100 problemas de matematica.pdf

RECURSOS PARA EL AULA

100 problemas

matemticos

Germn Bernabeu Soria


2 100 Problemas matemticos

100 Problemas matemticos

Autor:Germn Bernabeu Soria

Edita:CEFIRE de ELDAC/. San Crispn, 14

Telf. 965.39.46.39 Fax. 966.98.00.36E-mail: [email protected]

03600 ELDA

I.S.B.N.: 84-699-6312-0

Imprime:GRAFIBEL 2010 S.L.

C/. Padre Mariana, 15 - bajosTelf. 965.20.48.92

03004 ALICANTE


100 Problemas matemticos 3

Cmo es posible que lamatemtica, un productodel pensamiento humanoindependiente de laexperiencia, se adapte tanadmirablemente a losobjetos de la realidad!

Albert Einstein



INDICE

PginaPrlogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Qu pasa con las matemticas? . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Las matemticas en nuestro pas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13La resolucin de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Pero, qu es un problema? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Los alumnos frente a los problemas. . . . . . . . . . . . . . . 18Problemas y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Problemas:1 La botella de Cola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 La habitacin de mi casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Los coches. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 El torneo de tenis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Cmo expresarlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 Blancas y negras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 La reunin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Comprando libros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 Cunto es?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

10 Escaleras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3211 La hucha.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3312 Chicos y chicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3413 El nadador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3514 Cunto dinero tengo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3615 El gato y el ratn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3716 Los cuatro cuatros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3817 Los tres amigos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3918 El circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4019 Tringulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4120 El recibo del agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4221 Angulos rectos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4322 La foto y el marco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4423 Ivn el perezoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4524 Cifras y letras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4625 El descuento y el IVA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4726 El banco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4827 Mantener la distancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4928 Cajas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5029 El baln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5130 Al revs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5231 Salto del caballo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5332 Los tres cofres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54



33 Cita en el desierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5534 Una suma un poco larga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5635 Entre dos ciudades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5736 El centro del crculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5837 El 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5938 En vacaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6039 La cada de una piedra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6140 La matrcula del coche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6241 Un problema diofntico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6342 De cuadrados mgicos I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6443 De cuadrados mgicos II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6544 El meln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6645 Caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6746 Llaman a la puerta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6847 Los maridos celosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6948 Ida y vuelta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7049 Inscripcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7150 Nmeros curiosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7251 Partir un nmero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7352 El campo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7453 Edades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7554 El granjero y el caballo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7655 Los soldados romanos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7756 El restaurante chino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7857 Por 5.000 pesetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7958 Las vacas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8059 Los conejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8160 Tres monedas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8261 Los intermediarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8362 Midiendo el agua . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8463 Quieres mil pesetas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8564 El rebao de ovejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8665 El cuaderno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8766 La cesta de huevos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8867 Tres obreros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8968 Las pesadas . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9069 El padre, el hijo y el caballo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9170 El joven y el viejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9271 Dos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9372 Las pginas del libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9473 La jarra de miel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9574 Tres cifras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9675 El rbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9776 Nmeros perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9877 La tarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9978 Nmeros amigos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10079 El nmero 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101



80 El caracol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10281 La cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10382 El explorador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10483 La excursin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10584 Takas y Tikis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10685 El mayor producto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10786 El sorteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10887 El agua y el vino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10988 Qu nmero! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11089 Enamorados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11190 El campesino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11291 El tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11392 Msica maestro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11493 Nmeros curiosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11594 La baraja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11695 El da de Reyes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11796 La cena de Nochevieja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11897 El agua y el hielo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11998 Los nmeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12099 La edad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

100 Pio Niro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123



PRLOGO

Este nuevo libro que edita este CEFIRE es fruto de una minuciosalabor de seleccin y adecuacin de problemas matemticos llevada acabo con unas grandes dosis de entusiasmo y tesn por parte del asesorde matemticas Germn Bernabeu Soria y slo pretende ser una ayudapara los docentes del rea.

En esta sociedad de la informacin donde se genera una grancantidad de informacin, es de agradecer que alguien nos haga de gua yseleccione lo que pueda ser de utilidad a otros. La larga experiencia delautor en el mundo de las matemticas y el amor que les profesa songaranta de que la seleccin y adaptacin de estos sern de muchautilidad en la prctica docente.

Creo que el planteamiento es muy adecuado, pues pretendefomentar el trabajo en equipo y plantea una serie de enigmas que aunquesencillos en apariencia tienen el grado adecuado de dificultad para queel reto resulte atractivo.

Esperando que sea del agrado de todos los profesionales del reaquiero como director de este centro felicitar al autor por este trabajo queahora ofrecemos a la comunidad educativa.

Pedro Civera ColomaDirector del CEFIRE de Elda



INTRODUCCIN

Este sencillo libro surge a instancia de la demanda de un grupo decompaeros de matemticas. Se trata de una recopilacin de problemas,elegidos por su aparente simplicidad, extrados de aqu y all, unosconocidos desde hace bastantes aos y otros recogidos msrecientemente, planteados en las clases de matemticas o en cursosimpartidos sobre el tema. Con ellos se ha conseguido disfrutar de lasmatemticas as como cumplir al mismo tiempo sus objetivos iniciales, ytodo ello dentro de un ambiente favorable y participativo.

Su difusin a travs del CEFIRE no pretende ni tiene otro objetivoque servir de apoyo al profesorado, con el fin de intentar que tambinestos y sus alumnos puedan disfrutar de ellos, tanto en la clase dematemticas como en cualquier otro lugar, a la hora del trabajo o en lade descanso, de forma individual o colectiva, esperando finalmente queestas actividades les sirvan como referente para abordar situaciones de lavida cotidiana de una forma ms amena y positiva.

Inicialmente va dirigido al alumnado de edades 12-16 aos, esdecir a aquellos que se encuentran realizando los estudios en la etapa deSecundaria, pero sin exclusin en ningn caso de otros a quienes losprofesores consideren adecuada su aplicacin.

La mayor parte de las actividades propuestas admiten ampliacionesy/o modificaciones. Por ejemplo, variando las cantidades inicialmenteestablecidas obtenemos en muchos de los casos otras propuestas conmayor o menor grado de complejidad, para ser utilizadas segn lascaractersticas de los alumnos a los que van dirigidas, y siempre a juiciodel profesor o profesora. Otra variacin se realiza medianteinvestigaciones semejantes a las propuestas. Por ejemplo, a partir delproblema del recibo del agua se puede analizar un caso concretoplanteado por los alumnos, un recibo de la luz, el recibo del telfono..., ya partir de casos concretos, plantear nuevos problemas.

El libro no incluye las soluciones de las propuestas por considerarque son fciles de obtener. De esta forma se intenta evitar que conocidala solucin se abandone el problema, y puesto que el objetivo ltimo quese persigue es producir debate y discusin entre los alumnos, ste se



mantenga hasta que el resultado obtenido y el razonamiento utilizadosea finalmente aceptado por todos como vlido, quedando al margen lasconclusiones dogmticas definitivas. Esto permite abordar los problemasde diferentes maneras, pudiendo obtener en consecuencia diferentesrespuestas, lo cual resulta enormemente enriquecedor para el desarrollolgico-mental de los alumnos.

El trabajo debe realizarse de forma intuitiva, cercana a la actividaddescubridora y generadora del pensamiento matemtico, y para ello espositivo que los alumnos se organicen en pequeos grupos para que lainterrelacin entre los mismos se produzca de forma espontnea, y en laque el profesor o profesora no sea el referente, sino que acte como unmiembro ms de los mismos, de manera que con sus intervenciones lesanime a explorar, predecir hiptesis, comprobarlas, cometer errores,corregirlos y volver a predecir las evidencias obtenidas, abriendoalgunos caminos y desechando otros.

La utilizacin de materiales se centrar fundamentalmente en el usode las fotocopias de la ficha-problema, una por cada alumno, deabundante papel donde se pueda representar grficamente cualquieraspecto o idea y por supuesto de la calculadora, sin la cual el trabajo quese debe realizar se vuelve excesivamente pesado y, en consecuencia,aburrido. Pretendemos que los alumnos dediquen fundamentalmente eltiempo de clase para pensar, razonar, discutir, intercambiar ideas,analizar, etc. etc., no slo para calcular.

No debemos dejarnos llevar de las prisas en la resolucin de losproblemas, hemos de ser conscientes de que si bien algunos de ellospueden ser resueltos en escaso tiempo, para otros podemos necesitarhoras e incluso das para obtener un resultado satisfactorio, teniendopresente que, en este viaje, ms importante que llegar es comprender ydisfrutar del camino recorrido.

Estoy convencido de que la matemtica es algo ms que unconjunto de conceptos y destrezas que hay que dominar. Tambincomporta mtodos de investigacin y razonamiento que permitan alalumno adquirir confianza en su propio pensamiento matemtico y, sinduda, la resolucin de problemas es una excelente propuesta.

El autor



QU PASA CON LAS MATEMTICAS?

Sin duda alguna, la matemtica ha sido considerada a lo largo delos aos, y especialmente en las ltimas dcadas, la asignatura quemayor presin social y familiar ha ejercido sobre los alumnos decualquier nivel escolar. Frases como hijo, t esfurzate en matemticasque en definitiva es lo que te va a servir para labrarte un futuro, o elclculo es la base de todos los estudios, o esta otra para entrar atrabajar en cualquier sitio, lo importante es saber hacer el clculorpidamente... y muchas ms nos han permitido entender cules eranlas prioridades educativas para muchos de los padres. El mundo, enocasiones, parece estar dividido en dos grandes bloques: los que vanbien en matemticas y los otros. Siempre que surge alguna cuestin decarcter matemtico en algn grupo de personas, alguien contesta "no,yo no, que no soy de matemticas" u otro comenta "dilo t que eres dematemticas", sugerencia que los dems aprueban al mismo tiempo querespiran con alivio.

Una de las preguntas que ms nos hacemos los implicadosprofesionalmente en este tema es la siguiente: qu tienen de especiallos aspectos matemticos, es decir, todo aquello que "huele" amatemticas, para que se produzca rechazo?, a la que aadiramos unasegunda, qu pasa en la escuela, especialmente en las primeras etapas,para que una vez que los alumnos y alumnas la abandonan, renuncien demanera tan evidente a seguir disfrutando y haciendo uso de unosconocimientos como los matemticos?

Esta situacin, aadida a los avances tecnolgicos que en losltimos tiempos se estn produciendo, parece demandar un incrementoen la respuesta que la escuela debe dar a los nuevos estudiantes, y sta,parece evidente, pasa por incrementar los contenidos, incrementar lashoras de clase, incrementar las actividades, incrementar ... qu? Quse debe incrementar? Podemos solucionar los problemas con los que seencuentra la enseanza de las matemticas slo con incrementos?

LAS MATEMTICAS EN NUESTRO PAS.

Artculos como el aparecido en el diario provincial Informacin deAlicante el 9/04/97 con el titular "Los alumnos espaoles de



matemticas rinden por debajo de la media internacional", o de mbitonacional como El Mundo del 27/10/98, cuyo titular rezaba "Losescolares espaoles no saben contar" vienen a corroborar la necesidadque tienen nuestros escolares de mejorar-aumentar sus conocimientosmatemticos.

Segn estos artculos, basados en un estudio1 realizado entre500.000 escolares de 13 y 14 aos de 45 pases, Espaa ocup entre losalumnos de 13 aos el puesto 31 de un total de 39 pases, y de losalumnos de 14 aos el puesto 32 de 41 pases con resultados vlidos.

Se puede considerar inicialmente que estos resultados dependen delas cuestiones presentadas. Sin embargo contemplemos, por ejemplo, lasiguiente pregunta: "qu porcentaje ha aumentado el precio de una latade guisantes que subi de 60 a 75 pesetas?" Si la respuesta dada por msdel 80 % de los estudiantes espaoles es 15 pesetas, se observa que hayalgo que no funciona adecuadamente. Esto se confirma tambin, si msdel 80% de los estudiantes contesta errneamente a la pregunta decuntos lados estn pintados de azul y cuntos de rojo en un cubo, en elque hay 2/3 de posibilidades de que salga rojo arriba al lanzarlo.

La duda que todos nos planteamos es qu pasa con nuestrosalumnos, que despus de un elevado nmero de aos asistiendo a laescuela, de incontable cantidad de horas trabajando los conceptosmatemticos, de das y das de explicaciones, actividades, revisiones,recopilaciones, etc. etc. son incapaces de contestar adecuadamente apreguntas como esas.

Ya en ese mismo artculo, se apuntaba alguna solucin en lasdemandas que el presidente de la Real Academia de las Ciencias habasolicitado a la entonces ministra Esperanza Aguirre, sobre que la tancacareada reforma de las matemticas no se limitase a un aumento de lashoras lectivas, sino que sta se centrara en la mejora de los contenidos ysobre todo del mtodo utilizado en el aprendizaje de la asignatura.

Todos somos conscientes de que las matemticas han sidotradicionalmente estudiadas, en los diferentes niveles educativos,mediante el aprendizaje de frmulas y destrezas, obtenidasmemorsticamente, despus de sucesivas repeticiones, y con unos 1 Tercer Estudio Internacional de Matemticas y Ciencias (TIMSS)



programas excesivamente cargados y rgidos, donde no se han tenido encuenta ni las capacidades del alumnado ni mucho menos sus intereses.Los algoritmos de clculo que han ocupado ms de la mitad del tiempodedicado a las matemticas, son tratados como fin y pocas veces comoherramienta. La adquisicin de tcnicas mentales de clculo no tiene enla clase la presencia que debera, y cuestiones como razonar, imaginar,intuir, probar, descubrir, generalizar, aplicar destrezas, estimar,comprobar resultados..., parecen una quimera.

Algunos de nuestros ms insignes matemticos de todos lostiempos han denunciado los aspectos negativos que una materia como laque nos ocupa soportaba y an soporta.

Segn Puig Adam: La matemtica ha constituido,tradicionalmente, la tortura de los escolares del mundo entero, y lahumanidad ha tolerado esa tortura como un sufrimiento inevitable paraadquirir un conocimiento necesario; pero la enseanza no debe sertortura, y no seramos buenos profesores, si no procurramos por todoslos medios, transformar este sufrimiento en goce, no cual no significaausencia de esfuerzo, sino, por el contrario, alumbramiento deestmulos y de esfuerzos deseados y eficaces.

La matemtica, ms que un conocimiento (satisfaccin), es unescollo con el que tropiezan los jvenes que pasan por nuestras clases,donde cantidad de teoras, galimatas de enunciados y razonamientoshan tenido que ser aprendidos de memoria, al margen de todacomprensin y todo inters, lo cual ha producido en multitud de ellos laresignacin y el convencimiento de su incapacidad manifiesta para lasmatemticas.

Hay que declarar pblicamente que la falta de disposicin denuestros alumnos para las matemticas, ms que incapacidad personal deestos, ha sido la consecuencia de un defectuoso sistema de enseanza.Nadie es lo suficientemente negado para aprender matemticas, y desdeluego es un error creer que para el aprendizaje de las matemticas hacefalta una disposicin especial o un cerebro privilegiado. El verdaderoerror en el aprendizaje de las matemticas ha sido sin duda de tipoeducativo, con tres principales vertientes: el error de programacin,donde la matemtica es presentada linealmente, en apartados sin apenasrelacin entre ellos, con independencia del desarrollo del pensamiento



matemtico del nio; el error en la aplicacin del mtodo, tal como havenido transmitindose de generacin en generacin, de manera absurday antieducativa, escamoteando los aspectos intuitivos o deductivos; yfinalmente el error en el modo de presentarlas ante los alumnos, carentede intereses, sustituyendo la falta de atraccin natural del nio, porestmulos coactivos secundarios, orientados hacia la vanidad del premioo la amenaza del castigo.

LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS.

Las matemticas constituyen un idioma poderoso, conciso y sinambigedades utilizado en todo el mundo, y este idioma para poderdesarrollarse adecuadamente necesita de unos caminos por dondedesplazarse, de unas situaciones que no slo permitan la comunicacin,sino que adems la favorezcan, al mismo tiempo que ha de disponer deunas normas o tcnicas por las que regirse.

Estos caminos vienen determinados en cada caso mediante unassituaciones concretas, a las que llamamos problemas. Su resolucin sever favorecida mediante tcnicas o mtodos especficos.

Muchas experiencias existen sobre el tema, as como unaabundante bibliografa que engloba desde los principios tericos,pasando por las propias tcnicas, hasta aquellas propuestas que secentran en la resolucin de un determinado nmero de problemas devariada dificultad. Pero en cualquier caso, hemos de entender que laresolucin de problemas no persigue resolver ejercicios elementales orutinarios correspondientes a alguna parte de las matemticas, tampocola presentacin de trucos o mecanismos que puedan solucionar un tipoparticular de problemas, sino la enseanza de modelos matemticoscaracterizados mediante situaciones complejas del mundo real quepermitan el desarrollo de habilidades y actitudes.

Se debe entender la cuestin como la parte ms esencial de lamatemtica, como un proceso, no como una respuesta, como un viaje, nocomo un destino, donde vamos descubriendo un mundo de ideas yconocimientos, poniendo de manifiesto las habilidades, tcnicas,estrategias y actitudes propias de cada individuo.



A la resolucin de problemas se le ha llamado con razn, elcorazn de las matemticas, pues es ah donde se puede adquirir elverdadero sabor que ha atrado y atrae a los matemticos de todas laspocas. Del enfrentamiento con problemas adecuados es donde puedenresultar motivaciones, actitudes, hbitos, ideas para el desarrollo deherramientas, en una palabra, la vida propia de las matemticas.Miguel de Guzmn. 1984

La resolucin de problemas constituye un objetivo bsico y unaparte integral de toda actividad matemtica. Se trata de un proceso quedebe proporcionar en el aula, el contexto donde puedan aprender losconceptos y destrezas, desarrollar y aplicar las estrategias para suresolucin, valorar el proceso utilizado al menos en la misma medida enque se valora el resultado, interpretar el resultado obtenido con relacina lo demandado, potenciar la comunicacin matemtica entre losalumnos y el profesor, aumentar la confianza en el uso de lasmatemticas, considerando al error en su justa medida y, en definitiva,percibir la correcta visin de lo que significa aprender matemticas yresolver problemas.

El currculo de matemticas de Primaria y Secundaria de nuestropas concede una especial importancia al tema dedicndole una granatencin; si tomamos, por ejemplo, la Comunidad Valencianaencontramos que la resolucin de problemas es planteada como bloquede contenidos, aunque evidentemente relacionada con el resto.

PERO, QU ES UN PROBLEMA?

Comencemos diciendo que la palabra "problema" es utilizada ennuestro idioma para referirse a diversidad de situaciones absolutamentedistintas, en contextos diferentes que, incluso, nada tienen que ver conlas matemticas.

Tambin el ttulo "problemas matemticos" es utilizado enocasiones, haciendo referencia a un modelo general de actividades,donde stas deben ser numricas, de aplicacin directa, con utilizacinde datos concretos en situaciones debidamente identificadas, en las quela solucin de las mismas vienen determinadas desde el primer momentoque se reciben, donde rpidamente se ha discriminado el algoritmo o



algoritmos que se deben utilizar para encontrar la solucin adecuada.Resulta evidente que esto no es as. La resolucin de problemas es unaactividad mental extraordinariamente compleja. En principio puedeparecer una actividad desordenada y a veces catica, pero una vez quenos introducimos en ellos es absolutamente fundamental realizar unaprecisa esquematizacin del pensamiento.

En un problema, a menudo, nos encontramos que, a primera vista,no se sabe cmo abordarlo y finalmente resolverlo, lo que lleva enocasiones a no percibir claramente en qu consiste el problema.

Resolver un problema exige, en general, tiempo y una importanteinversin de energa, as como una innegable adecuacin a lascircunstancias (frustracin inicial, voluntad de resolverlo, perseveranciaen la investigacin, ...). Un problema constituye un autntico reto.Sabemos aproximadamente dnde queremos llegar, pero ignoramos elcamino que debemos seguir. Es por ello que ante esta situacin debemospresentar actitudes positivas, tales como confianza, tranquilidad,curiosidad, gusto por el reto, disposicin para aprender, etc. evitando almismo tiempo otros comportamientos negativos que podranobstaculizar nuestro avance, tales como miedo a lo desconocido,nerviosismo, prisa por acabar, miedo ante el resultado...

LOS ALUMNOS FRENTE A LOS PROBLEMAS.

En 1986, M.L. Frank realiz un estudio con la intencin deencontrar respuesta a cuestiones que versaban sobre qu era para losestudiantes la resolucin de problemas. Creo no exagerar si afirmo queen muchos de los estudios realizados en la actualidad, las respuestasobtenidas no han sido demasiado diferentes. Estos estudiantes, sobre losque se realiz el estudio, eran matemticamente competentes (segn lostests tpicos utilizados) con edades comprendidas entre 12 y 14 aos2.

Entre las creencias que los estudiantes daban acerca de lasmatemticas destacamos:

2 Otros investigadores Coob, Confrey, Wheatley, Carpenter, Lindquist, Matthews ySilver, Schoenfeld, Buerk, Confrey y Lanier..., han descrito creencias similares enestudiantes de una amplia gama de edades y capacidades.



1. Las matemticas son clculos. Las matemticas, para losestudiantes sobre los que se hizo el estudio, eran lo que ellos llamabanlas cuatro operaciones. Estas operaciones implicaban lamemorizacin de hechos y algoritmos matemticos. Para la generalidadde los estudiantes encuestados, " hacer matemticas significa seguirreglas" y, "hacer matemticas es, sobretodo, memorizar".

2. Los problemas de matemticas deben resolverse rpidamente ycon unos cuantos pasos. Estos estudiantes daban por supuesto que losproblemas de matemticas son tareas rutinarias a las que deben aplicarsealgoritmos aritmticos o algebraicos conocidos. Por el contrario, lastareas no rutinarias eran consideradas por la mayor parte de losencuestados como algo marginal a la va de las matemticas: no sonverdaderas matemticas, decan. Estaban convencidos de que algofuncionaba mal si al resolver un problema se tardaba demasiado tiempoen encontrar la solucin (ms de cinco o diez minutos).

3. Las matemticas tienen como objetivo obtener respuestascorrectas. Los estudiantes tendan a ver las matemticas segn ladicotoma bien hecho / mal hecho. Se concentraban casi exclusivamenteen las respuestas, y si dichas respuestas eran correctas o incorrectas. Lamayor parte de ellos crean que slo el profesor poda decirles si unarespuesta era acertada o equivocada, y si la respuesta obtenida eraerrnea parecan tener la sensacin de haber perdido el tiempo.

4. El papel del estudiante de matemticas es recibirconocimientos matemticos, y demostrar que los ha recibido. Lasmatemticas (conjunto de hechos, reglas, procedimientos y actitudes) esun paquete que hay que recibir. En las entrevistas, los estudiantesexplicaban que esa recepcin se lleva a cabo prestando atencin enclase, leyendo el libro de texto (en particular la letra gorda), yhaciendo, si es posible con el profesor u otro adulto, las tareaspropuestas para casa. A partir de ah el alumno demuestra que harecibido el "paquete de matemticas" dando respuesta correcta a losproblemas presentados. Si da la respuesta correcta, es que lo hacomprendido, si la respuesta no es correcta, se le supone que no.

5. El papel del profesor de matemticas es transmitir losconocimientos matemticos y comprobar que los estudiantes los han



recibido. La mayora de estudiantes supone que el papel del profesor esemplear la hora de clase en cubrir el programa sealado en el libro detexto. Si un profesor desarrolla bien el programa, los estudiantes serncapaces de dar rpidamente las respuestas a las tareas propuestas enclase, en casa y en los exmenes.

Sin embargo, cuando un educador matemtico habla o escribesobre la resolucin de problemas, probablemente tiene en mente unadefinicin similar a la de Wheatley: Resolver un problema es lo quehaces cuando no sabes lo que hay que hacer. The National Council ofTeachers of Mathematics de Estados Unidos recomienda que lasmatemticas, especialmente en los niveles de Primaria y Secundaria,estn enfocadas a la resolucin de problemas.

Los estudiantes cuyas creencias matemticas sean similares a lascomentadas ni siquiera aceptan que la resolucin de problemas (en elsentido de Wheatley) sea matemticas. Para ellos, en matemticas, nuncase supone que puedan estar en una situacin en la que no sabes qu es loque hay que hacer. Si el profesor ha hecho bien su trabajo y los alumnoshan hecho el suyo siempre sabrn aplicar un hecho, una regla o unprocedimiento a un problema para obtener rpidamente la respuestaadecuada.

PROBLEMAS Y EJERCICIOS.

Los educadores matemticos hacen con frecuencia una distincinentre problemas y ejercicios.

Segn Kantowski, una tarea es un problema si implica para elalumno una pregunta que no sabe responder o una situacin que esincapaz de resolver usando los conocimientos que tiene inmediatamentedisponibles, mientras que un ejercicio es una actividad en la cual elalumno aplica un algoritmo que conoce y que una vez aplicado le llevara la solucin.

Esta distincin no es una mera argucia semntica. Un estudiantepara quien las matemticas son una coleccin de ejercicios puede tenerun completo xito en obtener las respuestas adecuadas de forma rpida,pero, qu ocurre cuando ese alumno se encuentra con un problema?



Una posibilidad es que el alumno se d cuenta de que esa es unatarea de un tipo diferente a la de los ejercicios que est habituado a ver,y que no acepte esa tarea como matemticas. En esa situacin el alumno:

a). Rehusa tener nada que ver con la tarea y dice: no s hacerlo, oesto no son matemticas, o trabaja en ella de una manera inconexa ysin mtodo en tanto que el profesor est insistiendo en que lo intente.

b). Que el alumno trate el problema como un ejercicio, intentandobuscar en la memoria el hecho o la regla apropiados con el objetivo deobtener rpidamente una respuesta. Al no lograrlo, o abandona elproblema o pide ayuda al profesor. No me sale, cmo lo tengo quehacer?, lo estoy haciendo bien?,... son algunas de las expresionesutilizadas. Algunas veces, tras una agotadora cantidad de clculos, seproduce algo parecido a una respuesta, que si el profesor comprueba quees correcta se pasa a la siguiente, y si es incorrecta, el estudiante sequeda con la sensacin de que el trabajo realizado ha sido estril.

c). Por ltimo, el alumno puede efectivamente emplear unaestrategia general para la resolucin del problema, y conseguir progresarrealmente hacia su solucin. Pero, si la respuesta no aparece tras undeterminado tiempo (cinco, diez o quince minutos), es probable quedecida dejar de trabajar en l. El alumno siente que algo est haciendomal, o que quizs sea uno de esos problemas de truco que no se puederesolver, ya que le est dedicando mucho tiempo para conseguir larespuesta.

A todo esto, dnde hemos dejado aspectos como la concentracinen el proceso, la independencia, la perseverancia, etc. etc. que laresolucin de problemas se supone que engendra?

Resulta obvio que se encuentran ausentes.



RESOLUCIN DE PROBLEMASPropuesta n. 1

LA BOTELLA DE COLA.

Una botella de "cola" de 2 litros cuesta 185 pts.

Cunto costar una botella de 1 litro? Y de medio litro? Y unbote de 1/3 de litro?

Comprueba si es as y discutecon tus compaeros tus ideas.




LA HABITACIN DE MI CASA.

Una habitacin de mi casa mide 12 metros cuadrados de superficie.

Qu forma tiene esa habitacin? Dibjala.

Podra ser de otra forma? Dibuja esahabitacin de todas las formas posibles.




LOS COCHES.

Una fbrica de coches realiza modelos de tres motorizaciones(1600, 1800 y 2000 cc.) en cinco colores cada uno (blanco, negro, azul,amarillo y rojo) y con tres, cuatro o cinco puertas cada tipo.

Seras capaz de indicar el nmero de diferentes modelos de cochesque esa fbrica realiza?

Si es posible intentaexpresarlo grficamente. Te serms sencillo.

Analiza y comenta con tus compaeros sobre una de las marcas decoches que existen en el mercado, e intenta averiguar los modelos quefabrica, las motorizaciones, los colores, etc. etc.

Cuntos vehculos diferentes realiza esa fbrica de coches?




EL TORNEO DE TENIS.

A un torneo de tenis se presentan 16 tenistas y quieren jugar por elsistema de eliminatorias.

Cuntos partidos se tendrn querealizar?

Y si fueran el doble de tenistas se tendranque jugar el doble de partidos?

Con el uso de diagramas posiblemente te resultarms sencillo comprender el problema.

Propn otros casos, como por ejemplo:

Confecciona un calendario sobre un campeonato que podis haceren el Centro.

Un campeonato local.

La liga de ftbol de cualquier divisin.




CMO EXPRESARLO.

El nmero 30 es fcil expresarlo como

5 x 5 + 5Trata de encontrar diferentes formas para expresar:

El nmero 30 con tres cifras iguales.

El nmero 100 empleando cuatro veces la cifra 9.

El nmero 34 empleando cuatro veces la cifra 3.

El nmero 31 empleando la cifra 3 cuantas veces quieras.




BLANCAS Y NEGRAS.

Disponemos de tres cajas con dos bolas en cada una de ellas. Enuna caja las dos bolas son blancas, en otra, las dos son negras y en laotra una blanca y otra negra. Sin conocer las cajas y sin ver el contenidode ellas, meto la mano al azar y saco una bola blanca.

Cul es la probabilidad de que la otra bola que queda en la cajasea blanca?




LA REUNIN.

Las personas que asistieron a una reunin se estrecharonlas manos.

Podras decir cuntas personas asistieron aesa reunin sabiendo que hubo 15 apretones demanos.

Y si fueran 30 los apretones, cuntaspersonas habran asistido?




COMPRANDO LIBROS.

Una librera ha encontrado una manera para que los chicoscompren libros de una coleccin. Consiste en pagar una cantidad deentrada y el resto en pagos al recibir cada libro.

No obstante se puede comprar de dos manerasdiferentes:

a). Pagar 2.000 pts de entrada y 250 pts/ cadalibro.

b). Pagar 1.000 pts de entrada y 350 pts./cada libro.

Si la coleccin consta de 15 libros, cul es la forma ms ventajosapara el comprador?

Intenta encontrar, si es posible, el nmero de libros que deberatener esa coleccin para que las dos formas resulten econmicamenteiguales.




CUNTO ES?

Tienes idea de cuanto es un milln de segundos?

Cul de las tres soluciones crees que se acerca ms a la verdadera?

a). Medio ao

b). Once das y medio

c). Veintitrs horas

Trata de averiguarlo mentalmentemediante estimacin estructurada.

Otras propuestas pueden ser:

Cunto mide tu Centro de largo? Y de ancho?

Cuntos metros cuadrados estimas que mide tu clase? Y elgimnasio? Y la pista de deporte?

Cunto pesa un libro? Y una silla? Y una mesa?

Cuntos folios hay en un montn de ellos?

Cuntas judas hay en un tarro lleno de ellas?




ESCALERAS.

Las siguientes "escaleras" de 3 y 4 pisos estn formadas por 6 y 10ladrillos respectivamente.

Cuntos ladrillos utilizar una escalera de 6 pisos?, y de 10pisos?, y de 50 pisos?




LA HUCHA.

Mi ta tiene dos huchas donde guarda dinero. Una es blanca y laotra rosa. Siempre que mete 20 pts en la hucha blanca, mete 55 pts en larosa.

Si en la blanca tiene 300 pts, cuntas tiene en la hucha rosa?

Y si en la rosa tuviera 3.465 pts, cuntas tendra en la blanca?




CHICOS Y CHICAS.

En un colegio hay 345 alumnos. Sabiendo que hay el doble dechicos que de chicas, cuntos alumnos hay de cada clase?




EL NADADOR.

Carlos, buen nadador, recorre una distancia ro abajo en 2 horas. Siel regreso al punto de salida, es decir recorriendo la misma distancia y almismo ritmo, pero ro arribatarda 3 horas.

Cunto tiempo tardaraCarlos en recorrer esa mismadistancia en un lago?




CUNTO DINERO TENGO?

Al abrir la hucha he visto que tena 7 monedas de curso legal3Cunto dinero puedo tener?

Cul sera el mayor importe que podra gastar?

Y el menor?

Cuntas cantidades diferentes puedoencontrar?

3 La propuesta puede realizarse en pesetas o en euros.




EL GATO Y EL RATN.

Un ratn se encuentra buscando comida a una distancia de 25 m.del agujero. En un momento dado aparece un gato que observa al ratn auna distancia de 45 m. Los dos comienzan a correr, el ratn para meterseen el agujero y el gato para cazar al ratn.

Sabiendo que el gato corre a una velocidad de 25 m. por segundo, yque el ratn corre a 10 m. por segundo, lograr el gato cazar al ratn, oconseguir ste meterse antes en el agujero?




LOS CUATRO CUATROS.

4 4 4 4Utilizando cuatro cuatros y todas las operaciones que conozcas,

adems del parntesis, intenta escribir todos los nmeros que puedas del0 al 100, ambos inclusive.




LOS TRES AMIGOS.

Tres amigos cuyos apellidos son Pardo, Rojo y Blanco seencuentran por la calle al cabo de algn tiempo.

Qu curioso! -exclama el que lleva la corbata de color rojo-, loscolores de nuestras corbatas se corresponden con nuestros apellidos,pero ninguno lleva el color del suyo.

-Tienes razn- comenta Blanco.

De qu color es la corbata que lleva cadauno de ellos?




EL CIRCUITO.

Un coche tarda 2 minutos en dar una vuelta a un circuito, unabicicleta tarda 6 minutos y una persona 20 minutos en dar la vuelta almismo circuito.

Si los tres salen del mismo punto y almismo tiempo, al cabo de cunto tiempocoincidirn los tres y cuntas vueltas habrdado cada uno al circuito?




TRINGULOS.

De todos los tringulos que tengan la misma rea y sus bases midanlo mismo cul sera el de menor permetro?




EL RECIBO DEL AGUA.

En un recibo de consumo de agua, los 25 primeros metros cbicosde agua consumida cuestan 875 pts y el resto se paga a 61,75 pts m3 . Sipor el consumo realizado se han abonado 3.839pts, cuntos metros cbicos de agua se hanconsumido?




NGULOS RECTOS.

Cul es el nmero mximo de ngulos rectos que puede tener unpolgono de n nmero de lados?


44


LA FOTO Y EL MARCO.

La foto de tu jugador favorito cuesta 50 pesetas ms que el marcoque la encuadra.

Si las dos cosas juntas cuestan 200 pts. Cunto cuesta la foto ycunto el marco?

Est seguro?100 Problemas matemticos




IVN EL PEREZOSO.

Segn un antiguo cuento ruso, Ivn "el perezoso" se hallaba un daholgazaneando a orillas de un ro.

- Todo el mundo me dice que me busque trabajo o que me vaya aldiablo - suspir -. No creo que ninguna de las dos cosas me ayude ahacerme rico.

Tan pronto como dijo esto se le apareci el diablo en persona.-Quieres ganar dinero Ivn?- le pregunt.Ivn asinti perezosamente con la cabeza.- Muy bien - continu el diablo -. Ves ese puente? Pues todo lo

que tienes que hacer es cruzarlo. Cada vez que vayas de parte a parte sedoblar el valor del dinero que llevas en el bolsillo.

A Ivn le gust la propuesta, y ya se diriga hacia el puente, cuandoel diablo lo detuvo.

- Un momento - le dijo astutamente- . Puesto que me he mostradotan generoso contigo, creo que merezco una pequea recompensa pormis esfuerzos. Tendrs que darme ocho rublos cada vez que cruces elpuente.

Ivn se apresur a asentir. Cruz el puente y meti la mano en elbolsillo. Su dinero se haba doblado por arte de magia. Le lanz ochorublos al diablo, que permaneca al otro lado del ro, y cruz de nuevo.Otra vez dobl su dinero. Le pag otros ocho rublos al diablo y cruzpor tercera vez. Y el dinero se dobl de nuevo. Pero al contarlo,descubri que no le quedaban ms que ocho rublos en el bolsillo, quetuvo que entregar al diablo, con lo cual se qued sin dinero que doblar.

El diablo solt una sonora carcajada y desapareci.

Sabras averiguar cunto dinero tena Ivn en el bolsillo cuandohizo el pacto con el diablo?

Intntalo, vers como lo resuelves.




CIFRAS Y LETRAS.

Existen unas actividades muy interesantes que consisten ensustituir letras por cifras para que la operacin matemtica indicada seaposible.

A continuacin tienes un ejemplo, a ver si eres capaz de resolverlo.

U N O + U N O T R E S

Te resulta difcil? Y si te digo que la O representa el 4?Cuntas soluciones diferentes puedes encontrar?Por si quieres entretenerte aqu tienes otros.

ABCD CUATRO + DCD CUATRO

EFGHI CUATRO CUATRO

+ CUATROVVRR VE I NTE

+ RRVV YZZY

CUATRO X 5

VE I NTE




EL DESCUENTO Y EL IVA.

He ido a comprar a una librera un libro de matemticas. Elvendedor me ha informado que por estar de oferta me hacen el 15 % dedescuento, pero que han de cargarme el 6 % de IVA.

Qu me interesa ms, que primero me hagan eldescuento y luego me carguen el IVA o que primero mecarguen el IVA y despus me hagan eldescuento?

T que preferiras que te hicieran primero?

Raznalo primero con tus compaeros y confirmaposteriormente lo estimado.




EL BANCO.

Se desea invertir en un banco una cierta cantidad durante un ao.Cul de las opciones siguientes consideras ms interesante?

Opcin A. Una cuenta de ahorro que proporciona un 12.5% deinters anual y se paga una vez vencido el ao.

Opcin B. Una cuenta a plazo fijo que renta un 1 % mensual y sepaga al final de mes.

Si el banco decidiera equiparar los intereses,

Qu inters anual debera ofrecer para queresulte equivalente al 1 % de inters mensual?

Qu inters mensual debera ofrecerpara que resulte equivalente al 12.5 % deinters anual?




MANTENER LA DISTANCIA.

Los conductores deben mantener una distancia prudente del cocheque va delante.

Pero, ... qu quiere decir prudente?

Dice el cdigo holands de la circulacin que los conductoresdeben guardar una distancia en metros igual a la mitad de la velocidad(en Km/h) a que se circula.

Segn esto, un conductor holands que vaya a 60 Km/h. debeguardar una distancia de 30 metros del vehculo que va delante.

En una carretera muy transitada de una ciudad holandesa, laintencin de la Direccin de Trfico es que pueda ser utilizadasimultneamente por tantos coches como sea posible. Es decir, que cadaminuto pasen por un punto cualquiera de la misma el mximo nmero decoches.

Considerando el cdigo de la circulacin y que la media delongitud de los coches es de 4 metros cul ser la velocidad ideal a quedeben circular por ese lugar los coches?




CAJAS .

De una lmina de cartn cuadrada de 30 cm. de lado, queremosfabricar cajas sin tapa.

Una de las formas ms sencillas de construirlas es cortar cuadradosen las esquinas y doblar los lados:

Si queremos que la caja tenga el mximo volumen posible qutamao deben tener los cuadraditos que se corten?

Investiga con lminas cuadradas de otros tamaos y con otras deforma rectangular.




EL BALN.

Un baln cuesta 19 rublos, pero el comprador no tiene ms quebilletes de 3 rublos y el vendedor slo de 5 rublos.

Se puede hacer en estas condiciones la compraexacta de dicho baln?

Has encontrado la solucin?

Cuntas soluciones diferentes puedes encontrar?




AL REVS.

Las letras de la siguiente igualdad representan las cifras de unnmero que al multiplicarlo por 4, da otro formado por las mismas cifrasen orden inverso al inicial.

Puedes averiguarlo?

ABCDE x 4 = EDCBA




SALTO DEL CABALLO.

En el nmero de febrero de 1979 de Investigacin y Ciencia,Martn Gardner expuso el siguiente problema:

Se trata de un tablero de ajedrez de 3 x 4, en el que hay 3 caballosblancos y 3 negros, y se pide intercambiar las posiciones de los caballosblancos con los negros en el menor nmero de jugadas.

Parece ser que el menor nmero de movimientos es de 16. Podrasconseguirlo?

Cuntos soluciones mnimas eres capaz de encontrar?




LOS TRES COFRES.

Se trata de un problema dado a conocer por Raymond Smullyan.

Un sultn propuso el siguiente problema a un reo. "He aqu trescofres; uno rojo otro azul y otro blanco. Y cada uno tiene la siguienteinscripcin" .

- En el rojo dice :la llave de la celda est en este cofre

- En el azul dice : la llave de la celda no est en este cofre

- En el blanco dice : la llave de la celda no est en el cofre rojo

De las tres inscripciones, a lo sumo una es cierta. Si sois capaz deadivinar en cul est la llave os dejar ir libre.

Qu cofre debi elegir el reo? Por qu?




CITA EN EL DESIERTO.

En el desierto del Sahara, y en los tres puntos A, B, y C, queforman los vrtices de un tringulo equiltero de 700 km. de lado, seencuentran tres vehculos de velocidades respectivas 20, 40 y 60 kms/h.

Comunicados por radio con el centro de operaciones, reciben laorden de partir para reunirse lo antes posible.

Dnde estar situado en el dibujo el punto donde se van a reunir?

B

A C




UNA SUMA UN POCO LARGA.

Cul es la suma de todos los nmeros de cinco cifras diferentesque pueden formarse empleando 1, 2, 3, 4 y 5?

567489065784561954




ENTRE DOS CIUDADES.

Entre las ciudades A y B existe unalnea de autobuses que hacen el itinerarioen ida y vuelta. Sabiendo que la duracindel trayecto es de 7 horas para la ida yotras 7 para la vuelta, y que cada hora sale un autobs hacia la otraciudad con cuntos autobuses se cruzar cada uno de ellos en suitinerario?




EL CENTRO DEL CRCULO.

Dados tres puntos cualesquiera a, b y c, halla, nicamente con lautilizacin del comps, el centro del crculo que contiene a dichospuntos.

a .

. b

.c




EL 37.

El nmero primo 37 es un divisor de 999. Podras encontrar tresnmeros ms que tengan todas sus cifras iguales y sean divisibles por37?

3 7




EN VACACIONES.

En mis vacaciones del ao pasado llovi 9 das, y hubo 10 maanasy 10 tardes soleadas. Cuando llovi por la maana, la tarde fue soleada.

Cuntos das duraron mis vacaciones?




LA CADA DE UNA PIEDRA.

Una piedra, dejada caer libremente desde cierta altura, recorre lasegunda mitad de su trayecto en 2 segundos. Halla la altura desde la quese dej caer la piedra.


62


LA MATRCULA DEL COCHE.

La matrcula de un automvil tiene cinco cifras, todas diferentes.Al instalarla el mecnico se equivoc y la puso cabeza abajo, obteniendoun nmero mayor que el original de la matrcula en 78633. Cul era elnmero de la matrcula?

(El uno se escribe as I y no as 1).A - *****100 Problemas matemticos




UN PROBLEMA DIOFNTICO.

El producto de cuatro nmeros es 6,75 al igual que su suma.Sabiendo que uno de ellos es la unidad, halla los otros tres.




DE CUADRADOS MGICOS I.

Tenemos un cuadrado mgico de 3 x 3.

a). Anotar en los nueve cuadros las cifras del 0 al 9 (10 cifras) deforma que cada horizontal, vertical y diagonal sumen 15.

b). Anotar en las casillas las cifras del 0 al 9 de modo que cadahorizontal y vertical sumen 14.

c). Anotar en las casillas las cifras del 0 al 9 de modo que cadahorizontal y vertical sumen 13.

d). Anotar en las casillas las cifras del 0 al 9 de modo que cadahorizontal, vertical y diagonal sumen 12.

e). Colocar en las casillas los nmeros del 2 al 10 de modo quecada horizontal, vertical y diagonal sumen 18.

f). Colocar en las casillas los nueve primeros nmeros pares paraque cada horizontal, vertical y diagonal sumen 30.




DE CUADRADOS MGICOS II.

Tenemos un cuadrado mgico de 4 x 4

a). Colocar en las casillas los nmeros del 0 al 15 de modo quetodas las horizontales, verticales y diagonales sumen 30.

b). Colocar en los cuadros los nmeros del 1 al 16 de tal modo queen cada horizontal, vertical y diagonal sumen 34.

c). Escribir en las casillas 16 de los 17 nmeros de modo que cadahorizontal, vertical y diagonal sumen 37.

d). Escribir en los cuadros 16 de los 17 primeros nmeros de formaque en cada horizontal, vertical y diagonal sumen 36.

e). Colocar en las casillas 16 de los 17 primeros nmeros de modoque la suma de cada horizontal y vertical sea 35.

f). Escribir en las casillas los 16 primeros nmeros pares de modoque en cada horizontal, vertical y diagonal sumen 68.

g) Escribir en los cuadros 16 de los 17 primeros nmeros de formaque en cada horizontal, vertical y diagonal sumen 64.

h) Anotar en cada casilla una cifra del 1 al 4, repitindolas cuatroveces, de modo que cada horizontal, vertical y diagonal sumen 10.




EL MELN.

Un meln de agua que pesa 20 kg. est formado por un 99% deagua.

Despus de darle el sol todo el da, parte del agua se evapora y sequeda con el 98 % de agua.

Cunto pesar el meln despus de la evaporacin?




CAMINOS.

Entre los vrtices A y B podemos desplazarnos, sin retroceder, de 6maneras diferentes, a las que llamaremos caminos.

A

B

Podras averiguar el nmero de caminos distintos que se puedenrealizar entre C y D.

C

D

Puedes proponer otros ejemplos.




LLAMAN A LA PUERTA.

TOC x TOC = ENTRECada letra representa una cifra. Cul ha de ser la de cada una de

ellas para que se cumpla la condicin?




LOS MARIDOS CELOSOS.

Dos parejas de recin casados llegan a la orilla de un ro quequieren cruzar, y para ello utilizan una barca en la que slo pueden irdos personas a la vez.

Teniendo en cuenta que los maridos sontan celosos que no quieren dejar a su mujerdonde haya otro hombre, a menos que seencuentren ellos presentes, cmo se lasingeniarn para cruzar el ro?

Y si se tratara de tres parejas cmo loharan?

Y cuatro parejas?




IDA Y VUELTA.

Un automvil cubri la distancia entre dos ciudades a unavelocidad de 60 km./h. y el viaje de regreso a 40 km./h.

Cul fue la velocidad media del recorrido?

Ojo, no es de 50 km/h!




INSCRIPCIN.

En una lpida funeraria del cementerio de Alencourt figura estainscripcin:

Puedes explicarlo?

Aqu reposan, un hijo,una madre, una hija,

un padre, unahermana, un hermano,

una esposa y unmarido, y sin embargoson slo tres en total.




NMEROS CURIOSOS.

Los nmeros 46 y 96 tienen una curiosa propiedad; su producto nose altera aunque las cifras que los componen cambien de lugar.

46 x 96 = 64 x 69Podras averiguar si existen otros con la misma propiedad?

Cuntos?




PARTIR UN NMERO.

En qu dos partes debe dividirse un nmero para que su productoalcance el mximo valor posible?

65




EL CAMPO.

Un campo triangular est rodeado por tres campos cuadrados,teniendo cada uno de ellos un lado comn con el tringulo.

Sabiendo que las superficies respectivas de los tres camposcuadrados son 505, 233 y 52 ha. Cul es la superficie del campotriangular?




EDADES.

La edad de Juan es 1/6 la de su padre.

Sabemos que la edad de su padre dividida por 2, 3, 4, 6 y 8 da deresto 1, pero al dividirla por 5 el resto es 0.

Qu edad tiene Juan?




EL GRANJERO Y EL CABALLO.

Un granjero compr un caballo por 400.000 pts. y al cabo de algntiempo despus lo vendi por 500.000. Pasados unos das, volvi acomprarlo por 600.000 pts. y volvi a venderlo por 700.000 pts.

Mi duda es la siguiente:

Al final gan o perdi dinero? Cunto?




LOS SOLDADOS ROMANOS.

Este problema fue encontrado en un libro antiguo de matemticas.

Dos soldados romanos se sientan juntos a comer, y, para ello,deciden compartir los vveres que cada uno posee, y que en concreto sondos barras de pan que aporta uno y tres barras que aporta el otro.

Antes de empezar a comer se aproxima un tercersoldado que les pide compartir con ellos su comida, yaque este ltimo no posee ningn alimento. Los dossoldados poseedores del pan deciden dividir cada unade las cinco barras en tres partes iguales, de maneraque todos coman la misma cantidad de ellas.

Una vez acabada la comida, el soldado invitado,en agradecimiento por su generosidad, les da cincomonedas para que estos se las repartanequitativamente.

Cmo han de hacerlo para que el reparto seaabsolutamente justo?




EL RESTAURANTE CHINO.

Alejandro, para celebrar su cumpleaos, nos ha invitado a unoscuantos amigos a comer en un restaurante chino.

A la hora de poner la mesa, observo que cada dos amigoscompartimos un plato de arroz, cada tres un plato de salsa y cada cuatrouno de carne. Sabiendo que en total nos sirvieron 65 platos, cuntosinvitados acudimos a la fiesta?




POR 5.000 PESETAS.

Una seora compra unos zapatos que cuestan3.000 pts. y paga con un billete de 5.000 pts. El vendedor que no tienecambio, va a la carnicera de enfrente y cambia el billete por cinco de1.000 pts. A su regreso devuelve 2.000 pts a la seora que, con suszapatos adquiridos, se marcha.

Media hora despus llega el carnicero a la zapatera diciendo que elbillete de 5.000 pts que le haba dado antes era falso. El vendedor se locambia por otro legal y el carnicero se marcha.

Con tanto lo quin ha perdido dinero?, cunto?




LAS VACAS.

Cuatro vacas negras y tres vacas marrones dan tanta leche en 5 dascomo tres vacas negras y cinco marrones en 4 das.

Qu clase de vaca es la que ms leche aporta, la negra o lamarrn?




LOS CONEJOS.

Cuntas parejas de conejos se producirn en un ao, partiendo deuna pareja nica, sabiendo que al mes cada pareja engendra otra pareja yque stas son frtiles a partir del segundo mes?




TRES MONEDAS.

Lanzamos al aire tres monedas, cuntas posibilidades hay de sacardos caras?, y tres caras?

Y si lanzamos cuatro monedas cuntas posibilidades hay de sacardos caras?




LOS INTERMEDIARIOS.

Un producto de importacin pasa por cinco intermediarios, cadauno de ellos lo vende aadiendo un 10 % al precio que paga por l.

En qu porcentaje se verincrementado el precio final cuandollegue al consumidor?




MIDIENDO EL AGUA.

Juan quiere medir 6 litros de agua sirvindose de dos bidones, unode nueve litros y otro de cuatro litros.

Cmo lo consigui?




QUIERES MIL PESETAS?

Una persona te dice:

Te dar mil pesetas si t eres capaz de darme quinientas en diezmonedas. Las monedas han de ser de 10, 25 y 50 pts solamente, y hayque incluir por lo menos una de cada clase.

T aceptaras?




EL REBAO DE OVEJAS.

Un granjero ha conseguido tener un rebao de ovejas bastantenumeroso.

Como es un aficionado a los nmeros, observa que si las cuenta dedos en dos le sobra una. Igual le ocurre cuando las cuenta de tres en tres,de cuatro en cuatro, de cinco en cinco, ... y as hasta de diez en diez.

Cul es el nmero de ovejas que tiene?




EL CUADERNO.

He comprado un cuaderno que me ha costado 118 pts. y lo hepagado con monedas de duro y de peseta. Sabiendo que el total demonedas entregadas ha sido de 54 cuntas he dado de cada clase?




LA CESTA DE HUEVOS.

En una cesta hay 81 huevos y el nmero de huevos malos quecontiene es la mitad de los huevos buenos.

Qu cantidad de huevos de cada clase hay en la cesta?




TRES OBREROS.

Tres obreros se encargan de cavar una zanja. El primero podrarealizar el trabajo slo en 10 das. El segundo en 8 das y el tercero en 6das.

Si se pusieran a trabajar los tres juntos en cuntos das lorealizaran?




LAS PESADAS.

Con una balanza de dos platos, como la del dibujo, y con slo dospesadas, queremos averiguar entre 8 pelotas cul es la que pesa un pocoms que las dems.




EL PADRE, EL HIJO Y EL CABALLO.

Un padre y un hijo han de recorrer una distancia de 50 km. Paraello cuentan con un caballo que puede viajar a 10 Km. por hora, pero nopuede llevar a ms de una persona. El padre camina regularmente a 5Km./h. y el hijo a 8 km./h. Alternadamente caminan y cabalgan. Cadauno, tras cabalgar un rato, ata el caballo a un rbol para que el otro lopueda recoger y l contina el camino a pie. De esta forma llegan almismo tiempo a la mitad del camino, y all, juntos, reposan durantemedia hora, repitiendo a continuacin el mismo sistema hasta llegarsimultneamente al final del camino.

Sabiendo que el padre y el hijo comenzaron el camino juntos a las 6de la maana, a qu hora llegaron a su destino?




EL JOVEN Y EL VIEJO.

Dos empleados de una tienda, uno joven y otro viejo, comparten unpiso. El joven va desde su casa al trabajo en 20 minutos mientras que elviejo hace ese mismo recorrido en 30 minutos.

En un da normal de los que van al trabajo, cunto tiempo tardarel joven en alcanzar al viejo, que camina a su paso normal, si el viejo hasalido 5 minutos antes que el joven?




DOS CUADRADOS.

Dado un cuadrado, construir otro cuya rea sea el doble que la delanterior.




LAS PGINAS DEL LIBRO.

Las pginas de un libro estn numeradas a partir de la 1. Sabiendoque la mquina que las ha numerado indica que se han utilizado en total402 dgitos o cifras, cuntas pginas tiene el libro?

Cul es el dgito ms utilizado?

Cuntas veces se ha utilizado esedgito?




LA JARRA DE MIEL.

Una jarra llena de miel pesa 500 gramos. Esta misma jarra llena dealcohol pesa 350 gramos.

Si el alcohol pesa la mitad que la miel, cunto pesa la jarra?




TRES CIFRAS.

Cul es el nmero de tres cifras que cumple la condicin de que elproducto de dichas cifras es igual a su suma?

a + b + c = a x b x c




EL RBOL.

Qu altura tiene un rbol que es 2 metros ms corto que un postede altura triple que la del rbol?




NMEROS PERFECTOS.

Se denomina nmero perfecto a aquel nmero que es igual a lasuma de sus divisores, exceptuando lgicamente el propio nmero.

Ej: 6 = 1 + 2 + 3

Por lo tanto el nmero 6 es perfecto, ya que la suma de susdivisores tambin da 6.

Podras encontrar otros nmeros perfectos?

Cuntos?




LA TARTA.

La crema de una tarta supone el 25 % de la tarta. En quporcentaje hemos de reducir la crema para que esta constituya slo el 20% de la tarta?




NMEROS AMIGOS.

Dos nmeros son amigos cuando la suma de los divisores de uno esigual al otro y viceversa.

Ej: 220 y 284 son amigos

Divisores de 220: 110, 55, 44, 22, 20, 11, 10, 5, 4, 2 y 1

Los sumamos 110 + 55 + 44 + 22 + 11 + 10 + 5 + 4 + 2 + 1 = 284

Divisores de 284: 142, 71, 4, 2 y 1

Su suma 142 + 71 + 4 + 2 + 1 = 220

Podras encontrar otras parejas de nmeros amigos?




EL NMERO 6.

Una forma de obtener el nmero 6 es sumando tres doses, es decir

2 + 2 + 2 = 6

pero podras obtener el 6 con otros tres nmeros iguales y los signosque consideres?

3 3 3 = 6

4 4 4 = 6

5 5 5 = 6

6 6 6 = 6

7 7 7 = 6




EL CARACOL.

Un caracol sube por una tapia que mide 11 metros de altura a raznde 2 metros durante el da y resbala 1 metro (cuando duerme) durante lanoche. Cuntos das tardar en subir por un lado y descender por elopuesto, suponiendo que el esfuerzo que realiza durante el da, essiempre el mismo (noche = da, es decir 12 horas trabajando y 12 horasreposando).

(Hipotticamente, lacima de la tapia es fina,como el filo de un cuchillo,por lo que el caracol nopuede quedar parado enella).




LA CADENA.

Tengo 6 trozos de cadena, cada uno de 4 eslabones, y quiero hacercon todos ellos una nica cadena. El joyero me cobra 50 pts por soldarun eslabn y 10 pts. por cortarlo. Cul ser el menor precio que podrpagar por unir la cadena?




EL EXPLORADOR.

Cuntos porteadores necesitar un explorador para hacer un viajede 6 das a travs del desierto, si cada persona puede llevar alimentos ybebida para abastecerse durante 4 das?




LA EXCURSIN.

a). Los treinta alumnos de una clase van a realizar una excursincuyo precio final es una cantidad fija.

Una semana antes de la salida se han borrado cinco alumnos, enqu porcentaje se incrementa lo que paga cada uno?

b). En otra clase, tambin de treinta estudiantes, no slo no se borranadie, sino que se han apuntado tres ms.

Considerando que tambin en este caso el precio establecido deltotal del viaje es fijo, qu porcentaje se ahorrar de su precio cada unode los asistentes?




TAKAS Y TIKIS.

La maravillosa isla de Sin est poblada por dos tribus, los TAKASque siempre mienten y los TIKIS que por el contrario, siempre dicen laverdad.

Un explorador que viajaba por la isla se encontr a tres indgenas yles pregunt a qu tribu pertenecan.

El primer indgena contest tan bajo queel explorador no oy.

El segundo dijo sealando al primero. hadicho que es TAKA.

El tercero interpel al segundo diciendo:"t eres un mentiroso!"

De qu raza es el tercer indgena?




EL MAYOR PRODUCTO.

Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6 escribe dos nmeros de tres cifrascada uno cuyo producto sea lo mayor posible. Hay que usarlas todas.




EL SORTEO.

Estoy a punto de mandar 10 cartas a un concurso. Suponiendo queen cada sorteo semanal se elegir una sola carta de entre mil, qu meconviene ms: mandar todas la misma semana, cada una en semanadistinta o qu?




EL AGUA Y EL VINO.

Dos jarras contienen un litro de agua y un litro de vino,respectivamente. Sacamos una cucharada de vino de la jarra de vino y lavolcamos en la jarra de agua. Despus de revolver la mezcla, con lamisma cuchara sacamos una cucharada de mezcla y la volcamos en lajarra de vino. Es decir, que ahora las jarras tienen de nuevo un litro cadauna de agua con vino y de vino con agua, respectivamente. En estepunto: qu hay ms agua en la jarra de vino o vino en la jarra de agua?




QU NMERO!

Encontrar el menor nmero que dividido entre 2 d de resto 1,dividido entre 3 d de resto 2, dividido entre 4 d de resto 3, divididoentre 5 d de resto 4, dividido entre 6 d de resto 5, dividido entre 7 dde resto 6, dividido entre 8 d de resto 7, y dividido entre 9 d de resto8.




ENAMORADOS.

En un grupo de tres chicos y tres chicas cada uno est enamoradode una persona del sexo opuesto.

Qu posibilidad hay de que unosea correspondido?

Y dos?

Y todos?

Y si fueran seis chicos y seis chicas?




EL CAMPESINO.

Un campesino, que tiene una gran extensin de terreno, quiereplantar el mximo nmero de rboles de forma que cada uno equidistede todos los dems.

Cuntos plantar?




EL TRINGULO.

Tenemos un tringulo cuyos lados son nmeros enterosconsecutivos y uno de los ngulos es el doble que el otro.

Calcular los lados y ngulos de dicho tringulo.




MSICA MAESTRO.

Distinta letra, distinto dgito:

DO+RE+MI+FA+LA+SI=SOL




NMEROS CURIOSOS.

Fjate en los siguiente nmeros:

12=144 21=441 y 13=169 31=961.

Encuentra otros nmeros de dos cifras que cumplan la mismapropiedad.




LA BARAJA.

Tenemos una baraja de 48 cartas (4 palos de 12 cartas) cuntas hede levantar para estar seguro de tener 7 del mismo palo?




EL DA DE REYES.

Cada letra una cifra

SEIS + DE + ENERO = REYES




LA CENA DE NOCHEVIEJA.

Ocho personas se reunieron para la cena de Nochevieja el 31 dediciembre de 1999. Mientras se ponan de acuerdo sobre el lugar queocupara cada uno, alguien sugiri:

- "Sentmonos tal como estamos ahora y, para que nadie se queje,cada Nochevieja cambiaremos de lugar y nos sentaremos en un sitiodistinto hasta haber agotado todas las combinaciones posibles".

Si hubieran aceptado la sugerencia, en qu fecha celebraran suultima cena?




EL AGUA Y EL HIELO.

En un recipiente lleno de agua hasta el borde, flotaun cubito de hielo de 10 gramos.

Sabiendo que la densidad de agua es 1 y la delhielo 0,9 (lo que quiere decir que el litro de agua pesaun kg. mientras el litro de hielo pesa 900 gramos),cunta agua se derramar al disolverse el cubito dehielo?




LOS NMEROS.

El producto de cuatro nmeros enteros consecutivos es 3.024.Cules son estos nmeros?

a x b x c x d = 3024




LA EDAD.

Qu edad tendr una persona en el ao2.000 sabiendo que esa edad ser igual a lasuma de las cuatro cifras de su ao denacimiento?


122


PIO NIRO.

En una lpida poda leerse esta inscripcin:

A qu edad muri?

AQU YACE PIO NIRO,MUERTO EN 1.971,

VIVI TANTOS AOSCOMO LA SUMA DE LASCIFRAS DEL AO DE SU

NACIMIENTO100 Problemas matemticos



BIBLIOGRAFA

ALEM, J.P. (1984) - Juegos de ingenio y entretenimiento matemtico.Editorial Gedisa S.A. - Barcelona

BAILLIF, J.C. (1987) - Los rompecabezas lgicos de Baillif. EditorialRevert S.A. Barcelona

BOLT, B. (1988) - Divertimentos matemticos. Editorial Labor S.A.-Barcelona.

BOLT, B. (1989) - Actividades matemticas. Editorial Labor S.A.-Barcelona.

BOLT, B. (1989) - An ms actividades matemticas. Editorial LaborS.A.- Barcelona.

BOLT, B. (1989) - Ms actividades matemticas. Editorial Labor S.A.-Barcelona.

BOLT, B. (1991) - 101 proyectos matemticos. Editorial Labor S.A.-Barcelona.

CORBALAN, F. y GAIRIN, J.M. (1986). -Problemas a m. 3volmenes. Editorial Edinumen. - Alcal de Henares

FABRETTI, C. (1999) - El libro del genio matemtico. EdicionesMartnez Roca S.A. - Barcelona

GADNER, M. (1983) Circo matemtico. Alianza Editorial S.A. Madrid.

GADNER, M. (1983) Paradojas Aj!. Editorial Labor S.A. Barcelona

GADNER, M. (1984) Festival mgico-matemtico. Alianza EditorialS.A. Madrid.

GUZMN, M. de (1988) Aventuras matemticas. Editorial LaborS.A. Barcelona

HOLT, M. (1988) - Matemticas recreativas 2. Ediciones Martnez RocaS.A. - Barcelona

HOLT, M. (1988) - Matemticas recreativas 3. Ediciones Martnez RocaS.A. - Barcelona

MATAIX, M. (1981) Cajn de sastre matemtico. Marcombo Editores Barcelona

MATAIX, M. (1988) Divertimentos lgico-matemticos. MarcomboEditores Barcelona

MATAIX, M. (1988) El discreto encanto de las matemticas.Marcombo Editores Barcelona



MORA, J. A. /1994) - Calculadoras II. Proyecto Sur de Ediciones S.A.L.- Granada

PERELMN, Ya. J.(1975) - Matemticas recreativas. EdicionesMartnez Roca S.A. - Barcelona

PERELMN, Ya. J.(1975) -Problemas y experimentos recreativos.Editorial Mir. - Mosc

SMULLYAN, R. (1.991) - Cmo se llama este libro? EdicionesCtedra Madrid

FISCHER, R. Y V.A. (1990) Investigando las matemticas . 4volmenes. Ediciones Akal S.A. Madrid

CALABRIA, M. (1990) Juegos matemticos. Ediciones Akal Madrid

RODRGUEZ, R. (1983) Diversiones matemticas. Editorial RevertS.A. Barcelona

Germn Bernabeu SoriaCEFIRE de ELDAINDICEProblemas:PRLOGOINTRODUCCIN

LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS.El nmero 30 es fcil expresarlo comoEntre los vrtices A y B podemos desplazarnos, sin retroceder, de 6 maneras diferentes, a las que llamaremos caminos.Divisores de 220: 110, 55, 44, 22, 20, 11, 10, 5, 4, 2 y 1Los sumamos 110 + 55 + 44 + 22 + 11 + 10 + 5 + 4 + 2 + 1 = 284Divisores de 284: 142, 71, 4, 2 y 1

Una forma de obtener el nmero 6 es sumando tres doses, es decir

Distinta letra, distinto dgito:DO+RE+MI+FA+LA+SI=SOLEncuentra otros nmeros de dos cifras que cumplan la misma propiedad.Cada letra una cifra

SEIS + DE + ENERO = REYES

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