06. Response Surface Methodology _rsm_ Dan Aplikasinya

RESPONSE SURFACE METHODOLOGY (RSM) DAN APLIKASINYA

RIA FAULINA

NRP 1311 201 002

SHOFI ANDARI

NRP 1311 201 008

DIAN ANGGRAENI

NRP 1311 201 009

Dosen :

Dr. SUTIKNO, M.Si.

JURUSAN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER

SURABAYA

2011

RIA FAULINA|SHOFI ANDARI|DIAN ANGGRAENI (MAGISTER OF STATISTICS ITS) 2011

152

RESPONSE SURFACE METHODOLOGY (RSM)

DAN APLIKASINYA

I. LATAR BELAKANG

Seiring berkembangnya dunia pendidikan, semakin berkembang pula penelitian-penelitian

yang ditujukan untuk mencari jawaban atas pemikiran yang muncul akibat permasalahan-

permasalahan. Secara umum, tujuan suatu penelitian atau eksperimen adalah untuk memperoleh

keterangan tentang bagaimana respon yang diberikan oleh suatu objek pada berbagai keadaan tertentu

yang ingin diperhatikan. Keadaan tertentu biasanya merupakan sesuatu yang sengaja diciptakan atau

ditimbulkan, baik melalui pemberian perlakuan atau pengaturan keadaan lingkungan. Meskipun

pemberian perlakuan telah ditentukan dan keadaan lingkungan telah diatur dengan cermat, penelaahan

mengenai respon tidak akan luput dari gangguan keragaman alami yang ada pada setiap obyek serta

pengaruh berbagai faktor yang memang tidak dapat dibuat persis sama bagi setiap obyek dalam

eksperimen. Dalam hal ini metode analisis varians dapat membantu peneliti untuk memisah dan

mengusut apa saja yang menimbulkan keragaman respon, yaitu berapa bagian yang disebabkan oleh

perlakuan, berapa bagian yang disebabkan oleh lingkungan dan berapa bagian yang ditimbulkan oleh

berbagai pengaruh yang tidak dapat dianalisis dengan jelas (Nuryanti dan Salimy, 2008).

Desain eksperimen yang dibahas sebelumnya hanya terbatas pada faktor atau level yang

memberikan pengaruh nyata atau signifikan pada respon. Baahkan uji perbandingan ganda yang

merupakan uji lanjutan dari desain eksperimen yang mampu menentukan perbedaan antar level hanya

dapat menunjukkan nilai respon yang maksimum atau minimum yang terbatas pada level-level yang

dicobakan saja. Pada penelitian yang lebih mutakhir, kadang kala peneliti tidak cukup hanya dengan

menentukan nilai respon maksimum atau minimum saja dari level-level yang dicobakan saja, karena

nilai maksimum atau minimum tersebut bisa jadi muncul diantara selang level-level yang dicobakan.

Oleh karena itu, dibutuhkan suatu metode yang dapat mendukung kebutuhan tersebut. Salah satunya

adalah metode permukaan respon.

Metode permukaan respon (response surface methodology) merupakan sekumpulan teknik

matematika dan statistika yang berguna untuk menganalisis permasalahan dimana beberapa variabel

independen mempengaruhi variabel respon dan tujuan akhirnya adalah untuk mengoptimalkan respon

(Montgomery, 2001). Ide dasar metode ini adalah memanfaatkan desain eksperimen berbantuan

statistika untuk mencari nilai optimal dari suatu respon. Metode ini pertama kali diajukan sejak tahun

1951 dan sampai saat ini telah banyak dimanfaatkan baik dalam dunia penelitian maupun aplikasi

industri. Misalnya, dengan menyusun suatu model matematika, peneliti dapat mengetahui nilai

variabel-variabel independen yang menyebabkan nilai variabel respon menjadi optimal. Makalah ini

membahas tentang metode permukaan respon. Pembahasan dimulai dengan penjabaran konsep,


153

dilanjutkan dengan prosedur analisis dan pengujian, kemudian diberikan contoh aplikasi pada

eksperimen kimia, yaitu eksperimen penumbuhan kristal. Tujuan dari kajian adalah untuk memahami

peran metode permukaan respon dalam menentukan nilai variabel-variabel independen yang

menyebabkan nilai respon penumbuhan kristal menjadi optimal. Dalam eksperimen ini, variabel

respon penumbuhan kristal (y) dipengaruhi oleh tiga variabel independen yaitu suhu (x1), tekanan (x2)

dan derajat keasaman (x3). Menggunakan formulasi model yang tepat, maka dapat diperoleh nilai

variabel-variabel independen (x1, x2, dan x3) yang menyebabkan nilai penumbuhan kristal menjadi

optimal.

II. KONSEP DASAR

2.1 Pengenalan Metode Permukaan Respon

Menurut Montgomery (2001), Response Surface Methodology (RSM) atau Metode Permukaan

Respon adalah sekumpulan metode-metode matematika dan statistika yang digunakan dalam

pemodelan dan analisis, yang bertujuan untuk melihat pengaruh beberapa variabel kuantitatif terhadap

suatu variabel respon dan untuk mengoptimalkan variabel respon tersebut. Sebagai contoh, akan

dicari level-level dari suhu (1) dan tekanan (2) yang dapat mengoptimalkan suatu hasil produksi

(). Hubungan variabel-variabel tersebut dapat dituliskan dalam sebah persamaan sebagai berikut :

= (1 + 2) + (1)

Dimana merupakan error pengeamatan pada respon . Jika nilai harapan respon dituliskan =

(1 + 2) = , maka = (1 + 2) merepresentasikan sebuah permukaan yang disebut permukaan

respon.

Pada umumnya, permukaan respon digambarkan dengan sebuah grafik, seperti yang tampak

pada Gambar 1. Untuk membantu visualisasi dari bentuk permukaan plot, sering digunakan kontur

dari permukaan respon, seperti yang terlihat pada Gambar 2. Pada kontur tersebut, garis respon yang

konstan berada pada permukaan datar (1 ,2), sedangkan garis respon yang lain berada pada

permukaan lengkung di atasnya.


154

Gambar 1. Ilustrasi plot permukaan respon

Gambar 2. Ilustrasi plot kontur Response Surface

Permasalahan umum pada metode permukaan respon adalah bentuk hubungan antara variabel

respon dengan variabel independen tidak diketahui. Oleh karena itu, langkah pertama dalam metode

permukaan respon adalah mencari bentuk hubungan antara respon dengan beberapa variabel

independen melalui pendekatan yang sesuai. Bentuk hubungan linier merupakan bentuk hubungan

yang dicobakan pertama kali karena merupakan bentuk hubungan yang paling sederhana (low-order

polynomial). Jika ternyata bentuk hubungan antara respon dengan variabel independen adalah fungsi

linier, pendekatan fungsinya disebut first-order model, seperti yang ditunjukkan dalam persamaan

berikut

= 0 + 11 + 22 + + + (2)

Jika bentuk hubungannya merupakan kuadrat, maka untuk pendekatan fungsinya digunakan derajat

polinomial yang lebih tinggi yaitu second-order model

= 0 +

=1

+ 2

=1

+ +


155

2.1 Rancangan Percobaan Optimal

Menurut Vardeman (1998), ada beberapa hal yang perlu diperhatikan jika melakukan analisis

menggunakan metode permukaan respon. Hal pertama yang perlu dilihat adalah bentuk persamannya,

apakah merupakan fungsi berorde satu atau fungsi berorde dua. Jika ternyata fungsi yang terbentuk

berorde dua, selanjutnya yang perlu dilihat adalah sifat percobaan yang akan dilakukan, apakah

sequential atau non sequential. Kedua hal diatas sangat berpengaruh terhadap prosedur perancangan

yang akan dibuat. Untuk fungsi yang berorde satu, rancangan percobaannya cukup menggunakan 2k

faktorial, dimana setiap perlakuan memiliki dua level perlakuan. Jika dibandingkan rancangan

permukaan respon yang berorde dua, maka rancangan permukaan respon yang berorde satu

membutuhkan lebih sedikit unit percobaan, yaitu sebanyak 2k unit percobaan, dimana k adalah

banyaknya faktor perlakuan.

Untuk permukaan respon yang berorde dua, rancangan percobaannya menggunakan central

composite design (CCD) atau Box-Behnken design yang memerlukan jumlah unit percobaan lebih

banyak daripada rancangan 2k faktorial (permukaan respon berorde satu).

2.2 Metode Steepest Ascent

Seringkali, menduga titik optimum dari suatu respon berada jauh dari titik optimum yang

sebenarnya. Salah satu cara untuk mencari titik optimum pada permukaan respon adalah dengan

menggunakan cara satu faktor-satu faktor. Dimisalkan, jika 2 tetap sedangkan 1 berubah-ubah,

maka akan dicari 1 yang akan membuat optimum atau hampir optimum. Setelah ditemukan nilai

1 dan 2 tersebut, eksperimen dapat dilakukan untuk menentukan titik optimum. Akan tetapi, cara

ini tidak selalu berhasil, tergantung pada bentuk permukaan respon, terlebih lagi, biasanya bentuk

permukaan respon tidak diketahui. Untuk itu, tujuan dari para peneliti adalah mencari titik optimum

yang berada di sekitar titik optimum sebenarnya, menggunakan metode yang sederhana dan efisien.

Dan biasanya, ketika dugaan titik optimum berada jauh dari nilai sebenarnya, diasumsikan bahwa

model orde satu merupakan pendekatan yang cukup baik untuk menduga permukaan yang

sebenarnya.

Untuk mengatasi kesulitan diatas, diperkenalkan metode steepest ascent yaitu metode yang bekerja

berurutan sepanjang permukaan respon yang bergerak secara cepat mengarah pada peningkatan

respon sampai pada titik optimum (Gambar 3). Sebaliknya, jika yang diinginkan adalah mencari titik

minimum, maka metode yang digunakan adalah metode steepest descent. Metode ini tidak

menentukan nilai optimum tertentu, tetapi hanya mampu mengarahkan pada daerah sekitar nilai

optimum tersebut.


156

Gambar 3. Ilustrasi Permukaan Respon Orde satu dan Garis Steepest Ascent

2.3 Karakteristik Permukaan Respon

Misalkan ingin didapatkan nilai 1 ,2 , , yang megoptimalkan respon yang diprediksikan.

Jika nilai-nilai optimal ini ada, maka y pada persamaan (2) merupakan himpunan yang beranggotakan

1 ,2 , , sedemikian sehingga turunan parsialnya:

1=

2= =

= 0

Dalam notasi matriks, persamaan (4) dapat dinyatakan sebagai:

= 0 + + (5)

dimana,

=

12

=

1 2 3

=

kkkk

k

k

2/2/

2/2/

2/2/

11

12212

11211

b merupakan vektor koefisien regresi orde pertama, sedangkan B adalah matriks orde kedua

berukuran k x k yang elemen diagonal utamanya merupakan koefisien kuadratik murni dan

elemen-elemen segitiga atasnya adalah dari koefisien kuadratik campuran ( , ).

Turunan dari terhadap vektor x adalah sama dengan 0, sehingga dinyatakan dengan:

= + 2 = 0 (6)

(4)


157

Titik-titik stasioner yang merupakan solusi dari persamaan diatas, adalah:

= 1

21 (7)

di mana T

= (1.0,2.0 , , .0). Substitusi persamaan (7) ke persamaan (5) diperoleh nilai respon

optimal yang diprediksikan terjadi pada titik-titik stasioner, yaitu:

= 0 +1

2 (8)

Karakteristik permukaan respon digunakan untuk menentukan jenis titik stasioner, apakah maksimum,

minimum atau titik pelana. Berikut beberapa ilustrasi untuk titik-titik tersebut beserta plot kontur

masing-masing seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 4, 5 dan 6.

Titik stasioner dapat diidentifikasi dengan mentransformasikan fungsi respon dari titik asal

x(0,0,...,0) ke titik stasioner dan sekaligus merotasikan sumbu koordinatnya, sehingga dihasilkan

fungsi respon sebagai berikut:

= 0 + 112 + 22

2 + + 2 (9)

dengan:

= Variabel independen baru hasil transformasi

0 = Harga taksiran y pada titik stasioner 0

= Konstanta yang merupakan eigen value dari matrik B, i = 1,2,,k

Karakteristik dari permukaan respon ditentukan oleh harga . Jika nilainya semua positif maka

0 adalah titik minimum, sedangkan jika semua negatif maka 0 adalah titik maksimum, jika harganya

berbeda tanda diantara harga , maka 0 merupakan titik pelana.

2.4 Rancangan Percobaan yang Sesuai untuk Permukaan Respon

Pemilihan rancangan percobaan yang sesuai beserta analisisnya untuk permukaan respon adalah

hal yang sangat penting. Berikut ada beberapa kriteria dalam pemilihan rancangan percobaan yang

sesuai untuk metode permukaan respon:

1. Memberikan gambaran distribusi dan informasi yang jelas berdasarkan data pada seluruh

daerah yang difokuskan

2. Memungkinkan untuk mencari model yang memenuhi kelayakan model

3. Memungkinkan untuk membuat blok-blok dalam percobaan

4. Memungkinkan untuk membuat rancangan-rancangan yang mempunyai orde lebih tinggi

5. Memberikan pendugaan error dalam rancangan

6. Memberikan pendugaan koefisien model yang tepat

7. Memberikan pendugaan varianss yang baik

8. Bersifat robust terhadap outliers maupun data hilang

9. Tidak membutuhkan unit percobaan yang besar

10. Tidak membutuhkan terlalu banyak level dalam variabel independen


158

11. Memberikan kemudahan dalam perhitungan parameter model

Kadang-kadang, kriteria diatas saling tidak mendukung, tetapi pemilihan rancangan harus tetap

dilakukan sebaik mungkin.

Gambar 4. Ilustrasi permukaan respon maksimum

Gambar 5. Ilustrasi permukaan respon minimum

Gambar 6. Ilustrasi permukaan respon pelana


159

2.4.1 Rancangan yang Sesuai untuk Model Orde Pertama

Rancangan percobaan yang sesuai untuk model orde pertama adalah rancangan orthogonal first-

order. Rancangan faktorial dan fraksional 2k adalah rancangan yang termasuk dalam rancangan

orthogonal first-order, di mana pengaruh utama saling independen. Dalam rancangan ini, dibuat kode

untuk level-level rendah dan tinggi dalam k faktor, misalnya 1. Di samping kedua rancangan

tersebut, ada pula rancangan yang termasuk rancangan orthogonal first-order, yaitu rancangan

simplex. Rancangan ini biasanya digambarkan dalam suatu bangun ruang dengan k+1 titik dalam

dimensi k. Dengan demikian, untuk = 2, rancangan simplex menjadi segitiga sama sisi dan untuk

= 3, menjadi tetrahedral seperti pada gambar berikut:

Gambar 7. Rancangan Simplex untuk (a) 2 dimensi ( = 2) dan (b) 3 dimensi ( = 3)

2.4.2 Rancangan yang Sesuai untuk Model Orde Kedua

Nilai optimum diperoleh dari sebuah model yang memenuhi dan mengandung kurvatur yang

pada umumnya merupakan model orde kedua: [

= 0 +

=0

+ 2

=1

+ +

Kelompok rancangan yang paling banyak digunakan untuk model orde kedua ialah CCD atau central-

composite design. Pada umumnya CCD terdiri atas factorial 2k (atau fraksional factorial dengan

resolusi V) atau disebut nF, 2k titik atau percobaan aksial, dan titip pusat atau center point sebanyak

nC.

Secara praktis, CCD diterapkan melalui percobaan sekuensial. Percobaan tersebut tidak lain

merupakan factorial 2k yang telah melalui model orde pertama namun memperlihatkan

ketidaksesuaian model (lack of fit), kemudian titik-titik aksial ditambahkan ke dalam percobaan untuk

memenuhi titik-titik kuadratik dalam model. CCD merupakan rancangan yang sangat sesuai untuk

memperoleh model orde kedua. Terdapat dua parameter dalam rancangan ini yang harus diketahui

terlebih dahulu oleh peneliti: (1) jarak titik aksial dari pusat rancangan dan (2) berapa banyak center

point nC.

(10)


160

Model orde kedua yang disusun harus memiliki kemampuan untuk menduga daerah di sekitar

titik optimum. Kebaikan dugaan yang diperoleh dari model orde kedua dapat dicapai hanya jika

model memiki varians yang konsisten dan konstan untuk nilai dugaan respon pada titik x tertentu.

Persamaan berikut menggambarkan varians dari nilai dugaan respon pada nilai x tertentu:

V[ ()] = 2 xT(XTX)-1x

Dalam Box dan Hunter (1957)disebutkan bahwa respon surface model orde kodua harus memenuhi

rotatabilitas. Hal ini berarti nilai V[ ()] harus sama untuk semua nilai x yang jaraknya sama dari

pusat rancangan. Dengan kata lain, varianss untuk nilai dugaan respon merupakan nilai konstan yang

digambarkan seperti bola.

Gambar 8 dan 9 menunjukkan kontur yang konstan dari V[ ()] pada model orde kedua

dengan CCD. Dapat dilihat bahwa standar deviasi nilai dugaan respon yang konstan membentuk

kontur yang tepat berbentuk lingkaran. Rancangan yang memiliki sifat ini tidak akan membuat

varians berubah meskipun rancangannya dirotasi di sekitar pusatnya (0, 0, , 0), oleh karena itu

disebut rancangan yang rotatable.

Gambar 8. Kontur V[ ()] Gambar 9. Plot permukaan respon

a) CCD sperik

Rotatabilitas merupakan salah satu syarat untuk mendapatkan CCD sperik. CCD sperik sangat

masuk akal digunakan jika rancangan kita melibatkan daerah ketertarikan berbentuk bola. Bagaimana

pun juga, memiliki CCD sperik bukanlah keharusan. CCD sperik dapat didekati dengan menetapkan

dari sudut pandang dugaan varians untuk CCD sehingga = . Rancangan ini disebut rancangan

CCD sperik atau berbentuk bola, yakni dengan menetapkan titik-titik faktorial dan aksial di

permukaan bola dengan radius . Jika daerah ketertarikan sperik seperti pada rancangan ini, center

point yang direkomendasikan cukup sebanyak tiga sampai lima titik. Center point diperlukan dalam

mendukung stabilitas varians dari nilai dugaan respon.


161

(a) (b)

Gambar 10. (a) Geometrik CCD 3 faktor dengan 8 nf, 6 aksial dan center point

(b) Geometrik CCD 2 faktor dengan 4 nf, 4 aksial dan center point

b) Rancangan Box-Behnken

Box dan Behnken (1960) memperkenalkan rancangan tiga-tahap untuk menyusun respon

surface. Rancangan ini dibentuk dengan mengombinasikan factorial 2k dengan rancangan kelompok

tidak lengkap (incomplete blocking). Hasil rancangan umumnya sangat efisien dalam kaitannya

dengan menentukan banyaknya percobaan yang harus dilakukan serta rancangan ini memenuhi

rotatabilitas atau paling tidak hampir rotatabilitas.

Gambar 11. Rancangan Box-Benhken untuk tiga faktor (k = 3)

c) Rancangan Permukaan Respon dengan Blok

Seringkali sebuah rancangan permukaan respon perlu melibatkan blocking atau

pengelompokan dalam rancangannya untuk menghilangkan variabel-variabel pengganggu. Hal ini

biasanya terjadi jika model orde kedua diperoleh secara sekuensial dari rancangan untuk model orde

pertama. Ada kemungkinan adanya perbedaan waktu dlam melakukan percobaan untuk percobaan-

percobaan untuk model orde pertama dan model orde kedua.

1x

2x

3x


162

III. STUDI KASUS

Pada bagian sebelumnya telah diuraikan konsep mengenai metode permukaan respon. Untuk

memahami lebih lanjut konsep dari metode permukaan respon, diberikan contoh aplikasi pada desain

eksperimen yang bertujuan mengoptimalkan penumbuhan kristal. Terdapat tiga variabel independen

yang diperhatikan sebagai variabel yang mempengaruhi penumbuhan kristal, yaitu suhu (x1), tekanan

(x2) dan derajat keasaman/pH (x3). Untuk mendapatkan titik optimal respon, dilakukan dua cara

desain, yaitu desain eksperimen tahap I adalah desain faktorial dua level (2k) ditambah dengan empat

center point. Sedangkan pada eksperimen tahap II digunakan Central Composite Design(CCD).

Adapun data hasil eksperimen adalah sebagai berikut.

Tabel 1. Data eksperimen tahap I

Suhu

(Celcius)

Tekanan

(Bar) pH

Penumbuhan Kristal

(gram)

810 1 9 66

810 1 11 70

810 3 9 78

810 3 11 60

840 1 9 80

840 1 11 70

840 3 9 100

840 3 11 75

825 2 10 100

825 2 10 80

825 2 10 68

825 2 10 63

Tabel 2. Data eksperimen tahap II

Suhu

(Celcius)

Tekanan

(Bar) pH

Penumbuhan Kristal

(gram)

810 1 9 66

810 1 11 70

810 3 9 78

810 3 11 60

840 1 9 80

840 1 11 70

840 3 9 100

840 3 11 75

799.8 2 10 100

850.2 2 10 80

825 0.3 10 68

825 3.7 10 63

825 2 8.3 65


163

825 2 11.7 82

825 2 10 113

825 2 10 100

825 2 10 118

825 2 10 88

825 2 10 100

825 2 10 85

IV. PEMBAHASAN

Data pada tahap I digunakan pada desain orde pertama, sedangkan data pada tahap II

digunakan jika desain orde pertama tidak dapat digunakan. Level-level percobaan pada masing-

masing variabel independen dikodekan sedemikian hingga level rendah berhubungan dengan -1 dan

level tinggi berhubungan dengan 1 untuk mempermudah perhitungan. Desain CCD pada eksperimen

tahap II menggunakan tiga variabel independen, sehingga nilai rotatabilitasnya = (32 )1/4 = 1,6818

1,682. Oleh karena itu nilai 1,682 termasuk nilai yang digunakan untuk pengkodean. Pengkodean

variabel-variabel independen dihitung dengan menggunakan persamaan-persamaan:

1 =1825

0

150, 2 =

22

1 3 =

310

1 (11)

dengan 1 , 2 dan 3 masing-masing menyatakan nilai sesungguhnya dari variabel suhu, tekanan dan

derajat keasaman. Berdasarkan persamaan di atas diperoleh nilai pengkodean untuk variabel x1, x2,

dan x3 yang disajikan pada Tabel 3.

Tabel 3. Kode Level vs Nilai Level

Kode

Level -1,682 -1 0 1 1,682

x1 799,8 810 825 840 850,2

x2 0,3 1 2 3 3,7

x3 8,3 9 10 11 11,7

Setelah dikodekan, maka data pada Tabel 1 dan Tabel 2 dapat disajikan dalam bentuk data kode

sebagaimana tercantum pada Tabel 4 dan Tabel 5.


164

Tabel 4. Data Eksperimen Tahap I Setelah Dikodekan

x1 x2 x3 y

-1 -1 -1 66

-1 -1 1 70

-1 1 -1 78

-1 1 1 60

1 -1 -1 80

1 -1 1 70

1 1 -1 100

1 1 1 75

0 0 0 100

0 0 0 80

0 0 0 68

0 0 0 63

Tabel 5. Data Eksperimen Tahap II Setelah Dikodekan

x1 x2 x3 y

-1 -1 -1 66

-1 -1 1 70

-1 1 -1 78

-1 1 1 60

1 -1 -1 80

1 -1 1 70

1 1 -1 100

1 1 1 75

-1,682 0 0 100

1,682 0 0 80

0 -1,682 0 68

0 1,682 0 63

0 0 -1,682 65

0 0 1,682 82

0 0 0 113

0 0 0 100

0 0 0 118

0 0 0 88

0 0 0 100

0 0 0 85


165

Pengolahan data pada eksperimen tersebut dilakukan dengan dua cara, yaitu secara manual dan

menggunakan Minitab.

Sama halnya dengan koefisien pada persamaan regresi, koefisien pada metode permukaan

respon didapatkan dengan menggunakan OLS dengan rumus :

=

(12)

Tabel 6. Formulasi ANOVA

Sumber

Keragaman

Derajat Bebas

(db)

Jumlah Kuadrat

(SS)

Kuadrat tengah

(MS) Fhitung

Regresi 1 ( )2

=1

1

Error ( )2

=1

-

Lack of Fit ( 1

=1

) ( )2

=1

=1

( 1=1 )

Pure Error ( 1)

=1

( 1)=1

-

Total 1 ( )2

=1

- -

Data pada Tahap I kemudian diolah dengan menggunakan software Minitab di mana hasil analisis

yang didapatkan adalah sebagai berikut:

Tabel 7. Output Minitab Estimasi Koefisien Persamaan Model

Predictor Coef SE Coef T P

Constant 75.833 3.436 22.07 0.000

x1 6.375 4.208 1.51 0.168

x2 3.375 4.208 0.80 0.446

x3 -6.125 4.208 -1.46 0.184

S = 11.9022 R-Sq = 38.7% R-Sq(adj) = 15.8%

Dari output Minitab tersebut, nilai p-value > dari (5%) yang artinya semua faktor tidak signifikan

secara statistik. Model yang diperoleh dari eksperimen tahap I adalah:

= 75,833 + 6,3751 + 3,3752 6,1253


166

Analisis varians dari data eksperimen tahap I disajikan sebagai berikut.

Tabel 8. Output Minitab ANOVA

Dari uji parameter regresi secara serentak diperoleh p-value = 0,247 atau lebih dari derajat

signifikansi = 5%, hal ini berarti variabel-variabel independen xi tidak mewakili model. Karena

model orde I tidak sesuai maka analisis dilanjutkan padapendugaan model dari eksperimen tahap II.

Pengolahan data pada eksperimen tahap II juga dilakukan dengan dua cara, yaitu secara manual dan

menggunakan Minitab.

Pengolahan data secara manual

Perhitungan manual untuk data tahap II juga menggunakan persamaan (12) dengan ANOVA

seperti pada Tabel 6.

Pengolahan data dengan Minitab

Dari pengolahan data dengan menggunakan Minitab diperoleh hasil yang ditunjukkan pada

Tabel 9 dan 10. Dari output ANOVA tersebut, dapat disimpulkan bahwa model yang tepat untuk

kasus ini adalah model orde kedua (Square). Hal ini dilihat dari nilai p-value untuk model linier lebih

besar dari = 5% sedangkan untuk model orde kedua (Square) p-value bernilai kurang dari . Untuk

memeriksa signifikansi model orde kedua, dapat dilihat p-value dari Regression pada Tabel 10. Nilai

p-value = 0,008 lebih kecil dari derajat signifikansi = 5%, hal ini berarti variabel-variabel

independen xi memberikan sumbangan yang berarti dalam model.

Prosedur pengujian yang juga dilakukan adalah:

Uji kesesuaian model regresi (Lack of Fit )

Hipotesis:

H0: Model regresi cocok (tidak ada lack of fit)

H1: Model regresi tidak cocok (ada lack of fit)

Hasil:

Dari uji Lack of Fit terhadap model diperoleh p-value = 0,986 atau lebih besar dibandingkan

derajat signifikansi = 0,05 sehingga tidak ada alasan untuk menolak H0. Artinya model regresi

cocok.

Source DF SS MS F P

Regression 3 716.4 238.8 1.69 0.247

Residual Error 8 1133.3 141.7

Lack of Fit 5 320.5 64.1 0.24 0.923

Pure Error 3 812.8 270.9

Total 11 1849.7


167

Tabel 9. Output Minitab Estimasi Koefisien Persamaan Model

Term Coef SE Coef T P

Constant 100.666 3.975 25.328 0.000

suhu -6.051 2.637 -2.295 0.045

tekanan 1.361 2.637 0.516 0.617

pH 5.828 2.637 2.210 0.052

suhu*suhu -3.767 2.567 -1.468 0.173

tekanan*tekanan -12.430 2.567 -4.842 0.001

pH*pH -9.601 2.567 -3.740 0.004

suhu*tekanan -4.625 3.445 -1.342 0.209

suhu*pH -2.625 3.445 -0.762 0.464

tekanan*pH 2.875 3.445 0.834 0.424

S = 9.74507 PRESS = 1932.34

R-Sq = 82.81% R-Sq(pred) = 65.01% R-Sq(adj) = 67.33%

Tabel 10. Output Minitab ANOVA

Analysis of Variansce for Penumbuhan kristal

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P

Regression 9 4573.29 4573.29 508.14 5.35 0.008

Linear 3 989.17 989.17 329.72 3.47 0.059

suhu 1 500.02 500.02 500.02 5.27 0.045

tekanan 1 25.31 25.31 25.31 0.27 0.617

pH 1 463.84 463.84 463.84 4.88 0.052

Square 3 3291.74 3291.74 1097.25 11.55 0.001

suhu*suhu 1 46.37 204.55 204.55 2.15 0.173

tekanan*tekanan 1 1916.92 2226.45 2226.45 23.44 0.001

pH*pH 1 1328.46 1328.46 1328.46 13.99 0.004

Interaction 3 292.38 292.38 97.46 1.03 0.422

suhu*tekanan 1 171.13 171.13 171.13 1.80 0.209

suhu*pH 1 55.13 55.13 55.13 0.58 0.464

tekanan*pH 1 66.13 66.13 66.13 0.70 0.424

Residual Error 10 949.66 949.66 94.97

Lack-of-Fit 5 90.33 90.33 18.07 0.11 0.986

Pure Error 5 859.33 859.33 171.87

Total 19 5522.95

Uji parameter regresi secara serentak

Hipotesis:

H0: i = 0, i = 1, 2, 3,, k

H1: Paling tidak ada satu i yang tidak sama dengan nol.

Hasil:

Dari Tabel 6 terlihat bahwa F-hitung = 5,35, sedangkan Ftabel = F(9;19;0.05) = 2,42. Karena Fhitung >

Ftabel maka diambil keputusan untuk menolak H0. Artinya variabel-variabel independen xi

memberikan sumbangan yang berarti terhadap model.

Dari Tabel 7 juga kita dapatkan hasil taksiran parameter model. Berdasarkan hasil analisis,

diperoleh model sebagai berikut:

= 100,67 6,05x1 +1,36x2 + 5,83x3 3,77x12 12,43x2

2 - 9,60x3

2 4,63x1 x2 - 2,63x1 x3 + 2,88x2 x3


168

dengan: : nilai taksiran untuk respon penumbuhan kristal

x1 : nilai kode variabel suhu

x2 : nilai kode variabel tekanan

x3 : nilai kode variabel derajat keasaman (pH)

Pengujian Asumsi Residual

Untuk memeriksa kecukupan model tidak hanya diperhatikan lack of fit, tetapi harus pula dilakukan

analisis residual. Harus dibuktikan bahwa residual mengikuti asumsi i IID Normal (0,2 ).

Independensi

Residual akan independen bila nilai Auto Correlation Function (ACF)-nya berada pada

interval 2

. Untuk model diatas, dengan jumlah pengamatan n = 20 residual telah

memenuhi asumsi independen karena nilai ACF-nya terletak pada interval 0,894, seperti

terlihat pada Gambar 11.

18161412108642

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Auto

corr

ela

tion

Gambar12. Uji Independensi Residual


169

Keidentikan

Pada Gambar 12 ditunjukkan bahwa plot antara residual dengan fit terlihatmenyebar secara

acak di sekitar nol. Ini berarti varians residual homogen.

10090807060

20

10

0

-10

-20

Fitted Value

Resi

dual

Gambar 13. Uji Identik Residual

Kenormalan

Pengujian asumsi kenormalan residual dilakukan dengan uji Kolmogorov-Smirnov. Hasil

pengujian dengan derajat signifikansi = 0,05 ditunjukkan pada Gambar 13.

Hipotesis:

H0: residual model regresi berdistribusi Normal

H1: residual model regresi tidak berdistribusi Normal

HASIL:

Nilai statistik Kolmogorov Smirnov (KShitung) adalah 0,168, sementara nilai Kolmogorov-

Smirnov dari tabel (KStabel) untuk = 0,05 dan jumlah pengamatan 20 adalah 0,294. Karena

KShitung < KStabel maka H0 diterima. Artinya residual dari model yang diperoleh telah

berdistribusi Normal.


170

20100-10-20

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

Residual

Pers

en

Mean 1.136868E-14

StDev 7.070

N 20

KS 0.168

P-Value 0.145

Gambar 14. Uji Kenormalan Residual

Adapun plot permukaan respon untuk kasus ini adalah sebagai berikut.

Gambar 15. Plot Permukaan Respon pada Percobaan Penumbuhan Kristal

Penentuan Titik Stasioner

Dari nilai-nilai koefisien regresi pada model orde kedua dapat disusun matriks b dan B yaitu

= 6,051,365,83

= 3,77 2,315 1,3152,315 12,43 1,441,315 1,44 9,60

Sehingga titik stasioner dapat dihitung dengan persamaan :

0 =1

2=

1,18900,33600,5169

(a) Plot permukaan respon pH vs Tekanan pada Suhu = 0

(b) Plot permukaan respon Tekanan vs Suhu pada pH = 0


171

Nilai respon optimum yang diperoleh dengan titik stasioner di atas adalah :

0 = 0 +1

20

b

= 100,67 +1

2 1,1890 0,3360 0,5169

6,051,365,83

= 106,0022

Dengan mensubstitusikan nilai 0 ke dalam persamaan (11), maka diperoleh nilai aktual dari variabel-

variabel independen untuk menghasilkan respon penumbuhan kristal yang optimal. Nilai-nilai tersebut

ialah: suhu (x1) = 807,165C, tekanan (x2) = 2,336 bar dan pH (x3) = 11,5169.

V. PENUTUP

Dari pembahasan diatas, dapat disimpulkan bahwa RSM mempunyai kelebihan dan kekurangan

dalam penerapannya. Kelebihannya adalah RSM merupakan metode yang efisien untuk menduga

titik-titik level pada faktor (variabel independen) yang membuat variabel respon optimum, serta

mudah diimplementasikan untuk faktor dengan level yang sedikit (dua atau tiga). Kekurangan RSM

adalah sulit untuk menginterpretasi hasil jika menggunakan lebih dari 3 faktor.

VI. DAFTAR PUSTAKA

Carley, KM dkk. 2004. Response Surface Methodology. CASOS Technical Report.

Iriawan, Nur dan SP Astuti. 2006. Mengolah Data Statistik dengan Mudah Menggunakan Minitab 14.

Yogyakarta: Penerbit Andi.

Khuri, AI dan JA Cornell. 1996. Response Surface: Design and Analysis 2nd

edition. New York:

Marcel Dekker.

Lenth, RV. 2009. Response Surface Methods in R, Using rsm. Journal of Statistical Software.

Montgomery, DC. 2001. Design and Analysis of Experiments 5th edition. New York: John Wiley &

Sons, Inc.

Myers, RH dan DC Montgomery. 1995. Response Surface Methodology: Process and Product

Optimization Using Designed Experiments. New York: John Wiley & Sons, Inc.

Nuryanti dan D.J. Salimy. 2008. Metode Permukaan Respon dan Aplikasinya Pada Optimasi

Eksperimen Kimia. Dalam Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir: 6-

7 Agustus 2008 (373-391).

Oehlert, GW. 2010. A First Course in Design and Analysis of Experiments. University of Minnesota.

Sudjana. 2002. Desain dan Analisis Eksperimen. Edisi IV. Bandung. Tarsito.


172

LAMPIRAN 1. Flowchart untuk RSM

Better

observation

Start

Screening Design

Full Factorial Design

+ Center Points

Single observation in direction steepest

ascent

RSM Designs (CCD, Box-

Behnken, etc.)

Fit 2nd

order model

End

Accept Stationary Point to be an

Optimum Point

Go to Stationary Point

1st order

model

Stationary

Point

Optimum?

Stationary

Point Nearby?

NO YES

NO

NO

NO YES

YES

YES


173

LAMPIRAN 2. Langkah-langkah RSM dengan MINITAB

Dalam mengolah data eksperimen dengan metode permukaan respon, diperlukan beberapa tahapan

yang meliputi membuat desain (dalam makalah ini digunakan desain (Central Composite Design) dan

analisis desain. Rincian dari tiap tahapan tersebut dijelaskan sebagai berikut.

a. Membuat desain permukaan respon

1. Pilih Stat > DOE > Response Surface > Create Response Surface Design

Pada tahap ini akan tampak kotak dialog seperti pada Gambar berikut

2. Di bawah Type of Design pilih Central composite (2 to 10 factors)

3. Dalam Number of factors, pilih 3 melalui tanda

4. Pilih Display Available Designs.

Akan tampak kotak dialog seperti pada gambar di bawah ini dimana disediakan desain serta jumlah pengamatannya.

5. Dalam daftar jumlah pengamatan, pada baris Central Composite full, pilih unblocked

dan pada kolom Factors, pilih 3. Garis temu baria dan kolom adalah 20. Artinya ada 20

pengamatan dalam central composite design (CCD) dengan 3 faktor.

6. Klik tombol OK sehingga akan kembali pada gambar di langkah a(1).

7. Pilih Designs sehingga akan muncul kotak dialog sebagai berikut.


174

Berdasarkan gambar di atas, tersedia 3 desain dengan jumlah blok, center point, dan yang berbeda.

8. Dalam kotak dialog, pilih desain pada baris pertama

9. Di bawah Number of Center Points, pilih Default.

10. Di bawah Value of Alpha, pilih Default.

11. Dalam Number of replicates, isikan 1.

12. Klik OK.

13. Dalam kotak dialog Create Response Surface Design, pilih Factors.

14. Di bawah Levels Define, pilih Cube points dan ganti nama tiap faktor di Name (missal

faktor A adalah suhu, faktor B adalah tekanan, dan faktor C adalah pH).

15. Klik OK sehingga akan muncul kotak dialog Create Response Surface Design.

16. Pilih Options dan hilangkan tanda cek () pada Randomize runs lalu klik OK.

17. Dalam kotak dialog Create Response Surface Design, klik Ok sehingga akan muncul

tampilan di Session Window sebagai berikut.


175

Central Composite Design Factors: 3 Replicates: 1

Base runs: 20 Total runs: 20

Base blocks: 1 Total blocks: 1

Two-level factorial: Full factorial

Cube points: 8

Center points in cube: 6

Axial points: 6

Center points in axial: 0

Alpha: 1.68179

b. Analisis desain

Desain yang terbentuk pada langkah (a) di atas akan dianalisis menggunakan Minitab dengan tahapan sebagi berikut. 1. Masukkan data respon sesuai banyaknya pengamatan.

2. Pilih Stat > DOE > Response Surface > Analyze Response Surface Design.

3. Di bawah Responses, masukkan variabel Penumbuhan Kristal.

4. Di bawah Analyze data using, pilih Coded units.

5. Klik OK.

06. Response Surface Methodology _rsm_ Dan Aplikasinya

Documents

Transcript of 06. Response Surface Methodology _rsm_ Dan Aplikasinya