el valor real del periodo de un pndulo simple se

obtiene multiplicando el valor aproximado dado en la ecuacin (6.18) por el factor

de correccin 2/. En la tabla 2.1 se dan valores de correccin para diferentes

valores de la amplitud . Se observa que en clculos comunes de ingeniera el

factor de correccin se puede omitir siempre que la amplitud no sobrepase de 10.

Tabla 2.1. Factor de correccin para el periodo de un pndulo simple

0 10 20 30 60 90 120 150 180

1.571 1.574 1.598 1.686 1.854 2.157 2.157 2.768

2/ 1.000 1.002 1.008 1.017 1.073 1.180 1.373 1.762

15

2.1.4 Vibraciones libres de cuerpos rgidos El anlisis de las vibraciones de un cuerpo rgido o de un sistema de cuerpos

rgidos que posee un grado nico de libertad, es similar al anlisis de las

vibraciones de una partcula. Se selecciona una variable apropiada, tal como una

distancia o un angulo , para definir la posicin del

cuerpo o un sistema de cuerpos, y se escribe una

ecuacin que relaciona esta variable y su segunda

derivada con respecto a . Si la ecuacin obtenida es

de la misma forma que la ecuacin (2.6), es decir, si

se tiene

+ 2 = 0 O

+ 2 = 0 (2.21)

La vibracin considerada es un movimiento armnico

simple. El periodo y la frecuencia natural de la

vibracin se obtienen, entonces, identificando y

sustituyendo su valor en las ecuaciones (2.13) y

(2.14).

En general, una manera simple de obtener

una de las ecuaciones (2.21) es expresar que el

sistema de las fuerzas externas es equivalente al

sistema de las fuerzas efectivas por medio de una

ecuacin de diagramas de cuerpo libre para un valor

arbitrario de la variable y escribiendo la ecuacin de

movimiento apropiada. Se recuerda que el objetivo

debe ser la determinacin del coeficiente de la variable o , no la determinacin

de la variable misma o de la derivada o . Si este coeficiente se hace igual a 2

se obtienen la frecuencia circular natural , con la cual se puede determinar y

.

16

El mtodo descrito se puede usar para analizar vibraciones que

verdaderamente estn representadas por un movimiento armnico simple, o

vibraciones de pequea amplitud que pueden estar representadas de manera

aproximada por un movimiento armnico simple. Como ejemplo, se determinara el

periodo de las pequeas oscilaciones de una placa cuadrada de 2 por lado la

cual esta suspendida del punto medio de uno de sus lados (figura 19.5a). la

placa se considera en una posicin arbitraria definida por el ngulo que la lnea

forma con la vertical, y se dibuja una ecuacin de diagramas de cuerpo libre

para expresar que el peso de las placas y las componentes y de la

reaccin en son equivalentes a los vectores y y al par (figura

19.5b). Como la velocidad angular y la aceleracin angular de la placa son iguales,

respectivamente, a y , las magnitudes de los dos vectores son,

respectivamente, y 2, mientras que el momento de par es . En

aplicaciones previas de este mtodo, siempre que fue posible, se trato de suponer

el mimo sentido positivo para y para obtener una ecuacin de la forma (2.21).

Por consiguiente, la aceleracin angular se supondr positiva en sentido

contrario al de las manecillas del reloj, aun cuando esta suposicin es

obviamente irreal. Si se igualan los momento con respecto a , se tiene

+ = +

Como =1

12 2 2 + 2 2 =

2

32 y = , se obtiene

+ 3

5

= 0 (2.22)

Para oscilaciones de pequea amplitud, se puede remplazar por ,

expresado en radianes, y escribir

+ 3

5

= 0 (2.23)

La comparacin con (2.21) demuestra que la ecuacin obtenida es la de un

movimiento armnico simple, y que la frecuencia circular natural de las

17

oscilaciones es igual a 3

5

1/2

. Al sustituir en (2.13), se halla que el periodo de las

oscilaciones es

=2

= 2

5

3 (2.24)

El resultado obtenido es vlido solo para oscilaciones de pequea amplitud. Una

descripcin ms precisa del movimiento de la placa se obtiene comparando las

ecuaciones (2.16) y (2.22). Se observa que las dos ecuaciones son idnticas si se

selecciona igual 5/3. Esto significa que la placa oscilara como un pndulo

simple de longitud = 5/3, y los resultados de la seccin 2.1.3 se pueden usar

para corregir el valor del periodo dado en (2.24). el punto A de la placa localizado

en la lnea a una distancia = 5/3 de , se define como el centro de

oscilacin correspondiente a (figura 6.5a).

2.1.5 Aplicacin del principio de conservacin de la energa En secciones anteriores se vio que, cuando una partcula de masa se encuentra

en movimiento armonico simple, la resultante de las fuerzas ejercidas sobre ella

tiene una magnitud proporcional al desplazamiento medido a partir de la posicin

de equilibrio y su direccin es hacia ; por consiguiente, = . De acuerdo

con los temas anteriores, se ve que es una fuerza conservativa y que la energia

potencial correspondiente es =1

22, donde se supone igual a cero en la

posicin de equilibrio = 0. Como la velocidad de la partcula es igual a , su

energia cintica es =1

2 2, y se puede expresar que la energia total de la

partcula se conserva escribiendo.

+ = 1

2 2 +

1

22 =

Si se divide entre /2 y, de acuerdo con secciones anteriores, / = 2 donde

, es la frecuencia circular natural de la vibracin, se tiene

2 + 22 = (2.25)

18

La ecuacin (2.25) es caracterstica de un movimiento armnico simple, puesto

que se puede obtener a partir de la ecuacin (2.6) multiplicando ambos trminos

por 2 e integrando.

El principio de conservacin de la energa proporciona un mtodo conveniente

para determinar el periodo de vibracin de un cuerpo rgido o de un sistema de

cuerpos rgidos que posee un solo grado de libertad, una vez que se establece

que el movimiento del sistema es un movimiento armnico simple o que puede

estar representado por un movimiento armnico simple. Con la seleccin de una

variable apropiada, tal como una distancia o un angulo , se consideran dos

posiciones particulares del sistema:

1. El desplazamiento del sistema es mximo; en tal caso, 1 = 0 y 1 se puede

expresar en funcin de la amplitud o (si se elige = 0 en la posicin de

equilibrio).

2. El sistema pasa por su posicin de equilibrio; en tal caso, 2 = 0 y 2 se

puede expresar en funcin de la velocidad mxima o de la velocidad angular

mxima .

Por tanto, se expresa que la energa total del sistema se conserva, es decir

1 + 1 = 2 + 2. De acuerdo con la seccin (2.15), en un movimiento armonico

simple la velocidad mxima es igual al producto de la amplitud y de la frecuencia

circular natural ; por consiguiente, se ve que la ecuacin obtenida se puede

resolver para .

Como ejemplo, considrese otra vez la placa cuadrada de la seccin (2.5).

En la posicin de desplazamiento mximo (figura 6.6a), se tiene

1 = 0 1 = cos = (1 cos )

O, puesto que 1 cos = 2 2

2 2

2

2

= 2 /2 en el caso de

oscilaciones de pequea amplitud,

1 = 0 1 =1

2

2 (2.26)

19

Cuando la placa pasa por su posicin de equilibrio (figura 6.6b), su velocidad es

mxima, y se tiene

2 =1

2

2+

1

2

2 =1

22

2 +1

2

2 2 = 0

O, de acuerdo con la seccin anterior, como =2

32,

2 =1

2

5

32

2 2 = 0 (2.27)

Si se hacen sustituciones de (2.26) y (2.27) en 1 + 1 = 2 + 2, y como la

velocidad mxima es igual al producto , se puede escribir

1

2

2 =1

2

5

32

2 2 (2.28)

La cual da 2 = 3/5 y

=2

= 2

5

3 (2.29)

Como previamente se obtuvo.

2.1.6 Vibraciones forzadas Desde el punto de vista de las aplicaciones de ingeniera, las vibraciones ms

importantes son las vibraciones forzadas de un sistema. Estas vibraciones ocurren

cuando un sistema se somete a una fuerza peridica o cuando esta elsticamente

conectado a un apoyo que tiene un movimiento alternante.

Considrese en primer lugar el caso de un cuerpo de masa suspendido

de un resorte y sometido a una fuerza peridica de magnitud = ,

donde es la frecuencia circular de y se conoce como frecuencia circular

forzada del movimiento (figura 6.7). Esta fuerza puede ser una fuerza externa real

aplicada al cuerpo, o una fuerza centrifuga producida por la rotacin de alguna

parte desbalanceada del cuerpo, medido a partir de su posicin de equilibrio, se

escribe la ecuacin de movimiento

+ = : + =

20

Como = , se tiene

+ = (2.30)

A continuacin se considera el caso de un cuerpo de masa suspendido de un

resorte conectado a un apoyo mvil cuyo desplazamiento es igual a

(figura 6.8). Si el desplazamiento del cuerpo se mide a partir de la posicin de

equilibrio esttico correspondiente a = 0, se halla que el alargamiento total del

resorte en el instante es + . La ecuacin de movimiento es, por

tanto,

+ = : + =

Como = , se tiene

+ = (2.31)

Se ve que las ecuaciones (2.30) y (2.31) son de la misma forma y que una

solucin de la primera ecuacin satisfar la segunda si se hace = .

Una ecuacin diferencial como la (2.30) o la (2.31), con el miembro del lado

derecho diferente de cero, se conoce como no homognea. Su solucin general

se obtiene agregando una solucin particular de la ecuacin dad a la solucin

general de la ecuacin homognea correspondiente (con el miembro del lado

derecho igual a cero). Se puede obtener una solucin particular de (6.30) o (6.31)

probando una solucin de la forma

= (2.32)

Si se sustituye por en la ecuacin (2.30), se obtiene

2 + =

La que se puede resolver para la amplitud,

=

2

21

Puesto que, de acuerdo con la ecuacin (2.4),

=

2 donde es la frecuencia

circular natural del sistema, se puede escribir

= /

1(/ )2 (2.33)

Si se sustituye de (2.32) en (2.31), se obtiene de la misma manera

=

1(/ )2 (2.33)

La ecuacin homognea correspondiente a la (2.30) o (2.31) es la ecuacin

(2.2), que define la vibracin libre del cuerpo. Su solucin general, llamada funcin

complementaria, se hallo en secciones anteriores:

= 1 + 2 (2.34)

Si se asegura la solucin particular (2.32) a la funcin complementaria (2.34), se

obtiene la solucin general de las ecuaciones (6.30) y (6.31):

= 1 + 2 + (2.35)

Se ve que la vibracin obtenida se compone de dos vibraciones

superpuestas. Los primeros dos trminos de la ecuacin (2.35) representan una

vibracin libre del sistema. La frecuencia de esta vibracin es la frecuencia natural

del sistema, la cual depende solo de la constante del resorte y de la masa del

cuerpo, y las constantes 1 y 2 se pueden determinar a partir de las condiciones

iniciales. Esta vibracin libre tambin se llama vibracin transitoria, puesto que en

la prctica real se ve amortiguada de inmediato por las fuerzas de friccin.

El ltimo trmino de la ecuacin (2.35) representa la vibracin de estado

estable producida y mantenida por la fuerza aplicada o por el movimiento aplicado

del apoyo o soporte. Su frecuencia es la frecuencia forzada generada por esta

fuerza o movimiento, y su amplitud , definida por la ecuacin (2.33) o por la

ecuacin (2.33), depende de la razn de frecuencia / . La razn de la

amplitud de la vibracin de estado estable a la deflexin esttica /

22

provocada por una fuerza , o a la amplitud del movimiento del apoyo, se

llama factor de amplificacin. Con las ecuaciones (6.33) y (6.33), se obtiene

=

/=

=

1

1 / 2 (2.36)

La figura 6.9 es una grafica del factor de amplificacin contra la razn de

frecuencia / . Se ve que cuando = , la amplitud de la vibracin forzada

se vuelve infinita. Se dice que la fuerza aplicada o el movimiento aplicado por el

apoyo esta en resonancia con el sistema dado. En realidad, la amplitud de la

vibracin permanece finita debido a fuerzas amortiguadoras; sin embargo, se debe

evitar una situacin como esa, y la frecuencia forzada no debe ser seleccionada

muy cercana a la frecuencia natural del sistema. Asimismo, se ve que para

< el coeficiente de en la ecuacin (2.35) es positivo, mientras que

para > este coeficiente es negativo. En el primer caso, la vibracin forzada

est en fase con la fuerza aplicada o el movimiento aplicado por el apoyo,

mientras que en el segundo, esta 180 fuera de fase.

Por ltimo, se observa que la velocidad y la aceleracin en la vibracin de

estado estable se pueden obtener diferenciando dos veces con respecto a el

ltimo trmino de la ecuacin (2.35). Expresiones similares a las de las

ecuaciones (2.15) de la seccin (2.1) dan sus valores mximos, excepto que estas

expresiones ahora incluyen la amplitud y la frecuencia circular de la vibracin

forzada:

= = 2 (2.37)

23

2.2 vibraciones amortiguadas

2.2.1.- vibraciones libres amortiguadas Los sistemas vibratorios considerados en la primera parte de este captulo se

supusieron libres de amortiguamiento. En realidad, todas las vibraciones son

amortiguadas hasta cierto grado por fuerzas de friccin. Estas fuerzas pueden ser

provocadas por friccin seca, o friccin de coulomb, entre cuerpos rgidos, por

friccin fluida cuando cundo un cuerpo rgido se mueve en un fluido, o por

friccin interna entre las molculas de un cuerpo aparentemente elstico.

Un tipo de amortiguamiento de especial inters es el amortiguamiento viscoso

provocado por la friccin fluida a velocidad baja y moderada. El amortiguamiento

viscoso caracterizado por el hecho de que la fuerza de friccin es directamente

proporcional y opuesta a la velocidad del cuerpo en movimiento. Como ejemplo

considrese un cuerpo de masa m suspendido de un resorte de constante k,

suponiendo que el cuerpo est conectado al embolo de un amortiguador (figura

19.10). La magnitud de la fuerza de friccin ejercida sobre el embolo por el fluido

circundante es igual s c , donde la constante c, expresa a en N*s/m o lb*s/ft

(conocida como coeficiente de amortiguamiento viscoso), depende de las

propiedades fsicas del fluido y de la construccin del amortiguador. La ecuacin

de movimiento es

+ = : + =

Como = , se puede escribir

+ + = (2.38)

Como la sustitucin de = en la ecuacin (2.38) y dividindola entre , se

obtiene la ecuacin caracterstica

+ + = (2.39)

Y se obtienen las races

24

=

(

)

(2.40)

Si se define el coeficiente de amortiguamiento critico como el valor de c hace

que el radical de la ecuacin (6.40) sea cero, se puede escribir

(

)

= =

= (2.41)

Donde es la frecuencia circular natural del sistema sin amortiguamiento. Se

distinguen tres casos diferentes de amortiguamiento, segn sea el valor del

coeficiente c.

1.- Sobre amortiguamiento: c. Las races de la ecuacin

caracterstica (19.3) son reales y distintas, y la solucin general de la ecuacin

diferencial (19.38) es

= +

(2.42)

Esta solucin corresponde a un movimiento no vibratorio. Como son

negativas, x tiende a cero conforme t se incrementa de manera indefinida. Sin

embargo, el sistema realmente recobra su posicin de equilibrio despus de

un tiempo finito.

2.- amortiguamiento crtico: c=. la ecuacin caracterstica tiene una doble

raz =

= , y al solucin general de la ecuacin (6.38) es

= ( + ) (2.43)

De nuevo, el movimiento obtenido es no vibratorio. Los sistemas crticamente

amortiguados son de especial inters en las aplicaciones de ingeniera, puesto

que recobran su posicin de equilibrio en el tiempo ms corto posible sin

oscilacin

3.- sub amortiguamiento: c

25

= (

)( ) (2.44)

Donde est definida por la relacin

=

(

)

Si se sustituye

=

y se recuerda la ecuacin (2.41), se escribe

= (

) (2.45)

Donde la constante c/ se conoce como factor de amortiguamiento.

Aun cuando el movimiento en realidad se repite, la constante se designa

comnmente como frecuencia circular de la vibracin amortiguada. Una

sustitucin similar a la utilizada en la seccin 2.2 permite escribir la solucin

general de la seccin (19.38) en la forma

=

( + ) (2.46)

El movimiento definido por la ecuacin (19.46) es vibratorio con amplitud

decreciente (figura 19.11), y el intervalo de tiempo =

que separa dos

puntos suspensivos donde la curva definida por la ecuacin (19.46) toca una

de las curvas limitantes mostradas en la figura 19.11.

De acuerdo con la ecuacin con la ecuacin (2.45), se observa que <

y, por tanto, que es mayor que el periodo de vibracin del sistema no

amortiguado correspondiente.

26

Figura (19.11)

2.2.2.- vibraciones forzadas amortiguadas

Si el sistema considerado en la seccin anterior se somete a una fuerza peridica

P de magnitud = , la ecuacin de movimiento se transforma en

+ + = (2.47)

La solucin general de la ecuacin (19.479) se obtiene al agregar una solucin

particular de sta a la funcin complementaria o solucin general de la ecuacin

homognea (19.38). La funcin complementaria est dada por las ecuaciones

27

(19.42), (19.43) o (19.44), segn sea el tipo de amortiguamiento considerado.

Representa un movimiento transitorio que finalmente es amortiguado.

El inters en est seccin se centra en la vibracin de estado estable

representada por una solucin particular de la ecuacin (6.47) de la forma.

= ( ) (2.48)

Al sustituir por x en la ecuacin (6.47), se obtiene

+ + ( )

=

Si se hace sucesivamente igual a 0 y a /2 , se escribe

= (2.49)

= (2.50)

Si ambos miembros de las ecuaciones (19.49) y (19.50) se elevan al cuadrado y

se suman, se obtiene

( ) + ()

= (2.51)

Al resolver la ecuacin (19.51) para y dividiendo las ecuaciones (2.49) y (2.50)

miembro a miembro, se obtiene, respectivamente

=

( ) + () =

(2.52)

De acuerdo con la ecuacin (2.4), como

=

donde es la frecuencia

circular de la vibracin libre no amortiguada, y de acuerdo con la (2.41),2 =

, donde es el coeficiente de amortiguamiento crtico del sistema, se escribe

28

/=

=

1

1(/) 2

+ (2

)(/)

2 (2.53)

=2

)(/

1(/) (2.45)

La formula (19.53) expresa el factor de amplificacin en funcin de la razn de

frecuencia / y del factor de amortiguacin/ . Se puede usar para

determinar la amplitud de la vibracin de estado estable producida por una fuerza

aplicada de magnitud = o por el movimiento del apoyo aplicado =

. La frmula (19.54) define, en funcin de los mismos parmetros, la

diferencia de fase entre la fuerza aplicada o el movimiento del apoyo aplicado y

la vibracin de estado estable resultante del sistema amortiguado. En la figura

19.12, el factor de amplificacin se grafico contra la razn de frecuencias para

varios valores del factor de amortiguamiento. Se observa que la amplitud de una

vibracin forzada se puede mantener pequea seleccionando un coeficiente

grande de amortiguamiento viscoso c , o manteniendo alejadas las frecuencias

natural y forzada.

29

CAPITULO 3.-EJERCICIOS RESUELTOS

PROBLEMA RESUELTO 3.1

Un bloque de 50 Kg se desplaza entre guas verticales, como se muestra. Se tira

del bloque 40 mm hacia debajo de su posicin de equilibrio y se suelta. Para cada

una de las disposiciones de los resortes, determnese el periodo de vibracin, la

velocidad y aceleracin mximas del bloque.

SOLUCION

a. Resortes dispuestos en paralelo. En primer lugar, se determina la

constante de un solo resorte equivalente a los dos resortes mediante el clculo

de la magnitud de la fuerza P requerida para producir una deflexin dada . Como

con una deflexin laas magnitudes de las fuerzas ejercidas por los resortes son,

respectivamente, 1 y 2, se tiene

= 1 + 2 = (1 + 2)

La constante del resorte equivalente es

=

= 1 + 2 = 4

+ 6

= 10

= 104

Periodo de vibracin: Como = 50 , la ecuacin (6.4) da

30

2 =

=

104

50 = 14.14 /

= 2/ = 0.444

Velocidad mxima: = = 0.040 (14.14

)

= 0.566 / = 0.566

Aceleracin mxima: = 2 = (0.040 )(14.14

)2

= 8.00 /2 = 8.00 /

2

b. Resortes unidos en serie. En primer lugar, se determina la constante de

un solo resorte equivalente a los dos resortes mediante el clculo del alargamiento

total de los resortes sometidos a una carga esttica dada . Para facilitar el

clculo, se utiliza una carga esttica de magnitud = 12 .

= 1 + 2 =

1+

2=

12

4 /+

12

6 /= 5

=

=

12

5 = 2.4

= 2400

Periodo de vibracin: 2 =

=

2400 /

50 = 6.93 /

= 2/ = 0.907

Velocidad mxima: = = 0.040 (6.93

)

= 0.277 / = 0.277 /

Aceleracin mxima: = 2 = 0.040 (6.93

)2

= 1.920 /2 = 1.920 /

2

31

PROBLEMA RESUELTO 3.2

Un cilindro de peso y radio esta suspendido por una cuerda que le da la

vuelta, como se muestra. Un extremo de la cuerda est atado directamente a un

soporte rgido, mientras que el otro est atado a un resorte de constante .

Determnese el periodo y la frecuencia natural de las vibraciones del cilindro.

SOLUCION

Cinemtica del movimiento. El desplazamiento lineal y la aceleracin del

cilindro se expresan en funcin del desplazamiento angular . Si el sentido

positivo se selecciona como en el sentido de las manecillas del reloj y se miden los

desplazamientos a partir de la posicin de equilibrio, se escribe

= = 2 = 2

= = = = (1)

32

Ecuaciones de movimiento. El sistema de fuerzas externas que acta

sobre el cilindro se compone del peso y de las fuerzas y ejercidas por la

cuerda. Se dice que este sistema es equivalente al sistema de fuerzas efectivas (o

inerciales) representando por el vector aplicado en y al par .

+ = () 2 2 = + (2)

Cuando el cilindro est en su posicin de equilibrio, la tensin en la cuerda es

0 =1

2. Se observa que, para un desplazamiento angular , la magnitud de

es

2 = 0 + =1

2 + =

1

2 + (2) (3)

Despus de sustituir de (1) y (3) en (2), y puesto que =1

22, se puede escribir

1

2 + 2 2 = +

1

22

+8

3

= 0

Se ve que el movimiento es armnico simple y, por consiguiente,

2 =

8

3

=

8

3

=2

= 2

3

8

=

2 =

1

2

8

3

33

PROBLEMA RESUELTO 3.3

Determnese el periodo de las pequeas oscilaciones de un cilindro de radio el

cual rueda sin resbalarse dentro de una superficie curva de radio .

SOLUCION

Si denota el angulo que la lnea forma con la vertical, y puesto que el cilindro

rueda sin resbalarse, se puede aplicar el principio de conservacin de la energia

entre la posicin 1, donde = , y la posicin 2, donde = 0.

Posicin 1

Energia cintica. Como la velocidad del cilindro es cero, 1 = 0

Energia potencial. Si se selecciona un plano de referencia como se

muestra y denota el peso del cilindro, se tiene

1 = = (1 cos)

Por tratarse de pequeas oscilaciones 1 cos = 22

2 2/2; por

consiguiente,

1 = 2 /2

34

Posicin 2. Si denota la velocidad angular de la lnea cuando el

cilindro pasa por la posicin 2, y se observa que le punto C es el centro de

rotacin instantneo del cilindro, se escribe

= ( ) =

=

Energia cintica

2 =1

2

2+

1

2

2

2 =1

2( )2

2 +1

2

1

22

2

2

2 =3

4( )2

2

Energia potencial

2 = 0

Conservacin de la energia

1 + 1 = 2 + 2

0 +

2

2=

3

4 2

2 + 0

Como = y = , se escribe

2

2=

3

4 2( )

2 2 =

2

3

=2

= 2

3

2

35

PROBLEMA RESUELTO 3.4

Un motor de 350 lb esta sostenido por cuatro resortes con constante de 750 lb/in.

Cada uno. El desbalanceo del rotor equivale a un peso de 1 oz localizado a 6 in.

Del eje de rotacin. Si el motor est restringido a moverse verticalmente,

determnese a) la velocidad en rpm a la que ocurrir la resonancia, b) la amplitud

de la vibracin del motor a 1200 rpm.

SOLUCION

a. Velocidad de resonancia. La velocidad de resonancia es igual a la

frecuencia circular natural (en rpm) de la vibracin libre del motor. La masa de

este y la constante equivalente de los resortes de sustentacin son

=350

32.2 /2= 10.87 2/

= 4 750

= 3000

= 36000

=

=

36000

10.87= 57.5

= 549

36

= 549

b. Amplitud de la vibracin a 1200 rpm. La velocidad angular del motor y la

masa equivalente al peso de 1 oz son

= 1200 = 125.7 /

= 1 1

16

1

32.2 /2= 00.001941 2/

La magnitud de la fuerza centrifuga provocada por el desbalanceo del rotor es

= = 2 = 0.001941

6

12 125.7

2

= 15.33

La deflexin esttica que una carga constante provocara es

=15.33

3000 /= 0.00511

La frecuencia circular forzada del movimiento es la velocidad angular del motor,

= = 125.7 /

Si sustituyen los valores de/, y en la ecuacin (2.33), se obtiene

=/

1 (/)2=

0.00511

1 (125.7/57.5)2= 0.001352

= 0.001352 ( )

Nota. Como > , la vibracin esta 180 fuera de fase con la fuerza centrifuga

debida al desbalanceo del rotor. Por ejemplo, cuando la masa desbalanceada esta

directamente debajo del eje de rotacin, la posicin del motor es = 0.001352

sobre la posicin de equilibrio.

37

CAPITULO 4.- CONCLUSIONES

2.3 resultados obtenidos

Los resultados obtenidos sobre estos temas son el haber conocido sobre los

conceptos acerca de las vibraciones, se aprendi acerca de las formulas que

se utilizan para resolver los problemas planteados y saber donde poder

utilizarlo en la vida cotidiana.

2.4 Conclusiones

Para poder concluir con el tema de vibraciones con amortiguamiento y

vibraciones sin amortiguamiento, se debe saber que estos temas se

encuentran al nuestro alrededor como las estructuras las maquinas entre otras,

y como ya se sabe sobre los temas de vibraciones se puede saber si las

estructuras estn bien diseadas o las pueden corregir de algn modo que no

le cueste tanto, por ello es importante aprender bien los conceptos.

38

BIBLIOGRAFIA

[1]Bedford-Fowler/Addison-Wesley. Mecanica para Ingeniero. Mc-graw-Hill.

[2]Beer-Johston. Mecanica Vectorial para Ingenieros. Mc-Graw-Hill.

[3]Schmindt/Thomson, P. B.-r. Mecanica para Ingenieros. Mc-graw-Hill.