01.Metode Penenelitian_Konsep Dasar Penelitian_PuguhBIrawan 01022014
09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix
-
Upload
robbypratama -
Category
Documents
-
view
216 -
download
0
Transcript of 09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix
-
8/18/2019 09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix
1/29
Hence Michael Wuaten
Metode Elemen Hingga
12
CHAPTER 3
3.1 Umum
Analisis struktur bukan merupakan tahapan akhir dalam sebuah proses perancangan, tetapi
merupakan alat yang digunakan untuk mendukung proses perancangan dari sebuah struktur. Tujuan
utama dari analisis struktur adalah untuk membantu dalam membuat keputusan-keputusan penting
dalam proses perancangan struktur. Pada umumnya hasil dari suatu proses analisis struktur pada
sebuah struktur yang menerima beban-beban yang bekerja, adalah berupa respon struktur tersebut yang
berbentuk perubahan posisi elemen atau bentuk konfigurasi struktur. Gaya-gaya internal yang terjadi
pada elemen-elemen struktur dapat berupa gaya aksial, gaya geser, momen lentur dan momen torsi.
Sedangkan secara umum, analisis struktur dapat dilakukan berdasarkan tiga hal berikut ini (Suhendro,
2000) :
1. Menentukan hubungan antara aksi (action) dan deformasi (deformation) yang terjadi pada
struktur yang dikenal dengan persamaan konstitutif (constitutive laws).
2. Pertimbangan secara kinematis dari struktur yang terdeformasi (compactibility).
3. Keseimbangan (equilibrium) antara gaya-gaya yang bekerja (applied forces) dan gaya-gaya
dalam (internal forces).
Dalam analsis struktur terdapat dua metode utama yang dikenal secara umum, yaitu metode
fleksibilitas dan metode kekakuan. Kedua metode tersebut mempunyai cara dan sistem tersendiri dalam
penyelesaiannya.
3.2 Transformasi Matrix
3.2.1 Tata Sumbu Lokal dan Global
Di dalam analisis struktur dengan metode matrix, sering dihadapi keadaan dimana suatu vektor
dan komponen-komponennya diketahui pada suatu tata sumbu dan ingin diketahui komponen-
komponennya pada suatu tata sumbu yang lain berdasarkan orentasi tertentu terhadap tata sumbu yang
pertama. Komponen-komponen di arah tata sumbu kedua, merupakan fungsi dari komponen-komponendi arah tata sumbu pertama dan arah tata sumbu yang kedua relatif terhadap arah tata sumbu yang
pertama.
Sebagai contoh, bahwa dalam pemodelan diskrit dari sebuah struktur sering kali diinginkan bahwa
masing-masing elemen mempunyai tata sumbu yang bersifat lokal, sehingga memberikan kemudahan
dalam penentuan matrix kekakuannya. Perhitungan matrix kekakuan elemen atau batang dapat
dilakukan dengan memasukan komponen panjang, inersia dan elastisitas dari elemen yang ditinjau ke
dalam bentuk matrix kekakuan elemen yang ada. Sedangkan, untuk dapat menyusun sebuah matrix
kekakuan struktur secara keseluruhan, dibutuhkan suatu tata sumbu yang bersifat global. Dimana, tata
sumbu global sangat tergantung dari geometri struktur dan masing-masing tata sumbu lokal yang
mempunyai orentasi tersendiri terhadap tata sumbu global (Hariandja, 1997).
-
8/18/2019 09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix
2/29
Hence Michael Wuaten
Metode Elemen Hingga
13
CHAPTER 3
3.2.2 Perjanjian Tanda
Untuk kemudahan dan keseragaman, maka sebaiknya memperhatikan pemberian tanda dan arah
gaya sehingga dalam proses penyusunan dan perhitungan tidak terjadi kekeliruan, akibat inkonsistensi
dari perjanjian tanda dan arah gaya.
3.3 Metode Matrix Kekakuan
3.3.1 Definisi Metode Kekakuan
Metode kekakuan (stiffness method) atau dikenal juga dengan nama metode perpindahan
(displacement method), merupakan metode yang bertujuan untuk mencari besarnya displacement yang
terdiri dari translasi dan rotasi pada struktur sebagai variabel utama yang dicari terlebih dahulu, kemudian
dilanjutkan dengan mencari besarnya nilai-nilai gaya dalam (internal forces) dan reaksi perletakan yang
terjadi pada struktur. Secara berurutan persamaan-persamaan yang digunakan dalam metode ini,
merupakan formulasi dari persamaan aksi-deformasi, persamaan keseimbangan dan persamaan
kompaktibilitas (Suhendro, 2000).
Metode matrix kekakuan terdiri dari dua macam, yaitu matrix kekakuan relatif dan matrix kekakuan
langsung. Kedua metode ini, didasarkan pada metode perpindahan yang disusun dalam sebuah
formulasi matrix kekakuan. Dalam buku ini, hanya akan di bahas secara singkat mengenai metode
kekakuan langsung yang sangat popular penggunaannya. Sedangkan untuk mempelajari metode
kekakuan relatif dan metode fleksibilitas, maka dapat membaca buku-buku rujukan dalam daftar pustaka.
3.4 Metode Kekakuan Langsung
Metode ini didasarkan pada konsep kekakuan (stiffness) dan mempunyai prosedur perhitungan
sistematis yang harus dilakukan. Adapun prosedur perhitungan dengan metode kekakuan langsung
adalah sebagai berikut :
1. Semua kekakuan elemen dalam bentuk matrix kekakuan dan dievaluasi sesuai dengan
hubungan antara aksi dan deformasi dengan referensi koordinat local elemen tersebut.
2. Matrix kekakuan lokal di transformasikan ke dalam sistem koordinat global.
3. Matrix kekakuan elemen-elemen dalam koordinat global disuperposisikan dengan
mempertimbangkan syarat kompaktibilitas menjadi matrix kekakuan struktur.
4. Akibat beban yang bekerja pada struktur, maka dapat disusun vektor gaya dengan referensi
koordinat global.
5. Kondisi batas perpindahan (boundary condition of displacement) pada titik-titik nodal
perpindahan, maupun kondisi batas gaya pada titik-titik nodal bebas, diformulasikan dalam
bentuk vektor displacement dan vektor gaya. Selanjutnya dilakukan proses kondensasi statik
untuk mendapatkan matrix kekakuan dari struktur yang tereduksi.
6. Matrix kekakuan struktur yang tereduksi tersebut, kemudian menghasilkan persamaan
keseimbangan struktur yang apabila diperoleh solusinya, maka akan menghasilkan
displacement yang terjadi di setiap titik nodal dan selanjutnya besarnya reaksi perletakan di
setiap titik nodal dapat diperoleh.
-
8/18/2019 09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix
3/29
Hence Michael Wuaten
Metode Elemen Hingga
14
CHAPTER 3
7. Tahapan terakhir adalah perhitungan terhadap besarnya gaya-gaya dalam dan tegangan-
tegangan dalam yang terjadi pada setiap elemen struktur yang dihitung.
Selain mengikuti langkah-langakah dalam proses perhitungan di atas, terdapat angapan-anggapan
dasar yang digunakan dalam metode matrix kekakuan langsung, yaitu :
1. Material struktur dianggap berperilaku elastis linier, sehingga prinsip hukum Hooke masihberlaku.
2. Displacement yang terjadi pada struktur dianggap relatif sangat kecil, apabila dibandingkan
dengan dimensi ataupun panjang bentang dari struktur yang dianalisis, sehingga persamaan
keseimbangan dapat ditentukan berdasarkan geometri struktur, sebelum struktur tersebut
mengalami deformasi.
3. Interaksi antara pengaruh gaya aksial dan lentur diabaikan.
4. Elemen-elemen struktur bersifat prismatis dan terbuat dari bahan yang homogen.
3.4.1 Matrix Kekakuan Elemen Rangka
Matrix kekakuan elemen dapat diberi notasi ]k[)e(
l . Matrix kekakuan elemen dapat didefinisikan
dengan mengenali sudut dari setiap elemen yang ditinjau, sehingga hubungan antara aksi dan
deformasi pada elemen-elemen tersebut dapat diformulasikan secara umum dalam koordinat lokalnya
sebagai berikut :
i j
vi, gi v j, g jui, f i u j, f j
x
y
L
A,E
Gambar 3.1 Matrix kekakuan elemen
Dari gambar di atas terlihat sebuah elemen dengan panjang (L), luas penampang elemen (A) dan
modulus elastisitas penampang (E). Pada elemen tersebut terdapat displacement aksial pada titik nodal i
dan j (ui, u j), displacement arah tegak lurus sumbu batang pada titik nodal i dan j (vi, v j), gaya aksial pada
titik nodal i dan j yang sesuai dengan ui, u j (f i, f j) serta gaya tegak lurus sumbu batang di titik nodal i dan j
yang sesuai dengan vi, v j (gi, g j). Dimana, masing-masing komponen tersebut dapat diuraikan menjadi :
f i = j jii v.ouL
AEv.ou
L
AE gi = j jii v.ou.ov.ou.o
f j = j jii v.ouL
AEv.ou
L
AE g j = j jii v.ou.ov.ou.o
Persamaan hubungan antara aksi dan deformasi elemen dalam sistem koordinat lokalnya tersebut,
diperoleh berdasarkan prinsip superposisi.
-
8/18/2019 09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix
4/29
Hence Michael Wuaten
Metode Elemen Hingga
15
CHAPTER 3
Persamaan di atas, dapat ditulis ulang dalam bentuk matrix sebagai berikut :
j
j
i
i
g
f
g
f
=
0000
0L
AE0
L
AE0000
0L
AE0
L
AE
.
j
j
i
i
v
u
v
u
(3.1)
Persamaan keseimbangan elemen pada koordinat lokal adalah :
{ )e(f } = [)e(
lk ] . {)e(u } (3.2)
Dimana :
{ )e(f } = vektor gaya pada koordinat lokal.
[)e(
lk ] = matrix kekakuan elemen rangka pada koordinat lokal.
{ )e(u } = vektor displacement pada koordinat lokal.
(e) = subscript e menunjukan elemen yang ditinjau.Dalam bentuk yang lebih spesifik, matrix kekakuan elemen rangka pada koordinat lokal dapat
ditulis dalam bentuk :
[)e(
lk ] =L
AE.
0000
0101
0000
0101
(3.3)
3.4.2 Transformasi Koordinat Elemen Rangka
Apabila pada titik nodal i dari elemen mengalami perpindahan i’ dalam bidang x-y, maka vektor
displacement yang menghubungkan titik i ke i’ dapat diuraikan menjadi komponen dalam arah sumbu x
dan y lokal dan diberi notasi ui dan u j. Vektor displacement tersebut, juga dapat diuraikan menjadi
komponen dalam arah sumbu X dan Y global dan diberi notasi U i dan Vi. Hubungan antara komponen-
komponen tersebut dapat dituliskan dalam bentuk matrix sebagai berikut :
j
j
i
i
v
u
v
u
=
cossin00
sincos00
00cossin
00sincos
.
j
j
i
i
V
U
V
U
(3.4)
Atau dalam bentuk :
{ eu } = [ eT ] . { eU } (3.5)
Dimana :
{ eu } = vektor displacement pada koordinat lokal.
[ eT ] = matrix transformasi.
{ eU } = vektor displacement pada koordinat global.
Untuk vektor gaya, serupa dengan vektor displacement dan dapat dituliskan dalam bentuk :
-
8/18/2019 09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix
5/29
Hence Michael Wuaten
Metode Elemen Hingga
16
CHAPTER 3
j
j
i
i
g
f
g
f
=
cossin00
sincos00
00cossin
00sincos
.
j
j
i
i
G
F
G
F
(3.6)
Atau dalam bentuk :
{ )e(f } = [ )e(T ] . { )e(F } (3.7)
Dimana :
{ )e(f } = vektor gaya pada koordinat lokal.
[ )e(T ] = matrix transformasi.
{ )e(F } = vektor gaya pada koordinat global.
Sebagai catatan, bahwa matrix [ eT ] dikenal dengan matrix transformasi dan memiliki sifat
ortogonal, yaitu transpose matrix tersebut sama dengan inversnya dan determinannya sama dengan
satu.
3.4.3 Matrix Kekakuan Global Rangka
Matrix kekakuan global rangka atau diberi notasi ]k[)e(
g didapat dari hasil subtitusi persamaan
(3.5) dan persamaan (3.7) ke dalam persamaan (3.2) :
{ )e(f } = [)e(
lk ] {)e(u }
[ )e(T ] { )e(F } = [)e(
lk ] [)e(T ] { )e(U }
Dengan memprakalikan antara ruas kanan dan ruas kiri persamaan dengan [
)e(
T ]-1
:
[ )e(T ]-1 [ )e(T ] { )e(F } = [ )e(T ]-1 [)e(
lk ] [)e(T ] { )e(U }
Dan mengingat bahwa :
[ )e(T ]-1 [ )e(T ] = [I]
[ )e(T ]-1 = [ )e(T ]T
Maka :
{ )e(F } = ([ )e(T ]-1 [)e(
lk ] [)e(T ]) { )e(U } (3.8)
Atau :
{ )e(F } = [)e(
gk ] {)e(U } (3.9)
Persamaan di atas merupakan persamaan keseimbangan elemen dalam koordinat global,
sehingga matrix kekakuan elemen dalam koordinat global :
[)e(
gk ]= [)e(T ]T [
)e(lk ] [
)e(T ] (3.10)
Atau dalam bentuk lain :
[)e(
gk ]=
22
22
22
22
sincos.sinsincos.sin
cos.sincoscos.sincos
sincos.sinsincos.sin
cos.sincoscos.sincos
-
8/18/2019 09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix
6/29
Hence Michael Wuaten
Metode Elemen Hingga
17
CHAPTER 3
3.4.4 Overall Stif fness Matr ix
Persamaan (4.9) mempunyai bentuk lain, yaitu :
j
j
i
i
G
F
G
F
=
44434241
34333231
24232121
14131211
kkkkkkkk
kkkk
kkkk
.
j
j
i
i
V
U
V
U
(3.11)
Dalam formulasi secara keseluruhan (overall simulation) persamaan (3.11) setelah disesuaikan
dengan urutannya dengan derajat kebebasan lain menjadi :
i21i2 j21 j2
... j2
...1 j2
....
....
...i2
...1i2
j
j
i
i
GF
.
.
G
F
=
44434241
34333231
24232221
14131211
kk..kk
kk..kk
......
......
kk..kk
kk..kk
.
j
j
i
i
VU
.
.
V
U
(3.12)
Setelah kontribusi semua elemen diperhitungkan, maka persamaan keseimbangan struktur dalam
koordinat global dapat dituliskan dalam bentuk :
{F} = [K] . {U} (3.13)
Dimana :
{F} = overall force vector dalam koordinat global dan berorde (2n x 1).
[K] = overall stiffness matrix dalam koordinat global dan berorde (2n x 2n).
{U} = overall displacement vector dalam koordinat global dan berorde (2n x 1).
n = jumlah titik nodal dalam struktur.
3.4.5 Kondisi Batas Displacement dan Gaya
Persamaan (3.13) setelah di tata ulang (rearrangement) sesuai dengan kondisi batasnya, maka
dapat ditulis ulang secara simbolis dalam bentuk :
r
e
F
F=
2221
1211
kk
kk.
k
u
U
U(3.14)
Dengan :
{Fe} = prescribed external force vector , sesuai kondisi batas gaya.
{Fr } = uknown reaction vector .
{Uu} = uknown displacement vector .
{Uk} = known displacement vector , sesuai kondisi batas gaya.
[kij] = sub matrix overall stiffness matrix (i = 12 ; j = 12).
3.4.6 Uknwon Displacement dan Reaksi Perletakan
Persamaan (3.14) dapat ditulis dalam bentuk :
{Fe} = [k11] . {Uu} + [k12] . {Uk} (3.15)
{Fr } = [k21] . {Uu} + [k22] . {Uk} (3.16)
-
8/18/2019 09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix
7/29
Hence Michael Wuaten
Metode Elemen Hingga
18
CHAPTER 3
Dari persamaan (3.15), maka dapat diperoleh displacement yang tidak diketahui (the uknown
displacement ) dalam bentuk invers sebagai berikut :
{Uu} = [k11]-1 . ({Fe} – [ k12] . {Uk}) (3.17)
Persamaan di atas merupakan (the reduced equilibrium equations) dan dengan memasukan nilai-
nilai {Uu} ke dalam persamaan (3.16), maka dapat diperoleh vektor reaksi yang tidak diketahui (theuknown reaction) {Fr }. Pada umumnya, apabila semua tumpuan tidak mengalami perubahan tempat
akibat adanya penurunan (settlement), maka vektor {Uk} = {0}, sehingga masalahnya menjadi jauh lebih
sederhana yaitu :
{Fe} = [k11] . {Uu} (3.18)
{Fr } = [k21] . {Uu} (3.19)
{Uu} = [k11]-1 . ({Fe}) (3.20)
3.4.7 Gaya Batang (Memb er Forces)
Gaya-gaya dalam yang terjadi pada setiap elemen dapat diperoleh dengan cara memasukan
persamaan (3.9) ke dalam persamaan (3.7)
{ )e(f } = [ )e(T ] . { )e(F } (3.21)
{ )e(f } = [ )e(T ] [)e(
gk ] [)e(U ] (3.22)
Dengan :
{ )e(f } =
j
j
i
i
g
f
g
f
[ )e(U ] =
j
j
i
i
V
U
V
U
Sebagai catatan, karena { )e(f } yang diperoleh dari persamaan (3.22) merupakan vektor gaya dari
suatu elemen pada koordinat lokal, maka hasilnya termasuk tanda harus diinterpretasikan berdasarkan
sistem koordinat lokal dari elemen tersebut. Untuk lebih jelasnya lagi dapat melihat contoh di bawah ini.
Contoh 4.1 :
Diketahui sebuah struktur rangka yang merupakan struktur papan panjat tebing seperti tergambar.
Apabila diketahui penampang batang seragam A = 50 cm2, maka hitunglah gaya-gaya batang yang
bekerja pada struktur tersebut ?
-
8/18/2019 09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix
8/29
Hence Michael Wuaten
Metode Elemen Hingga
19
CHAPTER 3
Gambar 3.2 Struktur rangka dua dimensi
Penyelesaian :
Perhitungan panjang elemen :
L1 =22 3,20,6 = 6,4257 m
L4 =22 3,60,6 = 8,7000 m
L5 =22 0,40,6 = 7,2111 m
Gambar 3.3 Penomoran struktur rangka dua dimensi
-
8/18/2019 09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix
9/29
Hence Michael Wuaten
Metode Elemen Hingga
20
CHAPTER 3
Perhitungan sudut belahan :
Gambar 3.4 Sudut belahan elemen
1 = 360 – sin-1
4257,6
3,2= 339,02640
4 = 90 – cos-1
7000,86 = 43,60280
5 = 90 – sin-1
2111,7
4= 56,30990
Tabel 3.1 Data struktur rangka
ElemenUjung Batang
α cos α sin αi j
1 2 3 339,02640 0,9337 -0,3579
2 4 2 00 1 0
3 4 3 900 0 1
4 4 1 43,60280 0,7241 0,6897
5 2 1 56,30990 0,5547 0,8321
6 3 1 00 1 0
Perhitungan matrix kekakuan elemen [)e(
lk ] :
[
)e(
lk ] = L
E. A
.
0000
0101
0000
0101
[)1(
lk ] =57,642
E.50.
0000
0101
0000
0101
=
0000
00778,000778,0
0000
00778,000778,0
E
[)2(
lk ] =00,230
E.50.
0000
0101
0000
0101
=
0000
02174,002174,0
0000
02174,002174,0
E
-
8/18/2019 09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix
10/29
Hence Michael Wuaten
Metode Elemen Hingga
21
CHAPTER 3
[)3(
lk ] =00,600
E.50.
0000
0101
0000
0101
=
0000
00833,000833,0
0000
00833,000833,0
E
[)4(
lk ] =00,870
E.50.
0000
0101
00000101
=
0000
00575,000575,0
000000575,000575,0
E
[)5(
lk ] =11,721
E.50.
0000
0101
0000
0101
=
0000
00693,000693,0
0000
00693,000693,0
E
[ )6(lk ] =00,630E.50 .
0000
01010000
0101
=
0000
00794,000794,00000
00794,000794,0
E
Perhitungan matrix transformasi elemen [ )e(T ] :
]T[ )e( =
cossin00
sincos00
00cossin
00sincos
]T[ )1( =
9337,03579,000
3579,09337,000009337,03579,0
003579,09337,0
T)1( ]T[ =
9337,03579,000
3579,09337,000009337,03579,0
003579,09337,0
]T[ )2( =
1000
0100
0010
0001
T)2( ]T[ =
1000
0100
0010
0001
]T[ )3( =
01001000
0001
0010
T)3( ]T[ =
01001000
0001
0010
]T[ )4( =
7241,06897,000
6897,07241,000
007241,06897,0
006897,07241,0
T)4( ]T[ =
7241,06897,000
6897,07241,000
007241,06897,0
006897,07241,0
]T[ )5( =
5547,08321,000
8321,05547,000
005547,08321,0
008321,05547,0
T)5( ]T[ =
5547,08321,000
8321,05547,000
005547,08321,0
008321,05547,0
-
8/18/2019 09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix
11/29
Hence Michael Wuaten
Metode Elemen Hingga
22
CHAPTER 3
]T[ )6( =
1000
0100
0010
0001
T)6( ]T[ =
1000
0100
0010
0001
Perhitungan matrix kekakuan global ]k[)e(
g :
]k[)1(
g =T)1( ]T[ . ]k[
)1(l . ]T[
)1(
]k[)1(
g =
9337,03579,000
3579,09337,000
00930,03579,0
003579,09337,0
0000
00778,000778,0
0000
00778,000778,0
E
9337,03579,0003579,09337,000
00930,03579,0
003579,09337,0
=
0100,00260,00100,00260,0
0260,00678,00260,00678,0
0100,00260,00100,00260,0
0260,00678,00260,00678,0
E
]k[)2(
g =T)2( ]T[ . ]k[
)2(l . ]T[
)2(
]k[)2(
g =
1000
0100
0010
0001
0000
02174,002174,0
0000
02174,002174,0
E
1000
0100
0010
0001
=
0000
02174,002174,0
0000
02174,002174,0
E
]k[)3(
g =T)3( ]T[ . ]k[
)3(l . ]T[
)3(
]k[)3(
g =
0100
1000
0001
0010
0000
00833,000833,0
0000
00833,000833,0
E
0100
1000
0001
0010
=
0833,000833,00
0000
0833,000833,00
0000
E
-
8/18/2019 09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix
12/29
Hence Michael Wuaten
Metode Elemen Hingga
23
CHAPTER 3
]k[)4(
g =T)4( ]T[ . ]k[
)4(l . ]T[
)4(
]k[)4(
g =
7241,06897,000
6897,07241,000
007241,06897,0
006897,07241,0
0000
00575,000575,0
0000
00575,000575,0
E
7241,06897,000
6897,07241,000
007241,06897,0
006897,07241,0
=
0274,00287,00274,00287,0
0287,00301,00287,00301,0
0274,00287,00274,00287,0
0287,00301,00287,00301,0
E
]k[)5(
g =T)5( ]T[ . ]k[
)5(l . ]T[
)5(
]k[)5(
g =
5547,08321,000
8321,05547,000
005547,08321,0
008321,05547,0
0000
00693,000693,0
0000
00693,000693,0
E
5547,08321,000
8321,05547,000
005547,08321,0
008321,05547,0
=
0480,00320,00480,00320,0
0320,00213,00320,00213,0
0480,00320,00480,00320,0
0320,00213,00320,00213,0
E
]k[)6(
g =T)6( ]T[ . ]k[
)6(l . ]T[
)6(
]k[)6(
g =
1000
0100
0010
0001
0000
00794,000794,0
0000
00794,000794,0
E
1000
0100
0010
0001
=
0000
00794,000794,0
0000
00794,000794,0
-
8/18/2019 09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix
13/29
Hence Michael Wuaten
Metode Elemen Hingga
24
CHAPTER 3
1 2 3 4
U1 V1 U2 V2 U3 V3 U4 V4
+0,0301
+0,0213
+0,0794
+0,0287
+0,0320
0
-0,0213 -0,0320 -0,0794 0 -0,0301 -0,0287 U1
1+0,0287
+0,0320
0
+0,0274
+0,0480
0
-0,0320 -0,0480 0 0 -0,0287 -0,0274 V1
-0,0213 -0,0320
+0,0678
+0,2174
+0,0213
-0,0260
0
+0,0320
-0,0678 +0,0260 -0,2174 0 U2
2
-0,0320 -0,0480
-0,0260
0
+0,0320
+0,0100
0
+0,0480
+0,0260 -0,0100 0 0 V2
-0,0794 0 -0,0678 +0,0260
+0,0678
0
+0,0794
-0,0260
0
0
0 0 U3
3
0 0 +0,0260 -0,0100
-0,0260
0
0
+0,0100
+0,0833
0
0 -0,0833 V3
-0,0301 -0,0287 -0,2174 0 0 0
+0,2174
0
+0,0301
0
0
+0,0287
U4
4
-0,0287 -0,0274 0 0 0 -0,0833
0
0
+0,0287
0
+0,0833
+0,0274
V4
Overall stiffness matrix :
4
4
3
3
2
2
1
1
G
F
G
F
G
F
G
F
=
1107,00287,00833,00000274,00287,0
0287,02174,00002174,00287,00301,0
0833,000933,00260,00100,00260,000
000260,01472,00260,00678,000794,0
000100,00260,00580,00060,00480,00320,0
02174,00260,00678,00060,03065,00320,00213,0
0274,00287,0000480,00320,00754,00607,0
0287,00301,000794,00320,00213,00607,01308,0
4
4
3
3
2
2
1
1
V
U
V
U
V
U
V
U
-
8/18/2019 09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix
14/29
Hence Michael Wuaten
Metode Elemen Hingga
25
CHAPTER 3
Penataan ulang matrix (rearrangement) :
4
4
3
3
G
F
G
F
0
0
8000
0
=
1107,00287,00833,00000274,00287,0
0287,02174,00002174,00287,00301,0
0833,000933,00260,00100,00260,000
000260,01472,00260,00678,000794,0
000100,00260,00580,00060,00480,00320,0
02174,00260,00678,00060,03065,00320,00213,0
0274,00287,0000480,00320,00754,00607,0
0287,00301,000794,00320,00213,00607,01308,0
0
0
0
0
V
U
V
U
2
2
1
1
Kondisi batas displacement dan gaya :
r
e
F
F=
2221
1211
kk
kk.
k
u
U
U
4
4
3
3
2
2
1
1
G
F
G
F
G
FG
F
=
1107,00287,00833,00000274,00287,0
0287,02174,00002174,00287,00301,0
0833,000933,00260,00100,00260,000
000260,01472,00260,00678,000794,0
000100,00260,00580,00060,00480,00320,0
02174,00260,00678,00060,03065,00320,00213,00274,00287,0000480,00320,00754,00607,0
0287,00301,000794,00320,00213,00607,01308,0
4
4
3
3
2
2
1
1
V
U
V
U
V
UV
U
Uknown displacement :
{Uu} = [k11]-1 . ({Fe})
2
2
1
1
V
U
VU
=
1
0580,00060,00480,00320,0
0060,03065,00320,00213,0
0480,00320,00754,00607,00320,00213,00607,01308,0
.
2
2
1
1
G
F
GF
=
1
0580,00060,00480,00320,0
0060,03065,00320,00213,0
0480,00320,00754,00607,0
0320,00213,00607,01308,0
.
0
0
8000
0
=
9518,221820
0053,23965
4379,336289
2432,97890
Reaksi perletakan :
{Fr } = [k21] . {Uu}
4
4
3
3
G
F
G
F
=
000274,00287,0
02174,00287,00301,0
0100,00260,000
0260,00678,000794,0
2
2
1
1
V
U
V
U
-
8/18/2019 09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix
15/29
Hence Michael Wuaten
Metode Elemen Hingga
26
CHAPTER 3
=
000274,00287,0
02174,00287,00301,0
0100,00260,000
0260,00678,000794,0
9518,221820
0053,23965
4379,336289
2432,97890
=
8806,6404
0027,11915
1194,15950027,11915
Kontrol :
V = F3 + F4
= 0
H = G3 + G4 – P
= 0
Perhitungan gaya batang :
}f { )e( = ]T[ )e( ]k[)e(
g ]U[)e(
}f { )1( = ]T[ )1( ]k[)1(
g ]U[)1(
3
3
2
2
g
f
g
f
=
9337,03579,000
3579,09337,000
009337,03579,0
003579,09337,0
0100,00260,00100,00260,0
0260,00678,00260,00678,0
0100,00260,00100,00260,0
0260,00678,00260,00678,0
E
3
3
2
2
V
U
V
U
=
9337,03579,000
3579,09337,000
009337,03579,0
003579,09337,0
0100,00260,00100,00260,0
0260,00678,00260,00678,0
0100,00260,00100,00260,0
0260,00678,00260,00678,0
E
0
0
9518,221820
0053,23965
=
7560,6
7617,4438
7560,6
7617,4438
E
}f { )2( = ]T[ )2( ]k[)2(
g ]U[)2(
2
2
4
4
g
f
g
f
=
1000
0100
0010
0001
0000
02174,002174,0
0000
02174,002174,0
E
2
2
4
4
V
U
V
U
-
8/18/2019 09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix
16/29
Hence Michael Wuaten
Metode Elemen Hingga
27
CHAPTER 3
=
1000
0100
0010
0001
0000
02174,002174,0
0000
02174,002174,0
E
9518,221820
0053,23965
0
0
=
0
9922,5209
09922,5209
E
}f { )3( = ]T[ )3( ]k[)3(
g ]U[)3(
3
3
4
4
g
f
g
f
=
0100
1000
0001
0010
0833,000833,00
0000
0833,000833,00
0000
E
3
3
4
4
V
U
V
U
=
0100
1000
0001
0010
0833,000833,00
0000
0833,000833,00
0000
E
0
0
0
0
=
0
0
0
0
}f {
)4(
= ]T[
)4(
]k[
)4(
g ]U[
)4(
1
1
4
4
g
f
g
f
=
7241,06897,000
6897,07241,000
007241,06897,0
006897,07241,0
0274,00287,00274,00287,0
0287,00301,00287,00301,0
0274,00287,00274,00287,0
0287,00301,00287,00301,0
E
1
1
4
4
V
U
V
U
=
7241,06897,000
6897,07241,000
007241,06897,0
006897,07241,0
0274,00287,00274,00287,0
0287,00301,00287,00301,0
0274,00287,00274,00287,0
0287,00301,00287,00301,0
E
4379,336289
2432,97890
0
0
=
3283,13
5443,9272
3283,13
5443,9272
E
-
8/18/2019 09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix
17/29
Hence Michael Wuaten
Metode Elemen Hingga
28
CHAPTER 3
}f { )5( = ]T[ )5( ]k[)5(
g ]U[)5(
1
1
2
2
g
f
g
f
=
5547,08321,000
8321,05547,000
005547,08321,0
008321,05547,0
0480,00320,00480,00320,0
0320,00213,00320,00213,0
0480,00320,00480,00320,0
0320,00213,00320,00213,0
E
1
1
2
2
V
U
V
U
=
5547,08321,000
8321,05547,000
005547,08321,0
008321,05547,0
0480,00320,00480,00320,0
0320,00213,00320,00213,0
0480,00320,00480,00320,0
0320,00213,00320,00213,0
E
4379,336289
2432,97890
9518,221820
0053,23965
=
4330,3
4271,1919
4330,3
4271,1919
E
}f { )6( = ]T[ )6( ]k[)6(
g ]U[)6(
1
1
3
3
g
f
g
f
=
1000
0100
0010
0001
0000
00794,000794,0
0000
00794,000794,0
E
1
1
3
3
V
U
V
U
=
1000
0100
0010
0001
0000
00794,000794,0
0000
00794,000794,0
E
4379,336289
2432,97890
0
0
=
0
4853,7772
0
4853,7772
-
8/18/2019 09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix
18/29
Hence Michael Wuaten
Metode Elemen Hingga
29
CHAPTER 3
3.4.8 Matrix Kekakuan Elemen Portal
Pada struktur portal dua dimensi, matrix kekakuan elemen yang didapatkan berdasarkan prinsip
superposisi, dapat dituliskan dalam bentuk :
j
j
j
i
i
i
m
g
f
m
g
f
=
L
EI4
L
EI60
L
EI2
L
EI60
L
EI6
L
EI120
L
EI6
L
EI120
00L
AE00
L
AEL
EI2
L
EI60
L
EI4
L
EI60
L
EI6
L
EI120
L
EI6
L
EI120
00
L
AE00
L
AE
22
2323
22
2323
j
j
j
i
i
i
v
u
v
u
(3.23)
3.4.9 Transformasi Koordinat
Transformasi koordinat pada struktur portal dua dimensi dalam notasi matrix, dapat dituliskan
dengan bentuk :
j
j
j
i
i
i
v
u
v
u
=
100000
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
j
j
j
i
i
i
V
U
V
U
(4.24)
}u{ )e( = ]T[ )e( ]U[ )e( (3.25)
Analog untuk vektor gaya :
}f { )e( = ]T[ )e( ]F[ )e( (3.26)
Matrix kekakuan elemen portal dua dimensi pada koordinat global :
]k[)e(
g =T)e( ]T[ ]k[
)e(l ]T[
)e( (3.27)
Sedangkan persamaan kesetimbangan elemen pada koordinat lokal, dalam bentuk :
}F{ )e( = ]k[)e(
g ]U[)e( (3.28)
Untuk prosedur perhitungan selanjutnya serupa dengan elemen rangka. Untuk lebih jelasnya,
dapat melihat contoh di bawah ini.
Contoh 3.2 :
Diketahui sebuah struktur portal sederhana yang menerima beban merata dan beban terpusat
seperti tergambar di bawah ini. Diminta, hitunglah gaya displacement dan gaya-gaya dalam pada struktur
tersebut, apabila diketahui penampang balok 20 x 30 cm2 dan penampang kolom 30 x 30 cm2 ?
-
8/18/2019 09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix
19/29
Hence Michael Wuaten
Metode Elemen Hingga
30
CHAPTER 3
P2 = 4000 kg
P1 = 2000 kgq = 100 kg/m
1
6.00 m4.00 m
5.00 m
Gambar 3.5 Struktur portal dua dimensi
Gambar 3.6 Penomoran struktur portal dua dimensi
Tabel 3.2 Data struktur portal
ElemenUjung Batang
α cos α sin αA
(cm2)
I
(cm4)i j
1 1 2 00 1 0 600 45000
2 3 1 900 0 1 900 67500
3 4 2 900 0 1 900 67500
Perhitungan Inersia penampang :
IBalok = 1/12 . b . h3
= 1/12 . 20 . 303
= 45000 cm4
IKolom = 1/12 . b . h3
= 1/12 . 30 . 303
= 67500 cm4
-
8/18/2019 09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix
20/29
Hence Michael Wuaten
Metode Elemen Hingga
31
CHAPTER 3
Tabel 3.3 Data elemen struktur portal
ElemenL
(cm)
A
(cm2)
I
(cm4) L
EA3L
EI122L
EI6
L
EI4
L
EI2
1 1000 600 45000 0,6000.E 0,0005.E 0,2700.E 180.E 90.E
2 500 900 67500 1,8000.E 0,0065.E 1,6200.E 540.E 270.E
3 500 900 67500 1,8000.E 0,0065.E 1,6200.E 540.E 270.E
Perhitungan matrix kekakuan elemen ]k[)e(
l :
]k[
)e(
l =
L
EI4
L
EI60
L
EI2
L
EI60
L
EI6
L
EI120
L
EI6
L
EI120
00L
AE00L
AE
L
EI2
L
EI60
L
EI4
L
EI60
L
EI6
L
EI120
L
EI6
L
EI120
00L
AE00
L
AE
22
2323
22
2323
]k[)1(
l =
1802700,00902700,002700,00005,002700,00005,00
006000,0006000,0
902700,001802700,00
2700,00005,002700,00005,00
006000,0006000,0
E
]k[)2(
l =
5406200,102706200,10
6200,10065,006200,10065,00
008000,1008000,1
2706200,105406200,10
6200,10065,006200,10065,00
008000,1008000,1
E
]k[)3(
l =
5406200,102706200,10
6200,10065,006200,10065,00
008000,1008000,1
2706200,105406200,106200,10065,006200,10065,00
008000,1008000,1
E
-
8/18/2019 09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix
21/29
Hence Michael Wuaten
Metode Elemen Hingga
32
CHAPTER 3
Perhitungan matrix transformasi elemen [ )e(T ] :
]T[ )e( =
100000
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
]T[ )1( =
100000
010000
001000
000100
000010
000001
T)1( ]T[ =
100000
010000
001000
000100
000010
000001
]T[ )2( =
100000
001000
010000
000100
000001
000010
T)2( ]T[ =
100000
001000
010000
000100
000001
000010
]T[ )3( =
100000
001000
010000
000100
000001
000010
T)3( ]T[ =
100000
001000
010000
000100
000001
000010
Perhitungan matrix kekakuan global ]k[)e(
g :
]k[)1(
g =T)1( ]T[ . ]k[
)1(l . ]T[
)1(
]k[)1(
g =
100000
010000
001000
000100
000010
000001
1802700,00902700,00
2700,00005,002700,00005,00
006000,0006000,0
902700,001802700,00
2700,00005,002700,00005,00
006000,0006000,0
E
100000
010000
001000
000100
000010
000001
-
8/18/2019 09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix
22/29
Hence Michael Wuaten
Metode Elemen Hingga
33
CHAPTER 3
=
1802700,00902700,00
2700,00005,002700,00005,00
006000,0006000,0
902700,001802700,00
2700,00005,002700,00005,00
006000,0006000,0
E
]k[)2(
g =T)2( ]T[ . ]k[
)2(l . ]T[
)2(
]k[)2(
g =
100000
001000
010000
000100
000001
000010
5406200,102706200,10
6200,10065,006200,10065,00
008000,1008000,1
2706200,105406200,10
6200,10065,006200,10065,00
008000,1008000,1
E
100000
001000
010000
000100
000001000010
=
54006200,127006200,1
08000,1008000,10
6200,100065,06200,100065,0
270016200,54006200,1
08000,1008000,10
6200,100065,06200,100065,0
E
]k[)3(
g =T)3( ]T[ . ]k[
)3(l . ]T[
)3(
]k[)3(
g =
100000
001000
010000
000100
000001
000010
5406200,102706200,10
6200,10065,006200,10065,00
008000,1008000,1
2706200,105406200,10
6200,10065,006200,10065,00
008000,1008000,1
E
100000
001000
010000
000100
000001
000010
-
8/18/2019 09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix
23/29
Hence Michael Wuaten
Metode Elemen Hingga
34
CHAPTER 3
=
54006200,127006200,1
08000,1008000,10
6200,100065,06200,100065,0
27006200,154006200,1
08000,1008000,10
6200,100065,06200,100065,0
E
Perakitan matrix kekakuan struktur :
U1 V1 1 U2 V2 2 U3 V3 3 U4 V4 4
+0,6000
+0,0065
0
0
0
+1,6200-0,6000 0 0 -0,0065 0 +162 0 0 0 U1
0
0
+0,0005
+1,8000
+0,2700
00 -0,0005 +0,2700 0 -1,8000 0 0 0 0 V1
0
+1,6200
+0,2700
0
+180
+540
0 -0,2700 +90 -1,6200 0 +270 0 0 0 1
-0,6000 0 0+0,6000
+0,0065
0
0
0
+1,62000 0 0
-
0,00650 +1,6200 U2
0 -0,0005 -0,27000
0
+0,0005
+1,8000
-0,2700
00 0 0 0 -1,8000 0 V2
0 +0,2700 +900
+1,6200
-0,2700
0
+180
+5400 0 0
-
1,62000 +270 2
-0,0065 0 -1,6200 0 0 0 +0,0065 0-
1,62000 0 0 U3
0 -1,8000 0 0 0 0 0 +1,8000 0 0 0 0 V3
+1,6200 0 +270 0 0 0 -1,6200 0 +540 0 0 0 3
0 0 0 -0,0065 0 -1,6200 0 0 0 0 0 0 U4
0 0 0 0 -1,8000 0 0 0 0 0 0 0 V4
0 0 +1,6200 0 +270 0 0 0 0 0 0 4
Overall stiffness matrix :
00000027006200,1000
00000008000,10000
0000006200,100065,0000
00054006200,100027006200,1
00008000,1000008000,10
0006200,100065,00006200,100065,0
27006200,10007202700,06200,1902700,00
08000,100002700,08005,102700,00005,00
6200,100065,00006200,106065,0006000,0
00027006200,1902700,007202700,06200,1
00008000,102700,00005,002700,08005,10
0006200,100065,0006000,06200,106065,0
-
8/18/2019 09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix
24/29
Hence Michael Wuaten
Metode Elemen Hingga
35
CHAPTER 3
Perhitungan momen primer :
M1-2 =2L
q )x.4/1Lx.3/1( 43
x
0
+ 22
L
b.a.P
=210
100 )x.4/1Lx.3/1( 43
4
0
+
2
2
10
6.4.P
=210
100 )]0.4/10.10.3/1()4.4/14.10.3/1[( 4343 +
2
2
10
6.4.4000
=210
100 [(213,3333 – 64) – (0)] + 5760
=210
100 149,3333 + 5760
= -5909,3333 kg.m
= -590933,33 kg.cm
M2-1 =2L
q)x.4/1Lx.3/1( 43
x
0
+ 22
L
b.a.P
=210
100)x.4/1Lx.3/1( 43
4
0
+ 22
10
6.4.P
=210
100)]4.4/14.10.3/1()10.4/110.10.3/1[( 4343 +
2
2
10
6.4.4000
=210
100)]3333,149()3333,833[( + 3840
=210
100684 + 3840
= 4524 kg.m
= 452400 kg.cm
P2 = 4000 kg
q = 100 kg/m
1
21
6.00 m4.00 m
Gambar 3.7 Momen primer pada balok
-
8/18/2019 09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix
25/29
Hence Michael Wuaten
Metode Elemen Hingga
36
CHAPTER 3
Free body diagram :
P2 = 4000 kg
q = 100 kg/m1
21
6.00 m4.00 m
= 6,66674000
600
4000
400 = 10
100.600.300
1000 = 18000 = 42000
= 590,9333
590933,33
1000 = 590,9333
= 452,4000 452400
1000 = 452,4000
18145,2000 41871,4667
590933,33
1000
452400
1000
100.600.700
1000
Gambar 3.8 Free body diagram portal
Analisa beban :
Beban joint : Beban ekivalen : Beban kombinasi
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
m
g
f
mg
f
m
g
f
m
g
f
=
0
0
0
00
0
0
0
0
0
2000
0
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
m
g
f
mg
f
m
g
f
m
g
f
=
0
0
0
00
0
0000,452400
4667,41871
0
3300,590933
2000,18145
0
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
m
g
f
mg
f
m
g
f
m
g
f
=
0
0
0
00
0
0000,452400
4667,41871
0
3300,590933
2000,20145
0
-
8/18/2019 09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix
26/29
Hence Michael Wuaten
Metode Elemen Hingga
37
CHAPTER 3
18145,2000 41871,4667
590933,33 452400
Beban ekivalen
20145,2000 41871,4667
590933,33 452400
2000
Beban joint Beban kombinasi
Gambar 3.9 Analisa beban
Uknown displacement :
00000027006200,1000
00000008000,10000
0000006200,100065,0000
00054006200,100027006200,1
00008000,1000008000,10
0006200,100065,00006200,100065,0
27006200,10007202700,06200,1902700,00
08000,100002700,08005,102700,00005,00
6200,100065,00006200,106065,0006000,0
00027006200,1902700,007202700,06200,100008000,102700,00005,002700,08005,10
0006200,100065,0006000,06200,106065,0
{Uu} = [k11]-1 . ({Fe})
4
4
4
3
3
3
V
U
V
U
=
1
7202700,06200,1902700,00
2700,08005,102700,00005,00
6200,106065,0006000,0
902700,007202700,06200,1
2700,00005,002700,08005,10
006000,06200,106065,0
2
2
2
1
1
1
m
g
f
m
g
f
=
1
7202700,06200,1902700,00
2700,08005,102700,00005,00
6200,106065,0006000,0
902700,007202700,06200,1
2700,00005,002700,08005,10
006000,06200,106065,0
0000,452400
466,41871
0
3300,590933
2000,20145
0
=
1227,23312
466,41871
1790,43395
5042,1009
5806,11141
5527,45626
-
8/18/2019 09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix
27/29
Hence Michael Wuaten
Metode Elemen Hingga
38
CHAPTER 3
Reaksi perletakan :
4
4
4
3
3
3
m
g
f
m
g
f
=
27006200,1000
08000,10000
6200,100065,0000
00027006200,1
00008000,10
0006200,100065,0
4
4
4
3
3
3
V
U
V
U
=
27006200,1000
08000,10000
6200,100065,0000
00027006200,1
00008000,10
0006200,100065,0
1227,23312
466,41871
1790,43395
5042,1009
5806,11141
5527,45626
=
1186,246426
8209,41961
8242,1338
1226,198651
8451,20054
8242,1338
Kontrol :
H = 0 f 3 + f 4 = 0
V = 0 G3 + G4 – (20145,2 + 41871,4667) = 0
20145,2000 41871,4667
590933,33 452400
1338,8242 1338,8242
20054,8451 41961,8209
Gambar 3.10 Reaksi perletakan struktur portal
-
8/18/2019 09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix
28/29
Hence Michael Wuaten
Metode Elemen Hingga
39
CHAPTER 3
Perhitungan gaya-gaya elemen :
}f { )e( = ]T[ )e( ]k[)e(
g ]U[)e(
}f { )1( = ]T[ )1( ]k[)1(
g ]U[)1(
2
2
2
1
1
1
m
g
f
m
gf
=
100000
010000
001000
000100
000010000001
1802700,00902700,00
2700,00005,002700,00005,00
006000,0006000,0
902700,001802700,00
2700,00005,002700,00005,00006000,0006000,0
E
1227,23312
466,41871
1790,43395
5042,1009
5806,11141
5527,45626
=
395,4278740
4743,6551
8242,1338
730,2271504
4743,6551
8242,1338
E
}f {
)2(
= ]T[
)2(
]k[
)2(
g ]U[
)2(
1
1
1
3
3
3
m
g
f
m
g
f
=
100000
001000
010000
000100
000001
000010
54006200,127006200,1
08000,1008000,10
6200,100065,06200,100065,0
270016200,54006200,1
08000,1008000,10
6200,100065,06200,100065,0
E
5042,1009
5806,11141
5527,456260
0
0
=
8451,20054
8242,1338
8451,20054
1186,198651
8242,1338
8451,20054
E
-
8/18/2019 09 Bab 03 Fem Dasar Metode Matrix
29/29
CHAPTER 3
}f { )3( = ]T[ )3( ]k[)3(
g ]U[)3(
2
2
2
4
4
4
m
g
f
m
g
f
=
100000
001000
010000
000100
000001
000010
54006200,127006200,1
08000,1008000,10
6200,100065,06200,100065,0
270016200,54006200,1
08000,1008000,10
6200,100065,06200,100065,0
E
1227,23312
466,41871
1790,43395
0
0
0
=
6388,75368
5701,37438
6388,75368
9390,6223972
5701,37438
6388,75368
E
20054,8451
20054,8451
1338,8442
1338,8442
198651,1186
20054,8451
1338,8442
6551,4743
2271504,730
1338,8442
6551,4743
4278740,395
75368,6388
37438,5701
6223972,9390
75368,6388
37438,5701
75368,6388
1
2 3
Gambar 3.11 Freebody diagram gaya dalam dan momen pada struktur portal